Intuicin geomtrica[editar]

El rea rayada en rojo puede ser calculada comohf(x), o si se conociera la funcinA(X), comoA(x+h) A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeos deh.Supngase que se tiene una funcin continuay= f(x) y que su representacin grfica es una curva. Entonces, para cada valor dextiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una funcinA(x) que representa el rea bajo la curva entre 0 yxan sin conocer su expresin.Supngase ahora que se quiere calcular el rea bajo la curva entrexyx+h. Se podra hacer hallando el rea entre 0 yx+hy luego restando el rea entre 0 yx. En resumen, el rea de esta especie de "loncha" seraA(x+h) A(x).Otra manera de estimar esta misma rea es multiplicarhpor f(x) para hallar el rea de un rectngulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Ntese que la aproximacin al rea buscada es ms precisa cuanto ms pequeo sea el valor deh.Por lo tanto, se puede decir queA(x+h) A(x) es aproximadamente igual a f(x) h, y que la precisin de esta aproximacin mejora al disminuir el valor deh. En otras palabras, (x)hA(x+h) A(x), convirtindose esta aproximacin en igualdad cuandohtiende a 0 como lmite.Dividiendo los dos lados de la ecuacin porhse obtiene

Cuandohtiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuacin es sencillamente la derivadaA(x) de la funcinA(x) y que el miembro izquierdo se queda en (x) al ya no estarhpresente.Se muestra entonces de manera informal que (x) =A(x), es decir, que la derivada de la funcin de reaA(x) es en realidad la funcin (x). Dicho de otra forma, la funcin de reaA(x) es la antiderivada de la funcin original.Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una funcin y "hallar el rea" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del clculo integral.Primer teorema fundamental del clculo[editar]Dada unafuncinfintegrable sobre elintervalo, definimosFsobrepor. Sifescontinuaen, entoncesFesderivableenyF'(c) = f(c).

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del clculo infinitesimal es:

Siendo f(t) una funcin integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.Demostracin[editar]Lema[editar]Seaintegrable sobrey

Entonces

Demostracin del lema[editar]Est claro quepara toda particin. Puesto que, la desigualdad se sigue inmediatamente.Demostracin[editar]Por definicin se tiene que.Sea h>0. Entonces.Se defineycomo:,

Aplicando el 'lema' se observa que.Por lo tanto,

Sea. Sean,.Aplicando el 'lema' se observa que.Como,entonces,.Puesto que, se tiene que.Y comoes continua encse tiene que,y esto lleva a que.Ejemplos[editar]

Segundo teorema fundamental del clculo[editar]Elsegundo teorema fundamental del clculo integral(oregla deNewton-Leibniz, o tambinregla de Barrow, en honor almatemticoinglsIsaac Barrow, profesor deIsaac Newton) es una propiedad de lasfunciones continuasque permite calcular fcilmente el valor de laintegral definidaa partir de cualquiera de lasprimitivasde la funcin.Enunciado[editar]Dada unafuncinf(x)continuaen elintervalo[a,b] y sea F(x) cualquierfuncin primitivade f, es decir F '(x) = f(x). Entonces

Demostracin[editar]Considere la siguiente primitiva dedefinida en el intervalo.:.esto debido al primer teorema fundamental del clculo el cual establece que:.Comoyson primitivas de, entonces.Observe que

y de eso se sigue que; por lo tanto,.Y en particular si:

Ejemplos[editar]