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Introducción a la Geometría

Introducción a la Geometría

Carlos Javier Rojas Álvarez

BarranquillaColombia, 2016

www.uninorte.edu.coKm 5, vía a Puerto ColombiaA.A. 1569, Barranquilla (Colombia)

Primera edición, junio de 2015Segunda edición, mayo de 2016

© Universidad del Norte, 2016Carlos Javier Rojas Álvarez

Coordinación editorialZoila Sotomayor O.

Diagramación textos y portada Munir Kharfan de los Reyes

Corrección de textosHenry Stein

Hecho en Colombia

Made in Colombia

Rojas Álvarez, Carlos Javier.

Introducción a la geometría / Carlos Javier Rojas Álvarez. — Barranquilla, Col. : Editorial Universidad del Norte, 2016.

230 p. : il. ; 24 cm. Incluye referencias en cada capítuloISBN 978-958-741-591-9 (impreso)ISBN 978-958-741-592-6 (PDF)

1. Geometría--Enseñanza. I. Tít.(516.007 R741 23 ed.) (CO-BrUNB)

© Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio reprografico, fónico o informático así como su transmisión por cualquier medio mecánico o electrónico, fotocopias, microfilm, offset, mimeográfico u otros sin autorización previa y escrita de los titulares del copyright. La violación de dichos derechos puede constituir un delito contra la propiedad intelectual.

v

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

CONCEPTOS PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Términos primitivos 72. Posición relativa de puntos 93. Segmento 104. Rayos 115. Ángulos 126. Triángulos 217. Cuadriláteros 288. Polígonos 309. La circunferencia 3610. Sólidos 39Bibliografía 54

Unidad 1SEMEJANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Problema 571.1 Proporción 581.2 Polígonos semejantes 701.3 El criterio de semejanza AA 731.4 La pendiente de la recta 75Bibliografía 78

Introducción a la geometría

vi

Unidad 2PERÍMETRO Y ÁREA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

Problema 812.1 Patrones arbitrarios 832.2 Estimación 882.3 Área de polígonos 902.4 Partes de un círculo 96Bibliografía 105

Unidad 3ÁREA Y VOLUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Problema 1093.1 Unidades de volumen 1113.2 Prismas y pirámides 1153.3 Cilindros y conos 1213.4 Tronco de pirámide y de cono 125Bibliografía 129

Unidad 4FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

Problema 1334.1 Conceptos básicos 1344.2 Funciones como modelos matemáticos 149Bibliografía 184

Unidad 5VECTORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Problema 1875.1 Escalares y vectores 1885.2 Componentes de un vector 1935.3 Vectores unitarios 2085.4 Suma de vectores 211Bibliografía 222

1

INTRODUCCIÓN

Este libro está dirigido a estudiantes de primer semestre de pro-gramas como Diseño Industrial y Arquitectura, o a alumnos de secundaria que desean complementar el estudio de la geometría elemental en el colegio.

Este texto no sigue rígidamente la estructura del método axiomá-tico, aunque se parte de los conceptos primitivos en geometría, se sigue con las definiciones y luego con los postulados y teore-mas, que son llamados propiedades. Ninguno de los teoremas se demuestra, porque el objetivo del texto es aplicar la geometría.

La unidad, Conceptos preliminares, consiste en la exposición de las definiciones y propiedades básicas, que permite plantear pro-blemas de geometría elemental espacial en la unidad 2, sin tener que esperar a la última unidad para ello.

Los cambios en esta segunda edición son:

• Reorganización de las unidades. La de semejanza es ahora la primera unidad y la de vectores, la última.

• Adición de la unidad de Funciones.

• Adición de la sección La pendiente de la recta en la unidad de semejanza.

• Nuevos problemas en la sección de Proporción relativos a la escala.

• Cambios en los problemas de la sección Patrones arbitra-rios, que antes se llamaba Unidades de longitud y de área.


2

• Cambio de problemas en la sección de Estimación y Área de polígonos.

• Nuevos problemas en la sección de Partes de un círculo y Tronco de pirámide y de cono.

• De manera general se hicieron algunas correcciones en el uso de términos.

El propósito de la reorganización de las unidades es darle una secuencia más lógica al estudio de la geometría, y el de la inclu-sión de la unidad de Funciones (aplicada al perímetro, área y vo-lumen) es ampliar los niveles de conceptualización de perímetro, área y volumen, que son:

1. Recubrimiento.

2. Estimación.

3. Aritmetización o uso de fórmulas.

4. Funciones como modelos matemáticos.

5. Operador.

Este texto incluye los cuatro primeros, el quinto corresponde al Cálculo integral, que está fuera del alcance del texto.

En consecuencia, el contenido del libro está distribuido en las siguientes unidades:

Conceptos preliminares. Contiene desde los conceptos primiti-vos de la geometría, pasando por las definiciones de segmentos, ángulos, polígonos, circunferencia y sólidos. No contiene aplica-ciones. Es como un glosario.

Introducción

3

Unidad 1: Semejanza. Contiene las aplicaciones de la propor-ción, como la escala y la proporción áurea, el criterio de semejan-za y la pendiente de la recta.

Unidad 2: Perímetro y área. Contiene una introducción secuen-ciada del perímetro y del área, partiendo de lo intuitivo (área por recubrimiento, estimación de perímetro y área), luego la secuen-cia deductiva de las fórmulas de polígonos, para terminar con las fórmulas de perímetro y área de algunas de las partes de un círculo. Algunas de aplicaciones consisten en el cálculo de áreas de moldes planos de poliedros.

Unidad 3: Área y Volumen. Comienza con la definición de uni-dad cúbica y finaliza con las fórmulas de volumen de prismas, pirámides, cilindros, conos, troncos de pirámide y de conos. No tiene las fórmulas de área lateral y total de los sólidos geométri-cos porque el objetivo es que los alumnos las calculen como una extensión de las fórmulas de la unidad 2.

Unidad 4: Funciones. Comienza con los conceptos básicos que se deben tener para comprender las funciones como modelos matemáticos, tales como intervalo, función, dominio, etc. Todas las funciones en la sección 4.2 son relativas al perímetro, el área o el volumen. Incluye un procedimiento para comprobar si la función obtenida es válida o no.

Unidad 5: Vectores. En esta unidad se estudian las componentes de los vectores en un sistema rectangular y la suma de dos vec-tores coordenados.

Las unidades 1-4 tienen la secuencia:

• Problema. Consiste en el planteamiento de un proble-ma que conduce al concepto fundamental de la unidad respectiva.

• Teoría. Tiene las definiciones y las propiedades de la unidad.


4

• Aplicaciones. Son los problemas para el alumno.

• Bibliografía. Es el material consultado para la elaboración de la respectiva unidad.

Las dos unidades que tienen ejemplos son la 4 (Funciones) y la 5 (Vectores); las demás no tienen ejemplos.

Conceptos preliminares

1. Términos primitivos 72. Posición relativa de puntos 93. Segmento 104. Rayos 115. Ángulos 126. Triángulos 217. Cuadriláteros 288. Polígonos 309. La circunferencia 3610. Sólidos 39Bibliografía 54

Euclides (325-275 a.C.). Primero en la Edad de Oro de la geometría griega. Fundó en Alejandría su escuela. El primero en sistematizar los conocimientos de la geometría, hasta entonces, en lo que hoy conocemos como el método axiomático, en el libro Los elementos, por lo que a la geometría se le conoce también como geometría elemental.

Reseña histórica

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1. TÉRMINOS PRIMITIVOS

Geometría: del griego γ͞η: tierra, μετρεω: medir; etimológicamente significa medida de la tierra. Del latín geometrein, donde gaia o ge: tierra, metrein: medir.

El método axiomático parte de conceptos que no se definen, lla-mados términos primitivos. En función de ellos se formulan las definiciones. La combinación de estos dos permite establecer los postulados, proposiciones que se admiten como verdaderas. Por último están los teoremas, proposiciones que deben ser demos-tradas a partir de las definiciones, postulados y teoremas (pre-viamente demostrados).

Los términos primitivos en geometría elemental son el punto, la recta y el plano:

Término primitivo 1.1

El punto solo tiene posición, no tiene medida. Se simboliza con letras mayúsculas.

En la figura de la derecha, el punto A: • A


La recta es delgada, no tiene longitud finita. Se simboliza con letras minúsculas cursivas como l, m, n, etc.; o con dos letras mayúsculas, que corresponden a dos puntos de ella, con un símbolo de flecha doble sobre dichas letras.

En la figura se observa la recta l o .

8



El plano es delgado y se extiende indefinidamente en todas las di-recciones. Se simboliza con letras mayúsculas.

En la figura se muestra el plano P.

�


9

2. POSICIÓN RELATIVA DE PUNTOS

Definición 2.1

Los puntos de un conjunto son colineales o están alineados si y solo si hay una recta que los contiene a todos.

La figura muestra que los puntos A, B y C son colinea-les porque están en la recta q; mientras que los puntos A, B, C y D no son colineales porque no pertenecen a la recta q.

Definición 2.2

Los puntos de un conjunto son coplanares si y solo si hay un plano que los contiene a todos.

En la figura se observa, los puntos Q, P y R son copla-nares porque están en el plano A; mientras que los puntos Q, P, R y S no son coplanares porque no están, todos, en el plano A.

�

10


3. SEGMENTO

Definición 3.1

El segmento es el conjunto de los puntos A y B, y de todos los puntos que están entre A y B. A y B se llaman los extremos de .

La distancia AB es la longitud del segmento .

En la figura D está entre A y B, cuando estos tres puntos son colineales y AD + DB = AB. Se denota por A-D-B.

Definición 3.2

Segmentos congruentes son segmentos que tienen la misma lon-gitud.

En la figura los segmentos y son congruentes. Se simboliza por

o . El símbolo ≅ se lee “es congruente con”.

Definición 3.3

El punto medio de un segmento es el punto que está entre los extre-mos de un segmento y que lo divide en dos segmentos congruentes.

En la figura, M es el punto medio de AB.

�


11

4. RAYOS

Definición 4.1

El rayo es un subconjunto de una recta formado por la unión del segmento AB y el conjunto de todos los puntos que están del mismo lado de A, como B. El punto A se llama el extremo de .

Definición 4.2

Rayos opuestos son rayos que tienen el mismo extremo, pero que van en direcciones opuestas.

En la figura, los rayos y son rayos opuestos.

�

12


5. ÁNGULOS

Definición 5.1

Un ángulo es la unión de dos rayos no colineales que tienen el mis-mo extremo, denominado el vértice.

Los ángulos se denotan por el vértice: ∠BAC, o con tres letras, siendo la del me-dio la correspondiente al vértice: ∠BAC.

A

B

C

Cuando puede haber ambigüedad al es-cribir ∠B y no se quiere usar las tres le-tras, se puede denotar un ángulo especí-fico con números, así: ∠1 es el ∠BAC y el ∠2 es el ∠CBD. B

A

12

C

D

Definición 5.2

Sea ∠BAC un ángulo en el plano K. Un punto P está en el interior del ∠BAC, si:

1. P y B están del mismo lado de la recta , y 2. P y C están del mismo lado de la recta .

El exterior del ∠BAC es el con-junto de todos los puntos de K que no están en el ángulo y que tampoco están en su interior. En la figura de la derecha, los puntos Q, R y S no están en el interior del ∠BAC ni sobre él; por lo tanto están en el exterior del ∠BAC. El punto P está en el interior del ∠BAC.

K

A

B

C

S

R

Q

Exterior

Interior

Exterior

Exterior P


13

Definición 5.3

Una unidad de medida de ángulos es el grado, se simboliza con el supraíndice °.

Propiedad 5.1

A cada ∠BAC le corresponde un número real entre 0 y 180.

Definición 5.4

El número dado en la propiedad 1 se llama la medida del ∠BAC, y se escribe m∠BAC.

A

B

C

s°

m∠BAC = s

Definición 5.5

Ángulos congruentes son ángulos que tienen la misma medida.

En la figura, los ángulos ∠B y ∠E son congruentes porque tienen la misma medida y se denota por ∠B ≅ ∠E o m∠B = ∠E.

A

BC

n° n°

D

EF

14


Definición 5.6

Sea D un punto en el interior del ∠BAC, de tal forma que ∠BAD ≅ ∠DAC. se llama la bisectriz del ∠BAC porque lo bi-seca.

A

B

D

C

Definición 5.7

Ángulos opuestos por el vértice, son ángulos cuyos lados los for-man dos pares de rayos opuestos.

En la figura, los ángulos ∠BAD y ∠EAC son opuestos por el vértice. Similarmente, ∠BAE y ∠DAC también lo son.

A

E

C

B

D

Propiedad 5.2

Los ángulos opuestos por el vértice son ángulos congruentes.

En la figura, ∠BAD y ∠EAC son opuestos por el vértice; entonces, por este teorema: ∠BAD ≅ ∠EAC. Similarmente, ∠DAC ≅ ∠BAE.

A

E

C

B

D


15

Definición 5.8

Un par lineal de ángulos es un par de ángulos con un lado común, y los otros dos lados los forman rayos opuestos.

En la figura, los ángulos ∠BAD y ∠DAC forman un par lineal.

A

D

CB

Definición 5.9

Un par de ángulos suplementarios son ángulos, cuya suma de sus medidas es 180. Cada ángulo es el suplemento del otro.

s°

r°

s + r = 180

Propiedad 5.3

Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.

Definición 5.10

Un ángulo recto es un ángulo cuya medida es 90°.

El ∠A es recto porque m∠A = 90.

A

16


Definición 5.11

AB y son perpendiculares si y solo si forman un ángulo recto. Se simboliza Se utiliza el mismo término y la misma notación para rectas y segmentos, de tal forma que si el ∠CAB es un ángulo recto, se escribe: y así sucesivamente para cualquier combinación de segmentos, rayos o rectas.

A B

C

Definición 5.12

Un par de ángulos complementarios son ángulos, cuya suma de sus medidas es 90. Cada ángulo es el complemento del otro.

r°

s°

s + r = 90


17

Definición 5.13

En un plano dado, la mediatriz de un segmento es la recta perpen-dicular al segmento en su punto medio.

La recta l es la mediatriz del AB porque en el punto medio C.

A BC

l

Propiedad 5.4

La mediatriz de un segmento, en un plano, es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

A BC

Pl

18


Definición 5.14

Dos rectas son paralelas si y sólo si: 1) Están en un mismo plano, y 2) no se intersecan.

En la figura, las rectas l y m son paralelas porque están en el mismo plano K y no se intersecan. Se escribe: l ‖ m. K

l

m

Definición 5.15

Una secante a dos rectas coplanarias es una recta que las interseca en dos puntos diferentes.

En la figura, la recta t es una secante a las rectas coplana-rias l y m.

Kl

t

m

Definición 5.16

Sean l y m dos rectas cortadas por una secante t en los puntos P y Q, respectivamente. Sea A un punto de l y B un punto de m, tal que A y B están en lados opuesto de t. Los ángulos ∠APQ y ∠PQB se llaman ángulos alternos internos.

2

1

P

QB

Al t

m

2

1P

Q B

Al t

m


19

Propiedad 5.5

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos alternos internos son congruentes.

Definición 5.17

Sean l y m dos rectas cortadas por una secante t, de tal forma que el ∠x y el ∠y son ángulos alternos internos, y los ángulos ∠y y ∠z son opuestos por el vértice. Los ángulos ∠x y ∠z se llaman ángulos correspondientes.

lz

y

x

t

m

Propiedad 5.6

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos correspondientes son congruentes.

Propiedad 5.7

Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos internos a un mismo lado de la secante son suplementarios.

En símbolos, de acuerdo a la figura: Si l ‖ m, entonces los ángulos ∠1 y ∠4 son suplementarios y los ángulos ∠2 y ∠3 son suplementarios.

1 3

4 2

l

m

t

20


Propiedad 5.8

Si dos ángulos agudos tienen sus lados respectivamente perpendi-culares, entonces son congruentes.

En símbolos, de acuerdo a la figura: Si y , entonces los ángulos ∠A ≅ ∠P. A

Q

R

P

C

B

Propiedad 5.9

Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigi-dos en el mismo sentido, entonces son congruentes.

En símbolos, de acuerdo a la figura: Si y , entonces los ángulos ∠A ≅ ∠P. A

C

B

P R

Q

�


21

6. TRIÁNGULOS

Definición 6.1

Sean A, B y C tres puntos no colineales. La reunión de los segmentos AB, BC y AC se denomina un triángulo, y se simboliza con ΔABC. Los puntos A, B y C son los vértices, y los segmentos AB, BC y AC son los lados.

Todo triángulo ΔABC determi-na tres ángulos: ∠BAC, ∠ABC y ∠ACB. Estos se llaman los án-gulos del ΔABC.

A C

B

Definición 6.2

Un punto está en el interior de un triángulo, si está en el interior de cada uno de los ángulos del triángulo.

Un punto está en el exterior de un triángulo, si está en el plano del triángulo, pero no está en el triángulo o en su interior.

A C

B

ExteriorExterior

Exterior

Interior

22


Definición 6.3

Un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados congruentes.

El otro lado es la base. Los dos ángulos asociados con la base se llaman ángulos en la base. El ángulo opuesto a la base se llama el ángulo en el vértice.

En el ΔABC, el ∠A es el ángulo en el vértice; BC es la base; AB ≅ BC y, el ∠B y el ∠C son los ángulos en la base.

A

CBBase

Definición 6.4

Un triángulo equilátero es un triángulo con sus tres lados con-gruentes.

Definición 6.5

Un triángulo equiángulo es un triángulo con sus tres ángulos con-gruentes.

Definición 6.6

Un triángulo escaleno es un triángulo que no tiene lados congruen-tes.


23

Propiedad 6.1 (teorema del triángulo isósceles)

Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes.

En símbolos: Si AB ≅ AC , entonces ∠B ≅ ∠C.

A

CB! !

Propiedad 6.2

Si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo.

Propiedad 6.3

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes.

En símbolos: Si ∠B ≅ ∠C, entonces AB ≅ AC.

A

CB

!!

Propiedad 6.4

Si un triángulo es equiángulo, entonces es equilátero.

24


Propiedad 6.5

Si las medidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales, en-tonces la longitud del lado opuesto al ángulo menor, es menor que la longitud del lado opuesto al ángulo mayor.

En símbolos: Si en el ΔABC, m∠B < m∠A, entonces AC < BC.

A

C

B

Propiedad 6.6

Si las longitudes de dos lados de un triángulo son desiguales, en-tonces la medida del ángulo opuesto al lado más corto, es menor que la medida del ángulo opuesto al lado más largo.

En símbolos: Si en el ΔABC, AC < BC, entonces m∠B < m∠A.

A

C

B

Propiedad 6.7 (la desigualdad del triángulo)

La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángu-lo es mayor que la longitud del tercer lado.

En símbolos: En un ΔABC cualquiera:

AB + BC > AC

AB + AC > BC

BC + AC > AB A

C

B


25

Definición 6.8

Una altura de un triángulo es un segmento perpendicular desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto.

En la figura, CD es la altura corres-pondiente al lado AB.

C

A DB

Definición 6.8

Una mediana de un triángulo es un segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.

En la figura, AD es la mediana co-rrespondiente al lado BC.

C

A

DB

Definición 6.9

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto. El lado opuesto al lado recto se llama hipotenusa, y los otros dos lados son los catetos.

En el ΔABC el ∠A es el ángulo recto; BC es la hipotenusa, y AB y AC son los catetos.

C

A B

26


Propiedad 6.8 (teorema de pitágoras)

Si un triángulo es rectángulo, entonces el cuadrado de la hipote-nusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

En símbolos: Si en el ΔABC, el ∠C es un ángulo recto, entonces c2 = a2 + b2.

C

A

a

bc

B

Definición 6.10

Sean a y b dos números reales, con b ≠ 0. La razón de a a b es el nú-mero b

a. Usualmente se simboliza por a : b.

Definición 6.11

En el ΔABC, el ∠C es el ángulo recto y m∠A = r.

La razón ca se llama el seno del ∠A y se define

por:

sen r° =cateto opuesto

hipotenusa

La razón cb se llama el coseno del ∠A y se define

por:

cos r° =cateto adyacente

hipotenusa

La razón ∠ se llama la tangente del ∠A y se de-fine por:

tan r° =cateto opuesto

cateto adyacente

C

A

a

b

r°

c

B


27

Definición 6.12

Un triángulo oblicuángulo es un triángulo que no tiene un ángulo recto.

El ΔABC no tiene un ángulo recto.

A

C

B

ab

c

Propiedad 6.9 (teorema del seno)

En cualquier triángulo, la razón del seno de un ángulo a la longitud del lado opuesto a él, es igual a la razón del seno de otro ángulo a la longitud del lado opuesto a este último. Específicamente, si el ΔABC es oblicuángulo, con la nomenclatura normal, entonces:

csen

bsen

asen γβα ==

A

C

B

ab

c

Propiedad 6. 10 (teorema del coseno)

En cualquier triángulo, el cuadrado de la longitud de cualquier lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de las longitudes de ellos por el coseno del ángulo que forman. Específicamente, si el ΔABC es oblicuángulo, con la nomenclatura normal, entonces:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos αb2 = a2 + c2 – 2ac cos βc2 = a2 + b2 – 2ab cos γ A

C

B

ab

c

�

28


7. CUADRILÁTEROS

Definición 7.1

Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanarios, tales que tres cuales-quiera de ellos no están alineados, y que los segmentos AB, BC, CD y DA, se intersecan solamente en sus extremos. La reunión de los cuatro segmentos se llama cuadrilátero.

Los cuatro segmentos se llaman la-dos, y los puntos A, B, C y D se llaman vértices. Los ángulos ∠DAB, ∠ABC, ∠BCD y ∠CDA se llaman ángulos del cuadrilátero. El cuadrilátero ABCD se denota □ABCD.

A

C

B

D

Definición 7.2

Dos lados opuestos de un cuadrilátero son dos lados que no se in-tersecan.Dos ángulos opuestos son dos ángulos que no tienen común un lado del cuadrilátero.Dos lados consecutivos son dos lados que tienen un extremo co-mún. Dos ángulos consecutivos son dos ángulos que tienen en común un lado del cuadrilátero.

Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento que tiene por ex-tremos dos vértices no consecutivos.

En el □ABCD, DA y BC son lados opues-tos; AB y BC son lados adyacentes; ∠CDA y ∠DAC son ángulos consecuti-vos; ∠CDA y ∠ABC son ángulos opues-tos y AC y BD son las diagonales.

A

C

B

D


29

Definición 7.3

Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos.

A

C

B

D

Definición 7.4

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene ambos pares de lados opuestos pa-ralelos.

A

C

B

D

Definición 7.5

Un rombo es un paralelogramo que tiene todos sus lados congruentes entre sí.

A

C

B

D

Definición 7.6

Un rectángulo es un paralelogramo que tiene todos sus ángulos rectos.

A

C

B

D

Definición 7.7

Un cuadrado es un rectángulo que tiene todos sus lados congruentes entre sí.

A

C

B

D

�

30


8. POLÍGONOS

Definición 8.1

Un polígono es la unión de segmentos que se juntan solo en sus extremos, de tal manera que:

1. como máximo, dos segmentos se encuentran en un punto, y2. cada segmento toca exactamente a otros dos.

Las figuras de la derecha son ejemplos de polígonos.

Un polígono también se puede definir de la siguiente manera:

Definición 8.2

Sean P1, P2, … , Pn una sucesión de n puntos distintos de un plano con n ≥ 3 de tal forma que los n segmentos P₁ P₂, P₃ P₄, … , Pn-₁ Pn, Pn P₁ tienen las siguientes propiedades:

– Ningún par de segmentos se intersecan, salvo en sus puntos extremos.

– Ningún par de segmentos con un extremo común son coli-neales.

A la reunión de los n segmentos se le denomina polígono.

Los vértices del polígono son los puntos P1, P2, … , Pn.

Los lados del polígono son los segmentos P₁ P₂, P₃ P₄, … , Pn-₁ Pn, Pn P₁.

Los ángulos del polígono son el ∠Pn P1 P2, el ∠P1 P2 P3, y así sucesivamente. Para abreviar, generalmente se denotan los ángulos por ∠P1, ∠P2, etc.

Pn

Pn-1

P1P2 P3

P4P5P6

P7


31

Los polígonos se nombran de acuerdo con la siguiente tabla:

Nombre del polígono

Número de lados

Nombre del polígono

Número de lados

Triángulo 3 Nonágono 9

Cuadrilátero 4 Decágono 10

Pentágono 5 Undecágono 11

Hexágono 6 Dodecágono 12

Heptágono 7 Icoságono 20

Octágono 8 n-gono n

Definición 8.3

Una diagonal de un polígono es un segmento que tiene por extre-mos dos vértices no consecutivos del polígono.

En el polígono de la derecha, EC y BC son diagonales.

A B

C

DE

F

Definición 8.4

Un punto está en el interior de un polígono, si está en el interior de cada uno de los ángulos del polígono.

Un punto está en el exterior de un polígono, si está en el plano del polígono, pero no está en el polígono o en su interior.

Pn

Pn-1

P1P2 P3

P4P5P6

P7

Exterior

Exterior

Ext

erio

r

Exterior

Interior

32


Definición 8.5

Un polígono convexo es un polígono en el que todas sus diagona-les están en su interior. Al polígono en que por lo menos una diago-nal no está en su interior, se le llama polígono cóncavo.

El hexágono de la derecha es un polígono convexo; mientras que la cruz, que está al lado del hexágo-no, es un polígono cóncavo.

Definición 8.6

Un polígono regular es un polígono convexo que tiene todos sus lados congruentes (equilátero) y todos sus ángulos congruentes (equiángulo).

El cuadrado □ABCD es un polígono regular.

A

C

B

D

Definición 8.7

Un polígono regular estrellado es un polígono que se obtiene a partir de algún polígono regular convexo de cinco o más lados, o de la división de una circunferencia en cinco o más partes. Para cons-truirlo, se unen de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, etc., los vértices del polígono o las divisiones de la circunferencia, comenzando por un vértice, pasando por todos los vértices y termi-nando de nuevo en el primero.

La figura muestra el pentágono regular estrellado de primer1.er orden, que se co-noce como la estrella pitagórica.


33

Se puede dibujar el polígono estrellado completo sin levantar el lápiz. Si no se cumple esta condición, como en el hexágono, to-mando los vértices de dos en dos, se forman los denominados falsos o impropios estrellados.

El orden de un polígono estrellado se relaciona con el número de vértices alternos que se toman para construir el estrellado, siendo el de 1.º orden el menor (unir los vértices de dos en dos), el de 2.º orden el siguiente (unir los vértices de tres en tres) y así sucesivamente.

El lado del polígono estrellado es el segmento que une dos vérti-ces consecutivos del polígono estrellado, por lo que no coincide con el lado del respectivo polígono regular convexo.

No todos los polígonos regulares convexos de más de cinco lados o más, generan polígonos estrellados. Para saber si un polígono regular convexo genera polígonos estrellados y cómo unir los vértices, se buscan los números naturales menores que la mitad del número de lados, y de ellos, seleccionar los que sean núme-ros primos relativos con respecto al número de lados del polí-gono convexo (que la división sea inexacta). Por ejemplo, para el pentágono regular convexo, la mitad de 5 es 2,5. Los núme-ros naturales menores que 2,5 son 2 y 1. El 2 es primo relativo con 5, porque 5 entre 2 es 2,5, por lo que es posible construir un pentágono estrellado a partir de un pentágono regular convexo uniendo los vértices de dos en dos. El 1 no es primo relativo con 5, porque 5 entre 1 es 5 y la división es exacta. En consecuencia, solo hay un polígono regular estrellado y es de 1.er orden.

34


Propiedad 8.1 (teorema de la mínima distancia)

El segmento más corto que une un punto a una recta es el segmento perpendicular a la recta.

En símbolos: Sea una recta l y un pun-to P fuera de ella.

Si PQ ⊥ l en Q, y R es otro punto cual-quiera de l, entonces PQ < PR.

Q

P

R

Definición 8.8

La distancia entre una recta y un punto fuera de ella es la longitud del segmento perpendicular desde el punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto de la misma se define como cero.

Definición 8.9

El centro de un polígono regular es la intersección de las mediatri-ces de sus lados.

En el hexágono regular de la derecha, O es el centro.

l

mA B

C

D

O

E

F


35

Definición 8.10

La apotema de un polígono regular es la distancia desde el centro a cada uno de sus lados.

En el hexágono regular de la derecha, a es la apotema. a

DO

Definición 8.11

El radio de un polígono regular es la distancia del centro a cada uno de sus vértices.

En el hexágono regular de la derecha, OF es el radio.

A B

C

DE

F O

Propiedad 8.2

La suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de n lados es 180 (n – 2).

Propiedad 8.3

La medida de un ángulo interno de un polígono regular de n lados es 180 (n – 2) / n

60° 108°

�

36


9. LA CIRCUNFERENCIA

Definición 9.1

Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidis-tan de un punto fijo llamado centro.

A la distancia fija se le llama radio y se simboliza por r.

rP Q

Definición 9.2

El interior de una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano, cuyas distancias del centro son menores que el radio.

El exterior de una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano, cuyas distancias del centro son mayores que el radio.

Exterior

Interior

P

Definición 9.3

Una cuerda de una circunferencia es un segmento cuyos extremos están en la circunferencia.

En la figura, AB es una cuerda.

A

B

P


37

Definición 9.4

Un diámetro de una circunferencia es una cuerda que contiene al centro.

En la figura, AB es un diámetro.

A

B

P

Definición 9.5

Un círculo es la reunión de la circunfe-rencia y su interior.

Definición 9.6

Un polígono inscrito en una circunferencia es un polígono que tie-ne todos sus vértices en la circunferencia. También se dice que la circunferencia está circunscrita al polígono.

En la figura, el cuadrado �ABCD está ins-crito en la circunferencia de centro O, o la circunferencia está circunscrita al cuadra-do �ABCD .

O

A

D

B

C

38


Definición 9.7

Un polígono circunscrito a una circunferencia es un polígono en el que cada lado es tangente a la circunferencia. También se dice que la circunferencia está inscrita en el polígono.

En la figura, el cuadrado �ABCD está cir-cunscrito a la circunferencia de centro O, o la circunferencia está inscrita en el �ABCD.

OO

A

D

B

C

�


39

10. SÓLIDOS

Definición 10.1

El conjunto de todos los puntos se llama espacio.

Definición 10.2

Dada una recta l y un plano P que la contiene. Los puntos del plano que no están en la recta forman dos conjuntos denominados semi-planos. A la recta l se le llama la arista o el borde de cada uno de los semiplanos.

P

l

Semiplano Semiplano

Consideremos dos porciones de planos, que no estén alineados, en el espacio que se intersecan en una recta, como en la siguiente figura de la izquierda:

P

Q

P

Q

A

B

Los planos y la recta forman cuatro figuras, cada una de las cua-les es la figura anterior de la derecha. Una figura como esta se denomina un ángulo diedro, y la recta PQ se llama arista.

40


Definición 10.3

Sean dos semiplanos que tienen la misma arista, pero que no están en el mismo plano. La reunión de los dos semiplanos y su arista co-mún se llama un ángulo diedro. La recta que es la arista común de los dos semiplanos se llama la arista del ángulo diedro. La reunión de la arista y cualquiera de los dos semiplanos se llama una cara del ángulo diedro.

Podemos mencionar el interior y el exterior de un ángulo die-dro, y de ángulos diedros opuestos por el vértice, que son muy parecidas a las definiciones respectivas para los ángulos en un plano, por lo que no los definiremos aquí. La ilustración de estos conceptos son las figuras de abajo, respectivamente.

Ext

erio

r

Interior

P

Q

P

Q

A A

B

B

D

C

La esquina de una habitación, donde se intersecan dos paredes y el piso, es un ángulo triedro, porque tiene tres caras. Si un ángulo tiene cuatro caras, se denomina ángulo tetraedro, y así sucesiva-mente. En general, se define un ángulo poliedro:


41

Definición 10.4

Sean n planos que se intersecan en un punto, pero que no están un mismo plano. La reunión de los n planos y su vértice común se llama un ángulo poliedro.

Los ángulos poliedros se nombran de acuerdo con el número de caras: ángu-lo triedro (tres caras), ángulo tetraedro (cuatro caras), ángulo pentaedro (cinco caras), y así sucesivamente. La figura muestra, de arriba a abajo, un ángulo te-traedro, un ángulo pentaedro y un ángu-lo hexaedro, respectivamente.

Los ángulos poliedros se denotan indi-cando el vértice y un punto de cada aris-ta. En la figura, los ángulos son, respec-tivamente, ∠P – ABCD, ∠P – ABCDE y ∠P – ABCDEF.

A CDB

P

A CDE

B

P

A C

DE

FB

P

La siguiente figura ilustra el interior y el exterior del ángulo trie-dro ∠P – ABC.

A CB

P

Exterior delángulo triedro Interior del

ángulo triedro

42


Los sólidos geométricos se clasifican en poliedros y cuerpos re-dondos.

Definición 10.5

Un poliedro es un sólido que está formado por un número finito de regiones poligonales denominadas caras. Los lados y vértices de las caras se denominan, respectivamente, aristas y vértices. Cada arista de una cara es la arista de exactamente otra cara. Si dos caras se intersecan, lo hacen en una arista o en un vértice.

AristaVértice

Cara

Los poliedros se nombran de acuerdo con el número de caras, como lo indica la siguiente tabla:

Número de caras

Nombre Dibujo

4 Tetraedro

5 Pentaedro

6 Hexaedro

Continúa…


43

Número de caras

Nombre Dibujo

7 Heptaedro

8 Octaedro

Los poliedros se clasifican según dos criterios:

a. Según si son poliedros convexos o cóncavos.b. Según su regularidad: regulares, semirregulares e irregula-

res.

a. Poliedros convexos o cóncavos

Definición 10.6

Un poliedro convexo es un poliedro en el que todo segmento, que tiene por extremos dos puntos del poliedro, se encuentra totalmen-te en el poliedro o en su interior.

El tetraedro de la derecha es convexo porque para cualquier par de puntos en él, el segmento que los une está totalmente en el poliedro o en su in-terior. El segmento AC, que tiene por extremos los vértices A y C, está con-tenido totalmente en la cara ABCD del poliedro.

A C

D

B

P

44


Definición 10.7

Un poliedro cóncavo es un poliedro en el que todo segmento, que tiene por extremos dos puntos del poliedro, no se encuentra total-mente en el poliedro o en su interior.

En el poliedro de la derecha, los puntos A y C están en el po-liedro porque son los vértices; pero el segmento AC no está contenido en el poliedro ni en su interior.

E

A

CD

B

P

b. Poliedros regulares, semiregulares e irregurales

Definición 10.8

Un poliedro regular es un poliedro en el que todas sus caras son polígonos regulares con el mismo número de aristas y todos los vértices están rodeados por el mismo número de caras.

Solo existen cinco poliedros regulares convexos o sólidos plató-nicos. El prefijo que se emplea en el nombre indica el número de caras que tiene. La siguiente tabla muestra sus características:

NombreNúmero de caras en un

vértice

Forma de las caras

Figura 3D

Tetraedro regular

3Triángulo equilátero

Cubo (hexaedro regular)

3 Cuadrado

Continúa…


45

NombreNúmero de caras en un

vértice

Forma de las caras

Figura 3D

Octaedro regular


Dodecaedro regular

3Pentágono

regular

Icosaedro regular


Definición 10.9

Los poliedros regulares estrellados son poliedros cóncavos obteni-dos a partir del pentagrama de los pitagóricos.

Existen cuatro poliedros regulares estrellados. La siguiente tabla muestra algunas de sus características:

Nombre Características Figura 3D

Pequeño dodecaedro estrellado

12 caras que son pentagramas

30 aristas12 vértices

Continúa…

46


Nombre Características Figura 3D

Gran dodecaedro estrellado

12 caras que son pentagramas

30 aristas20 vértices

Gran icosaedro

20 caras que son triángulos

equiláteros30 aristas

12 vértices

Gran dodecaedro

12 caras que son pentágonos

regulares30 aristas

12 vértices

Estos poliedros se conocen también con el nombre de sólidos de Kepler-Poinsot, porque Johann Kepler fue el que afirmó que los dos dodecaedros estrellados cumplen con la definición de sóli-dos regulares, aunque no fueran convexos como los sólidos pla-tónicos; mientras que los otros dos (gran icosaedro y gran dode-caedro) fueron descritos por Louis Poinsot.

Los poliedros semirregulares se clasifican en:

− Sólidos de Arquímedes o poliedros arquimedianos. Son trece.

− Sólidos de Catalán o poliedros de Catalán. Son trece.

Los poliedros irregulares se clasifican en:

− Prismas.

− Pirámides.


47

Existen otros tipos de poliedros, como los deltaedros (todas sus caras son triángulos equiláteros). De los ocho deltaedros con-vexos, tres (tetraedro, octaedro e icosaedro) son poliedros regu-lares convexos; los otros cinco son poliedros irregulares que caen en la familia de los sólidos de Jonhson, otra clasificación de só-lidos. Un deltaedro cóncavo (el gran icosaedro) es un sólido de Kepler-Poinsot.

Definición 10.10

Un prisma es un poliedro en el que:

− Hay un par de caras congruentes sobre planos paralelos, de-nominadas bases.

− Todas las demás caras son regiones paralelográmicas.

Las caras paralelográmicas se llaman caras laterales. Las caras late-rales se intersecan unas con otras en segmentos paralelos llamados aristas laterales. La altura del prisma es un segmento perpendicu-lar a los planos de las bases.

Arista de la baseBase inferior

Base superior

Arista lateral

Vértice

Cara lateral

Altura h

Los prismas se nombran según las bases:

Bases Nombre

Triángulos Prisma triangular

Rectángulos Prisma rectangular

Cuadrados Prisma cuadrangular

Pentágonos Prisma pentagonal

Hexágonos Prisma hexagonal

y así sucesivamente.

48


Los prismas se clasifican en rectos y oblicuos.

Definición 10.11

Un prisma recto es un prisma en el que las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases. En este prisma, la arista lateral coincide con la altura del prisma.

Definición 10.12

Un prisma oblicuo es un prisma en el que las aristas laterales no son perpendi-culares a los planos de las bases.

Hay una clase de prismas en el que todas las caras son regiones paralelográmicas:

Definición 10.13

Un paralelepípedo es un prisma cuya base es una región paralelográmica.

Definición 10.14

Un paralelepípedo rectangular es un prisma rectangular recto.


49

Definición 10.15

Un cubo es un paralelepípedo rectangu-lar cuyas aristas son todas congruentes.

Ahora, las pirámides:

Definición 10.16

Una pirámide es un poliedro en el cual todas las caras, menos una, tienen un vértice común. Ese vértice común es el vértice o cúspide de la pirámide. La cara que no contiene al vértice es la base de la pirámide.

Las caras triangulares que se unen en el vértice se llaman caras la-terales. Las aristas laterales son los segmentos en que se intersecan las caras laterales. La altura de la pirámide es el segmento perpen-dicular que va del vértice al plano de la base.

Arista lateral

Vértice

Base Arista de la base

Altura h

Las pirámides se nombran de acuerdo con el polígono de la base:

Base Nombre

Triángulo Pirámide triangular

Rectángulo Pirámide rectangular

Cuadrado Pirámide cuadrangular

Pentágono Pirámide pentagonal

Hexágono Pirámide hexagonal

y así sucesivamente.

50


Las pirámides se clasifican en oblicuas y rectas, y en regulares y no regulares, no mutuamente excluyentes. Solo definiremos las regulares y no regulares:

Definición 10.17

Una pirámide no regular es una pirámide en la que las aristas late-rales no son congruentes o la base no es un polígono regular.

En la primera pirámide de abajo, la base no es un polígono regular; y en la segunda, las aristas laterales no son congruentes.

Pirámide hexagonalirregular oblicua

Pirámide hexagonalirregular recta

Definición 10.18

Una pirámide regular es una pirámide en la que la base es un polí-gono regular y las aristas laterales son congruentes.

La apotema de la pirámide o altura inclinada es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Apotema dela pirámide

Apotema de la base

Altura de lapirámide

Cuando una pirámide, regular o no regular, se corta totalmente con un plano horizontal, se obtiene un poliedro con dos bases. Consideramos el caso de una pirámide regular:


51

Definición 10.19

Un tronco de pirámide regular es la porción de pirámide compren-dida entre la base y un plano paralelo a ella que corte a todas las artistas laterales.

La altura del tronco es un segmento perpendicular a los planos de las dos bases.

El segmento resultante de apotema de la pirámide es la apotema del tronco.

Apotema de labase mayor

Apotema de labase menor

Apotemadel tronco

Base mayor

Base menor

Altura deltronco

Ahora, los cuerpos redondos:

Definición 10.20

Un cuerpo redondo es un sólido en el que por lo menos una de sus caras es una superficie curva.

En geometría elemental se consideran tres cuerpos redondos: el cilindro, el cono y la esfera. Se pueden definir como cuerpos re-dondos o como sólidos de revolución. En este texto definiremos solamente los dos primeros, ambos como como sólidos de revo-lución.

52


Definición 10.21

Un cilindro circular recto de revolución es un sólido engendrado por la revolución completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, denominado eje de revolución o eje de giro.

El lado opuesto al eje de giro es la generatriz del cilindro y genera la superficie lateral.

Los lados del rectángulo ad-yacente al eje describen dos círculos que son las bases del cilindro y cada uno de ellos es el radio de la base o radio del cilindro.

La altura del cilindro es el segmento perpendicular a los planos de las bases, que en este caso coincide con la generatriz.

Gen

erat

riz

Altu

ra

Eje de giro

Base superior

Base inferior

Superficie lateral

Definición 10.22

Un cono circular recto de revolución es un sólido engendrado por la revolución completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, denominado eje de revolución o eje de giro. El otro cateto describe un círculo y es el radio de la base o radio del cono.

La hipotenusa del triángulo rectángulo es la generatriz del cono y es la que engendra la su-perficie lateral.

La altura del cono es el segmen-to perpendicular que va del vértice al plano del base.

Vértice

SuperficielateralG

ener

atriz

Altura

BaseRadio

Eje de giro


53

Aunque las definiciones de cilindro y cono son más amplias en geometría elemental, ya que consideran los cilindros oblicuos y conos oblicuos, para los propósitos de este libro las definiciones anteriores son suficientes.

Como en las pirámides, al cortar por toda la superficie lateral un cono circular con un plano horizontal, se obtiene un cuerpo redondo con dos bases:

Definición 10.23

Un tronco de cono recto es la porción de cono comprendida entre la base y un plano paralelo a ella que corte a toda la superficie lateral.

La altura del tronco es un segmento perpendicular a los planos de las dos bases.

El segmento resultante de generatriz del cono es la generatriz del tronco.

AlturaR O

Base mayor

Base menor

Gen

erat

riz r o

�

54


BIBLIOGRAFÍA

Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio y trigonometría. México: Cultural.

Clemens, S. et al (1998). Geometría. México: Addison Wesley Longman.

Guevara, E. (2010). Diseño industrial: Conceptos para construcción de la for-ma. Bucaramanga: Universidad Industrial de Santander.

Moise, E. y Downs, F. (1970). Geometría moderna. EEUU: Fondo Educati-vo Interamericano.

Swokowski, E. y Cole, J. (2006). Álgebra y trigonometría con geometría analítica.11ª ed. México: Thomson.

Tsijli, T. (2006). Geometría euclídea II. San José: Universidad Estatal a Dis-tancia.

Unidad 1

Semejanza

Problema 955.1 Proporción 965.2 Polígonos semejantes 1055.3 El criterio de semejanza AA 108Bibliografía 110

Unidad 1

Semejanza

Problema 571.1 Proporción 581.2 Polígonos semejantes 701.3 El criterio de semejanza AA 731.4 La pendiente de la recta 75Bibliografía 78

Thales de Mileto (640-547? a.C.). Primer geómetra griego, uno de los siete sabios de Grecia y fundador de la escuela Jónica. Fue el primero en predecir un eclipse; resolvió la determinación de distancias inaccesibles; estableció la congruencia de los ángulos en la base de un triángulo isósceles; la demostración de los teoremas conocidos que llevan su nombre, relativos a la proporcionalidad de las longitudes de los segmentos determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelas; entre otras propiedades.

Reseña histórica

57

PROBLEMA

Una casa fotográfica tiene las fotos del tamaño que muestra la figura.

Responda las siguientes preguntas:

1. ¿Los tamaños de las fotos son proporcionales? Justifique su respuesta.

R/

2. ¿Cuál debe ser la altura del tamaño 6 × 8 para sea proporcio-nal al tamaño 4 × 6?

R/

Escriba las operaciones realizadas y haga el dibujo de los dos rectángulos proporcionales con las dimensiones reales.

�

58


1.1 Proporción

Definición 1.1.1

Una proporción es la igualdad de dos razones. En símbolos: dc

ba= ,

donde b ≠ 0 y d ≠ 0. La proporción anterior se lee: “a es a b como c es a d. Entonces a, b, c, d son, respectivamente, el 1º, 2º, 3º y 4º términos de la proporción. Los números a y d reciben el nombre de extremos, y los números b y c, medios.

Definición 1.1.2

Sean a y b dos cantidades. El valor x es la media proporcional o la media geométrica de a y b si y sólo si

bx

xa= .

Propiedad 1.1.1

Si dc

ba= , entonces a × d = b × c.

Propiedad 1.1.2

Si dc

ba= , entonces

cd

ab= .

Propiedad 1.1.3

Si dc

ba= , entonces

db

ca= .

Si dc

ba= , entonces

ac

bd= .

Propiedad 1.1.4

Si dc

ba= , entonces

ddc

bba ±=

± .

Semejanza

59

Una de las aplicaciones de la razón, en dibujo técnico, es la es-cala:

Definición 1.1.3

La escala indica la razón del tamaño del objeto dibujado respecto a su tamaño real, independientemente de la unidad de medición utilizada. Es decir:

objetorealMedidadibujoMedidaEscala =

En símbolos: RDE = o RDE :=

Definición 1.1.4

La escala natural o escala 1:1 es la escala que se usa para dibujar un objeto con sus dimensiones reales.

Cuando se dibuja un objeto con dimensiones grandes y no se puede usar la escala natural, se usa una escala reducida, y con-trariamente, cuando se dibuja un objeto con dimensiones peque-ñas y no se puede usar la escala natural, se usa una escala am-plificada.

Hay escalas métricas (unidad lineal de medida para los dibujos mecánicos es el milímetro) y escalas del sistema inglés, dividi-das en pulgadas y en pies. En este texto utilizaremos la escala métrica.

El tamaño de una circunferencia se especifica ordinariamente por su diámetro, sin embargo, para dibujarla lo que necesitamos es su radio.

Lo que hay que tener en cuenta al dibujar a escala es pensar y ha-blar de cada dimensión en su tamaño natural y no en su tamaño reducido (o amplificado) que ha tomado en el papel. Esto evita confusión entre el tamaño real y el representado.

60


La siguiente tabla muestra los distintos tipos de escala métricas: ampliadas y reducidas.

Tabla. Escalas métricas

Ampliada Natural Reducida1000 : 1 1 : 1 1 : 2500 : 1 1 : 5 200 : 1 1 : 10100 : 1 1 : 2050 : 1 1 : 5020 : 1 1 : 5010 : 1 1 : 1005 : 1 1 : 2002 : 1 1 : 1000

En la naturaleza existen proporciones que han sido copiados por el ser humano para aplicarlos en la modelación de construccio-nes. Una de ellas es el patrón de crecimiento de la concha don-de habita el caracol del nautillo, como se ve en la figura de la abajo. La espiral que describe la concha se construye a partir de los cuadrados de 1 cm, 2 cm, 3 cm, 5 cm, 8 cm y 13 cm de lado, respectivamente. La razón del lado del cuadrado más grande al lado del cuadrado inmediatamente anterior,

1−n

n

aa , se aproxima a

un número:

Semejanza

61

212

1

2 ==aa

5,123

2

3 ==aa

6,135

3

4 ==aa

6,158

4

5 ==aa

625,18

13

5

6 ==aa

Suponiendo que el patrón de crecimiento continúa, esto es que cada número de la sucesión se obtiene a partir de la suma de los dos términos anteriores, las razones son:

615384615,11321

6

7 ==aa

619047619,12134

7

8 ==aa

La razón obtenida a medida que se sigue, se aproxima al núme-ro conocido como la proporción áurea o sección dorada. Este número, representado por la letra griega minúscula ϕ (phi, y se lee fi, en honor al escultor Fidias) y cuyo valor aproximado con nueve dígitos decimales es 1,618033989. Este número fue usado por los griegos como Pitágoras (580-500 a.d.C.) en el símbolo de su escuela pitagórica (el pentagrama) y el arquitecto, pintor y escultor ateniense Fidias (490?-431? a.d.C.) quien la aplicó en la construcción del Partenón, como lo muestra la figura de abajo, aunque hay controversia porque algunos autores afirman que no hay evidencia del uso de ϕ en la antigüedad.

62


En el Partenón de Atenas, según algunos autores, se tiene que

φ====BCAB

ABAC

ACCD

CDAD

Definición 1.1.5

La proporción áurea o la sección dorada es el número irracional

618033989,12

51≈

+=φ

La sucesión

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …

es la sucesión de Fibonnaci, apodo de Leonardo de Pisa (1170-1250).

Para dividir un segmento en proporción áurea, la relación entre la longitud del segmento resultante más largo y la del segmento dado es igual a la relación entre la longitud del segmento resul-tante más corto y del segmento resultante más largo. Esta es la manera de relacionar las partes con el todo, el eterno secreto de la armonía.

Semejanza

63

Definición 1.1.6

Dividir un segmento AB en media y extrema razón, consiste en di-vidirlo en dos segmentos AC y CB tales que =

ACAB

CBAC, es decir la

medida AC es la media proporcional entre AB y CB.

El segmento AC se llama segmento áureo y se considera que esta división es la más proporcionada que se puede hacer de un seg-mento.

C B

B

A

C

C

A

Método gráfico para la división áurea de un segmento

C B

P

O

D

A

1. Dibuje AB con medida de 10 cm.

64


2. Trace BO ⊥ AB y determine P sobre BO de manera que 2

ABBP = .

3. Trace la circunferencia con centro P y radio PB.

4. Trace AP que corta a la circunferencia en D.

5. Con centro en A y radio AD trace un arco que corte a AB en C. AC es el segmento áureo de AB.

Además del segmento áureo,también existe el rectángulo áureo:

Definición 1.1.7

El rectángulo áureo es el rectángulo en el que sus lados están en razón áurea.

Construcción gráfica del rectángulo áureo

AB

1. Dibuje el cuadrado □ABCD de 5 cm de lado.

2. Sea E el punto medio de AD.

3. Con centro en E y radio EC trace el arco ∩

CG que corta a AD en G.

Semejanza

65

4. Trace FG ⊥ AG con FG = 5 cm.

5. Complete el rectángulo □ABFG, el rectángulo áureo.

APLICACIONES 1.1

1. Tres de los tamaños de impresión, en cm, de fotos de una casa fotográfica son: 3 × 4, 9 × 12 y 10 × 15. ¿Cuáles tamaños son proporcionales y cuáles no?

2. Se tiene una hoja de base b y altura h, que se divide por la mitad como lo muestra la siguiente figura.

a. Deduzca la relación que debe haber entre b y h para que la hoja más pequeña tenga las mismas proporciones que la original.

b. Dado que la base b de la hoja original (A0) es la altura de la hoja pequeña A1 y la base de A1 es la mitad de la altura de A0, aplique la relación obtenida en literal a. para b = 84,1 cm y h = 118,9 cm para verificar dicha relación.

c. Si A2 es la hoja que se obtiene de dividir por la mitad A1, como se hizo con A0 ; y A3 se obtiene de dividir A2, y así sucesivamente, calcule las dimensiones de A2 , A3 , A4 y A5.

66


3. Dibuje el molde plano, correspon-diente al prisma triangular recto, en la escala 2:1, si la arista lateral del prisma mide 4 cm y la arista de la base 2 cm.

4. En un prisma pentagonal recto, la arista lateral mide 12 cm y la arista de la base mide 6 cm. Dibuje el molde plano el pris-ma con la escala 1:2.

5. Un empaque tiene la forma de un prisma hexagonal recto. La altura mide 15 cm y la arista de la base mide 6 cm. Haga el molde plano del empa-que a escala 1:3.

6. Un empaque para servilletas tiene la forma de una pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide 12 cm y la apotema (altura inclinada) mide 16 cm. Haga el molde plano de la pirámide a escala 1:4.

7. En una pirámide pentagonal regular, la apotema de la pirá-mide mide 8 cm y la arista de la base mide 6 cm. Dibuje el molde plano de la pirámide con la escala 1:2.

8. Un empaque para dulces tiene la for-ma de una pirámide hexagonal regu-lar. Si la apotema de la pirámide mide 3 cm y la arista de la base mide 1,5 cm, dibuje el molde plano de la pirá-mide con la escala 2:1.

Semejanza

67

9. Un empaque para chocolates tiene la forma de un tronco de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base menor mide 5,4 cm; la arista de la base mayor, 9 cm, y la apotema del tronco, 13,4 cm. Haga el molde plano del tronco de pirámide a escala 1:2.

10. Un empaque para chocolate tiene la forma de un tronco de pirámide cua-drangular regular. La arista de la base mayor mide 9 cm; la arista de la base menor, 6 cm, y la apotema del tronco, 15 cm. Haga el molde plano del tron-co de cono con la escala 1:3.

11. Aplique la definición de segmento áureo para deducir las medidas de los segmentos resultantes de AB, que mide 10 cm.

12. Divida gráficamente al segmento PQ, de 7 cm, en la sección áurea y calcule, por medio de la definición, las longitudes de los segmentos resultantes.

13. Dibuje un pentágono regular de 4 cm de lado, calcule las me-didas de los lados del triángulo, con tres dígitos decimales, que muestra la figura y verifique que es un triángulo de sec-ción dorada (la razón entre uno de sus lados mayores y su lado menor es ϕ).

68


14. Dibuje un pentágono regular de 4 cm de lado y el pentágono regular estrellado que muestra la siguiente figura. Haga los cálculos necesarios, con tres dígitos decimales, para verificar que AB = CD y que φ==

DCAD

ADAC .

15. Aplicar la proporción áurea consiste en relacionar algunas medidas relevantes para una obra a través de ϕ, como lo muestra la figura de abajo.

Reproduzca la figura para valores de a igual a 6 cm, 8 cm y 10 cm. Aplique la definición de rectángulo áureo para deducir la base del rectángulo grande. Obtenga las medidas con tres dígitos de-cimales.

Semejanza

69

16. Un carne tiene la forma de un rectángulo de 8,6 cm de base y 5,4 cm de altura. Determine si las dimensiones del rectángulo son las de un rectángulo áureo. De no ser así, aplique la defi-nición de rectángulo áureo y deduzca sus dimensiones para que sea un rectángulo áureo y dibújelo aplicando el método gráfico.

17. Construya gráficamente el rectángulo áureo a partir de un cuadrado de 5 cm de lado. Deduzca sus dimensiones aplican-do la definición.




�

70


1.2 POLÍGONOS SEMEJANTES

Definición 1.2.1

Polígonos semejantes son polígonos en los que sus ángulos respec-tivos son congruentes y sus lados respectivos son proporcionales.

A

P

C R

B

Q

D

S

En los cuadriláteros, sea la correspondencia ABCD PQRS.

ABCD ~ PQRS si y sólo si:

∠A ≅ ∠P, ∠B ≅ ∠Q, ∠C ≅ ∠R, ∠D ≅ ∠S y

QRBC

PQAB

=RSCD

QRBC

=SPDA

RSCD

=PQAB

SPDA

=, , y

APLICACIONES 1.2

1. Determine si las siguientes figuras son semejantes o no. Justi-fique su respuesta.

Semejanza

71

2. Un vaso desechable de papel tiene la forma de un cono con generatriz de 11,5 cm y diámetro de 8,4 cm. Un di-bujo del vaso tiene la generatriz de 5 cm. ¿Cuánto debe medir el diámetro de la base en el dibujo para que las dimensiones del dibujo sean propor-cionales al vaso cónico?

3. Un chocolate en polvo viene en un en-vase con la forma de un cilindro recto con un radio de 3,7 cm y una altura de 11 cm. Se va a hacer un dibujo del cilindro donde su altura es de 5 cm. ¿Cuál debe ser el radio del cilindro en el dibujo para que las dimensiones del dibujo del cilindro sean propor-cionales al envase cilíndrico?

4. Un empaque para chocolates tiene la forma de un tronco de pirámide cua-drangular. La arista de la base mayor mide 8 cm, la arista de la base menor mide 6 cm y la apotema del tronco mide 15 cm. En un dibujo, la arista de la base mayor mide 1,5 cm. ¿Cuá-les deben ser las medidas de la arista de la base menor y de la apotema del tronco para que el dibujo sea propor-cional al empaque?

72


5. Un vaso espumado tiene la forma de un tronco de cono. El radio mayor mide 4,2 cm, el radio menor mide 2,3 cm y la generatriz del tronco mide 9,4 cm. En un dibujo, el radio me-nor mide 1,0 cm. ¿Cuáles deben ser las medidas del radio mayor y de la generatriz para que el dibujo sea pro-porcional al vaso?

6. Construya dos polígonos que sean equiángulos y que no sean semejantes.

7. En un empaque para chocolates con forma de tronco de pirámide cua-drangular regular, la arista de la base mayor mide 7 cm, la de la base menor mide 6 cm y la apotema es de 9 cm. En un dibujo, la arista de la base ma-yor mide 4 cm. ¿Cuáles deben ser las medidas de la arista de la base menor y de la apotema del tronco para que el dibujo sea proporcional al empa-que?

8. Un vaso para yogurt tiene la forma de un tronco de cono. Si el radio mayor mide 3,3 cm, el radio menor mide 2,2 cm y la generatriz del tronco mide 9,4 cm. En un dibujo, el radio ma-yor mide 2,0 cm. ¿Cuáles deben ser las medidas del radio menor y de la generatriz para que el dibujo sea pro-porcional al vaso?

9. Construya dos polígonos que sean equiláteros y que no sean semejantes.

�

Semejanza

73

1.3 EL CRITERIO DE SEMEJANZA AA

Propiedad 1.3.1 (el criterio de semejanza aa)

Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

En símbolos: Si ∠A ≅ ∠D y ∠B ≅ ∠E, entonces ΔABC ~ ΔDEF.

C

BA

F

ED

APLICACIONES 1.3

1. Para construir un vaso que tiene la forma de un tronco de cono, hay que conocer las dimensiones del cono que fue truncado. Si el radio mayor mide 4,2 cm, el radio menor mide 2,3 cm y la generatriz del tronco mide 9,4 cm, calcule la altura y la generatriz del cono que fue truncado.

2. Un vaso para yogurt tiene la forma de un tronco de cono. Si el radio mayor mide 3,3 cm, el radio menor mide 2,2 cm y la generatriz del tronco mide 9,4 cm, calcule la altura y la generatriz del cono que fue truncado.

74


3. Un recipiente desechable para ensa-ladas tiene la forma de un tronco de cono. Si el radio mayor mide 3,9 cm, el radio menor mide 2,5 cm y la gene-ratriz del tronco mide 5,0 cm, calcule la altura y la generatriz del cono que fue truncado.

4. Una gelatina viene en un vaso en for-ma de tronco de cono. Si el radio ma-yor mide 3,8 cm, el radio menor mide 2,7 cm y la generatriz del tronco mide 5,2 cm, calcule la altura y la genera-triz del cono que fue truncado.

5. Un contenedor espumado para co-mida tiene la forma de un tronco de cono. Si el radio mayor mide 5,4 cm, el radio menor 4,2 cm y la generatriz del tronco mide 7 cm, calcule la altura y la generatriz del cono que fue trun-cado.

�

Semejanza

75

1.4 LA PENDIENTE DE LA RECTA

Definición 1.4.1

El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo formado por el eje X y la recta, midiéndolo a partir del eje X en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

El ángulo de inclinación de la recta l es α y el de la recta l’ es α’. Además, el ángulo de inclinación puede tener cualquier valor com-prendido entre 0° y 180°.

Definición 1.4.2

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación.

La pendiente de una recta se designa generalmente por la letra m. En símbolos: m = tan α.

De las dos definiciones anteriores se deduce que la pendiente puede tomar todos los valores reales. Si el ángulo de inclinación es agudo, entonces la pendiente es positiva, como el ángulo α’ de la recta l’. Si el ángulo de inclinación es obtuso, entonces la pen-diente es negativa, como el ángulo α de la recta l.

76


Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y, o sea, una rec-ta vertical, tiene un ángulo de inclinación de 90°. Como tan 90° no está definida, la pendiente de una recta vertical no existe.

Propiedad 1.4.1

Si P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) son dos puntos cualesquiera de una rec-ta, entonces la pendiente de la recta es

2121

21

12

12 , xxxxyy

xxyym ≠

−−=

−−=

.

Definición 1.4.3

Se llama línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que to-mados dos puntos diferentes cualesquiera P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) del lugar, el valor de la pendiente m calculado por medio de la fórmu-

la de la Propiedad 1.2.1 2121

21

12

12 , xxxxyy

xxyym ≠

−−=

−−= , resulta

siempre constante.

Propiedad 1.4.2 (Ecuación punto-pendiente)

La recta que pasa por el punto P1 (x1,y1) y tiene la pendiente m dada, tiene por ecuación: y – y1 = m (x – x1)

Propiedad 1.4.3 (Ecuación pendiente y - intercepto)

La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b, tiene por ecuación: y = m x + b.

Semejanza

77

Propiedad 1.4.4 (Ecuación simétrica)

La recta cuyas intercepciones con los ejes X y Y son a ≠ 0 y

b ≠ 0, respectivamente, tiene por ecuación: 1=+by

ax

Propiedad 1.4.5 (Forma general)

La forma general de la ecuación de una recta es la ecuación Ax + By + C = 0 en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero.

APLICACIONES 1.4

1. (La siguiente tabla tomada de Chueca, 2010) muestra las me-didas de la contrahuella y la huella de algunos tipos de esca-leras:

Tipo de escalera Contrahuella Huella

De edificios de viviendas 17-18 cm 27-30 cm

De servicio 19-20 cm 25-23 cm

De sótanos y altillos 20-22 cm 23-20 cm

Seleccione para cada tipo de escalera dos medidas de contrahue-lla y huella, y:

a. Calcule la pendiente de la escalera en número racional.

b. Halle la ecuación de la recta y su ángulo de inclinación.

c. Seleccione una escala adecuada para dibujar por lo menos dos escalones de la escalera.

d. Muestre en la gráfica de la recta que la pendiente es cons-tante.

�

78


BIBLIOGRAFÍA

Chueca, P. (2010). Innovación y diseño: Escaleras. Barcelona: Links.

Elam, K. (2003). Geometría del diseño. México: Trillas.

Lehmann, Ch. (1988). Geometría analítica. México: Limusa.

Mateu, L. (2007). Arquitectura y armonía. México: Trillas.

Moise, E. & Downs, F. (1970). Geometría Moderna. EEUU: Fondo Educa-tivo Interamericano S.A.

Unidad 2

Perímetro y área

Problema 812.1 Patrones Arbitrarios 832.2 Estimación 882.3 Área De Polígonos 902.4 Partes De Un Círculo 96Bibliografía 105

Pitágoras de Samos (580-500 a.C.). Fundador de la escuela pitagórica y discípulo de Thales de Mileto. Famoso por la construcción geométrica del pentágono estrellado, símbolo de su escuela y el teorema de Pitágoras. Antes de terminar el siglo V a.C., los Pitagóricos ya habían elaborado lo fundamental de los libros I, II, IV y VI de Los Elementos de Euclides.

Reseña histórica

81

PROBLEMA

Las siguientes figuras son tres piezas de un pentominós, la F, la W y la P, respectivamente:


1. ¿Cuál es el perímetro de cada una de ellas?

R/

2. ¿Algunas tienen el mismo perímetro?

R/ ¿Cuáles? R/

82


3. ¿Cuál es el área de cada una de ellas?

R/

4. ¿Algunas tienen la misma área?

R/ ¿Cuáles? R/

5. ¿Se puede afirmar que dos figuras que tienen la misma área siempre tendrán el mismo perímetro?

R/ ¿Por qué? R/

�

Perímetro y área

83

2.1 PATRONES ARBITRARIOS

Definición 2.1.1

El perímetro de un polígono es la suma de las medidas de sus la-dos. El perímetro del ΔABC se denota por P(ΔABC).

Para medir perímetros o áreas, se pueden usar patrones de me-didas arbitrarios.

Definición 2.1.2

Un patrón es un objeto o instrumento que permite materializar y reproducir una unidad de medida.

Definición 2.1.3

Una unidad de longitud es un segmento que se ha tomado como patrón en un caso determinado.

En el caso del polígono de la derecha, una unidad de longitud es el lado de un cuadra-do que compone la cuadrícula. Por lo tanto:

P(Polígono) = 18 unidades de longitud

En consecuencia, el perímetro de una figura es un número que expresa cuántas veces está contenida cierta unidad de longitud en el perímetro.

Definición 2.1.4

Polígonos isoperimétricos son polígonos con el mismo perímetro y distinta forma.

84


Definición 2.1.5

Una región poligonal es un subconjunto de un plano limitado por un polígono (o polígonos).

En las siguientes figuras, la primera es la región poligonal ABCDEF, mientras que la segunda, es el polígono ABCDEF.

Propiedad 2.1.1

A cada región poligonal le corresponde un número positivo único, denominado área. El área de la región R se denota por A(R).

Definición 2.1.6

Una unidad de área es una región poligonal que se toma como pa-trón de medida y puede ser, por ejemplo, una región cuadrada, una región triangular, , etc.

En el caso del polígono de la derecha, una unidad de área puede ser la región cuadra-da . En el dibujo, el área del polígono tiene 12 unidades de área y se escribe: A(R) = 12 uni da des de área.

Ahora, si la unidad de área que selecciona-mos como patrón es el área del triángulo , entonces el área del polígono de la derecha es 24 unidades de área y se escribe: A(R) = 24 unidades de área.

Perímetro y área

85

En consecuencia, el área de una figura es un número que expresa cuántas veces está contenida cierta unidad de área en el área de la figura.

Definición 2.1.7

Polígonos equivalentes son polígonos con la misma área y distinta forma.

APLICACIONES 3.1

1. Construya dos polígonos isoperimétricos, que no sean trián-gulos ni cuadriláteros.

86


2. Construya dos polígonos equivalentes, que no sean triángu-los ni cuadriláteros.

3. ¿Cuál es el perímetro y el área de las siguientes figuras to-mando como unidad de longitud el lado de un cuadrado de la cuadrícula respectiva y como unidad de área la región de dicho cuadrado? Escriba la solución con número irracio-nal cuando sea necesario.

a. b.

Perímetro y área

87

c. d.

e. f.

4. ¿Cuál es el área de la región sombreada si el patrón de medi-da es:

a. la región triangular?

b. la región hexagonal?

�

88


2.2 ESTIMACIÓN

Definición 2.2.1

La estimación es la habilidad mental para valorar una cantidad. El valor asignado no tiene que ser exacto, pero sí adecuado para tomar decisiones. El valor asignado depende de quién realice la va-loración.

APLICACIONES 3.2

Para las aplicaciones 1-8, estime el perímetro y el área tomando como unidad de longitud el lado de un cuadrado de la cuadrícu-la respectiva y como unidad de área la región de dicho cuadrado.

1. 2.

3. 4.

Perímetro y área

89

5. 6.

7. 8.

�

90


2.3 ÁREA DE POLÍGONOS

Los antiguos babilonios conocían la regla que el área de un cam-po rectangular puede medirse multiplicando “el largo por el an-cho”.

Propiedad 2.3.1

El área de un rectángulo es el producto de su base y su altura.

b

h A = b • h

Propiedad 2.3.2

El área de un paralelogramo es el producto de una base cualquiera y la altura correspondiente.

El paralelogramo □ABCD es equi-valente al rectángulo □CDEF , como lo muestra la figura, ya que al paralelogramo □ABCD le corta-mos el ΔADE y se la colocamos en el otro extremo, convirtiéndose en el rectángulo □CDEF.

AB

CD

E F

Propiedad 2.3.3

El área de un triángulo es la mitad del producto de cualquiera de sus bases y la altura correspondiente.

El área del triángulo de la derecha es la mitad del área del paralelogramo que tiene la misma base y altura del triángulo. b

hx 2

b

h

Perímetro y área

91

Propiedad 2.3.4

Si el lado de un triángulo equilá-tero tiene longitud l, entonces su

área es 4

32l .

h =2

3l

2l

2l

ll

Propiedad 2.3.5

El área de un trapecio es la mitad del producto de su altura y la suma de sus bases.

La figura muestra cómo el trapecio ABCD es equivalente a un triángu-lo con la misma altura, por lo que al aplicarle la fórmula del área del triángulo, obtenemos la fórmula del área del trapecio:

2)( hCDABA +

=

A

CD

B

h

E

A

CD

B

h

E

A C

D

DB

h

Si una unidad de longitud es un segmento con una distancia uni-taria, entonces el área del cuadrado, cuyo lado tiene esta distan-cia unitaria, es una unidad cuadrada.

92


En el Sistema Internacional (SI) la unidad fundamental de longi-tud es el metro (m) y las unidades derivadas son los múltiplos y submúltiplos del metro. En el Sistema Inglés, algunas de las uni-dades de longitud son la pulgada (pulg, in), el pie (ft)y la yarda (yd). Sus equivalencias son:

1 pulg = 2,54 cm

1 pie = 30,48 cm = 12 pulg.

1 yd = 3 pies = 36 pulg = 91,44 cm.

Definición 2.3.1

El metro cuadrado (m2) es el área equivalente a la de un cuadrado que tiene de lado 1 m.

Perímetro y área

93

APLICACIONES 3.3

Para las aplicaciones 1-4:

1. 2.

3. 4.

a. Calcule el perímetro y el área seleccionando como unidad de longitud el lado de un cuadrado de la cuadrícula res-pectiva y como unidad de área la región de dicho cuadra-do. Escriba la solución con número irracional cuando sea necesario.

b. Calcule el perímetro en cm, mm y pulgada, y el área en cm2, mm2 y pulg2. Escriba la solución con número irracio-nal cuando sea necesario.

5. Una ventana consiste en un rectángulo coronado por un triángulo equilátero, de tal forma que la base del triángulo es la base superior del rectángulo. Para el marco, se usa mate-

94


rial en la unión del triángulo equilátero y el rectángulo. Si el perímetro de la ventana es de 3 m y la altura del rectángulo es de 60 cm, calcule el área encerrada por la ventana. ¿Cómo cambia el área de la ventana si la altura del rectángulo es de 75 cm? Haga el dibujo de las ventanas con la escala 1:10.

6. Repita la aplicación anterior, pero ahora no hay material en la unión del triángulo equilátero y el rectángulo.

7. Un calendario tiene la forma de un dodecaedro regular. Si la arista del dodecaedro es de 5 cm, calcule el área del molde plano sin tener en cuenta las pestañas. Haga el dibujo de una cara del dodecaedro con las medidas reales.

2015

Enero

LMM

JVSD

1234

567

891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

FebreroLMMJVSD

1

2345678

9101112131415

16171819202122

232425262728

Marzo

LM

MJ

VS

D1

23

45

67

8

910

1112

1314

15

1617

1819

2021

22

2324

2526

2728

29

3031

Mayo

L M M J V S D

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31

Juni

oL

MM

JV

SD

12

34

56

78

910

1 112

1 314

1 516

1 718

1 920

2 122

2324

2526

2728

2930

JulioL

MM

JV

SD

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

2930

31

AgostoL M M J V S D1 2

3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23

24 25 26 27 28 29 30

31

Septie

mbre

LM

MJ

VS

D

12

34

56

78

910

1112

13

1415

1617

1819

20

2122

2324

2526

27

2829

30

Octu

bre

LM

MJ

VS

D

12

34

56

78

910

11

1213

1415

1617

18

1920

2122

2324

25

2627

2829

3031Noviembre

LMMJVSD1

2345678

9101112131415

16171819202122

23242526272829

30

DiciembreLMM

JVSD

123456

78910111213

14151617181920

21222324252627

28293031

Abril

LM

MJ

VS

D

12

34

5

67

89

1011

12

1314

1516

1718

19

2021

2223

2425

26

2728

2930

8. Un calendario tiene la forma de un poliedro con dos bases más doce caras. Si las aristas de las bases son de 5 cm, las aristas centrales horizontales de 8 cm y la arista lateral es de 6,4cm, calcule el área del molde plano. Haga el dibujo de un trapecio isósceles y del hexágono regular, unidos por un lado, con las medidas reales.

Perímetro y área

95

9. En un empaque para chocolates con forma de tronco de pirámide cua-drangular regular, la arista de la base mayor mide 7 cm, la de la base menor mide 6 cm y la apotema es de 9 cm. Si el empaque tiene para cada tapa el equivalente a tres bases respectivas, calcule el área del empaque sin tener en cuenta las pestañas y el corazón de arriba.

10. La caja de cartón que contiene un ce-real, tiene impresa el molde plano de un poliedro que sirve como empaque para un regalo navideño. Los trián-gulos son isósceles con lados laterales de 4,6 cm y base de 4,2 cm; la base me-nor del trapecio rectangular mide 3,2 cm y su altura, 2,8 cm. Calcule el área del molde plano sin tener en cuenta las dos pestañas en los extremos del molde.

�

96


2.4 PARTES DE UN CÍRCULO

Definición 2.4.1

Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo ∠APB vértice es el centro de la circunferencia.

En la figura, el ∠APB es un ángulo central.

A

BP

Definición 2.4.2

Sea una circunferencia con centro P y sean A y B dos puntos de la circunferencia, pero que no son los extremos de un diámetro.

El arco menor AB es la reunión de A, B y todos los puntos de la circunferencia que están en el interior del ∠APB. El arco ma-yor AB es la reunión de A, B y todos los puntos de la circunferencia AB que están en el exterior del ∠APB. En cada caso, A y B son los extremos del arco AB.

A

B

P

Definición 2.4.3

Sea una circunferencia y sean A y B los extremos de un diámetro. Una semicircunferencia AB es la reunión de A, B y los puntos de la circunferencia que están en el semiplano dado de arista AB. Los puntos A y B son los puntos extremos de la semicircunferencia.

A BP

Perímetro y área

97

Definición 2.4.4

Un ángulo intercepta un arco si y sólo si:

a. los puntos extremos del arco están en el ángulo,

b. todos los otros puntos del arco están en el interior del ángu-lo, y

c. cada lado del ángulo contiene un extremo del arco.

En la figura, el ∠APB intercepta el arco menor AB.

A

B

P

Propiedad 2.4.1

Si un ángulo central de n° intercep-ta un arco de radio r, entonces la longitud L del arco AB es :

1803602 oo nrnrL ππ ==

A

BPr

n°

Definición 2.4.5

Un sector circular es una región del círculo limitada por un ángulo central y su arco interceptado.

Propiedad 2.4.2

Si un sector circular tiene radio r y un án-gulo central de no, entonces su área es:

360

2 onrA π=

r

n°sector

Arco L

98


Definición 2.4.6

Un segmento circular es una región determinada por un arco de una circunferencia y la correspondiente cuerda.

Propiedad 2.4.3

Si un segmento circular tiene una cuerda cuyos extremos son los de un arco intercep-tado por un ángulo central de no de una cir-cunferencia de radio r, entonces su área es

360

2 n°rA π=

n°A

B

P

rr

Definición 2.4.7

Una corona circular es una región del plano limitada por dos cir-cunferencias concéntricas (circunferencias con el mismo centro).

Propiedad 2.4.4

Si en una corona circular el radio de la circunferencia mayor es R y el radio de la circunferencia menor es r, entonces su área es

A = πR2 – πr2 = π(R2 – r2)

r

R

Definición 2.4.8

Un trapecio circular es una región de la corona circular delimitada por dos radios.

Perímetro y área

99

Propiedad 2.4.5

Si en un trapecio circular los dos radios de la circunferencia mayor R determinan un ángulo central de no, entonces su área es:

)(360360360

2222

rRnnrnRAooo

−=−= πππ

n°

r R

R

APLICACIONES 2.4

1. Una ventana del tipo Normando con-siste en un rectángulo coronado por una semicircunferencia que tiene de diámetro la medida de la base del rec-tángulo. El perímetro de la ventana es de 2 m y para el marco no se usa material en la unión del rectángulo y la semicircunferencia. Si la altura del rectángulo mide 50 cm, calcule el área encerrada por la ventana. ¿Cómo cambia el área de la ventana si la altu-ra del rectángulo es de 60 cm? Haga el dibujo de las ventanas con la esca-la 1:10.

2. Repita la aplicación anterior, pero ahora sí se usa material en la unión del rectángulo y la semicircunferen-cia.

100


3. En una ventana del tipo Normando, el perímetro de la venta-na es de 2 m y no se usa material en la unión del rectángulo y la semicircunferencia. Calcule la medida del radio y de la altura si el área encerrada por el rectángulo es el doble de la encerrada por la semicircunferencia. Haga el dibujo del mar-co con la escala 1:10.

4. Repita la aplicación anterior si el área encerrada por el rectán-gulo es 9/5 de la encerrada por la semicircunferencia. Haga el dibujo del marco con la escala 1:10.

5. Repita la aplicación 3 si ahora sí se usa material en la unión del rectángulo y la semicircunferencia.

6. Una ventana del tipo Normando tiene la forma de la figura. Si la cantidad de material para el marco y sus divisiones son 3 metros y el área encerrada por el rectángulo es 3/2 del área encerrada por la semicircunferencia, calcule la medida del radio y de la altura. Haga el dibujo del marco, con sus divisiones, con la es-cala 1:10.

7. La figura de abajo muestra la secuencia para construir un em-paque en forma de corazón. Constrúyalo para AB = 20 cm y calcule su área.

65°

65°20°

20°65°

65°20°

20°

A O B

F

E

DC

Igua

l

Igual

Perímetro y área

101

A

O

B

FD

C

E

8. Un vaso cónico tiene una generatriz de 11,5 cm y un radio 4,2 cm. Haga el molde plano del vaso con las medidas reales y calcule su área.

9. Un gorro para fiesta de niños tiene la forma de un cono circular recto. La ge-neratriz es de 16 cm y el radio es de 5,56 cm. Calcule el área del molde plano del gorro.

10. Un plato tiene como decoración una figura que se construye de la siguien-te manera: Desde los vértices A y C del cuadrado □ABCD, de 4 cm de lado, y con una abertura de 4 cm, se trazan los arcos, en el interior del cuadrado, que tiene por extremos los vértices adyacentes respectivos. Las intersecciones de los arcos determi-nan un pétalo. Calcule el perímetro y el área del pétalo.

102


11. En una vajilla los platos tienen la for-ma de un triángulo curvilíneo, que se construye de la siguiente manera: En una circunferencia, de centro O y radio 5 cm, inscriba el ΔABC equilá-tero. Con centro en A y abertura del compás igual a AB, trace un arco me-nor que pase por B y C. Similarmente, con centro en B, trace un arco menor que pase por A y C. Finalmente, con centro en C, trace un arco menor que pase por A y B, formándose el trián-gulo curvilíneo ABC. Calcule el perí-metro y el área de este triángulo cur-vilíneo.

12. Una gelatina viene en un vaso que tiene la forma de un tronco de cono. Si el radio mayor mide 3,8 cm; el ra-dio menor, 2,7 cm, y la generatriz del tronco, 5,2 cm, haga el molde plano del tronco de cono y calcule su área. Haga el dibujo del molde plano con las medidas reales.

13. Un recipiente desechable para ensa-ladas tiene la forma de un tronco de cono. Si el radio mayor mide 3,9 cm; el radio menor, 2,5 cm, y la genera-triz del tronco, 5,0 cm, haga el molde plano del tronco de cono y calcule su área. Haga el dibujo del molde plano con las medidas reales.

Perímetro y área

103

14. Un kumis viene en un vaso con forma de tronco de cono. Si el radio mayor mide 3,3 cm; el radio menor, 2,2 cm, y la generatriz del tronco, 8,5 cm, haga el molde plano del tronco de cono y calcule su área. Haga el dibujo del molde plano con las medidas reales.

15. Se van a cortar láminas rectangulares de las cuales se cons-truirán envases cilíndricos rectos cerrados, cuyos moldes pla-nos no tendrán pestañas. Cada tapa se obtendrá de un cua-drado de radio 2r y de aquí resulta el único material sobrante. 4r es la base de la lámina rectangular. Si el radio de la base del cilindro es de 2 cm, ¿cuál es la altura de la lámina y la altura del cilindro? Haga el dibujo de la lámina con las dimensiones obtenidas, especificando los cuadrados de donde se cortan las bases.

104


16. Se van a cortar láminas rectangulares de las cuales se cons-truirán envases cilíndricos rectos cerrados, cuyos moldes pla-nos no tendrán pestañas. Cada tapa se obtendrá de un cua-drado de radio 2r y de aquí resulta el único material sobrante. 4r es la base de la lámina rectangular. Si el radio de la base del cilindro es de 3 cm, ¿cuál es la altura de la lámina y la altura del cilindro? Haga el dibujo de la lámina con las dimensiones obtenidas, especificando los cuadrados de donde se cortan las bases.

�

Perímetro y área

105

BIBLIOGRAFÍA


Moro, M. (2000). Metrología: Introducción, Conceptos e Instrumentos. Ovie-do: Universidad de Oviedo.

Segovia I. et al. (2000). Estimación en cálculo y medida. Madrid: Síntesis.

Unidad 3

Área y volumen

Problema 1093.1 Unidades de volumen 1113.2 Prismas y pirámides 1153.3 Cilindros y conos 1213.4 Tronco de pirámide y de cono 125Bibliografía 129

Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.). Matemático, físico e ingeniero griego. Se le considera el sabio más grande de la antigüedad, ya que fue el más científico de los sabios griegos. Sus estudios matemáticos se centraron principalmente a las relaciones de las superficies de cuerpos esféricos y lineales, y de los volúmenes de cuerpos redondos.

Reseña histórica

109

PROBLEMA

Las siguientes figuras son cuatro piezas de un pentominós 3D, formadas por cubos de igual tamaño, la F, la P, la T y la L:

F P T L


1. ¿Cuál es el área total de cada una de ellas? Enumere los cubos y especifique su respectiva área total.

R/

2. ¿Algunas tienen la misma área total?

R/

¿Cuáles? R/

110


3. ¿Cuál es el volumen de cada una de ellas, en unidades cúbi-cas?

R/

4. ¿Algunas tienen el mismo volumen?

R/

¿Cuáles? R/

5. ¿Se puede afirmar que dos figuras que tienen el mismo volu-men siempre tendrán la misma área total?

R/

¿Por qué? R/

Área y volumen

111

3.1 UNIDADES DE VOLUMEN

Definición 3.1.1

El volumen de un sólido es la medida del espacio que ocupa un cuerpo.

Propiedad 3.1.1

A cada sólido le corresponde un número positivo único, denomi-nado volumen. El volumen de un prisma se denota por V(Prisma).

Definición 3.1.2

Una unidad de volumen es el espacio ocupado por un poliedro que se toma como patrón de medida y puede ser, por ejemplo, un prisma cuadrangular, un cubo, un tetraedro, etc.

En el caso del sólido de la derecha, la uni-dad de volumen es el espacio ocupado por un cubo . Este sólido tiene 6 unidades de volumen y se escribe: V(Sólido) = 6 uni-dades de volumen.

Ahora, si la unidad de volumen que se-leccionamos como patrón es el espacio ocupado por medio cubo (prisma trian-gular irregular recto), entonces el sólido tiene 12 unidades de volumen y se escribe: V(Sólido) = 12 unidades de volumen.

En consecuencia, el volumen de un sólido es un número que ex-presa cuántas veces está contenida cierta unidad de volumen en el volumen de un sólido.

112


Definición 3.1.3

Poliedros equivalentes son poliedros con el mismo volumen y dis-tinta forma.

Un cubo que tiene de arista una unidad lineal, tiene como volu-men una unidad cúbica.

La unidad de volumen en el Sistema Internacional es el metro cúbico y en Sistema Inglés la pulgada cúbica y el pie cúbico.

Definición 4.1.4

El metro cúbico (m3) es el volumen equivalente al de un cubo que tiene de arista 1 m.

1 m

1 dm3

1 cm3

1 m

1 m

Existen otras magnitudes que se relacionan con el volumen:

Área y volumen

113

Definición 3.1.5

La masa es la magnitud fundamental que describe la cantidad de materia que contiene un cuerpo.

La unidad de masa en el SI es el kilogramo (kg).

En el Sistema Inglés, la unidad de masa es la libra ( lb).

Definición 3.1.6

La capacidad es el modo de medir la cantidad de sustancia que un recipiente puede contener.

La unidad de capacidad es el litro. En el Sistema Inglés es el ga-lón. La unidad de volumen en el SI es el metro cúbico (m3), sin embargo, el litro (L) es una unidad de volumen no perteneciente al SI, pero cuyo uso lo permite el SI. La letra L fue adoptada para evitar la confusión de la l minúscula con el número uno (1).

Estas tres magnitudes se relacionan como lo muestra la siguiente tabla:

Para el agua destilada

Para cualquier líquidoMasa de agua

Volumen Capacidad

1 cm3 1 ml 1 g

1 dm3 1 l 1 kg

1 m3 1 kl 1 t

114


= 1 dm

1 cm3 = 1 mL

1L = 1 dm3 = 1000 cm3

1 cm10 cm

La figura de arriba muestra la equivalencia entre volumen y ca-pacidad en varias unidades.

La palabra volumen se utiliza en dos sentidos:

Volumen interno de un hueco, que es lo mismo que la capaci-dad.

Volumen externo, en el sentido de la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo, que corresponde a la Definición 4.1.1.

APLICACIONES 3.1

¿Cuál es el volumen de los sólidos de las aplicaciones 1-4 si la unidad de volumen es el espacio ocupado por un cubo?

1 2 3 4

�

Área y volumen

115

3.2 PRISMAS Y PIRÁMIDES

Las definiciones de prismas y pirámides ya fueron expuestas en la sección 10 del capítulo Conceptos preliminares.

Definición 3.2.1

La superficie lateral de un prisma es la reunión de sus caras laterales.

Por lo tanto, el área lateral de un prisma es el área de su superfi-cie lateral.

Definición 3.2.2

La superficie total de un prisma es la reunión de sus caras laterales y sus dos bases.

Similarmente, el área total de un prisma es el área de su superfi-cie total. El área total de un prisma es la misma área de su molde plano.

Como sucede con la deducción de las fórmulas de área para figu-ras planas, el punto de partida para la deducción de las fórmulas de volumen es la siguiente propiedad:

Propiedad 3.2.1

El volumen de un paralelepípedo rectangular es el producto de la altura y el área de la base.

En símbolos: V = A(base) . h, donde h es la altura del paralelepípedo.

V = A(base) = lahl a

h

116


Definición 3.2.3

Una sección transversal de un prisma es la intersección del prisma con un plano paralelo al plano de la base (con tal de que la intersección no sea vacía).

Propiedad 3.2.2 (principio de cavalieri)

Sean dos cuerpos sólidos y un plano. Si todo plano paralelo al plano dado que interseca a uno de los dos cuerpos, interseca también al otro y da secciones transversales con áreas igua-les, entonces los dos cuerpos tienen el mismo volumen.

Sólidos equivalentes de volumen V = A(base)h

Bases y secciones equivalentes de área A

Al aplicar el principio de Cavalieri a un paralelepípedo rectangu-lar y a un prisma cualquiera, se obtiene la siguiente propiedad:

Propiedad 3.2.3

El volumen de un prisma cualquiera es el producto de la altura y el área de la base.

En símbolos: V = A(base) . h, donde h es la altura del prisma

h h

Área y volumen

117

Definición 3.2.4

La superficie lateral de una pirámide es la reunión de sus caras laterales.

Por lo tanto, el área lateral de una pirámide es el área de su su-perficie lateral.

Definición 3.2.5

La superficie total de una pirámide es la reunión de sus caras late-rales y de su base.

Similarmente, el área total de una pirámide es el área de su su-perficie total. El área total de una pirámide es la misma área de su molde plano.

Propiedad 3.2.4

El volumen de una pirámide es un tercio del producto de su altura y el área de la base.

En símbolos: V = 1/3 A(base) . h,

donde h es la altura de la pirá-mide.

h

Apotema dela pirámide

Apotema de la base

Altura de lapirámide

118


La razón del un tercio es debido a que un prisma triangular (rec-to o no) se puede descomponer en tres pirámides equivalentes:

APLICACIONES ♥3.2

1. Un empaque para dulces tiene la forma de un prisma triangular recto. Si la arista de la base mide 5 cm y la altura es de 8 cm, haga el molde plano del prisma con las medidas reales y calcule su área. ¿Cuál es el volumen del empaque?

2. Una lata para galletas navideñas tiene la forma de un prisma octagonal recto. La arista de la base mide 8,5 cm y la altura, 5,5 cm. Calcule la capacidad de la lata. Si la tapa superior tiene un borde de 1 cm de alto, calcule el área total de la lata.

3. La capacidad de un prisma triangular recto es de 120 ml. Si la apotema de la base mide cm3 , haga el molde plano del prisma con las medidas reales. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material em-pleada en el molde plano?

4. Calcule el área total y el volumen de la figura de la derecha si la artista de la base del prisma hexagonal mide 6 cm; el del agujero, 4 cm, y la altura del prisma es de 3 cm.

Área y volumen

119

5. La capacidad de un prisma pentagonal es de 200 ml. Si el radio de la base mide 3,4 cm, haga el molde plano del prisma con las medidas reales. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material empleada en el molde plano?

6. El molde plano de una tienda de campaña con forma de pirámide cuadrangular regular (tienda pi-ramidal) se obtiene de una pieza cuadrada de material de 8 m de lado. Si la apotema de la base es de 1 m, ¿cuál es el volumen de la tien-da? ¿Qué le sucede al volumen si la apotema de la base es de 1,5 m? ¿Y si es de 1,8 m? En cada caso, cal-cule su área, y haga el molde plano con la escala 1 cm = 1 m.

ab

7. Repita la aplicación anterior, pero ahora en el molde plano de la pirá-mide, el cuadrado de la base gira 45° y es concéntrico con el cuadra-do más grande. Compare los re-sultados con la aplicación anterior y obtenga una conclusión.

ab

8. La capacidad de una pirámide triangular regular es de 60 ml. Si la apotema de la base mide cm3 , haga el molde plano de la pirámide con las medidas reales. Calcule la pendiente de las caras laterales y el respectivo ángulo. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material empleada en el molde plano?

120


9. Una caja para pañuelos tiene la forma de una pirámide cua-drangular regular. Si la arista lateral es de 7,5 cm y la arista de la base es de 5 cm, calcule el área total y el volumen de la pi-rámide.

10. La capacidad de una pirámide cuadrangular regular es de 50 ml. Si la diagonal de la base mide cm2

29 , haga el molde pla-

no de la pirámide con las medidas reales. Calcule la pendien-te de las caras laterales y el respectivo ángulo. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material empleada en el molde plano?

11. El molde plano de un empaque para dulces se obtiene de rec-tángulo. Haga un molde plano que sea proporcional a la figura de la derecha. Calcule la canti-dad de material utilizado para hacer el molde, incluyendo el material desperdiciado; el área del molde plano, sin incluir las pestañas, y el volumen de la pi-rámide.

12. La capacidad de una pirámide hexagonal regular es de 90 ml. Si el radio de la base mide 4 cm, haga el molde plano de la pirámide con las medidas reales. Calcule la pendiente de las caras laterales y el respectivo ángulo. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material empleada en el molde plano?

�

Área y volumen

121

3.3 CILINDROS Y CONOS

Las definiciones de cilindros, conos y su respectiva superficie la-teral, ya fueron expuestas en la sección 10 del capítulo Conceptos preliminares.

El área lateral de un cilindro es el área de su superficie lateral, y su área total es el área de su superficie total. El área total de un cilindro es la misma área de su molde plano.

Propiedad 3.3.1

El volumen de un cilindro circular es el producto de su altura y el área de su base.

En símbolos: V = πr2 h, donde r es el radio de las bases y h la altu-ra del cilindro.

Gen

erat

riz

Altu

ra

Eje de giro

Base superior

Base inferior

Superficie lateral

El área lateral de un cono es el área de su superficie lateral, y su área total es el área de su superficie total. El área total de un cono es la misma área de su molde plano.

Propiedad 3.3.2

El volumen de un cono circular es un tercio del producto de su al-tura y el área de su base.

122


En símbolos: hrV 2

31π= , donde r es el radio de la base y h la altura

del cono.

Vértice

SuperficielateralG

ener

atriz

Altura

BaseRadio

Eje de giro

APLICACIONES 3.3

1. Una hoja rectangular de 8 cm de base y 5 cm de altura se enrolla en forma de cilindro a lo largo de su base. ¿Cuál es el área lateral y el volumen encerrado por este cilindro? Si la hoja se enrolla ahora a lo largo de su altura, ¿el área lateral y el volumen encerado por este cilindro es igual al del cilindro anterior? Justifique su respuesta.

2. Una jeringa de tinta para cartuchos viene graduada en múlti-plos de 5 ml. Si la distancia del intervalo de graduación es de 1,5 cm, ¿cuál es el radio de la jeringa?

3. Una probeta viene graduada cada 1/10 ml. Si el diámetro in-terno de la probeta es de 10 mm, calcule la distancia del interva-lo de graduación de la probeta.

Área y volumen

123

4. La capacidad de un cilindro circular recto es de 80 ml. Si el radio de la base mide 2 cm, haga el molde plano del cilindro con las medidas reales. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material empleada en el molde plano?

5. La capacidad de un cilindro circular recto es de 150 ml. Si el radio de la base mide 2,5 cm, haga el molde plano del cilindro con las medidas reales. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material empleada en el molde plano?

6. Un vaso cónico tiene una ge-neratriz de 11,5 cm y un radio 4,2 cm. Calcule su capacidad. ¿Cómo cambia la capacidad si el ángulo central del molde pla-no disminuye 10°? ¿Y si aumen-ta 10°?

7. Un gorro para fiesta de niños tiene la forma de un cono circu-lar recto. La generatriz es de 16 cm y el ángulo central es de 125o, ¿cuál es el radio del cono?

8. Se va a construir un vaso cónico que le quepan 8 onzas de agua. ¿Cuáles son las dimensiones del vaso cónico, de tal for-ma que el cociente entre la generatriz y el diámetro esté entre 1,3 y 1,4? ¿Cuál es el área del molde plano de este vaso?

124


9. La capacidad de un cono circular recto es de 50 ml. Si el ra-dio de la base mide 2,5 cm, haga el molde plano del cono con las medidas reales. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material empleada en el molde plano?

10. La capacidad de un cono circular recto es de 50 ml. Si el ra-dio de la base mide 2 cm, haga el molde plano del cono con las medidas reales. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material empleada en el molde plano?

11. Una pieza cilíndrica circular recta tiene un agujero en forma de cilindro circular recto que va de la base superior a la base inferior del cilindro. Si la altura es de 9 cm, el radio del cilindro mayor es de 1,8 cm y el radio del agujero es de 0,9 cm, calcule el área total y el volumen de la pieza cilíndrica circular recta con el agu-jero.

12. Una pieza tiene la forma de un prisma cuadrangular con un agujero, con forma de un cilindro circular recto, que va de la base superior a la base inferior del prisma. Si la altura del prisma es de 3 cm, la arista de la base es de 2,4 cm y el radio del agujero es de 0,8 cm, calcule el área total y el volumen de la pie-za con el agujero.

�

Área y volumen

125

3.4 TRONCO DE PIRÁMIDE Y DE CONO

Las definiciones de tronco de pirámide y tronco de cono, conos ya fueron expuestas en la sección 10 del capítulo Conceptos pre-liminares.

Como en la pirámide, el área lateral de un tronco de pirámide es el área de su superficie lateral, y su área total es el área de su su-perficie total. El área total de un tronco de pirámide es la misma área de su molde plano.

Propiedad 3.4.1

El volumen de un tronco de pirámide se calcula con la fórmula:

( )bBbB AAAAhV ⋅++=3

dondeh: Altura del tronco de pirámideAB: Área de la base mayorAb: Área de la base menor

Apotema de labase mayor

Apotema de labase menor

Apotemadel tronco

Base mayor

Base menor

Altura deltronco

Como en el cono, el área lateral de un tronco de cono es el área de su superficie lateral, y su área total es el área de su superficie total. El área total de un tronco de cono es la misma área de su molde plano.

126


Propiedad 3.4.2

El volumen de un tronco de cono se calcula con la fórmula:

)(3

22 rRrRhV πππ ++=donde

h: es la altura del tronco de conoR: Radio de la base mayorr: Radio de la base menor

AlturaR O

Base mayor

Base menorG

ener

atriz r o

APLICACIONES 3.4

1. En un empaque para chocolates con forma de tronco de pirámide cua-drangular regular, la arista de la base mayor mide 7 cm, la de la base menor mide 6 cm y la apotema es de 9 cm. Calcule el área total y el volumen del empaque. Haga el dibujo del molde plano con la escala 1:2.

2. En un empaque para chocolates con forma de tronco de pirámide cua-drangular regular, la arista de la base mayor mide 9 cm, la de la base menor mide 5,5 cm y la apotema es de 14 cm. Calcule el área total y el volumen del empaque. Haga el dibujo del molde plano con la escala 1:2.

Área y volumen

127

3. Un empaque para chocolates tiene la forma de un tronco de pirámide cuadrangular re-gular. Si la arista de la base mayor mide 8 cm; la arista de la base menor, 6 cm, y la apotema, 15 cm, calcule el volumen del em-paque. Haga el dibujo del molde plano con la escala 1:2.

4. La capacidad de un tronco de pirámide cuadrangular regular es de 56 ml. Si la arista de la base mayor mide 4 cm y la de la base menor mide 2 cm, haga el molde plano del tronco de pirámide con las medidas reales. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material em-pleada en el molde plano?

5. La capacidad de un tronco de pirámide cuadrangular regular es de 65 ml. Si la arista de la base mayor mide 5 cm y la de la base menor mide 2 cm, haga el molde plano del tronco de pirámide con las medidas reales. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material em-pleada en el molde plano?

6. Un vaso espumado tiene la forma de un tronco de cono. El radio mayor mide 3,7 cm; el radio menor, 2,1 cm, y la generatriz, 9,2 cm. Calcule el área total del vaso y las onzas máximas de agua que puede conte-ner el vaso. Haga el dibujo del molde plano con la escala 1:2.

7. Un recipiente desechable para ensaladas tiene la forma de un tronco de cono. Si el ra-dio mayor mide 3,9 cm; el radio menor, 2,5 cm, y la generatriz, 5,1 cm, calcule el área total y el volumen del recipiente. Haga el dibujo del molde plano con la escala 1:2.

128


8. Un contenedor espumado para co-mida tiene la forma de un tronco de cono. Si el radio mayor mide 5,1 cm; el radio menor, 4,1 cm, y la genera-triz, 7,0 cm, calcule el área total y el volumen del contenedor. Haga el dibujo del molde plano con la escala 1:3.

9. Un vaso desechable para jugo tiene la forma de un tronco de cono. Si el radio mayor mide 4,5 cm; el radio menor, 2,7, cm, y la generatriz, 10,8 cm, calcule el área total y el volumen del contenedor. Haga el dibujo del molde plano con la escala 1:3.

10. La capacidad de un tronco de cono circular recto es de 100 ml. Si el radio de la base mayor mide 3 cm y el de la base menor mide 1 cm, haga el molde plano del tronco de cono con las medidas reales. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material empleado en el molde plano?

11. La capacidad de un tronco de cono circular recto es de 200 ml. Si el radio de la base mayor mide 4 cm y el de la base menor mide 2 cm, haga el molde plano del tronco de cono con las medidas reales. Si se desprecia el grosor del material y las pestañas, ¿cuál es la cantidad de material empleado en el molde plano?

12. Calcule el área total y el volumen de la pieza de la figura de la derecha.

45

58 Ø70 Ø

40 Ø20 Ø

Área y volumen

129

BIBLIOGRAFÍA

Baldor, A. (2004). Geometría plana y del espacio y Trigonometría. México: Cultural.

Barrantes, H. & Ruiz, A. (2006). Geometrías. Cartago: Editorial Tecnoló-gica de Costa Rica.

Dickson, L.; Brown, M. y Gibson O. (1991). El aprendizaje de las matemá-ticas. Barcelona: Labor.


Unidad 4

FUNCIONES

Problema 1334.1 Conceptos básicos 1344.2 Funciones como modelos matemáticos 149Bibliografía 184

Se consideran como precursores del concepto de función los cálculos astronómicos de los babilonios y el cálculo de proporciones de los griegos porque tenían correspondencias, pero no conceptos abstractos como el de variable y función. El primero que utilizó el concepto de función fue Nicolás Oresme, matemático francés del siglo XIV. Los conceptos de variable y función fueron intuidos por matemáticos de los siglos XVII y XVIII como Galileo, Descartes, Newton, Barrow, Bernoulli. Durante el siglo XIX, Johann Dirichlet llegó al concepto general de función que se usa en la actualidad. En el siglo XX, la definición de Dirichlet se expresa en términos de teoría de conjuntos.

Reseña histórica

René Descartes Isaac Newton Johann Dirichlet

133

PROBLEMA

El marco de una ventana es un rectángulo con un triángulo equi-látero, de tal forma que la base superior del rectángulo es la base del triángulo. Hay 4 m de material disponible para el marco.


1. Si x es la base del rectángulo, ¿cuál es la expresión A que pro-porciona el área que encierra el marco de la ventana en térmi-nos de x?

R/

2. ¿Cuál es el conjunto de valores que puede tener x? ¿Por qué?

R/

3. Cuando x sea 0,8 m, ¿cuál es el área encerrada por la ventana?

R/

4. ¿Cambia la expresión A obtenida en el ítem 1 si no hay mate-rial en la base del triángulo? ¿Cambia el conjunto de valores que puede tener x? ¿Por qué?

R/

134


4.1 CONCEPTOS BÁSICOS

Antes de entrar a los conceptos de función y sus elementos, des-cribimos algunos conceptos matemáticos que utilizaremos.

El conjunto de los números naturales se denota con N y está for-mado por: N = {1, 2, 3, …}.

El conjunto de los números enteros se denota por Z y está forma-do por Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.

Los números fraccionarios se definen de la siguiente forma:

Definición 4.1.1

Los números fraccionarios, denotados por Q, son los números que

se escriben en la forma ba , en donde los números a y b son números

enteros, con la condición de que b no puede ser cero. En símbolos matemáticos:

}0,,,/{ ≠∈∈== bZbZabaxxQ

.

Los números irracionales son los números decimales que no

se pueden escribir de la forma ba , en donde los números a y b

son números enteros, con la condición de que b no puede ser cero. Se puede denotar por I. Algunos números irracionales son:

.,5,2 π

La unión del conjunto de los números racionales con los núme-ros irracionales es el conjunto de los números reales, denotado por R: R = Q ∪ I.

Generalmente se completa el conjunto R de los números reales con los elementos que se denotan por + ∞ y –∞, considerando que por definición, –∞ < + ∞.

Funciones

135

Definición 4.1.2

El conjunto R de los números reales completado con los elementos + ∞ y – ∞ se llama conjunto extendido de los números reales (o recta numérica extendida) y se denota por R. Los elementos + ∞ y – ∞ se llaman a veces puntos infinitamente alejados de recta nu-mérica extendida, en contraposición a los números de la recta nu-mérica R que se llaman también puntos finitos.

Definición 4.1.3

Si a ≤ b, a ∈ R, b ∈ R, entonces, el conjunto {x / a ≤ x ≤ b} se llama segmento de la recta numérica extendida R o intervalo cerrado y se denota por [a, b] es decir, [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}, a ∈ R, b ∈ R.

En el caso a = b, el segmento [a, b] está constituido por un punto.

Si a ≤ b, entonces el conjunto {x / a < x < b} se llama intervalo abierto y se denota por ]a, b[, es decir, ]a, b] = {x / a < x < b}.

Los conjuntos numéricos [a, b[={x / a ≤ x < b} y ]a, b] = {x / a < x ≤ b} se llaman intervalos semiabiertos.

Los segmentos [a, b], los intervalos ]a, b[ y los intervalos semiabier-tos [a, b[, ]a, b] se llaman intervalos, los puntos a y b, sus extremos; a, el extremo derecho y b, el izquierdo y los puntos x son tales que a < x < b se llaman sus puntos interiores.

Si a y b son finitos, es decir, a ∈ R y b ∈ R, entonces el intervalo con extremos a y b se llama también intervalo numérico y el número b – a su longitud.

Si al menos uno de los números a y b es infinito, entonces el inter-valo con extremos a y b se llama infinito.

La siguiente tabla muestra la relación entre la notación de inter-valo con su respectiva gráfica:

136


Tabla. Intervalos: Notaciones y gráficas

Definición Notación Gráfica

}/{ bxax ≤≤ ],[ ba

}/{ bxax << [,] ba

Intuitivamente, una función es un tipo de relación entre los ele-mentos de dos conjuntos. De manera general:

Definición 4.1.4

Sean A y B dos conjuntos. Una función f de A en B es una relación que le asigna a cada elemento del conjunto A uno y sólo un elemen-to del conjunto B.

El dominio de f es el conjunto A y el rango o contradominio de f son los elementos de B que están relacionados con los elementos del conjunto A.

Ejemplo 4.1.1

La figura de la derecha ilustra el caso de una función, porque cada elemento del conjunto A está relacionado con exactamente un elemento del conjunto B. La definición de función permite que en el conjunto B queden elementos sin relacionarse.

A r B

El dominio de f es: { } y el rango o contradominio es: { }.

Funciones

137

En este texto estudiaremos las funciones de una variable real:

Definición 4.1.5

Sean X y Y dos conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X a Y es una regla de correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y.

El elemento x de X se llama variable independiente, el elemento y de Y, variable dependiente.

El dominio de f es el conjunto X.

El número y es la imagen de x por f y se denota por f(x), a lo cual se le llama el valor de f en x.

El recorrido o rango de f es el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X.

Dado un elemento y de Y, el elemento x de X para el cual f (x) = y, se llama preimagen del elemento y.

Existen cuatro maneras de representar una función. Cada una describe una función de una manera específica:

1. Algebraica: Usa una fórmula para describir la relación en-tre las variables de la función. Permite calcular el valor de la variable dependiente para un valor determinado de la variable independiente, proceso conocido como evaluación de funciones. Siempre por función representada por cierta fórmula se entiende la función definida sobre el conjunto de todos aquellos números reales para los cuales en el proceso de la evaluación, se obtienen sólo números reales. Para ello se debe tener en cuenta en la determinación del dominio de la función dos situaciones: cuando la variable independien-te aparece en el denominador de la función, el denominador debe ser distinto de cero, y cuando la variable independiente aparece en un radical con índice par, la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero. Si alguna de estas dos situacio-

138


nes no ocurre, el dominio de la función es el conjunto de los números reales.

2. Numérica o tabular: Describe por medio de una tabla la rela-ción entre las variables de la función. Para algunos valores de la variable independiente, indica los valores respectivos de la variable dependiente. Los datos de las tablas pueden ser obtenidos tanta directamente de un experimento como con ayuda de unos u otros cálculos matemáticos. Ejemplos de tal definición de las funciones son las tablas logarítmicas y las tablas de las funciones trigonométricas.

3. Gráfica: Describe mediante una gráfica el comportamiento de la función. Puede servir para la definición de la dependen-cia funcional, pero esta definición será aproximada, porque la medición de los segmentos prácticamente puede realizarse solo con determinado grado de exactitud. Un ejemplo de de-finición gráfica de funciones que se encuentran en la práctica es la gráfica de las ondas ECG (Electrocardiograma) produci-das por el corazón, en la figura de la derecha. En la gráfica, el tiempo se mide en el eje horizontal. Cada cuadrícula pequeña tiene 1 mm de longitud y representa 0,04 segundos. El voltaje se mide en el eje vertical y 1 mV es 10 mm en el ECG estándar. En medicina se analiza la longitud de los trazos en que han descompuesto la onda que representa el pulso cardíaco para diagnosticar un problema del corazón.

0

P T

QS

R

0,2 0,4 0,6 0,8

Funciones

139

Definición 4.1.6

Se llama gráfica de la función y = f (x) (x y y son números) el con-junto de puntos sobre el plano con coordenadas (x, f (x)), x ∈ X (X, como siempre, es el campo de definición de la función).

Ejemplo 4.1.2

Dada la función: f (x) = x2 + 1:

Representación algebraica: f (x) = x2 + 1: . Variable independiente: x. Variable dependiente: y.

Representación numérica o tabular:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 10 5 2 1 2 5 10

Representación gráfica:

1

2

3

4

5

67

y

x

Dominio: Dado que la variable independiente, x, no aparece ni en el denominador de una fracción ni en un radical par, el dominio de la función f (x) = x2 + 1 es el conjunto de los números reales.

140


Ejemplo 4.1.3

Dada la función: t

tf−

=2

1)( :

Representación algebraica: t

tf−

=2

1)( . Variable independien-

te: t. Variable dependiente: y.


t -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 0,2 0,25 1/3 0,5 1 indefinido -1 -0,5


Dominio: Dado que la variable independiente, t, aparece en el de-nominador de una fracción, por definición de número fraccio-nario, el denominador se hace distinto de cero: 2 − t ≠ 0, por lo

que t ≠ 2. Por lo tanto, el dominio de la función t

tf−

=2

1)( es

el conjunto de los números reales, excepto el 2: Dom f = R − {2}.

Funciones

141

Ejemplo 4.1.4

Dada la función: 3)( −= rrq :

Representación algebraica: 3)( −= rrq . Variable independien-te: r. Variable dependiente: q.


r 3 4 5 6 7 8 9

q 0 1 2 3 2 5 6


5

1

2

3

4

5

67

4321

q

6789 10r

Dominio: Dado que la variable independiente, r, aparece en un radical con índice par, la cantidad subradical se hace mayor o igual a cero: r – 3 ≥ 0, por lo que r ≥ 3. Por lo tanto, el dominio de la función 3)( −= rrq es el conjunto de los números reales mayores o iguales a 3: Dom q = [3, + ∞ [.

142


Hay dos formas algebraicas de escribir una función: implícita y explícita.

Definición 4.1.7

Las funciones definidas por ecuaciones de la forma F (x, y) = 0 se llaman funciones implícitas.

Definición 4.1.8

Las funciones definidas por la fórmula resoluble con respecto a la variable y, y = f (x) se llaman funciones explícitas.

El término “función implícita” refleja no el carácter de la depen-dencia funcional, sino sólo el método de su representación. Una misma función se puede dar tanto explícita como implícitamen-te:

Ejemplo 4.1.5

La siguiente tabla muestra las funciones de los tres ejemplos an-teriores escritas de las dos formas:

Tabla. Funciones explícitas e implícitas

Función explícita Función implícita

1)( 2 += xxf 012 =−− xy

ttf

−=

21)( 0

21 =−

−t

y

3)( −= rrq 03 =−− rq

A las funciones, al igual que a los números, se les aplican cuatro operaciones.

Funciones

143

Definición 4.1.8

Sean f y g dos funciones cualesquiera.

La suma de f y g, denotada por f + g, es la función definida por:

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

La diferencia de f y g, denotada por f – g, es la función definida por:

(f – g)(x) = f (x) – g(x)

El producto de f y g, denotada por f · g, es la función definida por:

(f · g)(x) = f (x) · g(x)

El cociente de f y g, denotada por f / g, es la función definida por:

)()()/( )( xg

xfgf x =

Además de las cuatro operaciones anteriores, dos funciones se pueden combinar para originar otra. Sean f : A → B y g : B → C dos funciones relacionadas como lo muestra la figura de abajo:

Las imágenes de x1, x2, x3 y x4 bajo la función f son (x1), (x2), (x3) y (x4), respectivamente. Estas imágenes son al mismo tiempo los elementos del dominio de la función g, por lo que las imágenes de estos elementos, bajo la función g son g[f (x1)], g[f (x2)], g[f (x3)]

144


y g[f (x4)], respectivamente. Como B es el conjunto de llegada de la función f y al mismo tiempo es el conjunto de partida de la función g, podemos considerar al conjunto B como un “puente” para ir del conjunto A al conjunto C. Si queremos ir directamente del conjunto A al conjunto C, debemos construir una función h : A → C, combinando las funciones f y g, como lo muestra la figura de abajo:

Definición 4.1.10

Sean las funciones y = f (x) y z = g(y), de tal forma que el dominio de la función g contiene el campo de valores de la función f, enton-ces a cada x del dominio de la función f, de forma natural, le corres-ponde un z tal que z =g (y) donde y = f (x). Esta función, definida por la correspondencia z = g[f (x)] se llama función compuesta o composición de las funciones f y g y se denota por g ○ f, es decir, (g ○ f ) (x) = g[f (x)].

La función compuesta (g ○ f )(x) tiene como dominio todos aque-llos elementos x del dominio de f para los cuales f (x) es un ele-mento del dominio de g.

Ejemplo 4.1.6

Descomponga la función compuesta 3)( −= xxh en las dos funciones que la componen.

Funciones

145

Solución

Llamemos f y g las funciones componentes de h y definamos la composición que origina a la función h como h = g ○ f = g[f (x)], de donde se infiere que la función “externa” es la función g y esta debe ser la que tiene el signo radical, por lo tanto, xxg =)( . La otra función, f, es la “interna” y es la que se reemplaza en g, por lo que f (x) = x – 3. La figura de abajo muestra un diagrama sagital de la estructura de la función compuesta h = g ○ f = g[f (x)]:

A f = x – 3 B g = C

10

2

3

4

5

-2-3

-1

0

1

2

No

No

No

0

12

2

Si aplicamos la definición de función compuesta, para obtener la función h, debemos hallar la “imagen” de g en f, que consiste en reemplazar la x de la función g por x – 3:

3)3()]([ −=−=== xxgxfgfgh o

Del diagrama sagital de la figura de arriba observamos que el dominio de h = g ○ f son los elementos del dominio de f para los cuales su imagen es un elemento del dominio de g, razón por la cual en el dominio de g ○ f no están los números menores que 3, sino los mayores o iguales que 3. Esto coincide con el resultado de hallar el dominio de g ○ f con la regla de que si la variable independiente aparece en un radical con índice par, la cantidad subradical se hace mayor o igual a cero y se resuelve la desigual-dad, como hicimos en el ejemplo 4.1.4.

146


Definición 4.1.11

Las funciones:

constante, y = c, c es una constante,

potencial, y = xr,

exponencial, y = ax, (a > 0),

trigonométricas, y = sen x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y

trigonométricaa inversas, y = arcsen x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, se llaman principales funciones elementales.

Definición 4.1.12

Cualquier función que pueda ser dada en forma explícita con ayuda de una fórmula que contiene sólo un número finito de operaciones aritméticas y de composición de las principales funciones elementa-les se llama función elemental.

Ejemplo 4.1.7

Las funciones del ejemplo 2.1.5: 1)( 2 += xxf , t

tf−

=2

1)( y

3)( −= rrq , son funciones elementales.

Las funciones elementales se clasifican en:

− Funciones polinómicas.

− Funciones racionales (fracciones racionales).

− Funciones irracionales.

− Funciones trascendentes.

Funciones

147

Definición 4.1.13

Las funciones polinómicas o polinomios son las funciones que se definen por la fórmula

....)(0

33

2210 ∑

=

=+++++==n

k

kk

nnn xaxaxaxaxaaxPy

Si an ≠ 0, entonces el número n se llama grado del polinomio dado.

Definición 4.1.14

Las funciones racionales son las funciones que se definen por la fór-mula

)()(

xQxPy =

donde P (x) y Q (x) son polinomios.

Definición 4.1.15

Las funciones irracionales son las funciones que no son racionales y que pueden ser representadas con ayuda de composiciones de un número finito de funciones racionales, funciones potenciales con ex-ponentes racionales y las cuatro operaciones aritméticas.

Definición 4.1.16

Las funciones trascendentes son las funciones elementales que no son racionales ni irracionales. En este grupo están las funciones trigo-nométricas directas e inversas, la exponencial y la logarítmica.

148


Ejemplo 4.1.8

Las funciones del ejemplo 1.1.5 se clasifican de la siguiente ma-nera:

f (x) = x2 + 1 es una función polinómica de grado 2, o sea, una función cuadrática.

ttf

−=

21)( es una función racional.

3)( −= rrq es una función irracional.

�

Funciones

149

4.2 FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

La palabra modelo se usa en muchas áreas del saber, con signifi-cados distintos. Un modelo puede ser un esquema, un diseño, un gráfico, etc. De manera general, una definición de modelo es la siguiente:

Definición 4.2.1

Un modelo es una representación simplificada de ciertos aspectos de un sistema real.

Un ejemplo de modelo es el mapa de las calles de una ciudad, que permite movilizarse por las calles de la respectiva ciudad para llegar a un destino determinado.

En Matemática un modelo, por lo general, usa símbolos (ecua-ciones o funciones) que pueden ser traducidos en otros sistemas de representación (gráficas, tablas etc.), aunque algunas veces es mejor usar un solo sistema de representación como vimos en el caso de la onda ECG producida por el corazón.

Definición 4.2.2

Un modelo matemático es un modelo que usa conceptos matemá-ticos tales como funciones y ecuaciones.

En algunas situaciones es necesario expresar un caso práctico en términos de una relación funcional. La función obtenida propor-ciona un modelo matemático de la situación que permite prede-cir su comportamiento.

Una función, como modelo matemático se puede obtener a partir de la modelación matemática:

150


Definición 4.2.3

La modelación matemática es un proceso o conjunto de pasos que se aplican con el propósito de obtener un modelo matemático.

Un proceso de modelación matemática, para aplicar las funcio-nes como modelos matemáticos, es el siguiente:

1. Análisis

a. ¿Cuáles son los datos?

b. ¿Cuál es la condición y el objetivo? Identifique la variable independiente y la dependiente.

c. Haga un dibujo de la situación, si es posible, con las varia-bles involucradas.

2. Formulación

a. Seleccione la(s) fórmula(s) que satisfaga(n) la condición y el objetivo del problema.

b. Haga el despeje respectivo en la condición, reemplácelo en el objetivo y simplifique.

3. Validación

a. Haga un análisis dimensional, si es posible, del modelo obtenido.

b. Aplique el modelo obtenido para determinar si tiene la condición dada y consigue el objetivo.

c. Si el modelo no tiene la condición dada o no satisface el objetivo, vuelva a comenzar en el paso 1.

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación del proceso para funciones como modelos matemáticos:

Funciones

151

Ejemplo 4.2.1

Un sector circular tiene 10 cm2 de área.

I. Exprese el perímetro P del sector circular en términos de su radio r. Clasifique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la cur-va correspondiente.

II. Calcule P (2). Localícelo en la gráfica de abajo. Interprételo y haga el dibujo del sector circular con las dimensiones obteni-das.

10

20

30

-10

40

-1-2-3-4-5

P

r1 2 3 4 5 6

-20

-30

Solución

I. Aplicando el procedimiento para obtener el modelo matemá-tico, en este caso, una función:

1. Análisis


R/ Área de un sector circular de 10 cm2.

152



R/ La condición es que el área del sector circular es constante, 10 cm2, y el objetivo es la función perímetro, P, del sector circular, en términos de su radio. La variable independiente es el radio del sector circular, r, y la variable dependiente es el perímetro del sector circular, P.


R/

r

r

S

2. Formulación


R/ Condición: 1021 2 =θr (1)

Objetivo: P = 2r + s, pero s = r θ, luego el objetivo es ahora:

P = 2r + r θ (2)


R/ Despejando θ de (1): 220r

=θ (3)

Reemplazando (3) en (2):

rrrP

rrrrP 202)(202)( 2 +=⇒

+=

Funciones

153

es la función que deseamos obtener.

3. Validación


R/ El 10 que se convirtió en 20 es el área, por lo que su unidad dimensional es cm2. Por lo tanto, si el radio r toma un valor cual-quiera, en cm, la dimensión de la función P es:

][][][][][20][2)(

2

cmcmcmcmrcmcmrrP =+=+⋅=

que es una unidad de longitud, por lo que el modelo obtenido es dimensionalmente consistente.


R/ Esto se hará en la parte b del problema.

La función es racional porque la variable independiente está en el denominador.

Para determinar el dominio de la función r

rrP 202)( += :

Hacemos el denominador mayor que cero: r > 0, porque por defi-nición el radio es positivo. Y no puede ser cero por definición de número racional:

}0,,,/{ ≠∈∈== bZbZabaxxQ

Pero si una circunferencia tiene 2π radianes, un sector circular no puede llegar a tener 2π radianes, sino una cantidad menor de 2π radianes, por lo que, de la fórmula (3):

πθ 2202 <=

r (4)

154


Resolvemos la desigualdad, para lo cual calculamos el valor crí-tico de la desigualdad:

ππ 10220

2 ±=⇒= rr

Como el radio es positivo: π10

=r , que es el valor crítico de la

desigualdad (4). Ahora, los valores que satisfacen dicha des-

igualdad son los valores del radio mayores que , por lo que

el dominio de la función P es

∞= ,10

πPDom esto es, los

números reales mayores que .

Si el dominio de la función perímetro es un intervalo abierto,

entonces el extremo no se incluye. La parte de la gráfica de

la función que corresponde al dominio está en trazo oscuro en la siguiente figura:

10

20

30

-10

40

-1-2-3

P

r1 2 3 4 5 6

50

-20

-30

-4-5

Funciones

155

II. 14104220)2(2)2( =+=+=P 14)2( =⇒ P

Localizamos el punto (2,14) en la siguiente gráfica:

10

20

30

40

543

P

r76 8 9 10 11 12

50

2

(2,14)

1

Interpretación: Cuando el radio del sector circular mide 2 cm, el perímetro del sector circular es de 14 cm.

El sector circular correspondiente debe tener un radio de 2 cm y un perímetro de 14 cm, para ello su ángulo central debe ser:

De la fórmula (3): 220r

=θ

Reemplazamos r = 2 cm: rad5420

)2(20

2 ===θ

El ángulo central θ del sector circular debe ser de 5 rad, que equi-

vale a oon 4,286)180(5 ==π

.

O

r

s

= 5 radθO

r

r = 2 cm

s

156


Ahora verificamos si este sector tiene la condición inicial de que el área es de 10 cm2:

222 10)5)(2()5()2(21 cmradcmradcmA ===

El sector circular sí tiene la condición inicial: área de 10 cm2.

Además, su perímetro es:

P= 2r + s = 2 (2 cm) + 5 (2 cm) = 4 cm + 10 cm = 14 cm

Este perímetro coincide con la imagen P(2). Esto también valida el modelo funcional obtenido.

Antes del ejemplo 4.2.2, definimos una sección transversal:

Definición 4.2.4

Una sección transversal es un subconjunto de un plano que se ob-tiene de la intersección de un sólido con un plano.

La forma de la sección transversal depende de la orientación en que el plano corte al sólido. En la figura de la izquierda de abajo, el plano horizontal corta al cilindro y la sección transversal es un círculo; mientras que en la figura de la derecha de abajo, el plano que corta al cilindro tiene una orientación vertical y la sección transversal es un rectángulo.

Funciones

157

Ejemplo 4.2.2

En un cilindro, la suma de su altura y su contorno (perímetro de la sección transversal horizontal) es de 30 cm.

I. Exprese el volumen V del cilindro en términos del radio de la base r. Clasifique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la cur-va correspondiente.

II. Calcule V(3). Localícelo en la gráfica de abajo. Interprételo y haga el dibujo del molde plano del cilindro con las dimensio-nes obtenidas

100

200

300

-100

400

-1-2-3

P

r1 2 3 4 5 6

500

-200

-300

-400

-4-5

Solución


1. Análisis


R/ La suma de la altura y su contorno es 30 cm.

158



R/ La condición es que la suma de la altura del cilindro y el perí-metro de la sección transversal es constante, 30 cm, y el objetivo es la función volumen, V, del cilindro en términos del radio de la base. La variable independiente es el radio de la base del ci-lindro, r, y la variable dependiente es el volumen del cilindro, V.


R/

h

r

2. Formulación


R/ Condición: h + 2π r = 30 (1)

Objetivo: V = π r2 h (2)


R/ Despejando h de (1): h = 30 – 2π r (3)


V(r) = π r2 (30 – 2π r) ⇒ V(r) = 30π r2 – 2π2 r3 es la función que deseamos obtener.

Funciones

159

3. Validación


R/ El 30 es la suma de la altura y del contorno del cilindro, por lo que su unidad dimensional es cm. Por lo tanto, si el radio de la base r toma un valor cualquiera, en cm, la dimensión de la función V es:

V(r) = 30[cm] · r2 [cm]2 – 2r3 [cm]3 = [cm3] – [cm3] = [cm3], que es una unidad de volumen, por lo que el modelo obtenido es di-mensionalmente consistente.


R/ Esto lo solucionaremos en la parte b del problema.

La función es cúbica porque la función es polinómica (variable independiente con exponentes enteros no negativos) y el máxi-mo exponente es tres.

Para determinar el dominio de la función V(r) = 30π r2 – 2π2 r3:

Factorizamos: V(r) = π r2 (30 – 2π r)

La hacemos mayor que cero: V(r) = π r2 (30 – 2π r) > 0, porque el volumen es positivo.

Resolvemos la desigualdad:

023002 >−∧> rr ππ

π150 <∧> rr

En notación de intervalo:

∞−∩∞

π15,[,0]

160


Cuyo conjunto solución es:

π15,0

Luego:

=

π15,0ADom , el intervalo abierto de los números

entre 0 y 15.

Si el dominio de la función volumen es un intervalo abierto, en-

tonces los extremos 0 y 15

no se incluyen. La parte de la gráfica

de la función que corresponde al dominio está en trazo oscuro en la siguiente gráfica:

Funciones

161

II. V(3) = 30π (3)2 – 2π2 (3)3 = 270π – 54π2 = 315,27 ⇒ V(3) = 315,27

Localizamos el punto (3; 315,27) en la siguiente gráfica:

Interpretación: Cuando el radio de la base del cilindro mide 3 cm, el volumen del cilindro es de 315,27 cm3.

El cilindro correspondiente debe tener un radio de 3 cm y un volumen de 315,27 cm3. Para ello, su altura debe ser de:

De la fórmula (3): h = 30 – 2π r

Reemplazamos r = 3: h = 30 – 2π(3) = 30 – 6π = 11,15

La altura debe ser de 11,15 cm.

Con el radio de la base y la altura del cilindro, el molde plano del cilindro es el siguiente:

162


3 cm

h = 11,15 cm

3 cm

Ahora verificamos si este cilindro tiene la condición inicial de que la suma de su altura y su contorno es de 30 cm:

h + 2π r = 11,15 cm + 2π (3 cm) = 29,99 cm

El cilindro sí tiene la condición inicial, y su volumen es:

V = π(3 cm)2 (11,15 cm) = 315,25 cm3

Este volumen coincide con el obtenido con la imagen V(3). Esto también valida el modelo funcional obtenido.

Ejemplo 4.2.3

El perímetro de un triángulo isósceles es 20 cm.

I. Exprese el área A del triángulo en términos de su base x. Cla-sifique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva corres-pondiente.

II. Calcule A(5). Localícelo en la gráfica de abajo. Interprételo y haga el dibujo del triángulo con las dimensiones obtenidas.

Funciones

163

10

20

-10

A

x10 20 30-20-30

-10

-20

Solución


1. Análisis


R/ El perímetro de un triángulo isósceles es 20 cm.


R/ La condición es que el perímetro del triángulo isósceles es constante, 20 cm, y el objetivo es la función área, A, del triángu-lo en términos de su base. La variable independiente es la base del triángulo isósceles, x, y la variable dependiente es el área del triángulo, A.

164



R/

y y

x

2. Formulación


R/ Condición: 2y + x = 20 (1)

Objetivo: 2hxA = (2)


R/ Este problema tiene un aspecto adicional: la altura h del trián-gulo hay que expresarla en términos de la base x del triángulo y de los lados congruentes, y, por medio del teorema de Pitágoras:

44

42

2222

222 xyxyxyh −=−=

−=

y y

x

hx/2x/2

2222

421

44 xyhxyh −=⇒−=

(3)

Despejando y de (1): 2

20 xy −= (4)


Funciones

165

22

22

4)40400(4

21

2204

21 xxxhxxh −

+−=⇒−

−

=

)10100(42140400

21 xhxh −=⇒−=

xh 10100 −= (5)


xxxxxA 1010022

10100)( −=−

=


3. Validación


R/ El 20 que se convirtió en 100, en la cantidad subradical, es el perímetro al cuadrado y simplificado del triángulo, por lo que su unidad dimensional es cm2. El 10 que aparece en el sustraen-do de la cantidad subradical era el perímetro multiplicado por 2 cuando se desarrolló la diferencia al cuadrado, por lo que su unidad dimensional es el cm. Por lo tanto, si la base x toma un valor cualquiera, en cm, la dimensión de la función A es:

][][][][][10][1002

][)( 222 cmcmcmcmxcmcmcmxxA −=⋅−=

][][][][][)( 22 cmcmcmcmcmxA =⋅==

que es una unidad de área, por lo que el modelo obtenido es di-mensionalmente consistente.

166




La función es irracional porque la variable independiente está en una cantidad subradical.

Para determinar el dominio de la función xxxA 101002

)( −= :

La hacemos mayor que cero: 0101002

)( >−= xxxA porque el área es positiva.

Resolvemos la desigualdad:

01010002

>−∧> xx

100 <∧> xx

En notación de intervalo:

[10,][,0] ∞−∩∞

Cuya conjunto solución es: ]0, 10[

Luego: Dom A = ]0, 10[ , el intervalo abierto de los números entre 0 y 10.

Si el dominio de la función área es un intervalo abierto, enton-ces los extremos 0 y 10 no se incluyen. La parte de la gráfica de la función que corresponde al dominio está en trazo oscuro en la siguiente gráfica:

Funciones

167

10

20

-10

A

x10 20 30-20-30

-10

-20

II. 5025)5(10100

25)5( =−=A 67,17)5( =⇒ A

Localizamos el punto

50

25,5 en la siguiente gráfica:

10

20

A

x10 20

(5; 17,67)

30

Interpretación: Cuando la base del triángulo isósceles mide 5 cm, el área del triángulo es de 17,67 cm2.

168


El triángulo isósceles correspondiente debe tener una base de 5 cm y un área de 17,67 cm2. Para ello, su altura debe ser:

Reemplazando x = 5 en la fórmula (5):

07,750)5(1010010100 ≈=−=−= xh

El triángulo isósceles debe tener una altura de 7,07 cm:

5 cm

Ahora verificamos si este triángulo tiene la condición inicial de que el perímetro es de 20 cm. Para ello, calculamos la medida del lado congruente con el teorema de Pitágoras:

422550

425)50(

25

22

22

22 =+=+

=+

= hxy

5,72

154

225===y

Si los lados congruentes del triángulo isósceles miden 7,5 cm, entonces el perímetro del triángulo isósceles es:

P = 7,5 cm + 7,5 cm + 5 cm = 20 cm

El triángulo isósceles sí tiene la condición inicial: perímetro de 20 cm. Esto también valida el modelo funcional obtenido.

Ejemplo 4.2.4

Con un alambre de 28 cm se forma o un cuadrado o una circun-ferencia, o se parte en dos para formar las dos figuras.

Funciones

169

I. Exprese la suma de las áreas A encerradas por las dos figuras en términos del lado x del cuadrado. Clasifique la función ob-tenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva correspondiente.

II. Calcule A(3,5). Localícelo en la gráfica de abajo. Interprételo y haga los dibujos de las figuras con las dimensiones obtenidas.

10

20

30

40

-1-2-3

A

x1 2 3 4 5 6 7 8 9

50

60

80

90

100

70

Solución


1. Análisis


R/ La longitud del alambre es 28 cm.

170



R/ La condición es que la suma del perímetro del cuadrado y de la circunferencia es constante, 28 cm, y el objetivo es la función área, A, encerrada por las dos figuras, en términos del lado del cuadrado. La variable independiente es el lado del cuadrado, x, y la variable dependiente es la suma de las áreas encerradas por las dos figuras, A.


R/

x

x

r

2. Formulación


R/ Condición: 4x + 2π r = 28 (1)

Objetivo: A = x2 + π r2 (2)


R/ Despejando r de (1): ππ

xrxr 2142

428 −=⇒

−= (3)


222

2 )214(1)(214)( xxxAxxxA −+=⇒

−

+=ππ

π


Funciones

171

3. Validación


R/ El 28 que se convirtió en 14 es la longitud del alambre, por lo que su unidad dimensional es cm. Por lo tanto, si el lado x del cuadrado toma un valor cualquiera, en cm, la dimensión de la función A es:

A(x) = x2 [cm]2 + (14[cm] – 2x[cm])2 = [cm2] – ([cm])2 = [cm2], que es una unidad de área, por lo que el modelo obtenido es dimen-sionalmente consistente.



La función es cuadrática porque la función es polinómica (va-riable independiente con exponentes enteros no negativos) y el máximo exponente es dos.

Para determinar el dominio de la función 22 )214(1)( xxxA −+=πutilizamos la siguiente tabla:

Tabla. Cálculo del dominio

Lado del cuadrado x Perímetro cuadrado 4xPerímetro

circunferencia 2π r0 0 28

5 20 8

6 24 4

7 28 0

Luego: Dom A = [0, 7], el intervalo cerrado de los números entre 0 y 7.

Si el dominio de la función área es un intervalo cerrado, enton-ces los extremos 0 y 7 sí se incluyen. La parte de la gráfica de la función que corresponde al dominio está en trazo oscuro en la siguiente gráfica:

172


10

20

30

40

-1-2-3

A

x1 2 3 4 5 6 7 8 9

50

60

80

90

100

70

II. 84,27)7(125,12)]5,3(214[1)5,3()5,3( 222 =+=−+=ππ

A

84,27)5,3( =⇒ A

Localizamos el punto (3,5; 27,84) en la siguiente gráfica:

10

20

30

40

-1-2-3

A

x1 2 3 4 5 6 7 8 9

50

60

80

90

100

70

(3,5; 27,84)

Funciones

173

Interpretación: Cuando el lado del cuadrado mide 3,5 cm, la suma de las áreas encerradas por las dos figuras es de 27,84 cm2.

Si el lado del cuadrado mide 3,5 cm, se emplean 14 cm de alam-bre para construirlo, y quedan: 28 m – 14 cm = 14 cm para cons-truir la circunferencia, cuyo radio debe ser de:

Reemplazando x = 3,5 en la fórmula (3):

22,27)5,3(214214==

−=

−=

πππxr

El radio de la circunferencia es de 2,2 cm. Por lo tanto, las figuras son:

3,5 cm

3,5 cm

2,2 cm

Ahora verificamos si las figuras tienen la condición inicial de que la suma de sus perímetros es de 28 cm:

cmcmcmcmcmP 94,2794,1314)22,2(2)5,3(4 =+=+= π

Las figuras sí tienen la condición inicial.

Y el área de cada una es: 22 25,12)5,3()( cmcmcuadradoA ==

22 20,15)2,2()( cmcmnciacircunfereA == π

Y la suma de estas áreas es: 222 45,2720,1525,12)()( cmcmcmnciacircunfereAcuadradoA =+=+

que coincide con la imagen A(3,5). Esto también valida el modelo funcional obtenido.

�

174


APLICACIONES 4.2

1. Una página debe tener 50 cm2 de material impreso, márgenes laterales de 1 cm y márgenes superior e inferior de 2 cm.

a. Exprese el área A de la página en términos de la base x de la región impresa. Clasifique la función obtenida, deter-mine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el domi-nio y la parte de la curva correspondiente.

b. Calcule A(4) y A(5). Localícelos en la gráfica de abajo. In-terprételos y haga los dibujos de las páginas con las di-mensiones obtenidas.

100200300400

A

x1 23 46 58 7-8 -7 -6 -5 -3-4 -1-2

500600700

800

-800-700-600-500-400-300-200

-100

2. Una página debe tener 40 cm2 de material impreso, márgenes laterales de 1 cm y margen superior de 2 cm y margen infe-rior de 1 cm.

a. Exprese el área A de la página en términos de la base x de la región impresa. Clasifique la función obtenida, deter-mine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el domi-nio y la parte de la curva correspondiente.

Funciones

175

b. Calcule A(4) y A(5). Localícelos en la gráfica de abajo. In-terprételos y haga los dibujos de las páginas con las di-mensiones obtenidas.

100

200

300

-100

400

-1-2-3

P

x1 2 3 4 5 6 7 8

500

-200

-300

-400

-500

-4

3. Una ventana del tipo Normando consiste en un rectángulo al que se le añade una semicircunferencia en la parte superior del rectángulo, de tal forma que el diámetro de la se-micircunferencia es la medida de la base del rectángulo. El perímetro de la ventana es de 2 m y no se usa ma-terial en la unión del rectángulo y la semicircunferencia.

a. Exprese el área A encerrada por la ventana en términos del radio r de la semicircunferencia. Clasifique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva correspondiente.

176


b. Calcule A(30) y A(45). Localícelos en la gráfica de abajo. Interprételos y haga los dibujos de las ventanas con la es-cala 1:10.

1000

2000

3000

-1000

4000

-10-20

A

r (cm)10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

5000

-2000

-3000

4. Una ventana del tipo Normando tiene la forma de la figura de la derecha. La canti-dad de material para el marco y sus divisio-nes es de 4 m.

a. Exprese el área A encerrada por la ven-tana en términos del radio r de la semi-circunferencia.

Clasifique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva correspondiente.

b. Calcule A(20) y A(25). Localícelos en la gráfica de abajo. Interprételos y haga los dibujos de las ventanas con la es-cala 1:10.

Funciones

177

1000

2000

3000

-1000

4000

-10-20

A

r (cm)10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

5000

-2000

-3000

5. Un envase cilíndrico cerrado tiene una capacidad de 100 ml. La cantidad de material es uniforme en cada parte del envase.

a. Exprese el área total AT del envase en términos del radio r de la base. Clasifique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva correspondiente.

b. Calcule AT(20) y AT(25). Localícelos en la gráfica de abajo. Interprételos y haga los dibujos de los moldes planos de los cilindros con las medidas obtenidas.

100200300

-100

400

-1-2-3

AT

1 2 3 4 5 6 7 8

500600700800900

-200-300

-4-5 r (cm)

-400-500

178


6. En un envase cilíndrico recto cerrado, con una capacidad de 100 ml, el costo del material de cada tapa es de $4 por cm2 y el del resto es de $2 por cm2.

a. Exprese el costo C del envase, si se desprecia el grosor, las pestañas y el material desperdiciado, en términos del ra-dio r de la base. Clasifique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva correspondiente.

b. Calcule C(1,5) y C(2). Localícelos en la gráfica de abajo. Interprételos y haga los dibujos de los moldes planos de los cilindros con las medidas obtenidas.

100

200

300

-100

400

-1-2-3

C

1 2 3 4 5 6 7 8

500

600

700

800

900

-200

-300

-400

-4 r (cm)

7. Se va a construir un envase cilíndrico recto cerrado con capa-cidad de 100 ml. La cantidad de material es uniforme en cada parte del envase y debe tener en cuenta el desperdicio. No hay desperdicio al cortar el material para la superficie lateral,

Funciones

179

pero las tapas, de radio r, se cortan de cuadrados de 2r cm de lado. No se tienen en cuenta su grosor y las pestañas.

a. Exprese el área total AT del envase en términos de r. Clasi-fique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva correspondiente.

b. Calcule AT (2) y AT (2,5). Localícelos en la gráfica de abajo. Interprételos y haga los dibujos de los moldes planos de los cilindros con las medidas obtenidas

-1-2-3

Ar

1 2 3 4 5 6 7 8-4 r

100

200

300

400

500

600

700

800

8. Se va a construir un envase cilíndrico recto cerrado con ca-pacidad de 100 ml. El costo del material de las tapas es de $4 por cm2, el del resto es de $2 por cm2 y debe tener en cuenta el desperdicio. No hay desperdicio al cortar el material para la superficie lateral, pero las tapas, de radio r, se cortan de cuadrados de 2r cm de lado. No se tienen en cuenta su grosor y las pestañas.

a. Exprese el costo C del envase en términos de r. Clasifique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva corres-pondiente.

180


b. Calcule C(1,5) y C(2). Localícelos en la gráfica de abajo. Interprételos y haga los dibujos de os moldes planos con las medidas obtenidas.

-1-2-3

C

1 2 3 4 5 6 7 8-4 r

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

9. A partir de un círculo de 6 cm de radio, una marca elabora co-nos para tomar agua, recortando un sector circular y uniendo los bordes AO y BO.

a. Exprese el volumen V del cono en términos de su altura h. Clasifique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva correspondiente.

A

B

O

Funciones

181

b. Calcule V(2) y V(5). Localícelos en la gráfica de abajo. In-terprételos y haga los dibujos de los moldes planos de los conos con las medidas obtenidas.

10203040

V

h1 23 46 58 9 107-8 -7 -6 -5 -3-4 -1-2

50

60708090

100

-80

-90

-100

-70

-60

-50

-40

-30-20

10. A partir de un círculo de papel filtro de 4 cm de radio se ela-bora un cono para colocarlo en un embudo.

a. Exprese el volumen V del cono en términos de su altura h. Clasifique la función obtenida, determine su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva correspondiente.

b. Calcule V(2) y V(3). Localícelos en la gráfica de abajo. In-terprételos y haga los dibujos de los moldes planos de los conos con las medidas obtenidas.

182


11. El molde plano de una tienda de campaña con forma de pirá-mide cuadrangular regular se obtiene de una pieza cuadrada de material de 8 m de lado.

a. Exprese el volumen V de la tienda en términos de la apo-tema x del cuadrado interno. Clasifique la función, determi-ne su dominio y resalte en la gráfica de abajo el dominio y la parte de la curva correspon-diente.

x

b. Calcule V(0,5) y V(1,2). Loca-lícelos en la gráfica de abajo. Interprételos y haga los di-bujos de los moldes planos de las pirámides con la escala 1 cm = 1 m.

Funciones

183

1

2

-1

V

x12 3

3

-2-3

12. Repita el problema anterior, pero ahora en el molde plano de la pirá-mide, el cuadrado de la base gira 45° y es concéntrico con el cuadra-do más grande. Compare las imá-genes del problema anterior con las de este molde y saque sus con-clusiones. La gráfica de la función es la de abajo.

x

1

2

-1

V

x12 3 4

3

-2

�

184


BIBLIOGRAFÍA

Cañon, C. (1993). La matemática: Creación y descubrimiento. Madrid: Uni-versidad Pontificia Comillas.

Conover, M. (1992). Electrocardiografía. 2a ed. Madrid: Interamericana Mc Graw Hill.

Edwards, D. & Hamson, M. (2007). Guide to Mathematical Modelling. 2aed. New York: Palgrave Publisher.

Kudriávtsev, L. (1988). Curso de Análisis Matemático. Vol. 1. Moscú: Mir Moscú.

Money, D. & Swift, R. (1999). A Course in Mathematical Modeling. EEUU: The Mathematical Association of America.

Peralta, J. (1995). Principios didácticos e históricos para la enseñanza de la Matemática. Madrid: Huerga Fierro Editores.

Prado, C. y otros. (2006). Cálculo Diferencial para Ingeniería. México: Pearson.

Thomas, G. (2006). Cálculo. 11a ed. México: Pearson.

Unidad 5

Vectores

Problema 1875.1 Escalares y vectores 1885.2 Componentes de un vector 1935.3 Vectores unitarios 2085.4 Suma de vectores 211Bibliografía 222

Hacia 1840, los matemáticos estaban interesados en construir un sistema que hiciera en tres dimensiones lo que hacen los números complejos en dos dimensiones. William Rowan Hamilton (1805-1865), en Irlanda, elaboró una teoría que no fue muy aceptada porque la multiplicación era complicada. De este trabajo emergieron el producto escalar y el producto vectorial. Hermann Grassmann (1809-1877), en Alemania, elaboró también una teoría, que no fue entendida por lo abstracta, y tenía los mismos productos de Hamilton. Alrededor de 1880, el físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) elaboró un álgebra que contenía conceptos simples: los vectores y los dos productos. Luego añadió algo de cálculo y el sistema que resultó fue sencillo para expresar un gran número de leyes físicas.

Reseña histórica

187

PROBLEMA

Observe la siguiente figura:


1. Una persona se desplaza a pie y va del Patinódromo de Ba-rranquilla al Parque de la Electrificadora. ¿Qué indicaciones le daría?

R/

2. Para ir del Patinódromo al Parque de la Electrificadora, ¿es suficiente con saber la cantidad de metros que hay en la tra-yectoria?

R/

¿Por qué? R/

188


5.1 ESCALARES Y VECTORES

Definición 5.1.1

Un escalar es una cantidad que queda completamente especificada por medio de un número que tiene unidades apropiadas. Este nú-mero expresa su magnitud.

Ejemplo 5.1.1

Algunos ejemplos físicos de cantida-des escalares son la masa (5 libras), la densidad (1,2 g/cm3), el volumen (4 cm3), el área (2,5 m2) y los intervalos de tiempo (3 s).

El tiempoes unacantidadescalar

Definición 5.1.2

Un vector es una cantidad física que queda especificada por su mag-nitud y su dirección. Los denotaremos con una letra mayúscula y una flecha arriba: A denota el vector A.

Ejemplo 5.1.2

El desplazamiento, la velocidad, la fuerza y la aceleración, son ejem-plos de cantidades vectoriales. Vector velocidad

Vector velocidad

Ejemplo 5.1.3

El desplazamiento de una partícula es el cambio en la posición de la misma. Supongamos que la partícula se mueve desde el punto O hasta el punto A, a lo largo de una trayectoria recta,

Vectores

189

como en la figura siguiente. Este desplazamiento se representa trazando una flecha desde O hasta A, donde la punta de aquella señala la dirección del desplazamiento, y su longitud representa la magnitud del mismo (en la figura, la magnitud del despla-zamiento es de 5 unidades lineales). Si la partícula se mueve a lo largo de alguna otra trayectoria, desde O hasta A, como es el caso de la línea curva, su desplazamiento todavía será A . El vector desplazamiento a lo largo de cualquier trayectoria indi-recta, desde O hasta A, se define como el vector equivalente al desplazamiento correspondiente a la trayectoria directa desde O hasta A. Por tanto, se conoce por completo el desplazamiento de una partícula si se conocen sus coordenadas iniciales y finales. No es necesario especificar su trayectoria; en otras palabras, el desplaza-miento es independiente de la trayectoria.

A

O

Desplazamiento

Trayectoria

A

Ejemplo 5.1.4

Una fuerza, en el sentido más simple, es un empuje o una tracción. Su fuente u origen puede ser gravitacional, eléctrico, magnético, o simplemente esfuerzo muscular. Las fuerzas tienen magnitud y dirección y son, por lo tanto, cantidades vectoriales.

No hay movimiento

Fr

F F F=r

190


En la segunda ley, Newton da una idea más precisa de fuerza re-lacionándola con la aceleración que produce. Establece en efecto que fuerza es cualquier cosa que pueda acelerar un cuerpo. Además afirma que una mayor fuerza produce una mayor aceleración Para un cuerpo dado, el doble de la fuerza da por resultado el doble de la aceleración; el triple de la fuerza, el triple de acele-ración, y así sucesivamente. La aceleración es directamente pro-porcional a la fuerza (a ∝ F), pero también la aceleración es inver-

samente proporcional a la masa

∝

ma 1

, por lo que combinando estas dos fórmulas resulta:

Propiedad 1.2.1 (segunda ley de newton)

La fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración. En

símbolos: amF =∑

La unidad de fuerza en el SI (Sistema Internacional de unidades) es el Newton, definida como la fuerza que, aplicada a una masa de 1 kg, da a esta una aceleración de 21

sm

(porque aplicamos la fórmula F = mg).

En fórmula: 211smkgN ⋅= .

En el Sistema Inglés, la unidad de fuerza es la libra-fuerza, simbo-lizada por lb-f, pero abreviada por lb. También utilizan el kilogra-mo-fuerza o kilopondio, simbolizado por kg-f, pero abreviado por kg. La definición del kilogramo-fuerza es la siguiente:

Definición 5.1.3

El kilogramo-fuerza es la fuerza con que la Tierra atrae una masa de un kilogramo situado al nivel del mar y a 45° de latitud.

Vectores

191

Por lo tanto, la conversión de kilogramo-fuerza a Newton es:

1 kg-f = 1 kg 280665,9sm

× = 9,80665 N

Una fuerza particularmente importante es la de la gravedad so-bre un objeto, a la que se le llama peso W.

¿Peso y masa son lo mismo?

La frase “peso de un cuerpo” es un nombre para la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo. Así, por definición, el peso es una fuerza de atracción gravitacional que ejerce un cuerpo celestial, como la Tierra, sobre un objeto. La dirección de esa fuerza apun-ta al centro de la Tierra, como lo muestra la siguiente figura.

Polo

Ecuador

Como la fuerza gravitacional sobre cualquier objeto es directa-mente proporcional a la masa del objeto (F = mg), podemos de-

terminar la masa de un objeto midiendo su peso

=

gFm . Como

la aceleración debida a la gravedad varía ligeramente de un lugar a otro porque la distribución de la masa de la Tierra no es perfec-tamente uniforme y porque no todos los lugares están a la misma distancia del centro de la Tierra (por ejemplo, varía en un 0,5% entre el polo y el ecuador), es claro que el peso de un cuerpo dado no es una propiedad constante, sino que es ligeramente di-ferente de una localización geográfica a otra; la masa del cuerpo, sin embargo, es constante. Usualmente la aceleración debida a la gravedad se toma con el valor 28,9

smg = .

192


De acuerdo a la definición de kilogramo-fuerza y a que se abrevia por kg, frecuentemente nos encontramos en la vida cotidiana con el siguiente diálogo: “¿Cuánto pesa? R/ Pesa dos kilos”. Esto no es un error, sino una abreviación. El peso no se está midiendo en kilogramos, a lo que se está haciendo referencia es a la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de dos kilogramos. La frase “pesa dos kilos” se refiere a un objeto sobre el cual la Tierra ejerce una fuerza de 2kg N

sm 6,1980665,9 2 =× .

En conclusión, peso y masa son conceptos enteramente diferen-tes con definiciones operacionales muy diferentes.

Ejemplo 1.1.5

Una persona se pesó en una báscula y esta le indicó 70 kilos. ¿Cuál es el peso en kg-f y en Newton que la Tierra ejerce sobre la persona?

Solución

1 kg-f ----------- 9,8 N

⇒ Nfkg

NfkgX 6861

)8,9()70(=

−−

=

70 kg-f ----------- X

R./ El peso que la Tierra ejerce sobre la persona es de 70 kg-f o 686 N.

�

Vectores

193

5.2 COMPONENTES DE UN VECTOR

La magnitud de A la denotaremos | A |. La magnitud de un vec-tor tiene unidades físicas, como cm para el desplazamiento o m/s para la velocidad.

Definición 5.2.1

Geométricamente, un vector es un segmento dirigido o flecha, que tiene un origen o punto de aplicación y cabeza o punto final.

Origen

Cabeza

Los vectores se clasifican en:

1) Vectores deslizantes.2) Vectores libres.3) Vectores coordenados o algebraicos.

Definición 5.2.2

Un vector deslizante es un vector que puede moverse a lo largo de una línea recta, llamada línea de acción, sin modificar ni sus características ni las condiciones del movimiento del cuerpo sobre el cual actúa.

AA

ALínea de acción

194


Definición 5.2.3

Un vector libre es un vector que puede trasladarse en el plano (o en el espacio) sin modificar sus características (magnitud y dirección); es decir, la ubicación de su punto de aplicación (origen) no es de-terminante.

A

Posición 1

Posición 2

A

A

Definición 5.2.4

Un vector coordenado es un vector fijo cuyo punto de aplicación es un punto de un sistema coordenado, y su punto final es otro punto de dicho sistema.

En este texto, el sistema coordenado es el rectangular o plano car-tesiano.

(a, b)

(c, d)

x

y

Vectores

195

Cuando el punto de aplicación de un vector coordenado es el origen del sistema coordenado, el vector recibe un nombre:

Definición 5.2.5

El vector de posición de un punto A es un vector coordenado cuyo punto de aplicación es el origen de un sistema coordenado, y su punto final es el punto A.

A

A(a, b)

x

y

Definición 5.2.6

Sea A un vector de posición en un sistema de sistema de coorde-nadas rectangulares. Las componentes rectangulares del vector Aestán dadas por:

θθ

senAAAA

y

x

== cos

AAy

Axx

y

196


La magnitud de A se calcula con la fórmula: | A | 22yx AA += ,

y su dirección con la expresión: x

y

AA

=θtan .

Para despejar θ, se invierte la ecuación y escribimos: x

y

AA1tan−=θ .

Los signos de las componentes rectangulares Ax y Ay dependen del ángulo θ, (medido desde el eje +x girando hacia el eje +y, que es la dirección de referencia que usaremos). Por ejemplo, si θ = 120°, Ax es negativa y Ay es positiva. La siguiente figura mues-tra los signos de las componentes rectangulares de un vector A:

Positiva

Positiva

x

y

Ax

Ay

Positiva

Negativa

Ax

Ay

Negativa

Negativa

Ax

Ay

Negativa

Positiva

Ax

Ay

I

IV

II

III

Ejemplo 5.2.1

Las coordenadas cartesianas de un vector desplazamiento A son (2, 1), en donde las unidades son cm. Calcule la magnitud y la dirección del vector. Dibújelo.

Vectores

197

Solución

En este caso, Ax = 2 cm y Ay = 1 cm, por lo que su magnitud es:

| A | 5)1()2( 22 =+= cmcm cm.

Su dirección es: 56°,2621tan 1 == −

cmcmθ

Con los puntos cardinales, la dirección es 26,56° al norte del este; 63,44° al este del norte; 63,44° al noreste. El dibujo del vector es la siguiente figura:

A

A

(cm)

(cm)x

y

1

1

2

2Ax

Ay

26,56°

Si usamos otro sistema de rotación, la medida del ángulo puede ser negativa. Es el caso cuando el ángulo θ se mide a partir del eje +x o –x, pero girando en el sentido de las manecillas del reloj. El siguiente ejemplo ilustra esta situación.

198


Ejemplo 5.2.2

Las coordenadas cartesianas de un vector desplazamiento B son (4, –3), en donde las unidades son m. Calcule la magnitud y la dirección del vector. Dibújelo con una escala 1 cm = 1 m (1 cm representa 1 m).

Solución

En este caso, Bx = 4 m y By = –3 m, por lo que su magnitud es:

| B | 5)–3()4( 22 =+= mm m.

Su dirección es: 86°,3643tan 1 −=

−= −

mmθ

Si el ángulo θ se mide a partir del eje +x y gira en el sentido de las manecillas del reloj, es negativo y es –36,86°, como lo muestra la figura de abajo. Si el ángulo θ se mide, como en el ejemplo 1.2.1, a partir del eje +x girando hacia el eje +y, mide θ = 270° + 53,14° = 323,14°. La dirección del vector B con los puntos cardinales es: 36,86° al sur del este; 53,14° al este del sur; 53,14° al sureste. El dibujo del vector B es la figura de abajo:

Vectores

199

La dirección del vector B : θ = 323° la podemos comprobar calcu-lando sus componentes:

Bx = 5m (cos323°) = 3,99 ≈ 4m

By = 5m (sen323°) = –3,0m

Definición 5.2.7

Sea A un vector. El vector opuesto de A , denotado por – A , es un vector con la misma magnitud del vector A , pero con dirección opuesta a la de A .

A –A

Ejemplo 5.2.3

¿Cuál es la dirección (del eje +x al eje +y y con los puntos cardi-nales) y la magnitud del vector opuesto de A , si A , tiene una magnitud de 4 cm y su dirección es θ = 30°.

Solución

Por definición de vector opuesto, la magnitud del vector – A es la misma del vector A , esto es: |– A | = | A | = 4 cm.

Para calcular su dirección, debemos tener en cuenta que el ángulo θ y el ángulo formado por eje –x y el vector – A son opuestos por el vértice, luego, por el teorema de los ángulos opuestos por el vértice, estos ángulos son congruentes, como lo muestra la figura de abajo. Por lo tanto, la dirección de – A es: θop = 30° + 180° = 210°. La dirección de – A con los puntos cardinales es 30° al sur del oeste.

200


EOx

N

S

y

–A

A

APLICACIONES 5.2

1. ¿Cuál es la dirección en grados de un vector que tiene su di-rección al norte? ¿Y la de un vector que tiene su dirección al sur?

2. La siguiente figura muestra la trayectoria del Sol en tres días del año. ¿En qué día el Sol sale por el Este y se oculta por el Oeste? ¿Cuál es la dirección del Sol cuando sale y cuando se oculta?

Vectores

201

E

O

N S

21 de junio

21 de marzo

21 de diciembre

3. En la siguiente figura, el origen es la catedral María Reina. Escriba la dirección (en las dos formas) y la magnitud (en me-tros) del desplazamiento de la Catedral al lugar especificado:

202


a. Restaurante Medellín 3000.

b. Edificando Los Muros Familiares.

c. Dollar King.

d. La Española.

e. Universidad Santo Tomás.

f. Pastoral Social.

g. Colegio María Auxiliadora.

h. Gasolinera.

4. Los lados de un hexágono regular son los vectores consecuti-vos EDCBA ,,,, y F , en donde la dirección del vector A es al este. ¿Cuál es la dirección (en las dos formas) de los vectores

EDCB ,,, y F ? ¿Hay vectores opuestos? Haga el dibujo del dibujo del hexágono regular. [Sugerencia: aplique las propie-dades 8.3, 5.5 y 5.3]

5. Una persona va a subir una carretilla por una escalera, como lo muestran las figuras de abajo. ¿En cuál de las dos situacio-nes es más fácil lograr el objetivo? Haga un diagrama vecto-rial para la rueda en cada caso.

6. El péndulo simple es un sistema mecánico que se mueve en un movimiento oscilatorio. Las fuerzas que actúan sobre la masa m son la fuerza T ejercida por la cuerda y la fuerza gra-vitacional W (W = gm), como lo muestra la siguiente figura.

Vectores

203

Escriba las fórmulas de las componentes de la fuerza gravita-cional W . [Sugerencia: aplique la propiedad 5.9]

O

m

W

T

7. Un bloque de peso W reposa sobre un plano inclinado rugo-so de ángulo θ. Las fuerzas externas aplicadas sobre el blo-que son la fuerza de gravedad, mg, la fuerza normal, N , y la fuerza de fricción (estática), Fs , como lo muestra la siguiente figura. Dibuje el sistema de coordenadas, las componentes del vector W y escriba las fórmulas de sus componentes. [Su-gerencia: aplique la propiedad 5.8]

8. Una masa de peso W cuelga de un cable unido a otros dos ca-bles fijos a un soporte. Los cables superiores forman ángulos de 40° y 50° con la horizontal, como lo muestra la siguiente figura.

204


a. ¿Cuál es la dirección del vector W ?

b. ¿Cuál es la dirección del vector T3 ?

c. ¿Cuál es la dirección del vector – T3 ?

d. Dibuje el sistema de coordenadas para escribir las compo-nentes del vector T1 y del vector T2 . [Sugerencia: aplique la propiedad 5.5]

En las aplicaciones 9-12:

a. Dibuje y escriba las componentes rectangulares del vec-tor.

b. Calcule la dirección del vector de dos formas: del eje +x al eje +y y con los puntos cardinales..

c. Calcule la magnitud del vector en cm y en m o km, según el caso.

d. Calcule la dirección (en las dos formas) y la magnitud del vector opuesto.

Vectores

205

9. Información de Word del vector: Altura: 4,6 cm; base: 5,2 cm.


206



12. Información de Word del vector: Altura: 4,4 cm; base: 5,1 cm

Vectores

207

En las aplicaciones 13-16, para cada vector descrito:

a. Dibújelo seleccionando una escala adecuada.

b. Calcule sus componentes y dibújelas.

c. Dibuje su vector opuesto con la misma escala.

d. Describa la dirección del vector obtenido en el ítem an-terior de las dos formas (eje +x a eje +y y con los puntos cardinales).

13. Una persona camina 40 m, 30° al este del norte.

14. Una persona camina 50 m, 40° al oeste del norte.

15. Una avioneta vuela 60 km, 55° al sur del oeste

16. Un avión vuela 80 km, 25° al sur del este.

17. Un vector tiene una componente x de -4 unidades y una com-ponente y de 6 unidades. Calcule la magnitud y la dirección de este vector y haga su gráfica.

18. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 60 m y su dirección es 210°. Haga el dibujo con la escala 1 cm = 10 m y calcule las componentes rectangulares del vector.

19. Un vector tiene una componente x de –5 unidades y una com-ponente y de -4 unidades. Calcule la magnitud y la dirección de este vector y haga su gráfica.

20. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 80 m y su dirección es 300°. haga el dibujo con la escala 1 cm = 10 m y calcule las componentes rectangulares del vector.

�

208


5.3 VECTORES UNITARIOS

Definición 5.3.1

Un vector unitario o unidad es un vector sin dimensiones y de lon-gitud unitaria; se emplea para especificar una dirección dada. Los vectores unitarios no tienen otro significado físico, simplemente se usan como un medio conveniente para describir una dirección en el espacio. Usaremos los símbolos i, j y k para representar los vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z, respectivamente. |i|=|j|=|z|=1.

Ejemplo 5.3.1

Sea un vector A que está en el plano xy como la muestra la figura de la derecha. El vector A , expresado como la suma de sus componentes, se escribe: A = Ax i + Ay j, donde Ax i es un vector de magnitud |Ax| en la dirección x y Ay j es un vector de magnitud | Ay| en la dirección y.

Vectores

209

Ejemplo 5.3.2

Los vectores B = 4i y B = 4j son vectores cuyas direcciones coin-ciden con los ejes, como lo muestran las figuras de abajo, respec-tivamente.

Ejemplo 5.3.3

Las figuras de abajo muestran ejemplos de vectores cuyas com-ponentes son positivas o negativas, dependiendo del cuadrante:

A = –3i + 4j B = –2i – 3j C = –4i – 2j

210


APLICACIONES 5.3

1. Escriba los vectores 9-12 de las aplicaciones 1.2 en términos de los vectores unitarios i y j.

�

Vectores

211

5.4 SUMA DE VECTORES

Definición 5.4.1

Sean A = Axi + Ayj y B = Bxi + Byj dos vectores. La suma de los vectores A y B se obtiene sumando las componentes x y y por separado. Por lo tanto, el vector resultante R = A + B está dado por R = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j

Por consiguiente, las componentes rectangulares del vector resultante R son: Rx = Ax + Bx y Ry = Ay + By

La magnitud de R se calcula con la expresión

| R | 2222 )()( yyxxyx BABARR +++=+=

Y el ángulo que forma con el eje x, con la expresión

xx

yy

x

y

BABA

RR

++

==θtan

La figura ilustra la construc-ción geométrica del método del triángulo para mostrar la relación entre las componen-tes de la resultante R de dos vectores, A y B , y las com-ponentes de A y B .

La figura siguiente, adaptada de Wilson y Buffa (2003), muestra el procedimiento para dibujar los vectores A y B y su suma, o resultante R , con el método del triángulo:

212


Dibuje el primer vector, A , desde el origen.

Dibuje el segundo vector, B , desde la punta del pri-mero.

La resultante, R , se dibuja desde la cola de A hasta la punta de B .

La primera figura de abajo muestra el método del triángulo para sumar dos vectores cuando el vector A solo tiene componente horizontal (positiva) y el vector B solo tiene componente verti-cal (positiva); mientras que la segunda figura muestra el método del triángulo para el caso en que ninguno de los dos vectores es horizontal o vertical.

La resta de vectores es un caso particular de la suma de vectores, como lo muestra la figura de la de-recha.

x

y

A – B

A + BBA

Vectores

213

Propiedad 5.4.1

Conmutatividad. Para cualquier vector A y B :

A + B = B + A .

Asociatividad. Para cualquier vector A , B y C :

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C .

Neutro aditivo. Para cualquier vector A existe un vector 0 tal que A + 0 = 0 + A = A

Opuesto aditivo. Para cualquier vector A , existe el vector – A tal que A + (– A ) = 0 vector. El vector opuesto de A , denota-do por – A , es un vector con la misma magnitud del vector A , pero con dirección opuesta a la de A .

El siguiente ejemplo ilustra la aplicación del método del triángu-lo para la suma de dos vectores:

Ejemplo 5.4.1

Un excursionista inicia un recorrido caminando primero 25 km en la dirección 45° al sureste a partir de su campamento. El se-gundo día camina 40 km, 60° al norte del este, y al llegar a ese lugar descubre una torre de guardia forestal.

a. Calcule las componentes rectangulares del desplazamien-to del excursionista en el primer y segundo día.

b. Calcule las componentes rectangulares del desplazamien-to total del excursionista.

c. Calcule la magnitud y determine la dirección del despla-zamiento total. [Adaptado de Serway (2001)]

214


Solución

20

20 30 40 50

10

0

-10

-20

60°

45°

AB

R

x (km)

y (km)

Torre

Camp

a. Denotemos por A el desplazamiento del excursionista du-rante el primer día, por B el desplazamiento durante el se-gundo día y por R el desplazamiento total o resultante. La figura de arriba, adaptada de Serway (2001), ilustra los des-plazamientos.

Las componentes del desplazamiento del primer día son (el ángulo de -45° es 315° medido del eje +x al eje +y):

Ax = (25 km) cos(315°) = 17,67 km

Ay = (25 km) sen(315°) = –17,67 km

Las componentes del segundo día son:

Bx = (40 km) cos(60°) = 20 km

By = (40 km) sen(60°) = 34,64 km

b. El desplazamiento total para el recorrido, R + A + B , tiene las componentes:

Rx = Ax + Bx = 17,67 km + 20 km = 37,67 km

Vectores

215

Ry = Ay + By = –17,67 km + 34,64 km = 16,97 km

En términos de los vectores unitarios, el desplazamiento total es: R = (37,67i + 16,97j) km

c. La magnitud del desplazamiento total es:

| R | kmkmkmkm 31,410098,1707)97,16()67,37( 222 ==+=

Y la dirección del desplazamiento total es:

4504,067,3797,16tan ===

kmkm

RR

x

yθ , luego θ = 24,2°.

Por consiguiente, la torre está a 41,31 km y 24,2° al norte del este del campamento del excursionista.

La siguiente propiedad es el principio de equilibrio:

Propiedad 5.4.2 (principio de equilibrio)

Si una partícula está en reposo o se mueve con velocidad constante en un marco de referencia inercial, la fuerza neta sobre ellas, es decir, la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella, debe ser cero:

∑ = 0F (partícula en equilibrio)

Normalmente usaremos esta ecuación en forma de compo-nentes:

∑ ∑ == 0,0 yx FF (partícula en equilibrio)

El siguiente ejemplo ilustra la aplicación de este principio:

216


Ejemplo 5.4.2

Un cuerpo de peso W = 10 kgf cuelga de una cuerda que en O está unida a otras dos cuerdas fijadas en el techo, como lo muestra la primera figura de abajo. Calcule las tensiones de las tres cuerdas sin peso.

Solución

Los ángulos están medidos en el sentido de eje +x a eje +y.

Para el cuerpo, tenemos:

∑Fy = 0 ⇒ T1sen90° + wsen270° = 0

O sea:

T1 = w ⇒ T1 = 10 kgf (1)

Por el principio de equilibrio aplicado en el nudo, la ecuación es:

∑ F = T1 + T2 + T3 = 0

Aplicada a las componentes:

∑ Fx = T2 cos30° + T3 cos120° = 0 (2)

∑ Fy = T2 sen30° + T3 sen120° – T1 = 0, de (1): T1 = 10 kgf

Vectores

217

entonces:

T2 sen30° + T3 sen120° – 10 = 0 (3)

Obtenemos un sistema de ecuaciones conformado por las ecua-ciones (2) y (3), que resolveremos por el método de sustitución: Para ello, despejamos de la ecuación (2) T2:

TT30°cos

120°cos32

−= (4)

y lo reemplazamos en la ecuación (3):

010120°30°30°cos

120°cos3

3 =−+− senTsenT

por identidad de tangente:

–T3 tan30° cos120° + T3 sen120° = 10

sacando factor común T3:

T3 (–tan30° cos120° + sen120°) = 10

despejando T3:

kgfsen

T oo 66,8120cos30tan120

1003 =−

=

Reemplazando este valor en la ecuación (4):

kgfkgfT o

o

599,430cos

120cos66,82 ≈=

−=

R/ Las tensiones de las tres cuerdas son: T1 = 10 kgf, T2 = 5 kgf y T3 = 8,66 kgf.

218


APLICACIONES 5.4

1. En el cuadrado de la derecha, la medida del lado es l cm y la de su diagonal es d cm. Determine la magnitud del resultado de cada una de las siguientes operaciones vectoriales:

a. A + B

b. A + B + C

c. A + B + C + D

d. A + B – C – D

2. Los lados de un hexágono regular son los vectores consecuti-vos A , B , C , D , E y E y F , en el cual la dirección del vector A es al este. Escriba el vector C en términos de los vectores A y B . Calcule la dirección de C de dos formas (eje +x a eje +y y con los puntos cardinales).

3. Compruebe gráficamente que en un triángulo equilátero la suma de los vectores que van del circuncentro a los vértices es 0 .

4. Una persona hace dos desplazamientos. El primero tiene una magnitud de 60 m y forma un ángulo de 120° con el eje +x. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 50 m y está dirigido formando un ángulo de 40° con el eje +x. Haga un dibujo con la escala 1 cm = 10 m. Calcule la magnitud y la dirección del segundo desplazamiento.

5. Una persona hace tres desplazamientos consecutivos tales que su desplazamiento total es cero (regresa al punto de par-tida). El primer desplazamiento es de 6 m hacia el oeste. El segundo es de 8 m hacia el norte. Calcule la magnitud y la di-

Vectores

219

rección el tercer desplazamiento. Haga la gráfica con la escala 1 cm = 10 m.

Los observadores en distintos marcos de referencia pueden me-dir diferentes desplazamientos o velocidades de un objeto en movimiento. En otras palabras, dos observadores que se mueven uno con respecto al otro no concuerda en el resultado de una medición. En el caso de la velocidad, se llama velocidad relativa. Las aplicaciones 6-10, son de velocidad relativa.

6. Cuando un avión o avioneta, que viaja a velocidad A (veloci-dad del avión relativa al aire), se encuentra con un viento de velocidad V su velocidad resultante R (velocidad del avión relativa al suelo) es la suma vectorial R = A + V . Para cada caso: haga un dibujo con la escala 1 cm = 10 km/h; determine la magnitud y la dirección de dos formas (eje +x a eje +y y con los puntos cardinales) de la velocidad resultante del avión, a control remoto, si| A | = 120 km/h, | V | = 30 km/h y el avión vuela al norte.

a. Dirección del viento: al norte.

b. Dirección del viento: al sur.

c. Dirección del viento: al este.

d. Dirección del viento: al oeste.

e. Dirección del viento: 30° al norte del este.

f. Dirección del viento: 60° al sureste.

g. Dirección del viento: 45° al noroeste.

h. Dirección del viento: 25° al oeste del sur.

7. Un avión, que vuela con viento de cola, recorre 1200 km en 2 h. El viaje de regreso, contra el viento, le toma 21/2 h. Calcule la velocidad de travesía del avión y la velocidad del viento, suponiendo que ambas velocidades son constantes.

220


8. Un avión recorre una distancia de 1980 km en 6 h cuando vuela en la dirección del viento, pero necesita 7 h 20 min para efectuar el vuelo de regreso. Calcule la velocidad del avión en aire tranquilo y la velocidad del viento, suponiendo que ambas son constantes.

9. Un bote recorre en 15 min una distancia de 5 km corriente abajo, pero necesita 20 min para el viaje de regreso. Calcule la velocidad del bote en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente.

10. A continuación se describen algunas recomendaciones para volar un avión a control remoto. En cada caso, utilice los re-sultados de la aplicación anterior para justificar la respectiva recomendación:

a. Determine la velocidad aproximada del viento amarran-do una cinta a la punta de la antena del control remoto y sosteniendo el control de forma paralela al piso. ¡No vue-le el avión si la cinta se pone paralela al piso! Un ángulo de 30° o menor es perfecto para volar.

b. Determine la dirección del viento arrojando un poco de grama o algún material liviano al aire. Si puede, láncelo contra el viento. Si va a despegar desde una pista de ate-rrizaje y el viento es perpendicular a la pista, es posible despegar, pero no es recomendable para principiantes.

c. Recuerde volar siempre contra el viento, de esta manera no va a volar lejos de usted (esto sólo aplica si su avión tiene alerones).

d. Aterrice el avión notando primero la dirección del viento para aterrizarlo en sentido opuesto.

11. Se coloca un bloque de masa m sobre un plano inclinado ru-goso que forma un ángulo θ , como lo muestra la figura de la derecha. Las únicas fuerzas que actúan sobre el bloque en reposo son su peso mg; la fuerza normal, N ; y la fuerza de

Vectores

221

rozamiento estático, Fs . La segunda ley de Newton aplicada al bloque produce:

∑Fx = mg senθ – Fs = 0 (1), y

∑Fy = N –mg cosθ = 0 (2)

Deduzca, a partir de las ecuaciones (1) y (2), que Fs = N tanθ .

12. Un peso W está sostenido por una cuerda que está atada aotras dos cuerdas las que, a su vez, están sujetas al techo,como lo muestra la figura. Las cuerdas superiores forman losángulos θ y ϕ con la horizontal. En cada caso calcule las ten-siones de las tres cuerdas.

a. W = 5 kgf, θ = 37° y ϕ = 53°

b. W = 4 kgf, θ = 40° y ϕ = 60°

c. W = 2 kgf, θ = 45° y ϕ = 65°

d. W = 6 kgf, θ = 50° y ϕ = 65°

e. W = 3 kgf, θ = ϕ = 55°

f. W = 3 kgf, θ = ϕ = 25°

222


BIBLIOGRAFÍA

Arons, A. (1970). Evolución de los conceptos de la Física. México: Trillas.

Leithold, L. (1994). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Mé-xico: Harla.

Serway, R. (2001). Física (5ª ed.). México: Pearson.

Sullivan, M. (1997). Trigonometría y Geometría Analítica (4ª ed.). México: Pearson.

Swokowski,E. & Cole, J. (2006). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (11ª ed.). México: Thomson.

Wiki How (2015). http://es.wikihow.com/volar-un-avi%C3%B3n-a-control-remoto

Wilson, J. & Buffa, A. (2003). Física. (5ª ed.). México: Pearson.

Esta obra, editada en Barranquilla por Editorial Universidad del Norte en junio de 2015, se

compuso en Palatino Linotype y Formata.

introducción a la geometría (2a. ed.)repositorio.udomanagua.edu.ni/libros/matematica... ·...

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