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COLEGIO DE POSTGRADUADOS INSTITUCIÓN DE ENSEÑANZA E INVESTIGACIÓN EN CIENCIAS AGRÍCOLAS INSTITUTO DE SOCIOECONOMÍA, ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA

PROGRAMA EN ESTADÍSTICA

LOS MEJORES PREDICTORES LINEALES E

INSESGADOS DE APTITUD COMBINATORIA ESPECÍFICA EN LOS DISEÑOS DE GRIFFING

OSVAL ANTONIO MONTESINOS LÓPEZ

T E S I S PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA

OBTENER EL GRADO DE:

M A E S T R O EN C I E N C I A S

MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MÉXICO.

2003

MAESTRO EN CIENCIAS PROGRAMA EN ESTADÍSTICA

CONSEJO PARTICULAR

CONSEJERO Dr. Ángel Martínez Garza ASESOR Dr. Ángel Agustín Mastache Lagunas ASESOR Dr. Gilberto Rendón Sánchez

MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MÉXICO; NOVIEMBRE DE 2003.

La presente tesis titulada: LOS MEJORES PREDICTORES LINEALES E INSESGADOS DE APTITUD COMBINATORIA ESPECÍFICA EN LOS DISEÑOS DE GRIFFING, realizada por el alumno: Osval Antonio Montesinos López, bajo la dirección del consejo particular indicado, ha sido aprobada por el mismo y aceptada como requisito parcial para obtener el grado de:

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Agradecimientos Al Colegio de Postgraduados, por todo el apoyo que me brindo durante mis estudios de maestría, en especial a todo el cuerpo docente y administrativo del Programa en Estadística del Instituto de Socioeconomía, Estadística e Informática, por sus enseñanzas y colaboración durante mis estudios. Al consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), por el financiamiento permanente otorgados durante el trascurso de mis estudios de maestría. Agradezco infinitamente a mi Consejo Particular integrado por: Dr. Ángel Martínez Garza, Dr. Ángel A. Mastache Lagunas y el Dr. Gilberto Rendón Sánchez por su paciencia, orientación y esmero en la revisión de este trabajo. A todas aquellas personas que en forma directa o indirecta contribuyeron a la realización del presente trabajo. Sinceramente Osval Antonio Montesinos López “La alegría de ver y entender es el más perfecto don de la naturaleza.” Einstein “Las leyes de la herencia son un fenómeno maravilloso que nos exime de la responsabilidad de nuestras deficiencias.” Doug Larson “Bajo la luz del entendimiento los fantasmas desaparacen...” Anónimo griego “Hay dos maneras de vivir la vida: una como si nada es un milagro, la otra como si todo es un milagro.” Einstein

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Dedicatorias Al todopoderoso por permitirme vivir y darme la capacidad de decidir que hacer de mi existencia. A mis padres: Ma. De Lourdes López Morales y Aberlardo Zaragoza Montesinos Cruz, por todo el apoyo incondicional que me han brindado, por su inmenso cariño, por educarme con un alto sentido de responsabilidad y honestidad, por ello y mucho mas este trabajo se los dedico a ustedes. A mis hermanos: Cruz Argelia, Samuel, Abelardo, Jesús Erasmo, José Criselio y Brenda Nayeli, por todo el apoyo y cariño que me han brindado, espero que esto los motive a seguir adelante y lograr sus propias metas. A mis amigos En el Colegio de Postgraduados y Chapingo: Rocio, Ceci, Diodiora, Miroslava, Nubia, Omar, Victor, Eduardo, Castulo, Faustino, Ignacio y a mis grandes amigos (Jacqueline y Alejandro). En mi querido Cintalapa: Maygualida, Claudia Virginia, Aldrin, Fabian, Gabriel y Rafael Cabrera. A mis abuelos, que siempre me han dado su gran apoyo, sin pedir nada a cambio; además, a todos mis tios y tias que de una u otra forma han contribuido en mi formación. Sinceramente Osval Antonio Montesinos López

“El misterio es la cosa más bonita que podemos experimentar. Es la

fuente de todo arte y ciencia verdaderos.”

Einstein

“La fortuna juega a favor de una mente preparada.”

Louis Pasteur

i

C O N T E N I D O RESUMEN................................................................................................................................................... ii

ABSTRACT ................................................................................................................................................ iii

I. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... - 1 -

1.1. OBJETIVOS .................................................................................................................................................. - 2 - II. REVISIÓN DE LITERATURA........................................................................................................ - 2 -

III. METODOLOGÍA Y RESULTADOS............................................................................................ - 6 -

3.1. LOS MEJORES PREDICTORES LINEALES E INSESGADOS (MPLI´S). ................................................................... - 6 -

3.2. EL MODELO LINEAL EN LOS EXPERIMENTOS DE CRUZAS DIALÉLICAS............................................................ - 14 -

3.3. METODOLOGÍA PROPUESTA PARA OBTENER LOS MPLI EMPÍRICOS DE ACE Y DE ER EN LOS DISEÑOS DE GRIFFING............................................................................................................................................................. - 15 -

3.3.1. Los MPLI empíricos de ACE en los diseños dos y cuatro de Griffing ...................... - 15 -

3.3.1.1. Forma indirecta .............................................................................................................................................. - 15 -

3.3.1.1.1. Ejemplo para el diseño cuatro ................................................................................................................ - 20 - 3.3.1.1.2. Ejemplo para el diseño dos..................................................................................................................... - 24 -

3.3.1.2. Forma directa.................................................................................................................................................. - 28 -

3.3.1.2.1. Ejemplo para el diseño cuatro ................................................................................................................ - 35 - 3.3.1.2.2. Ejemplo para el diseño dos..................................................................................................................... - 39 -

3.3.2. Los MPLI empíricos de ACE y de ER en los diseños uno y tres de Griffing ........ - 44 -

3.3.2.1. Forma indirecta .............................................................................................................................................. - 44 -

3.3.2.2. Forma directa.................................................................................................................................................. - 51 -

3.3.2.2.1 Ejemplo para el diseño uno ..................................................................................................................... - 61 - IV. DISCUSIÓN .................................................................................................................................... - 75 -

V. CONCLUSIONES............................................................................................................................ - 77 -

VI. LITERATURA CITADA............................................................................................................... - 80 -

APENDICE............................................................................................................................................ - 83 -

ii

RESUMEN

Los diseños de cruzas dialélicas son ampliamente utilizados en investigaciones sobre el

mejoramiento de plantas y animales, con el fin de generar información que permita evaluar

diferentes aspectos genéticos asociados con un conjunto de progenitores, a través de pruebas de

hipótesis y de la estimación de parámetros. Sin embargo, hasta ahora, la estimación de aptitud

combinatoria específica y de efectos recíprocos, comúnmente se ha efectuado tratando al modelo

como de efectos fijos, aun conscientes de la naturaleza aleatoria de estos componentes. En el

presente trabajo se considera este problema; para el caso de los diseños de Griffing, establecidos

en diseño de bloques completos al azar y se derivan los mejores predictores lineales e insesgados

de aptitud combinatoria específica y de efectos recíprocos, sobre la base del modelo de efectos

mixtos. Adicionalmente, se presentan algoritmos computacionales en SAS-IML, para obtener

tales predictores y un análisis completo de estos experimentos

Palabras clave: cruzas dialélicas, aptitud combinatoria específica, efectos recíprocos, algoritmo

computacional, efectos fijos y efectos aleatorios.

iii

ABSTRACT

Diallel crosses experiments are widely used in plant and animal research, with the purpose

of generating information that allows the evaluation of several aspects in relation to a set of

parents, through statistical inference and parameter estimation. However, the estimation of

specific combinig abilities and reciprocal effects, has been done under the consideration of a

fixed effects model, when really they are of random nature. Therefore, in this work best linear

unbiased predictors are derived for specific combining abilities and reciprocal effects, in

Griffing´s designs, under the correct mixed effects model. Furthermore, a computational algoritm

in SAS-IML commands is also given, to obtain such predictors and the analysis of the

experiments.

Key word: diallel crosses, specific combining abilities, reciprocal effects, computational

algorithms, fixed effects and random effects.

www.colpos.mx Colegio de Postgraduados

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I. INTRODUCCIÓN

Los diseños de tratamientos de cruzas dialélicas son ampliamente utilizados por los genetistas, en investigaciones enfocadas al mejoramiento de plantas y animales, para obtener información experimental que permita evaluar diferentes aspectos genéticos asociados con un conjunto de progenitores. Sprague y Tatum (1942), proporcionan la base en el estudio de la técnica dialélica al dar la definición de dos conceptos muy importantes en la genética cuantitativa; el término aptitud combinatoria general se emplea para designar el comportamiento medio de una línea en combinaciones híbridas; en tanto que la aptitud combinatoria específica se emplea para designar aquellos casos en los cuales ciertas combinaciones lo hacen relativamente mejor o peor de lo que podría esperarse, sobre la base del comportamiento promedio de las líneas involucradas.

Varios investigadores consideran que el conocimiento de las varianzas de los efectos de aptitud combinatoria general y específica, es de gran utilidad en los programas de mejoramiento, pero también los efectos maternos y recíprocos son de gran importancia, debido a que proporcionan un panorama de las interacciones de la aptitud combinatoria general y específica con los diferentes ambientes en los cuales se ensayan los materiales.

Estos de experimentos, desde que Griffing (1956a y 1956b) presentó sus cuatro diseños básicos de cruzas dialélicas, han sido extensamente utilizados para realizar estudios de aptitud combinatoria general y aptitud combinatoria específica básicamente. Aunque, en menor proporción, también estos diseños se han utilizado para la estimación de efecto maternos y recíprocos, así como para estimaciones de las componenetes de varianza y heredabilidad. Además, estos diseños han sido de gran utilidad para clasificar progenitores tanto en plantas autógamas como en alógamas y han permitido definir las estrategias apropiadas en los programas de mejoramiento.

Sin embargo, la metodología existente para el análisis completo de estos diseños, hasta ahora, se basa en el modelo de efectos fijos, con el cual se obtienen estimadores insesgados, pero no de mínima varianza. Aunque, los estimadores de aptitud combinatoria general y de efectos maternos, sobre la base del modelo de efectos mixtos, ya fueron obtenidos por Mastache (1998, 1999a y 1999b), los estimadores de aptitud combinatoria específica y de efectos recíprocos, sobre la base del modelo de efectos mixtos, aun no han sido obtenidos, hasta hoy en día; comunmente se han estimado tratando al modelo como de efectos fijos, aun conciente de su naturaleza aleatoria.

Por lo expresado anteriormente, es de suma importancia desarrollar la metodología que considere la estimación de aptitud combinatoria específica y de efectos recíprocos, basado en el modelo de efectos mixtos, con lo cual se tendrá la metodología completa, basada en el modelo de efectos mixtos (fijos y aleatorios), para el análisis de estos experimentos. Además, cuando se tienen los resultados experimentales de una investigación que emplea alguno de los diseños de Griffing, se carece de programas computacionales. Por ello es necesario generar algoritmos computacionales


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que consideren el modelo apropiado y faciliten el procesamiento de la información recabada experimentalmente.

1.1. OBJETIVOS En el presente trabajo se plantean los siguientes objetivos:

a) Obtener los mejores predictores lineales e insesgados (MPLI) empíricos de aptitud

combinatoria específica (ACE), en los diseños de Griffing que no ensayen las cruzas recíprocas.

b) Obtener los mejores predictores lineales e insesgados (MPLI) empíricos, de ACE y de efectos recíprocos (ER), en los diseños de Griffing que consideren en el experimento el ensayo de las cruzas recíprocas.

c) Presentar el análisis en forma manual, así como los algoritmos computacionales en SAS-IML.

II. REVISIÓN DE LITERATURA En general, se denominan cruzas dialélicas a las cruzas simples que pueden lograrse entre los elementos de un conjunto básico de p líneas progenitoras (Griffing, 1956b); su utilidad tiene su origen en el desarrollo de los conceptos de aptitud combinatoria general (ACG) y aptitud combinatoria específica (ACE), introducidos por Sprague y Tatum (1942). El término ACG se emplea para designar al comportamiento medio de una línea en sus combinaciones híbridas; y el término ACE, para designar aquellos casos en los que ciertas combinaciones se comportan relativamente mejor o peor de lo que podría esperarse, sobre la base del comportamiento promedio de las líneas involucradas.

Los diseños de tratamientos de cruzas dialélicas, son aquellos diseños propuestos por diversos autores con el fin de seleccionar las cruzas que deben incluirse en un determinado experimento; y se denominan experimentos dialélicos, a aquellos experimentos que ensayan un cierto conjunto de cruzas dialélicas. De esta forma, es posible distinguir dos grupos de diseños: los completos y los diseños parciales de cruzas dialélicas.

Los diseños completos de cruzas dialélicas, comprenden el ensaye de todas las cruzas simples que es posible realizar entre p progenitores; fueron introducidos formalmente por Griffing (1956a y 1956b), no obstante que un tipo particular de esta clase de experimentos ya había sido discutido por Yates (1947). En plantas de reproducción sexual, es posible efectuar cruzas dialélicas tales como autofecundaciones, cruzas directas y cruzas recíprocas; en función de éstas, el autor propuso sus cuatro diseños básicos:


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Diseño uno: comprende el ensaye de las p autofecundaciones, las 2/)1( −pp cruzas directas, y las 2/)1( −pp cruzas recíprocas; es decir, las 2p cruzas dialélicas posibles.

Diseño dos: comprende el ensaye de las p autofecundaciones y las 2/)1( −pp cruzas directas; es decir 2/)1( +pp cruzas dialélicas.

Diseño tres: comprende ensaye de las 2/)1( −pp cruzas directas y las 2/)1( −pp cruzas recíprocas; es decir, )1( −pp cruzas dialélicas.

Diseño cuatro: sólo comprende el ensaye de las 2/)1( −pp cruzas directas.

La elección de alguno de estos diseños, depende de las cruzas que se incluyan en el experimento; si se consideran las cruzas directas, es posible elegir a los diseños dos o cuatro de Griffing, dependiendo de la participación o no de las autofecundaciones; en cambio, si se consideran además las cruzas recíprocas, es posible elegir a los diseños uno o tres de Griffing.

En el área de los diseños experimentales, los investigadores de acuerdo con los objetivos que persiguen al establecer un determinado experimento, se enfrentan a diversos casos particulares del modelo lineal general. En relación con los efectos que forman parte del modelo, diferentes de los términos del error, estos se consideran como de efectos fijos, aleatorios y mixtos (tanto efectos fijos como aleatorios). Con respecto a los dos primeros casos, Eisenhart (1947) describió el análisis de varianza bajo dos modelos diferentes a los que denominó modelo I y modelo II, respectivamamente; este último también llamado modelo de componentes de varianza.

Cuando el modelo es de efectos fijos, uno de los aspectos de interés primario consiste en la obtención de los mejores predictores lineales e insesgados de funciones lineales paramétricas estimables; en tanto que bajo el modelo de efectos aleatorios, el interés de los investigadores se había centrado en la estimación de las componentes de varianza. El análisis de los experimentos dialélicos, tradicionalmente ha sido conducido desde estos dos puntos de vista; con el primero se estiman los efectos de aptitud combinatoria general y específica; y con el segundo, las componentes de la varianza. Martínez (1983) desarrolló un amplio trabajo relacionando con el diseño y análisis de experimentos de cruzas dialélicas.

Debido a la naturaleza aleatoria de las componentes genéticas y ambientales, el modelo asociado a los experimentos de cruzas dialélicas en la mayoría de las aplicaciones, no es de efectos fijos; sin embargo, cuando se desea obtener la estimación de los efectos de ACG y de ACE, esta estimación se efectúa tratando al modelo como de efectos fijos.


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En situaciones en las que los efectos de los factores involucrados en el modelo se consideran aleatorios o mixtos, Henderson (1950, 1963, 1975 y 1984) demostró que los mejores estimadores son los que satisfacen las características de ser lineales, insesgados y de mínimo error cuadrático medio, y les llamó los mejores predictores lineales e insesgados. Harville (1976), demostró además que el teorema de Gauss-Markov podría ser extendido a los casos en que las matrices involucradas en el proceso de predicción son de rango incompleto.

Goldberger (1962), fue el primero en utilizar formalmente el término mejor predictor lineal insesgado (Best Linear Unbiased Predictor, BLUP) en el modelo de regresión lineal generalizado, en el que existía correlación entre los errores del pasado y se deseaba generar una predicción. No obstante lo anterior, otros autores ya hacían uso de este concepto aunque con nombres diferentes en diversas aplicaciones. En mejoramiento animal, el BLUP, en modelos de efectos aleatorios era conocido como índice de selección (Smith, 1936 y Hazel, 1943). Lush en 1949, citado por Robinson (1991), se refirió a este estimador como la más probable habilidad de producción. Henderson (1950 y 1963), describe al BLUP, como una forma de índice de selección y fue hasta 1973 que empezó a usar el término BLUP. De acuerdo con Robinson (1991), el término “predicción” utilizado en la estimación de efectos aleatorios es para distinguirlos de los estimadores de efectos fijos. En reproducción animal, es una técnica para la estimación de efectos aleatorios.

Los mejores predictores lineales e insesgados (MPLI), presentan la característica principal de involucrar dentro de su estructura a las componentes de varianza; cuando estas no se conocen, pueden ser sustituidas por sus respectivos estimadores obteniéndose los MPLI empíricos (Harville y Carriquiry, 1992). Además, Kackar y Harville (1981) demostraron que las estimaciones permanecen insesgadas cuando las componentes de varianza tienen que ser estimadas. Robinson (1991) menciona que lo anterior sugiere que estimaciones puntuales a través de los MPLI en general no deben ser modificadas, lo que si tiene que analizarse es la precisión correspondiente; Kackar y Harville (1984), realizaron estudios relacionados con lo anterior y demostraron que la varianza del predictor, de combinaciones lineales paramétricas entre efectos fijos y aleatorios, tienden a ser subestimadas y propusieron el uso de un término de corrección, el cual disminuye el sesgo en la estimación de la varianza.

Searle (1971) y Khuri y Sahai (1985), presentan una revisión de las diferentes metodologías para la estimación de las componentes de varianza en los modelos de efectos aleatorios y mixtos, tanto en experimentos balanceados como en los desbalanceados. En experimentos balanceados, Robinson (1991) menciona que el método de análisis de varianza proporciona estimaciones de las componentes de la varianza que frecuentemente son consideradas como aceptables; algunas veces se obtienen estimaciones negativas, en cuyo caso se consideran como cero; sin embargo, esto provoca que los estimadores sean sesgados. Robinson y Jones (1987), comentan que en experimentos desbalanceados el método de máxima verosimilitud restringida (Patterson y Thompson, 1971), es el método que parece tener las mejores propiedades desde un punto de vista clásico.


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A pesar del extenso uso que han tenido los diseños de tratamientos de cruzas dialélicas, su análisis suele ser complicado. Existen varios programas de cómputo que tratan algunos aspectos de las cruzas dialélicas, entre los que se encuentran el MSTAT (1986); los desarrollados por Schaffer y Usanis (1989), Burow y Coors (1994), Magari y Kang (1994) y Zhang y Kang (1997); además los desarrollados por Martínez (1988b, 1988c y 1991) y los desarrollados por Mastache (1998). La característica principal en estos programas, con excepción de los desarrollados por Mastache (1998, 1999a y 1999b), es que la estimación de los efectos se realiza bajo la estructura del modelo de efectos fijos, y la estimación de las componentes de la varianza, en su caso, considerando el modelo de efectos aleatorios. También es importante resaltar que aunque los desarrollados por Mastache (1998, 1999a y 1999b), se basan en el modelo de efectos mixtos, solamente proporcionan los estimadores de la ACG y de EM.

Mastache (1998), aplica la técnica de los MPLI´s en los diseños de tratamientos de cruzas dialélicas parciales y completos, con y sin el ensaye de cruzas recíprocas, establecidos en diseños de bloques completos al azar, derivando así, los MPLI empíricos de los efectos de ACG y de (EM), utilizando la metodología desarrollada para la estimación de efectos aleatorios en el modelo de efectos mixtos. Encontró que los predictores obtenidos, tienen las propiedades de ser insesgados y de menor varianza que aquellos obtenidos, considerando el modelo de efectos fijos. Adicionalmente presentó algoritmos computacionales en SAS-IML en su versión 6.11 para Windows, con el fin de obtener el análisis de varianza, derivar los estimadores de las componentes de varianza, y los estimadores de ACG y de EM en los casos en que las componentes genéticas y ambientales en el modelo, son consideradas como efectos fijos y como efectos aleatorios. Sin embargo, no obtuvo los MPLI empíricos de ACE y de ER, por lo cual el análisis de estos diseños aun no está completo.

En experimentos de cruzas dialélicas, cuando el número de progenitores seleccionados es elevado, resulta impráctico el ensaye de todas las cruzas simples entre ellos. Los diseños parciales de cruzas dialélicas atienden este problema a través del ensaye de un subconjunto de las cruzas que es posible realizar entre los p progenitores. Los diseños parciales pueden ser simétricos o asimétricos; en el primer caso, los progenitores participan en el mismo número de cruzas; y en el segundo, al menos uno de ellos participa en un número diferente de cruzas. Martínez (1988a) señala que la condición de simetría es necesaria para obtener un análisis estadístico relativamente simple. Cuando no se ensayan las cruzas recíprocas, se han propuesto diversas estrategias para generar diseños de tratamientos simétricos, entre las cuales destacan las de Kempthorne y Curnow (1961), Fyfe y Gilbert (1963), Curnow (1963) y las de Rojas (1973). Martínez (1988a), menciona que si existe interés en estudiar efectos maternos, se puede seleccionar algún diseño dialélico parcial simétrico y proyectar las cruzas recíprocas correspondientes; de esta manera, se genera un experimento para el cual, los efectos de ACG y ACE son ortogonales a los EM y ER.


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III. METODOLOGÍA Y RESULTADOS Este capítulo se presenta en tres apartados: en el primero se proporciona la metodología desarrollada por Mastache (1998), a partir de los trabajos de Henderson (1950, 1963, 1973, 1975 y 1984), para obtener los MPLI´s; en el segundo se muestra el modelo lineal para los diseños de cruzas dialélicas; y por último se describe la metodología propuesta, para obtener los MPLI empíricos de ACE y de ER, para los cuatro diseños de Griffing.

3.1. Los mejores predictores lineales e insesgados (MPLI´S).

Mastache (1998) define los MPLI para los diseños de Griffing. Establece que su desarrollo se fincó sobre la base del modelo de efectos mixtos, los cuales permiten la predicción de efectos aleatorios o de combinaciones paramétricas estimables entre los efectos fijos y aleatorios.

El modelo lineal general de efectos mixtos, puede ser representado de la siguiente forma:

eZuXY ++= β , (3.1)

donde Y es un vector nx1 de observaciones; X y Z son matrices diseño conocidas de dimensiones n x f y n x p, respectivamente; β es un vector fx1 de efectos fijos no conocidos; u es un vector p x 1 no observable de efectos aleatorios; y e es un vector n x 1 no observable de efectos residuales o términos de error. Además, u ~ ),0( 2

eGσ , e ~ ),0( 2eRσ , y

2

00

eRG

eu

Var σ

=

, (3.2)

con 2eσ un escalar positivo generalmente desconocido; RyG son matrices de constantes, y

usualmente IG eu )/( 22 σσ= . En el modelo (3.1):

2)( eVyVar σ= , (3.3)

donde

RZZGV +′= (3.4)


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En muchas aplicaciones, el problema de interés puede ser formulado como la predicción de una variable aleatoria no observable h a partir de los valores de un vector aleatorio observable y, en el que h representa una combinación de efectos fijos y aleatorios en el modelo (3.1); es decir:

uh ϕβλ ′+′= (3.5)

en donde λ′ y ϕ′ son vectores conocidos de constantes con dimensiones f y p, respectivamente .

La diferencia entre el predictor y la variable aleatoria a ser predicha, d(y) - h , se llama error de predicción. Se dice que el predictor es insesgado, en el sentido descrito por Goldberger (1962) y Henderson (1963), si [ ] [ ] 0))(()( =−=− yhydEEhydE . El error cuadrático medio del predictor

d(y) es [ ] )[ ] )yhydEEhydE 22 )(())(( −=− ; si d(y) es insesgado, entonces el error cuadrático medio es igual a la varianza del error de predicción, [ ]hydVar −)( .

En el problema general de predicción, se asume que tanto el primero como el segundo momento de la distribución conjunta de h y y existen; así, considérese ,)( hhE µ= yyE µ=)( , yVyVar =)( , y yhVhyCov =),( . El procedimiento adecuado para predecir a h , a partir de los valores de y, depende del conocimiento que se tenga de la distribución conjunta de h y y.

Considérese el predictor lineal )(ydT = . Por ejemplo, y b k d(y) ii i ′+= ; el problema consiste en la selección de ik y ib′ , cuando sólo se conocen los dos primeros momentos de la distribución conjunta de h y y; un criterio para realizar lo anterior puede ser el considerar el mínimo; es decir, obtener el mejor predictor lineal que minimice [ ]2))(( hydE − con respecto a ib′ y ik . Carriquiry (1993), reporta que los valores de ib′ y ik que minimizan el error cuadrático medio son:

1−′=′ yyhi VVb , (3.6)

yyyhhi VVk µµ 1−′−= . (3.7)

Por lo que,

)(d(y) 1

yyyhh yVV µµ −′+= − , (3.8)

es el mejor predictor lineal, en el sentido de que minimiza el error cuadrático medio del predictor, si la distribución conjunta de y y h es normal multivariada, entonces [ ]yhEyd /)( = (Henderson, 1975). El hecho de que el mejor predictor lineal en (3.8) es insesgado, se verifica fácilmente:


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[ ] hyyyhh yEVV µµµ =−′+= − )( d(y)E 1 .

Además,

[ ] [ ] yhyyhh 2 VVVVh-d(y)Var h)-(d(y)E 1−′−== .

En el modelo (3.1) el mejor predictor lineal de la expresión en (3.5), de acuerdo con (3.2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.7 y 3.8), es

)()(ˆ 1yuyVZGydh −′′+′== −ϕβλ (3.9)

donde,

RZGZVVVX eyyh +==== ´,,,´ 2σβµβλµ y [ ] 2eyh ZGV σ′= .

En adición a las propiedades de ser insesgados y de mínimo error cuadrático medio, los mejores predictores lineales maximizan la correlación entre hyh , y son linealmente invariantes (Carriquiry, 1993).

Si β se desconoce en la distribución conjunta de y y h, entonces el mejor predictor lineal proporcionado en (3.9) no puede ser utilizado. Bajo estas condiciones, Goldberger (1962) y Henderson (1963) demostraron que el mejor predictor lineal e insesgado (MPLI) de h en (3.5) es

)(ˆ)( 1yuyVZGyd −′′+′= −ϕβλ , (3.10)

donde β es el mejor estimador lineal e insesgado de β ; es decir, es una solución de las ecuaciones de mínimos cuadrados generalizados:

yVXXVX 1´1 ˆ´ −− =β . (3.11)

El problema que se tiene en (3.10) y (3.11), es que V frecuentemente es una matriz muy grande y es bastante difícil de obtener su inversa.

Un método alternativo para la obtención del MPLI fue sugerido por Henderson (1950, 1963, 1973, 1975 y 1984). Con la suposición adicional de que u y e son vectores aleatorios no observables tales que u ~ ),0( 2

ep GN σ y e ~ ),0( 2en RN σ , con G y R no singulares, este autor

reporta que la densidad conjunta de u y y es


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( ) ( )uc uyd=u)f(y, , (3.12)

donde )(uc es la densidad marginal de u y )( uyd es la distribución condicional de y dado u . Con base en estas condiciones, Henderson derivó las ecuaciones normales del modelo mixto a través de la maximización de la densidad conjunta (3.12), con respecto a β y u .

Explícitamente, u)f(y, tiene la forma

−− ′−

−−′−−− uGuZuXyRZuXy

ee eeuyf1

21

2 21)()(

21

),( σββ

σα . (3.13)

Tomando el logaritmo natural de la densidad conjunta (3.13) se obtiene:

uG u + Zu)- X-(y R )Zu- X-(y2

1- =u)f(y,Ln 1-2e

′′ ββσ (3.14)

Ahora derivando (3.14) con respecto a β y u se tiene:

( )[ ] )222(

21,ln 111

2 yRXZuRXXRXuyf

e

−−− ′−′+′−=′

βσβδ

δ ,

( )[ ] )2222(2

1,ln 11112 uGyRZZuRZXRZ

uuyf

e

−−−− +′−′+′−=′

βσδ

δ .

Igualando a cero las derivadas anteriores, y reordenando términos, se obtienen las ecuaciones normales del modelo mixto:

′

′=

+′′

′′−

−

−−−

−−

yRZ

yRX

GZRZXRZ

ZRXXRX1

1

111

11

ˆ

ˆ

µβ

. (3.15)

De acuerdo al desarrollo anterior, el MPLI de h en (3.5) es

uh ˆˆˆ ϕβλ ′+′= , (3.16)

donde β y u en (3.15) corresponden a alguna solución del sistema de ecuaciones normales del modelo mixto (3.14). Henderson también probó que β en (3.14) es una solución del sistema de ecuaciones en (3.11), para lo cual demostró que

1111111 )( −−−−−−− =′+′− VRZGZRZZRR ;


- 10 -

además, probó que u en (3.14) es igual a )(1 βXyVZG −′ − en (3.10), demostrando que:

11111 )( −−−−− ′=′+′ VZGRZGZRZ

y observando que βX en (3.14), es el estimador de mínimos cuadrados generalizados de βX . En las ecuaciones en (3.15), se tiene la ventaja computacional de no requerir la inversa de V. Además, en la mayoría de las aplicaciones R es una matriz identidad y G frecuentemente es una matriz diagonal.

Considérese ahora, la inversa generalizada )(C de la matriz )(A de coeficientes en (3.15). Tal inversa satisface AACA = y si A es de rango completo 1−= AC , la inversa convencional de la matriz A (Searle, 1971). La matriz C , puede representarse de la siguiente manera:

;2221

1211111

11

CCCCC

GZRZXRZZRXXRX

=

=

+′′

′′−

−−−

−−

Así, de acuerdo con Henderson (1984), algunas de las propiedades importantes derivadas de la obtención del MPLI son:

a) Dentro de la clase de predictores lineales e insesgados, el MPLI maximiza la correlación entre µyu ,

b) βL′ es el mejor estimador lineal insesgado del conjunto de funciones lineales estimables βL′ ,

c) uuuE ˆ)ˆ/( = ,

d) u es único,

e) Si βL′ es estimable, uJL ˆˆ ′+′β es el MPLI de uJL ′+′β ,

f) 211)ˆ( eLCLLVar σβ ′=′ ,

g) 22211 ))()ˆˆ( eJCGJLCLuJLVar σβ −′+′=′+′ ,

h) 2

2221

1211)()ˆˆ( eJL

CCCC

JLuJLuJLVar σββ

′′=′+′−′+′ M ,

i) 0)ˆ,ˆ( =′′ uLCov β ,

j) 212),ˆ( eCLuLCov σβ ′−=′′ ,

k) 212)ˆ,ˆ( eCLuuLCov σβ ′−=′−′′ ,


- 11 -

l) 222 )(),ˆ()ˆ( eCGuuCovuVar σ−=′= , y

m) 222)ˆ( eCuuVar σ=− .

Es importante mencionar que el estimador de mínimos cuadrados generalizados de u , se obtiene a partir de la ecuación en (3.15). Si 01 =−G ; y adicionalmente si IR =−1 , o bien IV = en (3.3 y 3.4), entonces se tendrá el estimador de mínimos cuadrados ordinario de u .

Harville (1976), demostró además que el teorema de Gauss-Markov podrá ser extendido a los casos en que la matriz V en (3.3) y (3.4) es singular, para estimar a h en (3.5) a través de la expresión proporcionada en (3.16). De esta forma,

[ ] ,ˆ 1 yVXXVX −−− ′′=β (3.17)

);ˆ(ˆ βXyVZGu −′= − (3.18)

o bien, dado que ,RZZGV +′= entonces RG , o ambos son singulares, por lo que al resolver las ecuaciones normales del modelo mixto en (3.15), sus inversas deberán ser sustituidas por alguna inversa generalizada, según sea el caso. En los casos donde G es singular, la matriz C involucrada en las propiedades del MPLI descrita anteriormente, no produce directamente las varianzas maestrales. Harville (1976) y Henderson (1984), discuten esta situación y proporcionan expresiones para estas varianzas, las cuales son funciones de C . En los experimentos de cruzas dialélicas considerados en esta tesis, la matriz G es no singular en todos los casos considerados.

Harville y Carriquiry (1992) mencionan que en la mayoría de las aplicaciones las componentes de la varianza en RyG son desconocidas y necesitan ser estimadas a partir de la información experimental. En esta situación el procedimiento se parte en dos etapas; en la primera se estiman las componentes de la varianza y en la segunda se utilizan estos estimadores y se incluyen en las ecuaciones normales del modelo mixto (3.15) y se procede a obtener el MPLI, llamándole MPLI empírico. Kackar y Harville (1984), demostraron que la varianza proporcionada en la propiedad (h) de la página anterior, tiende a ser subestimada cuando se utilizan estimadores de las componentes de la varianza, y propusieron el uso de un término de corrección, el cual disminuye el sesgo en dicha varianza.

Extensión del modelo lineal general de efectos mixtos

Por otro lado, el modelo lineal general de efectos mixtos, puede ser expandido de la siguiente forma

,2211 euZuZXY +++= β (3.19)

donde Y es un vector nx1 de observaciones; X , 1Z y 2Z son matrices diseño conocidas de dimensiones fxn , pxn y kxn , respectivamente; β es un vector fx1 de efectos fijos no


- 12 -

conocidos; 21 uyu son vectores 11 xkyxp no observables de efectos aleatorios; y e es un vector 1xn no observable de efectos residuales o términos de error. Además, 1u ~ ),0( 2

1 eGσ ,

2u ~ ),0( 22 eG σ , e ~ ),0( 2

eRσ , y

22

1

2

1

000000

e

RG

G

euu

Var σ

=

,

con 2eσ un escalar positivo generalmente desconocido; RyGG 21, son matrices de constantes, y

usualmente IG eu )/( 221 1

σσ= y IG eu )/( 222 2

σσ= . Por lo tanto, en el modelo (3.19)

2)( eVyVar σ= ,

donde

RZGZZGZV +′+′= 222111 .

Por lo que en este caso *h representa una combinación de efectos fijos y aleatorios en el modelo (3.1); es decir:

2211* uuh ϕϕβλ ′+′+′= , (3.20)

donde λ ′ , 21 ϕϕ ′′ y son vectores conocidos de constantes con dimensiones pf , y k , respectivamente .

Suponiendo adicionalmente que eyuu 21 , son vectores aleatorios no observables tales que

1u ~ ),0( 21 ep GN σ , 2u ~ ),0( 2

2 ek GN σ , e ~ ),0( 2en IN σ , con RyGG 21, no singulares, por lo tanto

la densidad conjunta de 21 , uu y y es

( ) ( ) )(uc ,d=),f(y, 22112121 ucuuyuu , (3.21)

donde )( 11 uc es la densidad marginal de 1u , )( 22 uc es la densidad marginal de 2u y ),( 21 uuyd es la distribución condicional de y dado 21 uyu . Con base en estas condiciones, se procede a derivar las ecuaciones normales del modelo mixto a través de la maximización de la densidad conjunta (3.21), con respecto a 1, uβ y 2u .


- 13 -

Explícitamente, )u,uf(y, 21 tiene la forma

−−− ′−′−

−−−′−−−−

21

22211

11222111

22112 21

21)()(

21

21 ),,(uGuuGuuZuZXyRuZuZXy

eee eeeyf σσββ

σαµµ . (3.22)

Tomando logaritmo natural de la densidad conjunta (3.22) nos queda:

( )21-222

1-112211

1-22112

e21 uGu-uGu - )uZ-uZ-X-(y R)uZ-uZ-X-(y

21- =)u,uf(y,Ln ′′′ ββσ

. (3.23)

Ahora derivando (3.23) con respecto a 1, uβ y 2u se tiene:

( )[ ] )2222(

21,,ln

221

11111

221 uZRXuZRXXRyXRXuuyf

e

−−−− ′+′+′−′−= βσδβ

δ ,

( )[ ])22222(

21,,ln

11

1221

111

11

111

121

21 uGuZRZZRXZRyuZRZu

uuyf

e

−−−−− +′+′′+′−′−= βσδ

δ ,

( )[ ])22222(

21,,ln

21

221

1121

21

221

222

21 uGZRZuZRXZRyuZRZu

uuyf

e

−−−−− +′′+′′+′−′−= βσδ

δ .

Igualando a cero las derivadas anteriores, se obtienen las ecuaciones normales del modelo mixto:

[ ][ ] yRZuGZRZuZRZXRZ

yRZuZRZuGZRZXRZ

yRjuZRXuZRXXRX

122

122

1211

12

12

1122

111

111

11

11

122

111

11

ˆˆˆ,ˆˆˆ

,ˆˆˆ

−−−−−

−−−−−

−−−−

′=+′+′+′

′=′++′+′

′=′+′+′

β

β

β

y reordenando términos se obtiene:

′

′

′

=

+′′′

′+′′

′′′

−

−

−

−−−−

−−−−

−−−

yRZ

yRZ

yRX

uu

GZRZZRZXRZ

ZRZGZRZXRZ

ZRXZRXXRX

12

11

1

2

11

221

211

21

2

21

11

111

11

1

21

111

ˆˆβ

.

De acuerdo con el desarrollo anterior, el MPLI de *h en (3.20) es:

2211* ˆˆˆˆ uuh ϕϕβλ ′+′+′= (3.24)


- 14 -

3.2. El modelo lineal en los experimentos de cruzas dialélicas De acuerdo con Martínez (1983, 1988a, 1988b, 1988c y 1991), el modelo lineal apropiado para realizar el análisis de experimentos dialélicos, establecidos en diseño de bloques completos al azar, es;

,ijkkijjiijjiijk elmmsggy +++−++++= δµ (3.25)

r;,1,2k,,1 …=≤≤ pji

donde ijky , es el valor fenotípico observado de la cruza ( i, j ) en el bloque k; µ, un efecto común a todas las observaciones; g i , el efecto de aptitud combinatoria general del progenitor i; s ij , el efecto de aptitud combinatoria específica de la cruza (i, j); m i , el efecto materno del progenitor i; l ij , el efecto recíproco de la cruza (i, j); kδ , el efecto del bloque k; y ijke , el efecto aleatorio del error correspondiente a la observación ( i, j, k). Los términos, g i , s ij , m i , l ij y ijke se consideran como variables aleatorias normales no correlacionadas entre y dentro de ellas, con media cero y varianzas 2

gσ , 2sσ , 2

mσ , 2lσ y 2

eσ , respectivamente, con jiij ss = y jiij ll −= .

El modelo completo especificado anteriormente en (3.25), es adecuado para la estimación o predicción de efectos maternos; es decir, en situaciones donde se sospecha que la cruza (i,j), con i hembra y j macho, no produce el mismo resultado que la cruza recíproca (j,i), con j hembra e i macho. Teóricamente, los efectos maternos no son de naturaleza genética, sino ambiental. Cuando los efectos maternos no interesan, la interpretación de los resultados de un experimento dialélico se basa en el modelo reducido:

,ijkkijjiijk esggy +++++= δµ (3.26)

r.,1,2k,,1 …=≤≤ pji

Sin pérdida de generalidad, si sólo se consideran las medias de las cruzas y se elimina el efecto de bloques, dado que este es ortogonal con las cruzas, las representaciones de los modelos (3.25) y (3.26) se reducen a:

;.. ijijjiijjiij elmmsggy ++−++++=µ con ./22.

reeijσσ = (3.27)

y

;.. ijijjiij esggy ++++= µ con ,/22.

reeijσσ = (3.28)

respectivamente.


- 15 -

3.3. Metodología propuesta para obtener los MPLI empíricos de ACE y de ER en los diseños de Griffing Esta se presenta en dos apartados. En el primero se describe la metodología para los diseños dos y cuatro de Griffing, mientras que en el segundo se describe la metodología para los diseños uno y tres de Griffing.

3.3.1. Los MPLI empíricos de ACE en los diseños dos y cuatro de Griffing Los MPLI empíricos de ACE pueden obtenerse de dos formas:

I. Forma indirecta II. Forma directa.

3.3.1.1. Forma indirecta Primeramente, se describe la metodología propuesta para obtener los MPLI empíricos de los efectos de dialelos (ED), posteriormente se presenta la propuesta para obtener los MPLI empíricos de ACE y por último se realiza un ejemplo para cada uno de estos diseños con el propósito de ilustrar la obtención de los MPLI´s, apoyandose en el programa desarrollado por Mastache (1998). Los MPLI empíricos de ED En virtud de que en estos diseños participan las cruzas directas, entonces los MPLI empíricos de ED, se obtienen haciendo ijjiij sggd ++= en la expresión (3.28), lo que implica que esta expresión puede escribirse de la forma siguiente:

.. ijijij edy ++= µ (3.29) Nótese, que haciendo uso de las propiedades de la distribución normal y bajo los supuestos del modelo (3.28), los términos, g i , s ij y ijke se consideran como variables aleatorias normales no

correlacionadas entre y dentro de ellas, con media cero y varianzas 22 , sg σσ y 2eσ ,

respectivamente. Por lo tanto, ijjiij sggd ++= ~ )2,0( 22sgN σσ + y .ije ~ )/,0( 2 rN eσ . Así el

modelo (3.29) en notación matricial se escribe:

edZjy w ++= µ , (3.30) donde ( )tyyyyy ,,,, .13.12.11 L= , es un vector de t variables aleatorias observables .ijy ; µ , un efecto común a todas las observaciones; j , un vector 1tx de unos; wZ , es la matriz diseño correspondiente al ED de dimensión txt ; d , es un vector 1tx de variables aleatorias y e es el


- 16 -

vector de errores de dimensión 1tx . Además, ( ) ( ) ,0, == eEjyE µ ( ) 0,)(2

== dEIr

eVar teσ

( ) tAdCov = y:

( )( )

′−−= µµ jyjyEyVar )(

[ ]))(( ′++= edZedZE ww [ ])()( eVarZdCovZ ww +′=

+′= t

eww I

rZdCovZ

2

)(σ

, (3.31)

con tAdCov =)( , r es número de repeticiones e tI una matriz identidad de dimensión especificada por su subíndice. Mientras que tA es la matriz de varianzas y covarianzas de todas las cruzas posibles, de dimensión txt . Esta se forma a partir de las siguientes covarianzas:

,0),(),(,4)(),(,),(),( 222 ==+==== ′′′′′′ jiijiiiisgiiiiiigjiijjiij ddCovddCovdVarddCovddCovddCov σσσ22),(),( gjiiiijii ddCovddCov σ== y .2),( 22

sgijij ddCov σσ += Diseño cuatro de Griffing En el diseño cuatro de Griffing sólo se considera el ensayo de las 2/)1( −= ppt cruzas directas entre los progenitores. Ahora, si en el modelo (3.30) la matriz de varianzas y covarianzas (3.31) se escribe como

( )( )

′−−= µµ jyjyEyVar )(

[ ]))(( ′++= edZedZE ww [ ] 2

*etwww IZGZ σ+′= , (3.32)

donde: r

IRAG eett

ew

22

2 *

*

,,1 σσ

σ==

= y tA es una matriz de dimensión especificada por su

subíndice. Entonces, se tiene un caso particular del modelo (3.1) en el que 1, == ftn y sus componentes son equivalentes a wZZjX === ,, µβ y ee = . Además, la expresión en (3.32) es equivalente a la descrita por Henderson en el modelo de efectos mixtos con tIR = . Con estas condiciones, las ecuaciones normales en términos del modelo mixto son:

[ ] .ˆˆ

,ˆˆ1 yZdGZZjZ

yjdZjjj

wwwww

w

′=+′+′

′=′+′−µ

µ (3.33)


- 17 -

Si se conocen las componentes de varianza 22 , se σσ y 2gσ , entonces el MPLI d de d , se obtiene

al resolver el sistema de ecuaciones simultaneas en (3.33); así, imponiendo la

restricción∑∑≤ =

=p

ji

p

iijd

1

0ˆ , entonces por la construcción del modelo 0ˆ =′ dZj w y:

yjjj ′′= −1)(µ , (3.34)

[ ] )ˆ(ˆ 11 µjZyZGZZd wwwww ′−′+′=−− , (3.35)

la solución en (3.34) es equivalente a

...ˆ y=µ ;

para obtener a d , obsérvese que la matriz diseño correspondiente a wZ es de la forma:

=

100

010001

L

MOMM

L

L

wZ ;

de aquí si wZ y ...y se sustituyen en ( 3.35), d es equivalente a:

[ ] ).(ˆ...

11 yjZyZGZZd wwwww ′−′+′=−− (3.36)

Por otra parte, cuando 01 =−

wG , entonces se obtiene el estimador de mìnimos cuadrados ordinarios (EMC) de cruzas. En forma explícita este es:

[ ] )(ˆ ...1

0 yjZyZZZv wwww ′−′′= − , donde:

[ ]

=′ −

100

010001

1

L

MOMM

L

L

wwZZ ,

=′′ ∑ ∑∑

≥ ≥−

≥

p

j

p

pjjpj

p

jjw yyy

ryZ

3.1.2

2.1 ,,,1)( L y j

prpy

yjZ w )1(2 ...

... −=′ .

Por lo tanto, 0v es equivalente a:


- 18 -

′

−−−−−−= ∑ ∑∑

≥ ≥−

≥

p

j

p

pjjpj

p

jj ppyyppyyppyy

rv

3....1....2

2....10 )1(/2,),1(/2),1(/21

ˆ L

[ ]′= − jpjj vvv 121 ˆ,,ˆ,ˆ L (3.37)

donde )1(

2ˆ ....

−−=

prpy

ry

v ijij , con ji < , pji ≤≤ ,1 , el cual es el EMC del efecto de cruzas

proporcionado por Martínez (1983). Además, este coincide con el estimador de mínimos cuadrados generalizados (EMCG), dado que .tIR = Diseño dos de Griffing En este diseño se consideran las autofecundaciones, además del ensayo de las cruzas directas por lo que 2/)1( += ppt . Por lo tanto, el MPLI empírico del ED es igual a (3.36), es decir, se obtiene de la misma forma que para el diseño cuatro de Griffing. Por lo tanto, el MPLI empírico d es:

[ ] )(ˆ...

11 yjZyZGZZd wwwww ′−′+′=−− .

De igual forma en este caso, cuando 01 =−

wG , se obtiene el EMC de cruzas. En forma explícita este es:

[ ] )(ˆ ...1

1 yjZyZZZv wwww ′−′′= − donde:

[ ]

=′ −−

100

010001

11

L

MOMM

L

L

ww ZRZ ,

=′′ ∑ ∑∑

≥ ≥≥

p

j

p

pjpjj

p

jjw yyy

ryZ

2..2

1.1 ,,,1)( L y j

prpy

yjZ w )1(2 ...

... +=′ .

Por lo tanto, 1v es equivalente a:

′

+−+−+−= ∑ ∑∑

≥ ≥≥

p

j

p

pjpjj

p

jj ppyyppyyppyy

rv

2........2

1....11 )1(/2,),1(/2),1(/21

ˆ L

[ ]′= pjjj vvv ˆ,,ˆ,ˆ 21 L , (3.38)


- 19 -

donde )1(

2ˆ ....

+−=

prpy

ry

v ijij , con ji ≤ , pji ≤≤ ,1 , el cual es el EMC del efecto de cruzas

proporcionado por Martínez (1983). También como .tIR = , el EMC coincide con el EMCG. MPLI empírico de ACE Ya obtenido el MPLI empírico de ED para ambos diseños, a continuación se procede a obtener el MPLI empírico de ACE. El cual esta dado por:

gZdZs gw ˆˆˆ −= ,

en donde d es el MPLI empírico de ED, wZ es la matriz diseño correspondiente al efecto de cruzas de dimensión txt , gZ es la matriz diseño correspondiente a la aptitud combinatoria general y de acuerdo con Mastache (1998), qwkg ˆˆ = donde:

,

)24(11

1

2

22

+−+

+

=

g

esrpq

k

σσσ

con q=1 si se utiliza el diseño dos de Griffing y q=0 si se utiliza el diseño cuatro; qw es el estimador de mínimos cuadrados de g, en el modelo de efectos fijos.

Para los diseños dos y cuatro de Griffing el MPLI empírico de ACE se obtiene de la misma forma, ya que lo único que cambia es el número de cruzas participantes en cada uno de estos diseños. Componentes de varianza para los diseños dos y cuatro de Griffing Cuando no se conocen las componentes de varianza involucradas para obtener los MPLI de ACE, éstas pueden ser sustituidas por sus respectivos estimadores obteniéndose el MPLI empírico, Harville y Carriquiry (1992). En el diseño de bloques completos al azar una forma sencilla de obtener estimadores de las componentes de varianza, es a través de la técnica del análisis de varianza; ésta consiste en realizar el análisis de varianza correspondiente, bajo el supuesto de que todos los factores considerados en el estudio son fijos, relacionando los cuadrados medios con sus respectivas esperanzas y resolviendo para cada una de las componentes de varianza. Martínez (1983) reportó que los estimadores de las componentes de varianza, en los diseños dos (q=1) y cuatro(q=0) de Griffing, son: CMEe =2σ , (3.39)

rCMECM ACEs /)(ˆ 2 −=σ , (3.40)


- 20 -

)24(/)(ˆ 2 −+−= pqrCMCM ACEACGgσ ; (3.41) donde CME es el cuadrado medio del error, CMACE el cuadrado medio de la aptitud combinatoria específica y CMACG, el cuadrado medio de aptitud combinatoria general. Sustituyendo (3.39, 3.40 y 3.41) en las expresiones correspondientes, se obtienen los MPLI empíricos de ACE en los diseños dos y cuatro de Griffing. Ejemplo para los diseños dos y cuatro de Griffing A continuación se procede a realizar un ejemplo para el cálculo del MPLI empírico de ACE, para estos diseños. Cuadro 3.1. Datos Ficticios para los Diseños Dos y Cuatro

Progenitor Bloques Cruza I J Dialelo I II III IV

1* 1 1 1 30.780 32.700 32.430 30.510 2 1 2 2 30.780 31.200 30.450 32.040 3 1 3 3 33.720 31.200 32.400 67.200 4 1 4 4 40.260 38.040 38.520 33.030 5* 2 2 5 37.200 46.680 33.510 34.110 6 2 3 6 37.620 35.700 32.640 30.390 7 2 4 7 37.290 38.640 33.780 32.250 8* 3 3 8 60.180 63.000 53.040 52.650 9 3 4 9 63.360 63.540 94.020 94.440

10* 4 4 10 73.590 71.610 68.010 66.120 Cruzas sin asterisco (*) corresponden al diseño cuatro de Griffing y cruzas con y sin asterisco corresponden al diseño dos de Griffing. MPLI empírico de ACE Para ilustrar como obtener el MPLI empírico de ACE, los datos del Cuadro 3.1 se analizan en forma manual (para ambos diseños), con el apoyo del programa desarrollado por Mastache (1998) para la obtención de ,, 22

se σσ ,2gσ gZ y el efecto de ACG. Además, también se hace uso

del procedimiento IML de SAS, para calcular los productos y las inversas necesarias para el presente ejemplo. Primero, se procede a obtener el MPLI empírico de ED, una vez obtenido éste, se procede a obtener el MPLI empírico de ACE.

3.3.1.1.1. Ejemplo para el diseño cuatro Supóngase que se tienen 4 progenitores, entonces 4=p , por lo tanto se tendrán 62144 =− /)( cruzas directas, alojadas en cuatro bloques completos como se muestra en el Cuadro 3.1.


- 21 -

MPLI empírico de ED A partir de los datos del Cuadro 3.1, se tiene que para valores promedios de las cruzas:

=

840.78490.35088.34463.37130.41118.31

y ,

=

100000010000001000000100000010000001

wZ

y

λσσσσσλσσσσσλσσσσλσσσσσλσ

σσσσλ

=

2222

2222

2222

2222

2222

2222

00

00

00

gggg

gggg

gggg

gggg

gggg

gggg

tA ,

con 222 sg σσλ += .

Dado que no se conocen las componentes de varianza 22 , se σσ y 2gσ , entonces se utilizarán sus

respectivos estimadores; haciendo uso del programa desarrollado por Mastache (1998) se tiene que: 74344.189ˆ,76951.111ˆ 22 == se σσ y 54353.84ˆ 2 =gσ . Por lo tanto:

=

8305.3585435.845435.845435.845435.840000.05435.848305.3585435.845435.840000.05435.845435.845435.848305.3580000.05435.845435.845435.845435.840000.08305.3585435.845435.845435.840000.05435.845435.848305.3585435.840000.05435.845435.845435.845435.848305.358

tA ,

lo que implica que:

9424.271

8305.3585435.845435.845435.845435.840000.05435.848305.3585435.845435.840000.05435.845435.845435.848305.3580000.05435.845435.845435.845435.840000.08305.3585435.845435.845435.840000.05435.845435.848305.3585435.840000.05435.845435.845435.845435.848305.358

=wG


- 22 -

y

[ ]

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−

=+′ −

0947.10179.00179.00179.00179.00168.00179.00947.10179.00179.00168.0179.00179.00179.00947.10168.0179.00179.00179.00179.00168.00947.10179.00179.00179.00168.00179.00179.00947.10179.00168.00179.00179.00179.00179.00947.1

1www GZZ .

De igual forma:

=′

840.78490.35088.34463.37130.41118.31

yZ w ,

=′

02125.4302125.4302125.4302125.4302125.4302125.43

...yjZ w ;

consecuentemente, según (3.36):

+

02125.4302125.4302125.4302125.4302125.4302125.43

=

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−

34

24

23

14

13

12

ˆˆˆˆˆˆ

0947.10179.00179.00179.00179.00168.00179.00947.10179.00179.00168.0179.00179.00179.00947.10168.0179.00179.00179.00179.00168.00947.10179.00179.00179.00168.00179.00179.00947.10179.00168.00179.00179.00179.00179.00947.1

dddddd

840.78490.35088.34463.37130.41118.31

,

por consiguiente:

1

34

24

23

14

13

12

0947.10179.00179.00179.00179.00168.00179.00947.10179.00179.00168.0179.00179.00179.00947.10168.0179.00179.00179.00179.00168.00947.10179.00179.00179.00168.00179.00179.00947.10179.00168.00179.00179.00179.00179.00947.1

ˆˆˆˆˆˆ −

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−

=

dddddd

−−−−−−

02125.43840.7802125.43490.3502125.43088.3402125.43463.3702125.43130.4102125.43118.31

.


- 23 -

Por lo tanto,el MPLI empírico del efecto de dialelos es:

−−−−−

=

5600.327227.68812.77501.49022.147143.11

ˆˆˆˆˆˆ

34

24

23

14

13

12

dddddd

.

MPLI empírico de ACE El MPLI empírico de ACE es dado por:

.ˆˆˆ gZdZs gw −=

Haciendo uso del programa desarrollado por Mastache (1998), se tiene que para los promedios de las cruzas:

=

110010100110100101010011

gZ y

−−

=

9682.44633.52010.62305.4

ˆˆˆˆ

4

3

2

1

gggg

.

Además, se tiene para valores promedios de cruzas:

=

100000010000001000000100000010000001

wZ y

−−−−−

=

5600.327227.68812.77501.49022.147143.11

ˆˆˆˆˆˆ

34

24

23

14

13

12

dddddd

.

Esto produce el MPLI empírico de ACE:

−−−−−

=

1285.224899.51439.74883.57231.22832.1

ˆˆˆˆˆˆ

34

24

23

14

13

12

ssssss

.


- 24 -

3.3.1.1.2. Ejemplo para el diseño dos Supóngase que se tienen 4 progenitores, entonces 4=p ; por lo tanto se tendrán 102/)14(4 =+ cruzas (6 directas y 4 autofecundaciones), alojadas en cuatro bloques completos como se muestra en el Cuadro 3.1. MPLI empírico de ED A partir de los datos del Cuadro 3.1, se tiene que para valores promedios de las cruzas:

=

833.69840.78218.57490.35088.34875.37463.37130.41118.31605.31

y ,

=

1000000000010000000000100000000001000000000010000000000100000000001000000000010000000000100000000001

wZ

y

=

1222

22222

21

22

22222

222222

221

2

222222

222222

222222

2221

202002000220000

020200200200200

0220000022000

20002020020002000000222

λσσσσλσσσσ

σλσσσλσσσσ

σσσλσσσσσλσ

σσσλσσσσσσσλσσ

σσσσσλσσσσλ

ggg

ggggg

ggg

ggggg

gggggg

ggg

gggggg

gggggg

gggggg

ggg

tA ,

con 2222

1 24 sgsg y σσλσσλ +=+= .

Dado que tampoco se conocen las componentes de varianza 22 , se σσ y 2gσ , entonces se utilizarán

sus respectivos estimadores; estos se obtienen haciendo uso del programa desarrollado por Mastache (1998) y son: 36024.100ˆ,81853.78ˆ 22 == se σσ y 1422.85ˆ 2 =gσ . Por lo tanto:


- 25 -

=

93.44028.17000.028.17000.000.028.17000.000.000.028.17064.27028.17000.014.8500.014.8514.8500.000.000.028.17093.44000.028.17000.000.028.17000.000.028.17000.000.064.27014.8528.17014.8500.014.8500.000.014.8528.17014.8564.27028.17000.014.8514.8500.000.000.000.028.17028.17093.44000.000.014.8500.028.17014.8500.014.8500.000.064.27014.8514.8528.17000.014.8528.17000.014.8500.014.8564.27014.8528.17000.000.000.014.8514.8514.8514.8514.8564.27028.17000.000.000.000.000.000.028.17028.17028.17093.440

tA ;

entonces

19.701

93.44028.17000.028.17000.000.028.17000.000.000.028.17064.27028.17000.014.8500.014.8514.8500.000.000.028.17093.44000.028.17000.000.028.17000.000.028.17000.000.064.27014.8528.17014.8500.014.8500.000.014.8528.17014.8564.27028.17000.014.8514.8500.000.000.000.028.17028.17093.44000.000.014.8500.028.17014.8500.014.8500.000.064.27014.8514.8528.17000.014.8528.17000.014.8500.014.8564.27014.8528.17000.000.000.014.8514.8514.8514.8514.8564.27028.17000.000.000.000.000.000.028.17028.17028.17093.440

=wG ,

lo que implica que:

[ ]

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−

=+′ −

1431.11099.00302.01160.00189.00319.00290.00127.00286.00047.01100.02095.10604.01159.00371.00273.00409.00161.00160.00281.00302.00604.01029.10339.00445.00254.00160.00457.00248.00019.01160.01159.00339.02250.10286.00661.00405.00005.00503.00349.00190.00371.00445.00286.01674.10461.00166.00151.00386.00143.00320.00273.00255.00661.00461.00863.10107.00075.00091.00105.00290.00409.00160.00405.00166.00107.01565.10173.00077.00507.00127.00161.00457.00005.00151.00075.00173.01497.10095.00474.00285.00160.00248.0050.00386.00091.00077.00095.01310.10439.00047.00282.00019.00349.00143.00105.00508.00474.00439.00996.1

1www GZZ

De igual forma:


- 26 -

=′

833.69840.78218.57490.35088.34875.37463.37130.41118.31605.31

yZ w ,

=′

46575.4546575.4546575.4546575.4546575.4546575.4546575.4546575.4546575.4546575.45

...yjZ w ,


+

46575.4546575.4546575.4546575.4546575.4546575.4546575.4546575.4546575.4546575.45

1

1431.11099.00302.01160.00189.00319.00290.00127.00286.00047.01100.02095.10604.01159.00371.00273.00409.00161.00160.00281.00302.00604.01029.10339.00445.00254.00160.00457.00248.00019.01160.01159.00339.02250.10286.00661.00405.00005.00503.00349.00190.00371.00445.00286.01674.10461.00166.00151.00386.00143.00320.00273.00255.00661.00461.00863.10107.00075.00091.00105.00290.00409.00160.00405.00166.00107.01565.10173.00077.00507.00127.00161.00457.00005.00151.00075.00173.01497.10095.00474.00285.00160.00248.0050.00386.00091.00077.00095.01310.10439.00047.00282.00019.00349.00143.00105.00508.00474.00439.00996.1 −

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−

=

44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

dddddddddd

833.69840.78218.57490.35088.34875.37463.37130.41118.31605.31

,

por consiguiente:

=

44

34

33

24

23

22

14

13

12

11


dddddddddd

1

1431.11099.00302.01160.00189.00319.00290.00127.00286.00047.01100.02095.10604.01159.00371.00273.00409.00161.00160.00281.00302.00604.01029.10339.00445.00254.00160.00457.00248.00019.01160.01159.00339.02250.10286.00661.00405.00005.00503.00349.0

0190.00371.00445.00286.01674.10461.00166.00151.00386.00143.00320.00273.00255.00661.00461.00863.10107.00075.00091.00105.00290.00409.00160.00405.00166.00107.01565.10173.00077.00507.00127.00161.00457.00005.00151.00075.00173.01497.10095.00474.00285.00160.00248.0050.00386.00091.00077.00095.01310.10439.00047.00282.00019.00349.00143.00105.00508.00474.00439.00996.1 −

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−

−−−−−−−−−−

46575.45833.6946575.45840.7846575.45218.5746575.45490.3546575.45088.3446575.45875.3746575.45463.3746575.45130.4146575.45118.3146575.45605.31

.


- 27 -

Por lo tanto, el MPLI empírico de ED es:

−−−−−−−

=

55871236151930468751155224954027909110829976600722440595149973013


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

..........

dddddddddd

.

MPLI empírico de ACE El MPLI empírico de ACE es dado por:

gZdZs gw ˆˆˆ −= . Haciendo uso del programa desarrollado por Mastache (1998), se tiene para los promedios de las cruzas:

=

2000110002001010011000201001010100110002

gZ y

−−

=

65414.855502.586673.634243.7

ˆˆˆˆ

4

3

2

1

gggg

.


- 28 -

Además, anteriormente se obtuvo, para los promedios de cruzas:

=

1000000000010000000000100000000001000000000010000000000100000000001000000000010000000000100000000001

wZ y

−−−−−−−

=

55871236151930468751155224954027909110829976600722440595149973013


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

..........

dddddddddd

.

Esto conduce al MPLI empírico de ACE:

−−

−−−

=

9001.50198.165364.08326.94144.81346.57862.71301.21163.06889.0


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

ssssssssss

.

Se puede observar en los ejemplos anteriores, que generar la matriz tA es sumamente complicado y el grado de dificultad es directamente proporcional al número de progenitores que se contemplen.

3.3.1.2. Forma directa Primero, se describe la metodología propuesta para obtener los MPLI empíricos de ACE y enseguida se realiza un ejemplo con cada uno de estos diseños para ilustrar la obtención de los MPLI´s, con el apoyo del programa desarrollado por Mastache (1998). Los MPLI empíricos de ACE En virtud de que en estos diseños participan las cruzas directas, el modelo lineal apropiado para la obtención de los MPLI empíricos es el proporcionado en la expresión (3.28). En forma matricial, este modelo puede ser representado de la siguiente forma:


- 29 -

esZgZjy sg +++= µ , (3.42) donde ( )..13.12.11 ,,,, tyyyyy L= , es un vector de t variables aleatorias observables .ijy ; µ , es la media general; j , un vector 1tx de unos; gZ , es una matriz diseño correspondiente a la ACG de dimensión txp ; sZ , es una matriz diseño conocida de dimensión txt correspondiente a la ACE; g , es un vector de 1px variables aleatorias; s , es un vector de 1tx de variables aleatorias; e , es el vector de errores de dimensión 1tx . Además:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,0,0,0, 22tspg IsVarIgVarsEgEeEjyE σσµ ====== t

e Ir

eVar2

)( σ= y:

( ) [ ]))(( ′−−= µµ jyjyEyVar

[ ]))(( ′++++= esZgZesZgZE sgsg

+′+′= t

esssggg I

rZZZZ

222 σ

σσ ,

con tI , una matriz identidad de dimensión específicada por su subíndice. Diseño cuatro de Griffing En el diseño cuatro de Griffing sólo se considera el ensayo de las 2/)1( −= ppt cruzas directas entre los progenitores. El MPLI empírico de ACE se obtendrá por dos vías: a) Vía uno Por esta vía, el MPLI empírico se obtiene si en el modelo (3.42), se hace egZe g +=* , entonces este puede escribirse como:

*esZjy s ++= µ , (3.43) donde s ~ ),0( 2

*est GN σ y *e ~ ),0( 2*et RN σ . Con lo cual se tiene un caso particular del modelo

(3.1) en el que suZZtn s ==== ,,, µβ y *ee = . Además, la matriz de varianzas y covarianzas en (3.43) puede escribirse como:

( ) [ ]))(( ′−−= µµ jyjyEyVar [ ] rIZGZZGZ eeesssggg /, 222

** σσσ =+′+′=

[ ] ,2*esss RZGZ σ+′= (3.44)


- 30 -

con te

ssp

e

gg IGIG

=

= 2

2

2

2

**

,σσ

σσ

y r

ee

22*

σσ = . La expresión en (3.44) es equivalente a la

descrita por Henderson en el modelo de efectos mixtos con tggg IZGZR +′= . Sobre la base de estas condiciones, las ecuaciones normales en términos del modelo mixto son:

[ ] ;ˆˆ

,ˆˆ1111

111

yRZsGZRZjRZ

yRjsZRjjRj

sssss

s

−−−−

−−−

′=+′+′

′=′+′

µ

µ (3.45)

en estas ecuaciones te

ss IG

= 2

2

*σσ

, e tI es una matriz identidad de dimensión txt.

Si se conocen las componentes de varianza 22 , se σσ y 2

gσ , entonces el mejor predictor lineal e insesgado s de s , se obtiene al resolver las ecuaciones simultaneas en (3.45); así, imponiendo la

restricción ∑∑≤ =

=p

ji

p

iijs

10ˆ , entonces por la construcción del modelo 0ˆ1 =′ − sZRj s y:

yRjjRj 111 )(ˆ −−− ′′=µ , (3.46)

[ ] )ˆ(ˆ 11111 µjRZyRZGZRZs sssss−−−−− ′−′+′= ; (3.47)


...ˆ y=µ ;

para obtener a s , obsérvese que las matrices diseño correspondientes a sZ y gZ son de la forma:

=

100

010001

L

MOMM

L

L

sZ

y


- 31 -

=

11000

10010

0011010001

0010100011

L

MM

L

MM

L

L

MM

L

L

gZ

de aquí si sZ y ...y se sustituyen en ( 3.47), s es equivalente a:

[ ] )(ˆ ...11111 yjRZyRZGZRZs sssss−−−−− ′−′+′= . (3.48)

Como en este diseño el número de cruzas es igual al número de dialelos, entonces sw ZZ = . Por lo tanto, cuando 01 =−

sG , esto implica que en (3.48) no se obtendrá el MPLI empírico de s , sino el de d . Aunque siendo estrictos, en este caso no es el MPLI, sino es el EMCG de d .

[ ] )(ˆ...

1111 yjRZyRZZRZd wwww−−−− ′−′′= .

b) Vía dos Por esta vía, el MPLI empírico de ACE se obtiene haciendo uso del modelo (3.42) el cual es

esZgZjy sg +++= µ , con base en todos los supuestos del propio modelo y adecuando de la siguiente manera la matriz de varianzas y covarianzas:

( ) [ ]))(( ′−−= µµ jyjyEyVar [ ]))(( ′++++= esZgZesZgZE sgsg

[ ] ,2*etsssggg IZGZZGZ σ+′+′=

con tte

ssp

e

gg IRIGIG =

=

= ,, 2

2

2

2

** σσ

σσ

y r

ee

22*

σσ = . Además, bajo la suposición adicional de

que g, s y e son vectores aleatorios no observables, tales que g ~ ),0( 2*egp GN σ , s ~ ),0( 2

*est GN σ

y e ~ ),0( 2*et RN σ , con G y R no singulares, por lo tanto se observa que se tiene un caso

particular del modelo (3.19), cuya densidad conjunta es


- 32 -

( ) ( ) )(, 2 scgc sgyd=s)g,,yf( 1 , (3.49)

donde )(1 gc es la densidad marginal de g , )(2 sc es la densidad marginal de s y ),( sgyd es la distribución condicional de y dado g y s. Bajo estas condiciones, se procede a derivar las ecuaciones normales del modelo mixto a través de la maximización de la densidad conjunta (3.49), con respecto a s,µ y g .

Explícitamente, s)g,,yf( tiene la forma:

−− ′−′−

−−−′−−−− sGsgGgsZgZjysZgZjy s

eg

esgsg

e eeesgyf1

21

22 21

21)()(

21

),,( σσµµ

σα . (3.50)

Aplicando el método de máxima verosimilitud en (3.50), se obtienen las ecuaciones normales del modelo mixto:

[ ][ ] .ˆˆ

,ˆˆˆ

,ˆˆˆ

1

1

yZsGZZgZZjZ

yZsZZgGZZjZ

yjsZjgZjjj

ssssgss

gsggggg

sg

′=+′+′+′

′=′++′+′

′=′+′+′

−

−

µ

µ

µ

(3.51)

De igual manera, si se conocen las componentes de varianza 22 , se σσ y 2

gσ , entonces el mejor predictor lineal e insesgado s de s , se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones simultaneas

en (3.51); así, imponiendo las restricciones ∑∑≤ =

=p

ji

p

iijs

10ˆ y 0ˆ

1=∑

=

p

iig , entonces por la

construcción del modelo 0ˆ =′ sZj s y 0ˆ =′ gZj g , por lo tanto

,)(ˆ 1 yjjj ′′= −µ (3.52)

[ ] )ˆˆ(ˆ11 gZZjZyZGZZs gssssss ′−′−′+′=−− µ , (3.53)


...ˆ y=µ ,

por otro lado, nótese que:


- 33 -

[ ]

+

+

+

=+′ −−

22

2

22

2

22

2

11

00

00

00

se

s

se

s

se

s

sss

rr

rr

rr

GZZ

σσσ

σσσ

σσσ

L

MOMM

L

L

y de acuerdo con Mastache (1998), 00 ˆˆ wkg = donde:

,

)2(11

1

2

220

+−

+

=

g

esrp

k

σσσ

y 0w es el EMC de ACG proporcionado por Martínez (1983). Por lo que (3.53) es equivalente a )ˆˆ(ˆ 000 wkvs −= ϕ ,

donde 0v es el EMC del efecto de cruzas obtenido en (3.37) para este diseño y )1/(1 2

2

s

e

rσσ

ϕ += .

Diseño dos de Griffing En este diseño se consideran las autofecundaciones, además del ensayo de las cruzas directas, entre los p progenitores, por lo tanto 2/)1( += ppt . Esto nos conduce a que el MPLI empírico de ACE es de la misma forma que en el caso del diseño cuatro de Griffing por ambas vías.

a) Vía uno Por esta vía, el MPLI s es igual a (3.48), el obtenido para el diseño cuatro:

[ ] )ˆ(ˆ 11111 µjRZyRZGZRZs sssss−−−−− ′−′+′= .

También en este diseño, si 01 =−

sG dado que sw ZZ = , entonces se obtendrá el EMCG de d , o sea,

[ ] )ˆ(ˆ 1111 µjRZyRZZRZd wwww−−−− ′−′′= .


- 34 -

b) Vía dos El MPLI de s es equivalente a (3.53), por lo tanto:

[ ] )ˆˆ(ˆ11 gZZjZyZGZZs gssssss ′−′−′+′=−− µ ;

nuevamente, nótese que:

[ ]

+

+

+

=+′ −−

22

2

22

2

22

2

11

00

00

00

se

s

se

s

se

s

sss

rr

rr

rr

GZZ

σσσ

σσσ

σσσ

L

MOMM

L

L

,

y de acuerdo con Mastache (1998), 11 ˆˆ wkg = donde:

),1,0(

)2(11

1

2

221 ∈

++

+

=

g

esrp

k

σσσ

y 1w es el EMC de ACG proporcionado por Martínez (1983). por lo que (3.53) es equivalente a )ˆˆ(ˆ 111 wkZvs g−= ϕ , (3.57)

donde 1v es el EMC del efecto de cruzas obtenido en (3.38) para este diseño y )1/(1 2

2

s

e

rσσ

ϕ += .

Bajo esta vía, en estos diseños, si se introduce la notación:

=Griffingdecuatrodiseñoelutilizasesi

Griffingdedosdiseñoelutilizasesiq

;0;1

entonces

)ˆˆ(ˆ qgq wkZvs −= ϕ , donde:


- 35 -

,

)24(11

1

2

22

+−+

+

=

g

esrpq

k

σσσ

con q=1 si se utiliza el diseño dos de Griffing y q=0 si se utiliza el diseño cuatro; qw es el estimador de mínimos cuadrados de g , en el modelo de efectos fijos. Ejemplo para los diseños dos y cuatro de Griffing Para ilustrar al lector como obtener el MPLI empírico de ACE, los datos del Cuadro 3.1 se analizan en forma manual, con un ejemplo para cada diseño por ambas vías, con el apoyo del programa desarrollado por Mastche (1998) para la obtención de ,, 22

se σσ ,2gσ gZ y el efecto de

ACG. Además, también se hará uso del procedimiento IML de SAS, para calcular los productos y las inversas necesarias para realizar este ejemplo. Por último, se presentan los resultados a través del programa desarrollado en SAS, para verificar que el procedimiento empleado anteriormente es correcto.

3.3.1.2.1. Ejemplo para el diseño cuatro Supóngase que se tienen 4 progenitores, entonces 4=p , por lo tanto se tendrán 62144 =− /)( cruzas directas, alojadas en cuatro bloques completos como se muestra en el Cuadro 3.1. A continuación se procede a analizar los datos como un diseño de bloques completos al azar. A partir de los datos del Cuadro 3.1, se tiene para valores promedios de las cruzas:

=

100000010000001000000100000010000001

sZ .


- 36 -

a)Vía uno Primero se tiene que:

[ ]

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−

=+′ −−

2408.26319.06319.06319.06319.00845.16319.02408.26319.06319.00845.16319.06319.06319.02408.20845.16319.06319.06319.06319.00845.12408.26319.06319.06319.00845.16319.06319.02408.26319.00845.16319.06319.06319.06319.02408.2

11sss GZRZ .

De igual forma:

−−−−

=′ −

350.70460.11958.20043.19261.8278.43

1 yRZ s ,

=′ −

9844.89844.89844.89844.89844.89844.8

...1 yjRZ s ;


+

9844.89844.89844.89844.89844.89844.8

=

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−

34

24

23

14

13

12

ˆˆˆˆˆˆ

2408.26319.06319.06319.06319.00845.16319.02408.26319.06319.00845.16319.06319.06319.02408.20845.16319.06319.06319.06319.00845.12408.26319.06319.06319.00845.16319.06319.02408.26319.00845.16319.06319.06319.06319.02408.2

ssssss

−−−−

350.70460.11958.20043.19261.8278.43

;

por consiguiente:

1

34

24

23

14

13

12

2408.26319.06319.06319.06319.00845.16319.02408.26319.06319.00845.16319.06319.06319.02408.20845.16319.06319.06319.06319.00845.12408.26319.06319.06319.00845.16319.06319.02408.26319.00845.16319.06319.06319.06319.02408.2

ˆˆˆˆˆˆ −

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−

=

ssssss

−−−−−−−−−−

9844.8350.709844.8460.119844.8958.209844.8043.199844.8261.89844.8278.43

.


- 37 -

Por lo tanto,el MPLI de aptitud combinatoria específica es:

−−−−−

=

1285.224899.51439.74883.57231.22832.1

ˆˆˆˆˆˆ

34

24

23

14

13

12

ssssss

.

b)Vía dos Como )ˆˆ(ˆˆ 000 wkvs −= ϕ , donde:

1472.11)

ˆˆ1/(1ˆ 2

2

=+=s

e

rσσ

ϕ ,

−−−−−

=

−−−−−−

=

8188.355313.79338.85588.58913.19038.11

0212.43840.780212.43490.350212.43088.340212.43463.370212.43130.410212.43118.31

ˆ0v ,

−−

−

==

4315.102328.17377.07377.02328.14315.10

ˆˆ 00 gZwk g ,

entonces:

−−−−−

=

−−−−−

=

−+−+−−−−−+−

=

128.224899.51439.74883.57231.22832.1

3872.252984.61960.82965.61241.34722.1

1472.11

4315.108188.352328.15313.77377.09338.87377.05588.52328.18913.14315.109038.11

1472.11

ˆˆˆˆˆˆ

34

24

23

14

13

12

ssssss

.


- 38 -

Como puede verse, en los cálculos anteriores, en efecto la estimación de los MPLI empíricos de ACE es la misma por ambas vías. Por último, introduciendo los datos correspondientes al diseño cuatro que se encuentran en el Cuadro 3.1, al programa desarrollado (algoritmo computacional) para obtener los MPLI empíricos de ACE , se tienen los resultados del Cuadro 3.2. Cuadro 3.2. Los MPLI Empíricos para el Diseño 4 de Griffing LOS MPLI EMPIRICOS EN LOS DISEÑOS 2 Y 4 DE GRIFFING DISEÑO 4 DE GRIFFING N T R P 24 6 4 4 VARIABLE 1 CUADRO 1. ANALISIS DE VARIANZA FV GL SC CM F Pr > F BLOQUES 3 268.11281 89.370938 0.7996004 0.5131852 CRUZAS 5 6382.761 1276.5522 11.421292 0.0001104 ACG 3 4641.2745 1547.0915 1.7767481 0.3799267 ACE 2 1741.4866 870.74329 7.7905263 0.004784 ERROR 15 1676.5426 111.76951 . . TOTAL 23 8327.4165 . . . MEDIA CV 43.02125 24.57416 ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA VARE VARS VARG 111.76951 189.74344 84.54353 CUADRO 2. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACG PROG EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 -9.67687 -9.67687 -4.23048 38.79077 2 -14.18437 -14.18437 -6.20104 36.82021 3 12.49688 12.49688 5.46331 48.48456 4 11.36438 11.36438 4.96821 47.98946 K 0.43717 CUADRO 3. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACE BLUPSACE EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 11.95750 11.95750 -1.28325 41.73800 2 -4.71125 -4.71125 -2.72307 40.29818 3 -7.24625 -7.24625 -5.48826 37.53299 4 -7.24625 -7.24625 -7.14397 35.87728 5 -4.71125 -4.71125 -5.48995 37.53130 6 11.95750 11.95750 22.12850 65.14975 CUADRO 4. ESTIMACION Y PREDICCION DEL EFECTO DE CRUZAS BLUPSCRUZAS EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 -11.90375 -11.90375 -11.71477 31.30648


- 39 -

2 -1.89125 -1.89125 -1.49024 41.53101 3 -5.55875 -5.55875 -4.75053 38.27072 4 -8.93375 -8.93375 -7.88170 35.13955 5 -7.53125 -7.53125 -6.72278 36.29847 6 35.81875 35.81875 32.56002 75.58127 LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG CCCACG 1.081 -0.378 -0.378 -0.378 -0.378 -0.378 0.508 0.083 0.083 0.083 -0.378 0.083 0.508 0.083 0.083 -0.378 0.083 0.083 0.508 0.083 -0.378 0.083 0.083 0.083 0.508 LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACE CCCACE 1.081 -.283 -.283 -.283 -.283 -.283 -.283 -.283 0.788 0.247 0.247 0.247 0.247 -.077 -.283 0.247 0.788 0.247 0.247 -.077 0.247 -.283 0.247 0.247 0.788 -.077 0.247 0.247 -.283 0.247 0.247 -.077 0.788 0.247 0.247 -.283 0.247 -.077 0.247 0.247 0.788 0.247 -.283 -.077 0.247 0.247 0.247 0.247 0.788

3.3.1.2.2. Ejemplo para el diseño dos Supóngase que se tienen 4 progenitores, entonces 4=p , por lo tanto se tendrán 102/)14(4 =+ cruzas directas, alojadas en cuatro bloques completos como se muestra en el Cuadro 3.1. A continuación se procede a analizar los datos como un diseño de bloques completos al azar. A partir de los datos del Cuadro 3.1, se tiene que para valores promedios de las cruzas:

=

1000000000010000000000100000000001000000000010000000000100000000001000000000010000000000100000000001

sZ .


- 40 -

a) Vía uno Primero se tiene:

[ ]

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

=+′ −−

4687.20328.12509.00328.12509.02509.00328.12509.02509.02509.00328.17525.30328.13909.03909.02509.03909.03909.02509.02509.02509.00328.14687.22509.00328.12509.02509.00328.12509.02509.00328.13909.02509.07525.33909.00328.13909.02509.03909.02509.02509.03909.00328.13909.07525.30328.12509.03909.03909.02509.02509.02509.02509.00328.10328.14687.22509.02509.00328.12509.00328.13909.02509.03909.02509.02509.07525.33909.03909.00328.12509.03909.00328.12509.03909.02509.03909.07525.33905.00328.12509.02509.02509.03909.03909.00328.13909.03909.07525.30328.12509.02509.02509.02509.02509.02509.00328.10328.10328.14687.2

11sss GZRZ .

Similarmente:

−−−

−−

=′ −

2514.190227.707258.12913.441599.350759.391386.347272.43087.145214.18

1 yRZ s ,

=′ −

1137.41137.41137.41137.41137.41137.41137.41137.41137.41137.4

...1 yjRZ s ;


+

1137.41137.41137.41137.41137.41137.41137.41137.41137.41137.4

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

4687.20328.12509.00328.12509.02509.00328.12509.02509.02509.00328.17525.30328.13909.03909.02509.03909.03909.02509.02509.02509.00328.14687.22509.00328.12509.02509.00328.12509.02509.00328.13909.02509.07525.33909.00328.13909.02509.03909.02509.02509.03909.00328.13909.07525.30328.12509.03909.03909.02509.02509.02509.02509.00328.10328.14687.22509.02509.00328.12509.00328.13909.02509.03909.02509.02509.07525.33909.03909.00328.12509.03909.00328.12509.03909.02509.03909.07525.33905.00328.12509.02509.02509.03909.03909.00328.13909.03909.07525.30328.12509.02509.02509.02509.02509.02509.00328.10328.10328.14687.2

=

44

34

33

24

23

22

14

13

12

11


ssssssssss

−−−

−−

2514.190227.707258.12913.441599.350759.391386.347272.43087.145214.18

;


- 41 -

de aquí:

=

44

34

33

24

23

22

14

13

12

11


ssssssssss 1

4687.20328.12509.00328.12509.02509.00328.12509.02509.02509.00328.17525.30328.13909.03909.02509.03909.03909.02509.02509.02509.00328.14687.22509.00328.12509.02509.00328.12509.02509.00328.13909.02509.07525.33909.00328.13909.02509.03909.02509.02509.03909.00328.13909.07525.30328.12509.03909.03909.02509.02509.02509.02509.00328.10328.14687.22509.02509.00328.12509.00328.13909.02509.03909.02509.02509.07525.33909.03909.00328.12509.03909.00328.12509.03909.02509.03909.07525.33905.00328.12509.02509.02509.03909.03909.00328.13909.03909.07525.30328.12509.02509.02509.02509.02509.02509.00328.10328.10328.14687.2 −

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−

1137.42514.191137.40227.701137.47258.11137.42913.441137.41599.351137.40759.391137.41386.341137.47272.41137.43087.141137.45214.18

.

Por lo tanto, el MPLI de aptitud combinatoria específica es:

−−

−−−

=

9001.50198.165364.08326.94144.81346.57862.71301.21163.06889.0


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

ssssssssss

.

b)Vía dos Como ),ˆˆ(ˆˆ 111 wkvs −= ϕ donde:

1963.11)

ˆˆ1(1ˆ 2

2

=+=s

e

rσσ

ϕ ,

−−−−−−−

=

−−−−−−−−−−

=

3668.243743.337518.119758.93783.115908.70032.83358.43483.148608.13

4657.45833.694657.458400.784657.452180.574657.454900.354657.450880.344657.458750.374657.454630.374657.451300.414657.451180.314657.456050.31

ˆ1v ,


- 42 -

−−−−−−

==

3083.172091.141100.117874.13117.17335.133117.17874.12092.146849.14

ˆˆ11 gZwk g .

Por lo tanto:

−−

−−−

=

−−

−−−

=

−−−−++++++

−−−−−−−

=

9001.50198.165364.08326.94144.81346.57862.71301.21163.06889.0

0585.71651.196417.07631.110665.101427.63149.95483.21391.08241.0

119631

3083.172091.141100.117874.13117.17335.133117.17874.12092.146849.14

3668.243743.337518.119758.93783.115908.70032.83358.43483.148608.13

119631


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

ssssssssss

.

Una vez más puede verse en los cálculos anteriores, que la estimación de los MPLI empíricos de ACE es la misma por ambas vías. Nuevamente, introduciendo los datos correspondientes al diseño dos que se encuentran en el Cuadro 3.1, al programa desarrollado (algoritmo computacional) para obtener los MPLI empíricos de ACE, se obtienen los resultados del Cuadro 3.3. Cuadro 3.3. Los MPLI Empíricos para el Diseño 2 de Griffing LOS MPLI EMPIRICOS EN LOS DISEÑOS 2 Y 4 DE GRIFFING DISEÑO 2 DE GRIFFING N T R P 40 10 4 4 VARIABLE 1 CUADRO 1. ANALISIS DE VARIANZA FV GL SC CM F Pr > F BLOQUES 3 46.436287 15.478762 0.1963848 0.8979351


- 43 -

CRUZAS 9 10452.503 1161.3892 14.734977 2.7779E-8 ACG 3 7570.946 2523.6487 5.2547605 0.0407973 ACE 6 2881.557 480.2595 6.093231 0.0003934 ERROR 27 2128.1003 78.818529 . . TOTAL 39 12627.04 . . . MEDIA CV 45.46575 19.52674 ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA VARE VARS VARG 78.81853 100.36024 85.14122 CUADRO 2. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACG PROG EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 -9.06812 -9.06812 -7.34243 38.12332 2 -8.48062 -8.48062 -6.86673 38.59902 3 6.86063 6.86063 5.55502 51.02077 4 10.68813 10.68813 8.65414 54.11989 K 0.80970 CUADRO 3. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACE BLUPSACE EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 4.27550 4.27550 0.68886 46.15461 2 3.20050 3.20050 -0.11626 45.34949 3 -2.12825 -2.12825 -2.13012 43.33563 4 -9.62325 -9.62325 -7.78622 37.67953 5 9.37050 9.37050 5.13459 50.60034 6 -9.75825 -9.75825 -8.41446 37.05129 7 -12.18325 -12.18325 -9.83263 35.63312 8 -1.96950 -1.96950 0.53639 46.00214 9 15.82550 15.82550 16.01978 61.48553 10 2.99050 2.99050 5.90006 51.36581 CUADRO 4. ESTIMACION Y PREDICCION DEL EFECTO DE CRUZAS BLUPSCRUZAS EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 -13.86075 -13.86075 -13.99600 31.46975 2 -14.34825 -14.34825 -14.32542 31.14033 3 -4.33575 -4.33575 -3.91752 41.54823 4 -8.00325 -8.00325 -6.47451 38.99124 5 -7.59075 -7.59075 -8.59887 36.86688 6 -11.37825 -11.37825 -9.72616 35.73959 7 -9.97575 -9.97575 -8.04522 37.42053 8 11.75175 11.75175 11.64644 57.11219 9 33.37425 33.37425 30.22894 75.69469 10 24.36675 24.36675 23.20834 68.67409 LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG CCCACG 1.233 -0.540 -0.540 -0.540 -0.540 -0.540 0.424 0.219 0.219 0.219 -0.540 0.219 0.424 0.219 0.219 -0.540 0.219 0.219 0.424 0.219


- 44 -

-0.540 0.219 0.219 0.219 0.424 LA MATRIZ DE COEFICIENTES: Cs DE ACE CCCACE 1.233 -.127 -.127 -.127 -.127 -.127 -.127 -.127 -.127 -.127 -.127 -.127 0.746 0.250 0.250 0.250 -.037 -.037 -.037 -.037 -.037 -.037 -.127 0.250 0.459 0.106 0.106 0.250 0.106 0.106 -.037 -.037 -.037 -.127 0.250 0.106 0.459 0.106 -.037 0.106 -.037 0.250 0.106 -.037 -.127 0.250 0.106 0.106 0.459 -.037 -.037 0.106 -.037 0.106 0.250 -.127 -.037 0.250 -.037 -.037 0.746 0.250 0.250 -.037 -.037 -.037 -.127 -.037 0.106 0.106 -.037 0.250 0.459 0.106 0.250 0.106 -.037 -.127 -.037 0.106 -.037 0.106 0.250 0.106 0.459 -.037 0.106 0.250 -.127 -.037 -.037 0.250 -.037 -.037 0.250 -.037 0.746 0.250 -.037 -.127 -.037 -.037 0.106 0.106 -.037 0.106 0.106 0.250 0.459 0.250 -.127 -.037 -.037 -.037 0.250 -.037 -.037 0.250 -.037 0.250 0.746

3.3.2. Los MPLI empíricos de ACE y de ER en los diseños uno y tres de Griffing

3.3.2.1. Forma indirecta Primero, se describe la metodología indirecta propuesta para obtener los MPLI empíricos de los efectos de ACE; posteriormente se presenta la propuesta para obtener los MPLI empíricos de ER. MPLI empírico de ACE En los diseños de Griffing, cuando se sospecha la existencia de efectos maternos, se considera en el experimento el ensayo de las cruzas recíprocas. En estos experimentos, el número de cruzas participantes dependerá del diseño que se utilice; es decir, de la inclusión o no de las autofecundaciones.

El modelo lineal apropiado para realizar el análisis de experimentos dialélicos, establecidos en diseño de bloques completos al azar, es el proporcionado en la expresión (3.27) que es:

,.. ijijjiijjiij elmmsggy ++−++++= µ

Si en el modelo se considera la transformación:

),()(2 .... jiijijjijiij eesggyy +++++=+ µ es decir,

),(21)(

21

.... jiijijjijiij eesggyy +++++=+ µ


- 45 -

o bien, si ),(21

..*

. jiijij yyy += y ),(21

..0

. jiijij eee += entonces:

0

.*

. ijijjiij esggy ++++= µ . (3.54) Enseguida se procede a obtener el MPLI empírico del efecto de dialelos (ED). Esta forma de obtener el MPLI empírico de ED se logra haciendo ijjiij sggd ++= en la expresión (3.54); esta expresión puede escribirse entonces como:

0.

*. ijijij edy ++= µ , (3.55)

Nótese, que haciendo uso de las propiedades de la distribución normal y bajo los supuestos del modelo (3.27), los términos, iji sg , y ijke se consideran como variables aleatorias normales no

correlacionadas entre y dentro de ellas, con media cero y varianzas 22 , sg σσ y 2eσ ,

respectivamente. El modelo (3.55) en notación matricial es dado por:

0* edZjy d ++= µ , (3.56) donde ( )tyyyyy ,,,, .13.12.11

* L= , es un vector de t variables aleatorias observables *.ijy ; ,µ un

efecto común a todas las observaciones; j , un vector 1tx de unos; dZ , es la matriz diseño correspondiente a los efectos de dialelos de dimensión txh , con h igual al número de dialelos; d , es un vector 1hx de variables aleatorias y 0e es el vector de errores de dimensión 1tx .

Además, ( ) ( ) ( ) 0,2

)(,0,2

00* ==== dEEr

eVareEjyE eσµ , ( ) hDdCov = y:

( )( )

′

−−= µµ jyjyEyVar *** )(

[ ]))(( 00 ′++= edZedZE dd [ ])()( 0eVarZdCovZ dd +′=

+′= E

rZdCovZ e

dd 2)(

2σ,

con hDdCov =)( , E una matriz simétrica txt formada por unos en aquellas posiciones en las que la cruza es tal que jiij = y por un dos en los casos en que ji = ; es decir, la matriz E es singular.

hD es la matriz de varianzas y covarianzas de todas las cruzas posibles, de dimensión hxh . Esta se forma por las covarianzas siguientes: ,),(),(),( 2

gjiijjiijijij ddCovddCovddCov σ=== ′′′

,2),(),( 22sgjiijijij ddCovddCov σσ +== ,2),(),( 2

gjiiiijii ddCovddCov σ==

,0),(),(),(),(),( ===== ′′′′′′′′ jiijjiiiijiijiiiiiii ddCovddCovddCovddCovddCov

.4)( 22sgiidVary σσ +=


- 46 -

Diseño tres de Griffing En el diseño tres de Griffing se ensayan las 2/)1( −pp cruzas directas y sus recíprocas, pero no se incluyen las autofencundaciones; en total se tienen )1( −= ppt diferentes combinaciones. Ahora, si en el modelo (3.56) la matriz de varianzas y covarianzas se escribe como:

( )( )

′

−−= µµ jyjyEyVar *** )(

[ ]))(( 00 ′++= edZedZE dd [ ] 2

edddd RZGZ σ+′= , (3.57)

donde hD es una matriz de dimensión especificada por su subíndice,

= 2

e

hd

DG

σ y

rERd 2

= .

Dado que E es una matriz singular, esto implica que la matriz dR también sea singular; pero, de acuerdo con Harville (1976), si dR es singular, en las ecuaciones normales del modelo mixto se sustituye 1−

dR por alguna inversa generalizada −dR . En este diseño una posible −

dR es una matriz diagonal txt , la cual está formada por 2/)1( −pp términos equivalentes a rb 2= ubicados en aquellas posisicones correspondientes a las cruzas directas, y por 2/)1( −pp ceros correspondietes a las recíprocas. Entonces, una vez más, se tiene un caso particular del modelo (3.1) en el que 1, == ftn y sus componentes son equivalentes a 0,, eeyZZjX d ==== µβ . Además, la expresión en (3.57) es equivalente a la descrita por Henderson en el modelo de efectos mixtos con dRR = . Con estas condiciones, las ecuaciones normales en términos del modelo mixto son:

[ ] .ˆˆ

,ˆˆ*1

*

yRZdGZRZjRZ

yRjdZRjjRj

dddddddd

dddd−−−−

−−−

′=+′+′

′=′+′

µ

µ (3.58)


gσ , entonces el mejor predictor lineal e

insesgado d de d , se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones simultaneas en (3.58); así,

imponiendo la restricción ,0ˆ1

∑∑= =

=p

ij

p

iijd entonces por la construcción del modelo 0ˆ =′ − dZRj dd y:

,)(ˆ *1 yRjjRj dd

−−− ′′=µ

[ ] ).ˆ(ˆ *11 µjRZyRZGZRZd dddddddd−−−−− ′−′+′= (3.59)

Ya obtenido el MPLI empírico de ED el MPLI empírico de ACE se obtiene de la siguiente manera: gZdZs gd ˆˆˆ −= .


- 47 -

Diseño uno de Griffing En el diseño uno de Griffing se ensayan las 2/)1( −pp cruzas simples, sus recíprocas y las p autofecundaciones, generándose un total de 2pt = cruzas dialélicas. En este diseño una posible

−dR es una matriz diagonal txt , con p elementos correspondientes a las autofecundaciones

iguales a rb =* , 2/)1( −pp términos de las cruzas directas equivalentes a rb 2= y 2/)1( −pp ceros relacionados a las recíprocas. El MPLI empírico de ED se obtiene de la misma forma que en el diseño tres (3.59) de Griffing. Por lo tanto, el MPLI empírico d es equivalente a:

[ ] )ˆ(ˆ *11 µjRZyRZGZRZd dddddddd−−−−− ′−′+′= .

De igual manera ya obtenido el MPLI empírico de ED, el MPLI empírico de ACE se obtiene como: gZdZs gd ˆˆˆ −= . MPLI empírico de ER Partiendo del modelo expresado en (3.27) que es:

.. ijijjiijjiij elmmsggy ++−++++= µ . Si en el modelo se considera la transformación:

),()(2 .... jiijijjijiij eelmmyy −++−=− es decir,

),(21)(

21

.... jiijijjijiij eelmmyy −++−=−

entonces

,$.

**. ijijjiij elmmy ++−= (3.60)

Esta forma de obtener el MPLI empírico de ER, consiste primero en obtener el MPLI empírico de

*d , esto se logra haciendo ijjiij lmmd +−=* en la expresión (3.60), entonces esta expresión puede escribirse de la forma siguiente:

$.

***. ijijij edy += (3.61)


- 48 -

Como en el modelo (3.28) los términos, iji lm , y ijke se consideran como variables aleatorias

normales no correlacionadas entre y dentro de ellas, con media cero y varianzas 22 , lm σσ y 2eσ ,

respectivamente. El modelo (3.61) en forma matricial es:

$**** edZy

d+= , (3.62)

donde *dZ , es la matriz diseño correspondiente al efecto *d de dimensión txh , con

h igual al

número de dialelos; *d , es un vector de 1hx de variables aleatorias y $e es el vector de errores de

dimensión 1tx . Además, ( ) ( ) ( ) 0,2

)(,0,0 **2

$$** ==== dEEr

eVareEyE eσ , ( ) **

hDdCov = y:

( )( )

′

= ****** )( yyEyVar

[ ]))(( $*$*** ′++= edZedZE

dd

[ ])()( $*** eVarZdCovZ

dd+′=

+′= *

2*

2)( ** E

rZdCovZ e

dd

σ,

con *

* )( hDdCov = y *E es una matriz simétrica txt formada por unos en aquellas posiciones en las que la cruza es tal que jiij = y por ceros en los casos en que ji = ; es decir la matriz *E es singular. Mientras que *hD es la matriz de varianzas y covarianzas de todas las cruzas posibles, de dimensión hxh . Esta se forma a partir de las siguientes covarianzas:

,0)( * =ijdVar ,),( 2**mijij ddCov σ−=′ ,),(),( 2****

mjiijjiij ddCovddCov σ== ′′ ,2),( 22**lmijij ddCov σσ +=

,2),( 22**lmjiij ddCov σσ −−= yddCovddCovddCovddCov jiiiijiijiiiiiii 0),(),(),(),( ******** ==== ′′′′

.0),(),(),( ****** === ′′′′ jiijjiiiijii ddCovddCovddCov . Diseño tres de Griffing En el diseño tres de Griffing se ensayan las 2/)1( −pp cruzas directas y sus recíprocas, pero no se incluyen las autofencundaciones; en total se tienen )1( −= ppt diferentes combinaciones. Ahora, si en el modelo (3.62) la matriz de varianzas y covarianzas se escribe como:

( )( )

′

= ****** )( yyEyVar

[ ]))(( $*$*** ′++= edZedZE

dd

[ ] 2* *** edddd

RZGZ σ+′= , (3.63)


- 49 -

donde *hD es una matriz de dimensión especificada por su subíndice,

= 2

**

e

hd

DG

σy

rER

d 2

*

* = .

Por la estructura de la matriz *E , *dR es una matriz singular; pero, de acuerdo con Harville

(1976), si *dR es singular, en las ecuaciones normales del modelo mixto, se sustituye 1*−dR por

alguna inversa generalizada −*dR . En este diseño una posible −

*dR es una matriz diagonal txt , la cual está formada por 2/)1( −pp términos equivalentes a rb 2= ubicados en aquellas posisicones correspondientes a las cruzas directas , y por 2/)1( −pp ceros correspondietes a las recíprocas. Por la estructura de (3.63) nuevamente se tiene un caso particular del modelo (3.1), entonces las ecuaciones normales en términos del modelo mixto son:

[ ] .ˆ,ˆ

***1*

***

****

***

yRZdGZRZ

yRjdZRj

dddddd

ddd−−−

−−

′=+′

′=′ (3.64)


gσ , entonces el mejor predictor lineal e

insesgado *d de *d , se obtiene al resolver las ecuaciones simultaneas en (3.64); así, imponiendo

la restricción ,0ˆ1

*∑∑= =

=p

ij

p

iijd por la construcción del modelo 0ˆ*

* =′ − dZRj dd, lo que conduce al

siguiente resultado:

[ ] )(ˆ **11*

****** yRZGZRZd

dddddd−−−− ′+′= . (3.65)

Ya obtenido el MPLI empírico de *d , el MPLI empírico de ER se obtiene de la siguiente manera: mZdZl md ˆˆˆ * −= . Diseño uno de Griffing En el diseño uno de Griffing se ensayan las 2/)1( −pp cruzas simples, sus recíprocas y las p autofecundaciones, generándose un total de 2pt = cruzas dialélicas. En este diseño una posible

−*d

R es una matriz diagonal txt , con 2/)1( −pp elementos correspondientes a las cruzas directas iguales a rb 2= y por 2/)1( +pp ceros correspondientes a las autofecundaciones y a las cruzas recíprocas. Tambén, el MPLI empírico de *d se obtiene de la misma forma que para el diseño tres de Griffing (3.65). Por lo tanto, el MPLI empírico *d es equivalente a:

[ ] )(ˆ **11*

****** yRZGZRZd dddddd−−−− ′+′= .


- 50 -

De igual manera ya obtenido el MPLI empírico de *d , el MPLI empírico de ER se obtiene como: mZdZl md ˆˆˆ *

* −= . Bajo esta forma indirecta de obtener el MPLI de ACE y ER, no se realiza un ejemplo númerico, básicamente debido a que generar la matriz *hD , es sumamente complicado, y su grado de complejidad es directamente proporcional al número de progenitores que se contemplen. MPLI empírico del EC Vale la pena tambíen mencionar que el MPLI empírico de EC es:

lZmZsZgZjdZdZjy lmsgdd ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ** ++++=++= µµ

Para los diseños uno y tres de Griffing los MPLI empírico de EC se obtiene de la misma forma, ya que lo único que cambia es el número de cruzas participantes en cada uno de estos diseños. Acontinuación se presentan los EMC de los efectos de cruzas en estos diseños: Diseño tres

[ ] )ˆ(ˆ ...1

0 yjZyZZZv wwww ′−′′= − ,

′

−−−−−−= ∑ ∑∑

≠

−

≠≠

p

j

p

pjpjj

p

jj ppyyppyyppyy

rv

2

1

........21

....10 )1(/,),1(/),1(/1ˆ L

[ ]′= − jpjj vvv 121 ˆ,,ˆ,ˆ L ,

donde )1(

ˆ ....

−−=

prpy

ry

v ijij , con ji ≠ , pji ≤≤ ,1 , el cual es el EMC del efecto de cruzas

proporcionado por Martínez (1983). Diseño uno

[ ] )ˆ(ˆ ...1

1 yjZyZZZv wwww ′−′′= − ,

′

−−−= ∑ ∑∑

≥ ≥≥

p

j

p

jpjj

p

jj pyypyypyy

rv

1 1

2....

2....2

1

2....11 /,,/,/1

ˆ L

[ ]′= pjjj vvv ˆ,,ˆ,ˆ 21 L ,


- 51 -

donde 2....ˆ

rpy

ry

v ijij −= , pji ≤≤ ,1 , el cual es el EMC del efecto de cruzas proporcionado por

Martínez (1983). Componentes de varianza para los diseños uno y tres de Griffing Cuando no se conocen los valores verdaderos de las componentes de varianza que participan para la obtención de los MPLI´s, éstas se sustituyen por sus valores estimados. De acuerdo con Martínez (1983), los estimadores obtenidos a través del método de análisis de la varianza, son, en general, para los diseños uno (q=1) y tres (q=0) de Griffing.

CMEe =2σ , (3.66)

rCMECM ERl 2/)(ˆ 2 −=σ , (3.67)

rpCMCM EREMm 2/)(ˆ 2 −=σ , (3.68)

[ ][ ]CMECMqqppr

pACEs −

+−=

)(2ˆ

22σ , (3.69)

y

{ } ;)1(

)1()22(2

1ˆ 2

−−

+−−

−−+

= CMECMECMqpp

ppCMpqr ACEACGgσ (3.70)

donde CME es el cuadrado medio del error, CMER es el cuadrado medio del efecto recíproco, CMEM el cuadrado medio del efecto materno, CMACE el cuadrado medio de aptitud combinatoria específica y CMACG, el cuadrado medio de aptitud combinatoria general. Sustituyendo estas expresiones (3.66, 3.67, 3.68, 3.69, y 3.70) en los componentes que lo requieren, se obtienen los MPLI empíricos de s y l en los diseños uno y tres de Griffing (Harville y Carriquiry, 1992).

3.3.2.2. Forma directa Los MPLI empíricos de ACE y de ER en los diseños uno y tres de Griffing En esta sección se muestra la metodología propuesta para obtener directamente los MPLI empíricos de ACE y de ER. Por último con la ayuda del programa desarrollado por Mastache (1998), se realiza un ejemplo solamente para el diseño uno, debido a que los cálculos para el diseño tres son completamente análogos a los del uno, con algunas ligeras variaciones, básicamente debidas a que en el diseño tres no se ensayan las autofecundaciones.


- 52 -

MPLI empíricos de ACE Se parte del modelo (3.54) el cual contiene la información relativa a la aptitud combinatoria general y a la aptitud combinatoria específica. En notación matricial, se tiene:

;0* esZgZjy sg +++= µ (3.71)

donde j , es un vector 1tx de unos, siendo t el número total de cruzas; gZ , es la matriz diseño de orden txp , correspondiente a los efectos de aptitud combinatoria general; sZ , es la matriz diseño correspondiente a la aptitud combinatoria específica de orden txh ; g , es un vector de orden 1px ; s , es un vector de orden 1hx ; 0* eyy son, respectivamente, vectores 1tx de observaciones y términos de error. Con 2/)1( −= pph para el diseño tres y 2/)1( += pph para el diseño uno de Griffing. Además,

[ ]))()( *** ′−−= µµ jyjyEyVar [ ]))(( 00 ′++++= esZgZesZgZE sgsg

( ) ( )

+′+′=

rE

ZIZZIZ egpggshss 2

222 σ

σσ

2

2 egggsss rEZGZZGZ σ

+′+′=

con he

ss IG

= 2

2

σσ

y pe

gg IG

= 2

2

σσ

. E es una matriz simétrica txt formada por unos en aquellas

posiciones en las que la cruza es tal que jiij = y por un dos en los casos en que ji = ; es decir la matriz E es singular. Diseño tres de Griffing En el diseño tres de Griffing se ensayan las 2/)1( −pp cruzas directas y sus recíprocas, pero no se incluyen las autofecundaciones; en total se tienen )1( −= ppt diferentes combinaciones. También en este diseño el MPLI empírico de ACE se puede obtener por dos vías: a) Vía uno Por esta vía el MPLI empírico de ACE se obtiene si el modelo (3.71), puede expresarse como:

,* ts esZjy ++= µ (3.72)

donde s ~ ),,0( 2

esh GN σ te ~ ),0( 2est RN σ y la la matriz de varianzas y covarianzas es igual a:


- 53 -

[ ]))(()( *** ′−−= µµ jyjyEyVar [ ]))(( 00 ′++++= esZgZesZgZE sgsg

[ ] ,2essss RZGZ σ+′= (3.73)

con he

ss IG

= 2

2

σσ

y .21 Er

ZGZR gggs +′= Por los supuestos anteriores y por la estructura de la

expresión (3.73), la cual es equivalente a la descrita por Henderson en el modelo de efectos mixtos; por lo tanto, nuevamente se tiene un caso partícular del modelo (3.1), lo cual conduce al siguiente resultado:

*111 )(ˆ yRjjRj ss−−− ′′=µ

y [ ] )ˆ(ˆ 1*1111 µjRZyRZGZRZs ssssssss

−−−−− ′−′+′= . (3.74) Dada la estructura de ,sR esto implica que el estimador de s no tiene una forma analitica sencilla y la dificultad es aún mayor cuando se desconocen las componentes de la varianza y tienen que ser estimadas para obtener el MPLI empírico.

b) Vía dos Por esta vía, el MPLI empírico de ACE se obtiene haciendo uso del modelo (3.19) y del modelo ;0* esZgZjy sg +++= µ por lo que la matriz de varianzas y covarianzas es:

{ }))(()( *** ′−−= µµ jyjyEyVar [ ] 2

* egggsss RZGZZGZ σ+′+′=

con pe

ggh

e

ss IGIG

=

= 2

2

2

2

,σσ

σσ

y r

ER2* = . Dado que E es una matriz singular, esto implica

que *R es también singular; sin embargo, de acuerdo con Harville (1976), si *R es singular, en las ecuaciones normales del modelo mixto, se sustituye 1

*−R por alguna inversa generalizada −

*R . En este diseño una posible −

*R es una matriz diagonal txt , con 2/)1( −pp términos de las cruzas directas equivalentes a rb 2= y 2/)1( −pp ceros relacionados a las recíprocas. Adicionalmente, como eysg, son vectores aleatorios no observables tales que g ~ ),0( 2

egp GN σ , s ~ ),0( 2esh GN σ y e ~ ),0( 2

* et RN σ , la densidad conjunta de sg, y *y es:

( ) ( ) )(, 2* scgc sgyd=s)g,,f(y 1

* , (3.75)


- 54 -

donde )(1 gc es la densidad marginal de g , )(2 sc es la densidad marginal de s y ),( * sgyd es

la distribución condicional de *y dado g y s . Bajo estas condiciones, se procede a derivar las ecuaciones normales del modelo mixto a través de la maximización de la densidad conjunta (3.75), con respecto a s,µ y g .

Explícitamente, s)g,,f(y* tiene la forma:

−−− ′−′−

−−−′−−−− sGsgGgsZgZjyRsZgZjy s

eg

essg

e eeesgyf1

21

2*

**

2 21

21)()(

21

* ),,( σσµµ

σα . (3.76)

Tomando logaritmos y diferenciando (3.76) con respecto a s,µ y g , e igualando a cero las derivadas correspondientes, se obtienen las ecuaciones normales del modelo mixto:

[ ][ ] .ˆˆˆ

,ˆˆˆ

,ˆˆˆ

**

1***

***

1**

*****

yRZsGZRZgZRZjRZ

yRZsZRZgGZRZjRZ

yRjsZRjgZRjjRj

ssssgss

gsggggg

sg

−−−−−

−−−−−

−−−−

′=+′+′+′

′=′++′+′

′=′+′+′

µ

µ

µ

(3.77)


gσ , entonces el mejor predictor lineal e insesgado s de s , se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones simultaneas (3.77); así,

imponiendo las restricciones ∑∑=′ =

=p

ii

p

iijs

10ˆ y 0ˆ

1=∑

=

p

iig , por la construcción del modelo

0ˆ* =′ − sZRj s y 0ˆ* =′ − gZRj g , por lo tanto:

**

1* )(ˆ yRjjRj −−− ′′=µ

y [ ] ),ˆˆ(ˆ **

**

11* gZRZjRZyRZGZRZs gssssss

−−−−−− ′−′−′+′= µ (3.78) Además, nótese que:

[ ]

+

+

+

=+′ −−−

22

2

22

2

22

2

11*

200

02

0

002

es

s

es

s

es

s

sss

r

r

r

GZRZ

σσσ

σσσ

σσσ

L

MOMM

L

L

y


- 55 -

donde de acuerdo con Mastache (1998), ;ˆˆ 01wkg = con 0w es el estimador de mínimos cuadrados de ACG y

);1,0(

)2(22

1

1

2

221 ∈

−+

+=

g

se

prr

k

σσσ

por lo que (3.74) es equivalente a:

),ˆˆ(2

ˆ ***

*22

2

gZRZjRZyRZr

s gssses

s −−− ′−′−′+

= µσσ

σ

Diseño uno de Griffing En el diseño uno de Griffing se ensayan las 2/)1( −pp cruzas simples, sus recíprocas y las p autofecundaciones, generándose un total de 2pt = cruzas dialélicas. El MPLI empírico de ACE se obtiene de la misma forma que en el diseño tres, por ambas vías. a) Vía uno

De igual manera en este diseño Er

ZGZR gggs 21

+′= y por su estructura implica que el

estimador de s , no se puede generalizar a una forma sencilla. Por lo tanto, el MPLI empírico del efecto de aptitud combinatoria específica es igual al obtenido en (3.74), el cual es:

[ ] )ˆ(ˆ 1*1111 µjRZyRZGZRZs ssssssss−−−−− ′−′+′= .

b) Vía dos En este diseño una posible −

*R es una matriz diagonal txt , con p elementos correspondientes a las autofecundaciones iguales a rb =* , 2/)1( −pp términos de las cruzas directas equivalentes a

rb 2= y 2/)1( −pp ceros relacionados a las recíprocas. Por ello, el MPLI de s es equivalente al obtenido en (3.78), el cual es:

[ ] )ˆˆ(ˆ ***

*11

* gZRZjRZyRZGZRZs gssssss−−−−−− ′−′−′+′= µ ,

donde [ ] 11

*−−− +′ sss GZRZ es una matriz diagonal de dimensión hxh , con 2/)1( += pph , y esta

formada por 2/)1( −pp cruzas simples iguales a 22

2

2 es

s

r σσσ+

y p elementos iguales a


- 56 -

22

2

es

s

r σσσ+

correspondientes a las autofecundaciones. También de acuerdo con Mastache (1998),

;ˆˆ 22wkg = donde 2w es el estimador de mínimos cuadrados de ACG y

[ ][ ] ),1,0(

)2(4)2(4

2*2

2*

2 ∈−++

−+=

ge

g

vpvvpv

kσσ

σcon

.2

222

2

22

2*

se

e

se

e

rr

vyr

rv

σσσ

σσσ

+=

+=

MPLI empíricos de ER También partiendo del modelo (3.60 ):

,$.

**. ijijjiij elmmy ++−=

el cual contiene la información relativa a los efectos maternos y a los efectos recíprocos, en notación matricial, se tiene:

,$** elZmZy lm ++= (3.79) donde mZ , es la matriz diseño de orden txp , correspondiente a los efectos maternos; lZ , es la matriz diseño correspondiente a los efectos recíprocos txh ; m , es un vector de orden 1px ; l , es un vector de orden 1hx ; **y y 0e son, respectivamente, vectores 1tx de observaciones y términos de error. Nótese que:

′

= ****** )( yyEyVar

( )))(( $$ ′++++= elZmZelZmZE lmlm

( ) ( )

+′+′=

rE

ZIZZIZ emmmmlhll 2

*222 σ

σσ

2*

2 emmmlll rEZGZZGZ σ

+′+′=

con pe

mmh

e

ll IGIG

=

= 2

2

2

2

,σσ

σσ

y *E es una matriz simétrica txt formada por unos en

aquellas posiciones en las que la cruza es tal que jiij = y por ceros en los casos en que ji = ; es decir la matriz *E es singular.


- 57 -

Un algoritmo para generar la matriz diseño lZ Por la estructura de la matriz ,lZ su construcción no es nada sencilla, lo cual conlleva a mayores complicaciones para obtener el MPLI del efecto recíproco. Por ello, a continuación, en el Cuadro 3.4, se proporciona un algoritmo desarrollado en SAS-IML, para la obtención de dicha matriz. Cuadro 3.4. Obtención de la Matriz a Través de IML de SAS PROC IML;

OSV1=B-A; OSV1[LOC(OSV1<0)]=-1;OSVV=OSV1;OSVV[LOC(OSVV>0)]=1; DIALL=OSVV#DIAL; RECIPRO1=J(N, DIA, .);

DO OSV=1 TO DIA;DO CCCC=1 TO N; IF DIALL[CCCC,1]=OSV THEN RECIPRO1[CCCC,OSV]=1; ELSE RECIPRO1[CCCC,OSV]=0;

END; END;

RECIPRO2=J(N, DIA, .);

DO OSV=1 TO DIA;DO CCCC=1 TO N; IF -DIALL[CCCC,1]=OSV THEN RECIPRO2[CCCC,OSV]=1; ELSE RECIPRO2[CCCC,OSV]=0;

END; END;

lZ =RECIPRO1-RECIPRO2; QUIT; donde DIAL es un vector columna correspondiente a los dialelos, DIA es el número total de dialelos, N el número total de observaciones en el experimento, A y B son vectores columna los cuales contienen los progenitores que participan en las cruzas, ji gyg respectivamente. Este algoritmo funciona adecuadamente para los diseños uno y tres de Griffing, debido a que el usuario alimenta las columnas que reflejan la participación de cada una de las cruzas ensayadas. Diseño tres de Griffing En el diseño tres de Griffing se ensayan las 2/)1( −pp cruzas directas y sus recíprocas, pero no se incluyen las autofencundaciones; en total se tienen )1( −= ppt diferentes combinaciones. También, en este diseño el MPLI empírico de ER puede obtenerse por dos vías: a) Vía uno Por esta vía, el MPLI se obtiene si el modelo (3.79), puede expresarse como un caso particular del modelo (3.1):

,** ll elZy +=


- 58 -

en el que l ~ ),,0( 2elh GN σ le ~ ),0( 2

elt RN σ y la matriz de varianzas y covarianzas igual a:

′

= ****** )( yyEyVar

( ) ( )

+′+′=

rE

ZIZZIZ emmmmlhll 2

*222 σ

σσ

[ ] ,2ellll RZGZ σ+′=

con *2

2

21, Er

ZGZRIG mmmlhe

ll +′=

=

σσ

y *E una matriz simétrica txt formada por unos en

aquellas posiciones en las que la cruza es tal que jiij = y por ceros en los casos en que ji = . Por lo tanto, en este caso el MPLI de efectos recíprocos es igual a:

[ ] ).(ˆ **1111 yRZGZRZl llllll−−−− ′+′= (3.80)

Como en este diseño ,21 *Er

ZGZR mmml +′= esto implica que para el estimador de l , no se

puede obtener una forma analitica sencilla y la dificultad es aún mayor, cuando se desconocen las componentes de la varianza y tienen que ser estimadas para obtener el MPLI empírico. b) Vía dos Por esta vía, el MPLI empírico de ER se obtiene haciendo uso del modelo (3.19) y del modelo

,$** elZmZy lm ++= por lo que la matriz de varianzas y covarianzas puede expresarse como:

′

= ****** )( yyEyVar

[ ] 2emmmmlll RZGZZGZ σ+′+′= ,

con pe

mmh

e

ll IGIG

=

= 2

2

2

2

,σσ

σσ

y *

21 Er

Rm = . Por la estructura de la matriz *E , implica que

mR es una matriz singular; sin embargo, de acuerdo con Harville (1976), si mR es singular, en las ecuaciones normales del modelo mixto, se sustituye 1−

mR por alguna inversa generalizada −mR . En

este diseño una posible −mR es una matriz diagonal txt , la cual está formada por 2/)1( −pp

términos equivalentes a rb 2= ubicados en aquellas posisicones correspondientes a las cruzas directas , y por 2/)1( −pp ceros correspondientes a las recíprocas. Como lm, y e son vectores aleatorios no observables tales que m ~ ),0( 2

emp GN σ y

l ~ ),0( 2elh GN σ , la densidad conjunta de lm, y **y es:


- 59 -

( ) ( ) )(, 2** lcmc lmyd=l)m,,f(y 1

** , (3.81)

donde )(1 mc es la densidad marginal de ,m )(2 lc es la densidad marginal de l y ),( ** lmyd

es la distribución condicional de **y dado m y l . Con base en estas condiciones, se procede a derivar las ecuaciones normales del modelo mixto a través de la maximización de la densidad conjunta (3.81), con respecto a m y .l

Explícitamente, ),,( ** lmyf tiene la forma:

−−− ′−′−

−−′−−− lGlmGmlZmZyRlZmZy l

em

elmmlm

e eeesgyf1

21

2**

2 21

21)()(

21

** ),,( σσσα . (3.82)

Tomando logaritmos y diferenciando (3.82) con respecto a m y l , e igualando a cero las derivadas anteriores, se obtienen las ecuaciones normales del modelo mixto:

[ ]

[ ] ,ˆˆ

,ˆˆ**1

**1

yRZlGZRZmZRZ

yRZlZRZmGZRZ

mlllmlmml

mmlmmmmmm−−−−

−−−−

′=+′+′

′=′++′

de aquí l es equivalente a:

[ ] );ˆ(ˆ **11 mZRZyRZGZRZl mmlmlllml−−−−− ′−′+′= (3.83)

nuevamente, debe notarse que:

[ ]

+

+

+

=+′ −−−

22

2

22

2

22

2

11

200

02

0

002

el

l

el

l

el

l

llml

r

r

r

GZRZ

σσσ

σσσ

σσσ

L

MOMM

L

L

y

de acuerdo con Mastache (1998), ;ˆˆ 3ukm = donde, u es el estimador de mínimos cuadrados ordinarios en el modelo de efectos fijos para los efectos maternos y

)1,0(

22

1

1

2

223 ∈+

+=

m

le

rpr

k

σσσ


- 60 -

por lo que (3.83) es equivalente a:

),ˆ(2

ˆ **22

2

mZRZyRZr

l mmlmlel

l −− ′−′+

=σσ

σ

Diseño uno de Griffing En el diseño uno de Griffing se ensayan las 2/)1( −pp cruzas simples, sus recíprocas y las p autofecundaciones, generándose un total de 2pt = cruzas dialélicas. Por lo que el MPLI empírico de ACE, es igual en este diseño por ambas vías. a) Vía uno

De igual manera en este diseño *

21 Er

ZGZR mmml +′= , lo cual implica que el estimador de l , no

se puede generalizar. Por lo tanto, el MPLI empírico del efecto recíproco es igual a (3.80), el cual es:

[ ] ).(ˆ **11 yRZGZRZl llllll−−−− ′+′=

b) Vía dos En este diseño una posible −

mR es una matriz diagonal txt , con 2/)1( −pp elementos correspondientes a las cruzas directas iguales a rb 2= y por 2/)1( +pp ceros correspondientes a las autofecundaciones y a las cruzas recíprocas. De aquí que l es equivalente a (3.83), el cual es:

[ ] ),ˆ(ˆ **11 mZRZyRZGZRZl mmlmlllml−−−−− ′−′+′=

donde [ ] 11 −−− +′ llml GZRZ es una matriz diagonal de dimensión hxh , con 2/)1( += pph , y esta

formada por 2/)1( −pp cruzas simples iguales a 22

2

2 el

l

r σσσ+

y p elementos iguales a 2

2

e

l

σσ

correspondientes a las autofecundaciones. Además ;ˆˆ 3ukm = donde, u es el estimador de mínimos cuadrados ordinarios en el modelo de efectos fijos para los efectos maternos y

)1,0(

22

1

1

2

223 ∈+

+=

m

le

rpr

k

σσσ


- 61 -

3.3.2.2.1 Ejemplo para el diseño uno Para obtener el MPLI empírico de ACE y de ER, los datos del Cuadro 3.5 se analizan en forma manual por ambas vías, con el apoyo del programa desarrollado por Mastache (1998) para la obtención de ,,, 222

lse σσσ gZZ mgmg ˆ,,,, 22 σσ y m . Además, también se hará uso del procedimiento IML de SAS, para calcular los productos matriciales y las inversas necesarias para realizar este ejemplo. Finalmente, se presentan los resultados a través del programa desarrollado en SAS, para verificar que el procedimiento empleado anteriormente es correcto. Cuadro 3.5. Datos Ficticios para los Diseños Uno y Tres de Griffing

Progenitor Bloques Cruza I J Dialelo I II III IV

1* 1 1 1 30.780 32.700 32.430 30.510 2 1 2 2 30.780 31.200 30.450 32.040 3 1 3 3 33.720 31.200 32.400 67.200 4 1 4 4 40.260 38.040 38.520 33.030 5 2 1 2 36.510 47.550 66.330 66.540 6* 2 2 5 37.200 46.680 33.510 34.110 7 2 3 6 37.620 35.700 32.640 30.390 8 2 4 7 37.290 38.640 33.780 32.250 9 3 1 3 58.500 56.100 94.110 54.060 10 3 2 6 67.620 69.090 79.140 86.130 11* 3 3 8 60.180 63.000 53.040 52.650 12 3 4 9 63.360 63.540 94.020 94.440 13 4 1 4 87.900 71.850 81.990 66.450 14 4 2 7 70.200 70.470 93.360 57.900 15 4 3 9 81.390 79.097 79.913 80.729 16* 4 4 10 73.590 71.610 68.010 66.120

Cruzas sin asterisco (*) corresponden al diseño tres de Griffing y cruzas con y sin asterisco corresponden al diseño uno de Griffing. MPLI empírico de ACE A continuación se procede a analizar los datos supuesto el experimento proyectado en un diseño de bloques completos al azar. A partir de los datos del Cuadro 3.5, se tiene que para valores promedios de las cruzas:


- 62 -

.

1000000000010000000000010000000000001000010000000000100000000000100000000000010000010000000000100000000001000000000000100000001000000000010000000000100000000001

=sZ

a)Vía uno

[ ]

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

=+′ −−

1350.74538.12363.04538.14726.02363.04538.14726.04726.02363.04538.19175.94538.19813.09813.04726.09813.09813.09452.04726.0

2363.04538.11350.74726.04538.12363.04726.04538.14726.02363.04538.19813.04726.09175.99813.04538.19813.09452.09813.04726.0

4726.09813.04538.19813.09175.94538.19452.09813.09813.04726.02363.04726.02363.04538.14538.11350.74726.04726.04538.12363.04538.19813.04726.09813.09452.04726.09175.99813.09813.04538.1

4726.09813.04538.19452.09813.04726.09813.09175.99813.04538.14726.09452.04726.09813.09813.04538.19813.09813.09173.94538.12363.04726.02363.04726.04726.02363.04538.14538.04538.11350.7

11ssss GZRZ .

De igual forma:

−

−−

−

−

=′ −

2186.150295.780409.358378.172398.176792.52341.151217.159634.358374.21

*1yRZ ss ,

=′ −

1234.42468.81234.42468.82468.81234.42468.82468.82468.81234.4

ˆ1 µjRZ ss ;


- 63 -


+

1234.42468.81234.42468.82468.81234.42468.82468.82468.81234.4

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

1350.74538.12363.04538.14726.02363.04538.14726.04726.02363.04538.19175.94538.19813.09813.04726.09813.09813.09452.04726.02363.04538.11350.74726.04538.12363.04726.04538.14726.02363.04538.19813.04726.09175.99813.04538.19813.09452.09813.04726.04726.09813.04538.19813.09175.94538.19452.09813.09813.04726.02363.04726.02363.04538.14538.11350.74726.04726.04538.12363.04538.19813.04726.09813.09452.04726.09175.99813.09813.04538.14726.09813.04538.19452.09813.04726.09813.09175.99813.04538.14726.09452.04726.09813.09813.04538.19813.09813.09173.94538.12363.04726.02363.04726.04726.02363.04538.14538.04538.11350.7

=

44

34

33

24

23

22

14

13

12

11


ssssssssss

−

−−

−

−

2186.150295.780409.358378.172398.176792.52341.151217.159634.358374.21

;

por consiguiente:

=

44

34

33

24

23

22

14

13

12

11


ssssssssss 1

1350.74538.12363.04538.14726.02363.04538.14726.04726.02363.04538.19175.94538.19813.09813.04726.09813.09813.09452.04726.02363.04538.11350.74726.04538.12363.04726.04538.14726.02363.04538.19813.04726.09175.99813.04538.19813.09452.09813.04726.04726.09813.04538.19813.09175.94538.19452.09813.09813.04726.02363.04726.02363.04538.14538.11350.74726.04726.04538.12363.04538.19813.04726.09813.09452.04726.09175.99813.09813.04538.14726.09813.04538.19452.09813.04726.09813.09175.99813.04538.14726.09452.04726.09813.09813.04538.19813.09813.09173.94538.12363.04726.02363.04726.04726.02363.04538.14538.04538.11350.7 −

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−

1234.42186.152468.80295.781234.40409.352468.88378.172468.82398.171234.46792.52468.82341.152468.81217.152468.89634.351234.48374.21

.

Esto implica que el MPLI de aptitud combinatoria específica es:

−

−−

−

−

=

84897.106256.687730.319970.268522.069447.156078.070188.053960.126115.3


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

ssssssssss

.

b) Vía dos

Se tiene, sucesivamente:

[ ] [ ])ˆˆ(ˆ *11 gZjyRZGZRZs gssss −−′+′= −−−− µ , donde:


- 64 -

[ ]

=+′−−−

11331.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.011331.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.011331.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.011331.0

11sss GZRZ ,

,

8325.695611.792363.542550.575611.792175.577913.544113.532363.547913.548750.376750.422550.574113.536750.426050.31

*

=y

ygZ g

−−

−−−

−−−

=

88752.1881757.1473833.233162.181757.1474762.1033162.173833.273833.233162.141086.1381757.1433162.173833.281757.1422428.16

ˆ

;

02436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.5502436.55

ˆ

=µj


- 65 -

de aquí:

,

07938.471917.952639.389902.071917.955448.809856.112527.152639.309856.1

7385.346821.289902.012527.146821.219508.7

)ˆˆ( *

−

−

−

−

−

−

=−− gZjy gµ

lo que implica que:

[ ]

−

−−

−

−

=−−′ −

31752.1675336.7721792.3421112.2878848.895400.1419216.700216.974568.1978032.28

)ˆˆ( * gZjyRZ gs µ .


- 66 -

Por lo tanto,

−

−−

−

−

=

31752.1675336.7721792.3421112.2878848.895400.1419216.700216.974568.1978032.28

11331.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.011331.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.011331.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.007797.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.011331.0


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

ssssssssss

,

lo cual es equivalente a:

−

−−

−

−

=

84897.106256.687730.319970.268522.069447.156078.070188.053960.126115.3


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

ssssssssss

.

MPLI empírico de ER A continuación se procede a analizar los datos supuesto el experimento proyectado en un diseño de bloques completos al azar. A partir de los datos del Cuadro 3.5, se tiene, para valores promedios de las cruzas:


- 67 -

.

0000000000010000000000010000000000001000010000000000000000000000100000000000010000010000000000100000000000000000000000100000001000000000010000000000100000000000

−−

−

−−

−

=lZ

a) Vía uno

[ ]

−−

−−−−−

−−−−−−−

−−

=+′ −−

0804.30000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.02093.70000.09356.19356.10000.09356.19356.10000.00000.00000.00000.00804.30000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.09356.10000.02093.79356.10000.09356.10000.09356.10000.00000.09356.10000.09356.12093.70000.00000.09356.19356.10000.00000.00000.00000.00000.00000.00804.30000.00000.00000.00000.00000.09356.10000.09356.10000.00000.02093.79356.19356.10000.00000.09356.10000.00000.09356.10000.09356.12093.79356.10000.00000.00000.00000.09356.19356.10000.09356.19356.12093.70000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00804.3

11llll GZRZ

. De igual forma:


- 68 -

−−

−

=′ −

0000.07722.70000.09925.191937.490000.01007.26496.489967.610000.0

**1 yRZ ll ;


−−

−−−−−

−−−−−−−

−−

0804.30000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.02093.70000.09356.19356.10000.09356.19356.10000.00000.00000.00000.00804.30000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.09356.10000.02093.79356.10000.09356.10000.09356.10000.00000.09356.10000.09356.12093.70000.00000.09356.19356.10000.00000.00000.00000.00000.00000.00804.30000.00000.00000.00000.00000.09356.10000.09356.10000.00000.02093.79356.19356.10000.00000.09356.10000.00000.09356.10000.09356.12093.79356.10000.00000.00000.00000.09356.19356.10000.09356.19356.12093.70000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00804.3

−−

−

0000.07722.70000.09925.191937.490000.01007.26496.489967.610000.0


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

llllllllll

;

por consiguiente:

=

44

34

33

24

23

22

14

13

12

11


llllllllll 1

0804.30000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.02093.70000.09356.19356.10000.09356.19356.10000.00000.00000.00000.00804.30000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.09356.10000.02093.79356.10000.09356.10000.09356.10000.00000.09356.10000.09356.12093.70000.00000.09356.19356.10000.00000.00000.00000.00000.00000.00804.30000.00000.00000.00000.00000.09356.10000.09356.10000.00000.02093.79356.19356.10000.00000.09356.10000.00000.09356.10000.09356.12093.79356.10000.00000.00000.00000.09356.19356.10000.09356.19356.12093.70000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00804.3 −

−−

−−−−−

−−−−−−−

−−

−−

−

0000.07722.70000.09925.191937.490000.01007.26496.489967.610000.0

.


- 69 -

Por lo tanto, el MPLI de efectos recíprocos es::

=

00000.060707.000000.071007.2-25109.5-00000.092846.0-36690.380744.5-00000.0


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

llllllllll

.

b) Vía dos Se tiene:

[ ] ),ˆ(ˆ **11 mZRZyRZGZRZl mmlmlllml−−−−− ′−′+′=

donde:

[ ]

=+′−−−

32463.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.032463.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.032463.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.032463.0

11llml GZRZ ,


- 70 -

,

0000.07211.07463.187925.197211.00000.07038.202813.127463.187038.200000.05575.117925.192813.125575.110000.0

**

−

−−

−−−

=y ;

00000.056194.199265.1450653.1856194.100000.043071.1394459.1699265.1443071.1300000.051388.350653.1894459.1651388.300000.0

ˆ

−

−−

−−−

=mZ m

entonces,

,

00000.084084.075365.328597.184084.000000.027309.766329.475365.327309.700000.004362.828597.166329.404362.800000.0

)ˆ( **

−

−−−

−

−

=− mZy m

lo que implica que:


- 71 -

[ ]

−−

−

−

=−′ −

00000.072672.600000.0

0292.3018472.5800000.0

102877630632.3734896.6400000.0

)ˆ( ** mZyRZ mml .

Por lo tanto:

−−

−

−

=

00000.072672.600000.00292.30

18472.5800000.0

102877630632.3734896.6400000.0

32463.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.032463.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.032463.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.009025.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.000000.032463.0


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

llllllllll

,

lo cual es equivalente a:

−−

−

−

=

00000.060707.000000.071007.225109.500000.092846.036690.380744.500000.0


44

34

33

24

23

22

14

13

12

11

llllllllll

.

Por último, introduciendo los datos, correspondientes al diseño uno que se encuentran en el Cuadro 3.5, al programa desarrollado (algoritmo computacional) para obtener los MPLI empíricos de ACE y de ER, se tienen los resultados del Cuadro 3.6.


- 72 -

Cuadro 3.6. Los MPLI Empíricos para el Diseño Uno de Griffing LOS MPLI EMPIRICOS EN LOS DISEÑOS 1 Y 3 DE GRIFFING DISEÑO 1 DE GRIFFING N T R P 64 16 4 4 VARIABLE 1 CUADRO 1. ANALISIS DE VARIANZA FV GL SC CM F Pr > F BLOQUES 3 393.16183 131.05394 1.2560382 0.3008151 CRUZAS 15 22023.015 1468.201 14.071431 2.722E-12 ACG 3 8899.7711 2966.5904 12.113779 0.0058838 ACE 6 1469.3632 244.89387 2.347095 0.0467208 EM 3 10527.946 3509.3153 9.3504011 0.0494774 ER 3 1125.9352 375.31174 3.597037 0.0205561 ERROR 45 4695.2612 104.33914 . . TOTAL 63 27111.438 . . . MEDIA CV 55.02436 18.56387 ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA VARE VARR VARM VARS VARG 104.33914 33.87157 97.93761 21.62381 85.39089 MU 54.42469 CUADRO 2. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACG PROG EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 -8.78780 -8.78335 -8.11214 46.91222 2 -7.62998 -7.26025 -6.70543 48.31893 3 6.22092 5.81845 5.37381 60.39817 4 10.19686 10.22515 9.44376 64.46812 K 0.92358 CUADRO 3. ESTIMACION Y PREDICCION DE EM PRG EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 -10.90781 -10.90781 -9.74125 45.28311 2 -6.97313 -6.97312 -6.22737 48.79699 3 8.06597 8.06597 7.20334 62.22769 4 9.81497 9.81497 8.76528 63.78964 KK 0.89305 CUADRO 4. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACE BLUPSACE EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 -5.84377 -5.85265 -3.26115 51.76321


- 73 -

2 20.48620 19.73784 1.53960 56.56396 3 3.52064 4.31670 0.70188 55.72624 4 -0.58748 -0.65296 0.56078 55.58514 5 -1.88939 -2.62886 -1.69447 53.32989 6 2.58502 2.65049 0.68522 55.70958 7 -5.92186 -6.71792 -2.19970 52.82466 8 -10.24870 -9.44376 -3.87730 51.14706 9 -8.29880 -7.55044 6.06256 61.08692 10 -5.58558 -5.64216 -1.84897 53.17539 CUADRO 5. ESTIMACION Y PREDICCION DE ER BLUPSER EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 0.00000 0.00000 0.00000 55.02436 2 -11.55750 -11.55750 -5.80744 49.21692 3 -12.28125 -12.28125 3.36690 58.39126 4 -19.79250 -19.79250 -0.92846 54.09590 5 0.00000 0.00000 0.00000 55.02436 6 -20.70375 -20.70375 -5.25109 49.77327 7 -18.74625 -18.74625 -2.71007 52.31429 8 0.00000 0.00000 0.00000 55.02436 9 -0.72112 -0.72112 0.60707 55.63143 10 0.00000 0.00000 0.00000 55.02436 CUADRO 6. ESTIMACION Y PREDICCION DEL EFECTO DE CRUZAS BLUPSCRUZAS EMC EMCG MPLI MPLI+MEDIA 1 -23.41936 -23.41936 -19.48544 35.53892 2 -23.90686 -23.90686 -22.59929 32.42507 3 -13.89436 -13.89436 -15.61414 39.41022 4 -17.56186 -17.56186 -17.54259 37.48177 5 -0.79186 -0.79186 -3.95665 51.06771 6 -17.14936 -17.14936 -15.10533 39.91903 7 -20.93686 -20.93686 -19.32819 35.69617 8 -19.53436 -19.53436 -17.16409 37.86027 9 10.66814 10.66814 11.54124 66.56560 10 20.47064 20.47064 18.03540 73.05976 11 2.19314 2.19314 6.87032 61.89468 12 23.81564 23.81564 19.92525 74.94961 13 22.02314 22.02314 21.32740 76.35176 14 17.95814 17.95814 18.24136 73.26572 15 25.25789 25.25789 21.83501 76.85937 16 14.80814 14.80814 17.03855 72.06291 LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG CCCACG 0.856 -0.409 -0.409 -0.409 -0.409 -0.409 0.252 0.189 0.189 0.189 -0.409 0.189 0.252 0.189 0.189 -0.409 0.189 0.189 0.252 0.189 -0.409 0.189 0.189 0.189 0.252 LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE EM CCCEM 0.310 0.210 0.210 0.210 0.210 0.310 0.210 0.210 0.210 0.210 0.310 0.210 0.210 0.210 0.210 0.310


- 74 -

LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACE CCCACE 0.856 -.017 -.023 -.023 -.023 -.017 -.023 -.023 -.017 -.023 -.017 -.017 0.160 0.028 0.028 0.028 -.005 -.007 -.007 -.005 -.007 -.005 -.023 0.028 0.117 0.015 0.015 0.028 0.015 0.015 -.007 -.010 -.007 -.023 0.028 0.015 0.117 0.015 -.007 0.015 -.010 0.028 0.015 -.007 -.023 0.028 0.015 0.015 0.117 -.007 -.010 0.015 -.007 0.015 0.028 -.017 -.005 0.028 -.007 -.007 0.160 0.028 0.028 -.005 -.007 -.005 -.023 -.007 0.015 0.015 -.010 0.028 0.117 0.015 0.028 0.015 -.007 -.023 -.007 0.015 -.010 0.015 0.028 0.015 0.117 -.007 0.015 0.028 -.017 -.005 -.007 0.028 -.007 -.005 0.028 -.007 0.160 0.028 -.005 -.023 -.007 -.010 0.015 0.015 -.007 0.015 0.015 0.028 0.117 0.028 -.017 -.005 -.007 -.007 0.028 -.005 -.007 0.028 -.005 0.028 0.160 LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ER CCCER 0.325 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.195 0.052 0.052 0.000 -.052 -.052 0.000 -.000 0.000 0.000 0.052 0.195 0.052 0.000 0.052 -.000 0.000 -.052 0.000 0.000 0.052 0.052 0.195 0.000 -.000 0.052 0.000 0.052 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.325 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -.052 0.052 -.000 0.000 0.195 0.052 0.000 -.052 0.000 0.000 -.052 -.000 0.052 0.000 0.052 0.195 0.000 0.052 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.325 0.000 0.000 0.000 -.000 -.052 0.052 0.000 -.052 0.052 0.000 0.195 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.325


- 75 -

IV. DISCUSIÓN Mastache (1998), desarrolló la metodología para obtener los Mejores Predictores Lineales e Insesgados (MPLI) en los experimentos de cruzas dialélicas; el autor menciona que en el caso específico de los experimentos de cruzas dialélicas, si se consideran aleatorios los efectos de aptitud combinatoria general, aptitud combinatoria específica, efectos maternos, y efectos recíprocos, se requiere del uso de los MPLI en lugar de los estimadores de mínimos cuadrados generalizados (EMCG). Sin embargo, con esta metodología obtuvo los MPLI de los efectos de progenitores y de los efectos maternos, quedando pendiente la obtención de los MPLI de ACE y ER. Por ello, el presente trabajo se dirigío a la obtención de los MPLI de ACE y de ER, problema que se resolvio exitosamente. La solución se obtuvo: indirecta y directamente. Para los diseños dos y cuatro de Griffing la forma indirecta de obtener los MPLI de ACE, resultó ser la más difícil, básicamente esto se debe a que generar la matriz wG , no es nada sencillo. Además se requiere conocer el MPLI de los efectos de progenitores. Como la forma directa resultó ser la más sencilla por ambas vías, cabe aclarar que la vía dos, es la menos complicada para obtener el MPLI de ACE, debido a que se logró simplificar a una expresión sencilla, mientras que por la vía uno no fue posible realizar una simplificación similar, básicamente por la estructura de la matriz tggg IZGZR +′= , a la cual no se le pudo obtener una inversa generalizada en forma análitica. Ahora, con respecto a los diseños uno y tres, también resultó ser más complicada la forma indirecta para obtener los MPLI de ACE y de ER, debido a que generar las matrices *dd GyG , es sumamente complicado, y este grado de complejidad es directamente proporcional al número de progenitores que se contemplen . Nuevamente, la forma directa por la vía dos resultó ser más sencilla para obtener los MPLI de ACE y de ER; ésto se debe básicamente a que la matriz R , aunque no es de rango completo, es una matriz diagonal y se pudo generalizar su inversa, con lo cual los cálculos son menos complicados. Mientras, que por la vía uno, debido a la estructura de la matriz R ( rEZGZR gg 2/+= para el MPLI de ACE y rEZGZR mmm 2/*+= para el MPLI de ER), obtener los MPLI de ACE y de ER es mucho más complicado. Ya habiendo realizado los comentarios pertinentes, a las formas aquí propuestas, para obtener los MPLI de ACE y de ER, es importante mencionar que Mastache (1998) demostró que en los experimentos de cruzas dialélicas establecidos en diseños de bloques completos al azar, bajo los supuestos de que los efectos de aptitud combinatoria general, aptitud combinatoria específica, efectos maternos, y efectos recíprocos, se distribuyen normal e independientemente con media cero y varianzas conocidas 2222 ,,, lmsg σσσσ y 2

eσ , respectivamente, Los Mejores Predictores Lineales e Insesgados (MPLI) de los efectos de aptitud combinatoria general y efectos maternos son insesgados y de mímica varianza, puesto que: 0)()()( === ggg EMCGKEkEMCGEMPLIE ,

0)()()( === kmm EMCGkEkEMCGEMPLIE , )()()( 2

ggg EMCGVarEMCGVarkMPLIVar ≤= y

)()()( 2mmm EMCGVarEMCGVarKMPLIVar ≤= ,


- 76 -

las demostraciones anteriores fueron posibles, para los cuatro diseños de Griffing, debido a que los MPLI de g y m los logró simplificar como gKEMCGg =ˆ y mKEMCGm =ˆ . En el presente trabajo; sin embargo, no fue posible realizar las simplificaciones pertinentes para obtener los MPLI de ACE y de ER en forma similar a la lograda por Mastache (1998), para los efectos de progenitores y de efectos maternos. Esto no fue posible por la estructura de las matrices 1−R ( −−−−−

mls RyRRRR *111 ,,, ) y 11 ( −−

sGG o )1−lG . No obstante, los MPLI empíricos de

ACE y de ER difieren de los estimadores basados en el modelo de efectos fijos por la presencia de 11 ( −−

sGG o )1−lG las cuales son matrices que involucran a las componentes de varianza y

afectan a las matrices, ss ZRZ 1−′ , en los diseños dos y cuatro; sss ZRZ 1−′ y lll ZRZ 1−′ , por la vía uno; a ss ZRZ −′ * y lml ZRZ −′ , por la vía dos, y por ambas vías, en los diseños uno y tres, en los sistemas de ecuaciones normales respectivos, lo cual de acuerdo con Henderson ( 1963 y 1973), producen que los MPLI de ACE y ER tengan menor varianza que aquellos obtenidos bajo el contexto del modelo de efectos fijos. Finalmente como en la práctica, raras veces se conocen los valores verdaderos de las componentes de la varianza involucradas en la obtención de los MPLI de los efectos de aptitud combinatoria específica, recíprocos, de cruzas, maternos, y de los progenitores, de acuerdo con Kackar y Harville (1981), Robinson (1991) y Harville y Carriquiry (1992), es posible utilizar sus correspondientes estimadores, obteniéndose de acuerdo con estos últimos autores, los MPLI empíricos. En relación a los algoritmos computacionales presentados en el apendice vale la pena mencionar que estos se construyeron considerando toda la información procedente de los cuatro diseños de Griffing. Estos programas permiten principalmente realizar de una forma rápida y compacta el análisis de los experimentos de Griffing y obtener los MPLI empíricos de los efectos de aptitud combinatoria específica y de efectos recíprocos. Además se obtienen los MPLI empíricos de progenitores, de los efectos maternos y de cruzas, con lo cual se logra tener un panorama completo de estimación y predicción para estos diseños, considerando al modelo de efectos mixtos. El algoritmo reportado en (A.3), corresponde a un programa general con el cual es posible trabajar cualquiera de los cuatro diseños de Griffing. Mientras, que el algoritmo A.1 fue construido con el fin de trabajar con los diseños dos o cuatro y por último el A.2 corresponde para los diseños uno o tres.


- 77 -

V. CONCLUSIONES En los experimentos de cruzas dialélicas establecidos en diseño de bloques completos al azar, bajo las suposiciones de que los efectos de aptitud combinatoria general, aptitud combinatoria específica, efectos maternos, y efectos recíprocos, se distribuyen normal e independientemente con media cero y varianzas conocidas 2222 ,,, lmsg σσσσ y 2

eσ , respectivamente, los mejores predictores lineales e insesgados (MPLI) de los efectos de ACE y de ER, se obtienen de la siguiente forma:

A) En los diseños dos y cuatro de Griffing:

Forma indirecta MPLI de ACE

gZdZs gw ˆˆˆ −= ,

en donde wZ es la matriz diseño correspondiente al efecto de cruzas de dimensión txt ;

[ ] )(ˆ...

11 yjZyZGZZd wwwww ′−′+′=−− es el MPLI de ED; con y el vector de medias de las cruzas

participantes, r

AG e

ee

tw

22

2 *

*

,σ

σσ

=

= y tA es una matriz de covarianzas de dimensión

especificada por su subíndice; gZ es la matriz diseño correspondiente a la aptitud combinatoria general y de acuerdo con Mastache (1998), qwkg ˆˆ = donde:

,

)24(11

1

2

22

+−+

+

=

g

esrpq

k

σσσ

con q=1 si se utiliza el diseño dos de Griffing y q=0 si se utiliza el diseño cuatro; qw es el estimador de mínimos cuadrados de g, en el modelo de efectos fijos. Forma directa: MPLI de ACE

[ ] )ˆ(ˆ 11111 µjRZyRZGZRZs sssss−−−−− ′−′+′= Vía uno

o )ˆˆ(ˆ qgq wkZvs −= ϕ , Via dos

donde sZ es la matriz diseño correspondiente a la ACE; qv es el estimador de mínimos cuadrados ordinarios del efecto de cruzas, donde si q=1 es el estimador de mínimos cuadrados


- 78 -

correspondiente al diseño dos y si q=0 corresponde al diseño cuatro; );1/(1 2

2

s

e

rσσ

ϕ += r es el

número de repeticiones de las cruzas; 2sσ y 2

eσ son las varianzas de ACE y del error respectivamente. Además ,gZ k y qw son los mismos descritos anteriormente, en la forma indirecta.

B) En los diseños uno y tres de Griffing:

Forma indirecta

MPLI de ACE

gZdZs gd ˆˆˆ −= , donde dZ es la matriz diseño correspondiente al ED de dimensión txh ;

[ ] )(ˆ...

*11 yjRZyRZGZRZd dddddddd−−−−− ′−′+′= es el MPLI de ED, con *y el vector de medias de

todas las cruzas participantes, r

ERD

G de

hd 2

,2 =

=

σ y hD es una matriz de covarianzas de

dimensión especificada por su subíndice; gZ es la matriz diseño correspondiente a la ACG y de acuerdo con Mastache (1998), qwkg ˆˆ 2= donde q=1 si se utiliza el diseño uno de Griffing y q=0 si se utiliza el diseño tres; además,

[ ][ ] )1,0(

)2(4)2(4

2*2

2*

2 ∈−++

−+=

ge

g

vpqvvpqv

kσσ

σ,

.2

222

2

22

2*

se

e

se

e

rr

vyr

rv

σσσ

σσσ

+=

+=

MPLI de ER

mZdZs md ˆˆˆ * −= ,

donde *dZ es la matriz diseño correspondiente al efecto *d de dimensión txh ;

[ ] )(ˆ **11****** yRZGZRZd dddddd−−−− ′+′= es el MPLI de *d , con **y el vector de medias de todas

las cruzas participantes, r

ERD

G de

hd 2

,*

2*

* * =

=

σ y *hD es una matriz de covarianzas de

dimensión especificada por su subíndice; mZ es la matriz diseño correspondiente a los efectos maternos; en tanto que el MPLI correspondiente a los efectos maternos se reduce a:


- 79 -

;ˆˆ 3ukm = con )1,0(

22

1

1

2

223 ∈+

+=

m

le

rpr

k

σσσ

y

u es el estimador de mínimos cuadrados ordinarios en el modelo de efectos fijos para los efectos maternos. Forma directa: MPLI de ACE

[ ] )ˆ(ˆ 1*1111 µjRZyRZGZRZs ssssssss−−−−− ′−′+′= Vía uno

o [ ] ).ˆˆ(ˆ **

**

11* gZRZjRZyRZGZRZs gssssss

−−−−−− ′−′−′+′= µ Vía dos

donde: ,21 Er

ZGZR gggs +′= pe

ggh

e

ss IGIG

=

= 2

2

2

2

,σσ

σσ

y r

ER2* = ; mZ es la matriz diseño

de orden txp , correspondiente a los efectos maternos; sZ es la matriz diseño correspondiente a la ACE, gZ es la matriz diseño correspondiente a la ACG y g es el mismo descrito anteriormente, para los diseños uno y tres, en la forma indirecta. MPLI de ER

[ ] )(ˆ **1111 yRZGZRZl llllll−−−− ′+′= Vía uno

o

[ ] )ˆ(ˆ **11 mZRZyRZGZRZl mmlmlllml−−−−− ′−′+′= , Vía dos

donde ,21, *

2

2

Er

ZGZRIG mmmlhe

ll +′=

=

σσ *

21 Er

Rm = y pe

mm IG

= 2

2

σσ ;. lZ es la matriz diseño

correspondiente a los efectos recíprocos txh ; m es un vector de orden 1px y mZ es la matriz diseño de orden txp , correspondiente a los efectos maternos. Finalmente, no olvidar que cuando no se conocen las componentes de varianza involucradas en la obtención de los MPLI de ACE y ER, se sustituyen sus respectivos estimadores para obtener los MPLI empíricos.


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VI. LITERATURA CITADA Carriquiry, A. L. 1993. Modelo de efectos mixtos y mejores predictores lineales insesgados (BLUP). Simposio de estadística, Diseño de experimentos. Del 7 al 11 de junio de 1993, Santafé de Bogotá. Curnow, R. N. 1963. Sampling the diallel cross. Biometrics 19: 287-306. Eisenhart, C. 1947. The assumptions underlying the analysis of variance. Biometrics 3: 1-21. Fyfe, J. L. and N. Gilbert. 1963. Partial diallel crosses. Biometrics 19: 278-286. Goldberger, A. S. 1962. Best linear unbiased prediction in the generalized linear regression model. Jour. Am. Estatist. Assoc. 57: 369-375. Griffing, B. 1956a. A generalized treatment of the use of dialell crosses in quantitative inheritance. Heredity 10: 31-50. Griffing, B. 956b. Concept of general end specific combining ability in relation to dialell crossing systems. Austr. Jour. Biol. Sc. 9: 463-491. Harville, D. A. 1976. Extension of the Gauss-Markov theorem to include the estimation of random effects. Ann. Statist. 4: 384-395. Harville, D. A. and A. L. Carriquiry. 1992. Classical and Bayesian prediction as applied to an unbalanced mixed linear model. Biometrics 48: 987-1003. Hazel, L. N. 1943. The genetic basis for constructing selection indexes. Genetics 28: 476-490. Henderson, C. R. 1950. Estimation of genetic parameters (abstract). Ann. Math. Statist. 21: 309-310. Henderson, C. R. 1963. Selection index and expected genetic advance. In: W. D. Hanson and H. F. Robinson(eds) Statistical Genetics and Plant Breeding. Nat. Acad. Sci., Nat. Res. Council, Publication 982, Washington, DC. pp: 141-163. Henderson, C. R. 1973. Sire evaluation and genetics trends. Proc. Anim. Breed. Genet. Symp. in Honor of Dr. Jay L. Lush. Am. Soc. Anim. Sci., Champaign, ILL. pp:10-41. Henderson, C. R. 1975. Best linear unbiased estimation and prediction under a selection model. Biometrics 31: 423-447. Henderson, C. R. 1984. Applications of linear Models in Animal Breeding. Guelph, Canada: University of Guelph. Kackar, R. N. and D.A. Harville. 1981. Unbiasedness of two-stage estimation and prediction procedures for mixed linear models. Comm. Statist. A-Theory Methods 10: 1249-1261.


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APENDICE Anexo 1 En el siguiente apartado se proporcionan los programas de cómputo desarrollados en SAS-IML, en su versión 6.11 para Windows, derivado de los desarrollos realizados en los capítulos anteriores. De acuerdo con los programas desarrollados, la información que provenga de alguno de los diseños completos de Griffing, debe de organizarse en un archivo en SAS a nombre de MASTACHE. La estructura general del archivo de datos es la siguiente: OPTIONS PS=60 PAGENO=1 NODATE NONUMBER; DATA MASTACHE; INPUT CRUZA I J DIALELO REP Y; CARDS; “ EN ESTA POSICIÓN SE DEBE DE UBICAR EL PROGRAMA CORRESPONDIENTE PARA REALIZAR EL ANALISIS”. Los programas se presentan a continuación: A.1. Programa para analizar los diseños dos y cuatro de Griffing TITLE " LOS MPLI EMPIRICOS EN LOS DISEÑOS 2 Y 4 DE GRIFFING ";

PROC IML;SORT MASTACHE OUT=NUEVO BY CRUZA;USE NUEVO;READ ALL INTO MATRIZ; CRUZA= MATRIZ[,1];A=MATRIZ[,2];B=MATRIZ[,3];REP=MATRIZ[,5];N=NROW(MATRIZ);

UNO = J(N,1,1);CERO=J(N,1,0);MDIS=DESIGN(CRUZA); X = UNO||MDIS;XX=X`*X;XXIG=GINV(XX);M=X*XXIG*X`; BLOQ = DESIGN(REP);W=X||BLOQ;WW=W`*W;WINV=GINV(WW);WWW=W*WINV*W`;IDEN=I(N); Z = MDIS;ZZ=Z*Z`;FIJO=UNO||BLOQ;A0=DESIGN(A);B0=DESIGN(B); T = NCOL(MDIS);R=MAX(REP);P=MAX(B);NC=NCOL(MATRIZ);IF ANY (A=B) THEN Q=1;ELSE Q=0; IF Q = 1 THEN PRINT "DISEÑO 2 DE GRIFFING";ELSE PRINT "DISEÑO 4 DE GRIFFING"; IF Q = 1 THEN AB=A0+B0;ELSE AB=(A0||CERO)+(CERO||B0); X0 = UNO||AB;X0X0=X0`*X0;X0IG=GINV(X0X0);M0=X0*X0IG*X0`; Z = MDIS;ZZ=Z*Z`;FIJO=UNO||BLOQ;Zp=AB;ZpZp=Zp`*Zp; PRINT N T R P; TITLE " ANALISIS DE VARIANZA "; FV = J(6, 5, .);UN=J(P,1,1);PROG=J(P, 4, .);PPP=J(P,1,.); DO LLL = 1 TO P BY 1;PPP[LLL,1]=LLL;END; DO F = 6 TO NC BY 1; VARIABLE= F-5; Y = MATRIZ[,F]; FC = (UNO`*Y)**2/N;MEDIA=UNO`*Y/N;SCTOT=Y`*Y-FC;

DATOS


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SCE = Y`*(IDEN-WWW)*Y;CME=SCE/((R-1)*(T-1));CV=(CME**.5)*100/MEDIA; SCB = Y`*(WWW-M)*Y;CMB=SCB/(R-1);FBLOQ=CMB/CME; SCCRUZA = (Y`*M*Y)-FC;CMCRUZA=SCCRUZA/(T-1);FCRUZA=CMCRUZA/CME; SCACG = (Y`*M0*Y)-FC;CMACG=SCACG/(P-1); SCACE = SCCRUZA-SCACG;CMACE=SCACE/(T-P);FACG=CMACG/CMACE;FACE=CMACE/CME; GLBLOQ=(R-1); GLCRUZA=(T-1); GLACG=(P-1); GLACE=(T-P); GLE=(R-1)*(T-1); PROBBLOQ= 1-PROBF(FBLOQ,GLBLOQ,GLE); PROBCRUZA= 1-PROBF(FCRUZA,GLCRUZA,GLE); PROBACG= 1-PROBF(FACG,GLACG,GLACE); PROBACE= 1-PROBF(FACE,GLACE,GLE); FV[1,1] = R-1;FV[2,1]=T-1;FV[3,1]=P-1;FV[4,1]=T-P;FV[5,1]=(R-1)*(T-1);FV[6,1]=T*R-1; FV[1,2] = SCB;FV[2,2]=SCCRUZA;FV[3,2]=SCACG;FV[4,2]=SCACE;FV[5,2]=SCE;FV[6,2]=SCTOT; FV[1,3] = CMB;FV[2,3]=CMCRUZA;FV[3,3]=CMACG;FV[4,3]=CMACE;FV[5,3]=CME; FV[1,4] = FBLOQ;FV[2,4]=FCRUZA;FV[3,4]=FACG;FV[4,4]=FACE; FV[1,5] = PROBBLOQ;FV[2,5]=PROBCRUZA;FV[3,5]=PROBACG;FV[4,5]=PROBACE; CCC={"GL" "SC" "CM" "F" "Pr > F"}; DDD={"BLOQUES" "CRUZAS" " ACG" " ACE" "ERROR" "TOTAL"}; TITLE " ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA "; VARe = CME;VARs=(CMACE-CME)/R;IF VARs>0 THEN VARs=VARs;ELSE VARs=0; VARg = (CMACG-CMACE)/(R*(4*Q+P-2));IF VARg>0 THEN VARg=VARg;ELSE VARg=0; TITLE " EMC Y EL MPLI DE Gi "; MED = MEDIA*UN; TETA = GINV(FIJO`*FIJO)*FIJO`*Y;FIXTETA=FIJO*TETA;ZpY=Zp`*Y;ZpFIXTTA=Zp`*FIXTETA; EMCg = (ZpY-ZpFIXTTA)/(R*(4*Q+P-2));EMCGg=EMCg; IF VARg > 0 THEN K=(4*Q+P-2)/((4*Q+P-2)+(R*VARs+VARe)/(R*VARg));ELSE K=1; MPLIg = K*EMCg;MPLIMED=MPLIg+MED; PROG[,1]= EMCg;PROG[,2]=EMCGg;PROG[,3]=MPLIg;PROG[,4]=MPLIMED; EEE = {"EMC" "EMCG" "MPLI" "MPLI+MEDIA"};FFF=CHAR(PPP,3,0); TITLE " EMC Y MPLIs DE ACE Y DE LOS EFECTO DE CRUZAS"; BLUPSACE=J(T, 4, .); YYY=J(T,1,.);BLUPSCRUZAS=BLUPSACE; DO BBB = 1 TO T BY 1;YYY[BBB,1]=BBB;END; UNN=J(T,1,1); IF VARs>0 THEN IGs=(VARe/VARs)*I(T);ELSE IGs=0*I(T);Zs=Z;Zg=Zp; IF VARg>0 THEN Gg=(VARg/VARe)*I(P);ELSE Gg=0*(P); Rg=Zg*Gg*Zg`+I(N);IRg=GINV(Rg);MEDD=MEDIA*UNN; EMCc=GINV(Z`*Z)*Z`*(Y-UNO*MEDIA); EMCGc=EMCc; IF VARs>0 THEN KK=R*VARs/(VARe+R*VARs); ELSE KK=1; MPLIs=KK*(EMCc-(Z`*Zg/R)*MPLIg);EMCs=EMCc-(Z`*Zg/R)*EMCg; EMCGs=EMCs; MPLIMEDD=MPLIs+MEDD;FFF1=CHAR(YYY,3,0); BLUPSACE[,1]=EMCs;BLUPSACE[,2]=EMCGs; BLUPSACE[,3]=MPLIs;BLUPSACE[,4]=MPLIMEDD; MPLIc=(Z`*Zg/R)*MPLIg+MPLIs; MPLICMEDD=MPLIc+MEDD; BLUPSCRUZAS[,1]=EMCc;BLUPSCRUZAS[,2]=EMCGc; BLUPSCRUZAS[,3]=MPLIc;BLUPSCRUZAS[,4]=MPLICMEDD; TITLE "LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG "; IF VARg>0 THEN INVGp=(VARe/VARg)*I(P);ELSE INVGp=0*I(P); GRR = GINV((VARs/VARe)*ZZ+I(N));CC1=(UNO`*GRR*UNO)||(UNO`*GRR*Zp); CC2 = (UNO`*GRR*Zp)`||((Zp`*GRR*Zp)+INVGp);CC3=CC1`||CC2`; CCCACG = GINV(CC3); TITLE "LA MATRIZ DE COEFICIENTES: Cs DE ACE ";

CCS1=(UNO`*IRg*UNO)||(UNO`*IRg*Zs); CCS2 = (UNO`*IRg*Zs)`||((Zs`*IRg*Zs)+IGs);CCS3=CCS1`||CCS2`; CCCACE = GINV(CCS3); TITLE " IMPRESION DE RESULTADOS "; PRINT VARIABLE; PRINT "CUADRO 1. ANALISIS DE VARIANZA";PRINT FV[ROWNAME=DDD COLNAME=CCC]; PRINT MEDIA[FORMAT=12.5] CV[FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT " ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA"; PRINT VARe[FORMAT=12.5] VARs[FORMAT=12.5] VARg[FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT "CUADRO 2. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACG"; PRINT PROG[ROWNAME=FFF COLNAME=EEE FORMAT=12.5];PRINT ,;


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PRINT K[FORMAT=12.5];PRINT /; PRINT "CUADRO 3. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACE"; PRINT BLUPSACE[ROWNAME=FFF1 COLNAME=EEE FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT "CUADRO 4. ESTIMACION Y PREDICCION DEL EFECTO DE CRUZAS"; PRINT BLUPSCRUZAS[ROWNAME=FFF1 COLNAME=EEE FORMAT=12.5];PRINT /; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG "; PRINT CCCACG[FORMAT=7.3];PRINT ,; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACE "; PRINT CCCACE[FORMAT=5.3];PRINT /; END; QUIT;

A.2. Programa para analizar los diseños uno y tres de Griffing TITLE " LOS MPLI EMPIRICOS EN LOS DISEÑOS 1 Y 3 DE GRIFFING "; PROC IML;SORT MASTACHE OUT=NUEVO BY CRUZA;USE NUEVO;READ ALL INTO MATRIZ; CRUZA= MATRIZ[,1];A=MATRIZ[,2];B=MATRIZ[,3];REP=MATRIZ[,5];N=NROW(MATRIZ); UNO = J(N,1,1);CERO=J(N,1,0);MDIS=DESIGN(CRUZA); X = UNO||MDIS;XX=X`*X;XXIG=GINV(XX);M=X*XXIG*X`; BLOQ = DESIGN(REP);W=X||BLOQ;WW=W`*W;WINV=GINV(WW);WWW=W*WINV*W`;IDEN=I(N); Z = MDIS;ZZ=Z*Z`;FIJO=UNO||BLOQ;A0=DESIGN(A);B0=DESIGN(B); T = NCOL(MDIS);R=MAX(REP);P=MAX(B);NC=NCOL(MATRIZ);IF ANY (A=B) THEN Q=1;ELSE Q=0; IF Q = 1 THEN PRINT "DISEÑO 1 DE GRIFFING";ELSE PRINT "DISEÑO 3 DE GRIFFING"; AB = A0+B0;X0=UNO||AB;X0X0=X0`*X0;X0IG=GINV(X0X0);M0=X0*X0IG*X0`; DIAL = MATRIZ[,4];D=DESIGN(DIAL);DD=D`*D;D0=D*(GINV(DD))*D`;DIA=MAX(DIAL); Zp = AB; ZpZp= Zp`*Zp;Zm=A0-B0;ZmZm=Zm`*Zm;MAB=Zm*GINV(ZmZm)*Zm`; S = D*D`;E=I(N);J=UNO;Sm=2*(MDIS*MDIS`)-S; PRINT N T R P; TITLE " ANALISIS DE VARIANZA "; FV = J(8, 5, .);UN=J(P,1,1);PROG=J(P, 4, .);PPP=J(P,1,.);PRG=PROG; DO LLL = 1 TO P BY 1;PPP[LLL,1]=LLL;END; DO F = 6 TO NC BY 1; VARIABLE= F-5; Y = MATRIZ[,F]; FC = (UNO`*Y)**2/N;MEDIA=UNO`*Y/N;SCTOT=Y`*Y-FC; SCE = Y`*(IDEN-WWW)*Y;CME=SCE/((R-1)*(T-1));CV=(CME**.5)*100/MEDIA; SCB = Y`*(WWW-M)*Y;CMB=SCB/(R-1);FBLOQ=CMB/CME; SCCRUZA = (Y`*M*Y)-FC;CMCRUZA=SCCRUZA/(T-1);FCRUZA=CMCRUZA/CME; SCACE = Y`*(D0-M0)*Y;CMACE=SCACE/(P*(P-1)/2+P*(Q-1));FACE=CMACE/CME; SCACG = (Y`*M0*Y)-FC;CMACG=SCACG/(P-1);FACG=CMACG/CMACE; SCEM = Y`*MAB*Y;SCER=SCCRUZA-(SCACG+SCACE+SCEM);CMEM=SCEM/(P-1); CMER=SCER/((P-1)*(P-2)/2);FEM=CMEM/CMER;FER=CMER/CME; GLBLOQ=(R-1); GLCRUZA=(T-1); GLACG=(P-1); GLACE=(P*(P-1)/2+P*(Q-1)); GLE=((R-1)*(T-1)); GLEM=(P-1);GLER=((P-1)*(P-2)/2); PROBBLOQ= 1-PROBF(FBLOQ,GLBLOQ,GLE); PROBCRUZA= 1-PROBF(FCRUZA,GLCRUZA,GLE); PROBACG= 1-PROBF(FACG,GLACG,GLACE); PROBACE= 1-PROBF(FACE,GLACE,GLE); PROBEM= 1-PROBF(FEM,GLEM,GLER); PROBER= 1-PROBF(FER,GLER,GLE); FV[1,1] = R-1;FV[2,1]=T-1;FV[3,1]=P-1;FV[4,1]=P*(P-1)/2+P*(Q-1);FV[5,1]=P-1; FV[6,1]=(P-1)*(P-2)/2;FV[7,1]=(R-1)*(T-1);FV[8,1]=R*T-1; FV[1,2] = SCB;FV[2,2]=SCCRUZA;FV[3,2]=SCACG;FV[4,2]=SCACE;FV[5,2]=SCEM; FV[5,2]=SCEM;FV[6,2]=SCER;FV[7,2]=SCE;FV[8,2]=SCTOT; FV[1,3] = CMB;FV[2,3]=CMCRUZA;FV[3,3]=CMACG;FV[4,3]=CMACE;FV[5,3]=CMEM;FV[6,3]=CMER;FV[7,3]=CME; FV[1,4] = FBLOQ;FV[2,4]=FCRUZA;FV[3,4]=FACG;FV[4,4]=FACE;FV[5,4]=FEM;FV[6,4]=FER;

FV[1,5] = PROBBLOQ;FV[2,5]=PROBCRUZA;FV[3,5]=PROBACG;FV[4,5]=PROBACE;FV[5,5]=PROBEM;FV[6,5]=PROBER; CCC ={" GL " "SC" "CM" "F" "Pr > F" }; DDD ={"BLOQUES" "CRUZAS" " ACG" " ACE" " EM" " ER" "ERROR" "TOTAL"}; TITLE " ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA "; VARe= CME;VARr=(CMER-CME)/(2*R);VARm=(CMEM-CMER)/(2*R*P); IF VARr>0 THEN VARr=VARr;ELSE VARr=0;IF VARm>0 THEN VARm=VARm;ELSE VARm=0; IF Q=1 THEN VARs=(CMACE-CME)*P*P/(2*R*(P*P-P+1));ELSE VARs=(CMACE-CME)/(2*R); IF Q=1 THEN VARg=(CMACG-(2*R*(P-1)*VARs/P)-CME)/(2*R*P);ELSE VARg=(CMACG-CMACE)/(2*R*(P-2)); IF VARs>0 THEN VARs=VARs;ELSE VARs=0;IF VARg>0 THEN VARg=VARg;ELSE VARg=0;


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RR=(VARs/VARe)*S + E;GRR=GINV(RR);V=R*VARe/(VARe+R*VARs);VV=2*R*VARe/(VARe+2*R*VARs); RI=(VARr/VARe)*Sm+ E;GRI=GINV(RI); TITLE " EMC, EMCG Y EL MPLI DE Gi Y DE Mi "; MU = INV(J`*GRR*J)*J`*GRR*Y; EMCg = GINV(Zp`*Zp)*Zp`*(Y-MEDIA*J);EMCGg=GINV(Zp`*GRR*Zp)*Zp`*GRR*(Y-MU*J); IF VARg > 0 THEN K=(4*V*Q+(P-2)*VV)*VARg/(VARe+(4*V*Q+(P-2)*VV)*VARg);ELSE K=1; MPLIg = K*EMCGg;MPLIMED=MPLIg+MEDIA*UN; PROG[,1]= EMCg;PROG[,2]=EMCGg;PROG[,3]=MPLIg;PROG[,4]=MPLIMED; EEE = {"EMC" "EMCG" "MPLI" "MPLI+MEDIA"};FFF=CHAR(PPP,3,0); EEEM = {"EMC" "EMCG" "MPLI" "MPLI+MEDIA"};FFFM=CHAR(PPP,3,0); IF VARm > 0 THEN KK=(2*R*P*VARm)/(VARe+2*R*VARr+2*R*P*VARm);ELSE KK=1; EMCm = GINV(Zm`*Zm)*Zm`*Y;EMCGm=GINV(Zm`*GRI*Zm)*Zm`*GRI*Y;MPLIm=KK*EMCGm; PRG[,1] = EMCm;PRG[,2]=EMCGm;PRG[,3]=MPLIm;PRG[,4]=MPLIm+MEDIA*UN; TITLE "MATRIZ DISEÑO PARA LOS EFECTOS RECIPROCOS (Zr)"; OSV1=B-A; OSV1[LOC(OSV1<0)]=-1;OSVV=OSV1;OSVV[LOC(OSVV>0)]=1; DIALL=OSVV#DIAL; RECIPRO1=J(N, DIA, .);DO OSV=1 TO DIA;DO CCCC=1 TO N; IF DIALL[CCCC,1]=OSV THEN RECIPRO1[CCCC,OSV]=1; ELSE RECIPRO1[CCCC,OSV]=0; END; END; RECIPRO2=J(N, DIA, .);DO OSV=1 TO DIA;DO CCCC=1 TO N; IF -DIALL[CCCC,1]=OSV THEN RECIPRO2[CCCC,OSV]=1; ELSE RECIPRO2[CCCC,OSV]=0; END; END; Zr=RECIPRO1-RECIPRO2; TITLE "EMC Y MPLI DE ACE Y DE ER"; BLUPSACE=J(DIA, 4, .); YYY=J(DIA,1,.); DO BBB = 1 TO DIA BY 1;YYY[BBB,1]=BBB;END;BLUPSER=BLUPSACE; UNN=J(DIA,1,1);Zs=D;Zg=Zp; MEDD=MEDIA*UNN; IF VARg>0 THEN Gg=(VARg/VARe)*I(p); ELSE Gg=0*I(P); IF VARs>0 THEN IGs=(VARe/VARs)*I(DIA); ELSE IGs=0*I(DIA); R1=Zg*Gg*Zg`+ E;IR1=GINV(R1);MUU=INV(UNO`*IR1*UNO)*UNO`*IR1*Y; EMCd=GINV(Zs`*Zs)*Zs`*(Y-UNO*MEDIA); EMCGd=GINV(Zs`*IR1*Zs)*Zs`*IR1*(Y-UNO*MEDIA); MPLIs=GINV(Zs`*E*Zs+IGs)*Zs`*E*(Y-UNO*MEDIA-Zg*MPLIg); MPLIMEDD=MPLIs+MEDD; EMCs=EMCd-(Zs`*Zg/R)*EMCg; EMCGs=EMCGd-(Zs`*Zg/R)*EMCGg; BLUPSACE[,1]=EMCs;BLUPSACE[,2]=EMCGs;BLUPSACE[,3]=MPLIs; BLUPSACE[,4]=MPLIMEDD; Zf=Zr;Zm=Zm;Zg=Zp;IF VARm>0 THEN Gm=(VARm/VARe)*I(P); ELSE Gm=I(P); IF VARr>0 THEN IGf=(VARe/VARr)*I(DIA); ELSE IGf=0*I(DIA); Rf=Zm*Gm*Zm`+ E;IRf=GINV(Rf);IGr=IGf; EMCdd=GINV(Zr`*Zr)*Zr`*Y; EMCGdd=GINV(Zr`*IRf*Zr)*Zr`*IRf*Y; MPLIr=GINV(Zf`*E*Zf+IGr)*Zf`*E*(Y-Zm*MPLIm); EMCr=EMCdd-(Zs`*Zm/R)*EMCm; EMCGr=EMCGdd-(Zs`*Zm/R)*EMCGm; MPLIRMEDD=MPLIr+MEDD; BLUPSER[,1]=EMCr;BLUPSER[,2]=EMCGr;BLUPSER[,3]=MPLIr; BLUPSER[,4]=MPLIRMEDD; LLL= {"EMC" "EMCG" "MPLI" "MPLI+MEDIA"};KKK=CHAR(YYY,3,0); TITLE "EMC Y MPLI DE LOS EFECTOS DE CRUZAS"; BLUPSCRUZAS=J(T, 4, .); YYYY=J(T,1,.); DO BBBB = 1 TO T BY 1;YYYY[BBBB,1]=BBBB;END;UNNN=J(T,1,1); MEDDD=MEDIA*UNNN; EGGGG=Zg*MPLIg;ESSSS=Zs*MPLIs; EPPPP=EGGGG+ESSSS;MPLICC3=Z`*EPPPP*(1/R); EMMMM=Zm*MPLIm;ERRRR=Zr*MPLIr;ECCCC=EMMMM+ERRRR; MPLICC4=Z`*ECCCC*(1/R); MPLIc=MPLICC3+MPLICC4; EMCc=(Z`*Zs/R)*EMCd+(Z`*Zr/R)*EMCdd; EMCGc=(Z`*Zs/R)*EMCGd+(Z`*Zr/R)*EMCGdd; MPLICMEDDD=MPLIc+MEDDD;


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BLUPSCRUZAS[,1]=EMCc;BLUPSCRUZAS[,2]=EMCGc; BLUPSCRUZAS[,3]=MPLIc;BLUPSCRUZAS[,4]=MPLICMEDDD; LLL11= {"EMC" "EMCG" "MPLI" "MPLI+MEDIA"};KKK11=CHAR(YYYY,3,0); TITLE " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG Y EM "; IF VARg>0 THEN INVGp=(VARe/VARg)*I(P);ELSE INVGp=0*I(P); CC1 = (UNO`*GRR*UNO)||(UNO`*GRR*Zp); CC2 = (UNO`*GRR*Zp)`||((Zp`*GRR*Zp)+INVGp);CC3=CC1`||CC2`; CCCACG = GINV(CC3); IF VARm>0 THEN INVGm=(VARe/VARm)*I(P);ELSE INVGm=0*I(P); CC4 = Zm`*GRI*Zm+INVGm;CCCEM=GINV(CC4); TITLE " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACE Y ER "; IF VARs>0 THEN INVGs=(VARe/VARs)*I(DIA);ELSE INVGs=0*I(DIA); CC01 = (UNO`*IR1*UNO)||(UNO`*IR1*Zs); CC02 = (UNO`*IR1*Zs)`||((Zs`*IR1*Zs)+INVGs);CC03=CC01`||CC02`; CCCACE = GINV(CC03); CC04 = Zr`*IRf*Zr+IGf;CCCER=GINV(CC04); TITLE " IMPRESION DE RESULTADOS "; PRINT VARIABLE; PRINT "CUADRO 1. ANALISIS DE VARIANZA";PRINT FV[ROWNAME=DDD COLNAME=CCC]; PRINT MEDIA[FORMAT= 12.5] CV[FORMAT= 12.5];PRINT ,; PRINT " ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA"; PRINT VARe[FORMAT=12.5] VARr[FORMAT=12.5] VARm[FORMAT=12.5] VARs[FORMAT=12.5] VARg[FORMAT=12.5]; PRINT ,;PRINT MU[FORMAT= 12.5];PRINT /; PRINT "CUADRO 2. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACG"; PRINT PROG[ROWNAME=FFF COLNAME=EEE FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT K[FORMAT= 12.5]; PRINT ,; PRINT "CUADRO 3. ESTIMACION Y PREDICCION DE EM"; PRINT PRG[ROWNAME=FFFM COLNAME=EEEM FORMAT=12.5];PRINT ,;PRINT KK[FORMAT= 12.5];PRINT /; PRINT "CUADRO 4. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACE"; PRINT BLUPSACE[ROWNAME=KKK COLNAME=LLL FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT "CUADRO 5. ESTIMACION Y PREDICCION DE ER"; PRINT BLUPSER[ROWNAME=KKK COLNAME=LLL FORMAT=12.5];PRINT /; PRINT "CUADRO 6. ESTIMACION Y PREDICCION DEL EFECTO DE CRUZAS"; PRINT BLUPSCRUZAS[ROWNAME=KKK11 COLNAME=LLL11 FORMAT=12.5];PRINT /; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG "; PRINT CCCACG[FORMAT=7.3];PRINT ,; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE EM "; PRINT CCCEM[FORMAT=7.3];PRINT /; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACE "; PRINT CCCACE[FORMAT=5.3];PRINT ,; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ER "; PRINT CCCER[FORMAT=5.3];PRINT /; END; QUIT;

A.3. Programa para analizar cualquiera de los cuatro diseños de Griffing TITLE " LOS MPLI EMPIRICOS EN CUALQUIERA DE LOS DISEÑOS DE GRIFFING "; PROC IML;SORT MASTACHE OUT=NUEVO BY CRUZA;USE NUEVO;READ ALL INTO MATRIZ; CRUZA= MATRIZ[,1];A=MATRIZ[,2];B=MATRIZ[,3];REP=MATRIZ[,5];N=NROW(MATRIZ); UNO = J(N,1,1);CERO=J(N,1,0);MDIS=DESIGN(CRUZA); X = UNO||MDIS;XX=X`*X;XXIG=GINV(XX);M=X*XXIG*X`; BLOQ = DESIGN(REP);W=X||BLOQ;WW=W`*W;WINV=GINV(WW);WWW=W*WINV*W`;IDEN=I(N); Z = MDIS;ZZ=Z*Z`;FIJO=UNO||BLOQ;A0=DESIGN(A);B0=DESIGN(B); T = NCOL(MDIS);R=MAX(REP);P=MAX(B);NC=NCOL(MATRIZ);IF ANY (A=B) THEN Q=1;ELSE Q=0; TITLE" DISEÑO UNO Y TRES DE GRIFFING";

IF ANY (B<A) THEN DO; IF Q = 1 THEN PRINT "DISEÑO 1 DE GRIFFING";ELSE PRINT "DISEÑO 3 DE GRIFFING";

AB = A0+B0;X0=UNO||AB;X0X0=X0`*X0;X0IG=GINV(X0X0);M0=X0*X0IG*X0`; DIAL = MATRIZ[,4];D=DESIGN(DIAL);DD=D`*D;D0=D*(GINV(DD))*D`;DIA=MAX(DIAL); Zp = AB; ZpZp= Zp`*Zp;Zm=A0-B0;ZmZm=Zm`*Zm;MAB=Zm*GINV(ZmZm)*Zm`;


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S = D*D`;E=I(N);J=UNO;Sm=2*(MDIS*MDIS`)-S; PRINT N T R P; TITLE " ANALISIS DE VARIANZA "; FV = J(8, 5, .);UN=J(P,1,1);PROG=J(P, 4, .);PPP=J(P,1,.);PRG=PROG; DO LLL = 1 TO P BY 1;PPP[LLL,1]=LLL;END; DO F = 6 TO NC BY 1; VARIABLE= F-5; Y = MATRIZ[,F]; FC = (UNO`*Y)**2/N;MEDIA=UNO`*Y/N;SCTOT=Y`*Y-FC; SCE = Y`*(IDEN-WWW)*Y;CME=SCE/((R-1)*(T-1));CV=(CME**.5)*100/MEDIA; SCB = Y`*(WWW-M)*Y;CMB=SCB/(R-1);FBLOQ=CMB/CME; SCCRUZA = (Y`*M*Y)-FC;CMCRUZA=SCCRUZA/(T-1);FCRUZA=CMCRUZA/CME; SCACE = Y`*(D0-M0)*Y;CMACE=SCACE/(P*(P-1)/2+P*(Q-1));FACE=CMACE/CME; SCACG = (Y`*M0*Y)-FC;CMACG=SCACG/(P-1);FACG=CMACG/CMACE; SCEM = Y`*MAB*Y;SCER=SCCRUZA-(SCACG+SCACE+SCEM);CMEM=SCEM/(P-1); CMER=SCER/((P-1)*(P-2)/2);FEM=CMEM/CMER;FER=CMER/CME; GLBLOQ=(R-1); GLCRUZA=(T-1); GLACG=(P-1); GLACE=(P*(P-1)/2+P*(Q-1)); GLE=((R-1)*(T-1)); GLEM=(P-1);GLER=((P-1)*(P-2)/2); PROBBLOQ= 1-PROBF(FBLOQ,GLBLOQ,GLE); PROBCRUZA= 1-PROBF(FCRUZA,GLCRUZA,GLE); PROBACG= 1-PROBF(FACG,GLACG,GLACE); PROBACE= 1-PROBF(FACE,GLACE,GLE); PROBEM= 1-PROBF(FEM,GLEM,GLER); PROBER= 1-PROBF(FER,GLER,GLE); FV[1,1] = R-1;FV[2,1]=T-1;FV[3,1]=P-1;FV[4,1]=P*(P-1)/2+P*(Q-1);FV[5,1]=P-1; FV[6,1]=(P-1)*(P-2)/2;FV[7,1]=(R-1)*(T-1);FV[8,1]=R*T-1; FV[1,2] = SCB;FV[2,2]=SCCRUZA;FV[3,2]=SCACG;FV[4,2]=SCACE;FV[5,2]=SCEM; FV[5,2]=SCEM;FV[6,2]=SCER;FV[7,2]=SCE;FV[8,2]=SCTOT; FV[1,3] = CMB;FV[2,3]=CMCRUZA;FV[3,3]=CMACG;FV[4,3]=CMACE;FV[5,3]=CMEM;FV[6,3]=CMER;FV[7,3]=CME; FV[1,4] = FBLOQ;FV[2,4]=FCRUZA;FV[3,4]=FACG;FV[4,4]=FACE;FV[5,4]=FEM;FV[6,4]=FER;

FV[1,5] = PROBBLOQ;FV[2,5]=PROBCRUZA;FV[3,5]=PROBACG;FV[4,5]=PROBACE;FV[5,5]=PROBEM;FV[6,5]=PROBER; CCC ={" GL " "SC" "CM" "F" "Pr > F" }; DDD ={"BLOQUES" "CRUZAS" " ACG" " ACE" " EM" " ER" "ERROR" "TOTAL"}; TITLE " ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA "; VARe= CME;VARr=(CMER-CME)/(2*R);VARm=(CMEM-CMER)/(2*R*P); IF VARr>0 THEN VARr=VARr;ELSE VARr=0;IF VARm>0 THEN VARm=VARm;ELSE VARm=0; IF Q=1 THEN VARs=(CMACE-CME)*P*P/(2*R*(P*P-P+1));ELSE VARs=(CMACE-CME)/(2*R); IF Q=1 THEN VARg=(CMACG-(2*R*(P-1)*VARs/P)-CME)/(2*R*P);ELSE VARg=(CMACG-CMACE)/(2*R*(P-2)); IF VARs>0 THEN VARs=VARs;ELSE VARs=0;IF VARg>0 THEN VARg=VARg;ELSE VARg=0; RR=(VARs/VARe)*S + E;GRR=GINV(RR);V=R*VARe/(VARe+R*VARs);VV=2*R*VARe/(VARe+2*R*VARs); RI=(VARr/VARe)*Sm+ E;GRI=GINV(RI); TITLE " EMC, EMCG Y EL MPLI DE Gi Y DE Mi "; MU = INV(J`*GRR*J)*J`*GRR*Y; EMCg = GINV(Zp`*Zp)*Zp`*(Y-MEDIA*J);EMCGg=GINV(Zp`*GRR*Zp)*Zp`*GRR*(Y-MU*J); IF VARg > 0 THEN K=(4*V*Q+(P-2)*VV)*VARg/(VARe+(4*V*Q+(P-2)*VV)*VARg);ELSE K=1; MPLIg = K*EMCGg;MPLIMED=MPLIg+MEDIA*UN; PROG[,1]= EMCg;PROG[,2]=EMCGg;PROG[,3]=MPLIg;PROG[,4]=MPLIMED; EEE = {"EMC" "EMCG" "MPLI" "MPLI+MEDIA"};FFF=CHAR(PPP,3,0); EEEM = {"EMC" "EMCG" "MPLI" "MPLI+MEDIA"};FFFM=CHAR(PPP,3,0); IF VARm > 0 THEN KK=(2*R*P*VARm)/(VARe+2*R*VARr+2*R*P*VARm);ELSE KK=1; EMCm = GINV(Zm`*Zm)*Zm`*Y;EMCGm=GINV(Zm`*GRI*Zm)*Zm`*GRI*Y;MPLIm=KK*EMCGm; PRG[,1] = EMCm;PRG[,2]=EMCGm;PRG[,3]=MPLIm;PRG[,4]=MPLIm+MEDIA*UN; TITLE "MATRIZ DISEÑO PARA LOS EFECTOS RECIPROCOS (Zr)"; OSV1=B-A; OSV1[LOC(OSV1<0)]=-1;OSVV=OSV1;OSVV[LOC(OSVV>0)]=1; DIALL=OSVV#DIAL; RECIPRO1=J(N, DIA, .);DO OSV=1 TO DIA;DO CCCC=1 TO N; IF DIALL[CCCC,1]=OSV THEN RECIPRO1[CCCC,OSV]=1; ELSE RECIPRO1[CCCC,OSV]=0; END; END; RECIPRO2=J(N, DIA, .);DO OSV=1 TO DIA;DO CCCC=1 TO N; IF -DIALL[CCCC,1]=OSV THEN RECIPRO2[CCCC,OSV]=1; ELSE RECIPRO2[CCCC,OSV]=0; END; END; Zr=RECIPRO1-RECIPRO2;


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TITLE "EMC Y MPLI DE ACE Y DE ER"; BLUPSACE=J(DIA, 4, .); YYY=J(DIA,1,.); DO BBB = 1 TO DIA BY 1;YYY[BBB,1]=BBB;END;BLUPSER=BLUPSACE; UNN=J(DIA,1,1);Zs=D;Zg=Zp; MEDD=MEDIA*UNN; IF VARg>0 THEN Gg=(VARg/VARe)*I(p); ELSE Gg=0*I(P); IF VARs>0 THEN IGs=(VARe/VARs)*I(DIA); ELSE IGs=0*I(DIA); R1=Zg*Gg*Zg`+ E;IR1=GINV(R1);MUU=INV(UNO`*IR1*UNO)*UNO`*IR1*Y; EMCd=GINV(Zs`*Zs)*Zs`*(Y-UNO*MEDIA); EMCGd=GINV(Zs`*IR1*Zs)*Zs`*IR1*(Y-UNO*MEDIA); MPLIs=GINV(Zs`*E*Zs+IGs)*Zs`*E*(Y-UNO*MEDIA-Zg*MPLIg); MPLIMEDD=MPLIs+MEDD; EMCs=EMCd-(Zs`*Zg/R)*EMCg; EMCGs=EMCGd-(Zs`*Zg/R)*EMCGg; BLUPSACE[,1]=EMCs;BLUPSACE[,2]=EMCGs;BLUPSACE[,3]=MPLIs; BLUPSACE[,4]=MPLIMEDD; Zf=Zr;Zm=Zm;Zg=Zp;IF VARm>0 THEN Gm=(VARm/VARe)*I(P); ELSE Gm=I(P); IF VARr>0 THEN IGf=(VARe/VARr)*I(DIA); ELSE IGf=0*I(DIA); Rf=Zm*Gm*Zm`+ E;IRf=GINV(Rf);IGr=IGf; EMCdd=GINV(Zr`*Zr)*Zr`*Y; EMCGdd=GINV(Zr`*IRf*Zr)*Zr`*IRf*Y; MPLIr=GINV(Zf`*E*Zf+IGr)*Zf`*E*(Y-Zm*MPLIm); EMCr=EMCdd-(Zs`*Zm/R)*EMCm; EMCGr=EMCGdd-(Zs`*Zm/R)*EMCGm; MPLIRMEDD=MPLIr+MEDD; BLUPSER[,1]=EMCr;BLUPSER[,2]=EMCGr;BLUPSER[,3]=MPLIr; BLUPSER[,4]=MPLIRMEDD; LLL= {"EMC" "EMCG" "MPLI" "MPLI+MEDIA"};KKK=CHAR(YYY,3,0); TITLE "EMC Y MPLI DE LOS EFECTOS DE CRUZAS"; BLUPSCRUZAS=J(T, 4, .); YYYY=J(T,1,.); DO BBBB = 1 TO T BY 1;YYYY[BBBB,1]=BBBB;END;UNNN=J(T,1,1); MEDDD=MEDIA*UNNN; EGGGG=Zg*MPLIg;ESSSS=Zs*MPLIs; EPPPP=EGGGG+ESSSS;MPLICC3=Z`*EPPPP*(1/R); EMMMM=Zm*MPLIm;ERRRR=Zr*MPLIr;ECCCC=EMMMM+ERRRR; MPLICC4=Z`*ECCCC*(1/R); MPLIc=MPLICC3+MPLICC4; EMCc=(Z`*Zs/R)*EMCd+(Z`*Zr/R)*EMCdd; EMCGc=(Z`*Zs/R)*EMCGd+(Z`*Zr/R)*EMCGdd; MPLICMEDDD=MPLIc+MEDDD; BLUPSCRUZAS[,1]=EMCc;BLUPSCRUZAS[,2]=EMCGc; BLUPSCRUZAS[,3]=MPLIc;BLUPSCRUZAS[,4]=MPLICMEDDD; LLL11= {"EMC" "EMCG" "MPLI" "MPLI+MEDIA"};KKK11=CHAR(YYYY,3,0); TITLE " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG Y EM "; IF VARg>0 THEN INVGp=(VARe/VARg)*I(P);ELSE INVGp=0*I(P); CC1 = (UNO`*GRR*UNO)||(UNO`*GRR*Zp); CC2 = (UNO`*GRR*Zp)`||((Zp`*GRR*Zp)+INVGp);CC3=CC1`||CC2`; CCCACG = GINV(CC3); IF VARm>0 THEN INVGm=(VARe/VARm)*I(P);ELSE INVGm=0*I(P); CC4 = Zm`*GRI*Zm+INVGm;CCCEM=GINV(CC4); TITLE " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACE Y ER "; IF VARs>0 THEN INVGs=(VARe/VARs)*I(DIA);ELSE INVGs=0*I(DIA); CC01 = (UNO`*IR1*UNO)||(UNO`*IR1*Zs); CC02 = (UNO`*IR1*Zs)`||((Zs`*IR1*Zs)+INVGs);CC03=CC01`||CC02`; CCCACE = GINV(CC03); CC04 = Zr`*IRf*Zr+IGf;CCCER=GINV(CC04); TITLE " IMPRESION DE RESULTADOS "; PRINT VARIABLE; PRINT "CUADRO 1. ANALISIS DE VARIANZA";PRINT FV[ROWNAME=DDD COLNAME=CCC]; PRINT MEDIA[FORMAT= 12.5] CV[FORMAT= 12.5];PRINT ,; PRINT " ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA"; PRINT VARe[FORMAT=12.5] VARr[FORMAT=12.5] VARm[FORMAT=12.5] VARs[FORMAT=12.5] VARg[FORMAT=12.5]; PRINT ,;PRINT MU[FORMAT= 12.5];PRINT /;


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PRINT "CUADRO 2. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACG"; PRINT PROG[ROWNAME=FFF COLNAME=EEE FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT K[FORMAT= 12.5]; PRINT ,; PRINT "CUADRO 3. ESTIMACION Y PREDICCION DE EM"; PRINT PRG[ROWNAME=FFFM COLNAME=EEEM FORMAT=12.5];PRINT ,;PRINT KK[FORMAT= 12.5];PRINT /; PRINT "CUADRO 4. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACE"; PRINT BLUPSACE[ROWNAME=KKK COLNAME=LLL FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT "CUADRO 5. ESTIMACION Y PREDICCION DE ER"; PRINT BLUPSER[ROWNAME=KKK COLNAME=LLL FORMAT=12.5];PRINT /; PRINT "CUADRO 6. ESTIMACION Y PREDICCION DEL EFECTO DE CRUZAS"; PRINT BLUPSCRUZAS[ROWNAME=KKK11 COLNAME=LLL11 FORMAT=12.5];PRINT /; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG "; PRINT CCCACG[FORMAT=7.3];PRINT ,; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE EM "; PRINT CCCEM[FORMAT=7.3];PRINT /; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACE "; PRINT CCCACE[FORMAT=5.3];PRINT ,; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ER "; PRINT CCCER[FORMAT=5.3];PRINT /; END; END; TITLE " DISEÑOS DOS Y CUATRO DE GRIFFING ";

IF ALL(B>=A) THEN DO; IF Q = 1 THEN PRINT "DISEÑO 2 DE GRIFFING";ELSE PRINT "DISEÑO 4 DE GRIFFING"; IF Q = 1 THEN AB=A0+B0;ELSE AB=(A0||CERO)+(CERO||B0); X0=UNO||AB;X0X0=X0`*X0;X0IG=GINV(X0X0);M0=X0*X0IG*X0`; Z=MDIS;ZZ=Z*Z`;FIJO=UNO||BLOQ;Zp=AB;ZpZp=Zp`*Zp; PRINT N T R P; TITLE " ANALISIS DE VARIANZA "; FV = J(6, 5, .);UN=J(P,1,1);PROG=J(P, 4, .);PPP=J(P,1,.); DO LLL = 1 TO P BY 1;PPP[LLL,1]=LLL;END; DO F = 6 TO NC BY 1; VARIABLE= F-5; Y = MATRIZ[,F]; FC = (UNO`*Y)**2/N;MEDIA=UNO`*Y/N;SCTOT=Y`*Y-FC; SCE = Y`*(IDEN-WWW)*Y;CME=SCE/((R-1)*(T-1));CV=(CME**.5)*100/MEDIA; SCB = Y`*(WWW-M)*Y;CMB=SCB/(R-1);FBLOQ=CMB/CME; SCCRUZA = (Y`*M*Y)-FC;CMCRUZA=SCCRUZA/(T-1);FCRUZA=CMCRUZA/CME; SCACG = (Y`*M0*Y)-FC;CMACG=SCACG/(P-1); SCACE = SCCRUZA-SCACG;CMACE=SCACE/(T-P);FACG=CMACG/CMACE;FACE=CMACE/CME; GLBLOQ=(R-1); GLCRUZA=(T-1); GLACG=(P-1); GLACE=(T-P); GLE=(R-1)*(T-1); PROBBLOQ= 1-PROBF(FBLOQ,GLBLOQ,GLE); PROBCRUZA= 1-PROBF(FCRUZA,GLCRUZA,GLE); PROBACG= 1-PROBF(FACG,GLACG,GLACE); PROBACE= 1-PROBF(FACE,GLACE,GLE); FV[1,1] = R-1;FV[2,1]=T-1;FV[3,1]=P-1;FV[4,1]=T-P;FV[5,1]=(R-1)*(T-1);FV[6,1]=T*R-1; FV[1,2] = SCB;FV[2,2]=SCCRUZA;FV[3,2]=SCACG;FV[4,2]=SCACE;FV[5,2]=SCE;FV[6,2]=SCTOT; FV[1,3] = CMB;FV[2,3]=CMCRUZA;FV[3,3]=CMACG;FV[4,3]=CMACE;FV[5,3]=CME; FV[1,4] = FBLOQ;FV[2,4]=FCRUZA;FV[3,4]=FACG;FV[4,4]=FACE; FV[1,5] = PROBBLOQ;FV[2,5]=PROBCRUZA;FV[3,5]=PROBACG;FV[4,5]=PROBACE; CCC={"GL" "SC" "CM" "F" "Pr > F"}; DDD={"BLOQUES" "CRUZAS" " ACG" " ACE" "ERROR" "TOTAL"}; TITLE " ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA "; VARe = CME;VARs=(CMACE-CME)/R;IF VARs>0 THEN VARs=VARs;ELSE VARs=0; VARg = (CMACG-CMACE)/(R*(4*Q+P-2));IF VARg>0 THEN VARg=VARg;ELSE VARg=0; TITLE " EMC Y EL MPLI DE Gi "; MED = MEDIA*UN; TETA = GINV(FIJO`*FIJO)*FIJO`*Y;FIXTETA=FIJO*TETA;ZpY=Zp`*Y;ZpFIXTTA=Zp`*FIXTETA; EMCg = (ZpY-ZpFIXTTA)/(R*(4*Q+P-2));EMCGg=EMCg; IF VARg > 0 THEN K=(4*Q+P-2)/((4*Q+P-2)+(R*VARs+VARe)/(R*VARg));ELSE K=1; MPLIg = K*EMCg;MPLIMED=MPLIg+MED; PROG[,1]= EMCg;PROG[,2]=EMCGg;PROG[,3]=MPLIg;PROG[,4]=MPLIMED; EEE = {"EMC" "EMCG" "MPLI" "MPLI+MEDIA"};FFF=CHAR(PPP,3,0);


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TITLE " EMC Y MPLIs DE ACE Y DE LOS EFECTO DE CRUZAS"; BLUPSACE=J(T, 4, .); YYY=J(T,1,.);BLUPSCRUZAS=BLUPSACE; DO BBB = 1 TO T BY 1;YYY[BBB,1]=BBB;END; UNN=J(T,1,1); IF VARs>0 THEN IGs=(VARe/VARs)*I(T);ELSE IGs=0*I(T);Zs=Z;Zg=Zp; IF VARg>0 THEN Gg=(VARg/VARe)*I(P);ELSE Gg=0*(P); Rg=Zg*Gg*Zg`+I(N);IRg=GINV(Rg);MEDD=MEDIA*UNN; EMCc=GINV(Z`*Z)*Z`*(Y-UNO*MEDIA); EMCGc=EMCc; IF VARs>0 THEN KK=R*VARs/(VARe+R*VARs); ELSE KK=1; MPLIs=KK*(EMCc-(Z`*Zg/R)*MPLIg);EMCs=EMCc-(Z`*Zg/R)*EMCg; EMCGs=EMCs; MPLIMEDD=MPLIs+MEDD;FFF1=CHAR(YYY,3,0); BLUPSACE[,1]=EMCs;BLUPSACE[,2]=EMCGs; BLUPSACE[,3]=MPLIs;BLUPSACE[,4]=MPLIMEDD; MPLIc=(Z`*Zg/R)*MPLIg+MPLIs; MPLICMEDD=MPLIc+MEDD; BLUPSCRUZAS[,1]=EMCc;BLUPSCRUZAS[,2]=EMCGc; BLUPSCRUZAS[,3]=MPLIc;BLUPSCRUZAS[,4]=MPLICMEDD; TITLE "LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG "; IF VARg>0 THEN INVGp=(VARe/VARg)*I(P);ELSE INVGp=0*I(P); GRR = GINV((VARs/VARe)*ZZ+I(N));CC1=(UNO`*GRR*UNO)||(UNO`*GRR*Zp); CC2 = (UNO`*GRR*Zp)`||((Zp`*GRR*Zp)+INVGp);CC3=CC1`||CC2`; CCCACG = GINV(CC3); TITLE "LA MATRIZ DE COEFICIENTES: Cs DE ACE ";

CCS1=(UNO`*IRg*UNO)||(UNO`*IRg*Zs); CCS2 = (UNO`*IRg*Zs)`||((Zs`*IRg*Zs)+IGs);CCS3=CCS1`||CCS2`; CCCACE = GINV(CCS3); TITLE " IMPRESION DE RESULTADOS "; PRINT VARIABLE; PRINT "CUADRO 1. ANALISIS DE VARIANZA";PRINT FV[ROWNAME=DDD COLNAME=CCC]; PRINT MEDIA[FORMAT=12.5] CV[FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT " ESTIMACION DE LAS COMPONENTES DE VARIANZA"; PRINT VARe[FORMAT=12.5] VARs[FORMAT=12.5] VARg[FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT "CUADRO 2. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACG"; PRINT PROG[ROWNAME=FFF COLNAME=EEE FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT K[FORMAT=12.5];PRINT /; PRINT "CUADRO 3. ESTIMACION Y PREDICCION DE ACE"; PRINT BLUPSACE[ROWNAME=FFF1 COLNAME=EEE FORMAT=12.5];PRINT ,; PRINT "CUADRO 4. ESTIMACION Y PREDICCION DEL EFECTO DE CRUZAS"; PRINT BLUPSCRUZAS[ROWNAME=FFF1 COLNAME=EEE FORMAT=12.5];PRINT /; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACG "; PRINT CCCACG[FORMAT=7.3];PRINT ,; PRINT " LA MATRIZ DE COEFICIENTES: C DE ACE "; PRINT CCCACE[FORMAT=5.3];PRINT /; END; END; QUIT;

instituciÓn de enseÑanza e investigaciÓn … · al colegio de postgraduados, por todo el apoyo...

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