integración en el plano complejo -...

UMSNH Cálculo IV FIE

Dr. Antonio Ramos Paz 61

Unidad 2

Integración en el plano complejo La integración en el plano complejo es importante por dos razones:

En aplicaciones, aparecen integrales reales que pueden evaluarse mediante integración compleja, mientras que los métodos usuales de cálculo integral real fracasan.

Algunas propiedades básicas de las funciones analíticas pueden establecerse por integración, mientras que sería difícil demostralas aplicando otros métodos. La existencia de derivadas superiores de funciones analíticas es una sorprendente propiedad de este tipo.

Integral de línea en el plano complejo Así como en cálculo real, se distingue entre integrales definidas e integrales indefinidas o antiderivadas. Una integral indefinida es una función cuya derivada es igual a una función analítica dada en una región. Si se invierten las formulas conocidas de derivación, pueden hallarse muchos tipos de integrales indefinidas. Trayectoria de integración En el caso de una integral definida real, en cálculo se integra sobre un intervalo (segmento) de la recta real. En el

caso de una integral definida compleja –una integral de línea – se integra a lo largo de una curva C en el plano

complejo, denominada trayectoria de integración. Esta curva puede representarse en la forma,

z t x t iy t donde t es un parámetro real.

Ejemplo: 3z t t it representa una porción de la recta 3y x

Debido a que

x t t y 3 3y t t x t

% graficación de la representación paramétrica de una % trayectoria de integración t = ‐5:5; x = t; y = 3*x; plot(x,y); grid on xlabel('x = t'); ylabel('y = 3x');

Ejemplo: 4cos 4 senz t t i t define la circunferencia 4z

% graficación de la representación paramétrica de una % trayectoria de integración t = ‐2*pi:0.01:2*pi; x = 4*cos(t); y = 4*sin(t); plot(x,y); grid on xlabel('x = 4cos(t)'); ylabel('y = 4sin(t)');

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

y

y = 3x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x = 4cos(t)

x =

4si

n(t)



C se denomina curva suave si su derivada es continua y diferente de cero

dzz x t i y t

dt

en cada punto. Geométricamente, lo anterior significa que C tiene una tangente continua en cada uno de sus

puntos, como se deduce directamente a partir de la definición,

0limt

z t t z tz

t

Definición de la integral de línea compleja

Considérese una curva suave C dada por

z t x t iy t (1)

y una función continua f z definida en cada punto de C . Luego, el intervalo a t b en (1) se subdivide por

los puntos:

0 1 1, , . ,n nt a t t t b

donde 0 1 nt t t . A esta partición corresponde una subdivisión de C por los puntos:

0 1 1, , , ,n nz z z z Z

en donde j jz z t . Sobre cada porción de la subdivisión de C se elige un punto arbitrario, por ejemplo, un

punto 1 entre 0z y 1z , un punto 2 entre 1z y 2z y así sucesivamente. Luego se forma la sumatoria,

1

n

n m mm

S f z

Donde

1m m mz z z

Lo anterior se efectúa para todos 2, 3,n de manera completamente independiente, aunque de modo que el

mayor 1m m mz t t tienda a cero cuando n , esto implica que el mayor mz también tiende a cero

porque no puede ser mayor que la longitud de arco de C desde 1mz hasta mz , y mz tiende a cero, ya que la

longitud de arco de la curva suave C es una función continua de t . El límite de la sucesión de números complejos

z t

z t z t t

z t t z t

C

O

z t

z t z t t

z t t z t

C

O

0z

Z

1z

2z

1mz mzm

mz



2S , 3S , …, así obtenida se denomina integral de línea o simplemente integral de f z sobre la curva orientada

C (denominada trayectoria de integración), y se denota por:

C

f z dz

Si C es una trayectoria cerrada (una cuyo punto terminal Z coincide con su punto inicial 0Z ), entonces también

se una la notación estándar,

C

f z dz

Suposición general. Todas las trayectorias de integración de integrales de línea complejas son suaves por secciones, es decir, constan de un número finito de curvas suaves unidas extremo con extremo. Tres propiedades básicas de las integrales de línea complejas

1. La integración es una operación lineal; es decir, una suma de dos o más funciones puede integrarse

término a término, y es posible “sacar” de la integral a los factores constantes

1 1 2 2 1 1 2 2C C Ck f z k f z dz k f z dz k f z dz

2. Al descomponer C en dos sumandos 1C y 2C , se obtiene

1 2C C C

f z dz f z dz f z dz

3. Al invertir el sentido de integración se obtiene el negativo del valor original:

0

0

Z z

z Zf z dz f z dz

Por lo que la trayectoria C con puntos terminales 0z y Z es la misma; a la izquierda se integra desde 0z

hasta Z , y a la derecha se integra desde Z hasta 0z .

Dos métodos de integración

1. Primer método: uso de una representación de la trayectoria 2. Segundo método: integración indefinida

Primer método: uso de una representación de la trayectoria Este método se aplica a cualquier función compleja continua.

Teorema: (integración mediante el empleo de la trayectoria)

Sea C una trayectoria suave por secciones, representadas por z z t , dónde a t b . Sea f z una

función continua sobreC , entonces

b

C af z dz f z t z t dt

donde

dzz t

dt



Ejemplo: integrar Ref z z desde 0 hasta 1 i :

a) a lo largo de la línea que une a los puntos inicial y final.

b) A lo largo de las rectas que unen a los puntos 0 a 1 0i y luego a 1 i

Solución

a. La línea que une a los puntos (0,0) con (1,1) es y x

12 2

1

00

1 1

2 2 2 2C C

x xf z dz x dx idy xdx idx i i

b. Para el primer segmento

12

1

00

1

2 2C C

xf z dz x dx idy xdx

Para el segundo segmento

1 1

001

C C

f z dz x idy idy iy i

Por lo que

1

2C

f z dz i

Ejemplo: evaluar 2 4 2

1

i

iz dz

a) a lo largo de la parábola

x t 2y t 1 2t

b) a lo largo de la línea recta que une a los puntos

c) a lo largo de las líneas rectas 1 i a 2 i y luego a 2 4i

Solución 86

63

i

en todos los casos

Ejemplo: evaluar 3

1 22 3

i

iz dz

a) a lo largo de la trayectoria

2 1x t 24 2y t t 0 1t

b) a lo largo de la línea recta que une a los puntos

c) a lo largo de las líneas rectas 1 2i a 1 i y luego a 3 i



Solución a)

1

02 3x iy dx idy

Sustituyendo valores

1 3 2 2

064 24 38 6 48 32 13t t t i t t dt

Integrando

14 3 2 3 2

016 8 19 6 16 16 13 17 19t t t t i t t t i

b)

La línea que une a los puntos es 3 7

2 2y x

Realizando sustituciones y simplificaciones

3

1

32 3 3 7 17 19

2x ix i dx idx i

En el inciso c la solución es también 17+19i

Ejemplo: Calcular

4,3

1,1x y dx y x dy a lo largo de:

a. 2y x

b. Un segmento rectilíneo c. Segmentos rectilíneos de (1,1) a (1,2) y luego a (4,2)

d. La curva 22 1x t t ,

2 1y t

Solución a)

2x t y t

Sustituyendo,

24 3 2

2 22 2 3 2

1 11

2 22 3 2

t t tt t t dt t t dt t t t dt

Realizando operaciones

24 3 2

1

34

2 3 2 3

t t t

b) la recta que une a los puntos es:

1 2

3 3f t t para 1 4t

Sustituyendo valores,

44 2

11

10 8 10 811

9 9 18 9t dt t t

c) Para el segmento que une a los puntos (1,1) a (1,2)

1x , y t 1 2t



22

2 2

1 11

11 0 1 1

2 2

tt t dt t dt t

Para el segmento que une a los puntos (1,2) y (4,2)

x t , 2y 1 4t

42

4 4

1 11

272 2 0 2 2

2 2

tt dt t t dt t

Sumando las dos integrales,

1 27 28

142 2 2

d)

1 2 2 2 2

02 1 1 4 1 1 2 1 2t t t t t t t t

Realizando operaciones y simplificando,

1 3 2

010 5 9 2t t t dt

Integrando

14 3 2

0

5 5 9 322

2 3 2 3t t t t

Problema: integrar f z z desde 0 0z hasta 1 2fz i usando:

a) La recta que une a los dos puntos b) Usando la recta que va de (0,0) a (1,0) y después la recta de (1,0) a (1,2)

Problema: integrar 2 1f z z desde 0 0z hasta 2 4fz i usando:

a) La recta que une a los dos puntos

b) x t e 2y t para 0 2t

Problema: integrar 2Re 2z z desde 0 0z hasta 2 4fz i usando:

a) La recta que une a los dos puntos

b) x t e 2y t para 0 2t

Segundo método: integración indefinida

En cálculo real, si para una función continua dada f x se conoce una F x , tal que 'F x f x , entonces

por el primer teorema fundamental del cálculo integral se tiene que,

b

af x dx F b F a

donde:

'F x f x

Este método se extiende a funciones analíticas complejas bajo las condiciones del siguiente teorema, y es mucho más sencillo que el primer método.

Teorema: sea f z analítica en un dominio D simplemente conexo. Entonces en el dominio D existe una

integral indefinida de f z ; es decir, una función analítica f z tal que 'F z f z en D , y para todas las

trayectorias en D que unen los dos puntos 0z y 1z en D se tiene,

1

01 0

z

zf z dz F z F z



Ejemplo: calcular 1 2

0

iz dz

Solución

Dado que 2f z z es analítica, entonces,

1 3 23 2 33

1 2

00

1 1 3 1 3 10 2 2

3 3 3 3 3 3

ii i i i izz dz i

Ejemplo: calcular cosi

izdz

Solución

cos sen sen sen - sen sen 2seni i

iizdz z i i i i i

Ejemplo: evaluar C

f z dz por medio del método del teorema 1 y comprobar el resultado aplicando el teorema

2, para f z az b , dondeC es el segmento de recta desde 1 i hasta 1 i

Solución

Se tiene que, x t t y y t t para 1 1t

Sustituyendo C

a x iy b dx idy

desarrollando C

ax aiy b dx idy

sustituyendo, 1 1

1 12bdt i atdt bdt

integrando, 11 2

1 12 2 2 1bt i at bt b bi b i

Utilizando las reglas prácticas de integración, 12

1

2 12

i

i

azbz b i

Ejemplo: Evaluar C

f z dz donde f z z y C es la parábola 2y x desde 0 hasta 1 i

Solución

x t t e 2y t t para 0 1t

C

x iy dx idy

sustituyendo valores, 12 4 3

1 12 2 3

0 00

12 2 1

2 4 3 3

t t tt it dt itdt t it t dt i i



Ejemplo: Evaluar C

f z dz donde 2Ref z z y C es la frontera del cuadrado con vértices 0, 1,

1+i, i (en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj).

Solución

Se tiene que, 2 2 2Re z x y

I) 1x 0..1y

13

1 12 2 2

0 00

1

3 3

itx y dx idy t idt i

II) 0..1x 1y

13

1 12 2 2

0 00

21

3 3

tx y dx idy t dt t

III) 1x , 1..0y

0

30 02 2

1 11

21

3 3

tt idt i dt t dt i t i

IV) 1..0x , 0y

03

0 2

11

1

3 3

tt dt

sumando los resultados se tiene 1 i

Ejemplo: calcular

4,2

1,1

x y dx y x dy a lo largo de la parábola 2y x .

Solución

4,2 2

2 2

1,1 1

2x y dx y x dy y y ydy y y dy

Realizando operaciones,

0,0 1,0

0,1 1,1

IV

III

II

I

0,0 1,0

0,1 1,1

IV

III

II

I

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y

y2 = x



2 2

2 2 3 2

1 1

342 2

3y y ydy y y dy y y y dy

Ejemplo: calcular

4,2

1,1

x y dx y x dy donde C es el segmento rectilíneo que une a los puntos (1,1) con

(4,2). Solución

La ecuación de la recta que une a los puntos es 1 2

3 3y x

4,2 2

1,1 1

1 2 1 2 111

3 3 3 3 3x y dx y x dy x x dx x x dx

Ejemplo: calcular 2 2 2C

z z dz donde C es la mitad superior de la circunferencia 1z recorrida en sentido

anti‐horario. Solución

Se sabe que iz re por lo que,

3 2

22 2

0 00

2 2 2 2 2 2 23 2

i ii i i i i i

C

e ez z dz e e ie d e e d e

Aplicando la formula de euler,

3 2

00

1 1 142 cos 3 sen 3 cos 2 sen 2 2 cos sen

3 2 3 2 3

i iie e

e i i i

Teorema de la integral de Cauchy

Una integral de línea de la función f z depende no sólo de los puntos terminales de la trayectoria, sino también

de la elección de la trayectoria misma. Esta dependencia es inconveniente, por lo que se buscan soluciones en que

no ocurra. La respuesta a este problema es sencilla: si f z es analítica en un dominio simplemente conexo. Este

resultado se deduce del teorema de la integral de Cauchy, junto con otras consecuencias básicas que hacen del teorema de Cauchy el teorema más importante de este Capítulo, y el teorema fundamental en todo el análisis complejo. Para plantear el teorema de la integral de Cauchy se requieren los siguientes dos conceptos:

1) Una trayectoria simple cerrada es una trayectoria cerrada sin autointersecciones y que no se toca a si misma.

Simple Simple No simple



2) Un dominio simplemente conexo D en el plano complejo es un dominio tal que toda trayectoria simple

cerrada en D contiene sólo puntos de D . Un dominio que no es simplemente conexo se denomina múltiple conexo.

Simplemente conexo Simplemente conexo Doblemente conexo Triplemente conexo

Teorema de la integral de Cauchy‐Goursat

Si f z es analítica en un dominio simplemente conexo D , entonces para toda trayectoria simple cerrada C en

D se cumple lo siguiente,

0C

f z dz

Ejemplo: calcular secC

zdz , donde C es la circunferencia unitaria.

Solución

Dado que 1sec

cosf z z

z es analítica dentro de C y C es una trayectoria simple cerrada, entonces,

sec 0C

zdz

La función deja de ser analítica en los puntos2

n para 0,1, 2,3,n , los cuales evidentemente se encuetran

fuera deC .

Ejemplo: calcular 2 4C

dz

z , donde C es la circunferencia unitaria.

Solución

Dado que 2

1

4f z

z

es analítica dentro de C y C es una trayectoria simple cerrada, entonces,

20

4C

dz

z

La función no es analítica en los puntos 2i , los cuales son puntos que se encuentran fuera de C .



Problema: calcular cos

1C

zdz

z donde C es el contorno mostrado en la figura siguiente.

Solución: dado que cosf z z es analítica sobre y dentro del contorno C y 1z no se encuentra ni dentro ni

sobre el contorno C , entonces cos

01C

zdz

z

Formulas integrales de Cauchy

Si f z es analítica dentro y sobre una curva simple cerrada C y a es un punto dentro deC , tal y como se

muestra en la figura siguiente, entonces,

1

2f z dz

z aCf a

i

donde C se recorre en el sentido positivo (contra las manecillas del reloj).

También la n‐esima derivada de f z en z a está dada por,

1

!

2n

f z dzn

z aC

nf a

i

Ejemplo: hallar el valor numérico de 1

2

zez eC

dzi si C es un:

a) Circulo 3z

b) Circulo 1z

Solución: a)

zf z e y a e

Dado que 3z representa un círculo de centro en el origen y radio 3, el punto e se encuentra dentro del mismo,

por lo que,

1

2

z ee dzz eC

f e ei

(2,2)

(2,‐2)

(0,0)

a

C

x

y

a

C

x

y



b)

Dado que 1z representa un círculo de centro en el origen y radio 1, el punto e se encuentra fuera del mismo,

por lo que,

1

02

ze dzz eCi

Ejemplo: hallar el valor numérico de 3 ze

z iCdz

Si C es,

a) el circulo 1 4z

b) la elipse 2 2 6z z

Solución: a)

a i

3zf z e

3

3 02 2 2 cos3 sen3 2z

i

C

edz if a ie i e i i

z i

Ejemplo: hallar el valor numérico de sen3/2z

zCdz si C es el círculo 5z

Solución

2

a

sen3f z z

sen32 2 sen 3 2 1 2

/ 2 2C

zdz if a i i i

z

Ejemplo: 3

iz

C

edz

z donde C es una curva simple y cerrada que encierra a 0z .

3

2

!

niz

C

if aedz

nz



donde

2n 0a

izf z e

' izf z ie

2'' iz izf z i e e

0'' '' 0 1if a f e

por lo que,

3

2 2 1

! 2!

niz

C

if a iedz i

nz

Ejemplo: Ejemplo: 6sen

/ 6C

zdz

z donde C es una curva simple y cerrada que encierra a / 6z .

Solución.

6sen 1

2 2/ 6 64 32C

z idz if a i

z

Ejemplo:

2

41

z

C

edz

z donde C es el circulo 3z .

2

4

2

!1

nz

C

if aedz

nz

donde

3n

2zf z e

2' 2 zf z e

2'' 4 zf z e

2''' 8 zf z e

1a

22

4 2

2 82 ''' 1 8

3! 6 31

z

C

i eife idz

ez



Ejemplo: hallar el valor numérico de 2

1 cos

2 1C

zdz

i z

alrededor del rectángulo con vértices en:

a) 2 i , 2 i b) i , 2 i , 2 i , i Solución.

Expresando 2

1

1z por medio de fracciones parciales, se tiene que,

1 12 2

2

1 1

1 1 1 1 1 11

A B

z z z z z zz

por lo que,

1 12 2

2

cos cos1 cos 1 1

2 2 1 2 11C C C

z zzdz dz dz

i i z i zz

a)

12 1

2

cos1 11 cos 1

2 1 2C

zdz f a f

i z

12 1

2

cos1 11 cos 1

2 1 2C

zdz f a f

i z

2

1 cos 1 10

2 2 21C

zdz

i z

b)

12 1

2

cos1 11 cos 1

2 1 2C

zdz f a f

i z

12 cos1

02 1C

zdz

i z

2

1 cos 1

2 21C

zdz

i z

2 i2 i

2 i 2 i

2 i2 i

2 i 2 i

2 ii

i 2 i

2 ii

i 2 i



Ejemplo:

2 2cos

1 2C

sen z zdz

z z

donde C es el circulo 3z .

Solución.

Expresando

1 1 1

1 2 2 1z z z z

por medio de fracciones parciales. Por lo que,

2 2 2 2 2 2cos cos cos

1 2 2 1C C C

sen z z sen z z sen z zdz dz dz

z z z z

integrando,

2 2cos

22C

sen z zdz i

z

2 2cos

21C

sen z zdz i

z

por lo que,

2 2cos2 2 4

1 2C

sen z zdz i i i

z z

Ejemplo: Calcular cos

1C

zdz

z

donde C es cualquier curva cerrada simple que encierra a 1z .

Solución

cosf z z

1 cos 1 1f

Aplicando la formula de la Integral de Cauchy

1

2f z dz

z aCf a

i

Por lo que:

1 cos

12 1C

zdz

i z

Por lo que,

cos

21C

zdz i

z



Ejemplo: Calcular 2 5C

zdz

z donde C es la circunferencia

a. 2z

b. 3 2z

Solución, a)

2

zf z

5

2a

Dado que 5

2a se encuentra fuera del circulo 2z , entonces

02 5C

zdz

z

b)

Dado que 5

2a se encuentra dentro del circulo 3 2z , entonces,

1

2f z dz

z aCf a

i


/25

2

5 1

4 2z dz

C zi

Por lo que:

/25

2

5

2z dz

C z

i

Ejemplo: Calcular

2

3

5 3 2

1C

z zdz

z

, donde C es una curva simple cualquiera que encierra a 1z .

Solución

2

3 2 3

5 3 2

11 1 1

z z A B C

zz z z

Realizando operaciones

2

3 2 3

5 3 2 5 7 4

11 1 1

z z

zz z z



Por lo que se tiene que,

2

3 2 3

5 3 2 1 1 15 7 4

11 1 1C C C C

z zdz dz dz dz

zz z z

Integrando cada elemento

1

5 101C

dz iz

2

17 0

1Cdz

z

3

14 0

1Cdz

z

Por lo que

2

3

5 3 210

1C

z zdz i

z

Ejemplo: calcular 4

1

z

C

e zdz

z

donde C es cualquier curva cerrada simple que comprende 1z .

Solución

4 4 4

1 1 1

z z

C C C

e z e zdz dz dz

z z z

Integrando cada elemento,

4

1

z

C

edz

z

zf z e 3 zf z e 3 11f e e

Se sabe que,

1

!

2n

f z dzn

z aC

nf a

i

Por lo que,

3 1

3!

2 1

z

C

e dze

i z

O bien,

3 1

2

6 31

z

C

ie e dz ie

z

Por otro lado



41C

zdz

z

f z z 3 0f z

Por lo que,

4

01C

zdz

z

Finalmente,

4 31

z

C

e z iedz

z

Dos formulas útiles

0 1

2 1n

z r

nz dz

i n

además

0

0

0 1

2 1n

z z r

nz z dz

i n

en ambos casos se tiene que C es un contorno.

Teorema de Deformación de contornos

Consideremos dos contornos cerrados simples 1C y 2C , tales que todos los puntos de 2C quedan en el interior de

1C . Si una función f z es analítica en 1C , en 2C y en todos los puntos del dominio doblemente conexo D

delimitado por 1C y 2C entonces,

1 2C C

f z dz f z dz

Ejemplo: calcular C

dz

z donde C es el contorno cuadrado que se muestra en la figura siguiente.

Solución

Si se define un contorno cerrado 2C dentro de C , por ejemplo el contorno 0.5z , se tiene que,

1,1

C



Como f z es analítica en C , en 2C y en la región entre C y 2C se puede aplicar el teorema de deformación de

contornos, por lo que,

2C C

dz dz

z z

calculando 2C

dz

z se tiene que,

2 2

1 2C C

dzz dz i

z

por lo tanto,

2

2C C

dz dzi

z z

Ejemplo: calcular 1C

dz

z i C es el contorno cuadrado definido por 0, 3, 3+3i, 3i.

Solución.

Si se define un contorno cerrado 2C dentro de C , por ejemplo el contorno 1

110

z i , se tiene que,

Por medio de la aplicación del teorema de deformación de contornos,

21 1C C

dz dz

z i z i

Calculando 2 1C

dz

z i

2

11 2

Cz i dz i

Por lo tanto,

1,1

C

2C

3,3

C2C



2

21 1C C

dz dzi

z i z i

Teorema de Morera

Si f z es continua en una región simplemente conectada , y si 0C

f z dz alrededor de cada curva simple

cerrada C en , entonces f z es analítica en .

Teorema del argumento

Sea f z analítica dentro y sobre una curva simple cerrada excepto en un número finito de polos dentro de C ,

entonces,

'1

2 C

f zdz N P

i f z

Donde

N es el número de ceros y P es en número de polos de f z .

Ejemplo: sea 5 23 2 1f z z iz z i , evaluar '

C

f zdz

f z , donde C encierra todos los ceros de f z .

Solución

f z tiene 5 ceros y no tiene polos, por lo que 5N y 0P , por lo que,

'

2 2 5 0 10C

f zdz i N P i i

f z

Ejemplo: sea

22

32

1

2 2

zf z

z z

, evaluar

'

C

f zdz

f z , donde C es el circulo 4z .

Solución

f z tiene 2 ceros de multiplicidad 2, por lo que existen 4 ceros, mientras que tiene 2 polos de multiplicidad 3, es

decir 6 polos, por lo que,

'

2 4 6 4C

f zdz i i

f z

Ejemplo: evaluar '

C

f zdz

f z si C es el circulo z y

a) senf z z Solución: 14 i

b) cosf z z Solución: 12 i

c) tanf z z Solución: 2 i

Solución

a) en el intervalo , , f z tiene 7 ceros y no tiene polos, por lo que,



'

2 7 0 14C

f zdz i i

f z

b) en el intervalo , , f z tiene 6 ceros y no tiene polos, por lo que,

'

2 6 0 12C

f zdz i i

f z

c) en el intervalo , , f z tiene 5 ceros y 4 polos, por lo que,

'

2 5 4 2C

f zdz i i

f z

Ejemplo: sea 4 3 22 12 20f z z z z z y C el circulo 3z , evaluar '

C

zf zdz

f z

Solución: 4 i

Teorema del valor medio de Gauss

Supóngase que f z es analítica dentro y sobre un circulo C con centro en a y radio r . Entonces f a es el

valor medio de los valores de f z en C , es decir,

2

0

1

2if a f a re d

Ejemplo: evaluar

22

0

1sen 2

2 6ie d

Solución

En este caso 6

a

, 2r , 2f z sen z ,por lo que

22

2 2

0

1 1 1sen 2 sen

2 6 6 6 2 4ie d f

Ejemplo: probar que 2

cos

0

cos sen 0e d

Ejemplo: probar que 2

cos

0

sen sen 2e d

Secuencias

Una secuencia compleja nz es una función cuyo dominio es el comjunto de enteros positivos y cuyo rango es un

subconjunto de números complejos .

Ejemplo: la secuencia 1 ni es



1 ,0,1 ,2,1 ,i i i

Si

lim nn

z L

entonces se dice que la secuencia nz es convergente. Una secuencia que no es convergente se dice que es

divergente.

Ejemplo: la secuencia 1ni

n

converge debido a que 1

lim 0n

n

i

n

.

Ejemplo: la secuencia 1 ni es divergente debido a que el término general 1 nnz i no se aproxima a un

número complejo fijo conforme n .

Teorema: una secuencia nz converge a un número complejo L a bi si y sólo si Re nz converge a Re L

e Im nz converge a Im L b .

Ejemplo: considérese la secuencia 3

2

ni

n ni

2 3 2Re

5 5 5nzn

1 6 1Im

5 5 5nzn

conforme n . Por tanto se puede concluir que la secuencia dada converge a 2 1

5 5a bi i

Series Una serie infinita o serie de números complejos

1 2 31

k nk

z z z z z

es convergente si la secuencia de sumas parciales nS , donde

1 2 3n nS z z z z

converge. Si nS L conforme n , se dice que la serie converge a L , o que la suma de la serie es L .

Serie geométrica Una serie geométrica es cualquier serie de la forma

1 2 1

1

k n

k

az a az az az



El n‐ésimo término de la secuencia de sumas parciales es:

2 1n

nS a az az az

Cuando una serie infinita es una serie geométrica, siempre es posible encontrar una formula para nS

Ejemplo: la serie infinita

2 3

2 31

1 2 1 2 1 21 2

55 5 5

k

kk

i i ii

es una serie geométrica con

11 2

5a i

y

11 2

5z i

Debido a que

5

15

z

la serie es convergente y su suma está dada por:

2 3 1

1na

a az az az azz

por lo que:

1

11 21 2 15

1 25 1 1 25

k

kk

iii

i

Teorema: Si 1

kk

z

converge, entonces lim 0n

nz

Teorema: Si 1

kk

z

converge, entonces lim 0n

nz

Convergencia absoluta y condicional

Una serie infinita 1

kk

z

se dice que es absolutamente convergente si

1k

k

z

converge. Una serie infinita

1k

k

z

se

dice que es condicionalmente convergente si converge pero 1

kk

z

diverge.



Ejemplo: La serie

2

1

k

k

i

k

es absolutamente convergente debido a que la serie

2

1

k

k

i

k

converge.

Serie de Taylor

Sea f z analítica dentro y sobre una curva cerrada simple C . Sean a y a h dos puntos dentro deC .

Entonces,

2 3

' '' '''2! 3! !

nnh h h

f a h f a hf a f a f a f an

(3)

o escribiendo z a h

se tiene que, h z a

por lo que,

2 3'' '''

'2! 3! !

nnf a f a f a

f z f a f z a z a z a z an

(4)

Este es el llamado teorema de Taylor y la serie (3) o (4) se llama una serie o desarrollado de Taylor para f a h o

f z . Cuando 0a el desarrollo se llama serie de Maclaurin.

Ejemplo: realizar el desarrollo de Taylor de cosf z z alrededor de 4

z

.

Solución

' senf z z

'' cosf z z

''' senf z z

cosivf z z


2 3 4

4 4 4 4 4 4 4 4cos sen cos sen cos

4 1! 2! 3! 4!

z z z zf z

Dado que,

2

sen cos4 4 2



Se tiene que,

2 3 4

2 4 4 4 41

2 1! 2! 3! 4!

z z z zf z

Ejemplo: en base al ejemplo anterior determinar la serie de Maclaurin. Solución:

cosf z z 0 1f

' senf z z ' 0 sen0 0f

'' cosf z z '' 0 cos 0 1f

''' senf z z ''' 0 sen0 0f

cosivf z z 0 1ivf

Por lo que:

2 4 6 8

12! 4! 6! 8!

z z z zf z

Generalizando:

2 1

11

2 2 !

nn z

f zn

Ejemplo: sea ln 1f z z , donde consideramos la rama que toma el valor cero cuando 0z . Desarrollar

f z en una serie de Taylor alrededor de 0z .

Solución.

2 3

1ln 1 1

2! 3!

nnz z z

f z z zn

Ejemplo: Desarrollar senf z z , en una serie de Taylor alrededor de / 4z .

Solución.

2 3/ 4 / 42

1 / 42 2! 3!

z zf z z

Ejemplo: encontrar la serie de Maclaurin para zf z e

Solución

' '' ''' zf z f z f z e

Por lo que



2 3 4 5' 0 '' 0 ''' 0 0 00

1! 2! 3! 4! 5!

iv vz f z f z f z f z f z

e f

Sustituyendo valores y realizando operaciones

2 3 4 5

12! 3! 4! 5!

z z z z ze z

Generalizando:

0 !

nz

n

ze

n

En base al resultado anterior se pueden hacer aproximaciones al valor de e. Por ejemplo usando los primeros n

términos de la serie de Maclaurin de ze haciendo 1z , es decir

1e e .

n Aproximación de e

1 1.000000000000000

10 2.718281525573192

100 2.718281828459046

1000 2.718281828459046

10000 2.718281828459046

A continuación se muestra la función desarrollada en matlab para realizar los cálculos anteriores.

function e = serie(n) e = 0; for i=0:n‐1 e = e + (1^i)/(factorial(i)); end

Algunas series especiales

1. 2 3 4

12! 3! 4! !

nz z z z z

e zn

2.

3 5 2 11

sen 13! 5! 2 1 !

nnz z z

z zn

3.

2 4 2 21

cos 1 12! 4! 2 2 !

nnz z z

zn

4. 2 3

1ln 1 1

2! 3!

nnz z z

z zn

Serie de Laurent

Sean 1C y 2C círculos concéntricos con radios 1R y 2R respectivamente y centro en a . Supongo que f z es

unívoca y analítica sobre 1C y 2C en la región sombrada R entre 1C y 2C . Sea a h un punto en R . Entonces

tenemos,



2 31 20 1 2 2 3

aa af a h a a h a h

h h h (5)

donde

11

1

2n nC

f za dz

i z a 0,1,2,3,n

(6)

2

11

2n

n Ca z a f z dz

i

1,2,3,n

1C y 2C se recorren en la dirección positiva respecto a sus interiores.

En las integrales anteriores 1C y 2C pueden ser reemplazados por cualquier circulo C concéntrico entre 1C y 2C. Entonces los coeficientes en (6) se pueden escribir en una sola formula,

1

1

2n nC

f za dz

i z a 0, 1, 2, 3,n (7)

con un cambio apropiado de notación, se puede escribir lo anterior como,

2 1 10 1 2 2

a af z a a z a a z a

z a z a

(8)

donde,

1

1

2n nC

fa d

i a

0, 1, 2, 3,n (9)

Este es el llamado teorema de Laurent y (5) u (8) con coeficientes (6), (7) o (9) se llama una serie o desarrollo de Laurent.

La parte 2

0 1 2a a z a a z a se llama parte analítica de la serie de Laurent, mientras que el resto de

la serie que consiste de las potencias negativas de z a se llama la parte principal. Si la parte principal es cero, la

serie de Laurent se reduce a la serie de Taylor. Puntos singulares

Un punto en el cual f z deja de ser analítica es llamado punto singular o singularidad de f z . Existen varios

tipos de singularidades.

1. Singularidades aisladas

El punto 0z z es una singularidad aislada o punto singular aislado de f z si podemos encontrar un 0

tal que el circulo 0z z no encierre puntos singulares distintos de 0z (es decir, existe una vecindad de

0z de radio sin singularidades). Si tal no puede ser encontrado, decimos que 0z es una singularidad no

aislada.

Si 0z no es un punto singular y podemos encontrar un 0 tal que 0z z no encierre puntos

singulares, decimos que 0z es un punto ordinario de f z .

2. Polos

Si podemos encontrar un entero positivo n tal que

0

0lim 0n

z zz z f z A



entonces 0z z es llamado polo de orden n . Si 1n , 0z es llamado polo simple.

Ejemplo: 3

1

2f z

z

Tiene un polo de orden 3 en 2z

Ejemplo: 2

3 2

1 1 4

zf z

z z z

Tiene un polo de orden 2 en 1z , y polos simples en 1z y 4z

3. Los puntos de ramificación Los puntos de ramificación de funciones multívocas, son puntos singulares.

Ejemplo: 1/23f z z tiene un punto de ramificación en 3z

4. Singularidades removibles

El punto singular 0z es llamado una singularidad removible de f z si,

0

limz z

f z

existe.

Ejemplo: El punto singular 0z es una singularidad removible de senzf z

z ya que,

0

senlim 1z

z

z

5. Singularidades esenciales Una singularidad que no sea un polo, ni un punto de ramificación, ni singularidad removible es llamada singularidad esencial.

Ejemplo: 1

2zf z e tiene una singularidad esencial en 2z

6. Singularidades en el infinito

El tipo de singularidad de f z en z (el punto en el infinito) es el mismo como el de 1/f en 0 .

Ejemplo: la función 3f z z tiene un polo de tercer orden en z , ya que 3

11/f

tiene un

polo de tercer orden en 0

Ejemplo: Localice en el plano z finito todas las singularidades, si las hay, de cada función y descríbalas:

a. 4

2

2 1

z

z

b. 2

1 2

z

z z



c. 1

cosz

d. 2

2

1

2 2

z

z z

Solución

a) polo en 1

2z , de orden 4

b) polo en 1z , simple

polo en 2z , de orden 2

c) polo en 0z , esencial

d) polo en 1z i , simple

polo en 1z i , simple

Teorema del residuo Los coeficientes de la serie de Laurent

21 10 1 21

n nn n

a a af z a a z a a z a

z az a z a

se obtienen como siempre escribiendo los coeficientes de la serie de Taylor correspondiente a

nz a f z

En desarrollos más amplios, el coeficiente 1a , llamado residuo de f z en el polo z a , es de importancia

considerable. Se determina por medio de la formula,

1

1 1

1lim

1 !

nn

nz a

da z a f z

n dz

donde n es el orden del polo.

En el caso de polos simples el cálculo del residuo es muy sencillo puesto que se reduce a:

1 limz a

a z a f z

Ejemplo: determine los residuos de la función

2

22 1

zf z

z z

en los polos 2, ,z i i .

Solución

El residuo cuando 2z es:

2 2

2 22

4 4lim 2

4 1 52 1 1z

z zz

z z z

El residuo cuando z i es:



2 2 1 1 2

lim2 2 2 2 10z i

z z iz i

z i z i z z z i i i

El residuo cuando z i es:

2 2 2 4 1 2

lim2 2 20 10z i

z z i iz i

z i z z i z z i

Ejemplo: determine los residuos de la función 3

1

2f z

z z

en los polos 0z (polo simple) y 2z polo

de orden 3.

a) 3 30

1 1 1lim

82 0 2zz

z z

b)

2 23

2 3 2 32 2 2

1 1 1 1 1 2 1lim 2 lim lim

2! 2 2 82z z z

d dz

zdz dz zz z

Teorema del Residuo de Cauchy

Sea D un dominio simplemente conexo y C un contorno cerrado simple que se halla completamente dentro de

D . Si una función f es analítica sobre y en el interior deC , excepto en un número finito de puntos singulares

1z , 2z , 3z , …, nz del interior deC , entonces,

1

2 Res ,n

kCk

f z dz i f z z

Teorema. Si f tiene un polo simple en 0z z entonces,

0

0Res , limkz z

f z z z z f z

Teorema. Si f tiene un polo de orden n en 0z z , entonces,

0

1

01

1Res , lim

1 !

nn

k nz z

df z z z z f z

n dz

Ejemplo: Sea la función 2

1

1 3f z

z z

la cual tiene un polo simple en 3z y un polo de orden 2 en

1z .



2 23 3

1 1 1Res ,3 lim 3 lim

41 3 1z zf z z

z z z

Ejemplo: calcular 2

1

1 3Cdz

z z donde C es:

a. Un rectángulo definido por 0x , 4x , 1y , 1y .

b. Un circulo 2z

Solución

a)

2

1 1 12 Res ,1 ,3 2 0

4 41 3Cdz i f z f z i

z z

b)

2

1 12 Res ,1 2

4 21 3C

idz i f z i

z z

Ejemplo: calcular 2

2 6

4C

zdz

z

donde C es el circulo 2z i .

Solución

2

2 6 2 62 Res ,2 3 2

2 24C C

z zdz dz i f z i i

z i z iz

Problema: integrar 1 2C

dz

z z donde : 2C z

Problema: integrar 2

2 5

1 2 3C

zdz

z z z

donde : 2C z

Problema: integrar 2

2 2 3 2

1 2 3C

z zdz

z z z

donde : 1 2C z

Problema: integrar

2

1 3 2C

zdz

z z z

donde C es una curva que encierra a todos los polos de f z .

Problema: integrar 2 8

2C

z zdz

z

donde : 3C z

Problema: integrar

4

4

2 5

2

z

C

e zdz

z

donde : 3C z

Evaluación de integrales definidas por el método de polos y residuos El cálculo de algunas integrales puede llevarse a cabo mediante el uso del teorema de los residuos cuando sean

apropiados la función f z y el camino o contorno C; la elección de éste puede exigir mucho ingenio. Los

siguientes tipos son los más comunes en la práctica:



1. 0

F x dx

F x es una función par.

Considérese C

F z dz a lo largo de un contorno C que consiste en un segmento del eje x desde R hasta

R y la semicircunferencia sobre el eje x que tenga el segmento como diámetro. Hágase R .

2. 2

0sen ,cosG d

, si G es una función racional de sen y cos . Sea

iz e , entonces

1

sen2

z z

i

,

1

cos2

z z

y idz ie d o bien

dzd

iz . La integral dada es equivalente a

C

F z dz donde C es la circunferencia unitaria con centro en el origen.

.



Ejercicios propuestos Unidad 2

1. Evaluar 2 4 2

1

i

iz dz

a lo largo de:

a. A lo largo de la parábola x t ,2y t , donde 1 2t

b. A lo largo de la línea recta que une 1 i y 2 4i

c. A lo largo de líneas rectas de 1 i a 2 i y luego a 2 4i

2. Calcular C

f z dz si Imf z z y C es la parábola 2y x desde 0 hasta 1 i

3. Evaluar 2 2

12 4

i

iz dz

a lo largo de la línea recta que une a los puntos

4. Calcular

2

3

5 3 2

1C

z zdz

z


5. Calcular 4

1

z

C

e zdz

z


6. Calcular la integral indicada a lo largo del contorno o los contornos cerrados proporcionados:

a. 4

3C

dzz i 5z

b. 1 2C

zdz

z z a) 1

2z b) 1 1z

c. 2

2 5

2C

zdz

z z

a)

1

2z b) 1 2z

7. Calcular

2

2 1C

zdz

z z , donde C es:

a. La circunferencia 3z i

b. La circunferencia 2z

8. Evaluar C

f z dz por medio del método del teorema 1 y comprobar el resultado aplicando el teorema

2.

a. 3f z z , donde C es la semicircunferencia 2z desde 2i hasta 2i en el semiplano

derecho.

Sol. 0

b. 25f z z donde C es la frontera del triángulo con vértices 0, 1, i (en el sentido del

movimiento de las manecillas del reloj)

c. 4 42f z z z donde C es la circunferencia unitaria (en sentido contrario al movimiento

de las manecillas del reloj).

Sol. 0



d. Ref z z donde C es la parábola 2y x desde 0 hasta 1 + i

Sol. 2 1b i

e. Imf z z donde C es la circunferencia z r (en sentido contrario al movimiento de

las manecillas del reloj).

Sol. 2r

f. 4 3f z z , donde C es el segmento de recta desde i hasta 1 i

g. 1 21 2 1f z z z

, donde C es la circunferencia 1 4z (en el sentido del

movimiento de las manecillas del reloj).

Sol. i

h. senf z z , donde C es el segmento de recta desde 0 hasta i

i. 2Ref z z , donde C es la frontera del cuadrado con vértices 0, 1, 1+i, i (en el sentido del

movimiento de las manecillas del reloj).

j. 2Imf z z desde 0 hasta 2+4i a lo largo:

i. del segmento de recta ii. del eje x hasta 2 y luego verticalmente hasta 2+4i

iii. de la parábola 2y x

Sol. 32 / 3 64 / 3i , 32i , 8 128 / 5i

9. Escribir los primeros cinco términos de la secuencia dada:

a. 5 ni

b. 1 n ie

c. 2n

i

10. Determinar si la secuencia dada converge o diverge

a. 3 2ni

n ni

b. 2

2

2ni

n i

c. 2

3 5

n

n

ni

ni

d. 1

1

nn i

n



11. Determinar si la serie geométrica es convergente o divergente. Si es convergente encontrar su suma.

a. 0

1k

k

i

b. 1 2

k

k

i

c. 0

23

1 2

k

k i

d. 0

1

2k

k

i

e. 1

2 1

k

kk

i

i

12. Expandir 1

1f z

z

en una serie de Taylor con centro en 0 2z i .

13. Encontrar la expansión de Maclaurin de 2

1

1f z

z

14. Determine los residuos de la función 2

2 3

4

zf z

z

15. Determine los residuos de la función 3 2

3

5

zf z

z z

16. Determine los residuos de la función 22 1

zf z

z



Autoevaluación Unidad 2

1. Evaluar 2 4 2

1

i

iz dz

a lo largo de:

a. A lo largo de la parábola x t ,2y t , donde 1 2t

b. A lo largo de la línea recta que une 1 i y 2 4i

c. A lo largo de líneas rectas de 1 i a 2 i y luego a 2 4i

2. Calcular C

f z dz si Imf z z y C es la parábola 2y x desde 0 hasta 1 i

2. Evaluar 2 2

12 4

i

iz dz

a lo largo de la línea recta que une a los puntos

3. Calcular

2

3

5 3 2

1C

z zdz

z


4. Calcular 4

1

z

C

e zdz

z


5. Calcular cos

1C

zdz

z


6. Calcular la integral indicada a lo largo del contorno o los contornos cerrados proporcionados:

2

2 5

2C

zdz

z z

a)

1

2z b) 1 2z

7. Sea 2 6

1

z zf z

z

, calcular

'

C

f zdz

f z , donde C encierra todos los ceros de f z .

8. Evalúe 2

2

1

2 4C

zdz

i z , donde C es el cuadrado con vértices 2 , 2 4i .

9. Evalúe 2

3

cosC

tzdz

z , donde C es la circunferencia 1z y 0t .

10. Evalúe

22 2

z

C

edz

z , donde C

integración en el plano complejo -...

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