introducción a la programación linealla compan~ a desea determinar la cantidad de toneladas de...

Introduccion a laProgramacion

Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo

Variables de decision

funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Introduccion a la Programacion Lineal

[email protected]

Matematicas

http://homepages.mty.itesm.mx/euresti/



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Introduccion

En esta lectura daremos una introduccion a la modelacion deproblemas mediante programacion lineal; pondremos enfasisen las etapas que componen la modelacion. Cerraremosestos ejemplos con algunos conceptos generales sobre el tipode problemas que nos interesa resolver. Despues de revisaralgunos ejemplos que ilustran el tipo de problema que nosinteresa resolver, daremos algunas definiciones sobre ellos.



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Ejemplo 1

La companıa de pinturas Manchita produce tres tipos depintura adicionando a una pintura base cuatro productos oaditivos quımicos (Q1 a Q4). Se tiene abundante pinturabase disponible y cuyo costo ya fue cubierto. La companıadesea determinar la cantidad de toneladas de cada tipo depintura que debe producir de manera que maximice laganancia total. Las unicas restricciones se deben a ladisponibilidad de los aditivos quımicos requeridos. Lasganancias obtenidas por las toneladas de pintura producidaaparecen en la tabla siguiente.


Tabla

Kg. de aditivo quımico requerido por tonelada

Aditivo Interior Exterior Especial Disponible

Q1 1 2 2 2 kg

Q2 2 1 1 1 kg

Q3 1 5 1 3 kg

Q4 0 0 1 0.8 kg

Gananciapor

tonelada15,000 25,000 19,000


Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Construccion del Modelo: variables de decision

En la metodologıa de solucion a los problemas deinvestigacion de operaciones, el primer paso consiste enestablecer las acciones a tomar por la empresa para alcanzarsus objetivos. En este caso, la companıa tiene como metadeterminar el plan o programa productivo de maximaganancia. En este caso, tal plan o programa se determinaindicando el numero de toneladas de cada pintura que debeproducir. Esto define lo que se conoce como las variablesde decision:

I x = numero de toneladas de pintura interior

I y = numero de toneladas de pintura exterior

I z = numero de toneladas de pintura especial



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Construccion del Modelo: funcion objetivo

El siguiente paso es determinar la funcion objetivo. Estadebe ir acorde con la meta de la empresa y debe estar enfuncion de las variables de decision: La companıa deseamaximizar la ganancia. Un elemento clave en los modelos deprogramacion lineal es el supuesto de aditividad: Laganancia total de la companıa es la suma de las gananciaspor separado de la venta de cada uno de los productos. Estodescartarıa momentaneamente situaciones donde lasganancias estan condicionadas ante ventas combinadas deproductos. Otro supuesto importante es el deproporcionalidad: La contribucion de cada producto esdirectamente proporcional a la cantidad de producto.



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Si suponemos que toda la pintura producida es vendida, poraditividad

Ganancia total =Ganancia

Pintura

Interior

+Ganancia

Pintura

Exterior

+Ganancia

Pintura

Especial

y por proporcionalidad

Ganancia

Pintura

Interior

=Precio venta

por tonelada

pintura interior

×Total toneladas

pintura

interior

=(15, 000 dolares

ton

)× x



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Ganancia

Pintura

Exterior

=Precio venta

por tonelada

pintura exterior

×Total toneladas

pintura

exterior

=(25, 000 dolares

ton

)× y

Ganancia

Pintura

Especial

=Precio venta

por tonelada

pintura especial

×Total toneladas

pintura

especial

=(19, 000 dolares

ton

)× z

Finalmente, el objetivo queda

Max w = 15 x + 25 y + 19 z (en miles de dolares)



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Construccion del Modelo: restricciones

El siguiente paso es determinar las restricciones que soncondicionamientos a los valores que deben cumplir lasvariables de decision. En general, los condicionamientospueden ser muy diversos y podrıan estar asociados a losrecursos de la empresa, a las demandas del mercado o biencontroles de calidad, por citar algunos ejemplos. En nuestroejemplo, los recursos disponibles referentes a los aditivosquımicos son los que condicionan el plan productivo.



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Nuevamente, como en la funcion objetivo, las dossuposiciones de aditividad y proporcionalidad son unaexigencia en los modelos de programacion lineal: para cadaaditivo,

I el total consumido es la suma de lo consumido porseparado en cada producto y

I el total consumido por cada producto es directamenteproporcional a la cantidad de producto

El sentido comun indica que, para el aditivo 1, se debecumplir:

Total

utilizado

aditivo 1

≤Total

disponible

aditivo 1


Bajo el supuesto de aditividad se tiene:

Total

utilizado

aditivo 1

=

Total

utilizado

aditivo 1

en pintura interior

+

Total

utilizado

aditivo 1

en pintura exterior

+

Total

utilizado

aditivo 1

en pintura especial

Bajo el supuesto de proporcionalidad se tiene

Total

utilizado

aditivo 1

en pintura interior

=

Total

requerido

aditivo 1

por tonelada

en pintura interior

×Total toneladas

pintura

interior

=(

1 kgton

)× (x)


Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Total

utilizado

aditivo 1

en pintura exterior

=

Total

requerido

aditivo 1

por tonelada

en pintura exterior

×Total toneladas

pintura

exterior

=(

2 kgton

)× (y)

Total

utilizado

aditivo 1

en pintura especial

=

Total

requerido

aditivo 1

por tonelada

en pintura especial

×Total toneladas

pintura

especial

=(

2 kgton

)× (z)



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Resumiendo, las restricciones quedan:

I Aditivo 1:

1kg

tonx + 2

kg

tony + 2

kg

tonz ≤ 2 kg

I Aditivo 2:

2kg

tonx + 1

kg

tony + 1

kg

tonz ≤ 1 kg

I Aditivo 3:

1kg

tonx + 5

kg

tony + 1

kg

tonz ≤ 3 kg

I Aditivo 4:

0kg

tonx + 0

kg

tony + 1

kg

tonz ≤ 0.8 kg

Si regresamos a la naturaleza de nuestro problema,razonamos que las cantidades de pintura a producir debenser mayor o igual que cero: por tanto, x ≥ 0, y ≥ 0 y z ≥ 0.



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

En terminos puramente matematicos, el problema de laempresa Manchita consiste en determinar x , y y z paramaximizar la funcion:

f (x , y , z) = 15 x + 25 y + 19 z

sujeto a las condiciones:

x + 2 y + 2 z ≤ 22 x + y + z ≤ 1

x + 5 y + z ≤ 3z ≤ 0.8

con x , y , z ≥ 0



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Ejemplo 2

Una companıa fabrica dos tipos de productos, el tipo A y eltipo B. Un producto A se vende en $27 y requiere materiaprima por un costo de $10. El costo de mano de obra decada producto A es de $14. Por otro lado, un producto B sevende en $21 y requiere materia prima por un costo de $9.El costo de mano de obra de cada producto B es de $10. Lamanufactura de los productos A y B requiere dos tipos delabor: carpinterıa y acabado. Cada producto A requiere 2horas de acabado y 1 de carpinterıa, mientras que unproducto B requiere 1 hora de acabado y 1 hora decarpinterıa. Cada semana la campanıa dispone de 100 horaspara acabado y 80 horas para carpinterıa. Mientras que lademanda de productos B es ilimitada, se estima que lacompanıa vende a lo mas 40 productos A por semana. Lacompanıa desea hacer un plan de produccion semanal quemaximice la ganancia.


Variables de decision y funcion objetivo

1 Variables de decisionI x = Cuantos productos A por semana deben producirse,I y = cuantos productos B por semana deben producirse.

2 Funcion Objetivo Bajo los supuestos de aditividad yproporcionalidad:

Ganancia = Ventas − CostosVentas = 27 dolares

producto A× x + 21 dolares

producto B× y

Costos = CostoMateria Prima + CostoMano ObraCostoMateria Prima = 10 dolares


producto B× y

CostoMano Obra = 14 dolares


producto B× y

Ası, la funcion a maximizar es:

Ganancia = 3 x + 2 y dolares


Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible


3 RestriccionesI (Recurso) Horas de carpinterıa:

2horas

producto A× x + 1

hora

producto B× y ≤ 100 horas

I (Recurso) Acabado:

1hora

producto A× x + 1

hora

producto A× y ≤ 80 horas

I (Condiciones de Mercado) Demanda:

x ≤ 40 productos A

I Naturales: x , y ≥ 0 y x y y enteros.



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Resumiendo, el problema matematico asociado a la fabricaconsiste en determinar los valores de x y de y quemaximizan la funcion:

f (x , y) = 3 x + 2 y

y que cumplen las restricciones:

2 x + y ≤ 100x + y ≤ 80x ≤ 40

con x y y ≥ 0 y ambos enteros.



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Ejemplo: Oficina postal

Una oficina postal requiere un cierto numero mınimo deempleados de tiempo completo dependiendo del dıa de lasemana. La siguiente tabla muestra los requisitos. La unionde trabajadores establece que un trabajador de tiempocompleto debe trabajar 5 dıas consecutivos y descansar lossiguientes 2. Formule el problema de determinar el numerode empleados de tiempo completo mınimo que debe tener laoficina postal.

Dıa Empleados de tiempo completo requeridos

Dıa1 = Lunes 17Dıa2 = Martes 13

Dıa3 = Miercoles 15Dıa4 = Jueves 14Dıa5 = Viernes 16Dıa6 = Sabado 16

Dıa7 = Domingo 11



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Variables de decision y funcion objetivo

Una primera tentacion es definir una variable de decisioncomo el total de empleados, pero desde el punto de vista deldepartamento de personal el problema de minimizaar no seresuelve conociendo el total de empleados contratados sinocon la especificacion de rol de trabajos; es decir, cuantosinician que dıa de la semana. Entonces observamos que esaes la clave para definir las variables de decision:

I xi= el numero de empleados que inicial su semanalaboral el dıa i (1=lunes, 2=martes, etc)

Note que entonces el total de empleados contratados es lasuma de los xi .Funcion objetivoEl objetivo de la empresa es claro: minimizar el total deempleados contratados:

Min z =7∑

i=1

xi



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible


Nuestras restricciones se relacionan con cumplir con laoperatividad de la oficina postal en cada dıa de la semana:debemos garantizar que en cada dıa de la semana el numerode empleados que esten laborando (no solo los que inician susemana laboral tal dıa) son al menos los requeridos. Porejemplo, contemos el total de empleados que estanlaborando el dıa lunes. Seguro estan todos los que inician susemana el lunes (x1) (ellos descansan sabado y domingo),pero tambien estan todos los que la iniciaron el domingo(x7) (ellos descansan viernes y sabado), todos los que lainiciaron el sabado (x6) (ellos descansan jueves y viernes),todos los que la iniciaron el viernes (x5) (ellos descansanmiercoles y jueves), y todos los que la iniciaron el jueves (x4)(ellos descansan martes y miercoles). Todos los que incianen martes descansan domingo y lunes, y los que inician enmiercoles descansan lunes y martes. Resumiendo

total de trabajadores en lunes = x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Siguiendo un analisis semejante para cada uno de los dıasrestantes concluimos que se requiere:

total de trabajadores en martes = x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13

total de trabajadores en miercoles = x1+x2+x3+x6+x7 ≥ 15

total de trabajadores en jueves = x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 14

total de trabajadores en viernes = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 16

total de trabajadores en sabado = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 16

y

total de trabajadores en domingo = x3+x4+x5+x6+x7 ≥ 11

Ademas, los valores de las variables xi deben ser enteros.



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

En terminos puramente matematicos, el problema de laoficina postal consiste en determinar los valores de xi parai = 1, 2, . . . , 7 tal que minimizan la funcion

z =7∑i

xi

y que cumplen las condiciones:

x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 13x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 15x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 14x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 16

x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 16x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 11

con xi ≥ 0 y xi entero para i = 1, 2, . . . , 7.


Ejemplo: SunCo

Sunco Oil produce tres tipos de gasolinas (G1, G2 y G3). Cada tipo es

producido refinando una mezcla tres tipos de crudo (C1, C2 y C3). Las ventas

en dolares por barril de gasolina son: G1 en 70, G2 en 60 y G3 en 50. Los costos

en dolares por barril de crudo son: C1 en 45, C2 en 35 y C3 en 25. Sunco

puede comprar hasta 5000 barriles de cada tipo de crudo al dıa. Los tres tipos

de gasolina difieren en octanaje y en porcentaje de azufre. Para G1 la mezcla de

crudos debe tener en promedio un octanaje almenos de 10 y contener no mas de

1% de azufre. Para G2, el octanaje promedio es de al menos 8 y contener no

mas de 2% de azufre. Para G3, el octanaje promedio es de al menos de 6 y

contener no mas de 1% de azufre. C1 posee un octanaje de 12 y 0.5% azufre,

C2 posee un octanaje de 6 y 2.0% de azufre, y C3 posee un octanaje de 8 y

3.0% de azufre. La refinacion de un barril de mezcla de crudos en uno de

gasolina cuesta 4 dolares. Sunco puede refinar a lo mas 14,000 barriles de

gasolina al dıa. Su clientes requieren 3,000 barriles de G1, 2,000 barriles de G2,

y 1,000 barriles de G3 por dıa. Sunco considera una obligacion satisfacer estos

requerimientos. La publicidad estimula la demanda de sus productos. Cada dolar

gastado en la publicidad de uno de sus productos aumenta la demanda diaria en

10 barriles. Formule un modelo de PL para maximizar ganancias diarias.


Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Construccion del Modelo: variables de decision

Notemos que por un lado estamos interesados en sabercuantos barriles de cada gasolina se deben refinar, y por otroestamos interesados en cuantos barriles de cada tipo crudocomprar. Sin embargo, aun con estos datos el departamentoencargado de la produccion debe decidir como se debenmezclar los crudos para producir cada tipo de gasolina. Esdecir, que las cantidades totales de gasolina y de crudo noresuelven el problema de la produccion. Lo que sı resuelve elproblema de la produccion es decidir exactamente lascantidades que deben mezclarse de cada uno de los tipos deinsumos para producir cada tipo de productos. Los totalespueden obtenerse sumando cada una de las partes.


Ası, las variables de decision deben ser

xi ,j = cantidad de barriles del crudo i utilizados para producir gasolina j

Esto por un lado. Pero otra parte pendiente son las decisiones que debetomarse en publicidad. Y para ello debemos precisar cuantos dolares sedebe invertir en la publicidad de cada tipo de gasolina:

yj = total de dolares aplicados en la publicidad de la gasolina j

Observemos que estas variables de decision permiten determinar el totalde barriles de cada tipo de crudo que debe comprarse y el total debarriles de cada tipo de gasolina que se produce:

I∑3

i=1 xi ,j es el total de barriles de gasolina j a refinar

I∑3

j=1 xi ,j es el total de barriles de crudo i en larefinacion

I∑3

i=1

∑3j=1 xi ,j es el total de barriles de crudo a

procesar (que sera el total de barriles de gasolina aproducir, suponiendo que un barril de mezcla de crudosse convierte en un barril de gasolina).

El objetivo de la empresa en maximizar las ganancias. Las gananciasseran las ventas menos los costos. Los costos en los que se incurre sonlos referentes a la materia prima, a la transformacion y a la publicidad.

I V = Venta de gasolina:

V = 70dolares

barril de G1×

3∑i=1

xi ,1+60dolares

barril de G2×

3∑i=1

xi ,2+50dolares

barril de G3×

3∑i=1

xi ,3

I CR = Costo de refinacion:

CT = 4dolares

barril×

3∑i=1

3∑j=1

xi ,j

I CMP = Costo de materia prima:

CMP = 45dolares

barril de C1×

3∑j=1

x1,j+35dolares

barril de C2×

3∑j=1

x2,j+25dolares

barril de C3×

3∑j=1

x3,j

I P = Costo de publicidad:

P = y1 + y2 + y3 =3∑

j=1

yj


Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible


En este problema las restricciones son de diferente tipo:

I La companıa tiene una capacidad instalada que nopuede exceder:

3∑i=1

3∑j=1

xi ,j≤14, 000

I Las companıas que proveen crudo tienen limitaciones; Alo mas 5 mil barriles de cada crudo estan disponibles:

3∑j=1

xi ,j≤5, 000 para i = 1, 2, 3



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

I Como toda la gasolina producida debe venderse: Paracada gasolina, la totalidad de gasolina producida debeequiparar la demanda. Y por otro lado, la demanda serael resultado de la demanda natural mas la inducida porpublicidad:

3∑i=1

xi ,1=3, 000 + 10 y1

3∑i=1

xi ,2=2, 000 + 10 y2

3∑i=1

xi ,3=1, 000 + 10 y3


Cada gasolina producida tiene ciertos criterios de calidad a cuidar: elporcentaje de azufre y el octanaje. Supongamos que el porcentaje en lamezcla es proporcional al porcentaje en los componentes. Ası para lagasolina 1: El porcentaje de azufre no se debe exceder el 1%. El total degasolina 1:

∑3i=1 xi ,1 Aporte de azufre por cada tipo de crudo: C1:

0.5%, C2: 2.0% y C3: 3.0%. Suponiendo que el porcentaje de azufre enla mezcla obedezca los supuestos de aditividad y proporcionalidad:

0.5100 x1,1 + 2.0

100 x2,1 + 3.0100 x3,1∑3

i=1 xi ,1≤ 1.0

100

De donde, haciendo algebra lo anterior se transforma en:

(0.5 − 1.0) x1,1 + (2.0 − 1.0) x2,1 + (3.0 − 1.0) x3,1≤0.0

De manera analoga, para la gasolina 2:

(0.5 − 2.0) x1,2 + (2.0 − 2.0) x2,2 + (3.0 − 2.0) x3,2 ≤ 0.0

y para la gasolina 3:

(0.5 − 1.0) x1,3 + (2.0 − 1.0) x2,3 + (3.0 − 1.0) x3,3 ≤ 0.0

Si ahora suponemos que el octanaje en la mezcla obedece tambien alaporte proporcional del octanaje de cada crudo: Para la gasolina 1: Eloctanaje debe ser al menos 10.El octanaje de cada crudo es 12, 6 y 8.

12 x1,1 + 6 x2,1 + 8 x3,1∑3i=1 xi ,1

≥10

que haciendo algebra queda:

(12 − 10) x1,1 + (6 − 10) x2,1 + (8 − 10) x3,1≥0.0

De manera analoga, para la gasolina 2 la condicion de octanaje secodifica como:

(12 − 8) x1,2 + (6 − 8) x2,2 + (8 − 8) x3,2 ≥ 0.0

y para la gasolina 3:

(12 − 6) x1,3 + (6 − 6) x2,3 + (8 − 6) x3,3 ≥ 0.0

En terminos puramente matematicos, el problema de SunCo consiste en determinar xi,j para i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3 y yjpara j = 1, 2, 3 de manera que se maximice la funcion:

f = 21 x1,1 + 11 x1,2 + x1,3 + 11 x2,3 + 41 x3,1 + 31 x3,2 + 21 x3,3 + 31 x2,1 + 21 x2,2 − y3 − y1 − y2

donde las variables estan sujetas a las restricciones:

x1,1 + x1,2 + x1,3 + x2,1 + x2,2 + x2,3 + x3,1 + x3,2 + x3,3 ≤ 14, 000x1,1 + x1,2 + x1,3 ≤ 5, 000x2,1 + x2,2 + x2,3 ≤ 5, 000x3,1 + x3,2 + x3,3 ≤ 5, 000x1,1 + x2,1 + x3,1 = 3, 000 + 10 y1x1,2 + x2,2 + x3,2 = 2, 000 + 10 y2x1,3 + x2,3 + x3,3 = 1, 000 + 10 y3

−.5 x1,1 + 1.0 x2,1 + 2 x3,1 ≤ 0−1.5 x1,2 + x3,2 ≤ 0

−.5 x1,3 + 1.0 x2,3 + 2 x3,3 ≤ 02 x1,1 − 4 x2,1 − 2 x3,1 ≥ 0

4 x1,2 − 2 x2,2 ≥ 06 x1,3 + 2 x3,3 ≥ 0

con xi,j ≥ 0 y yj ≥ 0.


Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Veamos ahora algunos conceptos clave en el tipo deexpresiones matematicas que aparecen en el tipo deproblemas que nos interesan.

Definicion 1.1Una funcion f (x1, x2, . . . , xn) es funcion lineal en susvariables, si existen escalares c1, c2, . . . , cn tales que:

f (x1, x2, . . . , xn) = c1 × x1 + c2 × x2 + · · · + cn × xn

Y una definicion importante para las restricciones quedefiniran los problemas es la siguiente.

Definicion 1.2Una desigualdad lineal en las variables x1, x2, . . . , xn es unadesigualdad de que tiene alguna de las dos posibles formas:

f (x1, . . . , xn) ≤ b o f (x1, . . . , xn) ≥ b

donde f (x1, . . . , xn) es una funcion lineal y b es unaconstante.



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Definiremos ahora el tipo de problemas en el cual estamosinteresados:

Definicion 1.3Un problema de programacion lineal (LP) es un problema deoptimizacion donde:

I Se pretende maximizar o minimizar una funcion linealen las variables de decision. Tal funcion se llamarafuncion objetivo.

I Los valores de decision deberan satisfacer un conjuntode restricciones. Cada una de las restricciones sera unaecuacion lineal o una desigualdad lineal en las variablesde decision.

I Las variables de decision en un PL son continuas.

I Asociada a cada variable de decision puede haber o nouna restriccion de signo sobre ella especificando si losvalores de la variable son no negativos (≥ 0).



Lineal

[email protected]

Introduccion

Ejemplo 1

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Ejemplo 2

Enunciado

Modelo


Restricciones

Ejemplo 3

Enunciado

Modelo

VD y F. Objetivo

Restricciones

Ejemplo 4

Enunciado

Modelo


funcion objetivo

Restricciones

Conceptos

Linealidad

PL

Region factible

Dos definiciones importantes:Definicion 1.4La Region Factible para un PL es el conjunto de todos lospuntos cuyas coordenadas son los valores de las variables dedecision que satisfacen todas las restriciones del PL y todaslas restricciones de signo.Y por ultimo:Definicion 1.5Para un problema de maximizacion, una Solucion Optima aun PL es un punto en la region factible con el valor mayorposible de la funcion objetivo (No existe otro punto en laregion factible con una mayor evaluacion de acuerdo a lafuncion objetivo). Similarmente, para problemas deminimizacion una solucion optima es un punto en la regionfactible con el menor valor posible de la funcion objetivo.


introducción a la programación linealla compan~ a desea determinar la cantidad de toneladas de...

Documents