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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD ZACATENCO
“ANÁLISIS ESTRUCTURAL CON EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO ASISTIDO POR COMPUTADORA”
T E S I S
Para Obtener El Titulo De:
INGENIERO CIVIL
PRESENTA: PÉREZ VILLAR LUIS ALBERTO.
ASESOR: ELIU ROSETE CARRANCO.
México D. F. Febrero/2003.
ANÁLISIS ESTRUCTURAL CON EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO ASISTIDO POR COMPUTADORA
CONTENIDO
Agradecimientos
I. Introducción y Objetivo.
1.1 Objetivo. 1.2 Introducción. 1.3 Breve Historia del Elemento Finito. 1.4 Aplicaciones.
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II. Método del Elemento Finito.
2.1 Armaduras.
2.1.1 Obtención de la Matriz de Rigideces. 2.1.2 Ejemplo Numérico de Armaduras.
2.2 Marcos.
2.2.1 Obtención de la Matriz de Rigideces. 2.2.2 Ejemplo Numérico de Marcos. 2.2.3 Obtención de la Matriz de Rigideces para Vigas. 2.2.4 Ejemplo Numérico de Vigas.
2.3 Esfuerzos y Deformaciones en el Plano.
2.3.1 Matriz de Rigideces para Elementos Triangulares. 2.3.2 Ejemplo Numérico. 2.3.3 Matriz de Rigideces para Elementos Rectangulares. 2.3.4 Ejemplo Numérico.
III. Programas de Computadora
3.1 Diagramas del Programa.
3.2 Manual del Usuario.
3.3 Ejemplos Calculados por Programas.
3.3.1 Ejemplo Armadura. 3.3.2 Ejemplo Marco. 3.3.3 Ejemplo Viga. 3.3.4 Ejemplo Placa Triangular. 3.3.5 Ejemplo Placa Rectangular.
IV. Comentarios y Recomendaciones.
V. Listado del Programa.
VI. Ejemplos Complementarios
6.1 Ejemplo de Placa Triangular de 64 Elementos. 6.2 Ejemplo de Placa Rectangular de 16 Elementos.
VII. Bibliografía.
AGRADECIMIENTOS Ante todo mis padres serán siempre las personas con quienes yo estaré muy agradecido, por su apoyo en mis decisiones, y porque siempre estuvieron a mi lado aun cuando hubiese cometido errores, nunca faltó una palabra de aliento. Ellos fueron mi guía pero más que eso una bendición en mi camino. En mi vida podré decir que algo me falto. Ahora con todo orgullo presento ante ellos el resultado de tantos años de esfuerzo y dedicación.
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Por otro lado mis profesores quienes fueron otra parte esencial para mi formación Profesional también tienen un lugar especial en mi vida aun cuando varios de ellos no me logren recordar. Mis compañeros Ana, J ulio, Héctor, Nely, Omar, quienes compartieron junto conmigo momentos inolvidables los llevaré en mi corazón para toda mi vida.
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Introducción y Objetivo
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C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I I I I In n nt t t r r r o o od d du u uc c cc c ci iió ó ón n n y y y o o ob b bj j je e et t t i iiv v vo o o
Introducción y Objetivo
Introducción y Objetivo
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OBJETIVO
Ya que en la actualidad existen programas de Análisis y Diseño Estructural muy sofisticados tales como STAAD III, SAP 2000, Tricalc 5.2, etc., la finalidad de esta Tesis, al crear un programa, no es la de igualar ni mucho menos superar la capacidad de estos programas, por el contrario se pretende ayudar al aprovechamiento de estos. Esto se pretende lograr a través de dos pasos fundamentales. El primero paso es dar a conocer los conceptos básicos y el Método del Elemento Finito, método con el cual la mayoría de los programas trabajan.
La otra parte importante que se requiere para el cumplimiento de este objetivo es la Programación del Método, esto con la finalidad de esclarecer el concepto de cada dato que se da para el funcionamiento de estos programas, así como la interpretación de resultados que estos proporcionan, en cuanto a Análisis se refiere.
INTRODUCCIÓN
El acelerado desarrollo de las computadoras ha revolucionado tanto la práctica como la investigación en los campos de la ciencia y la ingeniería. En la década de los noventa las computadoras se modificaron rápidamente adquiriendo potencialidad en memoria y graficación. El sueño de que cada firma de ingeniería tendría un equipo completo de computación ha llegado a ser una realidad. En la década de los noventa las computadoras llegaron a ser tan populares tanto como las calculadoras de bolsillo lo fueron en la década de los ochenta y a su vez como las reglas de cálculo lo fueron en los sesentas y setentas. Esta tendencia ha incluido los Métodos de Análisis y Diseño que proporcionan una solución computarizada a los problemas de ciencias e ingeniería, convirtiéndose ésta práctica en una rutina diaria. Esta Tesis se concentrará en el significativo método del Elemento Finito. Aunque éste método es aplicable a muchos campos de las Ciencias e Ingeniería, el enfoque será hacia el análisis estructural.
El método del elemento finito ha sido fértil en el campo de la investigación. También se le ha utilizado como una herramienta de la investigación en los experimentos numéricos. Más importante aún, el método del elemento finito ha llegado a ser una herramienta para el diseño y análisis estructural, la cual es empleada por los ingenieros especialistas en estructuras. Por lo anterior, es necesario que los Ingenieros tomen un curso formal de éste método, mientras que los Arquitectos deben de recibir un curso elemental enfocado a la modelación de estructuras tanto en el plano como en el espacio. El objetivo en esta Tesis es incluir ambas necesidades.
El método del elemento finito en el análisis estructural es una técnica que discretiza una estructura en un conjunto o diferentes conjuntos de componentes estructurales, llamados elementos finitos, que poseen similaridad tanto en propiedades geométricas como en el comportamiento físico. Por ejemplo una estructura compuesta de trabes, columnas, muros y losas, puede modelarse usando elementos finitos tipo barra para trabes y columnas, elementos finitos tipo placa para losas y elementos finitos tipo panel para muros; en éste
Introducción y Objetivo
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ejemplo, se utilizan tres tipos o conjuntos de elementos finitos que se interconectan en puntos llamados nodos.
En todos los puntos nodales se aplican fuerzas y todos los nodos están sujetos a desplazamientos, conocidos como grados de libertad. En general, a los nodos no solo se les aplican fuerzas y desplazamientos. También es posible aplicar cantidades físicas relacionadas a calor, fluidos, electricidad, y otras más. Así, se genera un conjunto de ecuaciones lineales simultaneas que representan las variables físicas. Físicamente, el ensamble de todos esos elementos finitos representa el planteamiento de las ecuaciones matemáticas que rigen el problema. Al imponer condiciones de frontera al modelo de la estructura, se conocen las incógnitas o desplazamientos en el caso de estructuras, que a su vez son utilizadas para determinar los elementos mecánicos o los esfuerzos y deformaciones en los nodos y/o en el interior de cada elemento finito.
BREVE HISTORIA DEL ELEMENTO FINITO
Los conceptos de discretización y aproximación numérica para resolver problemas de ciencias e ingeniería son la base para la formulación del método del elemento finito. La aproximación geométrica más antigua lleva a las pirámides egipcias, hace 5000 años. Por otro lado, la aproximación numérica más antigua podría ubicarse en los registros históricos de China, Egipto y Grecia.
Los registros muestran que los Chinos calcularon el valor aproximado de π en el primer siglo de nuestra era, con un valor de 3.1547, siendo usado para calcular el volumen de un cilindro. En el segundo siglo E.C. el Astrónomo Chang Heng aproximó el valor de π como 3.1466 (730/232) y ♦10. Para el año 230 E.C. Wang Fan usó π como 3.1466 (142/45). En la dinastía del oriental Jihn (265317 E.C.), Liu Hui en su Comentario de Matemáticas , usó un polígono regular inscrito en un circulo para aproximar la circunferencia y encontró que el valor para π igual a 3.1416 (3927/1250); es interesante notar que él usó 3072 lados iguales en el polígono citado, es decir , 3072 elementos finitos. En la dinastía de Sung y Chi, el Matemático Tzu Tzon Tze(429500 E.C.), usó un polígono de 24576 lados iguales para obtener una mejor aproximación, siendo el valor 3.1415926 < π < 3.1415927.
De acuerdo con el manuscrito Ahmes, se muestra que para 1500 A.C. , los Egipcios usaban ♦10 como valor de π. Un papiro de tiempos mas tempranos, ahora en Moscú, indica que los egipcios usaron la fórmula para el volumen de una pirámide y el área de un círculo de manera aproximada en 1800 A. C.. Arquímedes, uno de los primeros Matemáticos e inventores, utilizó el concepto de elemento finito para calcular el volumen de sólidos.
De forma mas rigurosa, en el contexto estructural, las soluciones tanto en elasticidad como en análisis estructural tuvieron un inicio del Método del Elemento Finito con Timoshenko, pero si se considera que el análisis de marcos establece el inicio del método del Elemento Finito, entonces los pioneros fueron Castigliano, Mhor y Maxwell, entre otros, en el periodo 18501875.
En 1915, Maney de los Estados Unidos de Norteamérica, presentó el Método PendienteDeformación, expresando los momentos en términos de desplazamientos lineales
Introducción y Objetivo
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y angulares en los nodos de la estructura, lo cual es una de las formulaciones para plantear el Método de las Rigideces y un desarrollo similar, fue planteado por Ostenfeld en Dinamarca. En el año 1929, Hardy Cross hizo público un Método para analizar marcos basado en distribuciones angulares, el cual se utilizó por los siguientes 35 años.
En forma paralela a los primeros trabajos sobre análisis de estructuras reticulares, se resolvieron problemas de Mecánica del Medio continuo usando una analogía con estructuras formadas por barras diagonales para generar mallas con elementos triangulares. A principios de los años cuarenta Courant propuso funciones de interpolación polinomionales por secciones para formular subregiones triangulares como un caso especial del Método Variacional de RayleighRitz, que obtiene soluciones aproximadas.
Actualmente, el Método del Elemento Finito es utilizado con la ayuda de las computadoras, lo cual ha contribuido a su desarrollo al mismo ritmo que las computadoras. Las publicaciones clásicas por Argyris y Kelsey a mediados de los 50´s, hicieron surgir los conceptos de análisis de marcos discretizando no solo en nodos sino además en puntos intermedios de las barras y análisis de un continuo, lo que marcó un crecimiento explosivo en el Método del Elemento Finito.
Basándose en el planteamiento estático del Elemento Finito, se han ampliado las aplicaciones que incluyen diversos efectos físicos y vibraciones en el Análisis Dinámico, pandeo y postpandeo, no linealidades en la geometría y en el material, efectos térmicos, interacción entre fluidos y estructuras, aeroelasticidad, interacción acústicaestructura, teoría de la fractura, estructuras laminadas, propagación de oleaje, dinámica estructural, respuesta dinámica aleatoria, y muchas más aplicaciones. Como una consecuencia de tantos campos de estudio, el uso de los programas de computadora orientados a cada caso, se han convertido en una práctica en los sitios involucrados en el análisis estructural.
APLICACIONES
Aquí se describen varias clases de elementos finitos: barras de armadura (bajo el efecto de carga axial), barras de marcos (bajo los efectos de carga axial, fuerza cortante y momento flexionante), esfuerzos y deformaciones en el plano con elementos finitos triangulares y rectangulares. Cabe mencionar que otros tipos de elementos finitos, fuera del alcance de ésta Tesis son elementos tipo placa bajo cortante y flexión, elementos curvos de cascaron delgado con geometría triangular rectangular y trapecial, elementos tridimensionales para esfuerzos y deformaciones con geometría de tetraedros y hexaedros y algunos más.
Para ilustrar la aplicabilidad del método en casos prácticos, se presentan algunos ejemplos con la ayuda de algunas figuras. La figura 1.1 muestra la modelación del fuselaje y el ala de un avión, usando elementos finitos de los tipos barra, placa y cascarón. El modelo detallado de una sección que tiene un hueco, demuestra la versatilidad del método. Este modelo puede ser usado para un análisis estático de esfuerzos, vibración libre, respuesta al impacto en aterrizaje, movimientos bruscos e irregulares en los paneles y alas, y optimización de peso mínimo y resistencia máxima.
Introducción y Objetivo
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La figura 1.2 muestra un ejemplo del modelo de un edificio alto de 30 o 40 niveles, usando elementos viga, columna y placa. Este modelo puede ser usado para análisis estático, vibración libre, análisis dinámico y análisis aleatorio de viento.
Figura 1.1
Figura 1.2
Introducción y Objetivo
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La figura 1.3 muestra el modelo exterior de un antiguo generador que usando vapor genera combustible. El modelo, que consiste de una estructura metálica que sostiene al generador, usa elementos finitos viga, columna y placa, con un total de 1860 grados de libertad. Se observa en la figura que la estructura está vibrando en su tercer modo de vibración, con una frecuencia natural de 1.1 Hertz. Tanto las frecuencias de vibración como los modos, se utilizan para un análisis de la respuesta sísmica.
La figura 1.4 muestra el modelo de una torre de enfriamiento con una imperfección o falla local. Las columnas se modelan con elementos barra que consideran los efectos de axial, cortante, flexión y torsión. El cascaron hiperbólico se modela con elementos curvos de cascaron con geometría de cuadriláteros. En la zona de falla se requieren cuadriláteros pequeños. Cuadriláteros grandes y pequeños se unen con elementos triangulares curvos. Este modelo puede usarse para análisis dinámico bajo sismos y análisis aleatorio de viento. Si la falla inicial se considera en el análisis el comportamiento llega a tener no linealidad en la geometría.
Figura 1.3
Introducción y Objetivo
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La figura 1.5 muestra una estructura reticular espacial larga y flexible, con una geometría repetitiva en las celdas. La estructura puede modelarse con una gran cantidad de barras tipo armadura o con un número relativamente pequeño de elementos tipo placa, cuyo continuo contenga las propiedades de unas pocas celdas. El modelo se usa para análisis dinámico.
La figura 1.6 muestra el modelo del cinturón radial de un neumático usando elementos de cascarón asimétricos laminares. El modelo puede ser usado para análisis estático con grandes desplazamientos al inflar el neumático, vibración libre de un neumático inflado y respuesta dinámica. Para cargas durante la operación de rodado se requieren cuadriláteros.
Figura 1.4
Figura 1.5
Introducción y Objetivo
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Con el propósito de ilustrar el poderío gráfico y la utilidad de éste para modelar estructuras de geometría compleja, la figura 1.7 muestra superficies curvas ajustadas por funciones Bspline. Los nodos de la malla y sus coordenadas se almacenan en una base de datos para ser utilizados en un modelo con elementos finitos. Dicha estructura puede ser modelada con una gran cantidad de elementos planos tipo placa o con un número relativamente pequeño de elementos curvos tipo cascaron delgado.
Figura 1.6
Figura 1.7
Programas
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Diagrama y Manual
C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I II I II I I P P Pr r r o o og g gr r r a a am m ma a as s s
Diagrama de bloques del Pr ograma.
Manual del Usuar io.
Diagrama y Manual
Programas
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Diagrama y Manual
PROGRAMA
DIAGRAMA DE BLOQUES DEL PROGRAMA
Rutina principal: Entrada de Datos / Lectura de Datos, Verificación de la Geometría, Rigideces y Propiedades Elásticas, Ensamble, Solución de sistema de ecuaciones, Fuerzas Finales, Diagramas (opcional), Salida (opcional), Fin del Programa.
Entrada de datos: Opción para la creación de un archivo y guardarlo en disco, o Abrir uno existente. Definición del número de grados de libertad por nodo. Calculo de las propiedades geométricas y mecánicas de cada Elemento y asignación de Fuerzas a cada Nodo.
Verificación de la geometría: Opción para continuar o salir después de haber verificado la geometría en forma visual.
Rigidez: Calculo de Matriz de Rigideces y Propiedades Elásticas para cada Elemento según sea el tipo de estructura.
Ensamble: Obtención del número de ecuaciones. Tamaño de la Matriz total de Rigideces y generación del Vector Cargas.
Solución del sistema de ecuaciones: La solución del sistema se obtiene por el método de Cholesky.
Fuerzas Finales: Calculo de Elementos Mecánicos / Esfuerzos por Elemento y transformación del sistema global al local.
Diagramas: Opción para la presentación de los diagramas de Cortantes y Momentos (opción solo aplicable estructuras de tipo Marco)
Salida: Opción para imprimir los resultados obtenidos en un archivo.
Fin del programa.
Nota: El listado del programa se puede encontrar en el Apéndice I
Programas
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Diagrama y Manual
MANUAL DEL USUARIO
ALCANCE.
Este programa esta capacitado solo para el análisis estructural de Armaduras y Marcos en el plano así como el caculo de esfuerzos en placas planas del tipo Triangular y Rectangular.
MENÚ.
Debido a que las personas tenemos ciertas preferencias en cuanto al modo de trabajar el programa tiene dos opciones para ingreso de datos (figura 3.1.1): la primera consiste en abrir un archivo ya existente en el que se pueden proporcionar los datos en forma escrita, en la segunda opción se crea un archivo por medio del programa para ser utilizado más tarde las veces que se desee. Cabe aclarar que la segunda opción es más grafica, sin embargo, aún sabiendo esto algunas personas prefieren la primera.
Figura 3.1.1
Programas
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Diagrama y Manual
PRIMERA OPCIÓN PARA LA ENTRADA DE DATOS
Para este se recomienda la creación del archivo con la ayuda del Bloc de notas o cualquier otro editor de texto que permita tener las propiedades de “solo texto”.
En primera instancia se hará el listado general del tipo de datos a proporcionar.
A. Tipo de Estructura a analizar. B. Número de Nodos. C. Número de Elementos. D. Indicador de Apoyo. E. Incidencias. F. Coordenadas. G. Modulo de elasticidad. H. Sección transversal (sólo para los casos de Armaduras y Marcos). I. Momento de Inercia (sólo para el caso de Marcos). J. Espesor (para los casos de Placas Plana Triangulares o Rectangulares). K. Modulo de Poisson (Placas Planas). L. Numero de Cargas. M. Indicadores de la Carga.
A. Tipo de Estructura a analizar.
Este se indica con un carácter del cual se tienen las opciones siguientes:
a Indica que la estructura se analizará como una Armadura (solo se considerará Fuerza Axial).
m La estructura se analizará como un Marco (se considerará Fuerza Axial Cortante y Flexión).
t La estructura se analizará como Placa Plana del tipo Triangular (se calcularán Esfuerzos).
r Al igual que el anterior hace referencia a una Placa pero del tipo Rectangular.
Nota: Para el caso de vigas el programa se puede usar en modo Marcos.
B. Número de nodos.
Continuamos con el número de Nodos, este es igual al numero de puntos incidentes entre los elementos de la estructura.
Programas
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Diagrama y Manual
C. Número de Elementos.
Hace referencia al número de Barras o Placas según sea el tipo de estructura que se halla declarado anteriormente.
D. Indicador de Apoyo.
Este se declara como un numero entero y tiene dos opciones a elegir que se aplican a cada Nodo por lo que el número de indicadores será igual al número de nodos. A continuación se describen estas dos opciones:
1 Indica que el Nodo referido se encuentra apoyado lo que significa que tiene ciertos grados de libertad restringidos. En otras palabras tiene restricciones de desplazamiento en determinados ejes (Xó Y) o impedimento de giro.
Esto da cabida a indicar el tipo de apoyo a usar en este nodo. Se declara con un valor entero y tiene los siguientes valores y características:
• 1 Tipo de apoyo: Empotrado. Restricciones: Ejes “X” , “Y” y Giro. Número de Grados de Libertad: 0.
• 2 Tipo de apoyo: Simplemente apoyado. Restricciones: Ejes “X” y “Y”. Número de Grados de Libertad: 1.
• 3 Tipo de apoyo: Simplemente apoyado con desplazamiento en el eje “X”. Restricciones: Eje “Y”. Número de Grados de Libertad: 2.
Nota: El indicador “Tipo de apoyo” se coloca en forma consecuente al indicador de apoyo.
2 Indica que el nodo no tiene ningún tipo de apoyo por lo que el Número de Grados de libertad es 3 y las restricciones son 0, en otras palabras no hay ninguna restricción al desplazamiento.
E. Incidencias.
Estas son equivalentes a las condiciones de frontera de cada elemento y son indicadas por el número de nodo, por lo que el número de estas dependerá del tipo de elemento. Por ejemplo para un elemento Barra solo se tienen dos nodos el inicial y el final, esto genera cierta controversia en este tipo de elementos por la indecisión de cual es cual. Sin embargo, estos pueden ser colocados en cualquier forma. A diferencia del elemento
Programas
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Diagrama y Manual
placa en el que la colocación de cada nodo debe ser secuencial en el sentido contrario a las manecillas del reloj. A continuación se presentan algunos ejemplos:
Para un elemento Barra. Para un elemento Placa del tipo Triangular.
Secuencia
3 4 4 3 ó
3
4
nodos nodos 3 5 7
Secuencia
3
7
5
Figura 3.1.2 Figura 3.1.3
Para un elemento Placa del tipo Rectangular.
2 3 8 7 nodos
Secuencia 7
3
8
2
Figura 3.1.4
F. Coordenadas.
Las coordenadas corresponden a cada nodo. Estas se refieren solo a los ejes “X” y “Y”.
G. Modulo de Elasticidad.
Estas propiedades Elásticas se debe escribir en igual número de veces que el número de elementos que se tiene.
H. Sección Transversal.
Estos valores se refieren al área transversal del elemento para el caso exclusivo de Armaduras y Marcos, y se deben colocar en igual número de elementos.
I. Momento de Inercia.
El Momento de Inercia es de uso exclusivo para estructuras de tipo Marcos.
Programas
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Diagrama y Manual
J . Espesor.
El espesor se debe indicar para Placas Planas en igual número de elementos.
K. Modulo de Poisson.
Este se proporciona de igual forma que el espesor.
L. Número de cargas
Se indica con un valor entero indicando el número de cargas que afectan la estructura no importando el tipo de estas.
M. Indicadores de la Carga.
El número de indicadores depende del tipo de carga que se esté indicando. Los tipos de carga que el programa acepta son los siguientes:
1 Carga Puntual Sobre Nodo (Figura 3.1.5). Requiere tres indicadores:
Magnitud de la Carga: valor absoluto. Angulo de la Carga: valor referido al eje global y se mide de 0°360°. Nodo a Cargar: valor entero.
2 ton
7
45°
Nodo
Carga
Angulo
2 Carga Puntual Sobre Elemento (Figura 3.1.6). Requiere de cuatro hasta seis indicadores:
Magnitud de la Carga: valor absoluto. Angulo de la Carga: valor referido al eje local de la barra y se mide de 0°360°. Localización de la Carga sobre el elemento: distancia medida desde nodo inicial hasta la ubicación de la carga. Elemento a Cargar: valor entero.
Figura 3.1.5
Programas
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Diagrama y Manual
Nodo Inicial: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares. Nodo Final: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares.
45°
2 ton Angulo Carga
8
Nodo Inicial
7
Nodo final Loc. Carga = 3,76
Barra 3
2 Carga Distribuida (Figura 3.1.7). Requiere de dos hasta cuatro indicadores:
Magnitud de la Carga: valor que depende de un signo para indicar la dirección deseada. Elemento a Cargar: valor entero. Nodo Inicial: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares. Nodo Final: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares.
2 ton
Nodo final
3
Carga
Nodo Inicial Barra 4
7
(+) () (+)
()
Una vez creado el archivo se procede a ejecutar el programa y elegir la primera de tres opciones esta es la de Abrir y se activa con la letra “a”. Después de elegir esta opción el programa pide el nombre del archivo, este debe contener la ubicación y la extensión del mismo para poder ser abierto.
SEGUNDA OPCIÓN PARA LA ENTRADA DE DATOS
En esta opción se lleva al usuario de la mano para ir recopilando los datos necesarios para que el programa opere. El primer paso es elegir la opción Nuevo con la
Figura 3.1.6
Figura 3.1.7
Programas
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Diagrama y Manual
letra “n”. A continuación el programa pide el nombre que debe de llevar el archivo, este también debe de llevar ubicación y extensión.
En esta opción se dará una clasificación diferente a los datos de entrada, estos se reducen es secciones y se enlistan de la siguiente manera:
A. Tipo de estructura. B. Número de Nodos y Elementos. C. Coordenadas e Indicador de Apoyo. D. Propiedades de los Elementos. E. Tipos de Cargas. F. Indicadores de la Carga.
A. Tipo de estructura.
El siguiente paso es elegir el modo de análisis para la estructura. El programa presenta cuatro opciones en pantalla (Figura 3.1.8) y se accionan con las letras “a”, “m”, “t”, “r”.
B. Número de Nodos y Elementos.
Al igual que se explicó en la primera opción se declara el número de nodos y elementos.
C. Coordenadas e Indicador de Apoyo.
En esta sección el programa va pidiendo las coordenadas y tipo de apoyo nodo por nodo. Figura 3.1.9.
Figura 3.1.8
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 92
Diagrama y Manual
D. Propiedades de los Elementos.
Los primeros valores, en la clasificación de propiedades, son las incidencias, estas aparecen con la legenda de Limite 1 y Limite 2 en los casos de Armaduras y Marcos. Pero para los casos de Placas Planas la legenda cambia a Vértice 1, Vértice 2, etc. Figura 3.1.10.
Los valores siguientes aparecen según el tipo de estructura:
Modulo de elasticidad. Sección transversal (sólo para los casos de Armaduras y Marcos). Momento de Inercia (sólo para el caso de Marcos). Espesor (para los casos de Placas Plana Triangulares o Rectangulares). Modulo de Poisson (Placas Planas).
E. Tipo de Cargas.
El menú para la selección del Tipo de cargas se presenta después de haber declarado las propiedades de los elementos. En esta opción no se requiere la declaración del número de cargas ya que el programa permite continuar o salir de esta sección una vez que se a asignado por lo menos un tipo de carga a la estructura. Las opciones son 1, 2,y3. Figura 3.1.11.
Figura 3.1.9
Figura 3.1.10
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 93
Diagrama y Manual
F. Indicadores de la Carga.
1 Carga Puntual Sobre Nodo (Figura 3.1.12). Requiere tres indicadores:
Magnitud de la Carga: valor absoluto. Angulo de la Carga: valor referido al eje global y se mide de 0°360°. Nodo a Cargar: valor entero.
2 ton
7
45°
Nodo
Carga
Angulo
2 Carga Puntual Sobre Elemento (Figura 3.1.13). Requiere de cuatro hasta seis indicadores:
Magnitud de la Carga: valor absoluto. Angulo de la Carga: valor referido al eje local de la barra y se mide de 0°360°. Localización de la Carga sobre el elemento: distancia medida desde nodo inicial hasta la ubicación de la carga. Elemento a Cargar: valor entero. Nodo Inicial: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares. Nodo Final: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares.
Figura 3.1.11
Figura 3.1.12
Programas
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Diagrama y Manual
45°
2 ton Angulo Carga
8
Nodo Inicial
7
Nodo final Loc. Carga = 3,76
Barra 3
2 Carga Distribuida (Figura 3.1.14). Requiere de dos hasta cuatro indicadores:
Magnitud de la Carga: valor que depende de un signo para indicar la dirección deseada. Elemento a Cargar: valor entero. Nodo Inicial: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares. Nodo Final: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares.
2 ton
Nodo final
3
Carga
Nodo Inicial Barra 4
7
(+) () (+)
()
VERIFICACIÓN DE LA GEOMETRÍA
Después de haber asignado los datos al programa, con la primera o segunda opción, se despliega una ventana en la que se muestra la geometría para una verificación visual de esta. Se tienen dos opciones Continuar o Repetir (Figura 3.1.15) y estas se accionan al presionar las teclas C o R respectivamente. Si se elige la opción Repetir el programa termina y los datos del archivo creado se pueden corregir en cualquier editor de texto.
Figura 3.1.13
Figura 3.1.14
Programas
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Diagrama y Manual
DESPLIEGUE DE RESULTADOS
Una vez elegida la opción Continuar el primer bloque de resultado que aparece es el de los Desplazamientos Nodales seguido del bloque de las Fuerzas Finales (Figura 3.1.16).
Figura 3.1.15
Figura 3.1.16
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 96
Diagrama y Manual
DIAGRAMA DE CORTANTES Y MOMENTOS
Este diagrama solo puede ser desplegado para los casos de Marcos y es opcional. Si la opción elegida es Si, el programa le pedirá el número de elemento que desea ver. En el caso de que la estructura tenga la apariencia de una Viga Continua en programa la reconocerá y desplegará los diagramas de todos los elementos en una sola ventana. Figura 3.1.17.
CREACIÓN DEL ARCHIVO DE SALIDA
El archivo de salida también es opcional. Si se desea esta opción se presiona la letra “s” sino la letra “n”. Para la primera opción se requiere nuevamente el nombre del archivo, la ubicación y la extensión. Se recomienda no escribir el nombre de un archivo existente ya que el programa sobrescribirá en este perdiendo así toda su información.
Figura 3.1.17
Método del Elemento Finito
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Marcos
C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I II I I M M Mé é ét t to o od d do o o d d de e el ll E E El lle e em m me e en n nt t to o o F F Fi iin n ni iit t to o o
Obtención de la Matr iz de Rigideces para Marcos.
Transformación del sistema Local al Global de referencia.
Obtención del vector Cargas.
Calculo de desplazamientos.
Obtención de los Elementos Mecánicos.
Transformación del sistema Global al local de referencia.
Ejemplo numér ico.
Marcos
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 32
Marcos
MARCOS
OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES
Comenzando nuevamente con el análisis del elemento barra (figura 2.2.1.1), pero ahora considerando los elementos mecánicos: momentos, cortantes y giros, el campo de los desplazamientos se define de la siguiente manera:
3 4
2 3 2 1 x x x V ⋅ α + ⋅ α + ⋅ α + α =
pero: x V
∂ ∂
= φ
2 4 3 2 x 3 x 2 ⋅ α + ⋅ α + α = φ
α α α α
=
φ
4
3
2
1
2
3 2
x 3 x 2 1 0 x x x 1 V
[ ] [ ] i P V
α =
φ
(2.2.1)
Aplicando condiciones de frontera setiene:
φ = φ =
=
φ = φ =
= 2
2
1
1 V V 0 x ;
V V L x si
X
Y
V1 M1 M2
x1=0 x2=L
V2
V2,φ2 V1,φ1
Figura 2.2.1.1
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 33
Marcos
sustituyendo para cada limite:
Para x = L:
( ) ( ) ( ) 3 4 2
3 2 1 L L L V ⋅ α + ⋅ α + ⋅ α + α =
( ) ( ) 2 4 3 2 L 3 L 2 ⋅ α + ⋅ α + α = φ
Para x = 0:
( ) ( ) ( ) 3 4 2
3 2 1 0 0 0 V ⋅ α + ⋅ α + ⋅ α + α =
( ) ( ) 2 4 3 2 0 3 0 2 ⋅ α + ⋅ α + α = φ
en forma matricial:
V 1
φ 1
V 2
φ 2
1
0
1
0
L
1
0
1
L 2
2L
0
0
L 3
3L 2
0
0
α 1
α 2
α 3
α 4
⋅ := , es decir:
V 1
φ 1
V 2
φ 2
=[C] [αi]
de donde: [ ]
φ
= α −
1
i 1 i
V C (2.2.2)
donde la matriz [C] 1 desarrollada es:
[ ]
− −
− − − = −
2 3 2 3
2 2
1
L 1
L 2
L 1
L 2
L 2
L 3
L 1
L 3
0 0 1 0 0 0 0 1
C
se sustituye la ecuación (2.2.2) en la (2.2.1) y se tiene:
[ ] [ ]
φ
=
φ
−
i
i 1 V C P V
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 34
Marcos
es decir:
φ
φ
− −
− − −
=
φ
−
2
2
1
1
C
2 3 2 3
2 2
P
2
3 2
V
V
L 1
L 2
L 1
L 2
L 2
L 3
L 1
L 3
0 0 1 0 0 0 0 1
x 3 x 2 1 0 x x x 1 V
1 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1
4 4 4 3 4 4 4 2 1
con la relación: [ ] [ ]
φ
= ∈ V
L (2.2.3)
[ ] [ ] [ ] [ ]
φ
= ∈ −
i
i 1 V C P L
[ ] [ ] [ ]
φ
= ∈ i
i V N L
de donde:
[ ]
∂ φ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
=
x 0
0 x V
x V 0
0 x V
L 2
2
2 2
3 3
2 2
reduciendo se tiene:
[ ]
φ
φ
− −
− − −
= ∈
−
⋅ 2
2
1
1
C
2 3 2 3
2 2
P L
V
V
L 1
L 2
L 1
L 2
L 2
L 3
L 1
L 3
0 0 1 0 0 0 0 1
6 0 0 0 x 6 2 0 0
1 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1
4 4 3 4 4 2 1
Pero: B(2x4) L N = L P C 1
B
6
L 2 12
x
L 3 ⋅ −
12 −
L 3
2 − L
6 x
L 2 ⋅ +
6
L 2
6 −
L 2 12
x
L 3 ⋅ +
12
L 3
4 − L
6 x
L 2 ⋅ +
6
L 2
:= [ ]
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 35
Marcos
y finalmente: [ ] [ ] [ ] ∫ = dvol B D B k T e .
En este caso:
=
0 0 0 EI
D
∂ φ ∂
∂ ∂
=
x
x V
0 0 0 EI
V M
2
2
2 2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] x d B D B A k cte A ; A x d B D B k L
0
T e
L
0
T e ∫ ∫ = ⇒ = =
haciendo operaciones se tiene:
[ke] = E I ⋅
12
L 3
6 −
L 2
12 −
L 3
6 −
L 2
6 −
L 2
4 L
6
L 2
2 L
12 −
L 3
6
L 2
12
L 3
6
L 2
6 −
L 2
2 L
6
L 2
4 L
⋅
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 36
Marcos
FUNCIONES DE FORMA PARA UN ELEMENTO VIGA
[ ] [ ] [ ] 1 − = C P N
[N] = 1
0
x
1
x 2
2 x ⋅
x 3
3 x 2 ⋅
0
0
3
L 2
2 −
L 3
0
0
1 − L
1
L 2
1
0
3 −
L 2
2
L 3
0
1
2 − L
1
L 2
⋅
V
φ
3 x 2
L 2 ⋅ 2
x 3
L 3 ⋅ −
6 x
L 2 ⋅ 6
x 2
L 3 ⋅ −
x 2 − L
x 3
L 2 +
2 − L
x ⋅ 3 x 2
L 2 ⋅ +
1 3 x 2
L 2 ⋅ − 2
x 3
L 3 ⋅ +
6 − x
L 2 ⋅ 6
x 2
L 3 ⋅ +
x 2 x 2
L ⋅ −
x 3
L 2 +
1 4 L x ⋅ − 3
x 2
L 2 ⋅ +
V 1
φ 1
V 2
φ 2
⋅ :=
[ ]
φ
=
φ i
i V N
V
considerando que: 2 4 2 3 1 2 1 1 ) x ( f V ) x ( f ) x ( f V ) x ( f V φ + + φ + =
de donde: ( ) 1 3 3
2 2
1 N L
x 2 L
x 3 ) x ( f = − =
( ) 2 2 3 2
2 N L
x L
x ) x ( f = + − =
( ) 3 3 3
2 2
3 N L
x 2 L
x 3 1 ) x ( f = + − =
( ) 4 2 3 2
4 N L
x L
x 2 x ) x ( f = + − =
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 37
Marcos
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE FORMA
Propiedad número 1 (figura 2.2.1.2)
0 U 1 U 2 2 1 1 = φ = = φ ⇒ =
0 U U 1 2 2 1 1 = φ = = ⇒ = φ
0 U 1 U 2 1 1 2 = φ = φ = ⇒ =
0 U U 1 1 2 1 2 = φ = = ⇒ = φ
Nota: en cualquier punto x ∑ = 0 N i
Propiedad número 2.
( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑
= + − + + − + + − + − =
= + + + =
=
1 L x
L x 2 x L
x 2 L
x 3 1 L x
L x
L x 2
L x 3 N
; 1 N N N N N
; 1 N
2 3 2
3 3
2 2
2 3 2
3 3
2 2
i
4 3 2 1 i
i
U1=1
φ
U2=1
φ
F1(x)
F2(x)
F3(x)
F4(x)
Figura 2.2.1.2
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 38
Marcos
OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN PARA EL SISTEMA LOCAL
De la figura 2.2.1.3 podemos obtener las siguientes expresiones:
β ⋅ + β ⋅ β ⋅ − β ⋅
=
m cos Py sen Px sen Py cos Px
' m y ' P x ' P
β
Px X'
Y' X
Py
β
Y
P'y
P'x
en forma matricial: [ ] [ ] [ ] P T ' P =
β β β − β
=
m Py Px
1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
' m y ' P x ' P
por lo que, para marcos en el plano, el transformador tiene la siguiente forma:
[ ]
β β β − β
= 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
T y [ ]
β β − β β
= 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
T T
Figura 2.2.1.3
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 39
Marcos
β
Ux X'
Y' X
Uy
Y
U'y
U'x
de la figura 2.2.1.4 podemos saber que: [ ] [ ] [ ] ' U T U T = , de donde: U = vector desplazamiento del sistema local, y
U’ = vector desplazamiento del sistema global.
De la matriz [T], el termino m, que es el momento flexionante alrededor del eje Z, para este caso coinciden los ejes Z y Z’ (figura 2.2.1.5), por lo que m = m’.
Y' X
X'
β
Y
m
Figura 2.2.1.4
Figura 2.2.1.5
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 40
Marcos
Si a la matriz [k] le agregamos los efectos de carga axial se puede obtener una matriz de la siguiente forma:
[ ]
−
−
−
−
− − −
−
=
L EI 4
L EI 6 0 L
EI 2 L
EI 6 0 L
EI 6 L
EI 12 0 L EI 6
L EI 12 0
0 0 L EA 0 0 L
EA L
EI 2 L
EI 6 0 L EI 4
L EI 6 0
L EI 6
L EI 12 0 L
EI 6 L
EI 12 0
0 0 L EA 0 0 L
EA
k
2 2
2 3 2 3
2 2
2 3 2 3
e
de la cual podemos desglosar a:
[ ]
−
− =
L EI 4
L EI 6 0
L EI 6
L EI 12 0
0 0 L EA
k
2
2 3 11 [ ]
− −
−
=
L EI 2
L EI 6 0
L EI 6
L EI 12 0
0 0 L EA
k
2
2 3 12
[ ]
−
−
−
=
L EI 2
L EI 6 0
L EI 6
L EI 12 0
0 0 L EA
k
2
2 3 21 [ ]
=
L EI 4
L EI 6 0
L EI 6
L EI 12 0
0 0 L EA
k
2
2 3 22
Recordando que: [ ] [ ] [ ] P T ' P = y premultiplicando, previamente, a las ecuaciones fuerzadesplazamiento por [T] para despejar a P1 y P2 se tiene:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 1 21 2
2 12 1 11 1
U k T U k T P T
U k T U k T P T
+ =
+ =
y sustituyendo la relación [ ] [ ] [ ] ' U T U T = junto con: [ ] [ ] [ ] P T ' P =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 T
22 1 T
21 2
2 T
12 1 T
11 1
' U T k T ' U T k T ' P
' U T k T ' U T k T ' P
+ =
+ =
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 41
Marcos
de donde puede reducirse él termino [ ] [ ] [ ] T T k T por [k’], que, desarrollado tiene la siguiente forma:
[ ]
β β − β β
−
−
β β β − β
= 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
L EI 4
L EI 6 0
L EI 6
L EI 12 0
0 0 L EA
1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
' k
2
2 3 11
[ ]
β −
β
β −
β +
β β β −
β β
β β β −
β β β +
β
=
L EI 4
L cos EI 6
L EIsen 6
L cos EI 6
L cos EI 12
L EAsen
L cos EIsen 12
L cos EAsen
L EIsen 6
L cos EIsen 12
L cos EAsen
L EIsen 12
L cos EA
' k
2 2
2 3
2 2
3
2 3 3
2 2
11
[ ]
β β − β β
− −
−
β β β − β
= 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
L EI 2
L EI 6 0
L EI 6
L EI 12 0
0 0 L EA
1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
' k
2
2 3 12
[ ]
β β −
β −
β −
β −
β β +
β β −
β β β +
β β −
β +
β −
=
L EI 2
L cos EI 6
L EIsen 6
L cos EI 6
L cos EI 12
L EAsen
L cos EIsen 12
L cos EAsen
L EIsen 6
L cos EIsen 12
L cos EAsen
L EIsen 12
L cos EA
' k
2 2
2 3
2 2
3
2 3 3
2 2
12
[ ]
β β − β β
−
−
−
β β β − β
= 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
L EI 2
L EI 6 0
L EI 6
L EI 12 0
0 0 L EA
1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
' k
2
2 3 21
[ ]
β −
β
β β −
β −
β β −
β β −
β −
β β +
β β −
β −
β −
=
L EI 2
L cos EI 6
L EIsen 6
L cos EI 6
L cos EI 12
L EAsen
L cos EIsen 12
L cos EAsen
L EIsen 6
L cos EIsen 12
L cos EAsen
L EIsen 12
L cos EA
' k
2 2
2 3
2 2
3
2 3 3
2 2
21
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 42
Marcos
[ ]
β β − β β
β β β − β
= 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
L EI 4
L EI 6 0
L EI 6
L EI 12 0
0 0 L EA
1 0 0 0 cos sen 0 sen cos
' k
2
2 3 22
[ ]
β β −
β β +
β β β −
β β
β −
β β −
β β β +
β
=
L EI 4
L cos EI 6
L EIsen 6
L cos EI 6
L cos EI 12
L EAsen
L cos EIsen 12
L cos EAsen
L EIsen 6
L cos EIsen 12
L cos EAsen
L EIsen 12
L cos EA
' k
2 2
2 3
2 2
3
2 3 3
2 2
22
y sustituyendo se tiene:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 2 22 1 21 2
2 12 1 11 1
' U ' k ' U ' k ' P
' U ' k ' U ' k ' P
+ =
+ = (2.2.5)
Una vez teniendo esta forma se puede ensamblar la matriz de rigideces dela misma manera que se hace para armaduras obteniéndose así una matriz de la siguiente manera:
[ ] [ ] [ ] 1 ' P ' U ' k = .
Resolviendo el sistema se obtienen los desplazamientos y con ellos calcular las fuerzas en el sistema global con la ecuación (2.2.5), para después obtener las del sistema local.
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 43
Marcos
EJEMPLO NUMÉRICO DE MARCOS
Analizar el siguiente marco (figura 2.2.2.1) por el método del elemento finito.
1
a
4
2 b
3
Y'
X'
4.00m
2Ton W = 3 Ton/m
3.00m c
Sección tipo
0.30m
0.30
de la figura 2.2.2.1se obtienen los siguientes datos:
( )( )
2 2
2
2 2
4 4
2
m ton 000 , 1400
kg 1000 ton 1
m 0001 . 0 cm 1
cm kg 000 , 140
cm kg 000 , 140 E
m 000675 . 0 12
) m 3 . 0 ( I
m 09 . 0 m 3 . 0 m 3 . 0 A
=
= =
= =
= =
Tabla 2.2.2.1 PROPIEDADES DE CADA ELEMENTO Barra Li EA EI b sen b cos b sen 2 b cos 2 b sen b cos b a 3.00 126000 945 90° 0 1 0 1 0 b 4.00 126000 945 0° 1 0 1 0 0 c 3.00 126000 945 90° 0 1 0 1 0
A continuación se obtendrán los cortantes y momentos de la barra “b” considerando sus extremos empotrados (figura 2.2.2.2), recordando así que el Método del elemento finito toma las propiedades de cada elemento individualmente.
Figura 2.2.2.1
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 44
Marcos
R1 4.00m
R2
2 b
W = 3 Ton/m 3 M1 M2
( )( )
( )( ) m ton 4
12 m 4 m / ton 3
12 L W M M
ton 6 2
m 4 m / ton 3 2 L W V V
2 2
2 1
2 1
= = ⋅
= =
= = ⋅
= =
de donde ahora obtenemos el vector cargas:
[ ]
− −
−
=
00 . 4 00 . 6 00 . 0 00 . 4 00 . 6 00 . 2
P
Tabla 2.2.2.2 Ensamble de la matriz K’ Nodo 2 3 U
Ux2 2 b ' k a ' k 11 22 + b ' k 12 Uy2
Ux3 3 b ' k 21 c ' k b ' k 22 22 +
Uy3
Usando los valores de la tabla 2.2.2.1 en las submatrices de k’ y haciendo operaciones:
Figura 2.2.2.2
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 45
Marcos
Para la bar ra “b”
[ ]
−
− =
4 ) 945 ( 4
) 4 ( ) 945 ( 6 0
) 4 ( ) 945 ( 6
) 4 ( ) 945 ( 12 0
0 0 4
126000
b ' k
2
2 3 11 [ ]
− − = 945 35438 0
38 . 354 19 . 177 0 0 0 31500
b ' k 11
[ ]
− −
−
=
4 ) 945 ( 2
) 4 ( ) 945 ( 6 0
) 4 ( ) 945 ( 6
) 4 ( ) 945 ( 12 0
0 0 4
126000
b ' k
2
2 3 12 [ ]
− −
− =
5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0
0 0 31500 b ' k 12
[ ]
−
−
−
=
4 ) 945 ( 2
) 4 ( ) 945 ( 6 0
) 4 ( ) 945 ( 6
) 4 ( ) 945 ( 12 0
0 0 4
126000
b ' k
2
2 3 21 [ ]
− −
− =
5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0
0 0 31500 ' b k 21
[ ]
=
4 ) 945 ( 4
) 4 ( ) 945 ( 6 0
) 4 ( ) 945 ( 6
) 4 ( ) 945 ( 12 0
0 0 4
126000
b ' k
2
2 3 22 [ ]
=
945 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0
0 0 31500 b ' k 22
Para las bar ras “a” y “c”
[ ]
−
−
=
3 ) 945 ( 4 0
3 ) 945 ( 6
0 3
126000 0 3
) 945 ( 6 0 3
) 945 ( 12
' a k
2
2 3
22 [ ]
−
− =
1260 0 630 0 42000 0 630 0 420
' a k 22
y [ ] [ ] ' ' 22 22 c k a k =
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 46
Marcos
[ ]
−
−
−
=
3 ) 945 ( 2 0
3 ) 945 ( 6
0 3
126000 0 3
) 945 ( 6 0 3
) 945 ( 12
' a k
2
2 3
12 [ ]
−
− − =
630 0 630 0 42000 0 630 0 420
' a k 12
y [ ] [ ] ' ' 12 12 c k a k =
ahora el ensamble de la matriz es:
− −
−
=
−
−
− −
−
− − −
− − −
−
00 . 4 00 . 6 00 . 0 00 . 4 00 . 6 00 . 2
' U
' U
2205 38 . 354 630 38 . 354 19 . 42177 0
630 0 31920
5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0
0 0 31500 5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0
0 0 31500
2205 38 . 354 630 38 . 354 19 . 42177 0
630 0 31920
3
2
Al resolver el sistema de ecuaciones, es decir, obtener los desplazamientos de los nodos referidos al sistema local, se tiene:
− − =
φ =
− =
φ =
00145 . 0 00016 . 0 00365 . 0
' y ' U x ' U
' U 00319 . 0 00013 . 0 00373 . 0
' y ' U x ' U
' U
3
3
3
3
2
2
2
2
CALCULO DE LOS ELEMENTOS MECÁNICOS
Barra “a” sistema global
[ ] [ ][ ]
− =
−
− −
− = =
3356 . 0 3873 . 5 4471 . 0
00319 . 0 00013 . 0 00373 . 0
630 0 630 0 42000 0 630 0 420
' U a ' k a ' P 2 12 1
[ ] [ ][ ]
− −
=
−
−
− = =
6770 . 1 3873 . 5 4471 . 0
00319 . 0 00013 . 0 00373 . 0
1260 0 630 0 42000 0 630 0 4200
' U a ' k a ' P 2 22 2
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 47
Marcos
Barra “b” sistema global
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
− =
=
− −
− −
− +
−
− − =
+ =
3230 . 2 6127 . 0 4471 . 2
b ' P
00145 . 0 00016 . 0 00365 . 0
5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0
0 0 31500
00319 . 0 00013 . 0 00373 . 0
945 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0
0 0 31500 b ' P
' U b ' k ' U b ' k b ' P
1
1
3 12 2 11 1
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
− =
=
− −
+
−
− −
− =
+ =
1278 . 0 6127 . 0 4471 . 2
b ' P
00145 . 0 00016 . 0 00365 . 0
945 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0
0 0 31500
00319 . 0 00013 . 0 00373 . 0
5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0
0 0 31500 b ' P
' U b ' k ' U b ' k b ' P
2
2
3 22 2 21 2
Barra “c” sistema global
[ ] [ ][ ]
−
− =
− −
− −
− = =
2136 . 3 6127 . 6 4471 . 2
00145 . 0 00016 . 0 00365 . 0
630 0 630 0 42000 0 630 0 420
U c ' k c ' P 3 12 1
[ ] [ ][ ]
− − =
− −
−
− = =
1278 . 4 6127 . 6 4471 . 2
00145 . 0 00016 . 0 00365 . 0
1260 0 630 0 42000 0 630 0 420
' U c ' k c ' P 3 22 2
Nota: Las fuerzas finales se obtienen de l a suma de momentos y cortantes de empotramiento con los desequilibrios que da el método.
Fuerzas finales de la Barra “b”
[ ]
− =
− −
− =
6770 . 1 3873 . 5 4471 . 2
4 6 0
3230 . 2 6127 . 0 4471 . 2
b ' P 1
[ ]
− =
− − −
− =
1278 . 4 6127 . 6 4471 . 2
4 6 0
1278 . 0 6127 . 0 4471 . 2
b ' P 2
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 48
Marcos
1
a
4
2 b
3
c
0.4471
5.3873
3.2136 0.3356
6.6127
1.6770
2.4471
6.6127
4.1278
5.3873
4.1278 1.6770 2.4471
2.4471
1 0.37
1.67
2 1.67
3.18 4
3
4.11
4.11
Diagrama de Momentos
Figura 2.2.2.3
Figura 2.2.2.4
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 11
Armaduras
C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I II I I M M Mé é ét t to o od d do o o d d de e el ll E E El lle e em m me e en n nt t to o o F F Fi iin n ni iit t to o o
Obtención de la Matr iz de Rigideces para Armaduras.
Transformación del sistema Local al Global de referencia.
Obtención del vector Cargas.
Desplazamientos.
Obtención de los Elementos Mecánicos.
Transformación del sistema Global al local de referencia.
Ejemplo numér ico.
Armaduras
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 12
Armaduras
ARMADURAS
En el Método del Elemento Finito para Análisis Estructural existen varios pasos a seguir los cuales sé en listan a continuación:
1. Obtención de la matriz de rigideces para cada elemento. 2. Trasformación del sistema local al sistema global de referencia (para los casos
de armaduras y marcos) 3. Obtención del vector cargas para cada eje de referencia. 4. Cálculo de desplazamientos nodales resolviendo el sistema de ecuaciones por
algún método matricial (Gauss Jordán, Cholesky, etc.) 5. Obtención de los elementos mecánicos o esfuerzos de cada elemento, a partir de
los desplazamientos ya calculados y de matriz de rigideces de cada elemento. 6. Y por ultimo la transformación del sistema local al global de referencia según
sea el caso.
OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES
Para el caso de armaduras se consideran barras unidimensionales con respecto a un sistema local de referencia como se muestra en la figura 2.1.1.1
L = X2 X1
X2 X1
Y
X
1 2
donde: L = Longitud de la barra. x1 y x2 = Coordenadas de los extremos de la barra.
Figura 2.1.1.1
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 13
Armaduras
Aproximadamente el campo de los desplazamientos por medio de un polinomio de orden uno sería de la siguiente manera:
x ) x ( U 2 1 α + α =
[ ]
α
α =
2
1 x 1 ) x ( U
U(x) = (P) (α) (2.1.1)
donde: U(x) = Campo de los desplazamientos. P = Vector Carga aplicado sobre la barra.
Se aplican las condiciones de frontera para x queda de la siguiente manera:
Para x = x1; 1 2 1 x ) x ( U α + α = Para x = x2; 2 2 1 x ) x ( U α + α =
En forma matricial se tiene:
α
α
=
2
1
2
1
2
1
x 1 x 1
) x ( U ) x ( U
Reduciendo queda:
[ ]
=
2
1
x 1 x 1
C
[ ] [ ] [ ] α = C U i
[ ] [ ] [ ] i 1 U C − = α (2.1.2)
Se sustituye (2.1.2) en (2.1.1)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] i i 1 U N U C P ) x ( U = = − (2.1.3)
Realizando operaciones se tiene:
[ ]
−
− =
−
−
− = −
1 1 x x
L 1
1 1 x x
) x x ( 1 C 1 2 1 2
1 2
1
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 14
Armaduras
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ) x x ( ) x x ( L 1
1 1 x x
L 1 x 1 C P N 1 2
1 2 1 + − − =
−
− = = −
L ) x x (
N 2 1
− =
L ) x x (
N 1 2
+ − =
En donde N1 y N2 son llamadas funciones de forma.
Las características de las funciones de forma (Ni) son:
1. Si x = x1 ; N1 = 1 y N2 = 0. Si x = x2 ; N1 = 0 y N2 = 1.
2. ∑ ∑ = =
= + = = 2
1 i 2 1 i
n
1 i i 1 N N N ; 1 N
Considerando ahora las ecuaciones DeformaciónDesplazamiento se tiene:
] U [ ] L [ ] [ o x u
x = ε ∂ ∂
= ε (2.1.4)
donde: 0 x
L = ∂ ∂
= ; Operador
pero ] U [ ] N [ U i = ; por lo tanto sustituyendo la ecuación (2.1.3) en (2.1.4) se tiene:
] U [ ] N [ ] L [ ] [ i = ε
Se considera que: ] B [ ] N [ ] L [ = se tiene:
] U [ ] B [ ] [ i = ε (2.1.5)
En este caso el valor de [B] se desarrolla como sigue:
[ ] ( ) ( ) [ ] x x x x L / 1 x
B 1 2 + − − ∂ ∂
=
derivando se tiene:
[ ] [ ] 1 1 L 1 B − =
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 15
Armaduras
y finalmente las deformaciones serian
[ ] [ ]
− = ε
2
1 x U
U 1 1
L 1
Ahora se aplican las ecuaciones de EsfuerzoDeformación en el caso general:
) ( Ex x ε = σ ; [ ] [ ][ ] ε = σ D (2.1.6)
donde: E = modulo de elasticidad. D =matriz de propiedades elásticas.
Sustituyendo la ecuación (2.1.5) en la (2.1.6) se tiene:
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
− = σ
= σ
2
i
i
U U
1 1 L 1 E x
U B D x
transformando esfuerzos a fuerzas se tiene:
[ ] [ ]
−
− = σ
− =
2
1
B D
A A
2
1
U U
1 1 L 1 E
1 1
A x 1 1
A P P
4 3 42 1 3 2 1 3 2 1 (2.1.7)
Reduciendo los términos A, B, y D en la matriz de Rigideces k se tiene:
L EA
1 1 1 1
k
−
− = (2.1.8)
por lo tanto:
−
− =
=
2
1
22 21
12 11
2
1
2
1
2
1
U U
k k k k
P P
U U
k P P
(2.1.9)
Método del Elemento Finito
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Armaduras
VENTAJAS Y DESVENTAJAS
1. Se observa que la matriz de Rigideces se obtuvo de la multiplicación de 3 matrices. Debe notarse que este triple producto matricial no garantiza una matriz k
simétrica, por tratarse de una transformación no congruente. La matriz D, es por naturaleza simétrica, las matrices A y B son formuladas
independientemente no garantizando la congruencia. Esta dificultad es salvada al forzar una transformación geométrica al sustituir
una matriz A por una transpuesta de la matriz B, justificándose esta operación desde el punto de vista energético.
2. No se aprecia el nivel de continuidad de los desplazamientos entre los elementos interconectados, la cual debe ser satisfecha por las funciones de forma del elemento escogido.
Para elementos más complicados es necesario establecer la continuidad de las derivadas de los desplazamientos.
3. Existe dificultad al manejar cargas distribuidas a lo largo de los elementos, deformaciones iniciales y otros fenómenos.
Nota: Tomando en cuenta que todo lo anterior es sólo para el sistema local, es decir, que esto no serviría para varios elementos en conjunto, se tendría que transformar la ecuación anterior al sistema global.
Método del Elemento Finito
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Armaduras
TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA LOCAL AL SISTEMA GLOBAL
En las figuras 2.1.1.2 y 2.1.1.3 se tiene el vector fuerza y el vector desplazamiento dentro de los sistemas local y global respectivamente.
β
P X'
Y' X
Y
P'y
P'x
De la figura 2.1.2 se tiene:
β β
=
sen P cos P
y ' P x ' P
y en forma matricial se tiene:
[ ] P sen cos
y ' P x ' P
β β
=
(2.1.10)
Llamando matriz de transformación a [T]:
[ ]
β β
= sen cos
T
[ ] [ ] [ ] P T ' P = (2.1.11)
Figura 2.1.1.2
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 18
Armaduras
β
β
U1
U2
U
X'
Y' X
Y
U'y
U'x
De la figura 2.1.1.3 se tiene:
[ ] [ ] 2 1 U U U + =
donde: U1 y U2 = son los desplazamientos en cada extremo.
[ ] [ ]
[ ] [ ] β =
β =
sen y ' U U
cos x ' U U
2
1
Por lo que: [ ] [ ] β ⋅ + β ⋅ = sen y ' U cos x ' U U
y en forma matricial se tiene:
[ ] [ ]
β β =
y ' U x ' U
sen cos U
Tomando en cuenta que [ ] β β = sen cos T T se reduce la ecuación de la manera siguiente:
[ ] [ ] [ ] ' U T U T = (2.1.12)
Figura 2.1.13
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 19
Armaduras
De la ecuación (2.1.9) se tiene:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 1 21 2
2 12 1 11 1
U k U k P
U k U k P
+ =
+ =
premultiplicando las ecuaciones anteriores por [T] queda:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 1 21 2
2 12 1 11 1
U k T U k T P T
U k T U k T P T
+ =
+ =
y sustituyendo las ecuaciones (2.1.11 y 2.1.12) se tiene:
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] 2 T
22 1 T
21 2
2 T
12 1 T
11 1
' U T k T ' U T k T ' P
' U T k T ' U T k T ' P
+ =
+ = (2.1.13)
en donde ahora podemos sustituir por:
[ ] [ ][ ] [ ] T T k T ' k =
[ ] [ ] β β
β β
= sen cos L EA
sen cos
' k
[ ]
β β • β β • β β
= 2
2
sen sen cos cos sen cos
L EA ' k
β β ⋅ β β − β ⋅ β − β ⋅ β β β ⋅ β − β −
β − β ⋅ β − β β ⋅ β β ⋅ β − β − β ⋅ β β
=
2 2
2 2
2 2
2 2
e
sen sen cos sen sen cos cos sen cos cos sen cos
sen sen cos sen sen cos cos sen cos cos sen cos
L EA k
sustituyendo a k' en (2.1.13):
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 2 22 1 21 2
2 12 1 11 1
' U ' k ' U ' k ' P
' U ' k ' U ' k ' P
+ =
+ =
K’11 K’21
K’12 K’22
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 20
Armaduras
donde: P'1 = vector fuerza en el sistema global. U'1 y U'2 = vector deformación en el sistema global. k' = matriz de rigideces del sistema global.
ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDECES
En el ejemplo siguiente (figura 2.1.1.4) se muestra el ensamble de la matriz de rigideces en forma simbólica:
[ ] [ ] [ ] β β sen Uy Ux U ⋅ ⋅ = cos
Se inicia con las condiciones de compatibilidad y equilibrio del sistema estructural. Dado que los desplazamientos en el nodo 1 y 4 son equivalentes a 0, es decir, U1= 0 y U4 = 0, la compatibilidad en los nodos será de la siguiente manera:
Barra a: [U’1a] = 0, [U’2a] = U2. Barra b: [U’1b] = 0, [U’2b] = U3. Barra c: [U’1c] = 0, [U’2c] = U2. Barra d: [U’1d] = 0, [U’2d] = U3. Barra e: [U’1e] = U2, [U’2e] = U3.
y el equilibrio en los nodos es:
Nodo 2: [P2] = [P’2a]+[P’2c]+[P’1e]. Nodo 3: [P3] = [P’2b]+[P’2d]+[P’2e].
1
a
4
b
2
c
e
d
3
Y'
X'
P2 P3
U3 U2
Figura 2.1.1.4
Método del Elemento Finito
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Armaduras
Por lo tanto las ecuaciones fuerzadesplazamientos de cada barra son:
[P’1a]=[k’11a][U1] + [k’12a][U2] [P’2a]=[k’21a][U1] + [k’22a][U2] [P’1b]=[k’11b][U4] + [k’12b][U3] [P’2b]=[k’21b][U4] + [k’22b][U3] [P’1c]=[k’11c][U4] + [k’12c][U2]
[P’2c]=[k’21c][U4] + [k’22c][U2] [P’1d]=[k’11d][U1] + [k’12d][U3] [P’2d]=[k’21d][U1] + [k’22d][U3] [P’1e]=[k’11e][U2] + [k’12e][U3] [P’2e]=[k’21e][U2] + [k’22e][U3]
sustituyendo se tiene: [P’1a]=[k’11a][0] + [k’12a][U2] [P’2a]=[k’21a][0] + [k’22a][U2] [P’1b]=[k’11b][0] + [k’12b][U3] [P’2b]=[k’21b][0] + [k’22b][U3] [P’1c]=[k’11c][0] + [k’12c][U2]
[P’2c]=[k’21c][0] + [k’22c][U2] [P’1d]=[k’11d][0] + [k’12d][U3] [P’2d]=[k’21d][0] + [k’22d][U3] [P’1e]=[k’11e][U2] + [k’12e][U3] [P’2e]=[k’21e][U2] + [k’22e][U3]
Sustituyendo estas ecuaciones en las de equilibrio se ordena de tal forma que obtenemos:
[k’22a][U2] + [k’22c][U2] + [k’11e][U2] + [k’12e][U3] = [P2]
[k’21e][U2] + [k’22e][U3] + [k’22b][U3] + [k’22d][U3] = [P3]
Basándose en lo anterior se tiene que para la armadura se tienen dos grados de libertad por nodo, indicados en la figura 2.1.1.5. La matriz de rigideces de toda la estructura se obtiene sumando la matriz de rigidez de cada barra en los grados de libertad correspondientes.
Figura 2.1.1.5
1
a
2
4
b
e
c d
3
Ux1
Uy1
Uy2
Ux2
Uy3
Ux3
Uy4
Ux4
Método del Elemento Finito
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Armaduras
Nota: La zona sombreada de las tablas 2.1.1.12.1.1.6 se eliminan ya que no se considera desplazamiento en esos nodos, es decir:
Ux1=0 Uy1=0 Ux4=0 Uy4=0
Tabla 2.1.1.1 BARRA “a” Nodo 1 2 3 4 U
Ux1 1 Uy1 Ux2
2 Uy2 Ux3
3 Uy3 Ux4
4 Uy4
Es decir:
1 2 (EA/L)cos 2 β (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)cos 2 β (EA/L)cos β∗sen β
1 (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)sen 2 β (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)sen 2 β (EA/L)cos 2 β (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)cos 2 β (EA/L)cos β∗sen β
2 (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)sen 2 β (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)sen 2 β
Tabla 2.1.1.2 BARRA “b” Nodo 1 2 3 4 U
Ux1 1
Uy1 Ux2
2 Uy2 Ux3
3 Uy3 Ux4
4 Uy4
K’11a K’12a K’21a K’22a
K’22b K’21b K’11b K’12b
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 23
Armaduras
Tabla 2.1.1.3 BARRA “c” Nodo 1 2 3 4 U
Ux1 1
Uy1 Ux2
2 Uy2 Ux3
3 Uy3 Ux4
4 Uy4
Tabla 2.1.1.4 BARRA “d” Nodo 1 2 3 4 U
Ux1 1 Uy1 Ux2 2 Uy2 Ux3
3 Uy3 Ux4
4 Uy4
Tabla 2.1.1.5 BARRA “e” Nodo 1 2 3 4 U
Ux1 1
Uy1 Ux2
2 Uy2 Ux3
3 Uy3 Ux4
4 Uy4
K’22c K’21c
K’11c K’12c
K’11d K’12d
K’22d K’21d
K’11e K’12e K’22e K’21e
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 24
Armaduras
y finalmente el ensamble:
Tabla 2.1.1.6 Ensamble de la matriz K’ Nodo 1 2 3 4 U
Ux1 1 k11a’ + k11d’ k12a’ k12d’
Uy1 Ux2
2 k21a’ k11e’ + k22a’ +
k22c’ k12e’ k21c’
Uy2 Ux3
3 k21d’ k21e’ k22e’ + k22b’ +
k22d’ k21b’
Uy3 Ux4
4 k12c’ k12b’ k11b’ + k11c’ Uy4
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 25
Armaduras
EJEMPLO NUMÉRICO DE ARMADURAS
Se analizará la armadura que se muestra en la figura 2.1.2.1 por el método del elemento finito.
Como primer paso se obtendrá la Matriz del Vector Cargas:
−
−
−
=
=
4 0 6 0 4 0
y ' P x ' P y ' P x ' P y ' P x ' P
' P
4
4
3
3
2
2
en segundo lugar se obtendrá la matriz de Rigideces ubicada en la tabla 2.1.2.1:
Tabla 2.1.2.1 Ensamble de la matriz K’ Nodo 4 5 6 U
Ux4 4 h ' k c ' k a ' k 11 22 22 + + h ' k 12 0
Uy4 Ux5
5 h ' k 21 e ' k d ' k i ' k h ' k 22 22 11 22 + + + i ' k 12 Uy5 Ux6
6 0 i ' k 21 b ' k i ' k 22 22 + Uy6
1
a d
c
h
Y'
X'
b
e
i
f g
5m 5m
4m
4T 6T 4T
2 3
4 5 6
Figura 2.1.2.1
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 26
Armaduras
Las operaciones correspondientes a cada elemento se muestran en la tabla 2.1.2.2.
Tabla 2.1.2.2
Barra Longitud (m) EA β Sen β Sen 2 β Cos β Cos 2 β Sen β
Cos β a 4 Cte. 90 1 1 0 0 0 b 4 Cte. 90 1 1 0 0 0 c 6.40 Cte. 141.34 0.6247 0.3902 0.7809 0.6098 0.4878 d 4 Cte. 90 1 1 0 0 0 e 6.40 Cte. 141.34 0.6247 0.3902 0.7809 0.6098 0.4878 f 5 Cte. 0 0 0 1 1 0 g 5 Cte. 0 0 0 1 1 0 h 5 Cte. 0 0 0 1 1 0 i 5 Cte. 0 0 0 1 1 0
Y las submatrices son de la siguiente forma:
=
= =
4 / 1 0 0 0
EA 1 0 0 0
4 EA a ' k a ' k 22 11
por la similitud en la geometría se puede decir que:
a ' k d ' k d ' k a ' k b ' k b ' k
11 22 11
11 22 11
= = = =
−
− =
−
− = =
0609 . 0 07622 . 0 07622 . 0 0953 . 0
EA 3902 . 0 4878 . 0 4878 . 0 6098 . 0
40 . 6 EA c ' k c ' k 22 11
c ' k e ' k e ' k 11 22 11 = =
=
= =
0 0 0 2 . 0
EA 0 0 0 1
5 EA h ' k h ' k 22 11
h ' k i ' k i ' k g ' k g ' k h ' k f ' k f ' k
11 22 11 22 11
11 22 11
= = = = = =
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 27
Armaduras
− =
− = =
0 0 0 2 . 0
EA 0 0 0 1
5 EA h ' k h ' k 21 12
h ' k h ' k i ' k 12 21 12 = =
Ensamble de la matriz k’
− −
− − − −
− −
=
−
−
−
6 Uy 6 Ux 5 Uy 5 Ux 4 Uy 4 Ux
25 . 0 0 0 0 0 0 0 2 . 0 0 2 . 0 0 0 0 0 3109 . 0 07622 . 0 0 0 0 2 . 0 07622 . 0 4953 . 0 0 2 . 0 0 0 0 0 3109 . 0 07622 . 0 0 0 0 2 . 0 07622 . 0 2953 . 0
EA
4 0 6 0 4 0
Al resolver el sistema de ecuaciones, o sea, los desplazamientos de los nodos en el sistema global, se tiene:
EA 1
000 . 16 514 . 16 347 . 23 514 . 16 662 . 16 485 . 15
6 Uy 6 Ux 5 Uy 5 Ux 4 Uy 4 Ux
− − − − − −
=
Barra “a”
−
=
− −
= ⋅ =
=
− −
−
= ⋅ =
166 . 4 0
EA 1
662 . 16 485 . 15
25 . 0 0 0 0
EA U a ' k a ' P
166 . 4 0
EA 1
662 . 16 485 . 15
25 . 0 0 0 0
EA U a ' k a ' P
4 22 2
4 12 1
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 28
Armaduras
Barra “b”
−
=
− −
= ⋅ =
=
− −
−
= ⋅ =
00 . 4 0
EA 1
000 . 16 514 . 16
25 . 0 0 0 0
EA 6 U b ' k b ' P
00 . 4 0
EA 1
000 . 16 514 . 16
25 . 0 0 0 0
EA 6 U b ' k b ' P
22 2
12 1
Barra “c”
− =
− −
−
− = ⋅ =
−
=
− −
−
− = ⋅ =
166 . 0 205 . 0
EA 1
662 . 16 485 . 15
0609 . 0 07622 . 0 07622 . 0 0953 . 0
EA U c ' k c ' P
166 . 0 205 . 0
EA 1
662 . 16 485 . 15
0609 . 0 07622 . 0 07622 . 0 0953 . 0
EA U c ' k c ' P
4 22 2
4 12 1
Barra “d”
−
=
− −
= ⋅ =
=
− −
−
= ⋅ =
836 . 5 0
EA 1
347 . 23 514 . 16
25 . 0 0 0 0
EA U d ' k d ' P
836 . 5 0
EA 1
347 . 23 514 . 16
25 . 0 0 0 0
EA U d ' k d ' P
5 22 2
5 12 1
Barra “e”
−
=
− −
−
− = ⋅ =
− =
− −
−
− = ⋅ =
166 . 0 205 . 0
EA 1
347 . 23 514 . 16
0609 . 0 07622 . 0 07622 . 0 0953 . 0
EA U e ' k e ' P
166 . 0 205 . 0
EA 1
347 . 23 514 . 16
0609 . 0 07622 . 0 07622 . 0 0953 . 0
EA U e ' k e ' P
5 22 2
5 12 1
Barra “h”
− =
− −
+
− −
− = ⋅ + ⋅ =
=
− −
− +
− −
= ⋅ + ⋅ =
0 205 . 0
EA 1
347 . 23 514 . 16
0 0 0 2 . 0
EA EA 1
662 . 16 485 . 15
0 0 0 2 . 0
EA U h ' k U h ' k h ' P
0 205 . 0
EA 1
347 . 23 514 . 16
0 0 0 2 . 0
EA EA 1
662 . 16 485 . 15
0 0 0 2 . 0
EA U h ' k U h ' k h ' P
5 22 4 21 2
5 12 4 11 1
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 29
Armaduras
Barra “i”
=
− −
+
− −
− = ⋅ + ⋅ =
=
− −
− +
− −
= ⋅ + ⋅ =
0 0
EA 1
00 . 16 514 . 16
0 0 0 2 . 0
EA EA 1
347 . 23 514 . 16
0 0 0 2 . 0
EA U i ' k U i ' k h ' P
0 0
EA 1
00 . 16 514 . 16
0 0 0 2 . 0
EA EA 1
347 . 23 514 . 16
0 0 0 2 . 0
EA U i ' k U i ' k h ' P
6 22 5 21 2
6 12 5 11 1
FUERZAS EN EL SISTEMA LOCAL
P = [T] T P’; [ ] [ ] β β = sen cos T T
Barra “a”
[ ] [ ] [ ] [ ] 166 . 4 166 . 4 0
1 0 4.166 166 . 4 0
1 0 2 1 − =
−
= =
= a P a P
Barra “b”
[ ] [ ] [ ] [ ] 4 4 0
1 0 4 4 0
1 0 2 1 − =
−
= =
= a P b P
Barra “c”
[ ] [ ] [ ] [ ] 264 . 0 166 . 0 205 . 0
6247 . 0 7809 . 0 ; 264 . 0 166 . 0 205 . 0
6247 . 0 7809 . 0 2 1 =
− − = − =
−
− = c P c P
Barra “d”
[ ] [ ] [ ] [ ] 836 . 5 836 . 5 0
1 0 836 . 5 836 . 5 0
1 0 2 1 − =
−
= =
= d P d P
Barra “e”
[ ] [ ] [ ] [ ] 262 . 0 163 . 0 205 . 0
6247 . 0 7809 . 0 ; 262 . 0 163 . 0 205 . 0
6247 . 0 7809 . 0 2 1 − =
−
− = =
− − = e P e P
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 30
Armaduras
Barra “h”
[ ] [ ] [ ] [ ] 205 . 0 0 205 . 0
0 1 205 . 0 0 205 . 0
0 1 2 1 − =
− = =
= h P h P
COMPROBACIÓN
En la figura 2.1.2.2 se muestra el equilibrio de fuerzas del nodo numero 4.
0 ) 66 . 38 ( 264 . 0 166 . 4 4
0 ) 66 . 38 cos( 264 . 0 205 . 0
= ⋅ − + − =
= ⋅ + − =
∑ ∑
sen Fy
Fx
En la figura 2.1.2.3 se muestra el equilibrio de fuerzas del nodo numero 5.
0 ) 66 . 38 ( 264 . 0 836 . 5 6
0 ) 66 . 38 cos( 262 . 0 205 . 0
= ⋅ − + − =
= ⋅ + =
∑ ∑
sen Fy
Fx
4
4T
38.66°
4.166T 0.264T
0.205T
0.262T
5.836T
6T
5
38.66°
0.205T i
Figura 2.1.2.2
Figura 2.1.2.3
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 71
Elementos Rectangulares
C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I II I I M M Mé é ét t to o od d do o o d d de e el ll E E El lle e em m me e en n nt t to o o F F Fi iin n ni iit t to o o
Matr iz de r igideces para Elementos Rectangulares.
Desplazamientos.
Obtención de Esfuer zos.
Ejemplo Numér ico.
Elementos Rectangulares
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 72
Elementos Rectangulares
ELEMENTOS RECTANGULARES
OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES PARA UN ELEMENTO RECTANGULAR
(0, 0) (a, 0)
(a, b) (0, b)
X
Y
Nuevamente se plantea el campo de los desplazamientos usando la figura 2.3.3.
[ ] [ ]
α
α
=
α
α
=
α
=
α α α α α α α α
=
α + α + α + α =
α + α + α + α =
8
1
2 2
2 2
8
1
1 1
1 1
i
8
7
6
5
4
3
2
1
8 7 6 5
4 3 2 1
0 0 a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 1
) y , x ( V ) y , x ( U
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
) y , x ( V ) y , x ( U
(1) P 0 0 P
U
xy y x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 xy y x 1
V U
xy y x V xy y x U
M
M
Figura 2.3.3
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 73
Elementos Rectangulares
[ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
b V V
b V
b V
b U U
b U b U
ab b a V ab b a U
a V V
a V
a V
a U U
a U
a U
V V U U
: C de Calculo
(3) V U
C P 0 0 P
U
: (1) en (2) ecuación la do Sustituyen
(2) V U
C C V U
0 b 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 1 ab b a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ab b a 1 0 0 a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
) y , x ( V ) y , x ( U ) y , x ( V ) y , x ( U ) y , x ( V ) y , x ( U ) y , x ( V ) y , x ( U
: tiene se Resumiendo
0 b 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 1
) y , x ( U ) y , x ( U
ab b a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ab b a 1
) y , x ( U ) y , x ( U
1 4 5 4 7 7 5 4
1 4 1 4 3 3 1 4
8 7 6 5 3
4 3 2 1 3
1 2 5 2 6 6 5 2
1 2 1 2 2 2 1 2
1 5 5 1
1 1 1 1
1
i
i
N
8 8 1
8 2
i
i 1 i i
i
i
8
7
6
5
4
3
2
1
4 4
4 4
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
8
1
4 4
4 4
8
1
3 3
3 3
− =
α − = α ⇒ α + α =
− =
α − = α ⇒ α + α =
α + α + α + α = α + α + α + α =
− =
α − = α ⇒ α + α =
− =
α − = α ⇒ α + α =
= α ⇒ α = = α ⇒ α =
=
= α ⇒ α =
α α α α α α α α
=
α
α
=
α
α
=
−
× −
×
−
4 4 3 4 4 2 1
M
M
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 74
Elementos Rectangulares
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ∫∫ =
=
=
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= ∈
= ∈
− −
−
−
− −
−
−
=
+ − − =
+ − + − − =
α − α − α − = α
+ − − = α
−
−
−
− − =
α − α − α − = α
−
−
−
dA B D B t ke
B C P L Producto
y 0 1 0 x 1 0 0 x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y 0 1 0
xy y x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 xy y x 1
x y
y 0
0 x
P 0 0 P
L Producto
(5) V U
C P 0 0 P
L
: tiene se (4) la en (3) ecuación la do Sustituyen
(4) U L : Además
ab 1 0 ab
1 0 ab 1 0 ab
1 0 b 1 0 0 0 0 0 b
1 0
0 0 0 0 a 1 0 a
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ab
1 0 ab 1 0 ab
1 0 ab 1
0 b 1 0 0 0 0 0 b
1 0 0 0 0 0 a
1 0 a 1
0 0 0 0 0 0 0 1
C
ab V V V V
ab V V V V V V
ab b a V
ab U U U U
ab b U U
b a U U
a U U
ab b a U
T
1
i
i 1
1
1 4 2 3 1 4 1 2 1 3 7 6 5 3 8
1 4 2 3 4
1 4 1 2 1 3
3 2 1 3 4
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 75
Elementos Rectangulares
[ ]
[ ]
=
=
− + − − + − + −
− − + −
− − + −
=
33
22 21
12 11
3
2
2
1
d 0 0 0 d d 0 d d
d 0 0 0 1 d 0 d 1
d D
ab y
ab x
b 1
ab y
ab x
ab y
a 1
ab x
ab y
a 1
ab x
b 1
ab x
b 1 0 ab
x 0 ab x 0 ab
x b 1 0
0 ab y 0 ab
y 0 ab y
a 1 0 ab
y a 1
B
1 − a
y a b ⋅ ( )
+
0
1 a
y a b ⋅ ( )
−
0
y a b ⋅ ( )
0
y − a b ⋅ ( )
0
0
1 − b
xa b ⋅ ( )
+
0
x − a b ⋅ ( )
0
xa b ⋅ ( )
0
1 b
xa b ⋅ ( )
−
1 − b
xa b ⋅ ( )
+
1 − a
y a b ⋅ ( )
+
x − a b ⋅ ( )
1 a
y a b ⋅ ( )
−
xa b ⋅ ( )
y a b ⋅ ( )
1 b
xa b ⋅ ( )
−
y − a b ⋅ ( )
d 11
d 21
0
d 12
d 22
0
0
0
d 33
⋅
b y − ( ) − d 11 a b ⋅ ( )
⋅
a x − ( ) − d 21 a b ⋅ ( )
⋅
b y − ( ) d 11 a b ⋅ ( )
⋅
x − a b ⋅ ( )
d 21 ⋅
ya b ⋅ ( )
d 11 ⋅
xa b ⋅ ( )
d 21 ⋅
y − a b ⋅ ( )
d 11 ⋅
a x − ( ) d 21 a b ⋅ ( )
⋅
b y − ( ) − d 12 a b ⋅ ( )
⋅
a x − ( ) − d 22 a b ⋅ ( )
⋅
b y − ( ) d 12 a b ⋅ ( )
⋅
x − a b ⋅ ( )
d 22 ⋅
ya b ⋅ ( )
d 12 ⋅
xa b ⋅ ( )
d 22 ⋅
y − a b ⋅ ( )
d 12 ⋅
a x − ( ) d 22 a b ⋅ ( )
⋅
a x − ( ) − d 33 a b ⋅ ( )
⋅
b y − ( ) − d 33 a b ⋅ ( )
⋅
x − a b ⋅ ( )
d 33 ⋅
b y − ( ) d 33 a b ⋅ ( )
⋅
xa b ⋅ ( )
d 33 ⋅
ya b ⋅ ( )
d 33 ⋅
a x − ( ) d 33 a b ⋅ ( )
⋅
y − a b ⋅ ( )
d 33 ⋅
1 − a
ya b ⋅
+
0
1 − b
xa b ⋅
+
0
1 − b
xa b ⋅
+
1 − a
ya b ⋅
+
1 a
ya b ⋅
−
0
x − a b ⋅
0
x − a b ⋅
1 a
ya b ⋅
−
ya b ⋅
0
xa b ⋅
0
xa b ⋅
ya b ⋅
y − a b ⋅
0
1 b
xa b ⋅
−
0
1 b
xa b ⋅
−
y a b ⋅
−
⋅
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 76
Elementos Rectangulares
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) a / b p ; b / a p : donde
p d 4 p d 4 12 t
b 3 a td a 3
b td k b a 3
a ab 2
a 2 b
a td a 3 bx td b a 3
x ab 2
x 2 a
x td dx a 3 b td k
dx b a
x ab
x 2 b 1 td dx
b a 3 b
b a 2 b 2
a b td k
dx b a
b x ab
xb 2 b
b td dx b a 3
y ab 2
y 2 a
y td k
dy dx ab y x
ab xy 2
b y d t dy dx b a
y b a
y 2 a 1 d t k
dy dx ab x
b 1 d t dy dx ab
y a 1 d t k
: ejemplo Por ke B D B
: producto el Finalmente
1
33 1
11 33 11 11
2 3 2
33
a
0 2 11
a
0 2
3 2
33
a
0 2 11 11
a
0 2 2
33
a
0
b
0 2 2
3 2
2 2 11 11
a
0 2 2 2
2 2 33
a
0
b
0 2 2
3 2
2 11 11
a
0
b
0 2
2
2
2
33
a
0
b
0 2 2
2
2 2 11 11
a
0
b
0
2
33
a
0
b
0
2
11 11
8 8 8 3 3 8 T
= =
+ = + =
+ − + = + − + =
+ − + + − =
+ − +
+ − =
+ − +
+ − =
+ − +
+ − =
=
−
−
× × ×
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
[ ]
+
−
−
−
−
−
−
+
+
−
+
−
−
−
+
+
−
+
−
+
−
−
−
−
−
+
−
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
−
+
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
−
+
+
−
+
−
+
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
+
=
− − − −
− − − −
− − − −
− − − −
− − − −
− − − −
− − − −
− − − −
1 33
22
33
12 1
33
22
33
21 1
33
22
33
12 1
33
22
33
12
33
12
33
1 11
33
21
33
1 11
33
21
33
1 11
33
21
33
1 11
1 33
22
33
21 1
33
22
33
12 1
33
22
33
12 1
33
22
33
12
33
21
33
1 11
33
12
33
1 11
33
12
33
1 11
33
21
33
1 11
1 33
22
33
21 1
33
22
33
12 1
33
22
33
12 1
33
22
33
12
33
12
33
1 11
33
12
33
1 11
33
12
33
1 11
33
21
33
1 11
1 33
22
33
21 1
33
22
33
21 1
33
22
33
21 1
33
22
33
12
33
12
33
1 11
33
12
33
1 11
33
12
33
1 11
33
12
33
1 11
p d 4
p d 4 d 3 d 3
p d 4
p d 2 d 3 d 3
p d 2
p d 2 d 3 d 3
p d 2
p d 4 d 3 d 3
d 3 d 3
p d 4 p d 4
d 3 d 3
p d 2 p d 4
d 3 d 3
p d 2 p d 2
d 3 d 3
p d 4 p d 2
p d 4
p d 2 d 3 d 3
p d 4
p d 4 d 3 d 3
p d 2
p d 4 d 3 d 3
p d 2
p d 2 d 3 d 3
d 3 d 3
p d 2 p d 4
d 3 d 3
p d 4 p d 4
d 3 d 3
p d 4 p d 2
d 3 d 3
p d 2 p d 2
p d 2
p d 2 d 3 d 3
p d 2
p d 4 d 3 d 3
p d 4
p d 4 d 3 d 3
p d 4
p d 2 d 3 d 3
d 3 d 3
p d 2 p d 2
d 3 d 3
p d 4 p d 2
d 3 d 3
p d 4 p d 4
d 3 d 3
p d 2 p d 4
p d 2
p d 4 d 3 d 3
p d 2
p d 2 d 3 d 3
p d 4
p d 2 d 3 d 3
p d 4
p d 4 d 3 d 3
d 3 d 3
p d 4 p d 2
d 3 d 3
p d 2 p d 2
d 3 d 3
p d 2 p d 4
d 3 d 3
p d 4 p d 4
12 t ke
DB
d 11 − b y − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 21 − b y − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 33 − a x − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 12 − a x − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 22 − a x − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 33 − b y − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 11 b y − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 21 b y − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 33 − xa b ⋅ ( )
⋅
d 12 − xa b ⋅ ( )
⋅
d 22 − xa b ⋅ ( )
⋅
d 33 b y − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 11 ya b ⋅ ( )
⋅
d 21 ya b ⋅ ( )
⋅
d 33 xa b ⋅ ( )
⋅
d 12 xa b ⋅ ( )
⋅
d 22 xa b ⋅ ( )
⋅
d 33 ya b ⋅ ( )
⋅
d 11 − ya b ⋅ ( )
⋅
d 21 − ya b ⋅ ( )
⋅
d 33 a x − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 12 a x − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 22 a x − ( ) a b ⋅ ( )
⋅
d 33 − y a b ⋅ ( )
⋅
:=
i j k l
i
j
k
l
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 77
Elementos Rectangulares
EJEMPLO NUMÉRICO DE ELEMENTOS RECTANGULARES
Analizar, estructuralmente, la siguiente placa plana (figura2.3.3) y obtener los esfuerzos en cada nodo por el método del elemento finito.
X 1 2 3
7 8 9
i 4
60 cm 60 cm
60 cm
60 cm
Y
k
j
l
D C
B A
5
i
l k
j i
l k
j
i
l k
j 6
15kg/cm2
Propiedades del elemento: 2
2 6 cm 3600 A cm 1 . 0 t
4 1
cm kg 10 10 E = = = α × =
donde: E = modulo de elasticidad. α = modulo de poisson. t = 0.1 cm.
Figura 2.3.3
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 78
Elementos Rectangulares
Repartición de fuerzas sobre los nodos.
Nodo 9 ( )( )( ) kg 45 cm 30 cm 1 . 0 cm kg 15 Fza 2 = =
Nodo 6 ( )( )( ) kg 90 cm 60 cm 1 . 0 cm kg 15 Fza 2 = =
Nodo 3 ( )( )( ) kg 45 cm 30 cm 1 . 0 cm kg 15 Fza 2 = =
de la matriz [D] obtenemos los valores de los siguientes parámetros:
=
=
=
= −
= α −
=
= α =
= −
× =
α − =
000 , 000 , 4 0 0 0 67 . 666 , 666 , 10 67 . 666 , 666 , 2 0 67 . 666 , 666 , 2 67 . 666 , 666 , 10
d 0 0 0 d d 0 d d
d 0 0 0 1 d 0 d 1
d D
375 . 0 2 25 . 0 1
2 1 d
25 . 0 d
67 . 666 , 666 , 10 ) 25 . 0 ( 1
10 10 1 E d
33
22 21
12 11
3
2
2
1
3
2
2
6
2 1
tomando en cuenta que:
1 p y 1 b a p 60 b ; 60 a 1 = = = ∴ = = −
Ahora podemos hacer el calculo de la matriz de rigideces de cada elemento. Y debido a la geometría de los elementos se puede hacer la siguiente igualdad.
Elemento “A”=“B”=“C”=“D”
k e
4.889 10 5 ×
1.667 10 5 ×
2.889 − 10 5 ×
3.333 − 10 4 ×
2.444 − 10 5 ×
1.667 − 10 5 ×
4.444 10 4 ×
3.333 10 4 ×
1.667 10 5 ×
4.889 10 5 ×
3.333 10 4 ×
4.444 10 4 ×
1.667 − 10 5 ×
2.444 − 10 5 ×
3.333 − 10 4 ×
2.889 − 10 5 ×
2.889 − 10 5 ×
3.333 10 4 ×
4.889 10 5 ×
1.667 − 10 5 ×
4.444 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.444 − 10 5 ×
1.667 10 5 ×
3.333 − 10 4 ×
4.444 10 4 ×
1.667 − 10 5 ×
4.889 10 5 ×
3.333 10 4 ×
2.889 − 10 5 ×
1.667 10 5 ×
2.444 − 10 5 ×
2.444 − 10 5 ×
1.667 − 10 5 ×
4.444 10 4 ×
3.333 10 4 ×
4.889 10 5 ×
1.667 10 5 ×
2.889 − 10 5 ×
3.333 − 10 4 ×
1.667 − 10 5 ×
2.444 − 10 5 ×
3.333 − 10 4 ×
2.889 − 10 5 ×
1.667 10 5 ×
4.889 10 5 ×
3.333 10 4 ×
4.444 10 4 ×
4.444 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.444 − 10 5 ×
1.667 10 5 ×
2.889 − 10 5 ×
3.333 10 4 ×
4.889 10 5 ×
1.667 − 10 5 ×
3.333 10 4 ×
2.889 − 10 5 ×
1.667 10 5 ×
2.444 − 10 5 ×
3.333 − 10 4 ×
4.444 10 4 ×
1.667 − 10 5 ×
4.889 10 5 ×
=
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 79
Elementos Rectangulares
DB
8.889 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
8.889 10 4 ×
2.222 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
3.333 10 4 ×
8.889 10 4 ×
2.222 10 4 ×
3.333 10 4 ×
2.222 10 4 ×
8.889 10 4 ×
3.333 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
3.333 10 4 ×
2.222 10 4 ×
8.889 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
=
Tabla 2.3.3.3 Ensamble de la matriz k total Nodos 2 3 5 6 8 9
2 B k A k ii jj + B k ij b k A k il jk + B k ik 0 0
3 B k ji B k jj B k jl B k jk 0 0
5 B k A k li kj + B k lj D k C k B k A k
jj ii
ll kk
+ + +
C k B k ij lk + D k C k jk il + C k ik
6 B k ki B k kj C k B k ji kl + C k B k jj kk + C k jl C k jk
8 0 0 D k C k kj li + C k lj D k C k kk ll + C k lk
9 0 0 C k ki C k kj C k kl C k kk
P
0
0
45
0
0
0
90
0
0
0
45
0
:= y resolviendo el sistema
Ux 2
Uy 2
Ux 3
Uy 3
Ux 5
Uy 5
Ux 6
Uy 6
Ux 8
Uy 8
Ux 9
Uy 9
0.00009
0.00002
0.00018
0.00002
0.00008
0
0.00018
0
0.00009
0.00002 −
0.00018
0.00002 −
:=
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 80
Elementos Rectangulares
Ux 2
Uy 2
Ux 3
Uy 3
Ux 5
Uy 5
Ux 6
Uy 6
Ux 8
Uy 8
Ux 9
Uy 9
0 0 0 0
1.67E
+05
2.44E
+05
3.33E
+04
2.89E
+05
3.33E+
04
4.44E+
04
1.67E+
05
4.89E+
05
9
0 0 0 0
2.44E
+05
1.67E
+05
4.44E+
04
3.33E+
04
2.89E
+05
3.33E
+04
4.89E+
05
1.67E+
05
0 0 0 0 0
5.78E
+05
1.67E+
05
2.44E
+05
0
9.78E+
05
3.33E
+04
4.44E+
04
8
0 0 0 0
8.89E+
04
0
2.44E
+05
1.67E+
05
9.78E+
05
0
2.89E
+05
3.33E+
04
1.67E
+05
2.44E
+05
3.33E
+04
2.89E
+05
0
8.89E+
04
0
9.78E+
05
1.67E+
05
2.44E
+05
3.33E+
04
2.89E
+05
6
2.44E
+05
1.67E
+05
4.44E+
04
3.33E+
04
5.78E
+05
0
9.78E+
05
0
2.44E
+05
1.67E+
05
4.44E+
04
3.33E
+04
0
5.78E
+05
1.67E+
05
2.44E
+05
0
1.96E+
06
0
8.89E+
04
0
5.78E
+05
1.67E
+05
2.44E
+05
5
8.89E+
04
0
2.44E
+05
1.67E+
05
1.96E+
06
0
5.78E
+05
0
8.89E+
04
0
2.44E
+05
1.67E
+05
3.33E
+04
4.44E+
04
1.67E
+05
4.89E+
05
1.67E+
05
2.44E
+05
3.33E+
04
2.89E
+05
0 0 0 0
3
2.89E
+05
3.33E+
04
4.89E+
05
1.67E
+05
2.44E
+05
1.67E+
05
4.44E+
04
3.33E
+04
0 0 0 0
0
9.78E+
05
3.33E+
04
4.44E+
04
0
5.78E
+05
1.67E
+05
2.44E
+05
0 0 0 0
2
9.78E+
05
0
2.89E
+05
3.33E
+04
8.89E+
04
0
2.44E
+05
1.67E
+05
0 0 0 0
Tabla 2.3.3.4 Ensam
ble numérico de la matriz k to
tal
Nodo
2 3 5 6 8 9
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 81
Elementos Rectangulares
CALCULO DE ESFUERZOS
Elemento “A”
σx
σy
σxy
8.889 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
8.889 10 4 ×
2.222 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
3.333 10 4 ×
8.889 10 4 ×
2.222 10 4 ×
3.333 10 4 ×
2.222 10 4 ×
8.889 10 4 ×
3.333 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
3.333 10 4 ×
2.222 10 4 ×
8.889 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
0
0
0.00009
0.00002
0.00008
0
0
0
⋅ :=
σx
σy
σxy
14.667
2
0.333
=
Elemento “B”
σx
σy
σxy
8.889 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
8.889 10 4 ×
2.222 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
3.333 10 4 ×
8.889 10 4 ×
2.222 10 4 ×
3.333 10 4 ×
2.222 10 4 ×
8.889 10 4 ×
3.333 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
3.333 10 4 ×
2.222 10 4 ×
8.889 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
0.00009
0.00002
0.00018
0.00002
0.00018
0
0.00008
0
⋅ :=
σx
σy
σxy
16
0.666
0.333 −
=
Elemento “C”
σx
σy
σxy
8.889 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
8.889 10 4 ×
2.222 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
3.333 10 4 ×
8.889 10 4 ×
2.222 10 4 ×
3.333 10 4 ×
2.222 10 4 ×
8.889 10 4 ×
3.333 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
3.333 10 4 ×
2.222 10 4 ×
8.889 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
0.00008
0
0.00018
0
0.00018
0.00002 −
0.00009
0.00002 −
⋅ :=
σx
σy
σxy
16
0.666
0.333
=
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 82
Elementos Rectangulares
Elemento “D”
σx
σy
σxy
8.889 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
8.889 10 4 ×
2.222 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
3.333 10 4 ×
8.889 10 4 ×
2.222 10 4 ×
3.333 10 4 ×
2.222 10 4 ×
8.889 10 4 ×
3.333 10 4 ×
8.889 − 10 4 ×
2.222 − 10 4 ×
3.333 10 4 ×
2.222 10 4 ×
8.889 10 4 ×
3.333 − 10 4 ×
0
0
0.00008
0
0.00009
0.00002 −
0
0
⋅ :=
σx
σy
σxy
14.667
2
0.333 −
=
Nota: Los esfuerzos calculados se consideran como constantes en toda la placa.
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 55
Elementos Triangulares
C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I II I I M M Mé é ét t to o od d do o o d d de e el ll E E El lle e em m me e en n nt t to o o F F Fi iin n ni iit t to o o
Matr iz de r igideces para Elementos Tr iangulares.
Desplazamientos.
Obtención de Esfuer zos .
Ejemplo Numér ico.
Elementos Triangulares
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 56
Elementos Triangulares
SECUENCIA PARA LA OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES DE UN ELEMENTO TRIANGULAR Y RECTANGULAR.
1. Escoger las coordenadas y numeración adecuada.
2. Escoger la función desplazamiento [f(x, y)] que definen el desplazamiento [U(x, y)] en algún punto dentro de un elemento en un problema con geometría bidimensional. El estado de desplazamiento en algún punto (x, y) dentro del elemento puede ser representado por dos componentes U y V.
3. Escoger el estado de desplazamiento [Ui (x, y)] en algún punto dentro del elemento en términos de los desplazamientos de los nodos [Ui] y representarlo en estos.
4. Relacionar las deformaciones [∈ (x, y)] en cualquier punto con los desplazamientos [Ui (x, y)] y posteriormente con los desplazamientos de los nodos [Ui].
5. Relación de los esfuerzos internos [σ (x, y)] a las deformaciones [∈ (x, y)] y desplazamientos de los nodos [Ui].
6. Relación de los esfuerzos internos [σ (x, y)] con la fuerza estáticamente equivalente en los nodos [P] y relación de esta y los desplazamientos en cada nodo [Ui]. En base a lo anterior se obtiene la matriz de rigideces [ke].
7. Establecer la matriz esfuerzodesplazamiento [DB].
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 57
Elementos Triangulares
ELEMENTOS TRIANGULARES
OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES PARA ELEMENTOS TRIANGULARES
X
Y
(X3,Y3)
(X2, Y2)
(X1, Y1)
Con la figura 2.3.1.1 se observa que el campo de los desplazamientos es:
) y ( ) x ( ) y , x ( V ) y ( ) x ( ) y , x ( U
6 5 4
3 2 1
α + α + α = α + α + α =
y en forma matricial:
α α α α α α
=
6
5
4
3
2
1
y x 1 0 0 0 0 0 0 y x 1
) y , x ( V ) y , x ( U
[ ] [ ] [ ] y x 1 P : donde de ; P 0 0 P
) y , x ( V ) y , x ( U
i = α
=
(2.3.1)
Condiciones de frontera:
) y ( ) x ( ) y , x ( V ) y ( ) x ( ) y , x ( U
1 6 1 5 4 1 1 1
1 3 1 2 1 1 1 1
α + α + α = α + α + α =
) y ( ) x ( ) y , x ( V ) y ( ) x ( ) y , x ( U
2 6 2 5 4 2 2 2
2 3 2 2 1 2 2 2
α + α + α = α + α + α =
Figura 2.3.1.1
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 58
Elementos Triangulares
) y ( ) x ( ) y , x ( V ) y ( ) x ( ) y , x ( U
3 6 3 5 4 3 3 3
3 3 3 2 1 3 3 3
α + α + α = α + α + α =
En forma matricial se tiene:
α α α α α α
=
6
5
4
3
2
1
3 3
2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
3
2
1
3
2
1
y x 1 0 0 0 y x 1 0 0 0 y x 1 0 0 0 0 0 0 y x 1 0 0 0 y x 1 0 0 0 y x 1
V V V U U U
o también:
[ ] i i
i
C 0 0 C
V U
α
=
despejando se tiene:
[ ]
= α
−
−
i
i 1
1
i V U
C 0 0 C
(2.3.2)
Sustituyendo la ecuación (2.3.2) en (2.3.1) se tiene:
=
−
−
i
i 1
1
V U
C 0 0 C
P 0 0 P
) y , x ( V ) y , x ( U
(2.3.3)
Pero [C] = 2A, donde A es el área del triangulo, es decir:
= −
3 2 1
3 2 1
3 2 1 1
c c c b b b a a a
A 2 1 C
donde:
j k i
k j i
k j k j i
x x c
y y b x y y x a
− =
− =
− = i, j , k =1, 2, 3.
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 59
Elementos Triangulares
Considerando que existe la relación: [ ] [ ] [ ] U L = ∈ (2.3.4)
donde:
[ ]
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
=
x y
y 0
0 x L (2.3.5)
Se sustituye la ecuación (2.3.3) en (2.3.4)
[ ] [ ]
= ∈
−
−
i
i
N
1
1
V U
C 0 0 C
P 0 0 P
L 4 4 4 3 4 4 4 2 1
[ ]
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
= ∈
3
2
1
3
2
1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
V V V U U U
c c c 0 0 0 b b b 0 0 0 a a a 0 0 0 0 0 0 c c c 0 0 0 b b b 0 0 0 a a a
A 2 1
y x 1 0 0 0 0 0 0 y x 1
x y
y 0
0 x
[ ]
=
∈ ∈
= ∈
3
2
1
3
2
1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
V V V U U U
c c c 0 0 0 b b b 0 0 0 a a a 0 0 0 0 0 0 c c c 0 0 0 b b b 0 0 0 a a a
A 2 1
0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
xy y x
[ ]
= ∈
3
2
1
3
2
1
B
3 2 1 3 2 1
3 2 1
3 2 1
V V V U U U
b b b c c c c c c 0 0 0 0 0 0 b b b
A 2 1
4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1
Finalmente:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] B D B A t dA B D B t dA B D B t dvol B D B k T T T
vol
T e ∫ ∫ ∫ = = = =
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 60
Elementos Triangulares
=
3
2
2
1
d 0 0 0 1 d 0 d 1
d D
a) Estado plano de esfuerzos ( ) 0 Z = σ
2 1 1 E d α −
=
α = 1 d
2 1 d 1
α − =
b) Estado plano de deformaciones ( ) 0 Z = ∈ ( ) unitario t =
( ) ( )( ) α − α +
α − =
2 1 1 1 E d 1
α − α
= 1
d 1
( ) α − α −
= 1 2 2 1 d 1
Haciendo operaciones:
=
=
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 3
2 2
1 1
c c c b b b a a a
C Cofactor y x 1 y x 1 y x 1
C
− − − − − − − − −
=
1 2 2 1 2 1 2 1
3 1 1 3 1 3 1 3
2 3 3 2 3 2 3 2
x x y y x y y x x x y y x y y x x x y y x y y x
C Cofactor
− − − − − − − − −
=
1 2 3 1 2 3
2 1 1 3 3 2
2 1 2 1 1 3 1 3 3 2 3 2 T
x x x x x x y y y y y y x y y x x y y x x y y x
C Cofactor
donde:
j k i
k j i
k j k j i
x x c
y y b x y y x a
− =
− =
− =
Método del Elemento Finito
Ing. Pérez Villar Luis Alberto 61
Elementos Triangulares
si: i = 1, j = 2, k =3, entonces:
2 3 1
3 2 1
3 2 3 2 1
x x c y y b
x y y x a
− = − =
− = si: i = 2, j = 3, k =1, entonces:
3 1 2
1 3 2
1 3 1 3 2
x x c y y b
x y y x a
− = − =
− =
si: i = 3, j = 1, k =2, entonces:
1 2 3
2 1 3
2 1 2 1 3
x x c y y b
x y y x a
− = − =
− =
=
=
3 3 3 2 3
3 3 2 3 3
3 2 2 2 2
3 2 1 2 2
3 1 1 2 1
3 1 2 1 1
1
3
2
2
1
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
T
d b c d c d c d b b d b c d c d c d b b d b c d c b c d b b
A 2 d
d 0 0 0 1 d 0 d 1
d
b c 0 c 0 b b c 0 c 0 b b c 0 c 0 b
A 2 1 D B
=
3 3 2 2 1 1
3 2 1
3 2 1
3 3 3 2 3
3 3 2 3 3
3 2 2 2 2
3 2 1 2 2
3 1 1 2 1
3 1 2 1 1
1 T
b c b c b c c 0 c 0 c 0 0 b 0 b 0 b
d b c d c d c d b b d b c d c d c d b b d b c d c b c d b b
A 4 d
B D B
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
⋅ =
3 2
3 2
3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 1 1 3 3 1 3 2 1 3
3 3 3 2 3 3 3 2
3 2
3 3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 3 3 1 2 3 1 3 3 1 1 3
3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2
2 2
2 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 1 2 2 1 2
3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 2
2 2
2 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2 1
3 1 3 3 1 3 3 1 2 3 1 3 1 2 2 1 3 2 1 2 2 1 3 2
1 2
1 3 1 1 2 1 1
3 1 3 2 1 3 3 3 1 3 1 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 1 2 1 1 3 2
1 2
1
1 e
d d c d c b d b c d b b c c d c b d b c d b b c c d c b d b c d c b d b c d c b d c b d b c d c c b b d c b d b c d c c b b d b b c c d c b d b c d b c d c b d b c d b b c c d c b d b c d c b d b c d c c b b d c b d b c d c b d c b d b c d c c b b
d b b c c d c b d b c d b b c c d c b d b c d b c d c b d b c d c b d b c d c c b b d c b d b c d c c b b d c b d b c d c b
A 4 d t
k
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 62
Elementos Triangulares
EJEMPLO NUMÉRICO DE ELEMENTOS TRIANGULARES
Analizar la siguiente placa plana (figura2.3.2.1) y obtener los esfuerzos en cada nodo por el método del elemento finito.
X 1 2 3
7 8 9
i j
k j
i
k
j k
j i i
k j
j i
i
k k
i j i
k k j 5 4
60 cm 60 cm
60 cm
60 cm
15kg/cm2
E
D
C
F
H
A
B
G
Y
6
Propiedades del elemento: 2
2 6 cm 1800 A cm 1 . 0 t
4 1
cm kg 10 10 E = = = α × =
donde: E = modulo de elasticidad. α = modulo de poisson. t = 0.1 cm.
Repartición de fuerzas sobre los nodos.
Figura 2.3.2.1
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 63
Elementos Triangulares
Nodo 9 ( )( )( ) kg 45 cm 30 cm 1 . 0 cm kg 15 Fza 2 = =
Nodo 6 ( )( )( ) kg 90 cm 60 cm 1 . 0 cm kg 15 Fza 2 = =
Nodo 3 ( )( )( ) kg 45 cm 30 cm 1 . 0 cm kg 15 Fza 2 = =
de la matriz [D] se obtiene los valores de los siguientes parámetros:
375 . 0 2 25 . 0 1
2 1 d
25 . 0 d
67 . 666 , 666 , 10 ) 25 . 0 ( 1
10 10 1 E d
3
2
2
6
2 1
= −
= α −
=
= α =
= −
× =
α − =
tomando en cuenta que:
2 3 1
3 2 1
3 2 3 2 1
x x c y y b
x y y x a
− = − =
− =
3 1 2
1 3 2
1 3 1 3 2
x x c y y b
x y y x a
− = − =
− =
1 2 3
2 1 3
2 1 2 1 3
x x c y y b
x y y x a
− = − =
− =
Ahora se puede hacer el calculo de la matriz de rigideces de cada elemento.
Elemento “A”:
0 y 0 x
1
1
= =
60 y 60 x
2
2
= =
60 y 0 x
3
3
= =
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 60 60 0 c
0 60 60 b 3600 0 60 60 60 a
1
1
1
− = − = = − =
= − = ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 c
60 0 60 b 0 0 60 0 0 a
2
2
2
= − = = − =
= − = ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 60 0 60 c
60 60 0 b 0 60 0 60 0 a
3
3
3
= − = − = − =
= − =
( ) ( ) 1481 . 148 1800 4
67 . 666 , 666 , 10 1 . 0 A 4 d t 1 = =
⋅
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
=
=
+ − − + − − + − − +
=
+ + + + ⋅
=
33 . 333 , 533 0 0 000 , 200
3600 0 0 1350
1481 . 148 A k
375 . 0 0 60 375 . 0 60 0 25 . 0 0 60 375 . 0 60 0 25 . 0 0 60 375 . 0 60 0 1481 . 148 A k
d b c d c b d b c d c b d b c d c b
A 4 d t
A k
ii
2 2
2 2
ii
3 2
1 2
1 3 1 1 2 1 1
3 1 1 2 1 1 3 2
1 21 1
ii
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 64
Elementos Triangulares
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
−
− =
−
− =
+ − + −
− + − + =
+ +
+ + ⋅ =
0 33 . 333 , 133 000 , 200 0
0 900 1350 0
1481 . 148 A k
375 . 0 0 60 0 60 375 . 0 0 0 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 0 0 375 . 0 60 0 60 0
1481 . 148 A k
d b b c c d c b d b c d c b d b c d c c b b
A 4 d t A k
ij
ij
3 1 2 2 1 3 2 1 2 2 1
3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 1 ij
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
−
− =
−
− =
− + − + − −
− − + − + − =
+ +
+ + ⋅ =
33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 000 , 200 000 , 200
3600 900 1350 1350
1481 . 148 A k
375 . 0 0 60 60 60 375 . 0 60 0 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 0 60 375 . 0 60 60 60 0
1481 . 148 A k
d b b c c d c b d b c d c b d b c d c c b b
A 4 d t A k
ik
ik
3 1 3 3 1 3 3 1 2 3 1
3 1 3 2 1 3 3 3 1 3 1 1 ik
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
−
− =
−
− =
+ − − +
+ − − + =
+ +
+ + ⋅ =
0 000 , 200 33 . 333 , 133 0
0 1350 900 0
1481 . 148 A k
375 . 0 60 0 0 60 375 . 0 60 60 25 . 0 0 0 375 . 0 0 0 25 . 0 60 60 375 . 0 0 60 60 0
1481 . 148 A k
d b b c c d c b d b c d c b d b c d c c b b
A 4 d t A k
ji
ji
3 2 1 2 1 3 1 2 2 1 2
3 2 1 2 2 1 3 2 1 2 1 1 ji
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
=
=
+ + + +
=
+ + + + ⋅
=
000 , 200 0 0 33 . 333 , 533
1350 0 0 3600
1481 . 148 A k
375 . 0 60 0 375 . 0 0 60 25 . 0 60 0 375 . 0 0 60 25 . 0 60 0 375 . 0 0 60 1481 . 148 A k
d b c d c b d b c d c b d b c d c b
A 4 d t
A k
jj
2 2
2 2
jj
3 2
2 2
2 3 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 3 2
2 2
2 1 jj
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
−
=
−
− =
− + + − − + + −
=
+ +
+ + ⋅ =
000 , 200 000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533
1350 1350 900 3600
1481 . 148 A k
375 . 0 60 60 60 0 375 . 0 60 60 25 . 0 60 0 375 . 0 0 60 25 . 0 60 60 375 . 0 0 60 60 60
1481 . 148 A k
d b b c c d c b d b c d c b d b c d c c b b
A 4 d t A k
jk
jk
3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 1 jk
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 65
Elementos Triangulares
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
−
− =
−
− =
− + − − − + + − − − + −
=
+ +
+ + ⋅ =
33 . 333 , 533 000 , 200 33 . 333 , 133 000 , 200
3600 1350 900 1350
1481 . 148 A k
375 . 0 60 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 0 60 375 . 0 60 0 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 0 60
1481 . 148 A k
d b b c c d c b d b c d c b d b c d c c b b
A 4 d t A k
ki
ki
3 3 1 1 3 3 1 3 2 1 3
3 3 1 2 3 1 3 3 1 1 3 1 ki
( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
−
− =
−
− =
− + − +
+ − + − =
+ +
+ + ⋅ =
000 , 200 33 . 333 , 133 000 , 200 33 . 333 , 533
1350 900 1350 3600
1481 . 148 A k
375 . 0 60 60 0 60 375 . 0 0 60 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 60 0 375 . 0 60 0 60 60
1481 . 148 A k
d b b c c d c b d b c d c b d b c d c c b b
A 4 d t A k
kj
kj
3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3
3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 1 kj
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
−
− =
−
− =
− + − + − − + − + −
=
+ + + + ⋅
=
33 . 333 , 733 33 . 333 , 333 33 . 333 , 333 33 . 333 , 733
4950 2250 2250 4950
1481 . 148 A k
375 . 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 1481 . 148 A k
d b c d c b d b c d c b d b c d c b
A 4 d t
A k
kk
2 2
2 2
kk
3 2
3 2
3 3 3 3 2 3 3
3 3 3 2 3 3 3 2
3 2
3 1 kk
− − − − − −
− − −
− − − −
=
33 . 333 , 733 33 . 333 , 333 000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 000 , 200 33 . 333 , 333 33 . 333 , 733 000 , 200 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 000 , 200
000 , 200 000 , 200 000 , 200 0 0 000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 0 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 0 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 0 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 0
000 , 200 000 , 200 000 , 200 0 0 000 , 200
kA
[ ][ ]
[ ][ ]
− − − − − −
=
=
=
67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 0 67 . 666 , 66 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0
B D
d b d c d b d c d b d c c d b c d b c d b d c b d c b d c b
A 2 d
b c b c b c c 0 c 0 c 0 0 b 0 b 0 b
A 2 1
d 0 0 0 1 d 0 d 1
d B D
3 3 3 3 3 2 3 2 3 1 3 1
3 2 3 2 2 2 1 2 1
2 3 3 2 2 2 2 1 1 1
3 3 2 2 1 1
3 2 1
3 2 1
3
2
2
1
i j k
i
j
k
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 66
Elementos Triangulares
Elemento “B”:
60 y 0 y 0 y 60 x 60 x 0 x
3 2 1
3 2 1
= = = = = =
− − − −
− − − − − − − −
− −
=
33 . 333 , 533 0 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 0 33 . 333 , 133 0 000 , 200 000 , 200 000 , 200 000 , 200 0
33 . 333 , 533 000 , 200 33 . 333 , 733 33 . 333 , 333 0000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 133 000 , 200 33 . 333 , 333 33 . 333 , 733 0000 , 200 33 . 333 , 533
0 000 , 200 0000 , 200 000 , 200 000 , 200 0 33 . 333 , 133 0 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 0 33 . 333 , 533
kB
[ ][ ]
− − − − − −
= 0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0
78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177
B D
Elemento “C”:
60 y 0 y 0 y 60 x 120 x 60 x
3 2 1
3 2 1
= = = = = =
− − − − − −
− − − − − − − − − −
=
33 . 333 , 533 0 0 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 0 000 , 200 000 , 200 0 000 , 200 000 , 200 0 000 , 200 000 , 200 0 000 , 200 000 , 200
33 . 333 , 133 0 0 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 33 . 333 , 533 000 , 200 000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 733 33 . 333 , 333 33 . 333 , 133 000 , 200 000 , 200 33 . 333 , 533 33 . 333 , 333 33 . 333 , 733
kC
[ ][ ]
− − − − − −
= 0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66
78 . 777 , 177 0 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 44 . 444 , 44 0 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177
B D
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 67
Elementos Triangulares
Elemento “D”:
60 y 0 y 0 y 60 x 60 x 0 x
3 2 1
3 2 1
= = = = = =
− − − −
− − − − − − − −
− − − −
=
000 , 200 0 000 , 200 000 , 200 0 000 , 200 0 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 0 000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 733 33 . 333 , 333 33 . 333 , 533 000 , 200 000 , 200 33 . 333 , 533 33 . 333 , 333 33 . 333 , 733 33 . 333 , 133 000 , 200
0 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 0 000 , 200 0 000 , 200 000 , 200 0 000 , 200
kD
[ ][ ]
− − − − − −
= 67 . 666 , 66 0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 67 . 666 , 66
0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0
B D
Elemento “E”: k E = k C. Elemento “F”: k F = k D. Elemento “G”: k G = k A. Elemento “H”: k H = k B.
Tabla 2.3.2.1 Ensamble de la matriz k total Nodos 2 3 5 6 8 9
2 C k B k ii jj + C k ij C k B k ik jk + 0 0 0
3 C k ji D k C k ii jj + D k C k ik jk + D k ij 0 0
5 C k B k ki kj + D k C k ki kj +
E k F k G k H k D k C k
B k A k
jj ii
ii ii
kk kk
kk jj
+ + +
+ +
+ +
H k D k ij kj + G k F k ik ij + H k G k ik ij +
6 0 D k ji H k D k ji jk + H k D k jj jj + 0 H k jk
8 0 0 G k F k ki ji + 0 G k F k kk jj + G k kj
9 0 0 H k G k ki ji + H k kj G k jk H k G k kk jj +
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 68
Elementos Triangulares
Ux 2
Uy 2
Ux 3
Uy 3
Ux 5
Uy 5
Ux 6
Uy 6
Ux 8
Uy 8
Ux 9
Uy 9
0 0 0 0
0.33E
+6
0
0.13E+
6
0.53E
+6
0.2E+6
0.2E+
6
0
0.73E+
6
9
0 0 0 0 0
0.33E
+6
0.2E+
6
0.2E+6
0.53E
+6
0.13E+
6
0.73E+
6
0
0 0 0 0 0
1.07E
+6
0 0 0
1.47E+
6
0.13E+
6
0.2E+
6
8
0 0 0 0
0.4E+
6
0 0 0
1.47E+
6
0
0.53E
+6
0.2E+6
0 0
0.2E+
6
0.53E
+6
0
0.4E+
6
0
1.47E+
6
0 0
0.2E+6
0.53E
+6
6
0 0
0.2E+
6
0.13E
+6
1.07E
+6
0
1.47E+
6
0 0 0
0.2E6
+6
0.13E+
6
0
1.07E
+6
0.33E+
6
0 0
2.93E+
6
0
0.4E+
6
0
1.07E
+6
0.33E
+6
0
5
0.4E+
6
0 0
0.33E+
6
2.93E+
6
0
1.07E
+6
0
0.4E+
6
0 0
0.33E
+6
0.2E+
6
0.2E+
6
0
0.73E+
6
0.33E+
6
0
0.13E
+6
0.53E
+6
0 0 0 0
3
0.53E
+6
0.13E
+6
0.73E+
6
0 0
0.33E+
6
0.2E+
6
0.2E+
6
0 0 0 0
0
1.47E+
6
0.13E
+6
0.2E+
6
0
1.07E
+6
0 0 0 0 0 0
2
1.47E+
6
0
0.53E
+6
0.2E+
6
0.4E+
6
0 0 0 0 0 0 0
Tabla 2.3.2.2 Ensam
ble numérico de la matriz k to
tal
Nodo
2 3 5 6 8 9
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 69
Elementos Triangulares
[ ]
− − − − −
− − −
− − − − − −
=
=
5 E 423 . 2 4 E 786 . 1 5 E 954 . 1 5 E 084 . 9 18 E 84 . 3 4 E 747 . 1 18 E 57 . 2 5 E 279 . 8 5 E 423 . 2 3 E 178 . 0 5 E 954 . 1 5 E 084 . 9
9 Uy 9 Ux 8 Uy 8 Ux 6 Uy 6 Ux 5 Uy 5 Ux 3 Uy 3 Ux 2 Uy 2 Ux
ecuaciones de sistema el o resolviend y,
0 45 0 0 0 90 0 0 0 45 0 0
P
CALCULO DE ESFUERZOS
Elemento “A”
− =
− −
− − − − − −
=
σ σ σ
13 E 0 . 1 680 . 3 719 . 14
0 0
18 E 57 . 2 5 E 279 . 8
0 0
67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 0 67 . 666 , 66 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0
xy y x
− =
− −
− − − −
− − − − − −
=
σ σ σ
=
−
− − −
− − − − − −
=
σ σ σ
224 . 0 427 . 0 738 . 14
18 E 57 . 2 5 E 279 . 8 5 E 423 . 2 3 E 178 . 0 5 E 954 . 1 5 E 084 . 9
0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 78 . 777 , 177 0 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 44 . 444 , 44 0 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177
xy y x
“C” Elemento
766 . 0 563 . 0 281 . 15
18 E 57 . 2 5 E 279 . 8 5 E 954 . 1 5 E 084 . 9
0 0
0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177
xy y x
“B” Elemento
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 70
Elementos Triangulares
=
σ σ σ
=
σ σ σ
− =
σ σ σ
− =
σ σ σ
− − =
σ σ σ
0.262 0.224 15.262
xy y x
“H” Elemento
224 . 0 427 . 0 738 . 14
xy y x
“G” Elemento
766 . 0 563 . 0 281 . 15
xy y x
“F” Elemento
13 E 7 . 1 680 . 3 719 . 14
xy y x
“E” Elemento
262 . 0 224 . 0 262 . 15
xy y x
“D” Elemento
Nota: Los esfuerzos calculados se consideran como constantes en toda la placa.
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 49
Vigas
C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I II I I M M Mé é ét t to o od d do o o d d de e el ll E E El lle e em m me e en n nt t to o o F F Fi iin n ni iit t to o o
Matr iz de r igideces para vigas.
Ejemplo numér ico.
Vigas
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 50
Vigas
VIGAS CONTINUAS
En un caso particular, para el análisis de vigas continuas, la matriz de rigideces se reduce de la siguiente forma, considerando que desprecian los efectos de carga axial:
[ ]
−
−
−
− − −
=
L 4
L 6
L 2
L 6
L 6
L 12
L 6
L 12
L 2
L 6
L 4
L 6
L 6
L 12
L 6
L 12
EI k
2 2
2 3 2 3
2 2
2 3 2 3
e
y para casos en los que los efectos de flexión sean los únicos se tiene:
[ ]
=
L EI
L EI
L EI
L EI
k e 4 2
2 4
En este tema no habrá transformación del sistema local al global ya que los ejes de cada uno coinciden (figura 2.3.1.1), por lo que la matriz de rigideces se verá de la misma forma, y el ensamble de esta se hará de la misma manera que en los capítulos anteriores.
Y
X
Figura 2.2.3.1
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 51
Vigas
EJEMPLO NUMÉRICO DE VIGAS
Analizar la siguiente viga continua (figura 2.3.2.1) solo por efecto de flexión.
A B C D
E
4 5
w=2 t/m w=3 t/m
5 3 3 4 2 6
Calculo de momentos de empotramiento. Figura 2.2.4.2
m tn 17 . 4 12 ) 5 ( 2
12 wL M M
2 2
BA AB ⋅ = = = =
m tn 3 8 ) 6 ( 4
8 PL M M CB BC ⋅ = = = =
m tn 22 . 2 6
) 4 ( ) 2 ( 5 L b Pa M 2
2
2
2
CD ⋅ = = =
m tn 44 . 4 6
) 2 ( ) 4 ( 5 L a Pb M 2
2
2
2
DC ⋅ = = =
m tn 9 12 ) 6 ( 3
12 wL M M
2 2
ED DE ⋅ = = = =
Figura 2.2.4.1
6
4 2
w=3 t/m D E
C
5
D
5
3 3
B C
4
w=2 t/m A B
Figura 2.2.4.2
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 52
Vigas
Vector de cargas. Figura 2.2.4.3.
−
−
=
9 56 . 4 78 . 0 17 . 1 17 . 4
P
Matriz de rigideces para cada barra.
Barra “a”
=
=
=
=
8 . 0 4 . 0 4 . 0 8 . 0
EI 5 4
5 2
5 2
5 4
EI L
4 L
2 L
2 L
4 EI
L EI 4
L EI 2
L EI 2
L EI 4
k a
Barra “b”
=
=
67 . 0 33 . 0 33 . 0 67 . 0
EI 6
4 6 2
6 2
6 4
EI k b
Barra “c”
=
=
67 . 0 33 . 0 33 . 0 67 . 0
EI 6
4 6
2 6
2 6
4 EI k c
Barra “d”
=
=
67 . 0 33 . 0 33 . 0 67 . 0
EI 6
4 6
2 6
2 6
4 EI k d
Matriz de rigideces Total
+ +
+ =
+ +
+ =
67 . 0 67 . 0 33 . 0 0 33 . 0 67 . 0 67 . 0 33 . 0 0 33 . 0 67 . 0 8 . 0
EI d k c k ' c k 0
c k c k b k b k 0 b k b k a k
EI k
11 22 21
12 11 22 21
12 11 22
− =
φ φ φ
56 . 4 78 . 0 17 . 1
34 . 1 33 . 0 0 33 . 0 34 . 1 33 . 0 0 33 . 0 47 . 1
EI
D
C
B
A B C D
E
1.17 0.78 4.56
4.17 4.17 3 3 9 9 2.22 4.44
Figura 2.2.4.3
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 53
Vigas
Resolviendo el sistema.
− =
φ φ φ
8104 . 3 4236 . 1 4851 . 0
D
C
B
Momentos en las barras.
Barra “a”
=
⋅ + ⋅ +
=
φ ⋅ + φ ⋅ φ ⋅ + φ ⋅
=
φ φ
=
3881 . 0 1940 . 0
4851 . 0 8 . 0 0 4851 . 0 4 . 0 0
a k a k a k a k
a k a k a k a k
a M a M
B 22 A 21
B 12 A 11
B
A
22 21
12 11
2
1
Barra “b”
=
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅
=
φ ⋅ + φ ⋅ φ ⋅ + φ ⋅
=
φ φ
=
1139 . 1 7948 . 0
4236 . 1 67 . 0 4851 . 0 33 . 0 4236 . 1 33 . 0 4851 . 0 67 . 0
b k b k b k b k
b k b k b k b k
b M b M
C 22 B 21
C 12 B 11
C
B
22 21
12 11
2
1
Barra “c”
− −
=
− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅
=
φ ⋅ + φ ⋅ φ ⋅ + φ ⋅
=
φ φ
=
0832 . 2 3036 . 0
8104 . 3 67 . 0 4236 . 1 33 . 0 8104 . 3 33 . 0 4236 . 1 67 . 0
c k c k c k c k
c k c k c k c k
c M c M
D 22 C 21
D 12 C 11
D
C
22 21
12 11
2
1
Barra “d”
− −
=
+ − ⋅ + − ⋅
=
φ ⋅ + φ ⋅ φ ⋅ + φ ⋅
=
φ φ
=
2574 . 1 5530 . 2
0 8104 . 3 33 . 0 0 8104 . 3 67 . 0
d k d k d k d k
d k d k d k d k
d M d M
E 22 D 21
E 12 D 11
E
D
22 21
12 11
2
1
Y por ultimo el balance de la viga se puede ver en la figura 2.2.4.4.
A B C D
E
0.3881 0.1940 0.7948 0.3036 1.1139 2.0832 2.5530 1.2574
A B C D
E
4.17 4.17 3 3 2.22 4.44 9 9
4.3640 3.7819 3.7948 1.9164 10.2574 1.8861 6.5232 6.4470
Figura 2.2.4.3
Método del Elemento Finito
Pérez Villar Luis Alberto 54
Vigas
Diagrama de momentos
4.36 3.79 1.90
6.48 10.26
Figura 2.2.4.4
Capitulo IV
Pérez Villar Luis Alberto 129
Comentarios y Recomendaciones
C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I IV V V C C Co o om m me e en n nt t ta a ar r r i iio o os s s y y y R R Re e ec c co o om m me e en n nd d da a ac c ci iio o on n ne e es s s
Comentarios y Recomendaciones
Capitulo IV
Pérez Villar Luis Alberto 130
Comentarios y Recomendaciones
COMENTARIOS
Por los resultados vistos en los ejemplos calculados con ayuda del Programa de la Tesis y el programa STAAD III se puede decir que hay pequeñas diferencias en la comparación de resultados esto se debe a que STAAD III utiliza mejores algoritmos en cuanto al modo de integración de la matriz de rigideces, lo que sucede de igual modo para la solución del sistema de ecuaciones; todo esto para los casos de Armaduras y Marcos.
Por otro lado las notables variaciones que se presentan en los ejemplos de Placas Planas se deben a que el método usado por el programa de la Tesis, para el cálculo de esfuerzos, considera que estos son constantes sobre toda la placa, mientras que el método que utiliza STAAD III, calcula los esfuerzos en el centroide de esta.
Como se pudo notar, para poder modelar una estructura se requieren los conceptos básicos del método a usar, así como el procedimiento de este. Por lo que, si alguna persona deseara analizar una estructura con la ayuda de un programa comercial, aún considerándose este como el mejor, no podría interpretar con claridad el trabajo realizado por este programa, ni siquiera cuando el individuo hubiese tomado un curso para el manejo de esta paquetería. Como una opinión personal, me atrevo a escribir estas líneas por experiencia propia y retomando la opinión de mi profesor. Con esto no quiero expresar que ahora soy capaz de modelar cualquier estructura, pero con estas bases el camino se hace más corto para poder lograrlo.
RECOMENDACIONES
Se pudiera pensar que el método para calcular esfuerzos en Placas Planas no es el correcto, sin embargo, esta posibilidad se descarta ya que los valores de desplazamientos son más congruentes. Ahora, una forma de dar un mayor acercamiento a los resultados es dividir la placa en el mayor número de partes posible, esto se puede apreciar en los ejemplos complementarios del Apéndice II. Dadas las circunstancias, el caso de Placas Triangulares puede ser de gran utilidad para la modelación de placas con geometría irregular, ya que esta clase de polígonos se ajustan más a este tipo de necesidades.
Si se quiere tener una idea más clara de este método vale la pena, si es posible cabe aclarar, la programación del caso de Vigas Continuas, ya que es el más simple en cuanto al modo de ensamble de la matriz de rigideces y las expresiones no son extensas.
Para aquellos que se deseen hacer el programa se recomienda que la declaración de variables sea del tipo “double”, esto con la finalidad de proporcionar mayor exactitud en el calculo de desplazamientos, ya que estos son indispensables en el calculo de los Elementos Mecánicos y de Esfuerzos. En cuanto a la solución del sistema de ecuaciones es preferible usar el método de Cholesky por la sencilla razón de que este método solo requiere la mitad del ensamble de la matriz total de rigideces.
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 97
Ejemplos
C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I II I II I I P P Pr r r o o og g gr r r a a am m ma a as s s
Ejemplo Armadura.
Ejemplo Marco.
Ejemplo Viga.
Ejemplo Placa Tr iangular .
Ejemplo Placa Rectangular .
Ejemplos
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 98
Ejemplos
EJEMPLOS CALCULADOS POR PROGRAMAS
Se analizarán los siguientes ejemplos (figuras 3.2.13.2.5) con la ayuda del Programa de la Tesis y el programa STAAD III.
EJEMPLO ARMADURA
6.00 ton
5.00 m
4
5
2
5.00 m
1
1
6
3
4
4.00 ton
8
4.00 m
Modulo de Elasticidad: 20,000,000
Ejemplo Armadura
7
5
Ø0.05 m
Sección Tansversal
3
2
9 6
4.00 ton
Salida del Programa
ARMADURA Datos de Entrada
Nodos Coordenadas Grados de libertad X Y X Y Giro
1 0.00 0.00 1 1 0 2 5.00 0.00 1 1 0 3 10.00 0.00 1 1 0 4 0.00 4.00 0 0 0 5 5.00 4.00 0 0 0 6 10.00 4.00 0 0 0
Figura 3.2.1
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 99
Ejemplos
Elemento Incidencias E A Longitud Beta 1 1 4 20000000.00 0.0019 4.00 90.00 2 3 6 20000000.00 0.0019 4.00 90.00 3 2 4 20000000.00 0.0019 6.40 141.34 4 2 5 20000000.00 0.0019 4.00 90.00 5 3 5 20000000.00 0.0019 6.40 141.34 6 1 2 20000000.00 0.0019 5.00 0.00 7 2 3 20000000.00 0.0019 5.00 0.00 8 4 5 20000000.00 0.0019 5.00 0.00 9 5 6 20000000.00 0.0019 5.00 0.00
Datos de Salida
Nodo Cargas Desplazamientos X Y X Y
1 0.00 0.00 0.00000 0.00000 2 0.00 0.00 0.00000 0.00000 3 0.00 0.00 0.00000 0.00000 4 0.00 4.00 0.00039 0.00042 5 0.00 6.00 0.00042 0.00059 6 0.00 4.00 0.00042 0.00041
Elemento Axial P1 P2
1 4.16 4.16 2 4.00 4.00 3 0.26 0.26 4 5.84 5.84 5 0.26 0.26 6 0.00 0.00 7 0.00 0.00 8 0.21 0.21 9 0.00 0.00
by: M. en C. ELIU ROSETE CARRANCO LUIS ALBERTO PEREZ VILLAR
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 100
Ejemplos
Salida del Programa STAAD III
************************************************** * * * S T A A D III * * Revision 22.0W * * Proprietary Program of * * Research Engineers, Inc. * * Date= JAN 23, 2003 * * Time= 18:33:49 * * * * USER ID: PÉREZ VILLAR LUIS ALBERTO * **************************************************
1. STAAD TRUSS ARMADURA 2. INPUT WIDTH 72 3. UNIT METER MTON 4. JOINT COORDINATES 5. 1 0.000 0.000 0.000 6. 2 5.000 0.000 0.000 7. 3 10.000 0.000 0.000 8. 4 0.000 4.000 0.000 9. 5 5.000 4.000 0.000 10. 6 10.000 4.000 0.000 11. MEMBER INCIDENCES 12. 1 1 4 13. 2 3 6 14. 3 2 4 15. 4 2 5 16. 5 3 5 17. 6 1 2 18. 7 2 3 19. 8 4 5 20. 9 5 6 21. MEMBER PROPERTY AMERICAN 22. 1 TO 9 PRI YD 0.05 23. CONSTANT 24. E 2E7 ALL 25. DENSITY 1. ALL 26. POISSON 1. ALL 27. SUPPORT 28. 1 TO 3 PINNED 29. LOAD 1 CARGAS 30. JOINT LOAD
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 101
Ejemplos
31. 4 6 FY 4. 32. 5 FY 6. 33. PERFORM ANALYSIS PRINT ALL
P R O B L E M S T A T I S T I C S
NUMBER OF JOINTS/MEMBER+ELEMENTS/SUPPORTS = 6/ 9/ 3 ORIGINAL/FINAL BANDWIDTH = 3/ 2 TOTAL PRIMARY LOAD CASES = 1, TOTAL DEGREES OF FREEDOM = 6 SIZE OF STIFFNESS MATRIX = 24 DOUBLE PREC. WORDS REQRD/AVAIL. DISK SPACE = 12.01/ 2047.7 MB, EXMEM = 55.4 MB
LOADING 1 CARGAS JOINT LOAD UNIT MTON METE
JOINT FORCEX FORCEY FORCEZ MOMX MOMY MOMZ
4 0.00 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6 0.00 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5 0.00 6.00 0.00 0.00 0.00 0.00
***TOTAL APPLIED LOAD ( MTON METE ) SUMMARY (LOADING 1 ) SUMMATION FORCEX = 0.00 SUMMATION FORCEY = 14.00 SUMMATION FORCEZ = 0.00
SUMMATION OF MOMENTS AROUND THE ORIGIN MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 70.00
++ Processing Element Stiffness Matrix. 18:33:49 ++ Processing Global Stiffness Matrix. 18:33:49 ++ Processing Triangular Factorization. 18:33:49 ++ Calculating Joint Displacements. 18:33:49 ++ Calculating Member Forces. 18:33:49
***TOTAL REACTION ( MTON METE ) SUMMARY
SUMX= 0.00 SUMY= 14.00 SUMZ= 0.00 SUMMATION OF MOMENTS AROUND ORIGIN MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 70.00
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 102
Ejemplos
MEMBER END FORCES STRUCTURE TYPE = TRUSS ALL UNITS ARE MTON METE
MEMBER LOAD JT AXIAL SHEARY SHEARZ TORSION MOMY MOMZ
1 1 1 4.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4 4.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
2 1 3 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
3 1 2 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
4 1 2 5.84 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5 5.84 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
5 1 3 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
6 1 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
7 1 2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
8 1 4 0.21 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5 0.21 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
9 1 5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
************** END OF LATEST ANALYSIS RESULT **************
JOINT DISPLACEMENT (CM RADIANS) STRUCTURE TYPE = TRUSS
JOINT LOAD XTRANS YTRANS ZTRANS XROTAN YROTAN ZROTAN
1 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4 1 0.0394 0.0424 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 1 0.0421 0.0594 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6 1 0.0421 0.0407 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
************** END OF LATEST ANALYSIS RESULT **************
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 103
Ejemplos
*************** END OF STAADIII ***************
**** DATE= JAN 23,2003 TIME= 18:33:49 ****
********************************************************* * For questions on STAADIII, contact: * * Research Engineers, Inc at * * West Coast: Ph (714) 9742500 Fax (714) 9212543 * * East Coast: Ph (508) 6883626 Fax (508) 6857230 * *********************************************************
Tabla 3.2.1 Cuadro Comparativo de Desplazamientos STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Nodo X (cm) Y (cm) X (m) Y (m) X Y
1 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 2 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 3 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 4 0.0394 0.0424 0.00039 0.00042 1.02% 0.94% 5 0.0421 0.0594 0.00042 0.00059 0.24% 0.67% 6 0.0421 0.0407 0.00042 0.00041 0.24% 0.74%
Tabla 3.2.2 Cuadro Comparativo de Fuerza Axial STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Elemento P1 P2 P1 P2 P1 P2
1 4.16 4.16 4.16 4.16 0.00% 0.00% 2 4.00 4.00 4.00 4.00 0.00% 0.00% 3 0.26 0.26 0.26 0.26 0.00% 0.00% 4 5.84 5.84 5.84 5.84 0.00% 0.00% 5 0.26 0.26 0.26 0.26 0.00% 0.00% 6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00% 0.00% 7 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00% 0.00% 8 0.21 0.21 0.21 0.21 0.00% 0.00% 9 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00% 0.00%
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 104
Ejemplos
EJEMPLO MARCO
0.3 m Modulo de Elasticidad: 1,400,000
Sección Tansversal
4.00 m
1
Ejemplo Marco
1
2ton
2 2
3 ton/m
3.00 m
0.3 m
4
3
3
Salida del Programa
MARCO Datos de Entrada
Nodos Coordenadas Grados de libertad X Y X Y Giro
1 0.00 0.00 1 1 1 2 0.00 3.00 0 0 0 3 4.00 3.00 0 0 0 4 4.00 0.00 1 1 1
Elemento Incidencias E A Longitud Beta Mom. Inercia 1 1 2 1400000.00 0.09 3.00 90.00 0.0007 2 2 3 1400000.00 0.09 4.00 0.00 0.0007 3 4 3 1400000.00 0.09 3.00 90.00 0.0007
Datos de Salida Nodo Cargas Desplazamientos
X Y Mz X Y Giro 1 0.00 0.00 0.00 0.00000 0.00000 0.00000
Figura 3.2.2
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 105
Ejemplos
2 2.00 6.00 4.00 0.00373 0.00013 0.00319 3 0.00 6.00 4.00 0.00365 0.00016 0.00145 4 0.00 0.00 0.00 0.00000 0.00000 0.00000
Elemento Elementos Mecánicos Nodo Inicial Nodo Final
Axial V Mz Axial V Mz 1 5.39 0.45 0.34 5.39 0.45 1.68 2 2.45 5.39 1.68 2.45 6.61 4.13 3 6.61 2.45 3.21 6.61 2.45 4.13
by: M. en C. ELIU ROSETE CARRANCO LUIS ALBERTO PEREZ VILLAR
Diagramas de Cortante y Momento
Figura 3.2.3
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 106
Ejemplos
Salida del programa STAAD III
************************************************** * * * S T A A D III * * Revision 22.0W * * Proprietary Program of * * Research Engineers, Inc. * * Date= JAN 23, 2003 * * Time= 20: 0:18 * * * * USER ID: PÉREZ VILLAR LUIS ALBERTO * **************************************************
1. STAAD PLANE MARCO 2. INPUT WIDTH 72 3. UNIT METER MTON 4. JOINT COORDINATES 5. 1 0.000 0.000 0.000 6. 2 0.000 3.000 0.000 7. 3 4.000 3.000 0.000 8. 4 4.000 0.000 0.000 9. MEMBER INCIDENCES 10. 1 1 2 11. 2 2 3 12. 3 4 3 13. MEMBER PROPERTY AMERICAN 14. 1 TO 3 PRI YD 0.3 ZD 0.3 15. CONSTANT 16. E 1.400E6 ALL 17. DENSITY CONCRETE ALL 18. POISSON CONCRETE ALL 19. SUPPORT 20. 1 4 FIXED 21. LOAD 1 CARGA 22. MEMBER LOAD 23. 2 UNI GY 3. 0. 4. 24. JOINT LOAD 25. 2 FX 2. 26. PERFORM ANALYSIS PRINT ALL
P R O B L E M S T A T I S T I C S
NUMBER OF JOINTS/MEMBER+ELEMENTS/SUPPORTS = 4/ 3/ 2
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 107
Ejemplos
ORIGINAL/FINAL BANDWIDTH = 1/ 1 TOTAL PRIMARY LOAD CASES = 1, TOTAL DEGREES OF FREEDOM = 6 SIZE OF STIFFNESS MATRIX = 36 DOUBLE PREC. WORDS REQRD/AVAIL. DISK SPACE = 12.00/ 2047.7 MB, EXMEM = 55.4 MB
LOADING 1 CARGA MEMBER LOAD UNIT MTON METE
MEMBER UDL L1 L2 CON L LIN1 LIN2
2 3.000 GY 0.00 4.00
JOINT LOAD UNIT MTON METE
JOINT FORCEX FORCEY FORCEZ MOMX MOMY MOMZ
2 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
***TOTAL APPLIED LOAD ( MTON METE ) SUMMARY (LOADING 1 ) SUMMATION FORCEX = 2.00 SUMMATION FORCEY = 12.00 SUMMATION FORCEZ = 0.00
SUMMATION OF MOMENTS AROUND THE ORIGIN MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 30.00
++ Processing Element Stiffness Matrix. 20: 0:18 ++ Processing Global Stiffness Matrix. 20: 0:18 ++ Processing Triangular Factorization. 20: 0:18 ++ Calculating Joint Displacements. 20: 0:18 ++ Calculating Member Forces. 20: 0:18
LOADING 1 SUMX= 2.00 SUMY= 12.00 SUMZ= 0.00 SUMMATION OF MOMENTS AROUND ORIGIN MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 30.00
MEMBER END FORCES STRUCTURE TYPE = PLANE ALL UNITS ARE MTON METE
MEMBER LOAD JT AXIAL SHEARY SHEARZ TORSION MOMY MOMZ
1 1 1 5.39 0.43 0.00 0.00 0.00 0.37
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 108
Ejemplos
2 5.39 0.43 0.00 0.00 0.00 1.67 2 1 2 2.43 5.39 0.00 0.00 0.00 1.67
3 2.43 6.61 0.00 0.00 0.00 4.11 3 1 4 6.61 2.43 0.00 0.00 0.00 3.18
3 6.61 2.43 0.00 0.00 0.00 4.11
************** END OF LATEST ANALYSIS RESULT **************
JOINT DISPLACEMENT (CM RADIANS) STRUCTURE TYPE = PLANE
JOINT LOAD XTRANS YTRANS ZTRANS XROTAN YROTAN ZROTAN
1 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 0.3797 0.0128 0.0000 0.0000 0.0000 0.0032 3 1 0.3720 0.0157 0.0000 0.0000 0.0000 0.0015 4 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
************** END OF LATEST ANALYSIS RESULT **************
*************** END OF STAADIII ***************
**** DATE= JAN 23,2003 TIME= 20: 0:18 ****
********************************************************* * For questions on STAADIII, contact: * * Research Engineers, Inc at * * West Coast: Ph (714) 9742500 Fax (714) 9212543 * * East Coast: Ph (508) 6883626 Fax (508) 6857230 * *********************************************************
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 109
Ejemplos
3.11
0.37 1
1.02
1.67 2
1.67
3.18 4
0.46
4.11 3
4.11
Diagrama de momentos
Tabla 3.2.3 Cuadro Comparativo de Desplazamientos STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Nodo X (cm) Y (cm) φ X (m) Y (m) φ X Y φ
1 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 0.00% 2 0.3797 0.0128 0.0032 0.00373 0.00013 0.00319 1.76% 1.56% 0.31% 3 0.3720 0.0157 0.0015 0.00365 0.00016 0.00145 1.88% 1.91% 3.33% 4 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 0.00%
Tabla 3.2.4 Cuadro Comparativo de Fuerza Axial STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Elemento Nodo Axial V Mz Axial V Mz Axial V Mz
1 5.39 0.43 0.37 5.39 0.45 0.34 0.00% 4.65% 8.11% 1
2 5.39 0.43 1.67 5.39 0.45 1.68 0.00% 4.65% 0.60% 2 2.43 5.39 1.67 2.45 5.39 1.68 0.82% 0.00% 0.60%
2 3 2.43 6.61 4.11 2.45 6.61 4.13 0.82% 0.00% 0.49% 4 6.61 2.43 3.18 6.61 2.45 3.21 0.00% 0.82% 0.94%
3 3 6.61 2.43 4.11 6.61 2.45 4.13 0.00% 0.82% 0.49%
Figura 3.2.4
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 110
Ejemplos
EJEMPLO VIGA
2 3 4 5
5.00 m 3.00 m 3.00 m 4.00 m 2.00 m 6.00 m
0.3 m Modulo de Elasticidad: 1,400,000
Sección Tansversal Ejemplo Viga 0.2 m
1 2 3 4 5
4 3 2 1
Salida del Programa
MARCO Datos de Entrada
Nodos Coordenadas Grados de libertad X Y X Y Giro
1 0.00 0.00 1 1 1 2 5.00 0.00 1 1 0 3 11.00 0.00 1 1 0 4 17.00 0.00 1 1 0 5 23.00 0.00 1 1 1
Elemento Incidencias E A Longitud Beta Mom Iner 1 1 2 1400000.00 0.06 5.00 0.00 0.0004 2 2 3 1400000.00 0.06 6.00 0.00 0.0004 3 3 4 1400000.00 0.06 6.00 0.00 0.0004 4 4 5 1400000.00 0.06 6.00 0.00 0.0004
Datos de Salida
Nodo Cargas Desplazamientos X Y Mz X Y Giro
1 0.00 5.00 4.17 0.00000 0.00000 0.00000 2 0.00 7.00 1.17 0.00000 0.00000 0.00076
Figura 3.2.5
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 111
Ejemplos
3 0.00 3.30 0.78 0.00000 0.00000 0.00223 4 0.00 12.70 4.56 0.00000 0.00000 0.00598 5 0.00 9.00 9.00 0.00000 0.00000 0.00000
Elemento Elementos Mecanicos Nodo Inicial Nodo Final
Axial V Mz Axial V Mz 1 0.00 5.11 4.36 0.00 4.89 3.79 2 0.00 2.31 3.79 0.00 1.69 1.90 3 0.00 0.90 1.90 0.00 4.10 6.49 4 0.00 8.37 6.49 0.00 9.63 10.26
by: M. en C. ELIU ROSETE CARRANCO LUIS ALBERTO PEREZ VILLAR
Diagramas de Cortante y Momento
Figura 3.2.6
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 112
Ejemplos
Salida del Programa STAAD III
************************************************** * * * S T A A D III * * Revision 22.0W * * Proprietary Program of * * Research Engineers, Inc. * * Date= JAN 25, 2003 * * Time= 12:15:53 * * * * USER ID: PÉREZ VILLAR LUIS ALBERTO * **************************************************
1. STAAD PLANE VIGA 2. INPUT WIDTH 72 3. UNIT METER MTON 4. JOINT COORDINATES 5. 1 0.000 0.000 0.000 6. 2 5.000 0.000 0.000 7. 3 11.000 0.000 0.000 8. 4 17.000 0.000 0.000 9. 5 23.000 0.000 0.000 10. MEMBER INCIDENCES 11. 1 1 2 12. 2 2 3 13. 3 3 4 14. 4 4 5 15. MEMBER PROPERTY AMERICAN 16. 1 TO 4 PRI YD 0.3 ZD 0.2 17. CONSTANT 18. E 1.400E6 ALL 19. DENSITY CONCRETE ALL 20. POISSON CONCRETE ALL 21. SUPPORT 22. 1 5 FIXED 23. 2 TO 4 PINNED 24. LOAD 1 CAR 25. MEMBER LOAD 26. 1 UNI GY 2. 27. 4 UNI GY 3. 28. 2 CON GY 4. 3. 29. 3 CON GY 5. 4. 30. PERFORM ANALYSIS PRINT ALL
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 113
Ejemplos
P R O B L E M S T A T I S T I C S
NUMBER OF JOINTS/MEMBER+ELEMENTS/SUPPORTS = 5/ 4/ 5 ORIGINAL/FINAL BANDWIDTH = 1/ 1 TOTAL PRIMARY LOAD CASES = 1, TOTAL DEGREES OF FREEDOM = 3 SIZE OF STIFFNESS MATRIX = 6 DOUBLE PREC. WORDS REQRD/AVAIL. DISK SPACE = 12.01/ 2047.7 MB, EXMEM = 55.4 MB
LOADING 1 CAR MEMBER LOAD UNIT MTON METE
MEMBER UDL L1 L2 CON L LIN1 LIN2
1 2.000 GY 0.00 5.00 4 3.000 GY 0.00 6.00 2 4.000 GY 3.00 3 5.000 GY 4.00
***TOTAL APPLIED LOAD ( MTON METE ) SUMMARY (LOADING 1 ) SUMMATION FORCEX = 0.00 SUMMATION FORCEY = 37.00 SUMMATION FORCEZ = 0.00
SUMMATION OF MOMENTS AROUND THE ORIGIN MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 492.00
++ Processing Element Stiffness Matrix. 12:15:53 ++ Processing Global Stiffness Matrix. 12:15:53 ++ Processing Triangular Factorization. 12:15:53 ++ Calculating Joint Displacements. 12:15:53 ++ Calculating Member Forces. 12:15:53
***TOTAL REACTION ( MTON METE ) SUMMARY SUMX= 0.00 SUMY= 37.00 SUMZ= 0.00
SUMMATION OF MOMENTS AROUND ORIGIN
MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 492.00
MEMBER END FORCES STRUCTURE TYPE = PLANE ALL UNITS ARE MTON METE
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 114
Ejemplos
MEMBER LOAD JT AXIAL SHEARY SHEARZ TORSION MOMY MOMZ
1 1 1 0.00 5.11 0.00 0.00 0.00 4.36 2 0.00 4.89 0.00 0.00 0.00 3.78
2 1 2 0.00 2.31 0.00 0.00 0.00 3.78 3 0.00 1.69 0.00 0.00 0.00 1.91
3 1 3 0.00 0.90 0.00 0.00 0.00 1.91 4 0.00 4.10 0.00 0.00 0.00 6.49
4 1 4 0.00 8.37 0.00 0.00 0.00 6.49 5 0.00 9.63 0.00 0.00 0.00 10.25
************** END OF LATEST ANALYSIS RESULT **************
JOINT DISPLACEMENT (CM RADIANS) STRUCTURE TYPE = PLANE
JOINT LOAD XTRANS YTRANS ZTRANS XROTAN YROTAN ZROTAN
1 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 3 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0022 4 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0060 5 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
************** END OF LATEST ANALYSIS RESULT **************
*************** END OF STAADIII ***************
**** DATE= JAN 25,2003 TIME= 12:15:53 ****
********************************************************* * For questions on STAADIII, contact: * * Research Engineers, Inc at * * West Coast: Ph (714) 9742500 Fax (714) 9212543 * * East Coast: Ph (508) 6883626 Fax (508) 6857230 * *********************************************************
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 115
Ejemplos
4.36 3.78 1.91 1.91
6.49 10.25
Diagrama de momentos
Tabla 3.2.5 Cuadro Comparativo de Desplazamientos STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Nodo X (cm) Y (cm) φ X (m) Y (m) φ X Y φ
1 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 0.00% 2 0.0000 0.0000 0.0008 0.00000 0.00000 0.00076 0.00% 0.00% 5.00% 3 0.0000 0.0000 0.0022 0.00000 0.00000 0.00223 0.00% 0.00% 1.36% 4 0.0000 0.0000 0.0060 0.00000 0.00000 0.00598 0.00% 0.00% 0.33% 5 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 0.00%
Tabla 3.2.6 Cuadro Comparativo de Fuerza Axial STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Elemento Nodo Axial V Mz Axial V Mz Axial V Mz
1 0.00 5.11 4.36 0.00 5.11 4.36 0.00% 0.00% 0.00% 1
2 0.00 4.89 3.78 0.00 4.89 3.79 0.00% 0.00% 0.26% 2 0.00 2.31 3.78 0.00 2.31 3.79 0.00% 0.00% 0.26%
2 3 0.00 1.69 1.91 0.00 1.69 1.90 0.00% 0.00% 0.52% 3 0.00 0.90 1.91 0.00 0.90 1.90 0.00% 0.00% 0.52%
3 4 0.00 4.10 6.49 0.00 4.10 6.49 0.00% 0.00% 0.00% 4 0.00 8.37 6.49 0.00 8.37 6.49 0.00% 0.00% 0.00%
4 5 0.00 9.63 10.25 0.00 9.63 10.26 0.00% 0.00% 0.10%
Figura 3.2.7
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 116
Ejemplos
EJEMPLO PLACA TRIANGULAR
60 cm
60 cm
2
60 cm
1
2
1
45 3
8
5 4
5
6
7
60 cm
90 6
7
8
45 9
Ejemplo Placa Triangular
Modulo de Elasticidad: 10,000,000
Espesor de la Placa
3
4
0.1 cm
Salida del Programa
PLACAS TRIANGULARES Datos de Entrada
Nodos Coordenadas Grados de libertad X Y X Y Giro
1 0.00 0.00 1 1 1 2 60.00 0.00 0 0 0 3 120.00 0.00 0 0 0 4 0.00 60.00 1 1 1 5 60.00 60.00 0 0 0 6 120.00 60.00 0 0 0 7 0.00 120.00 1 1 1 8 60.00 120.00 0 0 0 9 120.00 120.00 0 0 0
Elemento Incidencias E A Espesor Mod. Poisson 1 1 5 4 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 2 1 2 5 10000000.00 1800.00 0.10 0.25
Figura 3.2.8
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 117
Ejemplos
3 2 3 5 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 4 3 6 5 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 5 4 5 7 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 6 5 8 7 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 7 5 9 8 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 8 5 6 9 10000000.00 1800.00 0.10 0.25
Datos de Salida
Nodo Cargas Desplazamientos X Y X Y
1 0.00 0.00 0.00000 0.00000 2 0.00 0.00 0.00009 0.00002 3 45.00 0.00 0.00018 0.00002 4 0.00 0.00 0.00000 0.00000 5 0.00 0.00 0.00008 0.00000 6 90.00 0.00 0.00017 0.00000 7 0.00 0.00 0.00000 0.00000 8 0.00 0.00 0.00009 0.00002 9 45.00 0.00 0.00018 0.00002
Elemento Esfuerzos X Y XY
1 14.719 3.680 0.000 2 15.281 0.563 0.766 3 14.738 0.427 0.224 4 15.262 0.224 0.262 5 14.719 3.680 0.000 6 15.281 0.563 0.766 7 14.738 0.427 0.224 8 15.262 0.224 0.262
by: M. en C. ELIU ROSETE CARRANCO LUIS ALBERTO PEREZ VILLAR
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 118
Ejemplos
Salida del Programa STAAD III
************************************************** * * * S T A A D III * * Revision 22.0W * * Proprietary Program of * * Research Engineers, Inc. * * Date= JAN 27, 2003 * * Time= 18:13:15 * * * * USER ID: PÉREZ VILLAR LUIS ALBERTO * **************************************************
1. STAAD PLANE PLACA TRIANGULAR 2. INPUT WIDTH 72 3. UNIT CM KG 4. JOINT COORDINATES 5. 1 0.000 0.000 0.000 6. 2 60.000 0.000 0.000 7. 3 120.000 0.000 0.000 8. 4 0.000 60.000 0.000 9. 5 60.000 60.000 0.000 10. 6 120.000 60.000 0.000 11. 7 0.000 120.000 0.000 12. 8 60.000 120.000 0.000 13. 9 120.000 120.000 0.000 14. ELEMENT INCIDENCES 15. 1 1 5 4 16. 2 1 2 5 17. 3 2 3 5 18. 4 3 6 5 19. 5 4 5 7 20. 6 5 8 7 21. 7 5 9 8 22. 8 5 6 9 23. ELEMENT PROPERTY 24. 1 TO 8 THICKNESS 0.1 25. CONSTANT 26. E 1E7 ALL 27. POISSON 0.25 ALL 28. DENSITY CONCRETE ALL 29. SUPPORT
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 119
Ejemplos
30. 1 4 7 FIXED 31. LOAD 1 LOAD 32. JOINT LOAD 33. 3 9 FX 45. 34. 6 FX 90. 35. PERFORM ANALYSIS PRINT ALL
P R O B L E M S T A T I S T I C S
NUMBER OF JOINTS/MEMBER+ELEMENTS/SUPPORTS = 9/ 8/ 3 ORIGINAL/FINAL BANDWIDTH = 4/ 4 TOTAL PRIMARY LOAD CASES = 1, TOTAL DEGREES OF FREEDOM = 27 SIZE OF STIFFNESS MATRIX = 405 DOUBLE PREC. WORDS REQRD/AVAIL. DISK SPACE = 12.04/ 2047.7 MB, EXMEM = 55.4 MB
LOADING 1 LOAD JOINT LOAD UNIT KG CM JOINT FORCEX FORCEY FORCEZ MOMX MOMY MOMZ
3 45.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 9 45.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6 90.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
***TOTAL APPLIED LOAD ( KG CM ) SUMMARY (LOADING 1 ) SUMMATION FORCEX = 180.00 SUMMATION FORCEY = 0.00 SUMMATION FORCEZ = 0.00
SUMMATION OF MOMENTS AROUND THE ORIGIN MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 10800.00
++ Processing Element Stiffness Matrix. 18:13:15 ++ Processing Global Stiffness Matrix. 18:13:15 ++ Processing Triangular Factorization. 18:13:15 ++ Calculating Joint Displacements. 18:13:15 ++ Calculating Member Forces. 18:13:16
***TOTAL REACTION ( KG CM ) SUMMARY SUMX= 180.00 SUMY= 0.00 SUMZ= 0.00
SUMMATION OF MOMENTS AROUND ORIGIN
MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 10800.00
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 120
Ejemplos
************ END OF DATA FROM INTERNAL STORAGE ************
36. PRINT ELEMENT JOINT FORCES AT 0. 0. ALL
ELEMENT FORCES FORCE,LENGTH UNITS= KG CM FORCE OR STRESS = FORCE/WIDTH/THICK, MOMENT = FORCE
LENGTH/WIDTH
ELEMENT LOAD QX QY MX MY MXY VONT VONB FX FY FXY
1 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.60 13.60 9.41 9.45 5.66
TOP : SMAX= 15.09 SMIN= 3.77 TMAX= 5.66 ANGLE= 90.0 BOTT: SMAX= 15.09 SMIN= 3.77 TMAX= 5.66 ANGLE= 90.0
2 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.95 13.95 14.92 2.27 0.48
TOP : SMAX= 14.94 SMIN= 2.25 TMAX= 6.35 ANGLE= 2.1 BOTT: SMAX= 14.94 SMIN= 2.25 TMAX= 6.35 ANGLE= 2.1
3 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 19.16 19.16 18.77 2.53 4.32
TOP : SMAX= 19.85 SMIN= 1.45 TMAX= 9.20 ANGLE= 14.0 BOTT: SMAX= 19.85 SMIN= 1.45 TMAX= 9.20 ANGLE= 14.0
4 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.34 15.34 4.32 11.21 3.77
TOP : SMAX= 12.08 SMIN= 5.19 TMAX= 8.63 ANGLE= 12.9 BOTT: SMAX= 12.08 SMIN= 5.19 TMAX= 8.63 ANGLE= 12.9
5 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.62 13.62 15.11 3.78 0.02
TOP : SMAX= 15.11 SMIN= 3.78 TMAX= 5.66 ANGLE= 0.1 BOTT: SMAX= 15.11 SMIN= 3.78 TMAX= 5.66 ANGLE= 0.1
6 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.78 13.78 2.63 14.88 0.44
TOP : SMAX= 14.90 SMIN= 2.61 TMAX= 6.14 ANGLE= 2.0 BOTT: SMAX= 14.90 SMIN= 2.61 TMAX= 6.14 ANGLE= 2.0
7 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 19.39 19.39 14.91 6.13 8.32
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 121
Ejemplos
TOP : SMAX= 19.93 SMIN= 1.11 TMAX= 9.41 ANGLE= 31.1 BOTT: SMAX= 19.93 SMIN= 1.11 TMAX= 9.41 ANGLE= 31.1
8 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.41 15.41 11.18 4.39 3.84
TOP : SMAX= 12.08 SMIN= 5.29 TMAX= 8.68 ANGLE= 13.1 BOTT: SMAX= 12.08 SMIN= 5.29 TMAX= 8.68 ANGLE= 13.1
********************END OF ELEMENT FORCES********************
JOINT DISPLACEMENT (CM RADIANS) STRUCTURE TYPE = PLANE
JOINT LOAD XTRANS YTRANS ZTRANS XROTAN YROTAN ZROTAN
1 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3 1 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6 1 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 8 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 9 1 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
************** END OF LATEST ANALYSIS RESULT **************
*************** END OF STAADIII ***************
**** DATE= JAN 27,2003 TIME= 18:13:16 ****
********************************************************* * For questions on STAADIII, contact: * * Research Engineers, Inc at * * West Coast: Ph (714) 9742500 Fax (714) 9212543 * * East Coast: Ph (508) 6883626 Fax (508) 6857230 * *********************************************************
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 122
Ejemplos
Tabla 3.2.7 Cuadro Comparativo de Desplazamientos STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Nodo X (cm) Y (cm) X (cm) Y (cm) X Y
1 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 2 0.0001 0.0000 0.00009 0.00002 10.00% 0.00% 3 0.0003 0.0001 0.00018 0.00002 40.00% 80.00% 4 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 5 0.0001 0.0000 0.00008 0.00000 20.00% 0.00% 6 0.0002 0.0000 0.00017 0.00000 15.00% 0.00% 7 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 8 0.0001 0.0000 0.00009 0.00002 10.00% 0.00% 9 0.0003 0.0001 0.00018 0.00002 40.00% 80.00%
Tabla 3.2.7 Cuadro Comparativo de Fuerza Axial STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Elemento σ x σ y σ xy σ x σ y σ xy σ x σ y σ xy
1 9.41 9.45 5.66 14.72 3.68 0.00 56.42% 61.06% 100.00% 2 14.92 2.27 0.48 15.28 0.56 0.77 2.42% 75.20% 59.58% 3 18.77 2.53 4.32 14.74 0.43 0.22 21.48% 83.12% 94.81% 4 4.32 11.21 3.77 15.26 0.22 0.26 253.29% 98.00% 93.05% 5 15.11 3.78 0.02 14.72 3.68 0.00 2.59% 2.65% 100.00% 6 2.63 14.88 0.44 15.28 0.56 0.77 481.03% 96.22% 74.09% 7 14.91 6.13 8.32 14.74 0.43 0.22 1.15% 93.03% 97.31% 8 11.18 4.39 3.84 15.26 0.22 0.26 36.51% 94.90% 93.18%
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 123
Ejemplos
EJEMPLO PLACA RECTANGULAR
60 cm
Espesor de la Placa
0.1 cm
60 cm 60 cm
1
Modulo de Elasticidad: 10,000,000
Ejemplo Placa Rectangular
2 45 3
4 3
1
4
2
5 90
7 8 45
60 cm
6
9
Salida del Programa
PLACAS RECTANGULARES Datos de Entrada
Nodos Coordenadas Grados de libertad X Y X Y Giro
1 0.00 0.00 1 1 1 2 60.00 0.00 0 0 0 3 120.00 0.00 0 0 0 4 0.00 60.00 1 1 1 5 60.00 60.00 0 0 0 6 120.00 60.00 0 0 0 7 0.00 120.00 1 1 1 8 60.00 120.00 0 0 0 9 120.00 120.00 0 0 0
Elemento Incidencias E A Espesor Mod. Poisson 1 1 2 5 4 10000000.00 3600.00 0.10 0.25 2 2 3 6 5 10000000.00 3600.00 0.10 0.25
Figura 3.2.9
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 124
Ejemplos
3 5 6 9 8 10000000.00 3600.00 0.10 0.25 4 4 5 8 7 10000000.00 3600.00 0.10 0.25
Datos de Salida
Nodo Cargas Desplazamientos X Y X Y
1 0.00 0.00 0.00000 0.00000 2 0.00 0.00 0.00009 0.00002 3 45.00 0.00 0.00018 0.00002 4 0.00 0.00 0.00000 0.00000 5 0.00 0.00 0.00008 0.00000 6 90.00 0.00 0.00018 0.00000 7 0.00 0.00 0.00000 0.00000 8 0.00 0.00 0.00009 0.00002 9 45.00 0.00 0.00018 0.00002
Elemento Esfuerzos X Y XY
1 15.000 1.831 0.588 2 15.000 0.152 0.184 3 15.000 0.152 0.184 4 15.000 1.831 0.588
by: M. en C. ELIU ROSETE CARRANCO LUIS ALBERTO PEREZ VILLAR
Salida del Programa STAAD III
************************************************** * * * S T A A D III * * Revision 22.0W * * Proprietary Program of * * Research Engineers, Inc. * * Date= JAN 27, 2003 * * Time= 18:15:58 * * * * USER ID: PÉREZ VILLAR LUIS ALBERTO * **************************************************
1. STAAD PLANE PLACA RECTANGULAR 2. INPUT WIDTH 72 3. UNIT CM KG
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 125
Ejemplos
4. JOINT COORDINATES 5. 1 0.000 0.000 0.000 6. 2 60.000 0.000 0.000 7. 3 120.000 0.000 0.000 8. 4 0.000 60.000 0.000 9. 5 60.000 60.000 0.000 10. 6 120.000 60.000 0.000 11. 7 0.000 120.000 0.000 12. 8 60.000 120.000 0.000 13. 9 120.000 120.000 0.000 14. ELEMENT INCIDENCES 15. 1 1 2 5 4 16. 2 2 3 6 5 17. 3 4 5 8 7 18. 4 5 6 9 8 19. ELEMENT PROPERTY 20. 1 TO 4 THICKNESS 0.1 21. CONSTANT 22. E 1E7 ALL 23. POISSON 0.25 ALL 24. DENSITY 1. ALL 25. SUPPORT 26. 1 4 7 FIXED 27. LOAD 1 LOAD 28. JOINT LOAD 29. 3 9 FX 45. 30. 6 FX 90. 31. PERFORM ANALYSIS PRINT ALL
P R O B L E M S T A T I S T I C S
NUMBER OF JOINTS/MEMBER+ELEMENTS/SUPPORTS = 9/ 4/ 3 ORIGINAL/FINAL BANDWIDTH = 4/ 4 TOTAL PRIMARY LOAD CASES = 1, TOTAL DEGREES OF FREEDOM = 27 SIZE OF STIFFNESS MATRIX = 405 DOUBLE PREC. WORDS REQRD/AVAIL. DISK SPACE = 12.02/ 2047.7 MB, EXMEM = 55.4 MB
LOADING 1 LOAD JOINT LOAD UNIT KG CM
JOINT FORCEX FORCEY FORCEZ MOMX MOMY MOMZ
3 45.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 9 45.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Programas
Pérez Villar Luis Alberto 126
Ejemplos
6 90.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
***TOTAL APPLIED LOAD ( KG CM ) SUMMARY (LOADING 1 ) SUMMATION FORCEX = 180.00 SUMMATION FORCEY = 0.00 SUMMATION FORCEZ = 0.00
SUMMATION OF MOMENTS AROUND THE ORIGIN MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 10800.00
++ Processing Element Stiffness Matrix. 18:15:58 ++ Processing Global Stiffness Matrix. 18:15:58 ++ Processing Triangular Factorization. 18:15:58 ++ Calculating Joint Displacements. 18:15:58 ++ Calculating Member Forces. 18:15:58
***TOTAL REACTION ( KG CM ) SUMMARY
SUMX= 180.00 SUMY= 0.00 SUMZ= 0.00
SUMMATION OF MOMENTS AROUND ORIGIN
MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 10800.00
ELEMENT FORCES FORCE,LENGTH UNITS= KG CM
FORCE OR STRESS = FORCE/WIDTH/THICK, MOMENT = FORCE LENGTH/WIDTH
ELEMENT LOAD QX QY MX MY MXY VONT VONB FX FY FXY
1 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.58 14.58 15.00 1.00 0.71
TOP : SMAX= 15.04 SMIN= 0.97 TMAX= 7.03 ANGLE= 2.9 BOTT: SMAX= 15.04 SMIN= 0.97 TMAX= 7.03 ANGLE= 2.9
2 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.80 14.80 15.00 0.40 0.14
TOP : SMAX= 15.00 SMIN= 0.40 TMAX= 7.30 ANGLE= 0.6 BOTT: SMAX= 15.00 SMIN= 0.40 TMAX= 7.30 ANGLE= 0.6
3 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.58 14.58 15.00 1.00 0.71
TOP : SMAX= 15.04 SMIN= 0.97 TMAX= 7.03 ANGLE= 2.9
Programas
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Ejemplos
BOTT: SMAX= 15.04 SMIN= 0.97 TMAX= 7.03 ANGLE= 2.9
4 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.80 14.80 15.00 0.40 0.14
TOP : SMAX= 15.00 SMIN= 0.40 TMAX= 7.30 ANGLE= 0.6 BOTT: SMAX= 15.00 SMIN= 0.40 TMAX= 7.30 ANGLE= 0.6
********************END OF ELEMENT FORCES********************
JOINT DISPLACEMENT (CM RADIANS) STRUCTURE TYPE = PLANE
JOINT LOAD XTRANS YTRANS ZTRANS XROTAN YROTAN ZROTAN
1 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3 1 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6 1 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 8 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 9 1 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
************** END OF LATEST ANALYSIS RESULT **************
*************** END OF STAADIII ***************
**** DATE= JAN 27,2003 TIME= 18:15:58 ****
********************************************************* * For questions on STAADIII, contact: * * Research Engineers, Inc at * * West Coast: Ph (714) 9742500 Fax (714) 9212543 * * East Coast: Ph (508) 6883626 Fax (508) 6857230 * ********************************************************
Programas
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Ejemplos
Tabla 3.2.9 Cuadro Comparativo de Desplazamientos STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Nodo X (cm) Y (cm) X (cm) Y (cm) X Y
1 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 2 0.0001 0.0000 0.00009 0.00002 10.00% 0.00% 3 0.0003 0.0001 0.00018 0.00002 40.00% 80.00% 4 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 5 0.0001 0.0000 0.00008 0.00000 20.00% 0.00% 6 0.0002 0.0000 0.00018 0.00000 10.00% 0.00% 7 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 8 0.0001 0.0000 0.00009 0.00002 10.00% 0.00% 9 0.0003 0.0001 0.00018 0.00002 40.00% 80.00%
Tabla 3.2.10 Cuadro Comparativo de Fuerza Axial STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Elemento σ x σ y σ xy σ x σ y σ xy σ x σ y σ xy
1 15.00 1.00 0.71 15.00 1.83 0.59 0.00% 83.10% 17.18% 2 15.00 0.40 0.14 15.00 0.15 0.18 0.00% 62.00% 31.43% 3 15.00 1.00 0.71 15.00 0.15 0.18 0.00% 84.80% 74.08% 4 15.00 0.40 0.14 15.00 1.83 0.59 0.00% 357.75% 320.00%
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 131
Listado del Programa
A A Ap p pé é én n nd d di iic c ce e e I I I L L Li iis s st t ta a ad d do o o d d de e el ll P P Pr r r o o og g gr r r a a am m ma a a
Apéndice I
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 132
Listado del Programa
PROGRAMA
#include<stdio.h> #include<conio.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> #include<graphics.h> #include<ctype.h> #include <luismath.h>
struct ind_cargas int t, n, e, ni, nf; float p, a, d; w[100];
struct matrix_elem int inciden[4], loc[8]; float L[4], beta[4], ke[8][8], Fg[6], Fl[6], dim[2], mome[6], ttrans[3][3], db[3][8]; *el;
struct matrix_nodo int apoyo[5], ec[3]; float f[3], d[3]; *nd;
void datos (void); void conversion (void); void geometry (void); void cargas (void); void carga_puntual_sobre_nodo (void); float v_emp (float, float, float, float); void carga_puntual_sobre_elemento (void); void carga_distribuida (void); void rigidez (void); void ensamble (void); void fuerzas_finales(void); void diagrama (void); void vigas (void); float momento (float, float, float, float); float cortante (float, float); void salida (void);
int tm_kt=0, file, nodos, elem, i, j, k, l, glib, limit, pos[10], li, lf; int ncar=0, cncar, o_c, t_c, repetir, o_r, o_s, gdriver=DETECT, gmode, errorcode;
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 133
Listado del Programa
double *x, *y, *E, *A, *I, *alfa, *t, btd[6][3], kt[100][101], b[3][6], em, pdist; double trans[3][3], tk[3][3], kl[6][6], def[3][3], cxy[3][2], dn[8], Pi, eh, ev; char *archivo, *output, estruc, key, viga, mesage[80]; FILE *fp;
void main (void) int s; datos (); geometry (); clrscr(); if(file==1) for(i=1; i<=nodos; i++) printf("Nodo numero %i\n",i); printf("px = %f , py = %f", nd[i].f[1], nd[i].f[2]); if(estruc=='m') printf(" , Mz = %f", nd[i].f[3]); printf("\n"); getch(); rigidez (); ensamble (); solve (); //la función solve esta incluida en la librería luismath.h
clrscr(); for(i=1; i<=nodos; i++) printf("Nodo %i\n", i); for(j=1; j<=glib; j++) printf("d = %0.10f ", nd[i].d[j]); printf("\n"); getch();
fuerzas_finales(); if(estruc=='m') clrscr(); printf("\n\nDesea ver los diagramas de cortante y momento"); printf("\n\nSi [1]"); printf("\nNo [2]"); printf("\nOpci¢n elegida "); scanf("%i", &s); if(s==1) diagrama (); salida (); free(x);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 134
Listado del Programa
free(y); free(A); free(E); free(I); free(alfa); free(t); free(nd); free(el);
void conversion(void) switch(estruc) case 'a': glib=2; limit=2; break; case 'm': glib=3; limit=2; break; case 't': glib=2; limit=3; break; case 'r': glib=2; limit=4; break;
void datos (void) float dx, dy, xmax, ymax, xmin, ymin, x1, y1, x2, y2;
clrscr();
printf("\n\n\nTrabajar con Datos Nuevos [1]"); printf("\nTrabajar con Datos Exixtentes [2]"); printf("\n\n\nOpci¢n elegida = "); scanf("%i", &file);
clrscr();
if(file==1) printf("\nEscriba el nombre del archivo: "); scanf("%s", archivo);
printf("\nTipo de estructura: "); printf("\n\n [A]rmaduras"); printf("\n [M]arcos"); printf("\n Placas [T]riangulares"); printf("\n Placas [R]ectangulares\n"); do estruc=tolower(getche()); while(estruc!='a' && estruc!='m' && estruc!='t' && estruc!='r');
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 135
Listado del Programa
conversion();
printf("\n\nNumero de Nodos: "); scanf("%i", &nodos); x=(float*)malloc(nodos*sizeof(float)); y=(float*)malloc(nodos*sizeof(float)); nd=(matrix_nodo*) malloc(nodos*sizeof(matrix_nodo)); printf("\nNumero de Elementos: "); scanf("%i", &elem); A=(float*)malloc(elem*sizeof(float)); E=(float*)mcalloc(elem*sizeof(float)); I=(float*)malloc(elem*sizeof(float)); alfa=(float*)malloc(elem*sizeof(float)); t=(float*)malloc(elem*sizeof(float)); el=(matrix_elem*) malloc(elem*sizeof(matrix_elem));
for(i=1; i<=nodos; i++) clrscr();
printf("Nodo numero %i", i); printf("\n\nCoordenadas"); printf("\n\nx = "); scanf("%f", &x[i]); printf("\ny = "); scanf("%f", &y[i]); printf("\n\nEsta apoyado?"); printf("\nSi [1]"); printf("\nNo [2]"); printf("\n\nOpci¢n elegida = "); scanf("%i", &nd[i].apoyo[5]); if(nd[i].apoyo[5]==1) initgraph(&gdriver, &gmode, ruta);
errorcode = graphresult();
if (errorcode != grOk) /* an error occurred */ printf("Graphics error: %s\n", grapherrormsg(errorcode)); printf("Press any key to halt:"); getch(); exit(1); /* terminate with an error code */
setviewport(100, 100, getmaxx()100, getmaxy()100, clip_on); setcolor(24); floodfill(10,10,SOLID_FILL);
x1=0.05*(getmaxx()200);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 136
Listado del Programa
y1=0.3*(getmaxy()200); x2=(getmaxx()200)/3((getmaxx()200)/3)*0.3; y2=(getmaxy()200)(getmaxy()200)*0.6; dx=(getmaxx()200)/3;
setcolor(20); outtextxy(dx50,5,"Seleccione un Tipo de apoyo"); setcolor(19); //Empotramiento outtextxy(10, 60,"Apoyo Tipo [A]"); setcolor(34); line(x1+x2/2, y1, x1+x2/2, y1+y2/2); line(x1, y1+y2/2, x1+x2, y1+y2/2); for(j=x1; j<=x1+x2; j+=x2/10) line(j, y1+y2/2, j, y1+3*y2/4); //Simplemente apoyado setcolor(19); outtextxy(10+dx, 60,"Apoyo Tipo [B]"); setcolor(34); line(dx+x1+x2/2, y1, dx+x1+x2, y1+y2/2); line(dx+x1+x2/2, y1, dx+x1, y1+y2/2); line(dx+x1, y1+y2/2, dx+x1+x2, y1+y2/2); for(j=x1; j<=x1+x2; j+=x2/10) line(dx+j, y1+y2/2, dx+j, y1+3*y2/4); //Simplemente apoyado 2 setcolor(19); outtextxy(10+2*dx, 60,"Apoyo Tipo [C]"); setcolor(34); line(2*dx+x1+x2/2, y1, 2*dx+x1+x2, y1+y2/2); line(2*dx+x1+x2/2, y1, 2*dx+x1, y1+y2/2); line(2*dx+x1, y1+y2/2, 2*dx+x1+x2, y1+y2/2); line(2*dx+x1, y1+y2/2+x2/4, 2*dx+x1+x2, y1+y2/2+x2/4); for(j=x1; j<=x1+x2; j+=x2/10) line(2*dx+j, y1+y2/2+x2/4, 2*dx+j, y1+y2); for(j=x1+x2/4; j<=x1+3*x2/4; j+=x2/4) circle(2*dx+j, y1+y2/2+x2/8, x2/8); do key = tolower(getche()); while(key!='a' && key!='b' && key!='c');
restorecrtmode(); if(key=='a') for(j=1; j<=4; j++) nd[i].apoyo[j]=1;
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 137
Listado del Programa
if(key=='b') nd[i].apoyo[1]=1; nd[i].apoyo[2]=1; nd[i].apoyo[3]=0; nd[i].apoyo[4]=2; if(key=='c') nd[i].apoyo[1]=0; nd[i].apoyo[2]=1; nd[i].apoyo[3]=0; nd[i].apoyo[4]=3; if(nd[i].apoyo[5]==2) for(j=1; j<=3; j++) nd[i].apoyo[j]=0;
for(i=1; i<=elem; i++) clrscr(); printf("Elemento numero %i\n", i); for(j=1; j<=limit; j++) if(estruc=='a' || estruc=='m') printf("\nLimite %i= ", j); if(estruc=='t' || estruc=='r') printf("\nVertice %i= ", j); scanf("%i", &el[i].inciden[j]); printf("\n\nModulo de elasticidad (E) = "); scanf("%f", &E[i]); if(estruc == 'm' || estruc == 'a') printf("\nArea transversal (A) = "); scanf("%f", &A[i]); if(estruc == 'm') printf("\nMomento de Inercia (I) = "); scanf("%f", &I[i]); if(estruc == 't' || estruc == 'r') printf("\nEspesor del elemento (t) = "); scanf("%f", &t[i]);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 138
Listado del Programa
printf("\nModulo de poisson (alfa)= "); scanf("%f", &alfa[i]);
for(i=1; i<=elem; i++) xmax=x[el[i].inciden[1]]; xmin=x[el[i].inciden[1]]; ymax=y[el[i].inciden[1]]; ymin=y[el[i].inciden[1]];
x1=0; y1=0; for(j=1; j<=limit; j++) xmax=max(xmax, x[el[i].inciden[j]]); xmin=min(xmin, x[el[i].inciden[j]]); ymax=max(ymax, y[el[i].inciden[j]]); ymin=min(ymin, y[el[i].inciden[j]]);
l=1;
if(estruc=='t') if(j==3) l=2; if(estruc=='r') if(j==4) l=3;
dx=x[el[i].inciden[j+l]]x[el[i].inciden[j]]; dy=y[el[i].inciden[j+l]]y[el[i].inciden[j]];
x1=x1+y[el[i].inciden[j+l]]*x[el[i].inciden[j]]; y1=y1+x[el[i].inciden[j+l]]*y[el[i].inciden[j]];
if(dx == 0) el[i].beta[j]=90; else el[i].beta[j]=atand(dy/dx); if(el[i].beta[j] < 0) el[i].beta[j]=el[i].beta[j]+180;
el[i].L[j]=pow((pow(dx,2)+pow(dy,2)),(0.5));
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 139
Listado del Programa
clrscr();
printf("\nElemento numero %i", i); if(estruc=='t' || estruc=='r') printf("\nExtremo %i%i", el[i].inciden[j], el[i].inciden[j+l]); printf("\n\nLongitud = %f", el[i].L[j]); printf("\nAngulo beta = %f", el[i].beta[j]); printf("\n\n\nPress any key to continue"); getch();
if(estruc=='a' || estruc=='m') j=2; el[i].dim[1]=xmaxxmin; el[i].dim[2]=ymaxymin; if(estruc=='t' || estruc=='r') A[i]=fabs(x1y1)/2; printf("\n\nSuperficie del elemento %i = %0.2f", i, A[i]); getch();
cargas();
//Creaci¢n del archivo datos fp=fopen(archivo, "w");
fprintf(fp, "%c\n", estruc); fprintf(fp, "%i\n", nodos); fprintf(fp, "%i\n", elem);
for(i=1; i<=nodos; i++) fprintf(fp, "%i ", nd[i].apoyo[5]); if(nd[i].apoyo[5]==1) fprintf(fp, "%i", nd[i].apoyo[4]); fprintf(fp, "\n");
for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1; j<=limit; j++) fprintf(fp, "%i ", el[i].inciden[j]); fprintf(fp, "\n");
for(i=1; i<=nodos; i++) fprintf(fp, "%0.2f %0.2f\n", x[i], y[i]);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 140
Listado del Programa
for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "%0.2f ", E[i]); fprintf(fp, "\n");
if(estruc == 'm' || estruc == 'a') for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "%f ", A[i]); fprintf(fp, "\n");
if(estruc=='m') for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "%f ", I[i]); fprintf(fp, "\n");
if(estruc=='t' || estruc=='r') for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "%0.2f ", t[i]); fprintf(fp, "\n");
for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "%0.2f ", alfa[i]); fprintf(fp, "\n");
fprintf(fp, "%i", ncar); for(i=1; i<=ncar; i++) fprintf(fp, "\n%i ", w[i].t); if(w[i].t == 1) fprintf(fp, "%f ", w[i].p); fprintf(fp, "%f ", w[i].a); fprintf(fp, "%i ", w[i].n); if(w[i].t == 2) fprintf(fp, "%f ", w[i].p); fprintf(fp, "%f ", w[i].a); fprintf(fp, "%f ", w[i].d); fprintf(fp, "%i ", w[i].e); if(estruc=='t' || estruc=='r') fprintf(fp, "%i ", w[i].ni); fprintf(fp, "%i ", w[i].nf);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 141
Listado del Programa
if(w[i].t == 3) fprintf(fp, "%f ", w[i].p); fprintf(fp, "%i ", w[i].e); if(estruc=='t' || estruc=='r') fprintf(fp, "%i ", w[i].ni); fprintf(fp, "%i ", w[i].nf);
fclose(fp); //fin datos
if(file==2) printf("Escriba el nombre de un archivo para trabajar: "); scanf("%s", archivo);
//Lectura del archivo datos fp=fopen(archivo, "r"); if(fp==NULL) printf("\nEl archivo no se puede abrir :"); printf("\n\nPresione cualquier tecla para salir del programa..."); getch(); exit(1);
fscanf(fp, "%s", &estruc); fscanf(fp, "%i", &nodos); x=(float* far) calloc(1, nodos*sizeof(float far)); y=(float* far) calloc(1, nodos*sizeof(float far)); nd=(matrix_nodo* far) calloc(1, nodos*sizeof(matrix_nodo far)); fscanf(fp, "%i", &elem); A=(float* far) calloc(1, elem*sizeof(float far)); E=(float* far) calloc(1, elem*sizeof(float far)); I=(float* far) calloc(1, elem*sizeof(float far)); alfa=(float* far) calloc(1, elem*sizeof(float far)); t=(float* far) calloc(1, elem*sizeof(float far)); el=(matrix_elem* far) calloc(1, elem*sizeof(matrix_elem far));
conversion();
for(i=1; i<=nodos; i++) fscanf(fp, "%i", &nd[i].apoyo[5]);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 142
Listado del Programa
if(nd[i].apoyo[5]==1) fscanf(fp, "%i", &nd[i].apoyo[4]); if(nd[i].apoyo[4]==1)
for(j=1; j<=3; j++) nd[i].apoyo[j]=1; if(nd[i].apoyo[4]==2) nd[i].apoyo[1]=1; nd[i].apoyo[2]=1; nd[i].apoyo[3]=0; if(nd[i].apoyo[4]==3) nd[i].apoyo[1]=0; nd[i].apoyo[2]=1; nd[i].apoyo[3]=0; if(nd[i].apoyo[5]==2) for(j=1; j<=3; j++) nd[i].apoyo[j]=0;
for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1; j<=limit; j++) fscanf(fp, "%i", &el[i].inciden[j]);
for(i=1; i<=nodos; i++) fscanf(fp, "%f", &x[i]); fscanf(fp, "%f", &y[i]);
for(i=1; i<=elem; i++) fscanf(fp, "%f", &E[i]);
if(estruc == 'm' || estruc == 'a') for(i=1; i<=elem; i++) fscanf(fp, "%f", &A[i]);
if(estruc=='m')
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 143
Listado del Programa
for(i=1; i<=elem; i++) fscanf(fp, "%f", &I[i]);
for(i=1; i<=elem; i++) xmax=x[el[i].inciden[1]]; xmin=x[el[i].inciden[1]]; ymax=y[el[i].inciden[1]]; ymin=y[el[i].inciden[1]];
x1=0; y1=0; for(j=1; j<=limit; j++) l=1; xmax=max(xmax, x[el[i].inciden[j]]); xmin=min(xmin, x[el[i].inciden[j]]); ymax=max(ymax, y[el[i].inciden[j]]); ymin=min(ymin, y[el[i].inciden[j]]);
if(estruc=='t') if(j==3) l=2; if(estruc=='r') if(j==4) l=3;
x1=x1+y[el[i].inciden[j+l]]*x[el[i].inciden[j]]; y1=y1+x[el[i].inciden[j+l]]*y[el[i].inciden[j]];
dx=x[el[i].inciden[j+l]]x[el[i].inciden[j]]; dy=y[el[i].inciden[j+l]]y[el[i].inciden[j]];
if(dx == 0) el[i].beta[j]=90; else el[i].beta[j]=atand(dy/dx);
if(el[i].beta[j] < 0) el[i].beta[j]=el[i].beta[j]+180;
el[i].L[j]=pow((pow(dx,2)+pow(dy,2)),(0.5));
if(estruc=='a' || estruc=='m') j=2;
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 144
Listado del Programa
el[i].dim[1]=xmaxxmin; el[i].dim[2]=ymaxymin;
if(estruc=='t' || estruc=='r') A[i]=fabs(x1y1)/2;
if(estruc=='t' || estruc=='r') for(i=1; i<=elem; i++) fscanf(fp, "%f", &t[i]);
for(i=1; i<=elem; i++) fscanf(fp, "%f", &alfa[i]);
fscanf(fp, "%i", &cncar); for(ncar=1; ncar<=cncar; ncar++) fscanf(fp, "%i", &w[ncar].t); if(w[ncar].t == 1) fscanf(fp, "%f", &w[ncar].p); fscanf(fp, "%f", &w[ncar].a); fscanf(fp, "%i", &w[ncar].n); carga_puntual_sobre_nodo (); if(w[ncar].t == 2) fscanf(fp, "%f", &w[ncar].p); fscanf(fp, "%f", &w[ncar].a); fscanf(fp, "%f", &w[ncar].d); fscanf(fp, "%i", &w[ncar].e); if(estruc=='t' || estruc=='r') fscanf(fp, "%i", &w[ncar].ni); fscanf(fp, "%i", &w[ncar].nf); carga_puntual_sobre_elemento (); if(w[ncar].t == 3) fscanf(fp, "%f", &w[ncar].p); fscanf(fp, "%i", &w[ncar].e); if(estruc=='t' || estruc=='r') fscanf(fp, "%i", &w[ncar].ni); fscanf(fp, "%i", &w[ncar].nf); carga_distribuida ();
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 145
Listado del Programa
fclose(fp); //fin datos
clrscr(); printf("Nodos = %i\n", nodos); for(i=1; i<=nodos; i++) printf("Nodo %i: Ap= %i x= %0.2f y= %0.2f px= %.2f py= %0.2f ", i, nd[i].apoyo[5], x[i], y[i],
nd[i].f[1], nd[i].f[2]); if(estruc=='m') printf("Mz= %f", nd[i].f[3]); printf("\n");
printf("Elementos = %i\n", elem); for(i=1; i<=elem; i++) printf("Elemento %i: limits: ", i); for(j=1; j<=limit; j++) printf("%i ", el[i].inciden[j]); printf("E= %0.2f A= %0.2f ", E[i], A[i]); if(estruc=='a' || estruc=='m') printf("L= %0.2f Beta= %0.2f ", el[i].L[1], el[i].beta[1]); if(estruc=='m') printf("I= %0.4f ", I[i]); if(estruc=='t' || estruc=='r') printf("t= %0.2f Alfa= %0.2f ", t[i], alfa[i]); printf("\n"); getch();
void geometry(void) float xi, yi, xf, yf, xmax, ymax, xmin, ymin;
for(i=2; i<=nodos; i++) xmax=max(xmax, x[i]); xmin=min(xmin, x[i]); ymax=max(ymax, y[i]); xmin=min(ymin, y[i]);
eh=400/(xmaxxmin); ev=250/(ymaxymin);
initgraph(&gdriver, &gmode, ruta);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 146
Listado del Programa
errorcode = graphresult();
xmax=getmaxx()50; ymax=getmaxy()50;
setcolor(24); floodfill(10,10,SOLID_FILL); setcolor(19); rectangle(1, 1, getmaxx()100 ,getmaxy()100);
settextjustify(CENTER_TEXT, TOP_TEXT); settextstyle(DEFAULT_FONT, HORIZ_DIR, 1);
xi=(xmax60)/2; if(estruc=='a') outtextxy(xi, 10, "ARMADURAS"); if(estruc=='m') outtextxy(xi, 10, "MARCOS"); if(estruc=='t') outtextxy(xi, 10, "PLACAS TRIANGULARES"); if(estruc=='r') outtextxy(xi, 10, "PLACAS RECTANGULARES");
settextjustify(LEFT_TEXT, TOP_TEXT); settextstyle(DEFAULT_FONT, HORIZ_DIR, 1); outtextxy(20, 350, "Verifique la geometria para [C]ontinuar o [R]epetir");
xmax=xmax25; ymax=ymax25;
setcolor(19);
xmin=xmin*eh; ymin=ymin*ev; for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1; j<=limit; j++) l=1; if(estruc=='t') if(j==3) l=2; if(estruc=='r') if(j==4) l=3; xi=40+x[el[i].inciden[j]]*eh;
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 147
Listado del Programa
yi=275y[el[i].inciden[j]]*ev; xf=40+x[el[i].inciden[j+l]]*eh; yf=275y[el[i].inciden[j+l]]*ev; line(xi, yi, xf, yf);
settextjustify(CENTER_TEXT, BOTTOM_TEXT); settextstyle(SMALL_FONT, HORIZ_DIR, 4); if(el[i].beta[j]==90) settextjustify(BOTTOM_TEXT, CENTER_TEXT); settextstyle(SMALL_FONT, VERT_DIR, 4); sprintf(mesage, "L%i = %0.2f", i, el[i].L[j]); if(estruc=='t' || estruc=='r') sprintf(mesage, "%0.2f", el[i].L[j]);
xmax=max(xi,xf); xi=xmaxfabs(xixf)/2; ymax=max(yi,yf); yi=ymaxfabs(yiyf)/22; outtextxy(xi, yi, mesage);
if(estruc=='a' || estruc=='m') j=2; setcolor(20);
for(i=1; i<=nodos; i++) xi=40+x[i]*ehxmin; yi=275y[i]*evymin;
if(nd[i].apoyo[4]==2) apoyo2(); if(nd[i].apoyo[4]==1) apoyo1(); if(nd[i].apoyo[4]==3) apoyo3();
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 148
Listado del Programa
key='d';
do key = tolower(getche()); while(key!='c' && key!='r'); restorecrtmode(); if(key=='r') exit(0);
void cargas (void) for(o_c=1; o_c<=1; o_c++) clrscr();
printf("\nTIPOS DE CARGA"); printf("\n\nCarga puntual sobre nodo 1"); printf("\n\nCarga puntual sobre elemento 2"); printf("\n\nCarga distribuida 3");
printf("\n\n\nOpci¢n elegida = "); scanf("%i", &w[ncar].t); printf("La opci¢n elegida es %i", w[ncar].t);
if(w[ncar].t!=1 && w[ncar].t!=2 && w[ncar].t!=3) printf("\nOpci¢n no valida, presione una tecla para continuar."); getch(); cargas();
for(repetir=1; repetir<=1; repetir++) clrscr(); ncar++; t_c=w[ncar].t; switch (t_c) case 1: printf("CARGA PUNTUAL SOBRE NODO"); printf("\n\n Carga = "); scanf("%f", &w[ncar].p); carga_puntual_sobre_nodo(); break;
case 2:
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 149
Listado del Programa
printf("CARGA PUNTUAL SOBRE ELEMENTO"); printf("\n\n Carga = "); scanf("%f", &w[ncar].p); carga_puntual_sobre_elemento(); break;
case 3: printf("CARGA DISTRIBUIDA"); printf("\n\n Carga = "); scanf("%f", &w[ncar].p); carga_distribuida(); break;
clrscr();
printf("Continuar con el mismo tipo de carga [1]"); printf("\nCambiarla [2]"); printf("\n\nOpci¢n elegida = "); scanf("%i", &o_r);
if (o_r == 1) repetir=0; else repetir=1;
clrscr();
printf("Continuar cargando [1]"); printf("\nSalir [2]"); printf("\n\nOpci¢n elegida = "); scanf("%i", &o_s);
if (o_s == 1) o_c=0; else o_c=1;
void carga_puntual_sobre_nodo (void)
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 150
Listado del Programa
float cx, cy;
if(file==1) printf("\nAngulo de la carga = "); scanf("%f", &w[ncar].a); printf("\nNodo a cargar = "); scanf("%i", &w[ncar].n);
cx=w[ncar].p*cosd(w[ncar].a); nd[w[ncar].n].f[1]=nd[w[ncar].n].f[1]+cx;
cy=w[ncar].p*sind(w[ncar].a); nd[w[ncar].n].f[2]=nd[w[ncar].n].f[2]+cy;
void carga_puntual_sobre_elemento (void) int count1 count2; float px, py, Rxi, Rxf, Ryi, Ryf, cx, cy, dx, dy, Lx, Ly, mxi, myi, mxf, myf;
if(file==1) printf("\nAngulo de la carga = "); scanf("%f", &w[ncar].a); printf("\nElemento a cargar = "); scanf("%i", &w[ncar].e); printf("\nLocalizaci¢n de [P] sobre el elemento = "); scanf("%f", &w[ncar].d);
if(estruc=='a' || estruc=='m') k=1; if(file==1) if(estruc=='t' || estruc=='r') printf("\nNodos afectados"); printf("\nPrimer Nodo = "); scanf("%i", &w[ncar].ni); printf("\nSegundo Nodo = "); scanf("%i", &w[ncar].nf); if(estruc=='t' || estruc=='r') for(i=1; i<=limit; i++)
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 151
Listado del Programa
j=1; if(estruc=='t') if(i==3) j=2; if(estruc=='r') if(i==4) j=3;
px=w[ncar].p*cosd(w[ncar].a); py=w[ncar].p*sind(w[ncar].a);
if (el[w[ncar].e].beta[k] <= 90) w[ncar].a=el[w[ncar].e].beta[k]+w[ncar].a; if (w[ncar].a >= 360) w[ncar].a=w[ncar].a360; else if ((180el[w[ncar].e].beta[k]) > w[ncar].a) w[ncar].a=180+el[w[ncar].e].beta[k]+w[ncar].a; else w[ncar].a=w[ncar].a(180el[w[ncar].e].beta[k]);
if(estruc=='a' || estruc=='m') w[ncar].ni=el[w[ncar].e].inciden[1]; w[ncar].nf=el[w[ncar].e].inciden[2];
dx=fabs(w[ncar].d*cosd(el[w[ncar].e].beta[k])); dy=fabs(w[ncar].d*sind(el[w[ncar].e].beta[k])); Lx=fabs(el[w[ncar].e].L[k]*cosd(el[w[ncar].e].beta[k]));
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 152
Listado del Programa
Ly=fabs(el[w[ncar].e].L[k]*sind(el[w[ncar].e].beta[k]));
if(count1==1 && count2>1) if(nd[w[ncar].ni].apoyo[5]==1) if(nd[w[ncar].ni].apoyo[4]==1) if(w[ncar].d==el[w[ncar].e].L[k]/2) Rxi=px/2; Ryi=py/2; Rxf=px/2; Ryf=py/2; else Rxi=px/2; Ryi=v_emp(py, w[ncar].d, (el[w[ncar].e].L[k]w[ncar].d), el[w[ncar].e].L[k]); Rxf=px/2; Ryf=v_emp(py, (el[w[ncar].e].L[k]w[ncar].d), w[ncar].d, el[w[ncar].e].L[k]); mxi=fabs(px*pow(Lydy,2)*dy/pow(Ly,2)); myi=fabs(py*pow(Lxdx,2)*dx/pow(Lx,2)); mxf=fabs(px*pow(dy,2)*(Lydy)/pow(Ly,2)); myf=fabs(py*pow(dx,2)*(Lxdx)/pow(Lx,2)); if(nd[w[ncar].ni].apoyo[4]==2 || nd[w[ncar].ni].apoyo[4]==3) if(w[ncar].d==el[w[ncar].e].L[k]/2) Rxi=px/2; Ryi=5*py/16; Rxf=px/2; Ryf=11*py/16; if(nd[w[ncar].ni].apoyo[5]==2) Rxf=px; Ryf=py; mxf=px*(Lydy); myf=py*(Lxdx);
if(count1>=2 && count2>=2) if(w[ncar].d==el[w[ncar].e].L[k]/2) Rxi=px/2; Ryi=py/2; Rxf=px/2; Ryf=py/2; else Rxi=px/2; Ryi=v_emp(py, w[ncar].d, (el[w[ncar].e].L[k]w[ncar].d), el[w[ncar].e].L[k]); Rxf=px/2; Ryf=v_emp(py, (el[w[ncar].e].L[k]w[ncar].d), w[ncar].d, el[w[ncar].e].L[k]);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 153
Listado del Programa
mxi=fabs(px*pow(Lydy,2)*dy/pow(Ly,2)); myi=fabs(py*pow(Lxdx,2)*dx/pow(Lx,2)); mxf=fabs(px*pow(dy,2)*(Lydy)/pow(Ly,2)); myf=fabs(py*pow(dx,2)*(Lxdx)/pow(Lx,2));
el[w[ncar].e].mome[3]=el[w[ncar].e].mome[3]+mxi+myi; el[w[ncar].e].mome[6]=el[w[ncar].e].mome[6]+mxf+myf; nd[w[ncar].ni].f[3]=nd[w[ncar].ni].f[3]+mxi+myi; nd[w[ncar].nf].f[3]=nd[w[ncar].nf].f[3]+mxf+myf;
for(i=1; i<=2; i++) if(i==1) cx=Rxi*cosd(w[ncar].a); cy=Rxi*sind(w[ncar].a);
nd[w[ncar].ni].f[1]=cx+nd[w[ncar].ni].f[1]; el[w[ncar].e].mome[1]=cx+el[w[ncar].e].mome[1];
nd[w[ncar].ni].f[2]=cy+nd[w[ncar].ni].f[2]; el[w[ncar].e].mome[2]=cy+el[w[ncar].e].mome[2]; cx=Ryi*cosd(w[ncar].a); cy=Ryi*sind(w[ncar].a); if(file==1) printf("\nInicial\n"); printf("Px = %f\n", nd[w[ncar].ni].f[1]); printf("Py = %f\n", nd[w[ncar].ni].f[2]); if(estruc=='m') printf("Mz = %f", nd[w[ncar].ni].f[3]); getch();
for(i=1; i<=2; i++) if(i==1) cx=Rxf*cosd(w[ncar].a); cy=Rxf*sind(w[ncar].a); //Nodo final nd[w[ncar].nf].f[1]=cx+nd[w[ncar].nf].f[1]; el[w[ncar].e].mome[4]=cx+el[w[ncar].e].mome[4];
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 154
Listado del Programa
nd[w[ncar].nf].f[2]=cy+nd[w[ncar].nf].f[2]; el[w[ncar].e].mome[5]=cy+el[w[ncar].e].mome[5];
cx=Ryf*cosd(w[ncar].a); cy=Ryf*sind(w[ncar].a); if(file==1) printf("\nFinal\n"); printf("Px = %f\n", nd[w[ncar].nf].f[1]); printf("Py = %f\n", nd[w[ncar].nf].f[2]); if(estruc=='m') printf("Mz = %f", nd[w[ncar].nf].f[3]); getch();
float v_emp (float p, float a, float b, float Le) float r; r=p*pow(b, 2)*(3*a+b)/pow(Le, 3); return (r);
void carga_distribuida (void) int count1, count2; float a, pcon, cx, cy, mi, mf;
if(file==1) printf("Elemento a cargar = "); scanf("%i", &w[ncar].e); if(estruc=='a' || estruc=='m') k=1; if(file==1) if(estruc=='t' || estruc=='r') printf("\nNodos afectados"); printf("\nPrimer Nodo = "); scanf("%i", &w[ncar].ni); printf("\nSegundo Nodo = "); scanf("%i", &w[ncar].nf);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 155
Listado del Programa
if(estruc=='t' || estruc=='r') for(i=1; i<=limit; i++) j=1; if(estruc=='t') if(i==3) j=2; if(estruc=='r') if(i==4) j=3; if((el[w[ncar].e].inciden[i]==w[ncar].ni && el[w[ncar].e].inciden[i+j]==w[ncar].nf) ||
(el[w[ncar].e].inciden[i]==w[ncar].nf && el[w[ncar].e].inciden[i+j]==w[ncar].ni)) k=i;
if (el[w[ncar].e].beta[k] <= 90) a=el[w[ncar].e].beta[k]+90; if(el[w[ncar].e].beta[k] == 90) a=0; else a=el[w[ncar].e].beta[k]90;
if(estruc=='a' || estruc=='m') pcon=w[ncar].p*el[w[ncar].e].L[k]/2; w[ncar].ni=el[w[ncar].e].inciden[1]; w[ncar].nf=el[w[ncar].e].inciden[2]; if(estruc=='t' || estruc=='r') pcon=w[ncar].p*el[w[ncar].e].L[k]*t[w[ncar].e]/2;
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 156
Listado del Programa
cx=pcon*cosd(a); cy=pcon*sind(a);
if(count1==1 && count2==1) if(nd[w[ncar].ni].apoyo[5]==1) if(nd[w[ncar].ni].apoyo[4]==1) count1=2; if(nd[w[ncar].nf].apoyo[5]==1) if(nd[w[ncar].nf].apoyo[4]==1) count2=2;
if(count2==1 && count1>1) if(nd[w[ncar].nf].apoyo[5]==1) if(nd[w[ncar].nf].apoyo[4]==1) mi=fabs(w[ncar].p*pow(el[w[ncar].e].L[k],2)/12); mf=mi; if(nd[w[ncar].nf].apoyo[4]==2 || nd[w[ncar].nf].apoyo[4]==3) mi=fabs(w[ncar].p*pow(el[w[ncar].e].L[k],2)/8); if(nd[w[ncar].nf].apoyo[5]==2) mi=fabs(w[ncar].p*pow(el[w[ncar].e].L[k],2)/2);
if(count1>=2 && count2>=2) mi=fabs(w[ncar].p*pow(el[w[ncar].e].L[k],2)/12); mf=mi;
el[w[ncar].e].mome[3]=el[w[ncar].e].mome[3]+mi; el[w[ncar].e].mome[6]=el[w[ncar].e].mome[6]+mf; nd[w[ncar].ni].f[3]=nd[w[ncar].ni].f[3]+mi; nd[w[ncar].nf].f[3]=nd[w[ncar].nf].f[3]+mf;
/*Nodo inicial*/ /*Px*/ nd[w[ncar].ni].f[1]=cx+nd[w[ncar].ni].f[1]; el[w[ncar].e].mome[1]=cx+el[w[ncar].e].mome[1]; /*Py*/ nd[w[ncar].ni].f[2]=cy+nd[w[ncar].ni].f[2]; el[w[ncar].e].mome[2]=cy+el[w[ncar].e].mome[2]; if(file==1) printf("\nInicial\n"); printf("Px = %f\n", nd[w[ncar].ni].f[1]);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 157
Listado del Programa
printf("Py = %f\n", nd[w[ncar].ni].f[2]); if(estruc=='m') printf("Mz = %f", nd[w[ncar].ni].f[3]); getch();
/*Nodo final*/ /*Px*/ nd[w[ncar].nf].f[1]=cx+nd[w[ncar].nf].f[1]; el[w[ncar].e].mome[4]=cx+el[w[ncar].e].mome[4]; /*Py*/ nd[w[ncar].nf].f[2]=cy+nd[w[ncar].nf].f[2]; el[w[ncar].e].mome[5]=cy+el[w[ncar].e].mome[5]; if(file==1) printf("\nFinal\n"); printf("Px = %f\n", nd[w[ncar].nf].f[1]); printf("Py = %f\n", nd[w[ncar].nf].f[2]); if(estruc=='m') printf("Mz = %f", nd[w[ncar].nf].f[3]); getch();
void rigidez (void) int e, le; float add, c, d1, d2, d3, d12, d33, p;
if(estruc=='a') for(e=1; e<=elem; e++) add=E[e]*A[e]/el[e].L[1]; trans[1][1]=cosd(el[e].beta[1]); trans[2][1]=sind(el[e].beta[1]); for(i=1; i<=2; i++) el[e].ttrans[1][i]=trans[i][1]; for(i=0; i<=2; i+=2) for(j=0; j<=2; j+=2) c=add; if(((i==0) && (j==2)) || ((i==2) && (j==0)))
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 158
Listado del Programa
c=1*add; for(k=1; k<=2; k++) for(l=1; l<=2; l++) el[e].ke[i+k][j+l]=c*trans[k][1]*el[e].ttrans[1][l];
if(estruc=='m') for(e=1; e<=elem; e++) kl[1][1]=E[e]*A[e]/el[e].L[1]; kl[2][2]=12*E[e]*I[e]/pow(el[e].L[1],3); kl[2][3]=6*E[e]*I[e]/pow(el[e].L[1],2); kl[3][3]=4*E[e]*I[e]/el[e].L[1];
kl[4][4]=kl[1][1]; kl[5][5]=kl[2][2]; kl[5][6]=kl[2][3]; kl[6][6]=kl[3][3];
kl[1][4]=kl[1][1]; kl[2][5]=kl[2][2]; kl[2][6]=kl[2][3]; kl[3][5]=kl[2][3]; kl[3][6]=2*E[e]*I[e]/el[e].L[1];
for(i=2; i<=6; i++) for(j=1; j<=i1; j++) kl[i][j]=kl[j][i];
trans[1][1]=cosd(el[e].beta[1]); trans[2][1]=sind(el[e].beta[1]); trans[3][3]=1; trans[1][2]=trans[2][1]; trans[2][2]=trans[1][1];
for(i=1; i<=3; i++) for(j=1; j<=3; j++)
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 159
Listado del Programa
el[e].ttrans[j][i]=trans[i][j];
for(i=0; i<=3; i+=3) for(j=0; j<=3; j+=3) for(k=1; k<=3; k++) for(l=1; l<=3; l++) add=0; for(le=1; le<=3; le++)
add=add+trans[k][le]*kl[i+le][j+l]; tk[k][l]=add; for(l=1; l<=3; l++) for(le=1; le<=3; le++)
el[e].ke[i+k][j+l]=el[e].ke[i+k][j+l]+tk[k][le]*el[e].ttrans[le][l];
if(estruc=='t') for(e=1; e<=elem; e++) cxy[1][1]=y[el[e].inciden[2]]y[el[e].inciden[3]]; cxy[1][2]=x[el[e].inciden[3]]x[el[e].inciden[2]]; cxy[2][1]=y[el[e].inciden[3]]y[el[e].inciden[1]]; cxy[2][2]=x[el[e].inciden[1]]x[el[e].inciden[3]]; cxy[3][1]=y[el[e].inciden[1]]y[el[e].inciden[2]]; cxy[3][2]=x[el[e].inciden[2]]x[el[e].inciden[1]];
for(i=1, j=2, k=1; i<=5 && j<=6 && k<=3; i+=2, j+=2, k++) b[1][i]=cxy[k][1]; b[2][j]=cxy[k][2]; b[3][i]=cxy[k][2]; b[3][j]=cxy[k][1];
d1=E[e]/(1pow(alfa[e],2)); d2=alfa[e];
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 160
Listado del Programa
d3=(1alfa[e])/2;
def[1][1]=1; def[1][2]=d2; def[2][2]=1; def[2][1]=d2; def[3][3]=d3;
for(i=1; i<=6; i++) for(j=1; j<=3; j++) add=0; for(k=1; k<=3; k++) add=add+b[k][i]*def[k][j]; btd[i][j]=add; for(j=1; j<=6; j++) for(k=1; k<=3; k++) el[e].ke[i][j]=el[e].ke[i][j]+btd[i][k]*b[k][j]; el[e].ke[i][j]=(t[e]*d1/(4*A[e]))*el[e].ke[i][j]; for(i=1; i<=3; i++) for(j=1; j<=6; j++) for(k=1; k<=3; k++) el[e].db[i][j]=el[e].db[i][j]+def[i][k]*b[k][j]; el[e].db[i][j]=el[e].db[i][j]*(d1/(2*A[e]));
if(estruc=='r') for(e=1; e<=elem; e++) d1=E[e]/(1alfa[e]*alfa[e]); d2=alfa[e]; d3=(1alfa[e])/2; d12=d1*d2; d33=d1*d3; p=el[e].dim[1]/el[e].dim[2];
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 161
Listado del Programa
el[e].ke[1][1]=4*d1/p+4*d33*p; for(i=3; i<=7; i+=2) el[e].ke[i][i]=el[e].ke[1][1]; el[e].ke[2][2]=4*d1*p+4*d33/p; for(i=4; i<=8; i+=2) el[e].ke[i][i]=el[e].ke[2][2]; el[e].ke[2][1]=3*d12+3*d33; el[e].ke[6][5]=3*d12+3*d33; el[e].ke[7][4]=3*d12+3*d33;
el[e].ke[8][3]=3*d12+3*d33; for(i=4; i<=8; i+=4) el[e].ke[i][i1]=el[e].ke[2][1]; el[e].ke[5][2]=el[e].ke[2][1]; el[e].ke[6][1]=el[e].ke[2][1]; for(i=3; i<=7; i+=2) el[e].ke[i][i1]=3*d12+3*d33; el[e].ke[8][1]=3*d12+3*d33; for(i=4; i<=8; i+=2) el[e].ke[i][i3]=3*d123*d33; el[e].ke[7][2]=3*d123*d33; el[e].ke[3][1]=4*d1/p+2*d33*p; el[e].ke[6][4]=4*d1*p+2*d33/p; el[e].ke[7][5]=4*d1/p+2*d33*p;
el[e].ke[8][2]=4*d1*p+2*d33/p; for(i=4; i<=8; i+=4) el[e].ke[i][i2]=2*d1*p4*d33/p; for(i=1; i<=3; i+=2) el[e].ke[8i][i]=2*d1/p4*d33*p; for(i=1; i<=3; i+=2) el[e].ke[i+4][i]=2*d1/p2*d33*p; for(i=2; i<=4; i+=2) el[e].ke[i+4][i]=2*d1*p2*d33/p;
for(i=1; i<=8; i++) for(j=1; j<=i; j++) el[e].ke[i][j]=t[e]*el[e].ke[i][j]/12; for(i=2; i<=8; i++) for(j=1; j<=i1; j++) el[e].ke[j][i]=el[e].ke[i][j];
el[e].db[1][1]=d1*(el[e].dim[2]el[e].dim[2]/2); el[e].db[2][1]=d12*(el[e].dim[2]el[e].dim[2]/2); el[e].db[3][1]=d33*(el[e].dim[1]el[e].dim[1]/2);
el[e].db[1][2]=d12*(el[e].dim[1]el[e].dim[1]/2); el[e].db[2][2]=d1*(el[e].dim[1]el[e].dim[1]/2); el[e].db[3][2]=d33*(el[e].dim[2]el[e].dim[2]/2);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 162
Listado del Programa
el[e].db[1][3]=el[e].db[1][1]; el[e].db[2][3]=el[e].db[2][1]; el[e].db[3][3]=d33*el[e].dim[1]/2;
el[e].db[1][4]=d12*el[e].dim[1]/2; el[e].db[2][4]=d1*el[e].dim[1]/2; el[e].db[3][4]=el[e].db[3][2];
el[e].db[1][5]=d1*el[e].dim[2]/2; el[e].db[2][5]=d12*el[e].dim[2]/2; el[e].db[3][5]=el[e].db[3][3];
el[e].db[1][6]=el[e].db[1][4]; el[e].db[2][6]=el[e].db[2][4]; el[e].db[3][6]=d33*el[e].dim[2]/2;
el[e].db[1][7]=el[e].db[1][5]; el[e].db[2][7]=el[e].db[2][5]; el[e].db[3][7]=el[e].db[3][1];
el[e].db[1][8]=el[e].db[1][2]; el[e].db[2][8]=el[e].db[2][2]; el[e].db[3][8]=el[e].db[3][6];
for(i=1; i<=3; i++) for(j=1; j<=8; j++) el[e].db[i][j]=el[e].db[i][j]/(el[e].dim[1]*el[e].dim[2]);
void ensamble (void) for(i=1; i<=nodos; i++) for(j=1; j<=glib; j++) if(nd[i].apoyo[j]==0) tm_kt++; nd[i].ec[j]=tm_kt; else nd[i].ec[j]=0;
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 163
Listado del Programa
for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1, k=0; j<=limit && k<=limit; j++, k++) for(l=1; l<=glib; l++) el[i].loc[k+l]=nd[el[i].inciden[j]].ec[l]; for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1; j<=limit*glib; j++) for(k=j; k<=limit*glib; k++) if(el[i].loc[j]!= 0) kt[el[i].loc[j]][el[i].loc[k]]=kt[el[i].loc[j]][el[i].loc[k]]+el[i].ke[j][k];
for(i=1; i<=nodos; i++) for(j=1; j<=glib; j++) if(nd[i].ec[j]!=0) kt[nd[i].ec[j]][tm_kt+1]=nd[i].f[j];
void fuerzas_finales (void) int n, e; float add;
for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1, l=0; j<=limit && l<=limit*glib; j++, l+=glib) for(k=1; k<=glib; k++) dn[l+k]=nd[el[i].inciden[j]].d[k];
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 164
Listado del Programa
if(estruc=='a' || estruc=='m') for(j=1; j<=limit*glib; j++) add=0; for(k=1; k<=limit*glib; k++) add=add+el[i].ke[j][k]*dn[k]; el[i].Fg[j]=add;
el[i].Fg[2]=(el[i].Fg[2]el[i].mome[2]); el[i].Fg[5]=(el[i].Fg[5]el[i].mome[5]);
for(e=1, l=0; e<=glib && l<=limit*glib; e++, l+=glib) for(j=1; j<=glib; j++) add=0; if(estruc=='m') n=j; else n=1; for(k=1; k<=glib; k++) add=add+el[i].ttrans[n][k]*el[i].Fg[l+k]; if(estruc=='a') el[i].Fl[e]=add; if(estruc=='m') el[i].Fl[j+l]=add; if(estruc=='t' || estruc=='r') for(j=1; j<=3; j++) add=0; for(k=1; k<=limit*glib; k++)
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 165
Listado del Programa
add=add+el[i].db[j][k]*dn[k]; el[i].Fl[j]=add;
printf("Fuerzas finales\n"); for(i=1; i<=elem; i++) printf("Elemento %i\n", i); if(estruc=='a') for(j=1; j<=glib; j++) printf("%.2f ", el[i].Fl[j]); if(estruc=='m') for(j=1; j<=limit*glib; j++) printf("%.2f ", el[i].Fl[j]); if(estruc=='t' || estruc=='r') for(j=1; j<=3; j++) printf("%.8f ", el[i].Fl[j]); printf("\n"); getch();
void salida (void) char print;
clrscr(); printf("\n\n¨Desea imprimir los datos en un archivo de salida ? s/n "); do print=tolower(getche()); while(print!='s' && print!='n');
if(print=='s')
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 166
Listado del Programa
printf("\n\nNombre del archivo: "); scanf("%s", output); fp=fopen(output, "w");
if(estruc=='a') fprintf(fp, "ARMADURA"); if(estruc=='m') fprintf(fp, "MARCO"); if(estruc=='t') fprintf(fp, "PLACAS TRIANGULARES"); if(estruc=='r') fprintf(fp, "PLACAS RECTANGULARES"); fprintf(fp, "\nDatos de Entrada"); fprintf(fp, "\n\nNodos Coordenadas Grados de libertad"); fprintf(fp, "\n X Y X Y Giro"); for(i=1; i<=nodos; i++) fprintf(fp, "\n %i %1.2f %1.2f %i %i %i", i, x[i], y[i], nd[i].apoyo[1],
nd[i].apoyo[2], nd[i].apoyo[3]);
fprintf(fp, "\n\nElemento Incidencias E A"); if(estruc=='m' || estruc=='a') fprintf(fp, " Longitud Beta"); if(estruc=='m') fprintf(fp, " Mom Iner"); if(estruc=='t' || estruc=='r') fprintf(fp, " Espesor Mod. Poisson"); for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "\n %i ", i); for(j=1; j<=limit; j++) fprintf(fp, "%i ", el[i].inciden[j]); fprintf(fp, " %1.2f %1.2f ", E[i], A[i]); if(estruc=='a' || estruc=='m') fprintf(fp, "%1.2f %1.2f", el[i].L[1], el[i].beta[1]); if(estruc=='m') fprintf(fp, " %1.4f", I[i]); if(estruc=='t' || estruc=='r') fprintf(fp, "%1.2f %1.2f", t[i], alfa[i]);
fprintf(fp, "\n\nDatos de Salida");
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 167
Listado del Programa
fprintf(fp, "\n\nNodo Cargas Desplazamientos"); fprintf(fp, "\n X Y"); if(estruc=='m') fprintf(fp, " Mz "); fprintf(fp, "X Y"); if(estruc=='m') fprintf(fp, " Giro"); for(i=1; i<=nodos; i++) fprintf(fp, "\n %i ", i); for(j=1; j<=glib; j++) fprintf(fp, "%1.2f ", nd[i].f[j]); for(j=1; j<=glib; j++) fprintf(fp, "%1.5f ", nd[i].d[j]);
fprintf(fp, "\n\nElemento"); if(estruc=='a') fprintf(fp, " Axial"); fprintf(fp, "\n P1 P2"); if(estruc=='m') fprintf(fp, " Elementos Mecanicos"); fprintf(fp, "\n Nodo Inicial Nodo Final"); fprintf(fp, "\n Axial V Mz Axial V Mz"); if(estruc=='t' || estruc=='r') fprintf(fp, " Esfuerzos"); fprintf(fp, "\n X Y XY"); for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "\n %i ", i); if(estruc=='a') for(j=1; j<=glib; j++) fprintf(fp, "%1.2f ", el[i].Fl[j]); if(estruc=='m') for(j=1; j<=limit*glib; j++)
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 168
Listado del Programa
fprintf(fp, "%1.2f ", el[i].Fl[j]); if(estruc=='t' || estruc=='r') for(j=1; j<=3; j++) fprintf(fp, "%1.3f ", el[i].Fl[j]);
fprintf(fp, "\n\n\nby: M. en C. ELIU ROSETE CARRANCO"); fprintf(fp, "\n LUIS ALBERTO PEREZ VILLAR");
fclose(fp);
void diagrama (void) int e; float a, xmax, ymax, yvmax, ymmax;
a=el[1].beta[1]; viga='s'; for(i=2; i<=elem; i++) if(a!=el[i].beta[1]) viga='n';
switch(viga) case 's':
xmax=0; for(i=1; i<=elem; i++) xmax=xmax+el[i].L[1];
yvmax=fabs(el[1].Fl[2]); ymmax=fabs(el[1].Fl[3]); for(e=1; e<=elem; e++) for(i=2, j=3; i<=5 && j<=6; i+=3, j+=3) yvmax=max(yvmax, fabs(el[e].Fl[i])); ymmax=max(ymmax, fabs(el[e].Fl[j]));
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 169
Listado del Programa
eh=400/xmax; ev=60/(2*yvmax); em=60/(2*ymmax);
initgraph(&gdriver, &gmode, ruta);
errorcode = graphresult();
if (errorcode != grOk) /* an error occurred */ printf("Graphics error: %s\n", grapherrormsg(errorcode)); printf("Press any key to halt:"); getch(); exit(1); /* terminate with an error code */
xmax=getmaxx()50; ymax=getmaxy()50; setviewport(50, 50, xmax, ymax, clip_on);
setcolor(24); floodfill(10,10,SOLID_FILL); setcolor(19); rectangle(1, 1, getmaxx()100 ,getmaxy()100);
xmax=xmax25; ymax=ymax25; setviewport(75, 75, xmax, ymax, clip_on);
setcolor(19); outtextxy(25, 115, "Vo"); outtextxy(25, 195, "Mo");
for(i=1; i<=elem; i++) if(i==1) Pi=40; else Pi=Pi+int(el[i1].L[1]*eh); vigas (); getch();
restorecrtmode(); break;
case 'n': do printf("\n\nEscriba el numero de elemento que quiere ver "); scanf("%i", &i);
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 170
Listado del Programa
yvmax=max(fabs(el[i].Fl[2]), fabs(el[i].Fl[5])); ymmax=max(fabs(el[i].Fl[3]), fabs(el[i].Fl[6]));
eh=400/el[i].L[1]; ev=60/(2*yvmax); em=60/(2*ymmax);
initgraph(&gdriver, &gmode, ruta);
errorcode = graphresult();
if (errorcode != grOk) /* an error occurred */ printf("Graphics error: %s\n", grapherrormsg(errorcode)); printf("Press any key to halt:"); getch(); exit(1); /* terminate with an error code */
xmax=getmaxx()50; ymax=getmaxy()50; setviewport(50, 50, xmax, ymax, clip_on);
setcolor(24); floodfill(10,10,SOLID_FILL); setcolor(19); rectangle(1, 1, getmaxx()100 ,getmaxy()100);
xmax=xmax25; ymax=ymax25; setviewport(75, 75, xmax, ymax, clip_on);
setcolor(19); outtextxy(25, 115, "Vo"); outtextxy(25, 195, "Mo"); Pi=40; vigas (); getch();
restorecrtmode();
clrscr(); printf("\nDesea ver otro elemento"); printf("\nSi [1]"); printf("\nNo [2]"); printf("\nOpci¢n elegida "); scanf("%i", &o_s); while(o_s==1); break;
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 171
Listado del Programa
void vigas (void) int interp, ncon; float xp, yv, ym, dist[10], inter, dmin, m, v, Li; char cort[80];
ncon=0; pdist=0; for(j=1; j<=ncar; j++) if(i==w[j].e) if(w[j].t==2) ncon++; dist[ncon]=w[j].d; pos[ncon]=j; if(w[j].t==3) pdist=pdist+w[j].p;
if(ncon>1) for(j=1; j<=ncon1; j++) dmin=dist[j]; for(k=j+1; k<=ncon; k++) dmin=min(dmin, dist[k]); for(k=j;k<=ncon; k++) if(dmin==dist[k]) inter=dist[k]; dist[k]=dist[j]; dist[j]=inter;
interp=pos[k]; pos[k]=pos[j]; pos[j]=interp;
li=0; v=el[i].Fl[5]; m=el[i].Fl[6]; Li=el[i+1].L[1];
Apéndice I
Pérez Villar Luis Alberto 172
Listado del Programa
for(j=1; j<=ncon; j++) if(j != ncon) lf=int(fabs(Liw[pos[j+1]].d)*eh); else lf=int(el[i].L[1]*eh); setcolor(19); line(Pi, 120, Pi+lf, 120); line(Pi, 200, Pi+lf, 200);
for(k=li; k<=lf; k++) xp=k/eh; yv=cortante(xp, v); ym=momento(xp, v, m, Li); if(xp==0) setcolor(19); settextjustify(LEFT_TEXT, CENTER_TEXT); sprintf(cort, "%0.2f", yv); outtextxy(Pi, 120yv*ev*1.3, cort); sprintf(cort, "%0.2f", ym); outtextxy(Pi, 200ym*em*1.3, cort); li=lf;
float momento (float xp, float v, float m, float Li) float ym; ym=m+v*xp+pdist*xp*xp/2; for(l=1; l<=j; l++) ym=ymw[pos[l]].p*sind(w[pos[l]].a)*(xpfabs(Liw[pos[l]].d)); return(ym);
float cortante (float xp, float v) float yv; yv=v+pdist*xp; for(l=1; l<=j; l++) yv=yvw[pos[l]].p*sind(w[pos[l]].a); return(yv);
Apéndice II
Pérez Villar Luis Alberto 173
Ejemplos complementarios
A A Ap p pé é én n nd d di iic c ce e e I I I I I I E E Ej j je e em m mp p pl llo o os s s C C Co o om m mp p pl lle e em m me e en n nt t ta a ar r r i iio o os s s
Apéndice II
Apéndice II
Pérez Villar Luis Alberto 174
Ejemplos complementarios
EJEMPLO DE PLACA TRIANGULAR DE 64 ELEMENTOS
Espesor de la Placa
0.1 cm Modulo de Elasticidad: 10,000,000
Ejemplo Placa Triangular
45
90
45
31 27 23 19
30 cm 18
2
30 cm
1 1
3 4
3 4 17
15 20
12 13 9 9 5 2 6
30 cm
30 cm 30 cm 30 cm
30
14 12 6 7 8
7
13 16 10 10
11 15
21 5 8
18 24 28 22
25 11 29
32 26 20 22
14
50
34 24
33 17
36
26 35
49
5133 52
35
30 cm
46 31 29 27
37 16 19
40 38 44
45 41 21
48 42
25 28 39
53 30 43 47
57 61
30 cm
23
32
62
5536 56 54 60
34 37 63 59
64 38 58 40
39 41
PLACAS TRIANGULARES Datos de Entrada
Nodos Coordenadas Grados de libertad X Y X Y Giro
1 0.00 0.00 1 1 1 2 30.00 0.00 0 0 0 3 15.00 15.00 0 0 0 4 0.00 30.00 0 0 0 5 30.00 30.00 0 0 0 6 60.00 0.00 0 0 0 7 45.00 15.00 0 0 0 8 60.00 30.00 0 0 0 9 90.00 0.00 0 0 0 10 75.00 15.00 0 0 0 11 90.00 30.00 0 0 0 12 120.00 0.00 0 0 0 13 105.00 15.00 0 0 0 14 120.00 30.00 0 0 0 15 15.00 45.00 0 0 0 16 30.00 60.00 0 0 0 17 0.00 60.00 1 1 1 18 45.00 45.00 0 0 0 19 60.00 60.00 0 0 0 20 75.00 45.00 0 0 0
Figura 5.1
Apéndice II
Pérez Villar Luis Alberto 175
Ejemplos complementarios
21 90.00 60.00 0 0 0 22 105.00 45.00 0 0 0 23 120.00 60.00 0 0 0 24 15.00 75.00 0 0 0 25 30.00 90.00 0 0 0 26 0.00 90.00 0 0 0 27 45.00 75.00 0 0 0 28 60.00 90.00 0 0 0 29 75.00 75.00 0 0 0 30 90.00 90.00 0 0 0 31 105.00 75.00 0 0 0 32 120.00 90.00 0 0 0 33 15.00 105.00 0 0 0 34 30.00 120.00 0 0 0 35 0.00 120.00 1 1 1 36 45.00 105.00 0 0 0 37 60.00 120.00 0 0 0 38 75.00 105.00 0 0 0 39 90.00 120.00 0 0 0 40 105.00 105.00 0 0 0 41 120.00 120.00 0 0 0
Elemento Incidencias E A Espesor Mod. Poisson 1 1 2 3 10000000.00 225.00 0.10 0.25 2 3 2 5 10000000.00 225.00 0.10 0.25 3 5 4 3 10000000.00 225.00 0.10 0.25 4 3 4 1 10000000.00 225.00 0.10 0.25 5 2 6 7 10000000.00 225.00 0.10 0.25 6 7 6 8 10000000.00 225.00 0.10 0.25 7 8 5 7 10000000.00 225.00 0.10 0.25 8 7 5 2 10000000.00 225.00 0.10 0.25 9 6 9 10 10000000.00 225.00 0.10 0.25 10 10 9 11 10000000.00 225.00 0.10 0.25 11 11 8 10 10000000.00 225.00 0.10 0.25 12 10 8 6 10000000.00 225.00 0.10 0.25 13 9 12 13 10000000.00 225.00 0.10 0.25 14 13 12 14 10000000.00 225.00 0.10 0.25 15 14 11 13 10000000.00 225.00 0.10 0.25 16 13 11 9 10000000.00 225.00 0.10 0.25 17 4 5 15 10000000.00 225.00 0.10 0.25 18 15 5 16 10000000.00 225.00 0.10 0.25 19 16 17 15 10000000.00 225.00 0.10 0.25 20 15 17 4 10000000.00 225.00 0.10 0.25 21 5 8 18 10000000.00 225.00 0.10 0.25 22 18 8 19 10000000.00 225.00 0.10 0.25 23 19 16 18 10000000.00 225.00 0.10 0.25 24 18 16 5 10000000.00 225.00 0.10 0.25 25 8 11 20 10000000.00 225.00 0.10 0.25 26 20 11 21 10000000.00 225.00 0.10 0.25 27 21 19 20 10000000.00 225.00 0.10 0.25 28 20 19 8 10000000.00 225.00 0.10 0.25 29 11 14 22 10000000.00 225.00 0.10 0.25 30 22 14 23 10000000.00 225.00 0.10 0.25
Apéndice II
Pérez Villar Luis Alberto 176
Ejemplos complementarios
31 23 21 22 10000000.00 225.00 0.10 0.25 32 22 21 11 10000000.00 225.00 0.10 0.25 33 17 16 24 10000000.00 225.00 0.10 0.25 34 24 16 25 10000000.00 225.00 0.10 0.25 35 25 26 24 10000000.00 225.00 0.10 0.25 36 24 26 17 10000000.00 225.00 0.10 0.25 37 16 19 27 10000000.00 225.00 0.10 0.25 38 27 19 28 10000000.00 225.00 0.10 0.25 39 28 25 27 10000000.00 225.00 0.10 0.25 40 27 25 16 10000000.00 225.00 0.10 0.25 41 19 21 29 10000000.00 225.00 0.10 0.25 42 29 21 30 10000000.00 225.00 0.10 0.25 43 30 28 29 10000000.00 225.00 0.10 0.25 44 29 28 19 10000000.00 225.00 0.10 0.25 45 21 23 31 10000000.00 225.00 0.10 0.25 46 31 23 32 10000000.00 225.00 0.10 0.25 47 32 30 31 10000000.00 225.00 0.10 0.25 48 31 30 21 10000000.00 225.00 0.10 0.25 49 26 25 33 10000000.00 225.00 0.10 0.25 50 33 25 34 10000000.00 225.00 0.10 0.25 51 34 35 33 10000000.00 225.00 0.10 0.25 52 33 35 26 10000000.00 225.00 0.10 0.25 53 25 28 36 10000000.00 225.00 0.10 0.25 54 36 28 37 10000000.00 225.00 0.10 0.25 55 37 34 36 10000000.00 225.00 0.10 0.25 56 36 34 25 10000000.00 225.00 0.10 0.25 57 28 30 38 10000000.00 225.00 0.10 0.25 58 38 30 39 10000000.00 225.00 0.10 0.25 59 39 37 38 10000000.00 225.00 0.10 0.25 60 38 37 28 10000000.00 225.00 0.10 0.25 61 30 32 40 10000000.00 225.00 0.10 0.25 62 40 32 41 10000000.00 225.00 0.10 0.25 63 41 39 40 10000000.00 225.00 0.10 0.25 64 40 39 30 10000000.00 225.00 0.10 0.25
Tabla 5.1 Cuadro Comparativo de Desplazamientos STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Nodo X (cm) Y (cm) X (cm) Y (cm) X Y
1 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 2 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 3 0.0001 0.0000 0.00007 0.00001 30.00% 0.00% 4 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 5 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 6 0.0001 0.0000 0.00014 0.00001 40.00% 0.00% 7 0.0001 0.0000 0.00011 0.00000 10.00% 0.00% 8 0.0001 0.0000 0.00013 0.00000 30.00% 0.00% 9 0.0002 0.0000 0.00019 0.00001 5.00% 0.00%
Apéndice II
Pérez Villar Luis Alberto 177
Ejemplos complementarios
10 0.0002 0.0000 0.00016 0.00001 20.00% 0.00% 11 0.0002 0.0000 0.00017 0.00001 15.00% 0.00% 12 0.0004 0.0001 0.00029 0.00006 27.50% 40.00% 13 0.0002 0.0000 0.00020 0.00002 0.00% 0.00% 14 0.0002 0.0000 0.00017 0.00002 15.00% 0.00% 15 0.0001 0.0000 0.00007 0.00001 30.00% 0.00% 16 0.0001 0.0000 0.00008 0.00000 20.00% 0.00% 17 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 18 0.0001 0.0000 0.00011 0.00000 10.00% 0.00% 19 0.0001 0.0000 0.00013 0.00000 30.00% 0.00% 20 0.0001 0.0000 0.00015 0.00000 50.00% 0.00% 21 0.0002 0.0000 0.00017 0.00000 15.00% 0.00% 22 0.0002 0.0000 0.00019 0.00002 5.00% 0.00% 23 0.0003 0.0000 0.00026 0.00000 13.33% 0.00% 24 0.0001 0.0000 0.00007 0.00001 30.00% 0.00% 25 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 26 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 27 0.0001 0.0000 0.00011 0.00000 10.00% 0.00% 28 0.0001 0.0000 0.00013 0.00000 30.00% 0.00% 29 0.0001 0.0000 0.00015 0.00000 50.00% 0.00% 30 0.0002 0.0000 0.00017 0.00001 15.00% 0.00% 31 0.0002 0.0000 0.00019 0.00002 5.00% 0.00% 32 0.0002 0.0000 0.00017 0.00002 15.00% 0.00% 33 0.0001 0.0000 0.00007 0.00001 30.00% 0.00% 34 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 35 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 36 0.0001 0.0000 0.00011 0.00000 10.00% 0.00% 37 0.0001 0.0000 0.00014 0.00001 40.00% 0.00% 38 0.0002 0.0000 0.00016 0.00001 20.00% 0.00% 39 0.0002 0.0000 0.00019 0.00001 5.00% 0.00% 40 0.0002 0.0000 0.00020 0.00002 0.00% 0.00% 41 0.0004 0.0001 0.00029 0.00006 27.50% 40.00%
Apéndice II
Pérez Villar Luis Alberto 178
Ejemplos complementarios
Tabla 5.2 Cuadro Comparativo de Fuerza Axial STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Elemento σ x σ y σ xy σ x σ y σ xy σ x σ y σ xy
1 30.58 3.04 6.61 29.28 0.34 6.86 4.27% 88.95% 3.80% 2 4.42 13.58 5.21 15.50 3.26 3.61 250.75% 76.00% 30.79% 3 1.94 7.52 7.03 1.61 6.72 6.74 17.27% 10.63% 4.18% 4 0.20 17.92 5.77 15.38 3.80 9.99 7589.00% 78.81% 73.15% 5 16.24 0.49 0.15 17.09 1.57 1.01 5.21% 219.59% 575.33% 6 8.15 8.24 7.23 15.61 0.79 0.34 91.58% 90.45% 95.33% 7 13.66 1.46 0.91 13.60 2.37 0.47 0.46% 62.40% 48.57% 8 8.43 10.46 6.75 15.07 3.15 1.14 78.75% 69.89% 83.07% 9 19.68 2.82 2.50 18.54 1.37 2.07 5.81% 51.52% 17.04% 10 10.36 7.79 6.69 15.58 3.08 2.45 50.42% 60.49% 63.42% 11 13.90 1.51 1.38 13.13 2.62 1.57 5.53% 73.18% 13.91% 12 11.55 6.36 7.93 16.09 0.90 1.20 39.26% 85.79% 84.88% 13 47.06 11.51 11.31 30.32 5.64 4.18 35.58% 51.04% 63.06% 14 10.59 11.36 12.23 16.77 7.28 8.73 58.37% 35.95% 28.59% 15 3.49 1.90 0.92 0.90 1.15 6.50 74.15% 39.32% 606.74% 16 17.14 2.86 6.34 14.45 2.79 1.95 15.71% 2.31% 69.31% 17 1.58 7.47 7.48 1.52 6.40 6.60 3.54% 14.36% 11.75% 18 12.35 5.21 5.01 14.63 3.11 3.66 18.42% 40.36% 27.01% 19 27.97 1.17 5.97 27.60 0.38 6.73 1.34% 67.52% 12.73% 20 19.73 0.03 5.45 14.50 3.67 9.67 26.53% 12133.33% 77.50% 21 13.75 3.18 1.85 13.72 2.85 0.57 0.24% 10.35% 69.03% 22 8.51 7.52 5.47 14.76 2.18 0.46 73.49% 71.04% 91.57% 23 15.72 2.51 0.19 15.60 2.42 0.78 0.76% 3.75% 312.63% 24 10.27 7.95 6.42 14.55 3.09 0.90 41.70% 61.14% 86.04% 25 12.49 3.04 1.47 12.85 1.50 0.59 2.91% 50.56% 59.59% 26 4.89 7.17 5.12 14.35 0.42 0.72 193.39% 94.20% 86.02% 27 15.60 1.22 1.92 15.48 0.90 0.23 0.78% 26.48% 87.86% 28 8.43 7.05 6.79 13.99 1.98 0.11 65.90% 71.87% 98.37% 29 0.91 1.76 5.02 0.90 1.14 7.83 1.32% 35.34% 56.00% 30 9.34 13.61 8.16 14.92 4.25 10.42 59.69% 68.80% 27.70% 31 28.14 6.09 10.09 27.88 5.09 6.78 0.91% 16.44% 32.78% 32 3.21 10.46 8.53 13.87 0.30 4.19 331.96% 97.17% 50.84% 33 27.97 1.17 5.97 27.60 0.38 6.73 1.34% 67.52% 12.73% 34 5.21 12.35 5.01 14.63 3.11 3.66 180.71% 74.84% 27.01% 35 1.58 7.47 7.48 1.52 6.40 6.60 3.54% 14.36% 11.75% 36 0.03 19.73 5.45 14.50 3.67 9.67 48216.67% 81.40% 77.50%
Apéndice II
Pérez Villar Luis Alberto 179
Ejemplos complementarios
37 15.72 2.51 0.19 15.60 2.42 0.78 0.76% 3.75% 312.63% 38 7.52 8.51 5.47 14.76 2.18 0.46 96.33% 74.41% 91.57% 39 13.75 3.18 1.85 13.72 2.85 0.57 0.24% 10.35% 69.03% 40 7.95 10.27 6.42 14.55 3.09 0.90 83.06% 69.92% 86.04% 41 15.60 1.22 1.92 15.48 0.90 0.23 0.78% 26.48% 87.86% 42 7.17 4.89 5.12 14.35 0.42 0.72 100.10% 91.49% 86.02% 43 12.49 3.04 1.47 12.85 1.50 0.59 2.91% 50.56% 59.59% 44 7.05 8.43 6.79 13.99 1.98 0.11 98.37% 76.48% 98.37% 45 28.14 6.09 10.09 27.88 5.09 6.78 0.91% 16.44% 32.78% 46 13.61 9.34 8.16 14.92 4.25 10.42 9.59% 54.53% 27.70% 47 0.91 1.76 5.02 0.90 1.14 7.83 1.32% 35.34% 56.00% 48 10.46 3.21 8.53 13.87 0.30 4.19 32.56% 90.78% 50.84% 49 1.94 7.52 7.03 1.61 6.72 6.74 17.27% 10.63% 4.18% 50 13.58 4.42 5.21 15.50 3.26 3.61 14.16% 26.27% 30.79% 51 30.58 3.04 6.61 29.28 0.34 6.86 4.27% 88.95% 3.80% 52 17.92 0.20 5.77 15.38 3.80 9.99 14.19% 1799.00% 73.15% 53 13.66 1.46 0.91 13.60 2.37 0.47 0.46% 62.40% 48.57% 54 8.24 8.15 7.23 15.61 0.79 0.34 89.49% 90.34% 95.33% 55 16.24 0.49 0.15 17.09 1.57 1.01 5.21% 219.59% 575.33% 56 10.46 8.43 6.75 15.07 3.15 1.14 44.06% 62.63% 83.07% 57 13.90 1.51 1.38 13.13 2.62 1.57 5.53% 73.18% 13.91% 58 7.79 10.36 6.69 15.58 3.08 2.45 100.04% 70.29% 63.42% 59 19.68 2.82 2.50 18.54 1.37 2.07 5.81% 51.52% 17.04% 60 6.36 11.55 7.93 16.09 0.90 1.20 152.91% 92.17% 84.88% 61 3.49 1.90 0.92 0.90 1.15 6.50 74.15% 39.32% 606.74% 62 11.36 10.59 12.23 16.77 7.28 8.73 47.63% 31.29% 28.59% 63 47.06 11.51 11.31 30.32 5.64 4.18 35.58% 51.04% 63.06% 64 2.86 17.14 6.34 14.45 2.79 1.95 405.17% 83.70% 69.31%
Apéndice II
Pérez Villar Luis Alberto 180
Ejemplos complementarios
EJEMPLO DE PLACA RECTANGULAR DE 16 ELEMENTOS
Ejemplo Placa Rectangular
1
Modulo de Elasticidad: 10,000,000
45
45
0.1 cm
Espesor de la Placa
90
30 cm
2 1
30 cm
1
6 7
5
9
11 12
17 16
13
21 22
30 cm
30 cm
5 4 3
30 cm 30 cm
3 2 4
8
6 7
9 10
8
30 cm
30 cm 12 11 10
13 14 15
18 20 19
14 15
23
16
24 25
PLACAS RECTANGULARES Datos de Entrada
Nodos Coordenadas Grados de libertad X Y X Y Giro
1 0.00 0.00 1 1 1 2 30.00 0.00 0 0 0 3 60.00 0.00 0 0 0 4 90.00 0.00 0 0 0 5 120.00 0.00 0 0 0 6 0.00 30.00 0 0 0 7 30.00 30.00 0 0 0 8 60.00 30.00 0 0 0 9 90.00 30.00 0 0 0 10 120.00 30.00 0 0 0 11 0.00 60.00 1 1 1 12 30.00 60.00 0 0 0 13 60.00 60.00 0 0 0 14 90.00 60.00 0 0 0 15 120.00 60.00 0 0 0 16 0.00 90.00 0 0 0
Figura 5.2
Apéndice II
Pérez Villar Luis Alberto 181
Ejemplos complementarios
17 30.00 90.00 0 0 0 18 60.00 90.00 0 0 0 19 90.00 90.00 0 0 0 20 120.00 90.00 0 0 0 21 0.00 120.00 1 1 1 22 30.00 120.00 0 0 0 23 60.00 120.00 0 0 0 24 90.00 120.00 0 0 0 25 120.00 120.00 0 0 0
Elemento Incidencias E A Espesor Mod. Poisson 1 1 2 7 6 10000000.00 900.00 0.10 0.25 2 2 3 8 7 10000000.00 900.00 0.10 0.25 3 3 4 9 8 10000000.00 900.00 0.10 0.25 4 4 5 10 9 10000000.00 900.00 0.10 0.25 5 6 7 12 11 10000000.00 900.00 0.10 0.25 6 7 8 13 12 10000000.00 900.00 0.10 0.25 7 8 9 14 13 10000000.00 900.00 0.10 0.25 8 9 10 15 14 10000000.00 900.00 0.10 0.25 9 11 12 17 16 10000000.00 900.00 0.10 0.25 10 12 13 18 17 10000000.00 900.00 0.10 0.25 11 13 14 19 18 10000000.00 900.00 0.10 0.25 12 14 15 20 19 10000000.00 900.00 0.10 0.25 13 16 17 22 21 10000000.00 900.00 0.10 0.25 14 17 18 23 22 10000000.00 900.00 0.10 0.25 15 18 19 24 23 10000000.00 900.00 0.10 0.25 16 19 20 25 24 10000000.00 900.00 0.10 0.25
Tabla 5.3 Cuadro Comparativo de Desplazamientos STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Nodo X (cm) Y (cm) X (cm) Y (cm) X Y
1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00% 0.00% 2 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 10.00% 0.00% 3 0.0002 0.0000 0.0001 0.0000 30.00% 0.00% 4 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 0.00% 0.00% 5 0.0004 0.0002 0.0003 0.0001 25.00% 70.00% 6 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 0.00% 0.00% 7 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 10.00% 0.00% 8 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 40.00% 0.00% 9 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 15.00% 0.00% 10 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 15.00% 0.00%
Apéndice II
Pérez Villar Luis Alberto 182
Ejemplos complementarios
11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00% 0.00% 12 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 10.00% 0.00% 13 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 30.00% 0.00% 14 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 10.00% 0.00% 15 0.0003 0.0000 0.0003 0.0000 10.00% 0.00% 16 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 0.00% 0.00% 17 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 10.00% 0.00% 18 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 40.00% 0.00% 19 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 15.00% 0.00% 20 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 15.00% 0.00% 21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00% 0.00% 22 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 10.00% 0.00% 23 0.0002 0.0000 0.0001 0.0000 30.00% 0.00% 24 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 0.00% 0.00% 25 0.0004 0.0002 0.0003 0.0001 25.00% 70.00%
Tabla 5.4 Cuadro Comparativo de Fuerza Axial STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error
Elemento σ x σ y σ xy σ x σ y σ xy σ x σ y σ xy
1 15.32 4.56 7.39 15.46 3.67 7.05 0.88% 19.52% 4.59% 2 15.59 1.77 0.25 15.36 1.95 0.63 1.51% 10.06% 152.00% 3 16.62 0.30 1.67 15.94 2.18 1.82 4.10% 626.67% 9.10% 4 14.38 0.83 5.70 15.72 2.43 5.52 9.29% 192.77% 3.23% 5 14.68 4.21 7.51 14.55 3.49 7.01 0.92% 17.05% 6.62% 6 14.41 2.60 0.08 14.65 2.77 0.49 1.63% 6.35% 515.00% 7 13.38 2.05 0.16 14.06 1.24 0.16 5.10% 39.51% 1.88% 8 15.62 3.08 8.03 14.28 2.13 7.69 8.55% 30.81% 4.30% 9 14.68 4.21 7.51 14.55 3.49 7.01 0.92% 17.05% 6.62% 10 14.41 2.60 0.08 14.65 2.77 0.49 1.63% 6.35% 515.00% 11 13.38 2.05 0.16 14.06 1.24 0.16 5.10% 39.51% 1.88% 12 15.62 3.08 8.03 14.28 2.13 7.69 8.55% 30.81% 4.30% 13 15.32 4.56 7.39 15.46 3.67 7.05 0.88% 19.52% 4.59% 14 15.59 1.77 0.25 15.36 1.95 0.63 1.51% 10.06% 152.00% 15 16.62 0.30 1.67 15.94 2.18 1.82 4.10% 626.67% 9.10% 16 14.38 0.83 5.70 15.72 2.43 5.52 9.29% 192.77% 3.23%
Apéndice III
Pérez Villar Luis Alberto 183
Bibliografía
A A Ap p pé é én n nd d di iic c ce e e I I I I I II I I B B Bi iib b bl lli iio o og g gr r r a a af f fí íía a a
Apéndice III
Apéndice III
Pérez Villar Luis Alberto 184
Bibliografía
BIBLIOGRAFÍA
Applied Finite Element Analysis (Second Edition). Larry J. Segerlind.
Teoría de la Elasticidad Timoshenco. Urmo.
The Finite Element Method . K. C. Rockey, MscEng.
Elemento Finito. Livesley.
Análisis de Estructuras Reticulares. Gere & Weaver.
Análisis Matricial. Carlos Magdaleno.
Análisis Estructural. M. Neville.