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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE FISICAINSTITUTO DE FISICA

Algunos efectos de QED2+1

aplicados ala fısica del grafeno

por

David Sebastian Valenzuela Dıaz

Tesis presentada a la Facultad de Fısica,Pontificia Universidad Catlica de Chilepara optar al grado de Doctor en Fısica

PROFESOR GUIA : Dr. Marcelo Loewe

PROFESOR CO-GUIA : Dr. Alfredo Raya

COMISION INFORMANTE : Dr. Rafael Benguria: Dr. Jorge Gamboa: Dr. Benjamin Koch: Dr. Enrique Munoz

Junio, 2016Santiago, Chile

Para todas los seres que me acompanaron en esta tesis.

i

Agradecimientos

Quisiera tomar estas primeras lıneas para agradecer a todos los que de al-

guna manera colaboraron en esta tesis. Comenzando por DIOS que hizo

que las cosas pasaran y pasen como debieran o deben pasar. Mi familia

sanguınea, mi madre Sara Dıaz Campillay, que con su amor incondicional

me acompna dıa y noche. A mi padre Francisco Valenzuela Quiero, que

me apoya desde mi ciudad natal Copiapo. A mi abuela, mis tıas y tıos que

siempre estan ahı cuando los necesito. A mi prima, mi hermana, que la amo

mucho. Gracias a mi “gran familia”, familia que incluyen y trascienden la

sangre, cuyas fronteras aun no logro divisar. A mis amigos, mis hermanos,

Hector Duarte Portilla, que con sus travesuras y “bullying” (jajaja no son

peleas con el hermano chico, pero nos llevamos muy bien) hacen de este

viaje algo entretenido. A Guillermo Arrano Torres, que en cada salida en

Copiapo siempre nos deja algo que pensar. A mis profesores Marcelo Loewe

y Alfredo Raya por su apoyo en este trabajo. A mi profesora de Fısica,

educacion media, Sra. Marisol Bassi, que de un modo u otro, inicio todo

esto. Y ası, a incontables otros seres que desde su anonimato me ayudaron

y me ayudan en este camino; los amo. Gracias a la gente que conozco y a

la que no, a la que lee esto y la que no, porque cada uno aporto su grano

de arena. Gracias al pasto, las plantas, por darme descanso cuando estoy

agotado, a los animales, por alegrarme mi dıa a dıa. Gracias a la tierra

por ensenarme que despues de una caıda solo queda aprender y levantarse.

Al agua por ensenarme a fluir, a amoldarme, para expresarme sin miedo y

adecuadamente. Al aire, los vientos, por ensenarme que grandes cambios

ii

son originados por acciones pequenas, imperceptibles, pero constantes. Al

fuego por ensenarme que nada es mas poderoso que la voluntad. Y como

dice un extracto del poema “Invictus” atribuido a William Ernest Henley:

‘doy gracias a los dioses cuales fueren por mi alma inconquistable’.

SINCERAMENTE ¡¡¡¡MUCHAS GRACIAS, LOS AMO!!!! ¡¡¡¡ LO LO-

GRAMOS!!!!

iii

Resumen

Nuestra idea en esta tesis es contrastar o corroborar las predicciones teoricas,

obtenidas dentro de la electrodinamica cuantica en dos dimensiones es-

paciales y una temporal, QED2+1, en efectos tales como el efecto Hall

cuantico, el efecto Faraday y su conexion con el problema –que cuenta

con fuerte evidencia experimental– de absorcion de luz en grafeno, ma-

terial bidimensional en el cual los electrones de conduccion se comportan

como cuasi-partıculas sin masa, “partıculas de Dirac”. Ello, sumado a una

relacion de dispersion lineal cerca de los llamados “puntos de Dirac” en

la primera zona de Brillouin de la red cristalina del grafeno, hace de este

material un perfecto laboratorio teorico para verificar dicha teorıa.

Abordamos este tema desde dos angulos distintos. El primero de ellos trata

los efectos anteriormente mencionados, sujeto a la presencia de un campo

magnetico debil, perpendicular y externo al sistema. Experimentalmente

corresponde a un campo magnetico que incide perpendicularmente sobre la

lamina de grafeno. Para este fin usamos el “propagador de Schwinger” lo

expandimos para campo debil y tomamos el lımite de quiral. Con esto en

mano, calculamos el tensor de polarizacion del vacıo Πµν , cantidad funda-

mental para el analisis teorico de tales efectos, encontrandose que el factor

correctivo, debido al campo magnetico debil, para tales fenomenos es de(eB/ω2

)2, donde ω es la frecuencia de la luz incidente y B la intensidad del

campo magnetico. En el otro aspecto, de esta tesis, tratamos el tema de las

impurezas en la red cristalina, esta vez en ausencia de campo magnetico en

la lamina de grafeno. Este fenomeno se modela por la “masa de Heldane”

iv

y se discuten los mismos efectos, mencionados anteriormente. Como un re-

sultado adicional, esta vez, calculamos el factor de llenado con la formula

de Kubo. Luego, se presentan grafica comparandose con literatura experi-

mental atingente, concluyendo ası que QED2+1 es una teorıa que puede ser

respaldada por datos experimentales.

Finalmente, nos adentramos en la tematica de los potenciales centrales,

con el objeto de estudiar el fenomeno del colapso atomico bajo impurezas

magneticas, modeladas por un campo mangetico inhomogeneo. Nuestros

resultados indican que no existe colapso gatillado por campos magneticos.

v

Indice General

Indice de Figuras ix

Introduccion general xi

1 Polarizando al vacıo 1

2 Aplicaciones de Παβ 19

3 Colapso atomico 39

4 Conclusion 57

Bibliografıa 61

vii

INDICE GENERAL

viii

Indice de Figuras

1 Red directa del grafeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

1.1 Diagrama de Feynman para el tensor de polarizacion del vacıo de la

QED a un loop con el propagador para la partıcula cargada vestido por

efectos de un campo magnetico externo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Incidencia de una onda electromagnetica en una lamina de grafeno. . . . 34

2.2 Grafico de la intensidad de luz trasmitida I vs. la frecuencia ω (medida

en eV) para distintos valores del campo magnetico externo B. La curva

roja, continua, representa el vacıo (0T); la lınea punteada negra (25mT);

la punteada azul de punto largo (50mT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Impurezas electricas en la red del grafeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Impurezas magneticas en la red del grafeno. El campo B1, denotado

por cruces negras es distinto al campo B2 –cruces verdes–, el cual esta

acotado a un cırculo de radio R en el centro de la lamina. . . . . . . . . 45

3.3 Impurezas magneticas en la red del grafeno. El campo B1, indicado por

cruces negras es distinto al campo B2, cruces verdes, el cual esta acotado

a un cırculo de radio R en el centro de la lamina. En el centro de la zona

interior, circunferencia en amarillo, el campo Aharonov-Bohm. . . . . . 54

ix

INDICE DE FIGURAS

x

Introduccion general

Descripcion general del grafeno

La estructura y el enlace quımico del Grafeno fueron descubiertas por el decenio de

1930. Sin embargo, no se le presto mucha atencion porque se creıa que era un mate-

rial termodinamicamente inestable, ya que se pensaba que las fluctuaciones termicas

destruirıan el orden cristalografico dando a lugar a que el cristal en 2D se fundiese.

En este marco, se entiende la importancia del trabajo de Andrei Geim y a Konstantın

Novoselov (Premio Nobel de Fısica 2010) [1–3], al aislar el Grafeno a temperatura

ambiente. Este hecho, junto con sus descubrimientos de variadas propiedades de este

material, revoluciono el mundo de la fısica teorica y experimental desde esa fecha. Pero

¿que es el Grafeno?

Dicho material es un arreglo bidimensional de atomos de carbono acomodados en

un patron hexagonal similar al grafito, pero realizado en una hoja o lamina de un

atomo de espesor. Entre sus propiedades fısicas, podemos destacar su trasparencia y

que es muy ligero. De hecho, 1m2 de Grafeno pesa solo 0.77mg. Sorprendentemente,

sin embargo, es 200 mas duro que el acero, siendo su densidad aproximadamente igual

a la de la fibra de carbono y 5 veces mas ligero que el acero. Ademas, es muy flexible

y elastico, teniendo conductividades termica y electrica elevadas. Se puede anadir que

este material sirve de soporte de radiacion ionizante, pues presenta un menor efecto

Joule, calentandose menos al conducir electrones. Adicionalmente, genera electricidad

al ser alcanzado por la luz. La alta razon superficie/volumen permite augurarle un

buen futuro en el mercado de los superconductores. Tambien se puede dopar, intro-

xi


duciendo impurezas para cambiar su comportamiento primigenio. Por ultimo, de entre

las propiedades fısicas generales, mencionaremos que se auto repara, o sea, cuando la

lamina sufre un dano, crea agujeros para que los demas atomos puedan concurrir a

tapar los huecos.

Desde el punto de vista quımico, el grafeno es un alotropo del carbono, un teselado

hexagonal plano formado por atomos de carbono y enlaces covalentes que se generan

a partir de la superposicion de los hıbridos sp2 de los carbono entrelazados. Mediante

estos enlaces, se explican los angulos de 120 con los que se forma el patron tipo panal

de abeja. Como cada uno de los carbonos contiene cuatro electrones de valencia en

el estado hibridado, tres de ellos se alojan en los hıbridos sp2 y forman el esqueleto

de enlaces covalentes simples de la estructura. El electron sobrante se aloja en un

orbital p perpendicular al plano de los hıbridos. El solapamiento lateral de dichos

orbitales forman orbitales tipo π. Algunas de estas combinaciones propician un orbital

molecular deslocalizado entre todos los atomos de carbono que constituyen la capa

de Grafeno. Tambien se le puede definir, mas exactamente, como un hidrocarburo

aromatico infinitamente alternante de anillos de solo 6 atomos de carbono. La molecula

mas grande de este tipo contiene 222 atomos de carbono o 37 unidades de benceno

separadas [4].

Otras propiedades, particularmente importantes para esta tesis, es que los electrones

de conduccion que se trasladan por el Grafeno se comportan como cuasi-partıculas de

Dirac sin masa, es decir, partıculas que se mueven a una velocidad maxima constante,

independientemente de su energıa, a una velocidad de Fermi vF promedio de vF = 106 ms .

Esta propiedad es de gran importancia para esta tesis, pues es un buen medio para

comprobar y medir experimentalmente propiedades de electrones relativistas predichas

y estudiadas por la electrodinamica cuantica (QED) [4–20].

Si nos centramos en la red hexagonal y la describimos matematicamente, observamos

que la posicion de todos los atomos de dicho arreglo se pueden describir completamente

mediante los vectores de red δ1 = a2 (1,

√3), δ2 = a

2 (1,−√3) donde a =

√3a0, a0 =

1.42A. Entonces, cada atomo de la red queda unicamente representado por el vector

R = nδ1+mδ2 con m,n ∈ Z. Adicionalmente se usa un vector auxiliar LD (linealmente

xii


dependiente) δ3 = −a(1, 0). Tambien se puede subdividir la red en 2 subredes llamadas

sub–lattice A y sub–lattice B con sus vectores de red a1 = δ1 − δ3, a2 = δ2 − δ3 como

se aprecia en el esquema mostrado en la Figura 1.

Figura 1: Red directa del grafeno.

En esta Figura, los atomos azules forman la sub–lattice A y los rojos la sub–lattice

B. La celda fundamental la determina el romboide verde, compuesto de un atomo de

la sub–lattice A y uno de la sub–lattice B. Esta celda se repite indefinidamente en

traslaciones en a en las direcciones de ±60 y ±120 de esta forma se construye toda

la red hexagonal bidimensional del grafeno. Este aspecto matematico de la red del

grafeno con sus sub–redes A y B resulta fundamental para esta tesis, pues la funcion de

onda de un electron en A, ψA, y la funcion de onda de B ψB forman un pseudospinor

Ψ =

(ψA

ψB

).

Es importante destacar que este pseudospinor no guarda relacion alguna con el spin

usual del electron.

Otro aspecto importante del grafeno para esta tesis, lo constituye la relacion de

dispersion que satisfacen los electrones de conduccion. Si tomamos el modelo conven-

cional de Tight-binding y expandimos en torno a los “puntos de Dirac”, puntos de

la red recıproca en los cuales la energıa se anula, se obtiene que en dicha relacion, la

energıa es proporcional al tri-momento p = (p,mvF ) donde p = (px, py), es el momento

cinetico del electron y m su masa. De este modo su Hamiltoniano libre es:

Hlibre = vF σ · p+mv2Fσz,

xiii


donde σ = (σ, σz) con σ = (σx, σy) y ası llegamos al hamiltoniano para una lamina de

grafeno y a bajas energıas que usaremos en esta tesis:

H = Hlibre + V (r),

donde V (r) es el potencial externo y r = (x, y) un vector posicion espacial en dos

dimensiones [3].

¿Que es QEDn+1?

La electrodinamica cuantica, QED por sus siglas en ingles, es la teorıa cuantica de

campos relativista que describe la interaccion de los campos electromagneticos con la

materia. Constituye tal vez la mejor teorıa que disponemos hoy en dıa debido al ex-

traordinario acuerdo de sus predicciones con los resultado experimentales [21]. Esta

teorıa es la primera que logra un acuerdo entre la mecanica cuantica y la relativi-

dad espacial, aun cuando formalmente persisten dificultades en su construccion como,

por ejemplo, la necesidad de incluir estados fotonicos de norma negativa al trabajar

en gauges covariantes. Esta teorıa permite describir matematicamente los fenomenos

que involucran partıculas cargadas electricamente, lograndose ası una completa de-

scripcion de la interaccion entre luz y materia. QED se puede formular, en principo,

en n dimensiones espaciales y 1 temporal, de ahı su nombre con subındice QEDn+1.

Generalmente se estudia en (3 + 1) dimensiones, pues nuestra diaria realidad ocurre

en 3 dimensiones espaciales. Sin embargo, en los ultimos tiempos ha cobrado fuerza el

desarrollo y estudio de esta teorıa en un numero menor de dimensiones, por ejemplo,

en (2 + 1) dimensiones, debido al hallazgo de nuevos materiales, como el grafeno, que

viven en dos dimensiones espaciales. Esto ha abierto una nueva brecha investigativa

tanto teorica como experimental [22].

Entre los distintos aspecto estudiados en la interaccion luz – materia que QED ha

estudiado, destacamos los efectos Hall cuantico, Faraday, Casimir etc. Todos estos efec-

tos tienen por base el tensor de polarizacion del vacıo, Πµν , que justamente cuantifica la

polarizacion del mismo a traves del proceso mediante el cual un campo electromagnetico

constante produce pares electron - positron, lo que cambia la distribucion de las cargas

y las corrientes que ha generado el campo original[23–27].

xiv


Otro aspecto de QED que revisaremos en esta tesis es el colapso atomico, que

ocurre cuando un atomo ligado a un nucleo supercargado se encuentra en una situacion

donde es posible accesar a un estado ligado con energıa en el continuo. Este colapso se

estudia bajo distintas configuraciones fısicas, al usar el grafeno con impurezas. Estas

pueden ser electricas, cuando se inserta una impureza electrica en el centro de cada

celda [22], o podrıan ser magneticas si se sumerge la lamina de grafeno en un campo

magnetico inhomogeneo [28]. En esta tesis nos centraremos en la posibilidad de que

este ultimo escenario produzca colapso atomico. Encontramos que un campo magnetico

inhomogeneo es incapaz de producir el efecto explorado.

Motivacion

Nuestra motivacion central en esta tesis es comprobar o contrastar, recurriendo a resul-

tados experimentales, algunas predicciones teoricas de la QED, especıficamente aquellas

de la QED2+1. QED nos ofrece una serie de predicciones teoricas asociadas a procesos

relativistas, donde tenemos partıculas que viajan a velocidades cercanas a c ≈ 3×108 ms .

Este regimen relativista no es, ciertamente, facil de ser explorado experimentalmente,

pues es necesario recurrir a grandes aceleradores y a detectores de partıculas altamente

sofisticados tal como ocurre en el LHC. Cabe mencionar, sin embargo, que la prediccion

del momento magnetico anomalo del electron (o del muon), ası como el llamado “cor-

rimiento de Lamb” son resultados notables de la QED usual, en un escenario de bajas

energıas. El desarrollo de materiales en dos dimensiones, como el grafeno, ha abierto

una nueva fascinante ventana para explorar predicciones de esta teorıa en situaciones

experimentales que no requieren de aceleradores de partıculas, por ejemplo. En efecto,

el hecho que los electrones de conduccion se mueven a una velocidad maxima constante

vF donde c ∼ 300vF , satisfaciendo una relacion de dispersion lineal en el momentum

mimetiza un escenario relativista, escalandose todas las distintas magnitudes fısicas por

el correspondiente factor. Vale decir que estos electrones se comportan como partıculas

“relativistas”, pero a una velocidad mucho mas baja. Entonces tenemos un escenario

“ relativista”, pero al alcance de un laboratorio estandard de materia condensada,

pudiendose de esta forma recrear experimentalmente el ambiente perfecto para veri-

ficar las predicciones de la QED2+1, con vF jugando el papel de c.

xv


xvi

Capıtulo 1

Polarizando al vacıo

Introduccion

Dentro de la QEDn+1, juega un rol fundamental el “tensor de polarizacion del vacıo”

Πµν , pues este cuantifica la polarizacion del mismo por la aparicion de estados cargados

virtuales, siendo responsable de numerosos efectos de interaccion entre los campos

electromagneticos y la materia, tales como: efecto Hall, efecto Casimir, produccion de

pares partıculas – anti partıculas, etc. [6, 29–35]. Este tensor constituye una correccion,

representada por un operador no lineal, que actua tanto sobre el propagador como sobre

lineas fısicas externas. En cuatro dimensiones, su forma generica viene dada por:

Πµν(p) = −ie2∫

d4k

(2π)4Tr[γµS(k)γνS(k − p)

], (1.1)

donde los ındices µ, ν = 0, 1, 2, 3, γµ son las matrices de Dirac en cuatro dimensiones

y S(k) el propagador de la partıcula cargada, en este caso, un electron. El propagador

de una partıcula da la amplitud de probabilidad para que la misma se mueva de un

punto del espacio – tiempo (x, t) a otro ( #»x ′, t′) con energıa E y momento p para una

configuracion fısica dada.

Nuestro objetivo es estudiar el tensor Πµν en presencia de un campo magnetico

externo, debil y en el lımite quiral, donde la masa de la partıcula cargada se anula.

Con este objetivo en mente, se usara QED2+1 en la llamada expansion a un loop (un

lazo), cuyo diagrama de Feynman se muestra en la Figura 1.1. Para esto, expandiremos

Πµν en el regimen de campo debil, es decir, cuando B → 0, verificando la invarianza de

1

Capıtulo 1. Polarizando al vacıo

Figura 1.1: Diagrama de Feynman para el tensor de polarizacion del vacıo de la QED

a un loop con el propagador para la partıcula cargada vestido por efectos de un campo

magnetico externo.

.

gauge a traves de la validez de la identidad de Ward. Este hecho es muy importante

para tener predicciones fısicamente relevantes. Una vez verificado esto, estudiaremos

el efecto Hall y la rotacion de Faraday.

La configuracion fısica a estudiar consiste en una lamina de grafeno, o teoricamente

hablando, un espacio bidimensional, sometido a un campo magnetico externo constante

y debil, tal que B sea perpendicular a la lamina. Al considerar esto, tenemos que el

hamiltoniano que regula la dinamica de los electrones, viene dado por:

H = /P+m, (1.2)

donde usamos la notacion:

/a = γµaµ ,

expresion en la cual hemos adoptado la convencion de Einstein para la suma de ındices

repetidos y donde hemos definido:

Pµ = P µ + eAµ ,

con Aµ denotando el potencial vector asociado al campo magnetico externo y que

satisface ∇ × #»

A =#»

B. Destacamos que en este capıtulo se usa el sistema de unidades

naturales, donde ~ = c = 1.

2


El propagador para esta configuracion fısica, representada por el hamiltoniano de

la ec. (1.2), es la funcion de Green causal, definida en el espacio de momento como [36]:

G+ =1

/P+m− iε, ε > 0. (1.3)

Este propagador, ec. (1.3), llevado al espacio de configuracion viene dado por

G+(x′, x′′) = Φ(x′x′′)

∫d4k

(2π)4eik·(x

′−x′′)S(k),

donde Φ(x′x′′) es una fase debido que Aµ admite una transformacion de gauge. Sin

embargo, debido a la configuracion fısica que estudiamos, podemos escoger un camino

de integracion tal que Φ(x′x′′) sea una fase y ası ignorarla. De este modo, S(k) se conoce

como elPropagador de Schwinger [36–39], que en la representacion de tiempo propio

tiene la forma

iS(k) =

∫ ∞

0dseis(k

20+k23−k2⊥

tan(eBs)eBs

−m2+iε)

×[(/k∥ +m)(1 + γ1γ2 tan(eBs))− /k⊥(1 + tan2(eBs))

], (1.4)

expresion en la que hemos puesto con negritas aµ para indicar la componente µ de la

1-forma a y evitar confusion con aµ, una potencia de a. Si a = (a0, a1, a2, a3) , entonces:

a∥ = (a0, 0, 0, a3) ,

a⊥ = (0, a1, a2, 0) ,

y

a = a∥ − a⊥ ,

(a · b) = (a · b)∥ − (a · b)⊥

La expresion dada en (1.4) es el propagador de Schwinger escrito en cuatro dimensiones.

Sin embargo, esta tesis trata sobre la elecrodinamica cuantica en 2 dimensiones, mas el

tiempo de modo que las definiciones que usaremos contemplan solo tres componentes.

Entonces, si a = (a0, a1, a2), tenemos que:

a∥ = (a0, 0, 0) ,

a⊥ = (0, a1, a2) .

3


Ademas, en esta tesis usamos la convencion siguiente:

gµν =

−1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

gµν∥ =

−1 0 0

0 0 0

0 0 0

,

gµν⊥ =

0 0 0

0 1 0

0 0 1

,

gµν = gµν∥ + gµν⊥ , (1.5)

a = a∥ + a⊥ , (1.6)

(a · b) = (a · b)∥ + (a · b)⊥ , (1.7)

aµ = gµνaν ,

(a · b) = aµbµ ,

donde todo ındice griego µ, ν, . . . = 0, 1, 2. En esta convencion, el propagador de

Schwinger que usaremos es:

iS(k) =

∫ ∞

0ds eis(k

20+k2⊥

tan(eBs)eBs

−m2+iε)

×[(/k∥ +m)(1 + γ1γ2 tan(eBs)) + /k⊥(1 + tan2(eBs))

]. (1.8)

A continuacion describiremos la metodologıa a seguir para el calculo del tensor de

polarizacion del vacıo.

Metodologıa

En esta seccion describiremos los detalles del calculo de Πµν . Para esto, veremos los

siguientes puntos:

4


1. Convencion de ındices.

2. Efecto de la dimensionalidad del espacio en la estructura de Πµν .

3. Expansion del propagador para B debil, en el lımite quiral y la correspondiente

expansion de Πµν .

4. Manejo de la diada yαy∥,⊥β .

5. Manejo de las integrales diadicas.

6. Integral maestra y el detalle de la rotacion de Wick.

7. Trazas, contracciones y formacion de proyectores invariantes de gauge.

8. Πµν en terminos de los proyectores.

Convencion de ındices

Como Πµν es un tensor que vive en cuatro dimensiones, pero nuestro sistema fısico esta

restringido solo a 3 dimensiones, definimos la siguiente convencion [39]:

1. Indices griegos tongos α = 0, 1, 2, 3.

2. Indices griegos α = 0, 1, 2.

3. Indices latinos a = 1, 2.

Tambien, recalcamos que usaremos la convencion de Einstein, es decir:

aµbµ = a0b

0 + a1b1 + a2b

2 + a3b3

aµbµ = a0b

0 + a1b1 + a2b

2

aibi = a1b

1 + a2b2

5


Efecto de la dimensionalidad del espacio en la estructura de Πµν

Debido a que es un espacio relativista escaleado, restringido a tres dimensiones (dos

espaciales mas el tiempo), este tensor toma la forma de:

Πµν = ηµαΠαβην

β,

donde ηµα = diag(1, vF , vF , 1) y la estructura de Παβ es:

Παβ =

(Παβ 000

000⊤ 0

).

Aquı 000 =

0

0

0

y enfatizamos que Παβ es una matriz de 3× 3, de acuerdo con nuestra

convencion de ındices, cuya definicion es:

Πµν(p) = −ie2∫

d3k

(2π)3Tr [γµS(k)γνS(k − p)] . (1.9)

Cabe resaltar que las matrices de Dirac en tres dimensiones son proporcionales a las

de Pauli y satisfacen:

γ1γ2 = iγ0.

Expansion de Πµν en campo debil

Como ya se ha dicho, estamos interesados en los efectos de un campo magnetico debil

orientado perpendicularmente a la lamina de grafeno en el fenomeno de absorcion de

luz por este material. El experimento se realiza radiando perpendicularmente a la

lamina de grafeno con luz monocromatica de frecuencia ω. Para este planteamiento,

debemos expandir el tensor de la ec. (1.9) para B debil, es decir, B → 0. Esto equivale

a expandir el propagador S(k), dado por ec. (1.8). Esta expansion ha sido discutida en

la literatura, [36, 38–40] y viene dada por:

iS(k) = i(S0(k) + (eB)S1(k) + (eB)2S2(k) + · · ·

), (1.10)

6


donde:

S0(k) ≡ 1

/k −m− iε,

S1(k) ≡ i(/k∥ +m)γ1γ2

(k2 −m2 − iε)2,

S2(k) ≡ 2k2⊥/k∥ − k2∥/k⊥ +m(k2⊥ +m/k⊥)

(k2 − iε)4.

Si vamos al lımite quiral, obtenemos:

S0(k) ≡ 1

/k − iε,

S1(k) ≡ i/k∥γ

1γ2

(k2 − iε)2,

S2(k) ≡ 2k2⊥/k∥ − k2∥/k⊥

(k2 −m2 − iε)4. (1.11)

Ahora si usamos la ec. (1.10) en la ecuacion (1.9) y nos quedamos hasta orden cuadratico

en eB, tenemos que:

Πµν(p) = Πµν00 (p) +

(e2BvF

)[Πµν

01 (p) + Πµν10 (p)

]+(e2BvF

)2[Πµν

11 (p) + Πµν20 (p) + Πµν

02 (p)], (1.12)

con

Πµνij (p) = −ie2

∫d3k

(2π)3Tr [γµSi(k)γ

νSj(k − p)] . (1.13)

Sin embargo, se puede demostrar que:

Πµν10 (p) = −Πµν

10 (p) ,

Πµν20 (p) = Πµν

02 (p).

Con esto, la ecuacion (1.12) se simplifica a

Πµν(p) = Πµν00 (p) +

(e2BvF

)2[Πµν

11 (p) + 2Πµν20 (p)

]. (1.14)

7


Las integrales involucradas en el calculo de este tensor de polarizacion se realizan con las

tecnicas estandard de la Teorıa Cuantica de Campos. En particular, los productos de

propagadores en los denominadores se manejan iterando apropiadamente la identidad

de Feynman1

ab=

∫ 1

0

dx[ax+ b (1− x)

]2 .De este modo, el tensor de polarizacion del vacıo en la ecuacion (1.14) se puede ree-

scribir en terminos de contracciones de integrales diadicas, que involucran una diada

de vectores. Estas son de la forma:

Lαβ(p, x) =

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)yαy

⊥,∥,β , (1.15)

A continuacion discutimos como trabajarlas.

Manejo de la diada yαy∥,⊥β .

Dado que la expresion (1.15) es una integral diadica, resulta importante su manejo para

su posterior resolucion. Aquı se pueden ver tres casos, en los cuales su caracterıstica

comun es que f(y2∥, y2⊥,p, x) es par en y. Al tener en cuenta este hecho, estos casos son:

1. Lαβ(p, x) =

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)yαy

⊥β

Debido a la paridad de f , el tensor (1.15) adquiere la forma de:

Lαβ(p, x) =

0 0 0

0

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)(y1)

2 0

0 0

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)(y2)

2

.

Como yµ es una variable muda, ambas integrales son iguales y de este modo el

tensor Iαβ se reduce a:

Lαβ(p, x) =

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)(y2)

2

0 0 0

0 1 0

0 0 1

.

8


Si recordamos, la norma de yµ⊥ es:

y2⊥ = yiyi = y1y

1 + y2y2,

y ademas yi = −yi, entonces∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)(y2)

2 = −1

2

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)y

2⊥ .

De este modo vemos, que se cumple

Lαβ(p, x) =1

2g⊥αβ

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)y

2⊥ . (1.16)

2. Lαβ(p, x) =

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)yαy

∥β

De un modo analogo a la anterior, recordando que y0 = y0 y que y20 = y2∥, llegamos

a que:

Lαβ(p, x) = g∥αβ

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)y

2∥ . (1.17)

3. Lαβ(p, x) =

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)yαyβ

De forma similar, llegamos a:

Lαβ(p, x) =1

3gαβ

∫d3y f(y2∥, y

2⊥,p, x)y

2 . (1.18)

Para continuar con el calculo de Πµν , notemos que: g∥,⊥αβ tienen las siguientes

propiedades:

g∥,⊥αβ p

β∥,⊥ = gαβp

β∥,⊥ = p∥,⊥α ,

g∥,⊥αβ p

β = p∥,⊥α ,

g∥,⊥αβ p

⊥,∥β = 0,

Estas relaciones seran utiles a continuacion.

9


Manejo de las integrales diadicas

Con el conocimiento de las subsecciones anteriores, resumido en las ecuaciones (1.16),

(1.17) y (1.18), volvemos a las ecuaciones (1.14) y (1.13). Al usar la identidad de

Feynmann junto con consideraciones de paridad y cambios de variables adecuados,

llegamos a las siguientes expresiones [36, 39]:

Παβ00 (p) = i

e2

v2F

1

(2π)3Tr[γαγλγβγρ

]I00λρ(p) ,

I00λρ(p) =

∫ 1

0dx

∫d3y

13gλρy

2 − x (1− x) pλpρ[y2 − x (1− x) p2

]2 , (1.19)

Παβ11 (p) = 6i

1

(2π)3Tr[γαγβ

]I11(p) ,

I11(p) =

∫ 1

0dxx

(1− x

) ∫d3y

y20 − x (1− x) p20[y2 − x (1− x) p2

]4 , (1.20)

Παβ20 = −8i

1

(2π)3Tr[γαγργβγλ

][I20Aρλ − I20Bρλ

],

I20Aρλ =

∫ 1

0dx(1− x

)3 ∫d3y

[g∥ρλy

20 − p

∥ρpλx (1− x)

][y2⊥ + x2p2⊥

]+ x2p

∥ρp⊥λ y

2⊥[

y2 − x (1− x) p2]5 ,

(1.21)

I20Aρλ =

∫ 1

0dx(1− x

)3 ∫d3y

[12g

⊥ρλy

2⊥ − p⊥ρ pλx (1− x)

][y20 + x2p20

]+ 2x2p⊥ρ p

∥λy

20[

y2 − x (1− x) p2]5 ,

(1.22)

donde hemos usado aµ = ηνµaν .

Como se puede observar, las integrales involucradas en Παβij pertenecen a una familia

de integrales en un espacio de Minkowski de tres dimensiones. Esta familia puede ser

representada a traves de la integral maestra

Iabrsn(p) =

∫ 1

0dxxa

(1− x

)b ∫d3y

y2r0 y2s⊥[

y2 + x (1− x) p2]n , (1.23)

Que analizaremos a continuacion.

10


Integral maestra y el detalle de la rotacion de Wick

Para poder resolver la integral maestra (1.23), que se ha formulado en un espacio de

Minkowski, hay que recordar la definicion del producto escalar.

(a · b)M = gµνaµbν ≡ (a · b)∥M + (a · b)⊥M = a0b0 − (a1b1 + a2b2) ,

donde, como es bien sabido, se observa que el largo de un vector a2 = (a · a)M en

este espacio puede ser positivo, cero o negativo. Esto es un problema a la hora de

integrar, pues puede introducir polos inexistentes. Para evitar este obtaculo, se realiza

la llamada rotacion de Wick al espacio Euclıdeo con el fin de (a · b)M → (a · b)E , donde(a · b)E es el producto interno en el espacio Euclıdeo, que es positivo definido. Esto se

logra mediante las siguientes transformaciones:

a0, b0 → ia0, ib0 ,

(a · b)⊥M → − (a · b)⊥E ,

gµν → −δµν ,

y ası se llega a la identificacion (a · b)M → − (a · b)E . La rotacion se incorpora con las

siguientes prescripciones al integrar la ec. (1.23):

y2 → −y2 ,

y20 → −y20 ,

y2⊥ → −y2⊥ ,∫d3y →

∫id3y ,

p2 → −p2 .

Si usamos lo anterior, llegamos a la siguiente expresion para la integral maestra (1.23)

en el espacio Euclıdeo

11


Iabrsn(p) = i(−1)r+s−n

∫ 1

0dxxa

(1− x

)b Jrsn(p,x)︷︸︸︷∫d3y

y2r0 y2s⊥[

y2 + x (1− x) p2]n ,

(1.24)

Jrsn(p, x) = π

∫ ∞

−∞dy0 y

2r0

J⊥sn(y0,p,x)︷︸︸︷∫ ∞

0dy⊥

y2s+1⊥[

y20 + y2⊥ + x (1− x) p2]n . (1.25)

Es facil demostrar que se cumple la relacion de recurrencia J⊥s,n(y0, p, x) =s

n−1J⊥s−1,n−1(y0, p, x).

Con esto en mano, podemos concluir que:

J⊥s,n(y0, p, x) = B (s+ 1, n− s− 1) J⊥0,n−s(y0, p, x),

donde B (x, y) es la funcion Beta.

Al resolver J⊥0,n−s(y0, p, x) y usando una representacion integral de la funcion Beta,

definida mediante:

B (x, y) =

∫ ∞

0dt

tx−1

[1 + t]x+y ,

vemos que la integral en la ecuacion (1.25) se reduce a:

Jrsn(p, x) = B (s+ 1, n− s− 1)B

(r +

1

2, n− s− r − 3

2

)× π

(p2)n−s−r− 32

[x (1− x)

]n−s−r− 32

. (1.26)

Al usar la expresion (1.26) en la integral (1.24) y recurriendo a la siguiente repre-

sentacion para la funcion Beta,

B (x, y) =

∫ 1

0dt tx−1 (1− t)y−1 ,

obtenemos

Iabrsn(p) = i(−1)r+s−nB (s+ 1, n− s− 1)B

(r +

1

2, n− s− r − 3

2

)B

(a− n+ s+ r +

5

2, b− n+ s+ r +

5

2

)π

(p2)n−s−r− 32

. (1.27)

12


Al volver al espacio de Minkowski mediante p2 → −p2, definiendo q = n − s − r − 1

obtenemos:

Iabrsq(p) = −i(−1)qB (s+ 1, q + r)B

(r +

1

2, q − 1

2

)B

(a− q +

3

2, b− q +

3

2

)π

(−p2)q−12

Trazas, contracciones y formacion de proyectores invariantes de gauge

De las expresiones anteriores, notamos que estan involucradas trazas y contracciones

de las matrices de Dirac. Para calcularlas, hay que recordar que las matrices γ –en

cualquer dimension– deben obedecer el algebra de Clifford.γα,γβ

= gαβI ,

donde I es la matriz identidad en el espacio correspondiente.

Teniendo en cuenta esto, se llega rapidamente a las siguientes trazas:

Tr[γαγβ

]= 3gαβ ,

Tr[γαγργβγλ

]= 3

(gαρgβλ − gαβgρλ + gαλgβρ

).

Con esto, nos vamos a las expresiones (1.19) a la (1.22) y observamos que hay dos tipos

de contracciones:

1. Contracciones con vectores

Tr[γαγργβγλ

]aρaλ = 3

(2aαaβ − gαβa2

),

Tr[γαγργβγλ

]a⊥ρ aλ = 3

(aα⊥a

β + aαaβ⊥ − gαβa2⊥

), (1.28)

Tr[γαγργβγλ

]a∥ρaλ = 3

(aα∥a

β + aαaβ∥ − gαβa20

), (1.29)

Tr[γαγργβγλ

]a⊥ρ a

∥λ = 3

(aα⊥a

β∥ + aαaβ

⊥

),

pues a⊥ · a∥ = 0.

2. Contracciones con g

13


Al usar las propiedades de g⊥,∥αβ llegamos a las siguientes contracciones:

Tr[γαγργβγλ

]gρλ = −3gαβ

Tr[γαγργβγλ

]g⊥ρλ = −6gαβ∥ ,

Tr[γαγργβγλ

]g∥ρλ = 3

(gαβ∥ − gαβ⊥

).

Con esto presente, los tensores en (1.28) y (1.29) deben ser expresados en terminos de

proyectores invariantes gauge. Esto significa estructuras tensoriales que cumplan con:

aµPµν(a) = 0ν . (1.30)

Esto esta en la base de la llamada identidad de Ward. En un espacio de (2 + 1)-

dimensiones hallamos dos tipos de estructuras que cumplen con (1.30),

Pµν(a) = gµν − aµaν

a2,

Pµν⊥ (a) = gµν⊥ −

aµ⊥a

ν⊥

a2⊥.

Ahora, si expresamos (1.28) y (1.29) en terminos de estos proyectores, obtenemos:

aα⊥a

β + aαaβ⊥ − gαβa2⊥ = a2⊥P

αβ⊥ (a)− a2Pαβ(a) + a2gαβ⊥ ,

aα∥a

β + aαaβ∥ − gαβa20 = −a2⊥P

αβ⊥ (a)− a2Pαβ(a) + a2gαβ∥ .

Estas estructuras, Pµν(a), Pµν⊥ (a), son la base para construir el tensor de polarizacion

del vacıo en forma invariante gauge.

Παβ en terminos de los proyectores

Si consideramos lo expuesto anteriormente y resolvemos (1.13) en cada parte de (1.12),

obtenemos [38, 39]:

Παβ00 (p, p) =

ie2

8v2FpPαβ(p) ≡ Πvac(p)

v2FPαβ(p) ,

Παβ11 (p, p) ≡ Παβ

11 (p, p) ,

Παβ20 (p, p) =

1

2

(Π0(p)P

αβ(p) + Π⊥(p)Pαβ⊥ (p)−Παβ

11 (p, p)),

14


donde:

Π0(p) =i

8p3

(1− 5

p2∥

p2

),

Π⊥(p) =i

4p3

(1−

p2∥

p2

).

Con estos y el resultado en (1.12), finalmente obtenemos

Παβ(p, p) = 4πα

[(Πvac(p) + (eB)2Π0(p)

)Pαβ(p) + (eB)2Π⊥(p)P

αβ⊥ (p)

],

con α = αv2F

y α = e2

4π ≈ 1137 en unidades naturales. Como podemos ver, hemos obtenido

un tensor invariante gauge, es decir, consistente con la identidad de Ward [38].

Cota para B, ¿que significa campo magnetico debil?

La cota maxima para la intensidad del campo magnetico B merece una seccion exclusiva

en este capıtulo, pues para el calculo del tensor Παβ hemos recalcado que nuestro

tratamiento sera valido para una intensidad de campo magnetico debil. Pero ¿que

significa campo magnetico debil? ¿debil en relacion a que escala?

Para responder a estas interrogantes, debemos recordar que este modelo se plantea

en un escenario de bajas energıas, donde el electron no “ve” la estructura atomica

del grafeno, comportandose ası como parte de un gas bidimensional de electrones que

no interactuan entre sı. Tras haber aclarado esto, en lo sucesivo trataremos nuestro

sistema de acuerdo a esta imagen fısica.

El segundo punto a tratar es que la aproximacion de (1.8) en (1.9) y (1.10) se planteo en

base a, eB∆2 ≪ 1 con ∆ una “masa efectiva” de los portadores de carga en grafeno, una

suerte de regulador que tendera a 0 despues. Esta masa efectiva puede ser estimada

con el momento de Fermi pF , mediante la relacion ∆2 =p2Fv2F

. En otras palabras nuestra

cota para un electron, esta dada por

eB ≪ p2Fv2F

. (1.31)

15


Sin embargo, estamos en un sistema de unidades en que ~ = c = 1. Para volver al

sistema MKS de unidades, necesitamos multiplicar el lado derecho de (1.31) por el

factor c2

~ . Ahora (1.31), como se ha dicho, es para un electron. Si la carga electrica

neta es Nee donde Ne es el numero de electrones contenidos en el gas (1.31) se convierte

en:

NeeB ≪( c

vF

)2 p2F~. (1.32)

Para calcular p2F , necesitamos ver la densidad de estados de una partıcula libre en un

espacio bidimensional, lo que se conoce como un gas perfecto [41].

Nuestro punto de partida esta en la ecuacion de Schrodinger en dos dimensiones

con la condicion que la partıcula de masa m, esta confinada a un cuadrado de lado L

y area A = L2. Partimos de:

− ~2

2m∇2ψ = Eψ ,

con soluciones conocidas:

ψ(x, y) =1√A

sin(kxx) sin(kyy) ,

donde kx y ky son constantes determinadas por las condiciones de borde. Al imponer-

las, especialmente ψ(L, y) = ψ(x, L) = 0, obtenemos:

kx =2πnxL

,

ky =2πnyL

,

nx, ny ∈ Z .

Entonces, el momento en ambas direcciones x, y es cuasi – continuo con saltos enteros

de ∆px = ∆py = ~L . Por tanto, el elemento de area en el espacio de momento sera:

d2p → A

~22πpdp ,

donde p =√p2x + p2y la longitud del vector momento p.

16


Definimos el numero de estados con energıa bajo E, j(E), como la integral del

elemento de area en un cırculo de radio el momento dado por la energıa E,

j(E) = 2πA

~2

∫ √2mE

0pdp = 2mπE

A

~2,

y finalmente la densidad de estados es:

g(E) =dj

dE= 2mπ

A

~2.

Ahora bien, estamos hablando de fermiones y en la estadıstica de Fermi – Dirac, para

temperatura T = 0K, la energıa de Fermi EF se define como:

N =

∫ EF

0g(E)dE = 2mπEF

A

~2,

EF =1

2m

~2

π

N

A, (1.33)

donde N es el numero de partıculas contenidas en el gas.

Vemos que hemos hallado la energıa de Fermi EF en (1.33), pero la energıa de una

partıcula libre se relaciona con el momento a traves de EF =p2F2m , donde pF es el

momento de Fermi. De ahı que:

p2F~

=~π

N

A. (1.34)

Tras haber hallado el momento de Fermi para un gas perfecto bidimensional de partıculas,

(1.34), lo substituimos en la desigualdad (1.32). Considerando que hay Ne electrones

no interactuante entre sı en el gas,

NeeB ≪( c

vF

)2 ~π

Ne

A. (1.35)

Un poco de manejo algebraico en (1.35) nos lleva a:

BA ≪ 1

π

( c

vF

)2 ~e,

BA ≪( 1π

c

vF

)2 h2e

. (1.36)

Ahora bien, se sabe que c ∼ 300vF y podemos asociar el producto BA al flujo magnetico

Φ de un campo magnetico de intensidad B que incide perpendicularmente en un area

17


A. Por otra parte, identificamos claramente el cuanto de flujo magnetico Φ0 = h2e ≈

2.067× 10−15Wb. Con esto en mente, de (1.36) obtenemos:

Φ ≪(300π

)2Φ0 ≈ 9119Φ0 . (1.37)

Finalmente, hemos encontrado en (1.37) una cota para el flujo magnetico sobre la

lamina de grafeno de area A, no sobre la intensidad del campo magnetico B. Luego,

para hallar una cota para B, necesitamos saber el area de la lamina.

Si vamos a numeros, una muestra de grafeno tiene un area promedio de 104µm2 =

10−8m2, [42]. Si aplicamos la condicion hallada en (1.37) y usando la area promedio

llegamos a

B ≪ 1.9mT .

En este instante de la discusion, cabe la pregunta sobre la magnitud de ∆. ¿Es real-

mente despreciable esa “masa efectiva”?

Para resolver tal pregunta, recordamos el momento de Fermi hallado en (1.34) y lo

substituimos en la definicion de ∆2,

∆2 =1

π

~2

v2F

N

A,

∆2 =1

4π3

( c

vF

)2( h

mec

)2NAm2

e ,

∆ =1

2π√π

c

vFλC

√N

Ame . (1.38)

Aquı, λC = hmec

≈ 0.0243A es la longitud de onda de Compton. De esta forma, la

“masa efectiva” depende de la raız de la densidad (numero de partıculas / area) NA . Si

escogemos una densidad promedio de NA ∼ 1012cm−2 = 1016m−2 y c ∼ 300 vF en (1.38)

obtenemos:

∆ ≈ 65

10000me ≪ me .

En los siguientes capıtulos usaremos el tensor de polarizacion del vacıo para el problema

de absorcion de luz en grafeno.

18

Capıtulo 2

Aplicaciones de Παβ

En este capıtulo estudiamos el problema de absorcion de luz en grafeno, donde Παβ

(adoptando las convenciones del capıtulo anterior) juega un papel fundamental. A lo

largo de la discusion, revisamos algunos efectos fısicos importantes incluidos el efecto

Hall cuantico y el calculo del correspondiente factor de llenado, ası como el efecto

denominado rotacion de Faraday, ambos intrınsecamente ligados al problema de interes

[14, 15, 17–20, 39, 43–46].

Antes que todo, discutimos la ecuacion de movimiento que gobierna los campos

electromagneticos con Παβ. La accion para campos electromagneticos esta dada por:

S[A, ∂A] = −1

4

∫d4xFµνF

µν +1

2

∫d4p

(2π)4Aµ (−p)Πµν (p)Aν (p) , (2.1)

con F µν = ∂µAν − ∂νAµ.

Notemos que A (p) es una funcion en el espacio de momento, relacionado con la

correspondiente funcion en el espacio de coordenadas mediante la transformada de

Fourier:

Aµ (p) =

∫d4x eip·xAµ (x) .

Lo usamos en la ec. (2.1) y consideramos que:

δ(x− x′

)=

∫d4p

(2π)4eip·(x−x′) .

Ası, llegamos a la accion en el espacio de configuraciones es:

S[A, ∂A] =

∫d4x

[12Aµ (x)Π

µν (x)Aν (x)−1

4FµνF

µν], (2.2)

19

Capıtulo 2. Aplicaciones de Παβ

de donde, claramente observamos de la ec. (2.2) que el Lagrangiano correspondiente

esta dado por:

L [A, ∂A, x] =1

2Aµ (x)Π

µν (x)Aν (x)−1

4FµνF

µν . (2.3)

Ahora, de las ecuaciones de Euler – Lagrange

∂µ

[ ∂L

∂µ (Aν)

]− ∂L

∂Aν= 0 , (2.4)

tenemos que la ecuacion de movimiento para el campo electromagnetico es:

∂µFµν + δ (z)ΠµνAµ = 0 , (2.5)

donde δ (z) indica que la corriente solo actua en el plano z = 0, donde se encuentra

la lamina de grafeno. Ademas, si observamos la ec. (2.5) se deduce que la corriente o

fuente es:

j ν = ΠµνAµ . (2.6)

Esta relacion es util en discusiones posteriores.

Efecto Hall cuantico

El efecto Hall es el fenomeno de la produccion de una diferencia de potencial electrico,

debido a la presencia de un campo magnetico B perpendicular a una corriente que

circula a traves de un conductor electrico [39, 47]. La version cuantica de este efecto se

conoce como efecto Hall cuantico que ha sido observado en sistemas de electrones en 2

dimensiones, a bajas temperaturas y bajo la influencia de un campo magnetico fuerte.

En este efecto, la conductividad transversal o conductividad de Hall σxy ≡ σH toma

valores cuantizados [14, 15, 21, 29–31, 39, 43, 44, 47]

|σxy| = νe2

2π~,

donde ν se conoce como “Factor de llenado” y es un numero pequeno que puede ser

entero o fraccionario, lo que da a lugar al efecto Hall entero (IQHE) o fraccionario

20


(FQHE,) respectivamente. En la seccion siguiente veremos este factor de llenado con

mas detalle [47].

Para entender este efecto, consideremos la corriente definida en la ec. (2.6). Por

otra parte, sabemos que la corriente j ν se relaciona con el campo electrico a traves de

la ley de Ohm:

j ν = σµνEµ . (2.7)

Consideramos ahora una onda electromagnetica monocromatica que se propaga con

frecuencia ω. Podemos escribir entonces la componente del campo electrico Eµ se

relaciona con las componentes del potencial vectorAµ que define a la onda propagandose

mediante las ecuaciones de Maxwell. Orientando apropiadamente los ejes del sistema

coordenado, de forma que la onda se propague a lo largo del eje z, tenemos que:

Eµ = i ω Aµ .

Si usamos esto en la ec. (2.7), tenemos que

iω σµνAµ = ΠµνAµ ,[i ω σµν −Πµν

]Aµ = 0 ,

⇒ σµν =Πµν

i ω. (2.8)

De este modo, conectamos las componentes del tensor de conductividad σµν con las

componentes del tensor de polarizacion del vacıo Πµν . Resaltamos que Πµν es simetrico,

Πµν = Πνµ.

Ası, la conductividad de Hall es proporcional a la componente Πij del tensor de polar-

izacion, es decir, la que se encuentra a lo largo de la membrana de grafeno.

A continuacion veremos como explotar esta relacion para obtener el factor de llenado

en Grafeno deformado.

Factor de llenado en un Grafeno deformado

Como se ha dicho anteriormente, cuando se cuantiza el efecto Hall, se refleja en una

cuantizacion de la conductividad transversa,

σxy = νe2

~, (2.9)

21


donde ν se conoce como “Factor de llenado” que puede ser entero, dando origen al efecto

Hall cuantico entero (IQHE). Este caso esta bien entendido a partir de la interaccion

de un orbital de un unico electron con un campo magnetico. El factor de llenado, como

hemos indicado, tambien puede ser fraccionario, originando el efecto Hall cuantico

fraccionario (FQHE). Este efecto es mas complejo de explicar, pues depende de la

interaccion electron – electron. Estudio que se puede ver en detalle en libro [48] y en

el papper de Laughlin [49] (premio Nobel de Fısica ano 1998)).

En esta seccion calcularemos este factor para una lamina de grafeno que presenta

deformaciones en su red cristalina. Estos son defectos que ocurren en la membrana del

Grafeno, como una impureza, por ejemplo, y que afectan localmente al patron de red.

Para este calculo, usamos el Larangiano usual de Dirac con masa me

L = ψ(i /∂ −me

)ψ.

Al considerar los defectos de la membrana, tenemos que anadir a L un termino

asociado a los mismos. Esto se modela a traves de un nuevo termino de masa, conocido

como “masa de Haldane” m0ψτψ con τ =[γ3,γ5]

2 [47, 50]. De este modo, el Larangiano

completo es:

L = ψ(i /∂ −me −m0τ

)ψ . (2.10)

Introducimos operadores de proyeccion quirales χ± ≡ 12 (I ± τ), lo que nos posibilita

trabajar con spinores izquerdos y derechos ψ± ≡ χ± ψ.

Estos operadores cumplen las siguientes propiedades:

• χ+ + χ− = I4,

• χ2± = χ±, pues τ

2 = I4,

• χ±χ∓ = χ∓χ± = 0.

Con esto, el Lagrangiano de la ec. (2.10) puede escribirse como:

L = ψ+

(i /∂ −m+

)ψ+ + ψ−

(i /∂ −m−

)ψ−, (2.11)

donde m± = me ± m0. Vemos que este Lagrangiano describe la interaccion de dos

diferentes especies de portadores de carga, con masas no degeneradas, pues una masa

22


es mas pequena que la otra a medida que m0 crece. Esta diferencia de “masas” implica

que la interaccion de las dos especies con la red recıproca sera diferente. Este tipo

de asimetrıa puede ser introducida como una deformacion constante en la membrana

del grafeno, que afecta a la celda fundamental, pero no la periodicidad de la muestra.

Esto significa que si la membrana de grafeno se deforma a lo largo de la direccion de

una direccion espacial, m0 crece. De este modo, la ecuacion de Dirac modificada que

gobierna este sistema es

[ (/p−m+

)χ+ +

(/p−m−

)χ−

]ψ = 0 . (2.12)

Si introducimos

−S−1± ≡ /p−m±,

la ec. (2.12) toma la forma

S−1ψ = 0 ,

S−1 = −[S−1+ χ+ + S−1

− χ−

]. (2.13)

Esto nos permite hallar el propagador para fermiones libres,

−S = −[S+χ+ + S−χ−

],

donde:

S± =1

/p−m±=

/p+m±

p2 −m2±.

Este es el punto de partida de nuestro calculo.

Para calcular el factor de llenado, recurrimos a la formula de Kubo [47, 50], que

expresa el promedio de una pertubacion lineal en el sistema. En la siguiente seccion

desarrollaremos la correspondiente teorıa y explicaremos como se relaciona con el Factor

de llenado.

Formula general de Kubo

Al considerar la evolucion temporal de los observables en mecanica cuantica, vemos

que existen diversas maneras de plantear los problemas evolutivos, dependiendo a que

23


objeto le damos la dependencia temporal. Esto nos da tres planteamientos o marcos (se

les suele denominar cuadros) generalmente usados: el de Schrodinger, de Heisenberg y

el de interaccion (de Dirac). Los describimos brevemente a continuacion [51].

Los marcos o cuadros de evolucion temporal en mecanica cuantica

En breves ideas, el cuadro de Schrodinger considera al Hamiltoniano H independiente

del tiempo, la funcion de onda |Ψ(t)⟩ dependiente del tiempo,

∂t H = 0 , |Ψ⟩ = |Ψ(t)⟩,

Mientras un operador cualquiera, A, puede o no depender del tiempo t.

La principal ventaja de este marco reside en que para muchos casos, la dependencia

temporal de Ψ(t) puede escribirse como:

|Ψ(t)⟩ = e−iHt |Ψ0 ⟩ , (2.14)

donde |Ψ0 ⟩ es independiente del tiempo.

En el cuadro de Heisenberg, los operadores dependen del tiempo t, aunque ni el Hamil-

toniano ni la funcion de onda depende de t, es decir:

A = A(t) , ∂tH = 0 , ∂t |Ψ(t)⟩ = 0.

Para pasar del cuadro de Schrodinger al de Heisenberg, calculamos el valor de ex-

pectacion de un operador cualquiera A y usamos la ec. (2.14),

⟨Ψ(t)′∣∣ A |Ψ(t)⟩ = ⟨Ψ′

0

∣∣ eiHtAe−iHt |Ψ0 ⟩ ≡ ⟨Ψ′0

∣∣ A(t) |Ψ0 ⟩,

o sea:

A(t) = eiHtAe−iHt . (2.15)

Si derivamos la ultima relacion respecto a t, obtenemos la ecuacion de evolucion para

el operador A. Esta es:

dA(t)

dt= ∂tA(t) + i

[H, A(t)

]. (2.16)

24


Por ultimo, tenemos el marco de interaccion, que es util en la resolucion de problemas

en que el Hamiltoniano tiene una parte conocida H0, independiente del tiempo, y una

parte V (t) dependiente del mismo que actua como una perturbacion,

H = H0 + V (t) , H0 |n⟩ = En |n⟩ ,

donde generalmente se conocen las auto – funciones como en el cuadro de Schrodinger,

ec. (2.14), y tomamos los operadores dependiente del tiempo del marco de Heisenberg,

ec. (2.15). Tambien observamos que la evolucion temporal de |Ψ(t)⟩ esta dada por:

i ∂t |Ψ(t)⟩ = V (t) |Ψ(t)⟩ . (2.17)

Aquı, V (t) actua como una perturbacion al Hamiltoniano H0. La ecuacion (2.17)

es muy importante para la formula de Kubo, pues esta es la respuesta lineal a un

Hamiltoniano perturbado.

Teorıa de la respuesta lineal

Si vamos a un libro de mecanica estadıstica [41] y vemos el ensamble de Gran Canonico,

la densidad del espacio fase esta dada por:

ρ0 =e−βH

Z,

donde, β = 1kBT , kB es la constante de Boltzmann, el Hamiltoniano del Ensemble Gran

Canonico H = H0−µN , con µ el potencial quımico y N el nuumero de partıculas. Por

ultimo, la funcion particion es:

Z = Tr[e−βH

].

De aquı, usando la ec. (2.17), podemos hallar una ecuacion de movimiento para

ρ(t), teniendo en cuenta que el Hamiltoniano H = H0 + H ′(t) –donde H ′(t) es la

perturbacion al Hamiltoniano H0– y considerando que dρdt = 0, pues el espacio fase no

cambia en el tiempo. De este modo:

i ∂t ρ(t) = [H, ρ(t)] . (2.18)

25


En ausencia de perturbaciones, ρ(t) = ρ0. Entonces, en el caso general, escribimos:

ρ(t) = ρ0 + ρ′(t) . (2.19)

Si substituimos ρ(t) en la ec. (2.18) y consideramos que [H0, ρ0] = 0, obtenemos:

i∂ ρ′

∂t=

[H0, ρ

′(t)]+[H′(t), ρ0

], (2.20)

donde solo llegamos a primer orden en la perturbacion. Nos pasamos ahora al cuadro

de interaccion, con las prescripciones.

ρI = ρ0 + ρ′I(t) ,

HI(t) = H0 +HI(t) ,

AI = eiH0tAe−iH0t .

Por tanto, la ecuacion de evolucion de la densidad del espacio fase, usando la ec. (2.20),

esta dada por:

i∂ρ′

∂t=[ρ′(t),H0

]+ eiH0ti

∂ρ′

∂te−iH0t =

[ρ′(t),H0

]+[H0, ρ

′(t)]+[H′

I(t), ρ0],

donde H′I(t) es el Hamiltoniano perturbativo, en el cuadro de interaccion. Si recor-

damos que [A,B] = − [B,A] obtenemos:

i∂ ρ′

∂t=

[H′

I(t), ρ0]. (2.21)

Finalmente, transformemos la ecuacion diferencial a su forma integral,

ρ′I(t) = −i∫ t

−∞ds[H′

I(s), ρ0]. (2.22)

Aquı hemos resuelto formalmente la ecuacion diferencial (2.21) para ρ′I(t). Al volver

al cuadro de Schrodinger y substituir esta solucion en nuestra expresion para la densi-

dad, ec. (2.19), tenemos:

ρ(t) ≈ ρ0 − i

∫ t

−∞ds e−iH0t

[H′

I(s), ρ0]eiH0t . (2.23)

26


Para obtener el valor A de un observable asociado al operador A, calculamos valores

de expectacion, que en mecanica estadıstica se obtienen trazando sobre el operador por

la densidad,

A = TrρA.

Esto implica:

A(t) = A0 − i

∫ t

−∞dsTr

e−iH0t

[H′

I(s), ρ0]eiH0tA

, (2.24)

con A0 = Trρ0A

. Ahora, recordamos la propiedad fundamental de las trazas:

Tr ABC = Tr BCA . (2.25)

Entonces, la ecuacion (2.24) se transforma en:

A(t) = A0 − i

∫ t

−∞dsTr

[H′

I(s), ρ0]AI(t)

, (2.26)

donde AI(t) = eiH0tAe−iH0t. Luego, con la ayuda de la propiedad (2.25), se puede

obtener otra propiedad que usaremos de las trazas, a saber:

Tr [A,B]C = Tr B [C,A] . (2.27)

Si usamos la propiedad (2.27) en la ec. (2.26), llegamos a:

A(t) = A0 − i

∫ t

−∞dsTr

ρ0

[AI(t),H

′I(s)

]≡ A0 + δA(t) . (2.28)

Por otra parte, recordamos la identidad de Kubo

i [XI(t), ρ] = ρ

∫ β

0ds XI(t) , (2.29)

con la notacion a ≡ dadt . Tenemos entonces que:

ρ =e−βH

Tr e−βH, XI(t) = eiHtX(t)e−iHt, XI = −i [XI(t),H] .

Si usamos la identidad (2.29) en la ec. (2.28), llegamos a

δA(t) = −∫ t

−∞

∫ β

0dsduTr

ρ0H

′I(s− iu)AI(t)

. (2.30)

27


Ademas, si volvemos al cuadro de Schrodinger y trabajamos la traza, vemos que:

Trρ0AI(t)H

′I(s− iu)

= Tr

ρ0e

i(s−iu)H ′(s)−i(s−iu)AI(t),

= Trρ0H

′I(s)e

−i(s−iu)AI(t)e−i(s−iu)

= Tr

ρ0H

′I(s)AI(t− s+ iu)

. (2.31)

Reemplazando el resultado (2.31) en la ec. (2.30), llegamos finalmente a la formula

general de Kubo:

δA(t) = −∫ t

−∞

∫ β

0dsduTr

ρ0H

′(s− iu)AI(t− s+ iu), (2.32)

Que utilizaremos en secciones subsecuentes.

Formula de Kubo y factor de llenado

En el efecto Hall cuantico, el observable que nos interesa es el tensor de conductividad

σαβ. Cuando un campo electrico dependiente del tiempo es aplicado sobre un material,

este induce corrientes que a su vez generan campos electricos internos. Si el campo

electrico total E(r, t) se relaciona con la perturbacon mediante un potencial escalar

ϕ(r, t), el Hamiltoniano de perturbacion H ′(t), a primer orden, es:

H ′(t) =

∫d3r ρ(r)ϕ(r, t),

donde ρ(r) = eψ†(r)ψ(r) es el operador densidad de carga. Para obtener la derivada

temporal del Hamiltoniano perturbativo, nos valemos de la ec. (2.18), lo que nos con-

duce a:

H ′ = −i∫

d3r [H0, ρ(r)]ϕ(r, t)

= −∫

d3r( · J(r)

)ϕ(r, t)

=

∫d3r J(r) ϕ(r, t)

= −∫

d3r J(r) · E(r, t) , (2.33)

28


donde J(r) es el operador densidad de corriente y hemos usado la ecuacion de con-

tinuidad y el teorema Gauss, asumiendo condiciones de borde periodicas en la superficie

del material para que el termino de superficie se anule. Usamos la formula de Kubo

(2.32) para expresar las componentes de J(r) de la siguiente forma, usando nuestra

convencion de ındices y la convencion de Einstein:

Jα =

∫d3u

∫ ∞

−∞ds σαβ(r, u, t, s)E

β(u, t) ,

en donde la funcion de correlacion σαβ esta dada por

σαβ(r, u, t, s) = Θ(t− s)

∫ β

0dwTr

ρ0Jα (r, 0) Jβ (u, t− s+ iw)

.

Aquı, Θ(x) es la funcion escalon. Hemos supuesto que el operador densidad de corriente

es un operador tipo Heisenberg. De este modo, encontramos que la respuesta lineal de

la componente Jµ es la proyeccion de cada componente de J sobre el campo Eν . Si

la funcion de correlacion σαβ depende solo de la posicion relativa r − u y de t − s,

entonces existe su transformada de Fourier y lo podemos escribir como:

Jµ(q, ω) = σµν(q, ω)Eν(q, ω) ,

con:

σµν(q, ω) =

∫ ∞

−∞dt eiωt

∫ β

0dwTr

ρ0Jµ (−q, 0) Jν (q, t+ iw)

. (2.34)

Si ocupamos la identidad de Kubo, (2.29), la integral en la ec. (2.34) podemos

escribirla como:

σµν(q, ω) = i

∫ ∞

−∞dt eiωt

∫ ∞

tdwTr

ρ0

[Jµ (−q, w) , Jν (−q, 0)

].

Definiendo la funcion de correlacion corriente – corriente:

Σµν(q, ω) =

∫ ∞

0dt eiωtTr

ρ0

[Jµ (−q, t) , Jν (−q, 0)

],

entonces, el tensor conductividad lo podemos escribir como:

σµν(q, ω) =Σµν(q, ω)− Σµν(q, 0)

ω≃

dΣµν

dω. (2.35)

29


La ultima igualdad solo se logra cuando ω → 0. Es decir, el tensor conductividad

en el espacio de Fourier va como la derivada de la funcion de correlacion corriente –

corriente respecto a ω. En la QED, este tipo de funciones estan dadas en terminos de:

jα = −e ψγαψ,

donde ψ se asocia a su partıcula y ψ con su anti – partıcula en el instante que inter-

accionan. La funcion de correlacion corriente – corriente en teorıa cuantica de campos

QFT esta dada por el tensor de polarizacion del vacıo Πµν(x),

Πµν(x) = ⟨0|Jµ(x)Jν(0)|0⟩ ,

y se representa en la Fig. 1.1. Usando las reglas de Feynman, la funcion de correlacion

corriente – corriente en el espacio momento toma la forma mostrada en la ec. (1.1). Si

tomamos en cuenta solo las interacciones a primer orden, tenemos:

dΠµν(p)

dpα= e2

∫d3k

(2π)3Tr

[γµS(k)γν

dS(k − p)

dpα

]. (2.36)

Para calcular la derivada del propagador S(k − p), recordamos que estamos tratando

con matrices. Si A es una matriz invertible de dimension finita, entonces cumple con:

AA−1 = I ,

d

dx

(AA−1

)= 0 ,

dA

dxA−1 = −AdA

−1

dx,

dA

dx= −AdA

−1

dxA . (2.37)

Si usamos la identidad de la ec. (2.37) en (2.37), cuando p→ 0 obtenemos:

dΠµν(p)

dpα

∣∣∣∣p=0

= e2∫

d3k

(2π)3Tr

[γµS(k)γνS(k)

dS−1(k)

dkαS(k)

]. (2.38)

Usando la propiedad en la ec. (2.25), nos queda

dΠµν(p)

dpα

∣∣∣∣p=0

= e2∫

d3k

(2π)3Tr

[γνS(k)

dS−1(k)

dkαS(k)γµS(k)

]. (2.39)

30


Sabemos que la carga eletrica es una cantidad conservada, hecho reflejado en la

identidad de Ward en QED que implica:

∂S−1(p)

∂pα= γα . (2.40)

Si definimos el operador ∂α ≡ ∂∂pα

y usamos la ec. (2.40) en (2.39), obtenemos:

dΠµν(p)

dpα

∣∣∣∣p=0

= e2∫

d3k

(2π)3Tr[∂ν (S(k))S−1(k)∂α

(S−1(k)

)S(k)∂µ

(S−1(k)

)S(k)

].

(2.41)

Para obtener la parte antisimetrica, lo contraemos con un sexto del sımbolo de

Levi-Civita. De la ec. (2.35), observamos que es la parte antisimetrica del tensor de

conductividad, de donde deducimos el factor de llenado:

ν =1

24π2

∫d3p ϵναµTr

[∂ν(S−1

)S ∂α

(S−1

)S ∂µ

(S−1

)S]. (2.42)

Finalmente, sustituimos la ec. (2.13) en (2.42), al usar las propiedades de χ± obten-

emos:

ν = ν+ + ν− . (2.43)

De esta manera:

ν± =1

24π2

∫d3p ϵµνρTr

[∂µ(S−1±)S± ∂

ν(S−1±)S± ∂

ρ(S−1±)S±χ±

], (2.44)

=1

24π2

∫d3p ϵµνρTr

[A

µνρ± (p)

],

donde, si usamos que ∂α(S−1

)= γα:

Tr[A

µνρ± (p)

]= Tr

[γµ

[/p+m±

p2 −m2±

]γν

[/p+m±

p2 −m2±

]γρ

[/p+m±

p2 −m2±

]χ±

]. (2.45)

Sin embargo, para mayor eficiencia en el calculo de esta traza, conviene recordar que

ella se encuentra en una contraccion completa con el sımbolo de Levi-Civita ϵµνρ,

31


que es antisimetrico. Por consiguiente, para que la contraccion ϵµνρTr[A

µνρ± (p)

]no se

anule, lo que necesitamos calcular realmente es la parte antisimetrica de Tr[A

µνρ± (p)

]≡

Tr[A

µνρ± (p)

]antisym

. De este modo:

ϵµνρTr[A

µνρ± (p)

]= ϵµνρTr

[A

µνρ± (p)

]antisym

, (2.46)

con:

Tr[A

µνρ± (p)

]µνρantisym

=m±(

p2 −m2±)3 [Tr [γµ

/pγν/pγ

ρχ±]+ 2pνTr

[γµγρ

/pχ±]

+m3±Tr [γ

µγνγρχ±]]. (2.47)

Si usamos que:

Tr[γµγνγργ3γ5

]= −4 i ϵµνρ ,

γν , /a = 2aν ,/a, /b

= 2 (a · b) ,

podemos ver que las trazas relevantes son:

Tr [γµγνγρχ±] = ∓ 2 i ϵµνρ ,

Tr[γµ/pγ

ν/pγ

ρχ±]

= ∓ 2 i(2pνpλϵ

µλρ − p2ϵµνρ). (2.48)

Al usar el resultado de (2.48) en la ec. (2.47) obtenemos:

Tr[A

µνρ± (p)

]µνρantisym

= ± 2 im±(p2 −m2

±)2 ϵµνρ .

Si recordamos que la contraccion total del tensor Levi-Civita ϵµνρϵµνρ = 6. Entonces,

en la ec. (2.46) obtenemos:

ϵµνρTr[A

µνρ± (p)

]antisym

= ± 12 im±(p2 −m2

±)2 . (2.49)

O sea, nuestro factor de llenado queda:

ν± = ± im±2π2

∫d3p

1(p2 −m2

±)2 . (2.50)

32


Para resolver esta integral en p, hay que recurrir a la rotacion de Wick hacia el espacio

Euclıdeo, la cual se implementa con las convenciones.

p0 → i p0 ,

p2⊥ → −p2⊥ ,

p2 → −p2E ,∫d3p → i

∫d3pE ,

donde pE es el vector p en el espacio Euclideo y p2E es el largo del vector en el mismo

espacio. De este modo, la ec. (2.51) se convierte en:

ν± = ±2im±πI2 (m±) , (2.51)

con:

In (m±) =

∫ ∞

0dp

p2(p2 +m2

±)2 . (2.52)

Esta integral (2.52) puede ser llevada a una funcion Beta,

In (m±) =1

2|m±|2n−3B

(3

2, n− 3

2

). (2.53)

Si usamos (2.53) con n = 2 en la ec. (2.51), obtenemos:

ν± = ∓1

2

m±|m±|

. (2.54)

Recordamos que la funcion signo sgn (x) = x|x| , ası que, finalmente, obtenemos:

ν± = ∓1

2sgn (m±) . (2.55)

Entonces, si reemplazamos lo obtenido en (2.55) en la ec. (2.43), nuestro factor de

llenado es:

ν = −1

2

[sgn (m+)− sgn (m−)

]. (2.56)

Observamos que ν = 0 cuando m0 = 0 y ν = 1 si me = 0. Este resultado es de suma

importancia en lo que sigue.

33


Figura 2.1: Incidencia de una onda electromagnetica en una lamina de grafeno.

Absorcion de luz

Supongamos ahora que sobre nuestra lamina de grafeno incide una onda electromagnetica

monocromatica, como se aprecia en la Fig. 2.1. Esta onda electromagnetica puede ser

descrita mediante un potencial vector con componentes

Aj = e−iωt

eik3zx+ (rxxx+ rxyy) e

−ik3z z < 0 ,

(txxx+ txyy) eik3z z > 0 .

(2.57)

Aquı hemos usado el Gauge de A0 = 0, mientras que x y y son los vectores uni-

tarios, perpendiculares entre sı, del plano que representa a la lamina de grafeno. Los

parametros rxx, rxy, txx y txy son constantes a determinar y representan los coeficientes

de reflexion y transmision de la onda, respectivamente, a lo largo de las direcciones cor-

respondientes y, finalmente, ω es la frecuencia de la luz incidente [14, 15, 39, 47]. Para

calcular dichas constantes, recurrimos a las ecuaciones de movimiento (2.4). Al integrar

dichas ecuaciones, tenemos:∫dz ∂αF

αβ = −∫

dz δ(z)ΠβνAν .

Usando la propiedad basica de la delta,∫dz δ(z − a)f(z) = f(z)

∣∣∣∣∣z=a

,

obtenemos: ∫dz ∂αF

αβ = −ΠβνAν

∣∣∣∣∣z=0

.

34


Si consideramos que ∂αFαβ = 0 solo cuando el ındice α = 0, entonces:

∫dz ∂zF

zβ = F zβ

∣∣∣∣∣z=0+

z=0−

,

con F zβ = ∂zAβ − ∂βAz = ∂zAβ, pues Az = 0.

Recordando que:

∂z = −∂z ,

Aα = gαλAλ ,

obtenemos:

gβλ∂zAλ

∣∣∣∣∣z=0+

z=0−

= gβζΠζνAν

∣∣∣∣∣z=0

.

Ahora, como gαλgβλ = δαβ, llegamos, finalmente, a

∂zAβ

∣∣∣∣∣z=0+

− ∂zAβ

∣∣∣∣∣z=0−

= ΠνβAν

∣∣∣∣∣z=0

. (2.58)

Ademas, el campo Aµ es continuo y, por tanto, otra condicion de borde es:

Aβ

∣∣∣∣∣z=0+

−Aβ

∣∣∣∣∣z=0−

= 0 . (2.59)

Las ecuaciones (2.58) y (2.59) especifican las condiciones de borde de la ecuacion (2.5).

Si usamos (2.57) en las ecuaciones de borde y resolvemos para las constantes txx y txy,

obtenemos:

txy = 0 ,

txx =2ω

iαΨN (ω) + 2ω,

donde ΨN (ω) = NΨ(ω) con N el numero de grados de libertad de los transportadores

de carga y Ψ(ω) = α[Πvac(ω) + (eB)2Π0(ω)

].

35


Con el coeficiente de trasmision calculado, obtenemos la intensidad de la luz transmi-

tida [14, 17, 39],

I = |txx| ≈ 1 + αImΨN (ω)

ω+ O

(α2), (2.60)

donde hemos expandido txx usando el hecho que α = 1137 ≪ 1.

Si recordamos, la conductividad de Hall podemos ver la relacion entre esta y la

intensidad transmitida, de modo que la ec. (2.60) puede reescribirse como

I = 1−Reσxx + O(α2). (2.61)

Al substituir los escalares correspondientes –vistos en secciones anteriores de este capıtulo–

en la ec. (2.60), recordando ΨN con N = 4, finalmente tenemos:

I = 1− απ(1 + 4

(eB)2

ω4

). (2.62)

Como vemos, en la expansion de campo debil, la intensidad de la luz trasmitida es

corregida recien a segundo orden por el termino(eBω2

)2. Esto es consistente con lo en-

contrado tanto teorica como experimentalmente tanto en ausencia de campos externos

ası como en presencia de un campo magnetico fuerte [39, 44, 52, 53].

Podemos graficar la ec. (2.62) I vs. ω para distintos valores de eB y ası tener una

idea de las escalas envueltas para frecuencias de luz visible. Como se puede apreciar en

la Fig. 2.2, la tasa de absorcion de la luz I ≈ απ = 2.3% es consistente con las evidencia

experimentales al respecto.

Efecto Faraday

Este efecto muestra como la interaccion entre un haz de luz polarizado y un campo

magnetico puede cambiar el angulo de polarizacion, siendo este cambio proporcional a

la intensidad de la componente del campo en la direccion de propagacion de la luz.

Para comenzar, la relacion entre el angulo de polarizacion y el coeficiente de trasmision

es [14–19, 47]

θF =1

2arg( txx − itxytxx + itxy

). (2.63)

36


1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.00.85

0.90

0.95

1.00

Ω

I

Intensity

0.050 T

0.025 T

0 T

Figura 2.2: Grafico de la intensidad de luz trasmitida I vs. la frecuencia ω (medida

en eV) para distintos valores del campo magnetico externo B. La curva roja, continua,

representa el vacıo (0T); la lınea punteada negra (25mT); la punteada azul de punto largo

(50mT).

Al aproximar, pues α≪ 1, y recordando que σxy =Πxy

iω en la ec. (2.63), obtenemos:

θF = −Re(σxy

)2

+ O(α2). (2.64)

Consideremos ahora el caso del grafeno con deformidad topologica, caracterizado por

la masa de “Haldane” m0, pero sin campo magnetico externo. Para calcular el angulo

de rotacion de Faraday, recordamos la forma de la conductividad de Hall visto en la

ec. (2.9) y consideramos el resultado de calculo de ν en (2.56). Ası obtenemos:

θF =

0 m0 = 0 ,

α me = 0 .(2.65)

Se concluye que la rotacion de Faraday inducida por la “masa” aparece cuando la

simetrıa de Paridad e Inversion temporal es rota por m0, lo cual es consistente con

las evidencias teoricas y experimental encontradas tanto como en ausencia de campos

externos, ası como en presencia de un campo magnetico fuerte.

En el caso de la lamina no deformada, pero sı sumergida en un campo magnetico,

constante, debil, la conductividad de Hall, es decir, la conductividad transversa σxy,

37


es nula. Por ende, el angulo de Faraday, que depende de esta conductividad, es 0.

Tambien podemos ver que como txy = 0. En virtud de la ec. (2.63), el angulo de

Faraday es automaticamente 0.

38

Capıtulo 3

Colapso atomico

Introduccion

Desde la pespectiva de la ecuacion de Dirac, el colapso atomico es un efecto en el cual,

un electron cae hacia el nucleo emitiendo positrones. Esto ocurre cuando el potencial

Coulombiano atractivo que siente el electron es tan intenso que cabe la posibilidad de

tener estados ligados sumergidos en el mar de Dirac. Si esto es ası, uno de los elec-

trones del mar puede, efectivamente, ocupar dicho estado, liberandose de este modo

un positron que escapa del sistema. Para nucleos puntuales, se requiere una carga

Z > 137, mientras que para nucleos extendidos, Z > 174. Sin embargo, hasta el pre-

sente, no contamos con la evidencia experimental que lo sustente, dado que no existen

nucleos atomicos que satisfagan estas condiciones. Sorprendentemente, en el contexto

de la fısica de grafeno dopado con atomos de calcio, se ha observado un extraordinario

aumento en la conductividad longitudinal cuando la carga neta de dopamiento supera

un cierto valor Zcr [54, 55]. Este efecto admite una interpretacion en terminos de las

ideas de colapso atomico, aun cuando, estrictamente, no se trata de ese efecto. Ante

la similaridad de este escenario y el que se obtiene al sumergir la lamina de Grafeno

en un campo magnetico inhomogeneo [28] cabe la pregunta si tales circunstancias in-

ducen efectos similares. En este capıtulo exploraremos tal posibilidad. Nuestro analisis,

como veremos, mostrara que este escenario, en realidad, no es posible. Se requieren,

efectivamente, potenciales de otra ındole, capaces de sumergir los estados ligados en el

mar.

39

Capıtulo 3. Colapso atomico

Figura 3.1: Impurezas electricas en la red del grafeno.

Las impurezas electricas consisten en dopar las celdas de grafeno con una carga

electrica externa. Experimentalmente se han usado atomos de Calcio y Oxıgeno, entre

otros [55]. Mediante el arreglo mostrado en la Fig. 3.1, al regular la carga electrica

de la impureza Ze, se puede inducir el colapso atomico, el cual puede ser detectado a

traves de los picos de la conductividad longitudinal σxx, que esta relacionada con las

componentes diagonales del tensor de polarizacion.

Se puede observar en los trabajos de Gusynin [56], Katnelson [57], entre otros [58],

que existe una carga electrica mınima en el cual los atomos empiezan a colapsar, es

decir, puede tener un estado ligado con energıa en el continuo. Esto se refleja en un

pico en la conductividad longitudinal. Frente a esto, nosotros decidimos explorar la otra

vertiente, vale decir, las impurezas magneticas. Asumimos que se sumerge la lamina

de grafeno en un campo magnetico inhomoggeneo. Aquı veremos dos casos:

1. Impureza magnetica pura.

2. Impureza magnetica mas el potencial de Aharonov-Bohm.

En ambos casos, impurezas electricas y/o magneticas, podemos usar la aproximacion a

bajas energıas del modelo de Tight-Binding, de modo que los electrones de conduccion

no “vean” la estructura atomica del grafeno y se comporten como un gas de electrones

sometidos a potenciales externos, para ası poder usar la ecuacion de Dirac para describir

40


el comportamiento de tales. Esta ecuacion esta dada por:(vFσ ·

(p− eA(r)

)+mv2Fσz + V (r)−E

)Ψ(r, θ) = 0 , (3.1)

con m la masa del electron, A el potencial vector que se relaciona con el campo

magnetico B a traves de B = ∇ × A y V (r) un potencial externo, que puede ser

el electrico. Para mayor simplicidad, suponemos que todos los potenciales son radiales

y ası la parte angular solo sera una fase de la funcion de onda. Por consiguiente, la

informacion relevante estara solo en la parte radial de Ψ (r, θ). De este modo, entramos

en la problematica de los potenciales centrales, donde resulta fundamental encontrar la

ecuacion de la parte radial de la funcion de onda.

Ecuacion radial

Para hallar esta ecuacion desde la ec. (3.1), consideramos que el electron vive en el plano

(x, y). Por lo tanto, no tiene momento cinetico en la direccion z. Ademas, consider-

amos, sin perdida de generalidad, que A(r) = Ar(r)r + Aθ(r)θ. Usamos coordenadas

polares, pues facilita la descripcion de los potenciales radiales.

Al tener en cuenta lo anterior, comenzamos a manipular la ec. (3.1) con el hecho

que (σ · r)2 = I2×2 y la identidad de:

(σ · a)(σ · b

)=(a · b

)I2×2 + i σ ·

(a× b

)∀ a , b.

De este modo, la ec. (3.1) se convierte en(− i (σ · r)

[i (p · r + eAr(r))− σz

(Lz

r+ eAθ(r)

)]+mvFσz +

V (r)

vF− E

vF

)Ψ(r, θ) = 0 ,

(3.2)

donde L = r × p. Aquı es necesario aclarar que σ = (σx, σy, σz) son las matrices de

Pauli, mientras que r = (x, y, 0) y p = (px, py, 0), porque estamos en el plano. Si

recordamos que p · r = −i ddr , tenemos que:(

− i (σ · r)[ ddr

+ ie

~Ar(r)− σz

(Lz

~r+e

~Aθ(r)

)]+mvF~

σz +V (r)

vF~− E

vF~

)Ψ(r, θ) = 0 ,

(3.3)

41


Aquı podemos definir nuevas constantes para simplificar la ecuacion (3.3).

Definimos:

• E = EvF ~ . Notese que E tiene unidades de inverso de la distancia, como una “lon-

gitud energetica” en el espacio recıproco. Volveremos sobre ella cuando detallemos

el colapso atomico en impurezas magneticas.

• n = cvF

≈ 300, el inverso del numero de refraccion.

• λC = ~mc es una longitud de onda que se relaciona con la longitud de onda de

Compton λC = λc2π , donde λc ≈ 0.0243

A es la longitud de Compton.

• Φb =~2e = Φ0

2π donde Φ0 ≈ 2.0678× 10−15Wb es el cuanto de flujo magnetico.

Entonces, reescribimos la ec. (3.3) como:(− i (σ · r)

[ ddr

+ iAr(r)

2Φb− σz

(Lz

~r+Aθ(r)

2Φb

)]+

σznλC

+V (r)

vF~− E

)Ψ(r, θ) = 0.

(3.4)

Comenzamos a simplificar esta ecuacion.

Parte angular

Como hemos dicho, dentro de la problematica de los potenciales centrales podemos

decir que la funcion de onda Ψ (r, θ) es una auto – funcion del operador Lz ≡ −i ddθ ,

pues dichos potenciales solo dependen del radio r. Quiere decir que esas funciones son

de la forma eilθ, l ∈ Z. Sin embargo, el momento angular orbital l, no es una cantidad

conservada. Lo que se conserva es el momento angular total j con su operador asociado

J = L + S, con S el pseudo vector spin del electron. Por lo tanto, se remplaza

Lz = Jz − Sz = Jz − ~2σz y l = j ± 1

2 , donde ±12 son los valores asociados al spin del

electron. Si recordamos ahora la propiedad de:

JzΨ(r, θ) = j~Ψ(r, θ) ,

llegamos a:(− i (σ · r)

[ ddr

+1

2r+ i

Ar(r)

2Φb− σz

(j

r+Aθ(r)

2Φb

)]+

σznλC

+V (r)

vF~− E

)Ψ(r, θ) = 0 ,

(3.5)

42


donde hemos usado el hecho de que:

σ2z = I2×2 .

Ahora, si usamos el siguiente artificio matematico:

d

dx+

1

2x=

1√x

d

dx

(√x•),

y considerando al ansatz:

Ψ (r, θ) =1√r

(h(r)ei(j−

12)θ

i g(r)ei(j+12)θ

)=

1√r

[ei(j−

12)θ 0

0 ei(j+12)θ

](h(r)

i g(r)

)≡Mj(θ)χ(r),

vemos que la ec. (3.5) se convierte en:(− i (σ · r)

[ ddr

+ iAr(r)

2Φb− σz

(j

r+Aθ(r)

2Φb

)]+

σznλC

+V (r)

vF~− E

)Mj(θ)χ(r) = 0 .

(3.6)

En la matriz Mj (θ) se encuentra toda la dependencia del angulo θ de la funcion de

onda Ψ (r, θ). Notese que esta matriz se puede escribir como:

Mj (θ) =

[ei(j−

12)θ 0

0 ei(j+12)θ

]= ei(jI2×2−σz

2 )θ , (3.7)

donde hemos usado que:

eiσzx = cos(x)I2×2 + i sin(x)σz .

Si recordamos las propiedades de las matrices de Pauli:

[σi , σj ] = 2iϵijk σk ,

σi , σj = 2δij , (3.8)

y σ · r = cos(θ)σx + sin(θ)σy, dado que r = (cos(θ), sin(θ), 0), tenemos

(σ · r) , σz = 0 . (3.9)

43


Usando ahora las propiedades de dichas matrices, podemos decir que:

(σ · r) = e−iσzθσx . (3.10)

Ademas, si juntamos las propiedades de las ecs. (3.8), (3.7) y (3.10), se demuestra

directamente que:

(σ · r)Mj (θ) = Mj (θ)σx , (3.11)

que utilizaremos mas delante.

Volvemos a la ecuacion radial

Tras haber separado la parte angular de la radial y visto algunas de su propiedades

mas relevantes, usamos las propiedades de las ecs. (3.9) y (3.11) en la ec. (3.6) para

obtener:

Mj(θ)

(− i[ ddr

+ iAr(r)

2Φb+ σz

(j

r+Aθ(r)

2Φb

)]σx +

σznλC

+V (r)

vF~− E

)χ(r) = 0 .

Esto implica, si definimos V (r) ≡ Ar(r)2Φb

σx +V (r)vF ~ I2×2 :(

− i[ ddr

+ σz

(j

r+Aθ(r)

2Φb

)]σx +

σznλC

+ V (r)− E

)χ(r) = 0 ,

(3.12)

Ecuacion radial

Impurezas magneticas

Motivacion

Al abordar al tema que nos compete ahora, colapso atomico bajo impureza magnetica,

conviene aclarar en que consiste y cual es la configuracion fısica donde esta situacion se

analiza. Las impurezas magnetica, como ya se ha dicho, surgen cuando se sumerge la

lamina de grafeno en un campo inhomogeneo, lo que quiere decir que existe una region

44


Figura 3.2: Impurezas magneticas en la red del grafeno. El campo B1, denotado por

cruces negras es distinto al campo B2 –cruces verdes–, el cual esta acotado a un cırculo de

radio R en el centro de la lamina.

en la lamina que recibe un campo magnetico diferente al resto de la superficie, tal como

se aprecia en la Fig. 3.2.

El dibujo en dicha figura representa la configuracion fısica que se da en las impurezas

magneticas. Para fines de esta tesis, el campo magnetico B, cuya direccion se define

como eje z, inside perpendicularmente a la lamina (plano (x, y)). De este modo, B(r) =

B(r)z. Adicionalmente, se propone que el potencial vector tiene la forma:

A(r) = f(r)

(y

−x

)= −rf(r)θ .

Entonces, si usamos la ecuacion B(r) = ∇× A(r), vemos que la ecuacion que relaciona

f(r) con B(r) es:

d

dr

(r2f(r)

)= −rB(r) .

En esta tesis escogeremos para la parte interna (0 < r < R) B = Bz, con B constante.

Esto implica A(r) = B2 rθ, o sea f(r) = −B

2 . Para la region externa (r > R) B = −λr z,

con λ constante. Luego A(r)=λθ, implica f(r) = λr . La idea es que regulando λ, se

pueda inducir al colapso atomico.

Region interior 0 < r < R

Antes que todo, diremos que esta region es un artilugio matematico, pues se necesita

analıticidad de la funcion de onda, principalmente en el origen. Posteriormente, en las

45


condiciones de borde haremos tender R a 0. Para esta zona, el campo magnetico B es:

B = Bz ⇒ A(r) =B

2rθ .

Entonces, la ecuacion de la parte radial de la funcion de onda [ver ec. (3.12)] queda:(− i[ ddr

+ σz

(j

r+

r

2ℓ2B

)]σx +

σznλC

− ξuλℓ2B

− E

)χ(r) = 0 . (3.13)

Aquı, la longitud magnetica ℓ2B ≡ ~eB = 2Φb

B , la longitud asociada a λ es uλ ≡ ~eλ = 2Φb

λ

y ξ = 0 es un numero, adimensional.

Cabe decir que se introduce el potencial cuadrado V (r) = −ξ ~vFuλ

ℓ2B, o cualquier otro

que cumpla con limR→0

RV (R) = cte. De este modo se garantiza la analiticidad en r = 0,

y ası, posteriormente, se creen estados ligados.

Si definimos la variable adimensional x = rℓB

y la energa “adimensional” ϵ ≡ ℓBE.

La ecuacion (3.13) queda, entonces, como:(− i[ ddx

+ σz

(j

x+

x

2ℓB

)]σx +

ℓBnλC

σz − ξuλℓB

− ϵ

)χ(x) = 0 .

(3.14)

Recordamos que

χ(x) =

(h(x)

i g(x)

), (3.15)

la ecuacion vectorial de la ec. (3.14) se transforma en el siguiente sistema acoplado de

ecuaciones diferenciales de dos incognitas:[d

dx+x

2+j

x

]g =

(ϵ+ ξ

uλℓB

− ℓBnλC

)h ,[

d

dx− x

2− j

x

]h = −

(ϵ+ ξ

uλℓB

+ℓBnλC

)g . (3.16)

Si desacoplamos es sistema anterior, ec. (3.16), al despejar g(x) de la segunda ecuacion

y sustituirlo en la primera, obtenemos:[d

dx+

(x

2+j

x

)][d

dx−(x

2+j

x

)]h = −

((ϵ+ ξ

uλℓB

)2

−(ℓBnλC

)2)h .

46


Tras el desarrollo del operador, el producto de los parentesis cuadrados y luego de

pocos pasos algebraicos, llegamos a:[d2

dx2−(1

2− j

x2

)−(x2

4+j2

x2+ j

)]h = −

((ϵ+ ξ

uλℓB

)2

−(ℓBnλC

)2)h .

Juntamos las constantes y definimos

w2 =

(ϵ+ ξ

uλℓB

)2

−(ℓBnλC

)2

−(j +

1

2

),

llegando, ası, a: [d2

dx2− j (j − 1)

x2− x2

4+ w2

]h = 0 .

Si dividimos por w2 y definimos la variable y = wx, tenemos:[d2

dy2− j (j − 1)

y2− y2

4w4+ 1

]h = 0 . (3.17)

Cabe decir que la ec. (3.17) tiene solucion exacta mediante el cambio de variable z = y2

2 ,

dando a lugar soluciones del tipo hipergeometricas [59]. Sin embargo, nos interesa la

zona cercana a 0, pues esta region es un cırculo cuyo radio R siempre tiende a 0. En

este regimen se cumple que:1

y2≫ y2 ,

Por lo que podemos despreciar el termino cuadratico y ası, la ec. (3.17) queda:[d2

dy2− j (j − 1)

y2+ 1

]h = 0 . (3.18)

Ahora, proponemos que la funcion solucion tenga la forma h(y) = yf(y). Si lo sub-

tituımos en la ec. (3.18), la ecuacion resultante para f(y) es:[d2

dy2+

2

y

d

dy− j (j − 1)

y2+ 1

]f = 0 . (3.19)

Esta es la ecuacion caracterıstica de funciones Bessel esfericas. Por consiguiente,

f(y) = Ajj−1(y) ⇒ h(y) = yjj−1(y) ,

47


donde A es una constante arbitraria y jn(y) denota la funcion de Bessel esferica.

Se puede demostrar que:

−[d

dx− n

x

]xjn−1 = xjn .

Ası, si usamos esta propiedad, encontramos que:

g(y) = − 1

ϵ+ ξ uλℓB

+ ℓBnλC

[d

dx− j

x

]h(y) = A

w

ϵ+ ξ uλℓB

+ ℓBnλC

yjj (y) .

Entonces, el pseudospinor de esta region (zona I) es:

χI(y) = A

yjj−1(y)

i w

ϵ+ξuλℓB

+ℓBnλC

yjj(y)

. (3.20)

Esta es la primera parte de la solucion.

Region exterior R < r

En esta zona solo tenemos el potencial vector λr θ actuando. De esta forma, la ecuacion

radial, ec. (3.12), queda:(− i[ ddr

+ σz

(j

r+

1

uλ

)]σx +

σznλC

− E

)χ(r) = 0 . (3.21)

Si recordamos lo que es χ(r) [ver ec. (3.15)] la ecuacion vectorial (3.21) se transforma

en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales acopladas:[d

dr+

(j

r− 1

uλ

)]g (r) =

(E − 1

nλC

)h (r) ,[

d

dr−(j

r− 1

uλ

)]h (r) = −

(E +

1

nλC

)g (r) . (3.22)

Al despejar g(r) de la segunda ecuacion,

− 1

E + 1nλC

[d

dr−(j

r− 1

uλ

)]h (r) = g (r) , (3.23)

y reemplazar en la primera ecuacion, obtenemos:[d

dr+

(j

r− 1

uλ

)][d

dr−(j

r− 1

uλ

)]h (r) = −

(E2 −

(1

nλC

)2)h (r) .

48


Si desarrollamos el producto de parentesis cuadrados, luego de unos pocos pasos alge-

braicos llegamos a:[d2

dr2+j − j2

r2+ 2

juλ

r−

((1

nλC

)2

+

(1

uλ

)2

− E2

)]h (r) = 0 .

Juntamos las constantes y definiendo

k2 =

(1

nλC

)2

+

(1

uλ

)2

− E2 , (3.24)

llegamos a: [d2

dr2+

14 −

(j − 1

2

)2r2

+ 2

jℓλ

r− k2

]h (r) = 0 . (3.25)

Antes de proseguir resolviendo la ecuacion para h(r), debemos observar la naturaleza

de k, pues este numero posee dimensiones de inverso de la distancia. Esto podrıa

asociar a una distancia caracterıstica en el espacio recıproco para cada combinacion de

(E, λ). Tambien, claramente, se ve que k es una distancia “relativista”, pues su ultimo

cuadrado es negativo. Por ende, el espacio donde vive k posee metrica de Minkowski.

Ademas, notamos que k2 se puede escribir como:

k2 =

(1

nλCsin(θ) +

1

uλcos(θ)

)2

+

(1

λCcos(θ)− 1

uλsin(θ)

)2

− E2 ,

es decir, admite un angulo entre 1λC

y 1uλ

sea que la masa asociada a 1λC

actua como

un campo magnetico. Ası se forma un nuevo “campo magnetico”:

B =

λ

m

0

.

O rotaciones del mismo B.

Una vez dicho el comentario sobre k, proseguimos dividiendo la ec. (3.25) por 4k2.

Si llamamos la variable adimensional x = 2kr, obtenemos:[d2

dx2+

14 −

(j − 1

2

)2x2

+

jkuλ

x− 1

4

]h (x) = 0 , (3.26)

49


ecuacion tıpica de las funciones de Whittaker [60], es decir:

h (x) = C1W jkuλ

,j− 12(x) + C2M j

kuλ,j− 1

2(x) . (3.27)

Sin embargo, necesitamos tambien regularidad al infinito, pues el caso r = 0 esta

cubierto por la zona I. Esto implica que C2 = 0.

Dentro de las propiedades de las funciones Whittaker [60], encontramos que:[d

dx−b+ 1

2

x+

a

2b+ 1

]Wa,b(x) =

a− b− 12

2b+ 1Wa,b+1(x) .

Entonces, al reemplazar h(x) en la ec. (3.23), con los cambios de variables correspon-

dientes, y usando la propiedad mencionada, obtenemos:

g (r) = − 1

E + 1nλC

[d

dr−(j

r− 1

uλ

)]h (r) ,

⇒ g (x) = − kC1

E + 1nλC

(1

kuλ− 1

)W j

kuλ,j+ 1

2(x) . (3.28)

En conclusion, la parte radial de la funcion de onda, de esta zona, es:

χII (x) = C

W jkuλ

,j− 12(x)

− kE+ 1

nλC

(1

kuλ− 1)W j

kuλ,j+ 1

2(x)

, (3.29)

donde C contante de normalizacion.

Condiciones de borde y colapso atomico

Como se sabe, la funcion de onda debe ser continua en todo punto, en particular, en

r = R. Es decir,

χI(R) = χII(R) ⇒hII(R)

hI(R)=gII(R)

gI(R).

Si recordamos las ecs. (3.20) y (3.29), entonces debe cumplirse que:

w

ϵ+ ξ uλℓB

+ uBnλC

jj (yR)

jj−1 (yR)= − k(

E + 1nλC

)(1

kuλ− 1)W j

kuλ,j+ 1

2(zR)

W jkuλ

,j− 12(zR)

,

−wk

(E + 1nλC

)

ϵ+ ξ uλℓB

+ ℓBnλC

jj (yR)

jj−1 (yR)=

11

kuλ− 1

W jkuλ

,j+ 12(zR)

W jkuλ

,j− 12(zR)

, (3.30)

50


donde zR = 2kR y yR = w RℓB

. Ahora tomamos lımite, en la ec. (3.30), cuando R→ 0,

−wk

E + 1nλC

ϵ+ ξ uλℓB

+ ℓBnλC

limR→0

jj (yR)

jj−1 (yR)=

11

kuλ− 1

limR→0

W jkuλ

,j+ 12(zR)

W jkuλ

,j− 12(zR)

. (3.31)

Como el potencial vector es continuo, necesitamos que BR = λ . Por lo tanto, ℓ2B = uλR

y ası tenemos que:

yr =

√√√√(ϵ+ ξ uλℓB

)2ℓ2B

−(

1

nλC

)2

−j + 1

2

ℓ2Br =

√(ϵℓB + ξuλ)

2

ℓ4B−(

1

nλC

)2

−j + 1

2

ℓ2Br ,

y =

√(ER+ ξ

)2 ( rR

)2−(

r

nλC

)2

−j + 1

2

uλ

r2

R,

⇒ limR→0

yR = limR→0

√(ER+ ξ

)2−(

R

nλC

)2

−j + 1

2

uλR = |ξ| .

Entonces, el lımite en la ec. (3.31) queda:

−wk

E + 1nλC

ϵ+ ξ uλℓB

+ ℓBnλC

Jj (|ξ|)Jj−1 (|ξ|)

=1

1kuλ

− 1limR→0

W jkuλ

,j+ 12(zR)

W jkuλ

,j− 12(zR)

,

pues, jb(z)jc(z)

= Jb(z)Jc(z)

. Si llamamos:

u(E, uλ, k, w; ξ

)≡ −w

k

E + 1nλC

ϵ+ uλℓB

+ ℓBnλC

Jj+ 12(|ξ|)

jj− 12(|ξ|)

,

nos queda:

u(E, uλ, k, w; ξ

)=

11

kuλ− 1

limR→0

W jkuλ

,j+ 12(zR)

W jkuλ

,j− 12(zR)

. (3.32)

Ahora, el comportamiento de las funciones Wa,b(x) cerca de 0 (x→ 0) es:

Wµ,γ(x) ≈ Γ (2γ)

Γ(12 − µ+ γ

)x 12−γ +

Γ (−2γ)

Γ(12 − µ− γ

)x 12+γ . (3.33)

51


Si usamos esta aproximacion en el lımite en la ec. (3.32) obtenemos:

u(E, uλ, k, w; ξ

)=

11

kuλ− 1

limz→0

Γ(2j+1)

Γ(− j

kℓλ+j+1

)z−,j− 12 + Γ(−2j−1)

Γ(− j

kuλ−j

)zj+ 12

Γ(2j−1)

Γ(− j

kuλ+j

)z−j+ 12 + Γ(−2j+1)

Γ(− j

kuλ−j+1

)zj− 12

.

Usando la propiedad, basica de la funcion gammma,

Γ(x+ 1) = xΓ(x),

tras algunas manipulaciones algebraicas obtenemos:

2j

− jkuλ

+j− z

2j+1q

z2j +

2jj

kuλ+jq

=

(1

kuλ− 1

)u , (3.34)

donde definimos:

q(z) =Γ (−2j)

Γ (2j)

Γ(− j

kuλ+ j)

Γ(− j

kuλ− j)z2j . (3.35)

Vemos que si q(z) es analıtica en z = 0, entonces j > 0 (primera condicion).

Al despejar q(z) de la ecuacion (3.34), tenemos:

q(z) =

2j

− jkuλ

+j− z

2j

(1

kuλ− 1)u

2jj

kuλ+j

(1

kuλ− 1)u+ z

2j+1

.

Tomamos el lımite cuando R→ 0, vale decir, cuando z → 0 pues z = 2kr.

limz→0

q(z) = −1

kuλ+ 1(

1kuλ

− 1)2u, (3.36)

Lo que es constante. Sin embargo, notamos que si kuλ = 1, la constante se torna

indefinida, pero ¿que significa kuλ = 1?

Si recordamos lo que es k, ec. (3.24), y manipulamos dicha ecuacion algebraicamente,

obtenemos: (1

nλC

)2

− E2 = 0 ,

⇒ m2 − E2 = 0 . (3.37)

52


Entonces, lo que esta oculto en kuλ = 1 es la condicion on–shell (3.37). Esto quiere

decir que si el electron esta en la superficie del “cono de luz” que se encuentra en el

espacio reciproco, no experimentara colapso alguno (∀λ). De esta forma observamos

otra condicion para que el colapso ocurra, kuλ = 1, vale decir que el electron no se

encuentre en la condicion on-shell.

Tras asumir esta condicion, podemos decir que el lımite de la ec. (3.36) es constante.

Si recordamos q(z) [ver (3.35)], observamos que:

limz→0

Γ (−2j)

Γ (2j)

Γ(− j

kuλ+ j)

Γ(− j

kuλ− j)z2j = cte ,

pero, z2j → 0 cuando z → 0. No obstante, el lımite de q(z) debe ser una constante

distinta de 0. Esto fuerza a que Γ(− j

kuλ− j)tenga un polo simple para que el lımite

permanezca constante, lo que implica

−j[

1

kuλ+ 1

]= −c, (3.38)

donde c ∈ N. Resolvemos la ec. (3.38) para E

Ec,j =

√√√√√( 1

nλC

)2

−

(1

cj−1

)2− 1

u2λ. (3.39)

Para que el atomo colapse, la energıa ha de volverse imaginaria, es decir:(uλnλC

)2

<

(1

cj − 1

)2

− 1 . (3.40)

Para que esta ultima desigualdad tenga sentido, el lado derecho debe ser positivo, o

sea, debemos buscar los valores de j tales que:(1

cj − 1

)2

− 1 > 0 ,

Esta desigualdad equivale a dos desigualdades:

1cj − 1

< −1 ,

⇒ c

j< 0 ,

53


Figura 3.3: Impurezas magneticas en la red del grafeno. El campo B1, indicado por

cruces negras es distinto al campo B2, cruces verdes, el cual esta acotado a un cırculo

de radio R en el centro de la lamina. En el centro de la zona interior, circunferencia en

amarillo, el campo Aharonov-Bohm.

pero c ∈ N ⇒ j < 0, lo que es una contradiccion, pues se necesita que j > 0. Sin

embargo, la otra desigualdad es:

1cj − 1

> 1 ,

⇒ j >c

2. (3.41)

En el estado fundamental, c = 0 y j = 1/2, estas condiciones no se satisfacen. POr lo

tanto, no hay colapso atomico para todo valor de campo magnetico.

Impurezas magneticas + Aharonov-Bohm

Motivacion

Similar al caso anterior, Impurezas magneticas, la configuracion fısica consiste en una

region interior, un cırculo de radio R, donde el campo magnetico es constante y una

zona externa (r > R) donde el campo decae como r−1. Adicionalmente, se le anade

un campo magnetico tipo Aharonov-Bohm, es decir, un campo tipo delta de Dirac,

concentrado en el centro de la zona primera como se aprecia en la Fig. 3.3.

Funcion de onda

Una vez explicada la configuracion fısica en la Fig. 3.3, nos damos cuenta que es

basicamente la misma que la anterior. Por lo tanto, podemos escribir para el potencial

54


vector:

A(r) = Aant(r) + AAB(r) ,

donde Aant(r) denota el potencial vector antiguo y AAB(r) = −Φ∆2r θ es el potencial

asociado al campo magnetico de Aharonov-Bohm. Aquı, Φ∆ es el flujo magnetico

asociado a la intensidad magnetica ∆. Al considerar esto, usamos la ecuacion radial,

ec. (3.12), con el potencial vector anteriormente descrito, es decir:(− i[ ddr

+ σz

(j

r+Aant(r)

2Φb− Φ∆

4Φb

1

r

)]σx +

σznλC

+ V (r)− E

)χ(r) = 0 ,(

− i[ ddr

+ σz

(s

r+Aant(r)

2Φb

)]σx +

σznλC

+ V (r)− E

)χ(r) = 0 ,

(3.42)

con

s = j − 1

4

Φ∆

Φb. (3.43)

Al considerar esto, nos damos cuenta que la forma de la ec. (3.42) es la misma que la

ecuacion (3.12), con la diferencia que s [ver (3.43)] juega el papel de j. Dado que el

potencial vector “antiguo” se mantiene, las funciones de onda en las respectivas zonas

son las mismas dadas por las expresiones (3.20) y (3.29), con la salvedad del cambio j

por s, es decir:

χI(y) = A

yjs−1(y)

i w

ϵ+ξuλℓB

+ℓBnλC

yjs(y)

,

χII (x) = C

W skuλ

,s− 12(x)

− kE+ 1

nλC

(1

kuλ− 1)W s

kuλ,s+ 1

2(x)

, (3.44)

donde A,C son constantse de normalizacion y valen las mismas definiciones de la vez

anterior.

Condiciones de borde y colapso atomico

Como ya se ha dicho, al agregar un campo Aharonov-Bohm, solo se modifica el momento

angular total, es decir j cambia por s [ver (3.43)]. Por ende, todas las desigualdades y

55


restricciones siguen siendo validas, con el cambio correspondiente. Entonces, si kuλ = 1,

tenemos:

Ec,s =

√√√√( 1

nλC

)2

−

(1

cs−1

)2− 1

u2λ, (3.45)

con c ∈ N y s > 0. Si inducimos el colapso, lo que ocurre cuando la energıa [ec. (3.45)]

comienza a ser imaginaria, obtenemos:

λs > 2Φb

nλC

( 11s − 1

)2

− 1

− 12

. (3.46)

En este caso, tambien podemos ver que no es posible que el estado fundamental se

sumerja en el continuo. Nestro an’alisis permite conjeturar que ninguna configuracion

magn’etica puede provocar colapso atomico.

56

Capıtulo 4

Conclusion

El grafeno es un material fascinante, constituido por un arreglo bidimensional de atomos

de carbono. Esta lamina posee propiedades interesantes desde el punto de vista practico

mayor dureza que el acero, mejor conductividad termica y electrica que el cobre, etc.

y teoricas, como por ejemplo, los electrones de conduccion se comportan como cuasi–

partıculas, relacion de dispersion lineal. En esta tesis explotamos estas propiedades

teoricas para estudiar algunos fenomenos y predicciones hechas por la QED2+1.

Desde la perspectiva teorica, podemos decir que los electrones de conduccion se

mueven con la velocidad maxima constante vF ≈ 106ms , como si fueran cuasi – “fermiones

de Dirac” sin masa, como ya se ha dicho, lo que nos permite recrear un ambiente rela-

tivista donde vF juega el papel de c, la velocidad de la luz. Esto se pone de manifiesto

en la relacion de dispersion que satisfacen los electrones de conduccion del grafeno

cerca de los puntos de Dirac. En efecto, la relacion de dispersion de la energıa es lineal

en el momentun. Esto recrea, a escala, el laboratorio teorico perfecto para verificar

experimentalmente las predicciones teoricas de QED2+1.

En este escenario, quisimos verificar las predicciones teoricas de QED2+1 en tres

efectos: la absorcion de luz; el efecto Hall y el efecto Faraday. Supusimos condiciones de

campo magnetico debil y bajas energıas, pues de este modo, los electrones de conduccion

no ven la estructura atomica del grafeno comportandose como un gas bidimensional

de electrones libres. El campo magnetico externo incide perpendicularmente sobre la

lamina de grafeno.

Para ver estos tres efectos, segun QED, debemos calcular el tensor de polarizacion

57

Capıtulo 4. Conclusion

del vacıo Πµν , pues este cuantifica la polarizacion del mismo, siendo la cantidad funda-

mental que describe los fenomenos radiativos. Para el calculo de dicho tensor, ocupamos

el propagador de Schwinger. Expandimos este en potencias de eB∆2 , con ∆ una masa

efectiva y guardamos los primeros terminos, pues tenemos en mente eB∆2 ≪ 1 que es la

condicion de campo magnetico debil. En estas condiciones, Παβ viene dado por

Παβ(p, p) = 4πα

[(Πvac(p) + (eB)2Π0(p)

)Pαβ(p) + (eB)2Π⊥(p)P

αβ⊥ (p)

].

Aquı Pαβ y Pαβ⊥ son tensores invariantes de gauge. Ası, concluimos que Παβ es consis-

tente con la identidad de Ward y, por ende, la expansion de campo debil del propagador

no afecta la transversalidad del tensor. Tambien concluimos que la parte transversa

del tensor Π⊥(p)Pαβ⊥ (p) solamente aparece cuando el campo magnetico existe.

Para estimar la cota que garantiza que estamos en un escenario de campo magnetico

debil, debemos relacionar la masa efectiva ∆ con el momento de Fermi pF (∆2 =p2Fv2F

). Este, para un gas bidimensional libre, se relaciona con su densidad p2F ∝ NA ,

donde N es el numero de partıculas contenidas en un area A en que esta disperso el

gas. Al considerar esto, la condicion eB∆2 ≪ 1 se traduce en una cota para su flujo

magnetico sobre la lamina de grafeno (Φ ≪ 9119Φ0), con Φ0 el cuanto de flujo. De

aquı concluimos que, a mayor area, menor ha de ser la intensidad del campo magnetico

para que sea considerado “campo debil”. Por ejemplo, para una lamina de area 10−8m2,

la intensidad de campo magnetico B debe cumplir con B ≪ 1.9mT.

Finalmente, vemos que en el efecto de absorcion de luz, lo que nos permite conocer

la intensidad de luz trasmitida a traves de la lamina, el factor correctivo, al aplicar un

campo magnetico debil externo es(eBω2

)2, donde ω es la frecuencia de la luz incidente.

Tambien observamos que estas conclusiones de nuestra discusion teorica concuerdan

con los resultados experimentales para B = 0, siendo la tasa universal de absorcion de

luz medida I = 2.3%.

En el efecto Hall, los defectos en la red cristalina son introducidos mediante la

“masa de Haldane” y usamos la formula de Kubo para el calculo del factor de llenado. El

resultado de tal calculo concuerda con las mediciones realizadas. Por ultimo, calculamos

el efecto Faraday en el grafeno deformado, observandose una concordancia entre los

experimentos y la teorıa.

58


En el tercer capıtulo nos adentramos en la problematica de los potenciales cen-

trales, enfocados en el estudio del colapso atomico bajo impurezas magneticas. El

colapso atomico se manifiesta cuando la conductividad longitudinal muestre picos (di-

vergencias). Dentro de los colapsos, se destacan dos grandes ramas (o maneras de

inducirlo).

Concluimos que en el estado base no existe colapso atomico y conjeturamos que

para toda configuracion magnetica estatica, este sera el caso.

Como conclusion final podemos decir que:

Hasta donde se aborda en esta tesis, la teorıa QED2+1, al incluir correcciones

radiativas, especialmente al tensor de polarizacion del vacıo, permite entender varios

resultados experimentales.

59


60

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