introducción y conceptos generales · producen intercambios de energía y de materia. como...
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TEMA
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Introducción y Conceptos generales
Antes de comenzar con el estudio de la Termodinámica, tenemos que introducir algunos conceptos y
definiciones fundamentales que utilizaremos a lo largo del texto, y que constituyen el vocabulario de
esta disciplina. En este capítulo empezamos a construir el lenguaje termodinámico, donde los nuevos
términos se apoyan en los definidos previamente. Este hecho confiere a la Termodinámica un carácter
especial dentro de los estudios de Física, ya que permite su comprensión sin necesidad de amplios
conocimientos en otros campos de la Física. De esta forma, a partir de definiciones sencillas, el
alumno se prepara para comprender los principios de la Termodinámica y sus consecuencias, que
estudiaremos en capítulos posteriores.
1. OBJETIVOS DE LA TERMODINÁMICA
La Termodinámica se define como el estudio de la energía, sus formas y transformaciones, así como sus
interacciones con la materia. La energía es imprescindible para la vida. Consumir energía es sinónimo de
actividad, de transformación, y de progreso. Este progreso ha venido en parte, como resultado del
desarrollo de la ciencia y de las aplicaciones termodinámicas, creciendo nuestra habilidad para obtener
energía, transformarla y emplearla convenientemente. En sus orígenes, la Termodinámica surgió del
estudio de la producción de trabajo mecánico a partir de fuentes de calor, centrándose en el estudio y
desarrollo de las máquinas térmicas. Actualmente es una disciplina que interviene en amplios dominios
de la Física, desde la Ingeniería a la Biología o la Meteorología. Dada su generalidad, la Termodinámica
es la ciencia básica que se puede aplicar al estudio de numerosos temas, como son: la transferencia de
calor, la mecánica de fluidos, el estudio de las plantas de potencia (combustibles fósiles, fisión nuclear,
fusión nuclear, energía solar, geotérmica, etc.), las máquinas (de vapor, de gasolina, diesel, turbinas de
gas, etc.), el acondicionamiento del aire (que incluye sistemas de calefacción y refrigeración), el diseño
de equipos electrónicos, el comportamiento químico de los semiconductores, el diseño de equipos
mecánicos (lubricación de cojinetes, frenos, etc.) y un largo etcétera. De la aplicación de sus principios,
aprenderemos a conocer como se producen las transferencias de energía, de que dependen y como
influyen en el comportamiento de los sistemas, y aún mas, obtendremos información de sí es posible o
no mejorar la eficiencia de los procesos y como hacerlo. Aspectos estos muy importantes en una
sociedad cuyo gran consumo de energía está influyendo de forma negativa en el medio ambiente.
Podemos decir, de forma general, que es objeto de la Termodinámica todo aquel proceso en el que
intervenga la energía en sus múltiples formas, como energía en tránsito o como energía almacenada. El
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estudio de la Termodinámica nos proporciona una base sólida para el análisis de fenómenos desde un
punto de vista energético.
La Termodinámica que vamos a estudiar se denomina Termodinámica Clásica1 y está basada en un
número reducido de postulados básicos o axiomas a partir de los cuales, por razonamientos lógicos, se
deducen las leyes que gobiernan los fenómenos energéticos. Estos principios no pueden demostrarse por
razonamientos matemáticos, toda su validez descansa en la experiencia. La Termodinámica Clásica es,
pues, una disciplina que estudia los fenómenos que ocurren en los sistemas en función de propiedades
físicas observables y medibles. La validez de sus ecuaciones se basa en la creencia de que los fenómenos
físicos cumplen los llamados principios termodinámicos, extraídos de nuestra experiencia en el mundo
en el que vivimos.
2. ALGUNAS DEFINICIONES BÁSICAS
En general, el estudio de cualquier disciplina científica comienza con la definición de aquellos conceptos
que emplean posteriormente para enunciar los principios fundamentales.
Para comenzar con el estudio de la Termodinámica necesitamos aislar de forma real o imaginaria una
región del espacio, objeto del estudio, que denominaremos Sistema Termodinámico. Todo lo que es
externo al sistema y tiene relación directa con su comportamiento se designa como entorno o
alrededores. Ambos constituyen el Universo Termodinámico (fig.1).
Figura 1. Concepto de sistema termodinámico
De manera que entre el sistema y su entorno debe haber una superficie perfectamente definida, real o
imaginaría que llamaremos frontera del sistema. Esta frontera puede ser rígida, móvil, deformable,
permeable o impermeable, permitir o no el paso de calor y tiene gran importancia, ya que es en esta
frontera, donde vamos a aplicar los principios de la Termodinámica. En la práctica, el universo puede ser
tan pequeño o tan grande como queramos, puede contener una máquina completa o una parte pequeña de
la misma. Fuera del universo termodinámico queda todo lo que no tiene nada que ver con lo que
queremos estudiar.
1 Cuando el razonamiento termodinámico se combina con la teoría corpuscular, es decir, se admiten hipótesis
acerca de la estructura discreta de la materia, surge la Termodinámica Estadística.
Entorno
Universo
Sistema
Entorno
Universo
Sistema
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Un sistema termodinámico puede intercambiar con sus alrededores, a través de sus paredes, energía (en
forma de trabajo y/o calor) y materia. Todas las transferencias de masa y energía entre el sistema y el
entorno son valoradas en la frontera. En la Tabla 1 se resumen los tipos de paredes más frecuentes en los
sistemas termodinámicos.
Tabla 1 Tipos de paredes del sistema
Respecto a un Sí No
Cambio de volumen Móvil Rígida
Flujo de Calor Diatérmica Adiabática Flujo de Materia Permeable Impermeable
En Termodinámica distinguiremos principalmente tres tipos de sistemas: sistema cerrado, sistema abierto
y sistema aislado. Llamamos sistema cerrado a una región de masa constante, que sólo intercambia
energía con sus alrededores y decimos que un sistema es abierto cuando a través de su frontera se
producen intercambios de energía y de materia. Como ejemplos de sistemas abiertos encontramos un
compresor, una turbina, una tobera, un calentador de agua, etc. En la Figura 2 puede verse un ejemplo de
sistema cerrado, como es el sistema "gas encerrado en un cilindro - pistón" y un sistema abierto, como es
el caso de "un motor de automoción". Todos los seres vivos son termodinámicamente sistemas abiertos.
Figura 2. Ejemplos de distintos sistemas termodinámicos
Decimos que un sistema termodinámico es aislado cuando no intercambia energía ni materia con sus
alrededores, es decir, un sistema aislado es aquél que no interactúa con su entorno.
Para los intercambios de calor (Q) y de trabajo (W) del sistema con el medio exterior, adoptaremos el
siguiente criterio de signos:
El sistema absorbe calor: Q > 0 El sistema cede calor: Q < 0
El sistema recibe trabajo: W < 0 El sistema realiza trabajo: W > 0
Fronteradel sistema
Gas
Sistema cerrado
Salida de gases
Entrada de aireEntrada de combustible
Frontera del sistema
Motor deautomoción
Trabajo
Sistema abierto
MotorFronteradel sistema
Gas
Sistema cerrado
Salida de gases
Entrada de aireEntrada de combustible
Frontera del sistema
Motor deautomoción
Trabajo
Sistema abierto
Motor
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Algunos textos adoptan el criterio contrario para los intercambios de trabajo. La razón de que en este
libro adoptemos el criterio de signos expuestos es que de esta forma las máquinas térmicas realizan
trabajo positivo.
3 PROPIEDADES, ESTADOS Y PROCESOS TERMODINÁMICOS
Para conocer un sistema y estudiar su comportamiento necesitamos conocer un conjunto de magnitudes
que llamaremos propiedades o variables termodinámicas. Las variables termodinámicas son
características del sistema y dependen de su propia naturaleza. Algunas son observables directamente y
por lo tanto medibles, tales como volumen, presión, temperatura, densidad, etc. Otras en cambio, no son
observables, no son medibles, pero pueden definirse mediante las leyes de la termodinámica y
relacionarse con propiedades observables. Entre estas últimas podemos nombrar a la energía interna o la
entropía, de cuya gran importancia hablaremos a la largo de este libro.
Las propiedades termodinámicas pueden dividirse en dos categorías: intensivas y extensivas. Las
variables que dependen del tamaño del sistema, tales como la masa, el volumen o la energía interna son
variables extensivas. Las variables intensivas, como la densidad, la temperatura o la presión, no
dependen de la masa del sistema. El cociente entre dos propiedades extensivas de un sistema
homogéneo2 es una propiedad intensiva. Así, sí el valor de una propiedad extensiva se divide por la masa
del sistema, obtenemos una nueva propiedad que es intensiva y que se denomina específica. Por
ejemplo, al dividir la variable extensiva volumen por la masa del sistema obtenemos el volumen
específico, que es la magnitud inversa de la densidad ρ .
1Vv
m ρ= =
Desde el punto de vista de la nomenclatura empleada, la variable extensiva se representará con letra
mayúscula, y su correspondiente magnitud intensiva, con minúscula.
Las variables termodinámicas juegan un papel básico ya que la situación o estado en que se encuentra un
sistema queda determinado termodinámicamente conociendo el valor de las variables termodinámicas en
ese estado.
Las propiedades o variables termodinámicas son función de estado. Esto significa que las variaciones
que experimenta son independientes del proceso que conecta los estados inicial y final y queda
perfectamente definida conociendo dichos estados. Como ejemplo de funciones de estado tenemos la
temperatura y el volumen. Matemáticamente hablando esto significa que la diferencial de una función de
estado es una diferencial exacta (d). Llamaremos función de proceso cuando las variaciones de la misma
dependen del proceso seguido para ir desde el estado inicial al estado final. Una función de proceso no
queda definida con sólo conocer las propiedades en el estado inicial y en el final. El calor y el trabajo
2 Un sistema es homogéneo cuando sus propiedades fisicoquímicas son las mismas en cualquier punto del
mismo.
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son funciones de proceso. El calor que se absorbe o se desprende para ir desde un estado concreto a otro
es función del proceso seguido. La diferencial de una función de proceso es inexacta (δ).
La experiencia nos dice que no todas las variables que describen un sistema son independientes, de
hecho basta conocer los valores de un pequeño número de variables para definir el estado en el que se
encuentra el sistema. Estas variables independientes se denominan variables de estado y las restantes
variables pueden expresarse en función de aquéllas. El número de variables de estado depende de la
complejidad del sistema termodinámico.
Cuando alguna de las propiedades de un sistema cambia, el sistema cambia de estado y diremos que ha
experimentado un proceso termodinámico. Si un sistema en dos instantes diferentes tiene todas sus
propiedades iguales podemos decir que el sistema se encuentra en el mismo estado. Algunos procesos
termodinámicos son muy usuales, ya que en los mismos una variable termodinámica permanece
constante durante todo el proceso: se llaman isotérmicos aquellos en los que la temperatura permanece
constante, isóbararos cuando permanece constante la presión y procesos isócoros si la variable que
permanece constante es el volumen. Llamaremos ciclo termodinámico a una sucesión de procesos que
empieza y termina en el mismo estado. Al final del ciclo todas las variables termodinámicas tienen el
mismo valor que al principio.
Para conocer qué valor tienen las variables termodinámicas tendremos que medir y para eso necesitamos
que el sistema este razonablemente “tranquilo” . Esa tranquilidad la vamos a llamar equilibrio
termodinámico. Formalmente diremos que un sistema está en equilibrio termodinámico cuando su
estado no cambia. Esto significa que todas sus propiedades termodinámicas tienen un valor constante e
independiente del tiempo. Para que esto ocurra el sistema no puede tener, en ese momento, ningún tipo
de interacción con su entorno. Por tanto, para poder conocer el estado de un sistema, este tiene que
encontrarse en equilibrio termodinámico ya que de lo contrario no podríamos conocer el valor exacto de
las variables que definen su estado3.
Cuando un sistema homogéneo está en equilibrio termodinámico, entre sus variables de estado existe una
relación matemática que se denomina ecuación de estado. Todo sistema termodinámico tiene su propia
ecuación de estado, aunque en algunos casos su forma puede ser tan complicada que no sea posible
explicarla por medio de funciones matemáticas sencillas. Una ecuación de estado se determina mediante
la experimentación y no es consecuencia de una teoría deducida a partir de la propia termodinámica, sino
que constituye de ordinario una adición experimental a ella. Por tanto, tiene la validez propia del rango
en que se midieron las variables termodinámicas. Fuera de este intervalo puede resultar válida otra
ecuación distinta.
En el estudio de la Termodinámica utilizaremos un proceso ideal que llamaremos cuasiestático. Un
proceso cuasiestático es un proceso realizado de manera que todos los estados por los que pasa el sistema
puedan considerarse estados de equilibrio. Para que esto ocurra, los procesos tienen que ser infinitamente
lentos para que la variación infinitesimal de un estado de equilibrio nos lleve a otro estado de equilibrio.
3 Por este motivo a la Termodinámica Clásica también se la conoce como Termodinámica del equilibrio, pues
estudia los sistemas en estado de equilibrio así como los cambios de un estado de equilibrio a otro.
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Fronteradel sistema
Masas infinitesimales quese van añadiendo para la
compresión del gas o líquido
Pistón
Gas o líquido
Fronteradel sistema
Masas infinitesimales quese van añadiendo para la
compresión del gas o líquido
Pistón
Gas o líquido
De esta manera podemos ir de un estado inicial a otro final mediante una sucesión de estados de
equilibrio y por lo tanto, conocer el valor de las variables termodinámicas en cualquier instante del
proceso. Evidentemente, en los procesos reales son inevitables las situaciones de no equilibrio. Las
transformaciones cuasiestáticas representan un concepto límite, tienen un papel análogo al de las
superficies sin rozamiento en mecánica, las cuerdas sin peso, el punto material o los líquidos sin
viscosidad. Un proceso cuasiestático es una idealización y no una representación de un proceso real. Sin
embargo, en determinadas condiciones, las transformaciones reales pueden aproximarse al
comportamiento cuasiestático cometiendo con ello un error despreciable. El concepto de proceso
cuasiestático le interesa al ingeniero porque le sirve como modelo para comparar entre sí procesos reales,
como los que ocurren por ejemplo en las máquinas térmicas.
Podríamos acercarnos a un proceso cuasiestático considerando el ejemplo de la Figura 3. Tomamos
como sistema termodinámico el gas encerrado en un cilindro pistón. El proceso de compresión se realiza
añadiendo al pistón sucesivas masas infinitesimales de manera que la presión aumente.
Figura 3. Ejemplo de proceso cuasiestático
Tendríamos un proceso cuasiestático, si antes de añadir una nueva masa dejamos que el gas recupere su
estado de equilibrio. Un proceso se denomina, por tanto, cuasiestático cuando los estados intermedios de
su trayectoria son también estados de equilibrio. Esto significa que en cualquier punto de su trayectoria
el sistema está definido por sus variables macroscópicas y que su ecuación de estado es siempre válida.
Todo proceso reversible tiene las siguientes características:
• Basta modificar infinitamente poco las condiciones del sistema para que la evolución cambie
de sentido.
• Es infinitamente lento.
• El rendimiento de la transformación es superior a cualquier otro que se realice por vía
irreversible.
• Es irrealizable. Los procesos que ocurren en la naturaleza no son reversibles.
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Diremos que un proceso es reversible cuando puede invertirse, por cualquier medio posible, sin dejar
cambios ni en el sistema ni en el entorno. Esto significa que en cualquier momento del proceso
podemos volver al estado inicial, mientras que tanto el sistema como los alrededores vuelven a pasar por
los estados por los que pasaron durante el proceso. Todas las transformaciones energéticas del proceso
reversible se pueden invertir en dirección sin modificar ni su forma ni su cantidad. De la definición de
proceso reversible se deduce que es condición imprescindible que sea cuasiestático.
Todo proceso que no es reversible se conoce como irreversible. En un proceso irreversible los estados
intermedios del mismo no son estados de equilibrio.
No se debe confundir la irreversibilidad de un proceso, con la imposibilidad de volver a su estado inicial.
En teoría siempre es posible que el sistema vuelva a sus condiciones iniciales, pero cuando esto ocurre
en procesos irreversibles, los alrededores experimentan cambios permanentes.
Todos los procesos reales son irreversibles. El interés de los procesos reversibles radica en que se pueden
emplear como modelos ideales para compararlos con los procesos reales. Los procesos reversibles
pueden aproximarse por medio de dispositivos reales aunque nunca pueden alcanzarse.
Cuando un sistema realiza una serie de procesos consecutivos de manera que vuelve a su estado inicial
decimos que ha realizado un ciclo termodinámico.
Un ciclo será reversible cuando todos los procesos que lo forman son reversibles; si alguno de ellos no lo
es, el ciclo es irreversible.
4. SISTEMAS SIMPLES
Existen tres variables termodinámicas intensivas particularmente importantes en Termodinámica y que
son la presión, P, el volumen específico v y la temperatura, T. Los sistemas que quedan definidos por
estas variables se denominan sistemas PvT. En estos sistemas, de las tres variables termodinámicas que
los definen, sólo dos son independientes, es decir, sólo dos son variables de estado. Esto implica que
existe una ecuación de equilibrio que relaciona las variables termodinámicas y que priva de su
independencia a una de ellas. Esta relación la hemos llamado ecuación de estado. En general, cualquier
sistema termodinámico que se puede definir por tres coordenadas termodinámicas, X,Y,Z (dos de ellas
propiedades intensivas independientes) y una ecuación de estado que las relacione se denomina sistema
simple. Los sistemas PvT son el ejemplo más utilizado de sistema simple ya que el estado
termodinámico de los gases, líquidos y sólidos puros pueden ser descritos mediante estas tres variables
termodinámicas.
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5. TEMPERATURA Y PRINCIPIO CERO
La propiedad intensiva temperatura es de gran importancia en termodinámica. Todos conocemos por la
experiencia que cuando ponemos en contacto dos cuerpos, uno más caliente que el otro, y los aislamos
del entorno, al cabo de un cierto tiempo los dos cuerpos están igual de calientes. En termodinámica
decimos que ha habido una interacción térmica. Durante la misma, el cuerpo más caliente se enfría
mientras que el otro se calienta. Mientras que dura este proceso, han tenido que variar las variables
termodinámicas que definen el sistema. Cuando estas variables adquieren un valor constante e
independiente del tiempo decimos que el sistema está en equilibrio térmico . La experiencia nos dice
que cuando dos sistemas están en equilibrio térmico con un tercero, también están en equilibrio térmico
entre si. Afirmación que se conoce como Principio cero de la Termodinámica. Pues bien, la
temperatura es la variable termodinámica que nos indica si un sistema está o no en equilibrio térmico.
Dos sistemas que están en equilibrio térmico tienen por tanto la misma temperatura. Hay que destacar
que cuando cambia la temperatura de un sistema también cambian otras variables termodinámicas. Esto
nos permite emplear la variación de cualquier variable dependiente de la temperatura para construirnos
un termómetro. La única condición que tenemos que exigirle es que esta propiedad sea fácilmente
medible. Por ejemplo, los termómetros de mercurio dentro de ampolla de vidrio, que todos hemos usado,
utilizan la dependencia del volumen de mercurio con la temperatura. Cuando aumenta la temperatura, el
mercurio se expande aumentando su volumen y asciende por un capilar donde está marcada la
temperatura. De manera que medir temperaturas no es más que, poner en contacto un termómetro con el
sistema a medir y esperar a que se alcance el equilibrio térmico. Para asignar un valor concreto a este
equilibrio alcanzado se utilizan escalas numéricas llamadas escalas de temperatura.
Para definir una escala de temperaturas se asignan valores numéricos a temperaturas que sean fácilmente
reproducibles con precisión, que se llaman puntos fijos. Existen varias escalas de temperatura, que se
diferencian en que utilizan puntos fijos distintos, aunque históricamente la más conocida es la escala
Celsius. Esta escala utiliza como puntos fijos la temperatura del punto de hielo (0º C) y la temperatura
del punto de vapor de agua4 (100 ºC). También son conocidas la escala Fahrenheit y la escala Rankine.
En el sistema internacional SI se utiliza para medir temperaturas la escala Kelvin , también llamada
escala absoluta de temperaturas. Esta escala utiliza como punto fijo el punto triple del agua que es el
punto donde coexisten en equilibrio termodinámico el vapor, el agua líquida y el hielo. A este estado se
le asigna de forma arbitraría el valor 273,16 Kelvin. En esta escala el punto de hielo vale 273,15 K y el
punto de vapor 373,15. La diferencia entre estos puntos es 100 K, exactamente el mismo que hay entre
estos dos puntos fijos en la escala Celsius. Esta es la razón por la que un grado Celsius es totalmente
equivalente a un Kelvin.
4 La temperatura de estos puntos está definida a la presión de una atmósfera.
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6 EL GAS IDEAL
Dentro de los distintos sistemas termodinámicos que pueden ser descritos mediante un sistema simple
PvT, las sustancias en forma de vapor (gas) tienen especial interés en Termodinámica debido su empleo
como sustancia de trabajo en máquinas térmicas y frigoríficas. No existe para un sistema dado, una
ecuación de estado única que relacione las variables termodinámicas en un amplio rango de valores de
las mismas. Sin embargo muchos gases que son familiares para nosotros, aire, oxigeno, nitrógeno,
dióxido de carbono, etc. se comportan siguiendo lo que llamamos modelo de gas ideal. La característica
que más nos importa, de momento, de los gases que siguen este modelo es que su ecuación de estado se
escribe como,
PV nRT=
donde n es el número de moles y R es constante e independiente de la naturaleza del gas y se denomina
constante universal de los gases. Su valor en el sistema internacional es 8.31 /R J mol K=
La ecuación de estado anterior puede expresarse en función de la variable intensiva volumen específico
(v) como Pv rT= donde r es la constante específica de cada gas y se obtiene dividiendo R por el peso
molecular (Pm)5.
m
Rr
P=
Por supuesto no existe ningún gas que cumpla exactamente estas condiciones. El gas ideal es un modelo.
El que un gas pueda considerarse ideal depende del error que consideremos admisible. Muchos gases a
presiones bajas y temperaturas superior o igual a la temperatura ambiente siguen la ecuación de estado
de un gas ideal con errores menores al 1%. En general, un gas real se va aproximando al comportamiento
ideal según disminuye su presión y aumenta su temperatura.
5 Recuerda que el número de moles es el cociente entre la masa y el peso molecular.
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TEMA
2 PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA
Acabamos de ver en el primer capítulo cuál es el vocabulario propio de la Termodinámica. Ahora
estamos en condiciones de estudiar con detalle el Primer Principio de la Termodinámica.
Comenzaremos tratando la energía en general, para continuar con el intercambio de energía entre
sistemas en forma de trabajo y calor. Estudiaremos cómo el trabajo en Termodinámica va siempre
asociado a un cambio de volumen y cómo existen varios mecanismos de transferencia de calor. Se
obtendrá paso a paso la expresión del Primer Principio para sistemas cerrados a partir de la
aplicación del principio general de conservación de la energía. Se definirá el concepto de capacidad
calorífica y de calor específico. Introduciremos el concepto de entalpía y escribiremos la expresión
del primer principio en función de esta variable termodinámica.
1. CONCEPTO DE ENERGÍA Y SU CLASIFICACIÓN
El concepto de energía es difícil de definir debido a que si bien la energía está presente en todas las
actividades, sólo podemos observarla cuando cambia de forma o se transfiere de un sistema a otro.
Así, cuando hablamos de energía, nos estamos refiriendo a alguna de las múltiples formas en que
podemos observarla: energía solar, energía cinética, energía química, energía eléctrica, energía
nuclear, etc. La unidad de la energía en el Sistema Internacional es el julio (J).
Una definición de energía ampliamente aceptada es considerarla como aquella propiedad que tiene un
sistema y que le confiere la capacidad de realizar cambios sobre si mismo o sobre su entorno. Las
distintas maneras en las que un sistema puede cambiar o evolucionar dan lugar a distintas
manifestaciones de la energía. No todas estas formas energéticas nos interesan para un curso elemental
de Termodinámica así que vamos a analizar sólo aquellas que más interés tienen para nosotros.
Comenzamos por la energía mecánica en sus dos formas más comunes, la energía cinética (EC) y la
energía potencial (EP). La energía cinética es la energía asociada al movimiento del sistema y
depende de su masa y del cuadrado de su velocidad. Su expresión es:
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2cE mv=
Un sistema tiene una energía potencial cuando se encuentra en el interior de un campo de fuerzas, ya
sea gravitatorio, eléctrico o magnético. En el caso de un campo gravitatorio esta energía se denomina
energía potencial gravitacional y tiene por expresión,
2
pE mgh= (cuando h es tal que g ≈ cte)
La energía potencial gravitacional que posee un cuerpo en un punto del campo es igual al trabajo
realizado contra la gravedad para elevarlo a ese punto, siendo h la distancia de ese punto a un nivel de
referencia dado. Evidentemente la energía potencial está asociada a la posición del sistema dentro de
dicho campo; cuanto mayor sea la altura del objeto mayor será su energía potencial.
Al hablar en estos términos de la energía mecánica, lo estamos haciendo de forma intencionada de
manera macroscópica. Una forma energética es macroscópica cuando puede definirse sin considerar el
hecho de que la materia consta de moléculas. Por ejemplo, supongamos un coche que se mueve a una
velocidad determinada y está subiendo por un plano inclinado. Este coche tiene una energía cinética
macroscópica por poseer una velocidad con respecto al suelo y por otra parte tiene una energía
potencial macroscópica gravitatoria porque está ganando altura. Ambas formas energéticas son
macroscópicas pues están relacionadas con características del coche (su velocidad y su masa) a una
escala observacional.
En contrapartida las formas energéticas microscópicas se relacionan con la energía que poseen las
moléculas individuales. La suma de todas las formas energéticas microscópicas de un sistema (fig.1)
recibe el nombre de energía interna, y la denotaremos por la letra U.
Figura 1. Componentes de la energía interna U. Ejemplo del agua (H2O) líquida: (a) Energía cinética
de átomos y moléculas; (b) Energía potencial microscópica de la interacción de las moléculas entre sí;
(c) Energía química almacenada en los enlaces entre átomos; (d) Energía nuclear residente en los
núcleos de las átomos.
En un sistema simple se necesitan dos variables para describir cualquier estado en el que pueda estar el
sistema. Estas variables pueden ser la temperatura y la presión, la presión y el volumen específico o la
temperatura y el volumen específico. Es decir, la energía interna es función de dos cualesquiera de las tres
variables termodinámicas: U=U(T,P), U=U(T,V), U=U(P,V).
(a)
(b)
(c)
(d)
.
.
..
.
..
...
.
.
.
.. .
. .
(a)
(b)
(c)
(d)
.
.
..
.
..
...
.
.
.
.. .
. .
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En ausencia de reacciones químicas y nucleares, la energía interna es la suma de las energías cinética y
potencial de los átomos y moléculas que constituyen la sustancia. Esta energía cinética contempla no
sólo la correspondiente al movimiento de traslación sino también a la rotación y a la vibración de las
moléculas. Estos movimientos, especialmente el de traslación, aumentan conforme aumenta la
temperatura de la sustancia, de tal forma que un sistema tiene mayor energía interna cuanto mayor es
su temperatura1. En cambio, la energía potencial está asociada a las interacciones que existen entre las
moléculas, las cuales dependen a su vez de la posición relativa de las mismas. Estas interacciones son
mayores en sólidos y menores en los líquidos. En el caso de los gases son muy débiles, a veces
despreciables, dado que las moléculas del gas están muy separadas unas de otras. Para cambiar una
sustancia de una fase sólida a una líquida es necesario un aporte de energía para vencer las fuerzas
intermoleculares del sólido.
La suma de las formas energéticas macroscópicas y microscópicas de un sistema recibe el nombre de
energía total (E):
C PE E E U= + +
Ejemplo 1
Supongamos que nuestro sistema es un recipiente cerrado que contiene un volumen determinado de
agua y que lanzamos hacia arriba. ¿Qué energías contribuyen a la energía total del agua?
Solución.-
El agua está formada por moléculas cuya composición es de dos átomos de hidrógeno y un átomo de
oxígeno (H2O). Estas moléculas están continuamente trasladándose, girando y vibrando, por lo que
cada una de ellas tendrá una energía cinética total correspondiente a cada uno de los movimientos. La
suma de la energía cinética de todas las moléculas que hay en el recipiente constituye la energía
cinética microscópica del sistema. Por otra parte, entre las moléculas de agua aparecen fuerzas
intermoleculares (fig 1). Estas fuerzas tienen asociados campos, por lo que cada molécula en definitiva
tendrá una energía potencial. La suma de todas las energías potenciales de las moléculas constituirá la
energía potencial microscópica. Despreciando los efectos magnéticos, eléctricos y suponiendo que no
existen reacciones químicas o nucleares, la energía interna U del sistema será la suma de la energía
cinética microscópica y de la energía potencial microscópica. Por otra parte, el sistema al ser lanzado
hacia arriba, tomado éste como un todo, tendrá una altura determinada y una velocidad dada en un
instante concreto. Así tendremos también una energía cinética macroscópica Ec y una energía
potencial gravitatoria Ep. La suma de todas estas formas energéticas será la energía total E del agua.
1 Es por esta razón, por la que algunos textos llaman a la energía cinética de átomos y moléculas energía térmica.
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2. TRANSFERENCIA DE ENERGÍA
En primer lugar podemos destacar que la energía interna es una magnitud extensiva, es decir, depende
de la cantidad de materia. Evidentemente la energía interna de un litro de agua será mayor que la de
medio litro en las mismas condiciones. También podemos admitir que la energía interna es una
característica del estado en el que se encuentre el sistema, es decir, es una función de estado. Por lo
tanto, el cambio de la energía interna de un sistema para un proceso determinado dependerá sólo del
estado inicial y del final, siendo independiente del proceso seguido para pasar de uno a otro.
La energía interna de un sistema no puede medirse directamente, pero sí puede calcularse a partir de
otras propiedades termodinámicas (como la presión, la temperatura, etc) y mediante expresiones
matemáticas que se obtienen de los principios de la Termodinámica.
Imaginemos un recipiente que contiene agua y que estamos calentando con un mechero. Al ir
aumentando la temperatura las moléculas de agua incrementarán su energía cinética y su energía
potencial, aumentando por lo tanto la energía interna del sistema. Si ahora dejamos que el agua se
enfríe, se producirá lo contrario. Al disminuir la temperatura descenderá la energía interna del agua.
Supongamos ahora un cilindro con un pistón que contiene un gas a una presión muy elevada. Las
moléculas del gas estarán muy próximas entre sí con lo que las fuerzas intermoleculares serán grandes
y por lo tanto la energía potencial microscópica será elevada (y con ello la energía interna). Si dejamos
que el gas se expanda el pistón se moverá, movimiento que podríamos aprovechar para hacer
funcionar cualquier máquina. Conforme el gas se va expandiendo se produce un descenso de su
energía interna.
Del análisis de estos dos ejemplos podemos extraer una conclusión: la energía interna es una energía
que almacena un sistema y su contenido puede aumentar o disminuir en función de que el sistema
gane o pierda energía. Conocer cuánto varía la energía interna para un proceso dado y a qué es debida
esta variación, constituye uno de los cometidos de la termodinámica.
Para que un sistema cambie su contenido energético es necesario que se produzca una interacción
entre el sistema y su entorno. Existen tres tipos de interacciones que pueden conducir al cambio en la
energía de un sistema:
Interacción térmica: es aquella interacción que se produce como consecuencia de la existencia de una
diferencia de temperatura entre el sistema y el entorno. La cantidad de energía que se transfiere recibe
el nombre de calor.
Interacción mecánica: es aquella que se debe a un desplazamiento como consecuencia de la acción de
fuerzas. La energía que se transfiere durante una interacción mecánica recibe el nombre de trabajo .
Interacción másica: cuando un sistema y su entorno intercambian materia diremos que existe una
interacción másica.
De manera que un sistema puede intercambiar energía con su entorno, como calor y/o como trabajo.
En este caso hemos hablado de un sistema cerrado, para diferenciarlo de aquellos que además pueden
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intercambiar materia con su entorno que los hemos llamado sistemas abiertos2. Diremos, por último,
hemos llamado sistema aislado a los que no intercambian ni materia ni energía con su entorno. La
energía de un sistema aislado, por tanto, es siempre constante.
Debe de quedar claro que estas interacciones son energía que cruza la frontera, real o ficticia, que
separa al sistema de su entorno y que se denomina pared del sistema. Si existe un traspaso interno de
energía de una zona a otra del sistema, pero sin que ésta atraviese la frontera, no lo consideraremos
como una interacción termodinámica. Es decir, los principios de la Termodinámica se evalúan en la
frontera de los sistemas. Por ejemplo, si tengo una habitación (sistema termodinámico) perfectamente
aislada del exterior (entorno) y dentro tenemos una estufa, ésta calentará la habitación pero no
tendremos una interacción en forma de calor, pues el revestimiento aislante impide que la energía
salga al exterior del sistema. En el caso real siempre habrá transferencia de calor al entorno, tanto
mayor cuanto peor sea el aislante de las paredes.
3 Trabajo de expansión-compresión El concepto de trabajo en Termodinámica no es más que una extensión de su significado en mecánica clásica. De temas anteriores, sabemos que el trabajo realizado por una fuerza constante F sobre un objeto que se desplaza una distancia s en la misma dirección que la fuerza aplicada, está dado por la expresión:
=W F s
Si la fuerza no es constante, el trabajo realizado al desplazarse el objeto desde un punto 1 a un punto 2 será:
2
1 2 1→ = ∫W Fds
Como el trabajo no es más que energía en transferencia, esto es, energía que va del sistema al entorno o
viceversa, su unidad en el Sistema Internacional es el Julio (1 J = 1 N m.
Otra magnitud relacionada con el trabajo es la potencia, W•
, definida ésta como el trabajo por unidad de
tiempo. La unidad de la potencia es J/s ó watio (W).
Hay muchas formas de realizar trabajo pero todas ellas vienen a ser, tal y como se desprende de su
definición, la acción de una fuerza que actúa a lo largo de una distancia. Así esta expresión nos permite
calcular el trabajo necesario para orientar un imán en el seno de un campo magnético, para mover un
electrón dentro de un campo eléctrico, para elevar un objeto, etc. Ahora bien, aunque el trabajo puede
asociarse siempre a una fuerza, aquí nos interesa relacionar el trabajo con propiedades termodinámicas del
sistema.
2 Un sistema termodinámico no puede intercambiar solamente materia con su entorno, ya que necesariamente
para que exista traspaso de materia es necesario un consumo de energía, al menos, la necesaria para mover esa
materia de un sitio a otro.
6
*¿Cómo deducir la expresión del trabajo de expansión de un gas?
Consideremos que nuestro sistema termodinámico es un gas encerrado en un cilindro con émbolo móvil
(fig. 2). Cuando el gas se expande y desplaza el pistón, este trabajo recibe el nombre de trabajo de
expansión3. Este trabajo va acompañado necesariamente de un cambio del volumen del sistema.
Figura 2
El gas dentro del cilindro-pistón se encuentra a una presión P y ocupa un volumen V1. Llamemos A a
la sección del pistón que está en contacto con el gas. Si el pistón se desplaza una distancia muy
pequeña, supongamos un diferencial ds, el trabajo realizado vendrá dado por la expresión:
dW Fds=
donde F sería la fuerza que ejerce el gas sobre el pistón y cuyo valor se puede relacionar con P y con A
mediante la ecuación
dW PAds=
Como el producto Ads es el volumen diferencial, dV, que ha recorrido el pistón podemos decir
finalmente que
dW PdV=
El trabajo total realizado al pasar desde el volumen V1 (estado inicial 1), hasta un volumen V2 (estado final
2), se obtiene sencillamente integrando la expresión anterior
2
11 2→ = ∫
V
VW PdV
Expresión válida tanto para trabajo de expansión como de compresión. Así, teniendo en cuenta que la
presión siempre es positiva podemos deducir que si el gas se expande, el volumen aumenta y el valor del
trabajo es positivo. En este caso el sistema es quien realiza el trabajo y transfiere energía al entorno.
Mientras que si el gas se comprime, el volumen disminuye y el valor del trabajo es negativo. Para
comprimir el gas el entorno debe realizar el trabajo entregándole energía al sistema. De esta forma el
3 En el caso de que se comprima el gas por la acción de una fuerza externa al sistema y aplicada sobre el émbolo
tendríamos un trabajo de compresión.
ds
Estado inicial (1)
P
P
V1
dV=Ads
Estado final (2)
V2
A
ds
Estado inicial (1)
P
P
V1
dV=Ads
Estado final (2)
V2
A
7
trabajo producido por el motor de un coche, turbinas hidráulicas, de vapor o de gas es positivo, mientras
que el trabajo consumido por compresores, bombas y mezcladores es negativo.
Para poder evaluar la expresión anterior será necesario conocer la relación matemática que existe entre la
presión y el volumen a lo largo del proceso que experimenta el gas, que es distinta para cada proceso4. Así
por ejemplo, si el proceso es isóbaro, la presión sería constante con lo que el trabajo sería
1 2 2 1( )W P V V→ = − . Si por el contrario el proceso fuera isócoro, 1 2 0W→ = , pues no hay variación de
volumen.
Otra forma posible de determinar el trabajo es recurriendo al significado matemático de integral
definida. Supongamos que el proceso que realiza nuestro pistón en la expansión viene dado por la
curva que aparece representada en la Figura 3. Al comenzar el proceso el pistón se encuentra en la
posición 1 y la presión es relativamente alta. Al expandirse hasta la posición 2 la presión disminuye y
el volumen aumenta.
Figura 3
Un diferencial de trabajo Wδ quedaría expresado como el área encerrada por el rectángulo de altura P
y base dV. Si sumamos el área de todos los rectángulos desde el estado 1 al estado 2 obtendremos el
valor del trabajo total. Es decir, el área bajo la curva que describe el proceso en un diagrama P-V
coincide numéricamente con el trabajo.
Si para ir desde el estado 1 al 2 el sistema sigue trayectorias diferentes (por ejemplo las trayectorias A
4 Además, este proceso debe ser cuasiestático, que es sinónimo de proceso realizado lentamente, de manera que
todos los estados por los que pasa el sistema sean estados de equilibrio, pues en caso contrario encontraríamos,
por ejemplo, presiones diferentes cerca del pistón y en puntos alejados de éste.
V1 V2
Estado final
V1
V2Volumen
Presión
dV
2
Trayectoria del proceso
P1
P2
dW=PdV
1
Estado inicial
P
V1 V2
Estado final
V1
V2Volumen
Presión
dV
2
Trayectoria del proceso
P1
P2
dW=PdV
1
Estado inicial
V1 V2
Estado final
V1 V2
Estado final
V1
V2Volumen
Presión
dV
2
Trayectoria del proceso
P1
P2
dW=PdV
1
Estado inicial
P
8
y B de la figura 4), podemos observar que el área encerrada por cada curva es diferente. El trabajo
realizado por el sistema para ir desde el estado 1 al 2 es mayor por la trayectoria A que por la B, pues
el área encerrada por la curva A es mayor. El trabajo depende entonces de cómo se ha llegado desde
un estado hasta el otro. Por esta razón el trabajo W no es una función de estado como la energía interna
U, sino que es una función de proceso5.
Figura 4
Carece de sentido hablar del trabajo de un sistema. El trabajo no es una característica de un sistema
como puede ser la temperatura, la presión o el volumen. Sólo tiene sentido hablar de trabajo como la
energía que se pone en juego entre el sistema y el entorno en un proceso que va acompañado de un
cambio en el volumen del sistema. Analicemos seguidamente un ejemplo para comprobar que el
trabajo es una función de proceso.
5 Esta diferencia tiene fuertes consecuencias desde un punto de vista matemático. Para dejar constancia de las
mismas, a la variación infinitesimal de una función de proceso se le designa por Wδ , en lugar de dT.
V
2
P1
A
B
V1 V2
P1
P2
V
2
P1
A
B
V1 V2
P1
P2
9
Ejemplo 2
Sea un sistema termodinámico cuyo estado está caracterizado por las variables presión y volumen. En el
estado inicial los valores de estas variables son (2P0 , V0) y en el estado final (P0 , 2V0), tal y como se
representa en la figura 5. Calcular el trabajo realizado por el sistema al pasar del estado inicial al final
siguiendo las siguientes trayectorias indicadas en esta figura: a) i-a-f; b) i-b-f.
Figura 5
Solución.-
El trabajo de cualquiera de estos procesos lo obtendremos aplicando la expresión integral.
Observando la gráfica podemos ver que cualquiera de los dos procesos que nos han dado se puede
descomponer en la suma de otros dos procesos elementales. Por ejemplo el proceso i-a-f es un proceso
a presión constante (i-a) más un proceso a volumen constante (a-f) de manera que:
a) Para el proceso i-a-f el trabajo será a f
i a
V V
i f i a a f V VW W W PdV PdV→ → →= + = + =∫ ∫
0 ( )a
i
V
a fVP dV P V V= + = −∫
y, sustituyendo valores tendremos
0 0 0 0 02 (2 ) 2i fW P V V PV→ = − =
b) En este caso la trayectoria i-b-f está formada por un proceso a volumen constante i-b seguido de un
proceso a presión constante b-f. De acuerdo con la definición de trabajo tendremos, b f
i b
V V
i f i b b f V VW W W PdV PdV→ → →= + = + =∫ ∫
0 ( )f
b
V
f bVP dV P V V= + = −∫
y sustituyendo valores tendremos
0 0 0 0 0(2 )i fW P V V PV→ = − =
Comprobamos que el trabajo realizado por el gas por el camino i-a-f es el más grande. Este resultado
era de prever si recordamos que el trabajo es el área encerrada por la curva de la trayectoria en un
diagrama P-V.
P
V
02P
0P
02V0V
i a
fb
P
V
02P
0P
02V0V
i a
fb
P
V
02P
0P
02V0V
i a
fb
10
Para calcular el trabajo realizado en un ciclo termodinámico, recordemos primero que un ciclo era una
sucesión de procesos que devolvían al sistema a su estado inicial. Supongamos que un sistema sigue el
proceso A, que aparece representado en la figura 6(a). Este proceso lleva al sistema desde un estado
inicial i a un estado final f. Durante este proceso el sistema se expande con lo que realiza trabajo. Este
trabajo coincide con el área gris que encierra la trayectoria A. Seguidamente el sistema vuelve al
estado i a través del proceso B. En este caso, el sistema recibe trabajo del entorno pues disminuye su
volumen. El trabajo neto será la suma del trabajo para cada uno de los procesos que constituyen el
ciclo, y que coincide con el área gris encerrada por las curvas que forman el ciclo. Éste área es gris
pues el trabajo A es mayor que el B, y su signo es positivo. Es decir, si el ciclo se recorre en sentido de
las manecillas del reloj el trabajo neto del ciclo es positivo. El ciclo seguido por los pistones de un
motor de coche sigue el sentido horario por lo que el coche entrega trabajo al entorno y por ello éste se
mueve.
Figura 6
Ahora bien, ¿qué ocurre si el ciclo se sigue en sentido antihorario?. Pues bien, si nos fijamos en la
figura 6(b), comprobaremos que el trabajo neto en este caso es negativo por lo que el entorno debe
entregar un trabajo neto al sistema.
Así por ejemplo, el gas de un frigorífico realiza un ciclo en sentido antihorario y para ello es necesario
entregar trabajo al frigorífico, concretamente trabajo eléctrico al conectar el compresor del mismo a la
red eléctrica. Si el trabajo no fuera una función de proceso su variación a lo largo de un ciclo sería
cero y no podrían existir dispositivos que, funcionando de forma cíclica, produjeran trabajo (motores
A B
C
C
BA
P
P
P
P P
P
i i
i
i
i i
f f f
f f f
V V
V
V
V V
Expansión (+) Compresión (-) Trabajo neto de expansión (+)
Expansión (+) Compresión (-) Trabajo neto de compresión (-)
( )a
( )b Trabajo neto=WA+WB=Área A – Área B = Área C = WC (-)
Trabajo neto=WA+WB=Área A – Área B = Área C = WC (+)
A B
C
C
BA
P
P
P
P P
P
i i
i
i
i i
f f f
f f f
V V
V
V
V V
Expansión (+) Compresión (-) Trabajo neto de expansión (+)
Expansión (+) Compresión (-) Trabajo neto de compresión (-)
( )a
( )b Trabajo neto=WA+WB=Área A – Área B = Área C = WC (-)
Trabajo neto=WA+WB=Área A – Área B = Área C = WC (+)
11
de automóviles, centrales eléctricas, etc).
4. CALOR
Vamos a analizar otro tipo de interacción que puede tener lugar entre un sistema y su entorno (fig. 7).
Muchas veces habrás observado cómo un vaso de leche que acabamos de calentar en un microondas
acaba por enfriarse o bien como unos cubitos de hielo que hemos sacado del frigorífico se calientan
transcurrido un tiempo determinado y se acaban convirtiendo en agua líquida. Si hablamos en
términos termodinámicos, podemos decir que la temperatura, tanto de la leche como de los cubitos de
hielo (sistemas termodinámicos), se ha modificado hasta alcanzar la misma temperatura que el
ambiente, es decir, hasta llegar al equilibrio térmico.
Pues bien, la temperatura cambia porque se ha producido una transferencia de energía entre el sistema
y su entorno. La leche ha perdido energía y se la ha entregado al entorno, mientras que el hielo ha
ganado energía que provenía del entorno (fig.7). Pues bien, este tipo de interacción energética, que
tiene lugar siempre y cuando haya una diferencia de temperatura entre el sistema y su entorno recibe el
nombre de calor6. Como energía en transferencia que es, el calor tendrá como unidad el julio7. El calor
lo identificaremos con la letra Q. En cuanto al criterio de signos indicar que el calor será positivo si lo
recibe el sistema y será negativo si lo cede.
Una vez que se alcanza el equilibrio térmico, deja de transferirse energía en forma de calor. La energía
transferida como calor se produce siempre desde el sistema que está a mayor temperatura hacia el que
está a menor temperatura.
Figura 7
6 Este calor se denomina calor sensible para diferenciarlo del que se transfiere durante un cambio de fase que se
denomina calor latente.
7 En la práctica también se emplea la caloría (1 cal = 4,18 J) y la kilocaloría (1kcal=103cal).
Q Q
leche caliente(sistema)
aire(entorno)
( ) sistema entornoa T T>
cubitos de hielo(sistema)
( ) sistema entornob T T<
QQ QQ
leche caliente(sistema)
aire(entorno)
( ) sistema entornoa T T>
cubitos de hielo(sistema)
( ) sistema entornob T T<
12
Si no existe un proceso no puede haber calor. Un sistema puede evolucionar desde un estado inicial a
otro final por dos trayectorias diferentes donde el calor intercambiado no tiene porque ser el mismo. El
calor es por tanto una función de proceso y no una función de estado como la energía interna. El calor
dependerá del proceso que experimente el sistema.
Vemos como la definición termodinámica de calor es algo diferente de la idea común que se tiene de
este término. Ahora estamos en condiciones de comprobar como numerosas expresiones que se
utilizan de forma común cuando hablamos son incorrectas desde el punto de vista termodinámico.
Como el calor es energía en transferencia, al igual que ocurría con el trabajo, no tiene sentido de
hablar del calor que tiene un objeto. Los objetos contienen energía en muy diferentes formas pero no
contienen calor. Por esto, es incorrecto decir frases como “qué calor tengo”.
Existen procesos en los cuales no existe transferencia de energía en forma de calor. Estos procesos
reciben el nombre específico de procesos adiabáticos. Existen dos formas de conseguir que un
proceso sea adiabático; bien aislando el sistema del entorno a través de una pared que no permita el
paso de calor (pared aislante), o bien haciendo que la temperatura del sistema y del entorno sea la
misma durante todo el proceso, lo que impide el intercambio de calor.
En cambio, un proceso isotermo es por definición aquel proceso en el que la temperatura del sistema
permanece constante. Esto no implica que en estos procesos no exista transferencia de calor. Al
contrario, en los mismos siempre hay una absorción o cesión de calor. Sería suficiente con que la
misma cantidad de energía que recibe el sistema en forma de calor, la pierda, por ejemplo en forma de
trabajo, para que su temperatura permanezca constante.
13
Ejemplo 3
Consideremos un gas encerrado en un recipiente rígido. Una de las paredes del recipiente tiene una
resistencia eléctrica por la que circula una intensidad de corriente proveniente de una batería (fig. 8). El
resto de las paredes las suponemos adiabáticas. Durante el tiempo en el que circula corriente (proceso
termodinámico), la pared del sistema se calienta y por lo tanto la temperatura del gas aumenta. ¿Que
interacciones han tenido lugar durante este proceso, entre el sistema y su entorno, para los casos A y B?
Figura 8
Solución.-
Debemos de fijarnos en primer lugar, en la diferencia entre el caso A y el caso B. De acuerdo con el
enunciado del problema el proceso termodinámico es el calentamiento de un gas por medio de una
resistencia eléctrica. Sin embargo el análisis del problema es distinto dependiendo de donde pongamos la
frontera del sistema. Así, en el caso A el sistema está formado sólo por el gas, mientras que en el caso B
el sistema lo constituye el gas y el recipiente que lo contiene, incluyendo la resistencia.
En el caso A la resistencia calienta la pared del recipiente. Esta pared tendrá una temperatura mayor que la
del gas por lo que existirá un flujo de energía en forma de calor entre la pared y el gas. Por lo tanto es
calor lo que está atravesando la frontera en este caso. En el caso B la frontera es atravesada por la carga
eléctrica que proviene de la batería, por lo que el sistema está recibiendo energía en forma de trabajo
eléctrico.
En general, no podemos realizar un análisis termodinámico sin definir previamente donde está la frontera
del sistema.
5. CAPACIDAD CALORÍFICA Y CALOR ESPECÍFICO
Las sustancias absorben la energía de diferentes formas. Cuando una sustancia recibe energía en forma
de calor una parte de esa energía se emplea para hacer que las moléculas se trasladen con mayor
velocidad, otra parte se emplea en aumentar la rotación y la vibración de las moléculas, y el resto se
utiliza para relajar los enlaces y variar las interacciones que existen entre las moléculas. De manera
que la variación de temperatura de un sistema cuando absorbe calor depende de su estructura atómica
Frontera del sistema
Batería
I
GAS
Caso A
Frontera del sistema
Batería
I
GAS
Caso B
Frontera del sistema
Batería
I
GAS
Caso A
Frontera del sistema
Batería
I
GAS
Caso B
14
y molecular. Pues bien, de toda esa energía absorbida solamente una fracción eleva la temperatura de
la sustancia.
Para relacionar la cantidad de calor Q que intercambia un sistema con la variación de temperatura
T∆ que éste experimenta, definiremos una nueva magnitud que se conoce como capacidad calorífica
y que denotaremos por la letra C. La relación entre Q y T∆ es la siguiente:
Q C T= ∆
De esta expresión8 se deduce que la unidad de la capacidad calorífica es J/K (o J/ºC).
En los sistemas simples la capacidad calorífica y, por tanto, las capacidades térmicas específicas, son
función de dos variables termodinámicas, de manera que podemos escribir C=f(T,P) o C=f(V,T) y así
sucesivamente.
La capacidad calorífica de un sistema no sólo depende de la naturaleza del mismo sino también del
proceso que experimente. La capacidad calorífica en un proceso isobárico recibe el nombre de
capacidad calorífica a presión constante y se representa por la letra CP. De igual forma la capacidad
calorífica para un proceso isócoro se llama capacidad calorífica a volumen constante y se le asigna
el símbolo CV. En gases presentan valores diferentes de las dos capacidades caloríficas (CV., CP). En
sólidos y líquidos se cumple que P VC C C≈ ≈ .
Supongamos que aplicamos una llama a un recipiente que contiene 1 litro de agua y que su
temperatura se eleva 10ºC. ¿Cuánto aumentará la temperatura de 2 litros de agua si se añade la misma
cantidad de calor? Parece lógico concluir que la respuesta es 5ºC. La capacidad calorífica será
diferente para distintas cantidades de una misma sustancia. Como la masa de la sustancia es un factor
importante a la hora de describir el cambio de temperatura debido a la adición o eliminación de calor,
parece interesante definir la capacidad calorífica por unidad de masa, o lo que es lo mismo, el calor
específico (ce), como:
e
Cc
m=
donde m es la masa de la sustancia. La unidad del calor específico es J/kgK. De las dos expresiones
anteriores podemos deducir que
eQ mc T= ∆
Este calor como ya hemos mencionado se denomina calor sensible, y representa el calor
intercambiado en un proceso como consecuencia de una variación de temperatura en el sistema. El
calor necesario para realizar un cambio de fase es proporcional a la masa de la sustancia y se calcula
mediante la expresión
cambio de faseQ mL=
donde L es el calor latente de cambio de fase. Estos procesos son procesos a temperatura constante.
8 En el caso que C no pueda considerarse constante o aproximadamente constante en el intervalo de temperaturas
del proceso, debemos utilizar la expresión diferencial Q C dTδ =
15
El calor específico podría definirse como el calor necesario para elevar en 1 K (ó 1oC) la temperatura
de una masa unidad de material. Cuanto mayor sea el calor específico más calor hay que añadir para
elevar la temperatura de un cuerpo un número determinado de grados. Una de las sustancias con
mayor calor específico que existe es el agua. Gracias a esta propiedad el agua se emplea como agente
refrigerante para enfriar los motores de coches y de otras máquinas, así como para almacenar energía
en sistemas de calentamiento (calefacción central, paneles solares). El agua es capaz de recibir mucho
calor del motor sin que su temperatura se vea modificada de forma importante. Igualmente, el agua
caliente puede perder mucho calor en los radiadores sin que su temperatura baje considerablemente.
6. PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA
Hasta ahora hemos comprobado cómo un sistema cerrado puede intercambiar energía en forma de
trabajo y/o de calor, y que la energía total de un sistema se compone de la suma de las energías
macroscópicas más la energía interna.
Muchas veces habrás escuchado que la energía ni se crea ni se destruye sino que sólo se transforma.
La aplicación de este principio de conservación de la energía a procesos en los cuales hay una
transferencia de energía en forma de calor o de trabajo entre el sistema y su entorno se conoce como
Primer Principio de la Termodinámica9. Este principio podemos considerarlo como la versión
termodinámica del principio general de conservación de la energía.
En la mayoría de los sistemas cerrados que nos interesan en Termodinámica no se produce ni cambio
en la velocidad ni en la altura del sistema (∆EC=0 y ∆EP=0), por ello en lo que sigue vamos a hacer los
cálculos sin considerar estas energías.
Imagínate que cogemos un recipiente cerrado que contiene gas y lo colocamos sobre una estufa. El gas
comenzará a recibir energía en forma de calor y como consecuencia aumenta su temperatura. Al
aumentar ésta, las moléculas comenzarán a moverse más rápidamente con lo que la energía interna se
incrementará. Si el recipiente no pierde energía, al aplicar el principio de conservación de la energía
podemos escribir:
U Q∆ =
9 El Primer Principio no puede demostrarse, su validez descansa en el hecho de que hasta ahora no se ha
descubierto ningún proceso en el que se viole esta ley.
Sistema
U∆Q>0Q>0 W>0W>0
W<0Q<0
Entorno
16
Figura 9
Según esta expresión y teniendo en cuenta el criterio de signos adoptado (fig.9), comprobamos que si
un sistema gana calor (Q es positivo) se produce un incremento en la energía interna del sistema (∆U
es positivo). Por el contrario si el sistema pierde energía en forma de calor (Q es negativo) se produce
una disminución en la energía interna del sistema (∆U es negativo).
Supongamos ahora que tenemos un cilindro con un pistón aislados adiabáticamente del exterior. Si la
presión del gas dentro del cilindro es mayor a la exterior, éste se expande realizando un trabajo como
consecuencia del desplazamiento del pistón. Este trabajo, como energía que es, la pierde el sistema y
la gana el entorno. En efecto, al disminuir la presión del gas las moléculas están más separadas unas de
otras con lo que la energía interna disminuye. Si de nuevo aplicamos el principio de conservación de la
energía podemos escribir:
U W∆ = −
El signo negativo lo introducimos para que los resultados estén de acuerdo con el criterio de signos
que hemos adoptado para el trabajo (fig.9). Así, si el sistema recibe trabajo (W es negativo) el valor de
∆U es positivo, es decir, aumenta la energía interna del sistema. Por el contrario si el sistema realiza
trabajo (W es positivo) el valor de ∆U es negativo con lo que la energía interna del sistema disminuye.
Si un sistema recibe, por ejemplo, 12 kJ de energía en forma de trabajo y por otra parte pierde 5 kJ de
energía en forma de calor, su energía interna habrá aumentado en 7 kJ. Es decir, si tenemos ambas
contribuciones, calor y trabajo, lo único que hay que hacer es sumarlas:
∆∆∆∆U = Q – W
Pues bien, esta ecuación que acabamos de deducir a partir de algunos ejemplos es la expresión10
matemática del Primer Principio de la Termodinámica que dice que el cambio de la energía interna de
un sistema coincide con el intercambio total de energía (a través de la frontera), como calor y trabajo
con el entorno. Esta ecuación es válida sólo para sistemas cerrados (sin flujo de masa) y que permite
calcular variaciones de U entre dos estados.
La expresión del Primer Principio para un sistema cerrado la podemos expresar en forma diferencial,
lo que permite calcular variaciones infinitesimales de las variables implicadas,
dU Q Wδ δ= −
En forma diferencial se escribe como
10 En otros textos podemos ver el Primer Principio expresado como:U Q W∆ = + . Esto se deriva de utilizar otro
criterio de signos para W, donde se considera positivo (W>0) el trabajo contra el sistema, y negativo si el trabajo
lo realiza el sistema contra el entorno (W<0).
17
PdVdUWdUQ +=+= δδ
Aunque el trabajo en esta expresión es el trabajo de compresión-expansión, una formulación mas
general del primer principio permite incluir en este término otros tipos de trabajo, como por ejemplo,
eléctrico, elástico, etc. en cuyo caso hablaremos de trabajo total del sistema WT. Si además
consideramos que intervienen las energías macroscópicas, podemos poner la expresión anterior en
función de la variación de energía total, esto es:
TE Q W∆ = − ó bien, C P TE E U Q W∆ + ∆ + ∆ = −
Expresión más general del Primer Principio que la enunciada anteriormente.
El balance de energía puede escribirse en forma de balance de potencia. Para ello basta dividir las
expresiones anteriores por el intervalo de tiempo ∆t, obteniendo así una expresión para la velocidad media
de cambio de energía en función de las velocidades medias de transferencias de energía durante un
intervalo de tiempo ∆t. La ecuación anterior puede escribirse de forma alternativa como:
CT PdEW dEQ dE dU
dt dt dt dt dt dt
δδ − = = + +
Expresión que se puede expresar como: . . . . . .
C PQ W d E d U d E d Eδ δ− = = + +
18
Ejemplo 4. Las experiencias de Joule
En 1850 Joule publica los resultados de unos experimentos en los que asegura que existe una relación
constante entre el trabajo desarrollado contra un sistema y el "calor ganado" por el mismo11. A través
de distintas experiencias obtiene un valor similar para la equivalencia entre estos dos parámetros. Si
queremos reproducir uno de los experimentos de Joule, tenemos que considerar un sistema
termodinámico, por ejemplo agua, dentro de un recipiente rígido de paredes adiabáticas. Fuera del
sistema tenemos un ingenio mecánico consistente en una cuerda que pasa por una polea, de la que se
cuelga un objeto de masa conocida (fig. 10) y que conectamos a unas paletas que pueden girar dentro
del sistema agua. La disminución de energía potencial que se produce fuera del sistema al descender
la masa una altura dada, se transforma en energía cinética que hace mover las paletas dentro de
nuestro sistema termodinámico. El rozamiento entre las aspas y el agua produce un incremento en la
temperatura de la misma que medimos con un termómetro. ¿Cuál es la explicación termodinámica de
esta experiencia?
Figura 10
Solución.-
Por su frontera ha habido una transferencia de trabajo12 del entorno al sistema (W<0). Puesto que Q=0,
aplicando el Primer Principio de la Termodinámica:
U W∆ = − y como 0W < , entonces 0U∆ >
Lo que nos indica que el trabajo realizado contra el sistema se ha empleado íntegramente en aumentar
la energía interna del mismo. Este aumento de la energía interna ha producido un aumento de la
temperatura del sistema, que hemos observado y medido con la ayuda de un termómetro. Lo que Joule
en su experiencia llamaba "calor ganado" es lo que en termodinámica hemos llamado variación de la
energía interna.
11 Estas experiencias son la base para establecer la equivalencia entre julios y calorías.
12 Recuerda que el sistema tiene paredes adiabáticas y por la tanto no hay cesión de calor al o del entorno durante
el tiempo que dura la experiencia.
Termómetro
Estado inicial
Estado final
Termómetro
Estado inicial
Estado final
19
Agua
Q=10kJ
W=4kJ
¿∆U?
frontera
Entorno
Agua
Q=10kJ
W=4kJ
¿∆U?
Agua
Q=10kJ
W=4kJ
¿∆U?
frontera
Entorno
Agua
Q=10kJ
W=4kJ
¿∆U?
Agua
Q=10kJ
W=4kJ
¿∆U?
frontera
Entorno
Agua
Q=10kJ
W=4kJ
¿∆U?
Agua
Q=10kJ
W=4kJ
¿∆U?
Ejemplo 5
Un gran depósito de agua caliente se enfría mientras es agitado por una hélice. Debido al enfriamiento el
agua pierde 10 kJ de calor y la hélice realiza un trabajo de 4 kJ. Determina la variación de la energía
interna del agua.
Solución.-
En primer lugar haremos un dibujo del sistema, situaremos la frontera que lo delimita del entorno y
mostraremos los datos (fig. 11).
Puesto que nada de masa cruza la frontera se trata de un sistema cerrado que intercambia calor y
trabajo con el entorno. Por otra parte, si el depósito no varía su altura ni se está moviendo podemos
aplicar la expresión más sencilla del Primer Principio: U Q W∆ = −
Si sustituimos los datos que nos han dado:
10 ( 4 )U kJ kJ∆ = − − −
6U kJ∆ = −
El signo del calor es negativo pues el sistema pierde calor, mientras que el signo del trabajo es
negativo pues lo realiza el entorno sobre el sistema. Vemos como la variación de energía interna es
negativa ya que el sistema pierde más energía que gana.
Figura 11
20
7. EL PRIMER PRINCIPIO EN ALGUNOS CASOS PARTICULARE S
Un proceso isócoro es aquel en el que el volumen permanece constante (V=cte). El calentamiento de
un líquido en una olla a presión es un proceso a volumen constante. De acuerdo con la definición de
trabajo esto implica que el trabajo en estos procesos es siempre cero (W=0) y el primer principio toma
la forma
U Q∆ =
Como un sistema aislado es aquel que no intercambia energía con el entorno13 su energía interna
permanecerá constante, esto es:
0AISLADOU∆ =
Los procesos cíclicos tienen gran importancia práctica pues son el fundamento de las máquinas
térmicas. En un proceso cíclico el estado inicial y el final coinciden y como la energía interna es un
función de estado tendremos que 0U∆ = . Así pues:
Q W=
O lo que es lo mismo, de forma integral14:
Q Wδ δ=∫ ∫� �
Según este resultado el calor neto intercambiado entre el sistema y su entorno debe coincidir con el
trabajo neto.
Según el Primer Principio cuando un gas se expansiona adiabáticamente (Q=0) realiza trabajo sobre el
entorno y disminuye su energía interna, lo que hace que descienda su temperatura. En efecto, si Q=0,
entonces ∆U=-W y como W<0, entonces ∆U<0. Este resultado se puede comprobar si soplas
rápidamente en tu mano con los labios un poco cerrados de tal forma que el aire se expanda al salir de
tu boca. El proceso ocurre tan rápidamente que se puede considerar adiabático. El aire que soplas en
estas condiciones está mucho más frío que cuando soplas con la boca abierta y el aire sale sin
expandirse.
13 En el caso más general la energía total permanecerá constante 0AISLADOE∆ = . Este resultado implica que el
sistema aislado sólo puede estar en estados cuya energía coincida con la del estado inicial.
14 La integral con el circulo nos indica que la integración se realiza a lo largo de una línea cerrada, es decir, a lo
largo del todo el ciclo.
21
Ejemplo 6
En un cilindro se comprime un gas desde una presión inicial de 95 kPa hasta una presión final de 320
kPa de forma que durante todo el proceso el producto de la presión por el volumen permanece constante.
El volumen inicial era de 0.05 m3. Durante la compresión se elimina calor del gas en una cantidad de 3
kJ. Calcula el cambio de energía interna que experimenta el sistema.
Solución.-
Podemos obtener el cambio de energía interna aplicando la expresión del Primer Principio pero
previamente es necesario calcular el trabajo ya que el calor lo conocemos.
El trabajo, como sabemos, viene dado por la expresión: 2
1
V
VW PdV= ∫
Necesitamos conocer la relación que existe entre la presión y el volumen a lo largo del proceso. Dicha
relación, según el enunciado, es PV= constante. Si a la constante le asignamos el símbolo K podemos
poner: 2
1
2
1
lnV
V
K VW dV K
V V= =∫
El valor de la constante K se puede calcular con la pareja de valores de presión y volumen iniciales:
3 395 0.05 4.75K kPa x m kPa m= = ⋅
Por otra parte el valor del volumen final será: 3
32
2
4.750.015
320
K kPa mV m
P kPa
⋅= = =
Finalmente tenemos que el trabajo vale: 3
33
0.0154.75 ln 5.72
0.05
mW kPa m kJ
m= ⋅ = − 15
Como era de esperar el trabajo ha dado negativo pues corresponde a una compresión donde es el
entorno el que realiza el trabajo. Aplicando ahora el Primer Principio y teniendo en cuenta que el signo
del calor es negativo, ya que es un calor que pierde el sistema, podemos calcular la variación de
energía interna del sistema durante este proceso: 3 ( 5.72) 2.72U kJ∆ = − − − =
15 3 3 3 3 3 3 32
1 10 10 10 10 1N
kPa m Pa m m N m J kJm
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = =
22
8. APLICACIÓN DEL PRIMER PRINCIPIO A GASES IDEALES
En 1834, James Prescott Joule realizó una serie de experiencias que le llegaron a concluir que la energía interna de un gas ideal es función sólo de la temperatura. Este hecho es conocido como Ley de Joule. Cuando se añade calor a un gas ideal a volumen constante, este no realiza trabajo, de modo que de acuerdo al primer principio y a la definición de capacidad calorífica, obtenemos
V VQ C dT=
VU Q∆ =
Tomando el límite cuando T∆ tiende a cero VdU C dT= , obtenemos
V
dUC
dT=
Así pues, la capacidad calorífica a volumen constante en un gas ideal es igual a la variación de la energía interna con la temperatura. Podemos calcular la diferencia p VC C− para un gas ideal.
A partir del primer principio, si designamos QP al calor añadido a presión constante
P PU Q W Q PdV∆ = − = −
P PU Q W C dT PdV∆ = − = −
Utilizando la expresión anterior para la energía interna, obtenemos
V PC dT C dT PdV= −
Si tenemos en cuenta la ecuación de estado PV nRT= PdV nRdT=
V PC dT C dT nRdT= −
de done se obtiene que
P VC C nR= −
Ecuación que muestra que, en un gas ideal, la capacidad calorífica a presión constante es mayor que a volumen constante en una cantidad nR.
Para algunos gases la capacidad térmica específica varia linealmente con la temperatura a lo largo de
pequeños intervalos de temperatura. En estos casos se suele tomar la capacidad térmica media para ese
intervalo de temperaturas. Incluso en ocasiones se puede considerar que la capacidad térmica calorífica es
constante en todo el intervalo de temperatura del proceso. En estos casos, el valor que adopta el calor
especifico es función de la naturaleza del gas. A través de la teoría cinética de los gases así como por
medio de la mecánica cuántica sabemos que:
Para gases monoatómicos: He, Ne, A, etc. • CV ≈ 3/2 nR • CP ≈ 5/2 nR • γ ≈ 5/3 • La integración de las expresiones (4.15) y (4.16) es inmediata, obteniéndose que ∆u=3r∆T/2 y
∆h=5r∆T/2.
23
Para gases diatómicos: H2, O2, N2, NO y CO, • CV ≈ 5/2 nR • CP ≈ 7/2 nR • γ ≈ 7/5 • La integración de las expresiones (4.15) y (4.16) es inmediata, obteniéndose que ∆u=5r∆T/2 y
∆h=7r∆T/2.
Para gases poliatómicos o químicamente activos (CO2, NH3, CH4, Cl2, Br2) el valor de CP, CV y
CP /CV varían con la temperatura (concretamente aumentan con la temperatura), siendo diferente la
variación para cada gas.
24
8. CONCEPTO DE ENTALPÍA Vamos a definir una nueva variable termodinámica de la siguiente forma
H U PV= +
A esta variable H se le llama entalpía.
Recordando el primer principio en forma diferencial, podemos deducir que la ecuación que nos da la
forma diferencial de la entalpía específica es:
dH Q VdPδ= +
La entalpía tiene dimensiones de energía y comprobaremos su utilidad en el estudio del primer principio
para los sistemas abiertos. La entalpía no es una magnitud mensurable directamente, pero puede
relacionarse con magnitudes que sí lo son. La entalpía es una función de estado. En un sistema simple la
función entalpía puede expresarse en función de dos variables independientes cualesquiera. Si la
expresamos, por ejemplo, en función de la temperatura y la presión obtenemos que H=f(T,P). Para un proceso a presión constante dP=0 y de acuerdo con el primer principio de la termodinámica d
dH Qδ= Es decir, en los procesos a presión constante la entalpía representa el calor intercambiado en el proceso.
La entalpía va a ser importante en la evaluación energética de los sistemas abiertos ya que al sumar el
producto de PV a la energía interna, estamos definiendo una nueva energía (entalpía) que incluye la
energía que posee un fluido en movimiento. De manera que la energía total en estos sistemas pasa a ser la
entalpía y no la energía interna. La entalpía por tanto, se mide también en Julios.
9. PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA PARA SISTEM AS ABIERTOS
Hasta ahora, todo lo que hemos deducido referente al primer principio de la termodinámica ha sido
para sistemas cerrados. Pensemos ahora en un sistema donde hay un flujo de masa, es decir, en un sistema
abierto. En realidad son este tipo de sistemas los que tienen mayor importancia desde el punto de vista
técnico, basta pensar en una máquina de vapor, el motor de un automóvil, una turbina, etc.
En muchos procesos en la ingeniería los sistemas se comportan razonablemente bien si hacemos las
hipótesis de estado estacionario. Como ya sabemos, el estado estacionario supone que todas las
propiedades son invariables con el tiempo. En nuestro caso significa que la cantidad total de materia
presente en cualquier instante es siempre la misma, aunque exista un flujo de materia a la entrada y a la
salida. De acuerdo con esto, el principio de conservación de la masa puede escribirse como
e s
entrada salida
m m m= =∑ ∑ɺ ɺ ɺ
25
ecuación que nos dice que los flujos de materia a la entrada y a la salida son iguales.
Como ejemplo de sistemas abiertos que se comportan con bastante exactitud como estado estacionario,
una vez pasado el periodo transitorio del arranque, tenemos: las turbinas, las bombas, las calderas,
condensadores e intercambiadores de calor.
Una vez definido el principio de conservación de la masa, vamos a realizar el cálculo del balance
energético de un sistema abierto en régimen estacionario. Las condiciones de estado estacionario se
resumen en las siguientes:
• La masa de fluido por unidad de tiempo permanece constante, es decir, la que entra es igual a la
que sale. • El estado y la velocidad del fluido son constantes en el tiempo para cada punto interior del
sistema. • El sistema intercambia calor y trabajo con el exterior de una manera constante.
Figura 12 . Primer principio de la Termodinámica para un sistema abierto
Aplicando el principio general de conservación de la energía, se ha de cumplir que la diferencia
entre la energía añadida al sistema a la entrada y la energía cedida por el sistema a la salida sea igual al
incremento de energía mecánica (∆Em) más el incremento de energía interna del fluido:
12m21 UUEEE −+=− ∆
Esta ecuación se escribe como
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 2 2 1 2 1 2 1
1
2m q Pv m w P v m c c mg z z m u u+ − + = − + − + −
donde c es la velocidad y z la cota en cada punto y u1 y u2 son la energía interna específica del fluido a la
entrada y a la salida, respectivamente.
Dividiendo la expresión anterior por m y ordenando los términos, tenemos:
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 1 1 1 2 1 2 1
1
2q w u P v u Pv c c g z z= + + − + + − + −
Sistema
Fluido en rég imen estacionario
Q
W1FFluido
Fluido2F
1 1 1V A x= 1
2 2 2 2V A x=
2z1z
Plano de referencia
Sistema
Fluido en rég imen estacionario
Q
W1FFluido
Fluido2F
1 1 1V A x= 1
2 2 2 2V A x=
2z1z
Plano de referencia
26
y recordando la definición de entalpía específica resulta:
( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 1
1
2q w h h c c g z z= + − + − + −
ecuación que se denomina ecuación energética del fluido estacionario y que nos dice que el calor
suministrado a una corriente fluida permanente se emplea en trabajo exterior, aumento de la entalpía y
aumento de la energía mecánica del propio fluido. Esta expresión suele conocerse como Primer Principio
de la Termodinámica referido a un sistema abierto, en estado estacionario. En la expresión (3.77), la
unidad de las magnitudes q, w y h son J/kg. La unidad de la velocidad al cuadrado, c2, es m2/s2 que
equivale a J/kg. Lo mismo ocurre con el producto gz.
En muchas ocasiones es conveniente expresar la ecuación anterior en función del flujo de masa mɺ . Para
este fin recordemos que Qɺ es la variación de calor por la frontera del sistema respecto al tiempo, Q
Qt
=∆
ɺ ,
y que Wɺ es la variación del trabajo con respecto al tiempo, W
Wt
=∆
ɺ .
Recordaremos también, que al igual que Q m q= y W m w= , de forma análoga y sin más que dividir
por t∆ obtenemos que:
Q m q=ɺ ɺ y W m w=ɺ ɺ
expresiones que nos relacionan el flujo de calor y trabajo respecto al tiempo con el flujo de masa a través
de la frontera del sistema.
Si multiplicamos la ecuación anterior por mɺ obtenemos que:
( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 1
1
2m q m w m h h c c g z z
− = − + − + − ɺ ɺ ɺ
con lo que nos queda que:
( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 1
1
2Q W m h h c c g z z
− = − + − + − ɺ ɺ ɺ