integral indefinida

7/18/2019 Integral Indefinida

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CAPITULO V

INTEGRAL INDEFINIDA

5.1 Primitiva. Integral indefinida

Los dos conceptos fundamentales del cálculo se desa-

rrollan a partir de ideas geométricas relacionadas con

las curvas. La derivada nos llega de la construcción de

tangentes a una curva; la integral nos viene del cálculo

del área de una región limitada por una curva.

Definición Primitiva de una funciónUna función F ( x) se denomina primitiva para la fun-

ción f ( x) en el intervalo abierto (a; b), si en cualquier

punto x del intervalo (a; b), la función F ( x) es diferen-ciable y tiene la derivada F ´( x) = f ( x).

Es evidente que si la función F ( x) es una primitiva de

la función f ( x) sobre cierto intervalo (a; b), es decir

F ( x) es continua sobre (a; b) y en todos sus puntos

menos cierto conjunto finito se cumple la condición

F ´( x) = f ( x), entonces para cualquier constante C , la

función F ( x) + C también es continua sobre el interva-

lo (a; b) y en todos sus puntos menos el conjunto finito

indicado se cumple la condición

( F ( x) + C )´= F ´( x) + C ´ = f ( x)

es decir, la función F ( x) + C también es primitiva de la

función f ( x) sobre el intervalo (a; b).

TeoremaSi F ( x) es una primitiva para la función f ( x) en (a; b),

entonces F ( x) + C es también una primitiva, donde C

es un número constante cualquiera.

Teorema Sean F ( x) y G( x) dos primitivas para f ( x) en el interva-

lo (a; b), entonces F ( x) - G( x) = C en (a; b), donde C

es una constante.

Los teoremas estudiados hasta ahora nos permite afir-

mar que basta determinar una primitiva F ( x) de unafunción dada f ( x), para conocer todas las primitivas de

la función f ( x), ya que las mismas difieren de F ( x) en

una constante. Destacamos esta importante conclusión

en la siguiente definición.

Definición Integral indefinidaEl conjunto de todas las primitivas de la función f ( x)

definidas sobre cierto intervalo (a; b) se denomina

integral indefinida de la función f ( x) sobre este interva-

lo y se representa con el símbolo ( ) f x dx .

El signo se denomina signo integral, la expresión

f ( x)dx se llama expresión subintegral y la función f ( x),

función subintegral.

Las propiedades que se dan a continuación se deducen

inmediatamente de las propiedades de las funciones

derivables. Supondremos que todas las funciones anali-zadas están definidas sobre un mismo intervalo (a; b).

Ante todo señalemos dos propiedades que se despren-

den directamente de la definición de la integral indefi-

nida:

1) ( ) ( )d f x dx f x dx . Esta propiedad significa que

los símbolos d y se reducen mutuamente si el símbolo

de la diferencial está delante del símbolo de la integral.

2) ( ) ( )dF x F x C . Esta propiedad significa que los

símbolos y d se reducen mutuamente si el símbolo de

la integral está delante del símbolo de la diferencial,

pero, en este caso, hay que adicionar a F ( x) una cons-

tante arbitraria C .

Las dos propiedades siguientes suelen denominarse

propiedades lineales de la integral.

Teorema Si las funciones f ( x) y g ( x) admiten funciones primiti-

vas en un cierto intervalo, se verifica

[ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx .

TeoremaSi la función f ( x) admite una función primitiva en un

intervalo dado entonces se verifica

( ) ( )kf x dx k f x dx .

Hasta aquí hemos definido la integral indefinida y

estudiado sus propiedades; ahora nos preguntamos,

¿cómo calcular la integral indefinida de una función?

Las próximas secciones de este capítulo están dedica-

das al estudio de los métodos de integración, que darán

respuesta a la pregunta anterior.



INTEGRAL INDEFINIDA

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386

5.2 Integrales inmediatas

Definición Se llaman integrales inmediatas, aquellas integrales

que se calculan directamente a partir de la definición

de derivada.

Solamente se pretende que memorice las fórmulas de

integración inmediata que relacionamos a continua-

ción, pero no es difícil comprobar cualquiera de ellas,

aplicando las definiciones de las derivadas de funcio-

nes que hemos estudiado.

Por tanto, todas las reglas de derivación de funciones

que hemos estudiado, permiten encontrar una fórmula

para calcular una integral indefinida. En particular las

formas más directas, permiten construir la siguiente

colección de integrales inmediatas, que se conoce

generalmente como tabla de integrales inmediatas

fundamentales.

Si u = f ( x), entonces du = f ´( x)dx, entonces:

1) 0du C .

2) du u C .

3)1

1

nn u

u du C n

, n -1.

4) lndu

u C u

, x 0.

5)ln

uu a

a du C a

, a > 0, a 1.

6) u ue du e C .

7) Senu du Cosu C .

8) Cosudu Senu C .

9)ln

ln

Cosu C Tanu du

Secu C

10) lnCotu du Cscu C .

11)

ln

ln4 2

Secu Tanu C

Secu du uTan C

.

12)

ln

ln2

Cscu Cotu C

Cscudu uTan C

.

13) SecuTanudu Secu C .

14) CscuCotudu Cscu C .

15) 2Sec udu Tanu C ,

16) 2Csc u du Cotu C ,

17)2 2 2

1du bu ArcTan C

ab aa b u

.

18)2 2 2

1ln

2

du bu aC

ab bu aa b u

.

19)2 2 2

1ln

2

du bu aC

ab bu ab u a

,

20) 2 2 2

2 2 2

1ln

dubu a b u C

ba b u

.

21)2 2 2

1du bu ArcSen C b aa b u

.

22) 2 2 2

2 2 2

1ln

dubu b u a C

bb u a

.

23) Senhudu Coshu C .

24) Coshudu Senhu C .

25) lnTanhu du Coshu C .

26) lnCotu du Senhu C .

27) ( )Secudu ArcTan Senhu C .

28) ln2uCscu du Tanh C .

29) SechuTanhudu Sechu C .

30) CschuCothudu Cschu C , u 0.

31) 2Sech udu Tanhu C .

32) 2Cosch u du Cothu C , u 0.

Se sobreentiende que si el denominador de la función

subintegral se anula en cierto punto, entonces las fór-

mulas escritas serán válidas sólo para aquellos interva-

los en los cuales no se anula el denominador indicado.Esta observación se refiere también a las situaciones

análogas que nos encontraremos en el futuro y que no

serán comentadas cada vez.



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387

5.3 Integración por cambio de variables

El método de integración por cambio de variable con-

siste en efectuar en una integral indefinida un cambio

de variable, de manera que se simplifique la integral o

se transforme en una integral indefinida conocida.

Teorema Sea que la función t = h( x) está definida y es diferen-

ciable sobre cierto conjunto D y sea C el conjunto de

los valores de esta función. Luego, sea que para la

función g (t ) existe la función primitiva G(t ) sobre el

conjunto C , es decir,

( ) ( ) g t dt G t C .

Entonces, sobre todo el conjunto D, para la función

g (( x))´( x) existe la función primitiva igual a G(h( x))

es decir

( ( )) (́ ) ( ( )) g h x h x dx G h x C

.

Este procedimiento de calcular la integral ( ) f x dx se

denomina integración por cambio de variable.

EjemploSe estima que dentro de t meses la población de una

cierta ciudad estará cambiando a un ritmo de t 62

personas por mes. La población actual es de 60000.

¿Cuál será la población dentro de 1 año?

SoluciónLa población de la ciudad dentro de t meses está dada

por t t P 62)( . La derivada de P es el ritmo decambio de la población con respecto al tiempo t . Es

decir

t dt

dP 62

Sabemos que la función de población P es la primitiva

de t 62 . Esto es

3

2( ) (2 6 ) 2 4 P t t dt x x K

para alguna constante K . Para determinar K , tenemos

que en el momento presente, es decir, cuando t = 0 la

población es de 60000. Esto es

K 2

3

)0(4)0(260000 K = 60000

Por tanto

6000042)( 2

3

x xt P

En 1 año la población será3

2(12) 2(12) 4(12) 60000 60190 P Personas.

Ejemplo Se estima que dentro de t semanas el número de usua-

rios que usan el trolebús estará creciendo a un ritmo de

18t 2 + 500 por semana. Actualmente 8000 usuarios

usan el trolebús. ¿Cuántos lo usarán dentro de 5 sema-

nas?

Solución El ritmo de crecimiento de usuarios está dada por

218 500dU

t dt

2(18 500)dU t dt

Integrando esta expresión, obtenemos2(18 500)dU t dt 3

6 500U t t K

Cuando t = 0, tenemos38000 6 0 500 0 K K = 8000

Es decir, la ecuación general queda de la siguiente

forma3

6 500 8000U t t . Cuando t = 5, obtenemos

36 5 500 5 8000U U = 11250

Lo cual indica que dentro de 5 semanas, 11250 perso-

nas usarán el trolebús.

Ejemplo Las estadísticas reunidas por el departamento de cárce-

les de una determinada ciudad, indica que dentro de t

años el número de internos en las prisiones de la pro-

vincia habrán aumentado a un ritmo de 280e0.2t por año.

Actualmente 2.000 internos están alojados en las pri-

siones de la provincia. ¿Cuántos internos deben esperar

tener la provincia dentro de 10 años?Solución El ritmo de aumento de internos en las cárceles es

0.2280 t dI e

dt 0.2

280 t

dI e dt

Integrando esta expresión, obtenemos

0.2280 t dI e dt

1

5280 5t

I e K

1

51400t

I e K

Cuando t = 0, tenemos1

052000 1400e K

K = 600

Es decir, la ecuación general queda de la siguiente

forma

6001400 5

1

t

e I

Cuando t = 10, obtenemos1

1051400 600 I e

I = 10944

Lo cual indica que dentro de 10 años, 10944 internos

tendrán las cárceles de la provincia.



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388

Ejemplo El valor de reventa de una cierta maquinaria industrial

decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su

valor actual y su valor de desguace de 5.000 dólares.

La maquinaria se compró nueva por 40.000 dólares y

valía 30.000 dólares después de 4 años. ¿Cuánto valdrá

cuando tenga 8 años?

Solución Sabemos que el valor de reventa esta dado por

( )a d

dV C V V

dt ( 5000)

dV C V

dt

5000

dV C dt

V

Integrando esta expresión, tenemos

5000

dV C dt

V

ln 5000V Ct K

5000 Ct V Ke

Cuando t = 0, obtenemos 040000 5000 C Ke K = 35000

Cuando t = 4, obtenemos

30000 5000 35000 Ct e 1 5

ln4 7

C

Por tanto1 5

ln4 75000 35000

t

V e

Si t = 8, entonces1 5

ln 84 75000 35000V e

V = 22857

La maquinaria industrial, valdrá 22857 dólares cuando

tenga 8 años.

Ejemplo El ritmo al que se propaga una epidemia por una ciu-

dad es conjuntamente proporcional al número de resi-

dentes que han sido infectados y al número de residen-

tes susceptibles que no lo han sido. Exprese el número

de residentes que han sido infectados como una fun-

ción del tiempo.

Solución Hacemos que t es el tiempo, P el número de residentes

que han sido infectados y Q el número total de residen-

tes susceptibles. Entonces el número de residentes

susceptibles que no han sido infectados es Q –

P , y laecuación que describe la propagación de la epidemia

es

( )dP

kP Q P dt

donde k es la constante de proporcionalidad. Esta

ecuación se puede expresar como

( )

dP k dt

P Q P

A dP B dP

k dt P Q P

1 1dP dP k dt

Q P Q Q P

t k K P QQ

P Q

ln1

ln1

1 ln P K k t Q Q P

QK t Qk

P Q P

ln

lo que puede resolverse como

Qkt QK P e

Q P

1

QK Qk t

QK Qk t

Qe e P

e e

1 QK Qk t

Q P

e e

Finalmente, represente la constante eQK por α y use la

notación funcional

( )1 Qk t

Q P t

e

Haciendo cálculos, podemos establecer que ( ) 2

Q

P t

corresponde al punto de inflexión de la curva P (t ), lo

cual indica que la epidemia se está propagando más

rápidamente cuando la mitad de los residentes suscep-

tibles han sido infectados.

Ejemplo El ritmo al que cambia la temperatura de un objeto es

proporcional a la diferencia entre su propia temperatura

y la del medio que le rodea. Se saca de un refrigerador

una bebida fría en un cálido día de verano y se sitúa en

una habitación a 80ºF. Exprese la temperatura de la

bebida como una función del tiempo si la temperatura

de la bebida era de 40ºF cuando salió del refrigerador yde 50ºF veinte minutos después.

Solución Según la ley de enfriamiento de Newton

00( )a

dT C T T

dt


0

0 80

dT C dt

T

0ln 80T Ct K

0 80 C t T K e

Cuando t = 0, se tiene040 80 C K e K = 40.

Cuando t = 20, se tiene

2050 80 40 C e 203 4 C e 1 3

ln20 4

C

Con los valores encontrados, tanto para K como para C ,

tenemos1 3

ln20 4

0 80 40t

T e

.



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389

Ejemplo Un estudio ambiental de una cierta comunidad sugiere

que dentro de t años el nivel de monóxido de carbono

en el aire estará cambiando a un ritmo de 0.1t + 0.1

partes por millón por año. Si el nivel actual de monó-

xido de carbono en el aire es de 3.4 partes por millón,

¿cuál será el nivel dentro de 3 años?

Solución El ritmo al que cambia el nivel de monóxido de car-

bono esta dado por

0,1 0,1dNco

t dt


(0,1 0,1)dNco t dt 21 1

20 10 Nco t t K

Como el nivel actual de monóxido de carbono es 3.4

ppm, entonces

21 13,4 0 0

20 10

t K K = 3,4

21 13.4

20 10 Nco t t

Dentro de 3 años se tendrá un nivel de monóxido de

carbono de

21 13 3 3.4

20 10 Nco 4,15 Nco ppm.

Ejemplo Se estima que dentro de t meses la población de una

cierta ciudad estará cambiando a un ritmo de

2

34 5t

personas por mes. Si la población actual es de 500.000

personas, ¿cuál será la población dentro de 1 año?

Solución El ritmo al que cambia una población es

2

34 5dP

t dt

Integrando esta expresión, obtenemos2

3(4 5 )dP t dt

5

34 3 P t t K

Como la población actual es de 500.000 personas,

entonces5

3500.000 4 0 3 0 K K = 500.000

534 3 500.000 P t t

Dentro de 1 año se tendrá una población de5

34(12) 3(12) 500.000 P

P = 500236 personas.

Ejemplo Halle la ecuación de la función cuya tangente tiene una

pendiente de 3 x + 6 x – 2 para cada valor de x y cuyo

gráfico pasa por el punto (0, 6).

Solución La pendiente de la tangente está dada por

2(́ ) 3 6 2 f x x x

Por lo tanto, integrando esta expresión, encontramos2(3 6 2)df x x dx 3 2( ) 3 2 f x x x x K

Como la gráfica pasa por el punto (0, 6), entonces3 26 0 3 0 2 0 K K = 6

de donde, la ecuación de la función tiene la forma3 2( ) 3 2 6 f x x x x .

Ejemplo Halle la ecuación de la función cuyo gráfico tiene un

mínimo relativo cuando x = 1 y máximo relativo cuan-

do x = 4.

Solución

Los puntos de máximos y mínimos los encontramosigualando a cero la primera derivada, es decir

(́ ) 0 f x (́ ) ( 1)( 4) f x x x

Por lo tanto, integrando esta expresión, encontramos

2( 5 4)df x x dx 3 21 5( ) 4

3 2 f x x x x K

de donde, la ecuación de la función tiene la forma

3 21 5( ) 4

3 2 f x x x x K

donde K puede tomar cualquier valor.

Ejemplo Un objeto se mueve de forma que su velocidad después

de t minutos es de 3 + 2t + 6t 2 metros por minuto. ¿Qué

distancia se desplazará el objeto durante el segundo

minuto?

Solución Como la velocidad es igual a la primera derivada de la

distancia, entonces 23 2 6dx

v t t dt

.

Integrando esta expresión, encontramos2(3 2 6 )dx t t dt 2 3

3 2 x t t t K

Reemplazamos en esta ecuación t = 22 3(2) 3 2 2 2 2 x K x = 26 + K

Por tanto en el segundo minuto se desplazara 26 + K metros.

Ejemplo Se lanza una piedra hacia arriba, con una velocidad

inicial de 64 pies por segundo desde una altura de 8

pies. Suponiendo que es insignificante la resistencia del

viento, la piedra tiene una aceleración gravitacional de

– 32 pies por segundo por segundo. Calcule la altura

que alcanza la piedra en el tiempo t .



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390

Solución Sabemos que

( ) dh

v t dt

( )dh v t dt

Como v(t ) = v0 + at , entonces

0( )dh v at dt (64 32 )dh t dt Integrando esta expresión, tenemos

(64 32 )dh t dt 264 16h t t K

Cuando t = 0, tenemos2

8 64 0 16 0 K K = 8

De esta manera tenemos que2

64 16 8h t t pies.

5.3.1 Tarea

1) Calcular la siguiente integral:

a) 5

2

( 2) x

x

e dx

e

; b)

23

3

( ) x x dx

x x

; c)

2

2

( 5)

4 4 6

x dx

x x

; d) 1 5

57

x

x

e dx

e

;

e)

23

2

1 xdx

x

;f)

5 23 2 x x dx ; g) 2

3 ln

dx

x x ;

h) 25

xe dx

x

;

i) 4 2

3

x dx

x ; j)

3

2

( 1) x

x

e dx

e

; k) 4

3

1

x dx

x ; l) 6(3 1)

dx

x ;

m) 2

( 3)

1 2

x dx

x x

; n)

3

3

( 1)

1

x

x

e dx

e

; o) 4

2

1

x dx

x ; p)

2

2 4(1 )

x

x

e dx

e ;

q) 5

(1 )

dx

x x ; r) 24(2 ) x dx

x

; s)

7 5

dx

x ; t) 2

( 3)

6

x dx

x x

;

u) 3 7

3 5 7

Sen x dx

Cos x ; v) 2

3 5

dx

x x ; w)

2

2

2 1

x

x

dx

; x) 3

43 7

x dx

x ;

y) ln 1 ln x x x dx ; z) 3ln7 xe dx .


a) 3

5

( ) x x x dx

x

; b)

3(2 5 )

3

x x

x

dx ;

c) 3(2 3 2 4) x x dx ;

d) 2

( 3)

3 1

x dx

x x

; e)

2

(2 1)

10 22

x dx

x x

; f)

23

3

( ) x x x dx

x

;

g) 4 3 5

3

( ) x x dx

x

;

h) 54 (2 4 ) x dx ; i) 2

8 12

x dx

x x ;

j) 1

(3 4 )

2

x x x x

x

a e dx

; k)

2

( 3)

4 12 7

x dx

x x

; l)

2

( 5)

6 10

x dx

x x

;

m) 2 2 1

x dx

x xCosk ; n)

1

1

2( 1) 1

x

xe dx

x x

;

o)

3

1 5 3

Sec x dx

Tan x

;

p) ( 3 3 )

3

Sen x Cos x dx

Sen x

; q)

4 4

2Sen xdx

Sen x Cos x ; r) 2( ) 1

xCosx dx

x Senx Cosx ;

s) 2 5 25

Tan xe Sec x dx

; t)

1 3

32 2(2 7) x x dx ; u)

21

(1 2ln ) x

x x dx ;



INTEGRAL INDEFINIDA

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391

v) 2

2

5 ln(3 )

3

x x dx

x

; w) (1 ln ) x x x dx ;

x)

2ln( 1)

2 2

(2 1)

( 1) ln( 1)

x x x e dx

x x x x

;

y) 2 2Sec xTan x dx ; z)

2

2

7 3

Sen x dx

Sen x

.


a)4

26 7

x dx

x x ; b) 2

( 4)

4 20 27

x dx

x x

; c) 3

2

( 3 )

6 13

x x dx

x x

; d) 2

24 2

x dx

x x ;

e) 2

( 1)

2 4 4

x dx

x x

; f) 27

3 3

Sen x dx

Cosx ; g) 2

2

( 3 )

9 6 4

x x dx

x x

; h) 2

2

(2 )

6 10

x dx

x x

.

5.4 Integración por partes

Entre los métodos muy eficaces de integración figura

el método de integración por partes. Cuando no poda-

mos arreglar el integrando de una integral indefinidade modo que se pueda aplicar una de las integrales

inmediatas, debemos buscar otros métodos para eva-

luar la integral. Uno de ellos es la integración por

partes y se basa en la siguiente afirmación.

Teorema Sea que cada una de las funciones u( x) y v( x) es conti-

nua sobre un intervalo dado, diferenciable en todos sus

puntos excepto un conjunto finito de ellos y sobre este

intervalo existe la primitiva de la función v( x)u´( x)

sobre este intervalo. Entonces sobre este mismo inter-

valo existe también la primitiva de la función u( x)v´( x)

con tal que es válida la fórmula( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx .

Esta fórmula permite sustituir el problema de calcular

la integral u dv por el de calcular la integral v du .

En algunos casos concretos esta integral se calcula sin

dificultad. El cálculo de la integral u dv aplicando la

fórmula se denomina integración por partes. Preten-

demos no sólo que memorice dicha fórmula, sino que

mediante la aplicación de conceptos que ya ha estudia-

do y de la ejercitación correspondiente, sea capaz tanto

de reconocer las integrales que puedan calcularse apli-cando este método, como de calcularlos.

Ejemplo Calcular la integral

a) 2

2 2

( 1 )

1

x x ArcSenx dx

x x

; b) x xe ArcTane dx ;

c) 2

2(2 ln 2ln 1) x xe x x x dx .

Solución a) Descomponemos la integral dada en dos integrales

2

22 2 2

(2)(1)

( 1 )

1 1

x x ArcSenx dx dx ArcSenx dx

x x x x x

Trabajamos en la segunda integral. Sea

u = ArcSenx,21

dxdu

x

,

2

dxdv

x ,

1v

x .

Reemplazamos en la fórmula general y obtenemos

2 2

1

1 1

dx dx I ArcSenx

x x x x x

1

ArcSenx C

x

.

b) Si y = e x, dy = e xdx, entonces la integral original se

transforma en x xe ArcTane dx ArcTany dy

Haciendo

u = ArcTany,21

dydu

y

, dv = dy, v = y.

Reemplazamos en la fórmula general

21

y dy I yArcTany

y

21ln 1

2 yArcTany y C

2ln 1

x x xe ArcTane e C .

c) Descomponemos la integral original en tres integra-

les2

2(2 ln 2ln 1)

x xe x x x dx

2 2 23

(1)

2 ln 2 ln x x x x e x x e x dx x e dx



INTEGRAL INDEFINIDA

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392

Trabajamos únicamente en la primera integral. Sea

u = x2ln x, du = ( x + 2 xln x)dx,2

2 xdv xe dx ,2 xv e .

Reemplazamos en la fórmula general y obtenemos2 2 2

21 ln 2 ln x x x I x e x xe dx xe xdx .

Por lo tanto2 2 2

2 ln 2 ln x x x I x e x xe dx xe xdx 2 2 2

22 ln ln x x x xe xdx xe dx x e x C .

Ejemplo Se observa que la población de una ciudad crece con la

rapidez t dP te

dt , donde P (t ) representa la población

para el tiempo t ≥ 0 años. Si la población inicial es

800.000, ¿cuál será 10 años más tarde?

Solución

El modelo de población es( ) t P t te dt ( ) t t P t te e K .

Como P (0) = 800.000, entonces0800.000 0 e K 800.001 K .

De esta manera, tenemos

( ) 800.001t t P t te e .

Por tanto, después de 10 años la población es10 10(10) 10 800.001 998239 P e e .

Ejemplo El número N en cientos de campistas que utilizan los

servicios de cierto parque nacional durante el año t se

estima que varía con una rapidez4

5

3 2

( 2)

dN t

dt t

.

¿Cuántos campistas adicionales deben esperarse dentro

de 5 años, a partir de ahora?

Solución La rapidez con que varía el número de campistas es

4

5

3 2

( 2)

dN t

dt t

4

5

3 2

( 2)

t dN dt

t

Integrando por partes esta expresión, se obtiene

4

5

3 2

( 2)

t dN dt

t

1 6

5 525

(15 10)( 2) ( 2)2

N t t t K

Cuando t = 0, tenemos1 6

5 525

0 (15 0 10)(0 2) (0 2)2

K

1 6

5 525

10 2 22

K 515 2 K

De aquí se deduce que la ecuación tiene la forma si-

guiente1 6

55 525(15 10)( 2) ( 2) 15 22

N t t t

Cuando t = 5, tenemos1 6

55 525

(15 5 10)(5 2) (5 2) 15 2 13,542

N .

Esto indica que dentro de 5 años, se deben esperar

adicionalmente 1354 campistas.

Ejemplo Después de t segundos, un objeto se mueve a una velo-

cidad de 0.5t te metros por segundo. Exprese la distan-

cia que recorre el objeto como una función del tiempo.

Solución Sabemos que

0.5t dS v te

dt

0.5t dS te dt

Integrando por partes esta expresión, obtenemos

0.5t dS te dt

1

22( 2)t

S t e K

.

5.4.1 Tarea

1) Calcular las siguientes integrales:

a) 2 x Senhx dx

; b) ArcSec x dx

; c) 5Sen xdx

; d) 3(2 1)Sec x dx

;

e) 2 x ArcSecx dx ; f) 7Cos xdx ; g) 2 x Sen xCosx dx ; h) 2 2 x a dx ;

i) 5Cot xdx ; j) 3 ln x x dx , n -1; k) 2 x ArcCotx dx ; l) 5Sec xdx ;

m) 3 2(2 3) xCsc x dx ; n) 3 x ArcCosx dx ; o) 5Tan xdx ; p) 2 2 xTan x dx ;

q) 4 5ln( 3) x x dx ; r) x xe Senx dx ; s) 3 x ArcTan x dx ; t) 2 x ArcTanx dx ;



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

393

u) 3 3ln x x dx ; v) 2

xCosx dx

Sen x ; w)

3( 1)

ArcTanxdx

x ; x) 3

2

ln x dx

x

;

y) 2

2

ln( 1 )

1

x x xdx

x

; z)

2

3

22

ln( 1 )

(1 )

x x dx

x

.


a) 3 4 xe Sen xdx ; b) axe Cosbx dx ; c) 2 x ArcCosx dx ; d) 3Csc xdx ;

e) axe Senbx dx ; f) 2 x ArcSenx dx ; g) 3 x Senax dx ; h) 3 x Cosax dx .

5.5 Integración mediante fracciones racionales

Vamos a estudiar las integrales que se presentan de la

forma( )

( )

P xdx

Q x

denominadas integrales racionales.

Para calcular dichas integrales distinguimos los dos

casos siguientes:

1) Que el grado del polinomio del numerador sea

igual o mayor que el grado del polinomio del denomi-

nador. En este caso se efectúa la división, con lo que se

obtiene P ( x) = Q( x)C ( x) + R( x) y la integral se des-

compone en suma de dos integrales

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

P x Q x C x R x R xdx dx C x dx dx

Q x Q x Q x

donde esta última es una integral racional cuyo grado

del polinomio del numerador es menor que el grado

del polinomio del denominador y la primera es unaintegral inmediata.

2) Que el grado del polinomio del numerador sea

menor que el grado del polinomio del denominador.

Para estudiar este tipo de integrales estudiamos las

raíces del polinomio del denominador y tendremos:

a) las raíces son reales y distintas:

Supongamos que el grado del polinomio Q( x) sea n y

sea a1, a2, ..., an las n raíces reales y distintas de dicho

polinomio. En este caso, la función( )

( )

P x

Q x admite la

siguiente descomposición en suma de fracciones sim-

ple

1 2

1 2

( )...

( )

n

n

P x A A A

Q x x a x a x a

(1)

donde los coeficientes A1, A2, ..., An se determinan por

el método de los coeficientes indeterminados que con-

siste en efectuar las operaciones indicadas en el segun-

do miembro de la igualdad (1) ; para ello se reduce a

común denominador todas las fracciones (este deno-

minador común es Q( x)), se efectúa la suma indicada

1 2 2 1 3

1 2

( ) ( )...( ) ( )( )...( )

( ) ( )( )...( )

n n

n

P x A x a x a A x a x a x a

Q x x a x a x a

1 1

1 2

( )...( )( )( )...( )

n n

n

A x a x a x a x a x a

y se igualan los polinomios del numerador de las dos

fracciones que resultan

P ( x) = A1( x - a2) ... ( x - an) + A2( x - a1)( x - a3) ... ( x - an)

+ ... + An( x - a1) ... ( x - an-1) (2)

Al ser iguales ambos polinomios se identifican sus

coeficientes, pasando a un sistema de tantas ecuaciones

como incógnitas.

Un método más rápido para calcular dichos coeficien-

tes consiste en dar a x los valores de las raíces del poli-

nomio Q( x) con lo que se obtiene

P (a1) = A1(a1 - a2) ... (a1 - an)

11

1 2 1

( )

( )...( )n

P a A

a a a a

P (a2) = A2(a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an)

22

2 1 2 3 2

( )

( )( )...( )n

P a A

a a a a a a

. . .

P (an) = An(an - a1)(an - a2) ... (an - an-1)

1 2 1

( )

( )( )... ( )

nn

n n n n

P a A

a a a a a a

La integral( )

( )

P xdx

Q x se descompone en suma de inte-

grales

1 21 2

( )...

( ) n

n

P x dx dx dxdx A A A

Q x x a x a x a

1 1 2 2 1ln ln ... lnn n A x a A x a A x a C

b) Las raíces son reales y múltiples:

Sean a1, a2, ..., a p las raíces del polinomio Q( x) y h1, h2,

..., h p sus órdenes de multiplicidad. Se tiene



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

394

1 21 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...( ) phh h p

P x P xdx dx

Q x x a x a x a

La fracción( )

( )

P x

Q x se descompone en este caso en los

siguientes sumandos1

1

1

1 1

( )... ...

( ) ( ) ( )

h

h

A P x A

Q x x a x a

1 ...( ) ( )

p

p

h

h p p

B B

x a x a

es decir, cada raíz de orden de multiplicidad hi da lugar

a tantas fracciones como indica el orden de multiplici-

dad, es decir, a hi, siendo el número total de sumandos

igual al grado del polinomio del denominador

h1 + h2 + ... + h p = n = grado(Q( x)).

Los coeficientes11 1, ..., , ..., , ...,

ph h A A B B se determinan

todos ellos por el método de los coeficientes indeter-minados. La integral propuesta se descompone en

suma de integrales cada una de las cuales vale

1

, 1,

1 1, 1.( )

1 ( )

mm

Ln x a si mdx

si m x am x a

c) Raíces complejas y simples:

Se sabe que cuando un polinomio admite una raíz

compleja su conjugada también es raíz de dicho poli-

nomio, esto es, las raíces complejas aparecen por pa-

res. Estas dos raíces complejas conjugadas son las

raíces del polinomio

( x - a - bi)( x - a + bi) = ( x - a)2 + b2.

En la composición del cociente( )

( )

P x

Q x en suma de

fracciones, se agrupan las dos raíces complejas y se les

asigna una fracción del tipo

2 2( )

Mx N

x a b

donde M y N son coeficientes que se determinan apli-

cando el método de los coeficientes indeterminados.

El problema de calcular la integral

( )

( )

P xdx

Q x

queda reducido a calcular la integral

2 2( )

Mx N dx

x a b

que se transforma en otros dos

2 2 2 2( ) ( )

Mx N Mx N Ma Madx dx

x a b x a b

2 2 2 2( )

( ) ( )

x a dx M dx N Ma

x a b x a b

1 2 I I

La primera integral, I 1, se calcula haciendo el cambio

de variable x - a = t , dx = dt con lo que

2 21 2 2

I2

t d t M M Ln t b C

t b

2 2( )2

M Ln x a b C

y la segunda integral, I 2, mediante la sustitución

x - a = bt , dx = bdt con lo que

2 2 2 2 2I ( )

1

b d t N Ma d t N Ma

bb t b t

N Ma ArcTant C

b

N Ma x a ArcTan C

b b

de aquí que la integral pedida valga

2 2

2 2 ( )2( )

Mx N M

dx Ln x a b x a b

N Ma x a

ArcTan C b b

.


a) 2

( 1)

( 1)( 2)( 4)

x x dx

x x x

; b) 2

2 2

(2 3 )

( 3) ( 1)

x x dx

x x

;

c) 3 2

2 2

( 3 2)

( 3)( 4)

x x dx

x x x x

.

Solución

a) Descomponemos en fracciones parciales2 1

( 1)( 2)( 4) 1 2 4

x x A B C

x x x x x x

Eliminamos denominadores2 1 ( 2)( 4) x x A x x

( 1)( 4) ( 1)( 2) B x x C x x

2 21 ( ) x x A B C x

( 2 3 3 ) ( 8 4 2 ) A B C x A B C

1

2 3 3 1

8 4 2 1

A B C

A B C

A B C

1 1 19

, ,5 6 30

A B C

2( 1) 1 1 19

( 1)( 2)( 4) 5 1 6 2 30 4

x x dx dx dx dx

x x x x x x

1 1 19ln( 1) ln( 2) ln( 4)

5 6 30 x x x C .

b) Descomponemos en fracciones parciales



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

395

2

2 2 2 2

2 3

3 1( 3) ( 1) ( 3) ( 1)

x x A B C D

x x x x x x

Eliminamos denominadores2 2 22 3 ( 3)( 1) ( 1) x x A x x B x

2 2

( 3) ( 1) ( 3)C x x D x 2 3 22 3 ( ) (5 7 ) x x A C x A B C D x

(7 2 15 6 ) (3 9 9 ) A B C D x A B C D

0993

361527

275

0

DC B A

DC B A

DC B A

C A

4

104

90

D

C

B

A

2222

2

)1(4

1

)3(4

9

)1()3(

)32(

x

dx

x

dx

x x

dx x x

dx xdx x

22

)1(4

1

)3(4

9

9 1

4( 3) 4( 1)C

x x

.

c) Descomponemos en fracciones parciales

43)4)(3(

232222

23

x x

DCx

x x

B Ax

x x x x

x x

Eliminamos denominadores

)3)(()4)((23 2223 x x DCx x x B Ax x x

2323 )()(23 x DC B A xC A x x

)34()34( D B x DC B A

234

034

3

1

D B

DC B A

DC B A

C A

5

6,

5

12,

5

2,

5

7 DC B A

)4)(3(

)23(22

23

x x x x

dx x x

4

)12(

5

6

3

)27(

5

122 x x

dx x

x x

dx x

4

)12(

5

6

3

7

11

)12(

10

7

22 x x

dx x

x x

dx x

4

)12(

5

6

310

11

3

)12(

10

7

222 x x

dx x

x x

dx

x x

dx x

27 11 2 1ln 3

10 5 11

x x x ArcTan

26ln 4

5 x x C .

5.5.1 Método de Ostrogradski

M. V. Ostrogradski propuso un método ingenioso de

separar la parte racional de la integral de la fracción

racional propia( )

( )

P x

Q x. Analizando la forma de las

integrales de cuatro fracciones simples:

I) B

x b; II)

( )

B

x b

; III) 2

Mx N

x px q

;

IV) 2( )

Mx N

x px q

.

Se puede hacer las deducciones siguientes:

1) Las integrales de las fracciones de tipo I y III cu-

yos denominadores comprenden binomio o trinomio

en primera potencia, respectivamente, son funciones

trascendentes.

2) La integral de la fracción de tipo II cuyo denomi-

nador comprende un binomio en potencia > 1 es

fracción racional propia con el denominador igual al

mismo binomio en potencia - 1.

denominador igual al mismo trinomio en potencia - 1

y la integral que se reduce al arco tangente.

Las deducciones 1), 2), 3) permiten concluir a qué es

igual la parte racional de toda la integral de la fracción

propia( )

( )

P x

Q x que, además, se considera irreducible. Sea

que el denominador Q( x) tiene la forma

1 121 1 1( ) ( ) ...( ) ( ) ...m

mQ x x b x b x p x q

2...( ) nn n x p x q

(1)

Entonces parte racional de la integral de la fracción

racional propia( )

( )

P x

Q x es igual a la suma de fracciones

racionales propias cuyos denominadores son respecti-

vamente iguales a

1 111 121 1 1( ) , ..., ( ) , ( ) , ...,m

m x b x b x p x q

12..., ( ) nn n x p x q

.



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

396

3) La integral de tipo IV cuyo integrando comprende

en el denominador un trinomio en potencia resulta

ser igual a la suma de la fracción racional propia con el

La parte racional de la integral de la fracción( )

( )

P x

Q x es,

obviamente, la fracción racional propia 1

1

( )

( )

P x

Q x cuyo

denominador Q1( x) tiene la forma1 111 12

1 1 1 1( ) ( ) ...( ) ( ) ...mmQ x x b x b x p x q

12...( ) n

n n x p x q (2)

Calculemos ahora la suma de las fracciones simples

cuyas integrales son funciones trascendentes. De las

deducciones 1) y 3) se deduce que esta suma es igual a

la fracción racional propia 2

2

( )

( )

P x

Q x cuyo denominador

Q2( x) es igual a2

2 1 1 1( ) ( )...( )( )...mQ x x b x b x p x q

2...( )n n x p x q (3)

De este modo, llegamos a la siguiente fórmula que fueobtenida por primera vez por M. V. Ostrogradski:

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P x dx P x P x dx

Q x Q x Q x (4)

En la fórmula de Ostrogradski los polinomios Q1( x) y

Q2( x) se determinan por las fórmulas (2) y (3) y pue-

den calcularse sin descomponer el polinomio Q( x) en

el producto de factores irreductibles.

En efecto, el polinomio Q1( x) es el máximo común

divisor de los polinomios Q( x) y Q´( x) y puede calcu-

larse valiéndose del algoritmo de Euclides.

En virtud de las fórmulas 2), 3) y 4), el polinomio

Q2( x) es el cociente1

( )

( )

Q x

Q x y puede calcularse divi-

diendo Q( x) por Q1( x) en columna. Queda por calcular

los polinomios P 1( x) y P 2( x). Puesto que las fracciones

1

1

( )

( )

P x

Q x y 2

2

( )

( )

P x

Q x son propias, es lógico prefijar el poli-

nomio P 1( x) como polinomio con coeficientes inde-

terminados de grado inferior en una unidad que Q1( x),

y P 2( x), como polinomio con coeficientes indetermina-

dos de grado inferior en una unidad que Q2( x).

Para calcular dichos coeficientes indeterminados sedebe diferenciar la fórmula de Ostrogradski, reducir el

resultado al denominador común y comparar los coefi-

cientes de potencias iguales de x en el numerador. De

este modo, el método de Ostrogradski es un procedi-

miento ingenioso para integrar una fracción racional

sin desarrollarla anticipadamente en la suma de las

simples.

Este procedimiento es especialmente eficaz si las raíces

de Q( x) son, en la mayoría, múltiples o si es difícil

hallar las raíces de Q( x).


2

4 3 2

(6 7 )

2 3 2 1

x x dx

x x x x

SoluciónTenemos Q( x) = x4 – 2 x3 + 3 x2 – 2 x + 1, en donde deri-

vando, obtenemos Q´( x) = 4 x3 – 6 x2 + 6 x – 2. Busca-

mos Q1( x) como el máximo común divisor de los poli-

nomios Q( x) y Q´( x). El máximo común divisor es

Q1( x) = x2 – x + 1. Al dividir Q( x) por Q1( x) en colum-

nas, hallamos Q2( x) = x2 – x + 1. Prefijamos P 1( x) y

P 2( x) como polinomios de primer grado con coeficien-tes indeterminados.

La fórmula de Ostrogradski toma la forma2

4 3 2 2 2

(6 7 ) ( )

2 3 2 1 1 1

x x dx Ax B Cx D dx

x x x x x x x x

(1)

Para determinar los coeficientes A, B, C , D diferencie-

mos la fórmula (1). Obtenemos2

4 3 2

(6 7 )

2 3 2 1

x x dx

x x x x

2

2 2 2

( 1) ( )(2 1)

( 1) 1

A x x Ax B x Cx D

x x x x

.

El resultado de diferenciación se reduce al denomina-

dor común después de que se comparan los numerado-res. Obtenemos

6 – 7 x – x2 = A( x2 – x + 1) – ( Ax + B)(2 x – 1) +

+ (Cx + D)( x2 – x + 1).

Comparando los coeficientes de x0, x1, x2, y x3, obtene-

mos el sistema de ecuaciones

0

1

2 7

6

C

A D C

A D C

A B C

2

3

0

1

A

B

C

D

De este modo, la fórmula (1) toma la forma2

4 3 2 2 2

(6 7 ) 2 3

2 3 2 1 1 1

x x dx x dx

x x x x x x x x

.

Al calcular la integral en el miembro derecho, hallamos

definitivamente2

4 3 2

(6 7 )

2 3 2 1

x x dx

x x x x

2

2 3 2 2 1

3 31

x x ArcTan C

x x

.



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

397

5.5.2 Tarea


a) 2

(2 3)

2 5 3

x dx

x x

; b)4

3 2

( 2 6)

2

x x dx

x x x

; c)4

4 25 4

x dx

x x ;

d) 2

3 2

(3 2 5)

9 6

x x dx

x x x

; e) 2

3 2

( 3)

2 2

x dx

x x x

; f) 3

3

(8 7)

( 1)(2 1)

x dx

x x

;

g) 2

3

(4 1)

1

x x dx

x

; h) 3 2

4 6

x dx

x x x ; i) 4 2

3

( 3 1)

( 1)( 1)

x x dx

x x

;

j) 3

4 3 22 1

x dx

x x x ; k) 3

3 2

x dx

x x ; l) 2

( 2)

4 4

x dx

x x

;

m) 3

2

( 1)

( 1)( 3 5)

x x dx

x x x

. n) 3

4

( 2 1)

( 1)( 1)

x x dx

x x

; o) 2

2 2( 2 2)

x dx

x x .


a)3 2

2 2

(2 3 1)

( 1)( 2 2)

x x x dx

x x x

; b) 3 2

4 2

( 2 1)

( 1)( 1)

x x x dx

x x

; c) 3

3

( 1)

1

x dx

x

;

d) 5 4 2

( 2)

5 5 6

x dx

x x x x

; e) 2 3

( 1)( 2) ( 3)

dx

x x x ; f) 4 32

dx

x x ;

g) 2

5 4 3 2

( 2)

3 3 4 4

x x dx

x x x x x

; h) 2(3 5 7)

(2 1)(5 3)( 2)

x x dx

x x x

; i) 4

41

x dx

x ;

j) 2 2( 4 4)( 4 5)

dx

x x x x ; k) 2 2 2

( 1)(2 3)

( 3) ( 1)

x x dx

x x x

; l) 2 2( 1)

dx

x x ;

m) 3

4 3 2( 3 2)

6 6 5 12

x x dx

x x x x

; n) 2

2 2 2( 2 1)

( 1) ( 1)

x x dx

x x x

; o) 4

2 2( 1)

( 1)

x dx

x x

.


a) 2

3

(2 5)(6 13 6)

xdx

x x x ; b) 3 26 35

dx

x x x ; c) 3

3

(3 5)

5

x dx

x x

;

d) 5 4 3 2

3

2 10 20 9 18

xdx

x x x x x ; e) 3

2

(1 )

( 1)

x dx

x x

; f) 7

2 4

(2 6)

( 1)

x dx

x

;

g) 4 3 2

2 2

(2 7 28 26 41)

( 3)( 2 4)

x x x x dx

x x x

; h) 4 2

2

12 13 3

xdx

x x ; i) 4 1

dx

x ;

j)

5 4

4 3 2

( 3 5)

2 2 2 1

x x x dx

x x x x

; k)

4

5 4

( 3 2)

1

x x dx

x x x

; l)

2

2

( )

( 1)( 1)

x x dx

x x x

.

5.6 Integración de funciones trigonométricas

Llamamos integrales trigonométricas a las integrales

de la forma R(Senx, Cosx)dx donde R(Senx, Cosx) es

una función que depende exclusivamente de las fun-

2

xTan t donde x = 2 ArcTant y

2

2

1

dt dx

t

.



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

398

ciones seno y coseno.

Las integrales trigonométricas se reducen a una inte-

gral racional mediante el cambio de variable

Por tanto, esta sustitución es un método potencialmente

poderoso de evaluar aquellas integrales trigonométricas

no cubiertas por los sencillos métodos enumerados

hasta ahora. Teniendo en cuenta las fórmulas de trigo-

nometría

2

2 2 2 2

2

2 22

22 2 2

2 2 2 2

2

x xSen Cos

x x xSen Cos Cos

Senx x x x x

Sen Cos Sen Cos

xCos

22

222

112

xTan

t

x t Tan

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2

x xCos sen

x x xCos Sen Cos

Cosx x x x x

Sen Cos Sen Cos

xCos

2

2

22

112

112

xTan

t

x t Tan

la integral a la que vamos a pasar es de la forma2

2 2 2

2 1( , ) 2 ,

1 1 1

t t dt R Senx Cosx dx R

t t t

.


a) 3 4 5

dx

Senx Cosx ; b) 2

2

Senxdx

Sen x ;

c) 2

( )

1

Senx Cosx dx

Sen x Cosx

; d) 1

Tanxdx

Senx Cosx .

Solución a) Si x = 2 ArcTant , entonces

2

2

1

dt dx

t

,

2

2

1

t Senx

t

,

2

2

1

1

t Cosx

t

,

Por lo tanto

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

1 1I2 1 6 4 4 5 5

3 4 51 1 1

dt dt

t t

t t t t t

t t t

2 2

2 2

6 9 ( 3)

dt dt

t t t

2

3

2

C x

Tan

.

b) Si x = 2 ArcTant ,2

2

1

dt dx

t

, entonces

2 2

2 2 2 2

2 22

2 2

2 21 1

1 4 1222

(1 )1

t t

dt dt t t

t t t t

t t

2

2 4 4

2 2

4

21

(1 )(2 2) 1

(1 )

t

t t dt dt t t t

t

.

Si y = t 2, dy = 2tdt

4 2

2 1I

1 1

t dt dy ArcTany C

t y

2 2

2

x ArcTant C ArcTan Tan C

.

c) Si x = 2 ArcTant , entonces

2

2

1

dt dx

t

,

2

2

1

t Senx

t

,

2

2

1

1

t Cosx

t

,

Por lo tanto2 2

2 2 2 2 2

2 2 22

2 22 2

2 1 2 2 2 1

1 1 1 (1 )

2 (3 )2 11

(1 )1 1

t t dt t t dt

t t t t

t t t t

t t t

2

2 2

(2 2 1)

2 (3 )

t t dt

t t

2

2 2

1 2 4 1 2

3 3 3 33 3

t dt dt dt t dt

t t t

21 4 1 2ln(3 ) ln

3 3 33 3 3

t t ArcTan t C

t

2

2

1 4 1ln

3 33 3 33

t t ArcTan C

t t

2

2

1 4 12 2ln3 3 3 33 3

2 2

x xTan Tan

ArcTan C x x

Tan Tan

.

d) Si x = 2 ArcTant , entonces

2

2

1

dt dx

t

,

2

2

1

t Senx

t

,

2

2

1

1

t Cosx

t

,



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

399

2 22 ( 3)

3t dt C

t

Por lo tanto

2 22 2

2

22 2

42 2

(1 )(1 )1 1

2( 1)2 11

11 1

t t dt dt t t t t

t t t

t t t

2

4

2( 1)(1 )

t dt

t t

21 1( 1)

2 1 2 1

dt dt t dt

t t

1 1 1

ln( 1) ln( 1)2 1 2

t t C t

1 1 1ln

2 1 1

t C

t t

11 12ln2

1 12 2

x

TanC

x xTan Tan

.

Este tipo de integrales, aunque no es difícil de calcular,

sí son muy laboriosos y largos todos sus cálculos; de

aquí que tengan especial interés los siguientes casos

particulares:

1) Que la función R(Senx, Cosx) sea una función

impar en seno o en coseno, esto es, que al sustituir

Senx por – Senx, o bien Cosx por – Cosx, la función

R(Senx, Cosx) cambia de signo

R(-Senx, Cosx) = - R(Senx, Cosx); R(Senx, -Cosx) = - R(Senx, Cosx)

Estos dos casos particulares se resuelven mediante el

cambio de variable – Cosx, la función R(Senx, Cosx)

cambia de signo.


a) 3

( )

2

Senx Sen x dx

Cos x

; b)

3

24 1

Cos x dx

Sen x ;

c) 2

2 2

Sen xdx

Tan x Cot x .

Solución a) La función integrando es impar con relación a

Senx, aplicamos por consiguiente la sustitución

Cosx = t -Senxdx = dt

Entonces2 2

2 2

( 1)I

1 1

Sen xSenx dx t dt

Cos x t

2 2

21 2

1 1

dt dt dt

t t

b) La función integrando es impar con respecto a

Cosx, así que es posible emplear la sustitución

Senx = t Cosxdx = dt2 2

2 2

(1 )I

4 1 4 1

Cos xCosx dx t dt

Sen x t

2

1 3

4 4(4 1)dt

t

2

1 3

4 4 4 1

dt dt

t

1 3 2 1ln

4 16 2 1

t t C

t

1 3 2 1ln

4 16 2 1

SenxSenx C

Senx

.

c) La función integrando es impar con respecto a Cosx,

así que es posible emplear la sustitución

Senx = t Cosxdx = dt

2 2 2

2 2

2 2

24 (1 2 ) 1

2 1 1 2

1 2 2 1

t dt t t t dt

t t t

t t t

3

3 2 3 324 4

(1 )3 3

t t C Sen xCos x C

312

6Sen x C .

2) La función R(Senx, Cosx) es una función par en

seno y en coseno, es decir, se verifica

R(-Senx, -Cosx) = R(Senx, Cosx).

Para resolver este tipo de integrales se hace el cambio

de variable Tanx = t mediante el cual la integral pro-

puesta se transforma en otra integral racional en donde

las funciones seno y coseno se sustituyen en función de

la nueva variable mediante las fórmulas

2 211 1

Senx

Tanx Tanx t CosxSenxSecx Tan x t

Cosx

;

2 2

1 1 1 11

1 1Cosx

Secx Tan x t Cosx

.


2 24 5

dx

Sen x SenxCosx Cos x

Solución



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

400

2t ArcTant C

2 ( )Cosx ArcTan Cosx C .

Dado que la función integrando es una función par en

relación con Senx y Cosx, hacemos entonces

Tanx = t x = ArcTant 21

dt dx

t

2

2 2

2 2 2

I4 5

dxCos x

Sen x SenxCosx Cos x

Cos x Cos x Cos x

2

2 24 5 4 5

Sec x dx dt

Tan x Tanx t t

2 ( 2)

( 2) 1

dt ArcTan t C

t

( 2) ArcTan Tanx C .

5.6.1 Tarea


a) dx

aTanx bCotx ; b) 2 3 4

Senxdx

Senx Cosx ; c) 2

1

dx

Cos x Senx ;

d) 41

dx

Cos x; e)

2

dx

Tanx Cotx ; f)

1 3 2

dx

Cosx Senx ;

g) 21

dx

Cos x ; h) 3 2

dx

Senx ; i) 1 3

Tanxdx

Senx Cosx ;

j) 2 21 2 3

dx

Cos x Sen x ; k) dx

Senx Cosx ; l) 24

dx

Sen x ;

m) dx

Secx Cscx ; n) 1

dx

Senx Cosx ; o) 2

2

Cosxdx

Cos x ;

p) 1 2 2

Cosxdx

Sen x ; q) 22

dx

Cos x Cosx ; r) 2 2 2 2

dx

a Sen x b Cos x ;

s) Senxdx

Tanx Senx ; t) 6 2

dx

Senx ; u) 2 2 3

Secxdx

Sen x Cos x ;

v) 2 2 1

SenxdxTan x Cot x ; w)

2 2Cotxdx

Sec x Tan x ; x) 2 1

dxTan x .


a) 2 1

dx

Sen x Cosx ; b)3 5

2 4

( )Cos x Cos x dx

Sen x Sen x

; c) 3

dx

Cosx ;

d) 2 22

dx

Sen x SenxCosx Cos x ; e) 3 2

2

1

Sen xdx

Cos x Sen x ; f) 1 2 2

dx

Sen x ;

g) 3 5 3

dx

Senx Cosx ; h) 3

( )

2

Senx Sen x dx

Cos x

; i)

3

2

Cos xdx

Sen x Senx ;

j)

( 4)( 1)

dx

Senx Senx ; k)

4 3 5

dx

Senx Cosx ; l)

(3 )

3

Cosx dx

Senx

;

m) 2 2 2 2

( ) ( )

dx

a b a b Cosx ; n) 2

2 4

Cos xdx

Sen x SenxCosx ; o) 2

4 3

dx

Sen x .

5.7 Integración de funciones irracionales

A continuación estudiaremos aquellas integrales de

funciones irracionales que se ajustan a los siguientes

De donde con el siguiente cambio, obtenemos:



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

401

modelos:

a) 2 2 2, R x a b x dx ;

a a x Sent dx Cost

b b

2 2 2 2 2 2 21a b x a a Sen t a Sen t aCost

;a a

x Cost dx Sent

b b

2 2 2 2 2 2 21a b x a a Cos t a Cos t aSent

con lo que la integral se reduce a una del tipo

,

,

a a R Sent aCost Costdt

b b

a a R Cost aSent Sentdt

b b

según la sustitución elegida.

b) 2 2 2, R x a b x dx


2;a a x Tant dx Sec tdt b b

2 2 2 2 2 2 21a b x a a Tan t a Tan t aSect

2;a a

x Cott dx Csc tdt b b

2 2 2 2 2 2 21a b x a a Cot t a Cot t aCsct


2

2

,

,

a a R Tant aSect Sec tdt

b b

a a R Cott aCsct Csc tdt

b b


c) 2 2 2, R x b x a dx


;a a

x Sect dx SectTantdt b b

2 2 2 2 2 2 2 1b x a a Sec t a a Sec t aTant

;a a

x Csct dx CsctCottdt b b

2 2 2 2 2 2 2 1b x a a Csc t a a Csc t aCott


2

2

,

,

a a R Tant aSect Sec tdt

b b

a a R Cott aCsct Csc tdt

b b


nax bt

cx d

n

n

dt b x

a ct

1

2( )

( )

n

n

t dx n ad bc dt

a ct

de donde1

2

( ), ,

( )

n n

nn n

ax b dt b n ad bc t R x dx R t dt

cx d a ct a ct

.


a) 2

( 3 2)

2 2

x dx

x x

; b) 2

2 2

Sen xCosxdx

Cos x Senx ;

c) 2

2

( 3)

3 4 3 4 5

x dx

x x

.

Solución a) Haciendo la sustitución

1 3 x Cosy

3dx Senydy

1

3

x y ArcCos

2 2

( 3 2) ( 3( 1) 2)

3 ( 1) 3 3

x dx Cosy Seny dy I x Cos y

1 ( 3 3 2)

3

Cosy Seny dy

Seny

3 2 3 2

3 3Cosy dy dy Seny y C

21 3 2 12 2

3 3 3

x x x ArcCos C

b) Si y = Senx, dy = Cosxdx, entonces2

21 2

y dy I

y y

2

22 ( 1)

y dy

y

Hacemos la sustitución

1 2 y Cosz

2 1 y Cosz



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

402

d) , n ax b

R x dxcx d

La integral dada se transforma en una integral racional

mediante el cambio de variable

2dy Senz dz 1

2

y z ArcCos

2

2( 2 1)2

2 2Cosz Senzdz I

Cos z

2( 2 1)Cosz Senzdz

Senz

22 2 2 1Cos z Cosz dz

1 2 2 2 1Cos z Cosz dz

2 2 2 2Cos z Cosz dz

2 2 2 2Cos z dz Cosz dz dz

1 2 2 2 22

Sen z Senz z C

2 2 2SenzCosz Senz z C

2 22 1 2 2 2 11

2 2 2

y y y y y

1

22

y ArcCos C

2 21( 1) 2 1 2 2 1

2 y y y y y

1

22

y ArcCos C

2 21 ( 1) 2 2 22

Senx Cos x Senx Cos x Senx

12

2

Senx ArcCos C

21 1(3 ) 2 2

2 2

SenxSenx Cos x Senx ArcCos C

.

c) Hacemos la sustitución43 2 5 x Tany

4 5 2

3

Tany x

425

3dx Sec ydy

2

2

( 3)

( 3 2) 5

x dx I

x

4

25 4 53 3 3 3

Tan y Secy dy Tany Secy dy 5

3 3Secy dy

425 4 5

( 1)3 3 3 3

Sec y Secy dy TanySecydy

5

3 3Secydy

435 4 5 2 5

3 3 3 3 3 3Sec ydy TanySecydy Secydy

45 5 4 5ln

6 3 6 3 3 3

SecyTany Secy Tany Secy

2 5ln

3 3Secy Tany C

45 4 5

6 3 3 3SecyTany Secy

5ln

2 3Secy Tany C

2

4 4

( 3 2) 55 3 2

6 3 5 5

x x

24

4

( 3 2) 54 5

3 3 5

x

2

4 4

( 3 2) 55 3 2ln

2 3 5 5

x xC

22 33 4 3 4 5

6

x x x

25ln 3 2 3 4 3 4 5

2 3 x x x C .


a) 21 2 2

dx

x x ; b) 2

(5 2)

2 3 1

x dx

x x

;

c) 32

Senxdx

Cos x ; d)

2

1

1

Tanx dx

Tanx Cos x

.

Solución

a) Haciendo la sustitución

x – 1 = Tany x = Tany – 1 dx = Sec2 ydy



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

403

242

4

2

( 5 2)3

35

3 5 5

TanySec ydy

Tan y

2 241 ( 5 4 5 5)

3 3

Tan y Tany Sec y dy

Secy

2

2 21 ( 1) 1 1 1

dx Sec y dy I

x Tan y

2

21

Sec y dy dy

Secy Cos y Cosy

.

Si y = 2 ArcTant ,2

2

1

dt dy

t

,

2

2

1

1

t Cosy

t

, entonces

22

2 2 2 42 2

2 2

2

(1 )1 2(1 ) (1 )1 1

1 1

dt

t dt t I t t t t

t t

2

2 2

(1 ) 21

1 1

t dt dt

t t

1

1 2ln ln1 2

12

yTan

t yt C Tan C yt

Tan

12

( ( 1))Tan ArcTan x

1212

1 ( ( 1))ln

1 ( ( 1))

Tan ArcTan xC

Tan ArcTan x

.

b) Hacemos la

sustitución

3 2 x Secy

2 3 x Secy

2dx SecyTanydy

2

(5 2)I

( 3) 2

x dx

x

2

(5 2 5 3 2)2

2 2

Secy SecyTany dy

Sec y

2

(5 2 5 3 2)Secy SecyTany dy

Tan y

2

5 2 (5 3 2)Sec ydy Secydy

5 2 (5 3 2)lnTany Secy Tany C

2 2 3 15 2

2

x x

2 2 3 13

(5 3 2) ln2 2

x x xC

2 3(2 1)

Senxdx I

Cos x

2 3(2 1)

dy

y

Si hacemos que

1

2 y Secz

1

2dy SeczTanzdz

32 31 12 2( 1)

SeczTanz dz SeczTanz dz I Tan z Sec z

2

2

1 1( )

2 2

Secz dz Senz Coszdz

Tan z

2

1 1 2

2 2 2 1

yCscz C C

y

2 22 1

Cosx CosxC C

Cos xCos x

.

d) Haciendo la sustitución

y Tanx 2Tanx y

2 2Sec xdx ydy 1

21

y I y dy

y

Mediante el cambio de variable

2 1

1

y z

y

2

2

1

1

z y

z

2 2

4

(1 )

z dz dy

z

obtenemos una integral racional2 2 4 2

2 3 2 3

(1 ) (8 8 )8

(1 ) (1 )

z z dz z z dz I

z z

4 2

2 3 2 2 2 2 3

8 8

( 1) 1 ( 1) ( 1)

z z Az B Cz D Ez F

z z z z

8 z 4

– 8 z 2

= ( Az + B)( z 2

+ 1)2

+ (Cz + D)( z 2

+ 1) ++ Ez + F

8 z 4 – 8 z 2 = Az 5 + Bz 4 + (2 A + C ) z 3 + (2 B + D) z 2 +

+ ( A + C + E ) z + ( B + D + F )

A = 0, B = 8, C = 0, D = -24, E = 0, F = 16

2 2 2 2 38 24 16

1 ( 1) ( 1)

dz dz dz I

z z z

Haciendo la sustitución

z = Tanu dz = Sec2udu u = ArcTanz



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

404

25 2 3 1 x x

2(5 3 2)ln 3 2 3 1 x x x C .

c) Haciendo la sustitución

y = Cosx dy = -Senxdx

2 48 24 16 I ArcTanz Cos u du Cos u du

28 12 (1 2 ) 4 (1 2 ) ArcTanz Cos u du Cos u du

8 12 6 2 ArcTanz u Sen u 24 (1 2 2 2 )Cos u Cos u du

8 12 6 2 4 4 2 ArcTanz u Sen u u Sen u

2 (1 4 )Cos u du

12

8 6 2 2 4 ArcTanz u Sen u Sen u C

3

2 2 2 2

4 2 48 6

1 1 (1 )

z z z ArcTanz ArcTanz C

z z z

3

2 2 2

2 42

1 (1 )

z z ArcTanz C

z z

2

1 1 1

2 41 1 112

11 1111

1

y y y

y y y y ArcTan C

y y y y

y

2 212 1 (1 ) 1

1

y ArcTan y y y C

y

212 (2 ) 1

1

y ArcTan y y C

y

12 (2 ) 1

1

Tanx ArcTan Tanx Tanx C

Tanx

.

5.7.1 Tarea


a) 2

( 1)

2 6

x dx

x x

; b) 2 2 16

dx

x x ; c) 2 2

2

4

dx

x x ,2

x y

;

d) 2 3( 25)

dx

x ; e) 2

(2 )

15 2

x dx

x x

; f)

2

2

( 1)

3 2

x dx

x x

;

g) 2

2 3 2

dx

x x x ,1

x y

;h)

3

4

1

2

(2 (3 7) )

1 (3 7)

x dx

x

; i)

1

2 2

3

2 2

(1 (2 1) )

(2 1)

x dx

x

;

j) 2/3

7

(5 3)

xdx

x ; k) 2

2

( 3)

2 2

x dx

x x

; l) 2

(3 )

2 5

x dx

x x

.


a) 2

( 1)

2 2

x dx

x x x

; b) 2

2

( 1)

3 4

x dx

x x x

; c) 2

( 1)

4 1

x dx

x x x

;

d) 2

( 2)

5 3

x dx

x x x

; e) 2

2

( 3 1)

3 3

x x dx

x x

; f) 2

2

(2 1)

2 5

x dx

x x

;

g) 2 2

( 2)

4

x dx

x x x

; h) 2

2 2

( 3 2)

3

x x dx

x x x

; i) 2

2

( 3)

2

x dx

x x

;

j) 2

2

( 5 1)

1 3

x x dx

x x

; k) 2

( 6)

3

x dx

x x

; l) 2

(2 5)

2 3

x dx

x x x

;



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

405

m) 2

2

( 3 1)

2 1

x x dx

x x

; n) 3 2

2

( 3 3 1)

5 2

x x x dx

x x x

; o) 3

2

( 1)

1 3 2

x dx

x x

;

p) 2

2

( 1)

2 2

x dx

x x

; q) 2

2

( 1)

1 5

x x dx

x x

; r) 2

( 3)

4

x dx

x x

;

s) 2

(3 4)

3 3

x dx

x x

; t)

2

2

( 3)

1

x dx

x x

.

5.8 Integrales del tipo m n Sen x Cos x dx

Sean n y m números racionales. La integral

m nSen xCos x dx con ayuda de las sustituciones

u = Senx ó u = Cosx se reduce a la integral de un bi-

nomio diferencial.

En efecto, suponiendo, por ejemplo, u = Senx, obten-

dremos

1

2 21Cosx u , du = Cosxdx, 1

2 21dx u du

y por eso

1

2 21

nm n mSen xCos x dx u u du

.

De esta forma, la integral m nSen xCos x dx se expresa

o no a través de funciones elementales en dependencia

de si posee o no esta propiedad la integral obtenida del

binomio diferencial.

En el caso cuando m y n son números enteros (nonecesariamente positivos), la integral m nSen xCos x dx

pertenece al tipo de integrales analizadas anteriormen-

te, para su cálculo, en particular, es conveniente aplicar

la sustitución

u = Senx, u = Cosx, u = Tanx.

Si m = 2k + 1 (respectivamente n = 2k + 1) es un nú-

mero impar, entonces se puede hacer la sustitución u

= Cosx (respectivamente u = Senx):2 1 2(1 ) ( )k n k nSen xCos x dx Cos x Cos x d Cosx

2(1 )k nu u du .

La integral analizada está reducida a la integral de una

fracción racional. Un resultado análogo se puede obte-

ner también para la integral 2 1m k Sen x Cos x dx con

ayuda de la sustitución u = Senx.

Si m = 2k + 1, n = 2 p + 1, entonces suele ser útil la

sustitución p = Cos2 x:2 1 2 1 2 2k p k pSen xCos x dx Sen x Cos x Senx Cosx dx

Si ambos exponentes m y n son positivos y pares (o uno

de ellos es cero), entonces es conveniente aplicar las

fórmulas

2

2

1 2

2

1 2

2

Cos xSen x

Cos xCos x

que evidentemente llevan la integral analizada a inte-

grales del mismo tipo, pero con exponentes menores,

también no negativos.

Ejemplo Calcular la integral:

a) 2 5Sen x Cos x

dx x ; b) 2 4

( )Sec xSec Tanx dx ;

c) 6 2Cos x dx

x .

SOLUCION

a) Si y x , 2

dx

dy x , entonces

2 5 2 2 22 2 (1 ) I Sen yCos y dy Sen y Sen y Cosy dy

2 2 42 (1 2 )Sen y Sen y Sen y Cosy dy

2 4 62 ( 2 )Sen y Sen y Sen y Cosy dy

2 4 62 4 2Sen yCosydy Sen yCosydy Sen yCosydy

3 5 72 4 2

3 5 7Sen y Sen y Sen y C

3 5 72 2 1

3 5 7Sen x Sen x Sen x C .

b) Si y = Tanx, dy = Sec2 xdx, entonces4 2 2( 1) I Sec y dy Tan y Sec y dy

2 2 2Sec ydy Sec yTan ydy

31

3Tany Tan y C

31

( ) ( )3

Tan Tanx Tan Tanx C .



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

406

)2(

2

1

2

21

2

21 xCosd

xCos xCos pk

dt t t pk

pk )1()1(

2

1

1,

es decir, de nuevo se obtuvo la integral de una fracción

racional.

c) Si 2 y x ,2

dxdy

x , entonces

6 2 32 2 ( ) I Cos y dy Cos y dy

32(1 2 )

8Cos y dy

2 32 (1 3 2 3 2 2 )8

Cos y Cos y Cos y dy

22 3 2 3 22 2

8 8 8dy Cos y dy Cos y dy

322

8Cos y dy

2 3 2 3 22 (1 4 )

8 16 16 y Sen y Cos y dy

22(1 2 ) 2

8Sen y Cos y dy

2 3 2 3 2 3 22 48 16 16 64

y Sen y y Sen y

32 22 2

16 48Sen y Sen y C

32 2 3 2 22 4 2

2 4 64 48 y Sen y Sen y Sen y C .

Ejemplo Calcular la integral:

a) 5 5Cos x Senxdx ; b) 4 3( )Cot x Cot x dx ;

c) 4Cos xdx

Senx

; d)

3 5

dx

Sen xCos x

.

Solución

a)

1 1

5 2 25 5(1 ) I Cos x Sen x dx Sen x CosxSen x dx

1

2 4 5(1 2 )Sen x Sen x Sen xCosxdx

1 11 21

5 5 52Sen x Cosx dx Sen x Cosx dx Sen x Cosx dx

6 16 26

5 5 55 5 5

6 8 26Sen x Sen x Sen x C .

b) 4 3 I Cot x dx Cot x dx

2 2 2( 1) ( 1)Csc x Cot x dx Csc x Cotx dx

2 2 2( 1)Cot xCsc x dx Csc x dx

2CotxCsc xdx Cotxdx

2ln 2 (1 )Cscx Cotx Cosx Cos x Senx dx

31ln 2

3Cscx Cotx Cosx Cosx Cos x C

31ln

3Cscx Cotx Cosx Cos x C .

d) 2 2 2

3 5

( )Sen x Cos x dx I

Sen xCos x

4 2 2 4

3 5 3 5 3 52Sen xdx Sen xCos x dx Cos x dx

Sen xCos x Sen xCos x Sen x Cos x

5 3

5 32

Sen x Senx Cos xdx dx dx

CosxCos x Sen x

22Tan x Tanx dx Tanx dx Cotx Cotx d x

2

(1) (2)

( 2)Tan x Tanx dx Cotx Cotx dx

(1) y2 = Tanx, x = ArcTany2,4

2

1

y dydx

y

4 22

4

(1)

2( 2)( 2)1

y y dyTan x Tanx dx y

6 2

4

(2 4 )

1

y y dy

y

22

4

22

1

y dy y dy

y

23

4

2 2

3 1

y dy y

y

22

2 2

2 2

3 ( 2 1)( 2 1)

y dy y

y y y y

3

2 2

2 ( ) ( )

3 2 1 2 1

Ay B dy Cy D dy y

y y y y

2

2 2

2

( 2 1)( 2 1)

y

y y y y

2 22 1 2 1

Ay B Cy D

y y y y

2 3 22 ( ) ( 2 2 ) y A C y A B C D y



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

407

3 21 1ln

3 2Cot x Cotx x Cot x Senx C

2 31 1ln

2 3 x Cotx Cot x Cot x Senx C .

c)

2 2 2 4(1 ) (1 2 )Sen x dx Sen x Sen x dx

I Senx Senx

32Cscxdx Senxdx Sen xdx

( 2 2 ) ( ) A B C D y B D

0

2 2 2

2 2 0

0

A C

A B C D

A B C D

B D

1

2

0

1

20

A

B

C

D

2 3

2

(1)

2 1( 2)

3 2 2 1

2 2

dyTan x Tanx dx y

y

2

1

2 2 1

2 2

dy

y

32 ( 2 1) ( 2 1)3

y ArcTan y ArcTan y C

32

3Tan x C .

(2) y2 = Cotx, x = ArcTanz 2,4

2

1

z dz dx

z

4

4 4

(2)

2 22

1 1

z dz dz Cotx Cotx dx dz

z z

4

22

1

dz z

z

2 2

( ) ( )22 1 2 1

Az B dz Cz D dz z z z z z

2 2

2

( 2 1)( 2 1) z z z z

2 22 1 2 1

Az B Cz D

z z z z

3 22 ( ) ( 2 2 ) A C z A B C D z

( 2 2 ) ( ) A B C D z B D

0

2 2 02 2 0

2

A C

A B C D A B C D

B D

1

2

11

2

1

A

B

C

D

2

(2)

11

22

2 1

2 2

z dz

Cotx Cotx dx z

z

2

11

2

2 1

2 2

z dz

z

2

1 {(2 2) 2}2

2 2 2 1

2 2

z dz z

z

2

1 {(2 2) 2}

2 2 2 1

2 2

z dz

z

21 22 ln 2 1 ( 2 1)

22 2 z z z ArcTan z

21 2ln 2 1 ( 2 1)22 2

z z ArcTan z C

2 Cotx C

Por lo tanto2

32 2 6I 2

3 3

Tan xTan x Cotx C C

Tanx

.

5.8.1 Tarea




INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

408

a) 5 2Sen xCos xdx ; b) 8Cos xdx ; c) 1 Secx dx ; d) 1 Cosx dx ;

e) 2)( CscxCosx

dx; f) xCos

dx5

; g) 3

5

2Cos x d x

Cos x ; h) x xSenCos

dx

53;

i)

xSen xCos

dx xSen xCos

44

22 )(; j) Cotx

dx

1; k) x xSenCos

dx66

; l) 6

dx

Cot x ;

m) 4 33 x xCosSen

dx; n) Cotx

dx xCos

1

2

; o) 5 5

dx

Cos xSen x ; p) xSen

dx xCos

6

5

;

q) xCos xSen

dxSenx

55; r) xCos

dx xSen

6

5

;s) 73 2Sen x dx ;

t) 4)1( Senx

dxCosx;

u) 3 32 2Sen x Cos x dx ; v) 7Tan xdx ; w) 4 3Sen xCos x dx ; x) 6Cot xdx .


a) 4 43 3Tan x Sec x dx ; b) 2 4Cot xSec xdx ;c) xSen

dx xCos

2

5

; d) xCos

dx xSen

3

2

;

e) dx xSen xCos 22 3 ; f) 53 3Sen xCos xdx ; g) 2

Senxdx

Tan x ; h) xCotxSen

dx

2;

i)

dx

xCsc

xSec

2

33;

j) 2 6Cos xSen xdx ; k) xCos

dx

41

; l) 2)1( Senx

dxSenx;

m) 2 4Sen x Cos xdx ; n) 22

3 xSen

xCos

dx; o)

5

Tanxdx

Cot x ; p) 63a Cot x dx ;

q) 3( )CosxTan Senx dx ; r) 2 2

dx

Cos x Cot x ; s) xSen

dx5

.

5.9 Integrales del tipo Senax Cosbx dx

Las integrales del tipo SenaxCosbxdx se calculan

directamente si transformamos las funciones subinte-

gral por las fórmulas

1[ ( ) ( ) ]

2

1[ ( ) ( ) ]

2

1[ ( ) ( ) ]

2

SenaxCosbx Sen a b x Sen a b x

SenaxSenbx Cos a b x Cos a b x

CosaxCosbx Cos a b x Cos a b x

Por tanto

1[ ( ) ( ) ]

2SenaxCosbx dx Sen a b x Sen a b x dx

1 1

( ) ( )2 2

Sen a b xdx Sen a b xdx


a) 3 5Sen xCos x dx ; b) 3 5CosxCos xCos x dx ;

c) 2 5

3 3 3

x x xCos Sen Cos dx .

Solución

a) 1

[ (3 5) (3 5) ]2

I Sen x Sen x dx

1

[ 8 2 ]2 Sen x Sen x dx 1 1

8 22 2

Sen x dx Sen x dx

1 1 1 18 8 2 2

2 8 2 2Sen x dx Sen x dx

1 1

8 216 4

Cos x Cos x C .



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

409

1[ ( ) ( ) ]

2SenaxSenbxdx Cos a b x Cos a b x dx

1 1

( ) ( )2 2

Cos a b xdx Cos a b xdx

1

[ ( ) ( ) ]2CosaxCosbxdx Cos a b x Cos a b x dx 1 1

( ) ( )2 2

Cos a b xdx Cos a b xdx

En los tres casos a b.

b) 1

[ (1 3) (1 3) ] 52

I Cos x Cos x Cos xdx

1[ 4 5 2 5 ]

2Cos xCos x Cos xCos x dx

1[[ (4 5) (4 5) ]

4Cos x Cos x

[ (2 5) (2 5) ]]Cos x Cos x dx

1[[ 9 ] [ 9 3 ]]

4Cos x Cosx Cos x Cos x d x

1 1 1 19 9 3

4 4 4 4Cos x dx Cosx dx Cos x dx Cos x dx

1 1 1 19 7 3

36 4 28 12Sen x Senx Sen x Sen x C

c) 1 2 2 5

2 3 3 3 3 3

x x x x x I Sen Sen Cos dx

1 5

2 3 3

x xSenx Sen Cos dx

1 5 5

2 3 3 3

x x xSenxCos Sen Cos dx

1 8 2 42

4 3 3 3

x x xSen Sen Sen x Sen dx

1 8 1 2

4 3 4 3

x xSen dx Sen dx

1 1 4

24 4 3

xSen x dx Sen dx

3 8 3 2 1 3 4232 3 8 3 8 16 3

x x xCos Cos Cos x Cos C .

5.9.1 Tarea


a) 2 2( ) ( )Cos ax b Cos cx d dx ; b) 3 5SenxSen xSen x dx ; c) 2 2( ) ( )Sen ax b Sen cx d dx ;

d) 5 (5 3)Sen xSen x dx

; e) 2( 2) ( 1)Sen x Sen x dx

; f) 5 ( )Sen xCos ax b dx

;

g) 2 2 3Sen xCos xSen x dx ; h) SenaxCosbxCoscxdx ; i) 3

22 3

x xSen Cos Sen x dx ;

j) CosaxSenbxSencxdx ; k) ( 2) ( 3)Sen x Cos x dx ; l) 3 5

4 4 4

x x xCos Cos Cos dx ;

m) 3 5

2 2 2

x x xSen Sen Sen dx ; n)

3 52

2 2

x xSen xCos Cos dx . o) 2 22 4Cos xCos x dx ;

p) 2 22 4Sen xSen x dx ; q) 23 5Sen xCos xdx ; r) 25 3Sen xCos xdx ;

s) 7 7

3 2

x xCos Sen dx ; t)

2 5

3 3 3

x x xSen Cos Sen dx ; u) 2 2 3Cos xSen xCos xdx .

5.10 Sustituciones de Euler

Las integrales indicadas pueden ser reducidas con

ayuda de un cambio de variable a las funciones racio-

nales. Analizaremos tres tipos de cambios de variable.

1) 2, R x ax bx c dx , a > 0.

Hagamos el cambio de x por t de la siguiente manera:

Finalmente

2, R x ax bx c dx

22 2

2

2,

2 2 2

a t bt c at c t c R a t dt

b t a b t a b t a



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

410

2ax bx c x a t ,

los signos se pueden tomar en cualquier combinación.

Elevemos al cuadrado ambas partes de la igualdad:2 2 22ax bx c ax a xt t

de donde

2

2

t c xb t a

,

2

2

2

2

a t bt c adx

b t a

2

2

2

t cax bx c a t

b t a

.


a) 2 3 7

dx

x x ; b) 2

4ln 10ln 6

dx

x x x .

Solución

a) Dado que a = 1 > 0, hacemos la sustitución

2 3 7 x x x t 2 7

3 2

t x

t

2

2

3 72

(3 2 )

t t dx dt

t

22 3 7

3 73 2

t t x y x t

t

Obtenemos entonces2

2

2

3 7(3 2 )

2 23 23 7

3 2

t t dt t

I dt t t t

t

2ln 3 2 ln 3 3 7t C x x x C .

b) Haciendo y = ln x, entoncesdx

dy x

I =24 10 6

dy

y y .

Dado que a = 4 > 0, hacemos la sustitución

24 10 6 2 y y y t 2

6

10 4

t y

t

2

2

2 10 122

(10 4 )

t t dy dt

t

22 2 10 12

4 10 6 210 4

t t y y y t

t

Obtenemos entonces2

2

2

2 10 12

(10 4 )2 2

10 42 10 12

10 4

t t

dt t I dt

t t t

t

1ln 10 4

2t C

2ln 10 4 4 10 6 8 y y y C .

2) Las raíces del trinomio son reales.

Sean x1 y x2 las raíces reales del trinomio ax2 + bx + c.

Si x1 = x2, entonces

y sacando x – x1 fuera del signo de la raíz obtenemos

que

2 21

1

( ), ,

a x x R x ax bx c R x x x

x x

Como es conocido la integral de la función puede ser

calculada con ayuda de la sustitución

2 2

1

( )

( )

a x xt

x x

1 1 2( ) ( )( ) x x t a x x x x

o, tomando t > 0 cuando x x1 y t < 0 cuando x x1,

21( ) x x t ax bx c .


2

26 13 5

Sec xdx

Tan x Tanx

Solución Hacemos y = Tanx, entonces dy = Sec2 x

2I

6 13 5

dy

y y

.

Dado que b2 – 4ac > 0, hacemos la sustitución

(3 5)(2 1) (3 5) y y y t 2

6 13 5

3 5

y yt

y

2

2

9 5

3(6 )

t y

t

2 2

14

( 6 )

t dt dy

t

2 2

6(1/ 2 5 / 3) 14(3 5)(2 1)

6 6

t t y y

t t

Por lo tanto

2 2

2

2

1( 6 )

6 66

6

t dt

dt t t I dt ArcTan C

t t

t

26 13 51

6 6(3 5)

y y ArcTan C

y

.

3) 2, R x ax bx c dx , c > 0.



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

411

2 21 1( )ax bx c a x x x x a

De aquí se deduce que en este caso o bien bajo la raíz

está una magnitud negativa para todos los valores

x x1, es decir, la raíz toma sólo expresiones imagina-

rias, este caso tiene lugar cuando a < 0 y no lo anali-

zamos, o bien cuando a 0 después de la transforma-

ción elemental señalada obtenemos que la variable x no aparece bajo el signo de la raíz, es decir, bajo la

integral está solamente una función racional de x, en

general, diferente para cada uno de los segmentos

(-, x1) y ( x1, +). Analicemos ahora el caso cuando

x1 x2. Observando que ax2 + bx + c = a( x – x1)( x – x2)

En este caso se puede utilizar la sustitución

2ax bx c c xt , la combinación de signos es

arbitraria. Elevando al cuadrado obtenemos la igualdad2 2 22ax bx c xt x t , de donde

2

2b t c

x t a

,

2

22

2 c t bt a c

dx dt t a

,

2

2

2b t cax bx c c t

t a

.

Por esto

2, R x ax bx c dx

2

2 2 22

22 2,

c t bt a cb t c b t c R c dt

t a t a t a


a) 2

2 5 3

dx

x x ; b) 23 3 3 10

dx

x x .

Solución a) Dado que c = 3 > 0, hacemos la sustitución

22 5 3 3 x x xt 2

2 3 5

2

t x

t

2

2 2

3 5 2 32

( 2 )

t t dx dt

t

22

2

3 5 2 32 5 3 3

2

t t x x xt

t

Por lo tanto2

2 2

2 2

2

3 5 2 3

( 2 )2 2

3 5 2 3 2

2

t t

dt t I dt

t t t

t

2

2 2

t ArcTan C

22 5 3 32

2

x x ArcTan C

x

.

b) Dado que c = 10 > 0, hacemos la sustitución

23 3 3 10 10 x x xt 2

2 10 3 3

3

t x

t

2

2 2

10 3 3 3 102

( 3 )

t t dx dt

t

4) Una integral del tipo2

dx

ax bx c , a < 0,

b2 – 4ac > 0, puede calcularse también por el siguiente

método. Tenemos que2

2

2 442

b b acax bx c x aaa

.

Haciendo2

224

42

b b ac x a t

aa

esto es

2 4

2 2

b b ac x t

a a

,

24

2

b acdx dt

a

22 24

(1 )4

b acax bx c t

a

.

Por consiguiente

2 2

1

1

dx dt

aax bx c t

1 ArcSent C

a

2

1 2

4

ax b ArcSen C

a b ac

.


a) 22 7 3

dx

x x ; b) 2

2 4 23

3 3

x

x x

a dx

a a .

Solución a) Dado que a < 0 y b2 – 4ac > 0, hacemos la sustitu-

ción2

2 7 252 7 3 2

82 2 x x x

,



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

412

22

2

10 3 3 3 103 3 3 10 10

3

t t x x xt

t

Por lo tanto2

2 2

2 2

2

10 3 3 3 10

( 3 )2 2

10 3 3 3 10 33

t

dt t I dt

t t t t

2

3 3

t ArcTan C

23 3 3 10 102

3 3

x x ArcTan C

x

.

227 25

282 2

x z

,7 5

4 4 x z

5

4dx dz 2 225

2 7 3 (1 )8

x x z

Por consiguiente

22

524

5 2 112 2

dz dz I

z z

2 2 4 7

2 2 5

x ArcSenz C ArcSen C

.

b) Hacemos y = a x, entonces dy = 2ln(a)a xdx

2 23

1

2ln 3 3

dy I

a y y

Dado que a < 0 y b2

– 4ac > 0, hacemos la sustitución2

2 2 3 13 3 3

3 122 3 y y x

2

23 13

122 3 x z

1 1

2 6 y z

dz dy6

1 2 22 1

3 3 (1 )3 12

y y z

Por consiguiente

22

1

1 36

2ln 6ln1 1(1 )

12

dz I dz

a a z z

3 3(3 6 )

6ln 6ln ArcSenz C ArcSen y C

a a

23(3 6 )

6ln

x ArcSen a C a

.

5) Una integral del tipo2

( )

dx

x p ax bx c puede

calcularse de la siguiente manera. Escribamos

1 x p

t

1 x p

t

Si x > p, entonces t > 0. Por consiguiente, para x > p

obtenemos

22

2

Pt Qt Rax bx c

t

21

Pt Qt Rt

,

donde P = ap2 + bp + c, Q = 2ap + b, R = a. Puesto

que2

dt dx

t , entonces

3 1

2 x

t

1 3

2 x

t

2

dt dx

t

2 2 21 35 15 3 1 35 12 4

4 2

x t t t t

t t

2 2( )

ctdt xdx

t a

Para evaluar esta integral, hacemos

235 12 4 35t t t z 2 2

( )

Adx

px q ax c

2

2

35 12 4 352

(12 2 35 )

z z dt dz

z

22 35 12 4 35

35 12 4 3512 2 35

z z t t t z

z

2

2

2

35 12 4 35

(12 2 3 5 )2 2

12 2 3535 12 4 35

12 2 35

z z

dz z I dz

z z z

z

1ln 12 2 35

35 z C

21ln 12 2 35 35 12 4 70

35t t t C

2

1 4 2 2ln 12 2 35 35 12 4 70

2 3 2 335 (2 3)C

x x x

21 104 24 4 35 4 26

ln 2 335

x x

C x

21 26 6 35 4 26ln

2 335

x xC

x

.

b) Haciendo

15 x

t

15 x

t

2

dt dx

t



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

413

2 2( )

dx dt

x p ax bx c Pt Qt R

, x > p.

Procediendo análogamente, obtenemos

2 2( )

dx dt

x p ax bx c Pt Qt R

, x < p.


a) 2(2 3) 5

dx

x x ; b) 2( 5) 3 1

dx

x x x .

Solución a) Haciendo

2 213 1 39 13 1 x x t t

t

2

221 139 13 139 13 1

dt

dt t I t t t t

t t

.

Para evaluar esta integral, hacemos

239 13 1 39t t t z 2 1

13 2 39

z t

t

2

2

39 13 392

(13 2 3 9 )

z z dt dz

z

22 39 13 39

39 13 1 3913 2 39

z z t t t z

z

2

2

2

39 13 39

(13 2 39 )2 2

13 2 3939 13 39

13 2 39

z z

dz z I dz

z z z

z

1ln 13 2 39

39 z C

21ln 13 2 39 39 13 1 78

39t t t C

21 3 1 78

ln 13 2 395 539

x xC

x x

21 13 13 2 39 3 1

ln539

x x xC

x

.

6) Una integral del tipo2 2( )

Axdx

px q ax c puede

calcularse de la siguiente manera. Calculemos esta

integral por medio de la sustitución 2ax c t . Te-

nemos

ax2 + c = t 2,2

2 t c x

a

,

1 xdx tdt

a .

Por consiguiente

22 2 ( )( )

Axdx Adt

pt aq pc px q ax c

.

Es fácil calcular la última integral.

7) Una integral del tipo2 2

( )

Adx

px q ax c puede

calcularse de la siguiente manera. Escribamos

2ax c xt , de donde

2

2

c x

t a

2 2

( )

( )

Ax B dx

px q ax c

.

Si p qa b , entonces, por la sustitución

2

b x t

a ,

transformamos esta integral en una del tipo

2 2

( )

( )

Ax B dx

px q ax c

.

Si p, q no son proporcionales a los números a, b, esto

es, si pb – aq 0, entonces, escribimos

1

mt n x

t

y tomamos los números m y n de tal manera que nues-

tra integral se transforme en una del tipo

2 2

( )

( )

Ax B dx

px q ax c

.

Empleando la sustitución anterior, obtenemos

2 2

( )

( )

Ax B dx

px qx r ax bx c

2 21 1 1 1 1 1

( )

( )

Pt Q dt

p t q t r a t b t c

,

el signo depende de que t > - 1 ó t < - 1, donde

P = ( Am + B)(m - n), Q = ( An + B)(m – n),

p1 = pm2 + qm + r , q1 = 2 pmn + q(m + n) + 2r ,

r 1 = pn2

+ qn + r , a1 = am2

+ bm + c,b1 = 2amn + b(m + n) + 2c, c1 = an2 + bn + c.

Determinemos los números m y n de tal manera que

q1 = 0 y b1 = 0. Para ello, habrá que resolver el sistema

de ecuaciones

2 ( ) 2 0

2 ( ) 2 0

pmn q m n r

amn b m n c

.

Puede probarse que el sistema tiene solución real si

pb – aq 0 y q2 – 4 pr < 0.



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

414

por consiguiente

2 2( )

ctdt xdx

t a

,

2 22

dx dx xdx dt

xt x t t aax c

,

y por tanto

22 2 ( )( )

Adx Adt

qt pc qa px q ax c

.

8) Una integral del tipo2 2

( )

( )

Ax B dx

px qx r ax bx c

,

q2 – 4 pr < 0, a 0, puede calcularse de la siguiente

manera. Trataremos de llevar esta integral a una del

tipo


2 2

(2 1)

( 2 3) 2 4

x x

x x x x

a a dx

a a a a

.

Solución

Haciendo y = a x, entonces dy = a xlnadx

2 2

1 (2 1)

ln ( 2 3) 2 4

y dy I

a y y y y

Dado que los coeficientes de los polinomios son pro-

porcionales, hacemos entonces la sustitución y = z – 1,

dy = dz

2 2

1 (2 1)

ln ( 2) 3

z dz I

a z z

2 2 2 2

1 2 1

ln ln( 2) 3 ( 2) 3

z dz dz

a a z z z z

1 2 I I

Calculamos estas integrales por medio de las sustitu-

ciones

I 1:2 3 z t z 2 + 3 = t 2

z 2 = t 2 - 3 2 zdz = 2tdt

I 2:2 3 z zt 2

2

3

1 z

t

22 13

dz dt

t z

Por lo tanto2

2 2 2

1 2 1 ( 1)

ln ln( 1) (1 )(2 1)

t dt t dt I

a at t t t

2 2

2 1

ln ln( 1) 2 1

dt dt

a at t

1 1 1ln 2

ln 1 ln

t ArcTan t C

a t a

2 2

2

3 1 1 2 6log

ln3 1a

z z ArcTan C

a z z

2

2

2 4 1log

2 4 1

a

y y

y y

22 4 81

ln 1

y y ArcTan C

a y

2

2

2 4 1log

2 4 1

x x

a x x

a a

a a


a) 1 Senx dx

; b)

Tanx dx

SenxCosx

;

c) 2 2Tan x dx .

Solución a) Haciendo

1 y Senx y2 = 1 + Senx

x = ArcSen( y2 – 1) 2 2

2

1 ( 1)

ydydx

y

,

tenemos2

2 2

2

1 ( 1)

y I dy

y

Si z = y2 – 1, 1 y z ,2 1

dz dy z

, entonces

2

1 1

11 1

z I dz dz

z z z

2 1 2 1 z C Senx C .

b) Si y Tanx , y2 = Tanx, x = ArcTany2,

4

2

1

ydydx

y

, tenemos

2

2 4 2

4 4

2 2

1 11 1

y y y I dy dy

y y y y y

2 2 2dy y C Tanx C .

c) Haciendo

2 2 2 y Tan x 2 2 x ArcTan y



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

415

21 2 4 8

ln 1

x x

x

a a ArcTan C

a a

.

9) Las integrales del tipo , , R x ax b cx d dx se

reducen mediante la sustitución t 2 = ax + b, a las inte-

grales de la forma ya analizadas. En efecto, det 2 = ax + b tenemos:

2t b

xa

,

2dx tdt

a , 2c cb

cx d t d a a

,

por lo que

, , R x ax b cx d dx 2

2, ,t b c cb

R t t d dt a a a

.

2 2( 1) 2

ydydx

y y

2

2 2( 1) 2

y dy I

y y

Si

2 2 y yt 2

2

2

1 y

t

22 12

dy dt

t y

2 2

2 2

2

2

1 1 22 (1 )(1 )1

1

dt dt t t I

t t

t

2 2 2

2

1 1(1 )(1 ) 1

A B Ct D

t t t t t

2 = A(1 + t )(1 + t 2) + B(1 – t )(1 + t 2) + (Ct + D)(1 - t 2)

2 = ( A – B – C )t 3 + ( A + B – D)t 2 +

+ ( A – B + C )t + ( A + B + D)

A = ½, B = ½, C = 0, D = 1

21 12 1 2 1 1

dt dt dt I t t t

1 1ln 1 ln 1

2 2t t ArcTant C

1 1ln

2 1

t ArcTant C

t

2

2

2

21

2ln

21

y

y y ArcTan C

y y

y

2 2

2

2 2

ln 2

y y y

ArcTan C y y y

2

2 2

2ln

2 2

Tan x Tanx Tanx ArcTan C

Tan x Tanx Tan x

2

2ln 2

2

TanxTan x Tanx ArcTan C

Tan x

.

5.10.1 Tarea


a) 22 3 2

dx

x x x ; b) 2

21 4

x dx

x x ; c)2 2

(2 1)

(3 1) 1

x dx

x x x x

;

d) 23 2

dx

x x x ; e) 2

2

(3 2 )

3 4

x x dx

x x

; f) 2 2

( 3)

(3 2 5) 6 4 3

x dx

x x x x

;

g) 23 2

dx

x x x ; h) 2

2

(2 5 )

4 3

x x dx

x x

; i) 2

( 2) 2 1

dx

x x x ;

j)

2

23 x x dx x ; k) 2

2 1

dx

x x x ; l) 2 2

(2 1)

(2 4 3) 2 1

x dx

x x x x

;

m) 1 1

1

xdx

x x

; n)

3( 1)( 2)

dx

x x ; o) 2 2

(5 3)

(5 3 2) 10 6 1

x dx

x x x x

;

p) 5

5

1

1

xdx

x

; q) 2 2( 1 )

dx

x x x ; r) 2 2

( 3)

(2 3 1) 5 2 4

x dx

x x x x

;



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

416

s) 2

1 3 3

dx

x x ; t) 2 2

(3 2 ) 5

xdx

x x x x ; u) 2 2

(2 5)

( 2 5) 2 4 3

x dx

x x x x

.

5.11 Integrales del binomio diferencial

La expresión

p

m n x a bx dx , a 0, b 0,

se denomina binomio diferencial. Analizaremos el

caso cuando n, m y p son racionales y a y b son núme-

ros reales. Hagamos1

n x t ,

1

11

ndx t dt n

,

1

11 m

p pm n n x a bx dx a bt t dt

n

.

De esta forma, la integral

p

m n x a bx dx

se reduce mediante la sustitución

1

n x t a la integral

del tipo p

qa bt t dt , donde q y p son racionales. En

el caso analizado1

1m

qn

.

A continuación analizaremos tres casos:

a) p es un número entero: Sear

q s

, donde r y s son

números enteros; en este caso la sustitución

1

s z t

reduce la integral p

qa bt t dt a una integral de una

fracción racional.

b) q es un número entero: Sea ahorar

p s

donde r y

s son números enteros. La integral p

qa bt t dt

se

reduce en este caso, con la sustitución

1

( ) s z a bt , a

la integral de una fracción racional.

c) p + q es un entero: Sean2

bt x

a , donde r y s

son enteros. Escribamos, para mayor claridad, la inte-

gral2

dx

ax bx c en una forma algo diferente

p p

q p qa bt a bt t dt t dt

t

.

Esta vez a la integral de una fracción racional la reducela sustitución

1

sa bt z

t

.

Así, en los tres casos, cuando uno de los números p, q

o p + q es entero, la integral p

qa bt t dt , con ayuda

de las sustituciones señaladas, se reduce a la integral

sustitución 1

n s z ax b , donde el número s es tam-

bién el denominador de la fracción p.


a) 4

2 3(1 )

x

x

e dx

e ; b) 4 1255 13(2 ) (9 7 2 )

dx

x x .

Solución

a) Haciendo y = e x, entonces dy = e xdx 33 3

4 2 2

2 3 2 3(1 )

(1 ) (1 )

x x

x

e e dx y dy I y y dy

e y

.

Aquí, tenemos m = 3, n = 2, 3

2 p . Por tanto

12

m

n

, por lo que puede transformarse la integral

dada en una función racional. Hagamos y = z , entonces

1

2 ydy dz . Por consiguiente

3

21

(1 )2

I z z dz

.

Escribamos ahora 1 – z = t 2, dz = -2tdt , entonces

2

2 2(1 )t dt dt I dt

t t

1 11

1t C z C

t z

2

2

11

1 y C

y



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

417

de una fracción racional. Este resultado, aplicado a la

integral p

m n x a bx dx , toma la siguiente forma:

cuando uno de los números p,1m

n

o

1m p

n

es

entero, la integral puede ser reducida a la integral de

una fracción racional. Además, en el caso cuando p esun entero, esta reducción la realiza la sustitución

2

dt dx

t , donde el número s es el denominador de la

fracción1m

n

, es decir,

1m r

n s

, en el caso cuando

1m

n

es entero, la sustitución

1n s z a bx , donde el

número s es el denominador de la fracción p, es decir,

r p

s ; y en el caso cuando

1m p

n

es entero la

2 2

2 2

2 2

1 1

x

x

y eC C

y e

.

b)

12

4 55 13(2 ) 9 7 2

dx I

x x

124 1 135 5(2 ) 9 7(2 ) x x dx

.

Dado que

4

5m ,

1

5n ,

12

13 p ,

11

m

n

,

52 z x , 4

2 5dx z dz 12 12

4 413 135 5

(9 7 ) (9 7 )2 2

I z z z dz z dz

1

5131365 65

(9 7 ) 9 7 2

14 14

z C x C .

5.11.1 Tarea


a) 3 4

2

1 x dx

x

; b)

3 31

dx

x ; c) 2

24(1 )

x dx

x ; d)3 23 1 x x dx ;

e) 4

3

1 x dx

x

; f)

33 21

dx

x x ; g) 4 3

2

2 x dx

x

;

h) 23 (1 ) x x dx ;

i) 53(1 )

x dx

x ; j)

3 3 2

3

1 x dx

x

; k)

3

1

xdx

x ; l) 5

52

1 xdx

x

;

m) 3 31

dx

x x ;n)

3 2

2

1 x dx

x

;

o) 5 2 1

dx

x x ; p) 3 8 215 (1 ) x x dx .


a) 5 31 x dx ; b) 3

31 1 1 x x dx ; c) 3 2

1 1 x dx ;

d)

35 2

1 x dx

x

;

e) 3 2 23 (1 ) x x dx .

5.12 Integrales del tipo ( )n

2

P x dx

ax + bx + c

Aunque las sustituciones de Euler siempre racionalizan

la integral de la función 2, R x ax bx c , ellas

suelen llevar a cálculos muy voluminosos y complica-

dos. Por eso, en la práctica se usan con frecuencia

otros procedimientos de integración de la función

Tomándolo en consideración, podemos afirmar que el

problema de integración de la función 2

2

( ) R x

ax bx c se

reduce al cálculo de las integrales de tres tipos siguien-

tes:



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

418

2, R x ax bx c . Estos procedimientos se exami-

nan en la presente sección.

Podemos representar la función 2, R x ax bx c en

forma de la suma

2 2

12

( ), ( ) R x R x ax bx c R xax bx c

,

donde R1( x) y R2( x) son ciertas funciones racionales de

una variable. Ya que la integral de R1( x) se toma en

funciones elementales, es suficiente calcular la integral

de la función

2

2

( ) R x

ax bx c .

Ya sabemos que toda fracción racional R2( x) puede

representarse en forma de la suma de un polinomio

P ( x) y la fracción racional propia R3( x). A su vez, la

fracción racional propia R3( x) puede desarrollarse en la

suma de fracciones simples.

I)2

( ) P x dx

ax bx c , donde P ( x) es polinomio;

II)2

( )

Bdx

x A ax bx c , donde A y B son constan-

tes, N .

III)2 2

( )

( )

Mx N dx

x px q ax bx c

, donde M , N , p y q

son constantes, N con tal que2

0.4

pq

A continuación vamos a desarrollar cada una de las

integrales de tipo I, II y III por separado.

I) Para calcular la integral de tipo I, ante todo estable-

cemos la fórmula recurrente para la integral

2

m

m

x dx I

ax bx c

, donde m = 0, 1, 2, ...

Para hacerlo, suponiendo m 1, integremos la siguien-

te identidad que se verifica por la diferenciación:

1 2

2

1( )´

2

mm x

x ax bx c ma m bax bx c

1 2

2 2( 1)

m m x xm c

ax bx c ax bx c

.

Integrando esta identidad llegamos a la igualdad

1 21

1

2

mm m x ax bx c ma I m b I

2( 1) mm c I . (1)

Tomando m = 1 en la igualdad (1), hallamos

21 0

1

2

b I ax bx c I

a a . (2)

Luego, poniendo m = 2 en la igualdad (1) y empleando

el valor ya calculado I 1, hallamos

22 2

1(2 3 )

4 I ax b ax bx c

a

202

1(3 4 )

8b ac I

a .

Luego continuando los razonamientos análogos, lle-

gamos a la siguiente fórmula común:

21 0( )m m m I P x ax bx c c I , (3)

donde P m-1( x) es polinomio de grado m – 1 y cm, cons-

tante.

Si en la integral de tipo I, P ( x) es polinomio de grado

n, entonces la integral de tipo I será igual a la suma de

las integrales I 0, I 1, ..., I n con ciertos multiplicadores

constantes (coeficientes del polinomio P ( x)). Por lo

sistema de n + 1 ecuaciones lineales, de las cuales se

determinan A0, A1, ..., An-1 y c0. La resolubilidad del

sistema obtenido se desprende de la validez de la fór-

mula (4) demostrada anteriormente. Queda por agregar

que la integral situada en el miembro derecho de (4) se

reduce con el cambio de variable

2

bt x

a .

Empleando dicho cambio, la integral2

dx

ax bx c

se reduce, con exactitud de hasta factor constante, a unade las dos integrales siguientes:

2 2

2 2ln

dt t t k C

t k

,

donde k es una constante > 0.

ó

2 2

dt t ArcSen C

k k t

.

II) Pasamos a calcular la integral de tipo II. Mostre-

mos que esta integral se reduce a la integral del tipo I

haciendo la sustitución

1

t x A . En efecto, puesto que

2

dt dx

t ,

2 22

2

( ) (2 ) A a Ab c t aA b t aax bx c

t

.

Obtenemos

2( )

Bdx

x A ax bx c



INTEGRAL INDEFINIDA

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419

tanto, en virtud de la igualdad (3), obtenemos definiti-

vamente la siguiente fórmula para la integral de tipo I:

21

2

( )( )n

P x dxQ x ax bx c

ax bx c

02

dxc

ax bx c

(4)

En esta fórmula Qn-1( x) es polinomio de grado n – 1, y

c0, constante. Para determinar el polinomio Qn-1( x) y la

constante c0 se emplea el método de coeficientes inde-

terminados. El polinomio Qn-1( x) se escribe como

polinomio con coeficientes literales Qn-1( x) = A0 + A1 x

+ ... + An-1 xn-1. Diferenciando la igualdad (4) y multi-

plicando el resultado de diferenciación por

2ax bx c , obtenemos

21( ) ´ ( ) ( )n P x Q x ax bx c

1 0

1( ) (2 )

2 nQ x ax b c . (5)

En ambos miembros de la igualdad (5) hay polinomiosde grado n. Igualando sus coeficientes, obtenemos el

1

2 2( ) (2 )

Bt dt

A a Ab c t aA b t a

.

III) Calculemos, por fin, la integral de tipo III, ante

todo, para el caso particular de p = 0, b = 0, es decir,

calculemos la integral

2 2

( )

( )

Mx N dx I

x q ax c

.

Esta integral se descompone en la suma de dos integra-

les

12 2( )

xdx I M

x q ax c

y

22 2( )

dx I N

x q ax c

.

La primera de estas integrales puede escribirse en la

forma

2

12 2

( )

2 ( )

M d x dx I

x q ax c

,

de la cual se desprende que la función subintegral es

irracionalidad lineal respecto a x2. La integral I 1 se

racionaliza por la sustitución 2t ax c . La integral

I 2 puede escribirse en la forma1

2 22

2

2 21 11

dx x

x I N

q a c x x

1

2 2

2 2

1 1

2 1 11

d N x x

q a c x x

,

de la cual se desprende que la función subintegral es

irracionalidad lineal respecto a2

1

x. Por lo tanto, la

sustitución2

cr a

x racionaliza la integral I 2. Así

pues, para el caso particular cuando los dos trinomioscuadráticos no tienen términos de primer grado, la

integral de tipo III fue racionalizada. Consideremos

ahora el caso general de la integral de tipo III y mos-

tremos que puede reducirse a la integral de forma

particular examinada anteriormente. Si los coeficientes

de los trinomios cuadráticos satisfacen la relación

b = ap (6)

entonces para reducir la integral de tipo III a la integral

de forma particular anteriormente examinada es sufi-

primer grado respecto a t . Mostremos que se puede

escoger tales m y n. En efecto, al hacer la sustitución

(7), tendremos2 x px q

2 2 2

2

( ) (2 ( ) 2 ) ( )

(1 )

m pm q t mna b m n c t n pn q

t

2ax bx c 2 2 2

2

( ) (2 ( ) 2 ) ( )

(1 )

am bm c t mna b m n c t an bn c

t

De este modo, los coeficientes m y n se determinanvaliéndose del sistema de ecuaciones

2 ( ) 2 0

2 ( ) 2 0

mn p m n q

mna b m n c

o del sistema de ecuaciones equivalentes

2( )c aqm n

b ap

cp bqm n

b ap

.

Por lo tanto, m y n son raíces de la ecuación cuadrática

2 2( )0

c ap cp bq x x

b ap b ap

(8)

Queda por demostrar que la ecuación cuadrática (8)

tiene raíces reales y diferentes. Para esto basta demos-

trar que el discriminante de esta ecuación es positivo,

es decir, basta argumentar la desigualdad2( ) ( )( )c aq cp bq b ap (9)

Es fácil convencerse de que la desigualdad (9) es equi-

valente a la siguiente desigualdad:2 2 2(2( ) ) (4 )(4 )c aq bp q p ac b (10)



INTEGRAL INDEFINIDA

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420

ciente hacer la sustitución p

x t q

. En efecto, obte-

nemos

2 2

( )

( )

Mx N dx

x px q ax bx c

2 22 2

2

4 4

Mp Mt N dt

p apt q at c

.

Es más complicado reducir la integral de tipo III a la

integral de forma particular anteriormente examinada

si los coeficientes de los trinomios cuadráticos no

satisfacen la relación (6). En este caso, primeramente

hacemos la sustitución lineal fraccional

1

mt n x

t

(7)

escogiendo las constantes m y n de tal modo que los

trinomios cuadráticos no comprenden términos de

Puesto que el trinomio cuadrático x + px + q tiene

raíces complejas, entonces 4q – p2 > 0. A ciencia cierta,

la desigualdad (10) tiene lugar si 4ac – b2 > 0. Demos-

traremos que esta desigualdad es también válida si

4ac – b2 > 0. En este caso, q > 0, ac > 0 y 4 acq pb .

Por eso, teniendo en cuenta que2

c aqcaq

, ten-

dremos2 2(2( ) ) (4 )c aq bp qac pb

2 2 2(4 )(4 ) 4( )q p ac b p ac b q

2 2(4 )(4 )q p ac b

Esta serie de desigualdades tiene al memos un símbolo

de desigualdad estricta > puesto que el primer símbolo

se convierte en el símbolo = sólo para c = aq, pero, si

c = aq, en virtud de que b ap, a ciencia cierta

0 p ac b q , y, por eso, el segundo símbolo no

se convierte en el símbolo =. Así pues, hemos demos-

trado la desigualdad (10), es decir, la posibilidad deescoger m y n tales que los trinomios cuadráticos

obtenidos no comprenden términos de primer grado

respecto a t . Haciendo la sustitución (7) con dicho m y

n, reducimos la integral de tipo III a la forma

2 21 1 1

( )

( )

P t dt

t q a t c (11)

donde a1, c1 y q1 son ciertas constantes, P (t ) es poli-

nomio de grado 2 - 1. Al desarrollar la fracción

21

( )

( )

P t

t q , cuando > 1, en la suma de las fracciones

simples, reducimos el problema de calcular la integral(11) al de calcular la suma de integrales en la forma

2 21 1 1

( )

( )

k k M t N dt

t q a t c

, (k = 1, 2, ..., ).

Cada una de estas integrales se refiere al tipo particular

anteriormente examinado. Por lo tanto hemos demos-

trado la integrabilidad en funciones elementales de las

integrales de todos los tres tipos I, II y III.

De este modo, aparte de las sustituciones de Euler,

hemos demostrado una vez más la integrabilidad de la

función 2, R x ax bx c en funciones elementales.

EjemploCalcular la siguiente integral

a) 23 5 2 x x dx ; b) 3

2

(2 2 3)

3 6

x x dx

x x

;

c) 5 2

2

(5 2 3 )

3 2 1

x x x dx

x x

.

2 2 15 52 2

3 5 2 6 3 2 x x Ax A B x A B C .

1

2 A ,

5

12 B ,

1

24C .

Reemplazando estos valores, obtenemos

2

2

1 5 13 5 2

2 12 24 3 5 2

dx I x x x

x x

Para la última integral, escribimos

23 5 2 3 x x x t ,

obteniendo2

1

1ln 6 5 2 9 15 6

3 I x x x C .

Por lo tanto

21 53 5 2

2 12 I x x x

21ln 6 5 2 9 15 6

24 3 x x x C .

b) Hagamos

2 2

2( ) 3 6

3 6

dx I Ax Bx C x x D

x x

,

derivando ambos miembros de la igualdad, encontra-

mos3

2

2 2

2 2 3 2 3( )

3 6 2 3 6

x x x Ax Bx C

x x x x

2

2(2 ) 3 6

3 6

D Ax B x x

x x

,

multiplicando ambos miembros por el radical y orde-

nando, obtendremos



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421

Solución

a) 2

2

2

3 5 23 5 2

3 5 2

x x I x x dx dx

x x

Hagamos2

2

3 5 2

3 5 2

x x I dx

x x

2

2( ) 3 5 2

3 5 2

dx Ax B x x C

x x

,


mos2

2

2

3 5 23 5 2

3 5 2

x x A x x

x x

2 2

( )(6 5)

2 3 5 2 3 5 2

Ax B x C

x x x x

,


nando, obtendremos2 2 1

23 5 2 (3 5 2) ( )(6 5) x x A x x Ax B x C

3 212

2 2 3 (2 3)( ) x x x Ax Bx C

2(2 )( 3 6) Ax B x x D

3 3 2152

2 2 3 3 2 x x Ax A B x

9 32 2

12 ( 6 ) A B C x B C D

2

3 A , 5

2 B , 69

4C , 351

8 D .

Reemplazando estos valores, obtenemos

2 2

23 332 4

2 5 69 3513 6

3 2 4 8

dx I x x x x

x

2 22 5 693 6

3 2 4 x x x x

2351 3ln 3 6

8 2 x x x C .

c) 4 3 2 2( ) 3 2 1 I Ax Bx Cx Dx E x x

23 2 1

dx F x x

,


mos5 2

2

5 2 3

3 2 1

x x x

x x

4 3 2

2

6 2( )

2 3 2 1

x Ax Bx Cx Dx E

x x

3 2 2

2(4 3 2 ) 3 2 1

3 2 1

F Ax Bx Cx D x x

x x


nando, obtendremos5 2 4 3 25 2 3 (3 1)( ) x x x x Ax Bx Cx Dx E

3 2 2

(4 3 2 )(3 2 1) Ax Bx Cx D x x F

5 2 5 4 35 2 3 15 9 12 4 7 9 x x x Ax A B x A B C x

2( 3 5 3 ) ( 2 3 3 ) ( ) B C D x C D E x D E F

1

3 A ,

1

4 B ,

37

108C ,

25

162 D ,

112

81 E ,

83

54 F

Reemplazando estos valores, obtenemos4 3 2 21 1 37 25 112

3 2 13 4 108 162 81

I x x x x x x

2

83

54 3 (3 1) 4

dx

x

4 3 2 21 1 37 25 1123 2 1

3 4 108 162 81 x x x x x x

donde P n-1( x) es un polinomio de grado no superior a n

- 1 y k es cierto número.

Sea dado el polinomio P n( x) = an xn + an-1 x

n-1 + ... + a0.

Si existe el polinomio P n-1( x) = bn-1 xn-1 + bn-2 x

n-2 + ... +

b0 que satisface la condición de la integral, entonces

diferenciando esta igualdad obtendremos:

2 11

2 2 2

( ) ( )(2 )´ ( )

2

n nn

P x P x ax b P x ax bx c

ax bx c ax bx c ax

,eliminando denominadores, obtenemos

2 P n( x) = 2 P ́n-1( x) (ax + bx + c) + P n-1( x) (2ax + b) +

2k .

Aquí a la izquierda aparece un polinomio de grado n y

a la derecha cada sumando es también un polinomio de

grado no mayor que n. Observando que

P ́n-1( x) = (n – 1)bn-1 xn-2 + ... + kbk x

k -1 + ... + b1

y sustituyendo P n( x), P n-1( x) y P ́n-1( x) en 2 P n( x) tene-

mos las igualdades

2(an xn + an-1 x

n-1 + ... + a0) = 2(ax2 + bx + c)((n – 1)bn-

1 xn-2 + ... + kbk x

k -1 + ... + b1) +

+ (2ax + b)(bn-1 xn-1

+ ... + bk xk

+ ... + b0) + 2k .Igualando los coeficientes de las potencias iguales de x

obtendremos el sistema de n + 1 ecuaciones lineales

con n + 1 incógnitas b0, b1, ..., bn-1, k :

2a0 = 2cb1 + bb0 + 2k

2a1 = 2bb1 + 4cb2 + 2ab0 + bb1

. . .

2ak = 2(k - 1)abk -1 + 2kbbk + 2(k + 1)cbk +1 + 2abk -1 + bbk

. . .

2an-1 = 2(n - 2)abn-2 + 2(n - 1)bbn-1 + 2abn-2 + 2bbn-1



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422

283ln 3 1 3 2 1

54 3 x x x C .

Una forma más simple de explicar lo anteriormente

expuesto, se da a continuación para tres casos específi-

cos:

a) Analicemos la integral2

( )n P x dx

ax bx c , a 0,

donde P n( x) es un polinomio de grado n 1. En prin-

cipio esta integral se puede reducir siempre a la inte-

gral de una fracción racional con ayuda de una de las

sustituciones de Euler. No obstante, en el caso concre-

to dado, generalmente, nos lleva al objetivo mucho

más rápido otro método.

Demostraremos que es válida la siguiente fórmula

21

2

( )( )n

n

P x dx P x ax bx c

ax bx c

2

dxk

ax bx c

,

2an = 2(n - 1)abn-1 + 2abn-1

De la última ecuación se halla inmediatamente bn-1:

1n

n

ab

nk .

Sustituyendo esta expresión en la penúltima ecuación y

observando que en esta ecuación el coeficiente de la

incógnita bn-2 es igual a 2a(n – 1) 0 hallaremos elvalor de bn-2, etc. Sucesivamente obtendremos todos los

valores de las incógnitas bk (k = 0, 1, ..., n-1). Después

de esto, de la primera ecuación se halla inmediatamente

la incógnita k .

De esta manera, el sistema tiene solución para cuales-

quiera valores a0, a1, ..., an. por eso el determinante de

este sistema es diferente de cero y la solución indicada

es única. En la práctica el polinomio P n-1( x) se escribe

con coeficientes indeterminados, los cuales se hallan

resolviendo el sistema. Después de esto, el cálculo de la

integral dada se reduce al cálculo de la integral

2( )n P x dx

ax bx c

la cual en el caso en que la expresión subradical es

positiva en cierto intervalo se reduce fácilmente a una

de las integrales inmediatas.

b) Integral del tipo2

( )

( )

r

r

P x dx

x p ax bx c .

Si r = 1, el polinomio P r ( x) es una constante, y por lo

tanto, obtenemos una integral racional.

Si r > 1, puede probarse que una integral de este tipo puede llevarse a la forma

2212

( ) ( )

( )( )

r r r r

P x dx P xax bx c

x p x p ax bx c

2( )

dxk

x p ax bx c

donde los coeficientes del polinomio de grado menor o

igual que r – 2 se determinan como se hizo en el caso

a) y calculamos la última integral como una integral

racional.

c) Una integral del tipo

2

2 2

( )

( )

r

r

P x dx

px qx s ax bx c

El polinomio px2 + qx + s es un polinomio con raíces

complejas, es decir, q2 – 4 ps < 0. Si r = 1, el polinomio

P 2r ( x) será de primer grado y la integral dada coincidirá

con una integral racional ya estudiada en la sección

anterior.

Si r > 1, es posible probar que la integral del tipo con-siderado puede llevarse a la forma

2

2 2

( )

( )

r

r

P x dx

px qx s ax bx c

22 32 1

( )

( )

r r

P xax bx c

px qx s

2 2

( )

( )

Ax B dxk

px qx s ax bx c

donde los coeficientes del polinomio P 2r -3( x) y A y B se

determinarán como en el caso b), la última integral se

calcula como en la sección anterior.

5.12.1 Tarea


a) 2

3

3

( 3)

xdx

x

; b) 3

4 2

( 2 1)

(2 3) 3

x x dx

x x

; c)3

4 2

( 3 1)

( 3) 3 1

x x dx

x x x

;



INTEGRAL INDEFINIDA

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423

d) 2

4 2

(2 2 1)

(2 1) 2 2

x x dx

x x x

; e) 31 2

dx

x x x ; f) 2

2 1

x dx

x x .

2) La función Q(t ) representa la fracción de una can-

tidad de sustancia química que ha sido absorbida a

través de una membrana porosa en el tiempo t en ho-

ras. Se observa que la rapidez de absorción es

t te

dt

dQ :

a) Si inicialmente nada ha sido absorbido de la sus-

tancia, obtener la proporción absorbida después de 5 y

de 10 horas.

b) Demuestre que 1)(lim

t Qt

e interprételo.

3) La función P (t ) modela el porcentaje de la pobla-

ción que ha muestreado un producto nuevo en los t

primeros meses después de que se lanzó al mercado.

La función P (t ) para cierto alimento dietético varía con

una rapidez2)1(

)1ln(100)´(

t

t t P , para t ≥ 0. Suponien-

do que P (0) = 0, hallar el porcentaje de la población

que ha probado el producto durante su primer mes en el

mercado; en los 6 primeros meses, y en el primer año.

4) En una reserva ecológica se liberan diez venados de

cierta especie. Se sabe que la rapidez de crecimiento de

la población P es P ́(t ) = (t + 1)(0.9)t , cuando t se mide

en años:

a) Obtener un modelo para la población P (t ), supo-

niendo que P (0) = 10.

b) Aplicar el modelo para predecir la población des-

pués de 1, 5, 50 y 100 años.

5) Halle la ecuación de la función cuya tangente tiene

una pendiente de 3 x2 + 6 x – 2 para cada valor de x y

cuyo gráfico pasa por el punto (0, 6).

6) Halle la ecuación de la función cuyo gráfico tiene

un mínimo relativo cuando x = 1 y máximo relativo

cuando x = 4.

7) Un objeto se mueve de forma que su velocidad

después de t minutos es de 3 + 2 t + 6t 2 metros por

minuto. ¿Qué distancia se desplazará el objeto durante

el segundo minuto?

8) El isótopo de polonio 210Po tiene una semivida o

periodo medial de 140 días; aproximadamente. Si una

muestra pesa inicialmente 20 miligramos, ¿cuánto

queda t días después? Aproximadamente, ¿cuánto

quedará después de dos semanas?

9) Se lanza una piedra hacia arriba, con una velocidad

inicial de 64 pies por segundo desde una altura de 8

pies. Suponiendo que es insignificante la resistencia

del viento, la piedra tiene una aceleración gravitacional

de – 32 pies por segundo por segundo. Calcule la altu-

ra que alcanza la piedra en el tiempo t.

10) Si la temperatura es constante, entonces la razón

de cambio de la presión atmosférica p respecto a la

altura h es proporcional a p. Suponiendo que p = 762

mmHg al nivel del mar y p = 737 mmHg a 300 m dealtitud, calcule la presión a una altitud de 1500 m.

11) Cierto parásito se reproduce y entonces se le

extermina con el empleo de un medicamento nuevo.

La razón de cambio en el número de parásitos vivos

con respecto al tiempo t en semanas se da por

42756000 t t

dt

dN . Determinar cuántos parásitos

16) Supóngase que dos trenes se están aproximando

uno al otro a lo largo de vías paralelas. La distancia

entre las locomotoras está cambiando con una rapidez

3

2

4)( t t v millas por hora. Si inicialmente las máqui-

nas están a 1 milla, ¿cuándo se encontrarán éstas?

17) Una placa de metal se enfría de 80ºC a 65ºC en 20minutos al estar rodeada de aire a una temperatura de

15ºC. Use la ley de Newton para estimar la temperatura

al cabo de una hora de enfriamiento. ¿Cuándo llegará la

temperatura a 40ºC?

18) Se estima que dentro de t meses la población de

una cierta ciudad estará cambiando a un ritmo de

3

2

54 t personas por mes. Si la población actual es de

500.000, ¿cuál será la población dentro de 1 año?

19) Un termómetro exterior registra una temperatura

de 4ºC. Cinco minutos después de introducirlo en unahabitación donde la temperatura es de 20ºC, el termó-

metro marca 15ºC. ¿Cuándo marcará 18ºC?

20) Un estudio ambiental de una cierta comunidad

sugiere que dentro de t años el nivel de monóxido de

carbono en el aire estará cambiando a un ritmo de 0.1 t

+ 0.1 partes por millón por año. Si el nivel actual de

monóxido de carbono en el aire es de 3.4 partes por

millón, ¿cuál será el nivel dentro de 3 años?



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

424

habrá en el tiempo t si originalmente había 3000.

12) La población de una ciudad crece a razón de 5%

al año. Si la población actual es 500000, ¿cuál será la

población dentro de 10 años?

13) Se lanza una pelota directamente hacia arriba

desde una altura de 2 metros, con una velocidad de 10

metros por segundo. Si se desprecia la resistencia del

aire, hallar la altura máxima que alcanzará la pelota.

¿Cuál es la velocidad de ésta al chocar contra el piso.

14) Los agrónomos calculan que se necesitan 1000

metros cuadrados de tierra para proveer de alimentos a

una persona. Por otro lado, se calcula que hay 40 x

1012 metros cuadrados de tierra laborable en el mundo

y, por lo tanto, se puede sostener a una población má-

xima de 40000 millones de personas si no hay ninguna

otra fuente de alimentos.

15) La población de la Tierra en 1980 era de 4500millones de habitantes. Suponiendo que la población

crece a razón de 2% al año, ¿cuándo se alcanzará la

población máxima que la Tierra puede alimentar?

21) La rapidez con que la sal se disuelve en el agua es

directamente proporcional a la cantidad de sal no di-

suelta. En un recipiente con agua se ponen 5 kilogra-

mos de sal y en 20 minutos se disuelven 2 kilogramos.

¿Cuánto tiempo tardará en disolverse 1 kilogramo más?

22) Un árbol ha sido trasplantado y después de t años

está creciendo a un ritmo de2)1(

11

t metros por

año. Pasados dos años ha alcanzado una altura de 5

metros. ¿Qué altura tenía cuando fue trasplantado?

23) Un físico encuentra que cierta sustancia radiactiva

produce 2000 marcas o cuentas por minuto en un con-

tador Geiger. Diez días más tarde la sustancia produce

1500 cuentas por minuto. Calcular aproximadamente su

semivida o vida media. W dt

dW 21.0 . ¿Cuál será el

peso dentro de un mes (t = 30 días) de una planta queactualmente pesa 70 miligramos?

24) La distancia s en kilómetros entre dos automóviles

en el instante t en horas varía con una rapidez

t

e

dt

ds t 1

50 . Calcular la distancia s(t ) entre los

automóviles, después de media hora, si inicialmente se

encuentran en el mismo punto.

25) El material radiactivo estroncio 90, a 90Sr, que

tiene una semivida de 29 años, puede causar cáncer enlos huesos de los seres humanos. La sustancia se en-

cuentra en la lluvia ácida, penetra en el suelo y se

introduce en la cadena alimenticia. El nivel de radiac-

tividad en cierto terreno de cultivo es 2.5 veces el nivel

máximo S que se considera aún dañino. ¿Durante

cuántos años seguirá contaminando ese terreno?

26) La presión atmosférica P (en atmósferas) a una

altitud de x metros sobre el nivel del mar satisface la

ecuación )(81.9 xdx

dP , donde (x) es la densidad

del aire a una altitud x. Suponiendo que el aire satisfa-

ce la ley de los gases, la ecuación puede escribirse

comoT

P

dx

dP 0342.0 , donde T es la temperatura (en

kelvins, K) a una altitud x. Exprese P como una fun-

ción de x suponiendo que la presión al nivel del mar es

de 1 atmósfera y que T = 288 – 0.01x.

27) El indicador radiactivo 51Cr, que tiene una semi-

vida o periodo medial de 27.8 días, se usa a veces en

de crecimiento (en gramos por día) es proporcional al

peso actual W. Para una especie de algodón,

31) En la fisiología pulmonar se usa la siguiente ecua-

ción

hk

h

Q

V

dt

dh, para describir el transporte de

una sustancia a través de la pared de un vaso capilar,

donde h es la concentración de hormona en la sangre al

tiempo t, V es la rapidez máxima de transporte, Q es el

volumen del capilar y k es una constante que mide la

afinidad entre las hormonas y las enzimas que contri-

buyen al proceso de transporte. Determine la solución

general de la ecuación.

32) En la enfermedad llamada arterosclerosis, las

paredes de las arterias se hacen gradualmente más

gruesas. Considérese un caso en el que la sección

transversal inicial de una arteria tiene un radio interior r

= 1 centímetro, y se encuentra que decrece con una

rapidez

t

edt

dr 002.0

02.0

centímetros por año:

a) Hallar un modelo para r (t ).

b) Calcular el radio interior de la arteria después de 5

años.

c) Demostrar que el área de la sección transversal del

interior de la arteria, después de 5 años, es 81 % del

área inicial.

33) Se dispara un cohete espacial desde la Tierra. Si



INTEGRAL INDEFINIDA

JOE GARCIA ARCOS

425

pruebas médicas para localizar la posición de la pla-

centa en mujeres embarazadas. El indicador se pide a

un laboratorio de productos médicos y la entrega de un

pedido tarda dos días. ¿Cuántas unidades se deben

solicitar para hacer una de estas pruebas si se necesitan

35 unidades en el momento de la prueba?

28) El número N en cientos de campistas que utilizan

los servicios de cierto parque nacional durante el año t

se estima que varía con una rapidez

5

4

)2(

23

t

t

dt

dN .

¿Cuántos campistas adicionales deben esperarse dentro

de 5 años, a partir de ahora?

29) Los veterinarios anestesian animales con pento-

barbital sódico. Para anestesiar a un perro se requieren

30 miligramos por cada kilogramo de peso. El citado

pentobarbital sódico se elimina exponencialmente de

la sangre. En 4 horas la cantidad baja a la mitad. Cal-

cule el tamaño de una dosis única para anestesiar du-

rante 45 minutos a un perro que pesa 20 kilogramos.

30) Durante el primer mes de crecimiento de ciertos

cultivos como el maíz, el algodón y la soya, la rapidez

se desprecia la resistencia del aire, su velocidad a partir

del momento en que se termina el combustible, está

dada por la ecuación2 y

k

dy

vdv , donde y es la distan-

cia desde el centro de la Tierra y k es una constante

positiva. Sea y0 la distancia desde dicho centro en el

momento en que se termina el combustible y v0 la velo-cidad correspondiente. Exprese v como una función de

y.

34) Se estima que dentro de t años el valor de una

hectárea de tierra de cultivo estará aumentando a un

ritmo de

000.82.0

4.0

4

3

x

t dólares por año. Si la tierra

tiene actualmente un valor de 600 dólares por hectárea,

¿cuánto valdrá dentro de 5 años?

35) A altas temperaturas, el dióxido de nitrógeno NO2

se descompone en NO y O2. Si y(t) es la concentraciónde NO2 (en moles por litro) y la temperatura es de 600

K, entonces y(t) cambia de acuerdo con la ley de reac-

ción de segundo orden 205.0 ydt

dy , donde t es el

tiempo (en segundos). Exprese y en términos de t y de

la concentración inicial y0.

36) El ritmo al que disminuye la concentración de

una droga en el flujo sanguíneo es proporcional a la

concentración. Exprese la concentración de la droga en

el flujo sanguíneo como una función del tiempo.

37) La edad de los especímenes geológicos o arqueo-

lógicos se determina con el método del carbono 14.

Este método de datación se basa en el hecho de que el

CO2 de la atmósfera contiene cierta cantidad del isóto-

po inestable carbono 14. Las plantas absorben carbono

de la atmósfera y cuando mueren la cantidad de 14C

que han acumulado comienza a decrecer o decaer con

una semivida de 5700 años aproximadamente. Midien-

do la cantidad de 14C que queda en un espécimen,

puede estimarse la fecha en que el organismo murió.

Calcule aproximadamente la edad de un hueso fósil

que presenta 20% del 14C que contiene un hueso ac-

tual.

38) Después de ser puesto en un recipiente de agua,

el azúcar se disuelve a un ritmo proporcional a la can-

tidad de azúcar sin disolver que quede en el recipiente.

Exprese la cantidad de azúcar que se ha disuelto como

función del tiempo y dibuje el gráfico.

39) El ritmo al que cambia la temperatura de un obje-

to es proporcional a la diferencia entre su propia tem-

aire es absorbido por el carbón al mismo tiempo que el

aire fluye a través del filtro, y el aire purificado es

devuelto a la habitación. Suponiendo que el ozono

remanente está distribuido igualmente en la habitación

en todo momento, determine cuánto tardará el filtro en

eliminar el 50 % del ozono de la habitación.

43) Después de t segundos, un objeto se mueve a una

velocidad de t te 5.0 metros por segundo. Exprese la

distancia que recorre el objeto como una función del

tiempo.

44) Después de t horas en el trabajo, un obrero indus-

trial puede producir t te 5.0100 unidades por hora.

¿Cuántas unidades producirá el trabajador durante las

primeras 3 horas?

45) Se estima que dentro de t semanas el número de

usuarios que usan el trolebús estará creciendo a un

ritmo de 18t

2

+ 500 por semana. Actualmente 8.000usuarios usan el trolebús. ¿Cuántos lo usarán dentro de

5 semanas?

46) Las estadísticas reunidas por el departamento de

cárceles de una determinada ciudad, indica que dentro

de t años el número de internos en las prisiones de la

provincia habrán aumentado a un ritmo de 280e0.2t por

año. Actualmente 2.000 internos están alojados en las

prisiones de la provincia. ¿Cuántos internos deben



INTEGRAL INDEFINIDA 426

peratura y la del medio que le rodea. Se saca de un

refrigerador una bebida fría en un cálido día de verano

y se sitúa en una habitación a 80ºF. Exprese la tempe-

ratura de la bebida como una función del tiempo si la

temperatura de la bebida era de 40ºF cuando salió del

refrigerador y de 50ºF veinte minutos después.

40) El ritmo al que cambia la temperatura de un obje-

to es proporcional a la diferencia entre su propia tem-

peratura y la del medio que le rodea. Exprese la tempe-

ratura del objeto como una función del tiempo y dibuje

el gráfico si la temperatura del objeto es mayor que la

del medio que le rodea.

41) Un tanque contiene 200 galones de agua. Fluye

en el tanque salmuera conteniendo 2 libras de sal por

galón a un ritmo de 5 galones por minuto, y la mezcla,

que es agitada de forma tal que la sal está distribuida

por igual en todo momento, sale del tanque al mismo

ritmo. Exprese la cantidad de sal en el tanque como

una función del tiempo y dibuje el gráfico.

42) Una habitación de 2.400 pies cúbicos contiene un

filtro de aire de carbón activo por el que pasa el aire a

un ritmo de 400 pies cúbicos por minuto. El ozono del

esperar tener la provincia dentro de 10 años?

47) El valor de reventa de una cierta maquinaria in-

dustrial decrece a un ritmo proporcional a la diferencia

entre su valor actual y su valor de desguace de 5.000

dólares. La maquinaria se compró nueva por 40.000

dólares y valía 30.000 después de 4 años. ¿Cuánto

valdrá cuando tenga 8 años?

48) Un tanque contiene actualmente 200 galones se

salmuera que contiene 3 libras de sal por galón. Fluye

agua en el tanque a un ritmo de 4 galones por minuto,

mientras que la mezcla, que es mantenida uniforme,

sale del tanque a un ritmo de 5 galones por minuto.

¿Cuánta sal hay en el tanque, pasados 2 horas?

49) El número de bacterias en cierto cultivo crece de

5000 a 15000 en 10 horas. Suponiendo que la tasa o

rapidez de crecimiento es proporcional al número de

bacterias, encuentre una fórmula para el número de

bacterias en el cultivo al tiempo t. Calcule el número alcabo de 20 horas. ¿Cuándo llegara a 50000 el número

de bacterias?

integral indefinida

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