integracion de potencias seno-coseno secante-tangente ingenieria

UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ CÁTEDRA: MATEMÁTICA II CARRERA: INGENIERÍA

Integración de potencias de seno y coseno Integración de potencias de secante y tangente

Profesor: Ricardo Osío Lara

1

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SENO Y COSENO Las integrales de la forma

cosm nsen x xdx�

Donde m y n son enteros positivos, y se evalúan de varias maneras según los valores

de m y n, es decir, si m y n son impares o pares. Los procedimientos se describen en la

siguiente tabla:

TABLA 1. INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SENO Y COSENO

CASO PROCEDIMIENTO IDENTIDADES RELEVANTES

n impar Hacer la sustitución u=senx 2 2cos 1x sen x= −

m impar Hacer la sustitución u=cosx 2 21 cossen x x= −

m y n pares Usar identidades para reducir

las potencias de sen y cos

( )2 12 1 cos 2sen x x= −

( )2 12cos 1 cos 2x x= +

Es importante resaltar, que los exponentes m y n, están asociados a las funciones

sen y cos, respectivamente.

Ejemplos

Evalúe las siguientes integrales indefinidas:

1. 4 5cossen x xdx�

Puesto que n=5 (impar) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable

Cambio de variable (C.V.)

u senx= , derivando la expresión anterior: cosdu xdx=

Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer 5cos x

4 5cossen x xdx� = 4 4cos cossen x x xdx�

De la tabla 1, debemos sustituir la identidad relevante según el caso. Para el caso

particular, 2 2cos 1x sen x= −




2

4 5cossen x xdx� = 4 4cos cossen x x xdx� = 4 2 2(cos ) cossen x x xdx�

4 5cossen x xdx� = 4 4cos cossen x x xdx� = 4 2 2(1 ) cossen x sen x xdx−�

Aplicando la sustitución o cambio de variable en la última integral

4 2 2(1 ) cossen x sen x xdx−�

4 2 2(1 )u u du−� = 4 2 4(1 2 )u u u du− +� = 4 6 82 )u u u du− +� = 4 6 82u du u du u du− +� � �

4 6 82u du u du u du− +� � � =5 9

725 7 9u u

u C− + +

Devolviendo el cambio de variable

4 5cossen x xdx� =5 7 92

5 7 9sen x sen x sen x

C− + +


Puesto que m=3 (impar) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable


cosu x= , derivando la expresión anterior: du senxdx= − ó du senxdx− =

Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer 3sen x

3 2cossen x xdx� = 2 2cossen x xsenxdx�


particular, 2 21 cossen x x= −

3 2cossen x xdx� = 2 2cossen x xsenxdx� = 2 2(1 cos ) cosx xsenxdx−�


2 2(1 cos ) cosx xsenxdx−�

du (1-u2)2 u4

-du (1-u2) u2




3

2 2(1 )u u du− −� = 4 2( )u u du−� = 4 2u du u du−� � =5 3

5 3u u

C− +


3 2cossen x xdx� =5 3cos cos

5 3x x

C− +


Puesto que m=n=4 (pares), debemos re-escribir la integral para reducir a potencias

de sen y cos

4 4cossen x xdx� = 2 2 2 2( ) (cos )sen x x dx�


particular, ( )2 12 1 cos 2sen x x= − y ( )2 1

2cos 1 cos 2x x= +

4 4cossen x xdx� = 2 2 2 2( ) (cos )sen x x dx� = [ ] [ ]2 21 12 2(1 cos 2 ) (1 cos 2 )x x dx− +�

Aplicando propiedades de potenciación y diferencia de cuadrados

[ ] [ ]2 21 12 2(1 cos 2 ) (1 cos 2 )x x dx− +� =

22116 1 cos (2 )x� �−� �� = 41

16 (2 )sen x dx�

Aplicando la siguiente sustitución o cambio de variable


2u x= , derivando la expresión anterior: 2

dudx=

4116 (2 )sen x dx� = 41

16 2dusen u� = 41

32 sen udu�

Para resolver esta integral debemos aplicar la siguiente formula de reducción:

4 3 1 12 4

8 4 32sen udu u sen u sen u C= − + +�

4 4cossen x xdx� = 4132 sen udu� = 1 3 1 1

2 432 8 4 32

u sen u sen u C� �− + +� �

sen2(2x)=1-cos2(2x)




4

4 4cossen x xdx� = 3 1 1(4 ) (8 )

128 128 1024x sen x sen x C− + +

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE Las integrales de la forma

secm ntg x xdx�

Donde m y n son enteros positivos, y se evalúan de varias maneras según los valores

de m y n, es decir, si m y n son impares o pares. Los procedimientos se describen en la

siguiente tabla:

TABLA 2. INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE

CASO PROCEDIMIENTO IDENTIDADES RELEVANTES

n par Hacer la sustitución u=tgx 2 2sec 1x tg x= +

m impar Hacer la sustitución u=secx 2 2sec 1tg x x= −

m par y n impar Reducir las potencias de

sec solamente 2 2sec 1tg x x= −

Es importante resaltar, que los exponentes m y n, están asociados a las funciones tg

y sec, respectivamente.

Ejemplos

Evalúe las siguientes integrales indefinidas:

1. 2 4sectg x xdx�

Puesto que n=4 (par) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable




5


u tgx= , derivando la expresión anterior: 2secdu xdx=

Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer 4sec x

2 4sectg x xdx� = 2 2 2sec sectg x x xdx�


particular, 2 2sec 1x tg x= +

2 4sectg x xdx� = 2 2 2sec sectg x x xdx� = 2 2 2(1 )sectg x tg x xdx+�


2 2 2(1 )sectg x tg x xdx+�

2 2(1 )u u du+� = 2 4 )u u du+� = 2 4u du u du+� � =5 3

5 3u u

C+ +


2 4sectg x xdx� =5 3

5 3tg x tg x

C+ +

2. 3 3sectg x xdx�

Puesto que m=3 (impar) se usará la siguiente sustitución o cambio de variable


secu x= , derivando la expresión anterior: secdu xtgxdx=

Comparando esta última expresión en la integral, debemos descomponer 3sec x y 3tg x

3 3sectg x xdx� = 2 2sec sectg x x xtgxdx�


particular, 2 2sec 1tg x x= −

du (1-u2) u2




6

3 3sectg x xdx� = 2 2sec sectg x x xtgxdx� = 2 2(sec 1)sec secx x xtgxdx−�


2 2(sec 1)sec secx x xtgxdx−�

2 2( 1)u u du−� = 4 2 )u u du−� = 4 2u du u du−� � =5 3

5 3u u

C− +


3 3sectg x xdx� =5 3sec sec

5 3x x

C− +

3. 2 sectg x xdx�

Puesto que m=2 (par) y n=1 (impar)


particular, 2 2sec 1tg x x= −

2 sectg x xdx� = 2(sec 1)secx xdx−� = 3(sec sec )x x dx−� = 3sec secxdx xdx−� �

3sec secxdx xdx−� � = 1 1sec sec sec

2 2xtgx Ln x tgx Ln x tgx C+ + − + +

2 sectg x xdx� = 1 1sec sec

2 2xtgx Ln x tgx C− + +

Para la integración de potencias de cosecante y cotangente, debe aplicarse el mismo

método que para potencias de secante y tangente. Sólo con reemplazar en la tabla 2;

secante por cosecante y, tangente por cotangente.

du (u2-1) u2

Integración por partes Integración inmediata




7

BIBLIOGRAFÍAS CONSULTADAS

• ANTON, Howard. Cálculo y Geometría Analítica. Vol. 1 y 2. Editorial Limusa, S.A. de C.V. México. 1984.

• AYRES Jr, Frank y MENDELSON, Elliott. Cálculo. Serie Schaum. Cuarta

edición. McGraw Hill Interamericana Editores, S.A. de C.V. México. 2006.

• LEITHOLD, Louis. El Cálculo. Séptima edición. Oxford University Press – Harla México, S.A. de C.V. México. 1998.

• MORÓN, William. Matemática II. Problemas resueltos. Valencia – Venezuela.

1990.

• SÁNCHEZ, Jorge. Cálculo Integral con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencias e Ingeniería. Inversora Hipotenusa. Barquisimeto – Venezuela. 2005.

integracion de potencias seno-coseno secante-tangente ingenieria

Documents