integrales dobles triples

8/3/2019 Integrales Dobles Triples

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Integrales Iteradas Dobles y Triples

Como el caso de las derivadas de varias variables, en donde una variable se haca constante,

tambin se utiliza esto para integrar una funcin de varias variables.

Por ejemplo, si tenemos la derivada parcial: Podemos integrar con respecto a xhaciendo yconstante y resolver la integral de la siguientemanera:

En donde C(y) es una funcin de y. Esto quiere decir que al integrar solo con respecto axsolo se

puede reconstruir la funcin original parcialmente.

Ahora para obtener la integral definida se puede aplicar el teorema fundamental de clculo

para evaluar la funcin.

Tambin se puede integrar respecto de y haciendo x una constante. A continuacin se

muestran los procedimientos para ambas integrales.

Con respecto ax

Con respecto a yLas integrales iteradas son integrales dobles, triples, etc. Dependiendo el nmero de variables,

en general se les pueden llamar integrales mltiples. En estas integrales se integra primero con

respecto a una variable, dejando las dems como constantes, y el resultado de esa integral, se

vuelve a integrar con respecto a otra variable, y as sucesivamente.

Las integrales iteradas se escriben de la siguiente manera:


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Los limites interiores de la integral pueden ser funciones de las variables exteriores de

integracin y lo limites exteriores deben de ser constantes respecto a las dos variables de

integracin.

A continuacin se mostrara un ejemplo de integrales iteradas:

En el ejemplo se puede observar que xest en el intervalo y yest en el intervalo . Estos dos intervalos forman la regin de integracin R de la integral iterada.Integral Doble

Si fest definida en una regin cerrada R del planoxyla integral doble de fsobre R viene dadade la siguiente manera:

Si el lmite existe se dice que fes integrable sobre R.

Propiedades de las integrales dobles.

Sean fy g continuas en una regin cerrada y acotada R del plano, y cuna constante

Donde R es la unin de dos regiones R1,R2, sin solapamiento entre s.


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Teorema de Fubini

Seafcontinua en una regin plana R.

1. Si R est definida por y , donde g1 y g2 son continuas en[a, b] entonces

2. Si R est definida por y , donde h1 y h2 son continuas en[a, b] entonces

Ejemplo

Calcular

Donde R es la regin dad por .En esta ocasin R representa a un cuadrado de 1x1, es por eso que se puede escoger cualquier

orden de integracin.

Aplicaciones a reas y solucin de problemas

rea de una regin en el plano

Para obtener el rea de una regin en el plano tenemos que primero saber cules va a ser el

orden de integracin, esto se puede determinar al graficar las funciones que se tienen como

lmites de la regin R.

Por ejemplo si se tienen como limites dos rectas verticales y dos funciones que cortan estas

rectas, significa que esa es una regin verticalmente simple, lo que implica que nuestros lmites

exteriores sern esas rectas, por lo tanto el orden de integracin ser dydx. Para una regin que

es horizontalmente simple(tiene como lmite rectas paralelas al eje x) el orden de integracin

ser dydx.


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Para regiones vertical y horizontalmente simples sus reas estarn dadas por

Ejemplo

Calcular el rea entre las graficas f(x)=senx,g(x)=cos(x), entrex=/4 yx= 5/4.

Podemos ver que hay rectas que son paralelas al eje y, por lo tanto se utilizara el orden dydx,

tambin es importante ver que en la parte superior del rea estar f(x) y en la parte inferior

g(x).

Otra manera de saber qu orden de integracin usar, es que las regiones verticalmente simples

estn acotadas superior e inferiormente por graficas de funciones dex.

Volumen de una regin slida

Si f es integrable sobre una regin plana R y f(x,y)0 para todo (x,y) en R, el volumen de la

regin solida acotada inferiormente por R y superiormente por la grafica de fse define como

Ejemplo

Calcular el volumen de la regin solida limitada por el paraboloide z=4-x2-2y

2 y el planoxy.

Haciendo z=0 se observa que la regin en el plano xyes la elipse x2+2y

2=4, ya que esta regin

plana es horizontal y verticalmente simple, se puede usar cualquier orden de integracin.

Por lo tanto los lmites de la regin solida sern

y


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Integral doble en coordenadas polares

En algunos casos es mejor utilizar coordenadas polares para facilitar la resolucin de los

problemas, tal es el caso de las regiones circulares, en forma de cardioide o de ptalo de rosa, e

integrandos donde aparezca x2+y

2.

Hay que recordar que un punto en coordenadas rectangulares (x,y) se relaciona con las

coordenadas polares de forma x=rcos, y=rsen.

Cambio de variable a forma polar

Sea R la regin plana constituida por todos los puntos (x,y)=(rcos,rsen) que satisfacen las

condiciones 0g1()rg2(), donde 0(-)2. Si g1 y g2 son continuas en [,] yfes

continua en R entonces

Ejemplo

Usar coordenadas polares para calcular el volumen del solido limitado por arriba por el

hemisferio

Y por abajo por la regin circular R dad por

Que muestra la figura


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Los lmites de Rson

Se puede ver tambin que . En coordenadas polares los lmites son y Con altura de

Fuentes: Larson,Hosteler,Edwards. Calculo Volumen 2. Sexta Edicin. Capitulo 13

Granville.Calculo Diferencial e Integral. Capitulo XXV

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