Estadística II

1

1. INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES Y DISTRIBUCIONES

1.1. INFERENCIA ESTADÍSTICA Y POSIBILIDAD

La estadística se divide en dos ramas, la estadística descriptiva se enfoca en la

recolección, resumen y presentación de un conjunto de datos; y la estadística inferencial

utiliza datos de las muestras para obtener conclusiones acerca de cierta población.

La inferencia estadística es el conjunto de métodos que permiten inducir, a través de una

muestra, el comportamiento de una determinada población. La inferencia estadística

estudia entonces, como sacar conclusiones sobre los parámetros de población de datos.

De la misma manera estudia también el grado de fiabilidad de los resultados extraídos del

estudio.

Para entender el concepto es importante entender tres conceptos:

Inferencia: Inferir significa, literalmente, extraer juicios o conclusiones a partir de

ciertos supuestos, sean estos generales o particulares.

Población: Una población de datos, es el conjunto total de datos que existen sobre

un variable.

Muestra estadística: Una muestra es una parte de la población de datos.

Normalmente, en estadística, se trabaja con muestras debido a la gran cantidad de datos

que tiene una población. Por ejemplo, si queremos sacar conclusiones, esto es, inferir, los

resultados de las elecciones generales, es imposible preguntar a toda la población del país.

Para solventar ese problema se escoge una muestra variada y representativa. Gracias a la

cual se puedan extraer una estimación del resultado final. Escoger una muestra adecuada

corre a cargo de las distintas técnicas de muestreo.

1.2. EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD

La probabilidad es un tema de todos los días. Cada vez que se habla de clima, por ejemplo,

si va a llover o no en un día determinado, o bien, la posibilidad de sufrir un accidente está

implícito el concepto de probabilidad. En general, se habla de probabilidad en cualquier

situación en la que no haya certeza del resultado.

Estadística II

2

La probabilidad es un valor numérico de la incertidumbre de que un suceso

especifico pueda ocurrir.

La probabilidad es una proporción o fracción cuyo valor varía entre 0 y 1 inclusive. Un

evento que no tiene oportunidad de ocurrir (por ejemplo, un evento imposible) tiene una

probabilidad de 0. Un evento que ocurrirá con toda seguridad (es decir, un evento seguro)

tiene una probabilidad de 1.

Existen tres aproximaciones sujetas a la probabilidad:

1.2.1 Probabilidad clásica a priori

La probabilidad de éxito se basa en el conocimiento previo del proceso implicado. En el

caso más simple, en el que cada resultado es igualmente probable, la oportunidad de

ocurrencia de un evento se define en la ecuación:

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

Ejemplo:

Un dado estándar tiene seis caras. Cada cara contiene uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis

puntos. Si usted tira el dado, ¿cuál es la probabilidad de que caiga la cara de cinco puntos?

SOLUCIÓN: Cada cara tiene la misma posibilidad de ocurrir. Como hay seis caras, la

probabilidad de obtener la cara con cinco puntos es de .

1.2.2 Probabilidad clásica empírica:

Los resultados se basan en datos observados, no en un conocimiento previo del proceso.

Ejemplos de este tipo de probabilidad son la proporción de votantes registrados que optan

por un determinado candidato político, o la proporción de alumnos que tienen un empleo de

medio tiempo.

Estadística II

3

Por ejemplo, si usted realiza una encuesta a alumnos, y el 60% de ellos afirma que tiene

un trabajo de medio tiempo, entonces hay una probabilidad de 0,60 de que un alumno en

particular tenga un trabajo de medio tiempo.

1.2.3 Probabilidad subjetiva:

Se distingue de los otros dos en que la probabilidad subjetiva difiere de persona a persona.

Por ejemplo, tal vez el equipo de desarrollo para un nuevo producto asigne una probabilidad

de 0,6 a la oportunidad de éxito para el producto, mientras que el presidente de la empresa

es menos optimista y asigna una probabilidad de 0,3.

La asignación de probabilidades subjetivas a diferentes resultados generalmente se basa

en una combinación de las experiencias pasadas del individuo, la opinión personal y el

análisis de una situación particular. La probabilidad subjetiva es particularmente útil al tomar

decisiones en situaciones en las que no es posible usar la probabilidad clásica a priori o la

probabilidad clásica empírica.

1.2.4 Definiciones: evento, evento simple, evento compuesto, espacio muestral

Un evento es cualquier conjunto de resultados o consecuencias de un procedimiento.

Un evento simple es un resultado o un evento que ya no puede desglosarse en

componentes más simples. En el caso del lanzamiento de un dado, un evento simple es

que al tirar el dado salga un cuatro.

Un evento compuesto se puede descomponer en otros eventos. Por ejemplo, al tirar el

dado que salga un número par es un evento compuesto, porque se compone de los eventos

dos, cuatro y seis.

El espacio muestral (E) de un procedimiento se compone de todos los eventos simples

posibles. Es decir, el espacio muestral está formado por todos los resultados que ya no

pueden desglosarse más. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado el espacio muestral

es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Estadística II

4

Un punto muestral es cada uno de los elementos del espacio muestral. Por ejemplo, en el

lanzamiento de un dado un punto muestral puede ser cualquiera de los elementos del

espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

1.2.5 Operaciones con eventos

Sean dos eventos A y B dentro de un espacio muestral. Por ejemplo, en el experimento de

tirar un dado de 6 caras:

• Espacio muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Evento A: que salga un número par = {2, 4, 6}

• Evento B: que salga un múltiplo de 3 = {3, 6}

Se definen las siguientes operaciones con dichos eventos (unión, intersección y

complemento).

1.2.5.1 Unión de Eventos

Sean dos conjuntos A y B cualesquiera. La unión de los

conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que están

en A, en B o en ambos. Se simboliza con A ∪ B. En diagrama de

Venn se ve como se muestra en la figura.

En el ejemplo del tiro del dado: A ∪ B = {2, 3, 4, 6}

1.2.5.2 Intersección de Eventos

Sean dos conjuntos A y B cualesquiera. La intersección, de los

conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que están en A y

también en B. Se simboliza A ∩ B.

En el ejemplo del tiro del dado: A ∩ B = {6}

6

2

43

1

5

2

43

1

5

6

Estadística II

5

Cuando A ∩ B es vacía, se dice que A y B son conjuntos disjuntos o mutuamente

excluyentes.

Los eventos A y B son disjuntos cuando ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo. Es

decir, los eventos disjuntos no se traslapan.

1.2.4.3 Complemento de un evento

El complemento del conjunto A es el conjunto de todos los

elementos del espacio muestral que no están en A. Se denota

AC.

En el ejemplo del tiro del dado: AC = {1, 3, 5}

Ejemplo

Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas (R), 5 blancas (B) y 6 negras

(N).

Espacio muestral = {R, R, R, R, B, B, B, B, B, N, N, N, N, N, N}

Evento A: Que la bola sea roja = {R, R, R, R}

Evento B: Que la bola sea blanca = {B, B, B, B, B}

Evento C: Que la bola sea negra = {N, N, N, N, N, N}

Que la bola sea roja o blanca: A ∪ B = {R, R, R, R, B, B, B, B, B}

Que la bola no sea blanca: Bc = {R, R, R, R, N, N, N, N, N, N}

Que la bola sea blanca y negra: A ∩ C es vacía, por lo tanto, es mutuamente

excluyente.

6

2

43

1

5

Estadística II

6

1.3. PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS PROBABILIDADES

La probabilidad de un evento A se podría expresar como:

1.3.1 Axiomas de probabilidad

Axioma 1: La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero

y uno.

0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

Axioma 2: La probabilidad de un evento seguro es 1.

𝑃(𝐴) = 1

Axioma 3: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, es decir, que la intersección

entre A y B es vacía, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces:

𝑃(𝐴 𝑈 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Ejemplo:

En una bodega hay 400 televisores (T), 100 videograbadoras (V), 200 cámaras fotográficas

(F) y 300 computadoras (C). Si se selecciona un aparato al azar, ¿Cuál es la probabilidad

de que sea un televisor o una computadora?

𝑃(𝑇 ∪ 𝐶) =400

1000+

300

1000=

700

1000= 0,7

Estadística II

7

1.3.2 Propiedades de probabilidad

Propiedad 1: La suma de las probabilidades de un evento y su complemento es 1.

𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴 ) = 1

Propiedad 2: La probabilidad de un evento imposible es cero.

𝑃(∅) = 0

Propiedad 3: La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades

menos la probabilidad de su intersección.

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Ejemplo

Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y

un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar

sea obeso o hipertenso?

A = {obeso}

B = {hipertenso}

A ∩ B = {hipertenso y obeso}

A ∪ B = {obeso o hipertenso}

P(A) = 0,10

P(B) = 0,15

P (A ∩ B) = 0,03

P (A ∪ B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22

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1.4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad condicional es la probabilidad de que un segundo evento (B) se presente si

un primer evento (A) ya ha ocurrido. Simbólicamente se escribe P(B | A)

1.4.1 Para eventos independientes

Para eventos estadísticamente independientes, la probabilidad condicional de que suceda

el evento B dado que el evento A se ha presentado, es simplemente la probabilidad del

evento B:

𝑃(𝐵 | 𝐴) = 𝑃(𝐵)

Ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de que en el segundo lanzamiento de una moneda se obtenga

corona, dado que el resultado del primero fue corona?

Simbólicamente, lo anterior se escribe como P(C1 | C2).

Recuerde que para dos eventos independientes el resultado del primer lanzamiento no tiene

absolutamente ningún efecto sobre el resultado del segundo. Como la probabilidad de

obtener cara y la de obtener cruz son exactamente iguales en cada lanzamiento, la

probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento es de 0,5. Por tanto, debemos

decir que P(C1 | C2) = 0,5.

1.4.2 Para eventos dependientes

Para eventos estadísticamente dependientes, la probabilidad condicional de que suceda el

evento B dado que el evento A se ha presentado, es

𝑃(𝐵 | 𝐴) =𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)

𝑃(𝐴)

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9

Ejemplo:

La probabilidad de encontrar una camisa con descuento en una tienda es del 13%, la de

encontrar vestidos es un 35%. El 7,8% de las veces se pueden encontrar ambos artículos

en descuento. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar vestidos con descuento si ya sabemos

que las camisas lo tienen?

P(C) = 13%

P(V) = 35%

P(C y V) = 7,8%

𝑃(𝑉 | 𝐶) =𝑃(𝑉 ∩ 𝐶)

𝑃(𝐶)=

78%

13%= 60%

1.5. LA REGLA DEL PRODUCTO

La regla de la multiplicación o regla del producto permite encontrar la probabilidad de que

ocurra el evento A y el evento B al mismo tiempo (probabilidad conjunta). Esta regla

depende de si los eventos son dependientes o independientes.

1.5.1 Eventos dependientes

Dos eventos A y B son dependientes, si la ocurrencia de uno de ellos afecta la ocurrencia

del otro. Para eventos dependientes, la regla de la multiplicación establece que:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵|𝐴)

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ⋅ 𝑃(𝐴|𝐵)

Ejemplo

Se sabe que 84% de las familias en un vecindario en particular está suscrita a un servicio

de televisión digital. Si A denota el evento de que una familia se suscriba al paquete básico,

P(A) = 0,84. Además, se sabe que la probabilidad de que una familia que ya cuenta con

una suscripción básica también adquiera un paquete de canales deportivos (evento B) es

Estadística II

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0,75; es decir, P(B | A) = 0,75. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia se suscriba tanto

al paquete básico como al deportivo?

Utilizando la ley de la multiplicación, calculamos el P(B ∩ A) deseado como

𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵|𝐴) = 0,84 ⋅ 0,75 = 0,63

1.5.2 Eventos independientes

Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la

ocurrencia del otro, es decir, cuando los eventos A y B no están relacionados. Para eventos

independientes, la regla de la multiplicación establece que:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

Ejemplo 2:

En un colegio, la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar hable inglés (Evento

A) es de 0,20; mientras que la probabilidad de que un alumno juegue fútbol (Evento B) es

de 0,80.

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) = 0,20 ⋅ 0,80 = 0,16

1.6. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y CONTINUA

Experimento estadístico: es un proceso mediante el cual se generan observaciones

aleatorias.

Variable aleatoria: cantidad numérica cuyo valor se determina a través de un experimento

aleatorio.

Las variables aleatorias se clasifican en:

• Variable aleatoria discreta: si se puede contar su conjunto de resultados posible.

Ejemplos: cantidad de artículos defectuosos, cantidad de personas en una fila, etc.

• Variable aleatoria continua: cuando la variable aleatoria puede tomar valores en

una escala continua. Ejemplos: estatura, peso, longitud, etc.

Estadística II

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1.7. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Una distribución de probabilidad permite determinar el valor de la probabilidad para todos y

cada uno de los eventos del espacio muestral. La distribución de probabilidad puede

expresarse empleando una tabla, un gráfico o una función algebraica.

Ejemplo:

Suponga que se lanza al aire una moneda dos veces para ver si cae “corona” (evento A) o

“escudo” (evento B), Construya la tabla de distribución de probabilidad.

Existen 4 resultados posibles, cada uno con las siguientes probabilidades.

Evento Probabilidad

AA 0,25

AB 0,25

BA 0,25

BB 0,25

Las distribuciones de probabilidad son distribuciones de probabilidad continuas o

distribuciones de probabilidad discretas, dependiendo de si definen probabilidades para

variables continuas o discretas.

1.7.1 Media y varianza de una distribución de probabilidad

La media de una distribución de probabilidad es la esperanza matemática o valor esperado

de la variable aleatoria correspondiente. Si las probabilidades de los eventos 𝒙𝒊 son 𝑃(𝒙𝒊)

entonces:

La media es:

𝝁 = 𝒙𝒊𝑷(𝒙𝒊)

La varianza es:

𝝈𝟐 = (𝒙𝒊 − 𝝁)𝟐 ∙ 𝑷(𝒙𝒊)

La desviación estándar es la raíz de la varianza:

𝝈 = 𝝈𝟐

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Ejemplo:

Calcule la media y la desviación estándar de la demanda semanal de cierto artículo en

una ferretería. Los datos de demanda y su probabilidad de ocurrencia se dan en la tabla.

Unidades vendidas 𝒙𝒊 30 35 40 45 50

Probabilidad 𝑃(𝒙𝒊) 0,20 0,28 0,30 0,15 0,07

Solución:

Media

𝜇 = 𝑥 𝑃(𝑥 ) = 30 ∙ 0,2 + 35 ∙ 0,28 + 40 ∙ 0,30 + 45 ∙ 0,15 + 50 ∙ 0,07 = 38,05

Varianza:

𝜎 = (𝑥 − 𝜇) 𝑃(𝑥 ) = 0,2(30 − 38,05) + 0,28(35 − 38,05) + 0,3(40 − 38,05)

+ 0,15(45 − 38,05) + 0,07(50 − 38,05) = 33,95

Desviación estándar:

𝜎 = 𝜎 = 33,95 = 5,83

1.8. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Las variables discretas toman valores que se obtienen por conteo y cada uno de ellos

asumirá esos valores con una cierta probabilidad. Así, si 𝑥 representa los posibles valores

numéricos de la variable, entonces se podría disponer de una función 𝑓(𝑥) que permita

conocer los valores de cada valor de 𝑥. Esa función se definiría como la distribución de

probabilidad de la variable aleatoria discreta en cuestión.

Estadística II

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1.9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: CARACTERÍSTICAS, EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Suponga que un vendedor de un producto sabe que cada cliente que visita puede comprar

su producto, o bien, no comprarlo, por lo que solamente hay dos posibles resultados. Por

su experiencia sabe que el porcentaje de casos en los que logra la venta permanece

constante a lo largo del tiempo y que generalmente cada cliente no tiene contacto con los

demás. El vendedor desea saber la probabilidad de lograr 3 ventas si visita 8 clientes. Una

situación como esta corresponde a un problema de una distribución binomial de

probabilidad.

Un experimento binomial (o sea, un ejercicio en que se emplea la distribución binomial) se

da cuando se realiza un experimento aleatorio cuyo resultado es una variable aleatoria

discreta y cumple con las siguientes suposiciones:

1. Existen solamente dos resultados posibles en cada ensayo, llamados,

arbitrariamente, éxitos y fracasos. Por ejemplo, vender y no vender.

2. Existe un número fijo n de intentos o ensayos. Por ejemplo, el vendedor visita 8

clientes, es decir, va a realizar 8 intentos de vender su producto.

3. La probabilidad de un éxito, representada por p, permanece constante en todos los

intentos. Por ejemplo, suponga que el vendedor logra la venta en el 30 % de los

casos.

4. Todos los n intentos repetidos son independientes. En el ejemplo se dijo que cada

cliente no tiene contacto con los demás, por lo que cada evento es independiente

de los otros.

Si realizamos n repeticiones independientes de un experimento con característica binomial

y representamos por x el número de éxitos obtenidos en las n repeticiones de este, entonces

la probabilidad de obtener x éxitos en n repeticiones viene dada por:

𝑷(𝒙) = 𝑪(𝒏, 𝒙) ⋅ 𝒑𝒙 ⋅ 𝒒𝒏 𝒙 para 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛

Donde 𝒙 es el número establecido de éxitos, 𝒏 el número de ensayos u observaciones, 𝒑

la probabilidad de éxito y 𝒒 la probabilidad de fracaso (𝒒 = 𝟏 − 𝒑).

Estadística II

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La expresión ),( xnC es conocida como coeficiente binomial y equivale a:

𝑪(𝒏, 𝒙) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!

Entonces, la fórmula de la distribución binomial puede ser escrita como:

𝑷(𝒙) =𝒏!

𝒙! (𝒏 − 𝒙)!∙ 𝒑𝒙𝒒𝒏 𝒙

1.10. LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

o Media de la distribución de probabilidad binomial

𝝁𝒙 = 𝒏 ∙ 𝒑

o Varianza de la distribución de probabilidad binomial

𝒔𝟐 = 𝒏𝒑𝒒

o Desviación estándar

𝓸 = 𝒏𝒑𝒒

Ejemplo:

Un vendedor de un producto sabe, por su experiencia, que logra la venta en el 30% de los

clientes que visita, porcentaje que ha permanecido constante a lo largo del tiempo. Cada

cliente no tiene contacto con los demás. El vendedor desea saber la probabilidad de que si

visita 8 clientes,

a. Logre vender en exactamente 3 casos.

b. Logre vender en por lo menos 3 casos.

c. Logre vender en menos de 6 casos.

d. No logre vender en a lo más 5 casos.

e. No logre vender en más de 7 casos.

f. Calcule la media y la varianza según su definición específica para la

distribución binomial

Estadística II

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Solución

a. intentos 𝑛 = 8 probabilidad de lograr 3 ventas 𝑥 = 3

éxito 𝑝 = 0,30 probabilidad del fracaso 𝑞 = 1 – 0,30 = 0,70

𝑃(𝑥 = 3) =8!

3! (8 − 3)!(0,30) (0,70) = 0,2541

b. En este caso se requiere que 𝑥 ≥ 3 , lo que significa que nos interesa que 3 o más clientes

compren el producto, por lo que buscamos:

𝑃(𝑥 ≥ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) + 𝑃(𝑥 = 6) + 𝑃(𝑥 = 7) + 𝑃(𝑥 = 8)

Esto implica emplear la fórmula anterior 6 veces y luego sumar los resultados. O recurrir a

la regla de la complementación para encontrar la probabilidad de 𝑥 ≥ 3 :

𝑃(𝑥 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑥 = 0) − 𝑃(𝑥 = 1) − 𝑃(𝑥 = 2)

𝑃(𝑥 = 0) =8!

0! (8 − 0)!(0,30) (0,70) = 0,0576

𝑃(𝑥 = 1) =8!

1! (8 − 1)!(0,30) (0,70) = 0,1977

𝑃(𝑥 = 2) =8!

2! (8 − 2)!(0,30) (0,70) = 0,2965

𝑃(𝑥 ≥ 3) = 1 − 0,0576 − 0,1977 − 0,2965 = 0,4482

c. En este caso se requiere que 𝑥 < 6 , es decir, nos interesa la probabilidad de que de 0 a

5 clientes compren el producto:

𝑃(𝑥 < 6) = 𝑃(𝑥 ≤ 5)

𝑃(𝑥 ≤ 5) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5)

𝑃(𝑥 = 4) =8!

4! (8 − 4)!(0,30) (0,70) = 0,1361

Estadística II

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𝑃(𝑥 = 5) =8!

5! (8 − 5)!(0,30) (0,70) = 0,0467

𝑃(𝑥 ≤ 5) = 0,0576 + 0,1977 + 0,2965 + 0,2541 + 0,1361 + 0,0467 = 0,9887

d. Se desea determinar la probabilidad de que a lo más 5 clientes no realicen la compra.

Aquí se considera como éxito no lograr la venta, así que 𝑝 = 0,70 y 𝑞 = 0,30. Entonces, se

debe calcular:

𝑃(𝑥 ≤ 5) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5)

𝑃(𝑥 = 0) =8!

0! (8 − 0)!(0,70) (0,30) = 0,001

𝑃(𝑥 = 1) =

𝑃(𝑥 = 2) =

𝑃(𝑥 = 3) =

𝑃(𝑥 = 4) =

𝑃(𝑥 = 5) =

𝑃(𝑥 ≤ 5) =

e. Se desea determinar la probabilidad de que más de 7 clientes no compren el producto

(𝑝 = 0,70). Es decir, solo interesa que 𝑥 = 8

𝑃(𝑥 = 8) =

f. Media: 𝝁𝒙 = 𝟖 ∙ 𝟎, 𝟑𝟎 = 𝟐, 𝟒

Varianza: 𝒔𝟐 = 𝟖 ⋅ 𝟎, 𝟑𝟎 ⋅ 𝟎, 𝟕𝟎 = 𝟏, 𝟔𝟖

Estadística II

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1.11. USO DE LA TABLA DE PROBABILIDADES PARA LA DISTRIBUCIÓN

BINOMIAL.

Se han desarrollado tablas que proporcionan la probabilidad de x éxitos en n ensayos para

un experimento binomial. Por lo general son fáciles de usar y más rápidas que la ecuación.

Para usarla, se deben especificar los valores de n, p y x según el experimento binomial de

que se trate.

Ejemplo

En una situación binomial con 𝑛 = 6 y 𝑝 = 0,40,

a. Calcule la probabilidad de 𝑥 = 3.

n = 6 x

p

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277

1 0,2321 0,3543 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359

2 0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780

3 0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032

4 0,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861

5 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0205 0,0369 0,0609

6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0018 0,0041 0,0083

𝑃(𝑥 = 3) = 0,2765

b. calcule la probabilidad de 𝑥 ≥ 3.

𝑃(𝑥 ≥ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) + 𝑃(𝑥 = 6)

𝑃(𝑥 ≥ 3) = 0,2765 + 0,1382 + 0,0369 + 0,0041 = 0,4557