7. .

CALCULI VARIATIONUMINTEGRALIUM DUPLICIUM

EXERCITATI01VES

QUAS

VENIA AMPL. FACULT. PH1LOS. UPSAL.

p. p.

Mao. Q&lBM81fc M&RMtitGIMECHANICES DOCENS

ET

ERICUS EDLUNDSUPERM. NER1C.

IN AUDIT. GUSTAV. DIE XVI APR. IIDCCCXLII.

H. A. M. S.

P. VI.

UPSALIE

WAHLSTRÖM ET LÅSTBOM.

RECTOR SCHOLZ

1IÖGÄREVÖRDIGE och IIÖGLÄRDE

IIEUR 31AG. t>2U- £i

vürdnadsfullt ocli tacksamt

egnadt

af

ER. EDLUJM).

49

ideoque2pt = /58\

~7t — fi + f«\/ -1 J

ex quibus, ut in casu praeccdenti, a licet exprimi in ß. —

Tum w in ambitu cognita erit in ß sec. (53), si modo z superfi-ciei ibidem innotuerit. Est autem dz = ptdu + (J\dv^ ideoque secund. (08)et (37) erit per totum ambitum

dz = tf'v. dv,z + C,

atquc w=jft(ß)-e9 (39)mancnle c const. arbitr. —

Caetera sequuntur, ut in casu praeccdenti5 altamen, uti justum, ar-bitraria lieic remancbit constans c, nisi praeterea editum sit punctumper quod transire superliciem lubeat. —

Denique ex eo determinari licebit functiones arbitrarias, ut in am¬bitu intersectionis superficiei quaesitae

cum superficie *>—f (*? y) )sint p =/,(*, y) V (60)

7 =/«(*> y)•'Scilicet erit tunc in ambitu

(ds = ) ~ dx + dy — f\dx +/tdy ,

quae tunc aequatio est differcntialis ambitüs, cui igitur licet concludi/»(*> y, c) = 0, (61)

(denot. c const. arbitrariam). — Caetera patent. —Ad hos casus patet referri oportere quaestiones, in N:o 7 indicatas,

inveniendi superficierum, cylindro ad xyplano normali T(.v, y) = o autinchnato F(x9 y, z) = o desectarum, eam cui minima sit area desecla.

12

50

Scilicet altcri determinandae baberentur in gcnere conditioncs (secundum(10) cl (11))

r(.t-, y) = o I,,r+vr/ = o,j

a I fori a ii lem

F(x, ih z) = oi + 7JJ) + XfJ = o 5

quibus lamen, ut liquet, alia qiuedam in geilere conditio p aut q =J\(x,y) esset conjungenda, quo determinari liceret formas functionum ar-

bilrariarum. — Quo facto igitur responsum esset comparatum qusestioni,qtuenam sit superficieruin, cylind ris modo dictis desecfarum atque qui-bus per ambitum intersectionis p aut q = ft (.v, y) sit, ea cui minima essetarea desecta, — nisi alia beic inde provenirent impcdimenla, quod in-linitum in genere evaderct inträ limites integrale ipsum

/ fdxdy\/i + p* + q9. —

In boc autcm subsistere in prsesenti certis de causis, iisdemqueliaud equidem Analyticis, coacti fuimus. — Facile equidem concedi-inus, permultum abesse ut pertractata sit solulio problemalis superficieiminima»; sed tarnen nos limen quadamtenus superavisse gaudemus, operac-que baud parvum fecisse prelium putabimus, si rem quando ex a I lat isad linem perducendi occasio praibebilur. —

öl

A cid i t amen t ii in.

21. Dum in tractando obiter Problematc in N:o 10 allalo singu-lari versabamur, in casum liuic siniilein notissinii alterius problematisincidimus, Problematis (inquam) inveniendi superficierum, eeauales conti-nentium areas, eam cui maximum inträ datos eosdem limites sit volumen.Cui ut respondeatur quaestioni, ut conslat *), satis crit faciendum aequa-tioni

å I dxdy(z + W1 + p* + = o, (02)(/ dcnol. const. indelerminatam) j in qua quum

% — z + Wi + p% + 7®,

N=t,I> = ^,Q = ^, cet. =o,indefinila superficiei quaesitae sequatio evadit (f* denotante ipsain—^:

i>-(r-=4=y+r—i—),\v/l + p* + 7v \v/l + p9 + (fJ{seu

^(1 +pe + 7*) 2 = (I + p*)t - 2pqs + (1 + 7*)r. — (03)Tum quoque conslat, quadrare lianc a?qualionem in unamquamque super-

11ficiem, cujus in omnibus punctis — 4- — eandem conficiant summam /*,

denotantibus 11 et Ti, radios illius curvedinis principales seu in genere ra¬dios curvedinis interseetionum superficiei normalium sibimet invicem adnormam duetarum. —

*) Vid. ex. gr. Lacroix, Traité du Calc. Diff. et Int. N:o 87ö.

Si lieic quoque solie considerantur superficies revolutionis? quaeren-do an sit superficies revolutionis circa zaxim, cui in omni bus superficie-

/z — h\ /z = b \bus ejusdcm areoc (= A), datis perimetris ^ ^ ^J interclusae,maximum sit volurpen inträ cosdem limites$ — aequatio ((»3) opc formu-lariuii in N:o 10 allatarum transformatur in

, dz2\s/2 d9z 1 dz / dz*\'*(l + d?) ~dé" + 7 d?)'

dzseu, £ breviter denotante — ,

dg

gd; = [W?(i + £*) /a — £(1 + C8)] d? == (p(>v/ i + C8 -1) (i + ^)de ?

quae faclore — evadit

|j«R = + e1 — i)^ + (?') de

(«'')

(2 - pu)udq - gdu = o ?

janiquc posita — + q2 = u2 atque eliminando £ liabebiltir, abluto laelo-re communi w,

cujus integrale

rest.it ut a £? redig itur in

«V =pW

£ =

o '2 - pil

p(i + ay)v/4«y - p2(l + fl2(?2)

53

i. A 1 _

scu, mulalå a2 in — atque reslituta — loco ^,f) Å

» dz b* + Q* *)c = T = —- (66)

x/uy- y + Q2ytum

<»' + ,«)*_ _ (e7)J x/uy - y + q2)2

Area autem lieic est = 2rt / + £% unde aequatio

= 471/1. /'•" g . — (C8)«A. x/«V " + C*)2SR

Conslanles 6, / ct ca, quae intcgratione (C7) infertur, ex eo determina-])iintur ut per curvas datas transeat superficies atque ex ipsa (68). —

Si ex. gr. propositae essent perimetri citcjuc ^—2.TZ ^

responsum quaestioni esset fercndum ab aequ. (67), cujus intcgrationeillala constans determinanda esset ex eo quod unå \ 1 j b vero el

IQ = °JA ex ipsis

-/1 —

f >v/4AV - (b2 + <>2)2

1

(fr2 + g2)d(?

y^fr^TQ*dQ

0 v/4AV - (ft* + c*)'

*) Patet, candem lianc cssc aequationcm, in quam pervenitur, dum ope CalculiVariationum Intcgralium simplicium problema solvitur invcniendi superficierum sola¬rum revol. circa zaxim, jcquales continentium areas, eam cui maximum sit volumeninlra cosdcni limitcs. — 15

34

qiiibus quoniam fit satis per b = o, X= — , unde (67) abit in

C QdQ /" iz — / — — c v 1 ■ ^ j

v/1 - Q*ll. C.

«' + (*- i)* = i >

palet sphterd ista conditioni prsescriptae fieri satis. —22. Longum esset lieic integrationem functionis Ellipticae, in quam

(ut constat) reduei licet posterius aequationis (67) membrum, considerare.At notandus est singularis quidam Mcridianum superfieiei (67) Geometri-ee construendi modus, in quem incidimus forte verba infra allata *) inephemeride illa "VInstitut" pcrlegentes.

Sit Ellipsis AB**), cui injiinctuui est rectam AX non nisi rotando*) L'Iuslitut N:o 394 (An. 1841). — Verba formalia Iure sunt: "M. Liouville

comuiuniquc au nom de M. Delacnay, Repet, a 1'Ecole Polytechnique, une no te surla surface de revolution dont la courbure moyenne en cliaque point est constante.Elle est ainsi conoiie: "Aous cutcndons ici par courbure moyenne d'une surface enun de ses poinls la démisouime des valeurs inverscs des rayous de courbure prin-cipaux relalifs a ce point. En adoptant celte definition on trouve que la surfaced'une étendue donnée qui renfermc un voluiue maximum est prccisement une sur¬face de courbure moyenne constante. — Dans le cas partieulier oii 1'on supposeque la surface cberchéc est de revolution, il est aisé d'obtenir 1'equalion de lacourbe méridieune; mais cctlc équation qui contient une fonetion elliptique est as-sez compliquée; j'ai reconnu qu'on peut en donncr une conslruelion géomelriquetres simple. On a en effet le théoréine suivant: Pour tracer le méridien de la sur¬

face de revolution dont la courbure moyenne est constante et = — , il faut fairerouler sur Vaxe de la surface une ellipse ok une hyperbole, dont le grand axe ou1'axe transverse soit egal a 2a: le joyer décrira la courbe chercliée. Si la courb.moyenne est nulle, c. a d. si a= oo , la courbe méridieune sera engendrée par le1'oycr d'une parabole roulant sur 1'axe de la surface; cette courbe méridienne estalors une Gbainette, et 1'ou se trouve ainsi raiuené a un théoréme connu." —

**) In kunc fere modum describi licet figuram. Recta ducatur AX eique ad

od

deseribercj demiaxis major =m, excentrieitas = cm. — Quatratur curuaFG, quam describet focus F. — Considerctur cllipsis in positione qua-dain ArlF\ sit

AC — et — arc. CA',CG = ß. —

Ex iheoria generationis curvarum *) palet, punctum curvai quaesilae Ginterseclionem esse circuli, quem focus describet rotante ellipsi iu posi-tionem ipsi A'B' immediate subsequentem, atque illius quem describebatproficiscente ellipsi a positione immediate antecedenti; ideoque denotan-tibus x et y coordinatas puneti G (parallelas ad AX et AY), bis eritsatisfaciendum et acquationi circuli

(x-a)> + ,j'=ß<, («9)et ipsi

[x - (a - da)]1 + yz = (ß - daf ,i. e.

X-* = — ßj--— (70)da

Jam si inveniri beeret ß quaenam sit funetio ipsius «, eliminando «obtineretur acquatio curvae in x et y. — Quod ut inveniatur, recordarijuvabit et arcum Ellipseos a et radium vectorem ß exprimi beere lun-ctione angub A'OD(=z<f), arcum A'D circuli circumseripti subtendentis.Scilicet altcri constat esse

da =— md(f\/1 - eeCos, (i)uoruiam AY, in qua sumalur AB= m atque construatur cllipsis All. Focus aclAX proprior sit V. — Volutae cllipseos in aliam positionem A'B' punctum, quotangit rectam AX, per C notetur; centrum sit O, focus G. — In A'B' construa¬tur circulus radio = >»; ducatur 6'C; tum demichorda cllipseos HC (ipsi A'B'normalis) extrabatur ad periph. circuli in D, atque OD ducatur. —•

*) Vid. ex. gr. Lacboix , Traité du C«lc. DilF. et Int. N:o 263.

66

alferi aulem, secundum aequationem Ellipseos polarem,

= »»(i - <■')1 + cCosö'

(0 denotante ang. A'GC), i. e. — quoniam /SCosö = m (Cosy - c) —

ß = i/i(1 - eCosy) . — («)

Jamqtic eliminatå <p provenit relalio

det = — dß.— ■ ; ( 71)

W(i-£Vmjquae quoniam Ellipticam involvit transscendentem, pro aequatione curvaeiinita diiferentialem quaeramus.

Ex aequationibus (70) et (71) sequitur

mJx-u =ß.—1; (72)

v, - (1 -niJ

tum quoniam aeqnatio curvae repiaesentatur systemale (69) et (70) seuiormae

[/(*, y, a, ipct) = o,

df_da 9

erit ei

df , df— Ax+ — o,dx dy

o7

i- e. (.v - a)dx + ydy = o. — (73)Jamquc eliminatis a et ß ex aequ. (69), (72) et (75) curvaj quaesitae ha-bebitur sequatio diilerentialis liaecce:

dx m2(l - e2) + i/27 = ' V —L-±—— (74)ä'J v/4m*y2 - [m*(l - e*) + y9]9

Haec si comparetur sequalioni (66) Meridiani superficiei revolutionis,identica ei esse invenietur, mutatis x et y in z et £, si modo talessumantur axes Ellipseos generatricis ut

m9 — A9.

= (73)Ex quibus consequitur Tbeorema: Quo ducatur Meridianus superfi¬

ciei revolutionis circa zaxim, cui in omnibus , yuas per datas duas pe-

rimetros ^j> datdque inter hos limites area. (—A) duci li-ceat, superfeiebus maximum sit volumen j determinentur constantes b et Asecundum (67) et (68) ex

rR (b* + Ql)dqsuy - (t* +

A = 4ni.. f* ^Jm v/«V-(«-* + eT

'•= rJms uy-(/>'+Qy

(70)

quo facto Ellipseos (dimensionum (75)) per zaxim rotatoe focus descri-bet meridianum qucesitutn, si modo curva exinde generata datas perime-tros ambas desecabit. Sin minus per datas perimetros hand licebit super-ficiem duci revolutionis, qua editie fat satis conditioni. — Patet equidem,dum erit b2 negativa, Hyperbolam loco Ellipseos esse rotandam. —

14

ERRATA:

Pag. 30. lin. imå: dvf legalur dv/

> i

- •