instituto politÉnio naional

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación Departamento de Ingeniería Eléctrica

CÁLCULO DE PERFILES DE RADIO INTERFERENCIA EN LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UTILIZANDO EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN

INGENIERÍA ELÉCTRICA

PRESENTA:

SANCHEZ CONTRERAS CHRISTIAN HERIBERTO

México D.F., Julio del 2015

CARTA CESIÓN DE DERECHOS

En la Ciudad de México, D.F. el día 02 del mes de Noviembre del año 2013, el que suscribe

Christian Heriberto Sanchez Contreras, alumno del Programa de Maestría en Ciencias en

Ingeniería Eléctrica, con número de registro A130479, adscrito a la Sección de Estudios de

Posgrado e Investigación de la ESIME-Zacatenco del IPN, manifiesta que es el autor

intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección del Doctor Fermín Pascual Espino

Cortés cede los derechos del trabajo titulado Cálculo de Perfiles de Radio Interferencia en

Líneas de Transmisión Utilizando el Método del Elemento Finito, al Instituto Politécnico

Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos

del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o directores del trabajo. Este puede ser

obtenido escribiendo a las siguientes direcciones [email protected] y

[email protected]. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento

correspondiente y citar la fuente del mismo.

Christian Heriberto Sanchez Contreras

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

SECRETARÍA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO

1

Página intencionalmente dejada en blanco

i

RESUMEN

El crecimiento continuo en la demanda de energía eléctrica alrededor del mundo trae

consigo la necesidad de nuevas líneas de transmisión con niveles de tensión cada vez más

altos para poder trasmitir mayor cantidad de energía eléctrica desde los centros de

generación hasta los centros de consumo. Es bien sabido que la instalación de estas líneas

de alta tensión genera problemas de interferencia electromagnética (EMI) en dispositivos

electrónicos que operan en su cercanía. La radio interferencia (RI) es un tipo de EMI que

se restringe al intervalo de las frecuencias de radio, en las líneas de transmisión la

descarga corona es la principal causa de RI con emisiones de hasta 3 MHz. Determinar los

niveles de RI se ha vuelto un requisito importante durante la etapa de diseño de las líneas

de transmisión, muchas veces como parte de estudios completos de compatibilidad

electromagnética (EMC) que pueden ser solicitados para conocer la magnitud de su

impacto en las cercanías de la línea.

Aunque existen metodologías basadas en formulaciones analíticas para determinar los

parámetros eléctricos y la magnitud de RI de una línea de transmisión, éstas no son

aplicables a casos particulares donde la geometría o las propiedades de los materiales son

diferentes a las consideradas como típicas. En este trabajo de tesis se desarrolla una

metodología empleando el Método del Elemento Finito (MEF) que permite abordar este

tipo de casos particulares. Esta metodología es aplicada a diferentes configuraciones de

línea de transmisión y los resultados obtenidos para los perfiles de RI en dBμV/m se

comparan con metodologías analíticas. También se muestra un ejemplo de modificación

de la configuración geométrica de una línea de transmisión de 400 kV cuyo objetivo es

reducir las magnitudes del perfil de RI. Por último se aplica la metodología basada en el

MEF a una línea trifásica en circuito simple y otra en circuito doble, ambas con hilos de

guarda y suelos estratificados en capas sedimentarias.

ii

ABSTRACT

The continued growth in demand for electric power energy world-wide brings the

necessity of new transmission lines at higher voltage levels in order to transfer big blocks

of energy from generation plants to big load centers. It is well known that the installation

of these high voltage lines generates electromagnetic interference (EMI) problems in

electronic devices operating in the proximity of the line. The radio interference (RI) is a

type of EMI that is limited to the band of frequencies of radio, and in transmission lines

the corona discharge is the main source of RI, with emissions up to 3 MHz. The

determination of the RI levels has become an important requirement during the design

stage of a transmission line, usually as a part of the electromagnetic compatibility studies

(EMC) which can be required to know the magnitude of the impact on the environment in

the vicinity of the transmission line.

Although there are methods base on analytical formulations for the calculation of the

electric parameters and the determination of RI levels of a transmission line, sometimes

these methods are not applicable to particular cases where the geometry or the material

properties are different from the typical cases. In this thesis a methodology using the

Finite Element Method (FEM) is developed that can address such special cases. This

methodology is applied to different configurations of transmission line and the results of

RI profiles in dBμV/m are compared against analytical methodologies. In addition, an

example of modification of the geometrical configuration of a 400 kV transmission line to

minimize the magnitudes of RI is presented. Finally the methodology is applied to a single-

circuit transmission line and to a double circuit transmission line, both with ground wires

and a multilayer soil.

iii

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo está dedicado con mucho cariño a mi familia. En especial a mis padres que

han sido muy valientes y han pasado a través de numerosas dificultades con la esperanza

de brindar una mejor calidad de vida a sus hijos. No hay palabras para agradecer todo ese

esfuerzo y confianza que han depositado sobre nosotros sus hijos, realmente han amado

mucho, espero poder imitarles y desde mi corazón les digo que les amo.

Un atento agradecimiento al Dr. Fermín Espino, lo considero un verdadero amigo, además

continuamente impulsó mi desarrollo desde los estudios de licenciatura. También le

agradezco enormemente al Dr. Pablo Gómez que participó de manera activa en el

desarrollo de este trabajo, siempre buscando el crecimiento de todos sus estudiantes y

colegas.

Cabe mencionar a mis amigos, ellos han llegado a ser mi familia, hemos vivido momentos

inolvidables, compartido problemas tanto académicos como sentimentales, también

hemos compartido alimento, nuestros sueños, ilusiones, muchas preocupaciones, algunos

consejos, música muy diversa y más que nada buen humor. También agradezco a mi novia

Geo, que ha sabido soportarme y apoyarme sobre todo en la etapa de redacción.

Pero sobretodo mi vida entera la encomiendo en manos del Señor que ha sido siempre

bueno, a quien corresponde todo honor y Gloria.

iv

CONTENIDO

RESUMEN ................................................................................................................................. i

ABSTRACT ............................................................................................................................... ii

AGRADECIMIENTOS ............................................................................................................... iii

CONTENIDO ........................................................................................................................... iv

ÍNDICE DE FIGURAS.............................................................................................................. viii

ÍNDICE DE TABLAS.................................................................................................................. xi

SIMBOLOGÍA .........................................................................................................................xiii

CAPÍTULO 1 Introducción .................................................................................................. 1

1.1 Generalidades .......................................................................................................... 1

1.2 Planteamiento del problema ................................................................................... 3

1.3 Objetivo .................................................................................................................... 4

1.4 Objetivos particulares .............................................................................................. 5

1.5 Justificación .............................................................................................................. 5

1.6 Estado del arte ......................................................................................................... 6

1.7 Limitaciones y alcances ............................................................................................ 9

1.8 Aportaciones .......................................................................................................... 10

1.9 Estructura de la tesis .............................................................................................. 11

CAPÍTULO 2 Cálculo de parámetros de un sistema de transmisión aérea mediante el

Método del Elemento Finito................................................................................................. 12

2.1 Introducción ........................................................................................................... 12

2.2 Método de la impedancia compleja para el cálculo de la impedancia serie ......... 15

2.3 Inductancia ............................................................................................................. 17

2.3.1 Método de la energía ..................................................................................... 18

v

2.3.2 Matriz de inductancia geométrica a partir de la matriz de capacitancia ....... 19

2.4 Capacitancia ........................................................................................................... 20

2.4.1 Método de la carga ......................................................................................... 20

2.4.2 Método de la energía ..................................................................................... 21

CAPÍTULO 3 Determinación de perfiles de radio interferencia para sistemas de

transmisión de alta tensión .................................................................................................. 22

3.1 Introducción ........................................................................................................... 22

3.2 Caso monofásico .................................................................................................... 24

3.2.1 Condiciones empleadas en las simulaciones .................................................. 25

3.2.2 Selección del Mallado para el modelado de una línea considerando el efecto

del suelo. ....................................................................................................................... 26

3.2.3 Condiciones iniciales y de frontera ................................................................ 26

3.2.4 Cálculo del Perfil de RI .................................................................................... 27

3.3 Caso trifásico .......................................................................................................... 28


del suelo. ....................................................................................................................... 29

3.3.2 Condiciones iniciales y de frontera ................................................................ 29

3.3.3 Cálculo del Perfil de RI .................................................................................... 31

CAPÍTULO 4 Resultados ................................................................................................... 34

4.1 Introducción ........................................................................................................... 34

4.2 Caso monofásico .................................................................................................... 34

4.3 Caso trifásico .......................................................................................................... 35

4.3.1 Caso trifásico 225 kV configuración triangular ............................................... 36



vi

4.3.4 Caso trifásico 750 kV configuración horizontal .............................................. 43

4.3.5 Caso trifásico 1050 kV configuración horizontal ............................................ 44

4.3.6 Caso trifásico 500 kV configuración triangular no simétrica .......................... 45

4.3.7 Caso trifásico 230 kV configuración triangular asimétrica ............................. 46

4.3.8 Caso trifásico 345 kV configuración triangular no simétrica .......................... 48

4.3.9 Caso trifásico 1100 kV configuración triangular asimétrica ........................... 49

4.4 Reducción del nivel de RI de una línea trifásica de 400 kV ................................... 52

4.5 Línea trifásica 150 kV con hilos de guarda y suelo estratificado ........................... 55

4.5.1 Cálculo de parámetros .................................................................................... 56

4.6 Línea trifásica 735 kV en circuito doble con hilos de guarda y diferentes suelos

estratificados .................................................................................................................... 60

4.6.1 Cálculo de parámetros .................................................................................... 61

4.6.2 Perfil de RI ....................................................................................................... 63

CAPÍTULO 5 Conclusiones ............................................................................................... 69

5.1 Conclusiones .......................................................................................................... 69

5.1.1 Para el cálculo de parámetros ........................................................................ 69

5.1.2 Para la determinación de perfiles de RI ......................................................... 70

5.2 Aportaciones .......................................................................................................... 71

5.3 Recomendaciones propuestas para trabajos futuros ............................................ 71

BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................... 73

A) Estudio de la Tensión de Incepción de Descarga Corona en Arreglos

Multiconductores Optimizados ........................................................................................ 79

B) Cálculo de parámetros basado en el método de imágenes complejas ................. 82

B.1 Línea monofásica .................................................................................................... 82

vii

B.2 Línea multiconductora ............................................................................................ 86

C) Método analítico utilizado por C. Tejada ............................................................... 91

C.1 Línea Multiconductora ............................................................................................ 91

D) Artículos publicados ............................................................................................... 96

viii

ÍNDICE DE FIGURAS

Fig. 1-1 Elementos Básicos de un problema de EMC [4] ................................................ 2

Fig. 1-2 Tipos de propagación de las interferencias electromagnéticas ....................... 3

Fig. 2-1 Elemento infinitesimal que representa a los parámetros eléctricos propios y

mutuos del caso trifásico de la línea de transmisión aérea ......................................... 12

Fig. 2-2 Configuración geométrica de una línea trifásica con dos conductores por

fase [38] ................................................................................................................................ 14

Fig. 2-3 Mallado del dominio computacional para la terminación de la impedancia

para la línea trifásica considerada en este capítulo. ..................................................... 16

Fig. 2-4 Perfil transversal de un haz de conductores igualmente espaciados entre sí

y con el mismo radio de haz ............................................................................................ 17

Fig. 2-5 Dominios computacional para el caso monofásico de una línea de

transmisión aérea. .............................................................................................................. 18

Fig. 3-1 Forma de onda de un streamer de inicio medido en [41]. ............................. 23

Fig. 3-2 Vista transversal de una línea de transmisión aérea monofásica ................. 24

Fig. 3-3 Diagrama de flujo para el caso monofásico, donde se divide en tres

procesos principales: el cálculo de parámetros, cálculo de la función de excitación y

cálculo del perfil de RI. ..................................................................................................... 25

Fig. 3-4 Distribución de la densidad de corriente en A/𝑚2 en el domino de tierra

para caso monofásico a 500 kHz ...................................................................................... 28

Fig. 3-5 Vista transversal de una línea trifásica aérea con un conductor por fase. .. 29

Fig. 3-6 Diagrama de flujo para el caso trifásico, donde se divide en tres procesos

principales: el cálculo de parámetros, cálculo de la función de excitación y cálculo

del perfil de RI .................................................................................................................... 30

Fig. 3-7 Modos de propagación para Ey en μV/m excitando con la corriente de

descarga corona en la fase A ............................................................................................ 32


descarga corona en la fase B ............................................................................................. 33

ix


descarga corona en la fase C ............................................................................................ 33

Fig. 4-1 Comparación de resultados de perfiles de RI obtenidos para caso

monofásico con 290 kV ..................................................................................................... 35

Fig. 4-2 Perfiles de RI y configuración geométrica de una línea de transmisión aérea

trifásica de 225 kV .............................................................................................................. 37

Fig. 4-3 Perfiles de RI de una línea de transmisión aérea trifásica de 225 kV usando

dos métodos distintos para calcular las matrices 𝑍 y 𝑌 ............................................... 38

Fig. 4-4 Geometría del modelo en el MEF de una línea trifásica de 225 kV con un

conductor de sección rectangular enterrado bajo la fase C ......................................... 38


de 225 kV con un conductor rectangular enterrado debajo de la fase C ................... 39

Fig. 4-6 Geometría del modelo en el MEF de una línea trifásica de 225 kV con una

torre de transmisión típica y un conductor de sección circular enterrada ................ 40

Fig. 4-7 Perfiles de RI de una línea de transmisión aérea trifásica de 225 kV

incluyendo la influencia de una torre de transmisión típica y la de un conductor de

sección circular enterrado bajo la fase C ........................................................................ 41


trifásica de 380 kV .............................................................................................................. 42


trifásica de 400 kV. ............................................................................................................. 43

Fig. 4-10 Perfiles de RI y configuración geométrica de una línea de transmisión

aérea trifásica de 750 kV ................................................................................................... 44


aérea trifásica de 1050 kV ................................................................................................. 45





x




aérea trifásica de 1100 kV ................................................................................................. 49

Fig. 4-16 Haz de conductores con algunas variables independientes para la

reducción del caso de 400 kV con 4 conductores por haz. ........................................... 53

Fig. 4-17 Perfiles de RI de una línea de transmisión aérea trifásica de 400 kV

reducidas vectorialmente con dos números de iteraciones diferentes que

corresponden a los vectores: 𝑋1 y 𝑋2 asimismo se incluye el perfil original que

corresponde al vector inicial 𝑋0 ...................................................................................... 54

Fig. 4-18 Configuración geométrica de una línea trifásica de 150 kV fases A, B y C

con un conductor por fase y dos hilos de guarda ......................................................... 56

Fig. 4-19 Configuración geométrica de una línea trifásica 735 kV con un conductor

por fase en circuito doble, fases A, B y C para el primer circuito y para el segundo

A’, B’ y C’ además dos hilos de guarda .......................................................................... 60

Fig. 4-20 Perfiles de RI de una línea de 735 kV que no consideran la influencia del

circuito secundario e hilos de guarda mientras que si la considera en el cálculo de

parámetros usando el MEF .............................................................................................. 65

Fig. 4-21 Perfiles de RI de una línea de 735 kV que consideran distintos métodos

para el cálculo de perfiles con diferentes condiciones de suelo estratificado ........... 66

Fig. 4-22 Dominio computacional para el caso de la línea trifásica de 735 kV con el

domino de tierra estratificado de tres capas diferentes eléctricamente no

horizontales que simulan ................................................................................................. 67

xi

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2-1 Materiales usados en las simulaciones y sus características eléctricas ..... 14

Tabla 4-1 Resumen de la característica de los perfiles de 9 líneas de transmisión

trifásicas presentadas hasta esta sección ........................................................................ 50

Tabla 4-2 Resumen de la influencia de los parámetros geométricos en el nivel de RI

en base a los resultados obtenidos en esta sección ....................................................... 51

Tabla 4-3 Entradas reales de la matriz de impedancias completa de orden 5x5

calculada a partir del MEF considerando hilos de guarda en [Ω/m] ........................ 57

Tabla 4-4 Entradas imaginarias de la matriz de impedancias completa de orden 5x5

calculada a partir del MEF considerando hilos de guarda en [Ω/m] ........................ 57

Tabla 4-5 Entradas de la matriz de capacitancias completa de 5x5 calculada a partir

del MEF considerando hilos de guarda con unidades [F/m] ..................................... 57

Tabla 4-6 Entradas de la matriz de impedancias completa calculada a partir del

MEF reducida de 5x5 a 3x3 mediante el método de Kron con unidades [Ω/m] ..... 58

Tabla 4-7 Entradas de la matriz de capacitancias calculada a partir MEF y reducida

de 5x5 a 3x3 mediante el método de Kron con unidades [F/m] ................................. 59

Tabla 4-8 Entradas de la matriz de impedancias reducida calculadas a partir del

método analítico usado por la función “power_lineparam” de Matlab con unidades

[Ω/m] .................................................................................................................................. 59

Tabla 4-9 Entradas de la matriz de capacitancias calculadas a partir del método de

imágenes usado por la función “power_lineparam” de Matlab en [F/m] ............... 59

Tabla 4-10 Entradas reales de la matriz de impedancias completa de 8x8 filas por

columnas calculada a partir del MEF considerando dos hilos de guarda con

unidades [Ω/m] ................................................................................................................. 61

Tabla 4-11 Entradas imaginarias de la matriz de impedancias completa de 8x8 filas

por columnas calculada a partir del MEF considerando dos hilos de guarda con

unidades [Ω/m] ................................................................................................................. 62

xii

Tabla 4-12 Entradas de matriz de capacitancias completa calculada a partir del

MEF considerando dos hilos de guarda en [F/m] ........................................................ 62

Tabla 4-13 Entradas de la matriz de impedancias completa calculada a partir del

MEF reducida de 8x8 a 3x3 mediante el método de Kron en [Ω/m] ......................... 62

Tabla 4-14 Entradas de la matriz de capacitancia completa calculada a partir del

MEF reducida de 8x8 a 3x3 mediante el método de Kron en [Ω/m] ......................... 62

Tabla 4-15 Entradas reales de la matriz de impedancias completa calculada a partir

del MEF reducida de 8x8 a 6x6 mediante el método de Kron en [Ω/m] .................. 63

Tabla 4-16 Entradas imaginarias de la matriz de impedancias completa calculada a

partir del MEF reducida de 8x8 a 6x6 filas por columnas mediante el método de en

[Ω/m] .................................................................................................................................. 63

Tabla 4-17 Entradas de la matriz de capacitancias completa calculada a partir del

MEF reducida de 8x8 a 6x6 filas por columnas mediante el método de Kron con

unidades [Sm] .................................................................................................................... 63

Tabla 4-18 Resumen de los casos considerados para los perfiles de una línea de 735

kV ......................................................................................................................................... 68

xiii

SIMBOLOGÍA

ANSI American National Standards Institute

BPA Boneville Power Administration

CIGRÉ International Council on Large Electric Systems.

CISPR Comité International Spécial des Perturbations Radioélectriques.

EPRI Electric Power Research Institute

IEC International Electrotechnical Commission

IREQ Hydro-Québec's Research Institute.

NEMA National Electrical Manufacturers Association.

EMC Por sus siglas en inglés Electromagnetic Compatibility

HVDC Por sus siglas en inglés High Voltage Direct Current

RI Por sus siglas en inglés Radio Interference

MEF Método Del Elemento Finito

EMI Del inglés ElectroMagnetic Interference

TEM Transversal Electro Magnético

ICNIRP International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection

WHO World Healt Organization

BEM Boundary Element Method

PCB del inglés printed circuit board

𝛿 Profundidad de penetración

𝛿max Profundidad de penetración máxima

𝛿min Profundidad de penetración mínima

𝑓sim Frecuencia simulada

𝑓max Frecuencia máxima de operación

𝑓min Frecuencia mínima de operación

J Densidad de corriente total

Js Densidad de corriente de excitación

Je Densidad de corrientes de eddy

Jext Densidad de corriente externa

xiv

H Intensidad de campo magnético

B Densidad de flujo magnético

E Intensidad de campo eléctrico

D Densidad de flujo eléctrico

A Potencial vectorial magnético

𝑉 Potencial escalar eléctrico

RI Radio Interferencia

dBμV/m Decibeles sobre micro volt entre metro

Z0 Impedancia de vacío (120𝜋)

dB Decibeles

𝜌 Densidad de carga

𝐻𝑥 Componente en eje X de 𝐻

Ey Componente en eje Y de 𝐸

휀𝑟 Permitividad relativa

𝜇𝑟 Permeabilidad relativa

𝜎 Conductividad eléctrica

𝜓 Enlaces de flujo magnético

𝐼 Corriente en la sección transversal del conductor

𝜇0 Permeabilidad del vacío

ℎ Altura del conductor aéreo

𝑟𝑤 Radio del conductor aéreo

𝑃 Profundidad de penetración compleja para el dominio de tierra

𝜌𝑒 Resistividad del domino de tierra

𝜔 Frecuencia angular (2𝜋𝑓)

𝜇𝑒 Permeabilidad del domino de tierra

𝐿 Matriz de inductancias combinadas, inductancias geométricas junto con

las inductancias complejas del dominio de tierra

𝐿𝑒𝑐 Matriz de inductancias complejas del dominio de tierra

𝑍𝑒 Matriz de impedancias del dominio de tierra

xv

𝑅𝑒 Resistencia del dominio de tierra

𝐿𝑒 Inductancia del dominio de tierra

휀0 Permitividad de vacío

𝛿 Profundidad de penetración en domino de conductor aéreo

𝜌𝑤 Resistividad de dominio de conductor aéreo

𝜇𝑤 Permeabilidad de dominio de conductor aéreo

𝑅𝐶𝐷 Resistencia de conductor aéreo en C.D.

𝐶. 𝐷. Corriente directa

𝐶. 𝐴. Corriente alterna

𝑍𝐻𝐹 Impedancia de alta frecuencia del dominio de conductor aéreo

𝑍𝑤 Impedancia de conductor aéreo

𝑍 Impedancia serie generalizada del caso monofásico

𝑌 Admitancia en derivación del caso monofásico

𝐺 Matriz de conductancia

𝐿𝑖𝑖 Inductancia propia del i-ésimo conductor aéreo despreciando inductancia

interna del conductor

ℎ𝑖 Altura del i-ésimo conductor aéreo con 𝑖 = (1,2,3)

𝑟𝑖 Radio del i-ésimo conductor aéreo con 𝑖 = (1,2,3)

𝐿𝑔𝑖𝑖 Inductancia propia geométrica del i-ésimo conductor aéreo

𝐿𝑒𝑖𝑖 Inductancia propia del domino de tierra debida al i-ésimo conductor aéreo

𝐿𝑒𝑐𝑖𝑖 Inductancia propia compleja del domino de tierra debida al i-ésimo

conductor aéreo

𝑍𝑒𝑖𝑖 Impedancia propia del domino de tierra debida al i-ésimo conductor aéreo

𝑅𝑒𝑖𝑖 Resistencia propia del domino de tierra debida al i-ésimo conductor aéreo

𝐿𝑖𝑘 Inductancia mutua entre los conductores aéreos 𝑖 y 𝑘 despreciando

inductancia interna del conductor

𝐿𝑔𝑖𝑘 Inductancia geométrica mutua debida a los conductores i-ésimo y k-ésimo

𝐿𝑒𝑖𝑘 Inductancia mutua del domino de tierra mutua debida a los conductores i-

ésimo y k-ésimo

xvi

𝐷𝑖𝑘 Distancia entre el conductor i-ésimo y la imagen del conductor k-ésimo sin

considerar la profundidad de penetración

𝑑𝑖𝑘 Distancia entre el conductor i-ésimo y el conductor k-ésimo

𝐷𝑖𝑘′ Distancia entre el conductor i-ésimo y la imagen del conductor k-ésimo

considerando dos veces la profundidad de penetración para el domino de

tierra

𝑍 Matriz de impedancia serie generalizada

𝑍𝑔 Matriz de impedancia geométrica

𝑍𝑒 Matriz de impedancia del dominio de tierra

𝑍𝑤 Matriz diagonal de impedancia interna de los conductores aéreos

𝐿𝑔 Matriz de inductancia geométrica

𝐿𝑒𝑐 Matriz de inductancia compleja de tierra

𝐿𝑒 Matriz de inductancia de tierra

𝑅𝑒 Matriz de resistencia de tierra

𝑞𝑖 La carga en la superficie del conductor i-ésimo

𝑄 Vector de cargas de cada conductor

𝐶 Matriz de capacitancias

𝑉 Vector de tensiones de fase de cada conductor

𝑃𝑖𝑖 Entradas de la diagonal principal de la matriz de potenciales de Maxwell

𝑃𝑖𝑘 Entradas fuera de la diagonal principal de la matriz de potenciales de

Maxwell

𝑌 Matriz de admitancia en derivación

𝐺 Matriz de conductancias en derivación

𝑃 Matriz de potenciales de Maxwell

𝑔𝑎𝑣 Gradiente de potencial eléctrico promedio en la superficie de un

conductor

𝑞 Carga

𝑠 Espaciamiento entre conductores de haz

𝑅ℎ𝑎𝑧 Radio del haz de conductores.

xvii

𝑛ℎ𝑎𝑧 Número de conductores por haz

𝑔𝑖𝑚𝑎𝑥 Gradiente de potencial eléctrico o campo eléctrico máximo para el i-ésimo

haz de conductores

𝜆𝑉 matriz de valores propios (diagonal) del producto ZY

𝑀 Matriz de vectores propios del producto ZY

𝜆𝐼 matriz de valores propios (diagonal) del producto YZ

𝑁 Matriz de vectores propios del producto YZ

Ψ matriz de constantes de propagación modal

𝑎𝑚 Constantes de atenuación modal

𝐽𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎 Vector de corrientes de inyección de corona

Γ Fusión de excitación

J𝑚 Vector de densidad de corriente en el domino modal

I𝑚 Vector de corrientes en el dominio modal

𝐻𝑥𝑘 intensidad de campo magnético componente en eje X

𝐼𝑖,𝑘 i-ésimo renglón, k-ésima columna de 𝐼

ℎ𝑖 Altura i-ésimo conductor

𝑥𝑖 Distancia del i-ésimo conductor

𝑥 Punto de medición

𝐸𝑦,𝑘 campo eléctrico componente en eje Y


SEPI ESIME ZACATENCO Página 1

CAPÍTULO 1 Introducción

1.1 Generalidades

La sociedad actual depende de un conjunto cada vez mayor de sistemas eléctricos,

electrónicos y de comunicaciones. Estos sistemas intercambian grandes cantidades de

información y energía a través de señales electromagnéticas que contaminan el medio

que los rodea [1]. Al aumentar el número de estos sistemas, también lo hace la

complejidad de sus interacciones, en consecuencia, es más probable que los diferentes

sistemas se interfieran mutuamente afectando su correcto desempeño [2]. Resulta

indispensable que todos estos sistemas funcionen de manera armoniosa, lo cual se puede

lograr al reducir las emisiones electromagnéticas no deseadas o al incrementar la

inmunidad de los sistemas ante señales que provoquen interferencia [3]. Mediante los

estudios de compatibilidad electromagnética (EMC por sus siglas en inglés) se analiza esta

problemática, se buscan soluciones e incluso se genera la normatividad necesaria para

regular la interacción entre los sistemas [4].

Como antecedentes de la EMC se tienen los experimentos realizados por Marconi a finales

del siglo XIX donde se mostró que bastaba con apartar los radiorreceptores de las fuentes

de interferencia para solucionar los problemas de distorsión. Posteriormente a partir de

1920 surgieron nuevos problemas que se solucionaron al mejorar el diseño de los

dispositivos eléctricos [4]. Durante la segunda guerra mundial el problema de

interferencia se incrementó proporcionalmente al uso de los dispositivos electrónicos en

la industria naval y aérea, como respuesta se establecieron frecuencias de transmisión en

un espectro disperso [4] [5]. Décadas más tarde este espectro se compactó debido al uso

de dispositivos electrónicos de alta densidad como el transistor y los microprocesadores

integrados (chip). Además desde 1970 la tendencia general ha sido la de reemplazar

procesamientos de señales analógicas por digitales [4].


Página 2 SEPI ESIME ZACATENCO

La interferencia electromagnética se define como la degradación del desempeño de un

sistema causado por un disturbio electromagnético [6]. En la Fig. 1-1 se muestran los

elementos principales que intervienen de manera generalizada en un problema de

compatibilidad electromagnética, donde un disturbio electromagnético es emitido por

una fuente, éste viaja por algún medio y es captado por una víctima. En base al medio de

propagación para la onda electromagnética, la interferencia electromagnética puede ser

conducida, trasmitida por acoplamiento reactivo o radiada [5] [7], véase Fig. 1-2.

Fuente (Emisor)

Camino de acoplamiento

(Medio)

Receptor (víctima)

Fig. 1-1 Elementos Básicos de un problema de EMC [4]

El acoplamiento reactivo está relacionado con fenómenos inductivos y capacitivos. Se dice

que el acoplamiento es capacitivo cuando se origina por grandes variaciones de campo

eléctrico con respecto al tiempo, mientras que cuando se habla de un acoplamiento

inductivo, las fuentes son campos magnéticos variables respecto al tiempo. Por ejemplo,

la diafonía inductiva, en la cual un conductor con una corriente variante en el tiempo

induce una diferencia de potencial en otro conductor cercano que forme una trayectoria

cerrada [4].

Los sistemas de transmisión de energía eléctrica emiten señales no deseadas en un amplio

intervalo de frecuencias que podrían afectar diversos sistemas e incluso a asentamientos

humanos en la cercanía de las líneas [8] [1] [2] [9]. En este trabajo se considera

únicamente la interferencia debida al acoplamiento reactivo por descarga corona entre

una línea de transmisión de alta tensión y algún dispositivo o sistema víctima. La fuente de

la emisión son los conductores de fase, el camino de acoplamiento es el medio dieléctrico,

en este caso el aire y el receptor o víctima puede ser algún sistema de comunicación que

opere a la misma frecuencia de la interferencia. Como las principales componentes de

frecuencia de la corriente de descarga corona coincide con las frecuencias de radio, a este

fenómeno se le conoce como radio interferencia (RI).



CONDUCIDASInferior a 30 MHz

ACOPLAMIENTO REACTIVOHasta 30 MHz

RADIADASSuperior a 30 MHz

A través de cables:· De alimentación · De señal· De tierra

· Capacitivo (altas tensiones)

· Inductivo (granes corrientes)

· Intencionadas· No intecionadas

Modo común Modo diferencial

Fig. 1-2 Tipos de propagación de las interferencias electromagnéticas

Los niveles máximos permitidos de RI en las líneas de transmisión se encuentran

establecidos por diversas entidades reguladoras y desde la etapa de diseño se debe

verificar que las líneas cumplan con tales especificaciones [10] [11] [8].

1.2 Planteamiento del problema

La demanda de energía del sistema eléctrico de potencia (SEP) está en constante

crecimiento e implica un desarrollo equilibrado de aspectos tanto técnicos como

económicos de sus tecnologías. Como las líneas de transmisión de alta tensión

transportan grandes bloques de energía mediante extensas redes, se requieren niveles de

tensión cada vez más altos [9] [12]. Para el diseño, operación, mantenimiento o

adaptación de las líneas, se deben considerar un gran número de factores, entre ellos está

la presencia de la descarga corona [13], que genera varios efectos indeseables en líneas de

transmisión, uno de los más importantes es la RI.

Los sistemas que utilizan ondas electromagnéticas para intercambiar señales son cada vez

más numerosos y su interacción es más compleja, por ello, es necesario realizar estudios

rápidos y confiables para evaluar potenciales problemas. Los métodos computacionales

tienen la gran ventaja de requerir mucho menor tiempo de ejecución que los métodos

experimentales [3]. Sin embargo, es importante asegurar que el modelo computacional

que se está utilizando permita reproducir de la mejor manera el comportamiento del

sistema una vez que se encuentre en operación. Un ejemplo de estos estudios en líneas



de transmisión son los estudios de compatibilidad electromagnética. Estos estudios

implican costos adicionales en la etapa de diseño, pero reducen los problemas que

pueden aparecer durante la vida útil del sistema [10]. Además, la introducción de

tecnologías digitales ha suscitado un renovado interés en el análisis de problemas de

interferencia con líneas de transmisión [5].

La contaminación electromagnética, emitida por un sistema de transmisión de alta

tensión, se acopla con diversos sistemas e impide su correcto funcionamiento. Por lo

anterior, resulta importante determinar la magnitud de tales acoplamientos indeseables

para proceder a reducirlos en la fase de diseño o incluso cuando el sistema ya está en

operación [11]. Las mediciones de RI en estos sistemas se realizan fijando un ancho de

banda alrededor de 0.5 o 1 MHz, a pesar de que su espectro de frecuencia es mucho más

amplio [14], ya que se considera que es el intervalo de mayor influencia sobre otras

señales en las cercanías de la línea de transmisión [15]. Las corrientes de descarga corona

que originan RI tienen un comportamiento aleatorio y dependen de muchos factores

(como el clima, el estado del conductor, entre otros) por lo que se utilizan herramientas

estadísticas [15].

Hoy día se cuentan con métodos analíticos y experimentales que a pesar de ser exactos

tienen algunas limitaciones, como lo es el despreciar algunos fenómenos mediante

suposiciones que facilitan su desarrollo matemático. A pesar de que el fenómeno pelicular

en los conductores es tomado en cuenta en el método de imágenes complejas que se

considera como el método analítico en este trabajo, existen otros fenómenos que este

método no puede representar, como lo es la influencia de la distribución sobre la

corriente en los conductores aéreos y en el retorno por tierra o también el considerar

medios irregulares y no homogéneos como los diferentes estratos que componen el suelo.

1.3 Objetivo

Desarrollar una metodología empleando el método del elemento finito, para la

determinación de perfiles de RI generados por una línea de transmisión aérea de alta

tensión en presencia de la descarga corona.



1.4 Objetivos particulares

o Desarrollar una metodología para el cálculo de parámetros de líneas de

transmisión utilizando el MEF considerando el efecto piel en los conductores

aéreos y en el suelo.

o Incluir la presencia de hilos de guarda y de un suelo estratificado en el cálculo

de parámetros de líneas y en la determinación del perfil de RI.

o Evaluar los perfiles de RI por descarga corona en diferentes configuraciones

geométricas, mediante una metodología basada en el MEF.

o Comparar los resultados obtenidos utilizando la metodología basada en el MEF

con metodologías analíticas.

o Modificar la configuración geometría de una línea de transmisión minimizando

el nivel de RI.

1.5 Justificación

Actualmente, los sistemas de transmisión de alta tensión son en su mayoría aéreos

porque la tecnología subterránea resulta todavía más costosa [1]. La contaminación

electromagnética debida a sistemas de transmisión aéreos de alta tensión es un tema de

preocupación principalmente en países que no cuentan con normas que la limiten [16].

Existen instrumentos de medición de niveles de RI, pero los métodos computacionales de

predicción de RI son de gran utilidad en las etapas de diseño y planeación de líneas de

transmisión de alta tensión a ser construidas o adecuadas [9] [17] [3]. Estos algoritmos

pueden prever y explicar algunos fenómenos aportando información útil para la toma de

decisiones [9]. Además, los métodos experimentales consumen tiempo y dinero mientras

que los métodos numéricos son cada vez más rápidos y económicos conforme

evolucionan los sistemas computacionales [11].

Por otra parte, se cuentan con metodologías basadas en formulaciones analíticas para la

predicción de perfiles de RI, desarrolladas a partir de una serie de suposiciones que



desprecian algunos fenómenos físicos y limitan la configuración geométrica a casos

específicos. Una de estas metodologías es la desarrollada por Gary, la cual está basada en

la matriz de Clarke para desacoplar las fases de la línea trifásica. El método de Gary está

restringido a líneas balanceadas geométricamente. Existen otras metodologías similares a

la de Gary en las cuales, tanto para el cálculo de parámetros como para el cálculo de los

perfiles de RI, resulta complicado abordar condiciones diferentes a las consideradas como

típicas [15] [17]. El MEF tiene la ventaja de poder abordar gran variedad de fenómenos y

configuraciones sin importar la geometría o las propiedades de los materiales [18] [19]

[12] [9] [17]. Actualmente no existe en la literatura un procedimiento bien establecido

para el cálculo de perfiles de RI en líneas de transmisión aéreas de alta tensión utilizando

el método del elemento finito. Por lo que en este trabajo se desarrolla una metodología

utilizando el MEF y que permite obtener perfiles de RI de líneas de transmisión en

condiciones que no se pueden considerar en métodos analíticos.

1.6 Estado del arte

Los inicios de la investigación en el campo de la EMC se remontan a la década de los 50

donde predominó la diafonía y emisiones radiadas [5]. Desde 1958 G. E. Adams en [20]

reportó que para reducir los niveles de RI se debe limitar el gradiente de potencial

eléctrico en la superficie de los conductores, indicando que además existen otras variables

que influyen en el nivel de RI [21]. Los estudios de compatibilidad electromagnética

comenzaron en la década de 1960, con el análisis en el dominio de la frecuencia del

fenómeno de diafonía en cables [5]. Los pulsos electromagnéticos nucleares (del inglés

EMP) tomaron importancia alrededor de 1970 e impulsaron el estudio de excitación por

campo incidente de líneas de transmisión [5]. El análisis en el dominio del tiempo inició

con la llegada de la tecnología digital hacia la década de 1980. Los primeros trabajos se

enfocaron en determinar las pérdidas en las líneas proponiendo soluciones que eran

bastante simples [5]. Después de 1980, gracias al incremento en la velocidad de la

tecnología digital se agregaron las pérdidas dependientes de la frecuencia, lo que permitió

contar con modelos apropiados para considerar fenómenos transitorios [5] [4].



En la década de 1990, K. Adamiak propuso un algoritmo adaptativo para el mallado

usando el MEF y así resolver el problema de distribución de campo eléctrico en líneas de

transmisión HVDC (High Voltaje Direct Current), incluyó diferentes tipo de iones, su

dispersión y la influencia del viento [22]. Empleó diferentes métodos para modelar la

descarga corona, tales como el método de las diferencias finitas, el método de simulación

de carga (CSM por sus siglas en inglés), el método de elemento de frontera (del inglés

BEM) y el método de elemento finito (MEF) [22] . Este análisis realizado a líneas de CD no

aplica para líneas de C.A. dado que los modos de la descarga corona son distintos y

variados, pues la tensión varía con el tiempo en dirección y sentido, implicando un

proceso de ionización muy complejo y difícil de evaluar computacionalmente. Por lo

anterior, en modelos actuales se usa la función de excitación que contempla la naturaleza

aleatoria de la generación de avalanchas electrónicas que dan origen a la descarga corona.

Una de las principales referencias al estudio de la descarga corona en líneas de

transmisión se tiene en el libro de S. Maruvada [13] del año 2000, donde se describen las

técnicas analíticas más empleadas para el modelado de la descarga corona y cuenta con

cuatro partes principales. La primera trata de la evolución histórica y técnica de los

sistemas de transmisión de alta tensión y se encarga de explicar la teoría detrás de los

modelos analíticos para algunos fenómenos de la descarga corona. La segunda parte se

centra en las líneas de transmisión de C.A. mientras que en la tercera lo hace para las

líneas de C.D., para finalizar con una cuarta parte en la que se abordan temas

concernientes a mediciones experimentales. En ese mismo año Papagiannis en [23]

propuso un nuevo método para calcular la impedancia serie de una línea de transmisión

aérea en circuito simple y doble basado en el MEF. Este método puede abordar fácilmente

configuraciones con terrenos no homogéneos e irregulares.

En el año 2005 Angel Gallego en [21] planteó considerar varios parámetros para evaluar el

impacto sobre el ambiente de una configuración para línea de transmisión en circuito

simple y doble, donde se destaca el impacto por RI a 500 kHz. Analizó tres

configuraciones, la delta, la horizontal y la vertical, de las cuales los que presentan menor

nivel de RI son las dos primeras mientras que la vertical presenta las máximas. Además



comparó sus resultados con mediciones experimentales obtenidas a un metro de altura

sobre el plano de tierra. También en ese año Papagiannis [24] utilizó el MEF para evaluar

la influencia de la estratificación del dominio de tierra a diferentes profundidades en una

línea de transmisión aérea de circuito simple y otra con circuito doble, ambos con hilos de

guarda. Se hizo un barrido paramétrico desde 50 Hz hasta 1 MHz y concluyó que este

procedimiento es importante en el caso de fallas asimétricas, pero no se aplica para otro

tipo de estudios como determinar los perfiles de RI.

Presentada en el año 2008, la tesis de maestría titulada “Análisis de la Interferencia

Electromagnética por Efecto Corona en Líneas de Transmisión de Alta Tensión en C.A.” de

Carlos Tejada Martínez en la SEPI ESIME Zacatenco, muestra una metodología analítica

basada en la descomposición modal, para la determinación de los perfiles de RI de algunas

configuraciones de sistemas de transmisión de alta tensión comparándola con otro

método basado en los modos de Clarke y con mediciones experimentales, cabe señalar

que su método es considerado como el analítico para la determinación de perfiles de RI en

este trabajo. También emplea algunas técnicas de atenuación para reducir los niveles de

RI, en especial aumentar el número de conductores por haz [9].

Hasta el año 2009 en algunos países como China se comenzaron a introducir criterios para

evitar interferencia de las líneas de transmisión de C.A. con niveles de tensión de hasta

500 kV pero no para líneas HVDC de ±800 kV cada vez más comunes en ese país [25] [17].

Para abordar el tema de la contaminación electromagnética existen estudios con

perspectivas distintas, algunos buscan determinar la densidad de flujo magnético en áreas

urbanas mientras que otros se preocupan más por las zonas cercanas al derecho de vía de

los sistemas de transmisión donde se calculan los perfiles de RI [26].

En 2010 Tejada en [27] realizó la optimización escalar de una línea de transmisión de 400

kV aplicándola a tres variables de manera independiente, al radio de los conductores, al

número de conductores por haz y al espaciamiento entre conductores del haz, concluyó

que aumentar los conductores por fase y el radio del conductor reduce los niveles de RI,



sin embargo, en [13] y [21] se afirma que no resulta viable económicamente, por lo que es

necesario explorar el efecto de otras variables como la altura o espaciamiento entre fases.

En 2012 C. Munteanu y V. Topa [18] propusieron un algoritmo basado en MEF y BEM para

estudiar las tensiones inducidas, en condiciones normales y de falla, en redes de tuberías

cercanas al derecho de vía de líneas de transmisión. En ese estudio se determinaron

parámetros relacionados con la seguridad humana como son la tensión de toque, la

tensión de paso y la protección catódica usada para evitar el deterioro de las

instalaciones. Además compararon sus resultados con un paquete comercial basado en

teoría de línea de transmisión en conjunto con la teoría de circuitos, que considera

únicamente tuberías paralelas y cercanas. Ya que el MEF no tiene tales limitaciones,

podría abordar fácilmente el efecto de tuberías enterradas debajo de las líneas de

transmisión de alta tensión en la determinación del perfil de RI.

1.7 Limitaciones y alcances

Limitaciones:

o Los perfiles de RI obtenidos corresponden únicamente al caso de líneas de

transmisión de alta tensión en C.A.

o Se utilizan modelos en 2D despreciando diversos fenómenos como los efectos

de borde e irregularidades en la superficie de los conductores.

o El campo eléctrico máximo en la superficie de los conductores y la función de

excitación son calculados a partir de fórmulas obtenidas empíricamente.

o La metodología basada en el MEF no se válida con datos experimentales.

Alcances:

o Se plantea el uso del MEF para calcular el perfil de RI a partir de la distribución

de los campos electromagnéticos en 2D, con lo cual se puede considerar la

distribución geométrica real de los sistemas de distribución aéreos y



fenómenos electromagnéticos normalmente no considerados en las

formulaciones analíticas.

o Se utilizan dominios infinitos para reducir el tamaño del dominio

computacional de algunos kilómetros a tan solo doscientos metros

aproximadamente.

o Se utiliza la descomposición modal para desacoplar las fases y obtener las

corrientes debidas a la descarga corona. Se utiliza la función de excitación para

condiciones de lluvia densa. Se obtiene el perfil lateral de RI debida al efecto

corona a una frecuencia de 500 kHz.

o Se realiza la reducción del nivel de RI para una línea de transmisión de 400 kV

con configuración triangular usando herramientas de optimización vectorial.

o Se calculan las matrices de impedancia serie y admitancia en derivación de

algunas líneas de transmisión trifásica usando MEF.

1.8 Aportaciones

o Se define una metodología para determinar los perfiles de RI en líneas de

transmisión trifásica por medio del MEF. Con este método se abordan estudios

considerando fenómenos en los que las formulaciones analíticas no podrían

ser aplicables. Se compara con respecto al método analítico desarrollado en

[9].

o Se muestra una metodología para el cálculo de parámetros eléctricos de una

línea de transmisión mediante el MEF para 500 kHz, aunque no está limitada a

esta frecuencia.

o Se modifican los parámetros de la configuración geométrica de una línea de

400 kV en configuración triangular cuya función objetivo es el máximo nivel de

RI, esto permite reducir el valor máximo del perfil de RI en 10 dBμV/m.



1.9 Estructura de la tesis

o En el capítulo 1 se exponen algunos conceptos básicos de la RI debida al

fenómeno de descarga corona presente en un sistema de transmisión de alta

tensión, también se plantea el problema, los objetivos, la justificación y se

discute el estado del arte.

o En el capítulo 2 se presenta una metodología para el cálculo de parámetros de

un sistema de transmisión trifásico basada en el MEF. Los resultados se

comparan con el método de imágenes complejas.

o En el capítulo 3 se describe la metodología para determinar los perfiles de RI

por descarga corona en un sistema de transmisión de alta tensión utilizando el

MEF, para el caso monofásico y trifásico.

o En el capítulo 4 se aplica la metodología descrita en el capítulo 3 a distintos

tipos de configuración de líneas de transmisión además se compara con el

método desarrollado por Gary [28] y el descrito por C. Tejada [9]. También se

muestra un ejemplo de modificación de la configuración geométrica de una

línea que permite reducir el valor máximo de RI. Por último se aplica el MEF

para calcular parámetros de una línea con hilos de guarda y suelo estratificado,

se obtienen resultados similares usando el método de imágenes, además se

hace lo mismo para una línea en circuito doble y adicionalmente se

determinan sus perfiles de RI usando el MEF y el método de Tejada.

o En el capítulo 5 se mencionan las principales conclusiones para el cálculo de

parámetros y el cálculo de los perfiles de RI asimismo, se plantea una serie de

recomendaciones para trabajos futuros.



CAPÍTULO 2 Cálculo de parámetros de un sistema de transmisión aérea

mediante el Método del Elemento Finito

2.1 Introducción

Existe gran interés a nivel mundial en el conocimiento preciso de los parámetros eléctricos

dependientes de la frecuencia ya que se considera que al utilizarlos en los modelos de

línea de trasmisión aérea es posible obtener resultados más precisos y confiables [29] [30]

[31]. El modelo puede ser para análisis de transitorios electromagnéticos o para estudios

tales como: el diseño de aislamientos, estimación de elevación de potencial de tierra,

calidad de la energía (armónicos, resonancia, tensiones no sinusoidales), estudios de

compatibilidad electromagnética, entre otros [29]. En el caso de los estudios de

compatibilidad electromagnética se destaca la determinación de perfiles de RI que es el

objetivo principal de este trabajo y requiere del conocimiento preciso de la matrices de

impedancia serie de la línea (𝑍 = R + jωL) y de admitancia en derivación (𝑌 = 𝑗𝜔𝐶), ver

Fig. 2-1.

𝑅3∆𝑧

𝑅2∆𝑧

𝑅1∆𝑧

𝐿12∆𝑧

𝐿33∆𝑧

𝐿22∆𝑧

𝐿11∆𝑧 𝐿13∆𝑧

𝐿23∆𝑧 𝐶33∆𝑧

𝐶22∆𝑧

𝐶11∆𝑧

𝐶23∆𝑧

𝐶12∆𝑧

𝐶13∆𝑧

∆𝑧

Fig. 2-1 Elemento infinitesimal que representa a los parámetros eléctricos propios y mutuos del caso trifásico de la línea de transmisión aérea



Los métodos analíticos clásicos empleados para determinar los valores de impedancia

serie están basados en fórmulas aproximadas como las series de Carson [32] y Pollaczek

[33]. Su exactitud para un amplio intervalo de frecuencias es buena pero suelen ser

difíciles de evaluar ante distintas condiciones geométricas como son las irregularidades

del terreno o de los conductores. El método analítico considerado en este trabajo para

determinar parámetros eléctricos (ver anexo B) [34], es el método de imágenes complejas,

que para incluir el efecto pelicular supone que las corrientes de retorno por tierra se

concentran en una superficie plana ficticia, paralela al plano de tierra, con una

profundidad determinada. Además considera que el suelo es semi-infinito y homogéneo

en todas sus direcciones.

En las últimas décadas se ha explorado la aplicación del MEF, el cual es un método

numérico que resuelve las ecuaciones diferenciales parciales asociados a los fenómenos

electromagnéticos a través de la determinación de la distribución de potenciales escalar

eléctrico y/o vectorial magnético [35] [30] [36]. El MEF se puede aplicar a configuraciones

con geometrías complejas más fácilmente que los métodos clásicos, además puede tomar

en cuenta estratos del suelo con diferentes propiedades eléctricas e incluir los efectos piel

y de proximidad. Por estas características se considera que con el MEF es posible

determinar una distribución más real de la corriente sobre los medios conductores, con lo

que se pueden obtener parámetros más aproximados a los valores reales [37].

En este capítulo se mostrará el procedimiento para el cálculo de parámetros para una

línea de transmisión trifásica con dos conductores por fase empleando el MEF, la

geometría es tomada de la referencia [38] y se presenta en Fig. 2-2. Cada conductor tiene

un radio de 1.58 cm y están separados 40 cm, el espaciamiento entre fases es de 10 m, la

altura para las fases laterales es de 16 m, mientras que para la fase central la altura es de

19.75 m. La resistividad de la tierra, del conductor aéreo de aluminio y del aire así como

sus demás propiedades eléctricas se muestran en la Tabla 2-1.



La matriz de impedancia serie a 500 kHz, considerando pérdidas en la tierra, que se

obtiene aplicando el método de las imágenes complejas se presenta en la ecuación ( 2-1 ),

además coincide con los resultados de [38].

19

.75

[m]

R .0158[m]

0.4[m]

0.4[m]

0.4[m]

10[m] 10[m]1

6[m

]

16

[m]

ALUMINIO

AIRE

TIERRA

Fig. 2-2 Configuración geométrica de una línea trifásica con dos conductores por fase [38]

Tabla 2-1 Materiales usados en las simulaciones y sus características eléctricas

Parámetro constitutivo del material Tierra Aire Aluminio

Resistividad[Ω𝑚] 100 ∞ 3.21𝑥10−8

Permitividad relativa 1 1 1

Permeabilidad relativa 1 1 1

𝑍 = [ 0.1156 + 3.9075i 0.0983 + 0.8971i 0.0905 + 0.4993i0.0983 + 0.8971i 0.0977 + 4.0147i 0.0983 + 0.8971i0.0905 + 0.4993i 0.0983 + 0.8971i 0.1156 + 3.9075i

] [Ω

𝑚] ( 2-1 )



2.2 Método de la impedancia compleja para el cálculo de la

impedancia serie

En este caso se utiliza el MEF y se supone una geometría 2D, un modo cuasiestacionario

en el dominio de la frecuencia a 500 kHz. En la frontera de simulación se asegura la

continuidad de la componente tangencial de 𝐴, adicionalmente las condiciones iniciales

para 𝑉 y 𝐴 son iguales a cero en todos los dominios. Las propiedades eléctricas de los

materiales fueron tomadas de la Tabla 2-1. El mallado consiste de elementos triangulares

en 2D, sus dimensiones dependen de la profundidad de penetración en los materiales

conductores. Es por ello que la profundidad de penetración en el domino de tierra ayuda a

establecer el valor del radio de domino computacional mientras que la profundidad de

penetración en el aluminio establece las dimensiones máximas permitidas para los

elementos triangulares del mallado, ver Fig. 2-5. El tamaño máximo para los elementos

triangulares de los conductores aéreos es aproximadamente de 50 µm, esto corresponde

a la profundidad de penetración del aluminio (𝛿min ) mientras que para el dominio de

tierra es de 0.8 m, ver Fig. 2-3. Se utilizan elementos infinitos en una franja que envuelve a

todos los dominios de simulación para considerar la condición de fronteras abiertas. La

frontera externa se considera con campo magnético igual a cero en todas sus

componentes. Los conductores de las fases no excitadas no se consideran, haciendo su

corriente igual a cero.

Para excitar a los conductores se usan las corrientes externas definidas por las ecuaciones

( 2-2 ) y ( 2-3 ), la primera se aplica a los conductores aéreos mientras que para el dominio

de tierra se aplica la segunda además, se usa el valor de 1 V para 𝑉𝑎𝑝𝑝.

𝐽𝑒𝑥𝑡𝑐 =𝜎𝑐𝑉𝑎𝑝𝑝

2𝜋𝑟𝑤

( 2-2 )

𝐽𝑒𝑥𝑡𝑡 =−𝜎𝑐𝑉𝑎𝑝𝑝

2𝜋𝑟𝑠2

( 2-3 )



La impedancia serie de la línea de transmisión se determina aplicando la ecuación ( 2-4 )

de manera secuencial, el índice 𝑖 indica la fase donde se induce la corriente y el índice 𝑗 la

fase donde se excita con una corriente externa (ecuación ( 2-2 )).

𝑍𝑖𝑗 =𝐼𝑠𝑖

𝐼𝑗𝜎𝑐(𝜋𝑟𝑤2)

( 2-4 )

Además 𝐼𝑗 es la corriente total en la j–ésima fase y 𝑟𝑤 el radio del conductor. Cabe señalar

que 𝐼𝑠𝑖 se calcula integrando en la fase i-ésima la densidad de corriente total 𝐽𝑖 más la

densidad de corriente de eddy (𝐽𝑖 + 𝜎𝑐𝑗𝜔𝐴𝑧𝑖) donde 𝐴𝑧 es el potencial vectorial

magnético en su componente Z. En la ecuación ( 2-5 ) se muestra la matriz de impedancia

serie mediante el MEF.

𝒁 = [0.15192 + 4.01164i 0.13982 + 1.01874i 0.12847 + 0.59829i0.13982 + 1.01874i 0.14013 + 4.31556i 0.13982 + 1.01874i0.12847 + 0.59829i 0.13982 + 1.01874i 0.15192 + 4.01164i

] [𝛀

𝒎] ( 2-5 )

Dominio con elementos infinitos

Dominios de aire

Conductores de fase

Dominios de tierra

Fig. 2-3 Mallado del dominio computacional para la terminación de la impedancia para la línea trifásica considerada en este capítulo.



2.3 Inductancia

Para el cálculo de la inductancia se considera una frecuencia de 500 kHz y se utiliza el

radio medio geométrico, ecuación ( 2-6 ), que sustituye el haz de conductores por un solo

conductor, por ello, en esta sección se considera de forma indistinta el término conductor

y fase.

𝑅𝑀𝐺 = √𝑛ℎ𝑎𝑧𝑅ℎ𝑎𝑧

(𝑛ℎ𝑎𝑧−1)𝑟𝑤

1𝑛ℎ𝑎𝑧

( 2-6 )

Con 𝑛ℎ𝑎𝑧 número de conductores por haz, 𝑟𝑤 el radio de conductor y 𝑅ℎ𝑎𝑧 el radio de haz

de conductores, ver Fig. 2-4. Además se considera la inductancia combinada 𝐿 = 𝐿𝑔 + 𝐿𝑒𝑐

, donde 𝐿𝑔 es la inductancia geométrica y 𝐿𝑒𝑐 es la inductancia interna del conductor

definida en la ecuación ( B-1 ) en el anexo B.

altu

ra h

az[m

]

Radio de haz [m]

Radio de conductor [m]

Fig. 2-4 Perfil transversal de un haz de conductores igualmente espaciados entre sí y con el mismo radio de haz



2.3.1 Método de la energía

Para calcular la matriz de inductancias 𝐿 usando el método de la energía se utiliza

nuevamente un conductor como equivalente del haz de conductores con radio

geométrico igual al de la fórmula ( 2-6 ). Para el modelo en MEF se usa un dominio

computacional 𝑟𝑠 de 200 m, véase Fig. 2-5, para la tierra una conductividad de (1/100) S/m

y para el conductor de 3.1153x107 S/m. Se define una densidad de corriente en los

conductores con la fórmula ( 2-2 ) y para el dominio de tierra con la fórmula ( 2-3 ).Se

considera un caso simétrico, en el cual las fases de los extremos son iguales y por lo tanto

la matriz 𝐿 también es simétrica, esto ayuda a reducir los tiempos de cómputo implicando

que no se realizan las nueve simulaciones para llenar a la matriz de 3 por 3.

altu

ra [

m]


AIRE

TIERRA

Dominio infinito

Dominio computacional

Fig. 2-5 Dominios computacional para el caso monofásico de una línea de transmisión aérea.



Durante las simulaciones se consideran todos los conductores, se integra la corriente en el

dominio del conductor correspondiente y para los elementos propios de la matriz 𝐿 se

aplica la ecuación ( 2-7 ).

𝐿𝑖𝑖 = |4𝑤𝑖

𝐼𝑖| ( 2-7 )

Donde 𝑤𝑖 representa la energía magnética integrada en el domino de aire y de los

conductores no excitados, se excita en el conductor i-ésimo e 𝐼𝑖 es su corriente total

integrada. Para el caso monofásico se aplica únicamente la ecuación ( 2-7 ). Para los

elementos mutuos, la ecuación ( 2-8 ).

𝐿𝑖𝑗 = |𝑤𝑖𝑗 −

12𝐿𝑖𝑖𝐼𝑖

2 −12𝐿𝑗𝑗𝐼𝑗

2

𝐼𝑖𝐼𝑗|

( 2-8 )

Donde 𝑤𝑖𝑗 representa la energía magnética integrada en el domino de aire y de los

conductores no excitados, cuando se excitan las fases 𝑖 y 𝑗. Cuando se excita en el

conductor i-ésimo se obtiene 𝐿𝑖𝑖, mientras que 𝐿𝑗𝑗 es la inductancia propia del conductor

j-ésimo. La corriente total integrada en el conductor i-ésimo es 𝐼𝑖, mientras que 𝐼𝑗 es la

corriente integrada en el conductor j-ésimo. En la ecuación ( 2-9 ) se presenta la Matriz de

inductancia geométrica obtenida mediante MEF y método de la energía.

𝐿𝑔 = [0.1210 0.0392 0.00960.0392 0.1241 0.0373 0.0096 0.0373 0.1210

] 1𝑥10−05 [𝐻

𝑚] ( 2-9 )

2.3.2 Matriz de inductancia geométrica a partir de la matriz de capacitancia

A una frecuencia de 500 kHz los materiales conductores se comportan como aislamientos

magnéticos porque la penetración del flujo magnético es tan pequeña que se puede

despreciar. Se considera el flujo magnético únicamente en el aire y se puede aplicar la

ecuación ( 2-10 ). Con base en esto es posible determinar la matriz 𝐿𝑔 para el ejemplo

mostrado en este capítulo partiendo de la matriz de capacitancia C [34] [39].



𝐿𝑔 = 휀0𝜇0𝐶−1 ( 2-10 )

Debido a que las matrices de capacitancia obtenidas por los métodos analíticos y MEF son

casi iguales, valores que se presentan en la siguiente sección, también lo son sus matrices

de inductancia geométrica, para este ejemplo la matriz de inductancia obtenida con la

ecuación (2-10) a partir de la matriz de capacitancias se muestran en la ecuación ( 2-11 ).

𝐿𝑔 = [0.1200 0.0249 0.01270.0249 0.1242 0.0249 0.0127 0.0249 0.1200

] 1𝑥10−05 [H

𝑚] ( 2-11 )

2.4 Capacitancia

Para calcular la matriz de capacitancias 𝑪 en base al MEF se utilizan dos métodos, el de la

energía y el de la carga considerando un modelo electrostático. En este caso resulta

suficiente con elegir un mallado fino en toda la geometría. Las geometrías para el caso

monofásico y trifásico se presentan en la Fig. 3-2 y en la Fig. 3-5 respectivamente.

2.4.1 Método de la carga

Al usar el método de la carga, las entradas de la matriz 𝐶 se calculan usando:

𝐶𝑖𝑗 =𝑞𝑗

|𝑉𝑎𝑝𝑝𝑖| ( 2-12 )

Donde 𝑞𝑗 es la carga integrada en la superficie de los conductores de la fase 𝑗 al excitar

con la tensión 𝑉𝑎𝑝𝑝𝑖 a la fase 𝑖. Nótese que cuando 𝑖 = 𝑗 la entrada 𝐶𝑖𝑗 corresponde a los

valores propios, en caso contrario se tienen los mutuos y cuando se trata del caso

monofásico, la ecuación ( 2-12 ) se aplica solamente una vez reduciéndose a:

𝐶 =𝑞

|𝑉𝑎𝑝𝑝|



2.4.2 Método de la energía

Al usar el método de la energía, los elementos propios de la matriz 𝐶 se calculan usando:

𝐶𝑖𝑖 =2𝑤𝑒𝑖

|𝑉𝑎𝑝𝑝𝑖|2 ( 2-13 )

Donde 𝑤𝑒𝑖 se obtiene de integrar la densidad de energía eléctrica en los dominios de aire

cuando se excita en la fase 𝑖 con 𝑉𝑎𝑝𝑝, el resto de los conductores no energizados se

ponen a tierra. Nótese que para el caso monofásico solo se emplea esta fórmula con el

único índice 𝑖 = 1. Mientras que los elementos mutuos se determinan con:

𝐶ij =𝑤ij −

12𝐶i𝑉i

2 −12𝐶j𝑉j

2

𝑉𝑖𝑉𝑗 ( 2-14 )

Donde 𝑤ij es la energía eléctrica debida a ambos conductores excitados e integrada en el

domino de aire, la tensión en conductor i-ésimo es 𝑉𝑖 mientras que en el conductor j-

ésimo es 𝑉2. Las capacitancias propias 𝐶1 y 𝐶2 deben ser calculadas previamente. La

energía es calculada mediante el MEF considerando un campo electrostático y excitando

con una tensión de 1 V en cada una de las fases a la vez, para obtener la matriz de

capacitancias completa 𝐶 .

Las matrices de capacitancia obtenida por medio de la energía utilizando el MEF y por el

método de imágenes son prácticamente las mismas, la matriz obtenida se puede ver en

la ecuación ( 2-15 ).

𝐶 = [0.9709 −0.1818 −0.0650−0.1818 0.9678 −0.1818 −0.0650 −0.1818 0.9709

] 1𝑥10−11 [F

𝑚] ( 2-15 )



CAPÍTULO 3 Determinación de perfiles de radio interferencia para sistemas de

transmisión de alta tensión

3.1 Introducción

El incrementar los niveles de tensión en los sistemas de transmisión en C.A. tiene muchas

ventajas, pero también inconvenientes como la presencia de la descarga corona,

fenómeno que implica pérdidas de potencia, contaminación al medio audible y

electromagnético, distorsión de ondas, entre otros efectos. Por lo tanto, la influencia de

las emisiones electromagnéticas de una línea de trasmisión se debe estudiar desde las

fases de diseño para evitar futuros problemas de compatibilidad con otros sistemas como

los de telecomunicaciones [13]. La descarga corona tiene un amplio contenido armónico

que puede alcanzar frecuencias de hasta 3 MHz, sin embargo, los dispositivos de medición

solo pueden realizar mediciones en un intervalo angosto de frecuencias y la literatura

marca que las mediciones se hacen a 500 kHz o a 1 MHz [4]. El perfil de RI corresponde a

el campo eléctrico en su componente vertical, pero dado que su magnitud varía desde los

𝜇𝑉

𝑚 hasta cientos de

𝑉

𝑚, se usan los valores en decibeles con base a 1

𝜇𝑉

𝑚, lo que permite

compactar y representar la información [9]. La RI en las líneas de transmisión debida a la

descarga corona se caracteriza bajo condiciones ambientales desfavorables como lluvia

densa (1 a 20 mm/hr), porque así las fuentes de descarga se distribuyen uniformemente a

lo largo de la línea y el valor de RI alcanza sus valores máximos [9] [40].

La descarga corona presenta distintos modos en función del nivel y tipo de tensión

aplicada (ver anexo A). Para C.A., en cuanto se alcanza la tensión de inicio se detectan los

modos de streamer tipo Trichel en el semiciclo negativo y streamers de inicio en el

semiciclo positivo, ver Fig. 3-1. Los pulsos Trichel son de mayor frecuencia que los

streamers de inicio pero de menor amplitud, es por eso que estos últimos se consideran

como la fuente principal de RI. Los streamers de inicio pueden llegar a tener una amplitud

de hasta 50 mA, con una duración aproximada de 250 ns y frecuencias de repetición de

hasta 5 mil pulsos por segundo. La descarga corona se modela como un tren de pulsos de



corriente que se inyectan en un punto y se divide en dos partes que viajan en direcciones

opuestas atenuándose hasta desaparecer debido a las pérdidas de la línea. Estos pulsos

generan corrientes inducidas de menor amplitud en todos los demás conductores de la

línea [9].

Fig. 3-1 Forma de onda de un streamer de inicio medido en [41].

Para representar la naturaleza aleatoria de este fenómeno se usa la función de excitación

que es independiente de la geometría de la configuración y depende de la carga espacial

generada por la descarga corona y de su velocidad. Dado que estas cantidades son difíciles

de obtener analíticamente, se utilizan fórmulas empíricas. Para este trabajo se utilizó la

fórmula BPA, ver Tabla C-1, que supone un ambiente desfavorable y sostenido [9] [20].

En esta sección se presenta una metodología para calcular los perfiles de RI de los casos

monofásico y trifásico basada en el MEF. Se presentan los diagramas de flujo para ambos

casos en la Fig. 3-3 y en la Fig. 3-6 donde se observa que, para el caso trifásico, se requiere

utilizar descomposición modal para desacoplar las fases y caracterizar la propagación de

los pulsos asimismo el vector de función de excitación se suma al final, antes de aplicar el

criterio CISPR (que se describirá más adelante), mientras que en el caso monofásico esta

se aplica desde el cálculo de inyección de corrientes.



3.2 Caso monofásico

En la Fig. 3-2 se presenta la configuración geométrica para la simulación con MEF de una

línea monofásica, para esto se requiere de una serie de pasos que se describen en la Fig.

3-3, donde se presentan tres procesos principales. El primero consiste en el cálculo de la

impedancia y admitancia con el método de imágenes, posteriormente se emplea el

teorema de Shockley-Ramo para obtener la corriente corona de inyección y caracterizar la

propagación del pulso en la línea a partir de 𝑍 y 𝑌.

altu

ra [

m]


Fig. 3-2 Vista transversal de una línea de transmisión aérea monofásica

Finalmente para el cálculo de la función de excitación se usa la ecuación ( 3-1 ) que

corresponde a la fórmula empírica para un caso desfavorable BPA [9], otras ecuaciones

para la función de excitación se presentan en la Tabla C-1 del anexo C. Es necesario

conocer de antemano el diámetro del conductor 𝑑 en cm y el campo eléctrico máximo 𝑔𝑚

en la superficie del conductor en kV/cm además, 𝑔𝑚 se calcula con la ecuación (C-32).

𝐹𝐸𝑑𝐵 = 37.02 + 120 log10 (𝑔𝑚

15) + 40 log10 (

𝑑

4) ( 3-1 )

El campo magnético en su componente horizontal se calcula a la altura del plano de tierra

a partir de la corriente corona de inyección y de la ley de Ampere. Suponiendo un modo

de propagación cuasi TEM se obtiene el campo eléctrico en su componente vertical, para

finalizar, se transforma la magnitud a decibeles sobre µV/m. Aquí es necesario introducir

una línea imaginaria sobre el plano de tierra en la cual se evalúa el campo magnético.



Cálculo de parámetros

Se aplica el método de imágenes complejo

Impedancia serie· Z=Zg+Zt+Zc

Admitancia en derivación

· Y=j*w*C

Cálculo de función de excitación en

[dBµV/m ]

Cálculo de Hx considerando profundidad

de penetración en tierraDebida a corriente en

conductor aéreo

Cálculo de Ey en dB a partir de Hx

Cálculo de constantes de propagación y atenuación a

partir de ZYCálculo de corriente inyectada

debido a descarga corona

Usando formula empírica

BPA

FEdB

I en dominio de fases

Conversión a dB y adición de FEdB

Perfil de RI

Método de predicción del perfil de RI para una línea de transmisión aérea monofásica A

la altura del plano de tierra· Dimensiones geométricas · Propiedades constitutivas de

materiales · Constantes fundamentales· Frecuencia

· Tensión línea [KV]· Gradiente de potencial

eléctrico máximo en superficie del conductor

· Diámetro conductor en [cm]

· Distancia lateral

Fig. 3-3 Diagrama de flujo para el caso monofásico, donde se divide en tres procesos

principales: el cálculo de parámetros, cálculo de la función de excitación y cálculo del

perfil de RI.

3.2.1 Condiciones empleadas en las simulaciones

No se considera el material del conductor aéreo debido a que la corriente obtenida

mediante la descomposición modal incluye implícitamente la impedancia del conductor

en las matrices de impedancia y admitancia necesarias en el método. Las propiedades

eléctricas para los demás dominios se presentan en la Tabla 2-1.




del suelo.

A pesar de que a 500 kHz el MEF necesita un tamaño máximo para los elementos

triangulares de 10 μm, en este trabajo fue suficiente usar 1 mm para todos los casos. Lo

cual reduce dramáticamente el tiempo de elaboración del mallado y por consiguiente el

de simulación. Se colocan puntos en el plano de tierra justo debajo del conductor en el eje

X [−20 m,−15 m, 0 m, 15 m, 20 m] para asignar un mallado más fino, correspondiente a

la profundidad mínima (𝛿min) para el terreno, con una resistividad de 100 Ωm. En las

líneas limitadas por los puntos de -15 a 15 m se asignó un tamaño de elemento máximo

de 0.1 m y de 0.2 m para las líneas que van de -20 a -15 m y de 15 a 20 m.

El plano de tierra divide horizontalmente al dominio computacional en dos partes iguales

y cruza por el origen de las coordenadas. La mitad inferior corresponde al dominio de

tierra que se divide en 3 partes con 2 líneas horizontales colocadas a -10 m y -30 m de la

superficie. A cada sección se le asignan distintos valores de tamaño máximo para los

elementos triangulares que constituyen el mallado, en la sección más cercana al plano de

tierra se asignó 0.4 m, 2 m para la sección intermedia y 10 m para la inferior.

3.2.3 Condiciones iniciales y de frontera

Debido a que el MEF resuelve una ecuación diferencial parcial derivada de la continuidad y

la ley de ampere, se necesitan las condiciones iniciales y de frontera para el vector

potencial magnético y el potencial escalar eléctrico que solucionan esa ecuación. Para los

valores iniciales en todos los dominios se suponen cero las componentes de 𝐴 y cero para

𝑉 [23]. Respecto a las condiciones de frontera se asegura la continuidad de la componente

tangencial de 𝐴 en las fronteras del dominio de simulación además se agrega una

densidad de corriente externa en el dominio del conductor aéreo.



3.2.4 Cálculo del Perfil de RI

La densidad de corriente en el conductor aéreo mencionada al final de la sección anterior

corresponde a la corriente de corona inyectada que se obtiene de la ecuación ( 3-5 ). De

donde 𝐽 depende de la capacitancia geométrica 𝐶𝑔 y de la función de excitación (𝐹𝐸)

como se muestra en la ecuación ( 3-4 ). La constante de atenuación ∝, se calcula a partir

de las matrices de impedancia y admitancia, ver ecuación ( 3-2 ), además la función de

excitación se transforma de valores en dBμV/m a μV/m en ( 3-3 ).

∝= 𝑟𝑒𝑎𝑙(√𝑍𝑌) ( 3-2 )

𝐹𝐸 = 10𝐹𝐸𝑑𝐵20 ( 3-3 )

𝐽 = 𝐶𝑔𝐹𝐸

2𝜋𝜀0 ( 3-4 )

𝐼 =𝐽

2√∝ ( 3-5 )

A 500 kHz se obtiene la componente en X del campo magnético. En la Fig. 3-4 se observan

corrientes inducidas en el dominio de tierra. Para obtener la componente en el eje Y del

campo eléctrico se multiplica el perfil obtenido por la impedancia de vacío por suponerse

el modo cuasi TEM y por último se convierte a dBμV/m, el perfil de RI de un caso

monofásico se ve en la Fig. 4-1 de la siguiente sección.

Con esta metodología se considera la distribución de la corriente inducida en el dominio

de tierra debido a la corriente en el conductor aéreo, ver Fig. 3-4, se observa que se

concentra justo debajo del conductor aéreo excitado, mientras que en las formulaciones

analíticas se considera que esta distribución es uniforme a lo largo de una banda

adyacente y paralela al plano de tierra [34].



Fig. 3-4 Distribución de la densidad de corriente en A/𝑚2 en el domino de tierra para caso monofásico a 500 kHz

3.3 Caso trifásico

En la Fig. 3-5 se observa la configuración para la simulación con MEF de una línea trifásica,

el procedimiento es casi idéntico al presentado para el caso monofásico. El diagrama de

flujo del procedimiento se muestra en la Fig. 3-6. Se observa que la inductancia y

capacitancia son matrices (𝐿 y 𝐶 respectivamente), la función de excitación es un vector

cuyas entradas se suman a los perfiles de RI de cada fase, además se utiliza la

descomposición modal para calcular las corrientes inducidas en los demás conductores

debido a la descarga corona en una de las fases. Las propiedades de los materiales son las

mismas que para el caso monofásico.



Alt

ura

_2 [

m]

R_conductor [m]

Alt

ura

_1 [

m]

Alt

ura

_3 [

m]

Distancia_fases [m]Distancia_fases [m]

Fig. 3-5 Vista transversal de una línea trifásica aérea con un conductor por fase.


del suelo.

El mallado depende de profundidad de penetración en materiales conductores. Similar al

caso monofásico, pero se agregan las otras dos fases como se muestra en Fig. 3-5. El

mallado tiene elementos triangulares de tamaños extremadamente diferentes (desde el

orden de μm hasta algunos metros). Por lo anterior se agregan subdominios de mallado

que rodean a los elementos con mallados más finos como los conductores aéreos.

3.3.2 Condiciones iniciales y de frontera

Este paso es idéntico al monofásico, no obstante se tienen al menos 3 dominios que

corresponden a los conductores aéreos a los que se les inyecta una densidad de corriente

externa.



Cálculo de parámetros

Usando fórmula empírica

BPA

vectorFEdB

Descomposición modal

Cálculo de función de excitación en

[dBµV/m] para cada fase

Cálculo de Hx considerando profundidad de penetración en tierra,

debida a las corrientes de las tres fases para cada modo

Se aplica el método de imágenes complejo

Aplicación de criterio CISPR para los tres perfiles Ey

en dB

Cálculo de Ey en dB a partir de Hx

Cálculo de corriente inyectada debido a descarga

coronaExcitando solamente una

fase a la vez

Modo quasi-TEM

Matriz de corrientes en el

dominio de fases

Método analítico de predicción del perfil de

RI para una línea de transmisión aérea

trifásica

Perfil de RI

· Dimensiones geométricas · Propiedades constitutivas de

materiales · Constantes fundamentales· Frecuencia

· Tensión línea [KV]· Gradiente de potencial

eléctrico máximo en superficie del conductor

· Diámetro conductor en [cm]

· Distancia lateral

Fig. 3-6 Diagrama de flujo para el caso trifásico, donde se divide en tres procesos

principales: el cálculo de parámetros, cálculo de la función de excitación y cálculo del

perfil de RI



3.3.3 Cálculo del Perfil de RI

Este caso es un poco más complicado, aunque se supone que la descarga corona se

origina en una fase en el semiciclo positivo al igual que en el caso monofásico, al existir

más de una fase, se inducen corrientes en todos los conductores de las demás fases

debido a los acoplamientos. Las densidades de corriente inyectadas en los conductores

aéreos están en el dominio de fases y son obtenidas mediante la descomposición modal

de la cual se obtiene una matriz de 3 por 3 que representa a las corrientes en los

conductores, donde cada una de sus columnas representa un modo de propagación y sus

filas a las fases A, B y C respectivamente. Por lo tanto, cada simulación consiste en

inyectar las tres corrientes de cada columna al mismo tiempo para obtener un perfil de 𝐻𝑥

a la altura del suelo, En consecuencia para simular en MEF se necesitan 9 simulaciones, 3

de ellas por cada fase donde se supone se origina la descarga corona, estas 3 simulaciones

corresponden a 3 modos de propagación que desacoplan las fases.

Posteriormente el vector de 𝐻𝑥 de cada modo se multiplica por 𝑍0 y así se obtiene Ey de

cada modo de propagación en μV/m. Una vez que se tienen los tres perfiles se elevan al

cuadrado, se suman y se obtiene la raíz cuadrada, ver ecuación (3-6) , lo cual se justifica en

que las velocidades de propagación de cada modo son iguales, estos perfiles se pueden

observar en las Fig. 3-7, Fig. 3-8 y Fig. 3-9, se obtiene el perfil Ey𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 para cada una de las

tres fases (perfil color rosa con la etiqueta: adición cuadrática) que representa la RI debida

a una inyección de corriente de corona en una fase. El índice 𝑘 toma valores de 1 a 3 y

representa a cada modo.

.

Ey𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= √∑|𝐸𝑦,𝑘|

2𝑛

𝑘=1

(3-6)

Para pasar estos vectores a valores en dBμV/m se usa la ecuación (3-7) [9] [13] [28] que

también considera la adición de los valores del vector de función de excitación a cada uno



de los tres vectores Ey𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑓𝑎𝑠𝑒 , con el índice 𝑓𝑎𝑠𝑒 que toma valores enteros de 1 a 3. La

función de excitación fue calculada previamente con la ecuación ( 3-1 ), igual que el caso

monofásico, cabe señalar que 𝑔𝑚 para este caso es un vector con tres entradas. Además

como la función de excitación tiene unidades en dBμV/m esta suma considera al tren de

pulsos aleatorios debido a múltiples inyecciones de corrientes de corona uniformemente

distribuidas y propagándose a lo largo de la línea de transmisión. Finalmente se aplica el

criterio establecido por la CISPR (ver anexo C), a los tres perfiles finales para considerar el

peor nivel de RI posible, esta gráfica se presenta en los casos de la siguiente sección.

Ey𝑑𝐵𝑓𝑎𝑠𝑒 = 20 log (Eytotalfase) + Γ(fase) (3-7)

Fig. 3-7 Modos de propagación para Ey en μV/m excitando con la corriente de descarga

corona en la fase A

-150 -100 -50 0 50 100 150-30

-20

-10

0

10

20

30

Distancia lateral [m]

E [

mic

rovolts/m

]

modo 1

modo 2

modo 3

adición cuadrática




corona en la fase B


corona en la fase C

-150 -100 -50 0 50 100 150-5

0

5

10

15

20


E [

mic

rovolts/m

]

modo 1

modo 2

modo 3


-150 -100 -50 0 50 100 150-30

-20

-10

0

10

20

30


E [

mic

rovolts/m

]

modo 1

modo 2

modo 3




CAPÍTULO 4 Resultados

4.1 Introducción

En este capítulo se presentan los perfiles de RI obtenidos mediante la metodología basada

en el MEF presentada en el capítulo anterior y son comparadas con la metodología

desarrollada por Gary para líneas balanceadas en [28] y con el método basado en la

descomposición modal utilizado por C. Tejada en [9]. Se presenta el caso monofásico y

nueve configuraciones distintas para el caso trifásico. Además se presenta un caso de

modificación de parámetros geométricos en la configuración de una línea de 400 kV con el

objetivo de reducir el nivel de RI. Finalmente se presentan dos casos de cálculo de

parámetros uno de ellos con determinación de perfiles de RI considerando los hilos de

guarda y suelo multicapas.

4.2 Caso monofásico

En la Fig. 3-2 de la sección 3.2, se observa una configuración geométrica de línea

monofásica, para este caso se considera el conductor con radio de 0.01 m y sus

coordenadas son 0 m en el eje X y 15 m en el eje Y, además tiene una tensión de 290 kV.

Se considera un caso cuasiestacionario en el dominio de la frecuencia a 500 kHz, las

propiedades de los diferentes materiales considerados en la simulación son los que se

presentan en la Tabla 2-1. El perfil se muestra en la Fig. 4-1 donde se compara con la

metodología analítica, se observa que las curvas coinciden en la forma del perfil aunque

en el valor máximo y en los extremos presentan una diferencia que no supera los 3

dBμV/m. El mayor valor de RI se alcanza a 0 m con aproximadamente 103 dBμV/m.



Fig. 4-1 Comparación de resultados de perfiles de RI obtenidos para caso monofásico con 290 kV

4.3 Caso trifásico

Se grafican tres perfiles para todas las configuraciones, uno obtenido por un método

desarrollado por Gary identificado por una línea continua azul, la línea descontinua en

color rojo corresponde al método presentado por C. Tejada en [9] y la línea continua

verde identifica al método basado en el MEF presentado en este trabajo. Como algunos

perfiles de RI resultan asimétricos con respecto al eje Y, el perfil toma valores en el eje X

desde -150 m hasta 150 m a pesar de que en la literatura se suele presentar solo la mitad

positiva, de 0 a 150 m. Los niveles máximos de RI se presentan justo debajo de las fases y

en la mayoría de los casos se presenta un pico en el centro del perfil. En las figuras de esta

sección se incluyen las posiciones del haz de conductores para cada fase con la leyenda

“fases”, sus coordenadas están en metros y la escala se muestra en la parte derecha de las



gráficas mientras que en el eje coordenado de izquierda se encuentra la escala

correspondiente a la RI en dBμV/m.

El método desarrollado por Gary en [28] [42] usa la matriz de modos de Clarke para

desacoplar las fases, pero se supone que la línea de transmisión está balanceada. Por lo

tanto, en configuraciones no simétricas el perfil obtenido resulta diferente hasta por 10

dBμV/m con respecto a los obtenidos por C. Tejada en [9], donde se demuestra que su

método es más próximo a la realidad y puede estudiar distribuciones geométricas no

simétricas, por ejemplo ver Fig. 4-12 y Fig. 4-13. Lo anterior es posible debido a que el

método de Tejada utiliza la descomposición modal para desacoplar las fases de la línea de

transmisión trifásica y tratarlas como monofásicas independientes sin restringirse a líneas

balanceadas.

4.3.1 Caso trifásico 225 kV configuración triangular

En este caso, se considera la configuración triangular mostrada en la Fig. 4-2, con una

tensión de línea de 225 kV y un radio del conductor de 0.0132 m. El número de

conductores por fase es de uno y las coordenadas para el haz de conductores por fase

son: en X [5.5 m, 0 m, −5.5 m] y en Y [15 m, 16.5 m, 15 m]. Hay una diferencia máxima de

5 dBμV/m en los extremos entre el MEF y el método propuesto por Tejada. El máximo

valor de RI se alcanza en los puntos +10 m y -10 m con 62 dBμV/m. Dentro de los primeros

30 m a partir del origen, la diferencia entre el MEF y la descomposición modal es inferior a

1 dBμV/m, mientras que entre el MEF y el método de Gary hay una diferencia de más de

2 dBμV/m en la misma zona.



Fig. 4-2 Perfiles de RI y configuración geométrica de una línea de transmisión aérea trifásica de 225 kV

El perfil en la figura anterior es obtenido mediante el MEF pero el cálculo de parámetros

se hace con el método de imágenes, entonces se usa el MEF con las mismas condiciones

para determinar la matrices de impedancia y admitancia, mostradas en las ecuaciones ( 4-

1 ) y ( 4-2 ), posteriormente son usadas para determinar el perfil de RI de la línea de 225

kV. En la Fig. 4-3 se muestran los perfiles de RI usando el método de imágenes y el MEF

para el cálculo de parámetros y se observa que el perfil no sufre cambios significativos lo

que valida el cálculo de parámetros con el MEF.

𝒁 = [ 0.1305 + 5.0344i 0.1208 + 1.2497i 0.1181 + 0.8281i0.1208 + 1.2497i 0.1219 + 5.0861i 0.1208 + 1.2497i0.1181 + 0.8281i 0.1208 + 1.2497i 0.1305 + 5.0344i

] [𝛀

𝒎] ( 4-1 )

𝒀 = [ 0 + 0.2402i 0 − 0.0480i 0 − 0.0224i0 − 0.0480i 0 + 0.2447i 0 − 0.0480i 0 − 0.0224i 0 − 0.0480i 0 + 0.2402i

] 1x10 −4[𝑺 𝒎] ( 4-2 )



Fig. 4-3 Perfiles de RI de una línea de transmisión aérea trifásica de 225 kV usando dos métodos distintos para calcular las matrices 𝑍 y 𝑌

Adicionalmente se presenta un caso en el cual existe un conductor enterrado de diez

metros de ancho por 10 cm de altura, su centro se encuentra enterrado justo debajo de la

fase C a 10 cm de profundidad, ver la geometría en la Fig. 4-4.

16

.5[m

]

B

15

[m]

15

[m]

C A5.5[m]

10[m]

10

[cm

]

10

[cm

]

Fig. 4-4 Geometría del modelo en el MEF de una línea trifásica de 225 kV con un conductor de sección rectangular enterrado bajo la fase C

-150 -100 -50 0 50 100 15025

30

35

40

45

50

55

60

65

Distancia Lateral (m)

RI

[dB

uV

/m]

M. Imagenes Complejas

MEF



Se muestra en la Fig. 4-5 el perfil de RI incluyendo el efecto del conductor enterrado,

también se compara con el perfil obtenido con el método descrito en [9]. Se observa que

el perfil alcanza un máximo de 80 dBμV/m y se distorsiona en la zona correspondiente a la

longitud de la sección del conductor enterrado. El conductor enterrado se considera como

una estructura de cobre flotada con una resistividad de 1.71x10-8 Ω/m. Este ejemplo

muestra las ventajas de utilizar el MEF en lugar de alguna formulación analítica clásica.

Fig. 4-5 Perfiles de RI y configuración geométrica de una línea de transmisión aérea de 225 kV con un conductor rectangular enterrado debajo de la fase C

Algo semejante ocurre cuando se incluye en el cálculo del perfil de RI la influencia de una

torre de transmisión típica para este nivel de tensión y de un conductor de sección circular

enterrada con radio de 0.15 m, a –0.3 m bajo el suelo y a -10 m horizontales del centro de

la geometría mostrada en la Fig. 4-6. En este caso se consideran las propiedades del acero

con una conductividad de 1.12𝑥107 S/m para la torre, sin potencial eléctrico y se asigna

cobre con una resistividad de 1.71𝑥10−8 Ω/m para el conductor enterrado igual sin

potencial. Mientras que en la Fig. 4-7 se muestra el perfil de RI en estas condiciones y se

puede comparar contra la metodología analítica que no considera la presencia de esta

estructura. El perfil presenta un pico máximo a 72 dBμV/m a -10 m del centro debido al



conductor enterrado y un valle que alcanza su mínimo de casi 30 dBμV/m en la zona de la

torre de transmisión. Cabe señalar que esta simulación solo pretende mostrar algunas

ventajas de usar el MEF en lugar de las metodologías analíticas clásicas ya que para

considerar la influencia de la torre resulta más apropiada una simulación 3D.

16

.5[m

]

B

15

[m]

15

[m]

C A5.5[m]

30

[cm

]

Fig. 4-6 Geometría del modelo en el MEF de una línea trifásica de 225 kV con una torre de transmisión típica y un conductor de sección circular enterrada



Fig. 4-7 Perfiles de RI de una línea de transmisión aérea trifásica de 225 kV incluyendo la influencia de una torre de transmisión típica y la de un conductor de sección circular

enterrado bajo la fase C


El segundo caso de configuración triangular se muestra en la Fig. 4-8, la tensión de línea es

de 380 kV y el radio del conductor es de 0.0132 m. El número de conductores por fase es

dos y el radio del haz es de 0.2 m, las coordenadas para cada haz de conductores en el eje

X son [10 m, 0 m,−10 m] y en el eje Y [16 m, 19.7 m, 16 m]. Con una diferencia máxima

entre el MEF y el método de C. Tejada de casi 6 dBμV/m en los extremos y una mínima de

2 dBμV/m en el centro. El máximo valor de RI se alcanza en los puntos +13 m y -13 m con

68.5 dBμV/m.




Con el método de Gary se obtienen valores máximos de 69 dBμV/m y presenta un perfil

con un valle muy pronunciado que casi alcanza 63 dBμV/m en el origen, al contrario de lo

que se obtiene en los otros dos métodos con un máximo de 68 dBμV/m. Para el MEF se

usa un dominio computacional de 215 m de radio.


El último caso de configuración triangular se muestra en la Fig. 4-9, se considera una

tensión de línea de 400 kV, un radio de conductor de 0. 0116 m con cuatro conductores

por fase y un espaciamiento entre conductores del haz de 0.4 m. Las coordenadas para

cada haz de conductores son en el eje X [−11.47 m, 0 m, 11.47 m] mientras que para eje

Y [25 m, 25.75 m, 25 m]. Para obtener el radio de haz a partir del espaciamiento entre

conductores se usa la ecuación ( 4-3 ) , donde 𝑅ℎ𝑎𝑧 es el radio del haz, 𝑠 el espaciamiento

entre conductores y 𝑛ℎ𝑎𝑧 número de conductores por haz.



𝑅ℎ𝑎𝑧 =𝑠

(2 sin (𝜋

𝑛ℎ𝑎𝑧))

( 4-3 )

La diferencia máxima es de casi 1.5 dBμV/m a ±150 m entre el MEF y la descomposición

modal. El máximo valor de RI se alcanza sobre el origen con 52.9 dBμV/m y dentro de los

primeros 50 m la diferencia entre el MEF y el método de Tejada es inferior a 0.5 dBμV/m,

por otro lado en el método de Gary tiene un máximo 8 dBμV/m menor y la diferencia con

respecto a los otros dos métodos se reduce conforme aumenta la distancia lateral.

Fig. 4-9 Perfiles de RI y configuración geométrica de una línea de transmisión aérea trifásica de 400 kV.

4.3.4 Caso trifásico 750 kV configuración horizontal

Se comienza a estudiar la configuración horizontal, ver Fig. 4-10, la tensión de línea es de

750 kV, el radio de los conductores es de 0. 0155 m y cada fase tiene cuatro conductores

con un espaciamiento de 1 m. Las fases se encuentran en las posiciones para eje



X [15 m, 0 m,−15 m] y para eje Y [18 m, 18 m, 18 m] respectivamente. El máximo valor

de RI se alcanza en el centro con 84.85 dBμV/m y dentro de los primeros 100 m a partir

del origen, la diferencia entre el MEF y el método de Tejada es inferior a 0.5 dBμV/m. El

método de Gary es similar en los valores máximos, sin embargo, presenta diferencias de

aproximadamente 4 dBμV/m en algunas regiones.


4.3.5 Caso trifásico 1050 kV configuración horizontal

El segundo caso en configuración horizontal se muestra en la Fig. 4-11, la tensión de línea

es de 1050 kV, hay cuatro conductores por fase con un radio de 0.022 m y un radio de haz

de 0.283 m. Las fases tienen sus posiciones en el eje X [18 m, 0 m,−18 m] y en

Y [20 m, 20 m, 20 m]. Se observa un comportamiento uniformemente decreciente hacia

los extremos, con una diferencia máxima de casi 2 dBμV/m a lo largo de todo el perfil,

entre el MEF y el método de Tejada, aunque en los primeros 10 m alrededor del origen

son prácticamente iguales. El máximo valor de RI se alcanza a 0 m con 86 dBμV/m,



mientras que en el método de Gary es un poco menor en magnitud. Para el MEF se

considera un domino de simulación de 220 m de radio.


4.3.6 Caso trifásico 500 kV configuración triangular no simétrica

Se presenta el primer caso con una configuración triangular no simétrica, véase Fig. 4-12,

con 500 kV de tensión de línea, tres conductores por fase distanciados 1 m entre sí y de

radio 0. 0191 m. Las coordenadas de cada haz son en el eje X [5.1816 m,−5.1816 m,

5.4864 m] mientras que para el eje Y [30.9118 m, 27.1018 m, 23.2918 m]. El máximo

valor de RI se alcanza a los 4.5 m con 66.9 dBμV/m, además los perfiles del MEF y el

método de Tejada son similares en contraste el método de Gary que es totalmente

distinto en su forma y en magnitud, mantiene diferencias de hasta 10 dBμV/m en casi

todo el perfil, se acerca hasta 2 dBμV/m en el centro.




4.3.7 Caso trifásico 230 kV configuración triangular asimétrica

El siguiente caso con configuración triangular asimétrica se muestra en la Fig. 4-13, la

tensión de línea es de 230 kV, con un solo conductor por fase de radio 0. 012105 m. las

coordenadas para las fases son en el eje X [4.2 m, 4.2 m, 4.6 m] y en el eje

Y [36.64m, 30.72 m, 24.8 m].




Los perfiles más parecidos son el basados en el MEF y el método de Tejada con un

diferencia máxima de casi 4 dBμV/m, esta diferencia permanece casi constante a lo largo

del perfil a excepción de una sección cercana al origen donde la diferencia es menor a 1

dBμV/m. El máximo valor de RI se alcanza a 5 m con 61 dBμV/m. Mientras el método de

Gary es totalmente distinto y mantiene diferencias de hasta 10 dBμV/m en casi todo el

perfil, se reduce hasta 4 dBμV/m a los 5 m.



4.3.8 Caso trifásico 345 kV configuración triangular no simétrica

El tercer caso que presenta una configuración triangular asimétrica, ver Fig. 4-14, tiene

una tensión de línea de 345 kV, dos conductores por fase separados 1 m y de radio 0.

0148 m. Las coordenadas de cada haz son en el eje X [2.74 m,−2.74 m, 2.74 m] y en Y

[23.16 m, 19.65 m, 16.15 m].


El MEF y el método de Tejada tienen una diferencia máxima de casi 4 dBμV/m alrededor

de los ±100 m, esta diferencia permanece casi constante en el perfil a excepción de una

zona cercana al origen desde -30 hasta 20 m donde la diferencia es menor a 1 dBμV/m. El

máximo valor de RI se alcanza a 7 m con 72 dBμV/m por otro lado, el método de Gary es

distinto y mantiene diferencias de hasta 10 dBμV/m en casi todo el perfil, en este caso se

utiliza un domino de simulación de 300 m de radio para el MEF.



4.3.9 Caso trifásico 1100 kV configuración triangular asimétrica

Se aborda el último caso con configuración triangular asimétrica, véase Fig. 4-15, la

tensión de línea es 1100 kV, cada fase tiene 8 conductores igualmente espaciados 0.041 m

y el radio de haz es de 0.61 m. Las posiciones de las fases son en el eje X [0 m, 12 m, 15 m]

y en Y [20 m, 32 m, 20 m]. Los perfiles del MEF y del método de Tejada difieren poco más

de 2 dBμV/m a lo largo de todo el perfil, principalmente en la parte negativa. El máximo

valor de RI se alcanza en -5 y 20 m con 56 dBμV/m, mientras el método de Gary es un

poco menor en magnitud y su diferencia aumenta conforme la distancia llegando a diferir

hasta en 10 dBμV/m en ambos extremos.




Tabla 4-1 Resumen de la característica de los perfiles de 9 líneas de transmisión trifásicas presentadas hasta esta sección

CASO [kV] 𝑟𝑤 [m] 𝑛ℎ𝑎𝑧 𝑠 [m]

COORDENADAS [m] Max RI

[dBμV/m] Eje X Eje Y

A B C A B C

Triangular

225 0.0132 1 - 5.5 0 -5.5 15 16.15 15 62

380 0. 0132 2 0.4 10 0 -10 16 19..7 16 68.5

400 0. 0112 4 0.4 -11.47 0 11.47 25 25.75 25 52.9

Horizontal

750 0. 0155 4 1 15 0 -15 18 18 18 84.85

1050 0. 022 4 0.4 18 0 -18 20 20 20 86

Triangular no

simétrica

500 0. 0191 3 1 5.1816 −5.1816 5.4864 30.9118 27.1018 23.2918 66.9

230 0. 012 1 - 4.2 4.2 4.6 36.64 30.70 24.8 61

345 0. 0148 2 1 2.74 -2.74 2.74 23.16 19.65 16.15 72

1100 0. 041 8 0.4745 0 12 15 20 32 20 56

La Tabla 4-1 muestran las características de los perfiles de RI obtenidos de las nueve

líneas, se agruparon en tres conjuntos según la configuración: triangular, Horizontal y

Triangular no simétrica. Se observa que los mayores niveles de RI se presentan en la

configuración horizontal y los perfiles más asimétricos en el tercer grupo.

En el caso de configuración triangular se observa que las líneas de 380 y 400 kV tienen una

diferencia en su nivel máximo de RI de casi 16 dBμV/m, donde la línea de menor tensión

presenta más RI, esto debido a que el número de conductores por haz en la línea de 400

kV es mayor que en la de 300 kV, luego aumentar el número de conductores reduce

drásticamente el campo eléctrico máximo en la superficie de los conductores y por lo

tanto la RI [9].

Algo similar ocurre en el caso horizontal donde las dos únicas líneas presentan un nivel de

RI muy cercano a pesar de haber una diferencia de 300 kV entre sus niveles de tensión. El

número de conductores por haz es el mismo en ambos casos pero el espaciamiento entre

estos es mayor por 60 cm en la línea de 750 kV, por lo tanto este espaciamiento parece

afectar inversamente al nivel de RI. Pero se sabe por un estudio realizado en [41] que esto



no siempre se cumple ya que existe un espaciamiento entre conductores igualmente

espaciados, tal que el campo eléctrico máximo en su superficie es mínimo.

Para el caso Triangular no simétrico se tiene una línea de 1100 kV que tiene un radio de

conductor de aproximadamente 4 cm a diferencia de los otros dos casos con 1 cm, de

hecho tiene el mayor de los radios en todos los casos presentados. Además su número de

conductores por haz es de 8 que también es el máximo presentado, en consecuencia su

perfil de RI es el menor de todos los perfiles presentados, incluso es 16 dBμV/m menor

que el máximo nivel de RI del caso de 345 kV. Paradójicamente el caso de 345 kV tiene

uno de los niveles más grandes a pesar de su nivel de tensión entre otras cosas debido a

que su distancia entre fases es la menor.

Lo anterior coincide con lo establecido en [9] y [21] donde se concluye que aumentar el

número de conductores por haz e incrementar el radio de del conductor son las dos

formas más efectivas de reducir la RI. En la Tabla 4-2 se resume de manera gráfica el

efecto de los distintos parámetros geométricos en el nivel de RI, de manera similar a lo

presentado en [21].

Tabla 4-2 Resumen de la influencia de los parámetros geométricos en el nivel de RI en base a los resultados obtenidos en esta sección

PARÁMETRO RI CASO

Radio del conductor

Todos

Conductores por haz

Todos

Espaciamiento entre

conductores Algunos casos

Distancia fase-fase

Todos

Altura

Todos

Donde significa incremento, decremento y ligero decremento.



4.4 Reducción del nivel de RI de una línea trifásica de 400 kV

En este ejemplo las características de la línea son las presentadas en la sección 4.3.3,

excepto que el radio de conductor es menor mientras que su nivel de RI es mayor en

aproximadamente 10 dBμV/m, su perfil se muestra de color azul en la Fig. 4-17. Se realiza

la reducción del nivel máximo de RI por descarga corona en esta línea usando la función

de Matlab “fminsearch”. Esta función es adecuada para la optimización de funciones con

más de una variable independiente y sin restricciones, utiliza el algoritmo simplex Nelder-

Mead que es un método de búsqueda directa, por lo tanto no utiliza gradientes, este

algoritmo usa n+1 puntos simplex para vectores de n entradas [43]. Se necesita una

función objetivo a la cual se le aplica la función fminsearch y un vector de valores reales

𝑋0 que en sus entradas tiene a los parámetros originales. Después de aplicar la función se

obtiene un vector 𝑋 del mismo tamaño que 𝑋0 que contiene los parámetros que son tales

que la función objetivo es mínima cumpliendo con un número finito de iteraciones

preestablecido.

Se establece como la función objetivo al máximo del perfil de RI, las variables de entrada

corresponden a información geométrica y eléctrica de la línea en cuestión. Se ha

demostrado que aumentar el número de conductores por haz es la mejor forma de

reducir los niveles de RI [9] [21], mientras la segunda mejor solución es aumentar el radio

de conductor, pero estas dos propuestas implican un incremento en la inversión inicial

para la construcción de una línea de transmisión debido a que los costos de material

representan hasta un 50 % del total.

En el anexo A se presentan los resultados de un trabajo donde se valida

experimentalmente el hecho de que en un haz de conductores existe un espaciamiento tal

que el campo eléctrico en la superficie de los conductores es mínimo, es decir aumentar el

espaciamiento entre conductores no necesariamente disminuye el gradiente de potencial

eléctrico [41], ver Fig. A-3. Además existen otros parámetros de la configuración

geométrica de la línea, como la altura de las fases o su espaciamiento, que pueden ser

modificados para reducir el nivel de RI sin elevar considerablemente los costos resultando



en un diseño aceptable. Por lo tanto las variables independientes consideradas para la

reducción son: el radio del conductor, el espaciamiento entre conductores (relacionada

con el radio del haz mediante la ecuación ( 4-3 )), la altura del conductor central, la altura

de las fases A y C, por último la distancia entre las fases A y B que es la misma que entre B

y C. En la Fig. 4-16 se muestra la geometria del haz de conductores.

𝑠

𝑅ℎ𝑎𝑧

𝑟𝑤

Fig. 4-16 Haz de conductores con algunas variables independientes para la reducción del caso de 400 kV con 4 conductores por haz.

Los valores iniciales para estas variables se ingresan como un vector, ordenadas tal y como

se mencionan en el párrafo anterior con sus magnitudes dadas en metros:

𝑋0 = [0.0112, 0.4, 25.75, 25, 11.47]

Después de aplicar la primera reducción con 10 iteraciones se obtiene el vector 𝑋1 con los

siguientes valores:

𝑋1 = [0.0120, 0.3981, 27.4804, 22.9000, 12.2408]

Estas dimensiones reducen el valor máximo de RI como se puede ver en el perfil en color

verde de la Fig. 4-17 . Nótese que el máximo se redujo en aproximadamente 5 dBμV/m

aunque en el extremo más lejano al origen incremento por 5 dBμV/m con respecto al

perfil original.

Posteriormente se aplica una segunda reducción con 15 iteraciones y se reduce el máximo

del perfil de RI en casi 10 dBμV/m, sus nuevos parámetros están en el vector 𝑋2, pero a

150 m el nivel de RI es aproximadamente 6 dBμV/m mayor que con la configuración

original.



𝑋2 = [0.0128, 0.3940, 27.8290, 18.4144, 12.7310]

Fig. 4-17 Perfiles de RI de una línea de transmisión aérea trifásica de 400 kV reducidas vectorialmente con dos números de iteraciones diferentes que corresponden a los

vectores: 𝑋1 y 𝑋2 asimismo se incluye el perfil original que corresponde al vector inicial 𝑋0

Se observa que el radio del conductor sufrió un incremento en ambas reducciones, el

espaciamiento entre conductores de haz ser redujo en un centímetro, la altura de la fase B

aumentó, en cuanto que la altura de las fase A y C se redujo y el espaciamiento entre fases

se incrementó. Si se consideran más iteraciones el nivel de RI se puede reducir hasta casi

un máximo de 1 dBμV/m pero implica dimensiones muy exageradas de cientos de metros

de separación entre fases y alturas.

0 50 100 15020

25

30

35

40

45

50

55

Distancia Lateral (m)

RI

[dB

uV

/m]

Original

Reducción 1

Reducción 2



4.5 Línea trifásica 150 kV con hilos de guarda y suelo estratificado

Existen metodologías analíticas para el cálculo de parámetros y la determinación del perfil

de RI pero no consideran una gran cantidad de fenómenos o configuraciones especiales,

de ahí que se proponga una metodología basada en el MEF que pueda abordar esos casos.

Se ha presentado el cálculo de parámetros usando el MEF en el capítulo 2 y en la sección

4.3.1 pero hasta este punto no se ha presentado algún caso con hilos de guarda ni con un

suelo estratificado que corresponden a casos más reales. La configuración geométrica

tomada de [24] se muestra en la Fig. 4-18, incluye dos hilos de guarda y un suelo con dos

capas sedimentarias.

Se tienen dos tipos de conductores, uno para las fases y otro para los hilos de guarda, los

conductores de fase tienen un diámetro de 25.146 mm una resistencia de C.D. igual a

0.09136 Ω/km mientras que los conductores de guarda tienen un diámetro de 9.525 mm y

su resistencia de C.D. es de 3.4431 Ω/km. Se consideran dos capas de suelo, la más

superficial con una profundidad de -2.9 m y una resistividad de 372.729 Ωm por otro lado,

la segunda capa tiene una resistividad de 145.259 Ωm y abarca el resto del domino de

tierra.



A B C

15

.24

[m]

22

.30

[m]

6.70[m]

10.67[m] 10.67[m]

hg1 hg2

Fig. 4-18 Configuración geométrica de una línea trifásica de 150 kV fases A, B y C con un conductor por fase y dos hilos de guarda

4.5.1 Cálculo de parámetros

En el cálculo de parámetros las metodologías analíticas consideran un suelo uniforme,

llegan a considerar el efecto pelicular e incluso incluyen la impedancia de los conductores

debida a frecuencias altas, tal es el caso del método de imágenes complejas empleada en

este trabajo. Para poder abordar condiciones distintas a las mencionadas se utiliza el MEF

que permite incluir más fenómenos que la metodología analítica como incluir diferentes

capas de tierra, fallas geológicas, el efecto de proximidad, entre otros efectos. En las

siguientes secciones se presentan las matrices de impedancia, capacitancia y admitancia

de la línea de transmisión trifásica de 150 kV cuyas características fueron presentadas en

la sección anterior.

4.5.1.1 Cálculo de parámetros usando el MEF

Se calcula la matriz de impedancias serie usando el método de impedancia compleja

mientras la matriz de capacitancias se determina a partir del método de la carga. En la

simulación del método de la impedancia compleja hay dos tipos de materiales



conductores y dos capas de tierra, es decir se están considerando condiciones más reales

que el método analítico considerado en este trabajo. Las entradas de las matrices se

muestran en la Tabla 4-3 y Tabla 4-4.

Puesto que se obtienen los valores propios (de inductancia y capacitancia en sus

respectivas matrices) de 3 fases y de 2 hilos de guarda así como todas sus relaciones

mutuas, se tienen matrices de 5x5 que fueron obtenidas de tal manera que los elementos

de la diagonal principal representen los valores propios de los conductores de fase A, B, C

y los hilos de guarda hg1 y hg2.

Tabla 4-3 Entradas reales de la matriz de impedancias completa de orden 5x5 calculada a partir del MEF considerando hilos de guarda en [Ω/m]

0.15228 0.13657 0.11349 0.02396 0.02041

0.13657 0.14623 0.13304 0.02288 0.02232

0.11349 0.13304 0.14521 0.02008 0.02252

0.02396 0.02288 0.02008 0.02599 0.01908

0.02041 0.02232 0.02252 0.01908 0.0245

Tabla 4-4 Entradas imaginarias de la matriz de impedancias completa de orden 5x5 calculada a partir del MEF considerando hilos de guarda en [Ω/m]

5.14319 0.91875 0.52764 0.21718 0.12518

0.91875 5.14681 0.92058 0.19675 0.197

0.52764 0.92058 5.14687 0.12533 0.21783

0.21718 0.19675 0.12533 1.10209 0.17753

0.12518 0.197 0.21783 0.17753 1.10266

Tabla 4-5 Entradas de la matriz de capacitancias completa de 5x5 calculada a partir del MEF considerando hilos de guarda con unidades [F/m]



7.52 𝑥10−12 -7.83 𝑥10−13 -2.47 𝑥10−13 -1.08 𝑥10−12 -3.45 𝑥10−13

-7.83 𝑥10−13 7.65 𝑥10−12 -7.83 𝑥10−13 -8.30 𝑥10−13 -8.30 𝑥10−13

-2.47 𝑥10−13 -7.83 𝑥10−13 7.52 𝑥10−12 -3.45 𝑥10−13 -1.08 𝑥10−12

-1.08 𝑥10−12 -8.30 𝑥10−13 -3.45 𝑥10−13 6.50 𝑥10−12 -6.10 𝑥10−13

-3.45 𝑥10−13 -8.30 𝑥10−13 -1.08 𝑥10−12 -6.10 𝑥10−13 6.50 𝑥10−12

4.5.1.2 Reducción de Kron

Es un método matricial para reducir el orden de una matriz cuadrada 𝑀𝑛𝑛 dividiéndola en

cuatro submatrices, dos matrices cuadradas en la diagonal principal 𝑀𝑎𝑎 y 𝑀𝑏𝑏 asimismo

dos matrices rectangulares en las entradas restantes 𝑀𝑎𝑏 y 𝑀𝑏𝑎. Donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑛 son

índices con valores enteros que indican el tamaño de su matriz además se cumple

𝑎 < 𝑛, 𝑏 < 𝑛 con 𝑎 + 𝑏 = 𝑛. Para reducir el orden de 𝑀𝑛𝑛 en primer lugar se obtienen sus

submatrices como se indica en la ecuación ( 4-4 ), posteriormente se utiliza la ecuación

( 4-5 ) para obtener una matriz nueva reducida 𝑀𝑎𝑎𝑛𝑒𝑤 con orden 𝑎𝑥𝑎 [44].

𝑀𝑛𝑛 = [𝑀𝑎𝑎 𝑀𝑎𝑏

𝑀𝑏𝑎 𝑀𝑏𝑏]𝑛𝑛

( 4-4 )

𝑀𝑎𝑎𝑛𝑒𝑤= 𝑀𝑎𝑎 − 𝑀𝑎𝑏𝑀𝑏𝑏

−1𝑀𝑏𝑎 ( 4-5 )

4.5.1.3 Cálculo de parámetros usando el MEF y reduciendo el orden de las matrices usando

el método de Kron

A las matrices obtenidas en la sección 4.5.1.2 se les aplica la reducción de Kron para

obtener matrices de 3x3, ver Tabla 4-6 y Tabla 4-7. Para aplicar el método, se toma como

matriz 𝑀𝑎𝑎 a la submatriz que tiene en la diagonal principal a los valores propios de las

fases mientras que la matriz 𝑀𝑏𝑏 tiene los valores propios de los hilos de guarda.

Tabla 4-6 Entradas de la matriz de impedancias completa calculada a partir del MEF reducida de 5x5 a 3x3 mediante el método de Kron con unidades [Ω/m]

0.14168 + 5.0932i 0.12549 + 0.8665i 0.10369 + 0.48673i

0.12549 + 0.8665i 0.13441 + 5.0866i 0.12226 + 0.86817i

0.10369 + 0.48673i 0.12226 + 0.86817i 0.13514 + 5.0966i



Tabla 4-7 Entradas de la matriz de capacitancias calculada a partir MEF y reducida de 5x5 a 3x3 mediante el método de Kron con unidades [F/m]

7.31 𝑥10−12

-9.84 𝑥10−13 -3.81 𝑥10−13

-9.84 𝑥10−13 7.42 𝑥10−12 -9.84 𝑥10−13

-3.81 𝑥10−13 -9.84 𝑥10−13 7.31 𝑥10−12

4.5.1.4 Cálculo de parámetros usando la función “power_lineparam” de Matlab para líneas

con hilos de guarda

Para comparar los resultados con alguna metodología analítica que incluya los hilos de

guarda se usa una función de las librerías de Matlab, para validar el cálculo de parámetros

con el MEF, llamada “power_lineparam”. Esta función es una interfaz gráfica donde se

pueden incluir las características geométricas y eléctricas de una línea de transmisión

trifásica en circuito simple o doble e incluir hilos de guarda. El método utilizado es el de

imágenes, es decir no utiliza el concepto de profundidad de penetración compleja, tiene

como salida las matrices de resistencia, inductancia y capacitancia, además reduce sus

matrices sin mencionar el método usado.

Tabla 4-8 Entradas de la matriz de impedancias reducida calculadas a partir del método analítico usado por la función “power_lineparam” de Matlab con unidades [Ω/m]

0.1312 + 4.9863i 0.1121 + 0.7281i 0.0931 + 0.3485i

0.1121 + 0.7281i 0.1161 + 4.8963i 0.1058 + 0.6749i

0.0931 + 0.3485i 0.1058 + 0.6749i 0.1191 + 4.8963i

Tabla 4-9 Entradas de la matriz de capacitancias calculadas a partir del método de imágenes usado por la función “power_lineparam” de Matlab en [F/m]

0.7418 𝑥10−11 0.0855 𝑥10−11 -0.0265 𝑥10−11

-0.0855 𝑥10−11 0.7600 𝑥10−11 -0.0795 𝑥10−11

-0.0265 𝑥10−11 -0.0795 𝑥10−11 0.7516 𝑥10−11



4.6 Línea trifásica 735 kV en circuito doble con hilos de guarda y

diferentes suelos estratificados

Con el fin abordar nuevos casos en la configuración y características eléctricas de una línea

de transmisión se utiliza el método de la impedancia compleja para determinar la matriz

de impedancia serie de una línea de transmisión trifásica en circuito doble con hilos de

guarda. La admitancia en derivación se calcula a partir de la matriz de capacitancias

determinada con el metodo de la carga, la configuración geométrica es tomada de [24],

ver Fig. 4-19. Se considera solamente un conductor por haz y dos tipos de conductores, los

conductores de fase y de guarda, los conductores de fase tienen un diámetro de 35.103

mm y su resistencia de C.D. es de 0.04965 Ω/km mientras que los conductores de guarda

cuentan con un diámetro de 9.779 mm y su resistencia de C.D. es 1.4913 Ω/km. Cabe

señalar que se toma como radio de conductor el considerado en la referencia [24]. Se

realiza cálculo de parámetros con el MEF y se utilizan los resultados para determinar los

perfiles de RI bajo distintas configuraciones eléctricas usando el MEF.

A A’

16

.1[m

]

52

.16

[m]

1.52[m]

B B’

C C’

28

.26

[m]

40

.46

[m]

5.49[m]

9.14[m]

5.49[m]

hg1 hg2

Fig. 4-19 Configuración geométrica de una línea trifásica 735 kV con un conductor por fase en circuito doble, fases A, B y C para el primer circuito y para el segundo A’, B’ y C’ además

dos hilos de guarda



4.6.1 Cálculo de parámetros

Se obtiene la matriz 𝑍 con un tamaño de 8x8, aplicando el método de la impedancia

compleja descrito en la sección 2.2, procurando que las entradas diagonales tengan el

orden siguiente: los tres primeros lugares para las fases A, B y C del primer circuito,

después las tres fases A’, B’ y C’ del segundo circuito y finalmente los dos conductores de

guarda hg1 y hg2, los resultados se muestran en la Tabla 4-10 y la Tabla 4-11.

En el cálculo de la admitancia en derivación depende del cálculo de la capacitancia que se

determina con el MEF considerándose un modo electroestático estacionario y se resuelve

para el potencial escalar eléctrico 𝑉, se requiere la misma geometría utilizada al calcular 𝑍

con el método de impedancia compleja pero esta vez se desprecia el dominio de tierra

porque solo se requieren la condición de frontera de tierra, es decir 𝑉 = 0, además el

mallado no requiere ser tan fino. Posteriormente se aplica el método de la caga y se

obtiene la matriz de capacitancias que es multiplicada por el factor 𝑖𝜔 para obtener la

matriz 𝑌 , véase Tabla 4-12, recordando que se desprecia la conductancia para línea de

transmisión.

Se aplica la reducción de Kron para reducir el orden de 8x8 a 3x3 (tablas 4-13 y 4-14)

tomando como matriz 𝑀𝑎𝑎 la submatriz que tiene en la diagonal los valores propios de las

fases A, B y C. También se aplica para reducir a 6x6, ver la Tabla 4-15y la Tabla 4-16, se

toma 𝑀𝑎𝑎 como la submatriz con los valores propios de las fases A, B, C, A’, B’ y C’ en su

diagonal.

Tabla 4-10 Entradas reales de la matriz de impedancias completa de 8x8 filas por columnas calculada a partir del MEF considerando dos hilos de guarda con unidades [Ω/m]

0.11822 0.09074 0.07529 0.10801 0.08421 0.07275 0.00214 0.00212

0.09074 0.08828 0.08389 0.08429 0.0788 0.08101 0.00281 0.00279

0.07529 0.08389 0.09797 0.07275 0.08086 0.09368 0.00356 0.00355

0.10801 0.08429 0.07275 0.11806 0.09042 0.07497 0.00212 0.00213

0.08421 0.0788 0.08086 0.09042 0.08769 0.08327 0.00278 0.0028

0.07275 0.08101 0.09368 0.07497 0.08327 0.09737 0.00354 0.00354

0.00214 0.00281 0.00356 0.00212 0.00278 0.00354 0.00627 0.00427

0.00212 0.00279 0.00355 0.00213 0.0028 0.00354 0.00427 0.00627



Tabla 4-11 Entradas imaginarias de la matriz de impedancias completa de 8x8 filas por columnas calculada a partir del MEF considerando dos hilos de guarda con unidades [Ω/m]

4.83576 0.78094 0.41937 0.80051 0.54007 0.36642 0.00651 0.00628

0.78094 4.94837 0.80213 0.5401 0.58872 0.55166 0.01175 0.01087

0.41937 0.80213 4.89725 0.36645 0.5516 0.84681 0.02359 0.02151

0.80051 0.5401 0.36645 4.83572 0.78082 0.41922 0.00628 0.00651

0.54007 0.58872 0.5516 0.78082 4.94808 0.80179 0.01087 0.01173

0.36642 0.55166 0.84681 0.41922 0.80179 4.89686 0.0215 0.02358

0.00651 0.01175 0.02359 0.00628 0.01087 0.0215 0.18609 0.04969

0.00628 0.01087 0.02151 0.00651 0.01173 0.02358 0.04969 0.18608

Tabla 4-12 Entradas de matriz de capacitancias completa calculada a partir del MEF considerando dos hilos de guarda en [F/m]

7.83 𝑥10−12 -9.03 𝑥10−13 -3.30 𝑥10−13 -9.11 𝑥10−13 -4.56 𝑥10−13 -2.56 𝑥10−13 -1.25 𝑥10−13 -1.17 𝑥10−13

-9.03 𝑥10−13 7.55 𝑥10−12 -1.02 𝑥10−12 -4.56 𝑥10−13 -5.65 𝑥10−13 -5.43 𝑥10−13 -3.24 𝑥10−13 -2.84 𝑥10−13

-3.30 𝑥10−13 -1.02 𝑥10−12 7.57 𝑥10−12 -2.56 𝑥10−13 -5.43 𝑥10−13 -1.12 𝑥10−12 -8.43 𝑥10−13 -7.15 𝑥10−13

-9.11 𝑥10−13 -4.56 𝑥10−13 -2.56 𝑥10−13 7.83 𝑥10−12 -9.03 𝑥10−13 -3.30 𝑥10−13 -1.17 𝑥10−13 -1.25 𝑥10−13

-4.56 𝑥10−13 -5.65 𝑥10−13 -5.43 𝑥10−13 -9.03 𝑥10−13 7.55 𝑥10−12 -1.02 𝑥10−12 -2.84 𝑥10−13 -3.24 𝑥10−13

-2.56 𝑥10−13 -5.43 𝑥10−13 -1.12 𝑥10−12 -3.30 𝑥10−13 -1.02 𝑥10−12 7.57 𝑥10−12 -7.15 𝑥10−13 -8.43 𝑥10−13

-1.25 𝑥10−13 -3.24 𝑥10−13 -8.43 𝑥10−13 -1.17 𝑥10−13 -2.84 𝑥10−13 -7.15 𝑥10−13 6.68 𝑥10−12 -1.98 𝑥10−12

-1.17 𝑥10−13 -2.84 𝑥10−13 -7.15 𝑥10−13 -1.25 𝑥10−13 -3.24 𝑥10−13 -8.43 𝑥10−13 -1.98 𝑥10−12 6.68 𝑥10−12

Tabla 4-13 Entradas de la matriz de impedancias completa calculada a partir del MEF reducida de 8x8 a 3x3 mediante el método de Kron en [Ω/m]

0.072888 + 4.6586i 0.050836 + 0.62919i 0.036793 + 0.28138i

0.050836 + 0.62919i 0.050587 + 4.7983i 0.044929 + 0.64363i

0.036793 + 0.28138i 0.044929 + 0.64363i 0.055329 + 4.7028i

Tabla 4-14 Entradas de la matriz de capacitancia completa calculada a partir del MEF reducida de 8x8 a 3x3 mediante el método de Kron en [Ω/m]

7.64 𝑥10−12 -1.07 𝑥10−12 -5.49 𝑥10−13

-1.07 𝑥10−12 7.34 𝑥10−12 -1.36 𝑥10−12

-5.49 𝑥10−13 -1.36 𝑥10−12 6.92 𝑥10−12



Tabla 4-15 Entradas reales de la matriz de impedancias completa calculada a partir del MEF reducida de 8x8 a 6x6 mediante el método de Kron en [Ω/m]

0.1180 0.0904 0.0747 0.1078 0.0839 0.0722

0.0904 0.0878 0.0831 0.0840 0.0783 0.0802

0.0747 0.0831 0.0968 0.0722 0.0801 0.0925

0.1078 0.0840 0.0722 0.1178 0.0901 0.0744

0.0839 0.0783 0.0801 0.0901 0.0872 0.0825

0.0722 0.0802 0.0925 0.0744 0.0825 0.0962

Tabla 4-16 Entradas imaginarias de la matriz de impedancias completa calculada a partir del MEF reducida de 8x8 a 6x6 filas por columnas mediante el método de en [Ω/m]

4.8354 0.7804 0.4182 0.8002 0.5395 0.3652

0.7804 4.9473 0.8000 0.5395 0.5877 0.5496

0.4182 0.8000 4.8930 0.3653 0.5495 0.8426

0.8002 0.5395 0.3653 4.8354 0.7802 0.4180

0.5395 0.5877 0.5495 0.7802 4.9470 0.7997

0.3652 0.5496 0.8426 0.4180 0.7997 4.8926

Tabla 4-17 Entradas de la matriz de capacitancias completa calculada a partir del MEF reducida de 8x8 a 6x6 filas por columnas mediante el método de Kron con unidades [Sm]

7.82 𝑥10−12 -9.19 𝑥10−13 -3.70 𝑥10−13 -9.18 𝑥10−13 -4.72 𝑥10−13 -2.96 𝑥10−13

-9.19 𝑥10−13 7.51 𝑥10−12 -1.12 𝑥10−12 -4.72 𝑥10−13 -6.05 𝑥10−13 -6.43 𝑥10−13

-3.70 𝑥10−13 -1.12 𝑥10−12 7.31 𝑥10−12 -2.96 𝑥10−13 -6.43 𝑥10−13 -1.37 𝑥10−12

-9.18 𝑥10−13 -4.72 𝑥10−13 -2.96 𝑥10−13 7.82 𝑥10−12 -9.19 𝑥10−13 -3.70 𝑥10−13

-4.72 𝑥10−13 -6.05 𝑥10−13 -6.43 𝑥10−13 -9.19 𝑥10−13 7.51 𝑥10−12 -1.12 𝑥10−12

-2.96 𝑥10−13 -6.43 𝑥10−13 -1.37 𝑥10−12 -3.70 𝑥10−13 -1.12 𝑥10−12 7.31 𝑥10−12

4.6.2 Perfil de RI

Posteriormente se utilizaron las matrices 𝑍 y 𝑌 calculadas en la sección anterior, para

calcular las corrientes de inyección de corona a partir de la descomposición modal y en

último término se determina el perfil de RI.



Primero se usan las matrices reducidas 𝑍 y 𝑌 de orden 3x3, se obtienen tres corrientes

empleadas como excitación en los conductores aéreos para las fases de un circuito simple

A, B y C para determinar la RI, considerando una alimentación de tensión trifásica en C.A.

en estado estable en secuencia positiva. En la Fig. 4-22 se muestra el dominio

computacional y los perfiles de RI obtenidos están en la Fig. 4-20 donde se observa que se

usaron dos métodos, el analítico propuesto en [9] de color rojo punteado y el MEF de

color verde. En ambos no se toma en cuenta la influencia de los hilos de guarda ni de las

fases del circuito secundario por lo que el perfil resulta asimétrico.

El método analítico para calcular la RI no puede considerar la influencia de las fases del

segundo circuito ni de los hilos de guarda así como tampoco incluir el efecto de tener un

suelo estratificado o con fallas geológicas, para aproximar tales condiciones en el MEF se

consideran como aire todos los elementos conductores aéreos pero se conservan las dos

capas con diferentes resistividades en el domino de tierra. Se muestran en Fig. 4-20 los

perfiles de RI del método analítico y del basado en MEF donde se observa que son

semejantes pero el MEF desciende más rápidamente ya que su pendiente es más

pronunciada a la derecha del cero.



Fig. 4-20 Perfiles de RI de una línea de 735 kV que no consideran la influencia del circuito secundario e hilos de guarda mientras que si la considera en el cálculo de parámetros

usando el MEF

En el siguiente caso se utilizan las matrices 𝑍 y 𝑌 reducidas de orden a 6x6 para calcular

todas las corrientes en las 6 fases del doble circuito, se usa el método de Tejada y el MEF

para determinar los perfiles de RI. Se muestran en la Fig. 4-21 cuatro diferentes perfiles

calculados bajo diferentes condiciones. La etiqueta M. Tejada significa que para

determinar la RI (línea discontinua roja) se usa el método considerado en este trabajo

como analítico, pero modificada para poder abordar el caso de circuito doble aunque sin

incluir la influencia de los hilos de guarda, Además se observa que el perfil resulta casi 7

dBμV/m menor que cuando se desprecia el circuito secundario e hilos de guarda mostrado

en la Fig. 4-20.



Fig. 4-21 Perfiles de RI de una línea de 735 kV que consideran distintos métodos para el cálculo de perfiles con diferentes condiciones de suelo estratificado

Las leyendas que comienzan con MEF se refieren al método usado para determinar el

perfil, adicionalmente se puede incluir la influencia de los conductores de guarda sin

excitación al usar sus propiedades de material conductor a diferencia del caso anterior.

El caso uno (MEF 1) considera las dos capas como en el caso de la línea de 150 kV y en la

determinación del perfil de RI no considera la influencia de los hilos de guarda, se observa

que coincide en magnitud con el método de Tejada en el área de derecho de vía pero es

mayor el resto del perfil.

Para el caso dos (MEF 2) la segunda capa de tierra tiene una resistividad de 1000 Ωm e

incluye el efecto de la línea secundaria y de los hilos de guarda al determinar el perfil de

RI, nótese que la magnitud en las cercanías de la línea es un dBμV/m más alto que los

casos anteriores pero coincide con el MEF 1 el resto del perfil.

En el caso tres (MEF 3) se considera una tierra estratificada con tres capas formando una

falla geológica, como se ve en la Fig. 4-22, las primeras dos capas tienen la misma



resistividad que las de la línea de 150 kV pero la tercera tiene un valor de 10𝑥103 Ωm,

nótese que la falla distorsiona el perfil de RI.

Dominio con elementos infinitos

Domino de aire

Conductores de fase

Hilos de guarda

1a capa de tierra

2a capa de tierra

3a capa de tierra

Fig. 4-22 Dominio computacional para el caso de la línea trifásica de 735 kV con el domino de tierra estratificado de tres capas diferentes eléctricamente no horizontales que simulan

Se concluye que el método analítico presentado en [9] presenta algunas diferencias en

magnitud y forma del perfil como se muestra en las Fig. 4-20 y 4-21, esto debido a que el

MEF incluye el efecto del circuito secundario, de los hilos de guarda, considera suelos

estratificados con diferentes resistividades e incluso con fallas geológicas. En la Tabla 4-18

se muestra un resumen de las condiciones usadas para determinar el perfil de RI, de los

parametros usados y las magnitudes máximas alcanzadas.



Tabla 4-18 Resumen de los casos considerados para los perfiles de una línea de 735 kV

CONFIGURACIÓN

CARACTERÍSTICAS PARTICULARES Max RI

[dBμV/m] Cálculo de

Parámetros

Determinación del Perfil de RI

Triangular no simétrica

Ver Fig. 4-20

Método impedancia

compleja reducida a

3x3

Usando método de Tejada [9]

sin considerar al circuito doble ni hilos de guarda

113

MEF

sin considerar al circuito doble ni hilos de guarda

111

Triangular no

simétrica Ver Fig. 4-21

Método impedancia

compleja reducida a

6x6

Método de Tejada modificado [9]

Tierra sin estratificar con 372.729 Ωm de resistividad Incluye influencia del circuito secundario pero no la de los

hilos de guarda

106

Usando MEF (1)

Tierra estratificada de 2 capas, la primera con 372.729 Ωm hasta -2.9 m, la segunda con 145.259 Ωm

Incluye influencia de hilos de guarda y circuito secundario

106

Usando MEF (2)

Tierra estratificada de 2 capas, la primera con 372.729 Ωm hasta -2.9 m, la segunda con 1000 Ωm


107

Usando MEF (3)

Tierra estratificada de 3 capas simulando falla geológica, la tierra es dividida por 2 rectas, la primera pasa por los

punto (-200 m, -2 m) y (0 m, 0 m) mientras que la segunda por los puntos (-200 m , -40 m) y ( 50 m, 0 m)

con sus respectivas resistividades de 372.729 Ωm, 145.259 Ωm y finalmente 10000 Ωm


107



CAPÍTULO 5 Conclusiones

5.1 Conclusiones

En este trabajo de tesis se empleó una metodología basada en el MEF para calcular los

parámetros eléctricos y determinar los perfiles de RI de algunas líneas de transmisión de

alta tensión. Para esto último se usa la descomposición modal que simula la propagación

de los pulsos de corriente corona inyectada en los conductores aéreos de una línea. Se

determinaron los perfiles de RI de una línea aérea monofásica y varias configuraciones

trifásicas usando el MEF, posteriormente los resultados fueron comparados con

metodologías analíticas. La ventaja del uso del MEF es la de poder manipular fácilmente

características geométricas e incluir características eléctricas de los materiales que no

pueden ser consideradas en los métodos analíticos, ejemplos con estas condiciones

fueron también analizados. Adicionalmente se modificó la configuración geométrica de

una línea usando métodos de optimización vectorial para reducir los valores máximos del

perfil de RI de una línea trifásica de 400 kV. A continuación se describen las conclusiones a

las que se llega en este trabajo.

5.1.1 Para el cálculo de parámetros

Los parámetros eléctricos de la línea de trasmisión fueron calculados por medio del

método del elemento finito y por medio del método de imágenes. De los resultados

obtenidos se puede llegar a las siguientes conclusiones:

o El método de la impedancia compleja, utilizando en el MEF para el cálculo de

parámetros, presenta una menor diferencia con respecto a los métodos analíticos

que el método de la energía. Lo anterior se atribuye a que en el método de la

energía la integración de la energía magnética el domino del suelo presenta un

error significativo ocasionado la necesidad de limitar las dimensiones de este

domino.



o El método de imágenes complejas es preciso, sin embargo, a diferencia del MEF no

se pueden incluir fácilmente condiciones más cercanas a la realidad como lo son el

caso de líneas con suelos estratificados.

5.1.2 Para la determinación de perfiles de RI

Los perfiles de RI obtenidos con el MEF son comparados con perfiles obtenidos de manera

analítica. Al comparar los resultados obtenidos por ambos métodos se tienen las

siguientes conclusiones:

o Para obtener los perfiles de RI usando el MEF, se debe considerar únicamente la

corriente en los conductores aéreos, calculada a partir de la descomposición modal

y despreciando su retorno por tierra.

o Los perfiles obtenidos por el MEF y el método de C. Tejada para circuitos simples

son muy similares, en al menos los primeros 20 m, independientemente de la

configuración geométrica. No obstante en casos como el de circuito doble con

tierra estratificada y fallas geológicas o en el caso de incluir la influencia de los

conductores enterrados el MEF es el único que permite obtener el perfil de RI.

o La configuración de una línea de transmisión puede ser optimizada para minimizar

los niveles máximos de RI al cambiar algunos parámetros geométricos. Se pudo

observar para el caso de una línea de 400 kV, al modificar la geometría se redujo el

nivel de RI de la configuración original en 10 dBμV/m.



5.2 Aportaciones

o Se define una metodología para determinar los perfiles de RI en líneas de

transmisión trifásica por medio del MEF. Con este método se abordan estudios

considerando fenómenos en los que las formulaciones analíticas no podrían ser

aplicables. Se compara con respecto al método analítico desarrollado en [9].

o Se muestra una metodología para el cálculo de parámetros eléctricos de una línea

de transmisión mediante el MEF para 500 kHz, aunque no está limitada a esta

frecuencia.

o Se modifican los parámetros de la configuración geométrica de una línea de 400 kV

en configuración triangular cuya función objetivo es el máximo nivel de RI, esto

permite reducir el valor máximo del perfil de RI en 10 dBμV/m.

5.3 Recomendaciones propuestas para trabajos futuros

o En general, estudiar otros problemas de compatibilidad electromagnética en los

sistemas de transmisión de alta tensión debida a fenómenos distintos de la

descarga corona como descargas parciales en aisladores, operación de

interruptores, descargas atmosféricas, entre otras.

o Obtener perfil 3D incluyendo torres de transmisión, la catenaria de los conductores

y estructuras metálicas enterradas (como tuberías y sistemas de tierra ).

o Analizar la influencia del campo eléctrico ionizante sobre los seres humanos en las

cercanías de las líneas y calcular las tensiones de toque contra elementos

metálicos aterrizados, incluso el efecto térmico que causa el campo eléctrico en el

cuerpo humano, usando un modelo de cuerpo humano simple con simulaciones en

3D [45].

o Considerar el flujo de cargas espaciales mediante el MEF (con suposiciones Deutch)

en lugar de usar la función de excitación al menos para el caso de líneas de alta

tensión en C.D.



o Calcular perfiles longitudinales incluyendo estratificación del suelo, presencia de

carreteras u otros elementos, incluso considerar el efecto de torres metálicas y

obtener un perfil en 3D de la RI en varias etapas de la línea de transmisión, es

posible incluir pendientes, ríos, edificios, personas etc.

o En lugar de usar formulas analíticas para determinar el campo eléctrico máximo en

la superficie del conductor determinarla directamente con el MEF.

o Validar experimentalmente los perfiles obtenidos usando MEF para el cálculo de

parámetros como para la determinación del perfil de RI.

o Cambiar la geometría de la sección transversal de los conductores y no utilizar el

radio equivalente para calcular su matriz de impedancias.



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ANEXOS

A) Estudio de la Tensión de Incepción de Descarga Corona en Arreglos Multiconductores Optimizados

En este trabajo [41] se abordó experimentalmente el análisis de la tensión de incepción de

la descarga corona en C.D. para diferentes arreglos de uno, dos y cuatro conductores, ver

Fig. A-1, asimismo se propone una configuración en la cual la tensión de incepción sea lo

más elevada posible implicando una distribución que minimiza el campo eléctrico

alrededor de los conductores de fase.

𝑅ℎ𝑎𝑧

𝑠

𝑅ℎ𝑎𝑧

𝑟𝑤

Radio cilindro

a) b) c)

Fig. A-1 Geometría empleada para a) uno, b) dos y c) cuatro conductores

Se realizaron simulaciones y pruebas en laboratorio de alta tensión de la ESIME Zacatenco,

encontrando un comportamiento similar entre ellos. La detección de los streamers de

inicio a una determinada tensión se usó como señal de la presencia de la descarga corona.

El arreglo utilizado para simular la línea de transmisión consiste en un conductor colocado

en el eje axial de un cilindro, el cual está dividido en tres secciones: la parte central es

utilizada para la medición de la corriente corona, mientras que los extremos sirven de

guarda para eliminar los efectos de borde, ver Fig. A-2. El cilindro tiene un radio de 0.185

m y está hecho de aluminio. El conductor que se utilizó en estas pruebas es de cobre con

un radio de 0.0004 m. La alta tensión de (corriente directa) C.D. es suministrada por una

fuente Bertran serie 205B de 50 kV, 0.3 mA. La corriente corona se mide a través de la



caída de tensión que provoca en una resistencia de medición de 1[kΩ]. Este voltaje se

registra en un osciloscopio Tektronix TDS1001 de 2 canales, 1 gigamuestras por segundo y

60MHz de ancho de banda. La Fig. A-2 muestra un esquema del arreglo utilizado. Tanto el

arreglo como los aparatos de medición están colocados dentro de una jaula de Faraday.

Fig. A-2 Arreglo experimental empleado para las mediciones de la tensión de incepción

El arreglo de conductores centrales fue energizando paulatinamente y se monitoreó la

aparición de los streamers de incepción por medio del osciloscopio. En cuanto se

presentaron streamers de inicio se procedió a tomar la lectura de la tensión

correspondiente en la fuente. En la Tabla A-1 se muestran los resultados obtenidos

correspondientes a arreglos de uno, dos y cuatro conductores, variando la separación de

los conductores al centro del arreglo y en consecuencia la distancia entre ellos.

Se realizó la simulación en el MEF en 2D suponiendo un modo electrostático, para una

configuración de cuatro conductores como el mostrado en la Fig. A-1 c) con conductores

de radio 0. 0004 m. Se realizó un barrido paramétrico desde 0.001 m con intervalos de

0.003 m hasta 0.036 m, evaluando el campo eléctrico en un punto sobre la superficie de

uno de los conductores, la curva obtenida se muestra en la Fig. A-3.



Tabla A-1 Resultados obtenidos de las mediciones de las tensiones de incepción para los diferentes arreglos empleados.

Número de conductores

en el haz

Separación entre

conductores adyacentes

[m]

Separación (r) de los

conductores al centro

[m]

Tensión de

incepción medida

kV

1 X X 15.2

2 0.002 0.001 19

2 0.007 0.0035 20.1

2 0.02 0.01 17.2

2 0.052 0.026 16.8

4 0.005 0.0035 25.8

4 0.0099 0.007 25.72

4 0.047 0.0332 22.6

Se concluyó que existe una separación de conductores tal que el campo eléctrico entre

ellos es menor (3.9[kV/cm]) que para cualquier otra distancia, mayores o menores, ese

punto óptimo se encuentra cercano a 0.001 m.

Fig. A-3 Barrido paramétrico de la intensidad de campo eléctrico máximo en la superficie del arreglo de cuatro conductores en función del radio de haz



B) Cálculo de parámetros basado en el método de imágenes complejas

En este trabajo el método analítico considerado para el cálculo de parámetros es el

método de imágenes complejas

B.1 Línea monofásica

Se emplea el método de imágenes para el cálculo de 𝐿𝑔 y el método de imágenes

complejas para determinar 𝐿 [13] .

ℎ

𝑟𝑤

ℎ

𝑃

𝑃

𝑟𝑤

Fig. B-1 Método de imágenes considerando profundidad de penetración en dominio de tierra para caso monofásico

B.1.1 Inductancia geométrica

La inductancia geométrica depende únicamente de la configuración geométrica de la

línea, se obtiene de la relación entre los enlaces de flujo magnético que atraviesan

perpendicularmente la superficie formada entre el conductor aéreo y la tierra (como

conductor no ideal) y la corriente en el conductor aéreo.

𝐿𝑔 =𝜓

𝐼=

𝜇0

2𝜋𝑙𝑛 (

2ℎ − 𝑟𝑤𝑟𝑤

)



Por lo general, en el caso de las líneas de transmisión aérea se cumple que ℎ >> 𝑟𝑤 lo que

permite despreciar 𝑟𝑤 y aproximar 𝐿𝑔 de la siguiente manera:

𝐿𝑔 ≈𝜇0

2𝜋 𝑙𝑛 (

2ℎ

𝑟𝑤) ( B-1 )

B.1.2 Inductancia debida al retorno por tierra

Esta Inductancia considera el efecto piel en la tierra debida únicamente a la corriente en

las fases, a través del concepto de profundidad de penetración compleja, ver ecuación

( B-2 ), que depende de las propiedades electrostáticas que caracterizan al domino de

tierra como conductor no ideal con pérdidas, además la distribución de la corriente

inducida en la tierra presenta una forma de banda paralela al plano de tierra, ver Fig. B-1.

𝑃 = √𝜌𝑒

𝑗𝜔𝜇𝑒 ( B-2 )

𝐿 =𝜇0

2𝜋𝑙𝑛 (

2(ℎ + 𝑃)

𝑟𝑤) ( B-3 )

La inductancia que se presenta en la ecuación ( B-3 ) contiene implícitamente la

inductancia geométrica e información del domino de tierra que considera el efecto piel, su

resistencia debido al efecto joule y la inductancia debida a corrientes inducidas por las

fases, a esta información se le llama inductancia compleja de tierra, 𝐿𝑒𝑐 ver la ecuación (

B-4 ).

𝐿 = 𝐿𝑔 + 𝐿𝑒𝑐

La ecuación ( B-4 ) se obtiene de desarrollar la ecuación ( B-3 ) y factorizando el término

correspondiente a 𝐿𝑔, se desarrolla algebraicamente el argumento del logaritmo natural.

𝐿𝑒𝑐 =𝜇0

2𝜋𝑙𝑛 (

2(ℎ + 𝑃)

2ℎ) =

𝜇0

2𝜋𝑙𝑛 (1 +

𝑃

ℎ) ( B-4 )



Se considera que 𝐿𝑒𝑐 tiene parte real e imaginaria que corresponde a las pérdidas

resistivas y la inductancia de tierra 𝐿𝑒.

𝐿𝑒𝑐 = 𝑎 + 𝑗𝑏

Para obtener la Impedancia del dominio de tierra se multiplica 𝐿𝑒𝑐 por el factor 𝑗𝜔, como

se muestra a continuación:

𝑍𝑒 = 𝑗𝜔𝐿𝑒𝑐 = 𝑗𝜔(𝑎 + 𝑗𝑏) = −𝜔𝑏 + 𝑗𝑤𝑎 = 𝑅𝑒 + 𝑗𝜔𝐿𝑒

B.1.3 Capacitancia

Para este modelo se considera la capacitancia geométrica en la ecuación ( B-5 ) donde se

excita el conductor aéreo y se toma como referencia el retorno por tierra. Por lo tanto, la

capacitancia es independiente de la excitación y depende únicamente de la geometría

[39] [34].

𝐶 =2𝜋휀0

𝑙𝑛 (2ℎ𝑟𝑤

) ( B-5 )

También se cumple la identidad en la ecuación ( B-6 ) para la capacitancia geometría y la

inductancia geométrica [34] [39].

𝐿𝑔𝐶 = 𝜇0휀0 ( B-6 )

Lo cual permite calcular uno de los parámetros en función del otro, ayudando a reducir el

número de cálculos.

B.1.4 Impedancia interna del conductor

Se calcula considerando el efecto piel en el conductor aéreo a través del concepto de

profundidad de penetración compleja, ver ecuación ( B-7 ) que depende de las

propiedades eléctricas del conductor aéreo. En la figura 29 se muestra la sección

transversal del conductor aéreo y el efecto piel caracterizado por una profundidad de

penetración 𝛿 menor que el radio del conductor 𝑟𝑤 [39].

.



𝑟𝑤 𝛿

Fig. B-2 Sección transversal del conductor aéreo y su profundidad de penetración

Para obtener la Impedancia del conductor aéreo 𝑍𝑤, ecuación ( B-10 ), a frecuencias

relativamente altas de algunos cientos de kHz se obtiene a partir de la aportación de

corriente continua en la ecuación ( B-8 ), más la aportación de alta frecuencia en la

ecuación ( B-9 ).

𝛿 = √𝜌𝑤

𝑗𝜔𝜇𝑤 ( B-7 )

Donde 𝜌𝑤 y 𝜇𝑤 caracterizan al material del conductor aéreo.

𝑅𝐶𝐷 =𝜌𝑤

𝐴=

𝜌𝑤

𝜋𝑟𝑤2 ( B-8 )

𝑍𝐻𝐹 =𝜌𝑤

2𝜋𝑟𝑤𝛿 ( B-9 )

La diferencia entre estos dos términos radica en que para la C.D. se considera toda el área

de la sección transversal del conductor cilíndrico y para alta frecuencia la sección

transversal es una dona con ancho 𝛿 que se puede observar en la Fig. B-2, nótese que en

la ecuación ( A-9 ) se ha hecho una simplificación más.

𝑍𝑤 = √𝑅𝐶𝐷2 + 𝑍𝐻𝐹

2 ( B-10 )

La impedancia serie generalizada en la ecuación (A-11) resulta de la suma de la

impedancia geométrica, la impedancia del dominio de tierra y la impedancia de conductor

aéreo.

𝑍 = 𝑍𝑔 + 𝑍𝑒 + 𝑍𝑤 (B-11 )



La admitancia en derivación se define con la ecuación ( B-12 ) a partir de la conductancia y

la capacitancia, en el caso de la línea de transmisión aérea generalmente se supone 𝐺 = 0

debido a que las corrientes de desplazamiento en el aire son cero.

𝑌 = 𝐺 + 𝑗𝜔𝐶 ( B-12 )

B.2 Línea multiconductora

También se emplea el método de imágenes complejas para determinar la matriz 𝑍 de una

línea de transmisión trifásica, aunque se puede extender fácilmente a n (número de

fases).

𝑟𝑤

ℎ𝑖

ℎ𝑖

𝑟𝑤

ℎ𝑘

ℎ𝑘

𝑘’

𝑑𝑖𝑘

𝐷𝑖𝑘

𝑖 𝑘

𝑖’

Fig. B-3 Método de imágenes para el caso multiconductor



𝑟𝑤

ℎ𝑖

ℎ𝑖

𝑟𝑤

ℎ𝑘

ℎ𝑘 𝑘’

𝑑𝑖𝑘

𝐷′𝑖𝑘

𝑖 𝑘

𝑖’

𝑃

𝑃

Fig. B-4 Método de imágenes complejas que considera la profundidad de penetración en el domino de tierra para el caso multiconductor

B.2.1 Matriz de inductancias

Al igual que la inductancia geométrica del caso monofásico, existe una matriz de

inductancias geométricas que depende de la geometría de la línea multiconductora, ver

Fig. B-3.

B.2.1.1 Valores propios

Las entradas que corresponden a la diagonal principal de la matriz 𝐿 corresponden a los

valores propios de cada una de las fases considerando el efecto piel en el dominio de

tierra, se obtiene a partir de la ecuación ( B-13 ) que fue desarrollada de manera similar a

la ecuación ( B-3 ), ℎ𝑖 y 𝑟𝑖 corresponden a la altura y el radio de la i-ésima fase

respectivamente.

𝐿𝑖𝑖 =𝜇0

2𝜋𝑙𝑛 (

2(ℎ𝑖 + 𝑃)

𝑟𝑖) ( B-13 )



De manera similar que el caso monofásico, 𝐿𝑖𝑖 contiene información implícita de la

inductancia geométrica propia y la Inductancia compleja del domino de tierra debido al i-

ésimo conductor aéreo

𝐿𝑖𝑖 = 𝐿𝑔𝑖𝑖+ 𝐿𝑒𝑐𝑖𝑖

( B-14 )

Análogamente a la ecuación ( B-4 ) se obtiene la ecuación ( B-15 ) que se puede usar para

obtener la impedancia propia en el domino de tierra al multiplicarla por el factor 𝑗𝜔.

𝐿𝑒𝑐𝑖𝑖=

𝜇0

2𝜋𝑙𝑛 (1 +

𝑃

ℎ𝑖) ( B-15 )

𝑍𝑒𝑖𝑖= 𝑗𝜔𝐿𝑒𝑐𝑖𝑖

= 𝑅𝑒𝑖𝑖+ 𝑗𝜔𝐿𝑒𝑖𝑖

B.2.1.2 Valores mutuos

En la matriz 𝐿 fuera de la diagonal principal, se tienen los valores mutuos entre las fases

del sistema multiconductor, 𝐷𝑖𝑘′ y 𝑑𝑖𝑘 son la norma de distancia entre el conductor i-ésimo

y la imagen del conductor k-ésimo considerando el efecto piel en la tierra y la norma de

distancia entre el conductor i-ésimo y k-ésimo, se definen a partir de las ecuaciones ( B-21

) y ( B-20 ) respectivamente y se pueden apreciar en la Fig. B-4

𝐿𝑖𝑘 =𝜇0

2𝜋𝑙𝑛 (

𝐷𝑖𝑘′

𝑑𝑖𝑘) ( B-16 )

La inductancia mutua entre los conductores i-ésimo y k-ésimo solo contiene información

de la inductancia geométrica mutua y la inductancia compleja de retorno por tierra,

debido a los conductores i-ésimo y k-ésimo definidos cada uno en la ecuación ( B-17 ) y (

B-18 ) con 𝐷𝑖𝑘 distancia entre el conductor i-ésimo y la imagen del conductor k-ésimo sin

considerar el efecto piel en la tierra como se muestra en la Fig. B-3, ver ecuación ( B-19 ).

𝐿𝑖𝑘 = 𝐿𝑔𝑖𝑘+ 𝐿𝑒𝑐𝑖𝑘

𝐿𝑔𝑖𝑘=

𝜇0

2𝜋𝑙𝑛 (

𝐷𝑖𝑘

𝑑𝑖𝑘) ( B-17 )



𝐿𝑒𝑐𝑖𝑘=

𝜇0

2𝜋𝑙𝑛 (

𝐷𝑖𝑘′

𝐷𝑖𝑘) ( B-18 )

Las siguientes ecuaciones definen distancias entre conductores y se pueden ver en la Fig.

B-3 y Fig. B-4.

𝐷𝑖𝑘 = √(𝑥𝑖 − 𝑥′𝑘)2 + (ℎ𝑖 + ℎ′𝑘)2 ( B-19 )

𝑑𝑖𝑘 = √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑘)2 + (ℎ𝑖 − ℎ𝑘)2 ( B-20 )

𝐷𝑖𝑘′ = √(𝑥𝑖 − 𝑥′𝑘)2 + (ℎ𝑖 + ℎ′𝑘 + 2𝑃)2 ( B-21 )

La matriz de Impedancia serie generalizada se calcula como la adición de las matrices de

impedancia geométrica, de impedancia del dominio de tierra y de impedancia del

conductor. Nótese que este último es una matriz diagonal, es decir, no considera

elementos mutuos, además se calcula de manera idéntica que para el caso monofásico

donde se obtienen una aportación de CD y una de alta frecuencia para un conductor, así

que para el caso multiconductor, todas las entradas diagonales de la matriz de impedancia

interna de los conductores aéreos son iguales porque se suponen iguales todos los

conductores.

𝑍 = 𝑍𝑔 + 𝑍𝑒 + 𝑍𝑤 ( B-22 )

Se pueden factorizar las matrices de inductancia geométrica y de inductancia en el

dominio de tierra con 𝑗𝜔 como factor común y sumadas con la matriz de resistencias

propias en el dominio de tierra, debido a que no se consideran las resistencias mutuas, la

matriz de impedancia interna de los conductores aéreos, se observa que estas dos últimas

matrices son diagonales.

𝑍 = 𝑗𝜔(𝐿𝑔 + 𝐿𝑒) + 𝑅𝑒 + 𝑍𝑤

Aunque la matriz de impedancia en el domino de tierra sea llena, la matriz de resistencia

de tierra es diagonal, La matriz de inductancia de tierra considera tanto inductancias

mutuas como las propias, ver ecuación ( B-18 ).

𝑍𝑒 = 𝑗𝜔𝐿𝑒𝑐 = 𝑅𝑒 + 𝑗𝜔𝐿𝑒



B.2.2 Matriz de capacitancias

Como en el caso monofásico se considera únicamente la capacitancia geométrica [34]. Se

cumple la identidad en la ecuación ( B-23 ) para las matrices de capacitancia geométrica y

de inductancia geométrica, donde 𝐼 es la matriz identidad [39].

𝐿𝑔𝐶 = 𝜇0휀0𝐼 ( B-23 )

La carga en la superficie del conductor i-ésimo debido a las tensiones propias y en los

demás conductores y los acoplamientos capacitivos tanto el propio como los mutuos se

expresa en la ecuación ( B-24 ), define un vector de cargas 𝑄 que junto con la matriz de

potenciales de Maxwell forman la ecuación ( B-25 )

𝑞𝑖 = 𝐶𝑖1𝑉1 + 𝐶𝑖2𝑉2 + ⋯+ 𝐶𝑖𝑛𝑉𝑛 ( B-24 )

𝑄 = 𝐶𝑉

𝑉 = 𝑃𝑄 ( B-25 )

Entradas de la diagonal principal de la matriz de potenciales de Maxwell

𝑃𝑖𝑖 =1

2𝜋휀0𝑙𝑛 (

2ℎ

𝑟𝑤) ( B-26 )

Entradas fuera de la diagonal principal de la matriz de potenciales de Maxwell

𝑃𝑖𝑘 =1

2𝜋휀0𝑙𝑛 (

𝐷𝑖𝑘

𝑑𝑖𝑘) ( B-27 )

La matriz de Admitancia en derivación al igual que en el caso monofásico se desprecia la

matriz de conductancias en derivación 𝐺 = 0.

𝑌 = 𝐺 + 𝑗𝜔𝐶 = 𝑗𝜔𝑃−1 ( B-28 )



C) Método analítico utilizado por C. Tejada

Este método es el considerado como analítico para el cálculo de perfiles de RI, además fue

propuesto por C. Tejada en [9]. Este método fue aplicado para determinar perfiles

monofásicos (ver Fig. C-1) y trifásicos (ver Fig. C-2) sin embargo en este trabajo solo

detallamos el caso de la línea multiconductora.

c

∆𝑧

𝐼

𝐼 + ∆𝐼

𝑉

+

-

+

-

𝑉 + ∆𝑉

Z∆𝑧

Y∆𝑧 𝐽∆𝑧

Fig. C-1 Elemento infinitesimal de línea de transmisión aérea monofásica con una

inyección de corriente de corona en derivación

C.1 Línea Multiconductora

El modelo de inyección de corriente corona en una línea de transmisión aérea monofásica

se presenta en la Fig. C-2 y es obtenida a partir de las ecuaciones del telegrafista en

ecuación ( C-29 ). Para el caso trifásico el modelo es muy similar, se consideran otras dos

fases y se tienen matrices en lugar de escalares para los parámetros [13].

−𝑑𝑉

𝑑𝑧= 𝑍𝐼

−𝑑𝐼

𝑑𝑧= 𝑌𝑉 − 𝐽

( C-29 )



Por lo tanto se requiere el conocimiento preciso de las matrices de impedancia serie y

admitancia en derivación, esto constituye el primer paso, el cálculo de estos parámetros

realizado con el método de imágenes descrito en el anexo B.

𝑅3∆𝑧

𝑅2∆𝑧

𝑅1∆𝑧

𝐿12∆𝑧

𝐿33∆𝑧

𝐿22∆𝑧

𝐿11∆𝑧 𝐿13∆𝑧

𝐿23∆𝑧 𝐶33∆𝑧

𝐶22∆𝑧

𝐶11∆𝑧

𝐶23∆𝑧

𝐶12∆𝑧

𝐶13∆𝑧

∆𝑧

𝐽1∆𝑧

𝐽2∆𝑧

𝐽3∆𝑧

Fig. C-2 Elemento infinitesimal de línea de transmisión aérea trifásica con tres inyecciones de corriente corona

Se obtiene el Gradiente de potencial eléctrico promedio en la superficie de un conductor

de radio r, por medio de la ecuación ( C-31 ). La carga en el conductor se calcula

previamente con la ecuación ( C-30 )que requiere a la matriz de capacitancia 𝑪 y el vector

de tensiones en secuencia positiva en el dominio de fases 𝑉

𝑞 = 𝐶𝑉 ( C-30 )

𝑔𝑎𝑣 =1

𝑛ℎ𝑎𝑧(

𝑞

2𝜋휀0𝑟𝑤) ( C-31 )

Dónde:

𝑞 Carga



휀0 Permitividad de vacío

𝑟𝑤 Radio de cada conductor

𝑛ℎ𝑎𝑧 Número de conductores por haz

Mientras que para el caso trifásico el campo eléctrico máximo en la superficie del

conductor del i-ésimo haz se calcula con la siguiente fórmula, donde 𝑅ℎ𝑎𝑧𝑖 es el radio del

haz:

𝑔𝑚𝑖= 𝑔𝑎𝑣𝑖

[1 + (𝑛𝑐 − 1)𝑟𝑤𝑖

𝑅ℎ𝑎𝑧𝑖

] ( C-32 )

Ya en este punto se procede a calcular la función de excitación, se selecciona la fórmula

BPA de la Tabla C-1, donde 𝑑 corresponde al diámetro del conductor en [cm].

Tabla C-1 Fórmulas empíricas para cálculo de la fusión de excitación

CIGRÉ (lluvia densa) Γ = −40.69 + 3.5𝑔𝑚 + 6𝑑

BPA (ambiente

desfavorable estable) Γ = 37.02 + 120log (

𝑔𝑚

15) + 40𝑙𝑜𝑔 (

𝑑

4)

IREQ (lluvia densa) Γ = −93.03 + 92.42 log(𝑔𝑚) + 43.02 𝑙𝑜𝑔(𝑑)

EPRI (lluvia densa) Γ = 76.62 −580

𝑔𝑚+ 38 𝑙𝑜𝑔 (

𝑑

3.8)

Es momento de determinar las corrientes de inyección debidas a la descarga corona, se

aplica análisis modal para obtener las constantes de atenuación y corrientes en el dominio

de modos. Se tiene que:

𝜆𝑉 = 𝑀−1𝑍𝑌𝑀

𝜆𝐼 = 𝑁−1𝑍𝑌𝑁

𝜆𝑉 matriz de valores propios (diagonal) del producto ZY

𝑀 Matriz de vectores propios del producto ZY

𝜆𝐼 matriz de valores propios (diagonal) del producto YZ



𝑁 Matriz de vectores propios del producto YZ

Con 𝜆𝑉 = 𝜆𝐼 = 𝜆 y 𝑀 = (𝑁𝑡)−1, la matriz de constantes de propagación modal Ψ y la de

constantes de atenuación modal 𝑎𝑚 se calculan de la siguiente forma:

Ψ = √𝜆 ( C-33 )

La matriz de constantes de atenuación α se obtiene de la parte real de Ψ. El vector de

corrientes de inyección de corona se obtiene de la siguiente ecuación:

Jcorona =𝐶

2𝜋휀0

Γ

Se aplica una transformación para pasarla al dominio modal.

J𝑚 = 𝑁−1𝐽𝑐𝑜𝑟𝑜𝑛𝑎

Posteriormente es usada para calcular la corriente de inyección de corona en el dominio

modal con la ecuación ( C-34 ).

I𝑚 =

[

𝐽𝑚1

2√𝛼𝑚1

𝐽𝑚2

2√𝛼𝑚2

⋮𝐽𝑚1

2√𝛼𝑚𝑛]

( C-34 )

Donde Jm1

, Jm2

,…, Jmn

son los elementos del vector Jm

, mientras que αm1

, αm1

,…, αmn

son las

constantes de atenuación modales.

El flujo de corriente en el domino de fases en todos los conductores debido a cada uno de

los modos se calcula con la transformación mostrada en la ecuación ( C-35 ).

𝐼 = 𝑁𝐼𝑚 ( C-35 )

La intensidad de campo magnético a una distancia horizontal x de la línea (a nivel del

terreno) debido al k-ésimo modo se calcula como:

𝐻𝑥𝑘 = ∑𝐼𝑖,𝑘

2𝜋[

ℎ𝑖

ℎ𝑖2 + (𝑥𝑖 − 𝑥)2

+ℎ𝑖 + 2𝑃

(ℎ𝑖 + 2𝑃)2 + (𝑥𝑖 − 𝑥)2]

𝑛

𝑖=1

( C-36 )



𝐼𝑖,𝑘 i-ésimo renglón, k-ésima columna de 𝐼

ℎ𝑖 Altura i-ésimo conductor

𝑥𝑖 Distancia del i-ésimo conductor

𝑥 Punto de medición

La componente vertical correspondiente de intensidad de campo eléctrico, asumiendo

nuevamente un modo de propagación cuasi-TEM.

𝐸𝑦,𝑘 = 𝑍0𝐻𝑥,𝑘 ( C-37 )

Después de determinar la componente de intensidad de campo eléctrico debida a cada

modo, el campo eléctrico total debido a todos los modos se calcula mediante una suma

rms.

𝐸𝑦𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= √∑|𝐸𝑦,𝑘|

2𝑛

𝑘=1

( C-38 )

La ecuación anterior se justifica suponiendo que las velocidades de cada modo son iguales

y por lo tanto las corrientes modales están en fase.

Finalmente se aplica el criterio establecido por la CISPR [36], el cual indica que si uno de

los campos es más alto que los demás por más de 3 dBμV/m, el instrumento de medición

sólo tomará en cuenta dicho campo. De lo contrario, se tomarán los dos campos más altos

y se aplicará la siguiente ecuación para obtener el campo total:

𝐸𝐶𝐼𝑆𝑃𝑅 =𝐸1 + 𝐸2

2+ 1.5 [dBμV/m] (C-39 )

Las constantes de atenuación se calculan directamente de los parámetros eléctricos de la

línea, en los cuales se considera el efecto “skin” en conductores y el plano del terreno. El

sistema se desacopla aplicando análisis modal, de tal manera que la precisión no se ve

afectada en el análisis de sistemas con configuraciones geométricas arbitrarias.



D) Artículos publicados

o Cristian H. Sánchez, G. Iván Cruz, Pablo Gómez, Fermín P. Espino, “Efecto de la

corriente de retorno por tierra en el cálculo de la impedancia serie de líneas de

transmisión”, Vigésima Séptima Reunión de Verano de Potencia y Aplicaciones

Industriales RVP-AI/2014, Acapulco, Gro., México, 20 al 26 de Julio del 2014

o G. Iván Cruz, Cristian H. Sánchez, Pablo Gómez, Fermín P. Espino, “Cálculo de la

impedancia serie de cables subterráneos aplicando el enfoque del método del

elemento finito”, CONCAPAN XXXIV Panamá 2014, ciudad de Panamá, los días

12, 13 y 14 de noviembre del 2014.

instituto politÉnio naional

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