ÁREA DE MATEMATICAS MODULO MAEC 2021

PROFESORA: ANDREA AQUINO JIMENEZ

MODULO: MANEJO DE ESPACIOS Y CANTIDADES

SEMANA 4. DEL 20 AL 25 DE SEPTIEBRE DE 2021

“INTEGRACION DE CONTENIDOS

A. La variable como número generalizado.

Definición: Una variable es una letra que representa a un número. Los números son los valores

de la variable.

Una expresión que contiene signos de operación, de agrupación, números y

variables es una expresión algebraica.

3(x - 5) + 2 Expresión algebraica

Al sustituir la variable por un número y efectuar las operaciones indicadas se está

evaluando la expresión algebraica. El resultado es el valor de la expresión

algebraica y depende del número reemplazado.

El valor de 3(x - 5) + 2 para x = 10 es 3(10 - 5) + 2 = 17

Las expresiones algebraicas, al igual que las expresiones numéricas, pueden ser

utilizadas para representar situaciones reales. Las expresiones constituyen el

modelo matemático (aritmético o algebraico) de la situación.

Expresión algebraica Situación que modela

2x El doble de un número

x - 5 Un número menos

Al escribir modelos es útil identificar las operaciones aritméticas involucradas:

Lenguaje común Lenguaje algebraico

Adición 5 más un número 5 + x

Sustracción Un número disminuido en 6 a - 6

Multiplicación El producto de 5 y un número 5x

3 veces un número 3y

División El cociente de un número y 9 x/9

La quinta parte de un número x/5

Ejercicios parar practicar en su libreta:

a) 2(7x - 8) + 3(5 - x), cuando x = 2

Nota: Escribe la expresión: Sustituye x por 2 Realiza operaciones y simplifica Valor de la expresión.

b) (x + 1) /5y, cuando x = 4, y = 5

Nota: Escribe la expresión: Sustituye x por 4 y y por 5 Realiza operaciones y simplifica Valor de la expresión.

c) 𝒙𝟐 + 4x – 5, cuando x = 10

Números naturales.

Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar: 1, 2, 3, …, n, … La

mayoría de los números naturales se denomina con el símbolo N (del latín “naturalis”

natural, esencial).

Hay dos métodos clásicos de definir los números naturales:

1 • son aquellos números que surgen al contar (enumerar) objetos (el primero,

segundo, tercero, …);

2 • son aquellos números que surgen al determinar un conjunto de objetos (no

hay objetos, un objeto, dos objetos, …).

Números naturales en el sistema de numeración decimal se escriben por medio de

diez números:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

El conjunto de números naturales es un conjunto ordenado, o sea, para cualquiera

de los números naturales m y n es justa una de las razones:

• m = n (m equivale a n),

• m > m (m es más que n),

• m < n (m es menos que n).

• El menor número natural es uno (1)

• El mayor número natural no existe.

• El cero (0) no es número natural.

El conjunto de números naturales es infinito ya que para cualquier número n siempre

existe el número m, b que es más que n.

Operaciones con números naturales

A las operaciones internas en números naturales (son aquellas operaciones que

llevan a que se produzcan unos números naturales) pertenecen las siguientes

operaciones aritméticas.

Adición

Multiplicación

Potenciación ab, donde a — es la base y b — es exponente.

Nota: Si la base y exponente son números naturales, entonces el resultado

también será el número natural.

Adicionalmente se consideran dos operaciones más. Desde el punto de vista formal

no son operaciones con números naturales ya que su resultado no siempre será un

número natural.

Resta (No obstante, Minuendo tiene que ser mayor que Sustraendo)

División

Comparación de números naturales

1. Comparación de números naturales con diferente número de cifras.

Entre unos números naturales el mayor es que tiene más cifras

2. Comparación de números naturales con el igual número de cifras.

Comparar números por sus valores posicionales empezando por el valor

posicional superior. Mayor es aquel número que tiene más unidades en el

valor posicional superior homónimo.

Ejemplo:

3466 > 346 - ya que el número 3466 se compone de 4 cifras y el número 346 de 3

cifras.

34666 < 245784 - ya que el número 34666 se compone de 5 cifras y el número

245784 de 6 cifras.

Ejemplo:

346 667 670 526 986

346 667 670 569 429

El segundo de los números naturales con el número de cifras iguales es mayor, ya

que 6 > 2.

Números enteros

Los números enteros son el conjunto de números formado por todos los números

naturales (números positivos) por el cero y por los números negativos (esos que son

más pequeños que cero y tienen un signo menos delante).

Los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … así hasta el infinito (∞): son los

números positivos, ya que podrían escribirse como +1, +2, +3, +4, +5... El signo

positivo no se suele escribir. Si un número no lleva ningún signo es positivo.

El cero: 0 (No es ni positivo ni negativo, es neutro) y los números negativos: -1, -

2, -3, -4, -5, -6, -7…así hasta el menos infinito (-∞).

Entonces te preguntarás ¿los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … son números naturales

o enteros?

Pues está dentro de los dos conjuntos porque pertenecen a los números

naturales, pero este conjunto está contenido en los números enteros, así que, en

otras palabras, los números naturales son un subconjunto de los números

enteros.

El conjunto de los números enteros se representa con la letra Ζ:

Ζ = {…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}

Este conjunto está contenido dentro del conjunto de los números reales, junto con

los números racionales.

Cómo se Representan los Números Enteros

A continuación, te voy a explicar cómo se representan los números enteros en la

recta numérica. Lo hacemos de la siguiente manera:

Dibujamos la recta, dividida en partes iguales y ponemos el 0 en el

centro:

Colocamos los números positivos a la derecha del cero,

aumentando su valor en una unidad, de izquierda a derecha:

Ahora colocamos los números negativos a la izquierda del cero, con

las siguientes particularidades:

Su valor absoluto (concepto que explicamos un poco más abajo) va aumentando de

derecha a izquierda (simétricamente a los números positivos).

Todos tienen el signo menos delante.

Ahora, después de ver la representación de números enteros, vamos a pasar a ver

cómo se ordena.

Exponentes enteros y su operatividad. Las principales leyes o propiedades de los exponentes enteros son las siguientes.

1) Multiplicación de potencias de la misma base. En este caso los exponentes

se suman, esto es:

2) División de potencias de la misma base. En este caso los exponentes se restan,

esto es:

3) Una potencia elevada a otra potencia. En este caso los exponentes se

multiplican, esto es:

4) El producto de dos bases distintas elevado a una potencia. En este caso el

exponente afecta a ambas bases, esto es:

5) Un racional (fracción) elevado a una potencia. En este caso el exponente

afecta tanto al numerador como al denominador, esto es:

Ahora bien, si la propiedad “2” es válida cuando m = n, entonces:

Esta división da como resultado un exponente nulo, sin embargo, también

sabemos que todo número diferente de cero dividido por sí mismo es igual a

la unidad. Esto nos conduce a definir al exponente nulo de la siguiente

manera:

Por otro lado, si la propiedad “1” es válida para m = -n, entonces:

dividiendo a ambos miembros de la igualdad por “an”, tenemos:

B. Tratamiento algebraico de enunciados verbales. DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN.

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con

los signos de las operaciones aritméticas. Una expresión algebraica se define como

aquélla que está constituida por coeficientes, exponentes y bases.

El coeficiente numérico indica la cantidad de veces que la base debe sumar o restar,

dependiendo del signo que tenga.

El exponente numérico indica el número de veces que la parte literal o base se repite

como factor o se multiplica por sí misma.

La importancia del lenguaje algebraico y la necesidad de conocer expresiones

estándar para transcribir expresiones verbales en expresiones algebraicas consiste

en conocer algunos términos comunes de expresión verbal en lenguaje matemático.

Introducción al lenguaje algebraico.

Los conocimientos adquiridos hasta ahora corresponden básicamente a la

aritmética (el estudio de los números) sin embargo, debido a la complejidad para

plantear y resolver algunos problemas, surge en el hombre la necesidad de crear

otra parte de la matemática que facilite tal operación y ésta es el Álgebra.

“El álgebra es la parte de la matemática que, por medio de una simbología propia,

generaliza y simplifica los principios relativos a la aritmética”

Las culturas egipcia y griega a.c., la hindú y la árabe d.c. hicieron grandes

aportaciones, sin embargo, fue a partir del Siglo XIII de nuestra era cuando esta

asignatura obtuvo su gran desarrollo.

a). - Constantes, variables y exponentes.

Constante.

Es una cantidad cuyo valor no cambia al hacer cálculos u operaciones,

generalmente es un número.

Variable.

Es una letra que usamos para representar valores numéricos por lo que su valor

cambia al hacer cálculos u operaciones.

Se le llama variable independiente a aquella cuyo valor no depende de la expresión

y por lo tanto se le puede asignar diferentes valores.

Por el contrario, una variable es dependiente cuando su valor está sujeto a la

expresión (concretamente al valor de la variable independiente).

Exponente.

Es el número o letra escrito en la parte superior derecha de una constante o de una

variable. Indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma.

b). - Lenguaje común y lenguaje algebraico. Lenguaje común.

Es aquel que nos permite expresarnos por medio de palabras y se le llama así

porque lo utilizamos cotidianamente.

Lenguaje algebraico.

Es un lenguaje (simbólico) que utiliza números, letras y signos para expresar de

manera convencional lo mismo que en el lenguaje común.

Simbolización algebraica

a). - Término algebraico y sus partes.

Un término algebraico es cada parte de la expresión algebraica separada por las

operaciones de suma o resta (+, -).

Ejemplo:

Expresión matemática de un problema. Un problema matemático es una incógnita acerca de una cierta entidad matemática

que debe resolverse a partir de otra entidad del mismo tipo que hay que descubrir.

Para resolver un problema de esta clase, se deben completar ciertos pasos que

permitan llegar a la respuesta y que sirvan como demostración del razonamiento.

Los conocimientos adquiridos hasta ahora corresponden básicamente a la

aritmética (el estudio de los números) sin embargo, debido a la complejidad para

plantear y resolver algunos problemas, surge en el hombre la necesidad de crear

otra parte de la matemática que facilite tal operación y ésta es el Álgebra.

“El Álgebra es la parte de la matemática que, por medio de una simbología propia,

generaliza y simplifica los principios relativos a la aritmética”.

Operaciones. Suma

La suma algebraica consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas en una

sola. Pero sumar dos o más polinomios se colocan ordenadamente en forma

descendente y se coloca un polinomio debajo del otro dejando los espacios en caso

de que no haya termino semejantes.

Resta

Para restar dos polinomios se escriben el minuendo y después el sustraendo

cambiándole los signos a cada uno de sus términos.

Multiplicación

La multiplicación es la operación que consiste en sumar una cantidad tantas veces

como lo indica la segunda cantidad. Para realizar la multiplicación de polinomios es

necesario conocer sus propiedades.

Propiedad Comunicativa: Nos dice que el orden de los factores no altera el

producto.

Propiedad Asociativa: No importa si se hace primero la operación entre

paréntesis y luego la multiplicación por cada uno de los paréntesis.

Propiedad Distributiva: Nos dice que multiplicar la suma de un número por

otro nos da el mismo resultado.

Propiedad Elemento Neutro: Nos dice que cualquier número multiplicado por

uno es el mismo número.

Propiedad Elemento Multiplicativo (Inverso): Al multiplicar el número por su

inverso, tenemos como resultado la unidad.

Propiedad Absorbente: Nos dice que todo número multiplicando por cero es

cero.

Otros elementos que debemos considerar con la ley de los signos y la ley de los

exponentes.

Aplicación del campo de los números reales

Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden

expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un

decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

Los números reales permiten el cálculo de valores como fuerzas, velocidades,

probabilidad, reactividad, conductividad (térmica o eléctrica), esfuerzo cortante, flujo

(magnético, de calor, etc) y todos cálculos físicos y químicos.

EVALUACIÓN INTEGRADORA

1. En tu libreta obtén el valor de x de cada ejercicio.

A). 5x - 7 = 2x - 1

B) 3x – 5 = 8

2. En tu libreta resuelve las siguientes sumas o restas de los siguientes

polinomios.

A). (5𝑧3+3𝑧 -2𝑧2+8) + (-7𝑧2+5𝑧 -3𝑧3-10) =

B). (2𝑥3+3𝑥2-6) - (3𝑥3-5𝑥2-2𝑥3+𝑥 +8) =

C). (-3𝑧3+2𝑧 -1) - (-𝑧3+5𝑧 +3) =

3. En tu libreta resuelve las siguientes multiplicaciones de monomios por

polinomios y polinomios por polinomios.

A). (2𝑥 ) (𝑥2-3𝑥 +8) =

B). (2𝑧 +2) (5𝑧2-3𝑧 +7) =

C). (-2𝑥2-x) (-6𝑥4+3𝑥2-5𝑥 -2) =

4. En tu libreta resuelve las siguientes

A). (5-3) +(4+2) +(4-8) =

B). 3(4-2) +3(2-5) +(4-9) =

C). 3(6-7) +5(9-3) =

5. En tu libreta resuelve lo siguiente

a) El triple de la suma de dos números b) El doble de un número c) Un número aumentado en dos unidades d) Un número disminuido en dos unidades e) Un número cualquiera f) El cociente de dos números g) El doble del cuadrado de un número h) El cuadrado de la suma de dos números