Integrales Impropias

Ángel Paredes C.I. 26.572.449 Ingeniería en Mantenimiento Mecánico

Matemática II

El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos cerrados [a, b], con a, b ∈ R. Este concepto se puede extender eliminando estas restricciones.

Ello da lugar a las integrales impropias. Llamaremos integral impropia de primera especie aquella cuyo intervalo de integración es infinito, ya sea de la forma (a,∞), (−∞, b) o bien (−∞,∞), pero la función está acotada.

Se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el límite existe y es finito y divergente en caso contrario.

1. Funciones definidas en intervalos no acotados: integrales impropias de primera especie.

2. Funciones no acotadas: integrales impropias de segunda especie.

Integrales impropias de primera especie:

Las integrales de este tipo son de la forma

siendo f acotada en el intervalo correspondiente.

PROPIEDADESImpropias de primera especie

(1) La convergencia de la integral no depende del límite de integración real.

Es decir,

(2) Homogénea. Si es convergente,

entonces es convergente, para todo λ ∈ R

y se cumple:

PROPIEDADESImpropias de primera especie

(3) Aditiva. Si convergen,

entonces converge

y además

PROPIEDADESImpropias de primera especie

(4) Integración por partes. Si f y g tienen derivadas

de primer orden continuas en [a,∞) y dos de los tres limites

existen, entonces el tercero también existe y se tiene que

PROPIEDADES

(5) Si converge,

entonces converge.

Esta ultima propiedad permite definir el concepto

de convergencia absoluta para el caso en que

la función integrando no tenga signo constante en [a,∞).

Ejercicio #1:

Ejercicio #2:

Integrales impropias de segunda especie:

Si una función y = f(x) no está acotada en un intervalo

[a, b], no tienesentido el concepto de

integral definida de f en [a, b].

Esta situación da lugar a las integrales impropias de

segunda especie; para ello, se distinguen los

siguientes criterios:

CRITERIOSImpropias de segunda especie

(1) Criterio de comparaci´on. Si f y g son funciones continuas en [a, r], ∀r < b y 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, r], entonces:

(2) Comparación por paso al límite. Sean f y g continuas y no negativasen [a, r], ∀r < b.

CRITERIOSImpropias de segunda especie

a) Si λ finito, entonces

converge converge

b) Si entonces

converge converge

CRITERIOSImpropias de segunda especie

(3) Sea f una función continua y no negativa en

[a, r], ∀r < b

a) Si finito, entonces

b) Si entonces converge

c) Si entonces diverge

EJERCICIO #1:

EJERCICIO #2:

Solución: El integrando presenta una discontinuidad

esencial en x = 3. Resulta entonces:

MUCHAS GRACIASPOR SU ATENCIÓN

Ángel Paredes C.I. 26.572.449 Ingeniería en Mantenimiento Mecánico

Matemática II