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METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓNLa metodología usada para hacer este informe monográfico se basa básicamente en la recopilación de información de libros de investigación que se basan en el tema al realizar y la organización según una secuencia lógica y didáctica del tema desarrollado.Al ser la teoría matemática amplia y tener varios puntos de vista bajo diversos especialistas que han estudiado profundamente el tema, nuestro desarrollo de esta monografía escogimos el punto de vista más entendible , dejando de lado la parte axiomática y rigurosa que exige este tema como todo los demás informes científicos.FUNDAMENTACIÓN El cálculo proporciona a los ingenieros y tecnólogos los conocimientos necesarios para operar y aplicar funciones matemáticas con variable real en el planteamiento y solución de situaciones prácticas que llegan a presentarse en su ejercicio profesional. La integración, se considera un eje fundamental para el planteamiento y desarrollo de conceptos que permiten entender y asimilar conocimientos de casi todas las áreas de la ingeniería y la tecnología aplicada, especialmente la física, para finalmente abordar temáticas generales del saber específico en el campo profesional.PROPÓSITOConocer con claridad en el tema 6 “Integrales impropias con discontinuidades infinitas” el concepto de integrales impropias ver como esta se define en cada caso, cuando es convergente o divergente, para así poder realizar cualquier clase de ejercicios.Al realizar los ejercicios de las integrales impropias con discontinuidad infinitas debemos tener conocimiento de límites, saber calcular integrales definidas mediante los métodos de sustitución e integración por partes para cuando resolvamos ejercicios nos sea de mucha facilidad las integrales impropias.Esto nos ayuda a desarrollar habilidades y destrezas que permite al alumno comprender el tema.OBJETIVOS GENERALES

El alumno identificará el concepto de integral impropia. Desarrollar habilidades y destrezas que le permitan interpretar, comprender, plantear y resolver

problemas. Aplicar los principios   del método matemático   en la solución de problemas de la física, electrónica

y   de la vida diaria. Aplicar el concepto de integración definida impropia en diferentes campos del conocimiento.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Calcular integrales impropias. Conceptualizar la anti derivada y calcular integrales indefinidas mediante las técnicas de

integración.  Determinará si una integral es impropia y   la clasificará. Calculará integrales impropias con las funciones especiales. Evaluará si una integral impropia es convergente o si es divergente. Determinar el método que se debe aplicar a una integral impropia con discontinuidad en número

infinitos y resolverla. Calcular integrales definidas mediante los métodos de sustitución e integración por partes para así

poder resolver las integrales impropias. Evaluar integrales impropias con límites de integración infinitos y/o con discontinuidades infinitas en

el intervalo de integración. Resolver problemas que requieran el uso de integrales impropias. Interpretar y aplicar las propiedades de las integrales impropias en problemas propuestos. Resolver los problemas de aplicaciones de la integral impropia.

MARCO TEORICODEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITES:Sea una función f definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número realEl límite de f(x)

limx→c

f (x )=L

Significa que para todo ε>0existe uno∂>0 tal que si:

0<|x−c|<∂entonces|f (x )−L|<∂PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Las propiedades de los límites son las siguientes:

Limite de una función lineal Limite de una función constante Limite de una función identidad Límite de la suma o diferencia de dos funciones Limite del producto de dos funciones Límite de la n- e sima potencia de una función Limite del cociente de dos funciones

2

Límite De la raíz n- esima de una función Limite de un polinomio

CLASES DE LÍMITES Limites laterales Limites infinitos Limites en el infinito

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen

1. f (c ) esta definida2. lim

x→cf (x ) existe

3. limx→c

f (x )=f (c)

Continuidad en intervalo abierto: f es continua en ¿a ,b¿ ssi es continua en ¿a ,b ¿ y continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.Continuidad en un intervalo semi abierto f es continua en ¿ ssi es continua en ¿ y es continua por la derecha de a.f es continua en ¿a ,b ¿¿ssi es continua en ¿a ,b ¿¿ y es continua por la izquierda de b.INTEGRALES:

Función primitiva o anti derivada

Función primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada.

F'(x) = f(x)

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN:

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.

El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arco tangente se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'. Método de integrales trigonométricas

3

1. ∫ du√a2−u2

=arc sen ( ua )+C

2. ∫ du√a2+u2

=arc tan( ua )+C

3. ∫ duu√u2−a2

=arc sec(|u|a )+C Método de integración bionomías

Estas integrales son de la forma

∫ xm(a+bxn)pdx; m, n, p: números racionalesEsta integral puede expresarse como una combinación de funciones elementales, únicamente en los tres casos siguientes.

1. Cuando p Є Z en este caso se emplea la sustitución. Xn = z

2. Cuando (m+1n ) Є Z en este caso se emplea la sustitución.

a + bxn = zs donde p= rs

3. Cuando (m+1n

+ p)Є Z ; En este caso, se emplea la sustitución.

ax-n + b = zs ; donde p= rs

INTEGRALES PROPIAS:Para definir una integral impropia debemos definir una integral propia o definida.Sea y = f(x) definida para todo x ∈ [a, b]. Consideremos una particiónP del intervalo [a, b].P ≡ {x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn = b}Sean

||P|| = máx. {xi − xi−1}, Sn = ∑i=1

n

mi(xi−xi−1), Sn = ∑i=1

n

Mi( xi−xi−1)

Con mi y Mi el mínimo y el máximo de f en [xi−1, xi].

Si limn→∞

¿∨P∨¿→0

Sn=¿ limn→∞

¿∨P∨¿→0

¿¿Sn, entonces se dice que f es integrable en [a, b] y

A = ∫a

b

f ( x )dx=¿ limn→∞

¿∨P∨¿→0

Sn=¿ limn→∞

¿∨P∨¿→0

Sn= limn→∞

¿∨P∨¿→0

∑i=1

αi∈[xi−1 , xi]

n

f (αi)(xi – xii−1)¿ ¿

4

Es claro que, para todo n, Sn ≤ A ≤ Sn.Aplicaciones de la integral

∫b

a

f ( x )dx=¿¿F(b) − F(a) siendo F’(x) = f(x)

INTEGRAL DEFINIDA 1) PARA CALCULAR ÁREAS. Para el cálculo de áreas del recinto encerrado entre dos curvas integrables, se utiliza la definición de la integral de Riemann, separando la integral en intervalos donde se mantiene el signo.

∫b

a

[ f ( x )−g ( x )] dx

A = A1 + A2 + A3 = ∫b

a

[ f ( x )−g ( x )] dx=¿ ∫c

d

[g ( x )−f ( x )] dx = ∫d

b

[ f ( x )−g ( x )] dx =

∫b

a

|f ( x )−g ( x )|dx

5

Si la curva viene dada en paramétricas (x = u(t), y = v(t)), entonces el área es:

A = ∫a

b

|f (x )|dx=∫t1

t2

|v (t )u '( t)|dt conu (t 1 )=a yu (t 2 )=b

2) PARA CALCULAR VOLÚMENES.El volumen del sólido de revolución que genera, al girar sobre el eje OX, el recinto encerrado por y = f(x), el eje 0X y las rectas x = a y x = b, viene dado por la fórmula.

Vx = ∫a

b

(f (x))2dx

El volumen del sólido de revolución que genera al girar sobre el eje OY el recinto encerrado por x = f(y), el eje 0Y y las rectas y = c y y = d viene dado por la fórmula.

Vy = π∫c

d

( f ( y ))2dy

El recinto determinado por y = f(x) y el eje OX, girando sobre el eje OY , tiene volumen.

V= 2π∫a

b

x f (x )dx

6

INTEGRALES IMPROPIAS:   Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.

si los límites existen.

7

Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

DIVERGENCIA y CONVERGENCIA: la convergencia de una integral impropia con una discontinuidad infinita es cuando existe el límite en la integral de la función dada de lo contario la integral diverge.

6.1INTEGRALES IMPROPIAS CON DISCONTINUIDADES INFINITAS INTRODUCCIÓNLas integrales impropias con discontinuidades infinitas en los límites de integración es el segundo caso básico para que la integral se llame impropia en este tema estudiaremos principalmente su definición y lo que significa en términos geométricos.

FIGURA 1

8

La figura 1 muestra la región acotada por la curva cuya ecuación es y= 1√ x

, el eje x, el eje y y la recta

x=4. Si es posible asignar un número finito a la medida del área de esta región, estaría dado por:

lim‖∆‖→0

∑i=l

n 1√wi

Si este límite existe, es la integral definida denotada por:

∫0

4 d (x )√ x

Sin embargo, el integrando es discontinuo en el límite inferior 0.

Además lim

x→ 0+¿1√x=+∞¿

¿por lo que se establece que el integrando tiene una discontinuidad infinita en el

límite inferior. Esta integral es impropia, y su existencia puede determinarse a partir de la siguiente definición.

DEFINICIÓNES DE INTEGRALES IMPROPIAS CON DISCONTINUIDADES INFINITAS 6.1.1.- DEFINICIÓN DE INTEGRALES IMPROPIAS CON UNA DISCONTINUIDAD INFINITA EN SU LÍMITE INFERIOR. Si f es continua sobre el intervalo semiabierto por la izquierda] a, b] y si el

limx→a+¿|f (x)|=+∞¿

¿ Por lo tanto tiene una discontinuidad en a, entonces

∫a

b

f ( x )dx= limc→a+¿∫

c

b

f ( x ) dx

¿¿

Si este límite existe6.1.1.2 CONCEPTO DE DIVERGENCIA Y CONVERGENCIA EN INTEGRALES IMPROPIAS CON DISCONTINUIDADES INFINITAS.Si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropiaSi el límite no existe, por lo tanto la integral impropia diverge.EJERCICIOS 1 Se determinara si puede asignarse un número finito a la medida del área de la región de la figura 1. De la discusión anterior a la definición anterior 6.1.1, la medida del área de la región dad será la integral impropia (1) si existe. Por la definición 6.1.1

∫0

4 dx√ x

= limt →o+¿∫

o

4 dx√x

¿

¿

Dominio de la función √ x≠0∩x≥0 x≠0∩x ≥0

x>0

→∫0

4 dx√ x

= limt→o+¿∫

o

4dx√x

¿

¿

¿ limt→o+¿[2x 12 ]t

4

¿

¿

¿ limt→o+¿(4−2√ t)¿

¿

¿4−0

9

¿4Por tanto se asigna el número 4 a la medida del área de la región dada.

EJERCICIO 2Se apoya la respuesta del ejercicio 1 al trazar la graficag ( t )=NIN ¿ ,t,4) 0<t ≤4 y la recta y=4, en el rectángulo de inspección de [0.00001, 4] por [-1,5], como se muestra en la figura 2, observa que lim

t→0+¿ g (t )¿¿parece ser 4.

Si el integrando tiene una discontinuidad infinita en el límite de integración superior se aplica la siguiente definición para determinar la existencia de la integral impropia.

[0.00001, 4] por [-1,5]g ( t )=NIN ¿ ,t,4) 0<t ≤4

Yy=4 FIGURA 26.1.2.- DEFINICIÓN DE INTEGRALES IMPROPIAS CON UNA DISCONTINUIDAD INFINITA EN SU LÍMITE SUPERIOR.

Si f es continua sobre el intervalo semiabierto por la derecha [a, b [y si el limx→b−¿|f (x)|=+∞¿

¿ por lo tanto

tiene una discontinuidad en b, entonces.

∫a

b

f ( x )dx= limc→b−¿∫

a

c

f (x )dx

¿¿

Si este límite existe6.1.2.1 CONCEPTO DE DIVERGENCIA Y CONVERGENCIA EN INTEGRALES IMPROPIAS CON DISCONTINUIDADES INFINITAS.Si el límite es finito decimos que la integral impropia converge y que el límite es el valor de la integral impropiaSi el límite no existe, por lo tanto la integral impropia diverge.EJERCICIOS 3Evalué la integral si es convergente:

∫1

2 dx√4−x2

Apoye gráficamente la respuestaDominio de la función: √4−x2≠0∩ 4−x2≥0 4−x2≠0∩x2≤4 x2≠4∩x≤±2

x≠±2∩x ≤±2SOLUCION El integrando tiene una discontinuidad infinita en su límite superior. De la anterior definición 6.1.3.

10

∫1

2dx

√4−x2= lim

c→ 2−¿∫1

c dx√4− x2

❑¿= limc→2−¿sen−1 x

2¿= lim

c→ 2−¿(sen¿¿−1¿ c2−sen−112 ) ¿= π2−

π6 =π

3

¿

¿

¿

¿

¿

Se traza la grafica de: graficag ( t )=NIN ¿ ,1,t) 1<t<2

Y la recta y = π3

en el rectángulo de inspección de [1, 1.99999] por [-1, 2], como se muestra en la figura 3.

El hecho de que el ECUACION parece ser π3

apoya la respuesta

Si una discontinuidad infinita ocurre en un número interior del intervalo de integración, la existencia de la integral impropia se determina a partir de la siguiente definición.

[1, 1.99999] por [-1, 2]graficag ( t )=NIN ¿ ,1,t) 1<t<2

y = π3

6.1.3 DEFINICIÓN DE INTEGRALES IMPROPIAS CON UNA DISCONTINUIDAD INFINITA EN UN NÚMERO INTERIOR. Si f es continua sobre el intervalo [a, b], excepto para algunos valores de c en] a, b [ y si el limx→c

|f ( x)|=+∞ en los que f tiene una discontinuidad infinita entonces:

∫a

b

f ( x )dx= limt →c−¿∫

a

t

f ( x ) dx+ lims→c+¿∫

s

b

f ( x )dx

¿¿ ¿

¿¿

Si los dos límites existenEn los primeros dos casos, la integral impropia converge si el límite existe; si no, la integral impropia diverge. En el tercer caso la integral impropia de la izquierda diverge si cualquiera de las integrales impropias de la derecha diverge.6.1.3.1 CONCEPTO DE DIVERGENCIA Y CONVERGENCIA EN INTEGRALES IMPROPIAS CON DISCONTINUIDADES INFINITAS.En el tercer caso de la definición, la integral de lado izquierdo de la ecuación converge si ambas integrales de lado derecho convergen, de otra forma divergen.

∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f ( x )dx

EJERCICIO 4

11

Evalué la integral, si es convergente ∫0

2 dx(x−1)2

Dominio de la función: (x−1)2≠0 x−1≠0

x≠1

SOLUCION El integrando tiene una discontinuidad en 1. Al aplicar la definición 6.1.4 se tiene:

∫0

2 dx(x−1)2

= limt→1−¿∫

1

t dx( x−1)2

+¿ lims→ 1+ ¿∫

1

cdx

( x−1)2¿

¿ ¿¿

¿

¿ limt→1−¿[ −1

x−1 ]0t

+ lims→ 1+¿ [ −1

x−1 ]s

2

¿

¿ ¿

¿

¿ limt→1−¿[ −1

t−1−1]+ lims→+¿ [1− 1

s−1] ¿¿¿

¿

Como ninguno de estos límites existe, la integral impropia es divergente.

EJERCICIO 5Suponga que al evaluar la integral del ejercicio 4 no se hubiese considerado la discontinuidad del integrando en 1. Entonces se habría obtenido

[ 1x−1 ]0

2

=−11

+ 1−1

=−2

Esto claramente es un resultado incorrecto. Como 1

(x−1)2nunca es negativo, la integral de 0 a 2 no puede

ser un- número negativo.

6.2 NTEGRALES DE TERCER CASO O MIXTAS DEFINICION DE INTEGRALES IMPROPIAS DE TERCER CASO O MIXTAS.

Son integrales impropias las que se obtienen combinando integrales impropias de primer y segundo caso, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.

Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.EJEMPLO

∫−1

+∞ dxx2

= ∫−1

0−¿ dxx2

+∫0+¿¿

1 dxx2

+∫1

+∞ dxx2

¿

¿

Este tipo de integral será convergente ssi cada una de sus componentes es una Integral convergente.

EJERCICIO 6 Evalué la integral, si es convergente

12

∫0

1

x lnx dx

Dominio de la función: x>0SOLUCION Como el integrando es discontinuo en el límite inferior, se procede como sigue, aplicando integración por partes:

∫0

1

x lnx dx= limt→0+¿∫

0

1

xlnx dx¿

¿

¿ limt→0+¿ [12 x2 ln x−14 x2]

t

1

¿

¿

¿ limt→0+¿ [12 ln 1−14 t2 ln t+ 14 t 2]¿

¿

En consecuencia (2)

∫0

1

x lnx dx=0−14−12

limt→0+¿t 2lnt +0¿

¿

A fin de evaluar el límitelim

t→0+¿t 2 lnt= limt→ 0+¿ ln t

1t2

¿ ¿¿¿

Se aplica la regla de L´Hopital, en vista de que limt→0+¿ln t=−∞¿

¿ y lim

t→0+¿ 1t2=+∞¿

¿

limt→ 0+¿ ln t

1t2

= lim

t →0+¿

1t

−2t3

¿

¿¿

¿

¿ limt→ 0+¿− t2

2 ¿

¿

¿0

Por tanto de (2)

∫0

1

x lnx dx=−14

EJERCICIO 7 Evalué la integral, sin es convergente

∫1

+∞ dxx √x2−1

Dominio de la función: x √x2−1≠0 x2 (x2−1 )≠0

x2≠0∪ x2−1≠0 x≠0∪ x≠±1

SOLUCION Esta integral tiene el límite superior infinito y una discontinuidad infinita del integrando en el límite inferior. Se procede como sigue:

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∫1

+∞ dxx √x2−1

= limt →1+¿∫

t

2 dxx √x2−1

+ limb→+∞

∫2

b dxx √x2−1

¿

¿

¿ limt→1+¿ [sec−1 x ] t

2+ lim

b→+∞[sec−1 x ]2

b¿

¿

¿ limt→1+¿ [sec−12−sec−1 t ]+ lim

b→+∞[ sec−1b−sec−12] ¿

¿

¿ 1π3

− limt→ 1+¿ sec−1 t+ lim

b→+∞sec−1b−

1 π3 ¿

¿

¿0+ 1π2

La integral del ejercicio 7se denomina integral impropia de tipo mixto

EJERCICIO 8 UNA INTEGRAL IMPROPIA CON DISCONTINUIDAD INFINITA Evalué

Dominio de la función: 3√ x≠0 x≠0

Solución: El integrando tiene una discontinuidad infinita en x¿0, como se muestra en la figura. Es posible evaluar la integral como sigue.

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EJERCICIO 9UNA INTEGRAL IMPROPIA QUE DIVERGEEVALUE:

Dominio de la función: x3≠0 x≠0

Solución como el integrando tiene una discontinuidad infinita en x¿0 ,puede escribirse lo siguiente:

Por los tanto, se concluye que el integral impropia es divergenteEJERCICIO 10Una integral doblemente impropiaEvalué

Dominio de la función: √ x ( x+1 )≠0∩x ≥0 √ x3+√x ≠0

√ x3≠−√x x3≠ x x2≠0 x≠0

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Solución Para evaluar esta integral, hay que dividirla en un punto conveniente (digamos x¿1) y escribia