instituciÓn educativa emiliano garcÍa · de mar contendrán 5.200 gramos de sal? identifiquemos...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA

EMILIANO GARCÍA Girardota –Antioquia

e-mail [email protected]

1. Área MATEMÀTICAS Grado: Octavo

Educador: Mauricio Salazar Periodo: 1

Eje temático: Sistemas Numéricos

Tiempo estimado: 10 Semanas

2.

ESTANDAR NÚCLEO LOGRO INDICADOR Utilizo números (fracciones, decimales, razones, porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida. Conoce los teoremas acerca de líneas paralelas Y líneas transversales a estas. Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

Proporcionalidad, operaciones con fracciones. Teorema de Pitágoras, propiedades de ángulos. Perímetros y áreas sombreadas con algebra. Expresiones algebraicas, términos semejantes. Polinomio y operaciones con polinomios.

Reconoce los números reales y las propiedades que se dan entre ellos. Resuelve problemas utilizando los conceptos de geometría, en diferentes contextos. Identifica las expresiones algebraicas y simplifica términos semejantes.

Resuelve problemas utilizando regla de tres simple. Plantea y resuelve situaciones donde intervienen magnitudes directa e inversamente proporcionales. Relaciona conceptos geométricos con el álgebra elemental. Resuelve operaciones con polinomios. Reconoce términos semejantes y los simplifica.




El número de días que se tarda en hacer un muro depende del número de obreros , del número de horas que éstos trabajan y de la longitud del muro .

¿Còmo determinar el número de horas que un grupo de obreros demoran en realizar un

determinado muro?

3 PRESENTACIÓN

4. CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para iniciar el estudio de la regla de Tres deberás saber

- Operaciones con números Racionales.

Las recetas de comida, el pago de los intereses por una deuda de dinero, el cobro o el pago del impuesto IVA, el cálculo de porcentajes, el uso de escalas para mapas o dibujos, la representación de gráficas utilizadas en la estadística o en la física, las definiciones de velocidad, aceleración o densidad; son elementos de la proporcionalidad que están inmersos en las matemáticas de la vida. Éstas y muchas más situaciones cotidianas nos invitan a fortalecer el aprendizaje de la proporcionalidad .




Actividad de Repaso…

. Realizar las siguientes operaciones con números racionales :

1. =+5

7

3

4

2. =

−+−5

7

3

4

3. =

−

7

5

3

2

4. =÷

−6

7

3

4

5. =−5

4

3

2

6. =÷+

22

1

11

8

7

20

4

3

7. =

+

−−16

9

27

32

3

1

2

3

8. =

−

+

+20

14

18

5

7

4

18

1

9

4

8

7

9. =

÷

+

−−3

12

6

3

9

5

3

72

6

1

10. =

−÷

−4

11

2

25

6

8

3

14




5. PALABRAS CLAVES

Razón y proporción, magnitudes directamente proporcionales, magnitudes inversamente proporcionales, regla de tres simples, regla de tres compuesta.

6. DESARROLLO DEL NUCLEO TEMATICO

RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA

Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.

Entonces:

Razón entre dos números a y b es el cociente entre a/b

Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que

Proporción numérica

Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica

Entonces:

Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Es decir Se lee “a es a b como c es a d”

Y la razón entre los números 8 y 3 es 8/3




EJEMPLO

Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.

Es decir

En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman

extremos , c y b se llaman medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

Así, en la proporción anterior se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 =

40

En general a/b = c/d ==» a.d = b.c

RESUMIENDO…




Relaciones directamente proporcionales…

En la vida corriente utilizamos el término PROPORCIÓN con distintos sentidos:

Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: "este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado"

• Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: ÉXITO y TRABAJO.

• También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: " proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante " (el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 Tm. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura.

En la actualidad el valor del dólar se cotiza por $ 2550. Con base en este dato las casas de cambio construyeron unas tablas para reali zar sus transacciones, a

continuación se pide que muestres la manera como se presenta. Llenar la tabla.

Valor en

Dólares

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Valor en

pesos




Proporcionalidad y tablas. Regla de tres

• ¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa con tablas?

• Esta tabla es de proporcionalidad directa.

•

Observa:

• Al multiplicar un valor de la 1ª serie por un número, el valor de la 2ª serie queda multiplicado por dicho número (o al revés), en consecuencia:

• El cociente entre dos números correspondientes de c ada serie es constante :

•

• A esta constante ( en el caso anterior 0'25) lo llamaremos razón de proporcionalidad




REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Ejemplo 1

En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?

Identifiquemos las magnitudes que aparecen en el problema: CANTIDAD DE AGUA Y CANTIDAD DE SAL. Ahora bien si aumentamos la cantidad de agua de mar entonces se aumentará la cantidad de sal. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales .

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:

Litros de agua 50 x Gramos de sal 1.300 5.200

Se verifica la proporción:

•

Y como en toda proporción el producto de medios es igual a l producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:

• 50 por 5.200 = 1.300 por x

Es decir

• En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

•

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa .




MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad , la tercera parte ... de la segunda, entonces se dice que

esas magnitudes son inversamente proporcionales.

Son ejemplos de Magnitudes inversamente proporciona les: TIEMPO Y VELOCIDAD; Cantidad de Obreros y tiempo; cantidad d e porciones de

comida y obreros.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)

Ejemplo 1

Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales .

X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas 220 450 Nº de días 45 x

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde




Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa .

Regla de tres compuesta

Si tenemos más de dos magnitudes proporcionales, al procedimiento de resolución le llamaremos regla de tres compuesta.

Un albañil, trabajando 8 horas diarias, puede embaldosar un piso de 90 metros cuadrados en 4 días. ¿Cuántos días necesitará para embaldosar un piso de 120 metros cuadrados trabajando 9 horas cada día?

El primer paso es averiguar el tipo de proporcional idad que existe entre la magnitud de la incógnita (número de días) y las otr as dos magnitudes:

• A más horas diarias de trabajo, menos días se tardará. Proporcionalidad inversa. • A más metros cuadrados, más días se tardará. Proporcionalidad directa.

Para resolver este problema multiplicamos los cocientes de las cantidades con la misma magnitud, poniendo sus inversos si la proporcionalidad es inversa, e igualamos al cociente de las cantidades de la incógnita:

Es decir, para embaldosar un piso de 120 metros cuadrados, trabajando 9 horas cada día, se necesitarán casi 5 días.




EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El ÁLGEBRA es la rama de las Matemáticas que estudia la cantidad

considerada del modo más generalizado posible y se vale de letras para

representarla. Tiene por objeto abreviar y generalizar la solución de problemas

numéricos.

NOTACIÓN ALGEBRAICA

Para representar las cantidades en Álgebra se utilizan símbolos (números y letras). Los números representan cantidades conocidas y determinadas, mientras que las letras representan toda clase de cantidades, sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d ... y las cantidades desconocidas con las últimas letras del alfabeto: u , v , w , x , y , z.

Una misma letra puede representar distintos valores siempre y cuando se diferencien por medio de comillas (por ejemplo: a ', a'', a''', que se leen a prima, a segunda, a tercera), o de subíndices (por ejemplo: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres).

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Una expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más

operaciones algebraicas.

a, 5x, ( ) ( )21 x

3y-5x ,4

acbaa +

Actividades:

1) Realizar 5 actividades de la página:

http:// juguemosconlaregladetres.googlepages.com

2) Realizar taller de regla de tres compuesta de la página www.matematicacentral.blogspot.c om




Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no

separados entre sí por el signo + ó –. EJEMPLOS: x

axyba

3

4 ,23 ,

Un término consta de cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. De acuerdo con su signo, son términos positivos los que van precedidos del signo (+) y negativos

los precedidos del signo (–) por ejemplo + a, + 8x, + 9ab son términos positivos, bcyx 5 , −−

son términos negativos. El signo (+) suele omitirse delante de los términos positivos, con lo que a equivale a escribir +

a y 3ab equivale a + 3ab. Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es

positivo.

El coeficiente en un término es uno cualquiera de los factores del término. Así, en el término

5a el coeficiente es 5; en – 3 a2 x3 el coeficiente es – 3.

Las letras que hay en el término constituyen la parte literal. Así, en 5xy la parte literal es xy; en

ab

yx

2

3 42

la parte literal es abyx 43

.

El grado de un término puede ser absoluto o con relación a una letra. El grado absoluto es la

suma de los exponentes de sus factores literales. Así el término 4a es de primer grado ya que

el exponente del factor literal a es 1; el término ab es de segundo grado porque la suma de los

exponentes de sus factores literales es 1+1 = 2; el término 2a b es de tercer grado porque la

suma de los exponentes de sus factores literales es 3245 ;312 cba=+ es de noveno grado

porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 4+2+3 = 9.

El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Así, el término 3bx es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x.

El término 424 yx es de segundo grado con relación a x, y de cuarto grado con relación a y.

TÉRMINOS SEMEJANTES :

Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, cuando

tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes: 2a y a, - 5a 3b 2 y - 8a 3b 2, x m + 1 y 3x m + 1.




Los términos 4ab y - 6a 2b no son semejantes, porque aunque tienen letras iguales, éstas no tienen los mismos exponentes. Por otro lado, los términos - bx 4 y ab 4 no son semejantes, porque aunque tienen los mismos exponentes, las letras no son iguales.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes.

ACTIVIDAD

Clasifica en cada uno de los paquetes las siguientes expresiones algebraicas. Ten en cuenta el mismo criterio de clasificación.

Reducción de dos o más términos semejantes

Se suman (si tienen los mismos signos) los coeficientes o se restan (si tienen signos contrarios), poniendo delante de resultados el signo del coeficiente mayor, y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplos:

a) 2a - 3a = - a b) - 20ab + 11ab = - 9ab c) - 8a x + 13a x = 5a x d) aaa6

1

3

2

2

1 −=−

e) bababa 222

7

4

7

3 =+− f) - 8ab + 8ab = 0 g) 2 22 20

5 5x y x y− =

8x 5x 10a 2 - 9a 2 3a x – 2 -8a x - 2 ab21− -3ab x -1/2x -x2 -a x - 2

ab -8ab a2 -3/2a x - 2 5ab

AGREGA NUEVOS TÉRMINOS A CADA UNA DE LAS BOLSAS.




LENGUAJE ALGEBRAICO

Taller.

Expresar en lenguaje algebraico , los siguientes enunciados:

a) Un número mas 25 b) La suma de dos números c) La diferencia de dos números d) La semisuma de tres números e) La semidiferencia de dos números f) El cuadrado de un número g) La raíz cuadrada de la suma de dos números h) El tercio de un número más el quíntuplo de otro número i) El cociente de dos números j) Un número disminuido en tres k) Un número mas la quita parte de otro l) El doble de la suma de dos números m) La suma de los cuadrados de dos números n) Un número elevado a la sexta potencia o) El cociente de la suma de dos números y un tercero p) Tres decimos de un número q) El doble de un número disminuido en el triple del cuadrado de otro número r) El cubo de la diferencia de dos números s) Un número par cualquiera t) Un número impar cualquiera u) El triple de un número entre el cuadrado del mismo número v) El triple de un número disminuido en tres

Enunciar verbalmente las siguientes expresiones algebraicas:

a) x3

1

b) 15

2 +x

c) zyx ++

d) 32 )()3( yx +

e) 3)( yx −

f) 2)( yx +

g) 22 yx +

h) 42 −x

i) x2

1

j) xx3

1−

k) ))(( yxyx −+




l) 2

3y-2x

m) xx 32 − n) x5

o) 22x p) yx +

q) yx 65 −

r) ( )

2

2yx +

s) 3)2( x

t) 13 +x

u) 2

1-3x

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma de polinomios. La Suma o adición tiene por objeto reunir dos o más expresiones

algebraicas en una sola. Para sumar dos o más expresiones algebraicas, se escriben unas a

continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes (si los

hay). Ejemplos:

a) Sumar 5a, 6b y 8c. Repuesta: 5a + 6b + 8c

b) Sumar 3 a2 b, 4ab2, a2 b, 7ab2 y 6b3.

Repuesta: 3 a2 b + 4ab2 + a2 b + 7ab2 + 6b3 = 4 a 2 b + 11 a b 2 + 6 b 3

c) Sumar 7a, – 8b, – 15a, 9b, – 4c y 8.

Repuesta: (7a) + (– 8b) + (– 15a) + 9b + (– 4c) + 8 = 7a – 8b – 15a + 9b – 4c + 8

d) Sumar a – b, 2a + 3b – c y – 4a + 5b.

Repuesta: (a – b) + (2a + 3b – c) + (– 4a + 5b) = a – b + 2a + 3b – c – 4a + 5b =

– a + 7 b – c

Resta de polinomios. Por regla general, para restar se escribe el minuendo con sus propios

signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados, y luego se reducen los

términos semejantes (si los hay). Ejemplos:

a) De – 4 restar 7

Se escribe el minuendo – 4 con su propio signo y a continuación el sustraendo 7 con el

signo cambiado, con lo que la resta será:




– 4 – 7 = – 11

b) Restar 4b de 2a:

Se escribe el minuendo 2a con su signo y a continuación el sustraendo 4b con el signo

cambiado, con lo que la resta será:

2a – 4b

c) Restar 4 a 2b de – 5 a 2 b:

Escribimos el minuendo –5 a 2b y a continuación el sustraendo 4a2b con el signo

cambiado, con lo que tenemos:

– 5 a 2b – 4 a 2b = – 9 a 2b

d) De 7 restar – 4

7 – (– 4) = 7 + 4 = 11

e) De 7x3 y4 restar – 8x3y 4: 7 x3y 4 – (– 8 x3y 4) = 7 x3y 4 + 8 x3y 4 = 15 x3y 4

f) De – 2

1 ab restar –

4

3 ab: – 1 ab –

−4

3ab =

4

1 ab +

4

3 ab =

4

1 ab

g) De 4x – 3y + z restar 2x + 5z – 6: 4x – 3y + z – (2x + 5z – 6) =

4x – 3y + z – 2x – 5z + 6 =

2x – 3y + 4z + 6

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Multiplicación de monomios: se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.

a) Multiplicar 2a 2 por 3a 3

Repuesta: 2a 2 × 3a 3 = 2 × 3a 2 + 3 = 6a 5

b) Multiplicar x y 2 por - 5mx 4y 3

Repuesta: ( x y 2) × (- 5mx 4y 3) = - 5mx 1 + 4y 2 + 3 = 5m x 5y 5

c) Multiplicar 3a 2b por - 4b 2x

Repuesta: 3a 2b × (- 4b 2x ) = - 3 × 4a 2b 1 + 2x = - 12a 2b 3x

d) Multiplicar - ab 2 por 4a mb nc 3

Repuesta: (- ab 2 ) × 4a

mb nc 3 = - 1 × 4a 1 + m b 2 + n c 3 = - 4a m + 1b n + 2 c 3




e) Multiplicar a x + 1b x + 2 por - 3a x + 2b 3

Repuesta: (a x + 1b x + 2 ) × (- 3a x + 2b 3) - 3a x + 1 + x + 2b x + 2 + 3 = - 3a 2x + 3b x + 5

f) Multiplica 32

a 2b por - 43

a 3m bmamaba 532

4

3

3

2

4

3

3

2 ×−=

−×

21− a 5bm

Multiplicación de Polinomios por monomios: se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

a) Multiplicar 3x 2 - 6x + 7 por 4a x 2

(3x 2 - 6x + 7) × 4a x 2 = 3x 2 (4ax 2) - 6x (4ax 2) + 7(4ax 2) = 12a x 4 - 24ax 3 + 28 ax 2

Esta operación suele disponerse así:

2

2

2 3 2

3 6 7

4ax

12 -24ax 28

x x

ax ax

− +

+

b) Multiplicar x a + 1y - 3x ay 2 + 2x a - 1y 3 - x a - 2y 4 por 3x 2y m

1 2 1 3 2 4

2

3 1 2 2 1 3 4

3 2

3

3 9 6 3

a a a a

m

a m a m a m a m

x y x y x y x y

x y

x y x y x y x y

+ − −

+ + + + + + +

− + −−

− + − +

Multiplicación de Polinomios: Se multiplican todos los términos de un polinomio por cada uno

de los términos del otro polinomio teniendo en cuenta la Ley de los Signos, y se reducen los

términos semejantes.

a) Multiplicar 4x - 3y por - 2y + 5x

4x - 3y 4x - 3 y

5x - 2y 5x - 2 y

______________ __________

4x (5x ) - 3y (5x ) o sea 20x 2 - 15x y

- 4x (2y ) + 3y (2y ) - 8x y + 6y 2




________________________ _______________

20x 2 - 23x y + 6y 2

b) Multiplicar 6y 2 + 2x 2 - 5x y por x 2 - 4y 2 + 2x y

2x 2 - 5x y + 6 y 2

3x 2 + 2x y - 4 y 2

_____________________

6x 4 – 15 x 3 y + 18 x 2 y 2

4 x 3 y - 10 x 2 y 2 + 12x y 3

- 8 x 2 y 2 + 20x y 3 - 24y 4

__________________________________

6 x 4 – 11 x 3 y +0 x 2 y 2 +32 x y3 - 24y 4

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Esta operación tiene por objeto hallar un otro factor (cociente), tal que el cociente

multiplicado por el divisor reproduce el dividendo.

De este modo, la operación de dividir 6a 2 entre 3a, que se indica 6a 2 ÷ 3a ó 26

3

a

a, consiste

en hallar una cantidad que multiplicada por 3a dé 6a 2. Esa cantidad (cociente) es 2a.

CASOS DE LA DIVISIÓN:

División de Monomios: se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y

a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente

igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. El

signo estará dado por la Ley de los Signos. Ejemplos:

a) Dividir 4a 3b 2 entre - 2ab

4a 3b 2 ÷ - 2ab =3 24

2

a b

ab− = - 2a 2b

b) Dividir - 5a 4b 3c entre - a 2b

22 2 2

4 34 3 5

-5 ÷ 5 a b ca b c a b a b c

a b

−− = = +−




División de un Polinomio por un Monomio: se divide cada uno de los términos del polinomio

por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. Ejemplos:

a) Dividir 3a 3 - 6a 2b + 9ab 2 entre 3a

(3a 3 - 6a 2b + 9ab 2 ) ÷ 3a = 2 233 6 9

3

a a b ab

a

− + =

2 233 6 9

3 3 3

a a b ab

a a a− + = a 2 - 2ab

+ 3b 2

b) Dividir 2a xb m - 6a x + 1 b m - 1 - 3a x + 2b m - 2 entre - 2a 3b 4

(2a xb m - 6a x + 1 b m - 1 - 3a x + 2b m - 2) ÷ - 2a 3b 4 = 3 42

2

x ma b

a b− +

1 1

3 46

2

x ma b

a b

+ −

+ 2 2

3 43

2

x ma b

a b

+ −

= - a x - 3b m - 4 + 3a x - 2b m - 5 32

+ a x - 1b m - 6

c) Dividir

−+− 4

2

13

6

522

3

23

4

3yxyyxyx entre

5

6y

y

y

y

xy

y

yx

y

yx

6

52

1

6

56

5

6

53

2

6

54

3 43223

−+− 3223

5

3

5

4

10

9 yxyyxx −+−=

División de dos Polinomios:

Primero se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra, luego se divide el

primer término del dividendo entre el primero del divisor, con lo que tendremos el primer

término del cociente, que se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del

dividendo. Se escribe cada término debajo de su semejante. Si algún término de este

producto no tiene término semejante en el dividendo, se escribe en el lugar que le

corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.

Dividimos el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el

segundo término del cociente. Se procede de igual forma. Ejemplos:




a) Dividir 3x 2 + 2x – 8 entre x + 2

23x + 2x - 8 x + 2

-3x 2 – 6x 3x – 4

____________

– 4x - 8

4x + 8

_______

0x + 0

b) Dividir 2x 3 - 2 - 4x entre 2 + 2x

Al ordenar el dividendo y el divisor debemos tener presente que en el dividendo falta el

término en x 2, por lo que debemos dejar un lugar para ese término:

2x 3 – 4x – 2 2 2x+

-2 x 3 – 2 x 2 x 2 - x - 1

_________________

– 2 x 2 – 4 x – 2

2 x 2 + 2 x

______________

- 2 x - 2

2 x + 2

________

0 x + 0

c) Dividir 3a 5 + 10a 3b 2 + 64a 2b 3 - 21a 4b + 32ab 4 entre a 3 - 4ab 2 - 5a 2b

Al colocar en orden descendente respecto a a:




3a 5 - 21a 4b + 10a 3b 2 + 64a 2b 3 + 32ab 4 3 2 2 -5 - 4 a a b ab

- 3 a5 +15 a4b+ 12 a3 b 2 3a 2 - 6ab - 8b 2

____________________________________

- 6a 4b + 22a 3b 2 + 64a 2b 3

6a4b - 30a 3b 2 - 24a 2b 3

_____________________________

-8a 3b 2 + 40a 2b 3 + 32ab 4

8a3b2 – 40 a 2 b 3 – 32 ab 4

__________________________________

0a3b2 + 0 a 2 b 3 + 0 ab 4

d) Dividir x 12 + x 6y 6 - x 8y 4 - x 2y 10 entre x 8 + x 6y 2 - x 4y 4 - x 2 y6

Al ordenar el dividendo tenemos x 12 - x 8y 4 + x 6y 6 - x 2y 10 . Se Observa que faltan los

términos en x 10y 2 y y x 4y 8, por lo que dejaremos un espacio para ellos:

12 8 6 6 2 10 8 6 2 2 6

12 10 2 8 6 6 2 2

10 2 6 6

10 2 8 4 6 6 8

8 6 6 8 2 10

8 6 6 8 2 10

4 4 4

4 4 4

4

4 4

4 4

2

x x y x y x y x x y x y x y

x x y x y x y x x y y

x y x y

x y x y x y x

x y x y x y x y

x y x y x y x y

y

− + − + − −

− − + + − +

− +

+ + −

+ − −

− − + +

e) Dividir 11a 3 - 3a 5 - 46a 2 + 32 entre 8 - 3a 2 - 6a

Se ordena en forma ascendente para que el primer término del divisor sea positivo, lo cual

siempre es más cómodo. Además, como en el dividendo faltan los términos en a 4 y en a, se

dejan los lugares vacíos correspondientes y obteniendo:




2 3 5 2

2 2 3

2 3

2 3

2 3

2

32 46 11 3 8 6 3

32 24 12 4 3 2

24 34 11

24 18 9

16 20

16

a a a a a

a a a a a

a a a

a a a

a a

a

− + − − −

− + + + − ++ +

− + ++

− 3 4

3 4 5

3 4 5

3 4 5

12 6

8 6 3

8 6 3

0 0 0

a a

a a a

a a a

a a a

+ −

− −− + +

+ +

7. EVALUACIÓN

Actividad Metodología Valoración Fecha Trabajo en grupo

- Realización de talleres - Participación en juegos

20% Continuamente

Trabajo individual

- Sustentación de ejercicios. - Revisión de cuaderno - Participación en juegos - Participación en clase

40%

Continuamente

Trabajo individual

- Responsabilidad - Material para la clase - Trato a los compañeros - Atención y compromiso en clase - Participación en semilleros, grupos

de estudio. - Autoevaluación formativa - Creatividad

40%

continuamente

8. BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA

Guías de Aprendizaje diseñadas por el docente

• BALDOR,A. ALGEBRA. ED Publicaciones Cultural.

- http://www.matematicastyt.cl/Algebra_Basica/Algebra_Elemental/Fracciones_Algebraicas/pag4.htm




- http://www.pnte.cfnavarra.es/iesmarci/departamentos/matematicas/ejercicios/8.pdf

- www.sanignacio.cl/academica/Sectoresdeformacion/Matematica/materiales/documentos/.../FRACCIONES%20ALGEBRAICAS.doc (1)

- http:// juguemosconlaregladetres.googlepages.com

OBSERVACIÓN GENERAL----

- Se diseño una pagina web de matemáticas para los grados 8D, Noveno, Media Tecnica, allí se colgaran talleres, ejercicios de preparación y

demás actividades que se diseñen: www.matematicacentral.blogspot.com

-

NOTA: LAS FECHAS DE ENTREGA SON LAS SIGUIENTES.

PRIMER PERIODO Febrero 27 SEGUNDO PERIODO Marzo 27 TERCER PERIODO Junio 16 CUARTO PERIODO Septiembre 11

instituciÓn educativa emiliano garcÍa · de mar contendrán 5.200 gramos de sal? identifiquemos...

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