integración y derivación numerica

Metodos NumericosCIV-371

Diferenciacion e Integracion Numerica

Prof: Joaquın Mura

Escuela de Ingenierıa CivilPontificia Universidad Catolica de Valparaıso

2015

Derivacion e Integracion Numerica¿Para que?

Consideremos el siguiente ejemplo:∫ π

0cos(4x) cos(3 sin(x)) dx = π

(3

2

)4 ∞∑k=0

(−9/4)k

k!(k + 4)!

Claramente, no podemos esperar que todas las integrales puedan tener unasolucion explıcita. Si hubiese solucion explıcita, como en este caso,podrıamos truncar la serie en un valor N >> 1 con tal de tener una buenaaproximacion.

¿Existe una mejor manera de evaluar numericamenteuna derivada o una integral?

(EIC-PUCV) Metodos Numericos 2015 2 / 24

Diferenciacion numerica


Aproximacion de derivadas de funcionesDerivadas de primer orden

Consideremos una funcion f : [a, b]→ R de clase C1[a, b]. Buscamos unaaproximacion de la primera derivada de en un punto x en [a, b].De los cursos de Calculo, sabemos que para un cierto valor de h losuficientemente pequeno (y positivo), podemos asumir que la cantidad

Diferencia finita hacia adelante (forward finite difference)

δ+f(x) :=f(x+ h)− f(x)

h

es una aproximacion de f ′(x).



Para estimar el error cometido en esta aproximacion, basta con considerarla expansion de f en serie de Taylor, obteniendo

f(x+ h) = f(x) + hf ′(x) +h2

2f ′′(ξ) ξ ∈ (x, x+ h).

Por lo tanto,

δ+f(x) = f ′(x) +h

2f ′′(ξ).

Ası podemos ver que δ+f entrega una aproximacion a primer orden de f ′

con respecto de h:

||δ+f − f ′|| ≤ Ch (con C = C(f ′′) > 0).



Procediendo de un modo analogo, se puede definir la

Diferencia finita hacia atras (backward finite difference)

δ−f(x) :=f(x)− f(x− h)

h

Es facil ver que esta es tambien una aproximacion a primer orden de f ′

con respecto de h.



Finalmente, se puede definir

Diferencia finita centrada (centered finite difference)

δf(x) :=f(x+ h)− f(x− h)

2h

Este esquema es una aproximacion a segundo orden de f ′ con respecto deh:

δf(x)− f ′(x) =h2

12

(f ′′′(ξ) + f ′′′(η)

)donde ξ ∈ (x, x+ h) y η ∈ (x− h, x), respectivamente.


Aproximacion de derivadas de funcionesDerivadas de orden superior

Si ademas, asumimos que la funcion f tiene derivadas de orden superior,podemos definir la diferencia finita centrada de segundo orden a partir dela siguiente consideracion:

f ′′(x) ≈ 1

h

(f ′(x+)− f ′(x−)

)≈ 1

h(δ+f(x)− δ−f(x))

=1

h

(f(x+ h)− f(x)

h− f(x)− f(x− h)

h

)es decir,

Diferencia finita centrada de segundo orden

δ2f(x) :=f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)

h2


Aproximacion de derivadas de funcionesDerivadas de orden superior

Similarmente, se pueden encontrar las siguientes expresiones

Diferencia finita centrada de tercer orden

δ3f(x) :=f(x+ 2h)− 2f(x+ h) + 2f(x− h)− f(x− 2h)

2h3

Diferencia finita centrada de cuarto orden

δ4f(x) :=f(x+ 2h)− 4f(x+ h) + 6f(x)− 4f(x− h) + f(x− h)

h4


Derivacion NumericaEvaluacion nodal:¿Como hacerlo?

Supongamos que disponemos de la funcion f evaluada sobre un conjuntodiscreto de puntos P = {x0, x1, . . . , xM}. Si reemplazamos x por unpunto generico xk, tendremos evidentemente que x− h = xk−1 yx+ h = xk+1. Mas aun, reemplazamos h por el ancho del intervalo enconsideracion. Esto implica que, por ejemplo, la formula de diferenciasfinita centradas de primer orden queda de la siguiente manera:

δf(xk) =fk+1 − fk−1xk+1 − xk−1

,

donde fk := f(xk).


Integracion numerica



En esta seccion introduciremos metodos para aproximar el valor de laintegral

I(f) =

∫ b

af(x) dx

donde f es una funcion definida en [a, b].



Un procedimiento simple para aproximar I(f) puede encontrarseparticionando al intervalo [a, b] en subtintervalos Ik = [xk, xk+1], conk = 0, . . . ,M (M + 1 nodos=M intervalos), ası xk = a+ kh yh = (b− a)/M .Luego,

I(f) =M∑k

∫Ik

f(x) dx

Sobre cada subintervalo Ik podemos aproximar el valor de la integral de fpor un polinomio f .


Integracion numericaFormula del punto medio

La manera mas simple es elegir a f como constante en Ik. Por ejemplo,

xk =xk−1 + xk

2

Entonces obtenemos

Formula de integracion del punto medio

Ic(f) := h

M∑k=0

f(xk)

Esta formula aproxima el valor de I(f) hasta segundo orden en h pues

|I(f)− Ic(f)| = b− a24

h2|f ′′(ξ)| ξ ∈ [a, b]


Integracion numericaFormula del punto medio


Integracion numericaFormula del Trapecio

Otra manera de aproximar a f en un subintervalo, es reemplazandola porsu interpolante lineal


Integracion numericaFormula del Trapecio

La formula ahora es

It(f) :=h

2

M∑k=1

(f(xk−1) + f(xk))

O bien,

Formula de integracion del trapecio

It(f) :=h

2(f(a) + f(b)) + h

M−1∑k=1

f(xk)

Esta formula aproxima el valor de I(f) hasta segundo orden en h pues

|I(f)− It(f)| = b− a12

h2|f ′′(ξ)| ξ ∈ [a, b]


Integracion numericaFormula de Simpson

Si reemplazamos f por un polinomio de grado 2 en los nodos xk−1, xk(pto. medio) y xk, donde el polinomio de interpolacion es

p(x) =2(x− xk)(x− xk)

h2f(xk−1) +

4

h2(xk−1 − x)(x− xk)f(xk)

+2

h2(x− xk)(x− xk−1)f(xk).

El resultado es la llamada formula de (cuadratura de) Simpson ...


Integracion numericaFormula de Simpson

Formula de integracion de Simpson

Is(f) :=h

6

M∑k=1

(f(xk−1) + 4f(xk) + f(xk))

El error asociado a esta formula es

|I(f)− Is(f)| = b− a180

h4

16|f (4)(ξ)| ξ ∈ [a, b]


Integracion numericaCuadratura Gaussiana

La cuadratura gaussiana corresponde a una clase de metodos que tienen lavirtud de aumentar la exactitud del valor aproximado de la integral,escogiendo coeficientes y nodos apropiadamente.A partir de una modificacion del metodo del trapecio, se pueden considerarcomo puntos del subintervalo Ik a:

γk−1 :=xk−1 + xk

2− 1√

3

(xk − xk−1

2

)= xk−1 +

(1− 1√

3

)h

2

γk :=xk−1 + xk

2+

1√3

(xk − xk−1

2

)= xk−1 +

(1 +

1√3

)h

2





Formula de cuadratura Gaussiana (dos puntos)

Ig,2(f) :=h

2

M∑k=0

(f(γk−1) + f(γk))

Se puede demostrar que el error es

|I(f)− Ig(f)| = (b− a)5

4320|f (4)(ξ)| ξ ∈ [a, b]



Importante: En general, los metodos de cuadratura estan tabulados en laliteratura para calcular

I(f) :=

∫ 1

−1f(x) dx ≈

p∑k=1

wkf(γk)

p γk wk1 0 2

2 ±1/√

3 1

3 0,±√

3/5 8/9, 5/9

Ej. (p = 2):∫ 1−1 f dx ≈ 1× f(− 1√

3) + 1× f( 1√

3).



Para calcular la integral en un intervalo arbitrario [a, b], debemos elegiruna transformacion biyectiva de coordenadas tal que [a, b]↔ [−1, 1]. Porejemplo, si

u =2x− a− bb− a

(u = −1 → x = a, u = 1 → x = b)

Tendremos que

I(f) =b− a

2

∫ 1

−1f

(b− a

2u+

a+ b

2

)du

≈ b− a2

p∑i=1

wif

(b− a

2γi +

a+ b

2

)


integración y derivación numerica

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