UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALAFACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE CIENCIASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

TAREA No. _1

_____________________________________________________Proyecto 1

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DESCRIPCIÓN DE CALIFICACIÓN

Presentación  

Ejercicios resueltos  

Ejercicio(s) calificado(s)  

CALIFICACIÓN TOTAL  

TABLA DE CONTENIDO

Introducción

Marco teórico

plano tangente y la recta normal a una superficie

Marco practico

Conclusiones

Bibliografía

INTRODUCCIÓN

El mundo evoluciona día a día, avanzando en el método de realización de cálculos, por lo cual es necesario que el estudiante de ingeniería se encuentre a la vanguardia de estos adelantos tecnológicos como lo son los programas de cálculo en los cuales se apreciaran de manera más eficiente las gráficas, se realizan operaciones con más rapidez, por lo cual es que a continuación se presenta un proyecto realizado en Wolfram Mathematica 7, representando una superficie en el espacio tridimensional

Marco Teórico

PLANOS TANGENTES

Suponga que una superficie S tiene por función a z=f(x,y), donde las primeras derivadas parciales de f son continuas, y sea p(x0 , y0 , z0) un punto en S. sean C1 y

C2 las curvas que se obtienen al cortar los planos verticales y= y0y x=x0con la superficie S por lo tanto, el punto P se encuentra tanto en C1 como en C2. Sean T1 y T2 las rectas tangentes a las curvas C1 y C2 en el punto P. entonces EL PLANO TANGENTE a la superficie S en el pinto P se define como el plano que contiene tanto a las rectas tangentes T1 y T2.

PLANOS TANGENTES A SUPERFICIES DE NIVEL

Suponga que S es una superficie cuya ecuación es f ( x , y , z )=k, es decir, es una

superficie de nivel de una función f de tres variables, y sea p(x0 , y0 , z0) un punto en S. Sea C una curva que queda en la superficie S y pasa por el punto P (la curva C

se describe mediante una ecuación vectorial continua r=⟨x (t ) , y (t ) , z (t ) ⟩sea t 0 el

valor del parámetro que corresponde a P; es decir, r (t 0 )= ⟨x0 , y0 , z0 ⟩ puesto que C

está en S cualquier punto ⟨ x (t ) , y (t ) , z (t ) ⟩ debe cumplir con la ecuación de S es

decir F (x ( t ) , y ( t ) , z (t ) )=k

Si x,y&z son funciones diferenciables de t y F es también diferenciable entonces se aplica la regla de la cadena para derivar ambos miembros de la ecuación

∂F∂ x

dxdt

+ ∂ F∂ y

dydt

+ ∂ F∂ zdzdt

=0

Pero como ∇F . r ´ ( t )=0

En particular cuando, cuando t=t 0 tiene r (t 0 )= ⟨x0 , y0 , z0 ⟩ de modo que

∇F (x0 , y0 , z0 ). r ´ (t 0 )=0

Lo cual establece que el vector gradiente en P, ∇F (x0 , y0 , z0 ) es perpendicular al

vector tangente r ´ (t 0 ) a cualquier curva C en S que pasa por P

Se escribe la ecuación del plano tangente como

f x (x0 , y0 ) (x−x0 )+ f y (x0 , y0 ) ( y− y0 )+f z (x0, y0 ) ( z−z0 )=0

LA RECTA NORMAL

La recta normal a S en P es la recta que pasa por P y es perpendicular al plano tangente la dirección de la recta normal está definida por lo tanto por el vector

gradiente ∇F (x0 , y0 , z0 ), sus ecuaciones simétricas son

x−x0f x (x0 , y0 , z0 )

=y− y0

f y (x0 , y0 , z0 )=

z−z0f z (x0 , y0 , z0 )

Bibliografía

Stewart J. derivadas parciales: Calculo trascendentes tempranas, Sexta edición. Thomson- Learning editores.2008 p.892-918

TABLA DE CONTENIDO

1. Introducción

2. Marco teórico

3. Marco practico

Problema 1 Cálculo de límites

Análisis numérico Análisis grafico Análisis algebraico

Problema 2

Calculo primera derivada Representación grafica de la función y su derivada en el intervalo

dado. Acercamiento de la derivada en los valores máximos y mínimos. Representación grafica del acercamiento. Valor de x en donde se localiza el máximo o el mínimo determinado

mediante la grafica. Resolviendo la ecuación f`(x) = 0 Comparando los resultados de la ecuación con los de la grafica Determinar en qué intervalos la función es creciente y en cuales es

decreciente.

4. Resultados

5. Conclusiones

6. Bibliografía

INTRODUCCIÓN

Un sistema algebraico computacional (SAC) es un programa de ordenador o calculadora avanzada que facilita el cálculo simbólico. La principal diferencia entre un SAC y una calculadora tradicional es la habilidad del primero para trabajar con ecuaciones y fórmulas simbólicamente, en lugar de numéricamente. Es decir, una expresión como a + b es interpretada siempre como "la suma de dos variables", y no como "la suma de dos números" (con valores asignados). Un SAC nos permite automatizar manipulaciones tediosas o difíciles, como por ejemplo, desarrollar

expresiones como limn→∞ (1+ 1n )

n

La facultad de ingeniería sabe que es necesario estar a la vanguardia tecnológica, por lo cual es que nos propone la realización de proyectos tales como el que a continuación se presenta.

MARCO TEÓRICO

Idea intuitiva de límite:

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las

imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el

valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0

Definición formal de límite:

El límite de una función f (x) en un valor x=a, se entiendo como el valor y=L al que se acercan los valores y de la función cuando x toma valores muy cercanos a x=a, siempre y cuando a y L sean números ralaes es decir:

limx→a

f ( x )=L

Para que este límite exista y tome el valor y=L, debe cumplirse que los limites unilaterales a la izquierda y derecha de este valor también deben existir y ser iguales es decir:

1. El limite a la izquierda dex=a−¿¿, existe y es y=L lo cual se expresa de la forma siguiente:

limx→a−¿ f ( x )=L¿

¿

Interpretándose de la forma siguiente: si x se le dan valores muy cercanos a x=a por el lado izquierdo x=a−¿¿ entonces los valores de y de la función se acercaran a L “y=L”

2. El limite a la derecha de x=a+¿¿, existe y es y=L lo cual se expresa de la forma siguiente:

limx→a+¿ f (x )=L¿

¿

Interpretándose de la forma siguiente: si x se le dan valores muy cercanos a x=a por el lado derecho x=a+¿¿ entonces los valores de y de la función se acercaran a L “y=L”

3. Los límites unilaterales deben de ser iguales. lim

x→a−¿ f ( x )=¿ limx→ a+¿f ( x )=L ¿

¿¿¿¿

Idea intuitiva de límite:

La derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva.

Definición formal de derivada:

Sea f (x) una función que es continua en un intervalo abierto x ϵ (b ,c), donde b<x<c, entonces la función que permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto del intervalo viene dado en forma general por:

mt ( x )=f ´ (x )=limh→0

( f ( x+h )−f (x)h )

Donde f ´ (x) se define como la derivada de f en x, siempre que el limite exista.

Concavidad (definición)

Sea una función f que es continua y diferenciable en un intervalo abierto (a, b) entonces la concavidad de f es:

CÓNCAVA HACIA ARRIBA, si f´(x) es creciente en el intervalo, es decir si al recorrer la grafica de izquierda a derecha en el intervalo (a, b) los valores de las pendientes de las rectas tangentes crecen, en este caso se puede observar que la grafica de la función esta sobre todas las rectas tangentes en el intervalo.

CÓNCAVA HACIA ABAJO, si f´(x) es decreciente en el intervalo, es decir si al recorrer la grafica de izquierda a derecha en el intervalo (a, b) los valores de las

pendientes de las rectas tangentes decrecen, en este caso se puede observar que la grafica de la función esta debajo de todas las rectas tangentes en el intervalo.

MARCO PRÁCTICO

CONCLUSIÓN

Un sistema algebraico computacional como el utilizado en el proyecto facilita la realización de diversos cálculos así como sus representaciones graficas, también se realiza de una manera más precisa que como se aria normalmente sin la ayuda del mismo.

Con la utilización de un sistema algebraico computacional la presentación de un trabajo con cálculos se realizara de una manera más formal, con la ayuda del mismo podremos verificar nuestros resultados de manera grafica.

BIBLIOGRAFÍA

Stewart J. derivadas y razones de cambio: Calculo trascendentes tempranas, Sexta edición. Thomson- Learning editores.2008 p.82-169

Ing. Mario René De León García. "derivada de una función”. (5 Diciembre 2011) p. 2Ing. Mario René De León García. "derivada de una función”. (12 Diciembre 2011) p. 4