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Introducción a la Geometría Computacional
Ubicación: http://wwwdi.ujaen.es/asignatuas/gc/tema1.odpCurso: 1º de Ingeniería Informática, Plan 2004Profesor: Lidia Ortega AlvaradoDepartamento: InformáticaCurso académico: 2009/10Actualizado: 21/09/2009
Geom
etría Com
putacional
Tema 1
Índice
Introducción a la Geom
etría Com
putacional� ¿Cómo nace la Geometría Computacional?� Un poco de historia� Aplicaciones
� Informática Gráfica� Reconstrucción de modelos 3D� Visión Artificial� Sistemas de Información Geográfica� Robótica� Diseño y Fabricación de Productos� Biología Molecular� Astrofísica
� Soluciones que aporta la G.C.� Estructuras de Datos� Bibliografía
¿Cómo nace la Geometría Computacional?
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalGeometría
ClásicaDesarrollo
del hardware
Estructuras de datos
Definiciones/Lemas/Teoremas/Corolarios
Máquinas capaces deprocesar miles de instrucciones por segundo
EEDD generales pero también específicas que permiten operaciones eficientes
Clásicas o específicas para conseguir métodos eficientes
Técnicas algorítmicas
Geometría Computacional
Un poco de historia
Introducción a la Geom
etría Com
putacional¿Cuando nace?
� Hay quien dice que el primer algoritmo de G.C. nace cuando una serie de pasos correctos, no ambiguos y con un final, resuelven un problema geométrico. El precursor: Euclides� En 1902 aparece el término complejidad de la resolución de un problema (no a nivel computacional pero sí a nivel de realización)� El término “Geometría Computacional” lo introduce M. I. Shamos en 1975, aunque existen trabajos previos enmarcados en esta disciplina
Un nuevo enfoque para la geometría� La potencia computacional de los ordenadores son aprovechadas por muchas disciplinas a partir de la segunda mitad del siglo XX� Los objetos geométricos pasan a ser estructuras de datos y las metodologías clásicas de resolución de problemas se transforman en algoritmos eficientes
Aplicaciones
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalÁmbitos de aplicación de la Geometría Computacional
1.- Informática Gráfica2.- Reconstrucción de modelos 3D3.- Visión artificial4.- Sistemas de Información Geográfica (SIG)5.- Robótica6.- Biología Molecular7.- Astrofísica8.- Diseño Asistido por Ordenador9.- Procesos de fabricación
Aplicaciones
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalInformática Gráfica
Modelado (descripción de superficies, luz, etc.)
Simulación (predecir el comportamiento de escenarios virtuales)� rendering: descripción de una escena + puntos de luz = simulación realista
Visibilidad y representación de sólidos� ¿qué se ve y qué se oculta?� ¿qué se ilumina? ¿existen colisiones?� representación interna de un sólido
Geometría Computacional
Aplicaciones
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalReconstrucción de Modelos 3D(a partir de imágenes 2D procedentes de fotografías, escáner, etc.)
Orientadas a volúmenes (apilando imágenes 2D + interpolando)
Orientado a fronteras (formando poliedros: los vértices son puntos fronterizos y las aristas la unión entre vértices adyacentes de la misma imagen 2D y de las superiores/inferiores)
Métodos
Estructuras de datos/teselaciones� triangulación de Delaunay� diagrama de Voronoi
Geometría Computacional
Aplicaciones
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalVisión Artificial
Algoritmos y estructuras de datos
geométricas
Geometría Computacional
(que suele utilizar imágenes tipo bitmap )
Reconocimiento de patrones (construir modelos 3D a partir de proyecciones 2D)
Representación de imágenes (transformar imágenes bitmap en líneas de contorno por versatilidad/compresión de imágenes, etc.)
Problemas
Segmentación (distinguir formas del fondo/primer plano
Aplicaciones
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalSistemas de Información Geográfica
Geometría Computacional
(captura, manejo, análisis, modelado y visualización de Inf. Geogr.)
Tipos de representación:� Vectorial (mejor para fronteras, ríos,
carreteras,etc)� Raster (simplicidad en algoritmos y hardware, pero
usa mucho espacio)� Isolíneas (mejores para visualización de mapas)
Problemas
� TIN (Triangulación de Delaunay)� Eliminar elementos sobrantes (puntos,etc)� Representación de curvas complejas� Algoritmos para conversión entre modelos� Intersección de regiones (polígonos)
Aplicaciones
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalRobótica
� Planificación de movimientos/trayectorias� Detección de colisiones� Aproximación de curvas� Simplificación de objetos (envolvente convexa
2D/3D)
Geometría Computacional
Industrial (los robots poseen brazos con diferentes grados de libertad definiendo movimientos en forma de costosas curvas)
Robots autónomos (la escena de objetos estáticos, objetos dinámicos y trayectorias se convierten en ) objetos geométricos que intersectan/giran/etc., y simplifican su geometría )
Aplicaciones
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalDiseño y fabricación de productos
� Ayuda al diseño en la interfaz de diseño� No maneja curvas sino objetos lineales� Algoritmos para tratamiento de intersecciones � Minimizar el número de triángulos en el diseño
Geometría Computacional
Modelado de sólidos (representación y manipulaciónde objetos 3D) � Se ha pasado de cilindros, esferas, etc. a curvas
complejas usando parches y superficies paramétricas
Aplicaciones
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalBiología Molecular
� Diseño de modelos geométricos (modelos esféricos) para determinar la estructura geométrica de las proteínas
Geometría Computacional
Estructura de las proteínas ( Las cadenas de proteínas tienen propiedades químicas y geométricas)
(disciplina creciente con el estudio del genoma humano)
Aplicaciones
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalAstrofísica
Bases de datos que respondan a cuestiones:� Dado una caja rectangular de d dimensiones,
encontrar todos los objetos dentro de él� Dado un objeto, encontrar el más cercano o los
k más cercanos
Geometría Computacional
Manejo de mapas digitales:� mapas digitales con 20 Terabytes� con 5 bandas de longitud de onda� 100 millones de objetos clasificados por tipos� con datos en Rd,, con d=8 (5 colores, declinación,
ascensión derecha, redshit)
Problemas
Soluciones que aporta
Introducción a la Geom
etría Com
putacional
1.- El/los vecino/s más cercano/s2.- Detección de colisiones3.- Planificación de movimientos y trayectorias4.- Intersección de polígonos 5.- Simplificación de curvas y polígonos6.- Eliminación de datos redundantes7.- Computación exacta (Exact computation)8.- Partición de polígonos9.- Envolvente convexa
Algunos de los problemas que la GC soluciona:
Estructuras de datos
Introducción a la Geom
etría Com
putacional
1.- Teselaciones del plano/espacio� Diagrama de Voronoi� Triangulaciones
2.- Estructuras de datos basadas en árboles� segment-trees� k-d trees� quadtrees/octrees� árboles de intervalos� BSP
Algunas estructuras de datos utilizadas
Algoritmos
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalTécnicas algorítmicas utilizadas
1.- Línea/plano de barrido
2.- Búsqueda binaria
3.- Divide y Vencerás
4.- Dualidad
5.- Algoritmos basados en aleatoriedad (randomization)
6.- Paralelismo
Bibliografía
Introducción a la Geom
etría Com
putacionalCHAZELLE B. The Computational Geometry Impact Task Force
Report. B. Chazelle + 35 co-authors, Advances in Discrete and Computational Geometry, Contemporary Mathematics, 223, AMS, Providence (1999), 407-463.disponible en: http://www.cs.princeton.edu/~chazelle/pubs/CGreport99.pdf
PREPARATA Franco P., Ian Shamos Michael. Computational
Geometry. Springer-Verlag. 1985.
enlaces de interés:GEOMETRY IN ACTION: http://www.ics.uci.edu/~eppstein/geom.html
SITIO WEB DE MÚLTIPLES ENLACES:
http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg-web.html
APLICACIONES A LA INFORMÁTICA GRÁFICA:
http://www.cs.princeton.edu/~dpd/Papers/DobkinIEEE.pdf