UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA – IZTAPALAPADIVISION DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

CURSO

Calculo de Varias Variables II

Integral de lınea de funciones escalaresLISTA DE EJERCICIOS No. 4

Parte I. (iniciar en una nueva hoja)

1. Calcule las siguientes integrales:

a)

∫~σ

(x+ 3y) ds, donde ~σ(t) = (t− 1, 3t− 2), t ∈ [−1, 1].

b)

∫~σxy ds, donde ~σ(t) = (3 cos t, 4 sen t), t ∈ [0, π].

c)

∫~σ

(x+ y) ds, donde ~σ(t) = (t− 1, t2), t ∈ [−1, 1].

d)

∫~σe√z ds, donde ~σ(t) = (1, 2, t2), t ∈ [0, 1].

e)

∫~σyz ds, donde ~σ(t) = (t, 3t, 2t), t ∈ [1, 3].

f )

∫Cxy ds, donde C es el contorno del cuadrado |x|+ |y|=1.

g)

∫Cxy ds, donde C es la cuarta parte de la elipse x2

a2+ y2

b2= 1, situada en el primer

cuadrante.

2. Muestre que la integral de lınea de f(x, y) a lo largo de una trayectoria dada en coordenadaspolares por r = r(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2, es:

∫ θ2

θ1

f(r cos θ, r sen θ)

√r2 +

(dr

dθ

)2

dθ

3. Usando el ejercicio anterior, calcular∫C(x+ y) ds, donde C es el lazo derecho de la lemniscata

r =√

cos 2θ.

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Parte II. (iniciar en una nueva hoja)

1. Halle la masa total de un alambre cuya forma es la de la curva y = lnx, comprendida entrex1 = 1 y x2 = 2, si la densidad en cada punto de el es igual al cuadrado de la abscisa delpunto.

2. Halle las coordenadas del centro de masa del alambre homogeneo cuya forma es la de la mitaddel cuadrado |x|+ |y| = 1 correspondiente a y ≥ 0.

3. Hallar la masa de un alambre que sigue la interseccion de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el planox+ y + z = 0 si la densidad en (x, y, z) esta dada por ρ(x, y, z) = x2.

4. Calcular el area del cilindro x2+y2 = r2 que se encuentra dentro de la esfera x2+y2+z2 = R2,(r < R).

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