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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO UTILIZANDO LÓGICA DIFUSA
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
P R E S E N T A N
ALARCÓN SÁNCHEZ ISRAEL ABRAHAM LUGO ORTIZ DIANA ISLET
MALDONADO ORDORICA RUBÉN ALEJANDRO
ASESOR TÉCNICO:
Dr. CARLOS ROMÁN MARIACA GASPAR
ASESOR METODOLÓGICO: ING. MARISOL SALINAS SALINAS
MÉXICO, D. F. 2011
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Índice
ÍNDICE
CAPÍTULO 1.- Introducción .............................................................................. 5
1.1.- Objetivos ................................................................................................................ 6
1.2.- Justificación del proyecto ....................................................................................... 7
1.3.- Planteamiento del problema ................................................................................... 8
CAPÍTULO 2.- Marco teórico ............................................................................. 9
2.1.- Lógica difusa .......................................................................................................... 9
2.2.- Control difuso ......................................................................................................... 9
2.3.- Funciones de membresía ..................................................................................... 10
2.4.- Conjuntos difusos ................................................................................................. 14
2.5.- Modulo de fusificación .......................................................................................... 14
2.6.- Base de conocimientos ........................................................................................ 16
2.7.- Motor de inferencia .............................................................................................. 17
2.8.- Módulo de defusificación ...................................................................................... 18
2.9.- Base de Reglas .................................................................................................... 19
2.10.- Modelo Mamdani ................................................................................................ 21
2.11.- Modelo Takagi-Sugeno-Kang (TSK) ................................................................... 23
2.12.- Control PID ........................................................................................................ 24
2.13.- Sistemas de control a lazo abierto ..................................................................... 26
2.14.- Sistemas de control a lazo cerrado ................................................................... 26
2.15.- Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo
abierto .......................................................................................................................... 27
2.16.- Matlab ................................................................................................................ 28
2.17.- Simulink ............................................................................................................. 28
2.18.- Puente H ........................................................................................................... 29
2.19.- Giroscopio .......................................................................................................... 29
2.20.- Tarjeta de Adquisición de Datos (DAC) .............................................................. 30
2.21.- Optoacoplador .................................................................................................... 30
2.22.- Operación y circuito NOT también llamado Inversor ........................................... 31
2.23.- Potenciómetro............................................................................................. 32
2.24.- Motor de Corriente Directa .......................................................................... 32
2.24.1.- Obtención del voltaje DC de salida de la espira rotatoria .................................. 32
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Índice
2.24.2.- Par inducido en la espira rotatoria......................................................................... 34
2.24.3.- Conmutación en una espira DC sencilla de cuatro espiras .............................. 35
2.24.4.- Desplazamiento de las escobillas ......................................................................... 36
2.24.5.- Ecuaciones de voltaje interno generado y par inducido en máquinas DC. .... 37
2.25.- Modelo matemático del péndulo invertido .......................................................... 38
2.25.1.- Análisis no lineal ...................................................................................................... 42
2.25.2- Análisis lineal ............................................................................................................. 42
CAPÍTULO 3- Desarrollo .................................................................................. 44
3.1.- Primera etapa: Diseño .......................................................................................... 44
3.1.1.- Diagrama de flujo ....................................................................................................... 52
3.2.- Segunda etapa: Simulaciones .............................................................................. 53
3.2.1.- Control PID .................................................................................................................. 53
3.2.2.- Control difuso .............................................................................................................. 57
3.3.- Tercera etapa: Implementación ............................................................................ 60
CAPÍTULO 4.- Pruebas y resultados .............................................................. 67
4.1 Modificaciones........................................................................................................ 72
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................. 77
GLOSARIO ........................................................................................................ 79
ANEXOS ............................................................................................................ 81
ANEXO 1.- Giroscopio LPY530AL ................................................................................ 81
ANEXO 2.- Puente H L293D ........................................................................................ 82
ANEXO 3.- Optoacoplador MOC2130 .......................................................................... 83
ANEXO 4.- Compuerta NOT 74LS04 ........................................................................... 84
ANEXO 5.- Regulador de voltaje LM317A .................................................................... 85
ANEXO 6.- DAC PH1018 ............................................................................................. 86
ANEXO 7.- Potenciómetro de precisión de 10 vueltas .................................................. 87
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Capítulo 1.- Introducción
CAPÍTULO 1.- Introducción
La aplicación de la teoría de control a problemas prácticos ha sido demostrada en
muchas ocasiones diseñando leyes de control para sistemas simples. Un ejemplo
típico de sistema inestable es el péndulo invertido.
El sistema a desarrollar es el péndulo invertido, en un principio se va a analizar su
comportamiento utilizando lógica difusa y a la vez compararlo con el diseño del
péndulo invertido con control PID de forma simulada, con ayuda de la herramienta
de Matlab „Simulink‟1. Posteriormente se podrá desarrollar el prototipo para
comparar los resultados reales y simulados, obteniendo un mejor enfoque y
comprensión del modelo difuso.
El péndulo invertido es uno de los sistemas más empleados en la educación de la
teoría de control moderna, se compone básicamente de un brazo articulado
montado en un carro, que puede moverse de forma horizontal; el brazo se mueve
libremente alrededor de la articulación en el carro, y el objetivo del control es llevar
el brazo al punto de equilibrio estable.
Sin ningún tipo de medidas de control en el carro y considerando que, si la barra
inicialmente está en posición vertical, hasta la más mínima perturbación externa
en el carro haría que la barra perdiera el equilibrio y por lo tanto que el sistema
sea inestable.
Una de las principales aplicaciones de éste sistema es en el diseño de robots,
principalmente piernas y extremidades, satélites, además de grúas.
1 Simulink.- Marca Registrada de Matlab
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Capítulo 1.- Introducción
1.1 .- Objetivos
a) General
Diseñar e implementar un controlador, utilizando técnicas avanzadas de
control para la estabilización de un péndulo invertido rotante, a partir de un
modelo existente del péndulo invertido.
b) Específicos
Obtener un modelo matemático lineal para el sistema del péndulo invertido
con control difuso.
Aplicar y comparar las simulaciones de los modelos matemáticos de control
clásico y control difuso.
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Capítulo 1.- Introducción
1.2 .- Justificación del proyecto
Actualmente nuestra institución no cuenta con equipo de apoyo a las materias
impartidas, dejando a estas en análisis matemático y simulación. Con lo cual el
prototipo del péndulo invertido servirá como apoyo a prácticas de laboratorio para
las materias de control inteligente, sistemas no lineales, control analógico,
servomecanismos, entre otras. Debido a que el péndulo invertido es el ejemplo
básico con el cual podemos entender las aplicaciones del desarrollo a nivel
industrial.
Este proyecto puede ser aplicado no solo a nivel educativo, debido a que, al contar
con técnicas de control moderno, podemos encontrar ejemplos en la industria, tal
es el caso de los novedosos segway2 que día a día siguen innovándose
exponencialmente, además de aplicarse en robots y satélites modernos.
Al realizar la comparación entre ambas técnicas de control (clásico y difuso) se
podrá observar cuál de estas tiene mejor desempeño de forma simulada y
quedara demostrado utilizando técnicas de lógica difusa de manera física con
nuestro prototipo del péndulo invertido.
2 Vehículo de transporte ligero giroscópico de dos ruedas, con auto balanceo controlado. Es producido por la
compañía Segway
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Capítulo 1.- Introducción
1.3.- Planteamiento del problema
El proyecto a desarrollar de manera física y simulada es un péndulo invertido
rotante utilizando técnicas de control moderno (Espacio de estados,
Servomecanismos, Lógica difusa); con las cuales se controlará el péndulo
tomando en cuenta las diversas características que afectan su equilibrio, tales
como las perturbaciones, longitud, velocidad, masa, fuerza, fricción y gravedad.
La lógica difusa ha surgido como un método importante para el control de
subsistemas y procesos industriales complejos, así como, también para la
electrónica de entretenimiento y hogar, sistemas de diagnóstico y otros sistemas
expertos.
Se desea implementar este estudio y proyecto para acrecentar el interés en la
comunidad politécnica, ya que es un ramo con mucho potencial a explotar, debido
a que no solo tiene términos académicos si no también puede ser utilizado para
investigación y lucro.
Los péndulos invertidos existentes, en su mayoría son utilizando PID, es decir
control proporcional integral derivativo, con el control difuso se puede lograr un
control más eficiente y con mejor ahorro de energía ya que utiliza un proceso más
complejo pero reducido en software comparado con el PID.
9
Capítulo 2.- Marco teórico
CAPÍTULO 2.- Marco teórico
2.1.- Lógica difusa
La lógica difusa es una extensión de la lógica clásica diseñada para permitir el
razonamiento sobre conceptos imprecisos. Así podremos formalizar proposiciones
como “la velocidad del motor es muy alta” o “el paciente tiene una fiebre
moderada”, que son difíciles de representar adecuadamente en la lógica clásica.
Básicamente, la lógica difusa es una lógica multivaluada que permite una
gradación continua en el valor de verdad de una proposición, al poder utilizar
cualquier valor en el intervalo {0,1}. [4]
Actualmente, la lógica difusa se aplica sobre todo al desarrollo de sistemas
expertos difusos. El uso de conceptos difusos permite definir reglas que formalicen
conocimiento impreciso de manera natural (por ejemplo, “si el paciente tiene fiebre
alta y es muy joven, entonces la dosis debe ser moderada”). En particular, el
número de aplicaciones en el área de ingeniería y control industrial es muy
elevado, ya que los sistemas difusos permiten, formulando reglas sencillas,
conseguir un “control suave” de los procesos.
2.2.- Control difuso
El control difuso es una clase de los sistemas basados en conocimiento KBS3.
Una definición muy general para un sistema KBS es la siguiente:
Un KBS para el control de lazo cerrado es un sistema de control que mejora el
funcionamiento, la confiabilidad y la solidez de control mediante la incorporación
de conocimiento que no puede ser incluido en el modelo analítico en el cual se
basa el diseño de un algoritmo de control, conocimiento que es usualmente
considerado por modos manuales de operación o por otros mecanismos lógicos
auxiliares. [3]
3 Del ingles Knowledge Based System
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Capítulo 2.- Marco teórico
Un sistema de control difuso es un sistema experto en tiempo real, que
implementa parte de la experiencia de los operadores, la cual por sí misma no se
puede expresar fácilmente, como los parámetros de un control PID o como
ecuaciones diferenciales (sean estas lineales o no lineales, continuas o discretas).
2.3.- Funciones de membresía
Los valores lingüísticos adoptados por las variables en la regla antecedente y
consecuente, y la representación simbólica de las normas son lo suficientemente
buenos para permitir un análisis cualitativo sobre la estabilidad del sistema de lazo
cerrado. Sin embargo, para las necesidades de la descripción cuantitativa del
comportamiento del sistema de lazo cerrado, con la participación del cálculo de la
salida de control cuantitativo, se necesita una interpretación cuantitativa del
significado de los valores lingüísticos. Permitiendo los dominios físicos de
respectivamente. Los elementos de estos dominios se
denotan por El significado o interpretación de un valor particular LX
lingüística de una variable x viene dada por conjuntos difusos o definido en
el dominio (el universo del discurso) X de x como:
Ahora suponiendo eso 4 los
términos del conjunto que contienen los valores lingüísticos de las tres variables
lingüísticas son iguales. En este caso tenemos que definir veintiún funciones de
pertenencia que representa el significado de cada valor lingüístico del plazo fijado
por encima de los respectivos dominios Para la eficiencia
computacional, el uso eficiente de la memoria, y las necesidades de análisis de
4 Conjunto de términos de reglas de errores en un dominio normalizado
11
Capítulo 2.- Marco teórico
rendimiento, se requiere una representación uniforme de las funciones de
pertenencia. Esta representación uniforme se puede lograr mediante el empleo de
funciones de membresía de una forma uniforme y definición paramétrica y
funcional.
Fig. 2.3.1.- Mapeo del conjunto de términos de error normalizados en el dominio [-6,6]
Las opciones más populares para la forma de la función de membresía son
triangulares, trapezoidales, y las funciones en forma de campana. Estas tres
opciones se pueden explicar por el ápice que se puede obtener de una descripción
paramétrica y funcional de la función de pertenencia, almacenar la memoria ápice
uso mínimo, y manipulados de manera eficiente, en términos de requisitos de
tiempo real, por el motor de inferencia. Las figuras 2.3.2 a 2.3.4 representan las
tres opciones para las funciones de membresía. [3]
Fig. 2.3.2. Función de membresía triangular ,)
1
α β
12
Capítulo 2.- Marco teórico
Fig. 2.3.3. Función de membresía trapezoidal
Fig. 2.3.4. Función de membresía de forma campana
Es fácil ver que la descripción paramétrica y funcional de la función de membresía
de forma triangular es la que predomina en este tipo de funciones de membresía.
Una vez que la forma de la función de membresía se ha seleccionado, hay que
asignar cada elemento del conjunto de términos en el dominio de la variable
lingüística correspondiente.
En un conjunto bien definido, la pertenencia o no pertenencia de un elemente x a
un conjunto A se describe mediante la función característica como se
describe a continuación.
1
α β
1
-β
+β
13
Capítulo 2.- Marco teórico
Dicha función es llamada función de membresía de A, y está definida para todos
los elementos del universo, esta función hace un mapeo de todo el universo U a
su conjunto de evaluación de dos elementos {0,1}, esto se escribe como:
La asignación de los valores lingüísticos de una variable en su dominio puede
afectar al rendimiento de la FKBC de varias maneras.
Generalmente se aplican funciones de transferencia triangulares, cuando el
sistema difuso se emplea como estrategia de control, y gaussianas, cuando se
emplea el sistema difuso como aproximador universal, en los antecedentes y
pulsos unitarios en los consecuentes. Las funciones de membresía en las que el
ancho derecho e izquierdo coincide se denominan simétricas, en caso contrario
asimétricas. Al punto en el que se cortan dos funciones de membresía se le
denomina punto de cruce. El nivel de cruce es el grado de membresía que
adquiere el punto de cruce en cualquiera de las dos funciones de membresía. Al
número de puntos de cruce entre dos funciones de membresía se denomina
relación de punto de cruce. Las funciones de membresía de los antecedentes, con
respecto a estos últimos parámetros, suelen ser de tal forma que el nivel del punto
de cruce es distinto de cero.
El empleo de funciones de membresía gaussianas en los antecedentes, al usar los
sistemas difusos como aproximadores universales, se debe a que generan
funciones escalares de salida, en función de las entradas escalares, continuas y
derivables. Esto permite la aplicación de los algoritmos de propagación hacia atrás
de mínimos cuadrados recursivos para determinar la estructura difusa que mejor
aproxima una determinada superficie de entrada.
14
Capítulo 2.- Marco teórico
2.4.- Conjuntos difusos
La lógica difusa trabaja con conjuntos a los cuales llamamos conjuntos difusos,
estos conjuntos están definidos por sus funciones de pertenencia, la cual expresa
la distribución de verdad de una variable.
Un conjunto difuso se puede definir matemáticamente al asignar a cada posible
individuo que existe en el universo, un valor que representa su grado de
membresía en el conjunto difuso. Este grado de membresía indica cuando el
elemento es similar o compatible con el concepto representado por el conjunto
difuso.
2.5.- Modulo de fusificación
La estructura principal de un FKBC se ilustra en la figura 2.5.1 y se conforma de
los siguientes componentes: [3]
El módulo de fusificación (FM) realiza las siguientes funciones:
FM-F1: realiza una transformación de escala (a la normalización de
entrada) que asigna los valores físicos de las variables de estado del actual
proceso de normalización (dominio normalizado). También asigna el valor
normalizado de la variable de control de salida sobre su dominio físico
(desnormalización de salida). Cuando un dominio normalizado no se utiliza,
entonces no hay necesidad de FM-F1
FM-F2: Realiza la llamada fusificación que convierte un point-wise, al valor
actual de una variable de estado del proceso en un conjunto difuso, con el
fin de hacerla compatible con la representación de conjuntos difusos de la
variable de estado del proceso en el antecedente de la regla.
15
Capítulo 2.- Marco teórico
Elección de la estrategia de fusificación:
La elección es determinada por el tipo de motor de inferencia o de activación de la
regla empleada en el uso particular de un FKBC. Por lo tanto solo hay dos
opciones disponibles:
1.- Fusificación en el caso de que la inferencia este basada en la composición.
2.- Fusificación en el caso de que la inferencia este basada en la regla individual.
La etapa de fusificación se encarga de la transformación de las variables
controladas entregadas por el proceso, en variables de tipo lingüísticas, como
resultado de la fusificación se obtienen valores lingüísticos medidos.
Flujo computacional
Flujo de información
Traducción simbólica del significado
Fig. 2.5.1.- Estructura de un FKBC
Normalización
FM-F1
Desnormalización
DM-F1
Fusificación
FM-F2
Defusificación
DM-F2
Motor de
inferencia
Base de reglas
Sentido de la
representación
Base de datos
Base de reglas
Representación
simbólica
Estado del proceso nítido
Valores
Salida de control nítido
Valores
FM DM
Opcional
Obligatorio
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Capítulo 2.- Marco teórico
2.6.- Base de conocimientos
La base de conocimientos de un FKBC consiste en una base de datos y una base
de reglas.
Las funciones básicas de la base de datos es proporcionar la información
necesaria para el buen funcionamiento del módulo de fusificación, la base de
reglas, y para el módulo de defusificación. Esta información incluye: [3]
Conjuntos difusos (funciones de membresía) representa el significado de los
valores lingüísticos del estado del proceso y las variables de control de salida.
Dominios físicos y sus homólogos normalizados junto con la
normalización/desnormalización (ampliación) de sus factores.
Si el dominio del estado del proceso y las variables de control de salida se han
discretizado, la base de datos también contiene información sobre la cuantificación
(discretización). Para el caso predominante continuo y dominios normalizados los
parámetros de diseño de la base de datos incluyen:
Elección de las funciones de membresía
Elección de los factores de escalamiento
La función básica de la base de reglas es representar de una manera estructurada
la política de control de la experiencia del proceso de un operador en forma de un
conjunto de normas de producción, tales como:
Sí (proceso del estado) entonces (salida de control)
La parte „Si‟ de esta norma se llama antecedente de la regla y es la descripción de
un estado del proceso en términos de una combinación lógica de las
proposiciones atómicas difusas. La parte „entonces‟ de esta norma es llamada la
17
Capítulo 2.- Marco teórico
consecuencia de la regla y es también una descripción de la salida de control en
términos de combinaciones lógicas de las proposiciones difusas.
2.7.- Motor de inferencia
Has dos tipos básicos de métodos empleados en el diseño del motor de inferencia
de un FKBC: [3]
1) Composición a base de inferencia (disparo)
2) Regla individual de inferencia de base (disparo)
En nuestro caso solo consideraremos el segundo tipo de inferencia, debido a su
uso predominante en las aplicaciones del FKBC. La función básica del motor de
inferencia del segundo tipo consiste en calcular el valor total de la variable de
salida de control basado en las contribuciones individuales de cada regla en la
base de reglas. La contribución de cada individuo representa los valores de las
variables de control de salida calculado por una sola regla. La salida del módulo
de fusificación, que representa los valores actuales, nítidos de las variables de
procesos de estado, se corresponde a cada antecedente de la regla y un grado de
satisfacción de la altura de cada regla establecida. El conjunto de todos los valores
de salida de las normas de control representan el valor total de salida de control,
en este contexto los parámetros de diseño para el motor de inferencia son los
siguientes:
Elección de representar el significado de una norma única de producción.
Elección de representar el significado del conjunto de normas.
Elección del motor de inferencia.
Probar el conjunto de reglas para consistencia e integridad.
En esta etapa se realiza la tarea de calcular las variables de salida a partir de las
variables entrada, mediante las reglas y la inferencia difusa, entregando conjuntos
difusos de salida.
18
Capítulo 2.- Marco teórico
2.8.- Módulo de defusificación
Las funciones del modulo de defusificación (DM) son las siguientes: [3]
DM-F1: Realiza la llamada defusificación la cual convierte el conjunto de los
valores de las salidas modificadas en un solo valor del point-wise.
DM-F2: Realiza una salida desnormalizada a la cual se le asigna el valor
del point-wise de la salida de control, en su dimensión física. DM-F2 no es
necesaria si los dominios no normalizados se utilizan.
El parámetro de diseño del DM es:
Elección del operador de defusificación.
En aplicaciones de control, el conjunto difuso inferido como salida debe
convertirse a un valor escalar. El resultado de la inferencia difusa es retraducido
de un concepto lingüístico a una salida física gracias al proceso de defusificación.
Donde q es el número de niveles de cuantización de salida, Zj es la suma de las
salidas de control en el nivel de cuantización j y representa los valores de la
función de membresía en c. En otras palabras este método asigna el centro del
área de la salida difusa final al valor defusificados.
El centro de área también es llamado centro de gravedad o centroide.
Fig.2.8.1.- Método de defusificación de Centro de Área (COA)
19
Capítulo 2.- Marco teórico
En la figura 2.8.2 se describen los pasos para poder realizar un sistema difuso,
esto es, si tenemos una entrada (valor numérico), se puede representar este valor
con una variable lingüística de un peso dado, después se realiza la evaluación de
las reglas que son las que gobiernan el sistema difuso, por último se vuelve a
pasar de una variable lingüística a un valor numérico.
Fig.2.8.2.- Máquina de inferencia difusa
2.9.- Base de Reglas
Los parámetros de diseño de la base de reglas incluyen: [8]
Elección del estado de proceso y las variables de control de salida.
Elección de los contenidos de la regla antecedente y de la regla
consecuente.
Elección de los conjuntos de términos (rangos de valores lingüísticos) para
el estado del proceso y las variables de control de salida.
Derivación de la serie de reglas.
20
Capítulo 2.- Marco teórico
Las reglas usadas en un sistema de base de reglas son generalmente expresadas
en una forma tal como:
“Si x es A entonces y es B”
Donde A y B son conjuntos difusos, x esta en el dominio de A y y en el dominio de
B. Esto suena como una implicación, como “A implica B”. Hay muchas
generalizaciones de la operación de implicación lógica clásica a los conjuntos
difusos. Pero la mayoría de los mecanismos de inferencia usados en sistemas de
control lógico difusos no son generalizaciones de la implicación clásica.
El razonamiento aplicado en lógica difusa es a menudo descrito en términos
generalizados
Premisa 1 x es
Premisa 2 Si x es A entonces y es B
Conclusión y es
Donde , , , son conjuntos difusos que presentan conceptos difusos. El
cálculo de puede llevar a cabo a través de una norma básica de inferencia
llamado de composición, a saber, o donde R es una relación difusa que
representa la proposición de implicación o proposición condicional difusa “Premisa
2”. Este sistema de inferencia es a veces descrito como un problema de
interpolación. La interpolación se encuentra en el corazón de la utilidad de los
sistemas basados en reglas difusas, porque hace posible emplear un número
relativamente pequeño de reglas difusas para caracterizar una relación compleja
entre dos o más variables. Una serie de fórmulas se han propuesto para esta
implicación, la más común es la conjunción de composición.
Entonces se define como:
21
Capítulo 2.- Marco teórico
Describiremos dos métodos de inferencia (método de Mamdani y método de
Takagi-Sugeno-Kang) comúnmente usados para interpretar un conjunto de reglas.
Si x es Ai, entonces y es Bi, i=1,2,…,n
Aquí se contiene las reglas difusas que encierran el conocimiento necesario por la
solución del problema de control. Las reglas de control constan de regla si
<condiciones> entonces <acciones>.
2.10.- Modelo Mamdani
Dadas las reglas “Si x es Ai entonces y es Bi,” [8]
Donde:
Se combinan en el modelo Mamdani como:
Para cada k-tupla
Esto da un conjunto difuso Rx definido por:
22
Capítulo 2.- Marco teórico
Notar que para la expansión del conjunto de reglas
Ri : Si Ai1 y Ai2 y … y Aik entonces Bi, i=1,2,…,n
Se ve como:
En control difuso, el número es
llamado la fuerza de la regla Ri para la entrada x. El conjunto difuso
es llamado como la salida de control de la regla Ri para la entrada x,
y el conjunto difuso Rx(y) es la salida de control de agregados para la entrada x.
En la figura 2.10.1 se muestra el diagrama de bloques de un sistema de control
basado en el modelo Mamdani, dicho sistema consta de cuatro partes.
Fig. 2.10.1.- Estructura de un controlador difuso Mamdani.
Interface de
Fusificación
Base de
Reglas
Máquina
de
inferencia
Defusificación
Entrada
no difusa
Salida no
difusa
23
Capítulo 2.- Marco teórico
2.11.- Modelo Takagi-Sugeno-Kang (TSK)
Para el modelo TSK, las reglas están dadas de la forma: [8]
Ri : Si x1 es Ai1 y x2 es Ai2 y … y xik es Aik
Entonces:
O
Ri : Si x1 es Ai entonces:
Donde:
Son funciones:
Esas reglas son combinadas y obtenemos la siguiente función:
Por lo tanto, este modelo produce una función real valorada.
24
Capítulo 2.- Marco teórico
2.12.- Control PID
El principio básico del esquema de control PID es que actúa sobre la variable a ser
manipulada a través de una apropiada combinación de las tres acciones de
control: acción de control proporcional (donde la acción de control es proporcional
a la señal de error actuante, la cual es la diferencia entre la entrada y la señal de
realimentación); la acción de control integral (donde la acción de control es
proporcional a la integral de la señal de error actuante) y la acción de control
derivativa (donde la acción de control es proporcional a la derivada de la señal de
error actuante). [10]
En situaciones donde muchas plantas se controlan directamente mediante una
sola computadora digital, la mayoría de los lazos de control se pueden manipular
mediante esquemas de control PID.
La acción de control PID en controladores analógicos está dada por
Donde e(t) es la entrada al controlador (señal de error actuante), m(t) es la salida
del controlador (la señal manipulada), K es la ganancia proporcional, T, es el
tiempo integral (o tiempo de reajuste) y Td es el tiempo derivativo (o tiempo de
adelanto).
Para obtener la función de transferencia pulso del controlador PID digital, se
puede discretizar la ecuación anterior. Donde finalmente obtenemos la siguiente
ecuación:
O bien:
25
Capítulo 2.- Marco teórico
Donde, la ganancia proporcional es:
La ganancia integral es:
La ganancia derivativa es:
La función de transferencia pulso del controlador PID digital se convierte en:
El diagrama del controlador Proporcional Integral Derivativo se muestra en la
figura 2.12.1.
Fig. 2.12.1.- Controlador PID
PLANTA
KP
KDS
ENTRADA +
_
CONTROLADOR
PROPORCIONAL
INTEGRAL
DERIVATIVO
SALIDA +
+
+
26
Capítulo 2.- Marco teórico
Las leyes de control lineales en la forma de acciones de control PID, tanto en la
forma posicional como en la velocidad, son básicas en controles digitales debido a
que con frecuencia dan soluciones satisfactorias a muchos problemas prácticos
de control, en particular a problemas de procesos. Estas leyes de control se
pueden implantar mediante software, y por lo tanto las restricciones de hardware
de los controladores PID se pueden ignorar por completo.
2.13.- Sistemas de control a lazo abierto
Los sistemas de control a lazo abierto son en los cuales la salida no afecta la
acción de control, en otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no
se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. En cualquier
sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de
referencia. Por tanto, a cada entrada de referencia le corresponde una condición
operativa fija; como resultado, la precisión del sistema depende de la calibración.
Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no
realiza la tarea deseada. En la práctica, el control en lazo abierto sólo se usa si se
conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas
ni externas. Es evidente que estos sistemas no son de control realimentado.
Cualquier sistema de control que opere con una base de tiempo es en lazo
abierto. Por ejemplo, el control del tránsito mediante señales operadas con una
base de tiempo es otro ejemplo de control en lazo abierto. [9]
2.14.- Sistemas de control a lazo cerrado
Los sistemas de control a lazo cerrado son aquellos sistemas realimentados. En
un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error
de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de
realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una función de la señal
de salida y sus derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar la salida
27
Capítulo 2.- Marco teórico
del sistema a un valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre
implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del
sistema. [9]
2.15.- Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas
en lazo abierto
Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la
realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las
perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetros del
sistema. Por tanto, es posible usar componentes relativamente precisos y baratos
para obtener el control adecuado de una planta determinada, en tanto que hacer
eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto. Desde el punto de vista
de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar,
porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la
estabilidad es una función principal en el sistema de control en lazo cerrado, lo
cual puede conducir a corregir en exceso errores que producen oscilaciones de
amplitud constante o cambiante.
Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las
entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control
en lazo abierto. Los sistemas de control en lazo cerrado sólo tienen ventajas
cuando se presentan perturbaciones impredecibles y/o variaciones impredecibles
en los componentes del sistema. Observe que la valoración de la energía de
salida determina en forma parcial el costo, el peso y el tamaño de un sistema de
control. La cantidad de componentes usados en un sistema de control en lazo
cerrado es mayor que la que se emplea para un sistema de control equivalente en
lazo abierto. Por tanto, el sistema de control en lazo cerrado suele tener costos y
potencias más grandes. Para disminuir la energía requerida de un sistema, se
emplea un control en lazo abierto cuando puede aplicarse. Por lo general, una
28
Capítulo 2.- Marco teórico
combinación adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado es menos
costosa y ofrecerá un desempeño satisfactorio del sistema general. [9]
2.16.- Matlab
Matlab es un potente lenguaje diseñado para la computación técnica. Matlab
puede ser utilizado en computación matemática, modelado y simulación, análisis y
procesamiento de datos, visualización y representación de gráficos, así como para
el desarrollo de algoritmos. [5]
Matlab es ampliamente conocido y utilizado en universidades e institutos para el
aprendizaje en cursos básicos y avanzados de matemáticas, ciencias y,
especialmente, ingeniería. El programa estándar de Matlab comprende una serie
de herramienta (funciones) que pueden ser utilizadas para resolver problemas
comunes, pero Matlab incorpora, además, otras librerías específicas llamadas
tollboxes, que son colecciones de funciones especializadas y diseñadas para
resolver problemas muy específicos.
2.17.- Simulink
Simulink es un entorno para simulación y diseño basado en modelos para
sistemas dinámicos y embebidos. Proporciona un entorno gráfico interactivo y
conjunto de bibliotecas de bloques que le permiten al usuario diseñar, simular,
implementar y probar una variedad de sistemas variables en el tiempo, con
aplicaciones en control, comunicaciones, procesamiento de señales, de video y de
imágenes. [12]
29
Capítulo 2.- Marco teórico
2.18.- Puente H
Un puente H es un dispositivo capaz de soportar el flujo bidireccional de corriente
invertida. En la figura 2.18.1 se muestra la configuración y función de un puente H.
Este circuito es básicamente un arreglo de cuatro interruptores acomodados como
se puede observar. Los interruptores (A, B, C y D) pueden ser de transistores
bipolares, mosfets, jfets, relevadores o cualquier combinación de elementos. Los
puentes H se utilizan para hacer funcionar el elemento central en ambos sentidos
sin tener que manejar voltajes negativos.
Si se cierran solamente los contactos A y D la corriente circulará en un sentido a
través del sistema al que esté conectado, y si se cierran solamente los contactos B
y C la corriente circulará en sentido contrario.
Fig. 2.18.1.- Puente H
Siempre se debe tener cuidado en no cerrar los contactos A y B o C y D al mismo
tiempo, porque se ocasionaría un corto circuito. Es recomendable colocar diodos
de protección para el motor, para asegurar que la corriente no regrese, debido al
efecto inductivo de sus bobinas.
2.19.- Giroscopio
El giroscopio está basado en un fenómeno físico: una rueda girando se resiste a
que se le cambie el plano de giro (o lo que es lo mismo, la dirección del eje de
30
Capítulo 2.- Marco teórico
rotación). Esto se debe a lo que en física se llama principio de conservación del
momento angular.
Si bien existe al menos un sensor giroscópico integrado cuyo funcionamiento
continúa basado en un elemento circular (un anillo, en el caso que conocemos), la
realidad es que la mayoría de los sensores actuales de pequeño tamaño, como los
que se utilizan en modelos de helicópteros y robots, están basados en integrados
cuya alma son pequeñas lengüetas vibratorias, construidas directamente sobre el
chip de silicio. Su detección se basa en que las piezas cerámicas en vibración son
sujetas a una distorsión que se produce por el efecto Coriolis (son cambios en la
velocidad angular).
2.20.- Tarjeta de Adquisición de Datos (DAC)
La utilización de las tarjetas de adquisición de datos ha conseguido una gran
aceptación en muchas aplicaciones. Se conectan directamente al bus del
ordenador y permiten adquirir y procesar datos en tiempo real. Cada modelo de
tarjeta presenta varias funcionalidades, lo que proporciona mucha flexibilidad y
operatividad para las necesidades de medida y de control. El Objetivo final de esta
flexibilidad es la posibilidad de poder adaptar la misma tarjeta a diferentes
aplicaciones. [7]
2.21.- Optoacoplador
En un optoacoplador se combinan una fuente de luz, normalmente un Led
infrarrojo de AsGa5 y un fotodetector de Si6, que puede ser desde un simple
fotodiodo hasta una combinación de éste con un circuito integrado que incluye un
5 Semiconductor que se encuentra formado por la combinación de Galio (Ga) y el Arsénico (As) utilizada
para obtener arseniuro de galio (AsGa). 6 Semiconductor de Silicio.
31
Capítulo 2.- Marco teórico
regulador de tensión y un circuito elemental para el procesamiento de la señal.
Aunque es posible formar un optoacoplador mediante componentes discretos, el
diseño con elementos integrados ofrece muchas ventajas. [11]
2.22.- Operación y circuito NOT también llamado Inversor
La operación NOT dice que si se somete una variable A a dicha operación, el
resultado x se puede expresar como: [14]
Donde la barra sobrepuesta representa la operación NOT. Esta expresión se lee “x
es igual a la negación de A”, o “x es igual al inverso de A”, o “x es igual al
complemento de A”.
A X =
0 1
1 0
Tabla 2.22.1.- Tabla de verdad
Fig. 2.22.1.- Símbolo
Este circuito lógico es más conocido como Inversor, solo tiene una entrada y su
salida es el inverso de dicha entrada.
A X=
32
Capítulo 2.- Marco teórico
2.23.- Potenciómetro
Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía
mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de
desplazamiento mecánico, ya sea lineal o de rotación. Cuando se aplica un voltaje
a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida, que se mide
entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada, ya
sea linealmente o de acuerdo con alguna relación no lineal.
Los potenciómetros rotatorios están disponibles comercialmente en
presentaciones de una u varias revoluciones múltiples, con movimiento de rotación
limitado o no limitado. Comúnmente, los potenciómetros están hechos de alambre
o de material resistente plástico conductivo. [6]
2.24.- Motor de Corriente Directa
Los motores de corriente directa (CD) tienen características variables y se usan
mucho en propulsión con velocidad variable. Pueden proporcionar un alto par de
arranque, y también es posible obtener el control de velocidad dentro de márgenes
amplios. Los motores de CD juegan un papel importante en los sistemas de
propulsión industriales modernos. [13]
2.24.1.- Obtención del voltaje DC de salida de la espira rotatoria
La figura 2.24.1.1 corresponde a una gráfica del voltaje etot generado por la espira
rotatoria. Como se muestra, el voltaje de salida de la espira toma alternadamente
un valor positivo constante y un valor negativo constante. [1]
33
Capítulo 2.- Marco teórico
Fig. 2.24.1.1.- Voltaje de salida de la espira
Para poder hacer que esta máquina produzca un voltaje DC en lugar del voltaje
AC se muestra en la figura 2.24.1.2 aquí se adicionan al extremo de la espira dos
segmentos conductores semicirculares y se sitúan dos contactos fijos en un
ángulo tal que en el instante cuando el voltaje en la espira es cero, los contactos
cortocircuitan los dos segmentos. De este modo, cada vez que el voltaje de la
espira es cero, los contactos también cambian las conexiones, y la salida de los
contactos está siempre construida de la misma manera. Este proceso de cambio
de conexión se conoce como conmutación. Los segmentos semicirculares rotantes
se denominan segmentos de conmutación y los contactos fijos se llaman
escobillas.
Fig. 2.24.1.2 Producción de una salida DC de la máquina con colector y escobillas
34
Capítulo 2.- Marco teórico
2.24.2.- Par inducido en la espira rotatoria
Para determinar el par se observará a detalle la espira mostrada en la figura
2.24.2.1, el método que debe emplearse para determinar el par sobre la espira
consiste en tener por separado cada segmento de ésta y luego sumar los efectos
de los segmentos individuales. [1]
Fig. 2.24.2.1.- Deducción de una ecuación para el par inducido en la espira
La fuerza inducida sobre un segmento de la espira está dada por la siguiente
ecuación:
Y el par sobre el segmento está dado por:
Donde es el ángulo entre r y F, el par es cero en todos los puntos en los que la
espira está situada fuera de las caras polares.
El par inducido resultante total en la espira está dado por:
35
Capítulo 2.- Marco teórico
Dado que y , la expresión del par se puede reducir a:
Entonces, el par producido en la máquina es el producto del flujo y la corriente en
ella multiplicada por una cantidad que representa la construcción mecánica de la
máquina (el porcentaje del rotor cubierto por las caras polares). En general, el par
en cualquier máquina real dependerá de los mismos tres factores.
1.- El flujo en la máquina
2.- La corriente en la máquina
3.- Una constante que representa la construcción de la máquina
2.24.3.- Conmutación en una espira DC sencilla de cuatro espiras
La conmutación e el proceso de convertir los voltajes y corrientes ac producidos
en el rotor de una maquina DC en voltajes y corrientes d en sus terminales. La
figura 2.24.3.1 muestra una maquina sencilla de cuatro espiras y dos polos. [1]
Fig. 2.24.3.1.- Máquina DC de cuatro espiras y dos polos
36
Capítulo 2.- Marco teórico
Esta máquina tiene cuatros espiras completas incrustadas en ranuras labradas en
el acero laminado de este rotor. Las caras polares de la maquina son curvas para
proveer un ancho uniforme del entrehierro y dar una densidad de flujo uniforme en
todo punto situado bajo las caras.
Como en el caso de una espira rotacional sencilla, los segmentos rotantes a los
cuales están unidas las espiras se llaman segmentos del conmutador (o del
colector), y las piezas estacionarias que se montan en la parte superior de los
segmentos móviles se llaman escobillas. En las maquinas reales, los segmentos
del conmutador están hechos de barras de cobre. Las escobillas están hechas de
una mezcla que contiene grafito, de modo que causa un rozamiento muy pequeño
cuando tocan los segmentos de conmutación rotantes.
2.24.4.- Desplazamiento de las escobillas
Los intentos para mejorar el proceso de conmutación en las máquinas DC reales
se llevaron a cabo para detener el chispeo en las escobillas, causado por el
desplazamiento del plano neutro y los efectos de la bobina, el plano neutro se
mueve con cada cambio de carga y la dirección del desplazamiento se invierte
cuando la máquina pasa de operación de motor a operación de generador. El
desplazamiento de las escobillas puede detener el chisporroteo de la escobilla
pero agravaría el efecto de debilitamiento del flujo de la reacción del inducido en
la máquina; esto se demuestra por dos efectos: [1]
1.- La fuerza magnetomotriz del rotor tiene ahora una componente vectorial que se
opone a la fuerza magnetomotriz de los polos.
2.- El cambio en la distribución de la corriente del inducido se concentra aún más
en las partes saturadas de las caras polares.
37
Capítulo 2.- Marco teórico
En la actualidad el desplazamiento de escobillas se utiliza únicamente en
máquinas muy pequeñas que todavía giran como motores, debido a que las otras
soluciones mejores resultarían costosas en esos motores pequeños.
2.24.5.- Ecuaciones de voltaje interno generado y par inducido en máquinas
DC.
En toda máquina dc, el par depende de tres factores: [1]
1.- El flujo en la maquina
2.- La corriente de armadura (o rotor) IA en la maquina
3.- Una constante que depende de la construcción DC de la maquina
Para determinar el par en un solo conductor en el motor puede ser expresado
como:
Puesto que hay Z conductores, el par inducido total en el rotor de una maquina DC
real es:
El flujo por polo en esta máquina se puede expresar como:
En consecuencia, el par inducido total se puede expresar como:
38
Capítulo 2.- Marco teórico
2.25.- Modelo matemático del péndulo invertido
Partiendo del siguiente esquema del péndulo invertido [2]:
Fig. 2.25.1.- Esquema del péndulo invertido
Donde:
M: Masa del carro
u: Fuerza (variable de entrada)
x: Desplazamiento horizontal
θ: Ángulo del punto de apoyo
m: Masa del péndulo
g: Aceleración de la gravedad
l: Distancia del origen al punto
Tenemos entonces que:
M
mg
θ
x
u
l
39
Capítulo 2.- Marco teórico
Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (1):
Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (2):
Derivando la ecuación (6):
Derivando la ecuación (7):
40
Capítulo 2.- Marco teórico
De la ecuación (8) despejamos :
De la ecuación (9):
Igualando la ecuación (10) con la ecuación (11) y despejando :
Agrupando términos:
De la ecuación (8) despejamos :
41
Capítulo 2.- Marco teórico
De la ecuación (9) despejamos :
Igualamos las ecuaciones (13) y (14) y despejamos :
De las ecuaciones (14) y (15) obtenemos finalmente:
42
Capítulo 2.- Marco teórico
2.25.1.- Análisis no lineal
Definiendo las siguientes variables de estado:
Obtenemos las siguientes ecuaciones que representan el modelo de estado no
lineal:
2.25.2- Análisis lineal
Si se realiza una estructura de control que logra mantener al sistema funcionando
en torno al estado definido por , las ecuaciones (16), (17),
(18) y (19) pueden linealizarse en torno a dicho punto de funcionamiento,
obteniéndose el siguiente modelo lineal del sistema:
43
Capítulo 2.- Marco teórico
Si las variables de salida del sistema son θ(t) y x(t), se puede escribir la ecuación
de salida del modelo como:
Los puntos de equilibrio estable de este sistema se encuentran en:
Los puntos de equilibrio no estable de este sistema se encuentran en:
44
Capítulo 3.- Desarrollo
CAPÍTULO 3- Desarrollo
3.1.- Primera etapa: Diseño
El control que se emplea en este trabajo se desarrolla con ayuda del software
MATLAB, con el toolbox de lógica difusa que viene en este software. El sistema de
inferencia difuso que se utiliza se compone principalmente de tres partes como se
muestra en la figura 3.1.1.
Fig. 3.1.1.- Sistema de inferencia difuso
En la primera fase de nuestro sistema escogemos las variables lingüísticas y
creamos las funciones de membresía para cada una de las variables.
El modelo que se emplea es el de Mamdani, y el diagrama general de cómo se
muestra el editor del sistema de inferencia difuso se muestra en la figura 3.1.2.
Fig. 3.1.2.- Editor del Sistema de Inferencia Difuso
Entradas
Salidas
Editor de
reglas
45
Capítulo 3.- Desarrollo
Las variables lingüísticas que se tienen a la entrada del sistema difuso son cuatro:
ángulo, velocidad angular, error y velocidad-carro.
En la figura 3.1.3 se muestran las funciones de membresía que componen a la
primera variable de entrada ángulo.
Fig. 3.1.3.- Funciones de membresía de la variable “Ángulo”
Como se puede observar el universo de la variable es de -0.5° a 0.5°, siendo estos
el ángulo negativo y el ángulo positivo.
Los grados de pertenencia se calculan con las ecuaciones de las rectas y
asignando un valor máximo, en este caso es el “1”, por lo tanto las funciones
quedan de la siguiente manera.
=
46
Capítulo 3.- Desarrollo
En la figura 3.1.4 se muestran las funciones de membresía que componen a la
segunda variable de entrada velocidad angular.
Fig. 3.1.4.- Funciones de membresía de la variable “Velocidad angular”
Como se puede observar el universo de la variable es de -1.5 a 1.5 , siendo
estos el ángulo negativo y el ángulo positivo.
Los grados de pertenencia se calculan con las ecuaciones de las rectas y
asignando un valor máximo, en este caso es el “1”, por lo tanto las funciones
quedan de la siguiente manera.
=
47
Capítulo 3.- Desarrollo
En la figura 3.1.5 se muestran las funciones de membresía que componen a la
tercera variable de entrada error.
Fig. 3.1.5.- Funciones de membresía de la variable “Error”
Como se puede observar el universo de la variable es de -17 a 17, siendo estos el
rango del error.
Los grados de pertenencia se calculan con las ecuaciones de las rectas y
asignando un valor máximo, en este caso es el “1”, por lo tanto las funciones
quedan de la siguiente manera.
=
48
Capítulo 3.- Desarrollo
En la figura 3.1.6 se muestran las funciones de membresía que componen a la
cuarta variable de entrada velocidad-carro.
Fig. 3.1.6.- Funciones de membresía de la variable “Velocidad-Carro”
Como se puede observar el universo de la variable es de -5 a 5, siendo estos el
rango de la velocidad del carro.
Los grados de pertenencia se calculan con las ecuaciones de las rectas y
asignando un valor máximo, en este caso es el “1”, por lo tanto las funciones
quedan de la siguiente manera.
=
Una vez que el algorimo de fusificación ha sido desarrollado, el visualizador de
reglas que se observa en la figura 3.1.7 es una visión simplificada del sistema de
inferencia difusa.
49
Capítulo 3.- Desarrollo
Fig. 3.1.7.- Reglas
En la figura 3.1.7 se puede apreciar el comportamiento de las variables de entrada
que se desean manipular.
El controlador de lógica difusa se construye con las siguientes bases de reglas:
1.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es negativo y
velocidad carro es negativo entonces control es NG.
2.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es negativo y
velocidad carro es positivo entonces control es NM.
3.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es positivo y
velocidad carro es negativo entonces control es CERO.
4.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es positivo y
velocidad carro es positivo entonces control es PP.
5.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es negativo y
velocidad carro es negativo entonces control es NM.
50
Capítulo 3.- Desarrollo
6.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es negativo y
velocidad carro es positivo entonces control es NP.
7.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es positivo y
velocidad carro es negativo entonces control es PP.
8.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es positivo y
velocidad carro es positivo entonces control es PM.
9.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es negativo y
velocidad carro es negativo entonces control es NM.
10.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es negativo y
velocidad carro es positivo entonces control es NP.
11.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es positivo y
velocidad carro es negativo entonces control es PP.
12.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es positivo y
velocidad carro es positivo entonces control es PM.
13.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es negativo y
velocidad carro es negativo entonces control es NP.
14.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es negativo y
velocidad carro es positivo entonces control es CERO.
15.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es positivo y
velocidad carro es negativo entonces control es PM.
16.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es positivo y
velocidad carro es positivo entonces control es PG.
51
Capítulo 3.- Desarrollo
En la salida con el modelo Mamdani las funciones de membresía quedan como se
muestra en la figura 3.1.8.
Fig. 3.1.8.- Función de salida con el modelo Mamdani
Por otra parte el visualizador de superficie permite observar la relación entre las
variables de entrada y salida.
Fig. 3.1.9.- Visualizador de superficie para el control de la posición del péndulo
52
Capítulo 3.- Desarrollo
3.1.1.- Diagrama de flujo
Fig. 3.1.1.1.- Diagrama de flujo para el control de la posición del péndulo
Inicio
¿Velocidad angular
< umbral ?
¿Ángulo = ?
Var. Ref= extremo derecho
Generación de
comando de control
Var. Ref= referencia anterior
Fin
Var Ref= extremo izquierdo
NO
NO
SI
SI
53
Capítulo 3.- Desarrollo
3.2.- Segunda etapa: Simulaciones
Una vez que se obtuvo el modelo matemático lineal del péndulo invertido se
procede a realizar las simulaciones correspondientes de control clásico y control
difuso para observar el comportamiento de cada uno de éstos sistemas, con
ayuda de la herramienta de Matlab „Simulink‟.
La simulación del control se emplea en el desarrollo de un control en lazo cerrado,
aplicado a un sistema de control de posición.
3.2.1.- Control PID
El siguiente diagrama a bloques es el empleado en un control PID.
Fig. 3.2.1.1.- Diagrama a bloques del péndulo invertido utilizando control PID
Pendulo invertido con control clasico
4.2
Referencia
U
carro
pendulo
Pendulo
1
s
Integrador
-9.4
Ganancia Proporcional
7.12s
s+2
Ganancia Derivativa
-K-
Ganancia
Integral
Cart
PendulumX
Estimador de Estado Discreto
54
Capítulo 3.- Desarrollo
Donde las variables reales y utilizadas de nuestro prototipo son:
Masa del carro: 0.12 kg
Masa del péndulo: 0.05 kg
Distancia del péndulo: m
Aceleración de gravedad: 9.8
Las variables del control PID que se emplean son las siguientes, las cuales son
tomadas del ejemplo de péndulo invertido con PID incluido en los ejemplos con
animación del software Matlab.
La ganancia proporcional es:
La ganancia integral es:
La ganancia derivativa es:
55
Capítulo 3.- Desarrollo
Y se obtienen las siguientes gráficas:
Fig. 3.2.1.2.- Gráfica de la señal de control (U) utilizando control PID
Fig. 3.2.1.3.- Gráficas de la señal de entrada vs señal de salida utilizando control PID
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-30
-20
-10
0
10
20
30
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
2
4
6
8
10
12
Señal de entrada
Señal de salida
56
Capítulo 3.- Desarrollo
Fig. 3.2.1.4.- Gráfica del error medio utilizando control PID
Fig. 3.2.1.5.- Gráfica del error instantáneo utilizando control PID
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2
0
2
4
6
8
10
57
Capítulo 3.- Desarrollo
3.2.2.- Control difuso
Fig. 3.2.2.1.- Diagrama a bloques del péndulo invertido utilizando control difuso
Fig. 3.2.2.2.- Gráfica de la señal de control (U) utilizando control difuso
Pendulo invertido sobre móvil con controlador difuso
4.2
Reference
U
Péndulo
Vel ángulo
Carro
Vel carro
Péndulo
Mux
Controlador
Lógico Difuso con
Base de Reglas
0 50 100 150 200 250-30
-20
-10
0
10
20
30
58
Capítulo 3.- Desarrollo
Fig. 3.2.2.3.- Gráficas de la señal de entrada vs señal de salida utilizando control
difuso
Fig. 3.2.2.4.- Gráfica del error medio utilizando control difuso
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-4
-2
0
2
4
6
8
Señal de entrada
Señal de salida
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
1
2
3
4
5
6
7
59
Capítulo 3.- Desarrollo
Fig. 3.2.2.5.- Gráfica del error instantáneo utilizando control difuso
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-4
-2
0
2
4
6
8
60
Capítulo 3.- Desarrollo
3.3.- Tercera etapa: Implementación
Aquí se lleva a cabo el armado del proyecto físico.
Lo primero es buscar un riel de impresora cuya función sea fungir de eje principal
sobre el cual se podrá montar el péndulo.
Fotografía 3.3.1.- Riel de la impresora a emplear
Para el péndulo se utilizó una barra metálica la cual se tuvo que rebajar con ayuda
de un torno para reducir el peso de nuestra barra y de esta forma se pueda
mantener en equilibrio.
Fotografía 3.3.2.- Barra metálica empleada como péndulo
61
Capítulo 3.- Desarrollo
Se procede a buscar una base que soporte el péndulo, considerando una altura
adecuada para que el péndulo sea capaz de girar libremente.
Fotografía 3.3.3.- Base a emplear para el péndulo invertido
Para poder tomar la lectura de voltaje correspondiente a la distancia que se
requiere mantener el carrito sobre el riel y conservar el equilibrio, se coloca un
potenciómetro de precisión que nos ayuda a tener una variable de referencia y
mantener la relación distancia-voltaje debido a que el riel tiene un límite.
Fotografía 3.3.4.- Potenciómetro de precisión empleado para la lectura de distancia-
voltaje
62
Capítulo 3.- Desarrollo
Al riel se le ponen unos topes para delimitar el rango de voltaje que nos muestra
nuestras lecturas.
Fotografía 3.3.5.- Riel con delimitación del rango
Finalmente nuestro prototipo del péndulo invertido queda de la siguiente manera.
Fotografía 3.3.6.- Prototipo ensamblado del péndulo invertido
63
Capítulo 3.- Desarrollo
Para poder medir los grados de libertad del péndulo se coloca un giroscopio
modelo LPY530AL.
Fotografía 3.3.7.- Placa del giroscopio, vista inferior
Fotografía 3.3.8.- Placa del giroscopio, vista superior
64
Capítulo 3.- Desarrollo
Se agregó un optoacoplador MOC3021 entre la DAC y el Puente H para evitar los
picos de voltaje que puedan dañar a la DAC y a la computadora, cuyo diagrama se
muestra en la figura 3.3.1 el cuál posteriormente va seguido del puente H. Se
emplea una compuerta lógica not 74LS04 para dar el cambio de dirección al carril
del péndulo.
Fig. 3.3.1.- Circuito del optoacoplador
Se emplea un puente H en un circuito integrado L293D, que también cuenta con
protección de diodos por si llegara a haber rebote de corrientes del motor, no
consume tanto voltaje y corriente, cuenta con una configuración de operacionales
y diodos que permiten el cambio de sentido al motor, es decir de izquierda a
derecha y viceversa, además de que resulta más económico que emplear
transistores y/o relevadores, por que los relevadores contienen bobinas y estas
generan ruido en las señales, afectando la señal del giroscopio en nuestra
adquisición de datos.
Fotografía 3.3.9.- Adaptación del MOC3021 entre la DAC y el Puente H
65
Capítulo 3.- Desarrollo
Debido a que se prefirió reducir el número de fuentes de alimentación a emplear,
se utilizo un regulador de voltaje y de esta manera poder regular el voltaje de 3.3
volts necesarios para alimentar el giroscopio, este circuito fue diseñado con ayuda
del circuito integrado LM317A, a este circuito se le agrega un divisor de voltaje
para el potenciómetro de precisión que indica la posición del carrito, el diseño final
de éste circuito se muestra en la figura 3.3.2.
Fig. 3.3.2.- Circuito del reductor de voltaje
El desarrollo se hace empleando como interfaz una Tarjeta de Adquisición de
Datos, por sus siglas en ingles DAC (Data Acquisition Card).
Fig. 3.3.3.- Esquema general del prototipo físico
66
Capítulo 3.- Desarrollo
Se limita el péndulo en un rango de 45° a 135° ya que el control realizado se hizo
en base a ese rango.
Fotografía 3.3.10.- Péndulo limitado entre 45° y 135°
Se modifica el control para su implementación utilizando la DAC.
Fig. 3.3.4.- Control implementado
67
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
CAPÍTULO 4.- Pruebas y resultados
Realizando pruebas al giroscopio sin montarlo, se obtienen las siguientes gráficas.
Fig. 4.1.- Voltaje de referencia en estado estable del giroscopio
Fig. 4.2.- Voltaje de referencia en movimiento hacia el lado izquierdo
68
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Fig. 4.3.- Voltaje de referencia en movimiento hacia el lado derecho
De igual manera se realizan las pruebas con la Tarjeta de Adquisición de Datos
PH1018 que se utiliza como interfaz entre la computadora y el péndulo.
Fotografía 4.1.- Prueba del puente H conectado al péndulo, utilizando como interfaz
entre la computadora y el péndulo la DAC PH1018
Desde la computadora, por medio de la DAC (interfaz) se manda una señal a una
de las salidas digitales donde está conectado el puente H (L293D) para hacerlo
girar a la izquierda, derecha o nada de la siguiente forma:
69
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
00 Nada
01 Izquierda
10 Derecha
Tabla. 4.1.- Combinaciones lógicas para hacer girar el sentido del carro
Nota: La combinación 11 no se toma en cuenta ya que el péndulo no puede ir en
ambas direcciones al mismo tiempo.
Obteniendo rango de la posición del carrito a lo largo de la barra utilizando la DAC.
Fig. 4.4.- Valor mínimo de la posición del carrito
Fig. 4.5.- Valor máximo de la posición del carrito
70
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Se modifican los rangos del ángulo, velocidad angular, error y velocidad del carro.
Fig. 4.6.- Modificación del rango del ángulo
Fig. 4.7.- Modificación del rango de la velocidad angular
71
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Fig. 4.8.- Modificación del rango del error
Fig. 4.9.- Modificación del rango de la velocidad del carro
72
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
4.1 Modificaciones
Se hace el cambio del giroscopio por un potenciómetro dado que la respuesta del
giroscopio es muy lenta a la necesaria para el control. Se utilizo un potenciómetro
al igual que en la posición del carrito con la diferencia que el utilizado en el giro no
es de precisión debido a que el péndulo está limitado y no es necesario que
realice más de una vuelta.
Fotografía 4.1.1.- Adaptación del potenciómetro al péndulo
Se le agrego una pieza diseñada para el potenciómetro de precisión que
determina la posición del carrito y se cambio el engrane del mismo ya que al hacer
los cambios rápidos de giro se empezó a barrer debido a que el engrane no era el
adecuado.
73
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Fotografía 4.1.2.- Nuevo engrane implementado
Fotografía 4.1.3.- Pieza diseñada del potenciómetro de precisión
74
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
Se hacen las pruebas de control del péndulo con las modificaciones realizadas.
Fotografía 4.1.4.- Implementación del control
75
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
4.2.- Conclusiones
En el desarrollo de este trabajo se implemento un sistema mecánico simple, sin
embargo dicho sistema tiene una gran complejidad debido a que es de carácter
inestable y subactuado, que es una de las razones del porque es uno de los
sistemas más utilizados para la enseñanza.
Para que se logre el control de un sistema este debe de contar con sensores
precisos, que detecten el cambio de giro o posición de una manera rápida y
efectiva, ya que la obtención de éstos datos son esenciales para lograr la
estabilización del sistema.
Las técnicas clásicas necesitan modelar el sistema a controlar en términos
estrictamente precisos. Esto las dificulta para controlar sistemas complicados
donde no se pueda obtener un modelo matemático. Con lo que las limita a
controlar sistemas con incertidumbre.
Se diseño y comparo una ley de control difuso y un control PID, para poder
observar la respuesta de cada uno. Donde la lógica difusa sigue la respuesta del
control PID, con algunas modificaciones para lograr un mejor comportamiento no
lineal.
Una vez que se realizaron las simulaciones correspondientes con cada control en
el péndulo, se observan que las respuestas presentan una similitud con la señal
de entrada, sin embargo hay una diferencia en el tiempo en que esta se adecua a
ella, con lo que se demuestra que el control por lógica difusa tiene una respuesta
más rápida y optima que el control PID.
La lógica difusa es una teoría con fundamentos matemáticos sólidos, donde se
utiliza en concepto de verdad parcial, además de que su diseño es sencillo ya que
se basa en conocimiento de un operador de proceso, donde dicho control es el
control de lazos simples, normalmente controlados usando controladores PID. Sin
embargo realiza un ajuste mediante un proceso de prueba y error a base de
condiciones lógicas.
76
Capítulo 4.- Pruebas y resultados
La lógica difusa ha dado la posibilidad de resolver soluciones complejas con
elementos de cómputo de bajo costo sin tener que recurrir al uso de hardware
para procesamiento difuso.
La lógica difusa proporciona un medio para enfrentar situaciones del mundo real,
situaciones complejas y dinámicas que son más fácilmente caracterizadas por
palabras que por matemáticas.
Sin embargo en la calibración del controlador difuso no se asegura un resultado
optimo inmediato, debido a esto no resulta sencillo introducir modificaciones al
controlador difuso, que es una de las principales desventajas al control clásico.
El control por lógica difusa es prácticamente nuevo en nuestro país, sin embargo
este fue innovado en los años 80´s, donde Japón es uno de los países donde se
ha implementado en la mayoría de su sector industrial, y sumando sus altas
normas de calidad, han hecho que sus productos sean de muy alto rendimiento.
Uno de los errores al suponer que el control difuso es mejor es afirmar que todo
proceso puede ser controlado de esta manera y obtener un desempeño superior al
de las técnicas de control convencional.
La vida real está llena de situaciones que requieren del razonamiento aproximado
para manipular información cualitativa más que cuantitativa.
Un sistema difuso puede resolver problemas tal como lo haría un ser humano.
77
Bibliografía
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Introduction to fuzzy control.
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Galipienso, Ma. Isabel., & Lozano, Ortega, Miguel Ángel. (2003) Inteligencia
Artificial. Modelos, Técnicas y Áreas de Aplicación.
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[11] Pallás, Areny Ramón. (1993). Adquisición y distribución de señales
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[13] Rashid, Muhammad H. (2004). Electrónica de potencia. Circuitos,
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Pearson Prentice Hall. ISBN 970-26-0532-6
[14] Tocci, Ronald J., Widmer, Neal, S., (2003). Sistemas Digitales.
Pearson Educación. ISBN: 970-26-029-1
l
79
Glosario
GLOSARIO Conjunto difuso: Se representa por medio de funciones de membresía definidas
en el universo del que se habla.
DAC: Tarjeta de Adquisición de datos.
Defusificación: Genera la actuación a partir de la variable lingüística de salida
inferida.
FKBS (Fuzzy Knowledge Based Controller): Controlador Basado en el
Conocimiento Difuso.
Función de membresía: Da el grado de membresía de cualquier elemento en el
conjunto, es decir mapea los elementos del universo en valores numéricos dentro
de un intervalo.
Función de pertenencia: Grado en el cual un elemento pertenece al valor
lingüístico asociado.
Fusificación: Asociación de cada entrada escalar a un grado de membresía
sobre un conjunto difuso.
Gradación: Serie ordenada gradualmente.
KBS (Knowledge Based Controller): Basado en el conocimiento del controlador.
Matlab: Es un lenguaje de alto nivel y un entorno interactivo que le permite al
usuario realizar tareas de análisis y procesamiento de datos, además de una
visualización y representación de gráficos.
Simulink: Simulink es una herramienta de Matlab que permite de una manera
gráfica, modelar, analizar y simular una gran variedad de sistemas físicos y
matemáticos.
PID: Proporcional-Integral-Derivativo.
80
Glosario
TSK: Takagi-Sugeno-Kang.
Toolbox de lógica difusa: Es una herramienta que tiene la capacidad de crear y
editar sistemas de inferencia difusa.
Universo: Es el intervalo de valores que pueden tomar los elementos que poseen
la propiedad enunciada en la variable lingüística.
81
Anexos
ANEXOS
ANEXO 1.- Giroscopio LPY530AL
Sensor: Dual axis pitch and yaw ±300°/s analog gyroscope.
3.3 V
82
Anexos
ANEXO 2.- Puente H L293D
L293D Quadruple half-h drivers.
Parte del L293D que se utilizo para el motor del carril en el péndulo invertido:
Supply voltage …………………………………………………………………..…... 36 V Output supply voltage, VCC2 ………………………........................................... 36 V Input voltage, VI ….………………………………………………………..………… 7 V Output voltage range, VO …………..………………………........ –3 V to VCC2 + 3 V
Peak output current, IO (nonrepetitive, t 5 ms): L293 ………….…………….. 2 A
Peak output current, IO (nonrepetitive, t 100 s): L293D ………………….. 1.2 A
Continuous output current, IO: L293 ……..……………………………………... 1 A
Continuous output current, IO: ………………………….……………………. 600mA
Continuous total dissipation at (or below) 25 C free-air temperature …... 2075 mW
Continuous total dissipation at 80 C case temperature ………….………. 5000 mW
Maximum junction temperature ……………………….…………………….. TJ 150 C
Storage temperature range, Tstg ………..…………………………… –65 C to 150 C
83
Anexos
ANEXO 3.- Optoacoplador MOC2130
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Anexos
ANEXO 4.- Compuerta NOT 74LS04
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Anexos
ANEXO 5.- Regulador de voltaje LM317A
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Anexos
ANEXO 6.- DAC PH1018
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Anexos
ANEXO 7.- Potenciómetro de precisión de 10 vueltas
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Cobijados bajo la sombra de una institución de renombre, constituida por talento
mexicano forjadores de innovación e implementación tecnológica, nos enseñaste a
ser trabajadores agresivos en los campos laborales y nobles en el ámbito social, tu
gran madre institucional estaremos eternamente agradecidos por permitirnos ser
parte de tu familia de Ingenieros preocupados por el futuro de México, color guinda
es nuestra sangre y blanca nuestra alma, siempre orgullosos egresados del
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL con honor y esmero proclamaremos:
“LA TÉCNICA AL SERVICIO DE LA PATRIA”
Porque pensar es el deleite de los dioses y la virtud de los ingenieros.
Diana y Rubén.