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Integral definida

Integral definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la

gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

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2. Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de

dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de

la función.

Función integral

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función

integral:

que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia

es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y =

f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

3

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

Regla de Barrow

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado

[a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los

extremos de dicho intervalo.

Ejemplos

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5

9.

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12.

6

13.

14.

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Teorema fundamental del cálculo y de la media

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la función integral de la función

continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones

inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

Ejemplos

1.

8

2.

3.

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo

tal que:

9

Ejemplo

Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1].

Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.

Área de funciones

Caso 1: Área entre una función positiva y el eje de abscisas

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje

de abscisas. El área de la función viene dada por:

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Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los

puntos de corte.

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los

límites de integración.

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida

entre x = 0 y x = 3.

2. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

11

·

3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

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Caso 2: Área entre una función negativa y el eje de abscisas

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje

de abscisas. El área de la función viene dada por:

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje OX entre π/2 y 3π/2.

13

Caso 3: La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área

de la función seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos

1. Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes

a x = 0 y x = 4.

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2. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

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Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima

menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos

(−1, 0) y (1, 4).

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2. Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2.

Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.

3. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.

Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.

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El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x.

El área de rectángulo es base por altura.

El área bajo la curva y = ln x es:

4. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en

los puntos de intersección con el eje OX.

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Puntos de intersección:

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):

5. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.

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Volumen de una función

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado

por x = a y x = b, viene dado por:

Ejemplos

1. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por

y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

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2. Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del

eje OX.

3. Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región

determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = π.

4. Hallar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX.

El centro de la circunferencia es C(0, 1) y el radio r = 1.

Puntos de corte con el eje OX:

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5. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de

y = 2x − x2, y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

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6. Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las

gráficas de y = 6x − x2, y = x.

Puntos de intersección:

La parábola queda por encima de la recta en el intervalo de integración.

7. Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360°

alrededor del eje OX.

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

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8. Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse alrededor del eje OX.

Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen engendrado por el

arco entre x = 0 y x = a.