FISICA 2 - PRACTICAUNIDAD 1

Ley de CoulombEjercicio 1

Dos esferas conductoras, igualmente cargadas y de igual masa, estan suspendidas de un mismo pun-to por dos hilos aislantes de igual longitud. Debido a la repulsion, el equilibrio se establece cuando lasesferas se encuentran separadas 10cm entre sı. Calcular la carga de cada esfera.Datos: mes f=0.5 g, L hilo=15 cm, r=10 cm.

Para comenzar a resolver casi cualquier ejercicio en fısica lo primero que recomiendo es hacer undibujo lo mas prolijo posible para que podamos visualizar correctamente lo que el problema involucra.Ademas del dibujo lo mas correcto es que pasemos los datos que nos proporciona el ejercicio a lasunidades internacionales. Si no realizamos estas tareas no estaremos siendo coherentes y por ende elresultado no sera el valido. Esta tarea de convertir unidades nos garantiza que el resultado este en launidad que corresponda, en esta materia tenemos muchas magnitudes y cada una de ellas tiene unidadesdiferentes, si cada persona se acuerda de memoria las equivalencias de todas las unidades seria optimopero si no es algo que tengan presente este paso les garantiza la unidad correcta a cada magnitud.Datos convertidos: mes f= 0.0005 kg, L hilo =0.15 m, r= 0,1 m .

Ahora sı continuamos con el dibujo:

Figura 1

Vemos que en nuestro esquema tenemos L1=L2=LHilo.En este ejercicio el enunciado dice que los hilos son aislantes (material que no tiene conduccion

electrica) por lo tanto debemos interpretar que los mismos no generan ningun tipo de efecto electrico ennuestro problema. Sumado a esto debemos asumir que los hilos tampoco generan ningun efecto fısico,ya sea rozamiento, peso, etc.Como podemos ver las esferas tienen masa marcandonos que vamos a tener la influencia del campogravitatorio, en conjunto con este efecto tendremos la fuerza electrica que se produce por las cargas.Ambos cuerpos son puntuales (toda su masa y su carga estan concentradas en un punto).

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Si rememoramos nuestros tiempos en fısica 1, seguramente les resultara familiar el DCL (diagrama decuerpo libre) en donde en cada cuerpo podemos poner las fuerzas que son ejercidas sobre los mismos.

Figura 2

En este DCL analizamos la carga numero 2, por ser iguales resulta lo mismo. Allı podemos ver las 3fuerzas que actuan en el cuerpo (esfera 2), es decir, la fuerza denominada “tension del hilo” ~T , la fuerzaelectrica ~Fe y por ultimo el peso ~P.

Notese que la fuerza electrica es una fuerza de repulsion por tener la misma carga en cada esfera,de allı que la fuerza electrica de la esfera 2 va hacia la derecha alejandose de la esfera 1. Ahora quetenemos el diagrama bien armado podemos visualizar todo lo que involucra el ejercicio, y de esa manerapoder analizar y darnos cuenta de que manera podremos llegar a obtener la carga de cada esfera, que eslo solicitado en este primer practico. Rapidamente podemos darnos cuenta que la carga de la esfera 2estara ıntimamente relacionada con la ~Fe que sienta debido a la carga 1, de hecho estan relacionadas atraves de la Ley de Coulomb como ya habran deducido. Por esto propongo que encontremos primero lafuerza electrica ya que se puede sacar de lo que tenemos.

Es sabido que las fuerzas son vectores, y como ya han aprendido los vectores no se pueden trabajarcomo si fuesen numeros o escalares. Para poder trabajar con los vectores lo que podemos realizar esdescomponer todas las fuerzas a un mismo par de ejes para poder realizar la sumatoria de las fuerzascolineales. Usaremos el clasico par de ejes XY como referencia (el cero del eje de referencia estarıa en laesfera misma), siendo que esto desemboca en tener que descomponer la ~T ya que es la unica fuerza queno esta sobre el par de ejes que seleccionamos. Ası aparecen las componentes ~Tx y ~Ty que ya estabanplasmadas la Figura 2. Al reemplazar la fuerza ~T por sus dos componentes nos quedan 4 vectores peroahora sı todos estan en los ejes XY. Lo unico que debemos hacer es poner las componentes con suscorrespondientes ecuaciones.

Tx = T sin(α) (1)

Ty = T cos(α) (2)

Vale notar que las ecuaciones 1 y 2 estan expresadas en modulo, por este motivo no llevan la flechaarriba. Lo que realizamos no sera una suma de vectores en sı misma, lo que realizamos es descomponerlos vectores y sumar todo lo que este en la misma de recta de accion para ası poder encontrar alguna de

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las incognitas. Del triangulo rectangulo de la Figura 1 podemos encontrar el valor de α:

α = arcsin(r/2

LHilo) (3)

Lo que sigue es analizar la sumatoria de fuerzas en la esfera 2 para poder encontrar el valor de la ~Fe:∑Fx = Fe − Tx = 0 (4)

La formula esta igualada a cero ya que la esfera ha encontrado su estado de equilibrio (si lo analizamoscomo si estuvieramos en Fısica 1 la fuerza neta seria cero porque no tenemos aceleracion, por Ley deNewton F=m.a), por lo que no tiene una fuerza resultante distinta de cero, si no se mueve no tiene fuerzaneta. ∑

Fy = Ty − P = 0 (5)

Lo mismo ocurre con la componente en Y de la fuerza resultante en la esfera, no tiene movimiento en eleje Y ya que se encuentra estatica. Y ahora solo queda resolver, de la ecuacion 5 obtenemos:

T =P

cos(α)(6)

Ahora que obtuvimos el modulo de T podemos reemplazarlo en la ecuacion 4:

Fe =P sin(α)cos(α)

(7)

Para continuar debemos recurrir a la Ley de Coulomb, la cual dice:

Fe12 = Kq1q2

r212

(8)

Aplicando esta formula general al mundo de nuestro ejercicio quedara lo siguiente:

Fe = Kq2

r2 (9)

La formula 9 queda ası ya que las cargas son iguales. Usando la ecuacion 7 y 9 podemos llegar alresultado deseado. Despejamos la carga de la esfera por el metodo de resolucion que deseen.

Como conclusion de esta primera parte lo unico nuevo que estamos incorporando a lo que ya sabıande Fısica 1 es una fuerza nueva que es la electrica. El razonamiento que utilizamos es el mismo queya aprendieron en la materia anterior, solo que si aparecen cuerpos con carga electrica tendremos queagregar esta nueva fuerza.Recuerden que las fuerzas siempre aparecen de a pares de cuerpos (en nuestro caso cargas). Sumadoa esto, dado que la fuerza electrica es un vector siempre tiene la direccion que une a las dos cargaspuntuales analizadas y el sentido queda determinado por los signos de las mismas.

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Ejercicio 2

Encontrar la fuerza de repulsion electrica entre dos protones en una molecula de H2, siendo la sepa-racion entre ellos 0.74x10−10 m. Compararla con la de atraccion gravitatoria correspondiente.Datos: qp=1.6x10−19 C; mp=1.67x10−27 Kg; G=6.67x10−11 Nm2

Kg2

Como ya sabemos lo primero es que hagamos un dibujo adecuado y prolijo:

Figura 3

La idea de este ejercicio es que veamos con un ejemplo como funciona el mundo subatomico y sacaruna conclusion de ello. Para lograrlo debemos encontrar el valor de la ~Fe en primer lugar, usando la Leyde Coulomb:

Fe = KQ1Q2

r2 siendo Q1 = Q2 = qp (10)

Ahora calcularemos la fuerza gravitatoria entre las masas de las partıculas:

Fg = Gm1m2

r2 siendo m1 = m2 = mp (11)

Para realizar la comparacion hacemos el cociente entre la Fe y la Fg, podemos comparar los modulosde las fuerzas porque ambas estan en la misma direccion:

Fe

Fg=

Kqp2

Gmp2 (12)

Analizando esto llegamos a la conclusion que, sin necesidad de hacer cuentas, el valor del cocientesera tremendamente alto por dos razones:1) Las cargas de las partıculas son muchısimo mas grandes que las masas (numericamente hablando).2) El cociente de las constantes K y G es del orden de 1020.Esto nos lleva a concluir que las fuerzas electricas son mas intensas que las gravitatorias cuando consi-deramos partıculas subatomicas. Por ultimo dejamos el esquema con ambas fuerzas:

Figura 4

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Ejercicio 3

Tres cargas puntuales estan ubicadas sobre el eje x: q1 = 100 nC en x=0, q2 = - 5 µC en x=3 cm yq3 ubicada en x= 11 cm.a) Calcular el valor de la carga q3 para que la carga q2 este en equilibrio.b) ¿En que otro punto del eje se podra colocar la q2 para que este en equilibrio?

Nota: Recordar convertir las unidades al sistema internacional.Comenzamos con el esquema:

Figura 5

Es normal pensar que apareceran fuerzas de atraccion entre la carga 1 y 2. Debemos tratar de dilu-cidar por donde comenzar el problema y esa respuesta esta en el enunciado. Allı nos dan la hipotesis deque la carga 2 debe de estar en equilibrio, osea no se debe mover, y es por ahı donde debemos partir.Vamos a analizar que sucede en la carga 2:

Figura 6

Vemos que en la carga 2 tenemos una fuerza con direccion hacia la izquierda debido a la carga 1,dicha fuerza la podremos calcular con la ley de Coulomb. Sabemos que la carga 2 debe estar en equilibriopor lo tanto es evidente que debe existir otro efecto sobre la misma independientemente de la carga 1,ya que si estuviese esa unica fuerza no estarıa en equilibrio.Si revisamos el enunciado leeremos que hay una tercera y nos damos cuenta que con el efecto de la carga3 deberemos lograr el equilibrio en la segunda. Como bien sabemos si una partıcula esta en equilibriola sumatoria de fuerzas neta sobre la misma debe ser cero. De allı que deducimos que la fuerza entre la2 y la 3 es una fuerza de atraccion ya que necesariamente la fuerza 32 debe ser igual y contraria a la 12para que estemos en equilibrio. Ya que sabemos que la fuerzas entre estas partıculas son de atraccionpodemos saber que la q3 debera ser una carga positiva. Para poder encontrar que valor debera tener esacarga partimos de la hipotesis del enunciado. ∑

F2 = 0 (13)

F12 − F32 = 0 (14)

F12 = F32 (15)

Kq1q2

r122 = Kq2q3

r322 (16)

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donde r12=0,03 m y r32=0,08 m.De la Ecuacion 16 podremos despejar el valor de q3 que permitira hacer que la carga 2 este en equilibrio.Lo ultimo que debemos realizar es contestar el punto b), y la respuesta es que en cualquier otro punto deleje la carga 2 no estarıa en equilibrio ya que si movemos la carga hacia la izquierda o hacia la derechase perderıa el equilibrio completamente, se recomienda probar algunos puntos como ejemplo.

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Ejercicio 4

Hallar la fuerza resultante sobre la carga q1 segun la distribucion que se muestra en la Figura 7Datos: q1 = -1 µC ; q2 = 3 µC ; q3 = -2 µC; d12 = 15 cm; d13 = 10 cm; θ = 30◦.

Figura 7

Lo que el enunciado nos solicita es encontrar la fuerza resultante sobre la carga 1, por ello resultaevidente que nuestro analisis se debe enfocar sobre la misma. Como la carga 1 y la 2 son de signosopuestos las fuerzas que apareceran sobre las mismas seran de atraccion, claro que a nosotros nos in-teresa la fuerza que esta en q1 y esa fuerza es F21. En este momento vale la pena destacar que siemprehay que seguir una coherencia en la nomenclatura con la cual escribimos las fuerzas, ejemplo:

F12 es la fuerza sobre la carga 2 debido al efecto de la carga 1.F21 es la fuerza sobre la carga 1 debido al efecto de la carga 2.

Pero sucede que en algunos libros esto lo ponen al reves. No es algo que deba preocupar al estudiante,adopten la forma que deseen pero mantenganla en todo el ejercicio para que haya coherencia. En esteejercicio voy a usar la forma del ejemplo, por ende la fuerza de interes es F21 como ya he mencionado.La otra fuerza que existe sobre la carga 1 es la que interactua con la carga 3, dichas cargas entre sı sonde iguales signos por ello tendran fuerzas de repulsion, siendo la F31 la fuerza sobre q1 debido a q3.

Figura 8

Graficamos las dos fuerzas que siente la carga 1, ahora debemos encontrar la fuerza resultante.Primero debemos hallar los vectores fuerza que tenemos en el esquema, rapidamente podemos encontrar

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el modulo de cada una con la Ley de Coulomb:

F21 = Kq1q2

d212

(17)

F31 = Kq1q3

d213

(18)

Vuelvo a repetir para que quede bien grabado, esto que se calculo recien son los modulos. Otro dato atener en cuenta es que la forma de designar a las distancias las tomamos como las da el ejercicio. Bien,para continuar debemos armar los vectores, uno de ellos sale directo:

~F21 = (F21; 0) (19)

O lo que resulta igual:~F21 = F21 i (20)

Es claro que este vector no tiene componentes en el eje Y, por este motivo sale directo que solo poseeuna componente positiva en el eje X.

Con la otra fuerza vamos a tener que trabajar un poco mas, ya que posee componentes en ambosejes. Como sabemos cuanto vale el modulo se puede hacer:

F31X = F31 sin θ (21)

F31Y = F31 cos θ (22)

Vuelvo a volver a reiterar, estos son los modulos de las componentes de la F31 sobre los ejes que tenemos.Resulta entonces que :

~F31 = (F31X;−F31Y ) (23)

O lo que es igual~F31 = F31X i + F31Y (− j) (24)

El signo negativo de la componente en Y lo sabemos ya que el vector esta en el cuarto cuadrante, y allılos vectores tienen componente en X positiva y componente en Y negativa.

Ahora solo queda realizar la suma de vectores:

~FN1 = ~F31 + ~F21 (25)

Donde FN1 es la fuerza neta o resultante sobre la carga 1.

~FN1 = (F31X;−F31Y ) + (F21; 0) (26)

~FN1 = (F31X + F21;−F31Y ) (27)

Y ası es como encontramos el valor de la fuerza resultante. El resultado es el mas correcto posible, es de-cir, escribirlo como vector en cualquiera de sus formas, en algunos ejercicios anteriores solo dejabamosexpresado el modulo y hablando formalmente eso no esta completo ya que le faltarıa el angulo. Sucedeque en algunos casos donde el ejercicio ya es informal podemos dar como resultado el modulo para serpragmaticos pero en este ejercicio dieron todas las coordenadas y hasta un eje XY, con ello debemosentender que debemos entregar el resultado lo mas formalmente posible. Tambien hay que agregar cuan-do se pueda el dibujo final de todo lo que representa el ejercicio para que este todavıa mas completo.Si deseamos dar como resultado en modulo necesariamente tendremos que agregar el angulo del vectorfuerza neta de la carga 1.

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Figura 9

FN1 =

√(F31X + F21)2 + (−F31Y )2 (28)

α = arctan (−F31Y

F31X + F21) (29)

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Ejercicio 5

Cuatro cargas iguales de carga q=1 µC estan situadas en los vertices de un cuadrado de lado a = 50cm. Hallar la carga Q5 que es necesaria colocar en el centro del cuadrado para que todo el sistema esteen equilibrio.

Realizamos un esquema para empezar:

Figura 10

La hipotesis de este ejercicio es el equilibrio de todo el sistema. Para ello las cuatro cargas inicialesque se encuentran en cada vertice del cuadrado deben estar en reposo. Como son todas identicas esredundante analizar todas, con analizar lo que sucede en una sola podremos determinar lo que nossolicitan, tomaremos como punto de partida la carga 4. En esa carga tenemos 3 fuerzas, una por cadauna de las otras cargas. Lo que debemos realizar es analizar que carga deberemos poner en el centro deeste cuadrado para que todo este en equilibrio. Analicemos la carga mencionada:

Figura 11

Aca podemos observar que las fuerzas que aparecen entre las cargas 1 y 4 son todas de repulsion portratarse de cargas iguales, en este caso positivas. Como se mostro en la Figura 11 las fuerzas F14, F24 yF34 “empujan” la Q4 hacia abajo a la derecha. Si estuvieran esas tres fuerzas solas no habrıa equilibrio.Para ello se coloca la Q5, esta carga ya tiene lugar donde se ubica ası que eso no hay que determinarloen este caso, pero sı debemos encontrar su magnitud y su signo que cumpla con la hipotesis si es quees posible. Lo que podemos determinar con esto es que la Q4 y Q5 entre sı deben tener signos opuestosya que la carga 5 debe “tirar” hacia el lado contrario para ası lograr el equilibrio, piensen los siguiente,si tuviesen signos iguales se generarıan fuerzas de repulsion y tendrıamos una fuerza mas en diagonalhacia abajo y derecha lo que nunca podrıa dar el equilibrio.Ahora que sabemos que la Q5 tiene que tener signo negativo solo nos queda encontrar que valor tiene,

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para esto desarrollemos un poco lo que tenemos:

F24 = KQ2Q4

a2 = KQ2

a2 (30)

F34 = KQ3Q4

a2 = KQ2

a2 (31)

F14 = KQ1Q4

(√

2a)2= K

Q2

(√

2a)2 = K

Q2

2a2 (32)

F54 = KQ5Q4

(√

22 a)2

= KQ5Q

a2

2

= 2KQ5Qa2 (33)

Tenemos estas fuerzas halladas (salvo la que involucra a la carga 5 ya que es la incognita que buscamos),en los proximos pasos se propone realizar la sumatoria de fuerzas en ambos ejes igualado a cero, peroantes de esto debemos tener todas las fuerzas disponibles en el par de ejes que elijamos, para esteejercicio como en casi todos elegiremos el XY clasico. Descomponemos las fuerzas que no esten enesos ejes y encontramos sus componentes:

F14X = F14 sin 45◦ (34)

F14Y = F14 cos 45◦ (35)

F54X = F54 sin 45◦ (36)

F54Y = F54 cos 45◦ (37)

Nota:Las distancias fueron halladas con Pitagoras obviamente, y los angulos son todos de 45◦ porquedichas fuerzas estan en la diagonal del cuadrado.Procedemos a realizar la sumatoria: ∑

F4X = 0 (38)

F24 + F14X − F54X = 0 (39)

Notaran que de esta ecuacion ya es posible calcular Q5. Para que lo tengan completo ponemos la suma-toria en el eje Y tambien: ∑

F4Y = 0 (40)

− F34 − F14Y + F54Y = 0 (41)

De cualquier de estas dos ultimas ecuaciones encontramos la incognita (notar que son iguales).Algo a tener en cuenta que no se dijo, los signos de las ecuaciones se sacan de analizar en que direcciondel eje X e Y respectivamente se encuentra cada vector, como se tomo el clasico eje XY, los vectores quevayan a la la derecha son positivos y los que vayan para arriba tambien, caso contrario son negativos.

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Campo ElectricoEjercicio 6

En un triangulo equilatero de 20 cm de lado, se colocan en dos de sus vertices las cargas puntualesq1 y q2, positivas de 6 µC, segun la Figura 12.Hallar:a) El campo electrico E en el tercer vertice.b) La fuerza que se ejercera sobre otra carga puntual q3, que se colocara allı, si esta fuera de -10 µC.En este ejercicio nos solicitan dos partes, cuando resolvamos la parte a) usaremos esos datos encontradospara realizar la parte b).Realizamos un esquema donde entendamos que debemos realizar:

Figura 12

Como se vio en la parte teorica, cualquier carga puntual es generadora de un Campo Electrico, ysabemos que dicho campo es uno Vectorial radial centrado en la carga (recordemos de Analisis Ma-tematico que un campo vectorial es una entidad la cual le entregamos una coordenada en el espacio ynos devuelve un vector, o dicho de otra forma... en cada punto del espacio tendremos un vector querespeta la ecuacion del campo). Este campo debe ser expresado con barra arriba de la letra porque eslo mas correcto, es una entidad vectorial. Lo que sucede es que este tipo de campo (y particularmentese hace referencia al campo de una carga puntual) tiene una componente en la variable “r”de coordena-das Esfericas y solo depende de la coordenada r (noten la diferencia entre componente y dependencia),veamos como quedarıa el campo escrito correctamente:

~E(r) = Kqr2 r (42)

Donde:q es la carga generadora del campo.r es la unica variable de este campo de carga puntual.r es el versor de la variable r (ver coordenadas esfericas para recordar esto, no es obligatorio).No obstante, para los que se preocupen al ver esto no deben hacerlo, pues la mayorıa de las vecesutilizamos las formulas con modulo y nos independizamos de las coordenadas, ası llegamos a la formulamas conocida de CARGA PUNTUAL:

E(r) = Kqr2 (43)

La formula nos da el modulo de un vector que esta ubicado a una distancia “r”de la carga puntual,pues esta ecuacion es SOLO PARA CARGAS PUNTUALES, cada elemento que tenga carga tendra unaecuacion correspondiente de campo Electrico, por ello es importante que cada persona tenga presentedonde y para que se puede usar cada formula. Volviendo a nuestro ejercicio debemos encontrar el VEC-TOR de campo Electrico en el punto P. Vale aclarar que se debe tener clara la diferencia entre vector ycampo vectorial electrico, ya que los dos se escriben con nomenclatura vectorial y esto puede llegar a

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traer confusiones. El vector es el resultado de aplicar el campo vectorial en un punto en especıfico, porello se hablo de el vector en el punto P que es lo solicitado (en este caso encontraremos el modulo de esevector para ir directamente a lo nuevo que se aprende). En este ejercicio vamos a tener un vector en elpunto P por cada carga que haya en el sistema pues cada carga genera un campo Electrico independientedel otro y debemos evaluar los efectos en conjunto sobre el punto en cuestion, esto es lo que en la teorıavieron como principio de superposicion.

Figura 13

Donde:~EP2 es el vector de campo electrico sobre el punto P generado por la carga 2.~EP1 es el vector de campo electrico sobre el punto P generado por la carga 1. Lo que ahora nos propo-nemos es encontrar el vector de campo electrico neto en P, osea ~EP, o directamente el modulo de esevector tambien sera valido, ya que en este ejercicio nos interesa entender los nuevos conceptos. De todasformas lo mejor es que si se da la magnitud como resultado deberıa venir acompanado del angulo sobretodo para resolucion en examenes, en este caso damos por valido solo el modulo porque nos enfocamosen la resolucion, cada estudiante debe saber sacar el angulo de un vector.Encontremos los modulos de los dos vectores que tenemos:

EP1 = Kq1

L2 (44)

L es el lado del triangulo, tiene un valor de 0,2 m como dice el enunciado.

EP2 = Kq2

L2 (45)

Ya que tenemos el modulo de cada vector podemos llegar a encontrar el vector resultante en el punto P(si las cargas hubiesen sido negativas el resultado queda positivo igual ya que estamos trabajando conmodulo), para ello debemos realizar manejo de vectores como venimos haciendo, primero descompone-mos el vector EP1 en sus componentes en el eje X e Y (Recordar que el triangulo es equilatero por loque sabemos que cualquier angulo es 60 grados):

EP1X = EP1. cos 60◦ (46)

EP1Y = EP1. sin 60◦ (47)

Finalmente el modulo del vector resultante en P sera:

EP =

√(EP1X + EP2)2 + (EP1Y )2 (48)

Se deja el esquema donde se ve el vector recien encontrado:

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Figura 14

Para finalizar esta parte damos el angulo del vector:

α = arctan (EP1Y

EP1X + EP2) (49)

Ahora debemos realizar la segunda parte, donde nos indican que se colocara una carga en el verticeque llamamos P, osea que allı ahora habra una carga negativa:

Figura 15

El hecho de que ahora en el punto P haya una carga no anula que tengamos un vector de campoelectrico en ese punto, las otras cargas siguen aportando sus efectos.Tenemos dos posibilidades para resolver esto:1- Resolver como realizamos en los primeros ejercicios, aplicando Ley de Coulomb entre las cargas,encontrar las fuerzas que hay sobre la carga 3 y encontrar la fuerza neta sobre ella.2- Como ya tenemos calculado el vector de campo en ese punto podemos calcular la fuerza sobre esacarga ya que ambos vectores se relacionan de la forma:

~FE = q~E (50)

Donde :Fe es el vector de fuerza electrica que aparece en la carga q.q es la carga que siente la fuerza electrica debido a la accion de un E.E es el vector de campo electrico generado por agentes externos.Vamos a utilizar la opcion 2. Si aplicamos la ecuacion 49 a nuestro ejercicio:

~FE3 = q3. ~EP (51)

En el caso que tengamos el vector de campo electrico y trabajemos con vectores, debemos tener encuenta y considerar el signo de la carga. Para nuestro caso no tenemos el vector sino el modulo, ası que

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trabajamos con modulos:FE3 = q3.EP (52)

Vale notar que el signo de la carga 3 es importante para determinar el sentido, como es negativa, la fuerzaelectrica y el campo en el punto P tienen sentidos opuestos como esta expresado en la Figura 15.

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Ejercicio 9

Una pequena esfera cargada, cuya masa es de 1 gramo, se encuentra suspendida mediante un hilo,dentro de un campo electrico uniforme. Cuando ~E= (3i + 5 j)x105 N/C, la esfera encuentra su posicionde equilibrio para un angulo α= 37◦, siendo α el angulo formado por el hilo con la vertical.Calcular:a) El valor de la carga q de la esferita;b) El valor del esfuerzo T en el hilo.

Para este caso ya nos dan un esquema donde esta el DCL de la esferita con todas las fuerzas y ademaslas componentes de las fuerzas en los casos que corresponden:

Figura 16

Un error muy comun es pensar que el angulo β se puede sacar haciendo por reglas de angulos par-tiendo desde α y eso esta muy mal. El angulo β es el que tiene el vector de fuerza electrica respecto aleje X y por ende es el que tiene el campo electrico.El campo vectorial electrico que nos da el ejercicio tiene una particularidad... es un campo constante, esdecir, no tiene ninguna variable que afecte el valor en cada punto, es un campo en donde habra un vectorigual en cada punto del espacio, ese vector es (3;5)x105.Es correcto pensar que hay un vector de campo electrico de magnitud (3;5)x105 sobre la esfera (consi-deramos a la esfera muy pequena, de tal forma que sea puntual), este vector genera sobre la misma unafuerza que tiene el mismo sentido que el vector de campo como se ve en la Figura 16, gracias a observareste detalle podemos deducir que la carga debe ser positiva. Procedamos a plasmar lo que disponemosantes de comenzar a resolver:

E =√

(3x105)2+ (5x105)2 N

C(53)

β = arctan (5x105

3x105 ) (54)

FE = q.E (55)

q es la incognita que buscamos en el punto a).

FEX = FE . cos β (56)

FEY = FE . sin β (57)

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TX = T. sinα (58)

TY = T. cosα (59)

T es la incognita que buscamos en el punto b).Ahora que analizamos todo lo que tenemos podemos realizar la sumatoria de fuerzas que hay sobre elcuerpo, osea la esfera. Dicha sumatoria sera igualada a cero en ambos ejes ya que se encuentra comple-tamente en reposo y no posee movimientos en ningun sentido.∑

FX = FEX − TX = 0 (60)∑TY = FEY + TY − mg = 0 (61)

De la ecuacion 59 podemos despejar el modulo de la fuerza tension T quedando expresada en funcion dela FE . Si eso lo reemplazamos en la ecuacion 60 con todos los datos que venimos trabajando podremosencontrar los valores de T y FE .Finalmente, mediante la utilizacion de la ecuacion 55 podremos llegar a encontrar el valor de la carga(en modulo, ya sabıamos que tiene signo positivo, es importante aclarar bien esto al final).

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Ejercicio 11

Un electron que se mueve con v = 40 ms ingresa dentro de un campo electrico uniforme E = 8x10−8 N

Cperpendicularmente a el. Luego de recorrer una distancia de 0,20 m impacta en una pantalla fluorescente.Se desea conocer el valor de la desviacion “y” (medida sobre la pantalla), experimentada por el electron.

Figura 17

Primero analicemos el movimiento que tiene el electron, es un tipo de movimiento mixto, que tienecomponente en el eje X e Y. Analizando la componente del eje X vemos que no posee fuerza implicandoque no posee aceleracion en el mismo. Pero en el eje Y vemos que tiene una fuerza, la electrica, yen consecuencia experimentara una aceleracion sobre el eje Y. Observen que la fuerza electrica serala misma en cada punto porque el campo electrico es uniforme. Como ya hemos visto en anterioresejercitaciones es comun que se hagan combinaciones de ejercicios de Fısica 1 con lo que aprendemos enesta materia. Este es un caso de ellos, ya que claramente es un tiro oblicuo, por lo que debemos recordarlas formulas que se utilizaban. En todo tiro oblicuo tenemos que diferenciar muy bien los ejes X e Y yaque en cada uno se dan movimientos distinto, en el primero MRU y en el segundo MRUV. Recordemoslas formulas:Para el eje X tenemos:

X(t) = X0 + υX .t (62)

Para el eje Y tenemos:υ(t) = υ0Y + aX .t (63)

Y(t) = Y0 + υ0Y .t +12.aY .t2 (64)

Considerando que partimos del reposo tenemos que todos los valores iniciales van a ser cero. Lavelocidad en el eje X es una velocidad constante porque no hay fuerzas sobre esa direccion entoncesaX=0 y entonces υX = 40 m

s (mantiene la que traıa). El otro dato que nos dan es la distancia que recorriosobre el mismo eje, ese valor es de 0,2 m.De la ecuacion 61 podemos reemplazar estos datos y encontrar el tiempo que tarda en tocar la pantalla.Para saber el valor de la aceleracion debemos analizar que fuerza tiene el electron, esa fuerza es laelectrica. Dicha fuerza tiene la misma direccion que el campo electrico pero sentido contrario ya que lacarga de electron es negativa:

FE = qe.E (65)

En este ejercicio nos dan directamente el modulo de los infinitos vectores que existen en el espacio querecorre el electron ya que hay un campo vectorial electrico constante. En cada punto el electron siemprese vera afectado por un vector de igual magnitud sentido y direccion. Con esto calculamos la aceleracion

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con la Ley de Newton (la masa de un electron siempre es un dato aunque no este en el enunciado, lopodemos ver en la primer pagina de la guıa):

aY =FE

me(66)

Por ultimo si reemplazamos todo en la ecuacion 63 llegaremos a encontrar la desviacion en el eje Y quetuvo el electron.

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Ley de GaussAntes de comenzar con los ejercicios recordemos la ley de Gauss:

φE

de f f lu jo↑=

∮S

~E.d~Sley Gauss↑=

qenc

ε0(67)

El lado izquierdo de la ecuacion es una descripcion matematica del flujo de campo electrico φE atraves de una superficie cerrada (la llamaremos superficie gaussiana).En la integral hay un producto escalar entre dos vectores: el campo electico ~E y el diferencial de superfi-cie d~S = dS n, donde dS es un diferencial de superficie y n es la normal saliente a la misma. El productoescalar podemos escribirlo de la siguiente manera: ~E.d~S = EdS cosθ, E es el modulo del campo electri-co, dS modulo del diferencial de superficie y θ el angulo entre ~E y d~S .El flujo de un campo vectorial sobre una superficie puede pensarse como la ‘cantidad’ neta de ese cam-po que ‘fluye’ a traves de esa superficie o equivalentemente la cantidad neta de lıneas de campo queatraviesan la misma.

El lado derecho de la igualdad es la ley de Gauss. Esta afirma que si se tiene una superficie cerrada(ya sea real o imaginaria), de cualquier tamano y forma, el flujo electrico (neto!) a traves de ella solodepende de la carga encerrada por la misma.Observemos que esta ley nos brinda una herramienta muy poderosa, si queremos calcular el flujo sobreuna superficie cerrada en lugar de realizar una integral tenemos que simplemente hacer un cociente. Si elflujo neto es cero (ver Figura 18a) entonces en el interior de la superficie no tenemos carga neta y todaslas lıneas de campo que entran a la superficie salen. Si el flujo es positivo (ver Figura 18b), tenemos carganeta positiva y entonces hay mas lıneas de campo salientes que entrantes. Si es negativo, en el interiorde la superficie tenemos carga neta negativa y hay mas lıneas entrantes a la superficie que salientes (verFigura 18c).

Figura 18: El cubo es una superficie Gaussiana. Las curvas son lıneas de campo electrico. Esto es unaejemplificacion de los tres casos posibles: φE = 0, φE >0 y φE <0.

Notas:El flujo es una magnitud escalar y su unidad es N

C m2.La integral sobre toda la superficie cerrada siempre es igual a la suma de las integrales sobre todas lassuperficies que la componen.Es recomendable que repasen la resolucion de integrales de analisis 2.

20

Ejercicio 12

Una carga puntual q = 2 nC se coloca en el centro de un cubo de arista a = 5 cm ¿Cual es el valordel flujo del campo electrico para una de sus caras?Nos piden el flujo electrico a traves de cada una de las caras del cubo φc

E , escribamoslo explıcitamente:

φcE =

∫cara

~E.d~S (68)

Observacion importante: este flujo que nos estan pidiendo es sobre una superficie abierta. Para poderaplicar la ley de Gauss debemos tener una superficie cerrada. Sin embargo, esto no implica que nopodamos utlizar Gauss como una herramienta para la resolucion del problema.

Primero veamos que cosas deberıamos tener en cuenta para resolver integral 68. Esto nos resultarautil para ir ganando intuicion. Queremos integrar EdS cosθ sobre una de las caras del cubo noten que: elcampo electrico que fluye a traves de cualquier cara es el generado por la carga puntual ~E = Kq

r2 r. Por otroparte, en cada punto de nuestra superficie el campo electrico tiene un valor diferente y ademas el anguloθ entre ~E y ~dS es distinto por lo cual la integral no es tan facil de resolver (ver Figura 19). La superficiees facil de describirla en coordenadas rectangulares y el campo vectorial esta escrito en coordenadasesfericas, con lo cual para empezar a intentar resolver hay que hacer un cambio de coordenadas y resultaalgo engorroso. Es importante que vayan notando que en general las integrales de flujo no son tansencillas salvo en ciertas condiciones especiales que son sobre las cuales trabajaremos. Nuestro objetivosiempre sera evitar hacer integrales dificultosas, por eso buscaremos tomar otro camino con la ayuda deGauss.

Figura 19

El punto rojo representa la carga puntual positiva y el plano una de las caras del cubo. Las curvasblancas son las lıneas de campo generado por la carga puntual (radiales). Las lıneas azules representanla direccion normal a la superficie. En cada punto del plano la direccion entre ~E y n es distinta.Veamos como podemos extraer informacion a partir de la ley de Gauss. Para poder usarla debemosdefinir una superficie cerrada. En este ejercicio resulta util tomar el cubo como nuestra superficie gaus-siana. En este caso tenemos una superficie fısica sobre la cual imaginamos nuestra superficie gaussiana,pero no es necesario tener una superficie fısica para poder aplicar Gauss. Sin hacer cuentas ya podemosobservar que el flujo sera distinto de cero y positivo porque tenemos una carga positiva encerrada enel interior del cubo o lo que es lo mismo: todas las lıneas de campo que tenemos estan saliendo delcubo (ver Figura 20). Entonces el flujo electrico a traves de la superficie cubica es φE =

qε0

, donde eneste caso q = 2 nC es la carga encerrada por la superficie. Pero recuerden: no nos estan pidiendo el flujosobre toda la superficie φE , si no el flujo sobre cada cara del cubo φc

E . Una cara del cubo por si sola noes una superficie cerrada (no hay un ’adentro’ y un ’afuera’, no encierra ningun volumen) por lo cual nopuedo tomarla como una superficie gaussiana. Observen que nos resulto util tomar al cubo como nuestra

21

superficie gaussiana porque podemos encontrar alguna relacion entre φE (que ya sabemos cuanto vale)y φc

E:

φE =

∮cubo

~E.d~S =∫

cara1

~E.d~S +∫

cara2

~E.d~S +∫

cara3

~E.d~S +∫

cara4

~E.d~S +∫

cara5

~E.d~S +∫

cara6

~E.d~S

= φc1E + φ

c2E + φ

c3E + φ

c4E + φ

c5E + φ

c6E =

qε0

Hay una informacion muy importante en el enunciado: la carga esta ubicada en el centro del cubo.Ademas la direccion del campo electrico generado por una carga puntual tiene direccion radial por locual el flujo o numero de lıneas que atraviesa cada cara es el mismo (volver a la Figura 20). Con esteargumento podemos decir que el flujo sobre cada una de las 6 caras del cubo es el mismo, es decir φc

E=

φc1E = φ

c2E = φ

c3E = φ

c4E =φ

c5E = φ

c6E . Por lo cual finalmente podemos dividir el flujo neto φE por 6 para

obtener el flujo sobre cada cara φcE .

φE = 6φcE =

qε0=⇒ φc

E =16φE =

16

qε0

Figura 20

El punto rojo representa la carga puntual positiva y las flechas blancas son las lıneas de campogenerado por la carga puntual (radiales). Tomamos un cubo como superficie gaussiana (coincidente conel cubo que se presenta en el enunciado).Aca termina el ejercicio pero esta bueno pensar leves cambios..que pasarıa si la carga no estuviese en elcentro del cubo, por ejemplo (ver Figura 21). Si movemos la carga a algun otro punto en el interior delcubo el flujo a traves del cubo seguirıa siendo el mismo φE =

qε0

porque la carga encerrada es la misma(no importa en que posicion se encuentre mientras que este en el interior del cubo). Pero sı cambiarıa elflujo electrico sobre cada cara del cubo ya que no tenemos la simetrıa que tenıamos antes. En ese casono podemos simplemente dividir el flujo neto por 6 y deberıamos calcular el flujo explıcitamente con laintegral (68). Tambien pueden pensar que cambiarıa si tuviesemos una carga negativa en vez de positiva.

22

Figura 21

Aca tendremos la misma situacion que en la Figura 20 pero ahora la carga no se encuentra en elcentro del cubo.

23

Ejercicio 14

Una superficie cerrada formada por una superficie semi-cilındrica en la parte superior y por unrectangulo de lados a = 1 cm y b = cm en la parte inferior (Ver Figura 22), se encuentra dentro de uncampo electrico de 20 N

C que es perpendicular a la base rectangular. Calcular el flujo electrico a travesde la superficie semi-cilındrica.

Figura 22: Superficie presentada en el ejercicio y campo electrico uniforme.

En este ejercicio nos estan pidiendo el flujo electrico a traves de la superficie semi-cilındrica φCILE ,

escribamoslo explıcitamente:

φCILE =

∫CIL

~E.d~S (69)

Veamos qu pasa con esta integral: El campo electrico que fluye a traves de la superficie semi-cilındri-ca es el ~E uniforme (no nos importa que distribucion de carga lo genera, solo nos importa que esta ahı).Si queremos integrar sobre la superficie semi-cilındrica, en cada punto de nuestra superficie el anguloθ entre el ~E y ~dS es distinto (ver Figura 23), como pasaba en el ejercicio anterior, la superficie y elcampo no estan en las mismas coordenadas: el campo esta en coordenadas rectangulares y la superficieen coordenadas cilındricas.

Figura 23

La curva azul representa la superficie semi-cilındrica. Las lıneas negras son las lıneas de campoelectrico uniforme. Las lıneas rojas representan la direccion normal a la superficie (recuerden que d~S =dS n. En cada punto del semi-cilindro la direccion entre ~E y n es distinta.Por lo recien explicado no resulta recomendable empezar a resolver la integral directamente, nuevamentelo mejor es utilizar Gauss como una herramienta para llegar al valor buscado. Nuevamente para usarGauss debemos considerar una superficie cerrada, pero la superficie semi-cilındrica no es cerrada. Sinembargo el ejercicio ya nos sugiere considerar la superficie rectangular mas la semi-cilındrica y susrespectivas tapas como nuestra superficie gaussiana (ver Figura 22). Por Gauss el flujo neto es φE =

qencε0

,pero no hay carga encerrada en nuestra superficie por lo cual qenc= 0 =⇒ φE = 0. Esto es equivalentea decir: todas las lıneas de campo electrico que entran en nuestra superficie cerrada salen de la misma

24

[todas entran por la parte rectangular y salen por la parte semi-cilındrica (ver Figura 22) ]. O sea queGauss nos relaciona estos dos flujos φREC

E y φCILE . Comencemos a analizar:

φE =

∮S

~E.d~S =∫

REC

~E.d~S︸ ︷︷ ︸φREC

E

+

∫CIL

~E.d~S︸ ︷︷ ︸φCIL

E

+

∫T APA1

~E.d~S︸ ︷︷ ︸φ

T APA1E = 0

+

∫T APA2

~E.d~S︸ ︷︷ ︸φ

T APA2E = 0

=qenc

ε0= 0

=⇒ φCILE = −φREC

E

φCILE =

∫CIL

~E.d~S = −∫

REC

~E.d~S

φCILE = −

∫REC

EdS cos θ = −E∫

RECdS cos 180◦ = E

∫REC

dS = ES REC = Eab

Ayudemonos con la Figura 24. Para ambas tapas el angulo entre el vector ~E y la normal n es rectopor lo cual cos θ = cos 90◦ = 0. Esto tiene sentido: No hay lıneas de campo atravesando las tapas, porlo cual φT APA1

E =φT APA2E =0 y entonces φCIL

E = −φRECE . Noten que a diferencia de la ecuacion (69), la

integral sobre la superficie rectangular es muy sencilla: ~E y la normal n a la superficie rectangular sonanti-paralelos, por lo cual θ = 180◦. Ademas el campo electrico es uniforme, por lo cual en cada puntode nuestra superficie vale lo mismo, es una constante, y por eso podemos sacarlo afuera de la integral.Luego nos queda la integral sobre la superficie rectangular.La misma da como resultado el area delrectangulo ab (datos del problema).

Figura 24

La figura de la izquierda es nuestra superficie gaussiana vista desde el lateral. La figura de la derechaes la misma superficie gaussiana vista desde arriba. Las lıneas negras son las lıneas de campo electricouniforme. Las lıneas rojas son las normales salientes a la superficie cerrada, por convencion.

25

Ejercicio 17

Se dispone de una esfera metalica hueca de radio interno R1=10 cm y radio externo R2=15 cm, cuyacarga neta Qesf = -2 µC.Adicionalmente, se coloca en su centro una carga puntual q = 5 µC.a. La carga en la superficie interior de la esfera.b. La carga en la superficie exterior de la esfera.c. El campo electrico en los puntos r1 = 5 cm, r2 = 12 cm, r3 = 20 cm y r4 = 50 cm.

Figura 25

El cascaron celeste representa la esfera metalica. En el centro hay una carga puntual y el espacioentre la carga y la esfera esta vacıo.Para comenzar notemos que nos dicen que tenemos una esfera metalica, por lo cual es conductora. Enla teorıa vimos que un conductor esta en equilibrio electrostatico si el campo electrico en su interiores nulo en todo punto. Esto implica que no puede haber cargas en el interior del conductor. Estas solopueden estar en su superficie en forma de distribucion superficial de carga σ.

En este ejercicio y en los que siguen en la guıa les preguntan sobre cual es la carga superficial endistintos conductores. Nos dicen que la carga neta del cascaron es - 2 µC, pero lo que no sabemos escomo esta distribuida en las superficies del conductor.

Para determinar como esta distribuida la carga usaremos la ley de Gauss. Para eso partimos de lapremisa que ya dijimos: en el interior de un conductor en equilibrio electrostatico el campo electrico esnulo en todo punto. Considerando esto si tomamos cualquier superficie gaussiana que caiga por dentrodel cascaron metalico (ver Figura 26):

Figura 26

26

La curva gris representa una superficie gaussiana arbitraria que se encuentra dentro del conductor.

φE =

∮S

~E︸︷︷︸=0

.d~S =qenc

ε0=⇒ qenc = 0 (70)

Gauss nos esta diciendo que no hay carga neta encerrada por nuestra superficie (esta y cualquier otraque tomemos que caiga dentro del conductor). Pero sabemos que hemos encerrado la carga puntual q= 5 µC que se encuentra en el centro. Debe existir una carga de la misma magnitud y signo contrarioencerrada, de forma tal que qenc= q - q = 0. Esto nos dice que hay una carga inducida Qint=-q = -5 µCsobre la superficie interna del cascaron esferico. Hasta aca tenemos la parte a.

Para la parte b, sabemos que la carga neta en el conductor debe ser igual a Qes f = -2 µC = Qint +

Qext por lo que debe haber una carga Qext = 3 µC en la superficie exterior (ya sabemos que no puedeestar dentro del conductor).En la Figura 27 podemos ver como quedan distribuidas las cargas sobre el conductor. Los invito acalcular la densidad de carga sobre ambas superficies.

Figura 27: Distribucion de cargas en la esfera metalica.

Finalmente en el punto c nos piden el campo electrico en diferentes puntos del espacio.Aca es importante lo siguiente. La ley de Gauss se puede utilizar de dos maneras. Si se conoce

la distribucion de la carga y si esta tiene simetrıa suficiente que permita evaluar la integral, se puedeobtener el campo, O si se conoce el campo, es posible usar la ley de Gauss para encontrar la distribucionde carga. Esto ultimo hicimos anteriormente: Conocıamos el campo electrico en el interior del conductorporque estaba en equilibrio electrostatico y a partir de esto pudimos decir como esta distribuida la cargaen sus superficies.

Ahora vamos a utilizar la ley de Gauss para calcular el campo electrico en el hueco (el lugar entrela carga y el conductor) y por fuera del conductor. Fıjense que el campo electrico aparece en la ley deGauss y para poder ’despejarlo’ tenemos que resolver la integral y elegir una superficie gaussiana. Ahorales pregunto, cuando querramos calcular el campo ¿da lo mismo elegir cualquier superficie? NO. Si ladistribucion de carga de nuestro problema tiene alguna simetrıa debemos elegir una superficie gaussianaque respete dicha simetrıa. En este caso que tenemos simetrıa esferica debemos elegir como superficiegaussiana una esfera concentrica con nuestra esfera conductora. Si el problema no tiene algun tipo desimetrıa probablemente no podamos resolver la integral de flujo.

Primero nos piden el campo en r1 (noten que cae entre la carga puntual y el conductor). Para elloscomencemos tomando nuestra esfera gaussiana de radio r1 (ver Figura 28). Por la simetrıa de nuestradistribucion de carga podemos asumir que el campo dependera solamente de la coordenada radial y sudireccion sera radial ~E = E(r)r y d~S = dS r (la normal a una superficie esferica es la direccion radial),por lo cual cos θ = cos 0◦ = 1 (nuevamente ver Figura 28).

27

Figura 28

En la imegen recien mostrada la flecha negra es el campo que por simetrıa dijimos que sera radial;la flecha roja es la normal que tambien es radial. Tomamos una esfera gaussiana de radio r1.Luego observemos que dado que el campo electrico solo depende de la coordenada radial, cuando in-tegramos sobre nuestra esfera gaussiana y evaluemos el campo sobre la misma nos dara una constante,dicho de otra manera la esfera esta caracterizada por su r = cte y el campo es constante sobre un dado r(esta fue una de las motivaciones a la hora de elegir la superficie gaussiana). Entonces podemos sacar elcampo afuera de la integral y nos queda simplemente la integral sobre la superficie de nuestra esfera degauss que da como resultado el area de la misma 4πr2

1:

φE =

∫es fr1

~E. ~dS =∫

es f r1

E(r1)dS cos θ =∫

es f r1

E(r1)dS cos 0◦ = E(r1)∫

es f r1

dS = E(r1)4πr21 (71)

Ahora veamos que carga encierra nuestra superficie gaussiana. Si observan en la Figura 28 veranque la unica carga encerrada es la carga puntual q = 5 µC, por lo cual obtenemos que el campo allı es elgenerado por una carga puntual (lo que esperabamos).

φE = E(r1)4πr21 =

qε0=⇒ E(r1) =

q4πε0r2

1

(72)

Es MUY importante que noten que esta ecuacion tambien es valida si el radio r de nuestra esferagaussiana es tal que 0 < r < R1, es decir hasta JUSTO antes de llegar a la cara interna del conductor(pues ahı sabemos que hay carga). Mientras que nuestra esfera solo encierre la carga puntual, la ley degauss nos dice que el campo en toda esa region sera el generado por la carga puntual porque es la unicacarga encerrada.

Pasemos ahora a calcular el campo en r2. Observen que r2 cae adentro del conductor por lo cual yasabemos que allı el campo electrico es nulo E(r2) = 0. Y en general podemos decir que E(r) = 0 paratodo r tal que R1 < r < R2.

Finalmente pasemos a calcular el campo en r3 y r4 (ambos caen por fuera del conductor). Comence-mos por r3 y para eso tomemos nuestra superficie gaussiana, que sera una esfera de radio r3 (ver Figura29 ). Todos los argumentos que usamos anteriormente para desarrollar la ecuacion (71) siguen siendovalidos, lo unico que cambia es que evaluaremos en el radio r3.

28

Figura 29

Ahora tomamos una esfera gaussiana de radio r3. Pero... ¿Que pasa con la carga encerrada pornuestra superficie de Gauss? Estaremos encerrando la carga puntual q y toda la carga neta del conductoresferico Qes f :

φE =

∫es fr3

~E. ~dS = E(r3)4πr23 =

q + Qes f

ε0=⇒ E(r3) =

q + Qes f4πε0r2

3

(73)

Fıjense que pasa si queremos calcular el campo en r4. Podemos nuevamente elegir una esfera gaus-siana pero ahora de radio r4. ¿Cual es la carga encerrada? La misma que para r3! Por lo cual:

φE =

∫es fr4

~E. ~dS = E(r4)4πr24 =

q + Qes f

ε0=⇒ E(r4) =

q + Qes f

4πε0r24

(74)

Noten de esto ultimo que si la esfera de Gauss que tomamos tiene un radio r > R2 obtenemos siempreel mismo campo evaluado en el respectivo radio. Esto es ası porque la carga encerrada no cambia si rcumple esa condicion. En la figura 30 pueden observar finalmente como quedo la distribucion de cargay cual es el campo electrico en cada region. Fıjense que Gauss nos permitio calcularlo no solo en losradios que nos pedıan si no en cualquier punto del espacio!

Figura 30: Distribucion de cargas final en la esfera metalica.

Podemos observar que en rojo esta expresado el valor del campo electrico en cada region.Es importante entender los pasos que fuimos haciendo para poder enfrentar ejericios con algunas varian-tes. Por ejemplo, ¿Como cambiarıa el problema si la carga neta de la esfera es nula Qes f = 0? O dicho

29

de otra forma, esta descargada.

Algunos comentarios:- Cuando tenemos problemas con mucha simetrıa Gauss nos permite calcular el campo electrico (entodo el espacio!) de manera muy sencilla y nos evitamos tener que calcularlo a traves de la integraciondirecta que suele ser muy engorroso (si no recuerdan ver en la teorıa).-El desarrollo de la integral de flujo (ecuacion 71) siempre es el mismo, no depende del radio de la esferaque tomemos. No hace falta hacerlo tres veces.-El campo electrico por fuera del conductor esferico tiene la misma forma que el campo generado poruna carga puntual en el origen.- No se olviden que en los conductores las cargas pueden moverse libremente y apantallan los campos’externos’ y por eso nos van a pedir la distribucion de cargas sobre los mismos (depende de como seaese campo externo las cargas se acomodaran distinto). En cambio podemos tener otros cuerpos dondeconsideremos que la carga esta FIJA (como por ejemplo el ejercicio 13 del hilo o varilla infinita).-Relacionado con lo anterior, observen que la carga en la Figura 27 la dibuje distribuida de manera uni-forme sobre la superficie. Esto es por la simetrıa del campo generado por la carga puntual. Las cargaslibres en el conductor se mueven hasta apantallar ese campo y dada la simetrıa del mismo se distribuyende forma uniforme sobre el conductor (es decir no hay nada que nos haga sospechar que en algun regionde la superficie hay mas carga acumulada que en otro).- Fıjense que nunca tomamos la superficie gaussiana coincidente con alguna de las superficies del con-ductor porque entrarıamos en problemas respecto a la carga encerrada. Les recomiendo que recurrana la teorıa para justificar como calculamos el campo electrico sobre la superficie de un conductor. Loimportante: En la superficie del conductor el campo electrico es perpendicular a la misma y vale σ

ε0. En

nuestro caso sobre R1: E(R1) = q4πε0R2

1y sobre R2: E(R2)= q+Qes f

4πε0R22.

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