INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MINATITLÁN

Materia:Investigación de operaciones

Docente:Erika Lissette Minaya Mortera

Alumna:Lidia Ivette Alor Santiago

Unidad 3:Programación no Lineal

Tutorial El trabajo que presentamos a continuación es un tutorial de investigación de operaciones, específicamente hablamos sobre el tema de programación no lineal donde explicamos a detalle los mas importe sobre programación no lineal de manera que sea entendible.

Unidad 3:Programación no Lineal

Conceptos básicos de problemas de programación no lineal.

Ilustración grafica de problemas de programación no lineal.

Tipos de problemas de programación no lineal.

Introducción

El tema que abordamos está compuesto por los siguientes epígrafes: introducción, definimos el problema general de Programación no Lineal que estudiamos, y daremos las definiciones y resultados básicos que se emplearán a lo largo de todo el tema. Asimismo, se recuerda el estudio de los problemas irrestrictos (PI) y de los problemas con restricciones de igualdad (PRI).

Programación no Lineal

Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal.

La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales.

Evidentemente, la estructura del problema puede ser muy variada, según las funciones que en él intervengan (a diferencia de la Programación Lineal (PL) donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permiten obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algorítmicos de los problemas). Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtención de resultados, que se refleja también en la dificultad de la obtención numérica de las soluciones.

Conceptos básicos de problemas de programación no lineal.

Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

De una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar para

maximizar  , sujeta a :

en donde   y las  son funciones dadas de n variables de decisión. No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato.  Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales.

Ilustración grafica de problemas de programación no lineal.

Una combinación de variables instrumentales x se dice que es factible para el problema (PNL) si pertenece a X. Así pues, el problema (PNL) consiste en encontrar las variables de decisión factibles para el problema para las cuales la función objetivo tome el mayor valor posible. Si para un punto, la función objetivo toma el valor máximo de todos los puntos situados en algún entorno suyo, se dice que el máximo es local. Si se encuentra un punto que produce el valor máximo de f en todo el conjunto de oportunidades, el máximo es global:

Definición 1.

Un punto x* ∈ X se dice que es un máximo local de (PNL) si existe un entorno de x*, E(x*) tal que ∀ x ∈ E(x*) ∩ X, se verifica f(x*) ≥ f(x). Definición 2.

Un punto x* ∈ X se dice que es un máximo global de (PNL) si ∀ x ∈ X, se verifica f(x*) ≥ f(x). Es importante tener en cuenta que esta formulación del problema no supone pérdida de generalidad, ya que si el objetivo fuese minimizar la función objetivo, se puede maximizar su opuesta.

Por otro lado, cualquier restricción con ≥ se puede convertir en una de ≤ sin más que cambiar de signo, y las restricciones de igualdad se pueden descomponer en dos, con las dos desigualdades. No obstante, también enunciaremos los resultados más importantes para el problema de mínimo. Antes de pasar a estudiar los diferentes tipos de problemas, vamos a enunciar dos teoremas cuya utilidad es crucial en el tema que nos ocupa. Ambos están orientados a poder asegurar la globalidad de los óptimos obtenidos. En efecto, veremos que la casi totalidad de los métodos y caracterizaciones empleados en la resolución de problemas no lineales sólo nos garantizan la obtención de óptimos locales.

El primero de los teoremas que enunciamos (Teorema de Weierstrass) nos da las condiciones bajo las cuales podemos asegurar la existencia de óptimos globales en un problema. El segundo (Teorema Local - Global) nos proporciona las condiciones que nos permiten afirmar que un óptimo local es global. La demostración de ambos teoremas puede encontrarse en Caballero, González y Triguero (1992):

Teorema 1. Teorema de Weierstrass. Dado el problema (PNL), si el conjunto de oportunidades X es compacto y no vacío, y la función objetivo f es continua en X, entonces el problema (PNL) posee máximo y mínimo globales.

Teorema 2. Teorema Local - Global. Dado el problema (PNL), si el conjunto de oportunidades X es convexo, y la función objetivo f es continua y cóncava (resp. convexa) en X, entonces cualquier máximo (resp. mínimo) local de (PNL) es global. Teorema 3. Condiciones necesarias para óptimo local. a) Es condición necesaria de primer orden para que x*∈ D, sea un óptimo local de f, que: f '(x*) = 0. En general, a los puntos tales que anulen la primera derivada de una cierta función f les denominaremos puntos críticos de dicha función.

b) Es condición necesaria de segundo orden para que el punto crítico x* sea máximo local de f que: f ''(x*) ≤ 0. o bien, para mínimo local de f que f ''(x*) ≥ 0.

Mínimo local estricto

Teorema 4. Condiciones suficientes para óptimo local.

a) Si el punto crítico x´, es tal que f ''(x´) < 0, entonces x* es un máximo local de f.

b) Si el punto crítico x´, es tal que f ''(x´) > 0 entonces x* es un mínimo local de f. Así pues, la condición necesaria de primer orden exige que la primera derivada se anule en el punto en cuestión y la de segundo orden que la segunda derivada sea no positiva en el caso de máximo y no negativa en el de mínimo. Por su parte, la condición suficiente exige que los signos de las segundas derivadas sean estrictos.

Ahora veremos que los resultados enunciados para el caso n = 1 tienen su extensión natural al caso general. En efecto, las generalizaciones de los conceptos reales de primera y segunda derivadas al caso de dimensión superior son los de gradiente y hessiana respectivamente. Así pues, veremos que la condición necesaria de primer orden exige que se anule el gradiente de la función, y las condiciones de segundo orden suponen exigencias sobre el signo de la hessiana, es decir, sobre el signo de la forma cuadrática correspondiente a la matriz hessiana.

Ejemplo de Problema No Lineal IrrestrictoEjemplo 1 Considere el problemaP) min−2x1 x2− 2x2 +x2

1+ 2x22

s.a. (x1+,x2 ) R23

Las condiciones de primer orden son:la condición necesaria de primer orden, que en el caso n = 1 consiste en la anulación de la primera derivada de la función en el punto, es decir todas las derivadas parciales sean 0. De igual forma que en el caso anterior, se denominará punto crítico de f a cualquier punto x de D tal que ∇f(x) = 0.∇ f(x) = 0 ) x1 = 1, x2 = 1• El Hessiano de la función objetivo en (1, 1):

• H es definida positiva en todo D, y en particular en (1, 1)• El punto corresponde a un mınimo ´unico global estricto de P)

Ejemplo 2 Considere el problemaP) min x4

• Tenemos que:f’(x) = 4x3

f´´(x) = 12x2

• En ¯x = 0, f´(x) = 0 y f’’(x) = 0.• El punto cumple con la condición necesaria de 2°orden.• De esta información no se podrá inferir nada más, pero:f´´(x) = 12x2 >0 ¥x f(x) es convexa• Además es diferenciable, entonces x = 0 es un punto mínimo local de P).

TIPOS DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL.

El objeto de la siguiente investigación es definir una serie de conceptos relacionados con el problema general de programación no lineal, así como el estudio de las relaciones existentes entre cada uno de ellos y la solución de dicho problema. Los conceptos que estudiaremos serán los siguientes:

• Punto estacionario.

• Punto minimax, íntimamente relacionado con el concepto de dualidad.

Veremos que, en general, será más directa la demostración de la suficiencia de estas condiciones para asegurar que tenemos una solución del problema, para las que habrá que imponer condiciones de regularidad sobre las restricciones del problema, que llamaremos cualificaciones de restricciones.Un problema general de programación no lineal consiste en encontrar los valores de ciertas variables que maximizan o minimizan una función dada, dentro de un conjunto definido por una serie de restricciones de desigualdad, de forma que no hay aseguradas condiciones de linealidad ni sobre la función a optimizar ni sobre las funciones que definen el conjunto dentro del cual buscamos dicho óptimo.

Es decir, el problema consiste en:

o, de forma abreviada,

Donde:

y

y son ambas al menos de clase dos en todo su dominio.

En ocasiones, para que el problema sea económicamente significativo, es necesario que las variables instrumentales sean no negativas, es decir, x ≥ 0.Asociadas al problema de maximización, podemos definir la siguiente función:

• Función de LaGrange L:

donde λ ∈ Rm+ es el vector de multiplicadores asociado al bloque de restricciones del problema, también denominados multiplicadores de Kuhn-Tucker.

Cualificaciones de restricciones. En el caso en que no tuviéramos asegurada la diferenciabilidad de las funciones de restricciones, la cualificación más usada es la denominada cualificación de restricciones de Slater tipo 1:

• Cualificación de Slater, tipo 1.

Dado el problema (PRD), se dice que se satisface la cualificación de restricciones de Slater tipo 1 (en X) si g es convexa en X y existe un x ∈ X tal que g(x) < b (es decir, el conjunto de oportunidades tiene interior no vacío).

La cualificación de restricciones que utilizaremos en el caso diferenciable es:

• Cualificación de Restricciones de la Independencia Lineal. Dado el problema (PRD), se dice que se satisface la cualificación de restricciones de la independencia lineal en x si el conjunto D es abierto, gi , para i ∉ I es continua en x y los vectores ∇gi(x), para i ∈ I, son linealmente independientes.

PUNTOS ESTACIONARIOS. Procedemos entonces, tras haber establecido ciertos conceptos básicos en la sección anterior, a resolver el problema

donde suponemos que se dan condiciones de diferenciabilidad sobre f y g y que el conjunto D es abierto. En esta situación, tenemos aseguradas ciertas condiciones de diferenciabilidad sobre la función de Lagrange L. Empezaremos definiendo el concepto de punto estacionario de Kuhn-Tucker a partir de L. Dado el problema (PRD) y la función de Lagrange L asociada a él, diremos: Que (x0, λ0), x0 ∈ D, λ0 ∈ Rm , es un punto estacionario de Kuhn-Tucker (o punto estacionario de L)

PDR

si verifica las llamadas condiciones de Kuhn-Tucker (dadas de dos formas equivalentes):

Podemos observar que estas condiciones pueden formularse de la siguiente forma, supuesto que x0 es un punto factible:

En el caso de formulación para mínimo, las condiciones de punto estacionario son las mismas, pero aplicadas a las lagrangianas para mínimo, con lo cual cambia el signo con el que entran los multiplicadores, quedando por tanto

Veamos seguidamente el teorema que lo relacionan con las soluciones del problema (PRD). Empezaremos con el teorema de condiciones, el teorema en el que se establecen qué condiciones necesariamente deben verificar los óptimos de (PRD).

Sea x0 un punto factible de (PRD) y sea I = { i / gi(x0) = bi}. Supongamos que f y gi , con i ∈ I, son diferenciables en x0. Además, supongamos que se verifica la cualificación de restricciones de independencia lineal en x0. Si x0 es un óptimo local del problema, entonces existen escalares no negativos λi

para i ∈ I, tales que:

Como se observa, gracias a la formulación de punto estacionario de Kuhn-Tucker, este teorema afirma que, si se verifica la cualificación de restricciones de independencia lineal en x0, entonces necesariamente todo óptimo local del problema es un punto estacionario de Kuhn-Tucker.

PUNTOS MINIMAX. El punto minimax de la función lagrangiana es otro concepto relacionado con la solución de un problema de optimización. Si bien su definición no le hace útil a la hora de la resolución directa del problema, sí constituye un paso intermedio muy importante en la obtención del problema dual. Dado el problema (PRD), diremos que (x0, λ0) ∈ D x Rm+ es un punto minimax de la función lagrangiana L(x, λ) en el conjunto D x Rm+ si

La relación del punto minimax con la solución del problema de programación no lineal se obtiene

de forma inmediata sin mas que tener en cuenta que:

• Si gi (x) - bi ≤ 0, entonces λi [gi(x) - bi] ≤ 0, luego

Así pues, si (x0, λ0) es un punto minimax, x0 es una solución óptima del problema original. Para el problema de mínimo, el punto minimax toma la forma:

tomando además la función lagrangiana correspondiente a este problema.

METODOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS NO LINEALES

• Hay problemas donde resolver ∇f(x) = 0 es muy difícil• Alternativa: métodos numéricos y/o iterativos– Búsqueda unidireccional– Método de Newton– Método del Gradiente o de CauchyApuntes

MÉTODO DE NEWTON• Método para funciones dos veces diferenciables• Puede usarse para funciones de múltiples variables• P) de una sola variable: min f(x) con f’(x) y f’’(x) conocidas.• Sea xk un punto factible• Se puede aproximar f(x) entorno a xk, a través de una expansión deTaylor de 2do grado:

Aproximación de Segundo Orden

• q(x) es una buena aproximación de segundo grado para f(x) ya que:1. q(xk) = f(xk)2. q´(xk) = f*(xk)3. q´´(xk) = f**(xk)• Si f’’(xk) > 0 ' q(x) es convexa, y si f’’(xk) < 0 ' q(x) es cóncava.

• Resolvemos min q(x), en vez de min f(x). Condición de 1er orden: dqk/dx= f´(xk) + f’’(xk)(x − xk) = 0• Despejando, y definiendo un nuevo xk+1 nos queda:

Interpretación del Método de Newton

• Condición de 1er orden para un extremos de f(x)∇f(x) = 0 el método de Newton busca raíces def´(x)• Gráficamente, el método consiste en que en el espacio de la derivada def(x) se trace una recta que pase por el punto (xk, f´(xk)) y que tenga pendiente f´´(xk), es deciry − f´(xk) = (x − xk)f”(xk).

• Luego, el punto de intersección de esta recta con el eje x determinaráxk+1, es decir, igualando y = 0.

• El método busca puntos extremos sean estos mínimos o máximos.• Para distinguir hay que mirar el signo de la 2a derivada en cada punto:– Deberá ser positivo al buscar mínimos y negativo al buscar máximos.• Este método no garantiza convergencia: