introducción a la teoría de los códigos cuánticos de

Introducción a la Teoría de los CódigosCuánticos de Corrección de Errores.

Juan Camilo Reyes G

Tesis de pregrado de matemáticasen la Universidad de los Andes

Asesor: César GalindoCo-asesor: Paul Bressler

2019

Resumen

Este trabajo incluye las nociones y teoremas básicos de la teoría de códigos cuán-ticos de corrección de errores y su relación con códigos (clásicos) binarios lineales. Eltrabajo está dividido en cuatro partes. La primera, se trata de las definiciones y resul-tados de códigos lineales necesarios para ver su relación con códigos cuánticos másadelante. Después, se presentan los axiomas de la mecánica cuántica en el caso fini-to dimensional. La tercera parte, y una de las más importantes, presenta la definiciónde Knill-Laflamme de un código cuántico de corrección de errores. Además, se incluyeuna demostración de uno de los principales resultados de la teoría de corrección de erro-res, el así llamado Teorema de Knill-Laflamme. Este teorema proporciona condicionesnecesarias y suficientes para determinar las correcciones de errores que el código cuán-tico puede realizar. Finalmente, en el último capítulo, se muestra cómo con la ayuda decódigos binarios clásicos podemos construir códigos cuánticos que corrigen errores deinversión de bit y vuelta de bit.

II Resumen

Reconocimientos

Quiero agradecer a mi asesor de tesis, el profesor César Galindo, por toda su ayuda,guía y apoyo con el trabajo. También, quiero agradecer al profesor Paul Bressler porser mi co-asesor en mi proyecto de grado. Además, quiero agradecer a Diego ArturoRomero Fonseca, por explicar y compartir los cálculos del Ejemplo 4.2.1. Por últimoquiero agradecer a mi familia, Juan Manuel, Vicky, Juan David y Daniela, por apoyarmea lo largo de mi carrera de pregrado.

IV Resumen

Índice general

Resumen I

1. Introducción 1

2. Códigos binarios lineales 32.1. Matriz generadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Modelo del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3. Decodificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Síndrome del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5. Ejemplos de códigos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Marco cuántico 113.1. Notación de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2. Postulados de Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1. Estados de un sistema cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2. Evolución del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.3. Medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Códigos de corrección de errores 194.1. Súper-operadores como canales cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. Códigos cuánticos correctores de errores y la condición de Knill-

Laflamme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5. De Códigos Clásicos a Códigos Cuánticos 275.1. Errores locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2. De códigos binarios clásicos a códigos cuánticos . . . . . . . . . . . . 29

A. Notación 35

B. Álgebra Lineal 37

VI ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Introducción

La mecánica cuántica es importante ya que permite explicar el funcionamien-to del mundo a escala atómica en el marco de un entorno matemático y conceptual deldesarrollo de las leyes físicas. Del mismo modo, con el uso de qubits (bits cuánticos), lacomputación cuántica puede llegar a ser muy útil para solucionar en minutos, o inclusosegundos, cálculos que pueden durar muchos años en resolverse con computación clá-sica. Una de las áreas de interés en este trabajo, que relaciona la mecánica cuántica conla computación cuántica a través de las matemáticas, es la teoría de códigos cuánticosde corrección de errores.

Siguiendo este orden de ideas, debería ser posible crear un computador cuántico quepudiera simular cualquier sistema físico y así ser una herramienta útil de investigación.De este modo, en este trabajo de tesis de pregrado se estudian los códigos cuánticos decorrección de error, ya que estos son esenciales para la construcción de un computadorcuántico.

La corrección de errores es un elemento clave en la teoría de información clásicaque surge en problemas de comunicación o almacenamiento de información en la pre-sencia de ruido. Este ruido altera la información en cierto grado y ahí es donde surgenlos errores. Estos se pueden corregir usando algoritmos para que la comunicación yalmacenamiento de información sean viables. De forma análoga, existe la correcciónde errores en la teoría de información cuántica. Esta surge a la par de la correcciónde errores para computación clásica y está directamente relacionada con ella. Por estarazón, los códigos binarios lineales son un tema esencial a discutir.

Ahora, la corrección cuántica de errores es de gran importancia debido a que encomputación cuántica hay una significante falta de precisión. Esto hace que en lacomputación cuántica sea indispensable el uso de métodos de corrección de error, porlo tanto, el tema principal de este proyecto de grado son los códigos cuánticos correc-tores de error.

En conclusión, como el título lo dice, este trabajo es una introducción matemáti-ca a la teoría de códigos cuánticos de corrección de errores. Además, se busca dar unentendimiento básico de lo que son los códigos binarios lineales y de los postuladosprincipales de la mecánica cuántica para finalmente construir códigos cuánticos de co-rrección de error.

2 Introducción

Capítulo 2

Códigos binarios lineales

La mayoría de este capítulo está basada en el libro de MacWilliams and Sloane(1978).

Los códigos sirven para corregir errores en canales de comunicación ruidosos. Enun código binario, un bloque de k símbolos u = u1 . . .uk (donde ui = 0 o ui = 1) se co-difica con un bloque de n símbolos x = x1 . . .xn (donde xi = 0 o xi = 1) donde n ≥ k.Por ahora, nos concentraremos en el proceso que produce un código lineal para un blo-que de k símbolos codificados con bloques de longitud n.

Denotaremos por F2 = {0,1} el campo con dos elementos. El espacio de todas lasmatrices n×m con coeficientes en un cuerpo F será denotado por Mn×m(F).

Definición 2.0.1. Un código lineal de tipo [n,k] consiste de un sub-espacio linealC ⊂ Fn

2, donde dimF2(M) = k. Los elementos de C son llamados palabras código.La eficiencia del código se define como R = k

n .

Un código lineal de tipo [n,k] siempre puede ser presentado como las soluciones aun sistema homogéneo de n− k ecuaciones lineales independientes. Los coeficientesde las ecuaciones forman una matriz que suelen llamar la matriz de verificación, la cualdefinimos con mas detalle a continuación.

Definición 2.0.2. Sea H ∈Mn−k×n(F2) una matriz con nulidad k (equivalentementerango n− k). El código lineal con matriz de verificación de paridad H, consiste detodos los vectores (palabras código) x ∈ F2

n tal que

HxT = 0,

es decir, el código C es el espacio nulo de H.

Supongamos que quiero codificar un bloque de k símbolos u = u1 . . .uk.

1. Se codificará de tal manera que la primera parte de la palabra código es el men-saje, esto quiere decir que:xi = ui (para i = 1, . . . ,k).

4 Códigos binarios lineales

2. Los siguientes n−k símbolos, es decir xk+1, . . . ,xn, se llaman símbolos de verificacióny se escogen con respecto a la ecuación:

H

x1x2...

xn

= 0

donde la matriz de verificación de paridad H ∈ Mn−k×n(F2) cumple queH = [A|In−k] (Aquí In−k es la matriz identidad de tamaño n−k y A∈Mn−k×k(F2)).

En este caso se reduce la probabilidad de error por símbolo con el costo de enviarn símbolos en vez de k.

En general tomaremos H de la forma H = [A|In−k] (forma estándar) como en el casoanterior (pero no es absolutamente necesario).

2.1 Matriz generadora

Si H está en forma estándar y xi = ui (para i = 1, . . . ,k), se puede calcular la matrizque genera las palabras código x, dados los mensajes u, de la siguiente manera:

H

x1x2...

xn

= 0 (2.1.1)

[A|In−k]

x1x2...

xn

= 0 (2.1.2)

xk+1xk+2

...xn

=−A

x1x2...

xk

(2.1.3)

xk+1xk+2

...xn

=−A

u1u2...

uk

(2.1.4)

Además, como xi = ui (para i = 1, . . . ,k) entonces:x1x2...

xk

= Ik

u1u2...

uk

(2.1.5)

2.2 Modelo del error 5

Luego, de las últimas dos ecuaciones tenemos la siguiente igualdad:x1x2...

xn

=

[Ik

−A

]u1u2...

uk

Finalmente, transponiendo obtenemos que:

x = uG

donde G = [Ik|−AT ] es la matriz generadora del código.

2.2 Modelo del error

Si codificamos un mensaje u = u1 . . .uk en una palabra código x = x1 . . .xn quese manda a través de un canal, como en el canal hay ruido, recibiremos un vectory = y1 . . .yn que puede ser diferente de x. Si la probabilidad de que yi = xi es p con0 ≤ p < 1

21, definimos el vector error e como:

e = y− x,

y tenemos que ei = 0 con probabilidad 1− p y ei = 1 con probabilidad p. Es decir, elcanal le suma el vector error e a x.

Definición 2.2.1. La distancia (de Hamming) entre dos vectores x = x1 . . .xn y y =y1 . . .yn es el número de entradas donde difieren y se denota por dist(x,y).

Por ejemplo: dist(11101,01100) = 2

Definición 2.2.2. El peso ( de Hamming) de un vector x = x1 . . .xn es el número deentradas distintas de 0 y se denota por wt(x).

Por ejemplo: wt(11101) = 4

Note quedist(x,y) = wt(x− y)

De todo lo anterior deducimos que si wt(v) = a entonces

Pr(e = v) = pa(1− p)n−a

y además como p < 12 entonces 1− p > p. Podemos concluir así que es más probable

tener un vector error con menor peso que uno con mayor peso.

1En el caso que p ≥ 1/2 el canal no es apto para enviar información


Hasta ahora hemos visto que hay un mensaje u que primero se codifica en una pa-labra código x, después pasa por un canal en el que puede haber un error e que se lesuma a x para obtener y y finalmente un decodificador recibe el mensaje. Este decodi-ficador quiere estimar el mensaje, es decir, recuperar x teniendo y. Para hacer esto eldecodificador va a decodificar el y como el x en el código tal que dist(x,y) sea la mí-nima posible, es decir, como y = x+ e, donde el decodificador va a escoger el e conmenor peso posible (pues como vimos, e seria el error mas probable). Después de hacereste proceso se obtiene lo que es llamado la decodificación por el vecino más cercano.

Lo anterior motiva la noción de distancia de un código.

Definición 2.2.3. Sea C un [n,k]-código. La distancia mínima, denotada por d(C )(o simplemente d) es

d(C ) = min {dist(u,v): u,v ∈ C ,u 6= v}= min {wt(u− v): u,v ∈ C ,u 6= v}= min {wt(w) : w ∈ C ,w 6= 0}.

Así un [n,k]-código con distancia mínima d se suele llamar un [n,k,d]-código.

Con todo esto nos surge la duda de qué tan certero es aproximar al vector más cer-cano, es decir cuántos errores puede corregir un código.

Teorema 2.2.1. Un código con distancia mínima d corrige a lo mas b12(d−1)c erro-

res. Donde para un r ∈R tenemos que brc es el numero entero z más cercano a rtal que z ≤ r.

Demostración. Sea d la distancia mínima de un código. Dividiremos la prueba de-pendiendo si d es par o no:

Caso d = 2t + 1 impar. Note que si tomamos la bola de radio t alrededor decada palabra código entonces las bolas son disjuntas dos a dos. Esto quieredecir que si una palabra código u es transmitida y ocurren máximo t erroresy lo que se recibe es cierto vector y, entonces y va a estar dentro de la bolade radio t centrada en u. Es decir, que al aproximar se aproximará a u, puesla palabra código más cercana a y será u. Ahora, note que t = b1

2(d −1)c.

Caso d = 2t + 2 par. Análogamente al caso anterior, si se toman bolas deradio t estas serán disjuntas dos a dos y tendremos el resultado deseado.

Luego concluimos que un código con distancia mínima d puede corregir b12(d−1)c

errores.

Note que puede que en el canal que estemos usando ocurran más de b12(d − 1)c

errores, en ese caso el vector recibido puede que esté o no esté más cerca de la palabracódigo correcta. Esto implica que el decodificador se puede equivocar y a esto se le lla-ma error de decodificación. Todo este esquema se llama decodificación completa, pero

2.3 Decodificación 7

hay otros esquemas donde si un vector tiene más de cierta cantidad de errores, enton-ces se rechaza o se solicita una retransmisión. También puede ser que si se encuentra almenos un error se pide retransmisión hasta recibir uno que no tenga errores.

2.3 Decodificación

Sea C ⊂ Fn2 un [n,k]-código. Como es usual, dado a ∈ Fn

2 denotaremos por C +a ={a+v : v ∈ C } la clase lateral. Si {0,a1, . . . ,at} ⊂ Fn

2 es un conjunto de representantesde las clases laterales, tenemos que

Fn2 = C ∪ (a1 +C )∪ (a2 +C )∪ . . .∪ (at +C ) (*)

donde la unión es disjunta. Además, cada clase lateral tiene 2k elementos y por tantot = 2n−k −1 . Esta información es de interés en los códigos lineales por lo siguiente:

Suponga que el decodificador recibe un vector y, entonces este vector tiene que per-tenecer a alguna clase lateral ai +C luego podemos escribir y así:

y = ai + x1 para x1 ∈ C .

Ahora suponga que la palabra código transmitida era x, tenemos que el error e cumpleque

e = y− x = ai + x1 − x = ai + x2 ∈ ai +C

donde la última igualdad se debe a que el código es lineal.Esto quiere decir que el error siempre va a pertenecer a la clase lateral que contiene ay.

Ahora, al vector error en la clase lateral con menor peso posible le llamaremosel líder de clase la lateral y si hay dos o más que tengan el mismo peso mínimo es-cogeremos cualquiera y lo nombraremos el líder. De esta forma, tenemos que una es-trategia para decodificar el vector error líder de la clase lateral y restárselo a y de estamanera se decodifica y así:

x = y− e

En general asumiremos que los ai en (*) son los líderes de clase lateral.Una aplicación de lo anterior es describir lo que el decodificador hace. Esto se hace pormedio de una tabla donde la primera fila consiste del código con la palabra código 0a la izquierda. Las otras filas serán las clases laterales ai +C , ordenadas en el mismoorden con el líder de clase lateral a la izquierda.

Ejemplo 2.3.1. Suponga que tenemos la matriz generadora

G =

(1 0 1 10 1 0 1

)para un [4,2]-código, entonces la tabla en este caso sería:


mensaje 00 10 01 11código 0000 1011 0101 1110

clase lateral 1 1000 0011 1101 0110clase lateral 2 0100 1111 0001 1010clase lateral 3 0010 1001 0111 1100

Para usar la tabla para decodificar, al recibir un y:

Lo buscamos en la tabla y se encuentra su posición.

El vector error e será el líder de clase lateral que se encuentra al extremo izquierdode la misma fila en la que y está.

Decodificamos y como la palabra código que cumple que x = y−e. Tenemos quex será el elemento en la tabla que está en la misma columna de y pero en la filaetiquetada por código.

Después simplemente sabremos cuál es el mensaje asociado a esa palabra códigox, pues es el que está justo arriba de x en la misma columna, es decir el que estaen la primera fila de la tabla.

Por ejemplo, si y = 0111 entonces primero se busca en la tabla para ver que estáen la fila de la clase lateral 3. Esto nos lleva a que el vector error e = 0010 pueses el líder de clase lateral para y. Ahora, decodificamos y como la palabra códigox = y− e = 0111−0010 = 0101. Finalmente tenemos que el mensaje que fue enviadoes 01.Así, vemos que la tabla puede ser útil pues dado un y simplemente puedo saber el men-saje viendo la primera fila de la tabla.

2.4 Síndrome del error

Suponga que tenemos un [n,k]-código con matriz de verificación H. Hay una formade saber cuál es la clase lateral de y usando lo que se llama el síndrome. El síndromede y es simplemente el vector S que cumple que

S = HyT

Esto se da porque si y = x+ e con x ∈ C entonces

S = HyT = HxT +HeT = 0+HeT = HeT (2.4.1)

De esta manera, tenemos que el síndrome es un vector columna que cumple:

Es de tamaño n− k.

S = 0 si y solo si y es una palabra código (esto es claro pues por definición decódigo lineal). Es decir que si no ocurre ningún error, entonces el síndrome de yes 0.

2.5 Ejemplos de códigos lineales 9

Para un código binario, el síndrome es la suma de las columnas de H donde loserrores ocurrieron. (esto es por la ecuación (2.4.1))

Dos vectores están en la misma clase lateral si y solo si tienen el mismo síndrome.Esto se debe a que si y1,y2 están en la misma clase lateral entonces y1 − y2 ∈C y por lo tanto H(y1 − y2)

T = 0, es decir que HyT1 = HyT

2 y tienen el mismosíndrome.

Debido al anterior punto, tenemos que hay una correspondencia 1 a 1 entre sín-dromes y clases laterales.

Teniendo esto en cuenta a la tabla que se usa para decodificar le podemos agregar unacolumna de los síndromes para que quede de la forma:

mensaje 00 10 01 11 Síndrome

código 0000 1011 0101 1110(

00

)clase lateral 1 1000 0011 1101 0110

(11

)clase lateral 2 0100 1111 0001 1010

(01

)clase lateral 3 0010 1001 0111 1100

(10

)

2.5 Ejemplos de códigos lineales

Terminamos este capitulo con algunos ejemplos de códigos binarios.

Ejemplo 2.5.1 (Código de repetición). Un ejemplo de un [N,1]-código de repeticiónes el que tiene matriz generadora de tamaño 1×N:(

1 1 · · · 1)

Para N = 4 tenemos que la matriz generadora sería(1 1 1 1

)y una matriz

de verificación de paridad sería:1 0 0 10 1 0 10 0 1 1

Ejemplo 2.5.2 (Código de comprobación de paridad). Este es un código de tipo[n,n− 1,2]. Consiste de todos los vectores que contienen un numero par de 1’s.Además, tiene una matriz de verificación

[1,1, . . .1]

Ejemplo 2.5.3 (Códigos de Hamming). Este tipo de códigos son importantes por-que son fáciles de codificar y decodificar. Un código binario de Hamming Hr delongitud n = 2r − 1 para un r ≥ 2 es un código que tiene matriz de verificación de


paridad H cuyas columnas consisten de todos los vectores binarios no cero de lon-gitud r, donde cada vector es usado únicamente una vez. Tenemos entonces queHr es un [n = 2r −1,k = 2r −1− r,d = 3]- código.

Un ejemplo con d = 3 sería el [7,4,3]-código H3 con matriz de verificación deparidad

H =

0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 0 1 11 0 1 0 1 0 1

.

Capítulo 3

Marco cuántico

3.1 Notación de Dirac

Para esta sección nos apoyamos en las explicaciones de Dirac (1939).

En este escrito solo trabajaremos con espacios vectoriales de dimensión finita. Usa-remos la notación típica en física e introducida por Dirac para vectores y productosinternos.

Sea H un espacio vectorial complejo. Los vectores de H se denotaran por |v〉 ysuelen llamarse vectores KET. En lugar de |v〉 se podría escribir simplemente v, perono es la costumbre en física. Por lo tanto, |v1 + v2〉 = |v1〉+ |v2〉, y ambas significansimplemente el vector v1 + v2.

En general, estamos interesados en trabajar en espacios de Hilbert, entonces tene-mos adicionalmente un producto interno. El producto interno de dos vectores es de-notado por 〈v|w〉 y es llamado un BRA-KET. El producto interno es Hermítico, no-degenerado, positivo, anti-lineal en la primera entrada y lineal en la segunda,

〈w|λ1v+λ2v2〉= λ1〈w|v1〉+λ2〈w|v2〉,

〈λ1v+λ2v2|w〉= λ1〈v1|w〉+λ2〈v2|w〉

〈v|w〉= 〈w|v〉,

〈v|v〉 ≥ 0, con 〈v|v〉= 0 unicamente cuando v = 0.

Dado un vector v ∈H este define un funcional ( anti-lineal)

〈v| : H→ C, |w〉 7→ 〈v|w〉

que denotaremos por 〈v|, el cual se suele llamar un vector BRA. Note que puesto que〈−|−〉 es anti-lineal en la primera variable se tiene que

〈cv|= c〈v|,

para c ∈ C.Por un operador lineal de H nos referiremos a una transformación lineal de H a H.

Dado un operador A, la notación 〈v|A indica el funcional dado por 〈v|A(|w〉) := 〈v|A|w〉

12 Marco cuántico

para todo |w〉 ∈H. Note que por definición se tiene que 〈v|A = A†〈v|, donde A† es eladjunto de A. En conclusión, la notación 〈v|A|w〉 se puede interpretar en dos formasequivalentes: (1) como 〈v|(A|w〉) o, (2) como 〈A†v|w〉.

Finalmente, recordamos que un operador A es llamado unitario si A† = A−1 y auto-adjunto o hermitiano si A† = A.

3.2 Postulados de Mecánica Cuántica

Los siguientes postulados fueron sacados del libro de Nielsen and Chuang (2011).

3.2.1 Estados de un sistema cuánticoEstados vectores

Sea H un espacio de Hilbert. Cualquier vector no nulo |v〉 representará un esta-do (puro), y dos vectores no nulos |v1〉, |v2〉 representan el mismo estado si y solo si|v1〉= λ |v2〉 para un escalar λ ∈C. Teniendo en cuenta lo anterior, únicamente conside-raremos representantes que sean vectores unitarios. El espacio H es llamado el espaciode estados.

Computación e información cuántica usa espacios de Hilbert de dimensión finita dela forma Cm. En este caso, el conjunto de estados puros es exactamente CPm−1, que esel espacio proyectivo complejo de dimensión m−1.

El decir que el espacio de estados es un espacio de Hilbert encarna el principiode superposición, es decir, la combinación lineal de estados es un estado. Esta es lacaracterística más destacada de la mecánica cuántica y tiene mucho que ver con supoder computacional.

El espacio de los n-qubits

Los bit modelan un sistema físico con únicamente dos estados, típicamente "pren-dido o apagado". El conjunto de estados de un bit se suele representar por el conjunto{0,1}, donde 0 representa "apagado" y 1 representa "prendido". Análogamente, elespacio de estados de un qubit es representado por C2, un espacio de Hilbert de dimen-sión dos. Donde la base canónica se suele denotar como

|0〉=(

10

), |1〉=

(01

).

Por lo tanto, un qubit arbitrario puede ser representado como

a|0〉+b|1〉, donde |a|2 + |b|2 = 1.

Con un bit podemos representar solamente dos estados, si usamos dos bits podemosrepresentar cuatro estados {00,01,10,11}, y análogamente con n bits podemos repre-sentar 2n estados. Un n-bit es justamente un estado representado por n bits. Por ejemplo0010 es un 4-bit y 0000101 es un 7-bit.

3.2 Postulados de Mecánica Cuántica 13

Análogamente, si usamos 2-qubits el espacio de estados tendrá una base dada por{|00〉, |01〉, |10〉, |11〉} y por tanto cada 2-qubit tendrá la forma

a00|00〉+a01|01〉+a10|10〉+a11|11〉, donde ∑i, j|ai j|2 = 1.

El espacio de 2-qubit es construido como C2 ⊗C2, el cual, por lo tanto, tiene base{|0〉⊗|0〉, |0〉⊗|1〉, |1〉⊗|0〉, |1〉⊗|1〉}. Usando la identificación natural |i〉⊗| j〉 7→ |i j〉obtenemos justamente el espacio anteriormente descrito.

En general el espacio de n-qubits es(C2

)⊗n, el cual tiene dimensión 2n y baseortonormal de la forma

{|i1i2 · · · in〉 : i j = 0,1}.

Estados como operadores de densidad

Dado un estado |v〉 ∈H podemos definir el operador

P|v〉 : H→H (3.2.1)

|w〉 7→ 〈v|w〉〈v|v〉

|v〉 (3.2.2)

El operador P|v〉 no es mas que la proyección ortogonal sobre el sub-espacio gene-rado por |v〉. Si asumimos que nuestro vector |v〉 es unitario, lo cual haremos de ahoraen adelante, la proyección será denotada por |v〉〈v|. Por lo tanto el operador P|v〉 solodepende del estado que define |v〉. El operador P|v〉 tiene la siguientes propiedades:

(i) Tr(P|v〉) = 1

(ii) P|v〉 es positivo, (recuerde que un operador ρ es positivo si 〈ρv|v〉 ≥ 0),

(iii) El rango de P|v〉 es uno.

Un operador que cumple (i) y (ii) será llamado un operador de densidad. Se siguedel Teorema del apéndice B.0.2 que todo operador de densidad que cumple (iii) es dela forma |v〉〈v| para un vector unitario |v〉. Además, dos vectores |v1〉, |v2〉 son tales que|v1〉〈v1|= |v2〉〈v2| si solo si |v1〉= λ |v2〉 para un escalar λ ∈C. Por lo anterior, tenemosuna correspondencia entre estados vectores y operadores de densidad que cumplen (iii).

Por el Teorema B.0.3 del Apendice B tenemos que todo operador de densidad ρ pue-de escribirse como una combinación lineal convexa de operadores de la forma |v〉〈v|,es decir,

ρ = ∑i∈I

pi|vi〉〈vi|

donde pi ∈ [0,1] y ∑i pi = 1. Estos operadores de densidad generales suelen llamarseestados mixtos.

14 Marco cuántico

3.2.2 Evolución del sistemaEn un sistema cuántico el estado |ψ1〉 ∈H en el tiempo t1 está relacionado al estado

|ψ2〉 en el tiempo t2 por un operador unitario U que depende únicamente de t1 y t2:

|ψ2〉=U |ψ1〉.

En computación e información cuántica, se aplican transformaciones unitarias a estadosvectores |v〉 para procesar la información codificada en |v〉. Entonces, el proceso deinformación en mecánica cuántica es por multiplicación por matrices unitarias.

Por otro lado, note que si ρ1 = |v1〉〈v1| y |v2〉=U |v1〉, entonces

ρ2 = |v2〉〈v2| (3.2.3)

=U |v1〉〈v1|U† (3.2.4)

=Uρ1U†, (3.2.5)

donde U† denota el operador adjunto.

Matrices de Pauli y Hadamard

En esta sección introduciremos ciertos operadores unitarios sobre los quibits quejuegan un papel importante, las así llamadas matrices de Pauli.Las matrices de Pauli son las siguientes:

σ0 := Id :=(

1 00 1

)

σ1 := σx := X :=(

0 11 0

)σ2 := σy := Y :=

(0 −ii 0

)σ3 := σz := Z :=

(1 00 −1

)Algunas propiedades de las matrices de Pauli son las siguientes:

Para todo i ∈ {1,2,3} tenemos que σ2i = Id.

Para todo i ∈ {1,2,3} tenemos que det(σi) =−1.

Para i 6= j ∈ {1,2,3} tenemos que σiσ j =−σ jσi.

σ1σ2 = iσ3σ2σ3 = iσ1σ1σ3 = iσ2


Las anteriores propiedades las podemos verificar simplemente multiplicando matri-ces.

Ahora, introduciremos una matriz llamada la transformada de Hadamard. Para haceresto, tenemos que la transformada de Hadamard Hm es una matriz de tamaño 2m ×2m

que podemos definir recursivamente:

La transformada de Hadamard 1×1 es la identidad H0 = 1.Definimos Hm para m > 0 así:

Hm =1√2

(Hm−1 Hm−1Hm−1 −Hm−1

)Otra forma de definir la transformada de Hadamard para m > 1, es:

Hm = H1 ⊗Hm−1 = H⊗m (3.2.6)

En este documento usaremos la mayoría de las veces la transformada para m = 1, esdecir:

H1 =1√2

(1 11 −1

)Por esta razón, si la dimensión de la matriz se entiende por el contexto no serán

necesarios los subíndices y simplemente será llamada H.En computación cuántica, se usa más la representación:

H =|0〉+ |1〉√

2〈0|+ |0〉− |1〉√

2〈1| (3.2.7)

que corresponde precisamente a H1.Lo más importante de esta transformada es que

H(|0〉) = 1√2|0〉+ 1√

2|1〉=: |+〉

H(|1〉) = 1√2|0〉− 1√

2|1〉=: |−〉

H(1√2|0〉+ 1√

2|1〉) = 1

2(|0〉+ |1〉)+ 1

2(|0〉− |1〉) = |0〉

H(1√2|0〉− 1√

2|1〉) = 1

2(|0〉+ |1〉)− 1

2(|0〉− |1〉) = |1〉.

Finalmente veamos unas propiedades que tienen las matrices de Pauli y una queinvolucra también a la transformada de Hadamard.

Proposición 3.2.1. a. Las matrices de Pauli junto con la matriz identidad sonuna base ortonormal para M2×2(C) con respecto al produto interno Tr(A†B).

b. Las matrices de Pauli generan un grupo G := 〈X ,Y,Z〉 de orden 16. Ademásel centro de G es el grupo cíclico Z(G) =< i · Id > de orden 4.

c. El grupo cociente G := G/Z(G) es isomorfo a Z/2Z×Z/2Z.

16 Marco cuántico

d. La transformada de Hadamard H se puede operar con elementos de G pormedio de conjugación de la siguiente manera.

HXH = Z HY H =−Y HZH = X

Demostración. a. Primero veamos que β = {X ,Y,Z, Id} es base:Note que:

12(Id+Z) =

(1 00 0

)(3.2.8)

12(Id+Z)−Z =

(0 00 1

)(3.2.9)

12(X + iY ) =

(0 10 0

)(3.2.10)

12(X + iY )− iY =

(0 01 0

)(3.2.11)

Luego escribimos la base canónica de M2×2(C) como combinación lineal deelementos de β y como M2×2(C) tiene dimensión 4 = |β|, concluimos que β

es base.Para ver que es ortogonal con respecto a Tr(A†B) primero note que A = A†

para todo elemento A ∈ β . Teniendo esto en cuenta y que:

Tr(IdX) = Tr(X) = 0Tr(IdY ) = Tr(Y ) = 0Tr(IdZ) = Tr(Z) = 0

Tr(XY ) =(

i 00 −i

)= 0

Tr(XZ) =(

0 −11 0

)= 0

Tr(Y Z) = Tr(

0 ii 0

)= 0

Como Tr(A†B) es un producto interno entonces Tr(A†B) = Tr(A†B). De todolo anterior tenemos que para cualquiera dos elementos distintos A,B ∈ β setiene que Tr(A†B) = 0. Es decir que β es una base ortogonal de M2×2(C).

b. Para ver que G es un grupo veamos que es un subgrupo del grupo de matri-ces invertibles GL2(C). Claramente, G ⊆ GLn(C). Ahora note que X2 = Y 2 =Z2 = Id. Ahora calculamos:Y Z = iX , ZY = −iX , ZX = iY , XZ = −iY , XY = iZ, Y X = −iZ, XY Z = i Id,XZY =−i Id, iX · i Id =−X , iY · i Id =−Y , iZ · i Id =−Z, iXiX =− Id.Luego los elementos

Id,X ,Y,Z,− Id,−X ,−Y −Z, i Id, iX , iY, iZ,−i Id,−iX ,−iY,−iZ


están en G. Así, por los cálculos anteriores tenemos que los elementos de{ikA : k ∈ {1,2,3,4},A∈ {Id,X ,Y,Z}} están cerrados bajo multiplicación. Ade-más, por los mismos cálculos tenemos que X ,Y,Z (y sus múltiplos escalares)no conmutan con todos los otros elementos del grupo pero λ Id si lo hace.Luego concluimos que G es un grupo con orden 16 y que Z(G) = 〈i · Id〉 :=Z/4Z

c. Claramente en G están los elementos X Z(G),Y Z(G),Z Z(G), IdZ(G) y todosestos tienen orden 2 excepto la identidad que tiene orden 1 pues X2 = Y 2 =Z2 = Id. Además XY Z(G) = i IdZ Z(G) = Z Z(G). Además, por los cálculoshechos en el b. tenemos que

XY Z(G) = Y X Z(G)

Y Z Z(G) = ZY Z(G)

XZ Z(G) = ZX Z(G)

y todo conmuta con la identidad, entonces tenemos un grupo abeliano detamaño 4 donde todo elemento tiene orden 2, es decir, el grupo de Klein quees isomorfo a Z/2Z×Z/2Z.

d. La prueba de esto es simplemente multiplicar matrices.

3.2.3 MediciónDefinición 3.2.1. Sea H un espacio de Hilbert. Un conjunto {Mi}i∈I de operadoresde H es llamado conjunto de operadores de medición si cumplen

∑i

M†i Mi = I

Sea {Mi}i∈I un conjunto de operadores de medición. La función p : I → [0,1] dadapor

p(i) = 〈ψ|M†i Mi|ψ〉

define una función de probabilidad sobre el conjunto finito I. En efecto, puesto queM†

i Mi es positivo y ∑i M†i Mi = I, se tiene que

p(i)≥ 0, 1 = ∑i

p(i).

El proceso de medir cambia los estados de la siguiente manera. Si se tiene el estado|ψ〉 inmediatamente antes de hacer la medición, entonces la probabilidad que el resul-tado i ∈ I ocurra está dado por por el numero p(i) = 〈ψ|M†

i Mi|ψ〉 y el estado despuésde la medición cambia a:

Mi|ψ〉√〈ψ|M†

i Mi|ψ〉

18 Marco cuántico

Un caso especial de mediciones son las mediciones proyectivas que son descritaspor un operador auto-adjunto M, el cual suele llamarse un observable. Como M esauto-adjunto este tiene una descomposición espectral:

M = ∑i∈I

Pi

donde cada Pi es el proyector sobre el espacio propio de M con valor propio i. Losresultados que pueden salir son los valores propios m del observable.De nuevo la interpretación que se le da a una medición proyectiva es la siguiente: dadoun estado |ψ〉 y un observable M la probabilidad de obtener m es:

p(m) = 〈ψ|Pm|ψ〉.

por otro lado, suponiendo que m ocurrió, el estado después de medición es:

Pm|ψ〉√p(m)

Una medición proyectiva donde cada uno de los proyectores tiene rango uno, esllamada una medición completa.

Capítulo 4

Códigos de corrección de errores

4.1 Súper-operadores como canales cuánticos

Definimos canal cuántico para hablar de códigos cuánticos de corrección de errores.

Definición 4.1.1. Sean Hin y Hout espacios de Hilbert. Un conjunto de operadores

{Ai ∈ Hom(Hin,Hout)|i ∈ I}

será llamado operadores de Kraus, si cumplen que ∑i∈I A†i Ai = Id. Asociado a un

conjunto de operadores de Kraus definimos un súper-operador, el cual es la trans-formación lineal entre el conjunto de operadores de Hin al conjunto de operadoresde Hout dada por

Q(ρ) = ∑i∈I

AiρA†i .

Todo súper-operador define una función entre los operadores de densidad de Hin alos operadores densidad de Hout . En el contexto de computación e información cuánti-ca, los canales ruidosos son modelados por medio de súper-operadores, y los operado-res de Kraus suelen llamarse operadores de error.

Ejemplo 4.1.1. 1. Todo operador unitario U define un operador de error, puesU†U = Id. El canal cuántico asociado es simplemente Q(ρ) =UρU†.

2. Sean {Ui : i ∈ I} un conjunto finito de operadores unitarios y {pi : i ∈ I} unconjunto de números tales que pi ∈ [0,1] y ∑i∈I pi = 1. Entonces {piUi : i ∈ I}es conjunto de operadores de error. El canal cuántico asociado es

Q(ρ) = ∑i∈I

piUiρU†i

3. Continuando con el ejemplo anterior si tomamos H = C2, y operadores deerror {pX ,(1− p)Z} con p ∈ (0,1) donde X y Z son las matrices de Pauli ,

20 Códigos de corrección de errores

entonces dado un qubit |v〉= a|0〉+b|1〉 (de norma 1),

Q(|v〉〈v|) = pX |v〉〈v|X† +(1− p)Z|v〉〈v|Z†

= p(

0 11 0

)(a2 abab b2

)(0 11 0

)+

(1− p)(

1 00 −1

)(a2 abab b2

)(1 00 −1

)= p

(b2 abab a2

)+(1− p)

(a2 −ab−ab b2

)=

((1− p)a2 + pb2 (2p−1)ab(2p−1)ab (p)a2 +(1− p)b2

)

4.2 Códigos cuánticos correctores de errores y la condiciónde Knill-Laflamme

Ahora, hablemos de cuándo se pueden corregir errores. Para el canal cuántico Q sepuede restringir el dominio a un sub-espacio C ⊆Hin para que Q sea invertible entre Cy im(Q). En ese caso se dice que la corrección de error se puede dar.Teniendo en cuenta esto:

Definición 4.2.1. Sea Q : Hin −→Hout un canal cuántico. Un sub- espacio C ⊆Hines un código cuántico corrector de error para Q, llamado QECC por sus siglasen inglés, si y solo si existe un súper-operador de decodificación D tal que paratodo estado |Ψ〉 ∈C se cumple que

D(Q(|Ψ〉〈Ψ|)) = |Ψ〉〈Ψ|

Es claro que la anterior definición depende de la existencia del súper-operador dedecodificación D. El siguiente Teorema de Knill and Laflamme (1997) da condicionesnecesarias y suficientes para la existencia del operador de recuperación y su prueba esconstructiva. El objetivo de esta sección es justamente dar presentar un demostracióncompleta de este resultado clave. Por eso surge el siguiente teorema. (Para el teoremade Knill Laflamme y y los demás teoremas relacionados nos apoyamos fuertemente enlas demostraciones de Brylinski and Chen (2019)).

Teorema 4.2.1 (Knill-Laflamme). Sea Q un canal cuántico para un espacio de Hil-bert H con operadores de error {Ai : i ∈ IQ}. Un sub-espacio C ⊆H con base orto-normal {|ci〉 : i ∈ IC} es un QECC para Q si y solo si las siguientes dos condicionesse cumplen:

∀k, ` ∈ IQ,∀i 6= j ∈ IC 〈ci|A†kA`|c j〉= 0

∀k, ` ∈ IQ,∀i, j ∈ IC 〈ci|A†kA`|ci〉= 〈c j|A†

kA`|c j〉=: αk`

Tener estas dos condiciones es equivalente a tener:

∀k, ` ∈ IQ PCA†kA`PC = αk`PC

4.2 Códigos cuánticos correctores de errores y la condición de Knill-Laflamme 21

donde PC es la proyección sobre C.

Antes de probar el teorema necesitamos el siguiente lema:

Lema 4.2.2. Suponga que las siguientes dos condiciones se cumplen para unosoperadores de error {Ai : i ∈ IQ}:

∀k, ` ∈ IQ,∀i 6= j ∈ IC 〈ci|A†kA`|c j〉= 0


kA`|c j〉=: αk`

entonces, esas mismas dos condiciones se cumplen para combinaciones linealesde operadores de error.

Demostración. Sean A = ∑k∈IQ λkAk y B = ∑`∈IQ µ`A` entonces para i 6= j ∈ IC te-nemos que:

〈ci|A†B|c j〉= ∑k,`∈IQ

λ kµ`〈ci|A†kA`|c j〉= 0

donde la última igualdad se debe a la primera condición.Además, tenemos que

〈ci|A†B|ci〉= ∑k,`∈IQ

λ kµ`〈ci|A†kA`|ci〉= ∑

k,`∈IQ

λ kµ`〈c j|A†kA`|c j〉= 〈c j|A†B|c j〉

donde la segunda igualdad se da por la segunda condición.Luego tenemos que ambas condiciones se cumplen para combinaciones linealesde operadores de error.

Ahora, probamos el Teorema de Knill-Laflamme:

Demostración. Primero, suponga que:

∀k, ` ∈ IQ,∀i 6= j ∈ IC,〈ci|A†kA`|c j〉= 0 (4.2.1)

∀k, ` ∈ IQ,∀i, j ∈ IC,〈ci|A†kA`|ci〉= 〈c j|A†

kA`|c j〉=: αk` (4.2.2)

se cumplen.Para cada i ∈ IC sea Vi el espacio vectorial generado por los vectores {Ak|ci〉 :k ∈ IQ}. Además, para cada k ∈ IQ sea Ck el espacio generado por los vectores{Ak|ci〉 : i ∈ IC}. Ahora, como ∀k, ` ∈ IQ,∀i 6= j ∈ IC 〈ci|A†

kA`|c j〉 = 0 se cumple porcondición 4.2.1, entonces los espacios Vi son ortogonales entre ellos.Por otro lado, para k = ` tenemos que 4.2.2 y 4.2.1 implican una de las siguientesdos cosas, la primera es que si αkk = 0 entonces Ck es de dimensión 0 o la otraque los vectores {Ak|ci〉√

αkk: i ∈ IC

}forman una base ortonormal para Ck. Luego existen unas transformaciones unita-rias Tk tal que para todo k ∈ IQ y i ∈ IC se tiene que:

TkAk|ci〉=√

αkk|ci〉. (4.2.3)


Ahora, para los espacios Vi se puede construir una base ortonormal empezandocon los vectores {Ak|ci〉 : k ∈ IQ} usando Gram-Schmidt de la forma usual paraobtener la base ortonormal {|bi

j〉 : j ∈ J ⊆ IQ}. Por el proceso de Gram-Schmidt te-nemos que los vectores de la base resultante son combinaciones lineales de losvectores de {Ak|ci〉 : k ∈ IQ}. Luego los elementos no cero de la base resultantepueden ser escritos de la forma |bi

j〉 = ∑k∈IQ λ jkAk|ci〉 para todo j ∈ J. Además,por la forma de definir la nueva base con Gram-Schmidt, tenemos que los λ jk de-penden únicamente de productos internos de vectores de {Ak|ci〉 : k ∈ IQ}. Ahora,usando las condiciones 4.2.1 y 4.2.2, tenemos que los coeficientes λ jk son inde-pendientes del indice i.Definimos unos operadores para cada j ∈ J de la siguiente manera:

A j := ∑k∈IQ

λ jkAk (4.2.4)

Entonces tenemos que si definimos |vij〉 :=A j|ci〉, los vectores {|vi

j〉 : i ∈ IC, j ∈ J}forman una base ortonormal para el espacio

⊕i∈IC Vi. De la misma manera, tene-

mos que los vectores {A j|ci〉 : i ∈ IC} son una base ortonormal para los espaciosC j :=A jC. Y de forma similar a 4.2.3 tenemos que existen operadores unitarios T jtal que para todo i ∈ IC y j ∈ J

T jA j|ci〉= |ci〉 (4.2.5)

Ahora se consideran los espacios propios {C j : j ∈ J} pues se hace una medi-ción del observable que tiene estos espacios propios. Si W :=

⊕j∈J C j es un sub-

espacio propio de H entonces el complemento ortogonal W⊥ (es decir W ⊕W⊥ =H) es otro espacio propio del observable. Al medir, se obtiene el espacio de errorC j al cual se proyectó el estado o vector. Note que no puede ocurrir una proyec-ción a W⊥ pues W⊥ no está en la imagen del canal cuántico. Así, el error puedeser corregido por el operador T j.Finalmente, construimos el operador de decodificación llamado D. Primero defini-mos los operadores:

D0 := PW⊥

D j := T j ∑i∈IC

A j|ci〉〈ci|A†j =: T jPC j si j 6= 0

En este caso PC j y PW⊥ son las proyecciones a los espacios correspondientes asus subíndices. Además, los operadores D j como son productos de proyeccionesy operadores unitarios, entonces cumplen la condición de que:

D†0D0 + ∑

j∈JD†

jD j = PW⊥ + ∑j∈J

PC j = Id (4.2.6)

donde Id es la identidad. Ahora, D será definida con ayuda de estos operadoresD j así:

D(ρ) = ∑`∈J

D`ρD†`


De esta manera tenemos que D es positivo y que preserva la traza y para un estadode la base |cv〉 tenemos que:

D(Q(|cv〉〈cv|)) = ∑`∈J

D`

(∑

k∈IQ

Ak|cv〉〈cv|A†k

)D†` (4.2.7)

= ∑i, j∈IC

∑k∈IQ

∑`∈J

TÀ`|ci〉〈ci|A†Àk|cv〉〈cv|A†

kA`|c j〉〈c j|A†`T

†` (4.2.8)

= ∑k∈IQ

∑`∈J

TÀ`|cv〉〈cv|A†Àk|cv〉〈cv|A†

kA`|cv〉〈cv|A†`T

†` (4.2.9)

= |cv〉〈cv| ∑k∈IQ

∑`∈J

|〈cv|A†Àk|cv〉|2 (4.2.10)

= |cv〉〈cv| (4.2.11)

En el anterior proceso, la igualdad (4.2.9) se da por el lemma 4.2.2 y la condición4.2.1, la igualdad (4.2.10) se da por la ecuación 4.2.5 y por último la igualdad(4.2.11) se da por la condición 4.2.6 y también porque D preserva la traza.Esto completa la prueba de que si:

∀k, ` ∈ IQ,∀i 6= j ∈ IC 〈ci|A†kA`|c j〉= 0


kA`|c j〉=: αk`

se cumple, entonces C con base ortonormal {|ci〉 : i ∈ IC} es un QECC para Q.Para la otra dirección, se prueba por contrapositiva. Es decir asumimos que algunade las dos condiciones 4.2.1 o 4.2.2 no se cumplen. Si 4.2.1 no se cumple en-tonces las imágenes de los estados ortogonales |ci〉 y |c j〉 bajo los operadores deerror Ak con respecto a A` no son ortogonales. Por otro lado si 4.2.2 no se cumpleentonces los ángulos entre las imágenes de |ci〉 con respecto a |c j〉 bajo los opera-dores de error Ak y A` son distintos, resultando en distintas medidas después de laproyección. Luego en ambos casos no se puede corregir errores, es decir no exis-te tal D de decodificación.Finalmente veamos que tener esto:

∀k, ` ∈ IQ,∀i 6= j ∈ IC 〈ci|A†kA`|c j〉= 0


kA`|c j〉=: αk`

es equivalente a tener

∀k, ` ∈ IQ PCA†kA`PC = αk`PC

Sabemos que la proyección ortogonal PC = ∑i∈IC |ci〉〈ci| entonces tenemos que:

PCA†kA`PC =

(∑

i∈IC

|ci〉〈ci|)A†

kA`

(∑j∈IC

|c j〉〈c j|)= ∑

i, j∈IC

|ci〉(〈ci|A†

kA`|c j〉)〈c j|

Ahora note que la sumatoria resultante puede ser escrita de la siguiente manera:

∑i, j∈IC

|ci〉(〈ci|A†

kA`|c j〉)〈c j|= ∑

i, j∈IC,i= j|ci〉

(〈ci|A†

kA`|c j〉)〈c j|+ ∑

i, j∈IC,i6= j|ci〉

(〈ci|A†

kA`|c j〉)〈c j|


Si queremos ver que las primeras dos implican la tercera entonces tenemos que:

∑i, j∈IC,i= j

|ci〉(〈ci|A†

kA`|c j〉)〈c j|+ ∑

i, j∈IC,i6= j|ci〉

(〈ci|A†

kA`|c j〉)〈c j| (4.2.12)

= ∑i, j∈IC,i= j

|ci〉(〈ci|A†

kA`|c j〉)〈c j|+0

= ∑i∈IC

|ci〉αk`〈c j|

Como αk` es un número entonces tenemos que el último término es igual a αk`PC.Por otro lado si asumimos que:

∀k, ` ∈ IQ,PCA†kA`PC = αk`PC

tenemos que las igualdades de arriba implican la equivalencia que se quería.

Así obtenemos el siguiente algoritmo para decodificar:Algoritmo 1

Calcular la base ortonormal del espacio V0 generado por los vectores {Ak|c0〉 : k ∈IQ}.

Calcular los nuevos operadores de error A j como en 4.2.4.

Calcular los operadores unitarios T j que cumplan 4.2.5.

Usar una medición para proyectar sobre uno de los espacios de error C j.

Aplicar la transformación unitaria T j para corregir el error.

El siguiente ejemplo, se presenta sin detalles en el artículo de Knill and Laflamme(1997) nosotros completaremos el ejemplo para mostrar cómo funciona el algoritmo.

Ejemplo 4.2.1. Usando el algoritmo dado que sale de la demostración vamos aconstruir el operador de corrección para un caso particular. Tomemos el espacio deHilbert (C2)

⊗2 y consideremos el código dado por la base ortonormal {|00〉, |11〉}es decir, C = Span{|00〉, |11〉}, donde dicho código esta sujeto a la interacción conlos operadores de error

A1 =

√

1−2q 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0

√1−2q

A2 =

√

q/2 0 0 00 0 0

√q/2√

q/2 0 0 00 0 0

√q/2

A3 =

√

q/2 0 0 00 0 0 −

√q/2

−√

q/2 0 0 00 0 0

√q/2

Para algún q fijo tal que 0 < q < 1/2. Simplemente haciendo cálculos podemos

verificar fácilmente que en este caso se cumplen las hipótesis del teorema, es


decir que A†1A1 +A†

2A2 +A†3A3 = Id y que las condiciones 4.2.1 y 4.2.2 se cumplen.

Veamos por ejemplo que las condiciones se cumplen para A†1A2

A†1A2 =

√

1−2q 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0

√1−2q

√

q/2 0 0 00 0 0

√q/2√

q/2 0 0 00 0 0

√q/2

=

√

1−2q√

q/2 0 0 00 0 0

√q/2√

q/2 0 0 00 0 0

√1−2q

√q/2.

Nombremos ai j a las entradas de la matriz A†

1A2. Tenemos entonces que 〈00|A†1A2|11〉=

a14 = 0 y 〈11|A†1A2|00〉= a41 = 0, lo que verifica la condición 4.2.1. De la misma ma-

nera para verificar la condición 4.2.2 tenemos que a11 =√

1−2q√

q/2 = a44 luego〈00|A†

1A2|11〉= 〈00|A†1A2|11〉. Ahora, siguiendo los pasos de la demostración tene-

mos los espacios

V0 = Span{A1|00〉,A2|00〉,A3|00〉}= Span{

√1−2q|00〉,

√q/2(|00〉+ |10〉),

√q/2(|00〉− |10〉)}

V1 = Span{A1|11〉,A2|11〉,A3|11〉}= Span{

√1−2q|11〉,

√q/2(|11〉+ |01〉),

√q/2(|11〉− |01〉)}

continuamos hallando una base ortonormal de estos espacios. Aplicando Gram-Schmidt a V0 tenemos

b11 = A1|00〉=√

1−2q|00〉

b12 = A2|00〉− 〈b1

1|A2|00〉||b1

1〉|2 · |b1

1〉

=√

q/2(|00〉+ |10〉)−√

q/2|00〉=√

q/2|10〉

b13 = A3|00〉− 〈b1

1|A2|00〉||b1

1〉|2 · |b1

1〉−〈b1

2|A3|00〉||b1

2〉|2 · |b1

2〉

= 0

Tenemos entonces que una base ortonormal para V0 sera {|00〉, |10〉}. Ahora, ex-presamos la base en términos de los generadores A1|00〉,A2|00〉 y A3|00〉, así

b11 =

A1|00〉√1−2q

b12 =

A2|00〉√q/2

− A1|00〉√1−2q


Así definimos los operadores A j:

A1 =A1√

1−2qA2 =

A2√q/2

− A1√1−2q

Notemos que los operadores A j no dependen del espacio Vi (al igual que en lademostración) que se use para hallarlos, es decir, si hubiéramos hecho el procesocon V1 en lugar de V0 hubiéramos llegado a los mismos operadores A j.

Lo siguiente que debemos hacer es considerar los sub-espacios

C1 = Span{A1|00〉,A1|11〉}= Span{|00〉, |11〉}

C2 = Span{A2|00〉,A2|11〉}= Span{|10〉, |01〉}.Ahora, siguiendo con el algoritmo, debemos encontrar los operadores unitarios T1y T2 donde T1 lleva la base ortonormal de C1 a la base {|00〉, |11〉} y T2 donde T2lleva la base ortonormal de C2 a la base {|00〉, |11〉}, entonces T1 = Id y T2 cumpleque:

T2 =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

Por último construimos los operadores de corrección D j usando los operadoresT j. En primer lugar observe que D0 = 0, pues en este caso W = C1 ⊕C2 = (C2)

⊗2

luego W⊥ = 0, para los otros operadores tenemos

D1 = T1(A1|c1〉〈c1|A†1 +A1|c2〉〈c2|A†

1)

=A1|00〉〈00|A†1 +A1|11〉〈11|A†

1= |00〉〈00|+ |11〉〈11|

D2 = T2(A2|c1〉〈c1|A†2 +A2|c2〉〈c2|A†

2)

= T2(A1|00〉〈00|A†1 +A1|11〉〈11|A†

1)

= T2(|10〉〈10|+ |01〉〈01|)= |00〉〈01|+ |11〉〈10|

Es sencillo verificar que D†1D1 +D†

2D2 = Id y que estos operadores conforman eloperador de corrección para el canal cuántico con operadores de error A1, A2 y A3.

Capítulo 5

De Códigos Clásicos a Códigos Cuánticos

5.1 Errores locales

En el capitulo anterior se definió el concepto general de código cuántico corrector deerrores (QECC). En computación cuántica, generalmente se está interesado en erroresque ocurren en el espacio de n-qubits.A continuación presentamos definiciones importantes para poder entender lo que seconoce como errores locales.

Definición 5.1.1. Denotaremos por Hn al espacio de n-qubits. Un estado de esteespacio sera llamado un n-qubit.

Note que el espacio de n-qubits Hn, es exactamente el producto tensorial den-copias del espacio de qubits. Es usual denotar como

|0〉=(

10

), |1〉=

(01

)la base ortonormal canónica de H1. Por tanto, la base ortonormal canónica de Hn,llamada base computacional, es

|i1i2 · · · in〉 := |i1〉⊗ |i2〉⊗ · · ·⊗ |in〉, donde i j ∈ {0,1}.

Por ejemplo, la base computacional de H3 es

{|000〉, |001〉, |010〉, |011〉, |100〉, |101〉, |110〉, |111〉}.

Dado un operador A ∈ M2×2(C), el operador

A[i] := IdH⊗i−1

1⊗A⊗ Id

H⊗n−i1

únicamente actúa en i-ésimo qubit. Por ejemplo, X [2] actuando en |0010〉 es |0110〉y el operador H[3] (H siendo el operador de hadamard 3.2.7) actuando en |101〉 es

1√2(|100〉− |101〉). Los operadores de la forma A[i] serán llamados 1-locales.Con más generalidad, dados operadores A1,A2, · · · ,Ai ∈ M2×2(C) y un subconjunto

j1 < j2 < .. . < ji ∈ {1,2, . . . ,n}, el operador A1[ j1] ◦A2[ j2] ◦ · · · ◦A[ ji] es llamado un

28 De Códigos Clásicos a Códigos Cuánticos

operador i-local.Por ejemplo, dado P = X [1]X [2]H[3]Z[5] que actúa sobre los 6-qubits, tenemos que Pactuando en |010110〉 es − 1√

2(|100110〉+ |101110〉) y P es 4-local.

Se dice que un operador A tiene peso i (o también wgt(A) = i) si el operador esi-local.

Definición 5.1.2. Un operador de error de Pauli de Hn es un operador local cons-truido con matrices de Pauli.

Proposición 5.1.1. Sea Hn el espacio de n-qubits y t ≤ n. Todo operador de pe-so a lo más t puede construirse como una combinación lineal de la identidad yoperadores de error de Pauli de peso a lo mas t.

Demostración. Tenemos por la Proposición 3.2.1 que las matrices de Pauli juntocon la identidad forman una base de M2×2(C). Por lo tanto, dado un operador local

P = A1[ j1]◦A2[ j2]◦ · · · ◦A[ ji] = ∏s

As[ js]

se tiene que Ai = ci,1I2 + ci,xX + ci,yY + ci,zZ y por tanto

P = ∏s

As[ js] = ∏s(cs,1I2 + cs,xX + cs,yY + cs,zZ)[ js]

es decir, hemos expresado el operador i-local P en términos de operadores deerror de Pauli de peso a lo más i.

Definición 5.1.3. Diremos que un QECC C ⊂Hn corrige t errores si las condicio-nes (4.2.1) y (4.2.2) se cumplen para todo operador local de peso a lo mas t.

Por el Lema 4.2.2 es suficiente con verificar las condiciones (4.2.1) y (4.2.2) parauna base del espacio de los operadores de error. Esa base para operadores en qubitspuede está dada por:

P00 := |0〉〈0| P01 := |0〉〈1| P10 := |1〉〈0| P11 := |1〉〈1|

Otra base de error puede ser la que consiste de las matrices de Pauli X ,Y,Z junto conla identidad Id.

Teorema 5.1.2. Sea C ⊆Hn un QECC.el código C puede corregir t errores si y solo si todos los errores de Pauli de pesoa lo mas t se pueden corregir.

Demostración. Primero, suponga que C es un QECC que puede corregir t errores.Como los operadores de error de Pauli con peso a lo más t son base de todos losoperadores de error con peso a lo más t, entonces cualquier operador A de errorde peso a lo más t se puede escribir como combinación lineal de los de Pauli yusando el Lema 4.2.2 se tienen ambas direcciones de la prueba.

Ahora, hablaremos de un término del que ya habíamos hablado en códigos lineales,la distancia mínima.

5.2 De códigos binarios clásicos a códigos cuánticos 29

Definición 5.1.4. Sea C ⊆Hn un QECC. Diremos que C tiene distancia d si

∀i 6= j ∈ IC se tiene que 〈ci|A|c j〉= 0 (5.1.1)

∀i, j ∈ IC se tiene que 〈ci|A|ci〉= 〈c j|A|c j〉 (5.1.2)

se cumplen para todos los operadores de error A de Hn con wgt(A)< d.

De forma similar que en códigos lineales denotaremos C = ((n,k,d)) un QECC delongitud n, dimensión k y distancia mínima d.

Del Teorema 5.1.2 y Proposición 5.1.1 se obtiene, al igual que en códigos lineales,el siguiente corolario:

Corolario 5.1.3. Sea C = ((n,k,d)) un QECC, tenemos que este puede corregirbd−1

2 c.

5.2 De códigos binarios clásicos a códigos cuánticos

Terminaremos mostrando una forma de construir códigos cuánticos usando códigosbinarios clásicos como los que estudiamos en el primer capitulo. Para ello, necesitamosunos resultados previos.

Lema 5.2.1. Sea C ⊆ Fn2 y sea x ∈ Fn

2. Considere el producto interno usual x · y =

〈x,y〉 := ∑ni=1 xiyi. Sea C⊥ = {d ∈ Fn

2|d · c = 0 ∀c ∈ C} el complemento ortogonalde C con respecto al producto interno descrito. Entonces

∑c∈C

(−1)x·c =

{|C| para x ∈C⊥

0 para x /∈C⊥ (5.2.1)

Demostración. Note que si x ∈C⊥ entonces x · c = 0,∀c ∈C y (−1)0 = 1 luego te-nemos que ∑c∈C(−1)x·c = ∑c∈C 1 = |C|.Ahora, sea D⊥ el espacio generado por C⊥ y por x donde x /∈ C⊥. Entonces, te-nemos que D ⊆ C es sub-espacio de C con co-dimensión 1. Luego el espacio Cse puede descomponer de la siguiente manera C = D∪ (D+ c0) donde x · c0 = 1.Tenemos entonces que:

∑c∈C

(−1)x·c = ∑d∈D

(−1)x·d + ∑d∈D+c0

(−1)x·d = ∑d∈D

(−1)x·d +(−1)x·(d+c0)

= ∑d∈D

(1+(−1)x·c0)(−1)x·d = 0

Teorema 5.2.2. Sea C ⊆ Fn2 un sub-espacio de dimensión k y sean a,b ∈ Fn

2. Re-cordemos la definición de la transformada de Hadamard dada en (3.2.6) y consi-deremos Hn. Tenemos entonces que si:

|Ψ〉 :=1√|C| ∑

c∈C(−1)a·c|c+b〉


entonces:

Hn|Ψ〉= (−1)a·b√|C⊥| ∑

c∈C⊥(−1)b·c|c+a〉

Demostración. Otra forma de escribir la transformada de Hadamard que nos ayudaa calcular lo que queremos es:

Hn =1√2n ∑

x,y∈Fn2

(−1)x·y|x〉〈y|.

Entonces tenemos las siguientes igualdades:

Hn|ψ〉= 1√2n|C| ∑

x,y∈Fn2

(−1)x·y|x〉〈y| ∑c∈C

(−1)a·c|c+b〉

=1√

2n|C| ∑x,y∈Fn

2

∑c∈C

(−1)x·y+a·c|x〉〈y|c+b〉

=1√

2n|C| ∑x∈Fn

2

∑c∈C

(−1)x·(c+b)+a·c|x〉

=1√

2n|C| ∑x∈Fn

2

(−1)b·x|x〉 ∑c∈C

(−1)(x+a)·c

(Ahora, por lema 5.2.1)

=|C|√2n|C| ∑

x∈C⊥+a

(−1)b·x|x〉

=(−1)a·b√

|C⊥| ∑c∈C⊥

(−1)b·c|c+a〉

Antes del teorema que relaciona códigos lineales binarios con códigos cuánticos deerror necesitamos las siguientes definiciones:

Definición 5.2.1. Suponga que se envían qubits a través de un canal quedeja a los qubits intactos con probabilidad 1− p y que ocurre un error devuelta de bit con probabilidad p. Esto quiere decir que con probabilidad p un

estado |ψ〉 pasa a ser un estado X |ψ〉 donde X =

(0 11 0

)es el operador

sigma x de Pauli usual. A este operador se le conoce como operador de vueltade bit.

De forma similar, el error de inversión de bit se da en el caso en que eloperador de Pauli Z se aplica a un qubit con probabilidad p ≥ 0, es decir queel estado a|0〉+ b|1〉 es llevado a ser el estado a|0〉− b|1〉, y el qubit quedaintacto con probabilidad 1− p.

Cuando hablemos de qubits de ancilla simplemente nos referimos a qubitspara los cuales sabemos su valor inicial.


Teorema 5.2.3. Sean C1 = [n,k1,d1] y C2 = [n,k2,d2] unos códigos lineales binariosde longitud n, dimensión ki y distancia mínima di, tales que C⊥

2 ⊆ C1. Sea W =w1, . . . ,wK ⊂ Fn

2 un conjunto de representantes de las clases laterales de C1/C⊥2 .

Entonces tenemos que los K = 2k1−(n−k2) estados de la forma

|ψi〉=1√C⊥

2

∑c∈C⊥

2

|c+wi〉 (5.2.2)

que son ortogonales mutuamente son una base de un QECC C = ((n,K,d)) ⊆(C2)⊗n. El código puede corregir al menos bd1−1

2 c errores de vuelta de bit, y almismo tiempo al menos bd2−1

2 c errores de inversión de bit. La distancia mínima deC es d ≥ min{d1,d2}.

(La siguiente demostración fue tomada del libro de Brylinski and Chen (2019)

Demostración. Tenemos que cada estado |ψi〉 es una superposición de los esta-dos base |x〉 con x ∈ C⊥

2 +wi. Ahora, para i 6= j tenemos que las clases lateralesC⊥

2 +wi y C⊥2 +w j son disjuntas, luego 〈ψi|ψ j〉= 0.

Ahora, cada estado del código es una superposición:

|ψ〉=K

∑i=1

αi|ψi〉=K

∑i=1

α′i ∑

c∈C⊥2

|x+wi〉= ∑c∈C1

γc|c〉 (5.2.3)

para unos αi ∈C. Aquí, al normalizar se absorben los coeficientes extras y por esocambiamos a α ′

i . Y en la última igualdad se usa que los c+wi están en una claselateral C1/C⊥

2 , luego en particular, también están en C1.Notemos que cualquier combinación de errores de vuelta de bit y de inversión

de bit se pueden escribir usando dos vectores binarios ex,ez ∈ Fn2 como

e := (σex,1x σ

ez,1z )⊗·· ·⊗ (σ

ex,nx σ

ez,nz ) (5.2.4)

Tenemos que el error descrito en 5.2.4 actuando en un estado ψ es:

e|ψ〉= ∑c∈C1

γc(−1)c·ez|c+ ex〉. (5.2.5)

Ahora, consideremos las matrices generadoras G1 y G2 de los códigos C1 y C2respectivamente:

G1 :=(H2

D1

)∈ Fk1×n

2

G2 :=(H1

D2

)∈ Fk2×n

2

donde las matrices Hi son las matrices de verificación para las matrices genera-doras de los códigos duales C⊥

i . Luego G1 ·HT1 = 0 y G2 ·HT

2 = 0. Ahora, para elcódigo binario C1 y para un vector arbitrario x ∈ Fn

2, el síndrome s := x ·HT1 ∈ Fn−k1

2es un indicador para el error.


Para calcular el síndrome se pueden usar n− k1 qubits de ancilla que fueroninicializados en el estado |0〉. La función reversible correspondiente es dada porS1 : |x〉|y〉 −→ |x〉|x ·HT

1 + y〉. Si calculamos el síndrome obtenemos el siguienteestado:

∑c∈C1

γc(−1)c·ez|c+ ex〉|(c+ ex) ·HT1 〉= ( ∑

c∈C1

γc(−1)c·ez|c+ ex〉)⊗|ex ·HT1 〉

= (e|ψ〉)⊗|ex ·HT1 〉 (5.2.6)

En el proceso anterior usamos que el síndrome se desvanece para todas las pala-bras código y que por consiguiente es independiente de c.

Usando el teorema 5.2.2 en los estados base |ψi〉 del código obtenemos:

Hn|ψi〉=1√|C2|

∑c∈C2

(−1)c·wi|c〉.

Ahora, usando 5.2.3 obtenemos que:

Hn|ψ〉=K

∑i=1

αiHn|ψi〉=K

∑i=1

α′′i ∑

c∈C2

(−1)c·wi|c〉

Recordemos la proposición 3.2.1 parte d. Tenemos entonces que la transformadade Hadamard intercambia el rol de ex y ez en la ecuación 5.2.4. Luego tenemos quela transformada de Hadamard del estado en 5.2.5 es:

Hne|psi〉= (HneHn) ·Hn|psi〉=K

∑i=1

α′′i ∑

c∈C2

(−1)c·ex(−1)c·wi|c+ ez〉.

De forma similar a lo que sucede en 5.2.6 un síndrome de error para el códigobinario C2 puede ser calculado usando el mapa S2 : |x〉|y〉 −→ |x〉|x ·HT

2 + y〉 y n−k2qubits de ancilla. Todo se resume a que obtenemos:

(Hne|ψ〉)⊗|ex ·HT1 〉⊗ |ez ·HT

2 〉.

Finalmente, aplicar otra tansformada de Hadamard en los primeros n qubits nos dael siguiente resultado:

e|ψ〉⊗ |ex ·HT1 〉⊗ |ez ·HT

2 〉=(

∑c∈C1

γc(−1)c·ez|c+ ex〉)⊗|ex ·HT

1 〉⊗ |ez ·HT2 〉.

Midiendo los dos sistemas auxiliares obtenemos dos vectores síndrome s1 :=ex ·HT

1 y s2 := ez ·HT2 . Si el número de errores de vuelta de bit es menor que d1−1

2 en-tonces el vector error ex puede ser computado por el síndrome s1 usando cualquieralgoritmo de decodificación para el código binario C1. De forma similar, el vectorerror ez puede ser determinado usando un algoritmo de decodificación para el có-digo C2 si el número de errores de inversión de bit es menor que d2−1

2 . Conociendolos vectores de error ex y ez, el error puede ser corregido usando la transformaciónunitaria dada en 5.2.4.


Finalmente, dada la prueba anterior, obtenemos el siguiente algoritmo de decodifi-cación para códigos lineales binarios:

Algoritmo 2

Usamos la transformación S1 : |x〉|y〉 −→ |x〉|x ·HT1 + y〉 y n−k1 qubits de ancilla

para computar el síndrome s1 := ex ·HT1 de los errores de vuelta de bit.

Usamos la transformada de Hadamard en los primeros n qubits.

Usamos la transformación S2 : |x〉|y〉 −→ |x〉|x ·HT2 + y〉 y n−k2 qubits de ancilla

para computar el síndrome s2 := ez ·HT2 de los errores de inversión de bit.

Usamos la transformada de Hadamard en los primeros n qubits.

Medimos los síndromes s1 y s2.

Usamos algoritmos de decodificación clásicos para los códigos C1 y C2 compu-tando los vectores error ex y ez que corresponden a los síndromes s1 y s2 respec-tivamente.

Corregimos el error usando la transformación unitaria dada en 5.2.4.

Apéndice A

Notación

1. |ψ〉 es una notación para un vector ψ de un espacio vectorial. A veces llamado"ket".

2. 〈ψ| es el vector dual a |ψ〉. A veces es llamado "bra".

3. 〈ψ|φ〉 es el producto interno entre los vectores |ψ〉 y |φ〉.

4. |ψ〉⊗ |φ〉 es el producto tensorial entre |ψ〉 y |φ〉.

5. |ψ〉|φ〉 otra notación para el producto tensorial entre |ψ〉 y |φ〉.

6. AT es la transpuesta de una matriz A.

7. A† es el conjugado hermitiano o la adjunta de la matriz A, es decir A† = (AT ).

8. 〈φ |A|ψ〉 es cualquiera de las siguientes dos que son equivalentes: el productointerno entre |φ〉 y A|ψ〉 o el producto interno entre A†|φ〉 y |ψ〉.

9. Las matrices de Pauli son las siguientes y tienen la notación:

σ0 := Id :=(

1 00 1

)

σ1 := σx := X :=(

0 11 0

)σ2 := σy := Y :=

(0 −ii 0

)σ3 := σz := Z :=

(1 00 −1

)

36 Notación

Apéndice B

Álgebra Lineal

Presentamos algunos de los teoremas importantes y útiles de álgebra lineal, losdos primeros pueden ser encontrados en Nielsen and Chuang (2011) y el último enBengtsson et al. (2013) con sus respectivas demostraciones.

Teorema B.0.1 (Descomposición espectral). Sea V un espacio vectorial finito di-mensional sobre C con producto interno. Sea M un operador. Entonces M es nor-mal si y solo si existe una base ortonormal para V que consiste de vectores propiosde M.

Teorema B.0.2. Sea T un operador lineal, entonces las siguientes son equivalen-tes:

T es positivo.

T es autoadjunto (T = T †) y su espectro está contenido en [0,∞).

Existe un operador lineal S tal que T = S†S.

Teorema B.0.3. Cualquier operador de densidad se puede representar como unacombinación lineal convexa de estados puros de la siguiente forma:

ρ =k

∑i=1

pi|vi〉〈vi|

donde p = (p1, · · · , pk) es un vector de probabilidad.

38 Álgebra Lineal

Bibliografía

Bengtsson, I., S. Weis, and K. Zyczkowski (2013), Geometry of the set of mixed quan-tum states: An apophatic approach, in Geometric Methods in Physics, edited byP. Kielanowski, S. T. Ali, A. Odzijewicz, M. Schlichenmaier, and T. Voronov, pp.175–197, Springer Basel, Basel. B

Brylinski, R., and G. Chen (2019), Mathematics of Quantum Computation, Compu-tational Mathematics, Taylor & Francis Limited. 4.2, 5.2

Dirac, P. A. M. (1939), A new notation for quantum mechanics, Mathematical Pro-ceedings of the Cambridge Philosophical Society, 35(3), 416418, doi:10.1017/S0305004100021162. 3.1

Knill, E., and R. Laflamme (1997), Theory of quantum error-correcting codes, PhysicalReview A, 55(2), 900. 4.2, 4.2

MacWilliams, F., and N. Sloane (1978), The Theory of Error-Correcting Codes, 2nded., North-holland Publishing Company. 2

Nielsen, M. A., and I. L. Chuang (2011), Quantum Computation and Quantum Infor-mation: 10th Anniversary Edition, 10th ed., Cambridge University Press, New York,NY, USA. 3.2, B

introducción a la teoría de los códigos cuánticos de

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