instituto politÉcnico nacional · 2017. 9. 2. · 4.6. síntesis cinemática del mecanismo de...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN.

ANÁLISIS DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y FUERZAS DE UN

MECANISMO DE RETORNO RÁPIDO DE WHITWORTH

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS

CON ESPECIALIDAD EN

INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA

ING. JONATHAN RUIZ HIDALGO

DIRECTOR: M. en C. CANDIDO PALACIOS MONTUFAR

DIRECTOR: DR. JUAN ALEJANDRO FLORES CAMPOS

México D.F. Octubre 2012

RESUMEN

En este trabajo de investigación se muestran distintos métodos para la

formulación de modelos para describir a los mecanismos de lazo cerrado, y

como pueden estos métodos facilitar su implementación

computacional.Con la intención de que los modelos obtenidos permitan

una implementación sencilla de los esquemas de control. Se plantea

además que al utilizar técnicas de balanceo con un enfoque de diseño

mecánico basado en el control se pueden eliminar o reducir efectos de

algunos términos del modelo matemático, ayudando aún más a facilitar el

algoritmo de control.

Este trabajo inicia desde un enfoque de control y termina en un enfoque

mecánico. Esto es, se parte de estudios realizados en el área de control y

computación para presentar los modelos que pueden facilitar el

planteamiento de los sistemas mecánicos, para después presentar

técnicas que reduzcan dichos modelos y por tanto facilitar la

implementación de algoritmos de control.

Los métodos planteados en la formulación de los modelos de sistemas

mecánicos se utilizan para describir un mecanismo de lazo cerrado de

retorno rápido, que tiene la cualidad de presentar una no linealidad

debido a la aceleración de coriolis entre sus eslabones. El modelo es

validado utilizando un software de simulación y programando cada una

de las ecuaciones.

RESUMEN

RESUMEN

ABSTRACT

This research work shows different methods for the formulation of models to

describe the closed-loop mechanisms, and how can these methods

provide aneasier way for a computational implementation. With the

intention that the models founded allow a simple implementation of control

schemes.It also raises that by using balancing techniques with a focus on

mechanical design based on control, it could be posible to eliminate or

reduce the effects of some terms of the mathematical model, further

helping to facilitate the control algorithm.

This work starts from the viewpoint of control and ends in a mechanical

approach. That is, it starts from studies in the area of computer and control

and shows the models that can facilitate the approach of mechanical

systems, then it proposes techniques that could reduce these models and

thus facilitate the implementation of control algorithms.

The methods outlined in the formulation of models of mechanical systems

are used to describe a closed loop quick return mechanism, which has the

quality to have a nonlinearity due to the Coriolis acceleration between the

links. The model is validated using simulation software and programming

each one of the equations.

ABSTRACT

ABSTRACT

SEÑOR, te doy las gracias de todo mi corazón, de toda mi alma, de todo

mi ser. Porque día a día cambias mi mundo, lo haces florecer. Gracias

Papito hermoso porque me buscaste y no dejaste que me apartara.

Porque en mis días de cansancio me levantabas, me platicabas, me

instruías. Creaste un espacio y un tiempo para nosotros. Te agradezco

porque puedo confiar en ti. Porque conozco tu amor. Porque las veces

que mi corazón se rendía tú me animabas. Me sacaste de la locura y me

diste un corazón entendido. Porque veo a los que tú me diste y me siento

muy feliz al verlos sonreír. Gracias por ese regalo. Te doy gracias por estar

ahí siempre. TE AMO SEÑOR. Y en este trabajo quiero decirte que eres el

motor de mis días y cada objetivo que alcanzo veo tus manos que me

guían. GRACIAS SEÑOR.

Princesa hermosa, mi gran tesoro, sin ti no hubiera llegado tan lejos. Mi

compañera, mi amada. Gracias corazón por creer en mí, por dar tu

tiempo, tu amor, tu esfuerzo, tu valentía y tu enorme corazón por nosotros.

Gracias porque cuando veo las cosas perdidas siempre encuentro un

apoyo incondicional en ti. Apostaste por mí en las condiciones más

adversas con una sonrisa sabiendo que lo íbamos a lograr. Este triunfo es

nuestro princesa y gracias a DIOS vamos a tener muchos más. Es hermoso

saber que al enfrentar al peor enemigo hay alguien especial que ira

contigo hasta el final aun sabiendo que en tal proeza la vida vaya de por

medio. TE AMO corazón por lo que eres, mi mejor amiga, mi esposa, mi

dulce hogar.

A mis padres y mi hermano, mis héroes de mil batallas. Gracias porque

siempre han tenido un oído cerca, un abrazo fuerte y palabras para

vencer a ejércitos. Gracias por su amor, por su dedicación por sus

cimientos, por cuidar a la semilla, cuidarla y alegrarse por verla florecer.

Gracias por su esfuerzo, por sus días de desvelo, por sus preocupaciones,

por hacerme el hombre que soy. Anhelo que mis hijos tengan tanta dicha

como la tengo yo de tenerlos cerca. LOS AMO.

A mis suegros y familia Sánchez Colín

Gracias, por adoptarme en sus corazones y tenderme su mano para

caminar, por su confianza, apoyo y amor. Porque he encontrado un lugar

seguro a donde querer volver con alegría. Gracias por su paciencia y

atención. Este triunfo también es suyo, mi familia. LOS AMO.

AGRADECIMIENTOS

A mis profesores, quiero agradecerles su pasión por enseñar, su animó y sus

exigencias para verme crecer. Los días que pase en esta institución fue un

reto impresionante. Gracias por forjar mi carácter y ayudar a derrotar mis

propias limitaciones.

AGRADECIMIENTOS

i

ÍNDICE

ÍNDICE GENERAL i

Índice de Tablas y Figuras v

Simbología xiii

Objetivo xxxiii

Justificación xxxv

I ESTADO DEL ARTE 1

1.1. Evolución de la Mecánica 3

1.2. Breve historia del control automático 7

1.3. Mecatrónica 11

1.4. Mecanismos desde un punto de vista mecatrónico 15

II ANÁLISIS CINEMÁTICO 21

2.1. Grados de Libertad 23

2.2. Sistema de Coordenadas 27

2.3. Restricciones cinemáticas 31

2.4. Uniones en sistema multicuerpo 33

2.5. Cinemática Directa 43

2.5.1 Análisis de Posición 43

2.5.1.1 Restricciones de Unión 43

2.5.1.2 Restricciones de Conducción 53

2.5.1.3 Restricciones Holónomas 59

2.5.2 Análisis de Velocidad 61

2.5.3 Análisis de Aceleración 67

2.5.4 Cinemática de los CM 73

2.6. Coeficientes de Velocidad y Aceleración 79

ÍNDICE

ii

III ANÁLISIS DINÁMICO 83

3.1. Energía Cinética 85

3.2. Energía Potencial 89

3.3. Ecuación de Lagrange 91

3.4. Formulación de Coordenadas 93

3.5. Fuerzas de restricción 95

3.6. Parámetros reducidos EKSERGIAN 97

3.7. Método de los multiplicadores de Lagrange (DAEs) 101

3.7.1 Método utilizando coeficientes de velocidad 113

3.7.2 Método utilizando ecuación cinemática 115

3.8. Trabajo virtual 117

3.9. Fuerzas externas 119

3.10. Cálculo de reacciones 123

IV SÍNTESIS CINEMÁTICA 139

4.1. Máquina Herramienta: Cepillo 141

4.2. Especificaciones de diseño 147

4.3. Síntesis cinemática 149

4.4. Clasificación de la síntesis cinemática 151

4.5. Condiciones de diseño en la síntesis cinemática 155

4.6. Síntesis cinemática del mecanismo de Whitworth 159

4.6.1 Manivela-Biela-Corredera 161

4.6.2 Ventaja mecánica 163

4.6.3 Modelo cinemático 165

4.6.4 Inversión cinemática 169

4.6.5 Mecanismo de retorno rápido 171

4.6.6 Dimensionamiento del mecanismo de retorno rápido 173

V DISEÑO PARA CONTROL 183

5.1. Diseño Mecatrónico 185

5.2. Diseño para control 189

5.3. Balanceo en los mecanismos 191

5.4. Fuerzas y momentos de inercia 195

5.5. Fuerzas de inercia en un rotor 199

5.6. Fuerzas y momentos de sacudimiento en un rotor 201

5.7. Balanceo en un rotor 203

5.8. Fuerzas y momentos de sacudimiento en un mecanismo 207

5.9. Balanceo en un mecanismo 209

5.10. Balanceo en un mecanismo manivela-biela-corredera 211

ÍNDICE

iii

CONCLUSIONES xxxvii

Trabajo a futuro xxxix

REFERENCIAS.

ANEXOS

BIBLIOGRAFÍA

ÍNDICE

iv

ÍNDICE

v

TABLAS Y FIGURAS CAPÍTULO 2

CAPÍTULO 2

TABLAS

2.1 Pares Inferiores

FIGURAS

2.1 Mecanismo de Retorno rápido de Whitworth 2.2 Coordenadas Relativas 2.3 Coordenadas de punto de referencia 2.4 Coordenadas Naturales. 2.5 Restricciones de Base Coordenadas Punto de Referencia 2.6 Restricciones de Revoluta Coordenadas Punto de Referencia 2.7 Restricciones prismáticas Coordenadas Punto de Referencia 2.8 Sólido con dos puntos básicos Coordenadas Naturales 2.9 Sólido con tres puntos básicos Coordenadas Naturales 2.10 Sólido con tres puntos básicos co-lineales Coordenadas Naturales 2.11 Sólido con cuatro puntos básicos Coordenadas Naturales 2.12 Restricción prismática Coordenadas Naturales 2.13 Restricción prismática especial Coordenadas Naturales 2.14 Restricción de ángulo Coordenadas Mixtas 2.15 Restricción de distancia coordenadas Mixtas 2.16 Mecanismo de Whitworth 2.17 Restricción Sólido BB1 2.18 Restricción Sólido DD1 2.19 Restricción Sólido EF 2.20 Mecanismo de Whitworth 2.21 Lazo I 2.22 Lazo II 2.23 Biela Manivela 2.24 Mecanismo de Whitworth 2.25 Superficie de restricción I 2.26 Superficie de restricción II 2.27 Elemento BB1 CM 2.28 Elemento DD1 CM 2.29 Elemento EF CM 2.30 Elemento F CM 2.31 Elemento C CM

vi


vii


CAPÍTULO 3

FIGURAS

3.1 Energía Cinética 3.2 Mecanismo de Whitworth con CM 3.3 Energía Potencial Gravitatoria 3.4 Fuerzas Externas 3.5 Reacciones en BB1 3.6 Reacciones en C 3.7 Reacciones en DD1 3.8 Reacciones en EF 3.9 Reacciones en F

viii


ix

CAPÍTULO 4

TABLAS

4.1 Velocidad de corte 4.2 Velocidades para desbaste y acabado 4.3 Dimensiones Manivela-Biela-Corredera 4.4 Valores de ángulos en el mecanismo Manivela-Biela-Corredera (R/L)=0.3 4.5 Dimensiones Inversión mecanismo Manivela-Biela-Corredera

FIGURAS

4.1 Posición de agarrotamiento 4.2 Mecanismo de retorno rápido de Whitworth 4.3 Mecanismo Manivela-Biela-Corredera 4.4 Inversión del mecanismo Manivela-Biela-Corredera 4.5 Mecanismo Manivela-Biela-Corredera 4.6 Aceleración corredera R/L 0.2 4.7 Aceleración corredera R/L 0.3 4.8 Aceleración corredera R/L 0.7 4.9 Ángulo de Transmisión 4.10 Mecanismo Manivela-Biela Corredera Inversiones 4.11 Inversión #2 Mecanismo de Manivela-Biela-Corredera 4.12 Ángulo de cambio de velocidad 4.13 Posiciones límite de eslabón AD 4.14 Trayectoria BC inscrita en AD 4.15 Ángulo gama 4.16 Trayectoria BC inicio 4.17 Trayectoria AD 4.18 Trayectoria AD inicio 4.19 Mecanismo retorno rápido de Whitworth 4.20 Simulación 1 4.21 Simulación 2 4.22 Simulación 3 4.23 Dimensiones del mecanismo de retorno rápido


x


xi

CAPÍTULO 5

FIGURAS

5.1 Balanceo estático 5.2 Fuerza centrípeta 5.3 Fuerza centrífuga 5.4 Fuerzas de inercia en un rotor 5.5 Momentos de inercia en un rotor 5.6 Balanceo en un rotor con masas en un solo plano 5.7 Balanceo en un rotor con masas. Caso general 5.8 Centro de masa en un rotor balanceado 5.9 Rotor desbalanceado 5.10 Rotor balanceado 5.11 Fuerzas y Momentos de inercia en un mecanismo de 4 barras 5.12 Mecanismo Biela-Manivela-Corredera. 5.13 Masas Equivalentes 5.14 Masa de Balanceo 5.15 Diagrama de cuerpo libre y aceleraciones 5.16 Mecanismo Manivela Biela Corredera MBC Simulación 5.17 Fuerzas de Sacudimiento MBC Simulación 5.18 Mecanismo Manivela Biela Corredera MBC Simulación Balanceado 5.19 Fuerzas de Sacudimiento MBC Simulación Balanceado 5.20 Mecanismo Manivela Biela Corredera con Manivela Rueda 5.21 Mecanismo MBC Simulación Balanceado Manivela Rueda 5.22 Fuerzas de sacudimiento MBC Simulación Balanceado Manivela Rueda


xii


xiii

SIMBOLOGÍA CAPÍTULO 2

SIMBOLOGÍA: CAPÍTULO 2

Ángulo entre el sistema de coordenadas inercial y el eslabón “2”

Ángulo entre un sistema de coordenadas local ubicado en el punto A

y el eslabón “4”

Ángulo entre un sistema de coordenadas local ubicado en el punto E

y el eslabón “5”

P Distancia Horizontal, entre los puntos A y B

H Distancia Vertical, entre los puntos A y B

m Distancia Vertical, entre los puntos B y la base del efector final.

1BB Se refiere al Eslabón 2

C Se refiere al Eslabón 3

1DD Se refiere al Eslabón 4

EF Se refiere al Eslabón 5

F Se refiere al Eslabón 6

),( BB yx Coordenadas del Punto B

),( 11 BB yx Coordenadas del Punto B1

),( CC yx Coordenadas del Punto C

),( DD yx Coordenadas del Punto D

),( 11 DD yx Coordenadas del Punto D1

),( EE yx Coordenadas del Punto E

),( FF yx Coordenadas del Punto F

)( 1BBL Longitud del elemento BB1

xiv


)( 1DDL Longitud del elemento DD1

)( EFL Longitud del elemento EF

)( EFL Longitud del elemento EF

)( 1CBL Distancia del punto C a B1

)( 1EDL Distancia del punto E a D1

)( 1ADL Distancia del punto A al punto D1

1BBR Vector Posición del Punto B al B1

BCR Vector Posición del Punto B al C

ACR Vector Posición del Punto A al C

ADR Vector Posición del Punto A al D

1ADR Vector Posición del Punto A al D1

AER Vector Posición del Punto A al E

EFR Vector Posición del Punto E al F

BFR Vector Posición del Punto B al F

BAR Vector Posición del Punto B al A

1BBL Distancia entre puntos B, B1

BCL Distancia entre puntos B, C

ACL Distancia entre puntos A, C

ADL Distancia entre puntos A, D

xv


1ADL Distancia entre puntos A, D1

AEL Distancia entre puntos A, E

EFL Distancia entre puntos E, F

r Longitud manivela

l Longitud biela Ángulo manivela

Ángulo biela

p Superficie de restricción

q Variable(s) generalizada(s)

f Ecuación de la posición

g Ecuación de la velocidad

Q Matriz Jacobiana

q Velocidad variables generalizadas

t Matriz con los elementos restantes

XPBBXBB RR 11

Coordenada de Velocidad x del punto B1, desde el punto de

referencia B

YPBBYBB RR 11

Coordenada de Velocidad y del punto B1, desde el punto de

referencia B

BCXPBCX RR

Coordenada de Velocidad x del punto C, desde el punto de

referencia B

BCYPBCY RR

Coordenada de Velocidad y del punto C, desde el punto de

referencia B

xvi


ACXPACX RR

Coordenada de Velocidad x del punto C, desde el punto de

referencia A

ACYPACY RR

Coordenada de Velocidad y del punto C, desde el punto de

referencia A

ADXPACX RR

Coordenada de Velocidad x del punto D, desde el punto de

referencia A

ADYPACY RR

Coordenada de Velocidad y del punto D, desde el punto de

referencia A

XPADXAD RR 11

Coordenada de Velocidad x del punto D1, desde el punto de

referencia A

YPADYAD RR 11

Coordenada de Velocidad y del punto D1, desde el punto de

referencia A

AEXPAEX RR

Coordenada de Velocidad x del punto E, desde el punto de

referencia A

AEYPAEY RR

Coordenada de Velocidad y del punto E, desde el punto de

referencia A

EFXPEFX RR

Coordenada de Velocidad x del punto F, desde el punto de

referencia E

EFYPEFY RR

Coordenada de Velocidad y del punto F, desde el punto de

referencia E

BFXPBFX RR

Coordenada de Velocidad x del punto F, desde el punto de

referencia B

ACPAC LL

Derivada con respecto del tiempo de la distancia ACL

XPPBBXBB RR 11

Coordenada de Aceleración x del punto B1, desde el punto de

referencia B

YPPBBYBB RR 11

Coordenada de Aceleración y del punto B1, desde el punto de

referencia B

BCXPPBCX RR

Coordenada de Aceleración x del punto C, desde el punto de

referencia B

BCYPPBCY RR

Coordenada de Aceleración y del punto C, desde el punto de

referencia B

xvii


ACXPPACX RR

Coordenada de Aceleración x del punto C, desde el punto de

referencia A

ACYPPACY RR

Coordenada de Aceleración y del punto C, desde el punto de

referencia A

ADXPPACX RR

Coordenada de Aceleración x del punto D, desde el punto de

referencia A

ADYPPACY RR

Coordenada de Aceleración y del punto D, desde el punto de

referencia A

XPPADXAD RR 11

Coordenada de Aceleración x del punto D1, desde el punto de

referencia A

YPPADYAD RR 11

Coordenada de Aceleración y del punto D1, desde el punto de

referencia A

AEXPPAEX RR

Coordenada de Aceleración x del punto E, desde el punto de

referencia A

AEYPPAEY RR

Coordenada de Aceleración y del punto E, desde el punto de

referencia A

EFXPPEFX RR

Coordenada de Aceleración x del punto F, desde el punto de

referencia E

EFYPPEFY RR

Coordenada de Aceleración y del punto F, desde el punto de

referencia E

BFXPPBFX RR

Coordenada de Aceleración x del punto F, desde el punto de

referencia B

ACPPAC LL

Segunda Derivada con respecto del tiempo de la distancia ACL

CMBBR 1 Posición del CM del elemento BB1, desde el punto de

referencia B

CMDDR 1 Posición del CM del elemento DD1, desde el punto de

referencia B

EFCMR Posición del CM del elemento EF, desde el punto de

referencia B

FCMR ´ Posición del CM del elemento F, desde el punto de referencia

B

xviii


CCMR Posición del CM del elemento C, desde el punto de referencia

B

CMBBR 1 Velocidad del CM del elemento BB1, desde el punto de

referencia B

CMDDR 1 Velocidad del CM del elemento DD1, desde el punto de

referencia B

EFCMR Velocidad del CM del elemento EF, desde el punto de

referencia B

FCMR Velocidad del CM del elemento F, desde el punto de referencia

B

CCMR Velocidad del CM del elemento C, desde el punto de

referencia B

CMBBR 1 Aceleración del CM del elemento BB1, desde el punto de

referencia B

CMDDR 1 Aceleración del CM del elemento DD1, desde el punto de

referencia B

EFCMR Aceleración del CM del elemento EF, desde el punto de

referencia B

FCMR Aceleración del CM del elemento F, desde el punto de

referencia B

CCMR Aceleración del CM del elemento C, desde el punto de

referencia B

xix


K Coeficiente de Velocidad de

ACKL Coeficiente de Velocidad de ACL

K Coeficiente de Velocidad de

BFXKR Coeficiente de Velocidad de BFXR

L Coeficiente de Aceleración de

ACLL Coeficiente de Aceleración de ACL

L Coeficiente de Aceleración de

BFXLR Coeficiente de Aceleración de BFXR

xx


xxi



T Energía Cinética

m Masa

v Velocidad lineal

I Inercia

w Velocidad angular

TBB1 Energía Cinética del centro de masa del elemento BB1

mBB1 masa del elemento BB1

RBB1CMX Coordenada x de la posición del centro de masa del elemento BB1

RBB1CMY Coordenada y de la posición del centro de masa del elemento BB1

RBB1CMXP Coordenada x de la velocidad del centro de masa del elemento BB1

RBB1CMYP Coordenada y de la velocidad del centro de masa del elemento BB1

IBB1 Inercia del elemento BB1

TDD1 Energía Cinética del centro de masa del elemento DD1

mDD1 masa del elemento DD1

RDD1CMX Coordenada x de la posición del centro de masa del elemento DD1

RDD1CMY Coordenada y de la posición del centro de masa del elemento DD1

RDD1CMXP Coordenada x de la velocidad del centro de masa del elemento DD1

RDD1CMYP Coordenada y de la velocidad del centro de masa del elemento DD1

IDD1 Inercia del elemento DD1

TEF Energía Cinética del centro de masa del elemento EF

mEF masa del elemento EF

REFX Coordenada x de la posición del centro de masa del elemento EF

xxii


REFY Coordenada y de la posición del centro de masa del elemento EF

REFCMXP Coordenada x de la velocidad del centro de masa del elemento EF

REFCMYP Coordenada y de la velocidad del centro de masa del elemento EF

IEF Inercia del elemento EF

TF Energía Cinética del centro de masa del elemento F

mF masa del elemento F

RFX Coordenada x de la posición del centro de masa del elemento F

RFY Coordenada y de la posición del centro de masa del elemento F

RFCMXP Coordenada x de la velocidad del centro de masa del elemento F

RFCMYP Coordenada y de la velocidad del centro de masa del elemento F

IF Inercia del elemento F

TC Energía Cinética del centro de masa del elemento C

mC masa del elemento C

RCX Coordenada x de la posición del centro de masa del elemento C

RCY Coordenada y de la posición del centro de masa del elemento C

RCCMXP Coordenada x de la velocidad del centro de masa del elemento C

RCCMYP Coordenada y de la velocidad del centro de masa del elemento C

IC Inercia del elemento C

(u2,v2) Coordenadas de posición del centro de masa del elemento BB1,

medida desde un sistema de coordenadas móvil, ubicado en el par B.

(u3,v3) Coordenadas de posición del centro de masa del elemento C,

medida desde un sistema de coordenadas móvil, ubicado en el par C

(u4,v4) Coordenadas de posición del centro de masa del elemento DD1,

medida desde un sistema de coordenadas móvil, ubicado en el par A.

(u5,v5) Coordenadas de posición del centro de masa del elemento EF,

medida desde un sistema de coordenadas móvil, ubicado en el par E

xxiii


(u6,v6) Coordenadas de posición del centro de masa del elemento F, medida

desde un sistema de coordenadas móvil, ubicado en el par F

U Energía Potencial

Vg Energía Potencial debida a la gravedad

g Aceleración de la gravedad

h Altura medida desde un plano de referencia arbitrario

VgBB1 Energía potencial del elemento BB1 medida en su centro de masa,

desde el sistema de coordenadas inercial.

VgDD1 Energía potencial del elemento DD1 medida en su centro de masa,


VgEF Energía potencial del elemento EF medida en su centro de masa,


VgF Energía potencial del elemento F medida en su centro de masa,


VgC Energía potencial del elemento C medida en su centro de masa,


L Función Lagrangiana.

QEXT Fuerzas externas generalizadas

ΦQ Matriz Jacobiana

λ Multiplicadores de Lagrange

ΦQ λ Fuerzas de restricción

Inercia generalizada

q Coordenadas generalizadas

QNC Fuerzas no conservativas.

M Matriz Masa

NC Matriz de fuerzas de coriolis y centrípeta

xxiv


NG Matriz de gravedad

MTC Matriz de masa, cuyos componentes tienen que ver con la energía

cinética del elemento C

NCTC Matriz de fuerzas de coriolis y centrípeta, cuyos componentes tienen

que ver con la energía cinética del elemento C

δW Trabajo Virtual

δs Desplazamiento Virtual

F Fuerza aplicada

ri Desplazamiento lineal virtual

Ai Desplazamiento angular virtual

δɸ Desplazamiento angular virtual en ɸ

δβ Desplazamiento angular virtual en β

δθ Desplazamiento angular virtual en θ

),( YX Sistema de coordenadas inercial

),( 22 VU Sistema de coordenadas colineal al elemento, ubicado en el par B.

),( 22 YX Sistema de coordenadas con la misma orientación que el inercial,

ubicado en el centro de masa del elemento “2” ó “BB1”.

)( 2,2 CMCM VU Sistema de coordenadas colineal al elemento, ubicado en el centro

de masa del elemento “2” ó “BB1”.

),( 22 vu Distancias medidas desde el sistema de coordenadas ),( 22 VU

BCL Distancia del punto B a C.

1BBW Peso del elemento “2” ó “BB1”, concentrado en el CM.

1CBBf Fuerza ejercida por el elemento “3” ó “C” sobre el elemento “2” ó

“BB1”.

11BBf Fuerza ejercida por el elemento “1” sobre el elemento “2” ó “BB1”

xxv


CMBBR 1 Aceleración del CM del elemento BB1, que se refiere a la segunda

derivada con respecto al tiempo, de la posición del CM, desde el

sistema inercial.

BCMBBR 1 Posición medida desde el CM del elemento BB1 al Par B, utilizando

el sistema de coordenadas ),( 22 YX

CCMBBR 1 Posición medida desde el CM del elemento BB1 al Par C, utilizando


CCMR Aceleración del CM del elemento C, que se refiere a la segunda


sistema inercial.

CMCCR Posición medida desde el CM del elemento C al par C, utilizando el

sistema de coordenadas ),( 33 YX.

CMCNCR Posición medida desde el CM del elemento C al punto de aplicación

de la fuerza normal al elemento C, ejercida por el elemento DD1

utilizando el sistema de coordenadas ),( 33 YX.

CCMCR Posición medida desde el punto C al CM del elemento C, utilizando el

sistema de coordenadas ),( 33 VU

CNCR Posición medida desde el punto C al punto de aplicación de la fuerza

normal al elemento C utilizando el sistema de coordenadas ),( 33 VU

CMDDR 1 Aceleración del CM del elemento DD1, que se refiere a la segunda


sistema inercial.

ACMDDR 1 Posición medida desde el CM del elemento DD1 al par A, utilizando

el sistema de coordenadas ),( 44 YX.

ECMDDR 1 Posición medida desde el CM del elemento DD1 al par E, utilizando


xxvi


NCCMDDR 1 Posición medida desde el CM del elemento DD1 al punto de

aplicación de la fuerza normal al elemento DD1, ejercida por el

elemento C utilizando el sistema de coordenadas ),( 44 YX.

1ACMDDR Posición medida desde el punto A al CM del elemento DD1,

utilizando el sistema de coordenadas ),( 44 VU

AER Posición medida desde el punto A al punto E, utilizando el sistema de

coordenadas ),( 44 VU

ANCR Posición medida desde el punto A al punto de aplicación de la fuerza

normal al elemento DD1 utilizando el sistema de coordenadas

),( 44 VU

EFCMR Aceleración del CM del elemento EF, que se refiere a la segunda


sistema inercial.

CMEFER Posición medida desde el CM del elemento EF al par E, utilizando el


CMEFFR Posición medida desde el CM del elemento EF al par F, utilizando el

sistema de coordenadas ),( 55 YX

ECMEFR Posición medida desde el punto E al CM del elemento EF, utilizando

el sistema de coordenadas ),( 55 VU

EFR Posición medida desde el punto E al punto F, utilizando el sistema de


FCMR Aceleración del CM del elemento F, que se refiere a la segunda


sistema inercial.

CMFFR Posición medida desde el CM del elemento F al par F, utilizando el


xxvii


CMFNFR Posición medida desde el CM del elemento F al punto de aplicación

de la fuerza normal al elemento F, utilizando el sistema de

coordenadas ),( 66 YX

CMFfcorteR Posición medida desde el CM del elemento F al punto de aplicación

de la fuerza de corte, utilizando el sistema de coordenadas ),( 66 YX

FCMFR Posición medida desde el punto F al CM del elemento F, utilizando el


FfcorteR Posición medida desde el punto F al punto de aplicación de la fuerza

de corte, utilizando el sistema de coordenadas ),( 66 VU

xxviii


xxix


N Número de carreras por minuto

Vc Velocidad de corte del metal

L Longitud de la carrera

Ti Tiempo de la carrera de trabajo

Tt Tiempo total de las dos carreras

shortr Longitud del eslabón más corto de un mecanismo de 4 barras

longr Longitud del eslabón más largo de un mecanismo de 4 barras

ba rr , Longitudes de los eslabones restantes de un mecanismo de 4 barras

m Distancia vertical entre el eje de referencia fijo y el par del eslabón F

h Distancia vertical entre el eje de referencia fijo y el par A

Stroke Carrera de la corredera

Crank Manivela

R Longitud Manivela

L Longitud Biela

Ángulo de Transmisión

x Posición de la corredera

Ángulo de la manivela con respecto a la horizontal

Ángulo de la biela con respecto a la horizontal

Velocidad angular de la manivela

Velocidad angular de la biela

x Velocidad de la corredera


xxx

Aceleración angular de la manivela

Aceleración angular de la biela

x Aceleración de la corredera

Ángulo de la manivela con respecto a la vertical

Ángulo de la biela con respecto a la vertical

Q Relación de velocidades de avance y retroceso

Ángulo de avance en la manivela

Ángulo de retroceso en la manivela

Periodo del motor

Ángulo de referencia en la manivela con respecto a la horizontal, que se

utiliza como indicador de los tiempos de avance y retroceso, en la síntesis cinemática

ABL Longitud del eslabón AB

ADL Longitud del eslabón AD


xxxi

SIMBOLOGÍA: CAPÍTULO 5 F Fuerza

M Momento

m masa

GA Aceleración del centro de masa

I Segundo momento de inercia

Aceleración angular

CENTRÍPETAF Fuerza centrípeta

R Radio de círculo

, w Velocidad angular

a,b Distancia entre masas en un rotor

W Peso

INERCIAF Fuerza de inercia

INERCIAM Momento de inercia

ijF Fuerza que ejerce i sobre j

ijR Vector desde i hasta j

EBielam Masa concentrada de la Biela en el par E

FBielam Masa concentrada de la Biela en el par F

EFm Masa del eslabón EF

e Distancia del centro de masa del eslabón EF al punto e

f Distancia del centro de masa del eslabón EF al punto f

EFI Segundo momento de inercia del elemento EF


xxxii

L Longitud del eslabón EF

AEL Longitud del eslabón AE

AEm Masa del elemento AE

Balanceom Masa agregada para balancear parcialmente el mecanismo

BalanceoL Longitud medida desde el par A, hasta el punto donde se ubica la

masa de balanceo

AFXR Posición horizontal del eslabón F, medida desde el par A

Ángulo de la horizontal hacia la manivela

AFXR Aceleración horizontal del eslabón F, obtenida al derivar dos veces la

posición del eslabón F, me


xxxiii

El objetivo principal de esta tesis, es el análisis de posición, velocidad y

fuerzas de un mecanismo de configuración cerrada, como el de retorno

rápido de Whitworth

Derivados del objetivo general se plantean los siguientes objetivos

específicos:

Realizar una investigación de los modelos utilizados para describir el

movimiento de los mecanismos de lazo cerrado, para definir sus

ventajas y diferencias.

Encontrar el modelo cinemático y dinámico que rige a un

mecanismo de retorno rápido que presenta una no linealidad en la

aceleración de coriolis.

Programar todas las ecuaciones planteadas, para tomarse como

base en una futura implementación de algún algoritmo de control.

Realizar la síntesis del mecanismo, para encontrar las dimensiones

que permitan utilizarlo en una máquina herramienta

Proponer métodos de balanceo, para facilitar la implementación de

algoritmos de control.

OBJETIVO

xxxiv

OBJETIVO

xxxv

En las últimas décadas el estudio de los mecanismos considerados como

de lazo abierto, en específico los robots, ha tenido muchos avances. De tal

manera que existe un modelo común para este tipo de mecanismos, que

facilita la implementación de algoritmos de control. Sin embargo, debido a

su propia constitución, estos mecanismos presentan ciertas deficiencias en

la precisión, velocidad y rigidez del efector final, por lo que su función

principal, aunque no única, es la denominada “pick and place”.

Los estudios recientes se han enfocado a los mecanismos de lazo cerrado

como un método para solventar esta deficiencia del efector final. Para tal

fin se ha tomado como punto de partida, encontrar un modelo semejante

al planteado para los mecanismos de lazo abierto en el entendido de

aprovechar toda la información que pueda facilitar la implementación de

algoritmos de control.

Se han propuesto diferentes métodos que tienen en común, el hecho de

que un mecanismo de lazo abierto presenta un actuador por cada par

cinemático, a diferencia de un mecanismo de lazo cerrado cuyo número

de pares cinemáticos supera al número de actuadores. Lo que lleva a

tener un número distinto de ecuaciones diferenciales que describen el

sistema y las variables involucradas. Para lidiar con este inconveniente se

agregan las llamadas coordenadas generalizadas dependientes y el uso

de los multiplicadores de Lagrange.

Además, los modelos planteados se implementan en software como

modelos generalizados, en donde es muy importante que su estructura no

complique el procesamiento de la información. Una de las claves para

lograr este objetivo es la selección de las coordenadas y puntos de

referencia más adecuados. Esto ha llevado a la construcción de modelos

basados en coordenadas naturales, de punto de referencia, relativos y

mixtos.

La información heredada de los mecanismos de lazo abierto, ha servido

para implementar algoritmos de control en los mecanismos de lazo

cerrado utilizando estos modelos planteados. Se presentan buenos

resultados principalmente en simulaciones y prototipos de laboratorio. Esto

a causa de la simplificación del modelo y la imposición de restricciones

ideales.

JUSTIFICACIÓN

xxxvi

El término mecatrónica, y en específico el diseño mecánico basado en el

control, ha surgido como una propuesta para facilitar la implementación

de algoritmos de control en los mecanismos. La idea consiste en simplificar

el modelo del sistema por medio del diseño mecánico. El balanceo se

plantea como una forma de lograr tal fin, puesto que un mecanismo bien

balanceado mantiene su centro de gravedad estático o casi estático, que

tiene como consecuencia la cancelación o disminución de los efectos de

algunos términos en el modelo del sistema.

El presente trabajo, hace un recorrido a través de los estudios antes

mencionados, aplicándolos a un mecanismo de retorno rápido, que tiene

la característica que presente una no-linealidad debido a la aceleración

de coriolis. Esta característica aunque complica el modelo del sistema, es

muy valorada en el estudio de los esquemas de control. Además, el

modelo resultante se planteó de tal manera que pueda describir diferentes

geometrías en los eslabones.

JUSTIFICACIÓN

1

INTRODUCCIÓN CAPÍTULO 1

El estado del arte es el recorrido que

se realiza -a través de una

investigación de carácter

bibliográfico- con el objeto de conocer

y sistematizar la producción científica

en determinada área del

conocimiento.

Cuando leemos acerca de un

inventor, científico o alguien

importante en la historia, no es fácil

entender su trabajo sin antes estudiar

las razones que lo llevaron a

desarrollarlo, es decir; qué

conocimientos existían y qué hacía

falta cuando se hizo manifiesto.

Un ejemplo, sería Isaac Newton,

quien estudio a Galileo, Kepler, Tycho

Brahe, Copérnico, Aristóteles,

Euclides, etc., para entender que era

necesario encontrar una forma de

describir los cuerpos en movimiento

que fuera simple y eficaz.

Cuando usamos alguna herramienta

o máquina, generalmente no nos

preguntamos quien la inventó, o

desde cuando existe, o aún más,

como vivían las personas sin ella. Al

entenderlo nos damos cuenta del

progreso y el trabajo que se ha

desarrollado a través de los siglos

para contar con ella. Y aún más si

queremos mejorarla, siempre es

valioso saber que se ha hecho antes

y que existe ahora para hacerla más

eficiente.

Tuvieron que pasar muchos siglos en

la historia del hombre, para que

finalmente en el siglo XX, surgieran

las computadoras que son tan

comunes de conseguir y usar en

nuestros días, desde el

descubrimiento de la energía eléctrica

y magnética, además plantear la ley

que rige estos fenómenos, el camino

que se siguió para el desarrollo de la

electrónica, y toda la evolución del

mundo digital.

Este capítulo describe un breve

recorrido a través de la historia y los

fundamentos de la mecánica, el

control, la mecatrónica y la aplicación

de ella en el diseño de los

mecanismos.

Índice.

1.1 Evolución de la mecánica

1.2 Breve historia del control

automático

1.3 Mecatrónica

1.4 Mecanismos desde un punto

de vista mecatrónico

Estado del Arte

2


3

La inquietud intrínseca del ser humano, lo ha llevado siempre a la búsqueda de la

verdad. La observación, el análisis y la imaginación han sido herramientas

fundamentales para encontrarla.

No es raro encontrar grandes descubrimientos y desarrollos en la antigüedad,

pues los hombres de ese entonces tenían la misma capacidad que los que

habitamos actualmente la tierra, la diferencia se basa sólo en las herramientas

empleadas.

El interés de saber cuál es el principio que rige un fenómeno y poderlo describir y

manipular ha sido siempre el motor propulsor para los hombres de ciencia. Así el

nacimiento de la mecánica fue un paso lógico en la historia de la humanidad.

La mecánica es la rama de la física que estudia y analiza el movimiento y reposo

de los cuerpos y su evolución en el tiempo.

La construcción de los conceptos que hoy conocemos de la mecánica, se lo

debemos a grandes hombres, que a través de la historia han aportado su tiempo y

trabajo.

Grandes griegos como Pitágoras, Aristóteles, Arquímedes, Strato, Ctsibius entre

otras grandes mentes, contribuyeron a formar las bases del entendimiento

Los griegos estudiaron los movimientos de los objetos terrestres y espaciales,

también la teoría de números, trigonometría y geometría, además desarrollaron la

idea del concepto de fricción, impacto y resistencia de las vigas, entre otras

muchas aportaciones.

Con la ayuda de la palanca, la cuña, la polea, el engrane y el tornillo, los griegos

pudieron construir máquinas como la catapulta, proyectiles, además de barcos y

edificios, que después perfeccionaron los romanos.

En el siglo XV, Leonardo Da Vinci, hizo observaciones de las leyes de la dinámica

y estática. Da Vinci sólo se enfocó en máquinas específicas y no a los principios

generales.

En el mismo siglo, Copérnico, Tycho Brahe y Kepler cambiaron el paradigma

aristotélico con sus aportaciones del estudio de los astros.

EVOLUCIÓN DE LA MECÁNICA CAPÍTULO 1

4

En el siglo XVI, Galileo Galilei estudió el movimiento del plano inclinado, realizó

importantes observaciones acerca del movimiento del péndulo.

Muchas veces la dinámica de las máquinas eran bien entendidas antes que

existiera un profundo entendimiento teórico de la dinámica, ese fue el caso del

péndulo de Galileo, que fue descrito antes que Newton y Euler nacieran.

En el mismo año que murió Galileo en 1642, nació en Inglaterra Isaac Newton,

quien en 1686 publicara su trabajo “Principia”, que fue un tratado de la dinámica

de las partículas y su comportamiento bajo el influjo gravitacional. Planteándose

un tiempo absoluto, un espacio homogéneo, en donde no hay puntos o lugares

privilegiados (el metro es igual en la tierra que en el espacio), y un espacio

isotrópico en donde no hay direcciones privilegiadas

Las tres leyes enunciadas por Newton, revolucionaron el mundo científico. Sin

embargo fue hasta 1760, cuando el suizo Leonard Euler público su obra “Theoria

motus corporum solidorum sea rigidorum”, cuando se empezó a entender la

dinámica de los cuerpos rígidos. Euler hizo grandes aportaciones a las

matemáticas, su nombre aparece en casi todas las ramas de las matemáticas.

Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813), en su obra “Mecanique Analytique”,

aporto una nueva manera de entender la mecánica, analizando los problemas

desde un punto de vista energético, estudió problemas dinámicos con

restricciones, y problemas de optimización.

El trabajo de Lagrange fue publicado durante el monopolio de Watt y Boulton de la

máquina de vapor.

D’Alembert, fue contemporáneo de Euler y Lagrange, publicó su obra “Tratado de

dinámica” que enuncia el teorema que lleva su nombre “principio de D’Alembert o

principio de los trabajos Virtuales”.

James Watt, ingeniero, matemático e inventor escoces, aportó importantes

conocimientos para la creación de la máquina de vapor, principal eje en la

revolución industrial y principios de la teoría de control clásico, entre sus muchas

obras se encuentra el mecanismo de Watt, que convierte el movimiento circular en

un movimiento casi rectilíneo. Watt se asoció con el industrial Boulton y juntos

instalaron la primera máquina de vapor rotativa en 1786.

Julius Weisbach en 1848 con su tratado “Principios de maquinaria e ingeniería”

presentó de manera general la dinámica de cuerpos rígidos, estabilidad y teoría de

oscilaciones.


5

Borgins en 1818 y Haton años mas tarde, publicaron tratados que abarcan los más

importantes mecanismos de una manera descriptiva, el primero clasificándolos en

6 grandes familias, receptores, comunicadores, modificadores, de soporte,

reguladores y operadores. Mientras que Haton describió más de 250 mecanismos.

Más tarde en Alemania Franz Reuleux (1859), conocido como el padre de la

cinemática, desarrolló una notación para describir la topología de los mecanismos,

diseñó y construyó más de 300 piezas de mecanismos, en los cuales se incluyen

el mecanismo de cuatro barras. Sus teorías se basaron en ideas geométricas no

precisamente en los principios dinámicos. También realizó trabajos con la fuerza

centrífuga y los momentos de inercia rotatorios.

Joseph Withworth, ingeniero inglés, que en el siglo XIX, contribuyó con la

introducción de nuevos estándares de precisión en la manufactura a un grado no

visto antes, ya que gracias a su trabajo, fue común utilizar una precisión de una

diez milésima de pulgada. Inventor del mecanismo de retorno rápido utilizado en

las máquinas de cepillo que ayudó a ahorrar tiempo de maquinado.

William Rowan Hamilton, matemático, físico y astrónomo irlandés, quien hizo su

mayor contribución durante el siglo XIX, trabajó con óptica, dinámica y álgebra. Su

trabajo en dinámica y el descubrimiento del cuaternión son sus obras más

representativas. Las ecuaciones de Hamilton, son ecuaciones diferenciales de

primer grado. Los trabajos de Hamilton, Jacobi, Caughy, Navier y Poincaré no

fueron incorporados en el diseño de máquinas hasta mediados del siglo XX.

En el Siglo XX, los problemas dinámicos tuvieron gran importancia debido

principalmente a la invención y la expansión del uso del automóvil. Al tratar estos

problemas se reconocía a los elementos mecánicos como componentes elásticos

y eran tratados usualmente de acuerdo a la teoría de vibraciones, que es un

método matemático que surgió en el siglo XIX con los trabajos de Rayleigh en su

teoría del sonido.

En 1928, Stephen Timoshenko, considerado el padre de la ingeniería mecánica

moderna, divulgó en América importantes trabajos de Europa y Rusia,

combinándolo con su experiencia para resolver problemas industriales. Su primer

libro publicado en 1922, “Vibration Problems in Engineering”, abarcó problemas

lineales y de vibraciones no armónicas. Timoshenko trabajó con la teoría de

elasticidad y Resistencia de los Materiales, además de desarrollar metodologías

para tratar con problemas dinámicos con ayuda de D.H Young, trabajando ambos

en la universidad de Stanford.


6


7

La idea del control por retroalimentación que ha revolucionado nuestra manera de

vivir y de concebir nuestro mundo, tiene un principio básico, el cual consiste en

obtener la respuesta de nuestro sistema, compararla con la respuesta deseada,

una vez que se sabe cuánto difiere una de la otra y en qué manera, entonces se

modifican los parámetros de entrada con el objeto de que la respuesta del sistema

se asemeje en lo mejor posible a la respuesta deseada.

Esta idea pudo haber sido concebida por griegos o árabes del antiguo mundo,

plasmada en sus máquinas, p. ej. En los relojes de agua, lámparas de aceite,

dispensadores de vino, niveladores de agua, etc.

En la era moderna, los dispositivos de regulación de temperatura en calderas o de

posicionamiento de molinos de viento fueron los precursores del control en los

siglos XVII y XVIII

La forma de obtener información del sistema en estos siglos, era a través de

dispositivos mecánicos, un ejemplo muy ilustrativo es el famoso gobernador

utilizado en la máquina de vapor de James Watt, quien obtuvo la idea de Thomas

Mead, que lo utilizaba como sensor de velocidad. Mejorar el funcionamiento del

gobernador fue uno de los principales retos del control en el siglo XIX, ya que a

menudo se encontraban problemas de inestabilidad.

En 1868, el inglés, James Clerk Maxwell analizó la dinámica del gobernador

obteniendo las condiciones de estabilidad para un sistema de tercer orden en

términos de la ecuación característica y fue su compatriota Edward James Routh

quien obtuvo la solución para un sistema de quinto orden. Haciendo un trabajo

independiente en Alemania, Adolf Hurwitz, quien siguió los pasos de

Vyshnegradskii llegó a la misma conclusión de Routh, por lo que el criterio de

estabilidad se conoce como Routh-Hurwitz

A finales del siglo XIX y principios del siglo XX se presentaron aplicaciones de

control en la industria naval, aeronáutica y militar, los cuales ya usaban sistemas

sofisticados de retroalimentación. El giroscopio tuvo un papel muy importante en el

desarrollo de estabilizadores de aviones y barcos.

BREVE HISTORIA DEL CONTROL AUTOMÁTICO CAPÍTULO 1

8

Nicholas Minorsky en 1922, quien nació en Rusia, y emigró a los Estados Unidos,

realizando estudios importantes en la conducción de barcos recomendó, aunque

no en los mismos términos que lo conocemos ahora, una combinación de una

acción proporcional, derivativa e integral en los sistemas retroalimentados. Y a

finales de la década de 1930, ya existían controladores de tipo proporcional,

derivativo e integral, PID.

En las tres primeras décadas del siglo XX, hubo importantes análisis en los

circuitos electrónicos y diseño de filtros.

Harry Nyquist en 1932, analizó el problema de estabilidad de circuitos

retroalimentados utilizados en la transmisión de señales telegráficas. Nyquist

demostró usando los resultados de Cauchy Euler que la clave de estabilidad está

en si la respuesta frecuencial del sistema de lazo abierto se encuentra o no en el

plano complejo rodeando el punto 1+i0.

Una de las grandes ventajas del criterio de Nyquist es que no se requiere la forma

analítica de la respuesta frecuencial del sistema en lazo abierto. Un arreglo de

puntos muestra, pueden ser graficados sin la necesidad del modelo matemático,

otra ventaja consiste en que a diferencia del criterio de Routh-Hurwitz una

valoración de la respuesta transitoria puede ser hecha directamente desde las

gráficas de Nyquist en términos de los márgenes de la ganancia y la fase.

Hendrik Bode a mediados de 1930 introdujo las nociones de márgenes de

ganancia y fase, además de redibujar las gráficas de Nyquist a su forma

actualmente conocida con el punto crítico en -1+0i. También introdujo las

aproximaciones con líneas rectas a las curvas de respuesta frecuencial de

sistemas lineales graficándolas en escala logarítmica.

En la segunda guerra mundial, se presentaron importantes avances en la teoría de

control. Ingenieros de distintas disciplinas trabajaron juntos para implementar

sistemas militares de alto desempeño. Los laboratorios que participaron en dichos

proyectos como el MIT y los laboratorios Bell, al terminar la guerra, elaboraron y

dieron a conocer las técnicas que llegaron a formar lo que conocemos como el

control clásico.


9

El control moderno fue en esencia originado con los trabajos de Poincaré y

Lyapunov a principios del siglo XIX quienes trabajaron con la linealización analítica

de un campo vectorial en un entorno de un punto de equilibrio, a través de la

existencia de soluciones analíticas de ecuaciones en derivadas parciales casi

lineales de primer orden, la dinámica de sistemas no lineales y estabilidad de

sistemas variantes en el tiempo.

Lagrange en su “Mecanique analytique” desarrolló un importante avance en el

entendimiento de la estabilidad de sistemas mecánicos. Su teorema expresa que

el equilibrio es estable en los puntos donde la energía potencial tiene un mínimo.

Lyapunov, tomó el trabajo de Lagrange e introdujo su propia definición en su

monografía “Problema general de la estabilidad del movimiento”, en donde se

encuentra por primera vez una definición con rigor matemático y que va más allá

del concepto de estabilidad utilizado en la mecánica, ya que analiza la estabilidad

de una ecuación diferencial y no nada más en sus puntos de equilibrio sino en

cualquier solución de la ecuación.

Los científicos rusos continuaron las líneas de estos grandes genios, pero no se

dieron a conocer al mundo, hasta después de la segunda guerra mundial.

La guerra fría trajo consigo nuevos retos en materia de control en aplicaciones

militares tanto en sistemas lineales como no-lineales. Los ingenieros siguieron el

ejemplo de Poincaré que formulaba las ecuaciones diferenciales generales en

términos de un juego de ecuaciones de primer orden, variables de estado, que

permitían una representación más sofisticada del comportamiento dinámico,

además que se podía trabajar con problemas multi-variable.

La computadora digital revolucionó el desarrollo de la teoría de control, ya que

pudieron desarrollarse métodos de aproximación confiables, además que permitió

el desarrollo de técnicas de control avanzadas que se desarrollaron en la década

de los 60 y 70s del siglo XX, como son: El control Adaptativo, el control robusto y

óptimo, el control difuso entre otros.


10


11

MECATRÓNICA CAPÍTULO 1

En 1969, el ingeniero japonés Yasakawa definió la mecatrónica como: “La palabra

mecatrónica está compuesta por “meca” referida a mecanismo y “trónica” referida

a electrónica. En otras palabras, tecnologías y productos de desarrollo

incorporarán la electrónica más y más dentro de los mecanismos de forma íntima

y orgánica, de tal manera que será imposible definir cuando termine una y

comience la otra”.

Desde entonces se han sugerido otras definiciones, aquí presentamos algunas de

ellas.

Tomizuka y Fukada en 1996, “La integración sinérgica de la ingeniería mecánica,

con la electrónica y el control computacional inteligente, en el diseño y

manufactura de productos y procesos industriales”.

Auslander y Kempf, “La mecatrónica es la aplicación de hacer decisiones

complejas para la operación de los sistemas”.

Shetty y Kolk en 1997, “Mecatrónica es una metodología usada para el diseño

óptimo de sistemas electromecánicos”.

W. Bolton, “Un sistema mecatrónico no es solamente la unión de los sistemas

mecánicos y eléctricos y ni sólo un sistema de control, es una completa

integración de ellos”.

Para muchos ingenieros de diseño, la mecatrónica no es algo nuevo, sino sólo un

paso evolutivo, pues se han hecho productos con estas características hace más

de 25 años.

La mecatrónica brinda un mecanismo para entender el proceso de diseño para

definir, clasificar, organizar e integrar muchos aspectos del diseño en un solo

paquete. No es, por tanto, una nueva rama de la ingeniería, sino un concepto que

enfatiza la necesidad de integración e interacción de distintas disciplinas de la

ingeniería.

En los años 60s del siglo XX, la mecatrónica dio un gran paso, con la ayuda del

desarrollo del microprocesador, y sus primeros frutos se dieron a conocer en las

máquinas de control numérico.

12


La evolución de la mecatrónica ha estado plasmada en el diseño y funcionamiento

del automóvil, ya que para los años 60’s la radio era el único dispositivo

electrónico dentro del coche. En los 70’s el automóvil ya constaba con el sistema

de ignición electrónico al igual que el sistema antibloqueo de frenos (ABS) para

eliminar el deslizamiento de las llantas al frenado. A mitad de los años 90s, el

sistema de control de tracción (TCS) ya estaba incluido en los automóviles, el cual

asegura el mejor comportamiento de la aceleración.

Hoy en día microprocesadores de 8, 16 o 32 bits son usados en la implementación

de sistemas de control dentro del vehículo.

Los microprocesadores de 32 bits son usados para la administración del motor, el

control de la transmisión y las bolsas de aire, el de 16 bits es usado para los

sistemas ABS, TCS, VDC y aire acondicionado, mientras que el de 8 bits, es

usado para los asientos y el control de los espejos. En palabras sencillas, el

automóvil ha sido transformado en un sistema mecatrónico.

En el diseño mecatrónico, la interconexión entre los sistemas mecánicos y

electrónicos es de vital importancia, ya que los sistemas electrónicos pueden

simplificar u optimizar los sistemas mecánicos. Al añadir un control de lazo

cerrado, ya sea de posición, velocidad o fuerza no sólo obtenemos información

detallada de estas variables, sino que podemos aproximar el sistema mecánico a

un sistema lineal, aun cuando este sea en naturaleza no lineal, además que

podemos aumentar la precisión del sistema.

El diseño de un sistema mecatrónico requiere de un desarrollo sistemático y

herramientas de desarrollo modernas.

El desarrollo sistemático de una máquina o un vehículo, empezaría por entender el

modelo que lo rige, implementar un sistema mecánico, adicionar los sensores y

actuadores y proponer un modelo de control. Una vez que vemos las posibles

mejoras y ventajas, se hace un rediseño de cada una de las etapas para

finalmente hacer una buena integración de todos los sistemas.

En la fase de modelado, existen dos maneras de obtener un buen resultado, la

primera es mediante un modelo teórico y la segunda por medio de datos

experimentales. Para la verificación de estos modelos, Los métodos la respuesta

frecuencial, así como el análisis espectral de Fourier son utilizados.

La tecnología de nuestra época, permite al ingeniero de diseño, simular los

sistemas, para tratar de evitar tantos errores como sea posible antes de su

implementación física.

13


Se puede simular todo el sistema mecánico, eléctrico (motores), sensores y

actuadores y la implementación del modelo de control. Existen tres etapas

importantes en la simulación, En la primera se analiza el sistema mecánico, su

resistencia a la flexión, torsión, tensión, fatiga, etc., debidos principalmente a las

cargas y a las vibraciones mecánicas. También hay análisis de fluidos y análisis

térmicos, así como de contacto y fractura. La segunda consiste en implementar el

modelo dinámico así como sus condiciones iniciales en software, entonces

analizar, modificar y mejorar el comportamiento del sistema mediante una ley de

control. Finalmente La tercera etapa consiste en analizar el modelo dinámico

implementado en software que interactúe con sensores y actuadores reales.

Existen en el mercado actual, programas de diseño con un perfil mecatrónico, los

cuales aceleran el desarrollo de productos que involucran distintas disciplinas:

mecánica, eléctrica y control haciendo un trabajo en paralelo. El software permite

crear elementos en tercera dimensión, simular su modelo dinámico y hacer un

análisis de elemento finito. Además permite seleccionar y posicionar sensores y

actuadores, configurando sus parámetros. Finalmente permite implementar una

ley de control que puede ser transportada a un PLC. Tal es el caso del software

de siemens NX.

14


15

MECATRÓNICA EN LOS MECANISMOS CAPÍTULO 1

Los mecanismos forman parte de la historia de la creatividad humana, con su

ayuda se han construido máquinas que facilitan nuestras vidas, tal fue el caso de

los molinos o relojes inventados en la antigüedad, y los utilizados en los aviones,

helicópteros y naves espaciales de nuestros días.

En los últimos 10 años se han presentado varios trabajos acerca de ellos, ya sea

acerca de su diseño u optimización o como bases para probar modelos de control,

ya que los mecanismos proporcionan características atractivas en sus modelos

dinámicos para ser controladas.

Los servomotores son una parte muy importante en el desarrollo de estos trabajos,

pues es básicamente el actuador a controlar en el mecanismo, ya que muchos de

estos presentan un solo grado de libertad.

En 1996, J.S. Park estudió la eficiencia de los servomotores en los casos en que

una máquina tenga que moverse entre dos puntos repetitivamente ya sea en

forma de rotación o traslación. En su estudio propone un perfil de movimiento con

una máxima eficiencia de energía. A pesar de que ya existían perfiles que

trabajaban bien en la industria, como son el perfil trapezoidal, exponencial,

polinomial, sinusoidal, cosenoidal, entre otros, estos no tenían una eficiente

conversión de energía, ya que mucha de la energía de entrada se desperdiciaba

en forma de calor, por lo que el sistema requería grandes cantidades de energía

de entrada. [12]

J.S. Park propone estudiar la transferencia de energía en el sistema en el

movimiento de punto a punto, además de analizar como un perfil dado interviene

o afecta en dicha transferencia y determinar un perfil de aceleración que presente

mejor eficiencia de energía. Park, considera el motor como un convertidor de

energía eléctrica a energía mecánica (trabajo mecánico). Con la premisa que al

disminuir el calor disipado, se incrementa la eficiencia de conversión de energía y

se necesita menos energía en la entrada, Park, finalmente construye su perfil

parabólico de aceleración para un motor de corriente DC.

La dinámica de los sistemas multi-cuerpos ha tomado un gran interés en los

últimos años. Estos sistemas consisten de un conjunto de cuerpos rígidos que son

restringidos a tener un movimiento relativo uno del otro, por una conexión

cinemática entre ellos.

16


En un trabajo presentado en 1997 por la universidad Chung Yuan Christian en la

República de China, se presentó la forma de calcular la posición, velocidad y

aceleración de un mecanismo de cambio (toggle) empleando una técnica de

restricción de multi-cuerpo. [13]

El mecanismo de cambio (toggle) es por lo general una combinación de un

mecanismo de cuatro barras y mecanismo de biela-manivela.

Se habían realizado ya trabajos acerca de cómo modelar la dinámica de este

mecanismo sin utilizar restricciones no ideales. Los trabajos previos que utilizaron

multiplicadores de lagrange resolvían las ecuaciones dinámicas utilizando un

método numérico.

En el trabajo presentado por la universidad Chung Yuan, presentan un mecanismo

de cambio (toggle), formado por dos mecanismos de biela-manivela. Las

posiciones fueron obtenidas utilizando trigonometría y las velocidades y

aceleraciones por un proceso derivativo de las primeras. La dinámica se basó en

las ecuaciones de Hamilton y los multiplicadores de Lagrange obteniendo

ecuaciones diferenciales algebraicas que describen el movimiento del mecanismo.

Es difícil obtener soluciones directas para las ecuaciones planteadas, por lo cual

se plantea método de reordenamiento y partición de las ecuaciones de

movimiento, obteniendo un arreglo de ecuaciones diferenciales en términos de

una sola componente de las coordenadas generalizadas, que son consistentes

con las restricciones de posición y velocidad que actúan en el sistema. Al resolver

este sistema de ecuaciones diferenciales, obtenemos el comportamiento del

sistema.

En 1997, en la universidad de Gaziantep, Turquía, se presentó el modelado,

simulación y control de un mecanismo de cuatro barras con un servo-motor sin

escobillas [14]

El trabajo plantea que los motores con conmutador y escobillas de corriente

directa, imponen ciertas limitaciones de desempeño en servo-sistemas, además

que pueden ser la causa de problemas de mantenimiento. En cambio un motor sin

escobillas donde no existe una interface conmutador-escobillas y el conmutador

mecánico es reemplazado por uno electrónico resulta en un rotor de altas

velocidades y bajas inercias y tiene un gran potencial de confiabilidad comparado

con el motor DC convencional.

17


El modelo no lineal del motor sin escobillas en un mecanismo de cuatro barras es

representado por un conjunto de ecuaciones acopladas que se resuelven

utilizando métodos numéricos programados en Turbo Pascal.

Este servo-sistema se plantea experimentalmente, obteniendo resultados muy

parecidos con aquellos hechos en simulación.

Rong-Fong Fung con la ayuda de Rong-Jong Wai continuaron con el trabajo

realizado en el mecanismo de cambio (toggle), presentando en 1998, un trabajo

acerca de dos esquemas de control diseñados para este mecanismo. Control por

modos deslizante y Control por medio de una red neuronal difusa. [15]

El control por modos deslizantes es un medio efectivo para trabajar con

incertidumbres. Este tipo de implementación tiene una buena aceptación en la

comunidad científica, y su aplicación en sistemas dinámicos ha sido posible

gracias a los avances en la electrónica de potencia, siendo su único inconveniente

el fenómeno llamado chattering que se presenta cuando el control conmuta entre

las estructuras(superficies) de control definidas.

Las redes neuronales difusas combinan la capacidad de razonamiento difuso para

manejar incertidumbres y la capacidad de las redes neuronales para aprender

durante el proceso. El control que ocupa esta técnica puede ser aplicado en lazo

cerrado para sistemas no lineales sin usar el complejo modelo matemático que

describe al sistema.

En los trabajos anteriores, no se tomó en cuenta la dinámica del motor y ningún

esquema de control fue implementado en el mecanismo de cambio (toggle), para

controlar su posición, velocidad o trayectoria.

Por tanto se plantean los dos esquemas de control antes mencionados en un

motor de CD de imán permanente. Fung y Wai, muestran que la dificultad de

trabajar con un control por modos deslizantes en sistemas mecánicos, consiste en

encontrar el modelo matemático exacto del sistema y la frontera de incertidumbre

en aplicaciones prácticas; por tal motivo también implementan un control con una

red neuronal difusa.

El trabajo concluye que los datos obtenidos en la simulación y experimentalmente

muestran que los dos esquemas de control resultaron ser muy eficientes y

robustos en el posicionamiento del mecanismo de cambio (toggle)

18


En el mismo año, 1998, se publicó un trabajo acerca del control de un mecanismo

biela-manivela usando un control de Torque adaptativo por F.-J. Lin, Y.-S. Lin y S.-

L. Chiu. [16]

El objetivo de este trabajo, consistió en controlar la posición del mecanismo biela-

manivela utilizando un motor síncrono de imán permanente. La metodología que

siguieron fue obtener el modelo dinámico del mecanismo usando las ecuaciones

de Hamilton y los multiplicadores de Lagrange, después plantearon el esquema de

control de Torque adaptativo considerando incertidumbres en el sistema. El control

fue implementado en un DSP y probado experimentalmente.

El control de Torque es utilizado para linealizar la ecuación no lineal del

mecanismo al cancelar algunos o todos los términos no-lineales, sin embargo esta

técnica presenta una desventaja cuando se aplica en sistemas que trabajan en

tiempo real debido a la falta de conocimiento de las incertidumbres. Por otro lado

el control adaptativo es una técnica que brinda estabilidad a aplicaciones

inherentemente no-lineales.

El resultado de implementar el Control de Torque adaptativo en el mecanismo de

biela-manivela, con el objetivo de controlar su posición, mostró ser un control

robusto con grandes resultados tanto en la simulación, como experimentalmente.

En 1999, el mismo problema lo resolvieron: Rong-Fong Fung, Ken-Wang Chen,

Jia-Yush al implementar un control por modos deslizantes difuso. [17]

La metodología del diseño mecatrónico fue planteada en el trabajo de W.J Zhang,

Q. Li, y L.S. Guo en la publicación de su trabajo “Diseño Integral de la estructura

mecánica y el algoritmo de control de un mecanismo de cuatro barras” presentado

en 1999. [18]

La metodología de diseño implementada sugiere un esquema de re-distribución de

masa negativa con el objetivo de obtener un modelo dinámico simple que facilite

el esquema de control. En consecuencia obtener buen desempeño en el

seguimiento de trayectoria y en el comportamiento ante vibraciones mecánicas.

El seguimiento de trayectoria en eslabones de lazo cerrado no es tan común como

aquellos con lazo abierto como los manipuladores. Sin embargo la dinámica del

primer tipo de eslabonamiento es altamente no-lineal debido principalmente a la

asimetría de la estructura geométrica.

19


Una metodología de diseño secuencial, crea en la mayoría de las veces

problemas para la implementación del sistema de control, ya que una de las

principales limitaciones del sistema de control es el sistema mecánico. El diseño

mecatrónico planteado, llamado “Diseño para control” trata de solventar este

problema al pensar en el diseño de los componentes para facilitar el esquema de

control.

Para la obtención de un modelo dinámico general para un eslabonamiento de

cuatro barras, se adapta un resorte torsional y un amortiguador al seguidor del

mecanismo.

Finalmente, con la ayuda de la distribución de masa se elimina el término

gravitacional de las ecuaciones de Lagrange. El controlador implementado es un

PD, proporcional-derivativo el cual logra un buen desempeño en el control de

movimiento del mecanismo.

“Modelar e implementar un control en mecanismos de cadena cerrada”, fue el

título del trabajo de Fathi H. Ghorbel, Olivier Chételat, Ruvina Gunawardana y

Roland Longchamp en el año 2000. El trabajo plantea modelar los mecanismos de

cadena cerrada en términos de sus coordenadas generalizadas e implementa un

control tipo PD, proporcional-derivativo, con compensador de gravedad que

garantiza una estabilidad asintótica. Los experimentos los realizaron con la

construcción de un robot delta. [19]

En la actualidad los robots que realizan la función de maquinar, son robots de

cadena cerrada, ya que ofrecen una mayor rigidez con lo cual pueden trabajar con

materiales más duros.

A diferencia de los mecanismos de cadena abierta, la obtención de las ecuaciones

de movimiento para mecanismos de cadena cerrada que permitan la

implementación de un control más eficiente, es todavía un tema de investigación.

Es común derivar las ecuaciones de movimiento en términos de las variables

actuadas, que generalmente es en número igual a los grados de libertad del

sistema. Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar con la técnica de

Uicker, la cual consiste en generar tantas ecuaciones diferenciales de segundo

orden no lineales como grados de libertad se presenten en el sistema.

Se toma la idea de Uicker refiriéndose a ella como el “modelo reducido”, que

muestra la ventaja de permitir extender las leyes de control avanzadas que se

tienen para cadenas cinemáticas abiertas a cadenas cinemáticas cerradas.

20


El método del “modelo reducido” muestra dos características importantes en los

mecanismos de cadena cerrada. La primera consiste que el sistema está definido

localmente en las coordenadas generalizadas en un dominio compacto con

fronteras que no son fácilmente caracterizadas y la segunda indica que las

ecuaciones dinámicas de estos sistemas son en naturaleza implícitas, lo que

genera un reto en el diseño de un esquema de control. La implementación y el

análisis de estabilidad como la parte implícita del modelo dinámico necesitan un

control basado en el modelo que pueda ejecutarse en línea usando iteraciones

numéricas, forzando a que la operación de cómputo requiera ser casi instantánea

para garantizar la convergencia.

El trabajo muestra que un simple controlador PD, con compensador de gravedad

evade el cómputo en línea y garantiza una estabilidad asintótica según Lyapunov.

Obteniendo buenos resultados en la implementación utilizando un procesado DSP

(Digital Signal Processor) en un “pick and place delta robot”.

En el año 2005, la universidad de Atatürk en Turquía, presentó un trabajo llamado

“Control difuso de un motor de CD conductor de un mecanismo de cuatro barras”,

el cual demuestra que la velocidad angular de entrada de un mecanismo de biela-

manivela, no es constante, presentando fluctuaciones de velocidad a voltajes

constantes ocasionados por los efectos de inercia, por lo cual se diseña un

controlador difuso que regule dicha velocidad y compara los resultados con un

controlador PID presentado en trabajos anteriores. [20]

Las simulaciones muestran los resultados obtenidos, siendo estos muy superiores

en la reducción de fluctuaciones y el porcentaje de sobretiro, así como también en

la estructura del controlador de la señal de salida, lo que facilita la implementación

en hardware.

21


Se inicia el análisis cinemático, con

un fragmento del libro de “Mecánica

sin Talachas”, escrito por el Doctor

Fermín Viniegra Heberlein, puesto

que muestra como un problema que

parece muy sencillo, se convierte en

complejo al agregar todas las

variables que intervienen en él.

“Los problemas realmente complejos

son los que se observan aquí, en la

Tierra: el vuelo de una flecha a través

del aire es uno de ellos. Para

comprenderlo es necesario entender

no sólo el fenómeno gravitacional de

la Tierra que atrae hacia su centro a

la flecha. También hay que saber que

el aire es un fluido viscoso y que

ejerce fuerzas aerodinámicas sobre la

superficie de control de la flecha,

obligándola a seguir una trayectoria

fija, sin desviarse hacia un lado o el

otro. También es necesario tener un

claro conocimiento sobre los efectos

de la resistencia del aire sobre la

flecha, para poder diseñarla de

manera que vuele mejor, surcando el

espacio libremente. Son muchos los

factores que habrá que tomar en

cuenta para hacer un detallado

análisis del movimiento de la flecha.

Aquellos hechos que por ser

cotidianos parecían simples a la luz

de una razón superficial,

considerados sobre las bases de la

mecánica clásica resultan

sumamente complicados. Se puede

afirmar que, así como la mecánica de

los cielos está al alcance de la mano,

la de los hechos terrenales es una

mecánica de todos los diablos,

debido a las grandes dificultades que

plantea”. [1]

El análisis cinemático estudia el

movimiento de los cuerpos sin

considerar la fuerza que produce

dicho movimiento. Su objetivo es

determinar las posiciones,

velocidades y aceleraciones como

resultado de conocer los movimientos

de entrada pre-escritos. [2]

Índice.

2.1 Grados de Libertad

2.2 Sistemas de Coordenadas

2.3 Restricciones cinemáticas

2.4 Uniones, en sistemas multicuerpo

2.5 Cinemática Directa

2.5.1 Análisis de Posición

2.5.2 Análisis de Velocidad

2.5.3 Análisis de Aceleración

2.5.4 Cinemática de los CM

2.6 Coeficientes de Velocidad y

Aceleración.

ANÁLISIS CINEMÁTICO

22


23

Tabla 2.1 Pares Inferiores

Nombre Letra DOF Contiene

Revoluta ( R ) 1 R

Prismatico ( P ) 1 P

Helicoidal ( H ) 1 RP

Cilindrico ( C ) 2 RP

Esferico ( S ) 3 RRR

Planar ( F ) 3 RPP

Pares Inferiores

Cualquier sistema mecánico puede ser clasificado de acuerdo al número de

grados de libertad que posee.

Los grados de libertad de un sistema es igual al número de parámetros

independientes, que son necesarios para definir de forma única su posición en el

espacio en cualquier instante de tiempo.

“Eslabón”

Un eslabón es un cuerpo rígido que posee al menos dos nodos que son los puntos

de unión con otros eslabones.

“Par cinemático (junta ó articulación)”

La junta es una conexión entre dos o más eslabones (en sus nodos), los cuales

permiten un movimiento relativo.

“Pares inferiores y superiores”

Reuleux, definió el término de par inferior para describir las juntas con contacto

superficial, como un perno rodeado por un agujero. Y el término par superior para

describir juntas con un punto o línea de contacto. [3]

GRADOS DE LIBERTAD CAPÍTULO 2

24

Para determinar el grado de libertad del mecanismo, es necesario tomar en cuenta

el número de eslabones y pares cinemáticos, así como su interacción.

El grado de libertad de un ensamble de eslabones puede ser descrito usando la

condición de Gruebler. Un eslabón en un espacio tridimensional, tiene 3 grados de

libertad; por tanto un sistema de L eslabones no conectados tendrá un total de 3L

grados de libertad. Como ejemplo, supongamos tener 2 eslabones sin conectar en

un espacio tridimensional, los cuales tendrán 6 grados de libertad; cuando estos

eslabones se conectan por un par cinemático completo, se reduce su número a 4

grados de libertad, en cambio, si fueran conectados por un par cinemático

intermedio, sólo se reduciría en 1, el número de grados de libertad, pues este tipo

de par posee dos grados de libertad, a diferencia del completo que posee sólo

uno. Por otra parte, si un eslabón está sujeto al marco de referencia, se eliminan

sus tres grados de libertad.

Ecuación de Gruebler:

GJLM 323 1.2

M Grados de libertad L Número de Eslabones

J Número de Juntas

G Número de eslabones sujetos al marco de referencia

En un mecanismo, aun cuando más de un eslabón este fijo, este se toma como un

plano fijo, por tanto el número de eslabones sujetos al marco de referencia G=1;

JLM 2)1(3 2.2

El valor J, debe reflejar todos los pares cinemáticos en el mecanismo, es decir

tanto los completos, con un grado de libertad, como los intermedios, con dos

grados de libertad. Por tanto con la modificación de Kutzbach, la ecuación de

Gruebler es:

21 22)1(3 JJLM 3.2

M Grados de libertad L Número de Eslabones

1J Número de Juntas completas

2J Número de Juntas intermedias


25

Fig. 2.1 Mecanismo de retorno rápido de

Whitworth

2.1.1 MECANISMO DE WHITWORTH

El mecanismo que inventó el inglés Joseph Whitworth, transforma un movimiento

de entrada giratorio continuo en movimiento rectilíneo alternativo. El mecanismo

realiza el movimiento de retorno en menor tiempo, en comparación con su

movimiento de ida. Este mecanismo se clasifica como: RRPRRRP

A continuación se describen los elementos que conforman a este mecanismo.

NOTA:

Los puntos B’ y D’ se agregaron para representar que el eslabón BB’ y DD’

pueden ser más largos en un elemento real. Aunque en este trabajo se seguirá

utilizando la misma nomenclatura, es claro que no sigue la representación

convencional.

“Eslabón 1”

Es la carcasa, sobre la cual van montados el resto de los eslabones

“Eslabón 2 ó BB1 ó BB’ ”

Este eslabón, manivela, está unido al eslabón fijo, eslabón 1, por medio de un par

giratorio “B”, por la que se introduce el movimiento giratorio proveniente de un

motor eléctrico.


26

“Eslabón 3 ó C”

Es una corredera conectada con un par giratorio al extremo de la manivela y por

medio de un par prismático al eslabón oscilador. Mediante esta corredera se

trasmite y transforma el movimiento continuo de la manivela a movimiento giratorio

oscilante del eslabón oscilador.

“Eslabón 4 ó DD1”

Es un eslabón oscilante, unido al eslabón fijo por medio de un par giratorio “A”

“Eslabón 5 ó EF”

Como el eslabón de salida realiza un movimiento rectilíneo y el extremo del

eslabón oscilador realiza un movimiento curvilíneo, se introduce el eslabón

acoplador “5”, con pares giratorios en sus extremos que transmite el movimiento

del eslabón oscilador al eslabón de salida o pistón.

“Eslabón 6 ó F”

El eslabón de salida, está conectado al eslabón fijo por medio de un par prismático

que le obliga a realizar un movimiento rectilíneo.

En este mecanismo, el punto de articulación “A” del eslabón oscilante “4” con el

eslabón fijo se encuentra entre la corredera “3” y el par giratorio “E” de unión con

el eslabón acoplador “5”.

Este es el diseño original que ideó Joseph Whitworth en el siglo XIX.

En nuestro caso, el mecanismo de Whitworth, tiene 5 eslabones y uno fijo,

además de 7 juntas o pares cinemáticos completos.

GDLM 1)7(2)16(3 4.2

Por tanto, sólo se requiere definir un solo parámetro independiente, para conocer

la posición en cualquier unidad de tiempo del mecanismo.


27

2.2 SISTEMA DE COORDENADAS

SISTEMA MULTICUERPO

Se define un sistema multicuerpo como un ensamble de dos o más cuerpos

rígidos, imperfectamente unidos, teniendo la posibilidad de moverse relativamente

uno del otro. [4]

COORDENADAS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES

Al describir un sistema multicuerpo, lo primero que debemos seleccionar son las

coordenadas generalizadas que definirán inequívocamente su posición, velocidad

y aceleración.

En el caso de usar coordenadas independientes, éstas coincidirán en número con

los grados de libertad del sistema. En el caso del mecanismo de retorno rápido,

con un solo grado de libertad, existe sólo una coordenada independiente para

definir al sistema.

Las coordenadas dependientes, son en número mayor que los grados de libertad,

y permiten describir fácilmente el sistema. Al no ser independientes se encuentran

inter-relacionadas a través de las ecuaciones de restricción.

El número de restricciones es igual a la diferencia entre el número de coordenadas dependientes y los grados de libertad. Las restricciones son

generalmente no lineales y son muy importantes en el análisis cinemático y

dinámico de los sistemas.

TIPOS DE COORDENADAS DEPENDIENTES

a) Coordenadas Relativas

b) Coordenadas de punto de referencia o cartesianas.

c) Coordenadas Naturales o cartesianas completas

d) Coordenadas Mixtas

SISTEMA DE COORDENADAS CAPÍTULO 2

28

Fig. 2.2 Coordenadas Relativas

a) “Coordenadas Relativas”

Estas coordenadas definen la posición de cada elemento en relación al elemento

anterior de la cadena cinemática al usar los parámetros o coordenadas

correspondientes a los grados de libertad relativos permitidos por el par que une

estos elementos. Por ejemplo, si dos elementos están unidos por medio de un par

de revolución, su posición relativa está definida por medio de un ángulo, por otro

lado, si la unión es por medio de un par prismático, su posición relativa está

definida por medio de una distancia.

Ventajas

1. Presenta un número reducido de coordenadas dependientes.

2. Son muy adecuadas para configuraciones de cadena abierta.

3. Permite implementar de forma clara un esquema de control, ya que los

motores coinciden con las coordenadas relativas.

Dificultades

1. La formulación matemática puede estar muy entrelazada, porque la posición

absoluta de un elemento depende de las posiciones de los elementos previos

en la cadena cinemática.

2. Conducen a ecuaciones de movimiento con matrices, que a pesar de ser

pequeñas, contienen pocos ceros y algunas veces son complicadas de

evaluar.

3. Se requiere un trabajo previo para determinar las ecuaciones de restricción

independientes, además de un trabajo posterior para determinar el movimiento

absoluto de cada punto y elemento. [4]

SISTEMAS DE COORDENADAS CAPÍTULO 2

29

Fig. 2.3 Coordenadas Punto Referencia

b) “Coordenadas de punto de Referencia”

Estas coordenadas tratan de remediar las complicaciones de las coordenadas

relativas, al definir directamente la posición absoluta de cada uno de los elementos

del sistema, usando tres coordenadas o parámetros.

Se determina la posición de un punto de referencia (el cual a menudo es el centro

de gravedad) con dos coordenadas cartesianas y un ángulo para definir la

orientación del cuerpo en relación a un sistema de ejes inerciales.

Ventajas

1. La posición de cada elemento es determinada directamente, por lo que la

formulación es sencilla y con menos requerimientos previos y posteriores.

2. Las matrices que aparecen en las ecuaciones de movimientos contienen

pocos elementos diferente de cero

Desventajas

1. Presentan un mayor número de variables, que las coordenadas relativas

2. A demás de la dificultad de ser adaptadas a configuraciones particulares como

las cadenas abiertas. [4]


30

Fig. 2.4 Coordenadas Naturales

c) “Coordenadas naturales”

Estas coordenadas pueden ser consideradas como una evolución de las

coordenadas de punto de referencia, puesto que los puntos en lugar de

presentarse en el centro de gravedad, se mueven a las uniones de los elementos,

por lo que cada uno de ellos tiene dos puntos de referencia.

Ya que cada cuerpo tiene dos puntos de referencia, su posición y ángulo de

referencia son determinadas por las coordenadas cartesianas de estos puntos por

lo que las variables angulares ya no son necesarias.

Es importante, al utilizar estas coordenadas, tener en cuenta las siguientes reglas:

1. Cada elemento debe tener al menos dos puntos de referencia (base) para

definir su movimiento.

2. Debe existir un punto base en cada par de revolución, el cual es compartido

por dos elementos

3. Un par prismático une dos cuerpos, y los dos puntos básico de uno de estos

determina la dirección del movimiento relativo, aunque uno de los dos puntos

básicos del otro cuerpo pueda estar localizado en el segmento determinado

por los dos puntos básicos del primero

4. Además de los dos puntos base requeridos, otro punto puede ser

seleccionado.

Finalmente la ventaja más importante de estas coordenadas, reside en que

permite una fácil formulación e implementación desde un punto de vista

computacional. [4]


31

RESTRICCIONES CINEMÁTICAS CAPÍTULO 2

Al utilizar coordenadas dependientes, que son en número mayor que los grados

de libertad del sistema, estas se encuentran inter-relacionadas a través de las

ecuaciones de restricción.

Las restricciones cinemáticas (de ligadura) imponen límites al movimiento relativo

entre cuerpos en los sistemas mecánicos.

Se pueden clasificar en:

a) Restricciones de conducción.

b) Restricciones de Unión.

a) “Restricciones de conducción”

Estas restricciones describen una trayectoria de movimiento especificada y por

tanto, dependen del sistema de coordenadas generalizadas, así como del tiempo.

Por ejemplo, las trayectorias en el análisis de manipuladores robóticos y máquinas

de control numérico. [2]

Un ejemplo lo encontramos, en el artículo publicado por Chun-Yi su, Tin-Pui Leung

y Qi-Jie Zhou, “Force/Motion of Constrained Robots Using Sliding Mode”. En el

que se muestra un esquema de control por modos deslizantes, aplicado a un

sistema multicuerpo de dos eslabones que tiene que seguir una trayectoria

circular. [5]

b) “Restricciones de Unión”

Son el resultado de las restricciones impuestas por las uniones mecánicas como

son las uniones de revolución prismática, cilíndrica y esférica. Estas restricciones

describen la conectividad entre los componentes del sistema multicuerpo y por

tanto definen la estructura topológica del sistema. [5]

Las restricciones de unión, son formuladas de acuerdo con el tipo de coordenadas

seleccionadas para definir el sistema, como ejemplo esta el trabajo de Isidro

Zabalza, Valentin Benitez. “Síntesis Dimensional Óptima de una variante del

mecanismo de retorno rápido” [6]

32

RESTRICCIONES CINEMÁTICAS CAPÍTULO 2

33

UNIONES, EN SISTEMAS MULTI-CUERPO CAPÍTULO 2

Fig. 2.5 Restricciones de base

Coordenadas Punto de

Referencia

La manera de modelar las restricciones de unión, depende del sistema de

coordenadas dependientes seleccionado. A continuación, se presenta la

formulación en coordenadas de punto de referencia, coordenadas naturales y

coordenadas mixtas.

COORDENADAS DE PUNTO DE REFERENCIA

a) Restricción de Base

b) Restricción de Revoluta

c) Restricción prismática.

“Restricción de Base”

Un cuerpo que tiene cero grados de libertad es llamado elemento fijo; implicando

que no tiene movimiento de rotación ni traslación.

0

0

0

3

2

1

c

cR

cR

i

i

y

i

x

)5.2(

321 ,, ccc , son constantes [2]

34


Fig. 2.6 Restricciones de revoluta

Coordenadas Punto de Referencia

“Restricción de Revoluta”

Cuando dos cuerpos son conectados por una unión de revolución, sólo se permite

un movimiento relativo de rotación entre ellos.

Los cuerpos i y j, coinciden en el punto P, por lo cual la definición del punto P, del

cuerpo i, debe de coincidir con la definición del punto P, del cuerpo j.

ji rprp )6.2(

0 jjjiii upARupAR )7.2(

Donde

RyRxR , Vector del sistema inercial al punto de referencia.

A Matriz de transformación, desde las coordenadas locales al sistema inercial.

upyupxup , Vector del sistema de referencia local, al punto P. [2]

“Restricción de prismática”

Esta restricción, también llamada unión de traslación, y sólo permite una traslación

relativa entre dos cuerpos a lo largo de un eje de unión.

La ecuación de restricción que elimina la rotación relativa entre los cuerpos es:

0 cji )8.2(

35


Fig. 2.7 Restricciones prismáticas

Coordenadas Punto de Referencia

Donde jic 00 constante

ji

00 , Condiciones iniciales de los ángulos.

Una segunda restricción es necesaria para eliminar la traslación perpendicular al

eje de unión, de los cuerpos.

Se define ijrp como un vector que conecta a los puntos iP y jP que se encuentran

en el eje de la unión prismática, iP está definido de acuerdo a las coordenadas

del cuerpo i, mientras que, jP está definido de acuerdo a las coordenadas del

cuerpo j.

Se define también el vector , el cual une a los puntos iP y iQ , perpendicular al

eje de unión de los cuerpos.

Los vectores ijrp y pueden ser definidos en términos de las coordenadas del

cuerpo i y j.

)( i

Q

i

p

ii

j

p

jji

p

iiij

uuAh

uARuARrp

)9.2(

Si no hay traslación relativa de los cuerpos en sentido perpendicular al eje de

unión, entonces

0ijTi rph )10.2(

Por tanto las ecuaciones que definen una restricción prismática pueden escribirse

como: [2]

0

0ijTi

ji

rph

c )11.2(

ih

ih

36


Fig. 2.8 Sólido con dos puntos básicos

Coordenadas Naturales

COORDENADAS NATURALES

a) Sólido modelado con dos puntos básicos

b) Sólido modelado con tres puntos básicos

c) Sólido modelado con cuatro puntos básicos

d) Restricción de Revoluta

e) Restricción prismática

f) Restricción prismática especial

“Sólido modelado con dos puntos básicos”

Se define como una restricción de distancia 12L , entre dos puntos, 1 y 2. También

definido como la ecuación de la recta. [7]

02

12

2

12

2

12 Lyyxx )12.2(

37

Fig. 2.10 Sólido con tres puntos básicos co-lineales


Fig. 2.9 Sólido con tres puntos

básicos Coordenadas Naturales


“Sólido modelado con tres puntos básicos”

Siguiendo el mismo principio se generan tres restricciones de distancia.

0

0

0

2

23

2

23

2

23

2

13

2

13

2

13

2

12

2

12

2

12

Lyyxx

Lyyxx

Lyyxx

)13.2(

En el caso de que los tres puntos se encuentren alineados, entonces la

formulación es la siguiente. Que puede obtenerse por triángulos semejantes. [7]

0

0

0

12

12

13

13

12

12

13

13

2

12

2

12

2

12

yyL

Lyy

xxL

Lxx

Lyyxx

)14.2(

38

Fig. 2.11 Sólido con cuatro puntos

básicos Coordenadas Naturales


“Sólido modelado con cuatro puntos básicos”

La técnica que se emplea para determinar las restricciones consiste en elegir tres

puntos básicos no alineados, entre los cuales se establecen las ecuaciones de

restricción de distancia. El resto de puntos básicos se expresarán como

combinación lineal de los vectores que definen esa base.

Estas ecuaciones aseguran el comportamiento rígido del triángulo formado por los

puntos 1, 2 y 3.

0

0

0

2

23

2

23

2

23

2

13

2

13

2

13

2

12

2

12

2

12

Lyyxx

Lyyxx

Lyyxx

)15.2(

Si, tomamos como origen del sólido al punto 2, entonces la base estará formada

por los vectores r2-1 y r2-3. Las ecuaciones 2.15 indican que el vector r2-4 puede

expresarse como una combinación lineal de los vectores base. Siendo y

constantes. [7]

0

0

232124

232124

yyyyyy

xxxxxx

)16.2(

39

Fig. 2.12 Restricción prismática



“Restricción de revoluta”

Se recomienda utilizar una coordenada en las articulaciones del eslabonamiento.

Cada elemento del eslabonamiento con movimiento relativo de rotación, está

definido por dos puntos básicos. El eslabonamiento hace que un punto básico sea

compartido por ambos cuerpos. Es decir, si se comparte un punto básico en la

definición de los dos elementos vecinos, implícitamente se está obligando a que

los dos elementos viajen con ese punto en común.

Así que no es necesario establecer alguna ecuación de restricción. [7]

“Restricción de prismática”

Es necesario formular dos ecuaciones de restricción, que impidan el movimiento

relativo que restringe el par

La primera restricción, es una ecuación del producto vectorial nulo entre los

vectores r1-2 y r1-3, que asegura que el punto 3 se encuentre siempre alineado

con los puntos 1 y 2.

La segunda restricción, tiene como fin impedir que se produzca un giro relativo

entre los dos elementos. Siendo c una constante que depende del ángulo que

forma el vector r1-2 con r3-4. [7]

013121312 xxyyyyxx

)17.2(

034123412 cyyyyxxxx

40

Fig. 2.13 Restricción prismática especial



)18.2(

Restricción de prismática Especial”

En esta restricción se presenta un par prismático y un par revolución integrados.

Por tanto sólo se necesita una ecuación de restricción que limite al punto 3 estar

alineado con los puntos 1 y 2.

013121312 xxyyyyxx

Siendo entonces la diferencia que este tipo de restricción permite el giro relativo

entre los dos elementos. [7]

41

Fig. 2.14 Restricción de ángulo

Coordenadas Mixtas


COORDENADAS MIXTAS

Las coordenadas mixtas, indican una modelación en la que además de las

coordenadas naturales, se han utilizado algunas coordenadas relativas ya sean

ángulos, distancias o ambas.

a) Restricción de ángulo

b) Restricción de distancia.

“Restricción de ángulo”

Se define un ángulo, entre dos elementos unidos por una articulación.

La ecuación que liga el ángulo con las tres coordenadas que describen los tres

puntos básicos, puede ser representada como un producto escalar conocido como

la ecuación del coseno, o como un producto vectorial conocido como la ecuación

del seno.

0cos231223212321 LLyyyyxxxx

)19.2(

0231223212321 senLLxxyyyyxx

El uso de alguna de éstas dos ecuaciones, no es indiferente; puesto que al

acercarse su valor a 0, en el caso de la ecuación del coseno y 90 en el caso de la

ecuación seno, estas se vuelven inválidas. Por lo cual su correcta implementación

requiere una conmutación dependiendo del ángulo. [7]

42

Fig. 2.15 Restricción de

distancia Coordenadas Mixtas


“Restricción de distancia”

Si se pretende plantear una restricción en la cual dos puntos conserven su

distancia, es necesario formular una ecuación de restricción como se mostró con

tres puntos básicos co-lineales. Estando dicha distancia involucrada en el factor de

proporcionalidad. Condición que cumples las dos siguientes ecuaciones.

012

12

13 xxL

sxx )20.2(

012

12

13 yyL

syy

Las cuales, tampoco pueden utilizarse indistintamente, por lo que tienen que

conmutar, mientras que el elemento que une a los puntos 1 y 2, se encuentre a

menos de 45 o 45 grados de la horizontal, se ocupará la formulación en x, en caso

contrario se opta por la formulación en y.

Siendo también opción formular la restricción de la manera siguiente, si el signo de

la distancia s, no es importante. [7]

022

13

2

13 syyxx )21.2(

43

CINEMÁTICA DIRECTA ANÁLISIS DE POSICIÓN CAPÍTULO 2

Fig. 2.16 Mecanismo de Whitworth

COORDENADAS NATURALES

En este apartado, se presenta la formulación de las ecuaciones de restricción de unión, para el análisis de posición del mecanismo de Whitworth, utilizando coordenadas naturales.

La restricción de la barra BC, puede modelarse ya sea como un Sólido modelado

con dos puntos básicos, o como dos ecuaciones que relacionan Longitud y ángulo.


02

1

2

1

2

1 BBBBBB Lyyxx )22.2(

“Tres puntos co-lineales” B, C, B’ (Figura 2.17)

01111 CBBBBBCB yyxxyyxx

)23.2(

44

Fig. 2.17 Restricción Sólido BB1

CINEMÁTICA DIRECTA, ANÁLISIS DE POSICIÓN CAPÍTULO 2

“Relación de distancia”

01

1

11 BB

BB

CBCB yy

L

Lyy

)24.2(

01

1

11 BB

BB

CBCB xx

L

Lxx

“Relación de Longitud- ángulo”

0sin11 BBB Lx )25.2(

0cos11 BBB Ly

0sin11 CBBBC LLx )26.2(

0cos11 CBBBC LLy

Se modeló agregando un punto B1 ó B’ con el fin de aclarar que el punto C, no es

la terminación del elemento 2. Se propone un disco con radio 1BBL , al cual se

integra un perno, a una distancia 1CBL de su circunferencia.

Las ecuaciones (2.22) y (2.23), son dos opciones por las cuales podemos modelar

el punto B1.

Las ecuaciones (2.24), (2.25) plantean como integrar el punto B1, si se ocupa la

“Relación de Longitud- ángulo”

45

Fig. 2.18 Restricción Solido DD1


El eslabón 4, aunque es un solo elemento, se trata con dos longitudes, La longitud

ADL nos indica el factor de rapidez del retorno; Mientras que la longitud 1ADL nos

ayuda a establecer la distancia que recorre el efector final.


02

1

2

1

2

1 DDDDDD Lyyxx )27.2(

“Tres puntos co-lineales” A, C, D’

0 CDADADCD yyxxyyxx

)28.2(

“Tres puntos co-lineales” A, C, D’

011 EADADAEA yyxxyyxx )29.2(

“Relación de distancia”

01

1

11 DA

ED

ADDE yy

L

Lyy

)30.2(

01

1

11 DA

ED

ADDE xx

L

Lxx

46


Fig. 2.19 Restricción Solido EF

011

11

EA

EDAD

EDDDED yy

LL

LLyy

)30.2(

011

11

EA

EDAD

EDDDED xx

LL

LLxx

0 pxA )31.2(

0 hyA )32.2(

Se modeló agregando un punto D1 con el fin de aclarar que el punto E, no es la

terminación del elemento 4. El punto E, es ajustable de acuerdo a la distancia del

recorrido

Las ecuaciones (2.28) y (2.29), son dos opciones por las cuales podemos modelar

el punto E.

El centro de masa de este eslabón 4, depende de la distribución de masa y las

longitudes LAD y LAD1.

Modelamos el eslabón 5 como un sólido con dos puntos básicos


0222 EFFEFE Lyyxx )33.2(

0myF )34.2(

47


Las ecuaciones cinemáticas para el mecanismo de retorno rápido son:

Ecuaciones

02

1

2

11

2

11 BBBBBB Lyyxxf 0222

2 EFFEFE Lyyxxf 0

222

3 ADADAD Lyyxxf Relación de distancia

01

1

1

14 BB

BB

CB

CB xxL

Lxxf

01

1

1

15 BB

BB

CB

CB yyL

Lyyf

011

116

EA

EDAD

EDDDED xx

LL

LLxxf 0

11

117

EA

EDAD

EDDDED yy

LL

LLyyf

01

1

118 DA

ED

ADDE xx

L

Lxxf

01

1

119 DA

ED

ADDE yy

L

Lyyf

Tres puntos co-lineales

010 CDADADCD yyxxyyxxf

Ecuaciones de diseño

011 myf F

Ecuaciones Auxiliares

0 pxA

0 hyA

0sin11 BBB Lx

0cos11 BBB Ly

0sin11 CBBBC LLx

0cos11 CBBBC LLy

Incógnitas:

FFEEDDDD yxyxyxyx ,,,,,,, 11

48


El sistema se resuelve para un ángulo de entrada, obteniendo la posición de

todos los puntos del mecanismo.

Esta metodología es muy intuitiva, por lo que ofrece una gran ventaja en su

implementación en software.

En el Anexo A, se encuentra un programa en Matlab, para la solución de la

posición del mecanismo de Whitworth utilizando coordenadas naturales.

49



Fig. 2.21 Lazo I

COORDENADAS DE PUNTO DE REFERENCIA: Método de Lazos

En este apartado, se presenta la formulación de las ecuaciones de restricción de unión, para el análisis de posición del mecanismo de whitworth, utilizando Coordenadas de punto de referencia Como se menciono antes, este tipo de coordenadas se basa en describir los pares de un eslabón respecto a un punto fijo, que generalmente es el CM; Sin embargo, el punto fijo puede ser también, un par. Para la descripción de la posición del mecanismo, utilizaremos la metodología de lazos. “Lazo I”

BCACBA RRR )35.2(

50

Fig. 2.22 Lazo II


En donde

))cos(),sin(( BCBCBC LLR

))cos(),sin(( ACACAC LLR

),( HPRBA

Dividimos en coordenadas x y

0)sin()sin(:1 BCAC LLPf

0)cos()cos(:2 BCAC LLHf

“Lazo II”

BFEFAEBA RRRR )36.2(

En donde

),( HPRBA

))cos(),sin(( AEAEAE LLR

))cos(),sin(( EFEFEF LLR

))sin()sin(,0( EFAEBF LLPR

Dividimos en coordenadas x y

0)sin()sin(:3 BFXEFAE RLLPf 0)cos()cos(:4 mLLHf EFAE

51


Al combinar las ecuaciones 21, ff se puede obtener el valor de y ACL , éste

último tendrá dos valores, dependiendo en la ecuación que se sustituya

HL

PLArcTan

BC

BC

)cos(

)sin(

)37.2(

)cos(

)cos(

HLL BC

AC

)38.2(

)sin(

)sin(

PLL BC

AC

)39.2(

Al combinar las ecuaciones 43 , ff , se puede obtener el valor de

EF

AE

L

mHLArcCos

)cos(

)40.2(

Tenemos 4 ecuaciones, que son la base, para describir la posición de cada uno de

los elementos.

0)sin()sin(:1 BCAC LLPf )41.2(

0)cos()cos(:2 BCAC LLHf )42.2(

0)sin()sin(:3 BFXEFAE RLLPf

)43.2(

0)cos()cos(:4 mLLHf EFAE )44..2(

Se define

11 CBBBBC LLL

11 EDADAE LLL

52


Teniendo como ecuaciones auxiliares:

)sin(11 BBXBB LR

)cos(11 BBYBB LR

)sin(BCBCX LR

)cos(BCBCY LR

)sin(ACACX LR

)cos(ACACY LR

)sin(ADADX LR

)cos(ADADY LR

)sin(11 ADXAD LR

)cos(11 ADYAD LR

)sin(AEAEX LR

)cos(AEAEY LR

)sin(EFEFX LR

)cos(EFEFY LR

)sin()sin( EFAEBFX LLPR

En el Anexo B, se encuentra un programa en Matlab, para la solución cinemática

del mecanismo de Whitworth utilizando coordenadas de punto de referencia y el

método de Lazos.

53


Fig. 2.23 Biela Manivela

2.5.1.2 RESTRICCIONES DE CONDUCCIÓN

COORDENADAS DE PUNTO DE REFERENCIA:

Como hemos visto, existen restricciones de unión, las cuales fueron utilizadas

para obtener la posición en coordenadas naturales y coordenadas de punto de

referencia del presente trabajo. A continuación se presenta el análisis utilizando

restricciones de conducción.

La idea consiste en representar una superficie que servirá de restricción al

elemento F (6) y C (3).

Para ejemplificar esta idea, se muestra un mecanismo biela-manivela.

Cuya superficie de restricción esta definida por:

0 yp )45..2(

Que puede ser expresada en términos de las uniones como:

0)sin()cos()( lrqp )46..2(

NOTA: Las coordenadas generalizadas son ),( . Siendo la variable

independiente y una variable dependiente o superflua.

Si tomamos la idea de que el mecanismo es un robot con un grado de libertad

sub-actuado. Se diría que el efector final “a”, debe permanecer sobre la superficie

p.

54



Fig. 2.25 Superficie de Restricción

1

Es la misma idea que planteó el trabajo de Chun-Yi su, Tin-Pui Leung y Qi-Jie

Zhou, “Force/Motion of Constrained Robots Using Sliding Mode”. Solamente que

en ese caso el efector final debía permanecer sobre un círculo. [5]

La ecuación (2.46) es la ecuación base, para describir la posición de todos los

puntos del mecanismo biela-manivela

Una vez planteada la idea de superficie de restricción y como esta puede ser

expresada en términos de las variables generalizadas. Se aplica a nuestro

mecanismo.

En términos generales, el mecanismo planteado, puede ser estudiado al separarlo

en 2 partes. La primera involucra el mecanismo de retorno rápido y la segunda un

mecanismo de biela-manivela.

En este caso se necesitan dos superficies de restricción; siendo la primera la que

restringe el movimiento del elemento 3 y la segunda la que restringe el movimiento

del elemento 6.

“Superficie de Restricción 1”

55


Entonces, obtendremos la ecuación de restricción.

hip

PLBC

)sin()sin(

)47..2(

hip

HLBC

)cos()cos(

)48..2(

La hipotenusa (hip) evidentemente señala la línea que une a los puntos A y C, que

es también la superficie de restricción. hipotenusap . Al igual que el ejemplo

anterior se busca poner la superficie de restricción en términos de las variables

generalizadas )(qp .

Donde ,,q y todavía no interviene en el análisis.

)sin(

)sin(

PLhip BC

)cos(

)cos(

HLhip BC

)sin(

)sin(

)cos(

)cos(

PLHLhip bBCBC

)cos()sin()sin()cos( PLHL BCBC

0)sin()cos()cos()sin(1 HLPLf BCBC )49..2(

56

Fig. 2.26 Superficie de Restricción

2


“Superficie de Restricción 2”

myp )50..2(

Donde: m, H y P pueden tomar valores positivos o negativos.

NOTA: Ya que se modeló con P, H, m, negativos, para lograr el valor positivo en

las ecuaciones, tienen que programarse como negativos y positivos para que sean

negativos.

Se obtiene la superficie de restricción en términos de las variable generalizadas

mLHL EFAE )cos()cos( )51..2(

0)cos()cos(2 mLLHf EFAE )52..2(

Tomando: Ec. (2.49) y Ec. (2.52)

0)sin()cos()cos()sin(1 HLPLf BCBC

0)cos()cos(2 mLLHf EFAE

57


Las ecuaciones de superficie de restricción son suficientes para describir la

posición de todos los puntos del mecanismo.

Se añaden las mismas ecuaciones auxiliares vistas anteriormente.

En el Anexo C, se encuentra un programa en Matlab, para la solución cinemática

del mecanismo de Whitworth utilizando coordenadas de punto de referencia y el

método de superficies de restricción.

58


59


Las restricciones pueden ser holónomas o no holónomas. Las holónomas son

aquellas en las que no intervienen las velocidades, en cambió de las no

holónomas, además, estas últimas exigen que no sean integrables; es decir, que

no se deduzca por derivación total con respecto al tiempo de una holónoma.[1]

Este trabajo, no se enfoca a la demostración matemática que define a las

restricciones holónomas, sin embargo se toma una de sus ventajas, que consiste

en que con una simple sustitución se puede eliminar una de las coordenadas

generalizadas.

Entonces, el objetivo consiste en demostrar que las ecuaciones obtenidas con las

Restricciones de unión por el método de lazos, describe el mismo problema que

las ecuaciones obtenidas con las Restricciones de conducción.

“Restricciones de Unión”



)42.2(

0)sin()sin(:3 BFXEFAE RLLPf )43.2(

0)cos()cos(:4 mLLHf EFAE )44..2(

“Restricciones de Conducción”

0)sin()cos()cos()sin(1 HLPLf BCBC )49..2(

0)cos()cos(2 mLLHf EFAE )52.2(

Se puede observar que la Ec. (2.43), puede ser definida como una ecuación

auxiliar donde ),( BFXR

60


La ecuación (2.44) y (2.52), son las mismas, por lo que solo hay que demostrar

que las Ec. (2.41) y (2.42), se reducen a la Ec. (2.49)

La Ec. (2.41) la multiplicamos por )cos( , mientras que la Ec. (2.42) por )sin( y las

sumamos.

0)cos()sin()cos()sin()cos( BCAC LLP

0)sin()cos()cos()sin()sin( BCAC LLH.

0)sin(])cos([)cos(])sin([ HLPL BCBC

Se logra mostrar que los dos métodos describen el mismo problema.

61

CINEMÁTICA DIRECTA ANÁLISIS DE VELOCIDAD CAPÍTULO 2

Las ecuaciones de velocidad se obtienen al derivar las ecuaciones de posición con

respecto al tiempo.

“Velocidad utilizando las ecuaciones de Lazo”

dt

dfg 1

1 ;dt

dfg 2

2 ;dt

dfg 3

3 ;dt

dfg 4

4

Ecuaciones de posición



)42.2(

0)sin()sin(:3 BFXEFAE RLLPf

)43.2(

0)cos()cos(:4 mLLHf EFAE )44.2(

Ecuaciones de velocidad

)53.2(

0)sin()cos()sin(:2

BCACAC LLLg

)54.2(

0)cos()cos(:3

BFXEFAE RLLg

)55.2(

0)sin()sin(:4

EFAE LLg )56.2(

Que puede escribirse en forma matricial como:

0

tQ q )57.2(

Q : Matriz Jacobiana

q : Velocidad variables generalizadas

t : Matriz con los elementos restantes

0)cos()sin()cos(:1

BCACAC LLLg

62


Donde:

0)sin(0)sin(

1)cos(0)cos(

00)cos()sin(

00)sin()cos(

EFAE

EFAE

AC

AC

Q

LL

LL

L

L

BFX

AC

R

Lq

;

0

0

)sin(

)cos(

BC

BC

tL

L

La velocidad de las coordenadas generalizadas puede ser fácilmente obtenida

como:

tQinvq

)(

)58.2(

“Matriz Jacobiana”

La matriz Jacobiana, se puede obtener como:

BFXAC

BFXAC

BFXAC

BFXAC

Q

R

ff

L

ff

R

ff

L

ff

R

ff

L

ff

R

ff

L

ff

4444

3333

2222

1111

)59.2(

63


Y agregando la variable independiente

44444

33333

22222

11111

f

R

ff

L

ff

f

R

ff

L

ff

f

R

ff

L

ff

f

R

ff

L

ff

BFXAC

BFXAC

BFXAC

BFXAC

Q

)60.2(

Donde:

)cos(1

BCLf

; )sin(2

BCL

f

03

f; 04

f

La matriz 4x4, sirve para la solución de velocidad del mecanismo, mientras que la

matriz 4x5, será útil cuando definamos la dinámica.

00)sin(0)sin(

01)cos(0)cos(

)sin(00)cos()sin(

)cos(00)sin()cos(

EFAE

EFAE

BCAC

BCAC

Q

LL

LL

LL

LL

)61.2(

“Velocidad utilizando las ecuaciones de superficie de restricción”

dt

dfg 1

1 ;dt

dfg 2

2

64


Ecuaciones de Posición

0)sin()cos()cos()sin(1 HLPLf BCBC )49.2(

0)cos()cos(2 mLLHf EFAE )52.2(

Ecuaciones de Velocidad

Ec. (2.61) y (2.62)

)62.2(

0)sin()sin(:2

EFAE LLg )63.2(

Que puede escribirse en forma matricial como:

0

tQ q

)57.2(

Donde:

)sin()sin(

0)sin()cos()cos(

EFAE

BC

QLL

PHL

q

;

0

)cos( BCt

L

La velocidad de las coordenadas generalizadas puede ser fácilmente obtenida

como:

tQinvq

)(

)58.2(

0]))cos(())sin()cos()cos([(:1

BCBC LPHLg

65


“Matriz Jacobiana”

La matriz Jacobiana, se puede obtener como:

22

11

ff

ff

Q

)64.2(

Y agregando la variable independiente

222

111

fff

fff

Q

)65.2(

Donde:

)cos(1

BCL

f;

02

f

La matriz 2x2, sirve para la solución de velocidad del mecanismo, mientras que la

matriz 2x3, será útil cuando definamos la dinámica.

0)sin()sin(

)cos(0)sin()cos()cos(

EFAE

BCBC

QLL

LPHL

)66.2(

Ecuaciones Auxiliares de Velocidad

)cos(11 BBXBB LR

)sin(11 BBYBB LR

)cos(BCBCX LR

66


)sin(BCBCY LR

)cos()sin( ACACACX LLR

)sin()cos( ACACACY LLR

)cos(ADADX LR

)sin(ADADY LR

)cos(11 ADXAD LR

)sin(11 ADYAD LR

)cos(AEAEX LR

)sin(AEAEY LR

)cos(EFEFX LR

)sin(EFEFY LR

)cos()cos( EFAEBFX LLR

)(cos

)sin()cos()cos()sin(

2

HLL

LBCBC

AC

)(sin

)cos()sin()sin()cos(

2

PLL

LBCBC

AC

67

CINEMÁTICA DIRECTA ANÁLISIS DE ACELERACIÓN CAPÍTULO 2

Las ecuaciones de aceleración se obtienen al derivar las ecuaciones de velocidad

con respecto al tiempo.

“Aceleración utilizando las ecuaciones de Lazo”

dt

dgh 1

1 ;dt

dgh 2

2 ;dt

dgh 3

3 ;dt

dgh 4

4


Ec. (2.53),(2.54),(2.55) y (2.56)

)53.2(

0)sin()cos()sin(:2

BCACAC LLLg

)54.2(

0)cos()cos(:3

BFXEFAE RLLg

)55.2(

0)sin()sin(:4

EFAE LLg )56.2(

Ecuaciones de Aceleración

0)sin()cos(

))(cos())sin()cos(()sin()cos(

2

1

BCBC

ACACACACAC

LL

LLLLLh

)67.2(

)68.2(

)69.2(

0))cos(())cos(()sin()sin(4

EFAEEFAE LLLLh )70.2(

0)cos()sin()cos(:1

BCACAC LLLg

0)cos()sin(

))(sin())cos()sin(()cos()sin(

2

2

BCBC

ACACACACAC

LL

LLLLLh

0))sin(())sin(()cos()cos(3

EFAEBFXEFAE LLRLLh

68


Podemos escribir las ecuaciones en forma matricial.

0

tQQ qq )71.2(

))((

tQQ qinvq

)72.2(

Donde

0)sin(0)sin(

1)cos(0)cos(

00)cos()sin(

00)sin()cos(

EFAE

EFAE

AC

AC

Q

LL

LL

L

L

BFX

AC

R

Lq

;

BFX

AC

R

Lq

0)cos(0)cos(

0)sin(0)sin(

00)sin()cos()sin(

00)cos()sin()cos(

EFAE

EFAE

ACAC

ACAC

Q

LL

LL

LL

LL

0

0

)cos()sin(

)sin()cos(2

2

BCBC

BCBC

tLL

LL

69


“Aceleración utilizando las ecuaciones de superficie de restricción”

dt

dgh 1

1 ;dt

dgh 2

2



BCBC LPHLg )62.2(

0)sin()sin(:2

EFAE LLg )63.2(

Ecuaciones de Aceleración

)73.2(

0))cos(())cos(()sin()sin(2

EFAEEFAE LLLLh )74.2(

Podemos escribir las ecuaciones en forma matricial.

0

tQQ qq )71.2(

))((

tQQ qinvq

)72.2(

Donde

)sin()sin(

0)sin()cos()cos(

EFAE

BC

QLL

PHL

q ;

q

)cos()cos(

0)cos()sin())(sin(

EFAE

BCQ

LL

PHL

0

))(sin()cos( BCBCt

LL

0)]))(sin()cos(())cos(

)sin())(sin(())sin()cos()cos([(1

BCBC

BCBC

LLP

HLPHLh

70


“Aceleración de las ecuaciones auxiliares”

2

111 )sin()cos(

BBBBXBB LLR

2

111 )cos()sin(

BBBBYBB LLR

2

)sin()cos(

BCBCBCX LLR

2

)cos()sin(

BCBCBCY LLR

2

)sin()cos()cos()cos()sin(

ACACACACACACX LLLLLR2

)cos()sin()sin()sin()cos(

ACACACACACACY LLLLLR2

)sin()cos(

ADADADX LLR

2

)cos()sin(

ADADADY LLR

2

111 )sin()cos(

ADADXAD LLR

2

111 )cos()sin(

ADADYAD LLR

2

)sin()cos(

AEAEAEX LLR

2

)cos()sin(

AEAEAEY LLR

2

)sin()cos(

EFEFEFX LLR

2

)cos()sin(

EFEFEFY LLR

71


22

)sin()cos()sin()cos(

EFEFAEAEBFX LLLLR

)(cos/)]})sin()(cos(2][)sin())cos((

)cos())sin([()](][cos)sin()sin()cos())cos((

)sin())cos(()cos()cos()cos()sin()sin())sin({[(

4

2

2

2

HL

LLHL

HLLLLL

BC

BCBCBC

BCBCBCBCAC

)(sin/]})cos()sin(2][)cos())sin((

)sin())cos([()](][sin)cos()cos()sin())sin((

)cos())sin(()sin()sin()sin()cos()cos())cos({[(

4

2

2

2

PL

LLPL

PLLLLL

BC

BCBCBC

BCBCBCBCAC

72


73

CINEMÁTICA DIRECTA: CINEMÁTICA CM CAPÍTULO 2

Fig. 2.27 Elemento BB1 CM

Para obtener la cinemática de los centros de masa, sólo es necesario hacer una

transformación y derivar la ecuación resultante con respecto al tiempo.

NOTA: El centro de masa CM, es definido por las variables (u, v). Sin embargo, es

muy importante referenciar estas con respecto a un par cinemático.

“Cinemática del CM del elemento BB1”

Se define las coordenadas del CM desde un sistema de coordenadas móvil,

ubicado en un par cinemático de un elemento, y se hace una transformación; en el

caso del elemento BB1, se hace una rotación del sistema de coordenadas (U2,

V2) al sistema de coordenadas inercial (X, Y)

La Matriz de rotación, se define como:

)cos()sin(

)sin()cos(

Por tanto se define la posición como:

2

2

1

1

)cos()sin(

)sin()cos(

v

u

R

R

CMYBB

CMXBB

)75.2(

74


Fig. 2.28 Elemento DD1 CM

Al derivar la posición, obtenemos la velocidad del CM.

2

2

1

1

)sin()cos(

)cos()sin(

v

u

R

R

CMYBB

CMXBB

)76.2(

Al derivar la velocidad, obtenemos la aceleración del CM

2

2

2

2

2

1

1

)cos()sin(

)sin()cos(

)sin()cos(

)cos()sin(

v

u

v

u

R

R

CMYBB

CMXBB

)77.2(

“Cinemática del CM del elemento DD1”

En el análisis cinemático del CM del elemento 4 ó DD1, primero haremos la

transformación del sistema (U4, V4) al sistema (X4, Y4) y lo referenciaremos al

sistema de coordenadas inercial (X, Y).


)cos()sin(

)sin()cos(


4

4

1

1

)cos()sin(

)sin()cos(

v

u

H

P

R

R

CMYDD

CMXDD

)78.2(

75

Fig. 2.29 Elemento EF CM



4

4

1

1

)sin()cos(

)cos()sin(

v

u

R

R

CMYDD

CMXDD

)79.2(


2

4

4

4

4

1

1

)cos()sin(

)sin()cos(

)sin()cos(

)cos()sin(

v

u

v

u

R

R

CMYDD

CMXDD

)80.2(

“Cinemática del CM del elemento EF”

De la misma forma, hacemos la transformación del sistema de referencia (U5, V5)

al sistema (X5, Y5) y lo referenciamos al sistema de coordenadas inercial (X, Y)


)cos()sin(

)sin()cos(


5

5

)cos()sin(

)sin()cos(

)cos(

)sin(

v

u

L

L

H

P

R

R

AE

AE

EFCMY

EFCMX

)81.2(

76

Fig. 2.30 Elemento F CM



5

5

1

)sin()cos(

)cos()sin(

)sin(

)cos(

v

u

L

L

R

R

AE

AE

CMYEF

EFCMX

)82.2(

Al derivar la velocidad, obtenemos la aceleración del CM Ec. )83.2(

2

5

5

5

52

)cos()sin(

)sin()cos(

)sin()cos(

)cos()sin(

)cos(

)sin(

)sin(

)cos(

v

u

v

u

L

L

L

L

R

R

AE

AE

AE

AE

EFCMY

EFCMX

“Cinemática del CM del elemento F”

Ahora, se hace la transformación del sistema de referencia (U6, V6) al sistema

(X6, Y6) y lo referenciamos al sistema de coordenadas inercial (X, Y)


6

6

v

u

R

R

R

R

H

P

R

R

EFY

EFX

AEY

AEX

FCMY

FCMX

)84.2(

77

Fig. 2.31 Elemento C CM



EFY

EFX

AEY

AEX

FCMY

FCMX

R

R

R

R

R

R

)85.2(


EFY

EFX

AEY

AEX

FCMY

FCMX

R

R

R

R

R

R

)86.2(

“Cinemática del CM del elemento C”

Ahora, se hace la transformación del sistema de referencia (U3, V3) al sistema

(X3, Y3) y lo referenciamos al sistema de coordenadas inercial (X, Y)


)cos()sin(

)sin()cos(


2

2

)cos()sin(

)sin()cos(

v

u

R

R

H

P

R

R

ACY

ACX

CCMY

CCMX

)87.2(

78



3

3

)sin()cos(

)cos()sin(

v

u

R

R

R

R

ACY

ACX

CCMY

CCMX

)88.2(


2

3

3

3

3

)cos()sin(

)sin()cos(

)sin()cos(

)cos()sin(

v

u

v

u

R

R

R

R

ACY

ACX

CCMY

CCMX )89.2(

En los anexos D y E, se encuentran programas en Matlab, para la solución

cinemática de los CM del mecanismo de Whitworth para 4 y 2 variables

respectivamente

79

COEFICIENTES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN CAPÍTULO 2

COEFICIENTES DE VELOCIDAD

Velocidad utilizando las ecuaciones de Lazo”

)53.2(

0)sin()cos()sin(:2

BCACAC LLLg

)54.2(

0)cos()cos(:3

BFXEFAE RLLg )55.2(

0)sin()sin(:4

EFAE LLg )56.2(

Definimos:

K ;

AC

AC

LKL ;

K ;

BFX

BFX

RKR

Dividimos las ecuaciones de velocidad entre

y sustituimos los coeficientes de

Velocidad K, para definirlos.

)cos(

AC

BC

L

LK

)90.2(

)sin(

)cos()cos(

BCAC

AC

LKLKL

)91.2(

)cos(

)sin()sin(

BCAC

AC

LKLKL

)92.2(

)sin(

)sin(

EF

AE

L

KLK

)93.2(

KLKLK EFAERBFX )cos()cos( )94.2(

0)cos()sin()cos(:1

BCACAC LLLg

80


También, se pueden obtener mediante el Jacobiano.

0tQ q

Los coeficientes de velocidad pueden obtenerse como:

t

QinvKq )(

)95.2(

“Velocidad utilizando las ecuaciones de superficie de restricción”


Ec. (2.62) y (2.63)

)62.2(

0)sin()sin(:2

EFAE LLg )63.2(

Definimos:

K ;

K ;

Dividimos las ecuaciones de velocidad entre

y sustituimos los coeficientes de

Velocidad K, para definirlos.

)96.2(

)sin(

)sin(

EF

AE

L

KLK

)97.2(

También, se pueden obtener mediante el Jacobiano.

t

QinvKq )(

)95.2(


BCBC LPHLg

)sin()cos()cos(

)cos(

PHL

LK

BC

BC

81


COEFICIENTES DE ACELERACIÓN

Existen dos formas de manejar estos coeficientes de aceleración. En este trabajo

se muestran ambas.

NOTA: Se plantearon los dos métodos, ya que se definen de distinta forma

dependiendo de la literatura. Sin embargo, el Modo II, en las ecuaciones de la

dinámica se complementa al multiplicarlo por d para representar el mismo

coeficiente.

MODO I

“Utilizando las ecuaciones de Lazo”

dt

dKL

;

dt

dKLLL AC

AC ; dt

dKL

;

dt

dKRLR BFX

BFX

Se define entonces:

KL

L

L

LL

AC

AC

AC

BC

))(sin( )98.2(

Ec. )99.2( Y Ec. )100.2(

)sin(

))sin(())cos(())sin()cos(())cos((

BCACACACAC

AC

LKLKLLLLLL

)cos(

))cos(())(sin())cos()sin(())sin((

BCACACACAC

AC

LKLKLLLLLL

)101.2(

Ec. )102.2(

KLKLLLLLLR EFAEEFAEBFX ))sin(())sin(())cos(())cos((

)sin(

))cos(())cos(())sin((

EF

EFAEAE

L

KLKLLLL

82


“Utilizando las ecuaciones de superficie de restricción”

dt

dKL

)103.2(

dt

dKL

)104.2(

2)]sin()cos()cos(/[

]})cos()sin())(sin()][cos([

)]sin()cos()cos()][)(sin({[

PHL

PHLL

PHLLL

BC

BCBC

BCBC

MODO II


d

dKL ;

d

dKLLL AC

AC ;

d

dKL ;

d

dKRLR BFX

BFX

Se define entonces:

Ec. )105.2( , )106.2( , )107.2( y )108.2(

)(cos/)]}cos()))][sin(sin(())sin([(

)]))][cos(cos(())sin(())cos(())sin({[(

2

2

BCAC

BCACACACAC

LKL

LLLKLKKLLL

2

2

)]sin([

])cos(][)sin([)]sin()][)sin(())cos([(

EF

EFAEEFAEAE

L

KLKLLLLKLL

))cos(())sin(())cos(())sin(( 22 LLKLLLKLLR EFEFAEAEBFX

2)]sin([

])cos(][)sin([)]sin(][))cos(())sin([(

EF

EFAEEFAEAE

L

LKLLKLLLL

))cos(

()1)(sin(2

AC

ACBC

AC

BC

L

KLLK

L

LL

)(sin/]})))][cos(cos(())cos([(

)]))][sin(sin(())cos(())sin(())cos({[(

2

2

KLKL

LLLKLKKLLL

BCAC

BCACACACAC

83


La primera Ley de Newton, conocida

como Ley de inercia nos dice que un

cuerpo permanecerá en reposo o en

movimiento rectilíneo uniforme, a

menos que una fuerza externa actúe

sobre él.

Entendiendo, que existen un tipo de

observadores inerciales (localmente),

que no tienen movimiento, para los

que la mecánica clásica tiene sentido

y que ven al objeto en reposo o en

continuo movimiento desde un marco

inercial. [13]

Entonces, diremos que la inercia es

un estado en el cual un objeto está en

reposo o en movimiento rectilíneo

uniforme; y este estado permanece

hasta que una fuerza externa actúe

sobre él.

En lo analizado, nos damos cuenta

que basta con una fuerza externa

mínima para romper el estado de

inercia de dicho objeto.

Sin embargo, al tratar con objetos

que tienen masa, es fácil notar que

para moverlo ya sea rotacional o

linealmente, se necesita una cantidad

determinada de fuerza para romper

su estado inercial. Pareciendo que

existe una fuerza misteriosa en el

objeto.

Muchas veces, este concepto de la

física define muy bien, lo que pasa en

nuestra vida cotidiana y en la

investigación, puesto que es difícil

cambiar de estado o de idea.

Pareciendo que existe una fuerza

misteriosa que nos arrastra a pensar

y comportarnos de la misma manera.

Más esta fuerza no es invencible.

Albert Einstein mencionó que existe

una fuerza motriz más poderosa que

el vapor, la electricidad y la energía

atómica: La voluntad.

En mi opinión, el motivo que genera

la mayor fuerza de voluntad es el

amor.

Índice.

3.1 Energía Cinética

3.2 Energía Potencial

3.3 Ecuación de Lagrange

3.4 Formulación de coordenadas

3.5 Fuerzas de restricción

3.6 Parámetros reducidos EKSERGIAN

3.7 Método de los multiplicadores de

Lagrange (DAEs).

3.7.1 Método utilizando coeficientes de

velocidad

3.7.2 Método utilizando ecuación

cinemática

3.8 Trabajo virtual

3.9 Fuerzas externas

3.10 Cálculo de reacciones

ANÁLISIS DINÁMICO

84


85

Fig. 3.1 Energía Cinética

La energía cinética de un objeto es la energía que posee debido a su movimiento.

En el estudio de los cuerpos rígidos, esta energía puede expresarse en términos

de la velocidad del centro de masa del cuerpo y de su velocidad angular. [1]

22

2

1

2

1ImvT

Donde:

m = masa

v = Magnitud de la velocidad del centro de masa

I = Momento de inercia respecto a un eje imaginario que pasa por el centro de

masa y es perpendicular al plano de movimiento

=Velocidad angular

ENERGÍA CINÉTICA CAPÍTULO 3

86


con CM

El mecanismo de Whitworth de la figura 3.2, es un modelo que nos permite ver

con mayor claridad los centros de masa de los eslabones y que éstos pueden

variar de acuerdo al diseño. Sin embargo; también se aprecia que la posición de

los pares cinemáticos se conserva.

A continuación, se presentan las ecuaciones de la energía cinética de cada uno de

los eslabones del mecanismo de retorno rápido de Whitworth. Los momentos de

inercia se toman con respecto al CM de cada eslabón.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)


87

Se sustituyen los valores de las velocidades y se simplifica.


Ecs. (3.6), (3.7), (3.8), (3.9) y (3.10)

[

]

(

(

) )


Ecs. (3.11), )12.3( , )13.3( , )14.3( , )15.3( y )16.3(

[

]

)


88

[(

)

((

)

(

)

)

( )

]

[(

)

((

)

(

)

)

( )

]


89

Fig. 3.3 Energía Potencial

Gravitatoria

3.2 ENERGÍA POTENCIAL

“Energía Potencial Gravitatoria Vg”

Es por definición, el trabajo mgh que se realiza contra el campo gravitatorio para

elevar la masa una distancia h por encima de un plano de referencia arbitrario en

el que Vg se toma como cero. [2]

mghVg

Donde:

m = Masa

g = Aceleración de la gravedad

h = Altura medida desde un plano de referencia arbitrario

ENERGÍA POTENCIAL CAPITULO 3

90

A continuación, se presentan las ecuaciones de la energía potencial Vg de cada

uno de los eslabones del mecanismo de retorno rápido de Whitworth.

Se sustituyen los valores de las velocidades y se simplifica.



( (

) )

( (

) )

ENERGÍA POTENCIAL CAPÍTULO 3

91

3.3 ECUACIÓN DE LAGRANGE

Este trabajo no incluye un estudio detallado de las ecuaciones de Lagrange, sin

embargo, se menciona la bibliografía en caso de un interés más profundo. [3], [4],

[5].

Se comienza por definir la función Lagrangiano, que es la diferencia de la Energía

Cinética y Energía Potencial.

∑ ∑

Se definen las ecuaciones de Lagrange.

“Método Clásico”

Este método, es una formulación de las ecuaciones de Lagrange en coordenadas

independientes. Es decir; en nuestro planteamiento como existe un solo grado de

libertad, solamente será función de una sola coordenada independiente .

(

)

(3.34)

Donde:

Función de lagrangiano

Fuerzas externas generalizadas

ECUACIÓN DE LAGRANGE CAPÍTULO 3

92

“Método con Multiplicadores de Lagrange”

Este método, es una formulación de las ecuaciones de Lagrange en coordenadas

dependientes, Es decir; en nuestro planteamiento además de existir una sola

coordenada independiente se agregan coordenadas dependientes.

(

)

Donde:

Función de lagrangiano.

Fuerzas Externas generalizadas actuando a lo largo de las

coordenadas dependientes.

Término que se introduce, debido a que las coordenadas

generalizadas no son independientes, pero están interrelacionadas

por medio de ecuaciones de restricción.

Matriz Jacobiana de las ecuaciones no lineales de restricción. [6]

Multiplicadores de Lagrange.

La deducción de la ecuación dinámica de Lagrange (3.35), a través del principio

de Hamilton a partir de la ecuación de D’Alembert, se encuentra en [3]

ECUACIÓN DE LAGRANGE CAPÍTULO 3

93

3.4 FORMULACIÓN DE COORDENADAS

En la literatura, existen diferentes métodos para formular las ecuaciones

dinámicas. Entre ellas encontramos la formulación: Newton-Euler, D’Alembert,

Lagrange-Euler, Hamilton, etc.

Entre la formulación de Lagrange, encontramos la formulación con coordenadas

reducidas y los métodos con multiplicadores de Lagrange, la elección de alguna

de éstas, radica principalmente en el problema a tratar.

“Coordenadas Reducidas” ó “Parámetros reducidos”

En esta formulación, se toman los m grados de libertad del sistema y se restan las

c restricciones , y se trabaja con las coordenadas restantes.

Existen razones válidas para utilizar coordenadas reducidas, ya que estas

eliminan el problema de “drifting” que tienen los multiplicadores de Lagrange,

permitiendo un procesamiento más rápido. El problema de “drifting”, consiste en

que dos elementos que deben permanecer conectados tienden a separarse

cuando se utiliza un multiplicador, esta separación es parcialmente una

consecuencia de errores numéricos al procesar los multiplicadores, que son

inevitables durante la integración numérica. Existen técnicas de estabilización para

corregir dicho problema. [7]

Una ventaja de este tipo de coordenadas es una importante reducción en el

número de ecuaciones a integrar, pero más importante es la desaparición del

problema de inestabilidad en la integración de las ecuaciones de restricción

usando ODE “Ordinary differential equation” solvers.

La formulación e implementación de estos métodos en términos computacionales

es más compleja. [6]

“Método de los Multiplicadores de Lagrange”

También existen razones de peso al trabajar con este tipo de formulación. En

particular este método permite en gran manera construir sistemas modulares, que

en caso de trabajar con simulaciones, es un factor vital. Además, para todos

excepto las formas más simples, la parametrización requerida para la formulación

de parámetros reducidos es extremadamente complicada, además que las

restricciones no holónomas no pueden ser representadas [7]

FORMULACIÓN DE COORDENADAS CAPÍTULO 3

94

Las ecuaciones que obtenemos utilizando este método, son “DAE” ecuaciones

diferenciales Algebraicas.

Se ha tomado ventaja de este método no nada más en la mecánica computacional

[6], [8], sino también en la síntesis dimensional óptima de mecanismos planos [9],

control de fuerza [10], etc.

FORMULACIÓN DE COORDENADAS CAPÍTULO 3

95

3.5 FUERZAS DE RESTRICCIÓN

El término

,

se llama fuerza de restricción, y son también llamadas

“workless forces”, ya que no aumentan energía al sistema [7].

Estas fuerzas, surgen como una necesidad para formular las ecuaciones

dinámicas usando el método de Lagrange-Euler con coordenadas dependientes,

sin embargo, también representan las fuerzas de reacción en los pares

cinemáticos [6].

Es fácil visualizar las fuerzas de restricción como fuerzas de reacción, en

ejemplos como los mostrados en [5], donde se encuentran la fuerza normal a un

plano, o la reacción de una cuerda que sostiene a una masa en forma de péndulo.

Cuando analizamos la dinámica de mecanismos utilizando las ecuaciones de

Lagrange, encontramos distintas formas de representarla. Dependiendo de su

representación, es la manera que concebimos la función de estas fuerzas.

Al utilizar las coordenadas naturales [6], en donde se incluyen en la formulación

cinemática de manera explícita todos los pares cinemáticos, es fácil, deducir que

por cada par, existe un multiplicador de Lagrange que nos ayuda a saber cual es

la fuerza de reacción actuando en ellos en el análisis dinámico. Del mismo modo

al utilizar coordenadas de punto de referencia, siendo este el CM, cada uno de los

pares se encuentra explícitamente representado en la formulación cinemática. [8]

Por otro lado, cuando se utilizan las coordenadas de punto de referencia, y el

punto de referencia es un par, entonces la formulación cinemática ya no incluye a

todos los pares explícitamente, por lo cual, el significado de las fuerzas de

restricción en la formulación dinámica se oculta. Este es el caso del método de

lazos y el de superficies de restricción.

Sin embargo; al formular la cinemática, utilizando superficies de restricción, las

fuerzas de restricción son perpendiculares a la superficie planteada, lo que puede

ser tomado como un indicativo de la fuerza necesaria para mantener un objeto

sujeto a la superficie de restricción, ya que al separarse dicha fuerza será cero.

Así como un indicativo de cuanta fuerza está siendo aplicada a la superficie. [10]

FUERZAS DE RESTRICCIÓN CAPÍTULO 3

96

FUERZAS DE RESTRICCIÓN CAPÍTULO 3

97

3.6 PARÁMETROS REDUCIDOS EKSERGIAN

El método de Eksergian, es un método de parámetros reducidos, el cual es muy

ocupado, cuando el sistema presenta un solo grado de libertad.

Donde:

Inercia generalizada

Coordenada generalizada, (En este caso es la coordenada Independiente)

Energía Potencial

Fuerzas no conservativas

Se plantea la energía cinética del mecanismo.


Ecs. (3.6), (3.7), (3.8), (3.9) y (3.10)

[

]

(

(

) )

PARÁMETROS REDUCIDOS EKSERGIAN CAPÍTULO 3

98

Se toman los coeficientes de velocidad y se sustituyen la ecuación de la energía

cinética.

K ;

AC

AC

LKL ;

K ;

BFXBFX

RKR

Ecs. (3.37) ,(3.38),(3.39).(3.40) y (3.41)

[

]

[

]

{ [

] }

[

]

{ [

(

) ] }

Se define la energía cinética como:

Donde Ec. (3.43)

{

[

]

[ (

) ]

}


99

Resumiendo los coeficientes de aceleración

Ec. (3.46)

{ [

] [ ] [

)

] [ ]

[ ] [

]

[ ]

Se toma la energía potencial debida a la gravedad y se deriva con respecto a la

variable generalizada.

(3.44)

(3.45)


100

Sustituyendo las ecuaciones obtenidas en la Ec. (3.36).

(3.36)

En el Anexo F, se encuentra la programación del modelo obtenido, sin tomar en

cuenta las fuerzas externas ni fricción.


101

3.7 MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

La ecuación dinámica utilizando los multiplicadores de Lagrange se representa

como:

(

)

(3.35)


Se resumen las ecuaciones utilizadas en la cinemática, para definir posición,

velocidad y el Jacobiano.

Ecuaciones de Posición

(2.52)


[( ) ]

(2.63)

Matriz Jacobiana

[

]

Al tener dos ecuaciones de restricción, se necesitan dos multiplicadores de

Lagrange.

[

]

Las fuerzas de restricción, son perpendiculares a las superficies de restricción.

[ ]

[

] (3.49)

MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CAPÍTULO 3

102

Energía Cinética

Donde:

[

]

(

)

[(

)

((

)

(

)

)

( )

]

[(

)

((

)

(

)

)

( )

]

MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CAPITULO 3

103

Para tener una buena organización de los términos que contiene la ecuación

dinámica, se presenta cada una de sus componentes por separado.

(

)

{[

] [ ] [

]

{[ ] [ ]

[ ] { [ ( )]}

{ [ ] [ ] [

] { ] [ ]

(

)


104

(

)

=

,* (

)+ * (

)+ [

]

* (

)+ -

, * (

)+ * (

)+-

, * (

)+ * (

)+

* (

)+ * (

)+-

, * (

)+ [ (

)]-

, * (

)+ * (

)+

* (

)+- {[ ] [ ]


105

(

)

=

,* (

)+ * (

)+ [

]

* (

)+ -

, * (

)+

[ (

)]-

, * (

)+

* (

)+ * (

)+

* (

)+-

,* (

)+

[ (

)]-

, * (

)+ * (

)+

* (

)+-

, (

) [ ] [ ]-


106

(

)

{[ ] ]

[ ] {[

]

* ( )+ { ]

[ ] {[ ]

{ [ ] {[ ]

(

)

{[ ] {[ ]

(

)

gCCCVTT

dt

d )55.3(

gLmL

mL

m

vLm

LHLm

LHLm

Lm

uLm

LHLm

BCC

BC

C

BC

C

BC

C

BCBC

C

BCBC

C

BC

C

BC

C

BCBC

C

})sin({})(cos

)sin()(sin2{}

)(cos

)cos()sin({

})cos(

)sin(

)(cos

))sin()()cos((2

)(cos

))sin()()cos((2{

})(cos

)(sin{

})cos(

)sin(

)(cos

)sin())sin()()cos(({

3

222

2

2

2

3

42

2

22

3

3


107

gCCCVTT

dt

d )56.3(

gL

mL

mL

m

vLm

LPLm

LPLm

Lm

uLm

LPLm

BC

C

BC

C

BC

C

BC

C

BCBC

C

BCBC

C

BC

C

BC

C

BCBC

C

})sin(

)cos()cos({}

)(sin

)cos()(cos2{}

)(sin

)cos()sin({

})sin(

)cos(

)(sin

))cos()()sin((2

)(sin

))cos()()sin((2{

})(sin

)(cos{

})sin(

)cos(

)(sin

)cos())cos()()sin(({

3

222

2

2

23

42

2

22

3

3

Se resumen las ecuaciones planteadas:

2

1

T

Q

g

g

g

VTT

dt

d

VTT

dt

d

VTT

dt

d


108

Reordenando los valores, y acomodándolos en forma matricial.

2

1

31

21

11

333231

232221

131211

333231

232221

131211

T

Q

g

g

g

CCC

CCC

CCC

g

N

N

N

NNN

NNN

NNN

MMM

MMM

MMM

)57.3(

Donde:

111

2222

4

2

4111 )(cos)( TCDDAEFAEEFDD MILmLmvumM

)cos()cos()cos()sin( 5512 EFAEFAEEFAEEF LLmvLmuLmM

1313 TCMM

)cos()cos()cos()sin( 5521 EFAEFAEEFAEEF LLmvLmuLmM

EFEFFEF ILmvumM )(cos)( 222

5

2

522

023 M

3131 TCMM

032 M

331

2

2

2

2133 )( TCBBBB MIvumM

ACTCCTCAEFC NNLmN 1111

2

11 )sin()cos(

})sin()cos()cos()sin({ 5512 EFAEFAEEFAEEFC LLmuLmvLmN

1313 CTCC NN

})sin()cos({ 5521 vLmuLmN AEEFAEEFC

})sin()cos({})sin()cos({2

22 EFAEFEFFC LLmLmN

023 CN

ACTCCTCC NNN 313131

032 CN

3333 CTCC NN


109

1144111 )sin()sin()cos( gTCAEEFDDg NLmvumN

5521 )sin()cos( vumN EFg

3122131 )sin()cos( gTCBBg NvumN

Para valores de 360,180,0

C

BC

C

C

BC

C

BC

CTC

IuHL

m

vumvHL

mHL

mM

)(cos

)sin())cos((2

)()cos(

))cos((2

)(cos

))cos((

2

3

2

3

2

3

3

4

2

11

)cos(

)sin(

)(cos

)sin())sin()()cos(( 3

313

uLm

LHLmM

BC

C

BCBC

CTC

)cos(

)sin(

)(cos

)sin())sin()()cos(( 3

331

uLm

LHLmM

BC

C

BCBC

CTC

)(cos

)(sin2

22

33

BC

CTC

LmM

})(cos

))cos((2

)cos(

))cos((

)(cos

)sin())cos((

cos

)sin())cos((2{

3

33

2

3

5

2

11

uHLm

uHLm

vHLm

HLmN

BC

C

BC

C

BC

C

BC

CCTC

})cos(

)sin(

)(cos

)sin())cos((2

cos

)sin())cos((2{

3

4231

vLm

LHLm

LHLmN

BC

C

BCBC

C

BCBC

CCTC

}

)cos(

)cos(

)(cos

)sin()cos())cos(({

3

313

uLm

LHLmN

BC

C

BCBC

CCTC

}

)(cos

)cos()sin({

2

2

33

BC

CCTC

LmN


110

})(cos

)sin()sin(2

)cos(

)sin(2.

)(cos

)sin())cos((2{

2

3

3

411

uLm

vLm

LHLmN

BC

C

BC

C

BCBC

CACTC

}

)(cos

)sin()(sin{

3

22

31

BC

CACTC

LmN

))(sin()cos( 3311 vmumN CCgTC

)sin(31 BCCgTC LmN

Para valores de 360,180,0

C

BC

C

C

BC

C

BC

CTC

IuPL

m

vumvPL

mSIN

PLmM

)(sin

)cos())sin((2

)()sin(

))sin((2

)(

))sin((

2

3

2

3

2

3

3

4

2

11

)sin(

)cos(

)(sin

)cos())cos()()sin(( 3

313

uLm

LPLmM

BC

C

BCBC

CTC

)sin(

)cos(

)(sin

)cos())cos()()sin(( 3

331

uLm

LPLmM

BC

C

BCBC

CTC

)(sin

)(cos2

22

33

BC

CTC

LmM

})(sin

))sin((2

)sin(

))sin((

)(sin

)cos())sin((

sin

)cos())sin((2{

3

33

2

3

5

2

11

uPLm

uPLm

vPLm

PLmN

BC

C

BC

C

BC

C

BC

CCTC

})sin(

)cos(

)(sin

)cos())sin((2

sin

)cos())sin((2{

3

4231

vLm

LPLm

LPLmN

BC

C

BCBC

C

BCBC

CCTC


111

}

)sin(

)sin(

)(sin

)cos()sin())sin(({

3

313

uLm

LPLmN

BC

C

BCBC

CCTC

}

)(sin

)cos()sin({

2

2

33

BC

CCTC

LmN

})(sin

)cos()cos(2

)sin(

)cos(2.

)(sin

)cos())sin((2{

2

3

3

411

uLm

vLm

LPLmN

BC

C

BC

C

BCBC

CACTC

}

)(sin

)cos()(cos2{

3

22

31

BC

CACTC

LmN

))(sin()cos()(sin

)sin(33

211 vmum

PLmN CC

BC

CgTC

Una vez encontrado, los valores de cada elemento de la ecuación matricial, se

define la matriz M, Nc y NG

2

1

31

21

11

333231

232221

131211

333231

232221

131211

T

Q

g

g

g

CCC

CCC

CCC

g

N

N

N

NNN

NNN

NNN

MMM

MMM

MMM

)58.3(

333231

232221

131211

MMM

MMM

MMM

M;

333231

232221

131211

CCC

CCC

CCC

C

NNN

NNN

NNN

N;

g

N

N

N

N

g

g

g

G

31

21

11

0)cos(

)sin(0

)sin()sin()cos()cos(

BC

EF

AEBC

T

Q

L

L

LPHL

;

2

1

T

QGC NqNqM

)59.3(

La ecuación (3.61), se define como una ecuación diferencial algebraica (DAE).


112


113

3.7.1 MÉTODO UTILIZANDO COEFICIENTES DE VELOCIDAD

Este método, tiene la intención de evitar las ecuaciones diferenciales algebraicas,

utilizando los coeficientes de velocidad y aceleración.

Se muestran los coeficientes de velocidad y aceleración obtenidos anteriormente

K ;

K ; dt

dKL

;

dt

dKL

Se definen los vectores

1

K

K

K;

0

L

L

L

Se sustituyen los coeficientes de velocidad y aceleración en lugar de las

velocidades y aceleraciones angulares.

K

K

LK

LK

Finalmente se obtiene la formulación dinámica

2

1

31

21

11

333231

232221

131211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

1

01

T

Q

g

g

g

CCC

CCC

CCC

g

N

N

N

K

K

NNN

NNN

NNN

L

L

MMM

MMM

MMM

K

K

MMM

MMM

MMM

)60.3(

T

QGC NKNMLMK

)(

)61.3(


114

Se define:

KQ;

LKQ;

Sustituyendo en la ecuación (3.61), se obtiene la forma de la ecuación de

mostrada en [10].

T

QGC NQNQM

)62.3(

En el Anexo G, se encuentra la programación del modelo obtenido, sin tomar en



115

3.7.2 MÉTODO UTILIZANDO ECUACIONES CINEMÁTICAS

La ecuación (3.61) constituye un arreglo de ecuaciones algebraicas diferenciales

(DAE), para evitar este tipo de ecuaciones, se usan las ecuaciones cinemáticas de

aceleración, las cuales son obtenidas al derivar las ecuaciones de restricción con

respecto a t. [6]

Esta expresión, se deriva de las ecuaciones de la aceleración obtenidas en la

formulación de la cinemática, pero expresadas utilizando la matriz Jacobiana.

cqq qtQ

)63.3(

Se escriben la ecuación (3.61) y (3.65) juntas, resultando un sistema de (n+m)

ecuaciones con (n+m) incógnitas, cuya matriz es simétrica y en general, definida

no positiva y también muy “sparse” o con muchos ceros:

c

QqM

Q

T

Q

0 )64.3(

adassGeneralizCoordenadam

sstriccionen

Re

Donde el término Q, contiene todas las fuerzas externas, además de los términos

de la inercia dependientes de la velocidad y aquellos obtenidos del potencial.

Se había definido el Jacobiano como:

0)sin()sin(

)cos(0)sin()cos()cos(

EFAE

BCBC

QLL

LPHL)66.2(

Se obtiene la primera derivada con respecto al tiempo

0)cos()cos(

))(sin(0)cos()sin())(sin(

EFAE

BCBCQ

LL

LPHL

Debido, a que se incluyeron los términos correspondientes de en el Jacobiano,

el término

t no aparece en las ecuaciones, Por tanto:

cqq qQ

)65.3(


116

Retomando la ecuación dinámica

T

QGc NqNqM

)66.3(

2

1

31

21

11

333231

232221

131211

333231

232221

131211

T

Q

g

g

g

CCC

CCC

CCC

g

N

N

N

NNN

NNN

NNN

MMM

MMM

MMM

Se obtiene

QNqNqM Gc

T

Q

)67.3(

g

N

N

N

NNN

NNN

NNN

Q

g

g

g

CCC

CCC

CCC

31

21

11

333231

232221

131211

El sistema de ecuaciones (3.66) puede ser usado para la solución simultánea de

las aceleraciones y los multiplicadores de Lagrange. Alternativamente la Ecuación

(3.61) puede resolverse primero para obtener una expresión para las

aceleraciones.

T

QMQMq

11 )68.3(

Que puede ser útil, sólo si la matriz de masa no es singular.

Sustituyendo la Ec (3.68) en (3.66)

cQMM Q

T

QQ 11 )69.3(

Con la cual es posible encontrar el vector de los multiplicadores de Lagrange y

al sustituir el valor encontrado en la ecuación (3.69), se obtienen las

aceleraciones.

En el Anexo H, se encuentra la programación del modelo obtenido, sin tomar en



117

3.8 TRABAJO VIRTUAL

Se plantea de una forma muy breve, los conceptos del principio del Trabajo

Virtual, puesto que es junto con el principio de Hamilton, los medios para plantear

la ecuación dinámica del mecanismo planteado.

Más que por su importancia práctica, este principio tiene tanta relevancia debido a

que es la base que lleva a anunciar la mecánica analítica. [3]

“Fuerza de Ligadura” ó “Fuerza de Restricción”

La introducción de restricciones en el sistema mecánico lleva al concepto de

fuerza de vínculo, que es justamente la que se ejerce sobre la partícula para forzar

el cumplimiento de la ligadura. Esta fuerza se diferencia de las fuerzas aplicadas

en que éstas son determinadas independientemente de otras fuerzas.

Una restricción adicional que se impone a las fuerzas de vínculo es que puedan

ser tan grandes en magnitud como fuera necesario para imponer la ligadura, lo

que es una idealización de los vínculos reales, pues estos sufren transformaciones

como son el estirarse, doblarse, etc.

Un ejemplo de este tipo de fuerzas, lo encontramos en la fuerza que ejerce un riel

que guía el movimiento de una partícula, que no puede ser determinada sin

conocer las otras fuerzas que actúan. [11]

“Desplazamiento virtual”

Es un desplazamiento infinitesimal de la posición, realizado instantáneamente; a

velocidad infinita, sin que transcurra el tiempo durante el desplazamiento. A parte

de ser instantáneo, el desplazamiento es arbitrario, no relacionado con el

movimiento real de la partícula en el instante considerado, Sin embargo, los

desplazamientos virtuales más útiles son los que respetan los vínculos,

denominados “compatibles con los vínculos”

“Trabajo virtual”

Es el trabajo que realiza una fuerza en el desplazamiento virtual.

TRABAJO VIRTUAL CAPÍTULO 3

118

“Principio de los trabajos virtuales de D’Alembert”

El principio postula que la suma de los trabajos virtuales de todas las fuerzas del

vínculo de un sistema es nula, para cualquier conjunto de desplazamientos

virtuales, compatibles con los vínculos, de las partículas del sistema.

Este principio se aplicó inicialmente en forma elemental y enfocada a problemas

estáticos comenzando por Aristóteles y pasando por Stevinus y Galileo. Su forma

más explícita y general la dio Juan Bernoulli, sin embargo siempre en el caso

estático. D’Alembert en el siglo XIX formuló su principio, que dice en realidad que

un problema dinámico puede reducirse a uno estático en el que se han agregado a

las fuerzas reales (de vínculo y aplicadas), las fuerzas de inercia. Permitiendo así,

el uso del principio en casos dinámicos. [11]

Para un desplazamiento virtual de cualquier tipo, el “trabajo virtual” hecho por F,

está dado por:

sFW )70.3( W Trabajo virtual

F Fuerza aplicada o de vínculo

s Desplazamiento virtual

En el caso de considerarse solo las fuerzas aplicadas que sean compatibles con

los vínculos:

i j jjii AMrFW )71.3(

W Trabajo virtual

F Fuerza aplicada

ri Desplazamiento lineal virtual

Ai Desplazamiento angular virtual

Se define

dq

dri

q

ri

daGeneralizaCoordenadaq

TRABAJO VIRTUAL CAPITULO 3

119

Fig. 3.4 Fuerzas Externas

3.9 FUERZAS EXTERNAS

La utilización, del principio de Trabajo virtual, nos ayudará a definir en la

formulación dinámica, las fuerzas externas que actúan el mecanismo.

El motivo, por el que se ocupa este método nace de la derivación de la ecuación

dinámica a través del principio de Hamilton a partir de la ecuación de D’Alembert,

que podemos encontrar en [3]. En este trabajo, sólo se ocupa la metodología.

Hasta este momento, sólo la fuerza de gravedad ha sido tomada en cuenta en los

cálculos; Ahora se agrega una fuerza de corte Fcorte, ejercida en el último eslabón

del mecanismo y un par ejercido en el par cinemático del elemento 2 ó BB1, que lo

conecta al eslabón fijo.

Utilizando, el principio de trabajo Virtual.

TrFW corte

A )72.3(

Donde:

REFxRAExRBAxr

)sin()sin( EFAE LLPr )73.3(

FUERZAS EXTERNAS CAPÍTULO 3

120

Caso I: Una sola coordenada generalizada

Se deriva (3.73) con respecto a la variable generalizada

d

dL

d

dL

d

drrEFAE )cos()cos(

Se toman los coeficientes de velocidad

KLKL

d

drrEFAE )cos()cos(

Por tanto

KLKLr EFAE )cos()cos(

Y se sustituye en (3.72)

})cos()cos({ TKLKLFW EFAEcorte

A )74.3(

La Ec. (3.74) se representa como

AA qQW )75.3(

Caso II: Tres coordenadas generalizadas

Se deriva (3.74) con respecto a las variables generalizadas.

)cos(

AELr

)cos(

EFLr


121

Por tanto:

)cos(AELr

)cos(EFLr

rrr )76.3(

Se sustituye (3.76) en (3.72)

TLLFW EFAEcorte )cos()cos( )77.3(

Se rescribe (3.73) en términos de las coordenadas generalizadas

T

LF

LF

W EFcorte

AEcorte

))cos((

))cos((

)78.3(

La Ec. (3.79) se representa como

AqQW )79.3(

“Forma General del principio de Hamilton”

2

1

0

t

t

CA dtWWL )80.3(

2

1

0

t

t

CA QQq

L

q

L

dt

d )80.3(

La ecuación (3.80), debe permanecer para toda q y 0)()( 21 tqtq

El término T

Q

CQ , sólo se toma en cuenta si existen coordenadas

dependientes.

Para mayor referencia de la deducción de la ecuación (3.80), revisar [3], [12]


122

Ecuación dinámica con Fuerzas Externas

“Parámetros Reducidos Eksergian”

AQdq

dVq

dq

qdqq

2)(

2

1)(

)81.3(

TKLKLFQ EFAEcorte

A )cos()cos(

)82.3(

En el Anexo I, se encuentra el programa que integra las fuerzas externas a la

formulación dinámica.

“Multiplicadores de Lagrange”

Utilizando coeficientes de velocidad

AT

QGC QNQNQM

)83.3(

En el Anexo J, se encuentra el programa que integra las fuerzas externas a la


Utilizando ecuación cinemática

c

QqM

Q

T

Q

0 )66.3(

A

GC QNqNQ

)84.3(

En el Anexo K, se encuentra el programa que integra las fuerzas externas a la


Siendo las Fuerzas Aplicadas ó Externas

T

LF

LF

Q EFcorte

AEcorte

A ))cos((

))cos((

)79.3(


123

3.10 CÁLCULO DE REACCIONES

La principal ventaja de la formulación dinámica en coordenadas dependientes

usando multiplicadores de Lagrange, más allá de la simplicidad del método, es

permitir el cálculo de fuerzas asociadas con las restricciones (Las cuales

dependen de los multiplicadores) con un esfuerzo adicional mínimo. [6]

Esta facilidad de obtener las fuerzas de reacciones, depende de la formulación

cinemática, en específico, es necesario que todos los pares cinemáticos se

encuentren representados explícitamente dentro de la formulación. Este es el caso

de utilizar coordenadas naturales, o coordenadas de punto de referencia, siendo

este el CM.

Sin embargo, cuando la formulación cinemática no incluye explícitamente todos

los pares cinemáticos, existe un menor número de multiplicadores de Lagrange

que pares cinemáticos, por lo que no resulta tan sencillo calcular las reacciones.

Por tanto, se utilizará un método vectorial para encontrar las reacciones; ya que la

determinación de las reacciones en los pares es esencialmente un problema

estático y tomando en cuenta que ya se han establecido las fuerzas de inercia en

un análisis dinámico previo, esta clase de problemas es referida como cineto-

estático.

Para obtener las reacciones, será necesario plantear un sistema de coordenadas

en el centro de masa de cada uno de los elementos que mantenga su orientación,

y desde ahí definir la posición de la aplicación de las fuerzas. Aunque se planteó

este método, no es el único, pues es posible también utilizar componentes de

fuerza tangencial y normal para obtener las reacciones.

La desventaja de este tipo de método, radica en que se tiene que realizar un

análisis extra, para obtener las reacciones, lo que se vuelve complicado al

momento de implementarlo en un método computacional.

CÁLCULO DE REACCIONES CAPÍTULO 3

124

Fig. 3.5 Reacciones en BB1

“Elemento 2, ó BB1”

Donde:

),( YX Sistema de coordenadas inercial

),( 22 VU Sistema de coordenadas colineal al elemento, ubicado en el par B.

),( 22 YX Sistema de coordenadas con la misma orientación que el inercial,

ubicado en el centro de masa del elemento “2” ó “BB1”.

)( 2,2 CMCM VU Sistema de coordenadas colineal al elemento, ubicado en el centro

de masa del elemento “2” ó “BB1”.

),( 22 vu Distancias medidas desde el sistema de coordenadas ),( 22 VU

BCL Distancia del punto B a C.

1BBW Peso del elemento “2” ó “BB1”, concentrado en el CM.

1CBBf Fuerza ejercida por el elemento “3” ó “C” sobre el elemento “2” ó

“BB1”.

11BBf Fuerza ejercida por el elemento “1” sobre el elemento “2” ó “BB1”


125

El objetivo consiste en obtener la suma de fuerzas y momentos desde el sistema

de coordenadas ),( 22 YX , utilizando los valores BCL , 2u y 2v

)( 111111

CMBBBBBBCBBBB RmWffF )85.3(

TIfRfRM BBCBBCCMBBBBBCMBB

111111 )86.3(

Donde:

CMBBR 1 Aceleración del CM del elemento BB1, que se refiere a la segunda


sistema inercial.

BCMBBR 1 Posición medida desde el CM del elemento BB1 al Par B, utilizando


CCMBBR 1 Posición medida desde el CM del elemento BB1 al Par C, utilizando


La posición de los pares B y C, desde el sistema de coordenadas ),( 22 VU es:

),( 221 vuRBCMBB

),0( BCBC LR

1BCMBBR Posición medida desde el punto B al CM del elemento BB1,

utilizando el sistema de coordenadas ),( 22 VU .

BCR Posición medida desde el punto B al punto C, utilizando el sistema de

coordenadas ),( 22 VU .

La posición de los pares B y C, desde el sistema de coordenadas ),( 22 CMCM VU es:

),( 22)2,2(1 vuR VCMUCMBCMBB

),( 22)2,2(1 vLuR BCVCMUCMCCMBB


126

Fig. 3.6 Reacciones en C

Se obtiene la posición de B y C, desde el sistema de coordenadas ),( 22 YX al rotar

al sistema de coordenadas ),( 22 CMCM VU.

)2,2(11)cos()sin(

)sin()cos(VCMUCMBCMBBBCMBB RR

)87.3(

Se rescriben las ecuaciones (3.85) y (3.86) en componentes

)( 11111

CMXBBBBXCBBXBB RmffxF )88.3(

)( 111111

CMYBBBBBBYCBBYBB RmWffyF )89.3( )90.3(

TIfRfRfRfRM BBXCBBCYCMBBYCBBCXCMBBXBBYCMBBYBBXCMBB

11111111111 ))(())((

“Elemento 3, ó C”


de coordenadas ),( 33 YX

)(11

CCMCCCDDCBB RmWffF )91.3(

CCDDCMCNCCBBCMCC IfRfRM 11 )92.3(


127

Donde:

CCMR Aceleración del CM del elemento C, que se refiere a la segunda


sistema inercial.

CMCCR Posición medida desde el CM del elemento C al par C, utilizando el


CMCNCR Posición medida desde el CM del elemento C al punto de aplicación

de la fuerza normal al elemento C, ejercida por el elemento DD1

utilizando el sistema de coordenadas ),( 33 YX.

La posición del par C y el punto de aplicación de la fuerza normal al elemento C,

ejercida por el elemento DD1, desde el sistema de coordenadas ),( 33 VU son:

),( 33 vuRCCMC

),( CNCYCNCXCNC uuR

CCMCR Posición medida desde el punto C al CM del elemento C, utilizando el


CNCR Posición medida desde el punto C al punto de aplicación de la fuerza

normal al elemento C utilizando el sistema de coordenadas ),( 33 VU

La posición del par C y el punto de aplicación de la fuerza CDDf 1 , desde el sistema

de coordenadas ),( 33 CMCM VU son:

),( 33)3,3( vuR VCMUCMCMCC

),( 33)3,3( vuuuR CNCYCNCXVCMUCMCMCNC

Se obtiene la posición del par C y el punto de aplicación de la fuerza CDDf 1 desde

el sistema de coordenadas ),( 33 YX al rotar al sistema de coordenadas

),( 33 CMCM VU

)3,3()cos()sin(

)sin()cos(VCMUCMCMCCCMCC RR

)93.3(


128

Fig. 3.7 Reacciones en DD1

Se tiene, además

CBBCBB ff 11 )94.3(


)(11

CCMXCCXDDXCBB RmffxF )95.3(

)(11

CCMYCCCYDDYCBB RmWffyF )96.3( )97.3(

CCXDDCMCNCYCYDDCMCNCXXCBBCMCCYYCBBCMCCX IfRfRfRfRM ))(())(())(())(( 1111

“Elemento 4, ó DD1”



)( 1111111

CMDDDDDDCDDEFDDDD RmWfffF )98.3(

11111111 DDCDDNCCMDDEFDDECMDDDDACMDD IfRfRfRM )99.3(

CÁLCULO DE REACCIONES CAPITULO 3

129

Donde:

CMDDR 1 Aceleración del CM del elemento DD1, que se refiere a la segunda


sistema inercial.

ACMDDR 1 Posición medida desde el CM del elemento DD1 al par A, utilizando

el sistema de coordenadas ),( 44 YX.

ECMDDR 1 Posición medida desde el CM del elemento DD1 al par E, utilizando


NCCMDDR 1 Posición medida desde el CM del elemento DD1 al punto de

aplicación de la fuerza normal al elemento DD1, ejercida por el

elemento C utilizando el sistema de coordenadas ),( 44 YX.

La posición del par A, E y el punto de aplicación de la fuerza normal al elemento

DD1, ejercida por el elemento C, desde el sistema de coordenadas ),( 44 VU son:

),( 441 vuRACMDD

))(,0( 4vLR AEAE

),( CNCYACCNCXANC uLuR

1ACMDDR Posición medida desde el punto A al CM del elemento DD1,

utilizando el sistema de coordenadas ),( 44 VU

AER Posición medida desde el punto A al punto E, utilizando el sistema de


ANCR Posición medida desde el punto A al punto de aplicación de la fuerza

normal al elemento DD1 utilizando el sistema de coordenadas

),( 44 VU

La posición del par A, E y el punto de aplicación de la fuerza 1CDDf , desde el

sistema de coordenadas ),( 44 CMCM VU son:

),( 44)4,4(1 vuR VCMUCMACMDD

))(,( 44)4,4(1 vLuR AEVCMUCMECMDD

))(,( 44)4,4(1 vuLuuR CNCYACCNCXVCMUCMNCCMDD


130

Se obtiene la posición del par de revolución A, E y el punto de aplicación de la

fuerza 1CDDf desde el sistema de coordenadas ),( 44 YX al rotar al sistema de

coordenadas ),( 44 CMCM VU

)4,4(11)cos()sin(

)sin()cos(VCMUCMACMDDACMDD RR

)100.3(

)4,4(11)cos()sin(

)sin()cos(VCMUCMECMDDECMDD RR

)101.3(

)4,4(11)cos()sin(

)sin()cos(VCMUCMNCCMDDNCCMDD RR

)102.3(

Se tiene, además

11 CDDCDD ff )103.3(


)( 111111

CMXDDDDCXDDXEFDDXDD RmfffxF )104.3(

)( 1111111

CMYDDDDDDCYDDYEFDDYDD RmWfffyF )105.3(

11111

1111

111111

))(())((

))(())((

))(())((

DDCXDDNCYCMDDCYDDNCXCMDD

XEFDDEYCMDDYEFDDEXCMDD

XDDAYCMDDYDDAXCMDD

IfRfR

fRfR

fRfRM

)106.3(


131

Fig. 3.8 Reacciones en EF

“Elemento 5, ó EF”



)(1

EFCMEFEFFEFEFDD RmWffF )107.3(

EFFEFCMEFFEFDDCMEFE IfRfRM 1 )108.3(

Donde:

EFCMR Aceleración del CM del elemento EF, que se refiere a la segunda


sistema inercial.

CMEFER Posición medida desde el CM del elemento EF al par E, utilizando el


CMEFFR Posición medida desde el CM del elemento EF al par F, utilizando el

sistema de coordenadas ),( 55 YX


132

La posición del par F desde el sistema de coordenadas ),( 55 VU es:

),( 55 vuRECMEF

),0( EFEF LR

ECMEFR Posición medida desde el punto E al CM del elemento EF, utilizando

el sistema de coordenadas ),( 55 VU

EFR Posición medida desde el punto E al punto F, utilizando el sistema de


La posición del par E y F desde el sistema de coordenadas ),( 55 CMCM VU es:

),( 55)5,5( vuR VCMUCMCMEFE

)),( 55)5,5( vLuR EFVCMUCMCMEFF

Se obtiene la posición del par E y F desde el sistema de coordenadas ),( 55 YX al

rotar al sistema de coordenadas ),( 55 CMCM VU

)5,5()cos()sin(

)sin()cos(VCMUCMCMEFECMEFE RR

)109.3(

)5,5()cos()sin(

)sin()cos(VCMUCMCMEFFCMEFF RR

)110.3(

Se tiene, además

11 EFDDEFDD ff )111.3(


133

Fig. 3.9 Reacciones en F


)(1

EFCMXEFFEFXXEFDD RmffxF )112.3(

)(1

EFCMYEFEFFEFYYEFDD RmWffyF )113.3(

EFFEFXCMEFFYFEFYCMEFFX

XEFDDCMEFEYYEFDDCMEFEX

IfRfR

fRfRM

))(())((

))(())(( 11

)114.3(

“Elemento 6, ó F”



)(1

FCMFcorteFFFEFF RmfWffF )115.3(

01

corteCMFfcorteFCMFNFEFFCMFF fRfRfRM )116.3(


134

Donde:

FCMR Aceleración del CM del elemento F, que se refiere a la segunda


sistema inercial.

CMFFR Posición medida desde el CM del elemento F al par F, utilizando el


CMFNFR Posición medida desde el CM del elemento F al punto de aplicación

de la fuerza normal al elemento F, utilizando el sistema de

coordenadas ),( 66 YX

CMFfcorteR Posición medida desde el CM del elemento F al punto de aplicación

de la fuerza de corte, utilizando el sistema de coordenadas ),( 66 YX

La posición del par F y el punto de aplicación de la fuerza normal al elemento F,

desde el sistema de coordenadas ),( 66 VU son:

),( 66 vuRFCMF

),( 77 vuRFfcorte

FCMFR Posición medida desde el punto F al CM del elemento F, utilizando el


FfcorteR Posición medida desde el punto F al punto de aplicación de la fuerza

de corte, utilizando el sistema de coordenadas ),( 66 VU


135

La posición del par F, el punto de aplicación de la fuerza de corte y el punto de

aplicación de la fuerza normal a F, desde el sistema de coordenadas ),( 66 CMCM VU

son:

),( 66)6,6( vuR VCMUCMCMFF

)),( 6767)6,6( vvuuR VCMUCMCMFfcorte

)),()6,6( CMFNFYCMFNFXVCMUCMCMFNF vuR

No es necesaria ninguna transformación, por tanto:

)6,6( VCMUCMCMFFCMFF RR )117.3(

)6,6( VCMUCMCMFfcorteCMFfcorte RR )118.3(

)6,6( VCMUCMCMFNFCMFNF RR )119.3(

Se tiene, además

FEFEFF ff )120.3(


)(1

FCMXFcorteFXFEFX RmfffxF )121.3(

)(1

FCMYFFFYFEFY RmWffyF )122.3(

0))(())(())((

))(())((

11

corteCMFfcorteYFXCMFNFYFYCMFNFX

FEFXCMFFYFEFYCMFFX

fRfRfR

fRfRM

)123.3(


136

Se resumen las ecuaciones de las reacciones.

Ecs. (3.88), (3.89) y (3.90)

)( 11111

CMXBBBBXCBBXBB RmffxF )88.3(

)( 111111

CMYBBBBBBYCBBYBB RmWffyF )89.3( )90.3(

TIfRfRfRfRM BBXCBBCYCMBBYCBBCXCMBBXBBYCMBBYBBXCMBB

11111111111 ))(())((

Incógnitas: XBBf 11 , YBBf 11 , XCBBf 1 , YCBBf 1

Ecs. (3.95), (3.96) y (3.97)

)(11

CCMXCCXDDXCBB RmffxF )95.3(

)(11

CCMYCCCYDDYCBB RmWffyF )96.3( )97.3(

CCXDDCMCNCYCYDDCMCNCXXCBBCMCCYYCBBCMCCX IfRfRfRfRM ))(())(())(())(( 1111

Incógnitas: XCBBf 1 , YCBBf 1 , CXDDf 1 , CYDDf 1 , CNCYu

Dato: 0CNCXu

Ecs. (3.104), (3.105) y (3.106)

)( 111111

CMXDDDDCXDDXEFDDXDD RmfffxF )104.3(

)( 1111111

CMYDDDDDDCYDDYEFDDYDD RmWfffyF )105.3(

11111

1111

111111

))(())((

))(())((

))(())((

DDCXDDNCYCMDDCYDDNCXCMDD

XEFDDEYCMDDYEFDDEXCMDD

XDDAYCMDDYDDAXCMDD

IfRfR

fRfR

fRfRM

)106.3(

Incógnitas: XDDf 11 , YDDf 11 , XEFDDf 1 , YEFDDf 1 , CXDDf 1 , CYDDf 1 , CNCYu

Dato: 0CNCXu


137

Ecs. (3.112), (3.113) y (3.114)

)(1

EFCMXEFFEFXXEFDD RmffxF )112.3(

)(1

EFCMYEFEFFEFYYEFDD RmWffyF )113.3(

EFFEFXCMEFFYFEFYCMEFFX

XEFDDCMEFEYYEFDDCMEFEX

IfRfR

fRfRM

))(())((

))(())(( 11

)114.3(

Incógnitas: XEFDDf 1 , YEFDDf 1 , FEFXf, FEFYf

Hasta este, punto, se tienen 13 ecuaciones con 13 incógnitas, que pueden

resolverse como ecuaciones simultáneas.

)(1

FCMXFcorteFXFEFX RmfffxF )121.3(

)(1

FCMYFFFYFEFY RmWffyF )122.3(

0))(())(())((

))(())((

11

corteCMFfcorteYFXCMFNFYFYCMFNFX

FEFXCMFFYFEFYCMFFX

fRfRfR

fRfRM

)123.3(

Finalmente se resuelven las ecuaciones (3.121), (3.122) y (3.123), para encontrar

la fuerza normal al elemento F.

Incógnitas:, FYf1 , CMFNFXu,

Dato: 01 FXf

)124.3(

En el Anexo L, se encuentra el programa que obtiene las fuerzas de reacción del

mecanismo de Whitworth


138


139


La síntesis de un mecanismo, puede

decirse que es la etapa más creativa

que tenemos que enfrentar. En parte

porque no existe una única solución,

y por otra parte, tampoco existe una

sola metodología.

La síntesis cinemática, se refiere

básicamente al diseño de

movimientos que un mecanismo debe

efectuar. Y éstos, pueden ser muy

sencillos resueltos de una manera

muy complicada o muy complejos,

resueltos de una manera muy

sencilla. Éstos últimos han

trascendido los tiempos y han sido

herencia de mucho esfuerzo y

creatividad.

Es por tal motivo que al idear un

mecanismo, es buena recomendación

tomarse el tiempo para pensar y

meditar muchas alternativas de cómo

resolver el problema, pues esto

puede facilitar su análisis y puesta en

marcha. Caso contrario cuando se

elige una solución rápida y

comprometedora.

Bien es cierto el comentario de un

profesor con un alto grado de

estudios en Matemáticas, a quien le

pregunté, como los grandes genios

lograron hacer tantos y tan buenos

trabajos, seguramente conocían

demasiadas Matemáticas. Sonriendo

contestó, que no es necesario

conocer tantas Matemáticas o haber

tenido tantos cursos, o incluso haber

estudiado en la mejor universidad, lo

importante es tener la idea de cómo

resolver el problema.

Existen muchos documentos, que

muestran como un mecanismo puede

resolver un cierto tipo de problema.

Éstos son los que generalmente son

enseñados en las aulas de clase. Así

también, se ha intentado generalizar

un método para enfrentar los

problemas. Sin embargo no existe un

estándar o un listado de pasos que

aseguren la solución, por otro lado la

imaginación no tiene límite.

Índice. 4.1 Máquina Herramienta: Cepillo

4.2 Especificaciones de diseño

4.3 Síntesis cinemática

4.4 Clasificación de la síntesis cinemática

4.5 Condiciones de diseño en la síntesis

cinemática

4.6 Síntesis cinemática del mecanismo de

Whitworth

4.6.1 Manivela-Biela-Corredera

4.6.2 Ventaja mecánica

4.6.3 Modelo cinemático

4.6.4 Inversión cinemática

4.6.5 Mecanismo de retorno rápido

4.6.6 Dimensionamiento del mecanismo de

retorno rápido

SÍNTESIS CINEMÁTICA

140


141

El cepillo para metales tuvo su origen en el año 1836 aproximadamente, y se creó

en base a la necesidad de obtener superficies planas, sin embargo puede generar

también superficies curvas combinando sus movimientos principales: Horizontal,

vertical y transversal. [1]

El cepillado es una operación mecánica relativamente sencilla de corte con

desprendimiento de viruta, que utiliza un buril como herramienta.

Existen distintos tipos de cepillos:

Cepillo de codo

Cepillo de mesa

Cepillo de fosa

Cepillo universal

Cepillo vertical

El cepillo de codo también conocido como limadora, es el más utilizado por ser de

los más pequeños ya que la máxima carrera de este cepillo es de 1.5 m

aproximadamente; En este tipo de máquina la herramienta se desplaza

longitudinalmente en un movimiento de vaivén y la pieza permanece fija en la

mesa.

El cepillo de mesa, es de mayor tamaño y su capacidad se mide en función de la

longitud de la mesa que fluctúa entre 1 y 3.5 metros aproximadamente. La mesa

que porta la pieza, se desplaza a lo largo de la base sobre unas guías en V. Las

herramientas que son 3 ó 4 van colocadas en la parte superior y a los lados de la

mesa y si se requiere pueden trabajar todas simultáneamente.

El cepillo de fosa es el cepillo más grande que se fabrica, la dimensión de su mesa

puede ser de 4 metros de ancho y hasta 10 metros de longitud. Las herramientas

que son del tipo universal van montadas en el travesaño que se desplaza a lo

largo de la mesa sobre dos guías situadas a los costados.

MÁQUINA HERRAMIENTA: CEPILLO CAPÍTULO 4

142

El cepillo universal no es en sí un tipo determinado, sino que a un cepillo se le

llama universal cuando sus herramientas pueden cortar material en las dos

carreras, avance y retroceso, por medio de un mecanismo de doble herramienta

por cada portaherramientas o bien que la herramienta gire 180° cada vez que se

cambia el sentido del movimiento, este tipo de porta herramientas lo tienen todos

los cepillos de fosa y los cepillos grandes del tipo de mesa.

Cepillo vertical conocido también como arboladora, o perfiladora vertical, como su

nombre lo indica, el movimiento principal del carro se desplaza recíprocamente en

posición vertical. Su mesa está colocada abajo del carro y perpendicularmente,

además de tener un giro de 360°, es circular y está graduada en grados por medio

de una escala vernier.[2]

Constitución de un cepillo de codo

1. Base. Soporta toda la máquina y va anclada al piso.

2. Bastidor. Es la estructura donde se montan todos los mecanismos de

transmisión, el carro, la mesa y el motor.

3. Mesa. Va montada en la parte frontal del cepillo, es soportada por el travesaño

que va sujeto a las guías verticales del bastidor y el tornillo que regula la

altura. La mesa tiene movimiento vertical, transversal y giratorio, cuenta con

ranuras para el montaje de accesorios de sujeción o directamente de las

piezas.

4. Carro. Conocido también como carnero, va montado en la parte superior del

bastidor en unas guías en cola de milano o en V lateral. Su lubricación debe

ser continua. En su extremo frontal lleva el cabezal porta herramientas. Esta

parte realiza la función principal de la máquina, con su movimiento de vaivén

proporcionado por un mecanismo de brazo oscilante o hidráulico.

5. Mecanismo de transmisión de movimiento automático a la mesa. Montado

en la parte izquierda de la máquina, que por medio de un excéntrico, trinquete

y corona realiza los avances automáticos de alimentación de la mesa.

6. Motor. Montado en la parte interna del bastidor, proporciona todos los

movimientos a la máquina.

7. Cabezal portaherramientas. Montado en el extremo frontal del carro, tiene un

movimiento de giro y desplazamiento para proporcionar profundidad de corte a

la herramienta. [2]


143

Para evitar que los filos de la herramienta se desportillen o rompan en el

movimiento de regreso, las herramientas se inclinan o se elevan mecánica o

hidráulicamente para alejarse de la pieza. A causa de la longitud de la pieza, es

esencial equipar a las herramientas con rompedores de viruta.

En los cepillos, las velocidades de corte pueden llegar a 120m/min (400 pies/min)

y las capacidades a 110 kW (150hP). Las velocidades recomendadas son de 3 a 6

m/min (10 a 20 pies/min) para las fundiciones de hierro y aceros inoxidables, y

hasta 90 m/min (300 pies/min) para aleaciones de aluminio y magnesio. Los

avances suelen estar entre 0.5 y 3 mm/pasada (0.02 a 0.125 pulg/pasada). Los

materiales más comunes de herramienta son los aceros para alta velocidad M2 y

M3 y los carburos C-2 y C-6 [1]

La velocidad de la limadora se determina por tres factores.

A. El material que se mecaniza: hierro fundido, acero de máquinas o aluminio

B. El material utilizado en la fabricación de la herramienta: acero rápido,

aleaciones especiales o carburo aglomerado.

C. La profundidad del corte. Las pasadas de desbaste se efectúan con más

lentitud que las de acabado. [3]

La acción de corte de la limadora es intermitente; la herramienta se mueve

lentamente en la carrera de corte (movimiento hacia delante) y retorna

rápidamente. Debe recordarse que las rpm de la rueda de manivela son

invariables una vez realizado el ajuste. La relación entre las carreras de avance y

de retroceso es aproximadamente 1:1.5 ó 2:3, variando ligeramente con la longitud

de carrera. Para obtener el número correcto de carreras por minuto, hay que

multiplicar la velocidad de corte en pies/minuto por 7 y dividir el producto por la

longitud de la carrera en pulgadas; o bien, hay que multiplicar la velocidad de corte

en m/min por 583 y dividir el producto por la longitud en m/min. Así, si N es el

número de carreras por minuto; V, la velocidad de corte del metal, y L, la longitud

de la carrera, se tendrá. [3]

)(

583*min)/(

lg)(

7*min)/(

mmL

mV

puL

piesVN


144

Que puede escribirse como: [2]

)(

)(

T

iC

TL

TVN

N. Número de carreras por minuto.

Vc Velocidad de corte en (metros/pies) por minuto

L Longitud de la carrera en (mm/pulgadas)

Ti Tiempo de la carrera de trabajo

Tt Tiempo total de las dos carreras.

Una relación de velocidades 1:1.5 significa que el retroceso es 1.5 veces mas

rápido que el tiempo de corte, o que el corte toma 1.5 veces más de tiempo que el

regreso. Esta relación puede también escribirse como 2:3, pues al dividir 3/2, nos

da la relación de 1.5.

Usando la nomenclatura 2:3, entendemos que el cepillo esta tomando 3/5 partes

del tiempo de carrera para corte y 2/5 partes del tiempo para el regreso [4]

6.05

3

T

i

T

T

Multiplicando por un factor de 12, para transformar pulgadas en pies, nos da un

factor de conversión de 7.2 en el sistema inglés, y por un factor de 1000, para

transformar mm en m, nos da un factor de conversión de 600 para el sistema

métrico

Sin embargo, los manuales de operación del cepillo de codo, utilizan como

factores de conversión: 7 para sistema inglés y 583 para sistema métrico.

La Tabla 4.1 Muestra la velocidad de corte para distintos materiales, basadas en

una alimentación de 0.012 pulgadas por carrera y una profundidad de corte de

0.125 pulgadas [4]


145


Hardness HBCutting

Speed fpm

100 to 125 110

125 to 175 110

175 to 220 90

120 to 170 100

170 to 200 85

200 to 240 75

240 to 300 65

160 to 200 90

200 to 240 75

240 to 300 60

300 to 375 30

150 to 175 100

175 to 225 90

225 to 325 55

325 to 375 40

375 to 425 25

175 to 225 60

225 to 325 50

110 to 140 120

140 to 190 100

190 to 220 75

220 to 260 50

260 to 320 30

100

150 to 200 110

200 to 250 40

150 to 200 85

200 to 250 75

250 to 350 30

150 to 200 60

200 to 250 50

160 to 220 60

120 to 180 75

150 to 200 60

180 to 250 60

220 to 280 30

High-Speed Steel M3 Type I, M4, M7, M30, M33,

M34, M35, M36, M41, M42, M43, M44, T4, T5, T8220 to 280 50

High-Speed Steel M15, T9, T15, M3 Type 2

RECOMMENDED CUTTING SPEEDS FOR SHAPING WITH HIGH-SPEED STEEL

Hot-Work Tool Steel H10, H11, H12, H13, H14, H16,

H19

Hot-Work Tool Steel H20, H21, H22, H23, H24, H25,

H41, H42, H43

Shock-Resisting Tool Steel S1, S2,S4,S5, S6, S7

Mold Steels P1, P2, P3, P4, P5, P6

Mold Steels P20, P21

High-Speed Steel M1, M2, M6, M10, T1, T2, T6, T7

140

Commercial Bronze, Phospor Bronze

Water-Hardening Tool Steel W1, W2, W4, W5

Cold-Work Tool Steel A7, D1, D2, D3, D4, D5, D7

Cold-Work Tool Steel A2, A3, A4, A5, A6, A8,

A10,O1, O2, O6, O7200 to 250 60

Alloy Steel

Maraging Steel

Gray Cast Iron

ASTM Class 20, ASTM Class 30, ASTM Class 40, ASTM

Class 50, and ASTM Class 60

Naval Brass, Red Brass, Yellow Brass, Nickel Silver,

Manganese bronze, Muntz Metal

MATERIAL

AISI 1012, AISI 1019, and AISI 1020 Steel

AISI 1030, AISI 1040, and AISI 1050 Steel

AISI 1060, AISI 1080, AISI 1090 and AISI 1095 Steel

146

Tabla 4.2 Muestra velocidades de materiales para desbaste y acabado.

En caso de maquinar plásticos, se debe tomar en cuenta:

Su expansión térmica es hasta 10 veces mayor que la de los metales

Disipa el calor muy lentamente, evitar sobrecalentamientos.

El reblandecimiento y fusión de los plásticos se da a temperaturas más bajas

que los metales.

Los plásticos son mucho más elásticos que los metales.

Se recomienda el uso de herramientas de carburo adecuadamente afiladas y

pulidas, para optimizar su propia vida útil y el acabado superficial de las piezas.

El ángulo de incidencia de las herramientas debe ser más agudo que cuando se

maquinan metales para minimizar la superficie de contacto entre éstas y la

pieza.

Asegúrese de que la herramienta tenga un adecuado ángulo de salida para

facilitar la expulsión de la rebaba.

Sujete la pieza, de tal forma que se restrinja su deflexión fuera del alcance de la

herramienta y evite el dañar la pieza.

Las tolerancias de maquinado aplicables a termoplásticos, en general son

considerablemente más amplias que las de los metales, debido a su mayor

coeficiente de dilatación térmica, absorción de humedad y a las deformaciones

producidas por la liberación de tensiones internas que se originan durante y

después de su maquinado. Como regla general para piezas torneadas o fresadas,

se pueden aplicar tolerancias de maquinado de 0.1 a 0.2 % en relación a su

medida nominal.

Los refrigerantes son generalmente innecesarios para la mayoría de las

operaciones, excepto para el taladrado, pero pueden usarse para obtener mejores

acabados superficiales y tolerancias más cerradas. Los refrigerantes sugeridos

son los solubles al agua y los no aromáticos. Durante el proceso de corte el

enfriamiento con aire comprimido es muy efectivo. [5]


pies/min m/min pies/min m/min

Hierro fundido 60 18 100 30

Acero 0,10 a 0,20 C 80 24 120 36

Acero 0,20 a 0,40 C 60 18 100 30

Acero de matrices 40 12 40 12

Bronce Duro 60 18 100 30

Latón 150 45

Alumnio 150 45

MaterialDesbastado Acabado

Velocidad Máxima

Velocidad Máxima

147

Longitud de carrera del carro 0’’ a 8’’ 200mm

Carreras por minuto Aprox. 35, 60, 100, 160

Máxima velocidad de corte Aprox. 107 pies/min

Carrera vertical de herramienta 3 ½’’

Movimiento de giro de la herramienta 360°

Tamaño del sujetador de herramienta 7/16’’ x 7/8’’

Longitud de la mesa 7’’

Ancho de la mesa 5 ¾’’

Altura de la mesa 7’’

Carrera horizontal de la mesa 9’’

Carrera vertical de la mesa 6’’

Distancia de la mesa al carro ½’’ a 6 ½’’

Alimentación 0.0025’’, 0.005’’, 0.0075’’, 0.010’’,

0.125’’ [6]

Relación de velocidad 1.5

Fuerza de Corte 400N

Ranuras de la mesa 5/16’’

ESPECIFICACIONES DE DISEÑO CAPÍTULO 4

148

ESPECIFICACIONES DE DISEÑO CAPÍTULO 4

149

Reuleaux (1875), sentó las bases de la cinemática moderna, otorgando una

identidad propia al concepto de síntesis de mecanismos.

Watt, patentó en 1769 la máquina de vapor de ciclo completo, a partir del diseño

de la máquina de vapor atmosférica de Newcome, fue el verdadero precursor de la

síntesis de mecanismos (Strandh, 1982). Al diseñar la máquina se enfrentó al

problema de lograr que el émbolo o pistón se moviera verticalmente en línea recta

sin romperse, pese a estar conectado a un balancín cuyo extremo se movía en

línea curva. Watt diseñó un sistema en el cual dos palancas articuladas guiaban al

vástago, formando un paralelogramo que se movía al funcionar la máquina,

resolviendo así el problema del movimiento rectilíneo de un punto del eslabón

acoplador del cuadrilátero articulado.

Chebychev, hizo importantes aportaciones a la síntesis de mecanismos, entre las

cuáles destacan el teorema de la triple generación de curvas del acoplador y la

teoría de aproximación polinomial de curvas, que empleó en la generación de una

amplia variedad de mecanismos con error mínimo.

Casi paralelamente en Alemania, Burmester elabora una colección de métodos

geométricos de síntesis de mecanismos más importantes utilizados en la época y

utiliza métodos de geometría proyectiva para resolver el problema de guiado de

biela con trayectoria rectilínea. También elabora una teoría para la síntesis

dimensional de mecanismos planos con posicionamiento de puntos sobre una

trayectoria curva, dando origen a lo que en la actualidad se conoce como síntesis

dimensional, o síntesis de Burmester.

Gruebler, aporta diversos teoremas para la determinación de la movilidad de los

mecanismos, originando de algún modo la síntesis de número.

Freudenstein (1955-1956), publica los primeros trabajos en síntesis cinemática de

mecanismos por computador, centrada en la resolución del problema de

generación de funciones en el cuadrilátero articulado, planteándolo como un

problema de síntesis con puntos de precisión

La mayoría de los trabajos publicados sobre síntesis cinemática no abordan el

problema general de la síntesis de mecanismos, sino que plantean la resolución

de problemas muy concretos, utilizando formulaciones especialmente adaptadas y

que son muy poco generalizables. [7]

SÍNTESIS CINEMÁTICA CAPÍTULO 4

150

SÍNTESIS CINEMÁTICA CAPÍTULO 4

151

Síntesis de tipo o de Reuleaux.

Se refiere a la clase de mecanismo seleccionado; podría ser un eslabonamiento,

un sistema de engranes, bandas y poleas o un sistema de levas. [8]

Trata de determinar la tipología de los eslabones a utilizar (barras, levas,

engranajes, etc.) y pares que los unen, en función de los criterios de equivalencia,

idoneidad y de diversas cualidades de los mecanismos a conseguir. [9]

Síntesis de número o de Grubbler

Se ocupa del número de eslabones y de articulaciones o pares que se requieren

para obtener una movilidad determinada. [8]

Estudia los grados de libertad de la cadena cinemática, inversiones, isomorfismos,

posibles configuraciones de un número de barras dado, de movilidad dada, etc. [9]

Las dos síntesis anteriores unidas se conocen como síntesis estructural.

Síntesis dimensional

Se refiere a la determinación de las dimensiones de los eslabones individuales. [8]

Una vez realizada las síntesis de tipo y de número, se inicia la síntesis

dimensional de la que se puede hacer la clasificación siguiente:

Síntesis dimensional o de Burmester

Aunque en principio se asignaba esta denominación a los trabajos tendientes a

obtener las dimensiones de las barras de un mecanismo, actualmente se

reserva a las síntesis geométrico-planas que elaboró Burmester.

Síntesis de generación de funciones o de coordinación de barra.

El objetivo se plantea como una relación entre varias posiciones de eslabones

de entrada y salida. Se suele referir a un número finito de posiciones. [9]

Una de las necesidades frecuentes en el diseño es la de hacer que un elemento

de salida gire, oscile, o tenga un movimiento alternativo, según una función del

tiempo, o bien, una función del movimiento de entrada especificada. [8]

CLASIFICACIÓN DE LA SÍNTESIS CINEMÁTICA CAPÍTULO 4

152

Síntesis de generación de trayectorias

Trata de situar algún o algunos puntos de los eslabones de un mecanismo a lo

largo de una trayectoria. [9]

Es aquella en la que un punto del acoplador debe generar una trayectoria que

tenga una forma prescrita. Un arco circular, elíptico o una recta [8]

Síntesis de puntos de precisión

En esta síntesis se pretende que se cumplan las exigencias de diseño en unos

puntos determinados. Se puede considerar una variante del anterior.

Síntesis de guiado de cuerpo rígido

El problema se plantea no como obtención de una serie de puntos, sino como

situación y orientación de uno de los eslabones del mecanismo. [9]

El interés reside en mover un objeto de una posición a otra. El problema puede

ser una traslación simple o una combinación de traslación y rotación. [8]

Síntesis de Chebyshev

Se mide la desviación entre la función generada por el mecanismo y la

perseguida a través de los polinomios de Chebyshev.

Síntesis por tanteo gráfico o método “overlay”

Consiste en la búsqueda de la solución mediante procesos de tanteo que se

ayudan de elementos auxiliares como gráficos. Su principal ventaja es la

sencillez.

Síntesis cinemáticas

En este tipo de síntesis, se incluyen exigencias de tipo cinemático, como posición,

valores de velocidad y aceleraciones. A este tipo de síntesis pertenecerían todas

las citadas anteriormente [9]

Síntesis analíticas, gráficas, grafo-analíticas

Se clasifica la síntesis según la herramienta de cálculo utilizada sea analítica,

gráfica o una mezcla de ambas.

CLASIFICACIÓN DE LA SÍNTESIS CINEMÁTICA CAPÍTULO 4

153

Síntesis planas y espaciales

Según sea el ámbito del movimiento del mecanismo al que se aplica la síntesis en

el plano o en el espacio

Síntesis exactas

Este tipo de síntesis supone la existencia de, al menos, una solución que haga

posible el cumplimiento de todas las exigencias de diseño.

Síntesis aproximadas

Cuando, a diferencia del caso anterior, no se dispone de una solución que cumpla

todas las exigencias de diseño, se trata de aproximar en lo posible los resultados a

los objetivos propuestos.

Síntesis óptima

Cuando en la síntesis exacta se tiene varias o infinitas soluciones o en la síntesis

aproximada no se tiene ninguna solución exacta, se puede, desde algún punto de

vista, fijar una función objetivo que en la síntesis óptima se puede minimizar o

maximizar utilizando técnicas de optimización.

Optimización dinámica

Reciben este nombre las síntesis en las que se engloban objetivos dinámicos

como minimización de fuerzas de inercia, de fuerzas de restricción, pares motores,

etc. [9]

CLASIFICACIÓN DE LA SÍNTESIS DE MECANISMOS CAPÍTULO 4

154

CLASIFICACIÓN DE LA SÍNTESIS DE MECANISMOS CAPÍTULO 4

155

Como se mencionó anteriormente, existen diversas técnicas para la síntesis de

mecanismos. En [8], se plantea el desarrollo de muchas de ellas y aunque son

muy particulares, se rescatan ciertas condiciones que son muy útiles en el

desarrollo de la síntesis dimensional del mecanismo de Whitworth.

Posiciones de precisión: Espaciamiento de Chebychev

Si 2 es la posición angular del eslabón 2 en un eslabonamiento de cuatro barras,

y 4 es la posición angular del eslabón 4, entonces uno de los problemas de la

síntesis cinemática es encontrar las dimensiones del eslabonamiento de tal

manera que: )( 24 f

En donde f es cualquier relación funcional deseada.

Se especifican n valores para 2 , llamados puntos de precisión, y se trata de

encontrar un eslabonamiento que satisfaga la relación deseada para la función de

síntesis. Si el proceso tiene éxito, la relación funcional se satisface para estos

puntos; pero ocurrirán desviaciones en otros. Para muchas funciones, el error más

grande se puede mantener a un nivel inferior al 4%.

Entre los puntos se presentarán desviaciones conocidas con el nombre de errores

estructurales. Uno de los problemas del diseño de eslabonamiento, consiste en

seleccionar un conjunto de puntos de precisión para utilizarlos en la síntesis, de tal

modo que se minimice el error estructural.

Como primer tanteo, el mejor espaciamiento de estos puntos es el llamado

espaciamiento de Chebychev. Para n puntos en el intervalo 10 nxxx el

espaciamiento Chebychev, según Freudenstein y Sandor, es

n

jxxxxx nnj

2

12cos

2

1

2

10110

j=1,2,…, n

CONDICIONES DE DISEÑO EN LA SÍNTESIS CINEMÁTICA CAPÍTULO 4

156

En donde jx son los puntos de precisión. [8]

Síntesis de posición del mecanismo general de corredera y manivela.

El mecanismo centrado de corredera y manivela, tiene una carrera B1B2 igual al

doble del radio de la manivela, r2. B1 y B2 son llamadas también posiciones límite,

de la corredera.

En general, el mecanismo centrado de corredera y manivela debe tener a la biela

más grande que la manivela

Así mismo, un mecanismo corredera y manivela no centrada se denomina

mecanismo general o excéntrico de corredera y manivela. Se pueden obtener

ciertos efectos especiales, cambiando la distancia de excentricidad e. Por ejemplo,

la carrera B1B2 siempre es mayor que el doble del radio de la manivela.

Asimismo, el ángulo de la manivela requerido para ejecutar la carrera hacia

delante es diferente del que corresponde a la carrera de retroceso. Se puede

aplicar esta característica para sintetizar los mecanismos de retorno rápido, en los

que se desea una carrera de trabajo más lenta. [8]

Mecanismos de manivela-oscilador con ángulo óptimo de transmisión.

Brodell y Soni han desarrollado un método analítico para sintetizar el

eslabonamiento de manivela y oscilador en el que la razón de tiempos sea Q=1. El

diseño satisface también la condición.

maxmin 180

En donde es el ángulo de transmisión.

Estos investigadores afirman que el ángulo de transmisión debe ser mayor que

30° para lograr un movimiento de buena “calidad” e incluso mayor, cuando se

manejan velocidades elevadas.

La síntesis de un mecanismo de manivela y oscilador para el ángulo de

transmisión óptimo, cuando la razón de tiempos no es la unidad, es más difícil.

Hall, y también Soni, explican un método ordenado para lograr esto.


157

Fig. 4.1 Posición de agarrotamiento

Ley de Grashof

Una de las consideraciones de mayor importancia cuando se diseña un

mecanismo que se impulsará con un motor, es asegurarse de que la manivela

pueda realizar una revolución completa. Cuando se trata de un eslabonamiento de

cuatro barras, existe una prueba muy sencilla para saber si se presenta este caso.

La ley de Grashof afirma que, para un eslabonamiento plano de cuatro barras, la

suma de las longitudes más corta y más larga de los eslabones no puede ser

mayor que la suma de las longitudes de los dos eslabones restantes, si se desea

que exista una rotación relativa continua entre dos elementos.

balongshort rrrr

shortr Longitud del eslabón más corto

longr Longitud del eslabón más largo

ba rr , Longitudes de los eslabones restantes.

Al cumplir esta condición, se evita el agarrotamiento.

Toggle Positions (Agarrotamiento)

Estas posiciones son indeseables pues evitan que el eslabonamiento se mueva

desde una posición deseada a otra. Sin embargo, en algunas circunstancias son

bastante útiles para generar un auto-bloqueo.


158


159

Fig. 4.2 Mecanismo de retorno rápido de

Whitworth

Fig. 4.3 Mecanismo Manivela Biela

Corredera Fig. 4.4 Inversión del mecanismo

Manivela Biela Corredera

El mecanismo de Whitworth presentado, consta de dos mecanismos acoplados. El

primero es un mecanismo de manivela-biela-corredera (crank-coupler-slider) y el

segundo es una inversión de éste, cuya función consiste en proporcionar al

mecanismo dos diferentes velocidades, una de avance y otra de retroceso. Para

su estudio, se trabaja primero con el mecanismo de manivela-biela-corredera

siguiendo las especificaciones de diseño, para después acoplar el mecanismo que

definirá la distribución de tiempo de avance y retroceso.

El estudio presenta una síntesis del tipo: Síntesis de guiado de cuerpo rígido.

SÍNTESIS CINEMÁTICA DEL MECANISMO DE WHITWORTH CAPÍTULO 4

160


161

Fig. 4.5 Mecanismo Manivela Biela

Corredera

El mecanismo de manivela biela corredera, es un mecanismo de un grado de

libertad que es aplicado en un sin número de máquinas, como son en

compresores, motores, máquinas herramienta, seguros de puertas, etc. Por lo que

las recomendaciones de síntesis se encuentran en libros o manuales de

mecánica.

En primer lugar, se toma en cuenta la distancia m y se plantean sus efectos. Si la

distancia m es igual a la distancia h, entonces se dice que el mecanismo está en

línea; causando que el tiempo de recorrido de avance sea igual al tiempo de

recorrido de retorno. Sin embargo, si son diferentes, los tiempos de recorridos de

avance y retorno serán diferentes; causando el efecto de retorno rápido.

Como el problema ha sido planteado para que un segundo mecanismo acoplado,

cause el efecto de retorno rápido, entonces: hm .


162

Fig. 4.6 Aceleración corredera R/L 0.2 Fig. 4.7 Aceleración corredera R/L 0.3

Fig. 4.8 Aceleración corredera R/L 0.7

En [8], se recomienda que la manivela sea la mitad de la longitud de la carrera.

Por tanto:

Carrera (Stroke) 8 plg

Manivela (Crank) 4 plg

En [11] Se recomienda que la longitud de la biela sea más grande que la

manivela, para producir aceleraciones suaves. ManivelaBiela

Rule of Thumb: ManivelaBiela 4

En working model, se modeló un mecanismo de Manivela-Biela con diferentes

relaciones de longitudes entre la Biela (L) y la manivela (R), con una velocidad de

entrada constante de 100°/s. Las siguientes gráficas muestran la aceleración de la

corredera. Es apreciable que una relación de longitudes (R/L) más pequeña,

causa curvas de aceleración más suaves.

Dimensiones, seleccionadas para el

mecanismo de Manivela-Biela-Corredera


Tabla 4.3 Dimensiones Manivela-Biela-Corredera

Carrera 8 plg 203.2mm

Manivela 4 plg 101.6mm

Biela 12 plg 304.8mm

R/L 0.3

m h

Manivela-Biela-Corredera

163

Fig. 4.9 Ángulo de Transmisión

La ventaja mecánica de un eslabonamiento es la razón del momento de torsión de

salida ejercido por el eslabón impulsado, al momento de torsión de entrada que se

necesita en el impulsor.

En el eslabonamiento de 4 barras, la ventaja mecánica es directamente

proporcional al seno del ángulo comprendido entre el acoplador y el seguidor, e

inversamente proporcional al seno del ángulo formado por el acoplador y el

impulsor. Por supuesto, estos dos ángulos y, por ende, la ventaja mecánica

cambian en forma continua conforme se mueve el eslabonamiento.

El ángulo entre el acoplador y el seguidor se llama ángulo de transmisión.

Conforme este disminuye, la ventaja mecánica se reduce e incluso una cantidad

pequeña de fricción hará que el mecanismo se cierre o se trabe. Una regla

práctica común es que el eslabonamiento de cuatro barras no se debe usar en la

región en la que el ángulo de transmisión sea menor que, 45 o 50°. [8]

Ángulo mínimo de transmisión para las longitudes:

Manivela 4 plg

Biela 12 plg

5424.72

Entre más larga es la biela, el ángulo de transmisión aumenta.


164


165

Posición

)sin()sin( LR (4.1)

)cos()cos( LRx (4.2)

Derivando con respecto al tiempo 4.1

)cos()cos(

L

R (4.3)

Rescribiendo la ecuación 4.1

)(sin)(sin 22

2

L

R (4.4)

)(cos1 2

Resolviendo para cos( )

2/1

2

2

)(sin1)cos(

L

R (4.5)

Siendo

, la ecuación 4.3 y 4.5 se pueden combinar para formar:

2/122

)(sin/1

)cos()/(

LR

LR (4.6)

Derivando la ecuación 4.2 con respecto al tiempo

)sin()sin(

L

R

L

x (4.7)

Sustituyendo la ecuación 4.1 en 4.7, nos da la velocidad lineal de la corredera.


166

)sin(1

L

R

L

x (4.8)

Derivando la ecuación 4.3 con respecto al tiempo.

)sin()cos()cos()sin( 2

2

L

R

L

R (4.9)

Si

es constante, entonces 0

. Los valores de )cos( de la ecuación 4.5,

)sin( de la ecuación 4.1 y

de la ecuación 4.6, se sustituyen en 4.9, para dar la

aceleración angular de la biela.

2/322

22

)(sin)/(1

1)/()sin()/(

LR

LRLR

(4.10)

Derivando la ecuación 4.7, con respecto al tiempo

)cos()()sin()cos()sin( 2

2

L

R

L

R

L

x (4.11)

Sustituyendo el valor de

de la ecuación 4.6, sin(α) de la ecuación 4.4, cos(α) de

la ecuación 4.5 y

de la ecuación 4.10 en 4.11, nos da la aceleración de la

corredera.

)cos()sin()cos(2

2

L

R

L

x (4.12)

90

90

Para algunas relaciones de longitud (R/L), existen tablas que permiten visualizar el

comportamiento del mecanismo manivela-biela-corredera. [12]


167

Tabla 4.4 (R/L)=0.3

ɣ, deg α, deg α'/w x'/wL α''/w^2 x''/w^2L

0 0.000 0.3000 -0.000 0.0000 0.3900

5 1498 0.2990 -0.0340 -0.0238 0.3876

10 2986 0.2958 -0.0675 -0.0476 0.3804

15 4453 0.2907 -0.1002 -0.0713 0.3685

20 5889 0.2834 -0.1317 -0.0949 0.3520

25 7283 0.2741 -0.1615 -0.1182 0.3314

30 8626 0.2628 -0.1894 -0.1412 0.3069

35 9908 0.2495 -0.2150 -0.1636 0.2789

40 11118 0.2342 -0.2380 -0.1857 0.2478

45 12247 0.2171 -0.2581 -0.2068 0.2143

50 13286 0.1981 -0.2753 -0.2269 0.1789

55 14225 0.1775 -0.2894 -0.2455 0.1423

60 15058 0.1553 -0.3002 -0.2626 0.1051

65 15776 0.1317 -0.3077 -0.2776 0.0680

70 16374 0.1069 -0.3120 -0.2905 0.0317

75 16844 0.0811 -0.3133 -0.3008 -0.0032

80 17184 0.0545 -0.3116 -0.3083 -0.0361

85 17389 0.0274 -0.3070 -0.3129 -0.0667

90 17457 0.0000 -0.3000 -0.3145 -0.0943

95 17389 -0.0274 -0.2907 -0.3129 -0.1189

100 17184 -0.0545 -0.2793 -0.3083 -0.1403

105 16844 -0.0811 -0.2663 -0.3008 -0.1585

110 16374 -0.1069 -0.2518 -0.2905 -0.1735

115 15776 -0.1317 -0.2361 -0.2776 -0.1856

120 15058 -0.1553 -0.2194 -0.2626 -0.1949

125 14225 -0.1775 -0.2021 -0.2455 -0.2019

130 13286 -0.1981 -0.1843 -0.2269 -0.2069

135 12247 -0.2171 -0.1661 -0.2068 -0.2099

140 11118 -0.2342 -0.1477 -0.1857 -0.2118

145 9908 -0.2495 -0.1291 -0.1638 -0.2126

150 8626 -0.2628 -0.1106 -0.1412 -0.2127

155 7283 -0.2741 -0.0920 -0.1182 -0.2124

160 5889 -0.2834 -0.0735 -0.09449 -0.2117

165 4453 -0.2907 -0.0551 -0.0713 -0.2111

170 2986 -0.2958 -0.0367 -0.0476 -0.2105

175 1493 -0.2990 -0.0183 -0.0238 -0.2101

180 0.000 -0.300 -0.0000 -0.0000 -0.2100


168


169

Fig. 4.10 Mecanismo Biela-Manivela

Inversiones

Inversión #1 Inversión #2 Inversión #3 Inversión #4

Un conjunto de eslabones conectados, en los cuales no se ha seleccionado un

eslabón de referencia, es llamado cadena cinemática. Cuando se eligen diferentes

eslabones como referencias para una cadena cinemática dada, los movimientos

relativos entre los distintos eslabones no se alteran; pero sus movimientos

absolutos, que se miden desde el eslabón de referencia, pueden cambiar

drásticamente. [8]

La inversión cinemática se refiere a elegir como referencia diferentes eslabones de

una cadena cinemática.

Existen tantas inversiones, como eslabones que se tengan en el mecanismo. Así

un mecanismo de n eslabones, tendrá n inversiones posibles. El mecanismo de

biela manivela corredera, al tener 4 eslabones, tiene también cuatro inversiones.

Inversión #1


170

Fig. 4.11 Inversión #2 Mecanismo de

Manivela-Biela-Corredera

Inversión #1:

Esta inversión cinemática es la más común, puesto que su aplicación más

significativa está presente en el movimiento repetitivo de un pistón en el motor de

un auto.

El eslabón 4 se mueve traslacionalmente sobre el eslabón de referencia 1, como

un pistón guiado por el cigüeñal en una cámara de combustión.

Inversión #2:

Se toma el eslabón 2 como referencia, y el eslabón 4 presenta un movimiento

complejo de rotación-traslación. Es la inversión empleada en los mecanismos de

retorno rápido.

Inversión #3:

Se toma al eslabón 3 como referencia, provocando que el eslabón 4 tenga un

movimiento de rotación puro.

Inversión #4:

En esta última inversión se toma como referencia al eslabón 4, y se ocupa en

mecanismos que operan manualmente, como en bombas de aceite.


171

En muchas aplicaciones, los mecanismos se usan para realizar operaciones

repetitivas tales como empujar, sujetar ó doblar. En estas operaciones repetitivas,

existe por lo común una parte del ciclo en la que el mecanismo se somete a una

carga, llamada carrera de avance o de trabajo y una parte del ciclo conocida como

carrera de retorno en la que el mecanismo no efectúa un trabajo sino que se limita

a devolverse para repetir la operación. [8]

En tales casos, conviene diseñar el mecanismo de tal manera que la carrera de

retorno se realice más rápido que la carrera de avance, es decir, usar una fracción

mayor del ciclo para ejecutar el trabajo que para el retorno.

Una medida apropiada para describir esta relación de velocidades, se define

como:

retornodecarreradetiempo

avancedecarreradetiempoQ

____

____

13.4

Para encontrar la relación de velocidades, se supone que el motor impulsor opera

a velocidad constante. Entonces el primer paso es determinar las dos posiciones

de la manivela, que marcan el principio y el fin de carrera de trabajo. A

continuación, después de observar la dirección de rotación de la manivela, se

mide el ángulo de la manivela que se recorre durante la carrera de avance α y el

ángulo restante de la manivela β, de la carrera de retorno. Luego, si el periodo del

motor es т, entonces:

Tiempo de la carrera de avance=

2

Tiempo de la carrera de retorno=

2

Por tanto:

Q

)14.4(

Nótese que la razón de tiempos de un mecanismo de retorno rápido no depende

de la cantidad de trabajo realizado o incluso de la velocidad del motor impulsado,

sino que es una propiedad geométrica del propio mecanismo.


172

Fig. 4.12 Ángulo de cambio de velocidad

La relación de velocidades en el mecanismo de Whitworth que se requiere es:

5.1Q

2180

2180

Q (4.15)

90

905.1

Al despejar

5.22

Entonces, el mecanismo planteado tiene que recorrer 8 plg (203.2 mm) de avance,

en el mismo lapso de tiempo que el eslabón BC recorre 2251802 de su

trayectoria.

De la misma forma, el mecanismo tiene que recorrer 8 plg (203.2 mm) de

retroceso, en el mismo lapso de tiempo que el eslabón BC recorre 1352180


173

Fig. 4.13 Posiciones límite de eslabón AD

Fig. 4.14 Trayectoria BC inscrita en AD

Es necesario plantear que los cambios de dirección del efector final, también

indiquen el cambio de velocidad entre el avance y el retroceso. Para tal fin, se

plantea que el eslabón AD, tenga la posición de 90 y 270° desde un sistema de

coordenadas local como se muestra; además de proponer a la variable p=0

(distancia horizontal entre los pares A y B)

La trayectoria generada por el movimiento del elemento BC, siempre debe estar

inscrita en la trayectoria AD, pues en caso contrario no es posible construir el

mecanismo.


174

Fig. 4.15 Ángulo

Fig. 4.16 Trayectoria BC Inicio

Para obtener las ecuaciones necesarias para definir las dimensiones, se comienza

trazando dos líneas que parten del punto B y forman un ángulo con la

horizontal.

Se dibuja la trayectoria del eslabón BC. Y se traza una línea horizontal en las

intersecciones con las líneas dibujadas anteriormente. Además se traza una línea

vertical que parte del punto B, hasta la línea horizontal.


175

Fig. 4.17 Trayectoria AD

Finalmente, se crea un círculo con base en la intersección de las líneas punteadas

y de un radio tal que toque a la trayectoria BC, en su punto más alejado, con

centro en A.

Se definen las siguientes ecuaciones

BCL

h)sin( (4.16)

ADBC LLh (4.17)

De la ecuación (4.17), se nota que la longitud mínima AD es:

ADBC LLh (4.18)

Y que para el radio BCL , existe solamente una h que cumple con las condiciones

establecidas; esto es con la condición del ángulo , y que los cambios de

dirección también indiquen el tipo de recorrido, de avance o retroceso.

En este caso, sólo es necesario definir la longitud BCL , para conocer las

dimensiones mínimas requeridas para definir el mecanismo.


176

Fig. 4.18 Trayectoria AD Inicio

En el caso de que se tuviera la longitud ADL y se quisiera definir las dimensiones

del mecanismo, entonces se comienza con la trayectoria conocida y una línea

horizontal que cruce por su centro.

Se combinan las ecuaciones (4.16) y (4.18), para obtener el valor de h máximo.

1)sin(

1max

ADLh

Partiendo del punto A, se dibuja una línea vertical con altura h, y se define el punto

B. Se traza una horizontal en el punto B, y se generan dos líneas con ángulo .

Finalmente se crea un círculo que parte desde el punto B y termina en la

intersección de la línea AD con las líneas con ángulo

Es importante notar que se definió la maxh , por tanto, si se tiene como parámetro la

longitud ADL , es posible elegir una h, mientras se cumpla la condición: max0 hh .


177

Fig. 4.19 Mecanismo retorno rápido de Whitworth

A continuación se muestran los resultados de la aceleración del eslabón F, la

corredera, al variar la dimensión de h para una longitud ADL establecida. Así

como aquellos que se obtienen al variar ADL con BCL y h conocidas.

Longitud ADL conocida, variación de h y BCL . Simulación con velocidad de entrada

constante.

En la simulación 1 y 2, se esperaba encontrar una variación en la aceleración del

eslabón F; Sin embargo mientras que la condición max0 hh , se cumpla para

una ADL dada, la cinemática del mecanismo no se altera.

De la misma manera, para una BCL dada, la cinemática del mecanismo no se

altera mientras se cumpla la condición ADBC LLh , como se muestra en la

simulación 3.


178

Fig. 4.20 Simulación 1

Simulación1

Datos: mmLAD 6.101"4 , mmh 94.27"1.1max , svelocidad /100

Variable: mmLBC 9.72"874.2


179


Simulación2

Datos: "5.0h mmLAD 6.101"4 svelocidad /100

Variable: mmLBC 19.33"307.1


180


Simulación3

Datos: mmLBC 19.33"307.1 , mmh 7.12"5.0 , svelocidad /100

Variable: mmLAD 8.50"2


181

Fig. 4.23 Dimensionamiento del Mecanismo de

retorno rápido

Se dimensionan los eslabones con medidas conocidas, aunque se sacrifique

ligeramente la proporcionalidad de tiempos de avance y retroceso.

Se elige la distancia entre centros, mmh 4.25"1 , para barrenar con broca de 1/2

“.

Con la ecuación 4.16, se encuentra la mmLBC 29.66"61.2 , pero no es una

medida comercial, por lo que se opta por mmLBC 67.66"625.2 que equivale a

una longitud de 2 5/8”=66.67mm.

Ahora, utilizando nuevamente la ecuación (4.16), encontramos 3337.22 , el

cual varía ligeramente del objetivo.

Con la condición mínima de la ecuación 4.18, se obtiene la mmLAD 07.92"625.3 ,

equivalente a 3 5/8”. Pudiendo alargar su longitud a 4”=101.6


h 1plg 25.4mm

LBC 2 5/8 plg 66.67mm

LAD 4 plg 101.6mm

ɣ 22.33°

Inversión #2 Manivela-Biela Corredera

182


183


Es curioso saber que uno de los

métodos para facilitar el control en

una máquina es el balanceo de sus

masas. Debido a que es notorio que

al tener una vida equilibrada facilita

su conducción.

Es importante notar que un ligero

cambio en algún elemento cambia

por completo el comportamiento de

una máquina. Por tanto, siempre hay

que ser cuidadosos en qué tipo de

cambio queremos agregar. Es decir,

si descompensamos la máquina ya

sea por peso o posición causará un

daño en corto o largo plazo, que

reducirá el tiempo de vida, no sólo de

la máquina en sí, si no de aquellas a

su alrededor. En cambio, la manera

en que se balancean las máquinas es

agregar masas en cierta posición, con

el objetivo de minimizar o anular por

completo los efectos de su propio

movimiento.

Los algoritmos de control tratan de

seguir en cada instante los

movimientos de la máquina,

retroalimentando su posición,

velocidad o aceleración y ajustando

los valores para acercarse al

deseado. Este tipo de algoritmos

generalmente se basan en el modelo,

que aunque complicado en la

mayoría de las veces puede ser

simplificado al tener un buen

balanceo de sus componentes. Este

tipo de compromisos trae muchos

beneficios, como son: un menor

trabajo en operaciones y ciclos

máquina, así como facilitar el diseño

e implementación del algoritmo.

En otras palabras, el tener una vida

equilibrada nos beneficia en nuestro

proceder diario, nos libera de tomar

decisiones comprometidas, nos da

una mejor calidad de tiempo y de

recursos. Por otro lado al tomar

decisiones que desbalanceen nuestro

vivir, no sólo afectará nuestra

condición, sino de todos aquellos que

nos rodean.

Índice.

5.1 Diseño mecatrónico

5.2 Diseño para control

5.3 Balanceo en los mecanismos

5.4 Fuerzas y momentos de inercia

5.5 Fuerza de inercia en un rotor

5.6 Fuerzas y momentos de sacudimiento

en un rotor

5.7 Balanceo en un rotor

5.8 Fuerzas y momentos de sacudimiento

en un mecanismo

5.9 Balanceo en un mecanismo

5.10 Balanceo en un mecanismo manivela

Biela Corredera

DISEÑO PARA CONTROL

184


185

La compañía “Yasakawa Electric” dio a conocer la palabra “Mechatronics” en

1969, definiéndola como: “La palabra mecatrónica está compuesta por “meca” de

mecanismo y “trónica” de electrónica. En otras palabras, se refiere a las

tecnologías y productos desarrollados que incorporarán dispositivos electrónicos

con mayor frecuencia en mecanismos, tan íntimamente y orgánicamente, que

harán imposible distinguir el comienzo de una y el fin de la otra.”

En 1996, Harashima, Tomizuka y Fukuda definieron “Mecatrónica” como:

“Integración sinérgica de la Ingeniería mecánica con electrónica y control

computacional inteligente en el diseño y manufactura de productos y procesos

industriales.”

Así mismo, D.G. Alciatore y M. B. Histand en 1998, propusieron una nueva

definición: “Campo de estudio que involucra el análisis, el diseño, la síntesis y

selección de sistemas que combinan componentes electrónicos y mecánicos con

controles modernos y microprocesadores”

El concepto de “Sinergia”, se define como la habilidad de un grupo de superar aún

a su mejor individuo. Por tanto, la mecatrónica es un enfoque de diseño que utiliza

sinérgicamente la mecánica, electrónica, la teoría de control, la ciencia

computacional, y la tecnología de la información en el desarrollo de sistemas y

productos electromecánicos.

De acuerdo con la sociedad Japonesa para la promoción de máquinas

industriales, en los años 70’s categorizó los sistemas y productos mecatrónicos en

cuatro clases principales.

Clase I: Productos primordialmente mecánicos que incorporan electrónica para

mejorar su funcionalidad. E.g. Máquinas de control numéricos.

Clase II: Clásicos sistemas mecánicos con actualizaciones internas importantes,

incluyendo electrónica, pero sin cambios en la interfaz con el usuario. E.g. La

máquina de coser.

Clase III: Sistemas cuya funcionalidad es similar a los sistemas mecánicos, pero

sus mecanismos internos son remplazados por electrónica. E.g. El reloj digital.

DISEÑO MECATRÓNICO CAPÍTULO 5

186

Clase IV: Productos diseñados con integración sinérgica de la mecánica y

electrónica. Eg. Hornos automáticos.

En el desarrollo clásico de un sistema electromecánico, los componentes

mecánicos y eléctricos son diseñados primero, o seleccionados de forma

separada para luego ser integrados con algún otro hardware o software. Sin

embargo en el enfoque mecátronico todo el sistema electromecánico es diseñado

simultáneamente en una forma integral por un equipo multidisciplinario de

profesionales.

Debido a que un sistema mecatrónico usualmente consiste de varios tipos de

elementos interconectados, hay una conversión de energía, especialmente entre

la energía mecánica y eléctrica. En un sistema electromecánico hay una

interacción o acoplamiento entre la dinámica eléctrica y la mecánica, en la cual

cada una tiene efecto sobre la otra. El acoplamiento dinámico entre varios

componentes de un sistema muestra que es más prudente diseñar sistemas como

un todo, en lugar de diseñar los elementos eléctricos y mecánicos por separado.

Los siguientes problemas pueden ocurrir cuando se diseña en forma separada los

componentes, para después interconectarlos.

1. Las características de operación originales tienden a cambiar.

2. La perfecta compatibilidad de dos componentes diseñados

independientemente es prácticamente imposible.

3. Algunas de las variables externas en los componentes, se vuelven internas

y se esconden como resultado de la interconexión. Lo que genera

problemas potenciales que no pueden ser explícitamente monitoreados. [1]

La Mecatrónica es más una nueva manera de pensar que una disciplina

completamente nueva; ya que todavía necesita de un conocimiento avanzado de

especialistas de distintas disciplinas que integran un equipo de diseño

mecatrónico. La Mecatrónica, entonces es una filosofía de diseño. [2]

Formas de integración

El esquema tradicional de un sistema mecánico-electrónico, consiste en añadir

sensores, actuadores y controladores analógicos o digitales disponibles, a algún

componente mecánico. La limitante de este esquema se muestra en la falta de

sensores y actuadores no adecuados, se necesitan grandes espacios y un

procesamiento relativamente lento de datos.


187

La integración dentro de un sistema mecatrónico, puede llevarse a cabo a través

de la integración de componentes y la integración del procesamiento de la

información.

Integración por componentes (Hardware):

Este tipo de integración es el resultado de diseñar un sistema mecatrónico como

un sistema completo, en donde los sensores, actuadores y micro controladores

son tomados en cuenta dentro del proceso de diseño mecánico.

Integración del proceso de información (Software)

Esta integración está basada en funciones de control avanzadas. Esto significa un

procesamiento de señales, incluyendo la solución de tareas con diagnósticos de

falla, optimización, y un proceso general de administración de la información. Las

soluciones resultan ser algoritmos en tiempo real que se adaptan a las

propiedades de los procesos mecánicos, expresados en modelos matemáticos en

forma de características estáticas o ecuaciones diferenciales. Por tanto, un

conocimiento basado en el modelo es necesario; de esta forma los componentes

mecánicos son gobernados en varias formas a través del procesamiento de

información con propiedades inteligentes, posiblemente incluyendo aprendizaje,

formando un proceso adaptativo. [3]


188


189

En 1999, una nueva metodología de diseño mecatrónico fue expuesta en el

trabajo de W.J Zhang, Q. Li, y L.S. Guo, en su trabajo: “Integrated Design of

Mechanical Structure and Control Algorithm for a Programmable Four-Bar

Linkage”.

Este trabajo sugiere una re-distribución de masa de los eslabones de un

mecanismo de 4 barras. Se trata de balancear la fuerza y momento de

sacudimiento “shaking” del mecanismo, con el objetivo de obtener un modelo

dinámico del sistema mucho más simple que facilitará el diseño de un esquema de

control. Se utilizó un control convencional PD (Proporcional-Derivativo) obteniendo

un buen desempeño en el “Tracking Motion” y el comportamiento vibracional del

sistema.

La idea básica de “Tracking motion”, consiste en que los cuadros o “frames” de un

video pueden ser analizados de tal manera que se puede seguir la posición de un

objeto a tráves del tiempo. En otras palabras, “Tracking Motion” se refiere a

analizar ó seguir la posición de un objeto cuadro por cuadro con respecto al

tiempo.

La idea de aplicar el enfoque de “Tracking Motion” a los mecanismos “cerrados”,

que por lo general son sintetizados para realizar un movimiento específico como la

generación de trayectorias o como guías de objetos sólidos, proviene del

problema que se tiene con los mecanismos “abiertos”, para obtener un control

preciso de su efector final, además de no tener mucha rigidez. Estos nuevos

mecanismos “cerrados”, tienen como propósito el poder ser guiados en su

movimiento y velocidad. En otras palabras poder controlar su posición y velocidad

“cuadro por cuadro”.

La dinámica de este tipo de eslabonamiento “cerrado” es generalmente no lineal y

muy compleja debida a la asimetría de la estructura, lo que hace muy compleja la

implementación de un esquema de control.

Se han propuesto varios esquemas de control adaptativos para resolver el

problema. Sin embargo, también se han encontrado buenos resultados al utilizar

una re-distribución de masa con el objetivo de eliminar el término gravitacional en

el modelo dinámico del sistema, simplificando los esquemas de control. A ésta

metodología se le llama: Diseño para el control, “Design for Control” [4].

DESIGN FOR CONTROL CAPÍTULO 5

190

La principal idea de la metodología del diseño mecatrónico es crear un ambiente

de diseño integrado, que permita simultáneamente el diseño de la estructura

mecánica y el algoritmo de control para obtener una sinergia de ellos, y así tener

un mejor resultado.

La esencia del “Diseño para el control”, que es una metodología de diseño

mecatrónico, es diseñar y entender la estructura mecánica de una máquina

considerando facilitar el diseño de un algoritmo de control.

La distribución de masa es determinada con el principio del balanceo de la fuerza

y momento de sacudimiento “Shaking force/moment”. Es conocido que estos dos

fenómenos son dañinos a la estructura donde va montado el mecanismo. Por

tanto, al minimizar la fuerza y momento de sacudimiento simplificamos el modelo

dinámico del sistema y su comportamiento vibratorio.

DESIGN FOR CONTROL CAPÍTULO 5

191

Fig. 5.1 Balanceo estático

El balancear las máquinas, principalmente aquellas que manejan altas

velocidades, trae una reducción de las cargas dinámicas variables que se

presentan en los soportes, además reduce el ruido, el desgaste, la fatiga y mejora

el desempeño de la máquina. Por otro lado, como se vio anteriormente se utiliza

para simplificar el modelo dinámico, ayudando en la implementación de un

algoritmo de control. [5]

Las fuerzas de inercia provocan el sacudimiento de la bancada o soporte de los

mecanismos. Estas fuerzas se pueden minimizar balanceando las fuerzas de

inercia opuestas entre sí de manera que se transmita muy poca o ninguna fuerza a

los soportes de la máquina. Por tanto, el balanceo es la técnica de corregir o

eliminar fuerzas o momentos de inercia indeseables. [6]

El balanceo se puede clasificar en dos tipos: el balanceo dinámico y estático.

El balanceo estático, es un balanceo de fuerzas debidas a la acción de la

gravedad; un rotor rígido, con la flecha tendida sobre vías paralelas horizontales y

bajo la influencia de pesos externos, estará balanceado si bajo la acción de la

gravedad el rotor no gira independientemente de su posición angular. El requisito

para un balanceo estático es que el centro de gravedad del sistema de masas esté

en el eje O-O de rotación. [7]

BALANCEO EN LOS MECANISMOS CAPÍTULO 5

192

El desbalanceo dinámico se debe a las fuerzas de inercia que ocurren durante el

movimiento. Un rotor estáticamente balanceado, no esta balanceado

dinámicamente, debido a los momentos de inercia. Por otro lado, si el rotor está

balanceado dinámicamente también lo esta estáticamente.

El grado al que un rotor se debe balancear dinámicamente depende de la

velocidad a la que va a operar. A pequeñas velocidades es tolerable un pequeño

desbalanceo de masa debido a que la fuerza de inercia que representa el

desbalanceo puede ser pequeña, pero ya que la fuerza desbalanceada aumenta

conforme al cuadrado de la velocidad, el desbalanceo transmitido a los cojinetes

puede ser grande a alta velocidad. [7]

Cualquier eslabón que se encuentre en rotación pura, teóricamente, es

perfectamente balanceable estática y dinámicamente [8]

Existen dos tipos de problemas en el estudio del balanceo. El balanceo de rotores

y el balanceo de masas reciprocantes.

Existen máquinas para determinar el balanceo dinámico, en rotores con engranes

ventiladores o con piezas más grandes como llantas. Estás máquinas pueden

indicar tanto la magnitud como la ubicación del desbalanceo.

La idea de balancear masas reciprocantes, es dejar al centro de masa del sistema

estático; para tal fin se agregan masas que sirven de contrapesos. Entonces el

problema radica en encontrar la ubicación y la magnitud de esas masas. Las

propuestas para resolver el problema de balanceo para masas reciprocantes,

incluyen el balanceo completo, sólo el balanceo del momento, el balanceo parcial

de la fuerza y/o el balanceo parcial del momento.

“Balanceo Completo”

El objetivo de un completo balanceo de la fuerza de sacudimiento, es causar que

la red de fuerzas de sacudimiento en la estructura de soporte del mecanismo se

nulifique. Por tanto, el centro de masa total del mecanismo se mantenga

estacionario.


193

Entre las técnicas que se han empleado para lograr este objetivo están las

siguientes:

a) Método de vectores linealmente independientes.

b) Método de balanceo estático.

c) Método de los vectores principales y extensiones.

d) Métodos de leva y mecanismos duplicados.

Método de vectores linealmente independientes.

El balanceo de la fuerza de sacudimiento, se logra al desarrollar un conjunto de

vectores linealmente independientes y dependientes del tiempo. Estos vectores

definen la distribución de la masa y la localización de los centros de masa, de tal

manera que el centro de masa del sistema completo se mantenga estático. Por

tanto, la suma de vectores de las fuerzas transmitidas a la estructura de soporte,

sea cero.

En otras palabras, el método planteado distribuye la masa de los eslabones para

que los términos dependientes del tiempo de las ecuaciones de movimiento del

centro de masa sean cero. Esto es posible sólo si se puede obtener una ecuación

de posición la cual brinde vectores dependientes del tiempo que son linealmente

independientes. [9]

El método de los vectores linealmente independientes, hace que el centro de

masa de un mecanismo sea estacionario, provocando que se anulen los

coeficientes de los términos dependientes del tiempo de la ecuación que describe

la trayectoria del centro total de masa. [6]

Método del balanceo estático

El método remplaza las masas concentradas de los eslabones por sistemas

estáticamente equivalentes de masas. Al añadir contrapesos a los eslabones, los

centros de masa de los eslabones se modifican de tal manera que son llevados a

puntos estacionarios. El centro de masa del sistema entonces, se establece al

encontrar el centro de masa resultante de estas masas estacionarias. [9]

El método del balanceo estático, en el que las masas concentradas de los

eslabones se sustituyen con sistemas de masas que son estáticamente

equivalentes. [6]


194

Método de vectores principales y extensiones

Este enfoque comienza al describir el movimiento del centro de masa

analíticamente y después determinar los parámetros que influyen su trayectoria

resultante. El método de los vectores principales describe la posición del centro de

masa total del sistema por medio de vectores direccionados a lo largo de cada uno

de los eslabones. En base a las magnitudes de estos vectores principales, se

pueden añadir eslabones binarios en forma de paralelogramo al mecanismo

original. [9]

El método de los vectores principales, obtiene una expresión analítica para el

centro de masa y luego se manipula para saber cómo se puede influir en su

trayectoria. [6]

Métodos de leva y mecanismos duplicados

Es posible encontrar mecanismos con levas o duplicados para asegurar que el

centro de masa total permanezca estacionario. Estos mecanismos son muy

particulares para cada solución. [9]

Este método se basa en masas impulsadas por levas para mantener estacionario

el centro total de masa.

La adición de un mecanismo duplicado axialmente mediante el cual se hace

estacionario el nuevo centro total combinado. [6]


195

Centro de Masa

Al resolver problemas de Ingeniería, se encuentra con frecuencia que las fuerzas

se distribuyen de alguna manera sobre una línea, un área o un volumen. Por lo

general no es muy difícil encontrar la resultante de estas fuerzas distribuidas. Para

tener el mismo efecto, esta resultante debe actuar en el centroide del sistema; de

donde, el centroide de un sistema es un punto en el que se puede considerar que

un sistema de fuerzas distribuidas está concentrado, con el mismo efecto

exactamente. [6]

Momento de Inercia

Otro problema que se presenta a menudo cuando las fuerzas están distribuidas

sobre un área, es el que consiste en calcular su momento en torno a un eje

especificado. Un análisis matemático de este tipo de problema siempre conduce a

una integral. 2)tan( ciadis x diferencial de Área. Esta integral se conoce con el

nombre de momento de inercia del área. Algunas autoridades en la materia

prefieren denominar a esta integral segundo momento del área, afirmando que un

área no puede poseer inercia.

El momento de inercia de un volumen en cambio, es un momento de inercia

verdadero porque un volumen tiene masa. Sin embargo, para distinguirlo del

correspondiente a un área se denomina muy a menudo momento de inercia de

masa.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un

sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia

sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no

depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. [10]

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el

caso del movimiento rectilíneo y uniforme.

FUERZAS Y MOMENTOS DE INERCIA CAPÍTULO 5

196

Principio de D’Alembert

La suma vectorial de todas las fuerzas externas y las fuerzas de inercia que

actúan sobre un cuerpo rígido es cero. La suma vectorial de todos los momentos

externos y todos los momentos de torsión de inercia que actúan sobre un cuerpo

rígido también es cero por separado.

Fuerzas de Inercia

Para entender el propósito de las fuerzas de inercia y el principio de D’Alembert,

se considera un cuerpo sólido que se encuentra bajo la acción de distintas fuerzas

F1, F2 y F3. Además que la resultante de dichas fuerzas, no pasa por el centro de

masa del cuerpo “G”, sino que se encuentra a una distancia h de él.

En el estudio de la mecánica, se demuestra que el efecto de este sistema de

fuerzas no balanceado es producir aceleraciones lineales y angulares cuyos

valores están dados por:

GmAF (5.1)

IM (5.2)

En donde GA , es la aceleración lineal que tiene el centro de masa del cuerpo y

tiene la misma dirección que la resultante de la suma de fuerzas que actúan en él.

Así mismo, es la aceleración angular del cuerpo. F , es la suma de fuerzas

externas que actúan en el cuerpo y GM es la suma de los momentos externos

junto con los momentos de las fuerzas externas, tomados en torno a G en el plano

del movimiento.

Puesto que en el estudio dinámico de un cuerpo, generalmente los vectores de

aceleración son conocidos. Las ecuaciones (5.1) y (5.2) pueden tomar la siguiente

forma para obtener las fuerzas necesarias para producir dichas aceleraciones.

0GmAF (5.3)

0 IMG (5.4)


197

La ecuación (5.3), afirma que la suma vectorial de todas las fuerzas externas que

actúan sobre un cuerpo, más la fuerza ficticia GmA , es cero. La fuerza ficticia

GmA , recibe el nombre de fuerza de inercia y tiene la misma línea de acción que

GA pero en sentido opuesto.

Del mismo modo, el momento ficticio de la ecuación (5.4) “ I ”, es llamado

momento de inercia. Este momento de torsión, tiene el sentido opuesto al del

vector de aceleración angular .

Las ecuaciones (5.3) y (5.4) son muy útiles cuando se estudia la dinámica de la

maquinaria, porque permiten agregar fuerzas de inercia y momentos de torsión al

sistema extremo de fuerzas y resolver el problema resultante aplicando los

métodos de la estática. [6]


198


199

Fig. 5.2 Fuerza centrípeta

Fig. 5.3 Fuerza centrífuga

La fuerza centrípeta actúa sobre un objeto en movimiento sobre una trayectoria

curvilínea y que está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

La fuerza centrípeta se define como:

)( 2RwmFCENTRÍPETA

(5.5)

Del estudio de la mecánica se recordará que la fuerza ficticia de inercia es opuesta

en sentido a la aceleración centrípeta, de donde toma el nombre de fuerza

centrífuga. [7]

La fuerza centrífuga se define como:

)( 2RwmFCENTRIFUGA (5.6)

FUERZA INERCIA EN UN ROTOR CAPÍTULO 5

200

FUERZA INERCIA EN UN ROTOR CAPÍTULO 5

201

Fig. 5.4 Fuerzas de inercia en un rotor

Fig. 5.5 Momentos de inercia en un rotor

Las fuerzas de sacudimiento en un rotor, tienen su origen en las fuerzas de inercia

que actúan. En un rotor rígido formado por un sistema de tres masas que giran en

un plano transversal alrededor del eje O-O, la sumatoria de fuerzas de inercia que

actúan sobre el rotor se define como:

)( 2RwmF (5.7)

De igual forma, la sumatoria de momentos de inercia que actúan sobre el rotor se

define como:

)( 2mRwaM (5.8)

FUERZAS Y MOMENTOS DE SACUDIMIENTO EN UN ROTOR CAPÍTULO 5

202

FUERZAS Y MOMENTOS DE SACUDIMIENTO EN UN ROTOR CAPÍTULO 5

203

Fig. 5.6 Balanceo en un rotor con masas en un solo plano

El objetivo de balancear un rotor es el de minimizar las fuerzas de sacudimiento

causadas por las fuerzas de inercia. Y se logra agregando una masa determinada

en una posición determinada de manera que se transmita muy poca o ninguna

fuerza a los soportes del rotor.

En la siguiente figura se presenta un rotor con 3 masas, cada masa con una

fuerza de inercia centrífuga. Para poder balancear el rotor, es necesario agregar

una masa de balanceo, de tal manera que la sumatoria de fuerzas sea igual a 0.

Para constante, la fuerza de inercia de cualquier masa dada M es igual a 2mRF con dirección y sentido radialmente hacia fuera. Para tener balanceo

la suma vectorial de las fuerzas de inercia del sistema es igual a cero. [7]

02

22

WR

gR

g

WmRF

Por tanto

0)(WR (5.9)

0332211 eeRWRWRWRW

BALANCEO EN UN ROTOR CAPÍTULO 5

204

Fig. 5.7 Balanceo en un rotor con masas. Caso general

El caso más general de distribución de masas rotatorias en un rotor rígido es aquél

en el que las masas se encuentran en varios planos transversales y axiales. [7]

El balanceo de las fuerzas de inercia se logra satisfaciendo la condición

0INERCIAF . Sin embargo, también se requiere el balanceo de los momentos de

dichas fuerzas de inercia. 0INERCIAM

La resultante R de las tres masas desbalanceadas se obtiene de un polígono

vectorial. Aunque a pudiera parecer que el balanceo podría lograr el balanceo con

una sola masa agregada, la condición del balance de momentos muestra que se

requiere un mínimo de dos masas de balanceo. En caso contrario existirá un par

desbalanceado debido a que las fuerzas de inercia de las tres masas no son

colineales.

El balanceo también se puede lograr proporcionando un contrapeso opuesto a

cada masa, o sea un total de tres contrapesos, con la ventaja de que la flexión de

la flecha se reduce casi hasta cero.

Se elige arbitrariamente el plano transversal A-A, con respecto a quien se tomarán

los momentos. Y el Plano B-B, como aquél en donde se desea que esté una masa

de balanceo.


205

Fig. 5.8 Centro de masa en un rotor balanceado

Fig. 5.9 Rotor desbalanceado Fig. 5.10 Rotor balanceado

Aun cuando los vectores que señalan los momentos de inercia siguen la regla de

la mano derecha, se representaron en el mismo plano que las fuerzas de inercia.

En el polígono de momentos se parte de los vectores conocidos, generados por

las masas 2m y 3m . El vector que cierra el polígono determina el momento de la bm

Como la distancia ba es conocida, entonces obtenemos el valor de bm .

0)( WRaM AAINERCIA (5.10)

Entonces, se toma como referencia ahora el plano B-B y se supone una masa en

el plano A-A. Siguiendo el mismo principio es posible encontrar el valor de am . [7]

0)( WRbM BBINERCIA (5.11)

Un ejemplo muy sencillo que muestra el propósito del balanceo en un rotor, se

puede representar utilizando un software de simulación.


206


207

Fig. 5.11 Fuerzas y Momentos de

Inercia en un mecanismo de 4 barras

Cuando las fuerzas debidas a la inercia de los eslabones en movimiento y otros

elementos de la misma varían en magnitud o dirección tienden a sacudir o a hacer

vibrar la máquina, por tanto estos efectos reciben el nombre de fuerzas de

sacudimiento.

Si consideramos un eslabonamiento de cuatro barras, suponiendo a los eslabones

2, 3 y 4 elementos móviles y el eslabón 1 es fijo, las fuerzas de inercia asociadas

con los elementos de movimiento son. 22 GAm , 33 GAm , 44 GAm . Obteniendo un

análisis de cuerpo libre de los elementos móviles. [6]

0)()()( 4433221412 GGG AmAmAmFFF (5.12)

Utilizando SF como la fuerza resultante de sacudimiento, se tiene.

4121 FFFS (5.13)

)( 443322 GGGS AmAmAmF (5.14)

En donde:

12F , es la fuerza que ejerce el marco sobre el elemento 2.

14F , es la fuerza que ejerce el marco sobre el elemento 4

21F , es la fuerza que ejerce el elemento 2 sobre el marco

41F , es la fuerza que ejerce el elemento 4 sobre el marco

FUERZAS Y MOMENTOS DE SACUDIMIENTO EN UN MECANISMO CAPÍTULO 5

208

Para determinar el momento de sacudimiento. Ec. (5.15)

0)()()( 1244332244243332222 MIIIAmRAmRAmRM GOGGGGGO

Entonces Ec.(5.16)

443322442433322221 ( IIIAmRAmRAmRMM GOGGGGGS

En donde:

2OM , Momento medido desde el origen 2O

2GR , Vector de posición del origen 2O , al centro de masa 2G

3GR , Vector de posición del origen 2O , al centro de masa 3G

24OGR , Vector de posición del origen 2O , al centro de masa 4G

2I , Segundo momento de Inercia del eslabón 2



2 , Velocidad angular del eslabón 2



FUERZAS Y MOMENTOS DE SACUDIMIENTO EN UN MECANISMO CAPÍTULO 5

209

Como se ha presentado, la resultante de todas las fuerzas que actúan en un

cuerpo debido a las fuerzas de inercia es conocida como fuerzas de desbalanceo

o de sacudimiento “shaking”.

Se utiliza el término de balanceo pasivo para describir la atenuación de las fuerzas

y momentos de sacudimiento al añadir o quitar masa de varias porciones de los

eslabones de movimiento. Este tipo de balanceo es por mucho la solución más

simple y menos costosa del problema.

Es importante tener en mente que aun cuando las fuerzas de inercia en un

mecanismo estén balanceadas, aún existen momentos de inercia presentes.

Aunque en muchas aplicaciones el balanceo de las fuerzas de inercia solamente

es aceptable, se debe reconocer que la suma de los contrapesos tiende a

incrementar el momento de inercia, las fuerzas en los cojinetes y el torque

requerido.

Para evitar un gran incremento en las reacciones de los cojinetes, puede que sea

deseable reducir el tamaño de los contrapesos, aunque sólo se tenga un balanceo

parcial de la fuerza. [11]

Si se imagina una máquina como si estuviera compuesta de varios mecanismos,

se podría considerar el balanceo de la misma, balanceando cada mecanismo por

separado. Sin embargo, pudiera ser que esto no conduzca al mejor balanceo para

la máquina, debido a que la adición de un gran número de contrapesos puede

hacer que el momento de torsión de inercia sea completamente inaceptable. Es

más, el desbalanceo de un mecanismo puede contrarrestar el balanceo de otro,

eliminando en primera instancia la necesidad de algunos contrapesos. [6]

Sin embargo, para tratar con el mecanismo de Whitworth planteado, se analizará

primeramente el balanceo del mecanismo Biela-manivela-corredera y como afecta

dicho balanceo en las ecuaciones dinámicas de éste. Entonces se planteará un

método de balanceo para el mecanismo completo.

BALANCEO EN UN MECANISMO CAPÍTULO 5

210

BALANCEO EN UN MECANISMO CAPÍTULO 5

211

Fig. 5.12 Mecanismo Biela-Manivela-Corredera

Con el objeto de balancear las fuerzas de inercia en un mecanismo Manivela-

Biela-Corredera, se añaden masas de balanceo. Tomando en cuenta que resulta a

veces impráctico balancear completamente el mecanismo debido a los efectos que

puede tener en el torque, en los cojinetes y en los momentos de inercia.

En el mecanismo se presentan las fuerzas derivadas del movimiento, pues aunque

las fuerzas estáticas siguen existiendo, estas son pequeñas en comparación con

las primeras.

NOTA:

90

90

Constante

BALANCEO EN UN MECANISMO MANIVELA BIELA CORREDERA CAPÍTULO 5

212

El eslabón AE, “4” del mecanismo general, mantiene una velocidad angular

constante, sin embargo el eslabón EF, “5” del mecanismo general, presenta dos

movimientos: Traslación y rotación. Para dar una aproximación de balanceo al

mecanismo, el eslabón EF se modela como una barra que tiene dos masas

concentradas en cada lado. Para mantener la misma dinámica se agregan las

siguientes ecuaciones:

EFFBielaEBiela mmm (5.17)

fmem FBielaEBiela (5.18)

EFGFBielaEBiela IIfmem 5

22 (5.19)

Estas ecuaciones representan las 3 condiciones que deben cumplirse para realizar

la aproximación de balanceo.

La suma de las masas concentradas EBielam y FBielam deben ser igual a la masa

total de la biela.

El centro de gravedad debe encontrarse en 5G

Los momentos de inercia de las masas concentradas en 5G , deben ser igual al

momento EFI

Donde EFG II 5 , es el segundo momento de inercia del eslabón EF.

Así mismo se derivan las siguientes ecuaciones:

L

fm

fe

fmm EFEF

EBiela

(5.20)

L

em

fe

emm EFEF

FBiela

(5.21)

L, indica la longitud total de la biela.


213

Fig. 5.13 Masas Equivalentes

Fig. 5.14 Masa de Balanceo

El mecanismo con las masas equivalentes se muestra a continuación.

Como el eslabón AE gira a velocidad constante, la fuerza dinámica en el par A

causada por las dos masas AEm , EBielam es sólo la componente normal de la

aceleración. Por tanto, la fuerza dinámica 2amRm AEEBiela puede ser

balanceada simplemente al añadir una masa de balanceo Balanceom , en una

dirección opuesta de la manivela.

BalanceoBalanceoAEAEEBiela LmamLm (5.22)

FFBielaFTotal mmm (5.23)

NOTA: La FTotalm causará una fuerza en dirección del eje del pistón. Esta

fuerza es la que se debe determinar para balancear el mecanismo


214

Se definen las ecuaciones de posición del pistón, para después derivarlas 2 veces

y obtener la aceleración necesaria para determinar la fuerza FTotalm

)coscos( EFAEAFX RRR (5.24)

sinsin EFAE LL (5.25)

Donde: LLEF

Ahora, si tomamos la identidad.

2

2

2 sin1sin1cos

EF

AE

L

L (5.26)

Esta expresión se sustituye en (5.24), y se deriva 2 veces para obtener la

aceleración

AFXR .

Sin embargo, el resultado es muy complicado, y dado el hecho de que se

comenzó con la premisa de obtener una aproximación al balanceo del mecanismo

mediante masas concentradas en cada lado de la biela. Entonces también

aproximaremos la ecuación (5.26).

...128

5

16821)1(

432

ssss

s Para 12 s

Siendo

2

2

2 sinsin

EF

AE

R

Rs

La cual cumple con la serie, puesto que EFAE RR y 1sin

La serie se puede detener en el segundo término, pues desde el tercero los

valores son muy pequeños en comparación con sus antecesores.

2

2

sin11cos

EF

AE

R

Rs (5.27)


215

Fig. 5.15 Diagrama de cuerpo libre y aceleraciones

Se usa la siguiente identidad

2cos2

1

2

1sin 2

Que se sustituye en (5.27) y ambas en (5.24).

)2cos44

cos(

22

EF

AE

EF

AEEFAEAFX

L

L

L

LLLR (5.28)

La cual se deriva dos veces, para obtener la aceleración

iL

LLR

EF

AEAEAFX )2cos(cos2

(5.29)

NOTA: En el estudio se descartan las fuerzas estáticas (Pesos) y se asume que

las fuerzas debidas a la aceleración normal de la manivela y la porción de la biela

EBielam han sido balanceadas al agregar una masa Balanceom a una distancia BalanceoR

del par A. Además se agrega un Par AT , que mantiene a la velocidad angular

constante.

Al agregar la masa Balanceom se atenúa la fuerza de sacudimiento. Sin embargo

debido a que sólo funciona en el movimiento de rotación y no el reciprocante, el

mecanismo está parcialmente balanceado. La única masa que falta balancear es

la masa FTotalm .

A continuación se presentan los diagramas de cuerpo libre y de aceleración de

masas.


216

Al hacer la sumatoria de momentos desde el par A, se obtiene:

x

TR A (5.30)

Y debido a que no hay aceleración en “y”

x

TRF A1 (5.31)

Las aceleraciones de las masas AEm , EBielam y Balanceom no se muestran, ya que se

cancelan cuando se aplica la segunda ley de Newton. Sin embargo, es importante

notar que estas fuerzas se encuentran en el mecanismo.

Al hacer la sumatoria de fuerzas en dirección x, se obtiene:

xX maF

AFXFTotalR RmF

)2cos(cos2 EF

AEAEFTotalR

L

LLmF (5.32)

La fuerza RF , es la fuerza que aplica el perno del par A a la manivela. De la misma

forma la manivela aplica una fuerza al perno del par A que es de la misma

magnitud pero de sentido contrario.

)2cos(cos2 EF

AEAEFTotalRS

L

LLmFF (5.32)

Esta fuerza es propiamente la fuerza que transmite el mecanismo a la base,

también llamada “Fuerza de sacudimiento”.

La magnitud de la fuerza como su dirección, cambian con respecto al ángulo ,

pero la línea de acción permanece en el eje del pistón.

En este ejemplo, no se muestra el balanceo de la masa reciprocante FTotalm , sin

embargo, se muestra que la fuerza de sacudimiento generada se restringe en la

línea de acción del eje del pistón.


217

Fig. 5.16 Mecanismo MBC Simulación

Fig. 5.17 Fuerzas de Sacudimiento MBC

Simulación

A continuación se ejemplifica las fuerzas de sacudimiento mediante una

simulación en Working Model.

La gráfica de las reacciones está comparada con los grados que gira el

mecanismo teniendo una velocidad 100 constante.

Datos:

kgmAE 1

kgmEF 1

kgmF 0

mLAE 1

mLEF 4

kgmBALANCEO 1

g=0

Las reacciones de este mecanismo en el par A.


218


Balanceado


Simulación Balanceado

Obtenemos la distancia a la masa de balanceo desde el par A

EF

EFEFEFEBiela

L

fm

L

fm

fe

fmm

EF

EFEFEFFBiela

L

em

L

em

fe

emm

BALANCEOBALANCEOAEAEEBiela LmamLm

Por tanto:

kgmEBiela 5.0

kgmFBiela 5.0

mLBALANCEO 1


219

Fig. 5.20 Mecanismo Biela-Manivela-Corredera

con Manivela-Rueda

El objetivo ahora, consiste en agregar una rueda en lugar de la manivela y utilizar

el mismo método de balanceo.

Nota: El Centro de masa de la manivela se ubica en el par A.

90

90

Constante

Las ecuaciones (5.17) a (5.32) son las mismas excepto que el valor de 0a

La ecuación (5.22) muestra el cambio de utilizar una rueda en lugar de una barra.

BalanceoBalanceoAEAEEBiela LmamLm (5.22)

BalanceoBalanceoAEEBiela LmLm (5.33)


220


Balanceado Manivela Rueda


Simulación Balanceado Manivela Rueda

Utilizando los mismos datos del ejemplo anterior, se obtienen las fuerzas de

sacudimiento generadas por las masas del mecanismo.

Datos

kgmAE 1

kgmEF 1

kgmF 0

mLAE 1

mLEF 4

kgmBALANCEO 1

g=0

Ecuaciones

EF

EFEFEFEBiela

L

fm

L

fm

fe

fmm

EF

EFEFEFFBiela

L

em

L

em

fe

emm

BALANCEOBALANCEOAEEBiela LmLm

Por tanto:

kgmEBiela 5.0

kgmFBiela 5.0

mLBALANCEO 5.0


xxxvii

CONCLUSIONES

1. Se han desarrollado distintos trabajos que engloban la

conceptualización de cómo formular el modelo matemático de un

mecanismo de lazo cerrado, e incluso de la forma en cómo construir

dicho modelo en un programa de computadora.

2. Los modelos en coordenadas naturales y coordenadas de punto de

referencia con su origen en el centro de masa de los eslabones,

ofrecen la posibilidad de englobar en una representación sencilla la

cinemática, dinámica (Fuerzas externas y de reacción) de los

mecanismos.

3. Se ha formuladoun modelo matemático que se asemeje al modelo

utilizado en mecanismos de lazo abierto como los robots, permite

probar con algoritmos de control bien estudiados en los mecanismos de

lazo cerrado. Sin embargo, hay que tomar en consideración que para

asemejar los modelos es necesario utilizar multiplicadores de Lagrange;

ya que las ecuaciones para los mecanismos de lazo cerrado presentan

coordenadas dependientes debido a que un solo actuador genera

movimiento en muchos eslabones.

4. Los métodos planteados en el mecanismo de retorno rápido de

Whitworth pueden generalizarse para mecanismos de cuatro, seis

barras, así como a distintas configuraciones de pares cinemáticos.

5. Los trabajos que se enuncian como referencia, muestran sus resultados

en mecanismos con muchos parámetros idealizados, esto es, simplifican

las variables para obtener un modelo sencillo que facilite la

comprobación de los algoritmos de control. Este no es el caso de este

trabajo, por lo tanto las ecuaciones muestran eslabones cuyo centro de

masa no necesariamente se encuentra en la línea que une a los pares

cinemáticos. Esta característica ocasiona ecuaciones más complicadas

y laboriosas.

CONCLUSIONES

xxxviii

Por tanto se propone el balanceo de los mecanismos como una forma

de simplificar el modelo sin idealizar el sistema.

6. El balanceo de los mecanismos es un tema muy extenso y no existe una

metodología a seguir de forma generalizada, como existe en el

balanceo de ejes. De manera que solo se han realizado estudios de

balanceo en mecanismos muy específicos, siendo el mecanismo de

manivela-biela y pistón el más mencionado. El propósito de balancear

el mecanismo es fijar el centro de masa general del mecanismo, lo que

elimina o disminuye los efectos de algunas variables en el modelo.

7. En este trabajó se proponen dimensiones de un mecanismo de retorno

rápido que opere como máquina herramienta, por consiguiente se

agregan características de corte, velocidad de maquinado, avances,

materiales, etc. El dimensionamiento se basa en las curvas de

aceleración de los eslabones y la proporción de velocidades del

retorno rápido.

CONCLUSIONES

xxxix

TRABAJO FUTURO

Los alcances de este trabajo contemplan únicamente el estudio

cinemático y dinámico de mecanismos de lazo cerrado. Así como diversas

metodologías de modelado e implementación en software. También, la

síntesis dimensional de un mecanismo de retorno rápido y la propuesta de

simplificar el modelo encontrado en base al balanceo de los eslabones.

Con el fin de poder aplicar algoritmos de control originalmente planteados

para mecanismos de lazo abierto.

Tomando como base la información presentada en este trabajo, se

proponen como trabajos futuros a esta investigación los siguientes temas.

Balanceo de los mecanismos

El balanceo de los mecanismos es un tema de investigación muy extenso,

ya que los modelos generalmente dependen de la topología de cada

mecanismo. Ahora, el mecanismo de retorno rápido planteado consiste en

dos configuraciones o inversiones del mecanismo manivela-biela-

corredera. Por una parte la inversión utilizada como pistón es de las más

estudiadas, por otro lado la segunda inversión, que es la encargada de la

variación de velocidades de la ida y retorno del mecanismo, presenta una

aceleración de coriolis, lo que genera un reto en su balanceo.

Modelado de eslabones flexibles

En este trabajo, se presentan los métodos utilizados para formular las

ecuaciones cinemáticas y dinámicas de los mecanismos de lazo cerrado,

partiendo de la idealización de eslabones indeformables. El estudio de

eslabones flexibles lleva a una metodología más cercana a la realidad.

Siendo una de cualidades, una mejor descripción de los mecanismos que

se someten a altas velocidades. Además que el modelo permite el análisis

por elementos finitos del mecanismo, lo que ayuda a determinar de forma

más exacta los esfuerzos y deformaciones que sufre cada uno de los

eslabones en movimiento.

TRABAJO FUTURO

xl

Manufactura de los mecanismos

Las dimensiones obtenidas en este trabajo, sirven como base para un

estudio detallado de la manufactura necesaria y correcta de los

mecanismos. Es decir, debido a que el enfoque involucra el control del

mecanismo, es necesario proponer e implementar materiales adecuados

para un correcto desempeño. Un ejemplo sería el usar en una máquina de

fresado un tornillo acme y un tornillo de bolas, ambos cumplirían el mismo

fin de mover la mesa de la máquina pero con diferentes precisiones;

Siendo el segundo más fácil de controlar ya que presenta menos

perturbaciones.

Optimización dimensional de los mecanismos

El modelo matemático planteado, sirve como referencia para aplicar

metodologías de optimización cinemática y dinámica de los mecanismos.

Como referencia, se encuentran los trabajos de García de Jalón y Ahmed

A. Shabana.

Mecánica Computacional

El trabajo presenta la metodología para obtener la formulación

matemática de los mecanismos de lazo cerrado, está metodología es

aplicable a implementarse en software para el análisis de movimiento de

diversos mecanismos. Así como, existe un software capaz de generar

información de esfuerzos, deformaciones, transferencia de calor, etc.

Implementar la metodología planteada para realizar análisis de

mecanismos por medio de software.

Implementación de control

Todas las ecuaciones necesarias para describir la cinemática y dinámica

del mecanismo de retorno rápido, se encuentran explicadas y validadas

por algoritmos en matlab y simulaciones en Working model en este trabajo.

De manera que pueden tomarse como base para probar nuevos

algoritmos de control, o plantear algoritmos ya existentes y comparar los

resultados con las mejoras añadidas del diseño mecánico.

TRABAJO FUTURO

BIBLIOGRAFÍA CAPÍTULO 1

BIBLIOGRAFÍA: CAPÍTULO 1

1. International Symposium on History of Machines and Mechanisms, Chapter 1, History of Dynamics of Machines and Mechanisms from Leonardo to Timoshenko by Francis C. Moon, Chapter 3, Some Origins of TMM Arisen from Pseudo-Aristotle and Hero of Alexandria by Agamenon R.E. Oliveira.

2. Una mecánica sin Talachas by Fermin Viniegra Heberlein. 3. http://www.pittdixon.go-plus.net/whitworth/whitworth.htm, Sir Joseph

Whitworth 4. http://www.wikipedia.org/ 5. Handbook of Automation, Chapter 4, Christopher Bissell. 6. Estabilidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias y de las ecuaciones

funcionales, Abel R. Castro Figueroa 7. Criterio de Estabilidad de Nyquist- Aplicación al análisis de la Estabilidad de

Sistemas de Control continuos, lineales e invariantes en el tiempo, UTN/FRBA

8. Poincaré, creador de los métodos todavía modernos en las ecuaciones diferenciales y en la mecánica celeste, Amadeu Delshams.

9. Mechatronics Handbook (2002), Robert H. Bishop, Chapters 1 and 10. http://www.meca.cinvestav.mx/quees.html 11. http://www.graphit.hu/NX/prospektus/CAD/NX-Mechatronics-Concept

Designer.pdf 12. Motion profile planning of repetitive point to point control for maximum energy

conversion efficiency under acceleration conditions, Mechatronics Vol.6, pp. 649-663,1996

13. Inverse Dynamics of a toggle mechanism, Computer & Structures Vol.63, No I, pp. 91-99, 1997

14. Modeling, simulation and control of a four-bar mechanism with a Brushless Servo Motor, Mechatronics Vol.7, No.4, pp.369-383,1997

15. Comparison of Sliding-Mode and Fuzzy Neural Network Control for Motor-Toggle Servomechanism, IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, Vol.3, No.4, 1998

16. Slider-crank mechanism control using adaptive computed torque technique, IEEE Proc. Control Theory Appl. Vol.145, No.3, 1998.

17. Fuzzy sliding mode controlled slider-crank mechanism using a PM synchronous servo motor drive, International Journal of Mechanical Sciences 41, 1999.

18. Integrated Design of Mechanical Structure and control Algorithm for a Programmable Four-Bar Linkage, IEEE/ASME Transactions on mechatronics, Vol.4, No.4, 1999.

19. Modeling and set point control of closed chain mechanisms: Theory and Experiment, IEEE Transactions on control systems technology Vol.8, No.5, 2000.

http://www.pittdixon.go-plus.net/whitworth/whitworth.htm

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http://www.graphit.hu/NX/prospektus/CAD/NX-Mechatronics-Concept%20Designer.pdf

http://www.graphit.hu/NX/prospektus/CAD/NX-Mechatronics-Concept%20Designer.pdf



20. Fuzzy control of a dc motor driven four-bar mechanism, mechatronics 15

(2005)



1. Una mecánica sin Talachas, Fermín Viniegra Heberlein. Año y editorial 2. Computational Dynamics Second Edition, Ahmed A. Shabana 3. Design of Machinery, Robert Norton 2nd Edition 4. Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems, Garcia de Jalon,

Bayo. 5. Force/Motion Control of Constrained Robots Using Sliding Mode, IEEE

transactions on automatic control, Vol. 37, No 5, May 1992. 6. Síntesis Dimensional optima de una variante del mecanismo de retorno

rápido de Whitworth, Universidad Pública de Navarra. 7. http://es.scribd.com/doc/56605020/10/Coordenadas-naturales-caso-plano,

Apuntes Mecanismos Nuevas Metodologías de análisis cinemático de mecanismos planos y espaciales, Profesor: Alejandro Gutiérrez S.

8. móviles, Aníbal Ollero Baturone, 2001, Editorial Alfa Omega.


http://www.graphit.hu/NX/prospektus/CAD/NX-Mechatronics-Concept-Designer.pdf

http://es.scribd.com/doc/56605020/10/Coordenadas-naturales-caso-plano



1. Mecánica para ingeniería: Dinámica 5ta Edición Bedford Fowler

2. Mecánica para Ingenieros Dinámica 3ra Edición J.L Meriam \ L.G. Kraige

3. Teoria y problemas de Dinámica de Lagrange: “Serie de compendios

schaum. McGraw Hill

4. An Introduction to Dynamics of Rigid-Body Systems, Institute of Mechanical

Engineering and Aalborg University, Michael Damsgaard

5. Mecánica Lagrangiana Teoría y Practica, Libro de Alqua, Álvaro Hacar

González versión 0.10.1

6. Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems. Bayo

7. Linear Time Dynamics using Lagrange Multipliers, David Baraff, Robotics

Institute Carnegie Mellon University

9. Método de síntesis dimensional óptima de sistemas multicuerpo con

restricciones dinámicas. Aplicación al diseño de mecanismos planos,

Universidad de la RIOJA, José Antonio Gómez Cristobal. Tesis Doctoral,

2003

10. Force/Motion Control of Constrained Robots Using Sliding Mode, IEEE

transactions on automatic control, Vol. 37, No. 5, May 1992

11. Apuntes de Mecánica Clásica, Fernando O. Minotti, 2do cuatrimestre de

2010

12. Applying Experienced Self-Tuning PID controllers to Positiouan in Control of

slider Crank Mechanisms, Chih-Cheng Kao, Department of electrical

engineering Kao Yuan Institute of technology.

13. Mecánica sin talachas


1. Manufactura, Ingeniería y tecnología, 4ta Edición, Kalpakjian, Schmid

2. Tecnología Mecánica 1, Máquinas Herramientas de Leonel Chacón

Anchondo

3. Teoría del taller, escuela del trabajo henry ford 5ta Edición

4. Machine shop practice, Volumen 2, Karl Hans Moltrecht.

http://books.google.com.mx/books?id=dhX93Mxkxn4C&pg=PA11&lpg=PA11&dq=strokes+p

er+minute+shaper&source=bl&ots=eh1B81n5si&sig=yv1f1KIadBpoxCF1dE9vhklfrZA&hl=es&

sa=X&ei=NuBjT9uGNKWg2AXH1ei0CA&ved=0CB0Q6AEwAA#v=onepage&q=strokes%20per

%20minute%20shaper&f=false[

5. Nylamid Quadrant: Maquinado

6. Boxford 8 inch Shaper

7. Método de síntesis dimensional óptima de sistemas multicuerpo con

restricciones dinámicas. Aplicación al diseño de mecanismos planos. Tesis

Doctoral, José Antonio Gómez Cristobal. Universidad de la Rioja.

8. Teoría de máquinas y mecanismos. Joseph Edward Shigley

9. Síntesis cinemática y dinámica de mecanismos. Manipulador Paralelo 6-RKS,

Isidro Zabalza Villava, Departamento de ingeniería mecánica energética y de

materiales.

10. Quick-return mechanism design and analysis projects. Ron P. Podhorodeski,

Scott B. Nokleby and Jonathan D. Wittchen. Robotics and Mechanisms

Laboratory, Department of Mechanical Engineering, University of Victoria

11. http://homepages.udayton.edu/~dmyszka1/MCT313/Dsgn.pdf

12. Illustrated sourcebook of Mechanical Components, Robert O. Parmley, P.E.


http://books.google.com.mx/books?id=dhX93Mxkxn4C&pg=PA11&lpg=PA11&dq=strokes+per+minute+shaper&source=bl&ots=eh1B81n5si&sig=yv1f1KIadBpoxCF1dE9vhklfrZA&hl=es&sa=X&ei=NuBjT9uGNKWg2AXH1ei0CA&ved=0CB0Q6AEwAA#v=onepage&q=strokes%20per%20minute%20shaper&f=false




http://homepages.udayton.edu/~dmyszka1/MCT313/Dsgn.pdf


1. Mechatronics in Medicine A Biomedical Engineering Approach, Siamak

Najarian, Javad Dargahi, Goldis Darbemamieh, Siamak Hajizadeh Farkoush.

Mc Graw Hill, 2012.

2. The Role of Control in Mechatronics, Job van Amerongen. Cornelis J.

Drebbel Insitute for Systems Engineering and Control Laboratory, Faculty of

Electrical Engineering University of Twente.

3. Mechatronic Design Approach, Rolf Isermann, Darmstadt University of

Technology.

4. Integrated Design of Mechanical Structure and Control Algorithm for a

Programmable Four-Bar Linkage. W.J. Zhang, Q. Li, and L.S. Guo,

IEEE/ASME Transactions on mecatronics, VOL 4, No. 4, DECEMBER 1999

5. Shaking Force and Shaking Moment Balancing of Mechanisms: A Historical

Review with new examples, Vigen H. Arakelian Professor, INSA-Rennes,

Department “GMA” and M. R. Smith Department of Mechanical, Materials and

manufacturing Engineering, University of Newcastle. Journal of Mechanical

Design March 2005, Vol. 127

6. Teoría de máquinas y mecanismos. Joseph Shigley

7. Mecanismos y dinámica de maquinaria, Mabie Reinholtz.

8. Design of Machinery. Robert Norton 2nd Edition

9. Advanced Mechanism Design: Analysis and Synthesis. Volume 2. George N.

Sandor / Arthur G. Erdman

10. Wikipedia. Momento de Inercia

11. KINEMATICS & DYNAMICS OF PLANAR MACHINERY. Burton Paul

12. Mec E 362 Mechanics of Machines, 7 Balancing Reciprocating Masses,

Alberta University Canada


ANEXOS ANEXO A

En este ANEXO se incluyen 2 archivos:

Solucion Coord Naturales.m (MATLAB) Cinematica Whitworth.wm2d (Working Model) Utilizando las coordenadas naturales se muestran las ecuaciones que definen la posición de cada uno de los pares cinemáticos del mecanismo de Whitworth.

Solucion Coord Naturales.m

clear all %clears all variables and functions clc %clears the command window and homes the cursor close all %closes all the open figure windows

contador=0; inc=10;

for t=0:inc:360 contador=contador+1; Theta=t*pi/180;

%Magnitudes de los eslabones LBB1=10; LEF=30; LCB1=2; LED1=2; LAD=20; LAD1=10; LDD1=(LAD+LAD1);

%Magnitudes de las variables de diseño m=-5; p=0; h=-2;

%Magnitudes de Constantes KA=LCB1/LBB1; KB=(LDD1-LED1)/(LAD1-LED1); KC=LED1/LAD1;

%Ecuaciones de restricción xB=0; yB=0;

ANEXO A

ANEXOS ANEXO A

%xB1=LBB1*sin(Theta);

%yB1=LBB1*cos(Theta);

eqn_f1A='xB1solB1=-LBB1*sin(Theta)'; eqn_f1='(xB1solB1-xB)^2+(yB1solB1-yB)^2=LBB1^2'; solB1=solve(eqn_f1A,eqn_f1,'xB1solB1,yB1solB1');

xB1_A=eval(solB1.xB1solB1(1)); xB1_B=eval(solB1.xB1solB1(2)); yB1_A=eval(solB1.yB1solB1(1)); yB1_B=eval(solB1.yB1solB1(2));

if Theta <= pi/2 || Theta>=3*pi/2 yB1=yB1_A;xB1=xB1_A; else yB1=yB1_B;xB1=xB1_B; end

eqn_f4='(xB1-xCsolC)-KA*(xB1-xB)=0'; eqn_f5='(yB1-yCsolC)-KA*(yB1-yB)=0'; solC=solve(eqn_f4,eqn_f5,'xCsolC,yCsolC'); xC=eval(solC.xCsolC); yC=eval(solC.yCsolC);

%eqn_f12='xAsol-p=0'; %eqn_f13='yAsol-h=0'; xA=p; yA=h;

eqn_f3='(xDsolD-xA)^2+(yDsolD-yA)^2=LAD^2'; eqn_f10='((xDsolD-xC)*(yDsolD-yA))-((xDsolD-xA)*(yDsolD-yC))=0'; solD=solve(eqn_f3,eqn_f10,'xDsolD,yDsolD'); xD_A=eval(solD.xDsolD(1)); xD_B=eval(solD.xDsolD(2)); yD_A=eval(solD.yDsolD(1)); yD_B=eval(solD.yDsolD(2));

xD=xD_B; yD=yD_B;

eqn_f6='(xD-xEsolE)-KB*(xA-xEsolE)=0'; eqn_f7='(yD-yEsolE)-KB*(yA-yEsolE)=0'; solE=solve(eqn_f6,eqn_f7,'xEsolE,yEsolE'); xE=eval(solE.xEsolE); yE=eval(solE.yEsolE);

eqn_f8='(xE-xD1solD1)-KC*(xA-xD1solD1)=0'; eqn_f9='(yE-yD1solD1)-KC*(yA-yD1solD1)=0'; solD1=solve(eqn_f8,eqn_f9,'xD1solD1,yD1solD1'); xD1=eval(solD1.xD1solD1); yD1=eval(solD1.yD1solD1);

ANEXOS ANEXO A

eqn_f2='(xE-xFsolF)^2+(yE-yFsolF)^2=LEF^2';

eqn_f11='yFsolF-m=0';

solF=solve(eqn_f2,eqn_f11,'xFsolF,yFsolF'); xF_A=eval(solF.xFsolF(1)); xF_B=eval(solF.xFsolF(2)); yF_A=eval(solF.yFsolF(1)); yF_B=eval(solF.yFsolF(2));

xF=-xF_B; yF=yF_B;

% fprintf('Theta = %g (mm) \n', Theta); % fprintf('xB1 = %g (mm) \n', xB1); % fprintf('yB1 = %g (mm) \n', yB1); % fprintf('xC = %g (mm) \n', xC); % fprintf('yC = %g (mm) \n', yC); % fprintf('xA = %g (mm) \n', xA); % fprintf('yA = %g (mm) \n', yA); % fprintf('xD = %g (mm) \n', xD); % fprintf('yD = %g (mm) \n', yD); % fprintf('xE = %g (mm) \n', xE); % fprintf('yE = %g (mm) \n', yE); % fprintf('xD1 = %g (mm) \n', xD1); % fprintf('yD1 = %g (mm) \n', yD1); % fprintf('xF = %g (mm) \n', xF); % fprintf('yF = %g (mm) \n', yF); % fprintf(' ');

axis([-20 40 -20 20]); plot([xB1,xB],[yB1,yB],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xC,xB],[yC,yB],'r-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xA,xB],[yA,yB],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xD,xA],[yD,yA],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xA,xE],[yA,yE],'r-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xA,xD1],[yA,yD1],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([xE,xF],[yE,yF],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-20 40 -20 20]); plot([20,40],[-5,-5],'b-o','LineWidth',1.5) hold off

ANEXOS ANEXO A

%Representa la nueva posición

%axes(handle(1)); %representacion(q,draw);

%Graficos %almacen(contador,1,:)=q(3:1:5);

pause(0.1);

end close all;

%Magnitudes de Constantes

% KA=LCB1/LBB1; % KB=(LDD1-LED1)/(LAD1-LED1); % KC=LED1/LAD1;

%Ecuaciones

% f1A=xB1-LBB1*sin[Theta]=0; % f1=(xB1-xB)^2+(yB1-yB)^2-LBB1^2=0; % f2=(xE-xF)^2+(yE-yF)^2-LEF^2=0; % f3=(xD-xA)^2+(yD-yA)^2-LAD^2=0; % f4=(xB1-xC)-KA*(xB1-xB)=0; % f5=(yB1-yC)-KA*(yB1-yB)=0; % f6=(xD-xE)-KB*(xA-xE)=0; % f7=(yD-yE)-KB*(yA-yE)=0; % f8=(xE-xD1)-KC*(xA-xD1)=0; % f9=(yE-yD1)-KC*(yA-yD1)=0; % f10=((xD-xC)*(yD-yA))-((xD-xA)*(yD-yC))=0; % f11=yF-m=0; % f12=xA-p=0; % f13=yA-h=0;

ANEXOS ANEXO B


Cinematica_Matlab_4.m (MATLAB) Cinematica Whitworth.wm2d (Working Model) Utilizando las coordenadas de punto de referencia se muestran las ecuaciones que definen la posición, velocidad y aceleración de cada uno de los pares cinemáticos del mecanismo de Whitworth.

Cinemática_Matlab_4.m

% Este programa, muestra la cinemática de un mecanismo de whitworth de % retorno rápido, utilizando la matriz Jacobiano, para la obtención de la % velocidad y aceleracion. % Nota: Estas ecuaciones, tienen 4 incógnitas dependientes de Theta.

clear all %clears al variables and functions clc %clears the command window and homes the curso close all %closes all the open figure windows

% La variable contador, es importante en el ciclo for, para ubicar en que % ciclo, se presentan los datos. Se utilizo principalmente para que % pudieramos comparar los resultados con el programa en Mathematica.

% La variable inc, nos dice como se va a incrementar la variable de

entrada % Theta.

contador=0; inc=10;

% Los siguientes vectores, se definen, puesto que van a guardar cada uno

de % las variables deseadas para gráficar.

ThetaData=(0:inc:360); PhiData=(0:inc:360); BetaData=(0:inc:360); RBFxData=(0:inc:360); LACData=(0:inc:360);

ANEXO B

ANEXOS ANEXO B

PhiDataP=(0:inc:360); BetaDataP=(0:inc:360); RBFxDataP=(0:inc:360); LACDataP=(0:inc:360);

PhiDataPP=(0:inc:360); BetaDataPP=(0:inc:360); RBFxDataPP=(0:inc:360); LACDataPP=(0:inc:360);


% Magnitudes de los eslabones

LBB1 = 10; LCB1 = 2; LAD = 15; LAD1 = 20; LDD1 = LAD + LAD1; LED1 = 2; LEF = 30; LAE=LAD1-LED1; LBC=LBB1-LCB1;

% Magnitudes de las variables de diseño P =- 3; H = -3; m = 2;

% Velocidad ángular de entrada ThetaP=100*pi/180;

% Aceleracion ángular de entrada ThetaPP=0*pi/180;

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************

% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta.

Phi=atan((LBC*sin(Theta)+P)/((LBC*cos(Theta))-H));

% Estos dos if, se introducen, pues no queremos tener ángulos phi, % negativos ya que puede causar problemas al implementarlos en un encoder

if ((LBC*cos(Theta))-H)<0 Phi=pi+Phi;

end

ANEXOS ANEXO B

if -(-LBC*sin(Theta)-P)<0 && ((LBC*cos(Theta))-H)>0 Phi=2*pi+Phi; end

%Este factor, se agrega, en caso de que P>0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, cruzara los 360° antes que la %barra motriz.

if Phi*180/pi<180 && t>300 Phi=2*pi+Phi; % Phi=-(2*pi-Phi); end

%Este factor, se agrega, en caso de que P<0, en cuyo caso, la barra que %define el retroceso rapido del mecanismo, presenta angulos mayores a

300°, %por lo cual se definen en su lugar ángulos negativos.

if Phi*180/pi>300 && t<180 Phi=-(2*pi-Phi); % Phi=2*pi+Phi;

end

% Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(-H-m))/(LEF)); Beta=acos((LAE*cos(Phi)+(-H-m))/(LEF));

%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir

if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180

LAC=abs(((LBC*cos(Theta)-H)/cos(Phi))); else LAC=abs((((LBC*sin(Theta)+P)/sin(Phi)))); end

%LACH, Se toma, para ajustar el jacobiano con respecto a la variable de %diseño H

if Phi*180/pi == 180

LACH=LAC;

elseif Phi*180/pi == 360

LACH=LAC-H;

else LACH=LAC; end

ANEXOS ANEXO B

%Definimos el Jacobiano

J=[-LACH*cos(Phi),-sin(Phi),0,0; -LACH*sin(Phi),cos(Phi),0,0; LAE*cos(Phi),0,LEF*cos(Beta),-1; LAE*sin(Phi),0,-LEF*sin(Beta),0];

%Definimos las posiciones de los eslabones

RBB1x=-(LBB1)*sin(Theta); RBB1y=(LBB1)*cos(Theta); RBCx=-(LBB1-LCB1)*sin(Theta); RBCy=(LBB1-LCB1)*cos(Theta); RACx=-LAC*sin(Phi); RACy=LAC*cos(Phi); RADx=-LAD*sin(Phi); RADy=LAD*cos(Phi); RAD1x=LAD1*sin(Phi); RAD1y=-LAD1*cos(Phi); RAEx=LAE*sin(Phi); RAEy=-LAE*cos(Phi); REFx=LEF*sin(Beta); REFy=LEF*cos(Beta); RBFx=(P+LAE*sin(Phi)+LEF*sin(Beta));

%*********************************************************** %***************** VELOCIDAD ************************** %***********************************************************

%Determinación de la Velocidad Ec. J*[PhiP,BetaP]+PHIT=0;

%Definimos la matriz PHIT

Inversa=inv(J);

PHIT=[LBC*cos(Theta)*ThetaP;LBC*sin(Theta)*ThetaP;0;0];

%qp=[PhiP,BetaP]=inv(J)*PHIT; qp=-inv(J)*PHIT;

PhiP=qp(1); LACP=qp(2); BetaP=qp(3); RBFxP=qp(4);

ANEXOS ANEXO B

%Definimos las velocidades de los eslabones

RBB1xP=-LBB1*cos(Theta)*ThetaP; RBB1yP=-(LBB1)*sin(Theta)*ThetaP; RBCxP=-(LBB1-LCB1)*cos(Theta)*ThetaP; RBCyP=-(LBB1-LCB1)*sin(Theta)*ThetaP; RACxP=-LACP*sin(Phi)-(LAC*cos(Phi)*PhiP); RACyP=LACP*cos(Phi)-(LAC*sin(Phi)*PhiP); RADxP=-LAD*cos(Phi)*PhiP; RADyP=-LAD*sin(Phi)*PhiP; RAD1xP=LAD1*cos(Phi)*PhiP; RAD1yP=LAD1*sin(Phi)*PhiP; RAExP=LAE*cos(Phi)*PhiP; RAEyP=LAE*sin(Phi)*PhiP; REFxP=LEF*cos(Beta)*BetaP; REFyP=-LEF*sin(Beta)*BetaP; % RBFxP=+LAE*cos(Phi)*PhiP+LEF*cos(Beta)*BetaP;

%*********************************************************** %***************** ACELERACION ************************ %***********************************************************

%Determinación de la Aceleracion Ec.

J*[PhiPP,BetaPP]+JP*[PhiP,BetaP]+PHITP=0;

%Definimos la matriz PHITP PHITP=[LBC*cos(Theta)*ThetaPP-

LBC*sin(Theta)*ThetaP^2;LBC*sin(Theta)*ThetaPP+LBC*cos(Theta)*ThetaP^2;0;

0];

%Definimos la matriz JP JP=[(LAC*sin(Phi)*PhiP)-LACP*cos(Phi),-cos(Phi)*PhiP,0,0; -LAC*cos(Phi)*PhiP-LACP*sin(Phi),-sin(Phi)*PhiP,0,0; -LAE*sin(Phi)*PhiP,0,-LEF*sin(Beta)*BetaP,0; LAE*cos(Phi)*PhiP,0,-LEF*cos(Beta)*BetaP,0];

qpp=-inv(J)*(JP*[PhiP;LACP;BetaP;RBFxP]+PHITP);

%qpp=-inv(J)*(JP*[PhiP;BetaP]+PHITP);

PhiPP=qpp(1); LACPP=qpp(2); BetaPP=qpp(3); RBFxPP=qpp(4);

ANEXOS ANEXO B

%Definimos las aceleraciones de los eslabones

RBB1xPP=-(LBB1*cos(Theta)*ThetaPP)+(LBB1*sin(Theta)*ThetaP^2); RBB1yPP=(-(LBB1)*sin(Theta)*ThetaPP)-(LBB1*cos(Theta)*ThetaP^2); RBCxPP=(-(LBB1-LCB1)*cos(Theta)*ThetaPP)+(LBC*sin(Theta)*ThetaP^2); RBCyPP=(-(LBB1-LCB1)*sin(Theta)*ThetaPP)-(LBC*cos(Theta)*ThetaP^2); RACxPP=-(LACPP*sin(Phi))-(LACP*cos(Phi)*PhiP)-(LACP*cos(Phi)*PhiP)-

(LAC*cos(Phi)*PhiPP)+(LAC*sin(Phi)*PhiP^2); RACyPP=(LACPP*cos(Phi))-(LACP*sin(Phi)*PhiP)-(LACP*sin(Phi)*PhiP)-

(LAC*sin(Phi)*PhiPP)-(LAC*cos(Phi)*PhiP^2); RADxPP=-(LAD*cos(Phi)*PhiPP)+(LAD*sin(Phi)*PhiP^2); RADyPP=(-LAD*sin(Phi)*PhiPP)-(LAD*cos(Phi)*PhiP^2); RAD1xPP=(LAD1*cos(Phi)*PhiPP)-(LAD1*sin(Phi)*PhiP^2); RAD1yPP=(LAD1*sin(Phi)*PhiPP)+(LAD1*cos(Phi)*PhiP^2); RAExPP=(LAE*cos(Phi)*PhiPP)-(LAE*sin(Phi)*PhiP^2); RAEyPP=(LAE*sin(Phi)*PhiPP)+(LAE*cos(Phi)*PhiP^2); REFxPP=(LEF*cos(Beta)*BetaPP)-(LEF*sin(Beta)*BetaP^2); REFyPP=(-LEF*sin(Beta)*BetaPP)-(LEF*cos(Beta)*BetaP^2);

% RBFxPP=(LAE*cos(Phi)*PhiPP)-

(LAE*sin(Phi)*PhiP^2)+(LEF*cos(Beta)*BetaPP)-(LEF*sin(Beta)*BetaP^2);

%*********************************************************** %***************** IMPRESIONES ************************ %***********************************************************

fprintf('i= %g \n',contador); fprintf('Theta(Deg)= %g \n',t); fprintf('Phi= %g \n',Phi*180/pi); fprintf('Beta= %g \n',Beta*180/pi); % fprintf('LAC= %g \n',LAC); % fprintf('ThetaP= %g \n',ThetaP); % fprintf('PhiP= %g \n',PhiP*180/pi); % fprintf('BetaP= %g \n',BetaP*180/pi); % fprintf('LACP= %g \n',LACP); % fprintf('ThetaPP= %g \n',ThetaPP); % fprintf('PhiPP= %g \n',PhiPP); % fprintf('BetaPP= %g \n',BetaPP); fprintf('\n\n');

%*********************************************************** %************ RECOPILACIÓN DE DATOS ******************** %***********************************************************

ThetaData(t+1)=(Theta)*180/pi; PhiData(t+1)=(Phi)*180/pi; BetaData(t+1)=(Beta)*180/pi; RBFxData(t+1)=RBFx; LACData(t+1)=LAC+PhiData(t+1);

PhiDataP(t+1)=(PhiP)*180/pi; BetaDataP(t+1)=(BetaP)*180/pi; RBFxDataP(t+1)=RBFxP;

ANEXOS ANEXO B

LACDataP(t+1)=LACP+PhiDataP(t+1); PhiDataPP(t+1)=(PhiPP)*180/pi; BetaDataPP(t+1)=(BetaPP)*180/pi; RBFxDataPP(t+1)=RBFxPP; LACDataPP(t+1)=LACPP+PhiDataPP(t+1);

%*********************************************************** %************ MECANISMO EN MOVIMIENTO ****************** %***********************************************************

axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBB1x],[0,RBB1y],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBCx],[0,RBCy],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([P,RACx+P],[H,RACy+H],'b-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([P,RADx+P],[H,RADy+H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([P,RAD1x+P],[H,RAD1y+H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([+P,RAEx+P],[H,RAEy+H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([P+RAEx,P+ REFx+RAEx],[RAEy+H,REFy+RAEy+H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBFx],[0,-m],'k-o','LineWidth',1.5) hold on hold off

% Este pause, se pone, para visualizar el mecanismo en movimiento.

pause(0.1);

end close all;

ANEXOS ANEXO B

%*********************************************************** %************ GRAFICAS DE LAS VARIABLES ****************** %************ CON RESPECTO A THETA ****************** %***********************************************************

for i=0:inc:360

axis([-10 400 -300 300]); grid on;

% plot(ThetaData(i+1),PhiData(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxData(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % % plot(ThetaData(i+1),PhiDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % % plot(ThetaData(i+1),PhiDataPP(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) plot(ThetaData(i+1),LACDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5)

hold on

end

ANEXOS ANEXO C


Cinematica_Matlab_2.m (MATLAB) Cinematica Whitworth.wm2d (Working Model) Utilizando las coordenadas de punto de referencia se muestran las ecuaciones que definen la posición, velocidad y aceleración de cada uno de los pares cinemáticos del mecanismo de Whitworth.

Cinemática_Matlab_2.m





entrada % Theta.

contador=0; inc=10;





ANEXO C

ANEXOS ANEXO C



%Magnitudes de los eslabones


%Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2;

%Velocidad ángular de entrada ThetaP=100*pi/180;


%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************

% Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la

implementación

Phi=atan((LBC*sin(Theta)-P)/((LBC*cos(Theta))+H));

ANEXOS ANEXO C


if ((LBC*cos(Theta))+H)<0 Phi=pi+Phi;

end

if -(-LBC*sin(Theta)+P)<0 && ((LBC*cos(Theta))+H)>0 Phi=2*pi+Phi; end


if Phi*180/pi<180 && t>300 Phi=2*pi+Phi;

end



if Phi*180/pi>300 && t<180 Phi=-(2*pi-Phi); end

Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(H-m))/(LEF));


if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360

LAC=abs(((LBC*cos(Theta)+H)/cos(Phi)));

else LAC=abs((((LBC*sin(Theta)-P)/sin(Phi)))); end


J=[-LBC*cos(Phi-Theta)-H*cos(Phi)+P*sin(Phi),0; LAE*sin(Phi),-LEF*sin(Beta)];

ANEXOS ANEXO C


RBB1x=-(LBB1)*sin(Theta); RBB1y=(LBB1)*cos(Theta); RBCx=-(LBB1-LCB1)*sin(Theta); RBCy=(LBB1-LCB1)*cos(Theta); RACx=-LAC*sin(Phi); RACy=LAC*cos(Phi); RADx=-LAD*sin(Phi); RADy=LAD*cos(Phi); RAD1x=LAD1*sin(Phi); RAD1y=-LAD1*cos(Phi); RAEx=LAE*sin(Phi); RAEy=-LAE*cos(Phi); REFx=-LEF*sin(Beta); REFy=LEF*cos(Beta); RBFx=(-P+LAE*sin(Phi)-LEF*sin(Beta));

%*********************************************************** %***************** VELOCIDAD ************************** %***********************************************************



PHIT=[LBC*cos(Phi-Theta)*ThetaP;0];

%qp=[PhiP,BetaP]=inv(J)*PHIT; Inversa=inv(J);

qp=-inv(J)*PHIT; PhiP=qp(1); BetaP=qp(2); % PhiP=((LBC*cos(Phi-Theta))*ThetaP)/((LBC*cos(Phi-Theta))+H*cos(Phi)-

P*sin(Phi)); % BetaP=(LAE*sin(Phi)*PhiP)/(LEF*sin(Beta));

ANEXOS ANEXO C

%Velocidad de los eslabones

% Calculamos LACP, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir


LACP=((-

LBC*sin(Theta)*ThetaP)/cos(Phi))+(((LBC*cos(Theta)+H)*sin(Phi)*PhiP)/((co

s(Phi))^2)); else

LACP=((LBC*cos(Theta)*ThetaP)/sin(Phi))-(((LBC*sin(Theta)-

P)*cos(Phi)*PhiP)/((sin(Phi))^2)); end

RBB1xP=LBB1*cos(Theta)*ThetaP; RBB1yP=-(LBB1)*sin(Theta)*ThetaP; RBCxP=(LBB1-LCB1)*cos(Theta)*ThetaP; RBCyP=-(LBB1-LCB1)*sin(Theta)*ThetaP; RACxP=LACP*sin(Phi)+(LAC*cos(Phi)*PhiP); RACyP=LACP*cos(Phi)-(LAC*sin(Phi)*PhiP); RADxP=LAD*cos(Phi)*PhiP; RADyP=-LAD*sin(Phi)*PhiP; RAD1xP=-LAD1*cos(Phi)*PhiP; RAD1yP=LAD1*sin(Phi)*PhiP; RAExP=-LAE*cos(Phi)*PhiP; RAEyP=LAE*sin(Phi)*PhiP; REFxP=-LEF*cos(Beta)*BetaP; REFyP=-LEF*sin(Beta)*BetaP; RBFxP=LAE*cos(Phi)*PhiP-LEF*cos(Beta)*BetaP;

%*********************************************************** %***************** ACELERACION ************************ %***********************************************************



%Definimos la matriz PHITP PHITP=[(LBC*cos(Phi-Theta)*ThetaPP)-LBC*sin(Phi-Theta)*(PhiP-

ThetaP)*ThetaP;0];

%Definimos la matriz JP JP=[(LBC*sin(Phi-Theta)*(PhiP-

ThetaP))+(H*sin(Phi)*PhiP)+P*cos(Phi)*PhiP,0; LAE*cos(Phi)*PhiP,-LEF*cos(Beta)*BetaP];

qpp=-inv(J)*(JP*[PhiP;BetaP]+PHITP); PhiPP=qpp(1); BetaPP=qpp(2);

ANEXOS ANEXO C

%Aceleracion de los eslabones

%Calculamos LACPP, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir


LACPPA1=((-LBC*cos(Theta)*(ThetaP^2))-

(LBC*sin(Theta)*ThetaPP))/cos(Phi); LACPPA2=(LBC*sin(Theta)*sin(Phi)*ThetaP*PhiP)/((cos(Phi))^2); LACPPA3=((LBC*sin(Theta)*ThetaP)*(sin(Phi)*PhiP))/((cos(Phi))^2); LACPPA4=((LBC*cos(Theta)+H)*sin(Phi)*PhiPP)/((cos(Phi))^2); LACPPA5=((LBC*cos(Theta)+H)*cos(Phi)*PhiP^2)/((cos(Phi))^2); LACPPA6=(2*(LBC*cos(Theta)+H)*((sin(Phi))^2)*PhiP^2)/((cos(Phi))^3);

LACPP=LACPPA1-LACPPA2-LACPPA3+LACPPA4+LACPPA5+LACPPA6;

else

%LACP=((LBC*cos(Theta)*ThetaP)/sin(Phi))-(((LBC*sin(Theta)-

P)*cos(Phi)*PhiP)/((sin(Phi))^2));

LACPPB1=((LBC*cos(Theta)*ThetaPP)-

(LBC*sin(Theta)*ThetaP^2))/sin(Phi); LACPPB2=(LBC*cos(Theta)*cos(Phi)*ThetaP*PhiP)/((sin(Phi))^2); LACPPB3=(LBC*cos(Theta)*cos(Phi)*ThetaP*PhiP)/((sin(Phi))^2); LACPPB4=((LBC*sin(Theta)-P)*cos(Phi)*PhiPP)/((sin(Phi))^2); LACPPB5=((LBC*sin(Theta)-P)*sin(Phi)*PhiP^2)/((sin(Phi))^2); LACPPB6=(2*(LBC*sin(Theta)-P)*((cos(Phi))^2)*PhiP^2)/((sin(Phi))^3);

LACPP=LACPPB1-LACPPB2-LACPPB3-LACPPB4+LACPPB5+LACPPB6;

end


RBB1xPP=(LBB1*cos(Theta)*ThetaPP)-(LBB1*sin(Theta)*ThetaP^2); RBB1yPP=(-(LBB1)*sin(Theta)*ThetaPP)-(LBB1*cos(Theta)*ThetaP^2); RBCxPP=((LBB1-LCB1)*cos(Theta)*ThetaPP)-(LBC*sin(Theta)*ThetaP^2); RBCyPP=(-(LBB1-LCB1)*sin(Theta)*ThetaPP)-(LBC*cos(Theta)*ThetaP^2); RACxPP=(LACPP*sin(Phi))+(LACP*cos(Phi)*PhiP)+(LACP*cos(Phi)*PhiP)+(LAC*co

s(Phi)*PhiPP)-(LAC*sin(Phi)*PhiP^2); RACyPP=(LACPP*cos(Phi))-(LACP*sin(Phi)*PhiP)-(LACP*sin(Phi)*PhiP)-

(LAC*sin(Phi)*PhiPP)-(LAC*cos(Phi)*PhiP^2); RADxPP=(LAD*cos(Phi)*PhiPP)-(LAD*sin(Phi)*PhiP^2); RADyPP=(-LAD*sin(Phi)*PhiPP)-(LAD*cos(Phi)*PhiP^2); RAD1xPP=(-LAD1*cos(Phi)*PhiPP)+(LAD1*sin(Phi)*PhiP^2); RAD1yPP=(LAD1*sin(Phi)*PhiPP)+(LAD1*cos(Phi)*PhiP^2); RAExPP=(-LAE*cos(Phi)*PhiPP)+(LAE*sin(Phi)*PhiP^2); RAEyPP=(LAE*sin(Phi)*PhiPP)+(LAE*cos(Phi)*PhiP^2); REFxPP=(-LEF*cos(Beta)*BetaPP)+(LEF*sin(Beta)*BetaP^2); REFyPP=(-LEF*sin(Beta)*BetaPP)-(LEF*cos(Beta)*BetaP^2);

ANEXOS ANEXO C

RBFxPP=(LAE*cos(Phi)*PhiPP)-(LAE*sin(Phi)*PhiP^2)-

(LEF*cos(Beta)*BetaPP)+(LEF*sin(Beta)*BetaP^2);

%*********************************************************** %***************** IMPRESIONES ************************ %***********************************************************

fprintf('i= %g \n',contador); fprintf('Theta(Deg)= %g \n',t); fprintf('Phi= %g \n',Phi*180/pi); fprintf('Beta= %g \n',Beta*180/pi); fprintf('LAC= %g \n',LAC); fprintf('RBFx= %g \n',RBFx); fprintf('ThetaP= %g \n',ThetaP); fprintf('PhiP= %g \n',PhiP); % fprintf('BetaP= %g \n',BetaP*180/pi); % fprintf('RBFxP= %g \n',RBFxP); fprintf('LACP= %g \n',LACP); % fprintf('Beta= %g \n',Beta*180/pi); % fprintf('LAC= %g \n',LAC); fprintf('ThetaPP= %g \n',ThetaPP); fprintf('PhiPP= %g \n',PhiPP); fprintf('LACPP= %g \n',LACPP); % fprintf('BetaP= %g \n',BetaP*180/pi); % fprintf('LACP= %g \n',LACP); % fprintf('ThetaPP= %g \n',ThetaPP); % fprintf('PhiPP= %g \n',PhiPP); % fprintf('BetaPP= %g \n',BetaPP); fprintf('\n\n');



PhiDataP(t+1)=(PhiP)*180/pi; BetaDataP(t+1)=(BetaP)*180/pi; RBFxDataP(t+1)=RBFxP; LACDataP(t+1)=LACP+PhiDataP(t+1);

PhiDataPP(t+1)=(PhiPP)*180/pi; BetaDataPP(t+1)=(BetaPP)*180/pi; RBFxDataPP(t+1)=RBFxPP; LACDataPP(t+1)=LACPP+PhiDataPP(t+1);

ANEXOS ANEXO C


axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBB1x],[0,RBB1y],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBCx],[0,RBCy],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RACx-P],[-H,RACy-H],'b-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RADx-P],[-H,RADy-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAD1x-P],[-H,RAD1y-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAEx-P],[-H,RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P+RAEx,-P+ REFx+RAEx],[RAEy-H,REFy+RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBFx],[0,-m],'k-o','LineWidth',1.5) hold on

hold off


pause(0.1);

end close all;


for i=0:inc:360 % fprintf('i= %g \n',i); % fprintf('ThetaData(i)= %g \n',ThetaData(i+1)); % fprintf('PhiData(i)= %g \n',PhiData(i+1)); % fprintf('BetaData(i)= %g \n',BetaData(i+1)); % fprintf('\n \n');

axis([-10 400 0 170]); grid on;

ANEXOS ANEXO C

% plot(ThetaData(i+1),PhiData(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxData(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5)

plot(ThetaData(i+1),PhiDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5)

% plot(ThetaData(i+1),PhiDataPP(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5)

hold on

end

ANEXOS ANEXO C

ANEXOS ANEXO D


Cinematica_CG_4.m (MATLAB) Cinematica CG.wm2d (Working Model) Utilizando las coordenadas de punto de referencia se muestran las ecuaciones que definen la posición, velocidad y aceleración del centro de gravedad de cada uno de los eslabones del mecanismo de Whitworth.

Cinemática_CG_4.m


clear all %clears al variables and functions clc %clears the command window and homes the curso close all %closes all the open figure windows



entrada % Theta.

contador=0; inc=10;




ANEXO D

ANEXOS ANEXO D



RBB1CMxData=(0:inc:360); RBB1CMyData=(0:inc:360); RBB1CMxDataP=(0:inc:360); RBB1CMyDataP=(0:inc:360); RBB1CMxDataPP=(0:inc:360); RBB1CMyDataPP=(0:inc:360);

RDD1CMxData=(0:inc:360); RDD1CMyData=(0:inc:360); RDD1CMxDataP=(0:inc:360); RDD1CMyDataP=(0:inc:360); RDD1CMxDataPP=(0:inc:360); RDD1CMyDataPP=(0:inc:360);

REFCMxData=(0:inc:360); REFCMyData=(0:inc:360); REFCMxDataP=(0:inc:360); REFCMyDataP=(0:inc:360); REFCMxDataPP=(0:inc:360); REFCMyDataPP=(0:inc:360);

RFCMxData=(0:inc:360); RFCMyData=(0:inc:360); RFCMxDataP=(0:inc:360); RFCMyDataP=(0:inc:360); RFCMxDataPP=(0:inc:360); RFCMyDataPP=(0:inc:360);

RCCMxData=(0:inc:360); RCCMyData=(0:inc:360); RCCMxDataP=(0:inc:360); RCCMyDataP=(0:inc:360); RCCMxDataPP=(0:inc:360); RCCMyDataPP=(0:inc:360);

ANEXOS ANEXO D


% Magnitudes de los eslabones


% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2; RBA=[-P;-H];

% Velocidad ángular de entrada ThetaP=100*pi/180;


% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));

ANEXOS ANEXO D

% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2));

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************


implementación




end




end





ANEXOS ANEXO D





LACH=LAC;


J=[-LACH*cos(Phi),-sin(Phi),0,0; -LACH*sin(Phi),cos(Phi),0,0; LAE*cos(Phi),0,-LEF*cos(Beta),-1; LAE*sin(Phi),0,-LEF*sin(Beta),0];



% Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a (X,Y) Mtz_TBB1=[cos(Theta),-sin(Theta);sin(Theta),cos(Theta)]; Mtz_TDD1=[cos(Phi),-sin(Phi);sin(Phi),cos(Phi)]; Mtz_TEF=[cos(Beta),-sin(Beta);sin(Beta),cos(Beta)];

% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2));

ANEXOS ANEXO D

% Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[RAEx;RAEy]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2)); % Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBF=[RBFx;-m]; RFCM=RBF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAC=[RACx;RACy]; RCCM=RBA+RAC+Mtz_TDD1*UV_ELmC; RCCMx=RCCM((1)); RCCMy=RCCM((2));

%*********************************************************** %***************** VELOCIDAD ************************** %***********************************************************



Inversa=inv(J);

PHIT=[LBC*cos(Theta)*ThetaP;LBC*sin(Theta)*ThetaP;0;0];

%qp=[PhiP,BetaP]=inv(J)*PHIT; qp=-inv(J)*PHIT;

PhiP=qp(1); LACP=qp(2); BetaP=qp(3); RBFxP=qp(4);

%Definimos las velocidades de los eslabones

RBB1xP=-LBB1*cos(Theta)*ThetaP; RBB1yP=-(LBB1)*sin(Theta)*ThetaP; RBCxP=-(LBB1-LCB1)*cos(Theta)*ThetaP; RBCyP=-(LBB1-LCB1)*sin(Theta)*ThetaP; RACxP=-LACP*sin(Phi)-(LAC*cos(Phi)*PhiP); RACyP=LACP*cos(Phi)-(LAC*sin(Phi)*PhiP); RADxP=-LAD*cos(Phi)*PhiP; RADyP=-LAD*sin(Phi)*PhiP; RAD1xP=LAD1*cos(Phi)*PhiP; RAD1yP=LAD1*sin(Phi)*PhiP; RAExP=LAE*cos(Phi)*PhiP; RAEyP=LAE*sin(Phi)*PhiP; REFxP=-LEF*cos(Beta)*BetaP; REFyP=-LEF*sin(Beta)*BetaP; % RBFxP=+LAE*cos(Phi)*PhiP-LEF*cos(Beta)*BetaP;

ANEXOS ANEXO D

% Derivada Matriz de Transformacion Del sistema de coordenadas (U,V) a

(X,Y) Mtz_TBB1P=[-sin(Theta),-cos(Theta);cos(Theta),-sin(Theta)]; Mtz_TDD1P=[-sin(Phi),-cos(Phi);cos(Phi),-sin(Phi)]; Mtz_TEFP=[-sin(Beta),-cos(Beta);cos(Beta),-sin(Beta)];

% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*PhiP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAEP=[RAExP;RAEyP] REFCMP=RAEP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*BetaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBFP=[RBFxP;0]; RFCMP=RBFP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RACP=[RACxP;RACyP]; RCCMP=RACP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC; RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2));

%*********************************************************** %***************** ACELERACION ************************ %***********************************************************



%Definimos la matriz PHITP PHITP=[LBC*cos(Theta)*ThetaPP-

LBC*sin(Theta)*ThetaP^2;LBC*sin(Theta)*ThetaPP+LBC*cos(Theta)*ThetaP^2;0;

0];

%Definimos la matriz JP JP=[(LACH*sin(Phi)*PhiP)-LACP*cos(Phi),-cos(Phi)*PhiP,0,0; -LACH*cos(Phi)*PhiP-LACP*sin(Phi),-sin(Phi)*PhiP,0,0; -LAE*sin(Phi)*PhiP,0,LEF*sin(Beta)*BetaP,0; LAE*cos(Phi)*PhiP,0,-LEF*cos(Beta)*BetaP,0];

ANEXOS ANEXO D

qpp=-inv(J)*(JP*[PhiP;LACP;BetaP;RBFxP]+PHITP);

%qpp=-inv(J)*(JP*[PhiP;BetaP]+PHITP);

PhiPP=qpp(1); LACPP=qpp(2); BetaPP=qpp(3); RBFxPP=qpp(4);




(LAC*sin(Phi)*PhiPP)-(LAC*cos(Phi)*PhiP^2); RADxPP=-(LAD*cos(Phi)*PhiPP)+(LAD*sin(Phi)*PhiP^2); RADyPP=(-LAD*sin(Phi)*PhiPP)-(LAD*cos(Phi)*PhiP^2); RAD1xPP=(LAD1*cos(Phi)*PhiPP)-(LAD1*sin(Phi)*PhiP^2); RAD1yPP=(LAD1*sin(Phi)*PhiPP)+(LAD1*cos(Phi)*PhiP^2); RAExPP=(LAE*cos(Phi)*PhiPP)-(LAE*sin(Phi)*PhiP^2); RAEyPP=(LAE*sin(Phi)*PhiPP)+(LAE*cos(Phi)*PhiP^2); REFxPP=(-LEF*cos(Beta)*BetaPP)+(LEF*sin(Beta)*BetaP^2); REFyPP=(-LEF*sin(Beta)*BetaPP)-(LEF*cos(Beta)*BetaP^2); % RBFxPP=(LAE*cos(Phi)*PhiPP)-(LAE*sin(Phi)*PhiP^2)-


% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*PhiPP-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*PhiP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAEPP=[RAExPP;RAEyPP]; REFCMPP=RAEPP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*BetaPP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*BetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBFPP=[RBFxPP;0]; RFCMPP=RBFPP; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RACPP=[RACxPP;RACyPP]; RCCMPP=RACPP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*PhiPP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*PhiP^2; RCCMxPP=RCCMPP((1)); RCCMyPP=RCCMPP((2));

ANEXOS ANEXO D

%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Velocidad **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial

%Solución mediante, manipulación de ecuaciones.

KPhi=(LBC/LACH)*cos(Phi-Theta);

if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 KLAC=((LACH*sin(Phi)*KPhi)-(LBC*sin(Theta)))/(cos(Phi)); else KLAC=((-LACH*cos(Phi)*KPhi)+(LBC*cos(Theta)))/(sin(Phi)); end

KBeta=(LAE*sin(Phi)*KPhi)/(LEF*sin(Beta)); KRBFx=(LAE*cos(Phi)*KPhi)-(LEF*cos(Beta)*KBeta);

%Solución mediante, Jacobiano % J*Kq+Kphi=0; Kq=-inv(J)Kphi

InversaJ=inv(J); KPHIT=[LBC*cos(Theta);LBC*sin(Theta);0;0]; Kq=-inv(J)*KPHIT;

%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial


LPhi=((-LBC/LACH)*sin(Phi-Theta)*(PhiP-ThetaP))-((LACP*KPhi)/LACH);


LLAC=((LACH*sin(Phi)*LPhi)+((LACP*sin(Phi)+LACH*cos(Phi)*PhiP)*KPhi)+(sin

(Phi)*PhiP*KLAC)+(-LBC*cos(Theta)*ThetaP))/cos(Phi); else LLAC=((-LACH*cos(Phi)*LPhi)+((-

LACP*cos(Phi)+LACH*sin(Phi)*PhiP)*KPhi)+(-cos(Phi)*PhiP*KLAC)+(-

LBC*sin(Theta)*ThetaP))/sin(Phi); end

LBeta=((LAE*sin(Phi)*LPhi)+(LAE*cos(Phi)*PhiP*KPhi)+(-

LEF*cos(Beta)*BetaP*KBeta))/(LEF*sin(Beta)); LRBFx=(LAE*cos(Phi)*LPhi)+(-LEF*cos(Beta)*LBeta)+(-

LAE*sin(Phi)*PhiP*KPhi)+(LEF*sin(Beta)*BetaP*KBeta);

ANEXOS ANEXO D

%Solución matricial mediante, Jacobiano %$JLq+JPKq+KPHITP=0; Lq=-inv(J)*(JPKq+KPHITP)

KPHITP=[-LBC*sin(Theta)*ThetaP;LBC*cos(Theta)*ThetaP;0;0]; Lq=-inv(J)*((JP*Kq)+(KPHITP));

%*********************************************************** %************** OBTENCIÓN DE THETAPP Pos1***************** %*********************************************************** % (((J*Lq)+KPHIT)*ThetaPP)+(((JP*Kq)+KPHITP)*ThetaP)=0; % Sigue estando confuso.

% ThtINVEL1=((JP*Kq)+KPHITP)*ThetaP; % ThtINVEL2=((J*Lq)+KPHIT ); % % ThetaPPINV1=-ThtINVEL1((1))/ThtINVEL2((1)); % ThetaPPINV2=-ThtINVEL1((2))/ThtINVEL2((2)); % ThetaPPINV3=-ThtINVEL1((3))/ThtINVEL2((3)); % ThetaPPINV4=-ThtINVEL1((4))/ThtINVEL2((4));

% ThetaPPINV=[ThetaPPINV1;ThetaPPINV2;ThetaPPINV3;ThetaPPINV4];

%*********************************************************** %************** OBTENCIÓN DE THETAPP Pos2***************** %*********************************************************** % ((J*Kq)+KPHIT)*ThetaPP+((JP*Kq)+(J*Lq)+KPHITP)*ThetaP=0; % Sigue estando confuso.

% ThtINVEL1=((JP*Kq)+(J*Lq)+KPHITP)*ThetaP; % ThtINVEL2=((J*Kq)+KPHIT); % % ThetaPPINV1=-ThtINVEL1((1))/ThtINVEL2((1)); % ThetaPPINV2=-ThtINVEL1((2))/ThtINVEL2((2)); % ThetaPPINV3=-ThtINVEL1((3))/ThtINVEL2((3)); % ThetaPPINV4=-ThtINVEL1((4))/ThtINVEL2((4)); % % ThetaPPINV=[ThetaPPINV1;ThetaPPINV2;ThetaPPINV3;ThetaPPINV4];

%*********************************************************** %************ Definición de QP y QPP ******************** %*********************************************************** % QP=[PhiP,LACP,BetaP,RBFxP]; % QPP=[PhiPP,LACPP,BetaPP,RBFxPP];

QP=Kq*ThetaP; QPP=Kq*ThetaPP+Lq*ThetaP;

ANEXOS ANEXO D

%*********************************************************** %******** OBTENCIÓN DE THETAP MEDIANTE QP ************* %*********************************************************** % ThetaPINV=(Kq'/QP')';

ThtP1=QP((1))/Kq((1)); ThtP2=QP((2))/Kq((2)); ThtP3=QP((3))/Kq((3)); ThtP4=QP((4))/Kq((4)); ThtP=[ThtP1;ThtP2;ThtP3;ThtP4]; % ThetaPINV=(QP/Kq);

%*********************************************************** %******* OBTENCIÓN DE THETAP MEDIANTE QPP ************* %*********************************************************** % QPP=Kq*ThetaPP+Lq*ThetaP;

ThtPP1=(QPP((1))-Lq((1))*ThetaP)/Kq((1)); ThtPP2=(QPP((2))-Lq((2))*ThetaP)/Kq((2)); ThtPP3=(QPP((3))-Lq((3))*ThetaP)/Kq((3)); ThtPP4=(QPP((4))-Lq((4))*ThetaP)/Kq((4)); ThtPP=[ThtPP1;ThtPP2;ThtPP3;ThtPP4];

%*********************************************************** %***************** IMPRESIONES ************************ %***********************************************************

fprintf('i= %g \n',contador); fprintf('Theta(Deg)= %g \n',t); % fprintf('Phi= %g \n',Phi*180/pi); % fprintf('Beta= %g \n',Beta*180/pi); % fprintf('LAC= %g \n',LAC); % fprintf('RBFx= %g \n',RBFx); % fprintf('ThetaP= %g \n',ThetaP); % fprintf('PhiP= %g \n',PhiP); % fprintf('LACP= %g \n',LACP); % fprintf('BetaP= %g \n',BetaP); % fprintf('RBFxP= %g \n',RBFxP); % fprintf('ThetaPP= %g \n',ThetaPP); % fprintf('PhiPP= %g \n',PhiPP); % fprintf('LACPP= %g \n',LACPP); % fprintf('BetaPP= %g \n',BetaPP); % fprintf('RBFxPP= %g \n',RBFxPP); % fprintf('KPhi= %g \n',KPhi); % fprintf('KLAC= %g \n',KLAC); % fprintf('KBeta= %g \n',KBeta); % fprintf('KRBFx= %g \n',KRBFx); % fprintf('LPhi= %g \n',LPhi); % fprintf('LLAC= %g \n',LLAC); % fprintf('LBeta= %g \n',LBeta); % fprintf('LRBFx= %g \n',LRBFx); % fprintf('ThtP= %g \n',ThtP); % fprintf('ThtPP= %g \n',ThtPP); % fprintf('RBB1CMx= %g \n',RBB1CMx);

ANEXOS ANEXO D

% fprintf('RBB1CMy= %g \n',RBB1CMy); % fprintf('RDD1CMx= %g \n',RDD1CMx); % fprintf('RDD1CMy= %g \n',RDD1CMy); % fprintf('RCCMx= %g \n',RCCMx); % fprintf('RCCMy= %g \n',RCCMy); fprintf('REFCMxP= %g \n',REFCMxP); fprintf('REFCMyP= %g \n',REFCMyP); fprintf('\n\n');





RBB1CMxData(t+1)=RBB1CMx; RBB1CMyData(t+1)=RBB1CMy; RBB1CMxDataP(t+1)=RBB1CMxP; RBB1CMyDataP(t+1)=RBB1CMyP; RBB1CMxDataPP(t+1)=RBB1CMxPP; RBB1CMyDataPP(t+1)=RBB1CMyPP;

RDD1CMxData(t+1)=RDD1CMx; RDD1CMyData(t+1)=RDD1CMy; RDD1CMxDataP(t+1)=RDD1CMxP; RDD1CMyDataP(t+1)=RDD1CMyP; RDD1CMxDataPP(t+1)=RDD1CMxPP; RDD1CMyDataPP(t+1)=RDD1CMyPP;

REFCMxData(t+1)=REFCMx; REFCMyData(t+1)=REFCMy; REFCMxDataP(t+1)=REFCMxP; REFCMyDataP(t+1)=REFCMyP; REFCMxDataPP(t+1)=REFCMxPP; REFCMyDataPP(t+1)=REFCMyPP;

ANEXOS ANEXO D

RFCMxData(t+1)=RFCMx; RFCMyData(t+1)=RFCMy; RFCMxDataP(t+1)=RFCMxP; RFCMyDataP(t+1)=RFCMyP; RFCMxDataPP(t+1)=RFCMxPP; RFCMyDataPP(t+1)=RFCMyPP;

RCCMxData(t+1)=RCCMx; RCCMyData(t+1)=RCCMy; RCCMxDataP(t+1)=RCCMxP; RCCMyDataP(t+1)=RCCMyP; RCCMxDataPP(t+1)=RCCMxPP; RCCMyDataPP(t+1)=RCCMyPP;


axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBB1x],[0,RBB1y],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBCx],[0,RBCy],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RACx-P],[-H,RACy-H],'b-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RADx-P],[-H,RADy-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAD1x-P],[-H,RAD1y-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAEx-P],[-H,RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P+RAEx,-P+ REFx+RAEx],[RAEy-H,REFy+RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBFx],[0,-m],'k-o','LineWidth',1.5) hold on hold off


pause(0.1);

end close all;

ANEXOS ANEXO D


for i=0:inc:360

axis([0 400 -60 60]); grid on;

% plot(ThetaData(i+1),PhiData(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxData(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % % plot(ThetaData(i+1),PhiDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % % plot(ThetaData(i+1),PhiDataPP(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5)

% plot(ThetaData(i+1),RBB1CMxData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBB1CMyData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBB1CMxDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBB1CMyDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBB1CMxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBB1CMyDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

% plot(ThetaData(i+1),RDD1CMxData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RDD1CMyData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RDD1CMxDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RDD1CMyDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RDD1CMxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RDD1CMyDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

plot(ThetaData(i+1),REFCMxData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) plot(ThetaData(i+1),REFCMyData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),REFCMxDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),REFCMyDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),REFCMxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),REFCMyDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

ANEXOS ANEXO D

% plot(ThetaData(i+1),RFCMxData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RFCMyData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RFCMxDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RFCMyDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RFCMxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RFCMyDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

% plot(ThetaData(i+1),RCCMxData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RCCMyData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RCCMxDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RCCMyDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RCCMxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RCCMyDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

hold on

end

ANEXOS ANEXO D

ANEXOS ANEXO E


Cinematica_CG_2.m (MATLAB) Cinematica CG.wm2d (Working Model) Utilizando las coordenadas de punto de referencia se muestran las ecuaciones que definen la posición, velocidad y aceleración del centro de gravedad de cada uno de los eslabones del mecanismo de Whitworth.

Cinemática_CG_2.m





entrada % Theta.

contador=0; inc=10;





ANEXO E

ANEXOS ANEXO E


RBB1CMxData=(0:inc:360); RBB1CMyData=(0:inc:360); RBB1CMxDataP=(0:inc:360); RBB1CMyDataP=(0:inc:360); RBB1CMxDataPP=(0:inc:360); RBB1CMyDataPP=(0:inc:360);

RDD1CMxData=(0:inc:360); RDD1CMyData=(0:inc:360); RDD1CMxDataP=(0:inc:360); RDD1CMyDataP=(0:inc:360); RDD1CMxDataPP=(0:inc:360); RDD1CMyDataPP=(0:inc:360);

REFCMxData=(0:inc:360); REFCMyData=(0:inc:360); REFCMxDataP=(0:inc:360); REFCMyDataP=(0:inc:360); REFCMxDataPP=(0:inc:360); REFCMyDataPP=(0:inc:360);

RFCMxData=(0:inc:360); RFCMyData=(0:inc:360); RFCMxDataP=(0:inc:360); RFCMyDataP=(0:inc:360); RFCMxDataPP=(0:inc:360); RFCMyDataPP=(0:inc:360);

RCCMxData=(0:inc:360); RCCMyData=(0:inc:360); RCCMxDataP=(0:inc:360); RCCMyDataP=(0:inc:360); RCCMxDataPP=(0:inc:360); RCCMyDataPP=(0:inc:360);

ANEXOS ANEXO E


%Magnitudes de los eslabones


%Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = 3; m = 2; RBA=[-P;-H];

%Velocidad ángular de entrada ThetaP=100*pi/180;


% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC];

ANEXOS ANEXO E

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************


implementación




end




end





ANEXOS ANEXO E

%Calculamos LAC, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir %NOTA: Para calcular la componente y, es necesario restar H





J=[-LBC*cos(Phi-Theta)-H*cos(Phi)+P*sin(Phi),0; LAE*sin(Phi),-LEF*sin(Beta)];




% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[RAEx;RAEy]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2));

ANEXOS ANEXO E

% Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBF=[RBFx;-m]; RFCM=RBF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAC=[RACx;RACy]; RCCM=RBA+RAC+Mtz_TDD1*UV_ELmC; RCCMx=RCCM((1)); RCCMy=RCCM((2));

%*********************************************************** %***************** VELOCIDAD ************************** %***********************************************************



PHIT=[LBC*cos(Phi-Theta)*ThetaP;0];

%qp=[PhiP,BetaP]=inv(J)*PHIT; Inversa=inv(J);

qp=-inv(J)*PHIT; PhiP=qp(1); BetaP=qp(2);




LACP=((-


s(Phi))^2)); else



RBB1xP=-LBB1*cos(Theta)*ThetaP; RBB1yP=-(LBB1)*sin(Theta)*ThetaP; RBCxP=-(LBB1-LCB1)*cos(Theta)*ThetaP; RBCyP=-(LBB1-LCB1)*sin(Theta)*ThetaP; RACxP=-LACP*sin(Phi)-(LAC*cos(Phi)*PhiP); RACyP=LACP*cos(Phi)-(LAC*sin(Phi)*PhiP); RADxP=-LAD*cos(Phi)*PhiP; RADyP=-LAD*sin(Phi)*PhiP; RAD1xP=LAD1*cos(Phi)*PhiP;

ANEXOS ANEXO E

RAD1yP=LAD1*sin(Phi)*PhiP; RAExP=LAE*cos(Phi)*PhiP; RAEyP=LAE*sin(Phi)*PhiP; REFxP=-LEF*cos(Beta)*BetaP; REFyP=-LEF*sin(Beta)*BetaP; RBFxP=LAE*cos(Phi)*PhiP-LEF*cos(Beta)*BetaP;



% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*PhiP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAEP=[RAExP;RAEyP]; REFCMP=RAEP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*BetaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBFP=[RBFxP;0]; RFCMP=RBFP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RACP=[RACxP;RACyP]; RCCMP=RACP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC; RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2));

%*********************************************************** %***************** ACELERACION ************************ %***********************************************************



%Definimos la matriz PHITP

PHITP=[(LBC*cos(Phi-Theta)*ThetaPP)-LBC*sin(Phi-Theta)*(PhiP-

ThetaP)*ThetaP;0];

ANEXOS ANEXO E

%Definimos la matriz JP

JP=[(LBC*sin(Phi-Theta)*(PhiP-

ThetaP))+(H*sin(Phi)*PhiP)+P*cos(Phi)*PhiP,0; LAE*cos(Phi)*PhiP,-LEF*cos(Beta)*BetaP];

% JP=[(-(LBC*sin(Theta)+P)*cos(Phi)*PhiP)-

(LBC*cos(Theta)*ThetaP*sin(Phi))+((LBC*cos(Theta)+H)*sin(Phi)*PhiP)+(LBC*

sin(Theta)*ThetaP*cos(Phi)),0; % (LAE*cos(Phi)*PhiP),-LEF*cos(Beta)*BetaP];

qpp=-inv(J)*(JP*[PhiP;BetaP]+PHITP); PhiPP=qpp(1); BetaPP=qpp(2);

%Aceleracion de los eslabones

%Calculamos LACPP, pero hay dos ecuaciones que tenemos que distinguir


LACPPA1=((-LBC*cos(Theta)*(ThetaP^2))-

(LBC*sin(Theta)*ThetaPP))/cos(Phi); LACPPA2=(LBC*sin(Theta)*sin(Phi)*ThetaP*PhiP)/((cos(Phi))^2); LACPPA3=((LBC*sin(Theta)*ThetaP)*(sin(Phi)*PhiP))/((cos(Phi))^2); LACPPA4=((LBC*cos(Theta)+H)*sin(Phi)*PhiPP)/((cos(Phi))^2); LACPPA5=((LBC*cos(Theta)+H)*cos(Phi)*PhiP^2)/((cos(Phi))^2); LACPPA6=(2*(LBC*cos(Theta)+H)*((sin(Phi))^2)*PhiP^2)/((cos(Phi))^3);

LACPP=LACPPA1-LACPPA2-LACPPA3+LACPPA4+LACPPA5+LACPPA6;

else

LACPPB1=((LBC*cos(Theta)*ThetaPP)-

(LBC*sin(Theta)*ThetaP^2))/sin(Phi); LACPPB2=(LBC*cos(Theta)*cos(Phi)*ThetaP*PhiP)/((sin(Phi))^2); LACPPB3=(LBC*cos(Theta)*cos(Phi)*ThetaP*PhiP)/((sin(Phi))^2); LACPPB4=((LBC*sin(Theta)-P)*cos(Phi)*PhiPP)/((sin(Phi))^2); LACPPB5=((LBC*sin(Theta)-P)*sin(Phi)*PhiP^2)/((sin(Phi))^2); LACPPB6=(2*(LBC*sin(Theta)-P)*((cos(Phi))^2)*PhiP^2)/((sin(Phi))^3);

LACPP=LACPPB1-LACPPB2-LACPPB3-LACPPB4+LACPPB5+LACPPB6;

end

ANEXOS ANEXO E




(LAC*sin(Phi)*PhiPP)-(LAC*cos(Phi)*PhiP^2); RADxPP=-(LAD*cos(Phi)*PhiPP)+(LAD*sin(Phi)*PhiP^2); RADyPP=(-LAD*sin(Phi)*PhiPP)-(LAD*cos(Phi)*PhiP^2); RAD1xPP=(LAD1*cos(Phi)*PhiPP)-(LAD1*sin(Phi)*PhiP^2); RAD1yPP=(LAD1*sin(Phi)*PhiPP)+(LAD1*cos(Phi)*PhiP^2); RAExPP=(LAE*cos(Phi)*PhiPP)-(LAE*sin(Phi)*PhiP^2); RAEyPP=(LAE*sin(Phi)*PhiPP)+(LAE*cos(Phi)*PhiP^2); REFxPP=(-LEF*cos(Beta)*BetaPP)+(LEF*sin(Beta)*BetaP^2); REFyPP=(-LEF*sin(Beta)*BetaPP)-(LEF*cos(Beta)*BetaP^2); RBFxPP=(LAE*cos(Phi)*PhiPP)-(LAE*sin(Phi)*PhiP^2)-


% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*PhiPP-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*PhiP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAEPP=[RAExPP;RAEyPP]; REFCMPP=RAEPP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*BetaPP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*BetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBFPP=[RBFxPP;0]; RFCMPP=RBFPP; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RACPP=[RACxPP;RACyPP]; RCCMPP=RACPP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*PhiPP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*PhiP^2; RCCMxPP=RCCMPP((1)); RCCMyPP=RCCMPP((2));

ANEXOS ANEXO E



%NOTA: tuve que cambiar el signo de KPhi. Tenemos que revisar las %ecuaciones

KPhi=(LBC*cos(Phi-Theta))/((LBC*cos(Phi-Theta))+(H*cos(Phi))-

(P*sin(Phi))); KBeta=(LAE*sin(Phi)*KPhi)/(LEF*sin(Beta));

%Solución mediante, Jacobiano % J*Kq+Kphi=0; Kq=-inv(J)Kphi

InversaJ=inv(J); KPHIT=[-LBC*cos(Phi-Theta);0]; Kq=-inv(J)*KPHIT;

%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Se puede resolver por manipulacion de ecuaciones o de forma matricial


%NOTA: tuve que cambiar el signo de LPhi. Tenemos que revisar las %ecuaciones

LPhi=(((-LBC*sin(Phi-Theta)*(PhiP-ThetaP))*(LBC*cos(Phi-

Theta)+H*cos(Phi)-P*sin(Phi)))-((LBC*cos(Phi-Theta))*(-LBC*sin(Phi-

Theta)*(PhiP-ThetaP)-H*sin(Phi)*PhiP-P*cos(Phi)*PhiP)))/((LBC*cos(Phi-

Theta)+H*cos(Phi)-P*sin(Phi))^2); LBeta=(((((LAE*sin(Phi))*LPhi)+(LAE*cos(Phi)*PhiP*KPhi))*(LEF*sin(Beta)))

-((LAE*sin(Phi)*KPhi)*(LEF*cos(Beta)*BetaP)))/((LEF*sin(Beta))^2);

%Solución matricial mediante, Jacobiano %$JLq+JPKq+KPHITP=0; Lq=-inv(J)*(JPKq+KPHITP)

KPHITP=[LBC*sin(Phi-Theta)*(PhiP-ThetaP);0]; Lq=-inv(J)*((JP*Kq)+(KPHITP));

ANEXOS ANEXO E

%*********************************************************** %************ Definición de QP y QPP ******************** %*********************************************************** % QP=[PhiP,LACP,BetaP,RBFxP]; % QPP=[PhiPP,LACPP,BetaPP,RBFxPP];

QP=Kq*ThetaP; QPP=Kq*ThetaPP+Lq*ThetaP;

%*********************************************************** %******** OBTENCIÓN DE THETAP MEDIANTE QP ************* %*********************************************************** % QP=Kq*ThetaP;

ThtP1=QP((1))/Kq((1)); ThtP2=QP((2))/Kq((2)); ThtP=[ThtP1;ThtP2]; % ThtP=(QP/Kq);

%*********************************************************** %******* OBTENCIÓN DE THETAP MEDIANTE QPP ************* %*********************************************************** % QPP=Kq*ThetaPP+Lq*ThetaP;

ThtPP1=(QPP((1))-Lq((1))*ThetaP)/Kq((1)); ThtPP2=(QPP((2))-Lq((2))*ThetaP)/Kq((2)); ThtPP=[ThtPP1;ThtPP2];

%*********************************************************** %***************** IMPRESIONES ************************ %***********************************************************

fprintf('i= %g \n',contador); % fprintf('Theta(Deg)= %g \n',t); % fprintf('Phi= %g \n',Phi*180/pi); % fprintf('Beta= %g \n',Beta*180/pi); % fprintf('LAC= %g \n',LAC); % fprintf('RBFx= %g \n',RBFx); % fprintf('ThetaP= %g \n',ThetaP); % fprintf('PhiP= %g \n',PhiP); % fprintf('LACP= %g \n',LACP); % fprintf('BetaP= %g \n',BetaP); % fprintf('RBFxP= %g \n',RBFxP); % fprintf('ThetaPP= %g \n',ThetaPP); % fprintf('PhiPP= %g \n',PhiPP); % fprintf('LACPP= %g \n',LACPP); % fprintf('BetaPP= %g \n',BetaPP); % fprintf('RBFxPP= %g \n',RBFxPP); % fprintf('KPhi= %g \n',KPhi); % fprintf('KBeta= %g \n',KBeta); % fprintf('LPhi= %g \n',LPhi); % fprintf('LBeta= %g \n',LBeta);

ANEXOS ANEXO E

% fprintf('ThtP= %g \n',ThtP); % fprintf('ThtPP= %g \n',ThtPP); fprintf('REFCMxP= %g \n',REFCMxP); fprintf('REFCMyP= %g \n',REFCMyP); fprintf('\n\n');





RBB1CMxData(t+1)=RBB1CMx; RBB1CMyData(t+1)=RBB1CMy; RBB1CMxDataP(t+1)=RBB1CMxP; RBB1CMyDataP(t+1)=RBB1CMyP; RBB1CMxDataPP(t+1)=RBB1CMxPP; RBB1CMyDataPP(t+1)=RBB1CMyPP;

RDD1CMxData(t+1)=RDD1CMx; RDD1CMyData(t+1)=RDD1CMy; RDD1CMxDataP(t+1)=RDD1CMxP; RDD1CMyDataP(t+1)=RDD1CMyP; RDD1CMxDataPP(t+1)=RDD1CMxPP; RDD1CMyDataPP(t+1)=RDD1CMyPP;

REFCMxData(t+1)=REFCMx; REFCMyData(t+1)=REFCMy; REFCMxDataP(t+1)=REFCMxP; REFCMyDataP(t+1)=REFCMyP; REFCMxDataPP(t+1)=REFCMxPP; REFCMyDataPP(t+1)=REFCMyPP;

ANEXOS ANEXO E

RFCMxData(t+1)=RFCMx; RFCMyData(t+1)=RFCMy; RFCMxDataP(t+1)=RFCMxP; RFCMyDataP(t+1)=RFCMyP; RFCMxDataPP(t+1)=RFCMxPP; RFCMyDataPP(t+1)=RFCMyPP;

RCCMxData(t+1)=RCCMx; RCCMyData(t+1)=RCCMy; RCCMxDataP(t+1)=RCCMxP; RCCMyDataP(t+1)=RCCMyP; RCCMxDataPP(t+1)=RCCMxPP; RCCMyDataPP(t+1)=RCCMyPP;


axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBB1x],[0,RBB1y],'k-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBCx],[0,RBCy],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RACx-P],[-H,RACy-H],'b-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RADx-P],[-H,RADy-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAD1x-P],[-H,RAD1y-H],'g-o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P,RAEx-P],[-H,RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([-P+RAEx,-P+ REFx+RAEx],[RAEy-H,REFy+RAEy-H],'r -o','LineWidth',1.5) hold on axis([-50 50 -50 50]); plot([0,RBFx],[0,-m],'k-o','LineWidth',1.5) hold on

hold off


pause(0.1);

end close all;

ANEXOS ANEXO E


for i=0:inc:360 % fprintf('i= %g \n',i); % fprintf('ThetaData(i)= %g \n',ThetaData(i+1)); % fprintf('PhiData(i)= %g \n',PhiData(i+1)); % fprintf('BetaData(i)= %g \n',BetaData(i+1)); % fprintf('\n \n');

axis([0 400 0 170]); grid on;

% plot(ThetaData(i+1),PhiData(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxData(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5)

plot(ThetaData(i+1),PhiDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5)

% plot(ThetaData(i+1),PhiDataPP(i+1),'k-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),BetaDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBFxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),LACDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5)

% plot(ThetaData(i+1),RBB1CMxData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBB1CMyData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBB1CMxDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBB1CMyDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBB1CMxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RBB1CMyDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

% plot(ThetaData(i+1),RDD1CMxData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RDD1CMyData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RDD1CMxDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RDD1CMyDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RDD1CMxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RDD1CMyDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

% plot(ThetaData(i+1),REFCMxData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),REFCMyData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),REFCMxDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),REFCMyDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),REFCMxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),REFCMyDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

% plot(ThetaData(i+1),RFCMxData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RFCMyData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

ANEXOS ANEXO E

% plot(ThetaData(i+1),RFCMxDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RFCMyDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RFCMxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RFCMyDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

% plot(ThetaData(i+1),RCCMxData(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RCCMyData(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RCCMxDataP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RCCMyDataP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RCCMxDataPP(i+1),'b-o','LineWidth',0.5) % plot(ThetaData(i+1),RCCMyDataPP(i+1),'r-o','LineWidth',0.5)

hold on

end

ANEXOS ANEXO E

ANEXOS ANEXO F


Dim_Simulk.m (MATLAB) Dim.mdl (MATLAB) Dinamica_EK.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de EKsergian

Dim_Simulk.m

%*********************************************************** %****************** Dim_Simulk ******************* %***********************************************************

% En este programa se desarrollan las ecuaciones de Lagrange obtenidas % para la dinamica del mecanismo de Whitworth, para ser implementada

como1 % clc % clear all % close all % % inc=10; % contador=0; % % for t=0:inc:360 % contador=contador+1;

function qpp=Dim_Simulk(u)

%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************

syms ThetaPP;

% Magnitudes de los eslabones LBB1 = 10; LCB1 = 2; LAD = 15; LAD1 = 20; LDD1 = LAD + LAD1; LED1 = 2; LEF = 30; LAE=LAD1-LED1; LBC=LBB1-LCB1;

ANEXO F

ANEXOS ANEXO F


% Velocidad ángular de retroalimentación ThetaP=u(1); % ThetaP=10;

% Posición ángular de entrada Theta=u(2); % Theta=t*pi/180;


% Posición Aplicacion de la Fuerza u7=6; v7=0;


ANEXOS ANEXO F

% Masa e Inercia BB1 mBB1=30; IBB1=272.5; % Masa e Inercia DD1 mDD1=140; IDD1=200; % Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=100; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;

% Gravedad g=9.80;

%Torque % MTorque=100; % FBCG=-50; MTorque=0; Fcorte=0;

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************


implementación




end


ANEXOS ANEXO F


if Phi*180/pi<180 && (Theta*180/pi)>300 Phi=2*pi+Phi;

end



if Phi*180/pi>300 && (Theta*180/pi)<180 Phi=-(2*pi-Phi); end






LACH=LAC;


RBFx=(-P+LAE*sin(Phi)-LEF*sin(Beta));





ANEXOS ANEXO F


K=[KPhi;KLAC;KBeta;KRBFx;1];

%*********************************************************** %*********** Coeficientes de Aceleración **************** %*********************************************************** %Solución mediante, manipulación de ecuaciones. %NOTA: Checar los coeficientes sustituyendo por K*ThetaP

%Se divide entre ThetaP, Para que exista coherencia en este método, ya

que %las ecuaciones se obtuvieron, primero mediante el metodo de los %multiplicadores ó %Se obtienen nuevamente los coeficientes L, con respecto a ThetaP, como

se %hizo ahora.

LPhi=((-LBC/LACH)*sin(Phi-Theta)*(KPhi-1))-((LBC*cos(Phi-

Theta)*KLAC)/LACH^2);


LLAC=((((KLAC*sin(Phi)*KPhi)+(LAC*cos(Phi)*KPhi^2)+(LAC*sin(Phi)*LPhi)-

(LBC*cos(Theta)))*cos(Phi))+(((LAC*sin(Phi)*KPhi)-

(LBC*sin(Theta)))*sin(Phi)*cos(Phi)))/((cos(Phi))^2);

else LLAC=((((-KLAC*cos(Phi)*KPhi)+(LAC*sin(Phi)*KPhi^2)-

(LAC*cos(Phi)*LPhi)-(LBC*sin(Theta)))*sin(Phi))-(((-

LAC*cos(Phi)*KPhi)+(LBC*cos(Theta)))*cos(Phi)*KPhi))/((sin(Phi))^2);

end

LBeta=((((LAE*cos(Phi)*KPhi^2)+(LAE*sin(Phi)*LPhi))*(LEF*sin(Beta)))-

((LAE*sin(Phi)*KPhi)*(LEF*cos(Beta)*KBeta)))/((LEF*sin(Beta))^2); LRBFx=(-LAE*sin(Phi)*KPhi^2)+(LAE*cos(Phi)*LPhi)+(LEF*sin(Beta)*KBeta^2)-

(LEF*cos(Beta)*LBeta);

L=[LPhi;LLAC;LBeta;LRBFx;0];

ANEXOS ANEXO F

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************


% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[LAE*sin(Phi);-LAE*cos(Phi)]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2)); % Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REF=[-LEF*sin(Beta);LEF*cos(Beta)]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCM=RBA+[-LAC*sin(Phi);LAC*cos(Phi)]+Mtz_TDD1*UV_ELmC; RCCMx=RCCM((1)); RCCMy=RCCM((2));

%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************



% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2));

ANEXOS ANEXO F

% Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*Th

etaP; REFCMxP=REFCMP((1)); REFCMyP=REFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP-

[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)

cos(Phi)]*[KPhi*ThetaP;KLAC*ThetaP]+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaP; RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2));

% %*********************************************************** % %****************** ACELERACIÓN CM ********************** % %*********************************************************** % % % Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) % RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; % RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); % RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) %

RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaPP+Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*LPhi*ThetaP

-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; % RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); % RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) %

REFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Ph

i)]*LPhi*ThetaP+[-

LAE*sin(Phi);LAE*cos(Phi)]*KPhi^2*ThetaP^2+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*ThetaP

P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; % REFCMxPP=REFCMPP((1)); % REFCMyPP=REFCMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) %

RFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi

)]*LPhi*ThetaP+[-LAE*sin(Phi);LAE*cos(Phi)]*KPhi^2*ThetaP^2-

[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaPP-

[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*LBeta*ThetaP+[LEF*sin(Beta);-

LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; % RFCMxPP=RFCMPP((1)); % RFCMyPP=RFCMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) % RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)

cos(Phi)]*[KPhi;KLAC]*ThetaPP+[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)

cos(Phi)]*[LPhi;LLAC]*ThetaP+[LAC*sin(Phi)*KPhi -2*cos(Phi)*KPhi;-

LAC*cos(Phi)*KPhi -

2*sin(Phi)*KPhi]*[KPhi;KLAC]*ThetaP^2+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaPP+Mtz_

TDD1P*UV_ELmC*KPhi*LPhi*ThetaP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2;

ANEXOS ANEXO F

% RCCMxPP=RCCMPP((1)); % RCCMyPP=RCCMPP((2));

%*********************************************************** %*************** Inercia General ****************** %***********************************************************

IG=(mBB1*(u2^2+v2^2))+IBB1+(mDD1*((u4^2+v4^2)*KPhi^2))+(IDD1*(KPhi^2))+(m

EF*((LAE^2*KPhi^2)+((u5^2+v5^2)*KBeta^2)+(2*LAE*sin(Phi-

Beta)*u5*KPhi*KBeta)-(2*LAE*cos(Phi-

Beta)*v5*KPhi*KBeta)))+(IEF*(KBeta^2))+(mF*(KRBFx^2))+(mC*(KLAC^2+((LAC^2

+u3^2+2*LAC*v3+v3^2)*KPhi^2)+(2*u3*KLAC*KPhi)))+(IC*(KPhi^2));

%*********************************************************** %******** Derivada Inercia General contra Theta ******** %***********************************************************

IGp=(mDD1*((u4^2+v4^2)*KPhi*LPhi))+(IDD1*(KPhi*LPhi))+(mEF*((LAE^2*KPhi*L

Phi)+((u5^2+v5^2)*KBeta*LBeta)+(LAE*cos(Phi-Beta)*(KPhi-

KBeta)*u5*KPhi*KBeta)+(LAE*sin(Phi-Beta)*u5*LPhi*KBeta)+(LAE*sin(Phi-

Beta)*u5*KPhi*LBeta)+(LAE*sin(Phi-Beta)*(KPhi-KBeta)*v5*KPhi*KBeta)-

(LAE*cos(Phi-Beta)*v5*LPhi*KBeta)-(LAE*cos(Phi-

Beta)*v5*KPhi*LBeta)))+(IEF*KBeta*LBeta)+(mF*(KRBFx*LRBFx))+(mC*((KLAC*LL

AC)+((LAC*KLAC+KLAC*v3)*KPhi^2)+((LAC^2+u3^2+2*LAC*v3+v3^2)*KPhi*LPhi)+(u

3*LLAC*KPhi)+(u3*KLAC*LPhi)))+(IC*(KPhi*LPhi));

%*********************************************************** %********* Derivada Potencial ********** %***********************************************************

Vp=(mBB1*((cos(Theta)*u2)-(sin(Theta)*v2)))+(mDD1*((cos(Phi)*KPhi*u4)-

(sin(Phi)*KPhi*v4)))+(mEF*((LAE*sin(Phi)*KPhi)+(cos(Beta)*KBeta*u5)-

(sin(Beta)*KBeta*v5)))+(mC*((KLAC*cos(Phi))-

(LAC*sin(Phi)*KPhi)+(cos(Phi)*KPhi*u3)-(sin(Phi)*KPhi*v3)));

%*********************************************************** %********* Dinámica ********** %***********************************************************

%PRUEBA Dist=((LAE*cos(Phi)*KPhi)-(LEF*cos(Beta)*KBeta)); QExt=MTorque+(Fcorte*Dist);

ThetaPP=(1/IG)*(QExt-(IGp*ThetaP*ThetaP)-(Vp*g)); % ThetaPP=10;

ANEXOS ANEXO F

%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************

% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*(UV_ELmDD1*KPhi*ThetaPP)+Mtz_TDD1P*(UV_ELmDD1*LPhi*The

taP^2)-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Ph

i)]*LPhi*ThetaP^2+[-


P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP^2-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi

)]*LPhi*ThetaP^2+[-LAE*sin(Phi);LAE*cos(Phi)]*KPhi^2*ThetaP^2-


[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*LBeta*ThetaP^2+[LEF*sin(Beta);-

LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)


cos(Phi)]*[LPhi;LLAC]*ThetaP^2+[-KLAC*cos(Phi)+KPhi*LAC*sin(Phi) -

KPhi*cos(Phi);-KLAC*sin(Phi)-KPhi*LAC*cos(Phi) -

KPhi*sin(Phi)]*[KPhi;KLAC]*ThetaP^2+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaPP+Mtz_TD

D1P*UV_ELmC*KPhi*LPhi*ThetaP^2-

Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2;RCCMxPP=RCCMPP((1)); RCCMyPP=RCCMPP((2));

%*********************************************************** %*************** IMPRESIONES ********************* %***********************************************************

% fprintf('t= %g \n',t); % fprintf('Theta= %g \n',t); % fprintf('ThetaP= %g \n',ThetaP); % fprintf('ThetaPP= %g \n',ThetaPP); % fprintf('Phi= %g \n',Phi); % fprintf('LAC= %g \n',LAC); % fprintf('RBFx= %g \n',RBFx); % fprintf('KPhi= %g \n',KPhi); % fprintf('KBeta= %g \n',KBeta); % fprintf('KLAC= %g \n',KLAC); % fprintf('KRBFx= %g \n',KRBFx); % fprintf('LPhi= %g \n',LPhi);

ANEXOS ANEXO F

% fprintf('LBeta= %g \n',LBeta); % fprintf('LLAC= %g \n',LLAC); % fprintf('LRBFx= %g \n',LRBFx); % fprintf('u2= %g \n',u2); % fprintf('v2= %g \n',v2); % fprintf('u4= %g \n',u4); % fprintf('v4= %g \n',v4); % fprintf('u5= %g \n',u5); % fprintf('v5= %g \n',v5); % fprintf('u3= %g \n',u3); % fprintf('v3= %g \n',v3); % fprintf('u6= %g \n',u6); % fprintf('v6= %g \n',v6); % fprintf('IBB1= %g \n',IBB1); % fprintf('IDD1= %g \n',IDD1); % fprintf('IEF= %g \n',IEF); % fprintf('IF= %g \n',IF); % fprintf('IC= %g \n',IC); % fprintf('mBB1= %g \n',mBB1); % fprintf('mDD1= %g \n',mDD1); % fprintf('mEF= %g \n',mEF); % fprintf('mF= %g \n',mF); % fprintf('mC= %g \n',mC); % fprintf('IG= %g \n',IG); % fprintf('IGp*ThetaP^2= %g \n',IGp*ThetaP*ThetaP); % fprintf('Vp= %g \n',Vp);

% fprintf('RBB1CMPP= %g \n',RBB1CMPP); % fprintf('RDD1CMPP= %g \n',RDD1CMPP); % fprintf('REFCMPP= %g \n',REFCMPP); % fprintf('RFCMP= %g \n',RFCMP); % fprintf('RFCMPP= %g \n',RFCMPP); % fprintf('RCCMP= %g \n',RCCMP); % fprintf('RCCMPP= %g \n',RCCMPP); % fprintf('\n');

qpp = ThetaPP;

% end

ANEXOS ANEXO F

Dia

gra

ma e

n s

imu

lin

k

ANEXOS ANEXO F

ANEXOS ANEXO G


Dinamica_Simulk_2var.m (MATLAB) Dinamica_2var.mdl (MATLAB) Dinamica_MLagrange.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange

Dinamica_Simulk_2var.m

%*********************************************************** %****************** Dinamica_Simulk ******************* %***********************************************************


como1

% clear all % close all % clc % % inc=10; % contador=0; % % for t=0:inc:360 % contador=contador+1; % Theta=t*pi/180;

function qpp=Dinamica_Simulk_2var(u)

%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************

syms ThetaPP;


ANEXO G

ANEXOS ANEXO G






% Masa e Inercia BB1 mBB1=30; IBB1=272.500; % Masa e Inercia DD1 mDD1=140; IDD1=200;

ANEXOS ANEXO G

% Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=10; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;

% Gravedad g=9.80;

%Torque % MTorque=1000; MTorque=0; % FBCG=100; FBCG=0;

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************


implementación




end




end

ANEXOS ANEXO G









LACH=LAC;





KPhi=((LBC*cos(Phi-Theta))/(LBC*cos(Phi-Theta)+H*cos(Phi)-P*sin(Phi))); KBeta=(LAE*sin(Phi)*KPhi)/(LEF*sin(Beta));

K=[KPhi;KBeta;1];

ANEXOS ANEXO G


LPhi=(((-LBC*sin(Phi-Theta)*((KPhi*ThetaP)-ThetaP))*(LBC*cos(Phi-


Theta)*((KPhi*ThetaP)-ThetaP)-H*sin(Phi)*(KPhi*ThetaP)-

P*cos(Phi)*(KPhi*ThetaP))))/((LBC*cos(Phi-Theta)+H*cos(Phi)-

P*sin(Phi))^2); LBeta=((LAE*sin(Phi)*LPhi)+(LAE*cos(Phi)*KPhi*ThetaP*KPhi)-

(LEF*cos(Beta)*KBeta*ThetaP*KBeta))/(LEF*sin(Beta));

L=[LPhi;LBeta;0];

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************


% Posición del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CM=Mtz_TBB1*UV_ELmBB1; RBB1CMx=RBB1CM((1)); RBB1CMy=RBB1CM((2)); % Posición del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CM=RBA+Mtz_TDD1*UV_ELmDD1; RDD1CMx=RDD1CM((1)); RDD1CMy=RDD1CM((2)); % Posición del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RAE=[RAEx;RAEy]; REFCM=RBA+RAE+Mtz_TEF*UV_ELmEF; REFCMx=REFCM((1)); REFCMy=REFCM((2)); % Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBF=[RBFx;-m]; REF=[REFx;REFy]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCM=RBA+[-

(LBC*cos(Theta)+H)*sin(Phi)/cos(Phi);LBC*cos(Theta)+H]+Mtz_TDD1*UV_ELmC; else RCCM=RBA+[-(LBC*sin(Theta)-P);(LBC*sin(Theta)-

P)*cos(Phi)/sin(Phi)]+Mtz_TDD1*UV_ELmC; end RCCMx=RCCM((1)); RCCMy=RCCM((2));

ANEXOS ANEXO G

%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************



% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*Th


[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCMP=[(LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-

LBC*sin(Theta)]*ThetaP+[((LBC*cos(Theta)+H)/(cos(Phi))^2)-

(LBC*cos(Theta)+H);0]*KPhi*ThetaP-

[(LBC*cos(Theta)+H);0]*KPhi*ThetaP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaP; else RCCMP=[-LBC*cos(Theta);(LBC*cos(Theta)*cos(Phi))/sin(Phi)]*ThetaP-

[0;((LBC*sin(Theta)-P)/(sin(Phi))^2)-(LBC*sin(Theta)-P)]*KPhi*ThetaP-

[0;LBC*sin(Theta)-P]*KPhi*ThetaP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaP; end RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2));

ANEXOS ANEXO G

%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************

% Aceleración del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMPP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaPP-Mtz_TBB1*UV_ELmBB1*ThetaP^2; RBB1CMxPP=RBB1CMPP((1)); RBB1CMyPP=RBB1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMPP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaPP+Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*LPhi*ThetaP

-Mtz_TDD1*UV_ELmDD1*KPhi^2*ThetaP^2; RDD1CMxPP=RDD1CMPP((1)); RDD1CMyPP=RDD1CMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Ph

i)]*LPhi*ThetaP+[-


P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaPP+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi




LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCMPP=[(LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-

LBC*sin(Theta)]*ThetaPP+[(LBC*cos(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-

LBC*cos(Theta)]*ThetaP^2+[((LBC*cos(Theta)+H)/(cos(Phi))^2)-

2*(LBC*cos(Theta)+H);0]*KPhi*ThetaPP+[((LBC*cos(Theta)+H)/(cos(Phi))^2)-

2*(LBC*cos(Theta)+H);0]*LPhi*ThetaP+[((2*(LBC*cos(Theta)+H)*sin(Phi))/(co

s(Phi))^3);0]*KPhi^2*ThetaP^2+[2*LBC*sin(Theta);0]*KPhi*ThetaP^2+Mtz_TDD1

P*UV_ELmC*KPhi*ThetaPP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*LPhi*ThetaP-

Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2; else RCCMPP=[-

LBC*cos(Theta);(LBC*cos(Theta)*cos(Phi))/sin(Phi)]*ThetaPP+[LBC*sin(Theta

);-(LBC*sin(Theta)*cos(Phi))/sin(Phi)]*ThetaP^2-

[0;2*LBC*cos(Theta)/(sin(Phi))^2]*KPhi*ThetaP^2-[0;(LBC*sin(Theta)-

P)/(sin(Phi))^2]*KPhi*ThetaPP-[0;(LBC*sin(Theta)-

P)/(sin(Phi))^2]*LPhi*ThetaP+[0;(2*(LBC*sin(Theta)-

P)*cos(Phi))/(sin(Phi))^3]*KPhi^2*ThetaP^2+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaPP

+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*LPhi*ThetaP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2; end RCCMxPP=RCCMPP((1)); RCCMyPP=RCCMPP((2));

ANEXOS ANEXO G

%*********************************************************** %*************** MATRIZ MASA ****************** %*********************************************************** %Matriz de 3x3


MTC11=((mC*(LBC*cos(Theta)+H)^2)/(cos(Phi))^4)+((2*mC*(LBC*cos(Theta)+H)*

v3)/cos(Phi))+(mC*(u3^2+v3^2))+((2*mC*(LBC*cos(Theta)+H)*sin(Phi)*u3)/(co

s(Phi)^2))+IC; MTC13=-((mC*(LBC*cos(Theta)+H)*(LBC*sin(Theta))*sin(Phi))/(cos(Phi))^3)-

((mC*(LBC*sin(Theta)*u3))/cos(Phi));

MTC31=(-(mC*(LBC*cos(Theta)+H)*LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/(cos(Phi))^3)-

((mC*LBC*sin(Theta)*u3)/cos(Phi)); MTC33=((mC*LBC^2*(sin(Theta))^2)/(cos(Phi))^2);

NgTC11=((mC*cos(Phi)*u3)-(mC*sin(Phi)*v3)); NgTC31=-(mC*LBC*sin(Theta));

NcTC11=(((2*mC*(LBC*cos(Theta)+H)^2*sin(Phi))/(cos(Phi))^5)+((mC*(LBC*cos

(Theta)+H)*sin(Phi)*v3)/(cos(Phi))^2)-

((mC*(LBC*cos(Theta)+H)*u3)/cos(Phi))+((2*mC*(LBC*cos(Theta)+H)*u3)/(cos(

Phi))^3))*KPhi*ThetaP; NcTC31=(((2*mC*(LBC*cos(Theta)+H)*LBC*sin(Theta))/(cos(Phi))^2)-

((2*mC*(LBC*cos(Theta)+H)*LBC*sin(Theta))/(cos(Phi))^4)+((mC*LBC*sin(Thet

a)*v3)/cos(Phi)))*KPhi*ThetaP;

NcTC13=(((-mC*(LBC*cos(Theta)+H)*LBC*cos(Theta)*sin(Phi))/(cos(Phi))^3)-

((mC*LBC*cos(Theta)*u3)/cos(Phi)))*ThetaP; NcTC33=((mC*LBC^2*sin(Theta)*cos(Theta))/(cos(Phi))^2)*ThetaP;

NcTC11A=(((-2*mC*(LBC*cos(Theta)+H)*LBC*sin(Theta))/(cos(Phi))^4)-

((2*mC*LBC*sin(Theta)*v3)/cos(Phi))-

((2*mC*LBC*sin(Theta)*sin(Phi)*u3)/(cos(Phi))^2))*ThetaP; NcTC31A=((mC*LBC^2*(sin(Theta))^2*sin(Phi))/(cos(Phi))^3)*ThetaP;

else

MTC11=((mC*(LBC*sin(Theta)-P)^2)/(sin(Phi))^4)+((2*mC*(LBC*sin(Theta)-

P)*v3)/sin(Phi))+(mC*(u3^2+v3^2))-((2*mC*(LBC*sin(Theta)-

P)*cos(Phi)*u3)/(sin(Phi))^2)+IC; MTC13=(-mC*(LBC*sin(Theta)-

P)*(LBC*cos(Theta))*(cos(Phi))/(sin(Phi)^3))+((mC*(LBC*cos(Theta)*u3))/si

n(Phi));

ANEXOS ANEXO G

MTC31=-((mC*(LBC*sin(Theta)-

P)*(LBC*cos(Theta))*cos(Phi))/(sin(Phi))^3)+((mC*LBC*cos(Theta)*u3)/sin(P

hi)); MTC33=((mC*LBC^2*(cos(Theta))^2)/(sin(Phi))^2);

NgTC11=-((mC*(LBC*sin(Theta)-P))/(sin(Phi))^2)+(mC*cos(Phi)*u3)-

(mC*sin(Phi)*v3); NgTC31=(mC*LBC*cos(Theta)*cos(Phi))/sin(Phi);

NcTC11=(((-(2*mC*(LBC*sin(Theta)-P)^2*cos(Phi)))/(sin(Phi))^5)-

((mC*(LBC*sin(Theta)-P)*cos(Phi)*v3)/(sin(Phi))^2)-((mC*(LBC*sin(Theta)-

P)*u3)/sin(Phi))+((2*mC*(LBC*sin(Theta)-

P)*u3)/(sin(Phi))^3))*KPhi*ThetaP; NcTC31=(((-2*mC*(LBC*sin(Theta)-

P)*LBC*cos(Theta))/(sin(Phi))^2)+((2*mC*(LBC*sin(Theta)-

P)*LBC*cos(Theta))/(sin(Phi))^4)-

((mC*LBC*cos(Theta)*v3)/sin(Phi)))*KPhi*ThetaP;

NcTC13=(((mC*(LBC*sin(Theta)-P)*LBC*sin(Theta)*cos(Phi))/(sin(Phi))^3)-

((mC*LBC*sin(Theta)*u3)/sin(Phi)))*ThetaP; NcTC33=((-mC*LBC^2*sin(Theta)*cos(Theta))/(sin(Phi))^2)*ThetaP;

NcTC11A=(((2*mC*(LBC*sin(Theta)-

P)*LBC*cos(Theta))/(sin(Phi))^4)+((2*mC*LBC*cos(Theta)*v3)/sin(Phi))-

((2*mC*LBC*cos(Theta)*cos(Phi)*u3)/(sin(Phi))^2))*ThetaP; NcTC31A=((-2*mC*LBC^2*(cos(Theta))^2*cos(Phi))/(sin(Phi))^3)*ThetaP;

end

Masa11=((mDD1*(u4^2+v4^2))+(mEF*LAE^2)+(mF*LAE^2*(cos(Phi))^2)+(IDD1))+MT

C11; Masa12=((mEF*LAE*sin(Phi-Beta)*u5)-(mEF*LAE*cos(Phi-Beta)*v5)-

(mF*LAE*LEF*cos(Phi)*cos(Beta))); Masa13=0+MTC13;

Masa21=((mEF*LAE*sin(Phi-Beta)*u5)-(mEF*LAE*cos(Phi-Beta)*v5)-

(mF*LAE*LEF*cos(Beta)*cos(Phi))); Masa22=((mEF*(u5^2+v5^2))+(mF*LEF^2*(cos(Beta))^2)+(IEF)); Masa23=0;

Masa31=0+MTC31; Masa32=0; Masa33=((mBB1*(u2^2+v2^2))+(IBB1))+MTC33;

M=[Masa11,Masa12,Masa13;Masa21,Masa22,Masa23;Masa31,Masa32,Masa33];

ANEXOS ANEXO G

%*********************************************************** %*************** MATRIZ NC ******************** %*********************************************************** %Matriz de 3x3

Nc11=-(mF*LAE^2*cos(Phi)*sin(Phi))*KPhi*ThetaP+NcTC11+NcTC11A; Nc12=(-(mEF*LAE*sin(Phi-Beta)*v5)-(mEF*LAE*cos(Phi-

Beta)*u5)+(mF*LAE*LEF*cos(Phi)*sin(Beta)))*KBeta*ThetaP; Nc13=0+NcTC13;

Nc21=((mEF*LAE*cos(Phi-Beta)*u5)+(mEF*LAE*sin(Phi-Beta)*v5))*KPhi*ThetaP; Nc22=(-

(mF*LEF^2*cos(Beta)*sin(Beta)))*KBeta*ThetaP+(mF*LAE*LEF*cos(Beta)*sin(Ph

i)*KPhi*ThetaP); Nc23=0;

Nc31=0+NcTC31+NcTC31A; Nc32=0; Nc33=NcTC33;

Nc=[Nc11,Nc12,Nc13;Nc21,Nc22,Nc23;Nc31,Nc32,Nc33];

%*********************************************************** %*************** MATRIZ NG ******************** %*********************************************************** %Matriz de 3x1

Ng11=((mDD1*(cos(Phi)*u4-sin(Phi)*v4))+(mEF*LAE*sin(Phi)))+NgTC11; Ng21=(mEF*(cos(Beta)*u5-sin(Beta)*v5)); Ng31=(mBB1*(cos(Theta)*u2-sin(Theta)*v2))+NgTC31; NG=[Ng11;Ng21;Ng31]*g;

%*********************************************************** %*************** MATRIZ JACOBIAN0 ****************** %***********************************************************

J11=-(LBC*cos(Phi-Theta)+H*cos(Phi)-P*sin(Phi)); J12=0; J13=(LBC*cos(Phi-Theta));

J21=LAE*sin(Phi); J22=-(LEF*sin(Beta)); J23=0;

J=[J11,J12,J13;J21,J22,J23];

ANEXOS ANEXO G

%*********************************************************** %************ MULTP LAGRANGE ******************** %***********************************************************

syms LGRmult1 LGRmult2; LGRmult=[LGRmult1;LGRmult2];

%*********************************************************** %************ Fuerzas Externas ******************** %*********************************************************** %PRUEBA QEXT=[FBCG*(LAE*cos(Phi));-FBCG*(LEF*cos(Beta));MTorque];

%*********************************************************** %*************** ECUACION DINAMICA ******************* %***********************************************************

f=(M*K*ThetaPP+(M*L+Nc*K)*ThetaP+NG)+J'*LGRmult-QEXT; % f=M*K*ThetaPP+(M*L+Nc*K)*ThetaP+Ng+J'*LGRmult;

S=solve(f((1)),f((2)),f((3)),ThetaPP,LGRmult1,LGRmult2); S=[S.ThetaPP S.LGRmult1 S.LGRmult2];

ThetaPP=eval(S((1))); LGRmult1=eval(S((2))); LGRmult2=eval(S((3)));

%*********************************************************** %*************** IMPRESIONES ********************* %***********************************************************

% fprintf('t= %g \n',t); % fprintf('Theta= %g \n',Theta); % fprintf('ThetaP= %g \n',ThetaP); % fprintf('ThetaPP= %g \n',ThetaPP); % fprintf('Phi= %g \n',Phi); % fprintf('LAC= %g \n',LAC); % fprintf('RBFx= %g \n',RBFx); % fprintf('KPhi= %g \n',KPhi); % fprintf('KBeta= %g \n',KBeta); % fprintf('KLAC= %g \n',KLAC); % fprintf('KRBFx= %g \n',KRBFx); % fprintf('LPhi= %g \n',LPhi); % fprintf('LBeta= %g \n',LBeta); % fprintf('LLAC= %g \n',LLAC); % fprintf('LRBFx= %g \n',LRBFx); % fprintf('u2= %g \n',u2); % fprintf('v2= %g \n',v2); % fprintf('u4= %g \n',u4); % fprintf('v4= %g \n',v4); % fprintf('u5= %g \n',u5); % fprintf('v5= %g \n',v5); % fprintf('u3= %g \n',u3);

ANEXOS ANEXO G

% fprintf('v3= %g \n',v3); % fprintf('u6= %g \n',u6); % fprintf('v6= %g \n',v6); % fprintf('IBB1= %g \n',IBB1); % fprintf('IDD1= %g \n',IDD1); % fprintf('IEF= %g \n',IEF); % fprintf('IF= %g \n',IF); % fprintf('IC= %g \n',IC); % fprintf('mBB1= %g \n',mBB1); % fprintf('mDD1= %g \n',mDD1); % fprintf('mEF= %g \n',mEF); % fprintf('mF= %g \n',mF); % fprintf('mC= %g \n',mC); % fprintf('LGRmult1= %g \n',LGRmult1); % fprintf('LGRmult2= %g \n',LGRmult2); % fprintf('LGRmult3= %g \n',LGRmult3); % fprintf('LGRmult4= %g \n',LGRmult4); % fprintf('\n');

qpp = [ThetaPP;LGRmult1;LGRmult2];

% end

Dia

gra

ma e

n s

imu

lin

k

ANEXOS ANEXO G

ANEXOS ANEXO G

ANEXOS ANEXO H


Dinamica_Simulk_2var.m (MATLAB) Dinamica_2var.mdl (MATLAB) Dinamica_MLagrange.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange y las ecuaciones cinemáticas


%*********************************************************** %****************** Dinamica_Simulk ******************* %***********************************************************


como1



%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************

syms ThetaPP;


ANEXO H

ANEXOS ANEXO H







ANEXOS ANEXO H


% Gravedad g=9.80;

%Torque % MTorque=1000; MTorque=0; % FBCG=100; FBCG=0;

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************


implementación




end




end

ANEXOS ANEXO H









LACH=LAC;



ANEXOS ANEXO H




K=[KPhi;KBeta;1];








L=[LPhi;LBeta;0];

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************



ANEXOS ANEXO H

% Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBF=[RBFx;-m]; REF=[REFx;REFy]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCM=RBA+[-



%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************





[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2)); % Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCMP=[(LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-



[(LBC*cos(Theta)+H);0]*KPhi*ThetaP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaP; else

ANEXOS ANEXO H

RCCMP=[-LBC*cos(Theta);(LBC*cos(Theta)*cos(Phi))/sin(Phi)]*ThetaP-



%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************



i)]*LPhi*ThetaP+[-













Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2; else RCCMPP=[-







+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*LPhi*ThetaP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2;

ANEXOS ANEXO H

end RCCMxPP=RCCMPP((1)); RCCMyPP=RCCMPP((2));





















else





n(Phi));

ANEXOS ANEXO H


















end








ANEXOS ANEXO H











%*********************************************************** %*************** MATRIZ JACOBIAN0 ****************** %***********************************************************



J=[J11,J12,J13;J21,J22,J23];

ANEXOS ANEXO H

%*********************************************************** %************ MULTP LAGRANGE ******************** %***********************************************************


%*********************************************************** %************ Fuerzas Externas ******************** %*********************************************************** %PRUEBA QEXT=[FBCG*(LAE*cos(Phi));-FBCG*(LEF*cos(Beta));MTorque];





%*********************************************************** %*************** IMPRESIONES ********************* %***********************************************************


ANEXOS ANEXO H



% end

Dia

gra

ma e

n s

imu

lin

k

ANEXOS ANEXO H

ANEXOS ANEXO H

ANEXOS ANEXO I


Dim_Simulk.m (MATLAB) Dim.mdl (MATLAB) Dinamica_EK.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de EKsergian e incluyendo fuerzas

Dim_Simulk.m

%*********************************************************** %****************** Dim_Simulk ******************* %***********************************************************




%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************

syms ThetaPP;


ANEXO I

ANEXOS ANEXO I







ANEXOS ANEXO I


% Gravedad g=9.80;

%Torque MTorque=100; Fcorte=-50;

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************


implementación




end


ANEXOS ANEXO I



end









LACH=LAC;


RBFx=(-P+LAE*sin(Phi)-LEF*sin(Beta));

ANEXOS ANEXO I










se %hizo ahora.










end

ANEXOS ANEXO I





%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************



%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************



ANEXOS ANEXO I









i)]*LPhi*ThetaP+[-







LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; % RFCMxPP=RFCMPP((1));

ANEXOS ANEXO I

% RFCMyPP=RFCMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) % RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)



LAC*cos(Phi)*KPhi -


TDD1P*UV_ELmC*KPhi*LPhi*ThetaP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2; % RCCMxPP=RCCMPP((1)); % RCCMyPP=RCCMPP((2));

%*********************************************************** %*************** Inercia General ****************** %***********************************************************




















%*********************************************************** %********* Dinámica ********** %***********************************************************



ANEXOS ANEXO I

%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************
















%*********************************************************** %*************** IMPRESIONES ********************* %***********************************************************


ANEXOS ANEXO I



qpp = ThetaPP;

% end

Dia

gra

ma e

n s

imu

lin

k

ANEXOS ANEXO I

ANEXOS ANEXO I

ANEXOS ANEXO J


Dinamica_Simulk_2var.m (MATLAB) Dinamica_2var.mdl (MATLAB) Dinamica_MLagrange.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange incluyendo fuerzas


%*********************************************************** %****************** Dinamica_Simulk ******************* %***********************************************************


como1



%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************

syms ThetaPP;


ANEXO J

ANEXOS ANEXO J






ANEXOS ANEXO J


% Gravedad g=9.80;

%Torque MTorque=100; Fcorte=-50;

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************


implementación




end


ANEXOS ANEXO J



end









LACH=LAC;



ANEXOS ANEXO J




K=[KPhi;KBeta;1];








L=[LPhi;LBeta;0];

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************



ANEXOS ANEXO J

% Posición del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBF=[RBFx;-m]; REF=[REFx;REFy]; RFCM=RBA+RAE+REF+UV_ELmF; RFCMx=RFCM((1)); RFCMy=RFCM((2)); % Posición del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCM=RBA+[-



%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************





[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*KBeta*ThetaP; RFCMxP=RFCMP((1)); RFCMyP=RFCMP((2));

ANEXOS ANEXO J

% Velocidad del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) if Phi*180/pi ==0 || Phi*180/pi == 180 || Phi*180/pi == 360 RCCMP=[(LBC*sin(Theta)*sin(Phi))/cos(Phi);-



[(LBC*cos(Theta)+H);0]*KPhi*ThetaP+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaP; else RCCMP=[-LBC*cos(Theta);(LBC*cos(Theta)*cos(Phi))/sin(Phi)]*ThetaP-



%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************



i)]*LPhi*ThetaP+[-













Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2; else

ANEXOS ANEXO J

RCCMPP=[-







+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*LPhi*ThetaP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2; end RCCMxPP=RCCMPP((1)); RCCMyPP=RCCMPP((2));





















ANEXOS ANEXO J

else





n(Phi));


















end






ANEXOS ANEXO J













%*********************************************************** %*************** MATRIZ JACOBIAN0 ****************** %***********************************************************



J=[J11,J12,J13;J21,J22,J23];

ANEXOS ANEXO J

%*********************************************************** %************ MULTP LAGRANGE ******************** %***********************************************************


%*********************************************************** %************ Fuerzas Externas ******************** %*********************************************************** %PRUEBA QEXT=[Fcorte*(LAE*cos(Phi));-Fcorte*(LEF*cos(Beta));MTorque];





%*********************************************************** %*************** IMPRESIONES ********************* %***********************************************************


ANEXOS ANEXO J



% end

Dia

gra

ma e

n s

imu

lin

k

ANEXOS ANEXO J

ANEXOS ANEXO J

ANEXOS ANEXO K


Dinamica_Simulk_2var.m (MATLAB) Dinamica_2var.mdl (MATLAB) Dinamica_MLagrange.wm2d (Working Model) Se presenta la dinámica del mecanismo, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange incluyendo fuerzas


%*********************************************************** %****************** Dinamica_Simulk ******************* %***********************************************************


como1


function Solqpp=Dinamica_Simulk_2var(u)

%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %***********************************************************

syms ThetaPP;


ANEXO K

ANEXOS ANEXO K







ANEXOS ANEXO K


% Gravedad g=9.80;

%Torque MTorque=100; % FBCG=100; Fcorte=-50;

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************


implementación




end




end

ANEXOS ANEXO K









LACH=LAC;



%*********************************************************** %***************** VELOCIDAD ************************** %***********************************************************

PhiP=((LBC*cos(Phi-Theta))*ThetaP)/((LBC*cos(Phi-Theta))+H*cos(Phi)-

P*sin(Phi)); BetaP=(LAE*sin(Phi)*PhiP)/(LEF*sin(Beta));

ANEXOS ANEXO K




LACP=((-


s(Phi))^2)); else



RBB1xP=-LBB1*cos(Theta)*ThetaP; RBB1yP=-(LBB1)*sin(Theta)*ThetaP; RBCxP=-(LBB1-LCB1)*cos(Theta)*ThetaP; RBCyP=-(LBB1-LCB1)*sin(Theta)*ThetaP; RACxP=-LACP*sin(Phi)-(LAC*cos(Phi)*PhiP); RACyP=LACP*cos(Phi)-(LAC*sin(Phi)*PhiP); RADxP=-LAD*cos(Phi)*PhiP; RADyP=-LAD*sin(Phi)*PhiP; RAD1xP=LAD1*cos(Phi)*PhiP; RAD1yP=LAD1*sin(Phi)*PhiP; RAExP=LAE*cos(Phi)*PhiP; RAEyP=LAE*sin(Phi)*PhiP; REFxP=-LEF*cos(Beta)*BetaP; REFyP=-LEF*sin(Beta)*BetaP; RBFxP=LAE*cos(Phi)*PhiP-LEF*cos(Beta)*BetaP;










ANEXOS ANEXO K




Phi))^3))*PhiP; NcTC31=(((2*mC*(LBC*cos(Theta)+H)*LBC*sin(Theta))/(cos(Phi))^2)-


a)*v3)/cos(Phi)))*PhiP;






else





n(Phi));








P)*u3)/sin(Phi))+((2*mC*(LBC*sin(Theta)-P)*u3)/(sin(Phi))^3))*PhiP; NcTC31=(((-2*mC*(LBC*sin(Theta)-


P)*LBC*cos(Theta))/(sin(Phi))^4)-((mC*LBC*cos(Theta)*v3)/sin(Phi)))*PhiP;






end

ANEXOS ANEXO K









Nc11=-(mF*LAE^2*cos(Phi)*sin(Phi))*PhiP+NcTC11+NcTC11A; Nc12=(-(mEF*LAE*sin(Phi-Beta)*v5)-(mEF*LAE*cos(Phi-

Beta)*u5)+(mF*LAE*LEF*cos(Phi)*sin(Beta)))*BetaP; Nc13=0+NcTC13;

Nc21=((mEF*LAE*cos(Phi-Beta)*u5)+(mEF*LAE*sin(Phi-Beta)*v5))*PhiP; Nc22=(-

(mF*LEF^2*cos(Beta)*sin(Beta)))*BetaP+(mF*LAE*LEF*cos(Beta)*sin(Phi)*PhiP

); Nc23=0;





ANEXOS ANEXO K

%*********************************************************** %*************** MATRIZ JACOBIAN0 ****************** %***********************************************************

J11=(-LBC*cos(Phi-Theta)-H*cos(Phi)+P*sin(Phi)); J12=0; J13=(LBC*cos(Phi-Theta));


J=[J11,J12,J13;J21,J22,J23];

%*********************************************************** %********* MATRIZ Derivada JACOBIAN0 *************** %***********************************************************

J11P=(LBC*sin(Phi-Theta)*(PhiP-

ThetaP))+(H*sin(Phi)*PhiP)+(P*cos(Phi)*PhiP); J12P=0; J13P=-(LBC*sin(Phi-Theta)*(PhiP-ThetaP));

J21P=(LAE*cos(Phi)*PhiP); J22P=-(LEF*cos(Beta)*BetaP); J23P=0;

JP=[J11P,J12P,J13P;J21P,J22P,J23P];

%*********************************************************** %************ MULTP LAGRANGE ******************** %***********************************************************


%*********************************************************** %************ Fuerzas Externas ******************** %*********************************************************** %PRUEBA QEXT=[Fcorte*(LAE*cos(Phi));-Fcorte*(LEF*cos(Beta));MTorque];


syms PhiPP BetaPP ThetaPP;

q=[Phi;Beta;Theta]; qp=[PhiP;BetaP;ThetaP]; qpp=[PhiPP;BetaPP;ThetaPP];

ANEXOS ANEXO K

%Se define el termino c c= -JP*qp;

%Se define el termino Q Q=-Nc*qp-NG+QEXT;

%Se definen las Ecuaciones simultaneas

f=M*qpp+J'*LGRmult-Q; g=J*qpp-c;

S=solve(f((1)),f((2)),f((3)),g((1)),g((2)),PhiPP,BetaPP,ThetaPP,LGRmult1,

LGRmult2); S=[S.PhiPP S.BetaPP S.ThetaPP S.LGRmult1 S.LGRmult2];

PhiPP=eval(S((1))); BetaPP=eval(S((2))); ThetaPP=eval(S((3))); LGRmult1=eval(S((4))); LGRmult2=eval(S((5)));

%*********************************************************** %*************** IMPRESIONES ********************* %***********************************************************

% fprintf('t= %g \n',t); % fprintf('Theta= %g \n',Theta); % fprintf('ThetaP= %g \n',ThetaP); % fprintf('ThetaPP= %g \n',ThetaPP); % fprintf('Phi= %g \n',Phi); % fprintf('LAC= %g \n',LAC); % fprintf('RBFx= %g \n',RBFx); % fprintf('Phi= %g \n',Phi); % fprintf('Beta= %g \n',Beta); % fprintf('u2= %g \n',u2); % fprintf('v2= %g \n',v2); % fprintf('u4= %g \n',u4); % fprintf('v4= %g \n',v4); % fprintf('u5= %g \n',u5); % fprintf('v5= %g \n',v5); % fprintf('u3= %g \n',u3); % fprintf('v3= %g \n',v3); % fprintf('u6= %g \n',u6); % fprintf('v6= %g \n',v6); % fprintf('IBB1= %g \n',IBB1); % fprintf('IDD1= %g \n',IDD1); % fprintf('IEF= %g \n',IEF); % fprintf('IF= %g \n',IF); % fprintf('IC= %g \n',IC); % fprintf('mBB1= %g \n',mBB1); % fprintf('mDD1= %g \n',mDD1); % fprintf('mEF= %g \n',mEF); % fprintf('mF= %g \n',mF);

ANEXOS ANEXO K

% fprintf('mC= %g \n',mC); % fprintf('LGRmult1= %g \n',LGRmult1); % fprintf('LGRmult2= %g \n',LGRmult2); % fprintf('LGRmult3= %g \n',LGRmult3); % fprintf('LGRmult4= %g \n',LGRmult4); % fprintf('\n');

Solqpp = [ThetaPP;LGRmult1;LGRmult2;PhiPP;BetaPP];

% end

Dia

gra

ma e

n s

imu

lin

k

ANEXOS ANEXO K

ANEXOS ANEXO K

ANEXOS ANEXO L


Dim_Simulk.m (MATLAB) Reacciones_DimEK.m (MATLAB) Dim.mdl (MATLAB) Dinamica_Reacciones_DimEK.wm2d (Working Model) Reaction Force.wm2d (Working Model) Se presentan las reacciones en los pares del mecanismo

Dim_Simulk.m

%*********************************************************** %****************** Dim_Simulk ******************* %***********************************************************




%*********************************************************** %****************** DATOS ******************* %*********************************************************** syms ThetaPP;


ANEXO L

ANEXOS ANEXO L

% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = -3; m = 2; RBA=[P;H];






ANEXOS ANEXO L

% Masa e Inercia BB1 mBB1=1; IBB1=1; % Masa e Inercia DD1 mDD1=1; IDD1=1; % Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=10; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;

% Gravedad g=9.80;

%Torque % MTorque=100; % Fcorte=-50; MTorque=100; Fcorte=-50;

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %***********************************************************


implementación




end


ANEXOS ANEXO L



end




Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(-H-m))/(LEF));



LAC=abs(((LBC*cos(Theta)-H)/cos(Phi)));

else LAC=abs((((LBC*sin(Theta)+P)/sin(Phi)))); end

LACH=LAC;


RBFx=(P+LAE*sin(Phi)-LEF*sin(Beta));





ANEXOS ANEXO L






se %hizo ahora.










end





ANEXOS ANEXO L

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************



%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************



% Velocidad del CM_ELmBB1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RBB1CMP=Mtz_TBB1P*UV_ELmBB1*ThetaP; RBB1CMxP=RBB1CMP((1)); RBB1CMyP=RBB1CMP((2)); % Velocidad del CM_ELmDD1 desde el sistema de coordenadas (X,Y) RDD1CMP=Mtz_TDD1P*UV_ELmDD1*KPhi*ThetaP; RDD1CMxP=RDD1CMP((1)); RDD1CMyP=RDD1CMP((2));

ANEXOS ANEXO L

% Velocidad del CM_ELmEF desde el sistema de coordenadas (X,Y) REFCMP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*KPhi*ThetaP+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*KBeta*Th








i)]*LPhi*ThetaP+[-







LEF*cos(Beta)]*KBeta^2*ThetaP^2; % RFCMxPP=RFCMPP((1)); % RFCMyPP=RFCMPP((2)); % % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) % RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)



LAC*cos(Phi)*KPhi -


TDD1P*UV_ELmC*KPhi*LPhi*ThetaP-Mtz_TDD1*UV_ELmC*KPhi^2*ThetaP^2;

ANEXOS ANEXO L

% RCCMxPP=RCCMPP((1)); % RCCMyPP=RCCMPP((2));

%*********************************************************** %*************** Inercia General ****************** %***********************************************************




















%*********************************************************** %********* Dinámica ********** %***********************************************************



ANEXOS ANEXO L

%*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************
















%*********************************************************** %*************** IMPRESIONES ********************* %***********************************************************


ANEXOS ANEXO L



qpp = [ThetaPP];

% end

ANEXOS ANEXO L

Reacciones_DimEK.m

%*********************************************************** %*********** Reacciones Dinamica EKSergian *************** %***********************************************************

% clc % clear all % close all

function F=Reacciones_DimEK(u)

Theta=u(1); ThetaP=u(2); ThetaPP=u(3);

syms f1BB1x f1BB1y fCBB1x fCBB1y fDD1Cx fDD1Cy f1DD1x f1DD1y fEFDD1x

fEFDD1y fFEFx fFEFy f1Fy uCNCy RCMFfcortey RCMFNFx RCMFNFy uCNCx f1Fx

fDD1C;


% Magnitudes de las variables de diseño P = 0; H = -3; m = 2; RBA=[P;H];

% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmBB1,V_ELmBB1); U_ELmBB1=-1.5; V_ELmBB1=5; UV_ELmBB1=[U_ELmBB1;V_ELmBB1]; u2=UV_ELmBB1((1)); v2=UV_ELmBB1((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmDD1,V_ELmDD1); U_ELmDD1=2; V_ELmDD1=-2.5; UV_ELmDD1=[U_ELmDD1;V_ELmDD1]; u4=UV_ELmDD1((1)); v4=UV_ELmDD1((2));

ANEXOS ANEXO L

% Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmC,V_ELmC); U_ELmC=1.125; V_ELmC=-1.5; UV_ELmC=[U_ELmC;V_ELmC]; u3=UV_ELmC((1)); v3=UV_ELmC((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmEF,V_ELmEF); U_ELmEF=2; V_ELmEF=15; UV_ELmEF=[U_ELmEF;V_ELmEF]; u5=UV_ELmEF((1)); v5=UV_ELmEF((2)); % Definicion del CM, desde el sistema de coordenadas (U_ELmF,V_ELmF); U_ELmF=3; V_ELmF=2; UV_ELmF=[U_ELmF;V_ELmF]; u6=UV_ELmF((1)); v6=UV_ELmF((2));


% Masa e Inercia BB1 mBB1=1; IBB1=1; % Masa e Inercia DD1 mDD1=1; IDD1=1; % Masa e Inercia EF mEF=3; IEF=10; % Masa e Inercia F mF=4; IF=10; % Masa e Inercia C mC=5; IC=7;

% Gravedad g=9.80;

%Torque % MTorque=100; % Fcorte=-50; MTorque=100; Fcorte=-50;

ANEXOS ANEXO L

%*********************************************************** %****************** POSICIÓN ************************** %*********************************************************** % Ecuaciones de Restricción, determinación de Phi, Beta. % NOTA: Cuando P, esta de lado izquierdo, entonces Phi, tiene valores % negativos. Es importante tomarlo en cuenta a la hora de la

implementación




end




end




Beta=-acos((LAE*cos(Phi)+(-H-m))/(LEF));



LAC=abs(((LBC*cos(Theta)-H)/cos(Phi)));

else LAC=abs((((LBC*sin(Theta)+P)/sin(Phi)))); end

ANEXOS ANEXO L

LACH=LAC;


RBFx=(P+LAE*sin(Phi)-LEF*sin(Beta));










se %hizo ahora.







ANEXOS ANEXO L




end





%*********************************************************** %****************** POSICIÓN CM ************************ %***********************************************************



ANEXOS ANEXO L

%*********************************************************** %****************** VELOCIDAD CM ************************ %***********************************************************






cos(Phi)]*[KPhi*ThetaP;KLAC*ThetaP]+Mtz_TDD1P*UV_ELmC*KPhi*ThetaP; RCCMxP=RCCMP((1)); RCCMyP=RCCMP((2)); %*********************************************************** %****************** ACELERACIÓN CM ********************** %***********************************************************





P+Mtz_TEFP*UV_ELmEF*LBeta*ThetaP^2-Mtz_TEF*UV_ELmEF*KBeta^2*ThetaP^2; REFCMxPP=REFCMPP((1)); REFCMyPP=REFCMPP((2));

ANEXOS ANEXO L

% Aceleración del CM_ELmF desde el sistema de coordenadas (X,Y) RFCMPP=[LAE*cos(Phi);LAE*sin(Phi)]*(KPhi*ThetaPP)+[LAE*cos(Phi);LAE*sin(P

hi)]*(LPhi*ThetaP^2)+[-LAE*sin(Phi);LAE*cos(Phi)]*(KPhi^2*ThetaP^2)-

[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*(KBeta*ThetaPP)-

[LEF*cos(Beta);LEF*sin(Beta)]*(LBeta*ThetaP^2)+[LEF*sin(Beta);-

LEF*cos(Beta)]*(KBeta^2*ThetaP^2); RFCMxPP=RFCMPP((1)); RFCMyPP=RFCMPP((2)); % Aceleración del CM_ELmC desde el sistema de coordenadas (X,Y) RCCMPP=[-LAC*cos(Phi) -sin(Phi);-LAC*sin(Phi)







%*********************************************************** %****************** REACCIONES ********************** %***********************************************************

%*********** %ESLABON BB1 %***********

% Distancia del CM del elemento BB1 a B, medido desde el sistema de

coordenadas(x2,y2)

RCMBB1B=Mtz_TBB1*[-u2;-v2]; RCMBB1Bx=RCMBB1B((1)); RCMBB1By=RCMBB1B((2));

% Distancia del CM del elemento BB1 a C, medido desde el sistema de % coordenadas (ucm2,vcm2); RCMBB1B(VCM2)=LCMBB1C

if v2<0 LCMBB1C=LBC+v2; else LCMBB1C=LBC-v2; end

% Distancia del CM del elemento BB1 a C, medido desde el sistema de % coordenadas (x2,y2)

RCMBB1C=Mtz_TBB1*[-u2;LCMBB1C]; RCMBB1Cx=RCMBB1C((1)); RCMBB1Cy=RCMBB1C((2));

ANEXOS ANEXO L

% Sumatoria de Fuerzas y Momentos % fxBB1: f1BB1x+fCBB1x=(mBB1*RBB1CMxPP); % fyBB1: f1BB1y+fCBB1y-(mBB1*g)=(mBB1*RBB1CMyPP); % MBB1: ((RCMBB1Bx)*(f1BB1y))-

((RCMBB1By)*(f1BB1x))+((RCMBB1Cx)*(fCBB1y))-

((RCMBB1Cy)*(fCBB1x))=(IBB1*ThetaPP)-MTorque;

%*********** %ESLABON C %***********

% Distancia del CM del elemento C a C, medido desde el sistema de % coordenadas(x3,y3)

RCMCC=Mtz_TDD1*[-u3;-v3]; RCMCCx=RCMCC((1)); RCMCCy=RCMCC((2));

% Distancia del CM del elemento C al punto de aplicaciòn de la fuerza % normal al eslabon C (NC), medido desde el sistema de coordenadas

(x3,y3)

RCMCNC=Mtz_TDD1*[(uCNCx-u3);(uCNCy-v3)]; RCMCNCx=RCMCNC((1)); RCMCNCy=RCMCNC((2));

% Sumatoria de fuerzas % fxC: fBB1Cx+fDD1Cx=(mC*RCCMxPP); % fyC: fBB1Cy+fDD1Cy-(mC*g)=(mC*RCCMyPP); % MC: ((RCMCCx)*(fBB1Cy))-((RCMCCy)*(fBB1Cx))+((RCMCNCx)*(fDD1Cy))-

((RCMCNCy)*(fDD1Cx))=IC*PhiPP

% fBB1C=-fCBB1; % fxC: -fCBB1x+fDD1Cx=(mC*RCCMxPP); % fyC: -fCBB1y+fDD1Cy-(mC*g)=(mC*RCCMyPP); % MC: -((RCMCCx)*(fCBB1y))+((RCMCCy)*(fCBB1x))+((RCMCNCx)*(fDD1Cy))-

((RCMCNCy)*(fDD1Cx))=(IC*(KPhi*ThetaPP+LPhi*ThetaP^2))

%*********** %ESLABON DD1 %***********

% Distancia del CM del elemento DD1 al punto A, medido desde el sistema

de % coordenadas(x4,y4)

RCMDD1A=Mtz_TDD1*[-u4;-v4]; RCMDD1Ax=RCMDD1A((1)); RCMDD1Ay=RCMDD1A((2));

ANEXOS ANEXO L

% Distancia del CM del elemento DD1 al punto E, medido desde el sistema

de % coordenadas (ucm4,vcm4); RCMDD1E(VCM4)=LCMDD1E

if v4<0 LCMDD1E=LAE+v4; else LCMDD1E=LAE-v4; end

% Distancia del CM del elemento DD1 a E, medido desde el sistema de % coordenadas (x4,y4)

RCMDD1E=Mtz_TDD1*[-u4;-LCMDD1E]; RCMDD1Ex=RCMDD1E((1)); RCMDD1Ey=RCMDD1E((2));

% Distancia del CM del elemento DD1 al punto de aplicaciòn de la fuerza % normal al eslabon C (NC), medido desde el sistema de coordenadas

(x4,y4)

RCMDD1NC=Mtz_TDD1*[uCNCx-u4;LAC+uCNCy-v4]; RCMDD1NCx=RCMDD1NC((1)); RCMDD1NCy=RCMDD1NC((2));

%Sumatoria de fuerzas % fxDD1: f1DD1x+fEFDD1x+fCDD1x=(mDD1*RDD1CMxPP); % fyDD1: f1DD1y+fEFDD1y+fCDD1y-(mDD1*g)=(mDD1*RDD1CMyPP); % MDD1: ((RCMDD1Ax)*(f1DD1y))-

((RCMDD1Ay)*(f1DD1x))+((RCMDD1Ex)*(fEFDD1y))-

((RCMDD1Ey)*(fEFDD1x))+((RCMDD1NCx)*(fCDD1y))-

((RCMDD1NCy)*(fCDD1x))=IDD1*PhiPP

% fDD1C=-fCDD1 % fxDD1: f1DD1x+fEFDD1x-fDD1Cx=(mDD1*RDD1CMxPP); % fyDD1: f1DD1y+fEFDD1y-fDD1Cy-(mDD1*g)=(mDD1*RDD1CMyPP); % MDD1: ((RCMDD1Ax)*(f1DD1y))-

((RCMDD1Ay)*(f1DD1x))+((RCMDD1Ex)*(fEFDD1y))-((RCMDD1Ey)*(fEFDD1x))-

((RCMDD1NCx)*(fDD1Cy))+((RCMDD1NCy)*(fDD1Cx))=(IDD1*(KPhi*ThetaPP+LPhi*Th

etaP^2))

%*********** %ESLABON EF %***********

% Distancia del CM del elemento EF al punto E, medido desde el sistema de % coordenadas(x5,y5)

RCMEFE=Mtz_TEF*[-u5;-v5]; RCMEFEx=RCMEFE((1)); RCMEFEy=RCMEFE((2));

ANEXOS ANEXO L

% Distancia del CM del elemento EF al punto F, medido desde el sistema de % coordenadas (ucm5,vcm5); RCMEFF(VCM5)=LCMEFF

if v5<0 LCMEFF=LEF+v5; else LCMEFF=LEF-v5; end

RCMEFF=Mtz_TEF*[-u5;LCMEFF]; RCMEFFx=RCMEFF((1)); RCMEFFy=RCMEFF((2));

% Sumatoria de Fuerzas %fxEF: fDD1EFx+fFEFx=mEF*REFCMxPP; %fyEF: fDD1EFy+fFEFy-(mEF*g)=mEF*REFCMyPP; %MEF:((RCMEFEx)*(fDD1EFy))-((RCMEFEy)*(fDD1EFx))-

((RCMEFFx)*(fFEFy))+(RCMEFFy)*(fFEFx)=IEF*BetaPP %BetaPP=KBeta*ThetaPP+LBeta*ThetaP^2

% fDD1EFx=-fEFDD1x; % fDD1EFy=-fEFDD1y; % fxEF: -fEFDD1x+fFEFx=mEF*REFCMxPP; % fyEF: -fEFDD1y+fFEFy-(mEF*g)=mEF*REFCMyPP; % MEF: -((RCMEFEx)*(fEFDD1y))+((RCMEFEy)*(fEFDD1x))+((RCMEFFx)*(fFEFy))-

(RCMEFFy)*(fFEFx)=(IEF*(KBeta*ThetaPP+LBeta*ThetaP^2))

%*********** %ESLABON F %***********

% Distancia del CM del elemento F al punto F, medido desde el sistema de % coordenadas(x6,y6)

RCMFFx=-u6; RCMFFy=-v6;

% Distancia del CM del elemento F al punto de aplicaciòn de la fuerza

Fcorte, medido desde el sistema de % coordenadas(x6,y6)

RCMFfcortex=-u6+u7; RCMFfcortey=-v6+v7;

ANEXOS ANEXO L

% Sumatoria de Fuerzas % fEFFx+f1Fx-Fcorte=mF*RFCMxPP; % fEFFy+f1Fy-(mF*g)=mF*RFCMyPP; % ((RCMFFx)*(fEFFy))-((RCMFFy)*(fEFFx))+(RCMFNFx)(f1Fy)-(RCMFNFy)(f1Fx)=0

% fEFFx=-fFEFx; % fEFFy=-fFEFy; % f1Fx=0; % fxF: -fFEFx+Fcorte=(mF*RFCMxPP); % fyF: -fFEFy+f1Fy-(mF*g)=mF*RFCMyPP; % MF-(RCMFFx)*(fFEFy)+(RCMFFy)*(fFEFx)+(RCMFNFx)(f1Fy)=0

%********************** %ECUACIONES RETORNO RAPIDO %**********************

% fxBB1: f1BB1x+fCBB1x=(mBB1*RBB1CMxPP); % fyBB1: f1BB1y+fCBB1y-(mBB1*g)=(mBB1*RBB1CMyPP); % MBB1: ((RCMBB1Bx)*(f1BB1y))-

((RCMBB1By)*(f1BB1x))+((RCMBB1Cx)*(fCBB1y))-

((RCMBB1Cy)*(fCBB1x))=(IBB1*ThetaPP)-MTorque;

% fxC: -fCBB1x+fDD1Cx=(mC*RCCMxPP); % fyC: -fCBB1y+fDD1Cy-(mC*g)=(mC*RCCMyPP); % MC: -((RCMCCx)*(fCBB1y))+((RCMCCy)*(fCBB1x))+((RCMCNCx)*(fDD1Cy))-

((RCMCNCy)*(fDD1Cx))=(IC*(KPhi*ThetaPP+LPhi*ThetaP^2))

% fxDD1: f1DD1x+fEFDD1x-fDD1Cx=(mDD1*RDD1CMxPP); % fyDD1: f1DD1y+fEFDD1y-fDD1Cy-(mDD1*g)=(mDD1*RDD1CMyPP); % MDD1: ((RCMDD1Ax)*(f1DD1y))-

((RCMDD1Ay)*(f1DD1x))+((RCMDD1Ex)*(fEFDD1y))-((RCMDD1Ey)*(fEFDD1x))-

((RCMDD1NCx)*(fDD1Cy))+((RCMDD1NCy)*(fDD1Cx))=(IDD1*(KPhi*ThetaPP+LPhi*Th

etaP^2))

% INCOGNITAS: %

f1BB1x,f1BB1y,fCBB1x,fCBB1y,fDD1Cx,fDD1Cy,f1DD1x,f1DD1y,uCNCy,fEFDD1x,fEF

DD1y % DATO: uCNCx

%************************* %ECUACIONES BIELA CORREDERA %*************************

% fxEF: -fEFDD1x+fFEFx=mEF*REFCMxPP; % fyEF: -fEFDD1y+fFEFy-(mEF*g)=mEF*REFCMyPP; % MEF: -((RCMEFEx)*(fEFDD1y))+((RCMEFEy)*(fEFDD1x))+((RCMEFFx)*(fFEFy))-

(RCMEFFy)*(fFEFx)=(IEF*(KBeta*ThetaPP+LBeta*ThetaP^2))

% fxF: -fFEFx+Fcorte=(mF*RFCMxPP); % fyF: -fFEFy+f1Fy-(mF*g)=mF*RFCMyPP; % MF-(RCMFFx)*(fFEFy)+(RCMFFy)*(fFEFx)+(RCMFNFx)(f1Fy)=0

ANEXOS ANEXO L

% INCOGNITAS: % fEFDD1x,fEFDD1y,fFEFx,fFEFy,f1F,RCMFfcortey % DATO: f1x

%********************** %SOLUCIONES %**********************

% Se tienen entonces 15 ecuaciones con 15 incognitas, por tanto,

resolvemos % un sistema de ecuaciones simultaneas.

%DATOS

% -------------------------------------------- uCNCx=0; f1Fx=0;

%Distancias que contienen uCNCx RCMCNC=Mtz_TDD1*[(uCNCx-u3);(uCNCy-v3)]; RCMCNCx=RCMCNC((1)); RCMCNCy=RCMCNC((2));

RCMDD1NC=Mtz_TDD1*[uCNCx-u4;LAC+uCNCy-v4]; RCMDD1NCx=RCMDD1NC((1)); RCMDD1NCy=RCMDD1NC((2)); % --------------------------------------------

f1=f1BB1x+fCBB1x-(mBB1*RBB1CMxPP); f2=f1BB1y+fCBB1y-(mBB1*g)-(mBB1*RBB1CMyPP); f3=((RCMBB1Bx)*(f1BB1y))-((RCMBB1By)*(f1BB1x))+((RCMBB1Cx)*(fCBB1y))-

((RCMBB1Cy)*(fCBB1x))-(IBB1*ThetaPP)+MTorque; f4=-fCBB1x+fDD1Cx-(mC*RCCMxPP); f5=-fCBB1y+fDD1Cy-(mC*g)-(mC*RCCMyPP); f6=-((RCMCCx)*(fCBB1y))+((RCMCCy)*(fCBB1x))+((RCMCNCx)*(fDD1Cy))-

((RCMCNCy)*(fDD1Cx))-(IC*(KPhi*ThetaPP+LPhi*ThetaP^2)); f7=f1DD1x+fEFDD1x-fDD1Cx-(mDD1*RDD1CMxPP); f8=f1DD1y+fEFDD1y-fDD1Cy-(mDD1*g)-(mDD1*RDD1CMyPP); f9=((RCMDD1Ax)*(f1DD1y))-((RCMDD1Ay)*(f1DD1x))+((RCMDD1Ex)*(fEFDD1y))-

((RCMDD1Ey)*(fEFDD1x))-((RCMDD1NCx)*(fDD1Cy))+((RCMDD1NCy)*(fDD1Cx))-

(IDD1*(KPhi*ThetaPP+LPhi*ThetaP^2)); f10=-fEFDD1x+fFEFx-mEF*REFCMxPP; f11=-fEFDD1y+fFEFy-(mEF*g)-mEF*REFCMyPP; f12=-((RCMEFEx)*(fEFDD1y))+((RCMEFEy)*(fEFDD1x))+((RCMEFFx)*(fFEFy))-

(RCMEFFy)*(fFEFx)-(IEF*(KBeta*ThetaPP+LBeta*ThetaP^2)); f13=-fFEFx+f1Fx+Fcorte-(mF*RFCMxPP); f14= -fFEFy+f1Fy-(mF*g)-mF*RFCMyPP; f15= -(RCMFFx)*(fFEFy)+(RCMFFy)*(fFEFx)+(RCMFNFx)*(f1Fy)-

(RCMFfcortey)*(Fcorte)-(RCMFNFy)*(f1Fx);

%Incognitas % f1BB1x,f1BB1y,fCBB1x,fCBB1y,fDD1Cx,fDD1Cy,f1DD1x,f1DD1y,uCNCy % fEFDD1x,fEFDD1y,fFEFx,fFEFy,f1Fy,RCMFNFx

ANEXOS ANEXO L

S=solve(f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8,f9,f10,f11,f12,f13,f14,f15,f1BB1x,f1BB1y,

fCBB1x,fCBB1y,fDD1Cx,fDD1Cy,f1DD1x,f1DD1y,uCNCy,fEFDD1x,fEFDD1y,fFEFx,fFE

Fy,f1Fy,RCMFNFx); S=[S.f1BB1x S.f1BB1y S.fCBB1x S.fCBB1y S.fDD1Cx S.fDD1Cy S.f1DD1x

S.f1DD1y S.uCNCy S.fEFDD1x S.fEFDD1y S.fFEFx S.fFEFy S.f1Fy S.RCMFNFx];

f1BB1x=eval(S((1))); f1BB1y=eval(S((2))); fCBB1x=eval(S((3))); fCBB1y=eval(S((4))); fDD1Cx=eval(S((5))); fDD1Cy=eval(S((6))); f1DD1x=eval(S((7))); f1DD1y=eval(S((8))); uCNCy=eval(S((9))); fEFDD1x=eval(S((10))); fEFDD1y=eval(S((11))); fFEFx=eval(S((12))); fFEFy=eval(S((13))); f1Fy=eval(S((14))); RCMFNFx=eval(S((15)));

%********************** %CONDICIONES DE PRUEBA %********************** % f1BB1x=0; % f1BB1y=0; f1DD1x=-f1DD1x; f1DD1y=-f1DD1y; fCBB1x=-fCBB1x; fCBB1y=-fCBB1y; % fDD1C=0; % fEFDD1x=0; % fEFDD1y=0; % fFEFx=0; % fFEFy=0;

%*********************************************************** %*************** IMPRESIONES ********************* %***********************************************************

fprintf('(*Theta en Grados*)\n'); fprintf('ThetaDeg= %g ;\n',Theta*180/pi); fprintf('(*POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN*)\n'); fprintf('Theta= %g ;\n',Theta); fprintf('ThetaP= %g ;\n',ThetaP); fprintf('ThetaPP= %g ;\n',ThetaPP); fprintf('(*MAGNITUD DE LOS ESLABONES*)\n'); fprintf('LBB1= %g ;\n',LBB1); fprintf('LCB1= %g ;\n',LCB1); fprintf('LAD= %g ;\n',LAD); fprintf('LAD1= %g ;\n',LAD1); fprintf('LDD1= %g ;\n',LDD1); fprintf('LED1= %g ;\n',LED1);

ANEXOS ANEXO L

fprintf('LEF= %g ;\n',LEF); fprintf('LAE= %g ;\n',LAE); fprintf('LBC= %g ;\n',LBC); fprintf('(*MAGNITUD VARIABLES DE DISEÑO*)\n'); fprintf('P= %g ;\n',P); fprintf('H= %g ;\n',H); fprintf('m= %g ;\n',m); fprintf('(*DEFINICION CM BB1*)\n'); fprintf('u2= %g ;\n',u2); fprintf('v2= %g ;\n',v2); fprintf('(*DEFINICION CM DD1*)\n'); fprintf('u4= %g ;\n',u4); fprintf('v4= %g ;\n',v4); fprintf('(*DEFINICION CM C*)\n'); fprintf('u3= %g ;\n',u3); fprintf('v3= %g ;\n',v3); fprintf('(*DEFINICION CM EF*)\n'); fprintf('u5= %g ;\n',u5); fprintf('v5= %g ;\n',v5); fprintf('(*DEFINICION CM F*)\n'); fprintf('u6= %g ;\n',u6); fprintf('v6= %g ;\n',v6); fprintf('(*APLICACION DE LA FUERZA EN*)\n'); fprintf('u7= %g ;\n',u7); fprintf('v7= %g ;\n',v7); fprintf('(*MASA E INERCIA BB1*)\n'); fprintf('mBB1= %g ;\n',mBB1); fprintf('IBB1= %g ;\n',IBB1); fprintf('(*MASA E INERCIA DD1*)\n'); fprintf('mDD1= %g ;\n',mDD1); fprintf('IDD1= %g ;\n',IDD1); fprintf('(*MASA E INERCIA EF*)\n'); fprintf('mEF= %g ;\n',mEF); fprintf('IEF= %g ;\n',IEF); fprintf('(*MASA E INERCIA EF*)\n'); fprintf('mF= %g ;\n',mF); fprintf('IF= %g ;\n',IF); fprintf('(*MASA E INERCIA C*)\n'); fprintf('mC= %g ;\n',mC); fprintf('IC= %g ;\n',IC); fprintf('(*FUERZAS EXTERNAS*)\n'); fprintf('g= %g ;\n',g); fprintf('MTorque= %g ;\n',MTorque); fprintf('Fcorte= %g ;\n',Fcorte); fprintf('(*COORDENADAS GENERALIZADAS*)\n'); fprintf('Phi= %g ;\n',Phi); fprintf('LAC= %g ;\n',LAC); fprintf('Beta= %g ;\n',Beta); fprintf('RBFx= %g ;\n',RBFx); fprintf('(*COEFICIENTES DE VELOCIDAD*)\n'); fprintf('KPhi= %g ;\n',KPhi); fprintf('KLAC= %g ;\n',KLAC); fprintf('KBeta= %g ;\n',KBeta); fprintf('KRBFx= %g ;\n',KRBFx); fprintf('(*COEFICIENTES DE ACELERACION*)\n');

ANEXOS ANEXO L

fprintf('LPhi= %g ;\n',LPhi); fprintf('LLAC= %g ;\n',LLAC); fprintf('LBeta= %g ;\n',LBeta); fprintf('LRBFx= %g ;\n',LRBFx); fprintf('(*ACELERACION CM BB1*)\n'); fprintf('RBB1CMxPP= %g ;\n',RBB1CMxPP); fprintf('RBB1CMyPP= %g ;\n',RBB1CMyPP); fprintf('(*ACELERACION CM DD1*)\n'); fprintf('RDD1CMxPP= %g ;\n',RDD1CMxPP); fprintf('RDD1CMyPP= %g ;\n',RDD1CMyPP); fprintf('(*ACELERACION CM EF*)\n'); fprintf('REFCMxPP= %g ;\n',REFCMxPP); fprintf('REFCMyPP= %g ;\n',REFCMyPP); fprintf('(*ACELERACION CM F*)\n'); fprintf('RFCMxPP= %g ;\n',RFCMxPP); fprintf('RFCMyPP= %g ;\n',RFCMyPP); fprintf('(*ACELERACION CM C*)\n'); fprintf('RCCMxPP= %g ;\n',RCCMxPP); fprintf('RCCMyPP= %g ;\n',RCCMyPP); fprintf('(*DISTANCIA BB1CM B y C*)\n'); fprintf('RCMBB1Bx= %g ;\n',RCMBB1Bx); fprintf('RCMBB1By= %g ;\n',RCMBB1By); fprintf('RCMBB1Cx= %g ;\n',RCMBB1Cx); fprintf('RCMBB1Cy= %g ;\n',RCMBB1Cy); fprintf('(*DISTANCIA CCM C*)\n'); fprintf('RCMCCx= %g ;\n',RCMCCx); fprintf('RCMCCy= %g ;\n',RCMCCy); fprintf('(*DISTANCIA DD1CM A,E*)\n'); fprintf('RCMDD1Ax= %g ;\n',RCMDD1Ax); fprintf('RCMDD1Ay= %g ;\n',RCMDD1Ay); fprintf('RCMDD1Ex= %g ;\n',RCMDD1Ex); fprintf('RCMDD1Ey= %g ;\n',RCMDD1Ey); fprintf('(*DISTANCIA EFCM E,F*)\n'); fprintf('RCMEFEx= %g ;\n',RCMEFEx); fprintf('RCMEFEy= %g ;\n',RCMEFEy); fprintf('RCMEFFx= %g ;\n',RCMEFFx); fprintf('RCMEFFy= %g ;\n',RCMEFFy); fprintf('(*DISTANCIA FCM F,Fcorte*)\n'); fprintf('RCMFFx= %g ;\n',RCMFFx); fprintf('RCMFFy= %g ;\n',RCMFFy); fprintf('RCMFfcortex= %g ;\n',RCMFfcortex); fprintf('RCMFfcortey= %g ;\n',RCMFfcortey); fprintf('(*RESULTADOS*)\n'); fprintf('f1BB1x= %g ;\n',f1BB1x); fprintf('f1BB1y= %g ;\n',f1BB1y); fprintf('fCBB1x= %g ;\n',-fCBB1x); fprintf('fCBB1y= %g ;\n',-fCBB1y); fprintf('f1DD1x= %g ;\n',-f1DD1x); fprintf('f1DD1y= %g ;\n',-f1DD1y); fprintf('fDD1Cx= %g ;\n',fDD1Cx); fprintf('fDD1Cy= %g ;\n',fDD1Cy); fprintf('fEFDD1x= %g ;\n',fEFDD1x); fprintf('fEFDD1y= %g ;\n',fEFDD1y); fprintf('fFEFx= %g ;\n',fFEFx); fprintf('fFEFy= %g ;\n',fFEFy);

ANEXOS ANEXO L

fprintf('f1Fy= %g ;\n',f1Fy); fprintf('uCNCy= %g ;\n',uCNCy); fprintf('RCMFNFx= %g ;\n',RCMFNFx);

fprintf('\n \n');

fDD1C=(fDD1Cx^2+fDD1Cy^2)^0.5;

F=[f1BB1x; f1BB1y; fCBB1x; fCBB1y; f1DD1x; f1DD1y; fDD1Cx; fDD1Cy;

fEFDD1x; fEFDD1y; fFEFx; fFEFy; f1Fy; uCNCy; RCMFNFx; fDD1C];

Dia

gra

ma e

n s

imu

lin

k

ANEXOS ANEXO L

ANEXOS ANEXO L

instituto politÉcnico nacional · 2017. 9. 2. · 4.6. síntesis cinemática del mecanismo de...

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