integrales triples exponer.pptx

7/23/2019 Integrales Triples exponer.pptx

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Integrantes :

Garcia Melquiades Alec

Gonzales Argomedo Renzo

Prez Vizcarra, Pedro Mara Josu

Castillo Pulido, Marln

Vsquez Vsquez, Brenda

Curso : Matemtica IIITema : Integrales ri!le

Profesora : C"#ez Martnez $uc% &a%dee

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL


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Integrales Triples


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's la a!licaci(n sucesi#a de tres !rocesos de integraci(n

de)inida sim!le a una )unci(n de tres #aria*les ) +, %, z-.

tomando en consideraci(n en )unci(n de que #aria*le se

encuentran los lmites !ara sa*er cual di)erencial +d, d%,

dz- se utilizar !rimero % cual des!us % cual al )inal/

INTEGRAL TRIPLE:

UTILIDAD DE LAS INTEGRALES TRIPLES:

Generalmente se utilizan !ara el clculo de #ol0menes de

cur#as es!aciales cerradas o de cuer!os es!aciales tales

como es)eras, eli!soides, cu*os, tetraedros o

com*inaciones de estas su!er)icies/


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1ea ) una )unci(n continua de tres #aria*lesen una regi(n s(lida acotada B

1u!ongamos !rimero que B es una ca2a rectangular

+!aralele!!edo rectangular-

RR13) 4

( ){ }qz!,d%c,*a5z,%,B =

[ ] [ ] [ ]q,!d,c*,aB =


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Primero di#idamos el rectnguloBen nsu*ca2as / Para esto di#idamos los treslados en n !artes iguales/'l inter#alo 6a,*7 quedar di#idido en n su*inter#alos, con una anc"o

igual a

6c,d7 quedar di#idido en n su*inter#alos con anc"o igual a

% el inter#alo 6!,q7 en su*inter#alos con anc"o igual a

[ ]i8i ,

[ ]282 %,% %[ ]989 z,z z


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Cada su*ca2a Bi29tiene un #olumen /

1i )ormamos la suma tri!le de Riemann

:e)inimos la integral tri!le como el limite de las sumas tri!les

riemannianas, !ara cuando la norma de la !artici(n tiende a cero

z%V =

( )

( ) i29i29i29i29

n

8i

n

82

n

89

i29i29i29

Benestz,%,muestra!untoeldonde

Vz,%,) = = =


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1ea ) una )unci(n continua de tres #aria*les, de)inida en una regi(ns(lida acotada B, si

eiste, decimos que ) es integra!een B/ Adems la

llamada la integra! tri"!ede ) en B, est dada entonces !or

:e)inici(n3 # La integra! tri"!e$

( ) Vz,%,)limn

8i

n

82

n

89

i29i29i29;

= = =

dV-z,%,+)B

( ) ( ) Az,%,)limdVz,%,)n

8i

n

82

n

89

i29i29i29;

B

= = = =


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1ean ) % g )unciones integra*les regi(n s(lida B, % sea c unaconstante/ 'ntonces ) < g % c) son integra*les %

#Pro"ie%a%es %e !a integra! tri"!e$

:onde B es la uni(n de dos regiones s(lidas B8% B= sinsola!amiento/

[ ] +=+B BB

dV-z,%,+gdV-z,%,+)-z,%,+g-z,%,+)

= BB dV-z,%,+)cdV-z,%,+c)

+=B BB =8

dV-z,%,+)dV-z,%,+)dV-z,%,+)


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#C&!'u!o %e integra!es tri"!es $

Teorema %e Fuini "ara !as integra!es tri"!es$>1i ) es continua en una ca2a rectangular

entonces, si eiste cualquier integral iterada es igual a la integraltri!le?

Al igual que con las integrales do*les, el mtodo !rctico !ara

e#aluar las integrales tri!les es e!resarla como integrales iteradas

As sucesi#amente +en total "a% seis ordenaciones-

[ ] [ ] [ ]q,!d,c*,aB =

==

==

*

a

q

!

d

c

q

!

*

a

d

c

q

!

d

c

*

aBB

d%dzd-z,%,+)

d%ddz-z,%,+)

dd%dz-z,%,+)dd%dz-z,%,+)dV-z,%,+)


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E(em"!os:


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E(em"!os:


12/39

E(em"!os:


13/39

E(em"!os:


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1ea 1 un con2unto cerrado % acotado en el es!acio

tridimensional/ 1ea B cualquier ca2a que contiene a 1

:ada ) de)inida % continua en 1, de)inimos una nue#a )unci(n @

con dominio B mediante

Defini'i)n:#La integra! sore regiones e!ementa!es$

=

B%-+,%1z-%,+,si;

1enest-z,%,+si-z,%,+)-%,+@


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Defini'i)n:#La integra! sore regiones e!ementa!es$

1i la integral tri!le de @ eiste so*re 1, entonces de)inimos laintegral tri!le de ) so*re 1 como

ota3 'sta integral eiste si ) es continua % la )rontera de 1 es

razona*lemente sua#e/

=B1

dV-z,%,+@dV-z,%,+)


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Regiones3#Ti"o * o +,sim"!es$1e dice que una regi(n s(lida B es de ti!o 8 si se "alla entre las

gr)icas de dos )unciones continuas de e % , es decir

donde :%es la !ro%ecci(n de 1 en el !lano / $a )ronterasu!erior del s(lido es la su!er)icie de

ecuaci(n en tanto que

la )rontera in)erior es la su!/ de

ecuaci(n

#La integra! tri"!e sore regiones e!ementa!es:Regiones ti"o *

1

( ) ( ){ }-%,+z-%,+,:%,5z,%,1 =8% =

-%,+z ==

-%,+z 8=


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'ntonces si 1 es una regi(n ti"o *

Adems, si la !ro%ec/D-.de 1 so*re el !lano es una regi(n ti"o*

la ecuaci(n anterior se con#ierte en

%Dg=+-%Dg8+-

1

=

%

=

8:

-%,+

-%,+1

dAdz-z,%,+)dV-z,%,+)

( ){ }-%,+z-%,+-,+g%-+g,*a5z,%,1 =8=8 =

=

*

a

-+g

-+g

-%,+

-%,+

1

=

8

=

8

d%ddz-z,%,+)dV-z,%,+)


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'2ercicioE'#al0e la integral tri!le

donde 1 es el tetraedro

s(lido acotado !or los cuatro !lanos

D; , %D; , zD; %


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Fna regi(n s(lida 1 es de ti"o / si es de la )orma

:onde :%z es el !ro%ecci(n so*re el !lano /

$a su!er)icie de atrs es , la su!er)icie de en)rentees as que tenemos

Regiones ti"o /

-z,%+ 8=

( ) ( ){ }-z,%+-z,%+,:%,5z,%,1 =8%z =

-z,%+ ==

=

%z

=

8:

-z,%+

-z,%+1

dAd-z,%,+)dV-z,%,+)


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Fna regi(n s(lida 1 es de ti"o 0 si es de la )orma

:onde :z es el !ro%ecci(n so*re el !lano /

$a su!er)icie de la izq/ es , la su!er)icie de laderec"a es as que tenemos

Regiones ti"o 0

-z,+% 8=

( ) ( ){ }-z,+%-z,+,:%,5z,%,1 =8z =

-z,+% ==

=

z

=

8:

-z,+

-z,+1

dAd%-z,%,+)dV-z,%,+)


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E(er'i'ios


22/39

E(er'i'ios


23/39

E(er'i'ios


24/39

E(er'i'ios


25/39

E(er'i'ios


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E(er'i'ios


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CONSIDERACIONES I1PORTANTES

A!licacionesde la integral tri!le

Fna )orma alternati#a del eorema de Green es la siguiente3

Anlogamente, el eorema de la di#ergencia, llamado tam*in

de Gauss relaciona una integral tri!le so*re una regi(n s(lida

H con una integral de su!er)icie so*re la su!er)icie de H/ Para

!oder a!licar este eorema es necesario que la su!er)icie

1 sea cerrada % que corres!onda adems, al *orde com!leto

del s(lido H/


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eorema de la di#ergencia

'n clculo #ectorial, el teorema %e !a %i2ergen'ia, tam*in llamado teorema %eGauss, teorema %e Gauss Ostrogra%s3., teorema %e GreenOstrogra%s3.o teorema %e Gauss Green Ostrogra%s3., relaciona el )lu2o deun cam!o #ectorial a tra#s de una su!er)icie cerrada con la integral de

su di#ergencia en el #olumen delimitado !or dic"a su!er)icie/ Intuiti#amente se

!uede conce*ir como la suma de todas las )uentes menos la suma de todos los

sumideros da el )lu2o de salida neto de una regi(n/ 's un resultado im!ortanteen )sica, so*re todo en electrosttica % en dinmica de )luidos/ :esde el !unto de

#ista matemtico es un caso !articular del teorema de 1to9es/

&istoria

'l teorema )ue descu*ierto originariamente !or Jose!" $ouis $agrange en 8=,e inde!endientemente !or Carl @riedric" Gauss en 8K84, !or George Green en

8K=L % en 8K48 !or Mi9"ail Vasilie#ic" strograds9%, que tam*in dio la

!rimera demostraci(n del teorema/ Posteriormente, #ariaciones del teorema de

di#ergencia se conocen como teorema de Gauss, el teorema de Green, % eorema

de strograds9%/


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'nunciado

'ste resultado es una consecuencia natural del eorema de 1to9es, el cual

generaliza el eorema )undamental del clculo/ 'l teorema )ue enunciado !or el

matemtico alemn Carl @riedric" Gauss en 8K4L, !ero no )ue !u*licado

"asta 8K/ :e*ido a la similitud matemtica que tiene el cam!o elctrico con

otras le%es )sicas, el teorema de Gauss !uede utilizarse en di)erentes !ro*lemas

de )sica go*ernados !or le%es in#ersamente !ro!orcionales al cuadrado de la

distancia, como la gra#itaci(n o la intensidad de la radiaci(n/ 'ste teorema

reci*e el nom*re de le% de Gauss % constitu%e tam*in la !rimera de

las ecuaciones de MaNell/


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'2em!lo de a!licaci(n

A!licando el teorema de la di#ergencia tenemos3


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APLICACI4NDEL TEORE1A DE LA DIVERGENCIA O DE GAUSS

'J'MP$ 83 1ea H la regi(n s(lida acotada !or los !lanos de

coordenadas % !or el !lano

1oluci(n3 'n la )igura de la derec"a #emosque H est acotada !or cuatro !orciones de

su!er)icie/ 'n consecuencia, seran

necesarias 'uatro integrales de su!er)icie

!ara calcular la %o!e integral anterior/


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1in em*argo, el teorema de la di#ergencia !ermite llegar al

resultado con s(lo una integra! tri"!e/ Realizando losiguiente3enemos que 3


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Cam*io de #aria*les en integrales tri!les/

'l teorema del cam*io de #aria*les !ara integrales tri!les esanlogo al de integrales do*les/ 'l resultado corres!ondiente es


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Vamos a descri*ir los cam*ios de #aria*les ms im!ortantes en R4

indicando a qu ti!o de recintos de integraci(n estn asociados/

'2em!los "a*ituales de cam*ios de #aria*les/


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Cam*ios de Varia*le usuales


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FACULTAD DE INFORMTICA ANLISISMATEMTICO DPTO. DE MATEMTICA APLICADA

2 CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE.

GRADO DE INGENIERA AEROESPACIAL. CURSO201112. MATEMTICAS II. DPTO. DE

MATEMTICA APLICADA II Leccin 2. Ine!"#$e%&'$i($e%.

Bi!iograf5a


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Lin3ografia:

Integra!es 16!ti"!es . sus a"!i'a'iones"tt!355NNN/ing/uc/edu/#e5Ogcisneros5!d)5Intri!les/!d)

Integra!es Tri"!es "tt!355NNN/monogra)ias/com5tra*a2osK5integralesEtri!les5integrale

sEtri!les/s"tml

Integra!es Tri"!es "tt!355NNN/Ni9imatematica/org5inde/!"!titleDIntegralesQtri!les

E(er'i'ios %e Integra!es Tri"!es "tt!355NNN/e"u/eus5Omt!alez!5li*ros5;LQ/!d)

Teorema %e !a %i2ergen'ia "tt!s355es/Ni9i!edia/org5Ni9i5eoremaQdeQlaQdi#ergencia

E(er'i'io Integra!es Tri"!es , Ca!'u!o Integra!"tt!s355NNN/%outu*e/com5Natc"#DGLnN@="i*
http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdfhttp://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdfhttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_tripleshttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_tripleshttp://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdfhttp://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdfhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergenciahttps://www.youtube.com/watch?v=G5nwF2hibX4https://www.youtube.com/watch?v=G5nwF2hibX4https://www.youtube.com/watch?v=G5nwF2hibX4https://www.youtube.com/watch?v=G5nwF2hibX4https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergenciahttp://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdfhttp://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdfhttp://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdfhttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_tripleshttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_tripleshttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdfhttp://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdf


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Gracias

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