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Introducción

UN POLÍGONO CON PROPIEDADES ESPECIALES

Aplicación del primer teorema de Tales

1. Después de ver la animación, dibuja el diagrama con los datos expuestos del problema de Carlos y Susana. Luego, responde las preguntas.

a) ¿Cómo son las figuras que se forman entre las alturas y las sombras respectivamente____________________________________________________________________________________________________

b) ¿Cómo son los rayos del Sol? ____________________________________________________________________________________________________

2. Observa atentamente las figuras que Carlos construyó en su clase de arte. Luego, responde las preguntas.

2

1. Lee con atención el primer teorema de Tales. Explícalo con tus palabras, haz un dibujo que apoye tu explicación y socialízalo con tus compañeros.

Conozcamos los teoremas de Tales

Actividad 1

a) ¿Qué figuras formó Carlos? ____________________________________________________________________________________________________

b) ¿Qué tienen en común todas estas figuras? ____________________________________________________________________________________________________

c) ¿Los triángulos que están dentro de las circunferencias son iguales? Justifica tu respuesta

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

Estudiar las características del triángulo en la semejanza.

Solucionar problemas de semejanza a través del primer teorema de Tales.

Objetivos de aprendizaje

Primer teorema de Tales: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Explicación: Dibujo de apoyo:

3

2. Construye con una regla los triángulos que forman las alturas y las sombras del árbol y de la persona, respectivamente. Luego, repisa con diferentes colores los lados paralelos en los triángulos.

3. Completa la proporcionalidad entre los lados respectivos de los triángulos.

4. Soluciona el problema reemplazando los datos conocidos y hallando la altura de la persona.

5. Completa las proporciones que determina el primer teorema de Tales de acuerdo al siguiente diagrama. Luego, descríbelo con tus palabras.

32m 2.10m

x

15m

32m 2.10m

x

15m

A

B

C

Altura de la persona=

=

=

X =

Sombra del árbol

La altura de la persona es metros.

Como dos de sus lados son paralelos, sus lados correspondientes son proporcionales.

4

Descripción:

6. Lee con atención el segundo teorema de Tales. Explícalo con tus palabras, haz un dibujo que apoye tu explicación y socialízalo con tus compañeros.

7. Observa los dibujos que Carlos hizo en su clase de arte, las gráficas representan el segundo teorema de Tales.

A partir de sus características, completa las frases.

Segundo teorema de Tales: Sea B un punto cualquiera de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C, entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo.

Explicación: Dibujo de apoyo:

AO

C

B

AO

C

B

AO

C

B

AO

C

B

AO C

B

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8. Compara los dos teoremas de Tales y completa la siguiente tabla.

9. Resuelve el siguiente problema aplicando el primer teorema de Tales, realiza un dibujo representativo, y finalmente socializa los resultados con tus compañeros.

¿Qué altura tiene un faro que se encuentra a 25,42 m del borde de la playa, si se sabe que a 9,3 m del mismo borde hay una casa cuya altura es de 7 m?

• Sea B un punto ________________________________ de la circunferencia de ___________________________________ AC, distinto de A y de C, entonces el ___________________________ ABC, es un triángulo _______________________.

• El ______________________ ABC siempre es constante y _________________, es decir mide 90°.

Representación gráficadel teorema

Teorema Diferencias

Primer teorema de Tales: Si en un triángulo se traza una línea paralela a

cualquiera de sus lados, se obtiene untriángulo que es semejante al triángulo dado.

Segundo teorema de Tales: Sea B un punto cualquiera de la circunferencia

de diámetro AC, distinto de A y de C,entonces el triángulo ABC, es un

triángulo rectángulo

AO

C

B

A

B

C

Solución:

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1. Observa la aplicación del primer teorema de Tales para dividir el segmento AB en partes iguales. Practica el proceso trazando un segmento y dividiéndolo en cuatro partes iguales.

Apliquemos el teorema de Tales para dividir segmentos

Actividad 2

Se traza una semirecta r desde el extremo A del segmento, con inclinación cualquiera.

Con ayuda de un compás o una regla, sobre la semirecta r se marca a partir de su origen 4 segmentos iguales, de la longitud que queramos.

El último corte de la división lo llamamos M y trazamos la recta MB.

Trazamos rectas paralelas a la recta MB que pasen por las divisiones marcadas en r.

PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

r

A B

s

F G

r

B

M

A

r

B

M

A

7

De acuerdo con el teorema de Tales, los segmentos en los que ha quedado dividido el segmento AB son proporcionales a los que se han dibujado sobre r.

r

B

M

A

Practica:

8

2. Practica la aplicación del teorema de Tales dividiendo un segmento cualquiera en 3 y 5 partes iguales.

a) División de un segmento en 3 partes iguales:

b) División de un segmento en 5 partes iguales:

9

3. Veamos otro ejemplo. Observa la aplicación del primer teorema de Tales para dividir el segmento FG en partes proporcionales. Practica el proceso trazando un segmento y dividiéndolo en tres partes proporcionales.

Se traza una semirecta s desde el extremo F del segmento, con inclinación cualquiera.

Con ayuda de un compás o una regla, sobre la recta auxiliar s se marca 3 segmentos, de manera que el segundo sea el triple del primero y el tercero sea el doble que el primero.

El último corte de la división lo llamamos M y trazamos la recta MG.

Trazamos rectas paralelas a la recta MG que pasen por las divisiones marcadas en s.

PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

s

F G

s

F G

s

F G

s

F G

10

De acuerdo con el teorema de Tales, los segmentos en los que ha quedado dividido el segmento FG son proporcionales a los que se han dibujado sobre s.

s

F G

M

Practica:

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4. Practica la aplicación del teorema de Tales para dividir un segmento cualquiera así:

a) Segmento dividido en tres partes: 2 cm, 4 cm y, 3 cm.

b) Segmento dividido en cuatro partes: 1 cm, 3 cm, 5 cm y 1 cm.

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El teorema de Tales es útil para determinar distancias que no se pueden medir de forma directa. Observa el siguiente ejemplo:

Midamos distancias con el teorema de Tales

Actividad 3

Calcular la altura de un edificio, sabiendo que su sombra mide 14,4 m y que, en ese mismo instante, un poste vertical de 3 m proyecta una sombra de 2,4 m.

Para resolver un problema matemático, suele resultar útil representar con un dibujo la situación, incluyendo todos los datos, tanto los que se conocen como los que no.

Observemos la disposición de los triángulos que forman el edificio y el poste con sus respectivas sombras.

Como los segmentos que forman los triángulos son paralelos entre sí, podemos utilizar el teorema de Tales para hallar la altura del edificio sabiendo la altura del poste.

Los dos triángulos son semejantes y sus lados correspondientes son proporcionales. Aplicando el teorema de Tales, tenemos:

Altura del edificio: h

Altura del poste: 3m

Sombra del poste: 2,4mSombra del edificio: 14,4m

14,4m

h

3m

2,4m

Altura del edificio

h

Altura del poste

3

=

=

Sombra del poste

2,4

Sombra del edificio

14,4

Altura del edificio: hSombra del edificio: 14,4mAltura del poste: 3mSombra del poste: 2,4m

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1. Resuelve el siguiente problema aplicando el teorema de Tales.

Altura de la escalera:

Apertura de la escalera en su base:

Altura de la escalera hasta el segundo escalón:

Apertura de la escalera en el segundo escalón:

La altura del edificio es 18 m

Solucionando:

Respuesta

h

h

h

h

h

3 =

=

=

=

=

2,4

3∙ 14,4

43,2

14,4

2,4

2,418

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La figura muestra las escaleras que usa Francisco para pintar las paredes de su casa. Calcula la distancia de apertura en el segundo escalón, teniendo en cuanta los datos que se muestran.

a

10m

4m 5m

a

Datos

Altura del edificio: hSombra del edificio: 14,4mAltura del poste: 3mSombra del poste: 2,4m

14

=

a =

Aplicación del teorema de Tales

Respuesta

Operaciones

La longitud de la apertura de la escalera en el segundo escalón es:

Medida del ángulo ACB:

Medida del ángulo NMO:

Medida del ángulo NMO:

En triángulos semejantes, como los trabajados con el teorema de Tales, sus ángulos internos correspondientes, son congruentes entre sí. Observa

2. Encuentra la medida de los ángulos que se indican.

A

B C N

M

X

Y ZO

A

B C N

M

X

Y ZO98° 98° 55°

55°

27° 27°

C

m

y

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1. Escribe algunas situaciones en las que consideres que se puede aplicar el teorema de Tales. Luego, socialízalas con tus compañeros y resuélvanlas.

Aplicaciones del teorema de Tales

Actividad 4

Situación Solución - Respuesta

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1. Comparen los dos teoremas de Tales y completen la siguiente tabla.

2. Propongan un problema para ser resuelto por sus compañeros aplicando el 1er teorema de Tales. Luego, socialícenlo.

3. Lean atentamente y resuelvan el siguiente problema.

Tales de Milet o y las pirámidesLa historia relatada por Plutarco, cuenta que Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza, construidas varios siglos antes, admirado ante tan maravillosos monumentos, quiso saber su altura.Se dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos.Halla la altura de la pirámide de acuerdo con los datos propuestos.

En grupos de trabajo desarrollen las siguientes actividades

Actividad 5

Representación gráficadel teorema

Teorema Diferencias

Primer teorema de Tales: Si en un triángulo se traza una línea paralela a

cualquiera de sus lados, se obtiene untriángulo que es semejante al triángulo dado.

Segundo teorema de Tales: Sea B un punto cualquiera de la circunferencia

de diámetro AC, distinto de A y de C,entonces el triángulo ABC, es un

triángulo rectángulo

AO

C

B

A

B

C

Representación gráficadel teorema

Teorema

Primer teorema de Tales: Si en un triángulo se traza una línea paralela a

cualquiera de sus lados, se obtiene untriángulo que es semejante al triángulo dado.

A

B

C

Problema

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# Teorema de Tales de Mileto Dibujo

1

2

2m

h

2.87m 200m

1. Escribe con tus palabras los teoremas de Tales. Luego, realiza un dibujo representativo y socialízalo con tus compañeros.

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2. Compara tus definiciones con las propuestas a continuación.

3. Sigue los pasos sugeridos en la Actividad 2, para dividir los siguientes segmentos. Luego, socializa los resultados con tus compañeros.

a. Segmento de 6 cm dividido en 4 partes iguales. b. Segmento de 9 cm dividido en 5 partes iguales. c. Segmento de 15 cm dividido así: un segmento de 4 cm, un segmento el doble del primero y el tercer segmento del sobrante.

Representación gráficadel teorema

Teorema

Primer teorema de Tales: Si en un triángulo se traza una línea paralela a

cualquiera de sus lados, se obtiene untriángulo que es semejante al triángulo dado.

Segundo teorema de Tales: Sea B un punto cualquiera de la circunferencia

de diámetro AC, distinto de A y de C,entonces el triángulo ABC, es un

triángulo rectángulo

AO

C

B

A

B

C

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4. Utiliza el siguiente diagrama y los datos propuestos para escribir un problema que se solucione aplicando el teorema de Tales. Luego, socialízalo y soluciónalo con tus compañeros.

¿?34m

25m

72m

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Problema Solución

5. Escribe algunas situaciones de tu entorno en las que se pueda aplicar el teorema de Tales.

Situación

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Problema Solución

1. Utiliza los siguientes diagramas y los datos propuestos en cada uno, para escribir dos problemas que se solucionen aplicando el teorema de Tales.

2m

21m3m

¿?

A

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Problema Solución

2,7m 451,5m

1,8m

¿?

B