intro teoría medida pdf
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Línea es una longitud sin anchura.
Superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura.
Sólido es lo que tiene longitud, anchura y profundidad.
Longitud, área y volumen en comparación con el
patrón unidad (segmento, cuadrado o cubo).
Euclides (en torno a 330 -275 a.C.).
Eudoxo (en torno a 400 -347 a.C.).
El volumen de un
cono es un tercio del
volumen del cilindro
con la misma base y
altura.
Introducción a la Teoría de la Medida
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Arquímedes (287- 212 a.C.).
El área de un círculo es igual la
de un triángulo rectángulo con
un cateto igual al radio y el otro
igual a la longitud de la
circunferencia.
.71
103
71
103
Introducción a la Teoría de la Medida
Primera definición de medida de un conjunto
acotado
Georg Cantor (1845-1918).
A.nRA
No aditiva* salvo para conjuntos completamente
separados; un conjunto mide lo mismo que su
adherencia y, así, lo racionales y los irracionales
de miden 1, igual que el intervalo.
,si A B A B A B
1,0
(*)
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Definió conjuntos medibles como aquellos cuya medida exterior
coincide con la interior.
Giuseppe Peano (1858-1932).
Medida exterior : aproximaciones externas con polígonos. AMedida interior: .\ ARR
A A
R
Relación entre medida e integración:
una función acotada es integrable
Riemann en si y sólo si el
conjunto E limitado por la gráfica de la
función y las rectas e
es medible, y .Edxxf
b
a
ba,
bxax , 0yE
a b x
fy,
f
Introducción a la Teoría de la Medida
La medida de Peano es aditiva para uniones finitas.
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Introducción a la Teoría de la Medida
Simplificó la medida de Cantor empleando
cuadrados de igual lado en lugar de polígonos.
Camille Jordan (1838-1922).
Estableció una medida numerable aditiva* definida
sobre conjuntos borelianos –los obtenidos mediante
uniones o diferencias de los abiertos de un espacio
topológico-.
Émile Borel (1871-1956).
Planteó una definición de los conjuntos de medida nula. Según esta, el
conjunto de los racionales de mide 0. 1,0
(*) La medida de una unión numerable y disjunta de
conjuntos medibles es la suma de sus medidas.
La aditividad numerable es fundamental en la teoría de la integración
abstracta; el teorema fundamental sobre el paso al límite de la integral de
Lebesgue es consecuencia de la aditividad numerable.
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Introducción a la Teoría de la Medida
Definición: Una medida en un espacio medible es una función no negativa
que satisface: RA:
1) ,02) es aditiva. Es decir, si , entonces
Si esto es cierto también para uniones numerables, entonces es numerable
aditiva.
BA .A B A B
Como consecuencia de estas propiedades tenemos que:
1) ,cABABB
2) ,\, si ABABBA
3) , ,y si BABA
4) , , si BABA
5) ,BABABA
6) .BABA
A B
A B
B A
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Introducción a la Teoría de la Medida
Ejemplos de cálculo de medidas mediante recubrimientos con polígonos
(enlosado).
his
toria
sd
ela
cie
ncia
.co
m
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Introducción a la Teoría de la Medida
-Son autosemejantes (de forma exacta, aproximada o estadística).
-Se generan mediante algoritmos recursivos.
-Su dimensión topológica es estrictamente menor que su dimensión fractal.
Los fractales son objetos cuya estructura básica,
fragmentada o irregular, se repite a diferentes
escalas. Se caracterizan porque:
Son fractales naturales las nubes, la línea de la costa, los sistemas
montañosos, el sistema circulatorio, etc.
-Tienen detalle a cualquier escala.
http://ciencias.fractales.googlepages.com
http://www.miqel.com
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Introducción a la Teoría de la Medida
La dimensión topológica de un objeto se calcula en base al orden de cierto
recubrimiento abierto del mismo.
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3 4
De forma intuitiva, la dimensión topológica puede entenderse como el número mínimo
de bolas abiertas que deben intersecarse para recubrir el objeto -cuando el diámetro
de las mismas tiende a cero- menos uno. Así, la de un segmento es 1, la de un
cuadrado es 2 y la de un cubo es 3. La dimensión topológica de un punto es 0, y la del
conjunto vacío es -1.
La dimensión fractal de un objeto informa de en que medida el objeto llena el
espacio. Las más empleadas son la dimensión de Hausdorff-Besicovich o de
autosemejanza, la del recuento de cajas y la de Rényi.
2
3
3
2 2
2
Introducción a la Teoría de la Medida
La curva de Peano.
La curva de Hilbert.
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Dimensión topológica, 1. Dimensión de Hausdorff, 2
Dimensión topológica, 1. Dimensión de Hausdorff, 2
Son “curvas que llenan un espacio”.
Introducción a la Teoría de la Medida
La curva de Koch. El copo de Koch.
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Dimensión topológica, 1.
Dimensión de Hausdorff, 1,2619
Dimensión topológica, 1.
Dimensión de Hausdorff, 1,2619
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Introducción a la Teoría de la Medida
Ejemplo: Cálculo de dimensión fractal.
1 2
2
1
1 2 2
2
2
1
1 1
2 2, 1.d d
2 4, 2.d d 2 8, 3.d d
3 4,
ln 4ln 3 ln 4, .
ln 3
d
d d
1
3
El conjunto de Cantor.
Polvo de Cantor 2D (1.2619).
Dimensión topológica, 0.
Dimensión de Hausdorff-Besicovitch, 0,6309.
Polv
o d
e C
anto
r 3D
(1,8
928)
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Introducción a la Teoría de la Medida
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Introducción a la Teoría de la Medida
Dimensión topológica, 1.
Dimensión de Hausdorff, 1,585
El triángulo de Sierpinski.
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Introducción a la Teoría de la Medida La alfombra de Sierpinski.
Dimensión topológica, 1.
Dimensión de Hausdorff, 1,9828.
La esponja de Menger.
Dimensión topológica, 1.
Dimensión de Hausdorff, 2,7268.
http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal
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Introducción a la Teoría de la Medida
El conjunto de Mandelbrot.
Dimensión topológica, 1. Dimensión de Hausdorff, 2.
http://webs.um.es
Introducción a la Teoría de la Medida
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http://commons.wikimedia.org
El conjunto de Julia.
Introducción a la Teoría de la Medida
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www.sciface.com
wwww.wikimedia.org
El árbol de Pitágoras.
wwww.wikimedia.org
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La curva de Lévy.
ww
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ime
dia
.org
La curva del dragón.
jimloy.com
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