INTERPOLACIÓN 

   En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos. Veremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolación segmentaria (splines).Comencemos dando la definición general.

Definición. Dados 1n puntos que corresponden a los datos:

y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,

 

     Si existe una función )(xf definida en el intervalo nxx ,0 (donde suponemos

que nxxx 10 ), tal que ii yxf )( para ni ,,2,1,0 , entonces a )(xf se le llama una función de interpolación de los datos, cuando es usada para

aproximar valores dentro del intervalo nxx ,0 , y se le llama función de extrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera del intervalo.

   Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; por ejemplo, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones polinomiales, combinaciones de éstas, etc.

El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza de los datos que se están manejando, así como de los valores intermedios que se están esperando.

   Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación , sea único.

Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los datos, es el de menor grado posible.

Caso n=0

Tenemos los datos:

 

 

   En este caso, tenemos que 0)( yxf (polinomio constante) es el

polinomio de menor grado tal que 00 )( yxf , por lo tanto, es el polinomio de interpolación. 

Caso n=1 Tenemos los datos:

 

 

   En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que

)()( 001

010 xx

xxyyyxf

es el polinomio de interpolación.

La siguiente gráfica representa este caso:

 

Observación.

   Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1 se encuentra como primer término, 0y , que es el polinomio de interpolación del caso n=0.

Continuemos:

Caso n=2

Tenemos los datos:

 

 

   Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2. Tomando en cuenta la observación anterior, intuímos que el polinomio de interpolación será como sigue:

término cuadrático

 

Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como sigue:

 

))(()()( 102010 xxxxbxxbbxf

 

Si asignamos 0xx , se anulan los valores de 1b y 2b , quedándonos el resultado:

 

00 )( bxf

 

Como se debe cumplir que 00 )( yxf , entonces:

 

00 by

 

Si asignamos 1xx , el valor de 2b queda anulado, resultando lo siguiente:

 

)()( 01101 xxbbxf

 

   Como se debe cumplir que 11)( yxf y ya sabemos que 00 by ,

entonces )( 01101 xxbby , de lo cual obtenemos el valor para 1b :

 

101

01 bxxyy

 

Asignando 2xx , vamos a obtener :

 

))(()()( 1202202102 xxxxbxxbbxf

 

   Como se debe cumplir que 22 )( yxf , y ya sabemos que 00 by y

101

01 bxxyy

, sustituímos estos datos para después despejar el valor de 2b :

 

))(()( 120220201

0102 xxxxbxx

xxyyyy

 

De lo cual podemos hacer un despeje parcial para lograr la siguiente igualdad :

 

)()(

02212

0201

0102

xxbxx

xxxxyy

yy

 

   Ahora en el numerador del miembro izquierdo de la igualdad, le

sumamos un cero 11 yy , de tal manera que no se altere la igualdad:

 

 

   A continuación, aplicamos un poco de álgebra para así obtener los siguientes resultados:

 

 

Y finalmente despejando a 2b vamos a obtener :

 

02

01

01

12

12

2 xxxxyy

xxyy

b

 

Por lo tanto, el polinomio de interpolación para este caso es:

 

Observación.

   Vemos que efectivamente el polinomio de interpolación contiene al del caso anterior, más un término extra que es de un grado mayor, pero además vemos que cada uno de los coeficientes del polinomio de interpolación, se forman a base de cocientes de diferencias de cocientes de diferencias, etc. Esto da lugar a la definición de diferencias divididas finitas de Newton, como sigue:

 

DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS DE NEWTON

Las diferencias divididas finitas de Newton, se define de la siguiente manera:

 

ji

jiji xx

xfxfxxf

)()(

],[

 

ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

],[],[

],,[

0

011011

],,[],,[],,,,[xx

xxfxxfxxxxfn

nnnn

 

 

A manera de ejemplo citemos el siguiente caso específico :

 

03

0121230123

],,[],,[],,,[xx

xxxfxxxfxxxxf

donde a su vez:

 

13

1223123

],[],[],,[xx

xxfxxfxxxf

y

 

012

0112012

],[],[],,[xx

xxfxxfxxxf

 

Y donde a su vez:

23

2323

)()(],[xx

xfxfxxf

 

etc.

 

Podemos ahora definir nuestro primer tipo de polinomio de interpolación.

 

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS 

 

Dados 1n datos:

 

 

- El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:

 

110102010 nn xxxxxxbxxxxbxxbbxf

 

donde :

 

00 xfb

],[ 011 xxfb

0122 ,, xxxfb

0,, xxfb nn

 

   Para calcular los coeficientes nbbb ,,, 10 , es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente :

 

   Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas. 

Ejemplo 1. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

 

   Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.

 

Solución. Procedemos como sigue:

 

 

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es :

 

)2)(1)(2(3.0)1)(2(25.0)2(24)( xxxxxxxf

 

Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

 

   Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.

Solución. Procedemos como sigue:

 

 

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda :

 

))(2)(3(20238.0)2)(3(66667.1)3(35)( xxxxxxxf

 

   Antes de ver el siguiente tipo de polinomio de interpolación, veamos como el imponer la restricción del grado mínimo, implica la unicidad del polinomio de interpolación.

 

 

TEOREMA .

    Si nxxx ,,, 10 son números reales distintos, entonces para valores

arbitrarios nyyy ,,, 10 existe un polinomio único xfn , de a lo más grado n, y tal que:

 

iin yxf para toda ni ,,2,1,0

 

DEMOSTRACIÓN.

   En realidad, no probaremos formalmente la existencia de un polinomio de interpolación, aunque informalmente aceptamos que dada cualquier tabla de datos, el polinomio de Newton siempre existe.

Probemos la unicidad del polinomio de interpolación.

Supongamos que xgn es otro polinomio de interpolación de a lo más grado n,

Sea xgxfxh nnn

0 iiininin yyxgxfxh para todo ni ,2,1,0

 

Por lo tanto, xhn tiene 1n raíces distintas, y es un polinomio de grado a lo más n, esto solamente es posible si 0xhn .

xgxf nn

 

Que es lo que queríamos probar.

 

   Sin embargo, aunque el polinomio de interpolación es único, pueden existir diversas formas de encontrarlo. Una, es mediante el polinomio de Newton, otra mediante el polinomio de Lagrange.

 

 

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Nuevamente tenemos los datos : 

  El polinomio de interpolación de Lagrange se plantea como sigue: 

)()()()( 1100 xlyxlyxlyxP nn  Donde los polinomios )(xli se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos. Como se debe satisfacer que 00 )( yxP , esto se cumple si 1)( 00 xl y

0)( 0 xli para toda 0i .

Como se debe satisfacer que 11)( yxP , esto se cumple si 1)( 11 xl y 0)( 1 xli para toda 1i .

Y así sucesivamente, veremos finalmente que la condición nnn yxP se cumple si 1nn xl y 0ni xl para toda ni .Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser más claros, analicemos detenidamente el polinomio )(0 xl . De acuerdo al análisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para )(0 xl :

1)( 00 xl y 0)(0 jxl , para toda 0j

Por lo tanto, planteamos )(0 xl como sigue: no xxxxxxcxl 21

   Con esto se cumple la segunda condición sobre )(0 xl . La constante c se determinará para hacer que se cumpla la primera condición: 

nxxxxxxcxl 0201000 11

nxxxxxxc

02010

1

 Por lo tanto el polinomio )(0 xl queda definido como:

n

n

xxxxxxxxxxxxxl

02010

210

 Análogamente se puede deducir que: 

jiij

jii

j xx

xxxl

)(

)(

, para nj ,,1

 Ejemplo 1 Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos: 

Solución. Tenemos que: 

)()()()()( 3321100 xlyxlyxlyxlyxf

)(3)(2)()(2)( 3210 xlxlxlxlxf

 donde:

48)7)(5)(3(

)6)(4)(2()7)(5)(3()(0

xxxxxxxl

 

16)7)(5)(1(

)4)(2)(2()7)(5)(1()(1

xxxxxxxl

 

16)7)(3)(1(

)2)(2)(4()7)(3)(1()(2

xxxxxxxl

 

48)5)(3)(1(

)2)(4)(6()5)(3)(1()(3

xxxxxxxl

 Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue: 

16

)5)(3)(1(8

)7)(3)(1(16

)7)(5)(1(24

)7)(5)(3()( xxxxxxxxxxxxxf

 Ejemplo 2. Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos: 

Solución. Tenemos que: 

)()()()()( 3321100 xlyxlyxlyxlyxf

)(2)(3)()()( 3210 xlxlxlxlxf  donde: 

48)4)(2(

)6)(4)(2()4)(2)(0()(0

xxxxxxxl

 

16)4)(2)(2(

)4)(2)(2()4)(2)(2()(1

xxxxxxxl

 

16)4)(2(

)2)(2)(4()4)(0)(2()(2

xxxxxxxl

 

48)2)(2(

)2)(4)(6()2)(0)(2()(3

xxxxxxxl

  Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda como sigue: 

24

)2)(2(16

)4)(2(316

)4)(2)(2(48

)4)(2()( xxxxxxxxxxxxxf

   En el capítulo de integración numérica, usaremos nuevamente a los polinomios de Lagrange.  

INTERPOLACIÓN DE SPLINES 

   Terminamos este capítulo, estudiando un tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura, y que inclusive es usado para el diseño por computadora, por ejemplo, de tipos de letra. Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente.

   Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.

Definición. (Splines de grado k) Dada nuestra tabla de datos, 

 donde suponemos que nxxx 10 , y dado k un número entero positivo, una función de interpolación spline de grado k, para la tabla de datos, es una función )(xs tal que :i) ii yxs )( , para toda ni ,,1,0 .ii) xs es un polinomio de grado k en cada subintervalo ii xx ,1 .iii ) xs tiene derivada contínua hasta de orden 1k en nxx ,0 .  FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1 Dados los 1n puntos

 

    Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue:

    Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, tenemos que para ested caso:

nnn xxxsixs

xxxsxsxxxsixs

xs

,

,,

)(

1

212

101

 donde:  i) xs j es un polinomio de grado menor o igual que 1 ii) xs tiene derivada continua de orden k-1=0. iii) jj yxs , para nj ,,1,0 .Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como : 

nnnnnn xxxsixxxxfy

xxxsixxxxfyxxxsixxxxfy

xs

,,

,,,,

1111

211121

100010

 donde ],[ ji xxf es la diferencia dividida de Newton.  FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2 Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos : 

 Y procedamos a calcular la interpolación por splines de grado 2.Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos : 

9,7

7,5.45.4,3

    En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue: 

9,77,5.45.4,3

332

3

222

2

112

1

xsicxbxaxsicxbxaxsicxbxa

xs

 

   Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir, se debe cumplir que:

 5.0)9(,5.2)7(,1)5.4(,5.2)3( ssss

Así, se forman las siguientes ecuaciones: 

5.2395.2)3( 111 cbas

15.4)5.4(15.4)5.4(

1)5.4(222

2111

2

cbacba

s

5.27495.2749

5.2)7(333

222

cbacba

s

5.09815.0)9( 333 cbas  Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incógnitas.El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas contínuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada contínua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua.Calculamos primero la primera derivada: 

9,727,5.425.4,32

33

22

11

xsibxaxsibxaxsibxa

xs

 

   Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son 5.4x y 7x . Por lo tanto para que xs sea contínua, se debe cumplir que: 

2211 5.425.42 baba o lo que es lo mismo, 2211 99 baba  También debe cumplirse que: 

3322 7272 baba o lo que es lo mismo, 3322 1414 baba     Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incognitas; esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimos por simple conveniencia 01 a .   De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas. Estas son las siguientes: 

3322

221

333

333

222

222

11

11

14149

5.09815.27495.2749

15.425.2015.45.23

bababab

cbacbacba

cbacb

cb

 Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial: 

005.05.25.2

115.2

01140114000000190119810000017490000000017490000015.425.200000000015.400000013

3

3

3

2

2

2

1

1

cbacbacb

 Usando Mathematica se obtiene la siguiente solución:

 

3.916.246.1

46.1876.6

64.05.51

3

3

3

2

2

2

1

1

cbacbacb

    Sustituyendo estos valores (junto con 01 a ), obtenemos la función spline cuadrática que interpola la tabla de datos dada: 

9,73.916.246.17,5.446.1876.664.05.4,35.5

2

2

xsixxxsixxxsix

xs

    La gráfica que se muestra a continuación, contiene tanto los puntos iniciales de la tabla de datos, así como la spline cuadrática. Esta gráfica se generó usando Mathematica.                  El siguiente caso, que es el más importante en las aplicaciones, sigue exactamente los mismos pasos del ejemplo que acabamos de resolver, solamente que en vez de trabajar con polinomios cuadráticos, lo hace con polinomios cúbicos.  FUNCIONES SPLINES CUBICAS    Para hacer más firme el entendimiento, escribimos la definición correspondiente a este caso (k=3).

3 4.5 7 9

-1

1

2

3

4

5

 

Dados los 1n datos: 

    Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función )(xs definida como sigue : 

nnn xxxsixs

xxxsixsxxxsixs

xs

,

,,

11

211

100

 donde cada xsi es un polinomio cúbico; iii yxs , para toda

ni ,,1,0 y tal que xs tiene primera y segunda derivadas contínuas en nxx ,0 . Ejemplo 1.Interpolar los siguientes datos mediante una spline cúbica : 

 Solución.Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman: 

5,33,2

222

23

2

112

13

1

xsidxcxbxaxsidxcxbxa

xs

    A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que: 

124812 1111 dcbas

2392723 1111 dcbas

752512575 2222 dcbas 

Ahora calculamos la primera derivada de xs : 

5,3233,223

222

2

112

1

xsicxbxaxsicxbxa

xs

    Al igual que en el caso de las splines cuadráticas, se presentan ecuaciones que pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 3x . Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 3x en los dos polinomios e igualamos: 

222

2112

1 32333233 cbacba  o lo que es lo mismo: 

222111 627627 cbacba  Análogamenete procedemos con la segunda derivada : 

5,3263,226

22

11

xsibxaxsibxa

xs

 Para lograr que xs sea continua : 

2211 236236 baba

2211 218218 baba     En este punto contamos con 6  ecuaciones y 8 incognitas, por lo tanto tenemos 2 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 2 condiciones: 

0

00

nxsxs

 De lo cual vamos a obtener : 

022602 11 bas

0212 11 ba 025605 22 bas

0230 22 ba    Con lo cual, hemos completado un juego de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas, el cual es el siguiente: 

02300212

218218627627

752512523927

239271248

22

11

2211

222111

2222

2222

1111

1111

baba

babacbacba

dcbadcba

dcbadcba

 Cuya forma matricial es la siguiente : 

00007

221

002300000000000212002180021801627016271525125000013927000000001392700001248

2

2

2

2

1

1

1

1

dcbadcba

Usando Mathematica, obtenemos la siguiente solución: 

125.50875.39375.9

625.05.075.10

5.725.1

2

2

2

2

1

1

1

1

dcbadcba

    Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue:  

5,3125.50875.39375.9625.03,25.075.105.725.1

23

23

xsixxxxsixxx

xs

    Mostramos la gráfica correspondiente a este ejercicio, creada tambien en Mathematica. 

   Obsérvese la finura con la que se unen los polinomios cúbicos que conforman a la spline. Prácticamente ni se nota que se trata de dos polinomios diferentes!. Esto es debido a las condiciones que se impusieron sobre las derivadas de la función. Esta finura casi artística, es la que permite aplicar las splines cúbicas, para cuestiones como el diseño de letras por computadoras, o bien a problemas de aplicación donde la interpolación que se necesita es de un caracter bastante delicado, como podría tratarse de datos médicos sobre algún tipo de enfermedad. 

Ejemplo 2.Interpolar los siguientes datos utilizando splines cúbicas: 

 Solución.Nuevamente, definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos: 

4,22,11,1

)(

332

33

3

222

23

2

112

13

1

xsidcxbxaxsidxcxbxa

xsidxcxbxaxs

    Despues, hacemos que la spline pase por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:

1)1( s implica que,11111 dcba

1)1( s implica que, 11111 dcba12222 dcba

5)2( s implica que,  

5248 2222 dcba5248 3333 dcba

 Y finalmente 2)4( s implica que,  

241664 3333 dcba Enseguida, calculamos la primera derivada: 

4,2232,1231,123

)(

332

3

222

2

1112

1

xsicxbxaxsicxbxa

xsicxbxaxs

    Vemos entonces, que las posibles discontinuidades de )(xs son

1x y 2x . Por lo tanto, para hacer que )(xs sea contínua, igualamos las ecuaciones correspondientes en ambos valores : 

222111 2323 cbacba

333222 412412 cbacba  Ahora procedemos a calcular la segunda derivada: 

4,2262,1261,126

)(

33

22

11

xsibxaxsibxa

xsibxaxs

    Nuevamente, las posibles discontinuidades son 1x y 2x . Por lo tanto, para que )(xs sea contínua , se igualan las ecuaciones en ambos valores : 

22112211 332626 babababa

33223322 66212212 babababa  

   Finalmente, se agregan las condiciones de que la doble derivada se anule en los puntos inicial y final de la tabla. En este caso,  

030260)1( 1111 babas01202240)4( 3333 babas

 Con esto tenemos un juego de doce ecuaciones vs. doce incógnitas: 

11111 dcba11111 dcba12222 dcba

5248 2222 dcba

5248 3333 dcba241664 3333 dcba

222111 2323 cbacba

333222 412412 cbacba

2211 33 baba

3322 66 baba 03 11 ba012 33 ba

 Este sistema tiene la siguiente forma matricial: 

0000002

55111

00112000000000000000000130016001600000000001300130141201412000000000123012314166400000000124800000000000012480000000011110000000000001111000000001111

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

dcbadcbadcba

Usando Mathematica, obtenemos la solución : 

14051

1 a, 10

212 a

, 3524

3 a

140153

1 b, 35

2972 b

, 35288

3 b

 

14089

1 c, 70

4732 c

, 701867

3 c

 

40153

1 d, 35

482 d

, 35732

3 d

 

Por lo tanto, la spline cúbica es:

 

4,22,11,1

)(

35732

7018672

352883

3524

3548

704732

352973

1021

40153

140892

1401533

14051

xsixxxxsixxx

xsixxxxs

 Finalmente, mostramos la gráfica correspondiente (creada en Mathematica):                   

EJERCICIOS 

NOTA: CUANDO SEA NECESARIO, REDONDEA A CINCO DECIMALES.

1. 1. Calcula el polinomio de interpolación de Newton para los siguientes datos:

 

i) i)                    8.74.235.0

4122

yx

ii) 1296035.12.19.06.03.0

yx

Soluciones:

)1)(2)(2(4625.0)2)(2(925.0)2(875.05.0)() xxxxxxxfi)9.0)(6.0)(3.0(18519.185)6.0)(3.0(50)3.0(103)() xxxxxxxfii

)2.1)(9.0)(6.0)(3.0(53088.447 xxxx 

2. Calcula el polinomio de Lagrange para los siguientes datos:

-1 1 2 4

-2

2

4

6

8

 

i) 9.857.254.356.15321

yx

 

ii) ii)                  0335294215.05.1

yx

 Soluciones: 

80

)5)(2)(1(57.245

)5)(3)(1(54.336

)5)(3)(2(56.1)() xxxxxxxxxxpi

144

)3)(2)(1(9.8 xxx

  

875.7

)4)(2)(1)(5.1(2125.3

)4)(2)(1)(5.0(9)() xxxxxxxxxpii

5.4

)4)(1)(5.0)(5.1(3325.56

)4)(2)(5.0)(5.1(5 xxxxxxxx

 

2. 3. Calcula las splines cúbicas para los siguientes datos:

 

i) i)                    20540312

yx

ii) ii)                  4064207325

yx

 

Soluciones:

3,1125.8125.16375.3375.01,25.725.145.125.0

)()23

23

xsixxxxsixxx

xsi

  

7,33,22,5

)()

263860

789105112

52620933

1578299

13158012

3945156192

263022573

78901241

7895860

78947032

526753

5265

xsixxxxsixxx

xsixxxxsii