M. GUERRERO RODRGUEZINTEGRALES ELPTICAS Integrales Elpticas Mario Guerrero Rodrguez Universidad Autnoma de Nayarit rea de Ciencias Bsicas e Ingenieras UAN-ACBI 1M. GUERRERO RODRGUEZINTEGRALES ELPTICAS Resumen. EnestetrabajosepresentanlosprincipalestiposdeIntegralesElpticas,quesonmuy usualesenelreadecienciaseingenieras,puestoquesonencontradasenelanlisisde oscilacionesdeunapartculabajolaaccindemuelleselsticos,enlongitudesdecurvas (por ejemplo catenarias), etc. Enseguida se tiene un ejemplo en el que se desea calcular la longituddeunacurvaelcualesresueltopordiversosmtodosnumricos,finalmentese destacan tres de los mtodos de solucin que presentan la mejor respuesta. Summary. InthisworkarepresentedthemaintypesofEllipticalIntegralswhichareveryusualin scienceandengineeringareas,sincetheyareusedinoscillationsanalysisofaparticle undertheactionofelasticspring,inlengthsofcurves(i.e.catenaries),etc.Followingwe haveanexamplewherecalculatethelengthoracurveiswantedandwhichissolvedby severalnumericmethods.Finally,threemethods ofsolutionarehighlightedthatshowthe best answer. UAN-ACBI 2M. GUERRERO RODRGUEZINTEGRALES ELPTICAS Introduccin. Un teorema debido a Legendre establece que cualquier integral de la forma dndeResunafuncinracionalyf(x)esunpolinomiodetercerocuartogradopuede expresarse mediante una combinacin lineal de funciones elementales e integrales elpticas, que son funciones especiales clasificadas en los siguientes tipos:1. Funciones elpticas de primera especie. Las funciones elpticas de primera especie se definen por la siguiente integral 2. Funciones elpticas de segunda especie.Las funciones elpticas de segunda especie se definen por la siguiente integral 3. Funciones elpticas de tercera especie. Las funciones elpticas de tercera especie se definen por la siguiente integral Problema. Calcular la longitud de la curva y=sen x, 0, 2 UAN-ACBI 3M. GUERRERO RODRGUEZINTEGRALES ELPTICAS Solucin: La longitud de una curva est dada por la ecuacin: + =badxdxdys21 . La derivada de la funcin esxdxdy22cos =, que al sustituirla en la ecuacin de la longitud de una curva, resulta ( ) = + = + = 2022022022 1 1 cos 1 dx x sen dx x sen dx x s

= = 202202211 2211 2 dx x sen dx x senEstaltimaintegralformapartedelasllamadasIntegralesElpticasy,apesardesu aparente simplicidad, no es nada fcil resolverla. Lo ms conveniente es hacerla mediante integracin numrica. Conclusin.EntoncescomosehabrnotadonuestraintegralcorrespondeaFuncionesElpticasde SegundaEspecie,acontinuacinsepresentaunaseriederesultadosobtenidoscon diversos mtodos numricos, que no se incluyen desglosados por lo engorroso que resultan. Sin embargo, observa los resultados obtenidos por la propuesta del Teorema de Legendre, Cavallieri y el realizado con una HP48SX. Mtodo (n = 4)Aproximacin Rectngulos * Extremos izquierdos7.584476 * Extremos derechos7.584476 UAN-ACBI 4M. GUERRERO RODRGUEZINTEGRALES ELPTICAS * Puntos medios7.695299 Trapecios7.584476 Regla de Simpson7.150712 Cavallieri7.640395579 Teorema de Legendre7.640395 HP48SX7.64039557806 Porlotanto,elresultadocorrectocorrespondealosproporcionadosenlostresltimos renglonesdelatablaanterior;concualquiercalculadoracientficaavanzadaoalgunosde los paquetes que ya existen para matemticas, se pueden verificar. Anexo.a) Proporciono un procedimiento de solucin propuesto por Cavallieri, este est basado en segmentos parablicos, ya que se ajusta mejor que los segmentos de recta. Entonces, como setratadeunafuncinpar,seintegrarunacuartapartedelrangoexistenteentre0y2 para posteriormente multiplicarse por cuatro, que es para cubrirse el intervalo deseado. = +dx x2 /02cos 1{ + + + + + 572553 . 2 357451 . 5 760078 . 2 622139 . 5 260 } 1 048647 . 4 093314 . 2 392916 . 4 319906 . 2 898979 . 4 + + + + + += +dx x2 /02cos 11.910098895 640395579 . 7 cos 1 42 /02= + = dx x s b) Tambin a continuacin se presenta el resultado obtenido con Maple 9: UAN-ACBI 5M. GUERRERO RODRGUEZINTEGRALES ELPTICAS Referencias. a)Mathews,J.H.&K.D.Fink(2004).NumericalMethodsusingMATLAB.U.S.A.: PEARSON / PRENTICE HALL. b)REAs(2000).ProblemSolversCalculus.NewJersey,U.S.A.:Research&Education Association. _______(1997).Handbookofmathematical,scientific,andengineering.NewJersey,U. S. A.: Research & Education Association. c)Wylie,C.R.&L.C.Barret(1995).AdvancedEngineeringMathematics.6thed.,U.S. A.: Mc Graw Hill, Inc. UAN-ACBI 6