Inteligencia artificial

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Razonamiento

LógicoDifusoAmbiguoAproximado…Temporal

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Razonamiento temporal

Es un subcampo de la inteligencia artificial(I.A.), útil en la comprobación del papel deltiempo en la representación del conocimiento yel razonamiento.Su objetivo principal es la aplicación del tiempoen el razonamiento.

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Razonamiento temporal

Algunos problemas que presentan los sistemasbasados en reglas son:

El concepto tiempo está oculto en los procesos debúsqueda de la máquina de inferencia.

Los aspectos simbólico y lógico se mezclan de maneraconfusa con lo puramente temporal.

No existe una representación explícita del tiempo.

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La importancia del RT se visualiza en problemas enlos que se involucran relaciones causales ytemporales como son:

Predecir determinados estados de un fenómeno.

Explicar cómo ha llegado el mundo al presente.

Proyectar situaciones deseadas del mundo.

Aprender reglas que determinan los cambios de unproceso.

Razonamiento temporal

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El razonamiento temporal es visto como unproblema de satisfacción de restricciones(cualitativas y cuantitativas) acerca de lalocalización de variables temporales a lo largodel tiempo usando trayectorias consistentes ybúsquedas en reversa.

Razonamiento temporal

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Restricciones cualitativas para un Punto:

Las variables representan puntos en el tiempo yexisten tres restricciones primitivas <, =, >.La composición de una restricción con ella misma ouna equivalencia que resulte en restricción dará unacomposición con una restricción redundante.

Restricciones en el RT.

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Restricciones cuantitativas para un punto:

Las restricciónes primitivas, limitan la distancia entredos puntos en el tiempo X y Y que están en elintervalo a:b, (a < (Y - X) < b ), donde a y b sonnúmeros enteros o ∞.La composición de los intervalos a:b con c:d resultacomo (a+c):(b+d), y la intersección enmax(a,c):min(b,d).

Restricciones en el RT.

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Restricciones en intervalos: existen 13 restricciones primitivasposibles entre dos intervalos, igualdades y otras 6 relacionescon sus conversiones. Estas restricciones pueden ser definidasen términos de puntos finales de los intervalos. Sea I=[X,Y],J=[U,V].

I es igual a J sí X = U < Y = V I es anterior a J sí X < Y < U < VI durante J sí U < X < Y < V I superpuesto a J sí X < U < Y < VI se encuentra con J sí X < Y = U < V I inicia J sí X = U < Y < VI finaliza J sí U < X < Y = V

Sus contrarios son igual, posterior a, contiene, superpuesto por,iniciado por, finalizado por.

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Restricciones entre Puntos e Intervalo. Hay 5 posiblesrestricciones primitivas entre un punto y un intervalo. Sea Xun punto y J = [U,V] un intervalo.

X panterior a J sí X < U < VX pposterior a J sí U < V < XX pdurante J sí U < X < VX pinicia J sí X = U < V

X pfinaliza J sí U < X = V

Sus contrarios expresan restricciones intervalo-punto

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Lógica temporal

Es una rama desarrollada a partir de la lógica modalen donde cada fórmula temporal es interpretadacomo verdadera o falsa al compararla contra unmodelo del mundo.

Esta lógica permite que la operación de un sistemase defina de manera no determinística.

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Extensión del cálculo de predicados que incluye eltiempo.Las proposiciones pueden tener valores deverdad diferentes en diferentes instantes detiempo.Una proposición con valor verdadero ahorapuede no tener valor verdadero un momentodespués.Y una sentencia falsa ahora puede nopermanecer así en el futuro.

Lógica temporal

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⊗ ◊a: eventualmente a será verdadera.⊗ [ ]a: de aquí en delante a es verdadera.⊗ °a: el próximo estado (instante de tiempo), a seráverdadera.⊗ •a: a fue verdadero en el estado (instante de tiempo)anterior.⊗ a⇒ b: a estrictamente implica b, es decir, que en adelante sia es verdadera entonces b será verdadera. (a ⇒ b) = [ ]( a →b).

Operadores

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al a U b: a es verdadera hasta el siguiente estado (instante detiempo) en que ocurra b. a = b: Significa que a es estrictamente equivalente a b.(a=b) =[ ] (a ≡ b)

Existen otros operadores:– Atnext : “Mientras”. Tiene el mismo valor de verdad solo

mientras que ocurra otro suceso (en el mismo instante). ~ ◊– Until : “Hasta”. Tiene el mismo valor de verdad hasta que

ocurre otro suceso.

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Unless: “A menos que”– a unless b: Se mantiene el valor de a a menos que

suceda b.

While: “Mientras”– a while b: Se mantiene el valor de a mientras se

mantenga el de b.

Before: “Antes de”– a before b: Si se mantiene el valor de b entonces se

mantiene el valor de a.

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Leyes LTA

En similitud a las leyes de DeMorgan para la lógicaclásica.

– Leyes conmutativas·○a ↔ ○·a◊·a ↔ ·◊a

– Leyes de dualidad: ⌐○a ↔ ○⌐a⌐·a ↔ ◊⌐a⌐◊a ↔ ·⌐a

– Leyes de reflexividad:·a → aa → ◊a

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– Leyes de idempotencia··a ↔ ·a◊◊a ↔ ◊a

– Leyes distributivas:○(a → b) ↔ ○a → ○b○(a ∩ b) ↔ ○a ∩ ○b○(a U b) ↔ ○a U ○b○(a atnext b) ↔ ○a atnext ○b·(a ∩ b) ↔ ·a ∩ ·b◊(a U b) ↔ ◊a U ◊b(a ∩ b) atnext c ↔ a atnext c ∩ b atnext c(a U b) atnext c ↔ a atnext c U b atnext c

Leyes LTA

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El sistema formal ∑TA

Se usa para la derivación formal de algunas fórmulas.– Axiomas:

⌐○a↔○⌐a○(a→b)↔(○a→○b)·a →a ∩ ○·a○ ·⌐a → (a atnext b)(a atnext b) → ○(a → b) ∩ ○(⌐b → a atnext b)

– Reglas:a, a →b├ b,a├○a,a →b, a →○a├ a →·b.

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Principios de Inducción

En el sistema formal ∑TA, cada fórmula validapuede ser derivada. Por ejemplo para derivar:

a →· b.La regla (ind) :

a → b, a →○a├ a →·bQue está contenida en ∑TA.Para estar seguro de que a →·b, debemos verificarsi a →b y si es invariante en cualquier estado detransición.

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Lógica Temporal de Primer Orden

La lógica temporal puede ser desarrollada desdesus bases proposicionales a una lógica depredicados de primer orden en forma similar acómo es hecho en el caso clásico.Sea LP un lenguaje clásico de primer orden. Unlenguaje temporal de primer orden LTP es unaextensión de LP donde: LTP contiene todo LPadicionando los símbolos ·, ○ y atnext (esto es:incluyendo el tiempo).

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La definición inductiva de formulas es como sigue:– Cada formula atómica es una formula.– Si a y b son formulas entonces ⌐a,(a → b),○a, ·a y (a

atnext b) son formulas.– Si a es una formula y X es una variable global entonces Xa

es una fórmula.

De igual manera que en la lógica clásica.

Lógica Temporal de Primer Orden

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Una estructura temporal (de primer orden)K =(S,ξ,W) para un LTP

consiste en:– Una estructura S para el kernel LP del LTP

– Una valoración de la variable global ξ respecto a S.– Una secuencia infinita W = {η0 ,η1, η2,…}de estados

donde cada ηi es una valoración de la variable globalrespecto a S.

Lógica Temporal de Primer Orden

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– Ki(A)= S(ξ ,ηi) (A) para toda fórmula atómica.– Ki(⌐A) = t iff Ki (A) = f– Ki(A→B) = t iff Ki (A) = f or Ki(B)=t– Ki(○A) = t iff Ki+1(A) =t– Ki(·A) = t iff Kj(A) =t para todo j ≥ i– Ki(A atnext B)= t iff Kj(B) = f para todo j > i or

Kk(A) = t para el mas pequeño valor de k>i conKk(B) = t

– Ki(x A) = t iff K´i(B) =f para cada estructura temporalK´(S,ξ´,W)) = t ξ´(y) = ξ(y) para cada y.

Lógica Temporal de Primer Orden

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El sistema formal ∑TP

– ⌐○a↔○⌐a– ○(a→b)↔(○a→○b)– ·a →a ∩ ○·a– ○ ·⌐a → (a atnext b)– (a atnext b) → ○(b → a) ∩ ○(⌐b → a atnext b)– Xa → aX(t) si t es sustituible por X en a,– X○a→○Xa– a→○a si a no contiene variables locales.

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El sistema formal ∑TP

De todo lo anterior se puede concluir que:– X○a ↔ ○Xa– X·a ↔ ·Xa– X◊a ↔◊Xa– X(a atnext b) ↔ Xa (atnext b) si no hay libre

ocurrencia de X en b.– X(a atnext b) ↔ Xa (atnext b) si no hay libre

ocurrencia de X en b.

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⊗ Hay muchos elevadores en servicio para variospisos.⊗ En el tablero de cada elevador existe un conjuntode botones de destino (uno para c/piso), los cualespermanecen prendidos hasta que el elevador llega alpiso seleccionado.⊗ También en el tablero hay dos indicadores dedirección (up - down)⊗ En c/elevador hay un conjunto de luces que indicanen qué piso se encuentra.

El Problema del Elevador

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1 2

3 4

5

1 2 3 4 51 2 3 4 5

1 2

3 4

5

pos_eli,m

Elevadori-ésimo

el_direccioni,up

diri,b

el_doors_closed i

el_dest_depri,m

el_dest_liti,m

En el Elevador

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♣ En cada piso hay dos botones de llamado para el elevadoruno para subir y el otro para bajar. Al oprimirlos seiluminan y permanecen así hasta que el elevador arriva en ladirección seleccionada.♣ Al lado del elevador se encuentran dos luces que indicanen qué dirección se está moviendo éste cuando llega a cadapiso.♣ Las puertas del elevador pueden encontrarse abiertas ocerradas. Así mismo, en cada piso existen dos puertas porcada elevador. Ambas puertas (del elevador y del piso) seránabiertas o cerradas por las personas que entran o dejan elelevador.

En los pisos

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Piso m

fl_directioni,j

fl_sumn_deprm,j

fl_sumn_litm,j

En los pisos

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♦ Conjunto de elevadores , I = {1,2, .,i,.. , n}

♦ Conjunto de direcciones, J = {up,down}

♦ Secuencia de pisos M = [1,2, ... ¦M¦]; M- = [1,2, ...¦M-1¦]; M_ = [2, ... ¦M¦], ...

Variables del sistema

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Condiciones de seguridad

Las condiciones de seguridad describen condicionesdel funcionamiento que son imposibles. La mayoríade las condiciones de seguridad en este contexto sonnecesarias para describir condiciones que sonmutuamente inconsistentes, como el hecho que elascensor no puede ir hacia arriba y hacia abajo almismo tiempo. Hay unas pocas operaciones absurdasprohibidas como que las luces se enciendan por supropia voluntad.

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TableroEl ascensor debe solo indicar una de las dosdirecciones de movimiento. Si ambosindicadores están apagados significa que elascensor esta detenido.∀ i ∈ I, [] ¬ ( dir_el i, up ∧ dir_el i,down)

El elevador puede mostrarse en un piso a lavez.∀ i ∈ I, ∃ m ∈ M , pos_el i,m ⇒ (∀κ ∈ (M - m1), ¬pos_el i,k)

Cuando el botón de destino esta iluminado,este debe haberse oprimido anteriormente.∀ (i,m) ∈ IM, botdes i,m ⇒ · (botdes i,m ∨el_dest_depr i,m)

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En el piso(1)

1) Para cada ascensor solo una luz de arribopuede estar encendida a la vez.∀ (i,t,m) ∈ M dir_luz i,t ⇒ pos_el i,m ∧ (∀ (s,l) ∈ ( M-(m)), ¬ dir_luz i,m,s)

2) Indicador de dirección primero y ultimopiso no existen∀ ι ∈ I, [] (¬ dir_luz i,1,down ∧ ¬ dir_luz i,M,up)

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En el piso(2)

3) Los botones de llamada del ascensorsolo se encienden si anteriormente sehan oprimido∀ (m,j) ∈ MJ, botll m,j ⇒ • (botll m,j ∨ botllom,j)

4) Las puertas de cada piso solo puedenestar abiertas si las puertas del ascensorestán abiertas y el ascensor esta en elpiso.∀ (i,m) ∈ IM, [] ¬ pucer i,m ≡ ¬ pucer i,m ∧pos_el i,m

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Punto de vista del sistema deIngeniería

El punto de vista del usuario se mantiene bajo todaslas condiciones, pero hay muchos refinamientos quepueden ser agregados para hacer que el sistematrabaje eficazmente. Por ejemplo, teniendo cadaascensor que va de arriba y abajo continuamente,deteniendose en cada piso, satisfaría las condicionesdel usuario, con la excepción del servicio justo yeficaz.

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El ascensor i, está inactivo en el piso m esrepresentado por la variable qui i,m . Las condicionespara que esto sea cierto es que las puertas esténcerradas, ningún boton de destino en el ascensor ni enel piso esta iluminado.∀ (i,m) ∈ IM, qui i,m =pucer i ∧ pos_el i,m ∧ ( ∀ j ∈ J,¬ diri,j ∧ ¬ dir_luz i,m,j)

Condiciones de inactividad

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Condiciones de imparcialidad

Las condiciones de imparcialidad representanrestricciones para la manera en que las condicionesno-deterministas se manejan. Las condiciones deimparcialidad afirman en tales casos, el mismocamino no siempre es tomado. Por ejemplo cuandoel sistema esta inactivo, y los botones de llamada dearriba y abajo son simultáneamente iluminados, elsistema no siempre debe seleccionar una de lasdirecciones.∀ (i,m) ∈ IM, (qui i,m ∧ botll m,down ∧ botll m,up)⇒ °( dir_luz i,m,down ∨ dir_luz i,m,up)

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Punto de vista del usuario

Empezamos describiendo la vista del usuariode cómo el ascensor debe operar. Esta vistaesta restringida a lo que el usuario puede hacery puede ver. Esto permite diferentesimplementaciones de operación del ascensor.

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Punto de vista del usuario (1)

Cuando un botón de llamada está oprimido en el piso m haciala dirección j (botll), esto es iluminado y seguirá estandoiluminado hasta que una luz direccional de piso muestre quealgún ascensor i se esta deteniendo en el piso m en la direcciónj. El botón siempre se enciende mientras este oprimido,indicando al usuario que el sistema está respondiendo a lademanda del servicio aun cuando ya haya un ascensor en elpiso con su luz de la llegada en la dirección pedida.∀ (m,j) ∈ M, botll m,j ⇒ luzdir m,j U ( ∃ i ∈ I, dir_luz i,m,j)∀ (m,j) ∈ M, (¬ botll m,j ∧ ( ∃ i ∈ I, dir_luz i,m,j) ⇒ ¬ luxdirm,j

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Punto de vista del usuario (2)

Cuando la luz de dirección del piso esta prendida, el ascensorestá en el piso y eventualmente sus puertas se abrirán. La luzde dirección del piso se prende poco antes que las puertas seabran, para dar tiempo al usuario para moverse hacia elascensor apropiadamente. Esto fórmula explica los estadosdespués de encender una luz de dirección del piso, el ascensorno puede cambiar los pisos y las luces de dirección de piso seencienden hasta que las puertas se cierren∀ (i,m,j) ∈ IMJ, dir_luz i,m,j ⇒ ( dir_luz i,m,j ∧ pos_el i,m)U(• ¬ pucer i,m ∧ pucer i,m)

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Punto de vista del usuario (3)

Cuando las puertas finalmente se cierran, la luzindicadora de dirección del piso se apaga.∀ (i,m,j) ∈ IMJ, (• ¬ pucer i,m ∧ pucer i,m) ⇒ ¬dir_luz i,m,j

El usuario espera que la luz direccional dentro delascensor sea igual a al luz direccional en el piso.∀ (i,m,j) ∈ IMJ, dir_luz i,m,j ⇒ dir i,j

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Cuando un botón de destino es encendido, estepermanecerá encendido hasta que una luzdireccional asociada con este piso se encienda.∀ (i,m) ∈ IM, botdes i,m ⇒ luzdes i,m U ( ∃ j ∈ J,dir-luz i,m,j)∀ (i,m) ∈ IM, (¬ botdes i,m ∧ ( ∃ j ∈ J, dir-luz i,m,j)⇒ ¬ luzdes i,m

Punto de vista del usuario (3)

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Verificación

Uno de los beneficios de usar Lógica Temporal paraespecificar el funcionamiento de un sistema es que el sistemapuede verificarse para ser consistente, y algunas conclusionespueden sacarse sobre la integridad y ambigüedad.

Este ejemplo muestra cómo la lógica puede interpretarsecomo una máquina de estados e ilustra algunas de lasfortaleza y debilidades de este enfoque. El ejemplo es para elcaso trivial de un solo botón de destino de piso y su luzindicador direccional asociada en un sistema con un soloascensor, ignorando todo las otras consideraciones.

Ejemplo

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1. botll: verdadero,cuando el botónesta presionado. Y falso en casocontrario.2. luzdir: verdadero cuando el botónesta iluminado y falso en casocontrario.3. dir_luz: verdadero cuando la luzdireccional de piso esta encendida yfalso en caso contrario.

Variables

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1. botll botll ⇒ luzdirluzdir U dir_luz

Cláusulas

2. (¬ botllbotll ∧∧ dir_luz) ⇒ ¬ luzdirluzdir

Estas dos formulas describen el funcionamientodel botón de solicitud del ascensor

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Tabla de Verdad

Estado 1 2 3 4 5 6 7 8

botll F T F T F T F T

dirluz F T T T F F T F

dir_luz F F F T T T T F

Formula_1 T T T T T F T F

Formula_2 T T T T T T F T

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estados 1 2 3 4 51 X X X X2 X X X3 X X X4 X X5 X X

Tabla de estados válidos

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Camino 1 2 3 5botll F T F Fdirluz F T T Fdir_luz F F F T

Camino 1 2 4botll F T Tdirluz F T Tdir_luz F F T

Camino 1 2 5botll F T Fdirluz F T Fdir_luz F F T

Secuencias

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SecuenciasCamino 1 4botll F Tdirluz F Tdir_luz F T

Caminos 1 5botll F Fdirluz F Fdir_luz F T

Caminos 1 2 3 4botll F T F Tdirluz F T T Tdir_luz F F F T

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Caminos 1 3 5botll F F Fdirluz F T Fdir_luz F F T

Secuencia no valida

dirluz ⇒⇒ •( dirluz ∨ ∨ botllbotll))estados 1 2 3 4 5

1 X X X2 X X X3 X X X4 X X5 X X

1. botll ⇒ dirluz U dir_luz

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