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COLEGIO DE POSTGRADUADOS INSTITUCIÓN DE ENSEÑANZA E INVESTIGACIÓN EN CIENCIAS AGRÍCOLAS

CAMPUS MONTECILLO

SOCIOECONOMÍA, ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA

ESTADÍSTICA

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA PARA PROCESOS

POISSON NO HOMOGÉNEO

FRANCISCO JULIAN ARIZA HERNANDEZ T E S I S

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO DE:

M A E S T R O EN C I E N C I A S

MONTECILLO, TEXCOCO, EDO. DE MÉXICO 2005

ii

La presente tesis titulada: PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y DE RAZÓN DE

VEROSIMILITUDES GENERALIZADA PARA PROCESOS POISSON NO

HONOGENEO, realizada por el alumno: Francisco Julian Ariza Hernández, bajo la

dirección del Consejo Particular indicado, ha sido aprobada por el mismo y aceptada

como requisito parcial para obtener el grado de:

MAESTRO EN CIENCIAS

SOCIOECONOMÍA, ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA ESTADÍSTICA

CONSEJO PARTICULAR

CONSEJERO

Dr. Humberto Vaquera Huerta

ASESOR

Dr. José A. Villaseñor Alva

ASESOR

Dr. Miguel Ángel Martínez Damián

iii

AGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOSAGRADECIMIENTOS

A lConsejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) p o r s u g r a n a p o y oe c o n ó m i c o q u e m e b r i n d ó d u r a n t e t o d o s m i e s t u d i o s d e m a e s t r í a .A lColegio de Postgraduados, p o r h a b e r m e b r i n d a d o l a o p o r t u n i d a d d e s e g u i r m if o r m a c i ó n a c a d é m i c a e n s u s a u l a s .A l o s i n t e g r a n t e s d e m i C o n s e j o P a r t i c u l a r :A lDr. Humberto Vaquera Huerta m i m á s s i n c e r o a g r a d e c i m i e n t o , p o r s u s a t i n a d a si n d i c a c i o n e s y c o n s e j o s m i s m o s q u e m e f u e r o n d e g r a n u t i l i d a d e n l a r e a l i z a c i ó n d e lp r e s e n t e t r a b a j o d e t e s i s .A lDr. José A. Villaseñor Alva p o r s u v a l i o s a p a r t i c i p a c i ó n , s u s c o m e n t a r i o s a c e r t a d o s ,s u s c o n s e j o s y d i s p o n i b i l i d a d p a r a d e d i c a r p a r t e d e s u t i e m p o e n l a r e v i s i ó n d e e s t et r a b a j o d e t e s i s .A lDr. Miguel Ángel Martínez Damián, p o r s u s o p i n i o n e s t a n a t i n a d a s , s u o r i e n t a c i ó ny c o l a b o r a c i ó n p a r a l a r e a l i z a c i ó n d e l p r e s e n t e t r a b a j o .M i a g r a d e c i m i e n t o a l o s p r o f e s o r e s , m i s c o m p a ñ e r o s d e c l a s e , p e r s o n a l a d m i n i s t r a t i v o yt o d a s a q u e l l a s p e r s o n a s q u e d e a l g u n a m a n e r a f u e r o n c o p a r t i c i p e s d e e s t a t a r e a , a t o d o sg r a c i a s .

iv

DEDICATORIADEDICATORIADEDICATORIADEDICATORIA

A mis padres…

A mi esposa… y

A mis hermanos…

F. J. A. H.

v

RESUMEN.

En este trabajo, se presenta una prueba de bondad de ajuste basada en el estimador de momentos

del Coeficiente de Correlación (PCC), y una Prueba de Razón de Verosimilitudes Generalizada

(PRVG) para un Proceso Poisson No Homogéneo (PPNH). Estas pruebas se aplican a un

conjunto de datos, que representan los tiempos de ocurrencia de fallas en un sistema de control.

Aquí, utilizamos estas pruebas de manera complementaria, ya que primero se desarrolló la PCC

para verificar si los tiempos de falla del sistema siguen el Proceso Goel-Okumoto tomando en

cuenta la función de distribución Weibull (PPNH-W), y después se desarrolló la PRVG para

poder discernir si estos tiempos de falla siguen un modelo más simple como el Proceso Goel-

Okumoto utilizando la función de distribución Exponencial (PPNH-E) o bien un PPNH-W,

concluyendo con un nivel de significancia de 0.05, que los tiempos de falla siguen un PPNH-W.

Además se realiza un estudio de simulación Monte-Carlo para la potencia y tamaño de ambas

pruebas, obteniendo resultados satisfactorios para los casos estudiados.

Palabras Clave: Distribución Asintótica, Función de Intensidad, Prueba de Bondad de Ajuste,

Simulación Monte-Carlo.

ABSTRACT.

In this work, the Correlation Coefficient Goodness of Fit Test (CCGFT) and the Generalized

Likelihood-ratio Test (GLRT) are developed for Non-Homogeneous Poisson Processes (NHPP)

using a given intensity function. These tests are applied to a data set that consists of the failure

times in a control system. First a CCGFT was developed to verify if that failure times of the

system are a NHPP with a Weibull intensity function (NHPP-W). Then, a GLRT was developed

to know if those failure times follow a NHPP with a Exponential intensity function (NHPP-E) or

a NHPP-W. Therefore with a significance level of 0.05, it is concluded that the failure times

follow a NHPP-W. Also the size and power of both test are determined showing satisfactory

results for the studied cases.

Key words: Asymtotic Distribution, Intensity Function, Monte-Carlo Simulation, Goodness of

Fit Test.

vi

1. INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 1

1.1 ANTECEDENTES ........................................................................................................................................ 2

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................................................................. 4

2. OBJETIVOS ................................................................................................................................................ 5

3. MARCO TEÓRICO.................................................................................................................................... 6

3.1 ALGUNOS CONCEPTOS DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS .............................................................................. 6

3.1.1. Proceso de Poisson ......................................................................................................................... 7

3.1.2 Proceso Poisson Homogéneo y No Homogéneo .............................................................................. 8

3.2 MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD .................................................................................................. 10

3.3 PRUEBAS DE HIPÓTESIS .......................................................................................................................... 12

3.3.1 Función de Potencia y Tamaño de la Prueba ................................................................................ 13

3.4 PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA.................................................................... 15

3.4.1. Distribución Asintótica de la Prueba de Razón de Verosimilitudes.............................................. 16

3.5 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ........................................................................................ 17

4. PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PARA UN PPNH........................................... 18

4.1 IMPLEMENTACIÓN DE LA PRUEBA ........................................................................................................... 19

4.2 ESTADÍSTICA DE PRUEBA ....................................................................................................................... 21

4.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN ....................................................................................................................... 28

5. PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA PARA UN PPNH.................. 32

5.1 IMPLEMENTACIÓN DE LA PRUEBA ........................................................................................................... 33

5.2 ESTADÍSTICA DE PRUEBA........................................................................................................................ 35

5.3 CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO DE APLICACIÓN ....................................................................................... 37

6. ESTUDIO DE SIMULACIÓN PARA EL TAMAÑO Y POTENCIA DE LAS PRUEBAS................ 40

6.1 PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN......................................................................................... 40

6.1.1 Tamaño de la PCC ......................................................................................................................... 40

6.1.2 Potencia de la PCC........................................................................................................................ 43

ContenidoContenidoContenidoContenido

vii

6.2 PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES.............................................................................................. 47

6.2.1 Tamaño de la PRVG....................................................................................................................... 48

6.2.2 Potencia de la PRVG...................................................................................................................... 50

7. CONCLUSIONES ..................................................................................................................................... 54

8. BIBLIOGRAFÍA. ...................................................................................................................................... 57

ANEXO A........................................................................................................................................................ 61

ANEXO B ........................................................................................................................................................ 66

INTRODUCCIÓN

Ariza H. F. J. 1

1. INTRODUCCIÓN

Muchos de los fenómenos aleatorios, tales como el número de accidentes

automovilísticos en un cruce de carretera, el número de fallas de una máquina o sistema, el

recorrido de una partícula en movimiento browniano, el volumen de agua fluctuante en

sistema de suministro de agua, el crecimiento de una población (humana o bacteriológica),

etc., se presentan en la naturaleza y son estudiados en diferentes áreas como la Física,

Ingeniería, Biología, Medicina, Ciencias Sociales, y otras disciplinas científicas. Estos

fenómenos generalmente son distribuidos en forma irregular dentro de alguna región del

espacio o algún intervalo de tiempo, lo que implica que para su estudio se haga uso de la

teoría de procesos estocásticos.

Para el estudio de muchos de estos fenómenos aleatorios, dos procesos estocásticos

desempeñan un papel fundamental, el Proceso de Wiener y el Proceso de Poisson. El

desarrollo de este trabajo se enfoca básicamente en el estudio del Proceso de Poisson,

referente a fenómenos aleatorios como son los procesos de conteo.

El Proceso Poisson No Homogéneo (PPNH) es usado rutinaria y extensivamente

para modelar fallas en sistemas reparables y en pruebas para software. El trabajo que se

realiza en esta tesis consiste en desarrollar pruebas de validación estadística, para un

conjunto de datos, que representan los tiempos de ocurrencia de fallas en un sistema de

control, en los cuales se desea verificar si los tiempos de falla obedecen a un PPNH con

CapíCapíCapíCapítulo tulo tulo tulo IIII

INTRODUCCIÓN

Ariza H. F. J. 2

función de intensidad tE t e( ) ;βλ θβ −= β > 0, θ > 0, o bien si son un PPNH con función de

intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0, θ > 0, α > 0.

1.1 Antecedentes

Algunos de los fenómenos aleatorios mencionados anteriormente, pueden ser

estudiados como un Proceso Poisson No Homogéneo, con una función de intensidad λ(t)

dada, por lo que es razonable probar el contraste de hipótesis siguiente:

0 1H t es constante vs H t es monótona creciente: ( ) : ( )λ λ (1.1)

En el contraste de hipótesis dada en (1.1), es importante asumir un PPNH en un

intervalo de tiempo (0,T] y que el número de eventos ocurridos hasta el tiempo T, sea una

variable aleatoria Poisson NT, con tiempos de ocurrencia 0<T1<T2<…<Tn<T. Cox y Lewis

(1966) mencionan que una de las primeras pruebas para (1.1), es atribuida a Laplace y

muestran que esta prueba es óptima para probar un PPNH con función de intensidad log-

lineal. Esta prueba esta basada en la estadística:

n

i

i 1 0

TL

T=

=∑ (1.2)

Bajo ciertas condiciones de regularidad, la estadística L definida en (1.2) y

aplicando el Teorema Central del Límite nos dice que para n grande, si 1

21

12

L

nZ

n

−= , entonces

Z ∼ N(0,1), Cox y Lewis (1966), Ascher y Feingold (1984). Entonces para un tamaño de

muestra n, y un α* dado, se tiene que α* = PL> 1

n nZ

2 12 *α−+ , donde Z1-α* es el 1-α* ésimo

cuantil de la distribución N(0,1). Por lo tanto, se rechaza H0 en (1.1) si: 1

n nL Z

2 12 *α−> + .

Cox (1955), discute el uso de la prueba de Laplace, para probar:

t0 1H t vs H t e: ( ) : ( ) βλ λ λ λ= = (1.3)

INTRODUCCIÓN

Ariza H. F. J. 3

Boswell (1966), desarrolla la Prueba de Razón de Verosimilitudes, para el juego de

hipótesis dado en (1.1), asumiendo un PPNH arbitrario y condicionando en N = n.

Saw (1975), presenta una nueva forma para probar el juego de hipótesis dada en

(1.1). En su presentación considera el hecho de que T1, T2, …, Tn, son las estadísticas de

orden de una muestra de tamaño n, de la densidad (t)f(t)=

(T)λ

Λ ; donde 0

T

(T ) ( t )dtλΛ = ∫

Vaquera (1997), aplica también la Prueba de Razón de Verosimilitudes, para probar

tendencia en datos de Ozono, asumiendo un PPNH con función de intensidad

1 tt t e 0( ) ; , , ( , )αα βλ µα α µ β−= > ∈ −∞ ∞ , además, compara los estimadores de máxima

verosimilitud con el estimador no paramétrico Kernel suavizado de λ(t).

Crow (1974) desarrolla la metodología para un nuevo PPNH:

1

0 1

1 tH t vs H t: ( ) : ( )

ββ

λ λθ θ θ

− = =

(1.4)

Crow (1984) considera una prueba de bondad de ajuste para datos que provienen de

un PPNH usando la estadística de Cramer-von Mises y obtiene una tabla de valores críticos

para esta estadística. Park y Kim (1992) usan la estadística de Kolmogorov-Smirnov, la de

Cramer-von Mises y la de Anderson-Darling para una prueba de bondad de ajuste para el

proceso Ley Potencia, ellos presentan tablas de valores críticos para esas estadísticas. Lucas

(2000) realiza una prueba de bondad de ajuste para el mismo proceso, utilizando como

estadística de prueba el estimador de momentos del coeficiente de correlación.

Muchos modelos de confiabilidad han sido propuestos para modelar los tiempos de

fallas en pruebas para software, tales como el modelo de Duane (1964), Jelinski y Moranda

(1972), Goel y Okumoto (1984), Cox y Lewis (1966), entre otros.

INTRODUCCIÓN

Ariza H. F. J. 4

1.2 Planteamiento del Problema

Cuando se tiene un conjunto de datos, muchas veces se inicia el proceso de

estimación puntual o por intervalo de parámetros, suponiendo que esos datos provienen de

un modelo distribucional conocido. Esto, debido a varias razones, una es que puede suceder

que no existan pruebas de validación estadística para el modelo propuesto, u otra porque la

implementación de tal prueba de validación sea muy difícil de aplicar y el investigador la

pase por alto o simplemente con base en la experiencia de trabajar con el modelo, no se

realice tal verificación.

La presente investigación surge con la motivación de analizar un conjunto de datos,

los cuales representan los tiempos de ocurrencia de fallas de un Sistema de Datos para

Tácticas Navales. Por lo tanto, este estudio consiste principalmente de dos fases

importantes:

Fase 1. Verificar mediante una prueba de bondad de ajuste basada en el Coeficiente de

Correlación que los tiempos de falla son un PPNH con función de intensidad

1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0, θ > 0, α > 0. Este es el Proceso Goel-Okumoto con función de

distribución Weibull (PPNH-W).

Fase 2. De cumplirse la Fase 1, se desarrolla la Prueba de Razón de Verosimilitudes

Generalizada para verificar si los tiempos de falla pertenecen a un modelo más restringido

como el Proceso Goel-Okumoto con función de distribución Exponencial, el cual es un

PPNH con función de intensidad tE t e( ) ;βλ θβ −= β > 0, θ > 0 (PPNH-E), contra el

modelo alternativo de un PPNH con función de intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0,θ >

0, α > 0 (PPNH-W).

OBJETIVOS

Ariza H. F. J. 5

2. OBJETIVOS

Los objetivos de este estudio son:

1) Desarrollar una prueba de bondad de ajuste basada en el estimador de momentos del

coeficiente de correlación, para probar:

1 10 1: ( ) e : ( ) et tH t t vs H t t

α αα β α βλ θ βα λ θ βα− − − −= ≠

Así como el obtener los valores críticos de la prueba.

2) Desarrollar la Prueba de Razón de Verosimilitudes Generalizada, para verificar el

siguiente contraste de hipótesis:

10 1: ( ) e : ( ) et tH t vs H t t

αβ α βλ θ β λ θ βα− − −= =

3) Realizar un estudio de simulación Monte-Carlo para estimar el tamaño y potencia

de ambas pruebas.

CapíCapíCapíCapítulo tulo tulo tulo IIIIIIII

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 6

3. MARCO TEÓRICO

Esta sección contiene una revisión sobre nociones elementales y básicas de la teoría

de Procesos Estocásticos, en particular del Proceso de Poisson; así como también, algunos

procedimientos de inferencia estadística como la estimación de parámetros por máxima

verosimilitud y de pruebas de hipótesis.

3.1 Algunos Conceptos de Procesos Estocásticos

La teoría de los Procesos Estocásticos se define generalmente como la parte

“dinámica” de la teoría de Probabilidades, donde se estudia un conjunto de v.a.’s (llamado

proceso estocástico) desde el punto de vista de su interdependencia y su comportamiento

límite (Parzen, 1972).

Es decir, siempre que examinemos a un proceso o fenómeno aleatorio que se

desarrolle a través del tiempo y que esté controlado por leyes probabilísticas más que las

determinísticas, es a lo que llamamos un Proceso Estocástico. Una definición formal de

proceso estocástico es la siguiente:

Un proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias X(t) : t e T; donde t

es un parámetro que toma valores en el conjunto T, al cual se le llama conjunto índice del

proceso (Parzen, 1972).

CapíCapíCapíCapítulo tulo tulo tulo IIIIIIIIIIII

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 7

T generalmente representa al tiempo (pero también puede ser espacio) y X(t) es una

función de dos variables, es decir X(t) ≡ X(w,t), donde w e Ω (espacio muestral de X) y t e

T. Sobre la naturaleza del contradominio de X (denotado por Rx), el cual es llamado

espacio-estado y la naturaleza de T, no tenemos restricción, de tal manera que pueden ser

contables o continuos. Con base en lo anterior, podemos distinguir a los procesos

estocásticos como sigue:

•• Si Rx = 0,1,2,... , un conjunto numerable, el proceso estocástico es llamado,

proceso estocástico con espacio de estados discretos. Sí Rx = o algún intervalo de

(no numerable, continuo) se dice que el proceso estocástico toma valores reales.

•• Sí T = 0,1,2,... se dice que el proceso estocástico es un proceso de tiempo

discreto.. Sí T = (0, √∞) se dice que el proceso estocástico es un proceso de tiempo

continuo.

Una realización o función muestral de un proceso estocástico X(t) : t e T, es una

asignación de un posible valor de X(t), para cada t e T. Los valores de X(t) pueden ser 1-

dimensional, 2-dimensional o k-dimensional, (Karlin and Taylor, 1975).

Los procesos contadores o de conteo, representan uno de los tipos clásicos de los

procesos estocásticos, junto con los procesos estacionarios e independientes, procesos de

Markov y procesos de renovación, (Karlin and Taylor, 1975).

3.1.1. Proceso de Poisson

El Proceso Poisson juega un papel muy importante dentro de los procesos de

contaje, ya que se usa como un modelo para el conteo de eventos aleatorios.

Definición 1

Proceso Poisson. Sea un proceso contador N(t): t > 0 , se dice que es de tipo

Poisson con intensidad l, l>0, sí:

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 8

i. N(0) = 0

ii. Para cualquiera tiempos t0 = 0 < t1 < t2 < . . . < tn , los incrementos del

proceso N(t2)- N(t1), N(t3)– N (t2), . . . , N(tn) – N (tn-1), son v.a’s

independientes.

iii. Para toda s, t ≥ 0 , la v.a. N(t+s)-N(s) tiene distribución Poisson.

( )

( ) ( ) ; 0,1, 2,...!

nt t

P N s t N s e nn

λ λ−+ − = = (3.1)

Por la definición 1, se tiene que el proceso tiene incrementos estacionarios e

independientes y además se puede ver de la ecuación (3.1) que: EN(t) = lt, y V(N(t)) =lt

(ver demostración en Karlin and Taylor, 1975).

Otra definición alternativa está dada por:

Definición 2

Proceso Poisson: Es un proceso contador N(t): t > 0 , con intensidad l, l>0, sí:

i. N(0) = 0

ii. El proceso tiene incrementos independientes y estacionarios.

iii. Pr N(h) = 1 = lh + 0(h)

iv. Pr N(h) ≥ 2 = 0(h).

donde 0(h) es cualquier cantidad que después de dividirla por h tiende a cero, como

h → 0

En Ross (1996) se demuestra que la Definición 1 y la Definición 2 son equivalentes.

3.1.2 Proceso Poisson Homogéneo y No Homogéneo

Para un Proceso de Poisson N(t): t > 0 con intensidad l, l>0, se define la función

de intensidad o razón de ocurrencia de eventos como:

( ) ( ) ( )d d

t E N t m tdt dt

λ = = (3.2)

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 9

A m(t) se le llama la función media del proceso, es decir:

0

( ) ( )t

m t s dsλ= ∫ (3.3)

Sí m(t) = lt, implica que l(t) = d

dt(lt) = l, entonces se dice que el proceso Poisson

es Estacionario u homogéneo.

En muchos casos es factible considerar a l como a una función de t, i.e. l = l(t). Sí

el Proceso de Poisson N(t): t > 0, es tal que las condiciones 2, 3 y 4 de la definición 2 son

reemplazadas por (Basawa and Prakasa, 1980):

i. N(t) t >0, tiene incrementos independientes.

ii. PrN(t+h)-N(t) = 1 = l(t)h + 0(h)

iii. PrN(t+h)-N(t) ≥ 2 = 0(h).

donde 0(h) es cualquier cantidad que después de dividirla por h tiende a cero, como

h→0

Entonces se dice que el proceso N(t): t > 0, es un Proceso Poisson No

Homogéneo o no Estacionario.

Se presenta a continuación las principales propiedades de un Proceso Poisson No

Homogéneo, (Basawa and Prakasa, 1980).

a) Sea N1, N2, . . . variables aleatorias que denotan el número de eventos que ocurren

en intervalos disjuntos, digamos [0, u1), [u1, u2), . . . Entonces N1, N2, . . . son

variables aleatorias independientes Poisson, es decir:

1 1

( ) ( )

Pr ; 0,1, 2,...!

r r

r r

nu u

u u

r

exp s ds s ds

N n nn

λ λ− −

− = = =∫ ∫

(3.4)

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 10

b) Sean 0 < t1 < t2 < . . . los tiempos en los cuales los eventos ocurren. Entonces los

intervalos entre ocurrencia Tk = tk - tk-1 (k = 1, 2, . . . ) son variables aleatorias

independientes con densidad:

1

( ) ( ) exp ( )k

k

k

t

T k k

t

f t t s dsλ λ−

= −

∫ (3.5)

c) Condicionando a N(t) = n, los tiempos en los cuales los eventos ocurren; es decir, 0

< t1 < t2 < . . . < tn (≤ To) son distribuidos como las n estadísticas de orden que

corresponden a una muestra aleatoria de n observaciones de la densidad:

0 0

0

( )( ) ; 0

( )T

tf t t T

s ds

λ

λ

= ≤ ≤

∫ (3.6)

Esta función se reduce a una distribución uniforme sobre el intervalo (0,T0) cuando

λ(t) = λ.

3.2 Método de Máxima Verosimilitud

El método de máxima verosimilitud es una de las técnicas más populares para

obtener estimadores; y para mostrar correctamente a este método primero se define a la

función de verosimilitud como:

Definición 3

Función de Verosimilitud, (Mood, 1974): La función de verosimilitud de las n

variables aleatorias, X1,X2,...,Xn, independientes e idénticamente distribuidas (iid), es

definida como la densidad conjunta de las n variables aleatorias, la cual es

considerada como una función de los parámetros; es decir:

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 11

1 ,... 1

1

( ; ) ( ,..., ; )

( ; )

n

i

X X n

n

X i

i

L f x x

f x

θ θ

θ=

=

=∏

x

(3.7)

Note que en la ecuación (3.7) el parámetro θ puede ser un vector.

La función de verosimilitud L(θ; x1,x2,..,xn) da la verosimilitud cuando las variables

aleatorias toman un valor en particular x1, x2, . . . ,xn. La verosimilitud es el valor de una

función de densidad y cuando se tienen variables aleatorias discretas es una probabilidad.

Para un conjunto de datos observados representados por x1,x2,...,xn, que provienen de

una función de distribución f(x;θ), el problema de los estimadores de máxima verosimilitud

consiste en conocer cual es el valor de θ que nos da la verosimilitud o probabilidad mas

grande para ese conjunto de datos observado; en otras palabras, queremos encontrar el valor

de θ e Θ, denotado por θ , el cual maximiza la función de verosimilitud L(θ;x1,x2,... xn);

generalmente θ es una función de x1, x2, . . . ,xn, es decir :

1ˆ ( ,..., )ng x xθ = (3.8)

Cuando este es el caso, la variable aleatoria 1ˆ ( ,..., )ng X XΘ = es llamada estimador

de máxima verosimilitud de θ.

Definición 4.

Estimador de Máxima Verosimilitud, (Mood, 1974): Sea L(θ) = L(θ;x1,x2,... xn), la

función de verosimilitud para las variables aleatorias X1, X2, . . . , Xn. Si θ [donde

1ˆ ( ,..., )ng x xθ = es una función de las observaciones x1, x2 ,. . ., xn] es el valor de θ e

Θ, el cual maximiza a L(θ), entonces 1ˆ ( ,..., )ng X XΘ = es el estimador de máxima

verosimilitud de θ. Y 1ˆ ( ,..., )ng x xθ = es el estimador de máxima verosimilitud de

θ, para la realización x1, x2 ,. . . xn.

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 12

Muchas de la funciones de verosimilitud cumplen con ciertas condiciones de

regularidad. Por ejemplo, si L(θ) es diferenciable con respecto a sus parámetros, es posible

obtener los estimadores de máxima verosimilitud para θ1,...,θk resolviendo el sistema de

ecuaciones:

( )

0; 1,...,i

dLi k

d

θθ

= = (3.9)

Cuando esto no es posible, se pueden utilizar otras alternativas como los métodos

numéricos o extremos de funciones monótonas.

3.3 Pruebas de Hipótesis

Una hipótesis estadística es una hipótesis acerca de la distribución de una población.

Una definición formal es:

Definición 5.

Hipótesis Estadística (Mood, 1975): una hipótesis estadística es una aseveración o

conjetura acerca de la distribución de una o más variables aleatorias. Si en la

hipótesis estadística la distribución se encuentra completamente especificada,

entonces es llamada hipótesis simple; de otra manera, es llamada hipótesis

compuesta.

Sea X1, X2, . . . , Xn una muestra aleatoria con densidad f(x;θ), donde θ es el

parámetro de la distribución, θ e Ω, Ω conocido. Entonces, típicamente se tiene interés en

probar el juego de hipótesis:

0 1H : :vs Hθ ω θ ω∈ ∈Ω− (3.10)

donde ω Õ Ω, Ω Õ k y ω es conocido. Esto es, con base en X1, X2, . . . , Xn se

desea decidir si rechazamos H0 a favor de H1 o no rechazamos H0.

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 13

Para esto se utiliza una prueba que está basada en el conjunto X = x | x una

realización de X. Entonces la prueba es una partición de X en XA y XR, es decir XA » XR =

X y XA … XR = «. Entonces si la realización x de X cae en XA, no se rechaza Ho y si cae en

XR, se rechaza Ho. A XA se le llama región de no rechazo y a XR se le llama región de

rechazo o región crítica.

Generalmente, XR nos define una prueba: XR = x e X : s(x) > k; donde a s(x) se le

llama estadística de prueba.

Para cada prueba XR, se le asocia una función indicadora:

: 0,1RX Xφ →

tal que,

( ) 1,

0,RX R

A

x si X

si X

φ = ∈

= ∈

x

x (3.11)

Es decir, la regla de decisión sería:

Rechazar H0 si φ(x) = 1

No Rechazar H0 si φ(x) = 0

3.3.1 Función de Potencia y Tamaño de la Prueba

Decidiendo si se acepta o se rechaza una hipótesis nula H0, un experimentador

puede cometer un error. Usualmente, las pruebas de hipótesis son evaluadas y comparadas

a través de sus probabilidades de cometer errores. Cuando usamos la prueba φ. Podemos

cometer dos tipos de errores:

Error tipo I. Rechazar H0 cuando realmente es verdadera.

Error tipo II. No rechazar H0 cuando en realidad es falsa.

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 14

Por lo tanto, es razonable escoger una prueba φ* que minimice la probabilidad de

ocurrencia de ambos tipos de errores. Pero desgraciadamente, tal prueba φ* no existe, ya

que cuando se minimiza la probabilidad de unos de los errores, aumenta la probabilidad de

otro error. Por esta razón, se fija la probabilidad de cometer el error tipo I y se trata de

minimizar la probabilidad del error tipo II.

Consideremos la siguiente definición:

Definición 6.

Función de potencia, (Casella, 2002): La función de potencia de una prueba de

hipótesis con región de rechazo XR es una función de θ definido por:

R( ) =P( X )β θ ∈X (3.12)

La función de potencia ideal es 0 para toda θ e ω y 1 para toda θ e W - ω. Excepto en

situaciones triviales, esta forma ideal no puede ser obtenida; sin embargo, una buena prueba

tiene una función de potencia cercana a 1 cuando θ e W - ω y cercana a 0 cuando θ e ω.

Las siguientes dos definiciones se usan cuando discutimos pruebas que controlan la

probabilidad de Error tipo I.

Definición 7

Tamaño de una prueba. (Casella, 2002): Para 0 ≤ α ≤ 1, una prueba con función de

potencia β(θ) es una prueba de tamaño α si:

sup ( )θ ω β θ α∈ = (3.13)

Definición 8

Nivel de una prueba, (Casella, 2002): Para 0 ≤ α ≤ 1, una prueba con función de

potencia β(θ) es una prueba de nivel α si:

sup ( )θ ω β θ α∈ ≤ (3.14)

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 15

Notamos que si θ e W - ω, entonces:

β(θ) = P φ(x) = 1 | θ = 1 - Pφ(x) = 0 | θ

=1 - PError tipo II usando | φ θ (3.15)

Es decir, PError tipo II usando φ | θ es pequeña cuando βφ (θ) es próxima a uno

con θ e W - ω. Por lo tanto, es deseable encontrar una prueba φ* de tamaño α, tal que su

función de potencia βφ*(θ) sea uniformemente máximo respecto a todas las pruebas de

tamaño α. Por lo tanto, φ* es tal que:

1. βφ*(θ) ≤ α, para toda θ e ω

2. βφ*(θ) ≥ βφ (θ), para toda θ e W - ω y cualquier otra prueba φ que cumpla 1.

A la prueba φ* se le llama la prueba uniformemente más potente de tamaño α,

(UMP(α)) para probar la hipótesis (3.10).

3.4 Prueba de Razón de Verosimilitudes Generalizada Existen diferentes métodos para desarrollar pruebas de hipótesis, estos

procedimientos son utilizados en diferentes situaciones, dependiendo del problema. Ahora

se describe un método general y que casi siempre es aplicable y en muchos de los casos es

también óptimo.

El método de razón de verosimilitudes generalizada para probar hipótesis está

relacionado con la estimación de parámetros por máxima verosimilitud.

Si asumimos que X1, X2, . . . , Xn es una muestra aleatoria de una población con

función de densidad f(x|θ), (θ pede ser un vector) la función de verosimilitud es definida

como:

11

( ; ,..., ) ( ; ) ( ; ) ( ; )i

n

n X i

i

L x x L f f xθ θ θ θ=

= = =∏x x (3.16)

Sea Ω el espacio de parámetros, entonces la prueba de razón de verosimilitudes se

define como:

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 16

Definición 9

Prueba de razón de verosimilitudes (Casella, 2002): la prueba de razón de

verosimilitudes estadística para probar la hipótesis: H0 : θ e ω versus H1 = θ e Ω- ω

es:

θ ω

θ

θλ

θ∈

∈Ω

( ) =sup L( ;x)

xsup L( ;x)

(3.17)

La prueba de razón de verosimilitudes tiene una región de rechazo de la forma x:

λ(x) ≤ c, donde c es cualquier numero entre 0 y 1. Es decir, rechazamos H0 para valores

pequeños de λ(x). Notamos que λ(x) es una función de x1,…,xn, es decir λ(x1,…,xn), por lo

que λ(x) es una estadística y por lo tanto no depende de ningún parámetro. Generalmente la

prueba de razón de verosimilitudes es una buena prueba.

3.4.1. Distribución Asintótica de la Prueba de Razón de Verosimilitudes

Cuando se aplica la Prueba de Razón de Verosimilitudes a un problema complicado

es posible que la distribución de la estadística λ(x) sea intratable analíticamente, entonces

una aproximación a la distribución puede hacerse usando la distribución asintótica de la

prueba de razón de verosimilitudes. El siguiente teorema refiere a dicha distribución

asintótica.

Teorema 1. (Mood, 1975): Sea X1, …,Xn una muestra con función de densidad

fX(x;θ), donde θ = (θ1,…, θk).

Suponga que el espacio de parámetros denotado por Θ k-dimensional. Se desea

probar la hipótesis:

H0: θ1 = θ’1,…,θr = θ’r, θr+1,…,θk,

donde θ’1,…,θ’r son constantes conocidas y θr+1,…,θk son no especificadas.

Entonces -2 log λ(X) es una variable aleatoria que se distribuye aproximadamente

como una distribución ji-cuadrada con r grados de libertad, 2rχ ; cuando la hipótesis

nula es verdadera y el tamaño de muestra es grande.

MARCO TEÓRICO.

Ariza H. F. J. 17

Como se ha mencionado en la sección 3.4.1, el principio de la prueba de razón de

verosimilitudes dice que H0 es rechazada para valores pequeños de λ(x), pero entonces -2

log λ(x) crece cuando λ(x) decrece, entonces una prueba que es equivalente a la prueba de

razón de verosimilitudes es rechazar H0 para valores grandes de -2 log λ(x). Entonces, el

teorema 1 nos da una distribución aproximada para los valores de -2 log λ(x), cuando H0 es

verdadera. Entonces la prueba para un tamaño α dado, es:

Rechazar Ho si y solo si -2 log λ(x) > 21 αχ − (r)

donde 21 αχ − (r) es el (1-α)-cuantil de la distribución ji-cuadrada con r grados de libertad.

Notamos que los grados de libertad r es el numero de componentes del espacio paramétrico

que son especificados en la hipótesis nula.

3.5 Prueba del Coeficiente de Correlación

La prueba del Coeficiente de Correlación se basa en medir el grado de asociación

lineal entre una variable dependiente –digamos Y- y otra variable independiente X; esto

mediante el estimador de momentos del coeficiente de correlación, definido por:

1

2 2

1 1

( )( )( , )

( ) ( )

n

i i

i

n n

i i

i i

X X Y Y

r Corr X Y

X X Y Y

=

= =

− −= =

− −

∑

∑ ∑ (3.18)

Cabe mencionar que se espera una correlación cercana a uno entre las variables X y

Y bajo H0, es decir casi perfecta. Por lo tanto, la prueba rechaza H0 cuando r en (3.18) es

menor a un valor c, que cumpla que 0 ≤ c ≤ 1. es decir para una α’ dada Prechazar H0 |

H0= Pr ≤ cα’,n| H0 = F(cα’,n), de donde cα’,n = F-1(α’) y F es la función de distribución de

r bajo H0.

PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

Ariza H. F. J. 18

4. PRUEBA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PARA

UN PPNH

En este capítulo se presenta la prueba del Coeficiente de Correlación, la cual nos

será útil para dar validez a conjuntos de datos que se supone siguen un proceso poisson no

homogéneo.

Con frecuencia, uno comienza un análisis probabilístico de un fenómeno dado,

estableciendo como hipótesis que algunos de sus elementos aleatorios tienen una

distribución de probabilidad en particular. Entonces cuando deseamos verificar tales

hipótesis en forma estadística, es decir H0: F(x) = F0(x), donde x = x1, x2 ,. . . xn, son

observaciones independientes de variables aleatorias con función de distribución F(x) y

F0(x) es alguna función de distribución en particular, se dice que a estas pruebas

estadísticas se les llama Pruebas de Bondad de Ajuste, (Kendall y Stuart, 1973)

Las pruebas de bondad de ajuste son una parte importante en cualquier tipo de

análisis de datos y son útiles para saber si una distribución de probabilidad supuesta es

congruente con un conjunto de datos dado. Una gran variedad de pruebas de bondad de

ajuste se pueden encontrar en la literatura, como son la prueba de bondad de ajuste ji-

cuadrada, prueba de Pearson, prueba de Kolmogorov-Smirnov, prueba del Coeficiente de

Correlación, prueba de Razón de Verosimilitudes Generalizada, etc.

CapíCapíCapíCapítulo tulo tulo tulo IVIVIVIV


Ariza H. F. J. 19

A continuación se presenta el desarrollo metodológico de la prueba del coeficiente

de correlación para un proceso poisson no homogéneo con una función de intensidad λ(t)

dada de antemano.

Como se ha mencionado anteriormente una prueba relativamente sencilla de

implementar es la prueba del “Coeficiente de Correlación”; en donde la distribución de la

estadística de prueba es obtenida usando simulación Monte- Carlo.

La prueba del coeficiente de correlación fue introducida por Filliben (1975) para

probar bondad de ajuste de la distribución Normal. Las tablas fueron actualizadas por

Looney y Gulledge (1985). Esta prueba fue hecha ordenando los datos, asociado con cada

datum del valor esperado de las estadísticas de orden con igual rango, luego calculando el

coeficiente de correlación entre los datos y las desviaciones normales estándar, finalmente

usando las tablas para encontrar la probabilidad de ajuste asociado con las correlaciones

observadas. Kinnison (1985) presenta una tabla para probar bondad de ajuste de la

distribución de valores extremos Tipo I (Gumbel) usando el método del Coeficiente de

Correlación. López (2000) también utiliza el método del Coeficiente de Correlación para

probar un Proceso Poisson No Homogéneo.

4.1 Implementación de la Prueba

Implementar la prueba del coeficiente de correlación consiste básicamente en

aplicar la metodología que desarrolla López (2000), la cual considera una prueba de bondad

de ajuste para la función de valor medio de un Proceso Poisson No Homogéneo (PPNH)

usando el estimador de momento del coeficiente de correlación como estadística de prueba.

Si se estudia a un fenómeno aleatorio como un PPNH durante un periodo de tiempo

(0, T0), con tiempos de ocurrencia de eventos t1, t2, …, tn, y con función de valor medio

m(t), la metodología se desarrolla condicionando a N = n y linealizando la función de valor

medio m(t), de manera siguiente se usa el coeficiente de correlación entre X y Y que

resultan de linealizar las función media de la función de intensidad.


Ariza H. F. J. 20

Dicho lo anterior el problema consiste en contrastar:

0 1t t vs t t: m( ) m* ( ) : m( ) m* ( )Η = Η ≠ (4.1)

El resultado de esta prueba indica si la función de la valor medio m*(t) es adecuada

para dicho PPNH o bien si ésta es diferente. Se puede ver también que la hipótesis hecha en

(4.1) puede ser expresada en términos de la función de intensidad λ(t) del PPNH.

En este trabajo se estudian dos modelos presentados por Kuo y Yang (1996), para la

función de intensidad. Para este tipo de modelos es necesario asumir que N tiene una

distribución Poisson con media θ. De modo, que se parte del supuesto que N(t); t > 0 es

un PPNH con m(t) = θF(t), donde F es la función de distribución acumulada de f. En

particular cuando F(t) = (1 )teαβθ −− , entonces N(t) es un PPNH con ( ) (1 )tm t e

αβθ −= − .

Dicho lo anterior, el modelo que aquí se trabaja es el siguiente:

0*( ) (1 ) [0, ], 0, 0, 0tm t e t Tαβθ α β θ−= − ∈ > > > (4.2)

Es decir, sustituyendo (4.2) en (4.1), particularmente se desea realizar el siguiente

contraste de hipótesis:

t t0 1m t 1 e vs t 1 e: * ( ) ( ) : m*( ) ( )

α αβ βθ θ− −Η = − Η ≠ − (4.3)

El modelo que sigue una función de intensidad con función de valor medio

presentada en (4.2) es una modificación del proceso de Goel-Okumoto (Goel-Okumoto,

1979), el cual utiliza un función de distribución Exponencial en la función de intensidad.

Sin embargo el proceso de Goel-Okumoto puede ser también considerado con una

función de distribución Weibull, como es el caso que se presenta en (4.2), al que

llamaremos PPNH-W. Estos modelos han sido utilizados en pruebas de software para

modelar tiempos de falla. Kuo y Yang (1996) obtienen los estimadores de máxima

verosimilitud y bayesianos para estos modelos.


Ariza H. F. J. 21

Como m(t) es diferenciable, entonces la función de intensidad o razón de ocurrencia

de fallas definida en (3.2), para (4.2) es:

1( ) ; 0, 0, 0t

W t t eαα βλ θβ α θ β α− −= > > > (4.4)

Ahora el modelo presentado en (4.2) puede ser escrito en forma lineal como se

muestra a continuación:

( )

log log(1 ) log log ;m t

tβ αθ

− − = + (4.5)

Escribiendo la forma general:

Y b a X= + (4.6)

Donde Y =( )

log log(1 ) ;m t

θ − −

X = log t, b= log β, a = α para el PPNH-W en

(4.2) y θ es un parámetro desconocido.

4.2 Estadística de Prueba

Como se puede ver, en nuestro estudio de un PPNH se cuenta con los tiempos de

ocurrencia de eventos t1 , ..., tn con función de intensidad λ(t), t e (0, T0], y condicionando

a N(t) = n, los tiempos en los cuales los eventos ocurren; es decir, 0 < t1 < t2 < . . . < tn

(≤T0) son distribuidos como las n estadísticas de orden que corresponden a una muestra

aleatoria de n observaciones de la densidad dada en (3.6), es decir:

0

0

( )( ) ; 0

( )T

tf t t T

s ds

λ

λ

= ≤ ≤

∫

Por lo tanto:

0

0

00

( ) ( )( ) ;

( )( )

t

T

s ds m tF t

m Ts ds

λ

λ= =∫∫

(4.7)


Ariza H. F. J. 22

Entonces N(t) = n es una realización de la variable aleatoria ℘(m(T0)). Dado que las

ti son los tiempos de ocurrencia de eventos y haciendo 0 0T m(T )λ = , entonces de (4.7),

tenemos:

0T( ) = ( )i im t F tλ (4.8)

Se puede ver que (4.8) tiene una distribución como la i-ésima estadística de orden,

de una muestra de tamaño n de la distribución U(0,λT); ya que F(·) converge en

probabilidad a una distribución uniforme estándar. Por lo tanto la i-ésima estadística de

orden de una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución U(0,1) tiene una

distribución eta(i,n-i+1); es decir, F(ti) ~ eta(i, n-i +1), (Arnold, 1992).

Ya que m(ti) es una cantidad no observable durante el proceso, entonces un buen

estimador de este valor desconocido, es su valor medio representado por:

0

( )1i T

iE m t

nλ=

+ (4.9)

Sustituyendo a m(ti) por Em(ti)en la ecuación (4.5), resultan ser:

0

1log log(1 ) log log ; 1,2,..,T

i

i

n t i n

λ

β αθ

+− − = + =

0log log(1 ) log log ; 1,2,...,1

T

i

it i n

n

λβ α

θ − − = + = +

(4.10)

En una situación real en donde solo se observa el número total de eventos N = n en

un periodo de tiempo [0,T0] y los tiempos de ocurrencia de eventos ti’s, las consideraciones

para obtener (4.10) son fundamentales. Bajo esta situación, el parámetro 0 0T m(T )λ =

representa el numero de eventos promedio ocurridos hasta el tiempo T0, y puede ser

estimado por N = n (Boswell, 1966); de la misma manera el parámetro θ, para este tipo de


Ariza H. F. J. 23

modelos, representa el valor medio de la variable aleatoria N, la cual tiene distribución

℘(θ), Kou y Yang (1996), por lo tanto puede ser estimado por N = n, de la misma manera

que 0T

λ . Entonces la ecuación (4.10), resulta finalmente de la forma siguiente:

log log(1 ) log log ; 1,2,...,1 i

it i n

nβ α − − = + = +

(4.11)

Donde:

log log(1 ) log ; 1, 2,...,1 i

iY y X t i n

n

= − − = = + (4.12)

Por otro lado, la veracidad de la H0 estará sustentada por el grado de asociación

lineal entre las variables X y Y obtenidas en (4.12). Esta dependencia lineal entre la

variables X y Y es medida mediante el estimador de momentos del coeficiente de

correlación r, definido en (3.18).

Dado que el estadístico r es invariante respecto a sus parámetros de localidad y

escala, entonces la función de distribución F(r) no depende de los parámetros a y b de la

ecuación (4.6), pero si depende del tamaño de muestra n, por lo tanto para calcular las

constantes críticas cα*,n utilizamos el procedimiento siguiente: para una α* dada, la

Prechazar H0 | H0= Pr ≤ cα*,n| H0 = Fr(cα*,n), de donde cα*,n = Fr-1(α*) y Fr es la función

de distribución de r. Por lo tanto, la regla de decisión es:

*,nRechazar Ho si y solo si r cα≤ (4.13)

En este trabajo la obtención de la distribución del estadístico r (estadística de

prueba) se obtiene usando simulación Monte-Carlo, con la ayuda del paquete R versión

2.1.1 (véase anexo A). Como se ha mencionado la distribución de r depende fuertemente

del valor de 0T

λ ; así el comportamiento al tiempo T0 depende de la realización de N = n;

por lo tanto es suficiente estudiar la distribución de r para un valor fijo de 0T

λ ; haciendo


Ariza H. F. J. 24

que N tome valores de acuerdo a la distribución ℘(θ), repitiendo este proceso muchas

veces bajo m(t) podemos obtener la distribución de r dado n.

El proceso de simulación Monte-Carlo para obtener la distribución del estadístico r

bajo m(t), dado un valor fijo de θ, α y β, puede resumirse en los siguientes pasos:

1. Condicionando N = n y bajo m(t), simular los n tiempos de ocurrencia de eventos t1,

… , tn.

2. Calcular el valor de X y Y, según (4.12).

3. Calcular la estadística r, definida en (3.18).

4. Repetir los pasos del 1 al 3, hasta obtener una muestra de tamaño m lo

suficientemente grande de r.

5. Obtener los cuantiles para cada tamaño de muestra n y α* dados.

Con base al procedimiento anterior se generó la Tabla 1 que muestra los valores

críticos cα*,n, para diferentes valores de λT (tamaño de muestra) y α* (niveles de

significancia), con m = 50 000. -en el paso 4- y con la ayuda del software R versión 2.1.1

(véase anexo A).

En el caso en el que se deseé obtener un valor crítico cα*,n con un tamaño de muestra

diferente a los presentados en la Tabla 1; éste se puede aproximar con la ayuda de las

expresiones logarítmicas obtenidas mediante mínimos cuadrados ordinarios utilizando la

ecuación general:

y c ln( x ) d= + (4.14)

donde c y d son constantes y ln es el logaritmo natural (neperiano). Las expresiones se

presentan en el cuadro siguiente, con un R2 > 0.99.

αααα* 0 < n ≤≤≤≤ 100 n ≥≥≥≥ 100

0.01 C0.01,n = 0.0466 ln (n) + 0.7304 C0.01,n = 0.0212 ln (n) + 0.8512

0.025 C0.025,n = 0.0384 ln (n) + 0.7834 C0.025,n = 0.0158 ln (n) + 0.8894

0.05 C0.05,n = 0.0311 ln (n) + 0.8270 C0.05,n = 0.0119 ln (n) + 0.9166


Ariza H. F. J. 25

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

0 200 400 600 800 1000

Tamño de muestra (n)

Valores críticos α* =0.05

α* =0.025

α* =0.05

Figura 4-1. Valores críticos de la estadística r para diferentes tamaños de muestra y niveles de

significancia α* = 0.01, 0.025 y 0.05.

En la figura 4-2 se muestra la forma de la distribución de r en forma gráfica, para

diferentes valores de 0T

λ (tamaños de muestra), bajo )1()(αβθ tetm −−= , para un valor fijo

de β = ½ y α = 1, y m = 50 000.

La gráfica que se presenta en la figura 4-2 nos muestra, que conforme el tamaño de

muestra o mas bien el número medio de ocurrencia de eventos aumenta, la distribución del

estadístico r tiende a concentrarse a la unidad, lo cual implica que aumenta la región de

rechazo de la prueba, cuando el valor de 0T

λ aumenta. Esta situación la podemos verificar

en los valores críticos cα*,n en la Tabla 1.


Ariza H. F. J. 26

DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA DE r

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.8 0.85 0.9 0.95 1

r

F(r)

N = 20

N = 30

N = 50

N = 100

N = 200

N = 400

Figura 4-2. Distribución de r dado que N = n, cada una con 50 000 repeticiones.


Ariza H. F. J 27

Tabla 1. Valores críticos para la prueba de bondad de ajuste para el PPNH-W

Niveles de α*

N = n 1% 2.5% 5% 10% 15% 20% 25% 50% 75% 95%

15 0.8566225 0.8857020 0.9081887 0.9302913 0.9422470 0.9502135 0.9558962 0.9726131 0.9826326 0.9909048

20 0.8712702 0.8989980 0.9204793 0.9402343 0.9505648 0.9576276 0.9625811 0.9768113 0.9852177 0.9919092

25 0.8774622 0.9058050 0.9271277 0.9463653 0.9559637 0.9624623 0.9671055 0.9798975 0.9871750 0.9929044

30 0.8892962 0.9147626 0.9345304 0.9516080 0.9606319 0.9662533 0.9703292 0.9820061 0.9883495 0.9934741

40 0.9018385 0.9261169 0.9438563 0.9588891 0.9668099 0.9717524 0.9753092 0.9849909 0.9903367 0.9945166

50 0.9151917 0.9356216 0.9507340 0.9642012 0.9711417 0.9755181 0.9786063 0.9870383 0.9916547 0.9952532

60 0.9224446 0.9418731 0.9558348 0.9683083 0.9743634 0.9781895 0.9809367 0.9884617 0.9925864 0.9957468

70 0.9284619 0.9469095 0.9596271 0.9708300 0.9766015 0.9802144 0.9828306 0.9896325 0.9932993 0.9961336

80 0.9352865 0.9520880 0.9632457 0.9735350 0.9785761 0.9818879 0.9842424 0.9905311 0.9939214 0.9964852

90 0.9388531 0.9547655 0.9655573 0.9753317 0.9802102 0.9833694 0.9855039 0.9912034 0.9943430 0.9967604

100 0.9442091 0.9581495 0.9678831 0.9766536 0.9813356 0.9842324 0.9862855 0.9917872 0.9947205 0.9969763

120 0.9497580 0.9621917 0.9713663 0.9795078 0.9836079 0.9861230 0.9879391 0.9927770 0.9953402 0.9973271

150 0.9575431 0.9689477 0.9763015 0.9827911 0.9860576 0.9882479 0.9897366 0.9938128 0.9960059 0.9976917

200 0.9649903 0.9744667 0.9805992 0.9859328 0.9885979 0.9902940 0.9915972 0.9949519 0.9967320 0.9981083

300 0.9745491 0.9809589 0.9855581 0.9893792 0.9914030 0.9926897 0.9936478 0.9961941 0.9975555 0.9985965

400 0.9798378 0.9853008 0.9886377 0.9916134 0.9931666 0.9941813 0.9949142 0.9968895 0.9980064 0.9988565

500 0.9828536 0.9873682 0.9902337 0.9928162 0.9941547 0.9949930 0.9956367 0.9973551 0.9983116 0.9990354

700 0.9872170 0.9904724 0.9926281 0.9945044 0.9954893 0.9961329 0.9965946 0.9979181 0.9986846 0.9992528

1000 0.9908111 0.9929551 0.9945054 0.9958496 0.9965775 0.9970494 0.9974026 0.9984105 0.9989918 0.9994304


Ariza H. F. J. 28

4.3 Ejemplo de Aplicación

En esta sección se trata un ejemplo con datos reales utilizando la metodología de la

prueba de bondad de ajuste de coeficiente de correlación desarrollada en la sección anterior.

Los datos que aquí se manejan, son obtenidos de Kuo y Young Yang (1996). Estos

datos refieren a 31 tiempos entre fallas (x1,…,x31), los cuales fueron basados en el reporte

realizado para uno de los grandes módulos del Sistema de Datos de Táctica Naval (NTDS).

Los primeros 26 errores de falla fueron encontrados durante la fase de producción del

sistema y las últimas 5 fallas durante la fase de prueba. Los tiempos entre fallas (x1,…,x31),

se presentan a continuación:

Tabla 2. Tiempos de ocurrencia entre fallas.

9 12 11 4 7 2 5 8 5 7 1 6 1 9 4 1 3

3 6 1 11 33 7 91 2 1 87 47 12 9 135

Fuente: Kuo y Young Yang (1996)

Kuo y Young Yang (1996) utilizan este mismo conjunto de datos para realizar una

comparación entre los estimadores de Bayes y los estimadores de Máxima Verosimilitud,

utilizando varios modelos como el presentado en (4.2), el cual es un modelo muy utilizado

por diferentes autores para modelar PPNH’s en confiabilidad de software.

En este sentido, se desea verificar, en primera instancia, si los datos de la Tabla 2,

son un PPNH con función de intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0, θ > 0, α > 0.

(PPNH-W), utilizando la prueba de bondad de ajuste del Coeficiente de Correlación; esto

con la aplicación la metodología presentada en la sección 4.2.

Se obtienen los tiempos de falla (t1,…,t31), mediante i

i jj 1

t x i 1 2 n; , ,...,=

= =∑ y se

muestran en la Tabla 3.


Ariza H. F. J. 29

Tabla 3. Tiempos de ocurrencia de las fallas.

9 21 32 36 43 45 50 58 63 70 71 77 78 87 91

92 95 98 104 105 116 149 156 247 249 250 337 384 396 405

540

En la figura 4-3, se presenta una gráfica t vs N(t), donde permite observar el número

de fallas acumuladas al tiempo T0, correspondiente a los datos presentados en la Tabla 3.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 100 200 300 400 500 600

t

N(t)

Figura 4-3. Gráfica del número de fallas acumuladas al tiempo T0.

Entonces, se tiene que Tλ = n, que para nuestro caso es n = 31. Ahora, calculando

los valores de X y Y, definidos en (4.12); es decir:

log log(1 ) ;1

iY

n

= − − + y X = log ti; i = 1, 2, …, n

Podemos ya calcular el Coeficiente de Correlación r que es nuestra estadística de

prueba, mediante la ecuación:


Ariza H. F. J. 30

n

i ii 1

n n2 2

i ii 1 i 1

X X Y Yr Corr X Y

X X Y Y

( )( )

( , )

( ) ( )

=

= =

− −= =

− −

∑

∑ ∑

Se realizan las operaciones necesarias en la ecuación anterior y se tiene finalmente

que el valor de r es 0.9753. Ahora mediante la regla de decisión, decidimos si los datos

apoyan o no a la hipótesis H0, es decir, si los datos de la Tabla 2 son un PPNH-W, para esto

supongamos que queremos un tamaño de prueba α* = 0.05; entonces de la Tabla 1,

obtenemos el valor crítico c0.05,31 para esta prueba, el cual se obtiene c0.05,31 = F-1(0.05) =

0.9345. Por lo tanto, la regla de decisión es rechazar H0 si y solo si r ≤ c0.05.

Entonces, dado que r = 0.9753 > 0.9345, se decide no rechazar H0; es decir, con un

nivel de significancia del 0.05, podemos apoyar la hipótesis y concluir que los tiempos de

fallas (t1,…,t31) presentados en la Tabal 2 son un Proceso Poisson No Homogéneo con

función de intensidad 1( ) ; 0, 0, 0t

W t t eαα βλ θβ α θ β α− −= > > > , (PPNH-W).

Por otro lado, un caso particular del PPNH-W, es el Proceso Poisson No

Homogéneo de tipo Exponencial (PPNH-E), el cual se tiene cuando α = 1 en la función de

valor medio de la ecuación (4.2), es decir cuando los tiempos de ocurrencia de fallas siguen

un Proceso Poisson No Homogéneo con una función de valor medio m*(t) = θF(t), donde F

es la función de distribución acumulada de la distribución Exponencial con parámetro β, es

decir:

0*( ) (1 ) [0, ], 0, 0tm t e t Tβθ β θ−= − ∈ > > (4.15)

Con función de intensidad:

( ) ; 0, 0t

E t e βλ θβ θ β−= > > (4.16)

Tanto el PPNH-W y el PPNH-E son modelos que han sido muy utilizados en

pruebas de software para modelar tiempos de fallas en sistemas Kou y Yang (1996).


Ariza H. F. J. 31

Ahora, una vez que se conoce que los tiempos de ocurrencia de falla siguen un

PPNH-W, se muestra interesante y deseable verificar si éstos tiempos de falla pueden

pertenecer a un modelo mas restringido como un PPNH-E. El inconveniente en este

problema, es que mediante la Prueba del Coeficiente de Correlación no podemos saber con

certeza si los tiempos de falla siguen un PPNH-E o bien un PPNH-W, ya que es evidente

que el modelo PPNH-E es un submodelo del PPNH-W; es decir se tiene cuando α = 1 en el

PPNH-W.

Por tanto, se plantea el desarrollo de la Prueba de Razón de Verosimilitudes

Generalizada, en la cual contrastamos que los tiempos de falla presentados en la Tabla 3

son un PPNH con función de intensidad tE t e( ) ;βλ θβ −= β > 0, θ > 0, contra que son un

PPNH con función de intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0, θ > 0, α > 0.

PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES GENERALIZADA.

Ariza H. F. J. 32

5. PRUEBA DE RAZÓN DE VEROSIMILITUDES

GENERALIZADA PARA UN PPNH

La prueba que se propone a continuación tiene la finalidad de verificar si los

tiempos de ocurrencia de eventos t1, t2, ..., tn, observados en un periodo de tiempo [0,T0] de

un proceso de poisson no homogéneo obedecen a un PPNH-E o bien a un PPNH-W. En

otras palabras, probar que los tiempos de eventos t1, t2, ..., tn, son un PPNH con función de

intensidad dada en (4.16) o bien rechazar a favor de que es un PPNH con función de

intensidad dada en (4.4).

El método de razón de verosimilitudes generalizada está relacionado con la

estimación de parámetros por máxima verosimilitud, los cuales son utilizados en la función

de verosimilitud definida en (3.16). Aquí, la prueba se desarrolla condicionando en N(t) =

n, y los tiempos en los cuales los eventos ocurren; es decir, 0 < t1 < t2 < . . . < tn (≤ T0) son

distribuidos como las n estadísticas de orden que corresponden a una muestra aleatoria de

n observaciones de la densidad dada en (3.6). Por lo tanto, la función de distribución

conjunta de 0 < t1 < t2 < . . . < tn ≤ To condicionando en N = n, esta dada por:

( )0

1

0

! ( )( )

( )

n

r

rT n

T

n t

f t

s ds

λ

λ

==∏

∫ (5.1)

CapíCapíCapíCapítulo tulo tulo tulo VVVV


Ariza H. F. J. 33

5.1 Implementación de la prueba

La prueba consiste en obtener el estimador λ* que es el cociente de la verosimilitud

máxima bajo el espacio de parámetros de la hipótesis nula, H0 y la verosimilitud máxima

bajo todo el espacio paramétrico.

Para nuestro caso, la función de verosimilitud se obtiene sustituyendo la función de

intensidad (4.16) en la ecuación (5.1) bajo la hipótesis nula, y la función de intensidad

(4.4) en (5.1) bajo la hipótesis alternativa.

Ahora enfocándonos a nuestro problema de estudiar a un PPNH en un periodo de

tiempo [0,To], con tiempos de ocurrencia de eventos t1, t2, …, tn, con función de intensidad

λ(t), y condicionando en N = n, se tiene interés en contrastar la siguiente hipótesis:

10 1: ( ) e : ( ) et tH t vs H t t

αβ α βλ θ β λ θ βα− − −= = (5.2)

Aquí podemos notar que (5.2) es equivalente a probar:

0 1: 1, 0 : 1, 0H vs Hα α α α= > ≠ > (5.3)

cuando se tiene un PPNH con función de intensidad 1( ) e tt tαα βλ θ βα − −= . Por lo tanto, nos

enfocaremos en la contrastación de hipótesis de (5.3).


Ariza H. F. J. 34

Entonces, se tiene que la función de verosimilitud, bajo la hipótesis nula es:

1

0

ˆ

1ˆ

! ( )

( )

ˆ ˆ! ( e )

ˆ[ (1 e )]

i

n

i

iE n

To

nt

i

To n

n t

L

s ds

nβ

β

λ

λ

θ β

θ

=

−

=−

=

=−

∏

∫

∏

ˆ

ˆ

ˆ! e

(1 e )

n

i

i

tn

E To n

nL

β

β

β =

−

−

∑

=−

(5.4)

Ahora la verosimilitud bajo todo el espacio de parámetros es:

0

1

0

ˆ1

1ˆ

! ( )

( )

ˆ ˆ ˆ! ( e )

ˆ[ (1 e )]

i

n

i

iW n

To

nt

i

r

T n

n t

L

s ds

n tα

α

βα

β

λ

λ

θ βα

θ

=

−−

=

−

=

=−

∏

∫

∏

1

0

ˆ( 1) log ( )

ˆ

ˆ ˆ! e

(1 e )

n n

i i

i i

t tn n

W T n

nL

α

α

α β

β

β α = =

− −

−

∑ ∑

=−

(5.5)

Donde ˆ ˆ ˆˆ( , , )α β θ=δ es el vector de estimadores de máxima verosimilitud, lo cuales

se obtienen mediante solución numérica con la ayuda de un programa realizado en R.2.1.1

(véase programa 3 del anexo B), utilizando como valores iniciales los estimadores de

mínimos cuadrados (véase programa 2 del anexo B).


Ariza H. F. J. 35

5.2 Estadística de prueba

Ahora aplicando la ecuación en (3.17), la razón e verosimilitudes para obtener la

estadística de prueba es

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

n

i

i

n nˆ

i i

i i

ˆ

n

i ˆi

n nˆ

i i

i i

ˆ- tn

ˆ- T n

ˆˆ( - ) log t - ( t )n n

ˆ- T n

ˆ tˆTn n

ˆ( ) log t ( t )ˆn n To n

sup L( ; )

sup L( ; )

ˆn! e

( - e )

ˆ ˆn! e

( - e )

ˆn! e ( e )

ˆ ˆn! e ( e )

α

α

α

α

θ ω

θ

β

β

α β

β

ββ

α ββ

β

β α

β

β α

=

= =

=

= =

∈

∈Ω

−−

− −−

=

∑

=∑ ∑

∑−

=∑ ∑

−

θ tλ*

θ t

0

1

1

1

1

n

i ˆi

n nˆ

i i

i i

ˆ tˆT n

ˆ( ) log t ( t )ˆn To n

e ( e )

ˆ e ( e )

α

α

ββ

α ββα

=

= =

−−

− −−

∑−

=∑ ∑

−

(5.6)

Una vez que se obtiene la estadística de prueba λ*, se requiere encontrar su

distribución de probabilidad, con la finalidad de obtener los valores críticos para la prueba

con el tamaño especificado. En nuestro caso, la distribución probabilística de la estadística

λ* no tiene una forma cerrada, por lo que requerimos aplicar el teorema 1, definido en la

sección 3.4.2, el cual establece que bajo ciertas condiciones de regularidad, la distribución

asintótica de -2 log λ* cuando el tamaño de muestra tiende a infinito se distribuye como una

ji-cuadrada con un grado de libertad, χ21. La estadística -2 log λ* puede ser representada en

una forma más simple de manejar, es decir:

E 0 W2 2 ˆ ˆlog l ( ; ) l ( ; ) − = − − λ* δ t δ t (5.7)


Ariza H. F. J. 36

donde E 0ˆl ( )δ ;t y W

ˆl ( )δ;t son las funciones log-verosimilitud de las ecuaciones (5.4) y

(5.5) respectivamente, las cuales están dadas por:

( )0

E 0 E

nT

ii 1

1

n n t n 1 e

E

ˆ

ˆ ˆ ˆl ( ; ) l ( , , ) log L

ˆ ˆlog log logβ

θ β α

β β −

=

= = =

= !+ − − −∑

δ t ;t (5.8)

( )

( )0

W W

n

ii 1

nT

ii 1

n n n 1 t

t n 1 eˆ

W

ˆˆ

ˆ ˆ ˆ ˆl ( ) l ( , , ) log L

ˆ ˆlog log log log

ˆ logαβα

θ β α

β α α

β

=

−

=

= =

= !+ + + −

− − −

∑

∑

δ;t ;t

(5.9)

Sustituyendo (5.8) y (5.9) en (5.7) obtenemos ahora la estadística:

( )

( ) ( )

0

0

E 0 W

nT

ii 1

n nT

i ii 1 i 1

2 2

2 n n t n 1 e n n

n 1 t t n 1 eˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ ˆlog l ( ) l ( )

ˆ ˆ ˆlog log log log log

ˆˆlog log logα

β

βα

β β β

α α β

−

=

−

= =

= − = − −

= − [ !+ − − − − !−

− − − + + − ]

∑

∑ ∑

λ ** λ* δ ;t δ;t

( )

( ) ( )0 0

n n n

i i ii 1 i 1 i 1

T T

2 [ t t n 1 t

n 1 e n 1 eˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆlog log

log logα

α

β β

β β α α= = =

− −

= − − + − − −

− − + − ]

∑ ∑ ∑ (5.10)

Entonces por el teorema 1, la distribución asintótica de λ** bajo la hipótesis nula

H0, está dada por:

21χλ ** ∼ (5.11)

El principio de la prueba de razón de verosimilitudes dice que H0 es rechazada para

valores pequeños de λ*, pero como -2 log λ* crece cuando λ* decrece, entonces una prueba


Ariza H. F. J. 37

que es equivalente a la prueba de razón de verosimilitudes es rechazar H0 para valores

grandes de 2 log= −λ ** λ * ., es decir:

120 ( ), *Rechazar H si y solo si log > αχ= −λ ** λ * (5.12)

donde χ(1),α* es el valor crítico de la prueba, el cual lo calculamos mediante el siguiente

procedimiento: para un α* dada,

α* = P[rechazar H0 | H0 es verdadera]

= Pr[λ** > χ(1),α* ]

=1- Pr[λ** < χ(1),α* ] = 1-F(χ(1),α*)

1-α* = F(χ(1),α*)

entonces:

χ(1),α* = F-1(1-α*) y F es la función de distribución de λ**, que

corresponde a un nivel de significancia 1-α* en la Tabla de la ji-cuadrada con un grado de

libertad, 21 αχ − (1).

Si H0 es rechazada, entonces se tiene evidencia a favor de la alternativa H1; es decir,

de que los tiempos de ocurrencia de eventos t1, …, tn sean un PPNH-W; si por el contrario,

Ho no es rechazada, entonces no se tiene evidencia para negar de que los tiempos de

ocurrencia sean una PPNH-E.

5.3 Continuación del Ejemplo de Aplicación

Como se ha mencionado en el capítulo anterior, el problema que se tiene con la

Prueba del Coeficiente de Correlación (PCC) es que no podemos discernir si los tiempos de

ocurrencia de las fallas siguen un PPNH-E o bien un PPNH-W; por lo que en las secciones

anteriores se ha desarrollado la Prueba de Razón de Verosimilitudes Generalizada (PRVG),

para dar solución a este problema.


Ariza H. F. J. 38

A continuación se desarrolla el procedimiento para verificar si los tiempos de falla,

presentados en la Tabla 2 son un PPNH-E o bien son un PPNH-W

i. Se plantea el siguiente contraste de hipótesis:

10 1: ( ) e : ( ) et tH t vs H t t

αβ α βλ θ β λ θ βα− − −= =

Aquí se puede ver, que en la hipótesis anterior es equivalente a contrastar:

0 1: 1, 0 : 1, 0H vs Hα α α α= > ≠ >

cuando se tiene un PPNH con función de intensidad 1( ) e tt tαα βλ θ βα − −= .

ii. Se obtienen los estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros, con la

ayuda del programa 3 del anexo B, utilizando como semillas los estimadores de

mínimos cuadrados (véase programa 2 del anexo B)

iii. Se calcula el valor de la estadística de prueba, mediante la ecuación (5.10) (véase

anexo B), es decir:

( )

( ) ( )0 0

n n n

i i ii 1 i 1 i 1

T T

2 t t n 1 t

n 1 e n 1 eˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆlog log

log logα

α

β β

β β α α= = =

− −

= − [− + − − −

− − + − ]

∑ ∑ ∑λ **

Obteniendo el valor de λ** = 7.237691

iv. Aplicando la regla de decisión se decide si apoyamos o no la hipótesis de que los

datos de la Tabla 2 son un PPNH-E, para esto supongamos que queremos un tamaño

de prueba α = 0.05; entonces se obtiene el valor crítico para esta prueba, el cual es

χ(1),0.05 = F-1(1-0.05) y F es la función de distribución de λ**, que corresponde a un

nivel de significancia 1-α* en la Tabla de la ji-cuadrada con un grado de libertad,

21 αχ − (1). Obteniéndose el valor de 3.841459

La regla de decisión es (1), *Rechazar Ho si y solo si > αχλ ** . Entonces en nuestro

caso λ** = 7.237691 > 3.84146, por lo que se decide rechazar Ho a favor de H1,


Ariza H. F. J. 39

concluyendo con una nivel de significancia de 0.05 que el valor de α ≠ 1, por lo que los

tiempos de fallas (t1,…,t31) presentados en la Tabla 2 son un Proceso Poisson No

Homogéneo tipo Weibull; es decir con función de intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0,

θ > 0, α > 0 y α ≠ 1. El procedimiento anterior, se puede ver en forma del programa 7

realizado en R versión 2.1.1, presentado en el anexo B.

Una vez que se sabe que los tiempos de falla son un PPNH-W, calculamos los

estimadores de máxima verosimilitud (EMV), con la ayuda del programa 3 del anexo B,

teniendo como valores iniciales los estimadores de momentos que se obtienen con la ayuda

del programa 2 del anexo B. Los EMV para los datos presentados en la Tabla 2, son:

θ = 31.00000001

α = 1.184355671

1 1843

1 1843

1 1843 1 0 00233tW

0 1843 0 00233t

t 31 1 1843 0 0023 t e

0857 t e

.

.

. .

. .

( ) . .

.

λ − −

−

= × × ×

=

β = 0.002334308

0

5

10

15

20

25

30

35

0 100 200 300 400 500 600

t

N(t)

N(t) Observado

N(t) Estimado

Figura 5-1. Número de fallas acumuladas al tiempo t, con su correspondiente función de

intensidad estimada.

TAMAÑO Y POTENCIA DE LAS PRUEBAS

Ariza H. F. J. 40

6. ESTUDIO DE SIMULACIÓN PARA EL TAMAÑO Y

POTENCIA DE LAS PRUEBAS

En este capítulo se presenta un estudio de simulación, el cual es utilizado para

evaluar el tamaño y potencia de las pruebas presentadas en los capítulos 4 y 5, lo anterior,

con la ayuda del paquete R versión 2.1.1. Para ambas pruebas, este estudio por simulación

se reduce a estudiar la función de potencia definida en la sección 3.3.1, definición 6.

6.1 Prueba del coeficiente de Correlación

El estudio para el cálculo del tamaño y potencia para esta prueba, comprende

diferentes valores del espacio paramétrico δ = (θ, β, α): θ > 0, β > 0, α > 0 y una muestra

de tamaño de 1,000 observaciones para cada (θ, β, α)

6.1.1 Tamaño de la PCC

Se estudia el tamaño de una prueba como una forma de evaluar la probabilidad de

rechazar un modelo en una prueba estadística de hipótesis, cuando la hipótesis nula H0 es

verdadera; es decir, cuando el modelo propuesto explica la naturaleza de los datos que se

tienen. Concientes de esto, queremos evaluar la probabilidad que se tiene al incurrir en este

tipo de error, llamado error tipo I. entonces, el tamaño de la prueba la definimos

formalmente como: * sup ( )θ ωα β θ∈= . Entonces:

CapíCapíCapíCapítulo tulo tulo tulo VIVIVIVI


Ariza H. F. J. 41

0 0 * 0

* = Prechazar H | H = Pr < c | H αα (6.1)

Ahora para calcular el tamaño de la prueba mediante simulación Monte-Carlo,

asumimos un PPNH con función de intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= observable durante

un intervalo de tiempo [0,T0]. Este proceso de simulación, dado los valores fijos de θ, α y β

puede resumirse en los siguientes pasos:

1. Condicionando en N = n y bajo 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= , simular los n tiempos de

ocurrencia de eventos t1, … , tn.



4. Repetir los pasos del 1 al 3, hasta obtener una muestra de tamaño m de r.

5. Para cada valor de ri, probar la hipótesis con una probabilidad máxima α* de

aceptar el error tipo I y tomar la decisión de rechazar o no rechazar Ho de acuerdo

con la regla de decisión dada en (4.13).

6. Estimamos α , como el cociente del número de rechazos entre el número total de las

m observaciones de r.

Con base en el procedimiento anterior se generó la Tabla 4, en la cual se presentan

los resultados para el tamaño de la prueba y para diferentes valores fijos de α* e 0.01,

0.025, 0.05, λTo e 15, 30, 50, 100, 150, 200 y β e 0.5, 1, 2, 5y α=1, 2, 3 , con m =

1,000 observaciones de r (véase el paso 4). Esto, asumiendo un PPNH con función de

intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= para t e (0,To].

Es importante mencionar que las estimaciones del tamaño para la prueba

presentadas en la Tabla 4 no reflejan diferencias significativas respecto a diferentes valores

de (θ, α y β) e Θ, esto nos confirma lo que ya hemos mencionado, que el tamaño de la

prueba bajo el modelo 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= no depende del espacio paramétrico de Θ,

además el tamaño de la prueba tampoco se ve afectado por el número promedio de eventos

λTo por lo que podemos decir que se respeta el tamaño de la prueba.


Ariza H. F. J. 42

Tabla 4. Estudio del tamaño de la prueba del PPNH con 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −=

α 1 2 5

Tamaño de la prueba Tamaño de la prueba Tamaño de la prueba

λTo

0.01 0.025 0.05 0.01 0.025 0.05 0.01 0.025 0.05

15 0.01 0.02 0.052 0.009 0.021 0.057 0.010 0.028 0.050

30 0.01 0.029 0.054 0.007 0.033 0.051 0.006 0.029 0.056

0.5 50 0.006 0.032 0.05 0.011 0.027 0.052 0.006 0.033 0.050

100 0.007 0.023 0.045 0.017 0.023 0.066 0.005 0.018 0.054

150 0.007 0.024 0.04 0.014 0.030 0.065 0.014 0.019 0.057

200 0.009 0.028 0.049 0.006 0.027 0.052 0.016 0.026 0.061

15 0.012 0.025 0.061 0.014 0.028 0.059 0.011 0.02 0.053

30 0.004 0.023 0.049 0.006 0.017 0.053 0.008 0.027 0.055

1 50 0.007 0.038 0.05 0.012 0.023 0.059 0.016 0.018 0.054

100 0.009 0.028 0.045 0.013 0.026 0.055 0.008 0.033 0.042

150 0.009 0.017 0.051 0.011 0.040 0.044 0.01 0.025 0.052

β 200 0.011 0.034 0.07 0.009 0.020 0.047 0.009 0.029 0.052

15 0.011 0.027 0.041 0.010 0.025 0.046 0.017 0.023 0.054

30 0.012 0.019 0.049 0.013 0.023 0.057 0.013 0.027 0.046

2 50 0.007 0.022 0.043 0.006 0.030 0.045 0.017 0.015 0.043

100 0.008 0.026 0.042 0.006 0.027 0.047 0.01 0.037 0.06

150 0.009 0.022 0.066 0.013 0.030 0.041 0.012 0.027 0.052

200 0.008 0.03 0.047 0.010 0.021 0.054 0.01 0.022 0.066

15 0.013 0.026 0.048 0.007 0.023 0.068 0.009 0.021 0.043

30 0.012 0.033 0.052 0.010 0.018 0.040 0.012 0.018 0.051

5 50 0.007 0.027 0.057 0.018 0.025 0.057 0.009 0.021 0.05

100 0.009 0.035 0.051 0.014 0.016 0.045 0.016 0.032 0.05

150 0.012 0.027 0.06 0.012 0.026 0.056 0.007 0.031 0.041

200 0.007 0.034 0.056 0.015 0.025 0.055 0.015 0.027 0.05


Ariza H. F. J. 43

6.1.2 Potencia de la PCC

En esta sección, se estudia la potencia de la prueba como una forma evaluar la

probabilidad de rechazar un modelo en una prueba estadística de hipótesis, cuando su

hipótesis nula H0, es falsa; es decir, cuando el modelo propuesto no es el adecuado para

explicar la naturaleza de los datos que se tienen. Entonces, la potencia de una prueba mide

la capacidad de una prueba para rechazar modelos que no explican la naturaleza de la

información contenida; esto, lo definimos como:

* sup ( )θ ωδ β θ∈Ω−=

0 1 * 1

* = Prechazar H | H = Pr < c | H αδ (6.2)

Ahora para calcular la potencia de la PCC usando simulación Monte-Carlo, para

diferentes procesos alternativos asumimos un Proceso Poisson homogéneo (PPH), el cual

tiene una función de intensidad ( t )λ λ= , y diferentes PPNH’s con funciones de intensidad

t

CL( t ) eα βλ += , 1 t

L( t ) t e

αα βλ αβ −= , 1D( t ) tαλ αβ −= y 1

MO( t )

tλ = . Estos procesos son

observables durante un intervalo de tiempo [0,T0]. Este proceso de simulación, dado valores

fijos de λ, β y α, puede resumirse en los siguientes pasos:

1. Condicionando en N = n y bajo los diferentes modelos alternativos, simular los n

tiempos de ocurrencia de eventos t1, … , tn.



4. Repetir los pasos del 1 al 3, hasta obtener una muestra de tamaño m de r.

5. Para cada valor de ri, probar la hipótesis con una probabilidad máxima α* fijada de

antemano.

6. Estimamos δ*, como el cociente del número de rechazos entre el número total de las

m observaciones de r.


Ariza H. F. J. 44

Con base en el procedimiento anterior se generaron las Tabla 5-9, en las cuales se

presentan los resultados para la potencia de la prueba y para diferentes valores fijos de α* e

0.01, 0.025, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.25, 0.50, λTo e 15, 20, 25, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,

100, 120, 150, 200, 300, 500, 700, así como también los diferentes PPNH’s alternativos

con funciones de intensidad t

CL( t ) eα βλ += , 1 t

L( t ) t e

αα βλ αβ −= , 1D( t ) tαλ αβ −= y

1MO( t )

tλ = , todos para t e (0, T0], y con m = 1,000 observaciones de r. (véase el paso 4).

Cabe mencionar que las estimaciones de la potencia para la prueba presentadas en

las Tablas 5-9, muestran una buena capacidad de rechazar un PPH con función de

intensidad t( )λ λ= , así como también para una PPNH´s alternativos estudiados, cuando

se tiene un PPNH con función de intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0, θ > 0, α > 0

para t e (0,To]. Podemos observar también que dicha capacidad aumenta conforme el valor

de λTo aumenta (para los valores estudiados), lo cual muestra evidencia que esta prueba

pudiera ser consistente.

Es importante aclarar que estos resultados muestran el comportamiento de la

potencia bajo solo cinco modelos alternativos diferentes, ya que se pueden considerar una

infinidad de modelos alternativos.


Ariza H. F. J. 45

Tabla 5. Estudio de la potencia de la prueba de bondad de ajuste del Coeficiente de Correlación, tomando como alternativa un PPH, con λ(t)= ½.

N *α

0.01 0.025 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.50 15 0.053 0.067 0.127 0.221 0.292 0.367 0.425 0.686

20 0.038 0.085 0.151 0.272 0.349 0.390 0.476 0.717

25 0.037 0.080 0.157 0.242 0.364 0.459 0.552 0.800

30 0.034 0.092 0.188 0.316 0.422 0.527 0.555 0.812

40 0.058 0.107 0.206 0.399 0.500 0.568 0.640 0.886

50 0.084 0.151 0.229 0.384 0.544 0.621 0.728 0.923

60 0.065 0.158 0.281 0.466 0.618 0.691 0.782 0.963

70 0.069 0.176 0.289 0.502 0.645 0.750 0.830 0.963

80 0.087 0.198 0.345 0.568 0.695 0.783 0.839 0.977

90 0.115 0.219 0.373 0.591 0.730 0.848 0.874 0.985

100 0.120 0.245 0.413 0.644 0.754 0.850 0.908 0.995

120 0.133 0.267 0.450 0.736 0.831 0.899 0.948 0.995

150 0.167 0.375 0.600 0.803 0.913 0.959 0.971 1.000

200 0.256 0.533 0.732 0.909 0.974 0.992 0.997 1.000

300 0.432 0.757 0.926 0.988 0.998 1.000 1.000 1.000

500 0.818 0.982 0.997 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

700 0.983 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Tabla 6. Estudio de la potencia de la prueba de bondad de ajuste del Coeficiente de Correlación, tomando como alternativa un PPNH, con 2 0 5t

CL( t ) e ; , .α βλ α β+= = = .

N *α

0.01 0.025 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.50 15 0.053 0.118 0.175 0.298 0.370 0.472 0.509 0.771

20 0.080 0.133 0.228 0.395 0.428 0.559 0.615 0.814

25 0.073 0.165 0.257 0.418 0.522 0.597 0.690 0.883

30 0.121 0.213 0.325 0.524 0.637 0.685 0.778 0.922

40 0.176 0.284 0.481 0.621 0.741 0.824 0.888 0.966

50 0.205 0.411 0.566 0.726 0.834 0.877 0.915 0.987

60 0.285 0.464 0.660 0.834 0.891 0.940 0.963 0.994

70 0.347 0.561 0.747 0.875 0.930 0.973 0.977 0.999

80 0.465 0.634 0.790 0.934 0.963 0.990 0.990 1.000

90 0.515 0.719 0.857 0.965 0.983 0.993 0.995 1.000

100 0.609 0.805 0.909 0.973 0.991 0.996 1.000 1.000

120 0.708 0.866 0.950 0.992 0.997 0.996 1.000 1.000

150 0.837 0.960 0.991 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000

200 0.963 0.996 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

300 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

500 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

700 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000


Ariza H. F. J. 46

Tabla 7. Estudio de la potencia de la prueba de bondad de ajuste del Coeficiente de

Correlación, tomando como alternativa un PPNH, con 1 3 5t( t ) t e ; , .αα βλ αβ α β−= = =

N *α

0.01 0.025 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.50

15 0.165 0.241 0.312 0.451 0.544 0.612 0.650 0.824

20 0.197 0.268 0.401 0.542 0.633 0.710 0.752 0.892

25 0.265 0.341 0.471 0.622 0.718 0.796 0.826 0.933

30 0.274 0.413 0.565 0.683 0.754 0.834 0.864 0.966

40 0.387 0.530 0.660 0.779 0.836 0.882 0.937 0.983

50 0.480 0.616 0.726 0.843 0.905 0.944 0.955 0.997

60 0.537 0.665 0.787 0.895 0.951 0.962 0.970 0.997

70 0.602 0.722 0.866 0.920 0.963 0.979 0.982 0.999

80 0.651 0.794 0.878 0.955 0.971 0.991 0.992 1.000

90 0.679 0.834 0.906 0.968 0.992 0.996 0.997 1.000

100 0.737 0.859 0.927 0.972 0.991 0.994 0.998 1.000

120 0.805 0.921 0.958 0.991 0.994 0.999 1.000 1.000

150 0.888 0.962 0.987 0.997 0.998 1.000 1.000 1.000

200 0.961 0.993 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

300 0.996 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

500 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

700 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Tabla 8. Estudio de la potencia de la prueba de bondad de ajuste del Coeficiente de Correlación, tomando como alternativa un PPNH, con 1 2 3( t ) t ; , .αλ αβ α β−= = =

N *α

0.01 0.025 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.50

15 0.043 0.065 0.141 0.205 0.289 0.353 0.408 0.650

20 0.051 0.087 0.139 0.238 0.336 0.430 0.488 0.738

25 0.046 0.093 0.169 0.303 0.383 0.467 0.548 0.772

30 0.046 0.096 0.168 0.322 0.429 0.495 0.587 0.808

40 0.049 0.135 0.220 0.379 0.465 0.580 0.663 0.876

50 0.053 0.145 0.230 0.424 0.542 0.650 0.714 0.914

60 0.063 0.145 0.280 0.465 0.591 0.679 0.787 0.931

70 0.076 0.168 0.328 0.512 0.644 0.738 0.834 0.960

80 0.084 0.211 0.329 0.562 0.702 0.772 0.873 0.982

90 0.094 0.220 0.368 0.574 0.750 0.831 0.892 0.985

100 0.115 0.248 0.406 0.640 0.765 0.869 0.904 0.988

120 0.117 0.281 0.482 0.700 0.825 0.916 0.946 0.998

150 0.159 0.397 0.591 0.829 0.911 0.958 0.985 1.000

200 0.250 0.516 0.725 0.924 0.975 0.991 0.998 1.000

300 0.455 0.746 0.916 0.985 0.998 1.000 1.000 1.000

500 0.840 0.979 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

700 0.991 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000


Ariza H. F. J. 47

Tabla 9. Estudio de la potencia de la prueba de bondad de ajuste del Coeficiente de

Correlación, tomando como alternativa un PPNH, con 1( t ) ; m( t ) ln t.t

λ = =

N *α

0.01 0.025 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.50

15 0.012 0.020 0.063 0.152 0.235 0.337 0.401 0.680

20 0.005 0.010 0.082 0.197 0.313 0.434 0.539 0.796

25 0.002 0.021 0.093 0.262 0.412 0.515 0.623 0.884

30 0.003 0.028 0.116 0.335 0.494 0.613 0.732 0.940

40 0.007 0.058 0.216 0.520 0.683 0.815 0.903 0.984

50 0.012 0.104 0.361 0.691 0.837 0.902 0.955 0.997

60 0.018 0.173 0.497 0.812 0.932 0.974 0.983 0.998

70 0.046 0.275 0.648 0.908 0.978 0.992 0.992 0.999

80 0.098 0.452 0.781 0.958 0.985 0.999 0.998 1.000

90 0.131 0.580 0.866 0.983 0.996 0.999 0.999 1.000

100 0.239 0.699 0.927 0.992 0.998 1.000 1.000 1.000

120 0.463 0.872 0.984 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

150 0.821 0.994 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

200 0.989 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

300 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

500 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

6.2 Prueba de Razón de Verosimilitudes

Referente al estudio de simulación para el tamaño y potencia de esta prueba, se

toman en cuenta diferentes valores del espacio paramétrico Θ = (θ, β, α): θ > 0, β > 0, α >

0 y una muestra de 1,000 observaciones para cada (θ, β, α). Como ya hemos dicho, el

estudio de estos criterios de evaluación se reducen a estudiar la función de potencia, y para

calcularla en forma analítica, es necesario conocer la distribución exacta de nuestra

estadística de prueba, en este caso λ*, como se mencionó en la sección 5.2, la complejidad

de λ* nos impide calcular su distribución en una forma cerrada. Sin embargo, la estadística

-2 log λ* tiene una distribución asintótica, la cual se emplea para construir la regla de

decisión.


Ariza H. F. J. 48

6.2.1 Tamaño de la PRVG

Aquí se desarrolla un estudio de simulación Monte-Carlo, para obtener la

estimaciones de los valores correspondientes al tamaño de la prueba de razón de

verosimilitudes generalizada; lo anterior, como una forma de evaluar la probabilidad de

rechazar un modelo en una prueba estadística de hipótesis, cuando su hipótesis nula H0 es

verdadera; es decir, cuando el modelo propuesto explica la naturaleza de los datos que se

tienen. Concientes de esto, queremos evaluar la probabilidad que se tiene al incurrir en este

tipo de error, llamado error tipo I, definido en (6.1), el cual puede ser tomado como una

medida de discriminación de la estadística λ** = -2 log λ* cuando Ho es verdadera.

Ahora para calcular el tamaño de la prueba, se asume un PPNH con función de

intensidad tE t e( ) ;

βλ θβ −= θ > 0, β > 0, observable en un intervalo de tiempo [0,T0]. Este

proceso de simulación, dado valores fijos de θ y β puede resumirse en los siguientes pasos:

1. Condicionando en N = n y bajo tE t e( ) ;

βλ θβ −= , simular los n tiempos de

ocurrencia de eventos t1, … , tn.

2. Calcular los estimadores de máxima verosimilitud.

3. Calcular la estadística λ** = -2 log λ*, definida en (5.10).

4. Repetir los pasos del 1 al 3, hasta obtener una muestra de tamaño m de λ**.

5. Para cada valor de λi**, probar la hipótesis con una probabilidad máxima α* de


con l regla de decisión dada en (5.12)

6. Estimamos α , como el cociente del número de rechazos entre el número total de las

m observaciones de λi**

Con base en el procedimiento anterior se generó la Tabla 10, en la cual se presentan

los resultados para el tamaño de la prueba y para diferentes valores fijos de α* e 0.01,

0.025, 0.05, λTo e 20, 30, 50, 70, 100, 150, 200, 300, 500 y β e 0.5, 1.0, 2, con m =

1,000 observaciones de λi** (véase el paso 4). Esto, asumiendo un PPNH con función de


βλ θβ −= θ > 0, β > 0 para t e (0,To]. Es importante mencionar que las


Ariza H. F. J. 49

estimaciones del tamaño para la prueba presentadas en la Tabla 10 no se ven afectadas con

respecto valores diferentes de λTo, (número promedio de eventos), bajo la función de


βλ θβ −= por lo que en su mayoría se respeta el tamaño de la prueba; es

decir la prueba no rechaza cuando la hipótesis nula es verdadera. En el caso cuando β = 2,

se observa que el tamaño de la prueba no se respeta para valores de λTo pequeños de los

valores estudiados, específicamente para los tamaños de prueba α* = 0.01 y 0.025.

Tabla 10. Estudio del tamaño de la Prueba de Razón de Verosimilitudes

Generalizada para un PPNH con tE t e( ) ;

βλ θβ −=

Tamaño de la Prueba

N 0.01 0.025 0.05

20 0.001 0.003 0.013

30 0.005 0.008 0.01

50 0.005 0.014 0.014

70 0.002 0.004 0.013

0.5 100 0.004 0.007 0.015

150 0.001 0.011 0.019

200 0.001 0.01 0.027

300 0.008 0.01 0.015

500 0.01 0.017 0.016

20 0.004 0.006 0.012

30 0.002 0.009 0.008

50 0.002 0.007 0.015

70 0.002 0.008 0.013

β 1 100 0.004 0.007 0.012

150 0.005 0.01 0.021

200 0.003 0.003 0.011

300 0.002 0.002 0.007

500 0.002 0.007 0.009

20 0.015 0.03 0.041

30 0.012 0.025 0.028

50 0.015 0.035 0.032

70 0.011 0.026 0.022

2 100 0.01 0.024 0.03

150 0.009 0.013 0.027

200 0.004 0.017 0.022

300 0.006 0.01 0.015


Ariza H. F. J. 50

6.2.2 Potencia de la PRVG

En esta sección, se estudia la potencia de la prueba de razón de verosimilitudes, la

cual puede ser tomada como una medida de a capacidad de una prueba para rechazar

modelos que no explican la naturaleza de la información contenida, la cual se define en

(6.2).

Ahora para calcular la potencia de la prueba usando simulación Monte-Carlo,

asumimos un PPNH con función de intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0, θ > 0, α > 0,

observable durante un intervalo de tiempo [0,T0]. Este proceso de simulación, dado valores

fijos de θ, β y α puede resumirse en los siguientes pasos:

1. Condicionando en N = n y bajo 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0, θ > 0, α > 0, simular

los n tiempos de ocurrencia de eventos t1, … , tn.

2. Calcular los estimadores de máxima verosimilitud.

3. Calcular la estadística λ** = -2 log λ*, definida en (5.10).

4. Repetir los pasos del 1 al 3, hasta obtener una muestra de tamaño m de λ**.

5. Para cada valor de λi**, probar la hipótesis con una probabilidad máxima α* de


con l regla de decisión dada en (5.12).

6. Estimamos δ , como el cociente del número de rechazos entre el número total de las

m observaciones de λi**

Con base en el procedimiento anterior se generaron las Tablas 11-13, en las cuales

se presentan los resultados para la potencia de la prueba y para diferentes valores fijos de

α* e 0.01, 0.025, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20, 0.25, 0.30, λTo e 15, 20, 25, 30, 40, 50, 60, 70,

80, 90, 100, 120, 150, 200, 300, 500, 700, α = 0.5, 2 y β e 0.5, 2, con m = 1,000

observaciones de λ**. Esto, asumiendo un PPNH con función de intensidad

1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0, θ > 0, α > 0 para t e (0,To].


Ariza H. F. J. 51

Tabla 11. Estudio de la potencia de la PRVG, tomando como alternativa un PPNH, con

función de intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= con β = ½ y α = 2

N *α

0.01 0.025 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.50 15 0.71 0.73 0.64 0.79 0.84 0.75 0.87 0.86

20 0.73 0.83 0.85 0.91 0.85 0.91 0.95 0.93

25 0.78 0.89 0.93 0.93 0.94 0.94 0.90 0.95

30 0.92 0.85 0.91 0.96 0.97 0.97 0.99 0.98

40 0.95 0.96 0.98 0.99 0.99 0.98 0.99 1.00

50 0.95 0.99 0.99 0.97 0.99 1.00 1.00 1.00

60 0.99 1.00 1.00 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00

70 1.00 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

80 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

90 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

100 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

120 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

150 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

200 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

300 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

500 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

700 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00



αα βλ θβ α − −= con β = 2 y α = 2.

N *α

0.01 0.025 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.50 15 0.617 0.681 0.769 0.825 0.825 0.857 0.887 0.908

20 0.774 0.829 0.871 0.895 0.915 0.944 0.942 0.939

25 0.876 0.885 0.934 0.955 0.966 0.966 0.973 0.971

30 0.921 0.950 0.971 0.977 0.979 0.988 0.988 0.989

40 0.976 0.981 0.984 0.991 0.997 0.996 0.996 0.997

50 0.989 0.995 0.996 0.997 0.997 1.000 1.000 0.999

60 0.998 1.000 1.000 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000

70 0.997 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

80 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

90 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

100 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

120 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

150 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

200 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

300 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

500 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

700 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000


Ariza H. F. J. 52



αα βλ θβ α − −= con β = 2 y α = ½.

N *α

0.01 0.025 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.50 15 0.510 0.664 0.732 0.845 0.869 0.920 0.924 0.955

20 0.686 0.782 0.840 0.911 0.943 0.952 0.965 0.973

25 0.796 0.842 0.914 0.954 0.967 0.968 0.985 0.991

30 0.839 0.921 0.945 0.964 0.983 0.983 0.990 0.994

40 0.936 0.960 0.976 0.990 0.997 0.998 0.994 0.998

50 0.984 0.988 0.993 0.994 0.999 1.000 0.998 0.999

60 0.989 0.995 0.995 0.999 0.998 1.000 1.000 1.000

70 0.989 0.996 1.000 0.999 0.999 1.000 1.000 1.000

80 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

90 1.000 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

100 0.999 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

120 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

150 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

200 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

300 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

500 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

700 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

En las Tablas 11-13, se observa que al aumentar el número de eventos λTo en un

PPNH ocurridos en un intervalo de tiempo [0,T0], aumentan también las estimaciones del

poder de la prueba, cuando los valores de los parámetros α y β permanecen fijos. Cabe

señalar, que las estimaciones de la potencia de la prueba son muy buenas, ya que son

mayores que 0.51 para todos los casos, además de que convergen rápidamente a la unidad

con tamaños de muestras no muy grandes, lo cual muestra que esta prueba pudiera ser

consistente.

Dado los resultados anteriores, podemos mencionar que la prueba de razón de

verosimilitudes rechaza Ho dada en (5.2) cuando no se debe apoyar, y no la rechaza cuando

se debe apoyar, por lo que decimos entonces que la prueba se desempeña correctamente.


Ariza H. F. J. 53

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0.800

0.900

1.000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

alfa

Potencia estimad

aa* = 0.01

a* = 0.025

a* = 0.05

Figura 6-1. Potencia de la PRVG, para una tamaño de muestra 30, tomando como

alternativa un PPNH, con función de intensidad 1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= para diferentes

valores de α y un valor fijo de β = 2.

CONCLUSIONES

Ariza H. F. J. 54

7. CONCLUSIONES

En esta sección, se concluye con base en el trabajo realizado en los capítulos

anteriores, principalmente, con relación a la prueba de bondad de ajuste del Coeficiente de

Correlación (PCC) y a la Prueba de Razón de Verosimilitudes Generalizada (PRVG) con el

propósito de verificar si un conjunto de datos, que representan los tiempos de ocurrencia de

fallas en un sistema (t1,…,tn), siguen un PPNH con función de intensidad λ(t) dada; en un

intervalo de tiempo (0,T0]; así como también, con base en los resultados obtenidos en el

estudio por simulación para el tamaño y potencia de las pruebas.

I. Una de las características importantes para ambas estadísticas de prueba, es su

invarianza respecto a sus parámetros, ya que sus respectivas distribuciones no

dependen de dichos parámetros. Sin embargo, para el caso del estadístico r, en la

PCC, observamos que su distribución, sí depende del tamaño de muestra n (ver

figura 4-1); es decir, que depende del número de eventos promedio λTo, ocasionando

con esto, que la región de rechazo de la prueba aumente, conforme crece el valor de

λTo, en otras palabras la prueba se vuelve mas estricta cuando λTo crece.

II. Con respecto a la potencia de las pruebas, ambas aumentan conforme el número de

eventos λTo aumenta, para diferentes valores de α* (niveles de significancia).

Acercándose a la unidad, por lo que se dá una evidencia de que estas pruebas

pudieran ser consistentes.

CapíCapíCapíCapítulo tulo tulo tulo VIIVIIVIIVII

CONCLUSIONES

Ariza H. F. J. 55

III. En cuanto a la Prueba de Razón de Verosimilitudes Generalizada, se puede ver que

su potencia es bastante buena, lo cual la hace ser bastante concluyente cuando

efectivamente se trata de un PPNH con función de intensidad

1 tW t t e( ) ;

αα βλ θβ α − −= β > 0, θ > 0, α > 0. Con respecto al estudio del tamaño de la

prueba, a pesar de que se utiliza el resultado asintótico, la prueba nos arroja muy

buenos tamaños para los diferentes niveles de significancia estudiados, excepto para

valores de β = 2 y valores pequeños de λTo, con α* = 0.01, en donde se presentan

tamaños ligeramente mayores a los deseados. En general, la PRVG trabaja

correctamente, rechazando la hipótesis nula H0 cuando se tiene que rechazar y no

rechazar, cuando no se tienen que rechazar.

IV. En el caso de la Prueba de bondad de ajuste del Coeficiente de Correlación,

podemos notar que tiene un poco menos potencia con respecto a la PRVG; aunque

no se vale tal comparación ya que no se tienen las mismas alternativas. Pero de

igual forma la prueba es también bastante concluyente cuando efectivamente se

trata de PPNH’s con funciones de intensidad t

CL( t ) eα βλ += , 1 t

L( t ) t e

αα βλ αβ −= ,

1D( t ) tαλ αβ −= y 1

MO( t )

tλ = , así como cuando se trata de un PPH, es decir con

función de intensidad t( )λ λ= . Con respecto al estudio del tamaño de la prueba, se

arrojan buenos tamaños para diferentes niveles de significancia y valores de λTo

estudiados; es decir, se respeta el tamaño de la prueba, no rechazando la hipótesis

cuando realmente se debe apoyar. Cabe señalar que esta prueba es recomendable

utilizarla como un procedimiento inicial cuando no se tiene evidencia de la

distribución de los datos (tiempos de ocurrencia de eventos).en la hipótesis

alternativa.

V. Finalmente, podemos mencionar que la Prueba del Coeficiente de Correlación y la

Prueba de Razón de Verosimilitudes Generalizada son dos pruebas

complementarias y pueden ser usadas dependiendo de la situación del problema. Por

ejemplo, cuando se desea contrastar una hipótesis en donde se tiene la evidencia de

la hipótesis alternativa es más conveniente utilizar la PRVG, de lo contrario, cuando

CONCLUSIONES

Ariza H. F. J. 56

no se tiene la evidencia de la hipótesis alternativa es recomendable utilizar la PCC.

En particular en este trabajo, se utilizaron estas pruebas complementariamente en un

conjunto de datos, ya que primero se utilizó la PCC para verificar si los tiempos de

falla del sistema son un PPNH-W, y después se utilizó la PRVG para poder

discernir si estos tiempos de falla eran un PPNH-E o bien PPNH-W, concluyendo

con un nivel se significancia de 0.05, que los tiempos de falla presentados en la

Tabla 2 siguen un PPNH-W.

BIBLIOGRAFIA

Ariza H. F. J. 57

8. BIBLIOGRAFÍA.

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CapíCapíCapíCapítulo tulo tulo tulo VIIIVIIIVIIIVIII

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60

ANEXOSANEXOSANEXOSANEXOS

61

ANEXO A. SE PRESENTA EL PROGRAMA COMPLETO REALIZADO EN EL

PAQUETE R.2.1.1 REFERENTE A LA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DEL

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.

1.- Aquí presentamos las funciones para generar números aleatorios, lo tiempos de

ocurrencia de un PPH, un PPNH-E, un PPNH-W, el Proceso de Cox y Lewis, el Proceso

Ley Potencia, un PPNH propuesto por López (2000)y un logarítmico, utilizados para el

estudio de la potencia de la PCC.

poisson.homogeneo<-function(n,lambda)

to<- cumsum(rexp(n,lambda))

to

ppnh.exp<-function(teta,beta)

n<-rpois(1,teta)

u<-runif(n)

t<--(1/beta)*log(1-(u*n)/teta)

to<-sort(t)

to

ppnh.weibull<-function(teta,beta,alfa)

n<-rpois(1,teta)

u<-runif(n)

t<-(-(1/beta)*log(1-(u*n)/teta))^alfa

to<-sort(t)

to

ppnh.cl<-function(m,alfa,beta)

n<-rpois(1,m)

u<-runif(n)

k<-(1/beta)*exp(alfa)

t<-(1/beta)*log(((u*n)/k)+1)

to<-sort(t)

to

62

ppnh.lp<-function(alfa,beta,n)

nn<-rpois(1,n)

u<-runif(nn)

t<-(nn*u/beta)^(1/alfa)

to<-sort(t)

to

ppnh.wl<-function(alfa,beta,n)

nn<-rpois(1,n)

u<-runif(nn)

t<-((1/beta)*log(nn*u+1))^(1/alfa)

to<-sort(t)

to

ppnh.log<-function(alfa,beta,n)

nn<-rpois(1,n)

u<-runif(nn)

t<-exp(nn*u/alfa)-beta

to<-sort(t)

to

2.- Con esta función obtenemos la estadística de prueba r definida en 3.18.

correlacion<-function(teta,beta,alfa,m)

# m:tamaño de la muestra

#teta,beta,alfa:parámetros de la distribución weibull.

j<-1

r<-rep(0,m)

while (j<=m)

to<-ppnh.weibull(teta,beta,alfa)

n<-length(to)

i<-1:n

Y<-log(-log(1-i/(n+1)))

X<-log(to)

r[j]<-cor(X,Y)

j<-j+1

r

63

3. Esta función nos genera la tabla de los valores críticos.

tvc<-function(m)

#m=numero de repeticiones para cada valor critico

teta<-

c(15,20,25,30,40,50,60,70,80,90,100,120,150,200,300,400,500,700,10

00)

n<-length(teta)

i<-1

while (i<=n)

r<-correlacion(teta[i],0.5,1,m)

vc<-

quantile(r,c(0.01,0.025,0.05,0.1,0.15,0.20,.25,0.50,0.75,0.95),na.

rm=TRUE)

print(vc)

i<-i+1

tv<-tvc(50000)

4. Función para obtener el Tamaño y Potencia de la Prueba del Coeficiente de Correlación.

typ<-function(ne,pr,m)

#m:numero de comparaciones para el tamaño

#ne:valor esperado

#pr:precision (alfa*)

tvc<-matrix(0,18,9)

tvc[1,]<-c(0,0.01,0.025,0.05,0.1,0.15,0.20,0.25,0.50)

tvc[2,]<-

c(15,0.8566225,0.8857020,0.9081887,0.9302913,0.9422470,0.9502135,0.9558962,0.9726131)

tvc[3,]<-

c(20,0.8712702,0.8989980,0.9204793,0.9402343,0.9505648,0.9576276,0.9625811,0.9768113)

tvc[4,]<-

c(25,0.8774622,0.9058050,0.9271277,0.9463653,0.9559637,0.9624623,0.9671055,0.9798975)

tvc[5,]<-

c(30,0.8892962,0.9147626,0.9345304,0.9516080,0.9606319,0.9662533,0.9703292,0.9820061)

tvc[6,]<-

c(40,0.9018385,0.9261169,0.9438563,0.9588891,0.9668099,0.9717524,0.9753092,0.9849909)

tvc[7,]<-

c(50,0.9151917,0.9356216,0.9507340,0.9642012,0.9711417,0.9755181,0.9786063,0.9870383)

tvc[8,]<-

c(60,0.9224446,0.9418731,0.9558348,0.9683083,0.9743634,0.9781895,0.9809367,0.9884617)

tvc[9,]<-

c(70,0.9284619,0.9469095,0.9596271,0.9708300,0.9766015,0.9802144,0.9828306,0.9896325)

tvc[10,]<-

c(80,0.9352865,0.9520880,0.9632457,0.9735350,0.9785761,0.9818879,0.9842424,0.9905311)

tvc[11,]<-

c(90,0.9388531,0.9547655,0.9655573,0.9753317,0.9802102,0.9833694,0.9855039,0.9912034)

tvc[12,]<-

c(100,0.9442091,0.9581495,0.9678831,0.9766536,0.9813356,0.9842324,0.9862855,0.9917872)

tvc[13,]<-

c(120,0.9497580,0.9621917,0.9713663,0.9795078,0.9836079,0.9861230,0.9879391,0.9927770)

64

tvc[14,]<-

c(150,0.9575431,0.9689477,0.9763015,0.9827911,0.9860576,0.9882479,0.9897366,0.9938128)

tvc[15,]<-

c(200,0.9649903,0.9744667,0.9805992,0.9859328,0.9885979,0.9902940,0.9915972,0.9949519)

tvc[16,]<-

c(300,0.9745491,0.9809589,0.9855581,0.9893792,0.9914030,0.9926897,0.9936478,0.9961941)

tvc[17,]<-

c(500,0.9828536,0.9873682,0.9902337,0.9928162,0.9941547,0.9949930,0.9956367,0.9973551)

tvc[18,]<-

c(700,0.9872170,0.9904724,0.9926281,0.9945044,0.9954893,0.9961329,0.9965946,0.9979181)

k<-tvc[,1]

w<-tvc[1,]

valor<-tvc[match(ne,k),match(pr,w)] #da la posicion del valor critico en tvc

j<-1

rechazos<-rep(0,m)

while (j<=m)

to<-ppnh.weibull(ne,beta=5,alfa=1) #ne=teta *para el tamaño*

to<-poisson.homogeneo(ne,lambda=0.5) #ne=teta *para la potencia*

to<-ppnh.cl(ne,alfa=2,beta=0.5) #ne=teta *para la potencia*

n<-length(to)

i<-1:n

Y<-log(-log(1-(i/(n+1))))

X<-log(to)

r<-cor(X,Y)

if(r<=valor)rechazos[j]<-1

j<-j+1

nr<-sum(rechazos)

tapr<-nr/m

tapr

5. Función que genera la tabla para el tamaño de la PCC

tabla.tp<-function(m)

teta<-c(15,30,50,100,150,200)

alfa<-c(0.01,0.025,0.05)

tpr<-matrix(0,6,3)

for(i in 1:6)

for(j in 1:3)

tpr[i,j]<-typ(teta[i],alfa[j],m)

tpr

tabla.tp(1000)

65

6. Función que genera la tabla para la potencia de la PCC

tabla.pp<-function(m)

teta<-

c(15,20,25,30,40,50,60,70,80,90,100,120,150,200,300,500,700)

alfa<-c(0.01,0.025,0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0.50)

pp<-matrix(0,17,8)

for(i in 1:17)

for(j in 1:8)

pp[i,j]<-typ(teta[i],alfa[j],m)

pp

tabla.pp(1000)

7.- Calculo de la estadística de prueba r, con los datos presentados en el ejemplo de la

sección 4.3.

ti<-

c(9,12,11,4,7,2,5,8,5,7,1,6,1,9,4,1,3,3,6,1,11,33,7,91,2,1,87,47,1

2,9,135)

xi<-cumsum(ti)

To<-sum(ti)

n<-length(ti)

i<-1:n

Y<-log(-log(1-i/(n+1)))

X<-log(xi)

rr<-cor(X,Y)

rr

rr = 0.9753 > 0.9373 (valor crítico con alfa=0.05) por lo tanto no

rechazamos Ho

#Concluyendo que los tiempos de fallas pertenecen a un PPNH-W

66

ANEXO B. A CONTINUACIÓN SE PRESENTA EL PROGRAMA REALIZADO EN

EL PAQUETE R.2.1.1 REFERENTE A LA PRUEBA DE RAZÓN DE

VEROSIMILITUDES GENERALIZADA.

1. Funciones para generar los tiempos de ocurrencia de eventos de una PPNH-E y de

un PPNH-W.

ppnh.exp1<-function(teta,beta)

#fm<-teta*(1-exp(-beta*To))

n<-rpois(1,teta)

u<-runif(n)

t<--(1/beta)*log(1-(u*n)/teta)

to<-sort(t)

to

ppnh.weibull<-function(teta,beta,alfa)

n<-rpois(1,teta)

u<-runif(n)

t<-(-(1/beta)*log(1-(u*n)/teta))^alfa

to<-sort(t)

to

2. Funciones para obtener los Estimadores de Mínimo Cuadrados (EMC), utilizados

como semillas en el cálculos de los Estimadores de Máxima Verosimilitud (EMV).

fx<-function(n)

i<-1

y<-rep(1,n)

Rx<-rep(1,n)

while (i<=n)

y[i]<-i/(n+1)

Rx[i]<-1-y[i]

i<-i+1

yy<-log(-log(Rx))

yy

67

emc.weibull<-function(X,Y)

n<-length(X)

V1<-rep(1,n)

A<-matrix(nrow=n, ncol=2)

A[ ,1]<-V1[ ]

A[ ,2]<-X[ ]

B<-solve(t(A) %*% A) %*% t(A) %*% Y

return(B)

3. Funciones que ayudan a obtener los Estimadores de Máxima Verosimilitud.

fverosimilitudw<-function(parametros,ti)

teta<-parametros[1]

alfa<-parametros[2]

beta<-parametros[3]

n<-length(ti)

To<-ti[n]

-(n*(log(teta)+log(alfa)+log(beta))+(alfa-1)*sum(log(ti))-

beta*sum(ti^alfa)-teta+teta*exp(-beta*(To^alfa)))

emv.weibull<-function(x,semillas)

nlm(fverosimilitudw,semillas,ti=x)

4. Función para calcular el tamaño y potencia de la PRVG.

tp<-function(pre,m,tt)

#m:numero de comparaciones para el tamaño

#teta:valor esperado; beta:parametro

#pr:precision (alfa*)

valor<-qchisq(pre,1)

j<-1

rechazos<-rep(0,m)

while(j<=m)

# t<-ppnh.exp1(tt,2) #cambiar el valor tt=30 para dif tamaños

t<-ppnh.weibull(tt,0.5,2)

n<-length(t)

x<-log(t)

y<-fx(n)

68

e<-emc.weibull(x,y)

semillasw<-rep(0,3)

semillasw[1]<-length(t) #teta

semillasw[2]<-e[2] #alfa

semillasw[3]<-exp(e[1]) #beta

est<-emv.weibull(t,semillasw)

if(est$code==1 || est$code==2)

ef<-est$estimate

teta<-ef[1]

alfa<-ef[2]

beta<-ef[3]

To<-t[n]

vc<--2*(-beta*sum(t)+beta*sum(t^alfa)-n*log(alfa)

-(alfa-1)*sum(log(t))-n*log(1-exp(-beta*To))

+n*log(1-exp(-beta*To^alfa)))

if(vc>=valor)rechazos[j]<-1

j<-j+1

nr<-sum(rechazos)

apr<-nr/m

apr

#rechazos

5. Función que genera la tabla para el tamaño de la PRVG.

tt<-c(20,30,50,70,100,150,200,300,500)

preci<-c(0.99,0.975,0.95)

tpr<-matrix(0,9,3)

for(i in 1:9)

for(j in 1:3)

tpr[i,j]<-tp(preci[j],1000,tt[i])

#tpr

69

6. Función que generar la tabla para la Potencia de la PRVG.

tt<-

c(15,20,25,30,40,50,60,70,80,90,100,120,150,200,300,500,700)

preci<-c(0.99,0.975,0.95,0.90,0.85,0.80,0.75,0.70)

pp<-matrix(0,17,8)

for(i in 1:17)

for(j in 1:8)

pp[i,j]<-tp(preci[j],1000,tt[i])

pp

7. Calculo de la estadística de prueba λ**, para la continuación del ejemplo de la

sección 5.3, para los datos presentados en la sección 4.3

ti<-

c(9,12,11,4,7,2,5,8,5,7,1,6,1,9,4,1,3,3,6,1,11,33,7,91,2,1,87,47,1

2,9,135)

t<-cumsum(ti)

n<-length(t)

x<-log(t)

y<-fx(n)

e<-emc.weibull(x,y)

semillasw<-rep(0,3)

semillasw[1]<-length(t) #teta

semillasw[2]<-e[2] #alfa

semillasw[3]<-exp(e[1]) #beta

est<-emv.weibull(t,semillasw)

ef<-est$estimate

teta<-ef[1]

alfa<-ef[2]

beta<-ef[3]

To<-t[n]

vc<--2*(-beta*sum(t)+beta*sum(t^alfa)-n*log(alfa)

-(alfa-1)*sum(log(t))-n*log(1-exp(-beta*To))

+n*log(1-exp(-beta*To^alfa)))

Vc

colegio de postgraduados · colegio de postgraduados instituciÓn de enseÑanza e investigaciÓn en...

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