teorÍa de la informaciÓn y codificaciÓn – cÓdigos

TEORÍA DE LA INFORMACIÓN - CÓDIGOS 1

TEORÍA DE LA INFORMACIÓN Y

CODIFICACIÓN – CÓDIGOS CANTIDAD DE INFORMACIÓN.

ENTROPÍA.

ENTROPÍA CONDICIONADA.

CANTIDAD DE INFORMACIÓN ENTRE DOS VARIABLES.

LÍMITE DE NYQUIST.

LÍMITE DE SHANNON.

CONSECUENCIAS DE LOS LÍMITES.

TIPOS DE ERRORES.

DETECCIÓN DE ERRORES.

INTRODUCCIÓN A CÓDIGOS.

CÓDIGOS DETECTORES DE ERRORES.

DISTANCIA HAMMING Y DESCODIFICACIÓN POR DISTANCIA MÍNIMA.

CÓDIGOS PERFECTOS.

CÓDIGOS LINEALES.

MATRICES GENERATRICES Y MATRICES DE CONTROL - CÓDIGOS

CORRECTORES.

CÓDIGO DE HAMMING.

CÓDIGO DE GOLAY.

CÓDIGO DE REED-MULLER.


CANTIDAD DE INFORMACIÓN



LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN ES UNA MEDIDA DE LA

DISMINUCIÓN DE INCERTIDUMBRE ACERCA DE UN SUCESO:

EJ.: SI SE NOS DICE QUE EL NÚMERO QUE HA SALIDO EN UN

DADO ES MENOR QUE DOS, SE NOS DA MÁS INFORMACIÓN QUE

SI SE NOS DICE QUE EL NÚMERO QUE HA SALIDO ES PAR.

LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN QUE SE OBTIENE AL CONOCER UN

HECHO ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL NÚMERO POSIBLE

DE ESTADOS QUE ESTE TENÍA A PRIORI:

SI INICIALMENTE SE TENÍAN DIEZ POSIBILIDADES, CONOCER

EL HECHO PROPORCIONA MÁS INFORMACIÓN QUE SI

INICIALMENTE SE TUVIERAN DOS.

EJ.: SUPONE MAYOR INFORMACIÓN CONOCER LOS NÚMEROS

GANADORES DEL PRÓXIMO SORTEO DE LA LOTERÍA, QUE

SABER SI UNA MONEDA LANZADA AL AIRE VA A CAER CON

LA CARA O LA CRUZ HACIA ARRIBA.



LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN ES PROPORCIONAL A LA

PROBABILIDAD DE UN SUCESO:

SE CONSIDERA LA DISMINUCIÓN DE INCERTIDUMBRE

PROPORCIONAL AL AUMENTO DE CERTEZA.

SI LA PROBABILIDAD DE UN ESTADO FUERA 1 (MÁXIMA):

LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN QUE APORTA SERÍA 0.

SI LA PROBABILIDAD SE ACERCARA A 0:

LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN TENDERÁ A INFINITO: UN

SUCESO QUE NO PUEDE SUCEDER APORTARÁ UNA CANTIDAD

INFITA DE INFORMACIÓN SI LLEGARA A OCURRIR.

LA CANTIDAD I DE INFORMACIÓN CONTENIDA EN UN MENSAJE, ES

UN VALOR MATEMÁTICO MEDIBLE REFERIDO A LA PROBABILIDAD

p DE QUE UNA INFORMACIÓN EN EL MENSAJE SEA RECIBIDA,

ENTENDIENDO QUE EL VALOR MÁS ALTO SE LE ASIGNA AL

MENSAJE MENOS PROBABLE.

SEGÚN SHANNON:



EJ.: SE ARROJA UNA MONEDA AL AIRE; SE DEBE CALCULAR LA

CANTIDAD DE INFORMACIÓN CONTENIDA EN LOS MENSAJES CARA

O CRUZ SEPARADAMENTE:

I = log2 [(1/(1/2)] = log2 2 = 1.

I MANIFIESTA LA CANTIDAD DE SÍMBOLOS POSIBLES QUE

REPRESENTAN EL MENSAJE.

SI SE LANZARA UNA MONEDA TRES VECES SEGUIDAS, LOS

OCHO RESULTADOS (O MENSAJES) EQUIPROBABLES PUEDEN

SER:

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

LA p DE CADA MENSAJE ES DE 1/8, Y SU CANTIDAD DE

INFORMACIÓN ES:

I = log2 [1/(1/8)] = 3.



LA I DE LOS MENSAJES ES IGUAL A LA CANTIDAD DE BITS DE CADA

MENSAJE.

UNA NOTACIÓN SIMILAR ES LA SIGUIENTE.

SE EMPLEA UNA VARIABLE ALEATORIA V PARA REPRESENTAR LOS

POSIBLES SUCESOS QUE SE PUEDEN ENCONTRAR:

EL SUCESO i-ÉSIMO SE DENOTA COMO xi.

P(xi) SERÁ LA PROBABILIDAD ASOCIADA A DICHO SUCESO.

n SERÁ EL NÚMERO DE SUCESOS POSIBLES.

LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN SERÁ:


ENTROPÍA


ENTROPÍA

LA SUMA PONDERADA DE LAS CANTIDADES DE INFORMACIÓN DE

TODOS LOS POSIBLES ESTADOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA V

ES:

LA MAGNITUD H(V) SE CONOCE COMO LA ENTROPÍA DE LA

VARIABLE ALEATORIA V . SUS PROPIEDADES SON LAS SIGUIENTES:


ENTROPÍA

LA ENTROPÍA ES PROPORCIONAL A LA LONGITUD MEDIA DE LOS

MENSAJES QUE SE NECESITARÁ PARA CODIFICAR UNA SERIE DE

VALORES DE V:

DE MANERA ÓPTIMA DADO UN ALFABETO CUALQUIERA.

ESTO SIGNIFICA QUE CUANTO MÁS PROBABLE SEA UN VALOR

INDIVIDUAL, APORTARÁ MENOS INFORMACIÓN CUANDO

APAREZCA:

SE PODRÁ CODIFICAR EMPLEANDO UN MENSAJE MÁS CORTO.

SI P(xi) = 1 NO SE NECESITARÍA NINGÚN MENSAJE: SE SABE DE

ANTEMANO QUE V VA A TOMAR EL VALOR xi.

SI P(xi) = 0,9 PARECE MÁS LÓGICO EMPLEAR:

MENSAJES CORTOS PARA REPRESENTAR EL SUCESO xi.

MENSAJES LARGOS PARA LOS xj RESTANTES: EL VALOR

QUE MÁS APARECERÁ EN UNA SECUENCIA DE SUCESOS ES

PRECISAMENTE xi.


ENTROPÍA EJEMPLOS:

ENTROPÍA DE LA VARIABLE ALEATORIA ASOCIADA A LANZAR

UNA MONEDA AL AIRE:

H(M) = -(0,5 log2 (0,5) + 0,5 log2 (0,5)) = 1.

EL SUCESO APORTA EXACTAMENTE UNA UNIDAD DE

INFORMACIÓN.

SI LA MONEDA ESTÁ TRUCADA (60% DE PROBABILIDADES PARA

CARA, 40% PARA CRUZ), SE TIENE:

H(M) = -(0,6 log2 (0,6) + 0,4 log2 (0,4)) = 0,970.

LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN ASOCIADA AL SUCESO MÁS SIMPLE:

CONSTA UNICAMENTE DE DOS POSIBILIDADES

EQUIPROBABLES (CASO DE LA MONEDA SIN TRUCAR).

SERÁ LA UNIDAD A LA HORA DE MEDIR ESTA MAGNITUD, Y SE

DENOMINARÁ BIT.


ENTROPÍA SE EMPLEAN LOGARITMOS BASE 2 PARA QUE LA CANTIDAD DE

INFORMACIÓN DEL SUCESO MÁS SIMPLE SEA IGUAL A 1.

LA ENTROPÍA DE UNA VARIABLE ALEATORIA ES EL NÚMERO MEDIO

DE BITS QUE SE NECESITARÁN PARA CODIFICAR C/U DE LOS

ESTADOS DE LA VARIABLE:

SE SUPONE QUE SE EXPRESA C/ SUCESO EMPLEANDO UN

MENSAJE ESCRITO EN UN ALFABETO BINARIO.

SI SE QUIERE REPRESENTAR LOS DIEZ DÍGITOS DECIMALES

USANDO SECUENCIAS DE BITS:

CON 3 BITS NO ES SUFICIENTE, SE NECESITA MÁS.

SI SE USAN 4 BITS TAL VEZ SEA DEMASIADO.

LA ENTROPÍA DE 10 SUCESOS EQUIPROBABLES ES:


ENTROPÍA

EL VALOR CALCULADO ES EL LÍMITE TEÓRICO, QUE

NORMALMENTE NO SE PUEDE ALCANZAR.

SE PUEDE DECIR QUE NO EXISTE NINGUNA CODIFICACIÓN QUE

EMPLEE LONGITUDES PROMEDIO DE MENSAJE INFERIORES AL

NÚMERO CALCULADO.

EL MÉTODO DE HUFFMAN PERMITE OBTENER CODIFICACIONES

BINARIAS QUE SE APROXIMAN BASTANTE AL ÓPTIMO TEÓRICO DE

UNA FORMA SENCILLA Y EFICIENTE.


ENTROPÍA LA ENTROPÍA H DE UN SISTEMA DE TRANSMISIÓN ES IGUAL A LA

CANTIDAD DE INFORMACIÓN MEDIA DE SUS MENSAJES, ES DECIR:

H = Imed.

SI EN UN CONJUNTO DE MENSAJES SUS PROBABILIDADES SON

IGUALES, LA ENTROPÍA TOTAL SERÁ:

H = log2 N.

N ES EL NÚMERO DE MENSAJES POSIBLES EN EL CONJUNTO.

EJ.: SE TRANSMITEN MENSAJES BASADOS EN UN ABECEDARIO.

¿CUÁL SERÁ LA ENTROPÍA?:

SE SUPONE QUE LAS COMBINACIONES SON ALEATORIAS Y LOS

MENSAJES SON EQUIPROBABLES.

LA CANTIDAD DE LETRAS ES 26.

LA CANTIDAD DE SIGNOS DE PUNTUACIÓN ES 5.

LA CANTIDAD DE SIGNOS ESPECIALES ES 1 (ESPACIO EN

BLANCO).

LA CANTIDAD TOTAL DE SÍMBOLOS ES ENTONCES 32.


ENTROPÍA

LA ENTROPÍA SERÁ:

H = log2 32 = 5.

DESDE LA ÓPTICA BINARIA ESTO SIGNIFICA QUE SE NECESITAN

5 BITS PARA CODIFICAR CADA SÍMBOLO: 00000, 00001, 00010,

11111, ETC.:

ESTE RESULTADO COINCIDE CON LA RECÍPROCA DE LA

PROBABILIDAD p.

LA ENTROPÍA:

INDICA LA RECÍPROCA DE LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA.

PERMITE VER LA CANTIDAD DE BITS NECESARIOS PARA

REPRESENTAR EL MENSAJE QUE SE VA A TRANSMITIR.


ENTROPÍA CONDICIONADA



SE SUPONE QUE TENEMOS UNA VARIABLE ALEATORIA

BIDIMENSIONAL (X,Y).

LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD MÁS USUALES QUE SE

PUEDEN DEFINIR SOBRE DICHA VARIABLE, TENIENDO n POSIBLES

CASOS PARA X Y m PARA Y SON:

DISTRIBUCIÓN CONJUNTA DE (X, Y):

DISTRIBUCIONES MARGINALES DE X E Y:



DISTRIBUCIONES CONDICIONALES DE X SOBRE Y Y VICEVERSA:

SE DEFINE LA ENTROPÍA DE LAS DISTRIBUCIONES COMO SIGUE:



HACIENDO LA SUMA PONDERADA DE LOS H(X/Y = yj) SE OBTIENE

LA EXPRESIÓN DE LA ENTROPÍA CONDICIONADA DE X SOBRE Y:

SE DEFINE LA LEY DE ENTROPÍAS TOTALES:

SI X E Y SON VARIABLES INDEPENDIENTES:


CANTIDAD DE INFORMACIÓN ENTRE

DOS VARIABLES



DOS VARIABLES

TEOREMA DE DISMINUCIÓN DE LA ENTROPÍA: LA ENTROPÍA DE

UNA VARIABLE X CONDICIONADA POR OTRA Y ES MENOR O IGUAL

A LA ENTROPÍA DE X:

LA IGUALDAD SE DA SI Y SÓLO SI LAS VARIABLES X E Y SON

INDEPENDIENTES.

IDEA INTUITIVA:

CONOCER ALGO ACERCA DE LA VARIABLE Y PUEDE QUE

AYUDE A SABER MÁS SOBRE X (ES UNA REDUCCIÓN DE SU

ENTROPÍA).

EN NINGÚN CASO PODRÁ HACER QUE AUMENTE LA

INCERTIDUMBRE.

SHANNON PROPUSO UNA MEDIDA PARA LA CANTIDAD DE

INFORMACIÓN QUE APORTA SOBRE UNA VARIABLE EL

CONOCIMIENTO DE OTRA.



DOS VARIABLES

SE DEFINE LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN DE SHANNON QUE LA

VARIABLE X CONTIENE SOBRE Y COMO:

SIGNIFICA QUE LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN QUE APORTA

EL HECHO DE CONOCER X AL MEDIR LA INCERTIDUMBRE

SOBRE Y ES IGUAL A LA DISMINUCIÓN DE ENTROPÍA QUE ESTE

CONOCIMIENTO CONLLEVA.

SUS PROPIEDADES SON LAS SIGUIENTES:


LÍMITE DE NYQUIST


LÍMITE DE NYQUIST

NYQUIST DEMOSTRÓ LA EXISTENCIA DE UNA FRECUENCIA DE MUESTREO LLAMADA FRECUENCIA DE NYQUIST, IGUAL CUANTO MÁS AL DOBLE DE LA FRECUENCIA NATURAL DE ENTRADA (LA FRECUENCIA DE LA SEÑAL QUE SE VA A MUESTREAR).

NYQUIST SOSTIENE QUE SI SE HACE UN MUESTREO CON UNA FRECUENCIA SUPERIOR AL DOBLE:

LA INFORMACIÓN RECUPERADA ES “REDUNDANTE”.

ESTO SE DEBE INTERPRETAR COMO QUE LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN OBTENIDA AL RECUPERAR UN MENSAJE QUE SE HA MUESTREADO A UNA FRECUENCIA MAYOR QUE EL DOBLE DE LA NATURAL:

NO DIFIERE DE LA OBTENIDA CUANDO SE MUESTREA A UNA FRECUENCIA DEL DOBLE DE LA NATURAL.


LÍMITE DE NYQUIST

FN ES LA FRECUENCIA DE NYQUIST:

FN = 2 f.

UTILIZANDO EL PASABANDA PARA LOS CANALES DE INFORMACIÓN:

FN ≤ 2 ΔF.

NYQUIST ESTABLECIÓ QUE:

SI LOS CANALES SON SIN RUIDO.

SI LAS SEÑALES SON BINARIAS CON UNA TRANSMISIÓN MONONIVEL.

LA FN COINCIDE CON LA MÁXIMA VELOCIDAD BINARIA:

BPS ≤ 2 ΔF.

ESTO ES UN LÍMITE FÍSICO.


LÍMITE DE NYQUIST

ES POSIBLE SUPERAR ESTE MÁXIMO SI LA TRANSMISIÓN ES MULTINIVEL:

POR C/ INSTANTE DE MUESTREO SE TRANSMITIRÁ UN SÍMBOLO QUE CONTIENE MÁS DE DOS BITS Y POR LO TANTO I > 1:

BPS ≤ 2 ΔF log2 m.

m ES LA CANTIDAD DE NIVELES DE LA MODULACIÓN.

ASÍ SE RELACIONA LA MÁXIMA VELOCIDAD BINARIA CON EL ANCHO DE BANDA, LA CANTIDAD DE NIVELES Y LA ENTROPÍA.

A ESTA VELOCIDAD BINARIA SE LA DENOMINA LÍMITE DE NYQUIST:

BPS = 2 ΔF H.


LÍMITE DE NYQUIST

EJ.: EN UN CANAL DE TRANSMISIÓN SE USA UNA MODULACIÓN 64QAM Y ES DEL TIPO “CANAL DE VOZ”. ¿CUÁL SERÁ EL LÍMITE DE NYQUIST?:

MODULACIÓN 64QAM: 64 NIVELES DE MODULACIÓN.

CANAL DE VOZ: 4 KHZ DE PASABANDA.

BPS = 2 ΔF H = 2 x 4 x log2 64 = 8 x 6 = 48 KBPS.

NOTA: COMO LA FRECUENCIA ESTÁ EN KHZ, BPS ESTÁ EN KBPS.

EL LÍMITE ES VÁLIDO EN CANALES SIN RUIDO.


LÍMITE DE SHANNON


LÍMITE DE SHANNON

UN CANAL NO IDEAL ES CONSIDERADO POR SHANNON COMO

RUIDOSO.

EJ.: RUIDO BASE EQUIPARTIDO EXISTENTE EN LOS CANALES DE

COBRE USADOS COMO CANALES DE VOZ:

COINCIDE EN GENERAL CON EL VALOR DE RUIDO TÉRMICO O

LO SUPERA.


LÍMITE DE SHANNON

SEGÚN SHANNON EN ESTOS CANALES EXISTE UNA RELACIÓN

ENTRE:

LA CANTIDAD MÁXIMA DE NIVELES QUE EL CANAL PUEDE

ADMITIR.

LA RELACIÓN SEÑAL-A-RUIDO DEL MISMO, QUE ESTÁ DADO

POR:

mmax = (1 + S/N)½.

m ES LA CANTIDAD DE NIVELES.

S Y N SON LOS VALORES DE POTENCIA DE SEÑAL Y DE

POTENCIA DEL RUIDO EXPRESADOS EN UNIDADES DE

POTENCIA.

S/N ES LA RELACIÓN SEÑAL A RUIDO ADIMENSIONAL:

NO ES LA MEDIDA DECIBÉLICA DE LA GANANCIA O LA

PÉRDIDA.


LÍMITE DE SHANNON

EL CANAL DEBERÁ ESTAR SUJETO A RUIDO GAUSSIANO LIMITADO

EN BANDA: NO SE CONSIDERA LA PRESENCIA DE RUIDO

IMPULSIVO.

SE BUSCA LA CAPACIDAD MÁXIMA DEL CANAL:

SE DEBE MAXIMIZAR m EN EL LÍMITE DE NYQUIST:

mmax = (1 + S/N) ½.

BPS ≤ 2 ΔF log2 m.

BPS = 2 ΔF log2 (1 + S/N)½.

SIMPLIFICANDO LA ECUACIÓN ANTERIOR, SE OBTIENE LA

MÁXIMA VELOCIDAD DE TRANSMISIÓN EN FUNCIÓN DEL ANCHO DE

BANDA, LA POTENCIA DE LA SEÑAL Y LA DEL RUIDO GAUSSIANO:

BPS = ΔF log2 (1 + S/N).

ES EL LLAMAMOS LÍMITE DE SHANNON DADO POR LA LEY DE

SHANNON-HARTLEY.


CONSECUENCIAS DE LOS LÍMITES



SE DEBE TENER PRESENTE LO SIGUIENTE:

EN EL CÁLCULO DEL LÍMITE INTERVIENE LA RELACIÓN DE LAS

RESPECTIVAS POTENCIAS EN UNIDADES DE POTENCIA:

S/N ES ADIMENSIONAL, ES DECIR EN VECES.

NO ES LA GANANCIA DEL CIRCUITO NI LA PÉRDIDA DEL MEDIO.

EN EL CANAL SE CONSIDERA EL RUIDO GAUSSIANO.

LA SOLA APLICACIÓN DE LA LEY DE SHANNON:

NO PERMITE DETERMINAR LA MÁXIMA VELOCIDAD DE UN

MODULADOR CUALQUIERA EN UN CANAL REAL.

SI PERMITE DETERMINAR LA MÁXIMA CAPACIDAD DEL CANAL.



EJ.: SI UN CANAL TIENE UN ANCHO DE BANDA DE 2,7 KHZ Y LA

RELACIÓN ENTRE SEÑAL Y RUIDO ES S/N = 1000:

¿CUÁL SERÁ EL LÍMITE DE SHANNON?.

¿CUÁNTOS ESTADOS DEBERÁ MANEJAR EL MODULADOR?.

BPS = ΔF log2 (1 + S/N) = 2700 log2 (1001) = 26900.

SEGÚN EL LÍMITE DE NYQUIST:

BPS = 2 ΔF log2 m = 2 x 2700 x log2 m = 26900 BPS.

SE REQUERIRÁ AL MENOS UN MODULADOR DE 32 ESTADOS

PARA ALCANZAR ESA TASA DE BITS EN UN CANAL CON ESE

ANCHO DE BANDA.

EL LÍMITE DE SHANNON IMPACTA SOBRE LAS TÉCNICAS DE

MODULACIÓN Y DE TRANSMISIÓN.



ACTUALMENTE LAS REDES PÚBLICAS DE VOZ TIENEN UN VALOR

TÍPICO S/N DE 35 dB: UNA IMPORTANTE DIFICULTAD PARA

MEJORAR ESTE VALOR ES EL RUIDO DE CUANTIFICACIÓN.

EFECTO DEL RUIDO DE CUANTIZACIÓN:



EL RUIDO DE CUANTIZACIÓN Nq O ERROR DE CUANTIZACIÓN:

SE PRODUCE EN EL CODEC, A LA ENTRADA DE LA RED

DIGITAL DESDE LA RED ANALÓGICA.

ES PROPORCIONAL A LA DIFERENCIA ENTRE EL VALOR DE LA

AMPLITUD EN LA ENTRADA Y EL VALOR DE LA AMPLITUD A LA

SALIDA DEL CUANTIFICADOR.

ES PRODUCTO DE LA NECESIDAD DE ENCAMINAR LAS SEÑALES

ANALÓGICAS DE ÚLTIMA MILLA HACIA LAS REDES CONMUTADAS

DIGITALES.

SE CONOCE EL VALOR EN dB INDICADO DE 35 Db:

dB = 10 log10 (S/N).

EXPRESANDO S/N EN MODO ADIMENSIONAL EN FUNCIÓN DE Db:

S/N = 10dB/10.



SUSTITUYENDO ESTE VALOR EN LA ECUACIÓN DEL LÍMITE DE

SHANNON:

bps = ΔF log2 (1 + 10dB/10).

LA MÁXIMA VELOCIDAD EN BPS, SE LOGRA MULTIPLICANDO EL

ANCHO DE BANDA DEL CANAL POR EL log2 DE UNO MÁS DIEZ A LA

DÉCIMA PARTE DE LOS DECIBELES DE LA RED.

PARA UNA RED CON UN ANCHO DE BANDA ESTÁNDAR DE 3 KHZ, SE

OBSERVA QUE:

SI LA RED TIENE UNA RELACIÓN DE 35 DB:

BPS = 34.822 (34 KBPS).

SI LA RED EN CAMBIO MEJORA A 40 DB:

BPS = 39.839 (38,9 KBPS).


TIPOS DE ERRORES


TIPOS DE ERRORES

EN LOS SISTEMAS DE TRANSMISIÓN DIGITAL SE DICE QUE HA HABIDO UN ERROR CUANDO SE ALTERA UN BIT.

EXISTEN DOS TIPOS DE ERRORES:

ERRORES AISLADOS:

ALTERAN A UN SOLO BIT.

ERRORES A RÁFAGAS.

HA HABIDO UNA RÁFAGA DE LONGITUD B CUANDO SE RECIBE UNA SECUENCIA DE B BITS EN LA QUE SON ERRÓNEOS:

• EL PRIMERO.

• EL ÚLTIMO.

• Y CUALQUIER NÚMERO DE BITS INTERMEDIOS.


TIPOS DE ERRORES

LA NORMA IEEE 100 DEFINE UNA RÁFAGA DE ERRORES COMO:

• GRUPO DE BITS EN EL QUE DOS BITS ERRÓNEOS CUALQUIERA ESTARÁN SIEMPRE SEPARADOS POR MENOS DE UN NÚMERO X DE BITS CORRECTOS.

• EL ÚLTIMO BIT ERRÓNEO EN UNA RÁFAGA Y EL PRIMER BIT ERRÓNEO DE LA SIGUIENTE ESTARÁN SEPARADOS POR AL MENOS X BITS CORRECTOS.

EN UNA RÁFAGA DE ERRORES HABRÁ UN CONJUNTO DE BITS CON UN NÚMERO DADO DE ERRORES:

NO NECESARIAMENTE TODOS LOS BITS EN EL CONJUNTO SERÁN ERRÓNEOS.

UN ERROR AISLADO SE PUEDE DAR EN PRESENCIA DE RUIDO BLANCO, CUANDO CUALQUIER DETERIORO ALEATORIO EN LA RELACIÓN SEÑAL-RUIDO CONFUNDA AL RECEPTOR EN UN ÚNICO BIT.


TIPOS DE ERRORES

GENERALMENTE LAS RÁFAGAS SON MÁS FRECUENTES Y MÁS DIFÍCILES DE TRATAR:

PUEDEN ESTAR CAUSADAS POR RUIDO IMPULSIVO.

EN LA COMUNICACIÓN MÓVIL OTRA CAUSA PARA LAS RÁFAGAS SON LOS DESVANECIMIENTOS.

LOS EFECTOS DE UNA RÁFAGA SERÁN SIEMPRE MAYORES CUANTO MAYOR SEA LA VELOCIDAD DE TRANSMISIÓN.

EJ.: UN RUIDO IMPULSIVO O UN DESVANECIMIENTO DE 1 µs CAUSARÁ UNA RÁFAGA DE:

10 BITS A UNA VELOCIDAD DE TRANSMISIÓN DE 10 MBPS.

100 BITS A 100 MBPS.


DETECCIÓN DE ERRORES



EN TODO SISTEMA DE TRANSMISIÓN HABRÁ RUIDO:

DARÁ LUGAR A ERRORES QUE MODIFICARÁN UNO O VARIOS BITS DE LA TRAMA.

SE CONSIDERA TRAMA A UNA O VARIAS SECUENCIAS CONTIGUAS DE BITS.

SE CONSIDERAN LAS SIGUIENTES DEFINICIONES DE PROBABILIDADES PARA LOS POSIBLES ERRORES DE TRANSMISIÓN:

Pb: PROBABILIDAD DE QUE UN BIT RECIBIDO SEA ERRÓNEO: TASA DE ERROR POR BIT: BER: BIT ERROR RATE.

P1: PROBABILIDAD DE QUE UNA TRAMA LLEGUE SIN ERRORES.

P2: PROBABILIDAD DE QUE UTILIZANDO UN ALGORITMO PARA LA DETECCIÓN DE ERRORES, UNA TRAMA LLEGUE CON UNO O MÁS ERRORES NO DETECTADOS.

P3: PROBABILIDAD DE QUE UTILIZANDO UN ALGORITMO PARA LA DETECCIÓN DE ERRORES, UNA TRAMA LLEGUE CON UNO O MÁS ERRORES DETECTADOS Y SIN ERRORES INDETECTADOS.



SI NO SE TOMAN MEDIDAS PARA DETECTAR ERRORES:

LA PROBABILIDAD DE ERRORES DETECTADOS: P3 = 0.

SE SUPONE QUE TODOS LOS BITS TIENEN UNA PROBABILIDAD DE ERROR (Pb) CONSTANTE E INDEPENDIENTE:

P1 = (1 - Pb)F.

P2 = (1 – P1).

F: NÚMERO DE BITS POR TRAMA.

LA PROBABILIDAD DE QUE UNA TRAMA LLEGUE SIN NINGÚN BIT ERRÓNEO DISMINUYE AL AUMENTAR LA PROBABILIDAD DE QUE UN BIT SEA ERRÓNEO.

LA PROBABILIDAD DE QUE UNA TRAMA LLEGUE SIN ERRORES DISMINUYE AL AUMENTAR LA LONGITUD DE LA MISMA.



EJ.: UN OBJETIVO EN LAS CONEXIONES RDSI ES QUE LA BER EN UN CANAL DE 64 KBPS DEBE SER MENOR QUE 10-6 PARA POR LO MENOS EL 90% DE LOS INTERVALOS OBSERVADOS DE 1 MINUTO DE DURACIÓN:

SI LOS REQUISITOS SON MENOS EXIGENTES: EN EL MEJOR DE LOS CASOS, UNA TRAMA CON UN BIT ERRÓNEO NO DETECTADO OCURRE POR CADA DÍA DE FUNCIONAMIENTO CONTINUO EN UN CANAL DE 64 KBPS.

SI LA LONGITUD DE LA TRAMA ES DE 1000 BITS.

EL NÚMERO DE TRAMAS QUE SE PUEDEN TRANSMITIR POR DÍA ES 5,529 x 106:

LA TASA DE TRAMAS ERRÓNEAS ES: P2 = 1/(5,529 x 106) = 0,18 x 10-6.

SI Pb = 10-6:

P1 = (0,999999)1000 = 0,999.

P2 = 10-3:

• ESTÁ TRES ÓRDENES DE MAGNITUD POR ENCIMA DE LO REQUERIDO.

ESTO JUSTIFICA USAR TÉCNICAS PARA DETECCIÓN DE ERRORES.



PROCEDIMIENTO PARA DETECTAR ERRORES:



PRINCIPIO GRAL. PARA LAS TÉCNICAS DE DETECCIÓN DE

ERRORES:

DADA UNA TRAMA DE BITS, SE AÑADEN BITS ADICIONALES EN

EL TRANSMISOR FORMANDO UN CÓDIGO DETECTOR DE

ERRORES.

EL CÓDIGO SE CALCULARÁ EN FUNCIÓN DE LOS OTROS BITS

QUE SE VAYAN A TRANSMITIR.

GENERALMENTE, PARA UN BLOQUE DE DATOS DE k BITS, EL

ALGORITMO DE DETECCIÓN DE ERRORES UTILIZA UN CÓDIGO

DE n - k BITS: (n – k) < k.

EL CÓDIGO (CONJUNTO DE BITS) DE DETECCIÓN DE ERRORES,

LLAMADO BITS DE COMPROBACIÓN, SE AÑADE AL BLOQUE DE

DATOS PARA GENERAR LA TRAMA DE n BITS DE LONGITUD

QUE SERÁ TRANSMITIDA.



EL RECEPTOR SEPARARÁ LA TRAMA RECIBIDA:

k BITS DE DATOS.

(n - k) BITS DEL CÓDIGO DE DETECCIÓN DE ERRORES.

EL RECEPTOR REPETIRÁ EL CÁLCULO SOBRE LOS BITS DE

DATOS RECIBIDOS Y COMPARARÁ EL RESULTADO CON LOS BITS

RECIBIDOS EN EL CÓDIGO DE DETECCIÓN DE ERRORES.

SE DETECTARÁ UN ERROR SII LOS DOS RESULTADOS

MENCIONADOS NO COINCIDEN.

P3: PROBABILIDAD DE QUE LA TRAMA CONTENGA ERRORES Y EL

SISTEMA LOS DETECTE.

P2: ES LA TASA DE ERROR RESIDUAL: PROBABILIDAD DE QUE NO SE

DETECTE UN ERROR AUNQUE SE ESTÉ USANDO UN ESQUEMA DE




COMPROBACIÓN DE REDUNDANCIA CÍCLIDA (CRC)

UNO DE LOS CÓDIGOS PARA DETECCIÓN DE ERRORES MÁS

HABITUALES Y POTENTES SON LOS DE COMPROBACIÓN DE

REDUNDANCIA CÍCLICA (CRC: CYCLIC REDUNDANCY CHECK).

SE TIENE UN BLOQUE O MENSAJE DE k-BITS.

EL TRANSMISOR GENERA UNA SECUENCIA DE (n - k) BITS:

SECUENCIA DE COMPROBACIÓN DE LA TRAMA: FCS: FRAME

CHECK SEQUENCE.

LA TRAMA RESULTANTE CON n BITS SERÁ DIVISIBLE POR

ALGÚN NÚMERO PREDETERMINADO.



EL RECEPTOR DIVIDIRÁ LA TRAMA RECIBIDA POR ESE NÚMERO Y SI

NO HAY RESTO EN LA DIVISIÓN SUPONDRÁ QUE NO HA HABIDO

ERRORES.

EL RECEPTOR TAMBIÉN PODRÍA DIVIDIR LOS DATOS DE ENTRADA

(IGUAL QUE EL EMISOR) Y COMPARAR EL RESULTADO CON LOS

BITS DE COMPROBACIÓN.

ESTE PROCEDIMIENTO SE PUEDE EXPLICAR USANDO:

ARITMÉTICA MÓDULO 2.

POLINOMIOS.

LÓGICA DIGITAL.


DETECCIÓN DE ERRORES ARITMÉTICA MÓDULO 2

USA SUMAS Y RESTAS BINARIAS SIN ACARREO:

SON IGUALES A LA OPERACIÓN LÓGICA EXCLUSIVE-OR:

1111 1111 11001

+1010 -0101 x 11

0101 1010 11001

11001

101011

T: TRAMA DE n BITS A TRANSMITIR.

M: MENSAJE CON k BITS DE DATOS, CORRESPONDIENTES CON LOS

PRIMEROS k BITS DE T.

F = (n – k) BITS DE FCS: LOS ÚLTIMOS (n – k) BITS DE T.

P: PATRÓN DE n – k + 1 BITS: DIVISOR ELEGIDO.

T / P = 0.

T = 2n-kD + F.

MULTIPLICAR 2n-kD EQUIVALE A DESPLAZAR HACIA LA

IZQUIERDA n – k BITS AÑADIENDO CEROS AL RESULTADO.

SUMAR F SIGNIFICA CONCATENAR D Y F.



T DEBE SER DIVISIBLE POR P:

(2n-kD) / P = Q + (R / P).

HAY UN COCIENTE Y UN RESTO:

EL RESTO SERÁ AL MENOS 1 BIT MÁS CORTO QUE EL

DIVISOR PORQUE LA DIVISIÓN ES MÓDULO 2.

LA SECUENCIA DE COMPROBACIÓN DE LA TRAMA (FCS) SERÁ

EL RESTO DE LA DIVISIÓN:

T = 2n-kD + R.

R DEBE SATISFACER LA CONDICIÓN DE QUE EL RESTO DE

T/P SEA CERO:

• (T / P) = (2n-kD + R) / P = (2n-kD) / P + (R / P).

• (2n-kD) / P = Q + (R / P).

• (T / P) = Q + (R / P) + (R / P).

CUALQUIER NÚMERO BINARIO SUMADO A MÓDULO 2

CONSIGO MISMO ES 0:

• (T / P) = Q + ((R + R) / P) = Q:

– NO HAY RESTO: T ES DIVISIBLE POR P.



FCS SE GENERA FÁCILMENTE:

SE DIVIDE (2n-kD) / P Y SE USAN LOS (n – k) BITS DEL RESTO

COMO FCS.

EN EL RECEPTOR SE DIVIDIRÁ (T / P) Y SI NO HA HABIDO ERRORES

EL RESTO SERÁ 0.

EJ.:

MENSAJE D: 1010001101 (10 BITS).

PATRÓN P: 110101 (6 BITS).

FCS R: A CALCULAR (5 BITS).

n: 15; k: 10; (n – k): 5.

MENSAJE x 25: 101000110100000.



EL RESULTADO ANTERIOR SE DIVIDE POR P:



T = 2n-kD + R = 25D + R = 101000110101110: ESTO SE TRANSMITE.

SI NO HAY ERRORES EL RECEPTOR RECIBE T:

LA TRAMA RECIBIDA SE DIVIDE POR P Y SI EL RESTO R ES

0 SE SUPONE QUE NO HA HABIDO ERRORES:



EL PATRÓN P:

SE ELIGE CON UN BIT MÁS QUE LA LONGITUD DE LA FCS

DESEADA.

DEPENDERÁ DEL TIPO DE ERROR QUE SE ESPERA SUFRIR.

DEBE TENER COMO MÍNIMO EL BIT MENOS SIGNIFICATIVO Y

EL BIT MÁS SIGNIFICATIVO EN 1.

POLINOMIOS

OTRA POSIBILIDAD DE CRC ES EXPRESAR TODOS LOS VALORES

COMO POLINOMIOS DE UNA VARIABLE MUDA X, CON

COEFICIENTES BINARIOS:

D = 110011; D(X) = X5 + X4 + X + 1.

P = 11001; P(X) = X4 + X3 + 1.

SE USA ARITMÉTICA MÓDULO 2.

EL PROCEDIMIENTO DE CRC ES:



EJEMPLO: SE USA EL EJ. ANTERIOR:

D = 1010001101; D(X) = X9 + X7 + X3 + X2 + 1.

P = 110101; P(X) = X5 + X4 + X2 + 1.

R = 01110; R(X) = X3 + X2 + X.



DIVISIÓN DE POLINOMIOS DEL EJEMPLO:



UN ERROR E(X) NO SE DETECTARÁ SÓLO SI ES DIVISIBLE POR P(X):

SE DETECTARÁN LOS ERRORES NO DIVISIBLES, SI SE ELIGE

ADECUADAMENTE EL POLINOMIO P(X):

TODOS LOS ERRORES DE UN ÚNICO BIT SI P(X) TIENE MÁS

DE UN TÉRMINO DISTINTO DE CERO.

TODOS LOS ERRORES DOBLES SI P(X) TIENE AL MENOS UN

FACTOR CON TRES TÉRMINOS.

CUALQUIER NÚMERO IMPAR DE ERRORES SI P(X) CONTIENE

EL FACTOR (X + 1).

CUALQUIER RÁFAGA DE ERRORES CON LONGITUD MENOR

O IGUAL QUE n – k: MENOR O IGUAL QUE LA LONGITUD DE

LA FCS.

UNA FRACCIÓN DE LAS RÁFAGAS DE ERRORES CON

LONGITUD IGUAL A n – k + 1:

• LA FRACCIÓN ES 1 – 2-(n-k-1).

UNA FRACCIÓN DE LAS RÁFAGAS DE ERRORES CON

LONGITUDES MAYORES QUE n – k + 1:

• LA FRACCIÓN ES 1 – 2-(n-k).



SI TODOS LOS PATRONES DE ERROR SON EQUIPROBABLES:

PARA UNA RÁFAGA DE ERRORES DE LONGITUD r + 1 LA

PROBABILIDAD DE QUE NO SE DETECTE UN ERROR ES 1/2r-1.

PARA RÁFAGAS MAYORES LA PROBABILIDAD ES 1/2r.

r ES LA LONGITUD DE LA FCS.



EJ. DE DEFINICIONES DE P(X) USADAS FRECUENTEMENTE:

LA CRC-32 SE USA EN NORMAS IEEE 802 PARA LAN.

LÓGICA DIGITAL

CRC SE PUEDE REPRESENTAR E IMPLEMENTAR CON:

UN CIRCUITO DIVISOR FORMADO POR PUERTAS EXCLUSIVE-OR.

UN REGISTRO DE DESPLAZAMIENTO.



EJEMPLO: CIRCUITO CON REGISTROS DE DESPLAZAMIENTO PARA

DIVIDIR POR EL POLINOMIO X5 + X4 + X2 + 1:



ARQUITECTURA GENÉRICA DE UNA CRC PARA IMPLEMENTAR LA

DIVISIÓN POR (1 + A1X + A2X2 + … + An-1X

n-k-1 + Xn-k):


INTRODUCCIÓN A CÓDIGOS



DEFINICIÓN: SE CONSIDERA UN CONJUNTO FINITO A={a1, a2, ... aq},

AL QUE SE DENOMINA ALFABETO, A SUS ELEMENTOS, a1, a2, ... aq,

SE LOS LLAMA LETRAS O SÍMBOLOS. LAS SUCESIONES FINITAS

DE ELEMENTOS DE A SE LLAMAN PALABRAS.

LA PALABRA ai1ai2...ain SE DICE QUE TIENE LONGITUD n O BIEN

QUE ES UNA n-PALABRA.



EL CONJUNTO DE TODAS LAS PALABRAS SOBRE EL ALFABETO A

SE DENOTARÁ COMO A* (CON INDEPENDENCIA DE LA LONGITUD

DE LAS PALABRAS).

DEFINICIÓN: UN CÓDIGO SOBRE EL ALFABETO A ES UN

SUBCONJUNTO C DE A*, (CONJUNTO FORMADO POR PALABRAS

DEL ALFABETO).



A LOS ELEMENTOS DEL CÓDIGO C SE LES LLAMA PALABRAS DE

CÓDIGO.

EL NÚMERO DE ELEMENTOS DEL CÓDIGO C, QUE NORMALMENTE

SERÁ FINITO, SE DENOTA POR |C| Y SE DENOMINA TAMAÑO DEL

CÓDIGO.

SI C ES UN CÓDIGO SOBRE A Y A TIENE q ELEMENTOS (|A|=q)

ENTONCES SE DICE QUE C ES UN CÓDIGO q-ARIO:

EJEMPLO: A = Z2 = {0,1}: CÓDIGOS BINARIOS.

EJEMPLO DE CÓDIGO BINARIO: C = {0100,0010,0111}.



DEFINICIÓN: SI C ES UN CÓDIGO CUYAS PALABRAS TIENEN TODAS LA MISMA LONGITUD n, SE DICE QUE C ES UN CÓDIGO DE LONGITUD FIJA O UN CÓDIGO DE BLOQUES Y A n SE LE LLAMA LONGITUD DEL CÓDIGO C.

EL CÓDIGO C ANTERIOR ES UN CÓDIGO DE BLOQUES DE LONGITUD 4.

C = {011, 1011, 10} NO ES UN CÓDIGO DE BLOQUES:

NO SE PUEDE HABLAR DE LA LONGITUD DEL CÓDIGO.

SI C ES UN CÓDIGO DE LONGITUD n Y TAMAÑO m SE DICE QUE C ES UN (n,m)-CÓDIGO:

C = {0100,0010,0111} ES (4,3) CÓDIGO.



DADO UN ALFABETO S AL QUE DENOMINAREMOS ALFABETO FUENTE Y DADO UN CÓDIGO C SOBRE EL ALFABETO A, SE LLAMA FUNCIÓN DE CODIFICACIÓN A UNA APLICACIÓN BIYECTIVA f:

S ES EL ALFABETO EN EL CUAL ESTÁ LA INFORMACIÓN QUE SE QUIERE CODIFICAR.

UNA APLICACIÓN BIYECTIVA ENTRE 2 CONJUNTOS ES UNA APLICACIÓN:

INYECTIVA: ELEMENTOS DIFERENTES TIENEN IMÁGENES DIFERENTES; Y.

SOBREYECTIVA: LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO C SON IMÁGENES DE ALGÚN ELEMENTO DE S, EN ESTE CASO DE 1 YA QUE LA APLICACIÓN ES INYECTIVA.



A VECES f NO SERÁ UNA APLICACIÓN BIYECTIVA; SI f NO FUESE INYECTIVA HABRÍA VARIOS SÍMBOLOS DEL ALFABETO FUENTE QUE SE CODIFICARÍAN DE LA MISMA FORMA:

HARÍA LA DECODIFICACIÓN MUY DIFÍCIL.

CUANDO f ES BIYECTIVA HABLAMOS DE CÓDIGOS DESCIFRABLES.



EJEMPLO:



POLIVIO O CÓDIGO DE FUEGO GRIEGO (208 A.C.):



ESTE CÓDIGO NO PERMITE DETECTAR Y/O CORREGIR ERRORES.

CÓDIGO MORSE:

SE USA PARA TRANSMISIONES TELEGRÁFICAS, PARA

CODIFICAR UN MENSAJE FUENTE EN LENGUAJE NATURAL.



ESTE CÓDIGO NO ES DE LONGITUD FIJA:

LAS LETRAS MÁS FRECUENTES SE CODIFICAN CON PALABRAS

CORTAS.

LAS LETRAS MENOS USADAS SE CODIFICAN CON PALABRAS

MÁS LARGAS.

ESTO ES PARA CONSEGUIR MÁS EFICIENCIA.

LOS ESPACIOS SE USAN PARA SEPARAR PALABRAS (6 ESPACIOS).

ESTE CÓDIGO NO PERMITE CORREGIR Y/O DETECTAR ERRORES Y

NO TIENE FINES CRIPTOGRÁFICOS.

CÓDIGO ASCII (AMERICAN STANDARD CODE FOR

INFORMATION INTERCHANGE).

EL ASCII ESTÁNDAR USA PALABRAS DE 7 BITS:



EL CÓDIGO ASCII EXTENDIDO USA PALABRAS DE 8 BITS:

AL CÓDIGO ASCII DE 7 BITS SE LE AÑADE UN BIT DE PARIDAD PARA QUE EL NÚMERO DE 1 DE LA PALABRA SEA PAR:

ESTE ES EL CÓDIGO ASCII ESTÁNDAR CON CONTROL DE PARIDAD.

EL CÓDIGO ASCII ESTÁNDAR:

AL AÑADIR EL BIT DE PARIDAD SI SE CAMBIA UN BIT LA PALABRA QUE SE OBTIENE NO ES VÁLIDA:

EL NÚMERO DE 1 PASA A SER IMPAR CON LO QUE SE DETECTA EL ERROR.

ESTE CÓDIGO SÓLO DETECTA ERRORES, NO PUEDO SABER CUÁL FUE LA PALABRA QUE SE ENVIÓ.



EL ASCII CON CONTROL DE PARIDAD ES UN (8,128) CÓDIGO, MIENTRAS QUE EL ASCII ESTÁNDAR ES UN (7,128) CÓDIGO.

EL CÓDIGO ASCII EXTENDIDO ES UN (8,256) CÓDIGO.

EL CÓDIGO ASCII NO ES MUY EFICIENTE YA QUE ES DE LONGITUD FIJA Y USA EL MISMO NÚMERO DE BITS PARA CODIFICAR CARACTERES FRECUENTES Y POCO FRECUENTES.

EN ESTE CÓDIGO NO HACE FALTA SEPARAR LAS PALABRAS YA QUE CADA PALABRA TIENE UN NÚMERO FIJO DE BITS.

LA VENTAJA DEL ASCII CON BIT DE PARIDAD SOBRE EL ASCII ESTÁNDAR ES QUE PERMITE DETECTAR ERRORES Y SE PUEDE PEDIR REPETIR LA TRANSMISIÓN HASTA QUE ÉSTA SEA CORRECTA.

EL INCONVENIENTE ES QUE ES MENOS EFICIENTE YA QUE PARA TRANSMITIR LA MISMA INFORMACIÓN USA PALABRAS DE 8 BITS EN LUGAR DE PALABRAS DE 7 BITS.

PARA DETECTAR Y CORREGIR ERRORES A LOS CÓDIGOS SE LES AÑADE REDUNDANCIA CON LO QUE SE PIERDE EFICIENCIA.


CÓDIGOS DETECTORES DE ERRORES



SE INTENTA BUSCAR UNA TRANSMISIÓN PRECISA ENTRE DOS PUNTOS.

ESTOS CÓDIGOS SE USAN CUANDO SE REALIZA UNA TRANSMISIÓN POR UN CANAL RUIDOSO:

UN CANAL ES EL MEDIO FÍSICO POR EL CUAL SE REALIZA LA TRANSMISIÓN.

UN CANAL RUIDOSO ES UN CANAL QUE ESTÁ SUJETO A PERTURBACIONES Y QUE GENERA ALTERACIONES EN EL MENSAJE.

LOS CÓDIGOS DETECTORES DE ERRORES SE USAN PARA RECUPERAR LA INFORMACIÓN QUE LLEGÓ INCORRECTAMENTE:

SE USAN TAMBIÉN EN LOS CD, PARA QUE LA INFORMACIÓN SE RECUPERE A PESAR DE QUE EL CD ESTÉ RAYADO.



LA CODIFICACIÓN Y DECODIFICACIÓN DEBEN SER FÁCILES Y RÁPIDAS.

LA TRANSMISIÓN A TRAVÉS DEL CANAL DEBE SER RÁPIDA.

SE DEBE:

MAXIMIZAR LA CANTIDAD DE INFORMACIÓN TRANSMITIDA POR UNIDAD DE TIEMPO.

DETECTAR Y CORREGIR ERRORES.

ESTA ÚLTIMA CARACTERÍSTICA ENTRA EN CONFLICTO CON LAS ANTERIORES:

HACE QUE AUMENTE EL TAMAÑO DE LO QUE SE TRANSMITE.

EL CÓDIGO DEBE SER LO MÁS EFICIENTE POSIBLE Y DEBE PERMITIR DETECTAR Y CORREGIR ERRORES.



EL CANAL ACEPTA SÍMBOLOS DE UN ALFABETO FINITO A={a1, a2, ... aq} QUE LLAMAREMOS ALFABETO DEL CANAL (EJEMPLO: A = {0, 1}).

PARA SABER QUÉ TAN RUIDOSO ES UN CANAL SE DEBE CONOCER CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE SI SE EMITE UN SÍMBOLO SE RECIBA OTRO SÍMBOLO:

P(aj RECIBIDO | ai ENVIADO):

PROBABILIDAD DE QUE SI SE HA ENVIADO ai SE RECIBA aj.

CUANDO ESTE CONJUNTO DE PROBABILIDADES SE CONOCE PARA TODOS LOS VALORES DE i Y j CONOCEMOS LAS CARACTERÍSTICAS DEL CANAL.

EL CANAL PERFECTO SERÍA AQUÉL EN EL QUE:



A ESTAS PROBABILIDADES SE LES LLAMA PROBABILIDADES DEL CANAL O PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN.

EL CANAL PERFECTO NO EXISTE EN LA PRÁCTICA.

DEFINICIÓN: UN CANAL ES UN ALFABETO (DE CANAL) A={a1, a2, ... aq} Y UN CONJUNTO DE PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN P(aj RECIBIDO | ai ENVIADO) QUE SATISFACEN:



EL RUIDO SE DISTRIBUYE ALEATORIAMENTE:

LA PROBABILIDAD DE QUE UN SÍMBOLO SEA CAMBIADO POR OTRO EN LA TRANSMISIÓN ES LA MISMA PARA TODOS LOS SÍMBOLOS.

LA TRANSMISIÓN DE UN SÍMBOLO NO ESTÁ INFLUENCIADA POR LA TRANSMISIÓN DEL SÍMBOLO PRECEDENTE NI DE LOS ANTERIORES:

EL CANAL ES UN CANAL SIN MEMORIA.

EL ERROR EN LA TRANSMISIÓN DE UN SÍMBOLO NO AFECTA A LA TRANSMISIÓN DE LOS SIGUIENTES SÍMBOLOS.



UN CANAL USADO FRECUENTEMENTE ES EL CANAL BINARIO

SIMÉTRICO (BINARY SIMETRIC CHANNEL: BSC). EL ALFABETO

DEL CANAL ES A={0,1}.



0 p 1.

1-p: PROBABILIDAD DEL CANAL.

p: PROBABILIDAD DEL CRUCE.

p: PROBABILIDAD DE QUE UN 0 SEA RECIBIDO COMO UN 1.

1-p: PROBABILIDAD DE QUE UN 0 SEA RECIBIDO COMO UN 0.

p = 0: CANAL PERFECTO.

p = 1: SIEMPRE SE COMETE ERROR.

EN UN CANAL SIMÉTRICO:

EXISTE LA MISMA PROBABILIDAD DE QUE UN SÍMBOLO SE

RECIBA INCORRECTAMENTE.

SI UN SÍMBOLO SE RECIBE INCORRECTAMENTE HAY LA

MISMA PROBABILIDAD DE QUE SE RECIBA CUALQUIER OTRO

SÍMBOLO.



SI SE QUIERE DETECTAR ERRORES:

SE DEBE DISEÑAR UN CÓDIGO DE TAL FORMA QUE SI A UNA

PALABRA DEL CÓDIGO SE LE CAMBIA UN ÚNICO SÍMBOLO LA

PALABRA RESULTANTE NO SEA UNA PALABRA DEL CÓDIGO

PARA ASÍ PODER SABER QUE SE HA PRODUCIDO UN ERROR.

SI ADEMÁS SE QUIERE CORREGIR ERRORES:

HAY QUE SABER CUÁL ES LA PALABRA ENVIADA.

LA IDEA BÁSICA ES COMPARAR LA PALABRA RECIBIDA CON

TODAS LAS PALABRAS DEL CÓDIGO Y ASIGNARLE LA

PALABRA QUE DIFIERA EN MENOS SÍMBOLOS.



EJEMPLO:

ESTE CÓDIGO NO SERVIRÍA PARA DETECTAR ERRORES:



SI SE PRODUCEN ERRORES LAS PALABRAS QUE SE OBTIENEN SON

PALABRAS DEL CÓDIGO.

PARA DETECTAR ERRORES HAY QUE AÑADIR REDUNDANCIA:

SE MODIFICA EL CÓDIGO PARA CONSEGUIR QUE LAS

PALABRAS DEL CÓDIGO SE PAREZCAN MENOS ENTRE SÍ.



SE CONSIDERA:

SI SE RECIBE 111010:

SE VE QUE NO ES UNA PALABRA VÁLIDA DEL CÓDIGO Y SE

DETECTA QUE SE HA COMETIDO UN ERROR.

SE COMPARA ESTA PALABRA CON LAS PALABRAS DEL

CÓDIGO Y SE VE EN CUÁNTOS SÍMBOLOS SE DIFERENCIA DE

LAS PALABRAS DEL CÓDIGO.

SE VE QUE LA PALABRA MÁS PRÓXIMA ES LA 101010 YA QUE

SÓLO CAMBIA UN SÍMBOLO, POR LO QUE SE PODRÍA

ASIGNARLE ESTA PALABRA.



ESTE CÓDIGO TIENE LA PROPIEDAD DE QUE SI AL TRANSMITIR

UNA PALABRA SE COMETE UN ÚNICO ERROR SIEMPRE SE PUEDE

RECUPERAR LA PALABRA ORIGINALMENTE TRANSMITIDA YA

QUE DISTA UNO DE UNA PALABRA Y MÁS DE UNO DEL RESTO DE

PALABRAS.

SE DICE QUE ESTE CÓDIGO CORRIGE UN ERROR:

ESTO SE LOGRA A COSTA DE AUMENTAR LA LONGITUD DEL

CÓDIGO.

SE NECESITA EL TRIPLE DE TIEMPO Y ESPACIO PARA

TRANSMITIR LA MISMA INFORMACIÓN: DISMINUYE LA

EFICIENCIA DEL CÓDIGO.

ESTE CÓDIGO SE DENOMINA CÓDIGO DE REPETICIÓN.



CLASES RESIDUALES MÓDULO n.

DADO:

SEA n Z, n 2. DADOS a, b Z SE DICE QUE a ES CONGRUENTE

CON b MÓDULO n SI:



LA RELACIÓN DE CONGRUENCIA MÓDULO n ES UNA RELACIÓN

DE EQUIVALENCIA, YA QUE ES REFLEXIVA, SIMÉTRICA Y

TRANSITIVA.

LA RELACIÓN DE EQUIVALENCIA PERMITE DEFINIR LAS CLASES

DE EQUIVALENCIA a Z.

LA CLASE DE EQUIVALENCIA DE a SE DEFINE COMO AQUELLOS

NÚMEROS RELACIONADOS CON a:



EL CONJUNTO DE TODAS LAS CLASES DE EQUIVALENCIA

FORMAN UNA PARTICIÓN DE Z.

AL CONJUNTO DE TODAS LAS CLASES DE EQUIVALENCIA SE LE

DENOMINA CONJUNTO COCIENTE (SUS ELEMENTOS SON

CLASES).

SEAN a,b Z:



EN LA DIVISIÓN ENTERA EL RESTO O RESIDUO ES ÚNICO.

CADA ELEMENTO ESTÁ EN LA MISMA CLASE DE EQUIVALENCIA

QUE SU RESTO AL DIVIDIR POR n.

EL NÚMERO DE CLASES ES EL NÚMERO DE POSIBLES RESTOS AL

DIVIDIR POR n (n CLASES).



DEFINICIÓN: SEA C UN (n,m)-CÓDIGO q-ARIO (|A| = q, SIENDO A EL

ALFABETO). SE DEFINE LA TASA DE INFORMACIÓN (O DE

TRANSMISIÓN) DE C COMO:

EN EL CASO BINARIO SE TIENE:

ESTA DEFINICIÓN EXPRESA LA RELACIÓN QUE HAY ENTRE:

LOS SÍMBOLOS DEL CÓDIGO DEDICADOS A LA INFORMACIÓN.

LOS SÍMBOLOS DEDICADOS A LA REDUNDANCIA (DETECTAR

Y/O CORREGIR ERRORES).



EJEMPLO:



ESTE CÓDIGO NO CORRIGE NI DETECTA ERRORES:

TODOS LOS SÍMBOLOS ESTÁN DEDICADOS A LA TRANSMISIÓN

DE INFORMACIÓN.

ESTE CÓDIGO TIENE LA MÁXIMA TASA DE TRANSMISIÓN.

PARA CORREGIR UN ERROR SE AÑADE UN BIT DE PARIDAD.



LA TASA DE INFORMACIÓN DISMINUYE:

SE AÑADIÓ UN BIT PARA DETECTAR ERRORES PERO NO

TRANSMITE INFORMACIÓN.

SE PUEDE VER ESTO COMO EL COCIENTE ENTRE EL NÚMERO

DE SÍMBOLOS DEDICADOS A LA INFORMACIÓN Y EL NÚMERO

TOTAL DE SÍMBOLOS.

DADO R NO PODEMOS DETERMINAR SI EL CÓDIGO PERMITE

DETECTAR Y/O CORREGIR ERRORES.

CONOCIENDO R SABEMOS LA EFICIENCIA DEL CÓDIGO:

LOS CÓDIGOS MÁS EFICIENTES TIENEN R = 1.


DISTANCIA HAMMING Y

DESCODIFICACIÓN POR DISTANCIA

MÍNIMA


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA SE CONSIDERA:

u ES LA PALABRA TRANSMITIDA Y w ES LA PALABRA RECIBIDA.

PARA DESCODIFICAR SE USA UNA REGLA DE DECISIÓN QUE ES

UNA APLICACIÓN DE An EN C:


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA SI f(w) = u DESCODIFICO w COMO u.

SI w YA ES UNA PALABRA DEL CÓDIGO ENTONCES f(w) = w.

SE TIENE UNA REGLA DE DECISIÓN f: An C QUE VERIFICA:

ESTO SIGNIFICA QUE f(w) TIENE LA PROPIEDAD DE QUE NO HAY

NINGUNA OTRA PALABRA DEL CÓDIGO CON MAYOR

PROBABILIDAD DE HABER SIDO ENVIADA:

SI ESTO SE CUMPLE SE DICE QUE f ES UNA REGLA DE

DECISIÓN DE PROBABILIDAD MÁXIMA.


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA SI SE USA UN BSC:

NO CONOCEMOS EL VALOR DE 1-p.

NO SE CALCULAN PROBABILIDADES, SE VE CUÁL ES LA

PALABRA DE CÓDIGO MÁS PRÓXIMA A LA PALABRA

RECIBIDA:

ESTO COINCIDE, PARA UN BSC, CON LA DESCODIFICACIÓN

DE PROBABILIDAD MÁXIMA.


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

PROPOSICIÓN: DADO UN BSC CON 0 p ½ LA REGLA DE

DECISIÓN DE PROBABILIDAD MÁXIMA CONSISTE EN ELEGIR LA

PALABRA DE CÓDIGO QUE DIFIERA DE LA PALABRA RECIBIDA EN

EL NÚMERO MÍNIMO DE SÍMBOLOS POSIBLES.

LA PROBABILIDAD DE QUE UNA PALABRA TENGA k ERRORES EN

k POSICIONES DADAS ES pk (1-p)k.

SI SE ENVÍA v Y LA PALABRA RECIBIDA w DIFIERE DE v EN k

LUGARES:

LA PROBABILIDAD P(w RECIBIDO | v ENVIADO) = pk (1-p)k.

PUEDE OCURRIR QUE HAYA VARIAS PALABRAS A DISTANCIA

MÍNIMA (MLD).


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

SE DICE QUE LA DESCODIFICACIÓN ES COMPLETA SI SÓLO HAY

UNA PALABRA POSIBLE CON DISTANCIA MÍNIMA.

SE DICE QUE LA DESCODIFICACIÓN ES INCOMPLETA CUANDO

HAY MÁS DE UNA POSIBLE PALABRA CON DISTANCIA MÍNIMA

Y SE PRODUCE UN ERROR.

DEFINICIÓN: SEA A UN ALFABETO Y u,w An; SE DEFINE LA

DISTANCIA HAMMING d(u,w) COMO EL NÚMERO DE POSICIONES

EN LAS QUE DIFIEREN u Y w.


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

ESTA APLICACIÓN ES UNA MÉTRICA:

ES DEFINIDA POSITIVA:

ES SIMÉTRICA:

PRESENTA DESIGUALDAD TRIANGULAR:


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

DEFINICIÓN: SE LLAMA DISTANCIA MÍNIMA (O DISTANCIA) DE

UN CÓDIGO C A:


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

DEFINICIÓN: UN CÓDIGO C ES t-DETECTOR (DE ERRORES), t Z+,

SI EL NÚMERO DE ERRORES COMETIDOS AL TRANSMITIR UNA

PALABRA ES:

MAYOR O IGUAL QUE 1 Y.

MENOR O IGUAL QUE t.

ENTONCES LA PALABRA RESULTANTE NO ES UNA PALABRA

DEL CÓDIGO.

C SE DICE QUE ES EXACTAMENTE t-DETECTOR CUANDO ES t-

DETECTOR PERO NO ES (t+1)-DETECTOR.

PROPOSICIÓN: UN CÓDIGO C ES EXACTAMENTE t-DETECTOR SI

Y SÓLO SI d(C) = t+1.


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

DEFINICIÓN: UN CÓDIGO C ES t-CORRECTOR DE ERRORES SI:

LA DESCODIFICACIÓN PERMITE CORREGIR TODOS LOS

ERRORES DE TAMAÑO t O MENOR EN UNA PALABRA DEL

CÓDIGO.

SE SUPONE QUE CUANDO HAY VARIAS PALABRAS DEL

CÓDIGO EQUIDISTANTES DE LA PALABRA RECIBIDA EL

PROCESO DE DESCODIFICACIÓN DECLARA UN ERROR Y NO SE

COMPLETA.

UN CÓDIGO C SE DICE QUE ES EXACTAMENTE t-CORRECTOR

CUANDO ES t-CORRECTOR PERO NO ES (t+1)-CORRECTOR.

ERROR DE TAMAÑO t: ERROR EN EL CUAL EL N° DE ERRORES ES

t.


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

PROPOSICIÓN: UN CÓDIGO C ES EXACTAMENTE t-CORRECTOR

SI Y SÓLO SI d(C) = 2t + 1 O 2t + 2.

EJEMPLO:


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

LA PALABRA RECIBIDA w DISTA t+1 DE u Y DISTA t DE v, LUEGO

EL CÓDIGO NO CORRIGE t+1 ERRORES.

DEFINICIÓN: UN CÓDIGO DE LONGITUD n, TAMAÑO m Y

DISTANCIA d SE DICE QUE ES UN (n,m,d) – CÓDIGO.


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

EJEMPLOS:

CÓDIGO DE REPETICIÓN BINARIA DE LONGITUD n:

ESTE CÓDIGO CORRIGE (n-1) / 2 ERRORES.


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

EL MARINER 9 (1979) TOMÓ FOTOS EN BLANCO Y NEGRO DE

MARTE:

LAS IMÁGENES ERAN DE 600X600 Y CON 64 NIVELES DE GRIS.

SE USÓ UN CÓDIGO BINARIO DE TAMAÑO 64; UN (32, 64, 16)-

CÓDIGO (CÓDIGO DE REED-MULLER):

ESTE ERA UN CÓDIGO 7-CORRECTOR.


DISTANCIA HAMMING Y


MÍNIMA

EL VOYAGER (1979-1981) TOMÓ FOTOS EN COLOR DE JÚPITER Y

SATURNO DE 4096 COLORES:

SE USÓ UN (24, 4096, 8)-CÓDIGO (CÓDIGO DE GOLAY):

ESTE ERA UN CÓDIGO 3-CORRECTOR.


CÓDIGOS PERFECTOS


CÓDIGOS PERFECTOS

DEFINICIÓN: SEA A UN ALFABETO, |A| = q, v An Y r R, r 0. LA

ESFERA DE RADIO r Y CENTRO v ES:


CÓDIGOS PERFECTOS

EL VOLUMEN DE Sq(v,r) ES |Sq(v,r)| Y ESTÁ DADO POR:


CÓDIGOS PERFECTOS

EJEMPLO:

SE TIENE:

A = {0, 1}.

n = 3.


CÓDIGOS PERFECTOS

DEFINICIÓN: SEA C An. EL RADIO DE EMPAQUETAMIENTO DE C ES EL MAYOR ENTERO r TAL QUE TODAS LAS ESFERAS DE RADIO r (Sq (v,r), v C) SON DISJUNTAS.

DEFINICIÓN: EL RADIO DE RECUBRIMIENTO ES EL MENOR ENTERO s TAL QUE LA UNIÓN DE TODAS LAS ESFERAS DE RADIO s ES An.

r = pr(C); s = cr(C).


CÓDIGOS PERFECTOS

PROPOSICIÓN:

UN CÓDIGO C ES t-CORRECTOR SI Y SÓLO SI LAS ESFERAS DE RADIO t Sq (v,t), v C, SON DISJUNTOS.

C ES EXACTAMENTE t-CORRECTOR SI Y SÓLO SI pr(c) = t.

EL RADIO DE EMPAQUETAMIENTO DE UN (n,m,d)-CÓDIGO ES:

DEFINICIÓN: UN CÓDIGO C An SE DICE PERFECTO CUANDO cr(C) = pr(C), ES DECIR, CUANDO EXISTE UN ENTERO r TAL QUE Sq (v,r), v C, SON DISJUNTAS Y RECUBREN An:

EN ESTE CASO LAS ESFERAS DE RADIO r FORMAN UNA PARTICIÓN DE An.


CÓDIGOS PERFECTOS

EJEMPLO:

H2 (3) (HAMMING): ES UN (7,16,3)-CÓDIGO BINARIO.

ESTE ES UN CÓDIGO 1-CORRECTOR.

d = 3 ; t = 1 = pr(H2(3)); m = |H2 (3)| = 16.

VERIFICACIÓN ACERCA DE SI ESTE CÓDIGO ES PERFECTO:

|An| = |Z27| = 27 = 128.

SE DEBE VERIFICAR QUE:

LAS ESFERAS DE RADIO 1 RECUBREN Z27.

LA UNIÓN DE TODAS LAS ESFERAS TIENE 128 ELEMENTOS.

V2(7,1) = |S2(v,1)| = 1 + 7 = 8.

HAY 16 ESFERAS: TIENEN 8·16 PALABRAS = 128.

EL CÓDIGO ES PERFECTO.


CÓDIGOS PERFECTOS

PROPOSICIÓN (CONDICIÓN DE EMPAQUETAMIENTO DE

ESFERAS): SEA C UN (n,m,d)-CÓDIGO q-ARIO. C ES PERFECTO SI

Y SÓLO SI d = 2t + 1 ES IMPAR Y ADEMÁS n·Vq(n,t) = qn, ES DECIR:

(n,m,d)-CÓDIGO q-ARIO:


CÓDIGOS PERFECTOS

LA EFICIENCIA Y LA CAPACIDAD DE CORREGIR ERRORES SON

INCOMPATIBLES:

PARA CORREGIR ERRORES LAS PALABRAS DEBEN SER

LARGAS, CON LO QUE SE REDUCE LA EFICIENCIA.

SE BUSCAN CÓDIGOS ÓPTIMOS QUE COMBINEN ESTAS DOS

PROPIEDADES.

DEFINICIÓN: LA TASA DE CORRECCIÓN DE ERRORES DE UN

(n,m,d)-CÓDIGO C ES:

ES EL NÚMERO DE ERRORES QUE SE CORRIGEN EN RELACIÓN A LA

LONGITUD DE LAS PALABRAS.


CÓDIGOS PERFECTOS

EJEMPLO:


CÓDIGOS PERFECTOS

CUANTO MAYOR SEA LA LONGITUD DEL CÓDIGO MÁS AUMENTA

LA TASA DE CORRECCIÓN DE ERRORES (HASTA EL LÍMITE DE 0.5).

NO SE CORRIGEN ERRORES CUANDO TODAS LAS PALABRAS DE An

SON PALABRAS DEL CÓDIGO.

EL PROBLEMA DE CUÁLES SON LOS MEJORES CÓDIGO AÚN NO

ESTÁ RESUELTO.

LA TASA DE CORRECCIÓN DE ERRORES ESTÁ DADA POR d Y n:

SE FIJAN d Y n Y SE TRATA DE OPTIMIZAR m PARA QUE EL

CÓDIGO TENGA R LO MAYOR POSIBLE.


CÓDIGOS PERFECTOS

SE DEFINE:

Aq(n,d) := MAX {m / EXISTE (n,m,d)-CÓDIGO q-ARIO}.

UN (n, Aq(n,d),d)-CÓDIGO SE DICE QUE ES UN CÓDIGO OPTIMABLE.

PROBLEMA PRINCIPAL DE LA TEORÍA DE CÓDIGOS:

DETERMINAR EL VALOR DE Aq(n,d).


CÓDIGOS PERFECTOS

SEGÚN SHANNON EN “A MATHEMATICA THEORY OF

COMMUNICATION”:

TEOREMA DEL CANAL RUIDOSO: ESTE TEOREMA DEMUESTRA

QUE EXISTEN BUENOS CÓDIGOS PERO NO DICE CÓMO

OBTENERLOS.

PARA UN BSC CON PROBABILIDAD DE PASO p LA CAPACIDAD ES:

SE CONSIDERA UN BSC CON CAPACIDAD C(p):

SI R(C) < C(p) ENTONCES PARA CADA > 0 EXISTE UN (n,m)-

CÓDIGO C CUYA TASA DE TRANSMISIÓN ES MAYOR O IGUAL

QUE R Y PARA EL CUAL P(ERROR DE DESCODIFICACIÓN) < .


CÓDIGOS PERFECTOS

EJEMPLO:

BSC CON p = 0.01; C(p) = 0.919 (CASI 92%).

PODEMOS ENCONTRAR UN CÓDIGO CON R = 0.919 Y CON

PROBABILIDAD DE ERROR ARBITRARIAMENTE BAJA.


CÓDIGOS LINEALES


CÓDIGOS LINEALES

LOS CÓDIGOS LINEALES SON ESPACIOS VECTORIALES SOBRE UN CUERPO FINITO.

LOS ALFABETOS QUE USAREMOS SON CUERPOS FINITOS (K).

Zp = {0,1....p-1}.

q = pr: p PRIMO.

Fq: CUERPO FINITO CON q ELEMENTOS.

EN PARTICULAR, SI q = p (PRIMO), ENTONCES Fq = Fp = Zp.

F2 = Z2 = {0,1}.

F3 = {0,1,2}.

F5 = {0,1,2,3,4}.

DEFINICIÓN: UN CÓDIGO LINEAL DE LONGITUD n SOBRE K ES UN K-SUBESPACIO VECTORIAL C DE Kn.


CÓDIGOS LINEALES

K = Z2.

EN EL CASO BINARIO LA SUMA DE DOS PALABRAS DEBE SER UNA PALABRA DEL CÓDIGO.

C = {010}: NO ES UN CÓDIGO LINEAL, YA QUE NO CONTIENE A 000.

C = {000,010,110}: NO ES UN CÓDIGO LINEAL YA QUE 110 + 010 = 100 C.


CÓDIGOS LINEALES

UN CÓDIGO LINEAL BINARIO TIENE UN NÚMERO DE PALABRAS QUE ES POTENCIA DE 2.

UN CÓDIGO LINEAL C SOBRE K DE LONGITUD n Y DIMENSIÓN k SE DICE QUE ES UN [n,k]-CÓDIGO (LINEAL):

SI LA DISTANCIA ES d, SE DICE QUE ES UN [n,k,d]-CÓDIGO.


CÓDIGOS LINEALES

DEFINICIÓN: SEA C UN CÓDIGO (NO NECESARIAMENTE LINEAL)

Y v C UNA PALABRA DEL CÓDIGO. SE DEFINE EL PESO DE v

COMO EL NÚMERO w(v) DE SÍMBOLOS NO NULOS DE v:

v = 10010: w(v) = 2.

PROPOSICIÓN: SEA C UN CÓDIGO LINEAL Y u,v C. ENTONCES SE

VERIFICA:

d(u,v) = w(u-v).

w(u) = d(u,0).

DEFINICIÓN: SEA C UN CÓDIGO. SE LLAMA PESO DE C (O PESO

MÍNIMO DE C) A:

PROPOSICIÓN: SI C ES UN CÓDIGO LINEAL ENTONCES d(C) =

w(C).


MATRICES GENERATRICES Y

MATRICES DE CONTROL – CÓDIGOS

CORRECTORES




CORRECTORES

DEFINICIÓN: SEA C UN [n,k]-CÓDIGO LINEAL SOBRE UN CUERPO

K (C Kn). UNA MATRIZ GENERATRIZ DE C ES UNA MATRIZ DE

Mkxn(K) CUYAS FILAS FORMAN UNA BASE DE C.

C = <101101, 011000, 110101, 001010> ES UN [6,3]-CÓDIGO.




CORRECTORES

PARA QUE UNA MATRIZ SEA GENERATRIZ SUS FILAS DEBEN SER

UNA BASE DEL CÓDIGO, DEBEN SER UN CONJUNTO LI

(LINEALMENTE INDEPENDIENTE).

LA MATRIZ DEBE TENER RANGO k (= NÚMERO DE FILAS).

PROPOSICIÓN: SI G Mkxn(K) CON k n, G ES MATRIZ

GENERATRIZ DE UN CÓDIGO LINEAL SOBRE K ([n,k]-CÓDIGO) SI Y

SÓLO SI rg(G) = (G) = k.




CORRECTORES

PROPOSICIÓN: SEA C UN [n,k]-CÓDIGO LINEAL SOBRE K Y G

UNA MATRIZ GENERATRIZ DE C:

ENTONCES:

LA SIGUIENTE APLICACIÓN ES UN ISOMORFISMO DE k-

ESPACIOS VECTORIALES.

INTERESA ENCONTRAR MATRICES GENERATRICES LO MÁS

SENCILLAS POSIBLES PARA QUE LA DESCODIFICACIÓN SEA

SENCILLA.




CORRECTORES

DEFINICIÓN: SEA C UN (n,m,d)-CÓDIGO q-ARIO SOBRE UN

ALFABETO A. SE CONSIDERAN LOS DOS TIPOS DE OPERACIONES

SIGUIENTES:

1) SEA UNA PERMUTACIÓN DEL CONJUNTO DE ÍNDICES {1, 2,

.... N}. ES UNA APLICACIÓN BIYECTIVA DE UN CONJUNTO EN SI

MISMO. EJEMPLO:

PARA CADA PALABRA DEL CÓDIGO u = u1u2 ...un, ui A, SE

SUSTITUYE u POR LA PALABRA u(1) u(2) ... u(n)

(PERMUTACIÓN POSICIONAL).




CORRECTORES

2) SEA PARA CADA ÍNDIDE i {1, 2, ....n}, i: A A UNA

PERMUTACIÓN. SE SUSTITUYE CADA PALABRA DEL CÓDIGO u

= u1u2 ...un POR u1u2 ... i (ui)... un (PERMUTACIÓN DE SÍMBOLOS).

EJEMPLO:

i = 3.




CORRECTORES

DEFINICIÓN: EL CÓDIGO C´ ES EQUIVALENTE AL CÓDIGO C

CUANDO C´ SE OBTIENE A PARTIR DE C MEDIANTE UNA

SUCESIÓN FINITA DE OPERACIONES DE LOS 2 TIPOS ANTERIORES.

EJEMPLO:

C’ = {11120, 10221, 21020, 10120, 22011}




CORRECTORES

AHORA SE APLICA:

SE APLICA 1:

SE APLICA 4:




CORRECTORES

ESTA RELACIÓN ES UNA RELACIÓN DE EQUIVALENCIA, ES

DECIR, CUMPLE LAS PROPIEDADES REFLEXIVA, SIMÉTRICA Y

TRANSITIVA.

ESTAS OPERACIONES CONSERVAN TODOS LOS PARÁMETROS DEL

CÓDIGO (LONGITUD, TAMAÑO Y DISTANCIA ENTRE PALABRAS):

DOS CÓDIGOS EQUIVALENTES TIENEN LOS MISMOS

PARÁMETROS Y LA MISMA DISTANCIA MÍNIMA, CON LO QUE

TIENEN LA MISMA CAPACIDAD DE CORREGIR ERRORES.

PROPOSICIÓN: SEA C UN CÓDIGO DE LONGITUD n SOBRE EL

ALFABETO A Y u An. ENTONCES EXISTE UN CÓDIGO C´

EQUIVALENTE A C Y TAL QUE u C´.




CORRECTORES

DEFINICIÓN: UNA MATRIZ GENERATRIZ G DE UN [n,k]-CÓDIGO

SE DICE NORMALIZADA O ESTÁNDAR CUANDO ES DE LA FORMA

SIGUIENTE:

Ik ES LA MATRIZ IDENTIDAD DE Mk(K) (MATRICES

CUADRADAS k X k).

SI UN CÓDIGO C TIENE UNA MATRIZ GENERATRIZ ESTÁNDAR

SE DICE QUE C ES UN CÓDIGO SISTEMÁTICO.




CORRECTORES

EJEMPLO:

[5,3]-CÓDIGO.

A: k FILAS Y n-k COLUMNAS.

A Mkx(n-k)(K).

n = k, Kn = C.




CORRECTORES

[n,n]-CÓDIGO.

UN CÓDIGO DE ESTE TIPO ES EL CÓDIGO ASCII ESTÁNDAR.




CORRECTORES

EL CÓDIGO ASCII CON BIT DE PARIDAD:

ES UN (8,128,2)-CÓDIGO.

ES UN CÓDIGO LINEAL YA QUE SI SUMAMOS 2 PALABRAS CON

UN NÚMERO PAR DE UNOS OBTENEMOS UNA PALABRA CON

UN NÚMERO PAR DE UNOS.

ES UN [8,7]-CÓDIGO.




CORRECTORES

PROPOSICIÓN: SE VERIFICAN LAS SIGUIENTE PROPIEDADES:

I) TODO CÓDIGO LINEAL ES EQUIVALENTE A UN CÓDIGO

SISTEMÁTICO.

II) UN CÓDIGO SISTEMÁTICO POSEE UNA ÚNICA MATRIZ

GENERATRIZ ESTÁNDAR.

III) SI C ES UN [n,k]-CÓDIGO SISTEMÁTICO ENTONCES PARA

CADA u = u1u2 ...un Kk EXISTE UNA ÚNICA PALABRA DE

CÓDIGO Cu C DE LA FORMA Cu = u1u2 ...uk xk+1...xn.

TOMAMOS TODO Kk Y LE AÑADIMOS n-k SÍMBOLOS DE TAL

FORMA QUE EL CÓDIGO SIGA SIENDO UN EV.

LAS k PRIMERAS COMPONENTES SE LLAMAN SÍMBOLOS DE

INFORMACIÓN Y LAS n-k SIGUIENTES SE LLAMAN SÍMBOLOS

DE CONTROL O SÍMBOLOS DE REDUNDANCIA.




CORRECTORES

CÓDIGO ASCII CON BIT DE PARIDAD:

LAS 7 PRIMERAS POSICIONES NO CORRIGEN ERRORES,

FORMAN TODO Z72.

SE AÑADE UN SÍMBOLO DE CONTROL PARA PERMITIR LA





CORRECTORES

DIFERENCIA ENTRE LA DESCODIFICACIÓN DE FUENTE Y LA

DESCODIFICACIÓN DE CANAL:

LA DESCODIFICACIÓN DE CANAL CONSISTE EN:

USAR UN CÓDIGO DETECTOR DE ERRORES.

RECIBIR LAS PALABRAS TRANSMITIDAS.

SI ÉSTAS NO SON PALABRAS DEL CÓDIGO:

POR ALGÚN MÉTODO SUSTITUIR LA PALABRA RECIBIDA

POR UNA PALABRA DEL CÓDIGO.

LA DESCODIFICACIÓN DE LA FUENTE CONSISTE EN:

TOMAR LA INFORMACIÓN Y PASARLA A SU FORMATO

ORIGINAL.

EN EL CASO DE LOS CÓDIGOS LINEALES LA CODIFICACIÓN Y

DESCODIFICACIÓN DE FUENTE ES BASTANTE EFICIENTE.




CORRECTORES

SEA G LA MATRIZ GENERATRIZ DE UN [n,k]-CÓDIGO C SOBRE K.

ESTA APLICACIÓN ES UN ISOMORFISMO DE EV.

PARA CODIFICAR SE CODIFICA POR BLOQUES:

SE CONSTRUYE LA FUENTE COMO ELEMENTOS DE Kk.

SE APLICA EL ISOMORFISMO PASAMOS AL CÓDIGO C.




CORRECTORES

LA DESCODIFICACIÓN DE FUENTE CONSISTE EN:

UNA VEZ QUE SE HA RECIBIDO xG RECUPERAR x.

ESTO SE HACE RESOLVIENDO UN SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES.




CORRECTORES

ESTE SISTEMA TIENE RANGO k:

TIENE SOLUCIÓN ÚNICA.

HAY k ECUACIONES LI (LINEALMENTE INDEPENDIENTES):

PODEMOS ELIMINAR n-k ECUACIONES.

EL NÚMERO DE INCÓGNITAS ES IGUAL AL RANGO DEL

SISTEMA.

LA SOLUCIÓN ES ÚNICA.




CORRECTORES

DEFINICIÓN: SEA C UN [n,k]. EL CÓDIGO DUAL (CÓDIGO

ORTOGONAL) DE C ES EL ESPACIO VECTORIAL ORTOGONAL DE C

CON RESPECTO AL PRODUCTO ESCALAR ORDINARIO DE Kn, ES

DECIR:

PROPOSICIÓN: SI C ES UN [n,k]-CÓDIGO ENTONCES C ES UN [n,n-

k]-CÓDIGO.




CORRECTORES

EJEMPLO:




CORRECTORES

DEFINICIÓN: SE LLAMA MATRIZ DE CONTROL (PARITY-CHECK

MATRIX) DE C A CUALQUIER MATRIZ GENERATRIZ DE C. SI H ES

UNA MATRIZ DE CONTROL DE C ENTONCES:

SI C ES UN [n,k]-CÓDIGO Y H ES UNA MATRIZ DE CONTROL DE C,

H M(n-k)xn(K).




CORRECTORES

DEFINICIÓN: UN CÓDIGO LINEAL C SE DICE AUTODUAL

CUANDO COINCIDE CON SU DUAL: C = C .

PROPOSICIÓN: SEA C UN CÓDIGO LINEAL SISTEMÁTICO QUE

TIENE UNA MATRIZ GENERATRIZ ESTÁNDAR G = (Ik | A).

ENTONCES P = (At | -In-k) ES UNA MATRIZ DE CONTROL DE C.

DEFINICIÓN: SE DICE QUE LA MATRIZ DE CONTROL P DEL

CÓDIGO C ES UNA MATRIZ DE CONTROL ESTÁNDAR CUANDO ES

DE LA FORMA P = (B | In-k).

SEA C EL CÓDIGO BINARIO DE MATRIZ GENERATRIZ:




CORRECTORES

SE TIENE C = H2 (3) (CÓDIGO DE HAMMING); HALLAR UNA

MATRIZ DE CONTROL DE C.




CORRECTORES

CARACTERÍSTICAS DE LAS MATRICES GENERATRICES Y LAS MATRICES DE CONTROL:

LA VENTAJA DE LA MATRIZ GENERATRIZ ES QUE A PARTIR DE ELLA ES MÁS FÁCIL OBTENER LAS PALABRAS DEL CÓDIGO (CL (COMBINACIÓN LINEAL) DE SUS FILAS).

PARA EL CÁLCULO DE LA DISTANCIA MÍNIMA ES MEJOR TENER LA MATRIZ DE CONTROL:

A PARTIR DE LA MATRIZ GENERATRIZ NO SE CONOCE NINGÚN MÉTODO DIRECTO PARA OBTENER w(C).

A PARTIR DE LA MATRIZ DE CONTROL SÍ.

PROPOSICIÓN: SEA P UNA MATRIZ DE CONTROL DE UN [n,k,d]-CÓDIGO LINEAL:

ENTONCES LA DISTANCIA MÍNIMA d ES EL MENOR ENTERO POSITIVO r PARA EL CUAL EXISTEN r COLUMNAS LINEALMENTE DEPENDIENTES EN LA MATRIZ P.




CORRECTORES

LOS CÓDIGOS LINEALES TIENEN UN MÉTODO DE DESCODIFICACIÓN (DE CANAL) MUY BUENO.

SEA C UN [n,k]-CÓDIGO LINEAL Y H UNA MATRIZ DE CONTROL DE C, H M(n-k)xn(K). LA MATRIZ H DEFINE UNA APLICACIÓN LINEAL:

DEFINICIÓN: SUPONGAMOS QUE SE TRANSMITE LA PALABRA x C Kn Y QUE LA PALABRA RECIBIDA ES y Kn. ENTONCES A LA DIFERENCIA = y – x Kn SE LE LLAMA PALABRA DE ERROR.

SE PUEDE DEMOSTRAR QUE:




CORRECTORES

DEFINICIÓN: SEA C UN [n,k]-CÓDIGO CON MATRIZ DE CONTROL H:

DADO x Kn SE LLAMA SÍNDROME DE x A LA PALABRA h(x) = xHt Kn-k.

x C SI Y SÓLO SI EL SÍNDROME DE x ES 0.

PROPOSICIÓN: SEA C UN [n,k]-CÓDIGO LINEAL CON MATRIZ DE CONTROL H:

SI x,y Kn, x E y TIENEN EL MISMO SÍNDROME SI Y SÓLO SI PERTENECEN A LA MISMA CLASE DEL ESPACIO COCIENTE Kn/C.

LA DESCODIFICACIÓN POR DISTANCIA MÍNIMA CONSISTE EN:

BUSCAR “LA PALABRA DE PESO MÍNIMO ENTRE TODAS LAS QUE TIENEN EL MISMO SÍNDROME QUE LA PALABRA RECIBIDA y”.

CALCULAR x = y - .




CORRECTORES

ESQUEMA:

SE CALCULA EL SÍNDROME DE LA PALABRA RECIBIDA y, h(y) = yHt.

SE DETERMINA LA CLASE LATERAL ASOCIADA A ESTE SÍNDROME, y+C.

SE BUSCA EN ESTA CLASE LA PALABRA DE PESO MÍNIMO .

SE CALCULA x = y - .

SI C ES UN CÓDIGO t-CORRECTOR Y EN LA TRANSMISIÓN SE HAN COMETIDO t O MENOS ERRORES:

EN LA CLASE y+C HAY UNA ÚNICA PALABRA DE PESO MENOR O IGUAL QUE y QUE ES LA PALABRA DE ERROR .




CORRECTORES

DESCODIFICACIÓN POR SÍNDROME:

SE CONSTRUYE LA TABLA ESTÁNDAR:

SEA C UN [n,k]-CÓDIGO DE TAMAÑO m(=qk), C Kn.




CORRECTORES

SEA u2 UNA PALABRA DE Kn-C DE PESO MINIMAL. LA 2ª FILA ESTÁ FORMADA POR LAS PALABRAS DE u2+C.

SEA u3 UNA PALABRA DE Kn-C QUE NO PERTENECE A u2+C DE PESO MINIMAL.

SE REPITE ESTO qn-k VECES.

Kn ES LA UNIÓN DISJUNTA DE LAS CLASE u+C.

LAS PALABRAS DE LA 1ª COLUMNA DE LA TABLA ESTÁNDAR SE LLAMAN LÍDERES DE CLASE Y TIENEN PESO MINIMAL DENTRO DE LA CLASE.

SI C ES t-CORRECTOR, CUALQUIER PALABRA DE Kn DE PESO MENOR O IGUAL QUE t ES LÍDER DE CLASE.




CORRECTORES

EN EL CASO BINARIO EL CÁLCULO DEL SÍNDROME SE REALIZA

TOMANDO LA MATRIZ DE CONTROL:

SE CONSIDERAN LAS COMPONENTES NO NULAS DE LA

PALABRA RECIBIDA.

SE SUMAN LAS COLUMNAS DE LA MATRIZ DE CONTROL QUE

OCUPAN LAS POSICIONES NO NULAS DE LA PALABRA

RECIBIDA.

EJEMPLO:

SEA C EL CÓDIGO CON MATRIZ DE CONTROL:




CORRECTORES

CONSTRUIR LA TABLA ESTÁNDAR Y DESCODIFICAR LAS

PALABRAS RECIBIDAS: 11101, 00110 Y 01101.

EN PRIMER LUGAR SE DETERMINA UNA MATRIZ GENERATRIZ

PARA HALLAR LAS PALABRAS DEL CÓDIGO.

C ES UN [5,2]-CÓDIGO. SI SE CALCULA LA MATRIZ DE CONTROL

DEL CÓDIGO DUAL SE OBTIENE UNA MATRIZ GENERATRIZ DEL

DUAL DEL DUAL, QUE ES EL CÓDIGO C.

H ES UNA MATRIZ DE CONTROL ESTÁNDAR ASÍ EL CÓDIGO ES

SISTEMÁTICO.




CORRECTORES

LA DISTANCIA MÍNIMA ES EL NÚMERO MÍNIMO DE COLUMNAS

LD (LINEALMENTE DEPENDIENTES) DE LA MATRIZ DE CONTROL.

rg(H) = 3 4 COLUMNAS SERÁN LD.

NO HAY NINGUNA COLUMNA QUE SEA 0, ASÍ d > 1.

DOS COLUMNAS LD, EN EL CASO BINARIO, SERÍAN IGUALES,

COMO NO HAY DOS COLUMNAS IGUALES d > 2.

HAY 3 COLUMNAS LD (1ª = 4ª + 5ª), ASÍ d = 3.

EL CÓDIGO ES 1-CORRECTOR.




CORRECTORES

LA TABLA ESTÁNDAR SE CONSTRUYE COMO SIGUE:

LAS PALABRAS LÍDERES INDICAN CON 1 DÓNDE SE PRODUCE EL ERROR.

LA SEGUNDA Y LA TERCERA COLUMNA SON LAS PALABRAS DEL CÓDIGO MÁS EL LÍDER CORRESPONDIENTE:

ESTO SIGNIFICA QUE ALLÍ ESTARÁN LAS PALABRAS ERRÓNEAS QUE SE PUEDEN ASOCIAR A UNA VÁLIDA, QUE SERÁ LA PRIMERA DE LA COLUMNA.

LOS SÍNDROMES SE CALCULAN MULTIPLICANDO EL LÍDER POR H TRASPUESTA.

LA CUARTA COLUMNA ES LA SUMA DEL LÍDER MÁS LAS PALABRAS DE LAS COLUMNAS SEGUNDA Y TERCERA.

SE PARTE DE LAS PALABRAS 10011 Y 01101 QUE PROVIENEN DE G.




CORRECTORES




CORRECTORES

EN UN CÓDIGO t-CORRECTOR TODAS LAS PALABRAS DE PESO MENOR O IGUAL QUE t VAN A SER LÍDERES DE CLASE.

AHORA SE DEBE TOMAR LA PALABRA DE PESO 2 QUE NO SE HAYA PUESTO (HASTA LA 6ª FILA).

SE PONE UNA PALABRA DE PESO 2 Y SE OBTIENE SU SÍNDROME:

SI ÉSTE YA HA SALIDO ES QUE LA PALABRA YA HA SALIDO Y SE DEBE TOMAR OTRA PALABRA.

NO PUEDE HABER OCURRIDO UN ERROR YA QUE SE HA RECIBIDO UNA PALABRA DEL CÓDIGO.

TAMPOCO SE PUEDEN HABER COMETIDO 2 ERRORES, PERO SÍ SE PUDIERON COMETER 3 ERRORES.




CORRECTORES

SE BUSCA EL LÍDER DE CLASE DE ESTE SÍNDROME.

ESTA ES LA ÚNICA PALABRA QUE SE PUEDE OBTENER SI SE HA PRODUCIDO UN ÚNICO ERROR.

SI HUBIESEN OCURRIDO 2 ERRORES LA PALABRA REAL PODRÍA SER OTRA PERO ESTE CÓDIGO SÓLO CORRIGE UN ERROR.

h(y) = 011




CORRECTORES

ESTA PALABRA ES LA PALABRA DE CÓDIGO QUE APARECE EN LA COLUMNA DE LA PALABRA EN LA TABLA.

EL LÍDER DE CLASE ES 11000, QUE TIENE PESO 2:

SI SE HAN COMETIDO AL MENOS 2 ERRORES, COMO EL CÓDIGO ES 1-CORRECTOR NO SE TENDRÁ LA SEGURIDAD DE HACER LA DESCODIFICACIÓN CORRECTA.

SE DESCODIFICARÍA COMO:




CORRECTORES

SI SE HAN COMETIDO 2 ERRORES LA PALABRA RECIBIDA PODRÍA HABER SIDO 00000.

SI SE HAN COMETIDO 2 ERRORES CUALQUIERA DE ESTAS DOS PALABRAS PODRÍA HABER SIDO TRANSMITIDA.

ESTE MÉTODO TIENE UN INCONVENIENTE YA QUE LA TABLA ESTÁNDAR PUEDE SER GRANDE:

EN UN CÓDIGO BINARIO DE LONGITUD 100 EN LA TABLA HABRÍA QUE PONER 2100 PALABRAS (SIN CONTAR SÍNDROMES).

ESTO HACE QUE PARA CÓDIGOS DE ESTOS TAMAÑOS LA TABLA SEA INABORDABLE.

EN ESTOS CASOS SE UTILIZARÍA UNA TABLA REDUCIDA CON 2 COLUMNAS, LA COLUMNA DE LOS LÍDERES DE CLASE Y LA DE LOS SÍNDROMES.

SE TENDRÍA LO SIGUIENTE:




CORRECTORES

EN PRIMER LUGAR SE COLOCAN LAS PALABRAS DE PESO UNO Y

SU SÍNDROME; LUEGO LAS DE PESO 2.

PROPOSICIÓN: SI C ES UN [n,k,d]-CÓDIGO LINEAL ENTONCES d

n-k+1.

DEFINICIÓN: UN [n,k,d]-CÓDIGO LINEAL C SE DICE QUE ES UN

CÓDIGO MDS (MAXIMUN DISTANCE SEPARABLE CODE) CUANDO

d = n-k+1.


CÓDIGO DE HAMMING


CÓDIGO DE HAMMING

LOS LLAMADOS CÓDIGOS ESPECIALES SON LOS CÓDIGOS DE:

HAMMING.

GOLAY.

REED-MULLER.

ESTOS CÓDIGOS TIENEN UN PROCEDIMIENTO DE

DESCODIFICACIÓN ESPECIAL.

SE TIENE UN [n,k]-CÓDIGO LINEAL; SU DISTANCIA MÍNIMA ES EL

MÍNIMO NÚMERO DE COLUMNAS LD (LINEALMENTE

DEPENDIENTES) DE UNA MATRIZ DE CONTROL.

SEA d LA DISTANCIA MÍNIMA:

SI SE TOMAN d-1 COLUMNAS CUALESQUIERA DE CUALQUIER

MATRIZ DE CONTROL SERÁN LI (LINEALMENTE

INDEPENDIENTES).

HAY UN GRUPO DE d COLUMNAS LD (LINEALMENTE

DEPENDIENTES).


CÓDIGO DE HAMMING

SE CONSTRUIRÁ UN [n,k,3]-CÓDIGO LINEAL DE TAL FORMA QUE

SU MATRIZ DE CONTROL TENGA:

DOS COLUMNAS CUALESQUIERA LI.

TRES COLUMNAS LD.

EL CÓDIGO DE HAMMING q-ARIO DE ORDEN r (r Z, r 2) SERÁ

UN CÓDIGO q-ARIO Hq(r) QUE TIENE UNA MATRIZ DE CONTROL

Hq(r) CON:

r = n – k FILAS.

EL MÁXIMO NÚMERO POSIBLE DE COLUMNAS (SIENDO d = 3).

LAS COLUMNAS DE Hq(r) SON VECTORES DE Frq.

LA MATRIZ DE CONTROL DE Hq(r) ES UNA MATRIZ QUE TIENE r

FILAS Y n = (qr-1)/(q-1) COLUMNAS:

EL CÓDIGO Hq(r) ES UN [n,k,3]-CÓDIGO DONDE k = n – r.

ESTA MATRIZ SE LLAMA MATRIZ DE HAMMING Y NO ES

ÚNICA.


CÓDIGO DE HAMMING


CÓDIGO DE HAMMING

ESTOS FUERON LOS PRIMEROS CÓDIGOS CORRECTORES DE

ERRORES.

PROPOSICIÓN: LOS CÓDIGOS DE HAMMING SON CÓDIGOS

PERFECTOS.

PARA LA DESCODIFICACIÓN DE LOS CÓDIGOS DE HAMMING SE

PARTE DE LA SIGUIENTE PROPOSICIÓN.

PROPOSICIÓN: SI UNA PALABRA x H2(r) SUFRE UN ÚNICO

ERROR RESULTANDO LA PALABRA y, ENTONCES EL SÍNDROME DE

y, h(y), ES LA REPRESENTACIÓN BINARIA DE LA POSICIÓN DEL

ERROR DE LA PALABRA RECIBIDA.


CÓDIGO DE HAMMING

SE SUPONE QUE EL ERROR SE HA COMETIDO EN LA POSICIÓN i:

y = x + i,

i = 0 ... 0 1 0 ... 00 ES LA PALABRA DE ERROR.

i SE CORRESPONDE CON EL 1.

ENTONCES:

LA COLUMNA i-ÉSIMA ES LA REPRESENTACIÓN BINARIA DEL

NÚMERO i, i ES LA POSICIÓN DEL ERROR.

CONOCIDO u SE CORRIGE EL ERROR CALCULANDO x = y - i,

CAMBIANDO EL i-ÉSIMO BIT DE y.

[7,4,3]-CÓDIGO.

SE SUPONE QUE SE RECIBE LA PALABRA y = 1101110.


CÓDIGO DE HAMMING


CÓDIGO DE HAMMING

100 = 4 EL ERROR SE HA COMETIDO EN LA POSICIÓN 4.

LA PALABRA DE ERROR ES e4 = (0001000).

LA PALABRA EMITIDA ES x = y – e4 = 1100110.

A ESTE MÉTODO DE DESCODIFICACIÓN SE LE LLAMA DESCODIFICACIÓN DE HAMMING.

PROPOSICIÓN: SE SUPONE QUE UNA PALABRA x Hq(r) SUFRE UN ÚNICO ERROR, RESULTANDO LA PALABRA RECIBIDA y:

SEA h(y) Kr EL SÍNDROME DE LA PALABRA RECIBIDA Y K EL SÍMBOLO MÁS SIGNIFICATIVO DE h(y).

SI LA COLUMNA DE Hq(r) QUE CONTIENE A -1h(y) ES LA COLUMNA i-ÉSIMA ENTONCES LA PALABRA DE ERROR ES ei = (00 .... 00 .... 0), CON EN LA POSICIÓN i.

SE VERIFICA QUE x = y – ei.


CÓDIGO DE HAMMING

EJEMPLO:

SE SUPONE QUE SE TIENE UN H3(3) Y QUE SE RECIBE LA PALABRA

y = 1101112211201. SE DEBE DESCODIFICAR ESTA PALABRA.


CÓDIGO DE HAMMING

h(y) NO ES UNA COLUMNA DE H3(3).

(201) = 2 · (102).

(102) ES LA 7ª COLUMNA DE H3(3):

LA PALABRA DE ERROR ES e7 = 2·(0000001000000).

LA PALABRA EMITIDA ES x = y – 2 e7 = 1101110211201.


CÓDIGO DE GOLAY


CÓDIGO DE GOLAY

SE CONSIDERA EL CÓDIGO DE GOLAY BINARIO g24.

EL CÓDIGO g24 ES EL CÓDIGO LINEAL BINARIO DE MATRIZ

GENERATRIZ G:


CÓDIGO DE GOLAY

A PARTIR DE LA 3ª FILA LAS FILAS SE OBTIENEN DESPLAZANDO

LA FILA ANTERIOR UNA POSICIÓN A LA IZQUIERDA.

SE CALCULARÁ LA DISTANCIA MÍNIMA DE ESTE CÓDIGO.

PROPOSICIÓN: g24 ES UN CÓDIGO AUTODUAL:

PROPOSICIÓN: LA MATRIZ (A|I12) ES UNA MATRIZ GENERATRIZ

DE g24.

CUANDO UN CÓDIGO ES AUTODUAL LA MATRIZ GENERATRIZ Y

LA MATRIZ DE CONTROL SON IGUALES.


CÓDIGO DE GOLAY

PROPOSICIÓN: SI C ES UN CÓDIGO BINARIO Y u,v C, ENTONCES:


CÓDIGO DE GOLAY

PROPOSICIÓN: EL PESO DE CADA PALABRA DE g24 ES DIVISIBLE

POR 4.

PROPOSICIÓN: g24 NO TIENE PALABRAS DE PESO 4.

g24 ES UN [24,12,8]-CÓDIGO. ESTE CÓDIGO SE USÓ PARA

TRANSMITIR IMÁGENES DE JÚPITER Y SATURNO (VOYAGER 1979-

1981).

m = 212 = 4096.

SEGÚN VERA PRESS (1968) CUALQUIER [24,12,8]-CÓDIGO LINEAL

BINARIO ES EQUIVALENTE POR MÚLTIPLOS ESCALARES (EN LA

MATRIZ GENERATRIZ SE PUEDEN MULTIPLICAR LAS COLUMNAS

POR UN ESCALAR) AL CÓDIGO g24.

SEGÚN DELSORTE-GOETHOLS (1975) LOS CÓDIGOS DE GOLAY SON

LOS ÚNICOS CÓDIGOS LINEALES CON ESTOS PARÁMETROS.

CUALQUIER (24,212,8)-CÓDIGO BINARIO ES EQUIVALENTE POR

MÚLTIPLOS ESCALARES A g24.


CÓDIGO DE GOLAY

EL CÓDIGO DE GOLAY BINARIO g23:

SE OBTIENE A PARTIR DE g24 “PINCHANDO” UNA COMPONENTE:

USUALMENTE SE ELIMINA EL ÚLTIMO SÍMBOLO DE TODAS

LAS PALABRAS.

n = 23, m = 212.

LA DISTANCIA MÍNIMA O ES LA MISMA O DISMINUYE UNA

UNIDAD:

EN ESTE CASO AL ELIMINAR LA ÚLTIMA COLUMNA DE LA

MATRIZ DE CONTROL DE g24 LA ÚLTIMA FILA TIENEN PESO 7,

ASÍ d = 7.

g23 ES UN [23,12,7]-CÓDIGO.

g23 ES PERFECTO.

g24 SE OBTIENE A PARTIR DE g23 AÑADIÉNDOLE UN BIT DE

PARIDAD.


CÓDIGO DE GOLAY

LOS CÓDIGOS DE GOLAY TERNARIOS:

g12 TIENE POR MATRIZ GENERATRIZ G = (I6|B) DONDE

A PARTIR DE LA 3ª FILA UNA FILA SE OBTIENE A PARTIR DE LA

ANTERIOR DESPLAZÁNDOLA UNA POSICIÓN HACIA LA DERECHA.


CÓDIGO DE GOLAY

PROPIEDADES:

g12 ES AUTODUAL.

B ES SIMÉTRICA.

g12 ES UN [12,6,6]-CÓDIGO.

EL CÓDIGO TERNARIO g11 OBTENIDO PINCHANDO g12 ES UN

[11,6,5]-CÓDIGO PERFECTO.


CÓDIGO DE REED MULLER



ESTOS CÓDIGOS SON FÁCILES DE DESCODIFICAR.

DEFINICIÓN: UNA FUNCIÓN DE BOOLE DE m VARIABLES ES UNA

APLICACIÓN:

LAS FUNCIONES DE BOOLE SE SUELEN REPRESENTAR DANDO SU

TABLA DE VERDAD.

m = 3.



PARA DAR LA FUNCIÓN BOOLEANA BASTA CON QUEDARSE CON

LA ÚLTIMA FILA YA QUE DESCRIBE COMPLETAMENTE LA

FUNCIÓN:

SI SE ASUME QUE SIEMPRE SE TIENE EL MISMO ORDEN.

EXISTE UNA CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA ENTRE FUNCIONES

DE BOOLE DE m VARIABLES Y PALABRAS BINARIAS DE

LONGITUD 2m.



EN Bm SE DEFINE UNA SUMA:



SE DEFINE UNA MULTIPLICACIÓN ESCALAR:

SE DEFINEN LOS POLINOMIOS DE BOOLE COMO LOS ELEMENTOS

DEL SIGUIENTE CONJUNTO:



HAY mk MONOMIOS DE GRADO k EN m VARIABLES.

TODOS LOS POSIBLES MONOMIOS DE m VARIABLES SON:

PROPOSICIÓN: LA APLICACIÓN SIGUIENTE ES UN ISOMORFISMO

DE Z2-ESPACIOS VECTORIALES Y A CADA POLINOMIO DE

BOOLE F(x1,....xm) LE HACE CORRESPONDER LA FUNCIÓN DE

BOOLE f(x1,....xm) DADA POR f(x1,....xm) = F(x1,....xm).



DEFINICIÓN: SEA m UN ENTERO POSITIVO 0 r m. SE DEFINE EL

CÓDIGO DE REED-MULLER R(r,m), DE LONGITUD 2m Y ORDEN r

COMO EL CONJUNTO DE LAS PALABRAS BINARIAS DE Z2m2

ASOCIADAS A POLINOMIOS DE BOOLE DE Bm QUE TIENEN GRADO

MENOR O IGUAL QUE r.



EJEMPLOS:



R(1,3).

LOS POLINOMIOS DE BOOLE DE 3 VARIABLES Y GRADO MENOR O

IGUAL QUE 1 SON DE LA FORMA:

LOS 4 MONOMIOS FORMAN UNA BASE DEL ESPACIO DE LOS

POLINOMIOS.

LA PALABRA DE R(1,3) CORRESPONDIENTE A ESTE POLINOMIO

SERÁ:

LAS PALABRAS ENTRE PARÉNTESIS SON LOS POLINOMIOS QUE

CORRESPONDEN A LOS POLINOMIOS DE BOOLE DE 4 VARIABLES.



EXCEPTO LA PALABRA 1 Y LA 0 TODAS LAS PALABRAS TIENEN 4

UNOS Y 4 CEROS.

EL PESO MÍNIMO ES 4, ASÍ ESTE CÓDIGO TIENE DISTANCIA

MÍNIMA 4.

PROPOSICIÓN: SEA F(x1...xm) = xm + p(x1...xm-1) DONDE p(x1...xm-1) ES

UN POLINOMIO DE BOOLE:

ENTONCES LA FUNCIÓN DE BOOLE INDUCIDA POR F TOMA

LOS VALORES 0 Y 1 EL MISMO NÚMERO DE VECES, ES DECIR,

2m-1 VECES.

PROPOSICIÓN: TODAS LAS PALABRAS DE R(1,m) TIENEN PESO

MÍNIMO 2m-1, EXCEPTO LA PALABRA 00...0 Y LA PALABRA 11...1:

EN CONSECUENCIA LA DISTANCIA MÍNIMA DE R(1,m) ES 2m-1.



EN LOS CÓDIGOS DE REED-MULLER m NO ES EL TAMAÑO DEL

CÓDIGO SI NO EL NÚMERO DE VARIABLES DEL POLINOMIO DE

BOOLE QUE LE CORRESPONDE.

PROPOSICIÓN: EL CÓDIGO DE REED-MULLER R(r,m) TIENE

LONGITUD 2m Y DIMENSIÓN:

LA TASA DE CÓDIGO ES:



EJEMPLO: DETERMINAR CUÁLES DE LAS SIGUIENTES PALABRAS

PERTENECEN AL CÓDIGO R(2,4):

a) 1101 1110 0001 1001.

b) 0011 0101 0011 1010.

ESTE CÓDIGO TIENE LONGITUD 16; SE DEBE VER QUE LOS

POLINOMIOS DE BOOLE QUE INDUCEN ESTAS PALABRAS TIENEN

GRADO MENOR O IGUAL QUE 2.



ESTE POLINOMIO DE BOOLE TIENE GRADO 4. LA PALABRA NO

PERTENECE A R(2,4).

ESTA PALABRA PERTENECE A R(2,4).

DEFINICIÓN: SEA C1 UN (n,m1,d1)-CÓDIGO LINEAL Y C2 UN

(n,m2,d2)-CÓDIGO LINEAL SOBRE UN CUERPO K. SE DEFINE UN

CÓDIGO LINEAL SOBRE K:

u(u+v) ES LA YUXTAPOSICIÓN DE LAS PALABRAS u Y u+v.



PROPOSICIÓN: C1 C2 ES UN (2n,m1m2,d´)-CÓDIGO CON d´=

min{2d1,d2}.

PROPOSICIÓN: SEA 0 < r < m; SE VERIFICA QUE R(r,m) = R(r,m-1)

R(r-1,m-1).



COROLARIO: EL CÓDIGO DE REED-MULLER R(m-1,m) ESTÁ

FORMADO POR TODAS LAS PALABRAS BINARIAS DE LONGITUD 2m

Y PESO PAR:

POR TANTO SI r < m R(r,m) SÓLO CONTIENE PALABRAS DE

PESO PAR.

EJEMPLO: R(2,3) ESTÁ FORMADO POR LAS PALABRAS BINARIAS

DE LONGITUD 8 Y PESO PAR; UNA MATRIZ GENERATRIZ ES:



ESTA ES LA MATRIZ GENERATRIZ DEL CÓDIGO ASCII CON

PARIDAD.

PROPOSICIÓN: R(r,m) TIENE DISTANCIA MÍNIMA 2m-r POR TANTO

TIENE LOS SIGUIENTES PARÁMETROS:

EJEMPLO: MARINER 4 (1965):

22 FOTOS DE MARTE DE 200 X 200 DE 64 NIVELES.

26 NIVELES 6 Z62 ={000000,...,111111}.

8 · 1/3 BITS/S, 1 FOTO 8 HORAS.



EJEMPLO: MARINER 9 (1969-1971):

700 X 832 = 582480 PIXELS, 64 NIVELES.

p = 0.05 , 1-p = 0.95, (0.95)6 0.74.

APROXIMADAMENTE EL 26% DE LA IMAGEN SERÍA ERRÓNEA.

SE INTRODUCEN APROXIMADAMENTE 30 BITS DE REDUNDANCIA.

SI TOMAMOS UN CÓDIGO DE REPETICIÓN TENEMOS d = 5 Y EL

CÓDIGO CORREGIRÍA 2 ERRORES.

PROBABILIDAD DE ERROR = 1%.

SIN CORRECCIÓN DE ERRORES HABRÍA UNOS 150000 PIXELS

ERRÓNEOS POR FOTO:

CON EL CÓDIGO DE REPETICIÓN HABRÍA 5800 PIXELS

ERRÓNEOS POR FOTO.

SE USÓ R(1,5), QUE ES UN [32,6,16]-CÓDIGO, EN ESTE CASO p = 0.01;

CON ESTE CÓDIGO HABRÍA UNOS 58 PIXELS ERRÓNEOS POR FOTO.

16200 BITS/S.

700 X 832 X 32 BITS/PIXEL = 18636800 BITS.

1 IMAGEN 115000 S 32 HORAS.

teorÍa de la informaciÓn y codificaciÓn – cÓdigos

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