COLEGIO MILITAR DE LA NACION

INGRESO

MATEMATICA

2

INDICE

Unidad 1 ...................................................................................................... 6

Números reales ............................................................................................ 6

Tipos de lenguaje ........................................................................................................................... 6

El lenguaje de algunos símbolos matemáticos ............................................................................ 7

Conjuntos numéricos ..................................................................................................................... 7

Introducción ............................................................................................................................... 7

Diferencias entre números racionales e irracionales ................................................................... 9

Operaciones con números enteros ................................................................................................10

Adición y sustracción .................................................................................................................10

Supresión de paréntesis, corchetes y llaves ...............................................................................10

Modulo o valor absoluto ...........................................................................................................11

Distancia entre dos puntos de la recta .......................................................................................11

Multiplicación y división ............................................................................................................12

Potenciación .............................................................................................................................13

Radicación .................................................................................................................................14

Números Racionales......................................................................................................................15

Introducción ..............................................................................................................................15

Operaciones con números racionales ........................................................................................15

Propiedades de la radicación .....................................................................................................16

Pasaje de decimal a fracción .........................................................................................................17

Notación científica ........................................................................................................................18

Unidad 2 .................................................................................................... 19

Ecuaciones e Inecuaciones .......................................................................... 19

Ecuaciones de Primer grado ..........................................................................................................19

Resolución de ecuaciones de Primer grado ................................................................................19

Ejercicios resueltos ....................................................................................................................20

Ecuaciones de segundo grado .......................................................................................................22

Ejercicios resueltos ....................................................................................................................22

Inecuaciones lineales ....................................................................................................................24

Resolución de inecuaciones...........................................................................................................25

Ejercicios resueltos ....................................................................................................................25

3

Unidad 3 .................................................................................................... 28

Polinomios................................................................................................. 28

Expresiones Algebraicas ................................................................................................................28

Polinomios ....................................................................................................................................28

Características de los polinomios: ..............................................................................................29

Valor numérico o especialización de un polinomio ....................................................................29

Operación entre polinomios ..........................................................................................................29

Suma y resta de polinomios .......................................................................................................29

Multiplicación de polinomios ....................................................................................................30

Potencia de un monomio ..........................................................................................................31

Productos Notables ...............................................................................................................31

Cuadrado de un binomio .......................................................................................................31

Producto de binomios conjugados .........................................................................................31

División de polinomios ..............................................................................................................32

Regla de Ruffini .........................................................................................................................33

Raíces de un polinomio .................................................................................................................35

Raíces de polinomios de grado uno y dos ..................................................................................36

Raíces de polinomios con coeficientes enteros - Teorema de Gauss ..........................................36

Factorización de polinomios ..........................................................................................................37

Factor Común............................................................................................................................38

Diferencia de cuadrados ............................................................................................................38

Unidad 4 .................................................................................................... 40

Funciones .................................................................................................. 40

Conceptos fundamentales .............................................................................................................40

Representación de funciones ........................................................................................................40

Gráficas de funciones ....................................................................................................................43

Función lineal ................................................................................................................................45

Ejercicio resuelto .......................................................................................................................46

Ecuación de la recta ......................................................................................................................48

Ejercicio resuelto .......................................................................................................................49

Rectas paralelas y perpendiculares ................................................................................................51

Rectas paralelas ............................................................................................................................51

Ejercicio resuelto .......................................................................................................................51

Rectas perpendiculares .................................................................................................................52

Ejercicio resuelto .......................................................................................................................52

4

Función cuadrática ........................................................................................................................53

Ejercicio resuelto .......................................................................................................................55

Unidad 5 .................................................................................................... 57

Sistemas de ecuaciones lineales ................................................................. 57

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales ................................................................58

Sustitución ................................................................................................................................59

Igualación..................................................................................................................................59

Reducción por sumas y restas....................................................................................................60

Tipos de soluciones .......................................................................................................................62

Ejercicios resueltos ....................................................................................................................62

Unidad 6 .................................................................................................... 66

Geometría ................................................................................................. 66

Punto y recta.................................................................................................................................66

Tipos de rectas ..........................................................................................................................66

Posiciones de las rectas .............................................................................................................67

Ángulos .........................................................................................................................................67

Clasificación y características .....................................................................................................67

Triángulos .....................................................................................................................................68

Clasificación y características .....................................................................................................68

Criterios de congruencia de triángulos ......................................................................................69

Criterios de Semejanza de triángulos .........................................................................................70

Ejercicio resuelto .......................................................................................................................70

Perímetro y área de triángulos ..................................................................................................71

Perímetro ..................................................................................................................................71

Área ..........................................................................................................................................71

Ejercicio resuelto .......................................................................................................................72

Cuadriláteros ................................................................................................................................72

Clasificación de los cuadriláteros ...............................................................................................72

Paralelogramos ......................................................................................................................72

Trapecios ..............................................................................................................................73

Circunferencias .............................................................................................................................73

Elementos básicos .....................................................................................................................73

Área y Perímetro de figuras planas ................................................................................................74

Cuerpos Geométricos ....................................................................................................................76

5

Poliedros ...................................................................................................................................76

Cuerpos geométricos redondos .................................................................................................77

Magnitudes y Mediciones .............................................................................................................79

SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino) ................................................................................79

Unidad 7 .................................................................................................... 80

Trigonometría ............................................................................................ 80

Razones trigonométricas ...............................................................................................................80

Sistemas de medidas angulares .....................................................................................................81

Resolución de triángulos rectángulos ............................................................................................81

Ejercicios resueltos ....................................................................................................................81

Bibliografía consultada ............................................................................... 85

6

Unidad 1

Números reales Introducción

Las matemáticas se encuentran inmersas en un conjunto de registros semióticos1.

El álgebra es sobre todo un lenguaje que permite representar fenómenos y hace posible

resolver problemas ligados a otras disciplinas. (Tavera 2014).

Los invitamos a sumergirse a una pequeña parte de este mundo matemático, lleno de

actividades orientadas a la adquisición del lenguaje algebraico, en la que nos dedicaremos a

trabajar en la conversión simultánea del lenguaje verbal y simbólico. Este nuevo lenguaje

algebraico irá creciendo en el transcurso del tiempo y será utilizado como herramienta de

modelización2.

Tipos de lenguaje

En la vida diaria empleamos distintos tipos de lenguaje. Por ejemplo, cuando hablamos con

alguien, empleamos el lenguaje de las palabras. Este lenguaje se llama lenguaje coloquial.

Pero, si queremos explicar a alguien cómo llegar a una casa en una zona rural, es mejor

realizar un croquis o un plano, en este caso empleamos el lenguaje gráfico.

Cuando caminamos por la calle o recorremos una ruta, podemos ver una gran variedad de

carteles. Algunos de ellos son señales de tránsito. Otros, presentan símbolos que indican la

cercanía de una iglesia, de un hospital, etc. En este caso, se emplea el lenguaje simbólico.

Ejemplo

En un plano podemos encontrar los distintos tipos de lenguaje

1 las representaciones semióticas utilizadas en la matemática son todos los signos o gráficos que permiten a un

sujeto abordar e interactuar con el conocimiento matemático

2 La modelización matemática es el proceso de describir en términos matemáticos un fenómeno real

7

• El lenguaje coloquial, indica la función de cada ambiente

• El lenguaje gráfico, transmite la forma y la ubicación de cada ambiente, puertas y ventanas

• El lenguaje simbólico, es para señalar las dimensiones

Actividad

1) Indicar a que lenguaje pertenecen:

a) ………… b) 5+2.3 = 11 ……… c) Si a cinco le sumo el doble de tres …

El lenguaje de algunos símbolos matemáticos = Igual < Menor que C Contenido {}Ø Vacío

≠ Diferente ≤ Menor e igual que ˄ y ➾ Implica

≅ Aproximado Ǝ Existe ˅ o ⇔ Doble implicación

~ Proporcional ∄ No existe ̸ Tal que ⫽ Rectas paralelas

> Mayor que Є Pertenece U Unión ⟘ R. Perpendiculares

≥ Mayor e igual que No pertenece Ո Intersección ⌿ Rectas Oblicuas

Símbolos utilizados en conjuntos

https://www.youtube.com/watch?v=MY24oAocK4c&t=32s

Conjuntos numéricos Introducción María vive en la Ciudad de Córdoba y como todos los días se levanta a las 6 am, mientras prepara su desayuno habitual de ¾ taza de café con ¼ de leche y dos galletitas, escucha los datos meteorológicos y las noticias del día:

• Temperatura actual, 0°C; temperatura mínima pronosticada, 3°C bajo cero.

• En el supermercado “…” , descuentos de hasta el 30% en productos seleccionados. Se dirige al trabajo en su auto, en el camino carga 16 litros de nafta a $47,79; debido a cortes de camino, por arreglos, debe realizar 25km más de lo normal, llegando a su trabajo

0,5 hora más tarde […]. Luego de 3¼ horas de trabajo, decide tomar un descanso de unos 20 minutos, en el que lee un artículo del diario: “El satélite CoRoT sorprende otra vez con el descubrimiento fascinante de un planeta. Esta vez, el planeta gigante de gas recientemente descubierto, a 1.500 años luz (1.500 x 9.460.000.000.000 km), podría tener un interior que se asemeja al de Júpiter y Saturno en nuestro Sistema Solar. Orbita a su estrella cada 95,274 días, un poco más que Mercurio alrededor del Sol. Su órbita es levemente elíptica, pero en su punto más cercano a su estrella, llega a una distancia de 54 millones de kilómetros. Debido a que orbita a una estrella

más fría que nuestro Sol, los cálculos estiman que la temperatura de CoRoT-9b podría estar entre −23 C y

8

157 C. CoRoT-9b tiene un radio aproximado de 1,05 veces el de Júpiter que a su vez tiene un volumen

equivalente al de 1.317 Tierras (el volumen de la Tierra se puede calcular en forma aproximada haciendo la

cuenta ¾ (6.370 km)”. Y así, podríamos seguir describiendo detalladamente la vida de María…

Nos detenemos para analizar y repasar algunas partes de esta historia, por ejemplo: ¿Recuerdas como representamos simbólicamente, 3°C bajo cero?

Los números enteros

https://www.youtube.com/watch?v=eiFVq1p3LJ8

0,5 =1

2

Convertir decimal a fracción

https://www.youtube.com/watch?v=q9iD9yck3IA

30% 𝑑𝑒 20 = 6

Porcentajes https://www.youtube.com/watch?v=PjXpBwI6P0M

3¼ = 3,25

Fracción mixta https://www.youtube.com/watch?v=Zf4KEQfm1aY

9.460.000.000.000= 9,46 x 1012

Notación científica https://www.youtube.com/watch?v=qjX4wKUoK7E

En este relato habrás observado que aparecen distintas clases de números agrupados de la siguiente manera:

✓ Conjunto de Números Naturales (ℕ) ✓ Conjunto de Números Enteros (ℤ) ✓ Conjunto de Números Racionales (ℚ) ✓ Conjunto de Números Irracionales (𝕀) ✓ Conjunto de Números Reales (ℝ)

El conjunto de números naturales (ℕ) es el primer conjunto de números creados para poder contar, pero que sucede cuando restamos dos números naturales, ¿obtenemos un número natural? en respuesta a esta pregunta, aparece el conjunto numérico de los números enteros (ℤ) formado por los naturales (enteros positivos), el cero y los números enteros negativos. Se llamó conjunto de números racionales (ℚ), al cociente entre dos números enteros, cuyo resultado puede ser un entero, un decimal exacto o un decimal periódico, pero al resultado decimal infinito no periódico se lo llamó número irracional (𝕀), pues este número no surge de una fracción. Por último, llamamos números reales (ℝ) a todos estos números mencionados.

9

Clasificar números https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/v/categorizing-numbers

Realizar la siguiente actividad interactiva sobre clasificación de números

• https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-

operations/cc-8th-irrational-numbers/e/identifying-whole--integer--and-rational-

numbers

Diferencias entre números racionales e irracionales

Números racionales e irracionales https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-operations/cc-8th-irrational-numbers/v/introduction-to-rational-and-irrational-numbers

Realizar la siguiente actividad interactiva sobre clasificación de números

• https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-numbers-

operations/cc-8th-irrational-numbers/e/recognizing-rational-and-irrational-

numbers

Actividades

2. De acuerdo con la introducción de Conjunto de Números, clasifica los números de la

tabla, completando con x.

Números ℕ ℤ ℚ 𝕀 ℝ

0

-3

47,79

3¼

9.460.000.000.000

𝟑

𝟒𝝅

−𝟎. �̂�

10

Operaciones con números enteros Adición y sustracción Los invitamos a ver los videos explicativos sobre las distintas formas para resolver sumas y resta de enteros

Suma y resta de números enteros https://www.youtube.com/watch?v=tNxHToZ-LbE https://www.youtube.com/watch?v=qDsDM0oq-hw https://www.youtube.com/watch?v=SRPkdB0vJzU

Realizar las siguientes actividades interactivas sobre sumas y restas con números enteros

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/enteros/ejercicios-interactivos-de-suma-de-numeros-enteros.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/enteros/ejercicios-interactivos-de-resta-de-numeros-enteros.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/enteros/problemas-interactivos-de-suma-de-numeros-enteros.html

Supresión de paréntesis, corchetes y llaves

Eliminar signos de agrupación https://www.youtube.com/watch?v=ASvBBYxDhE0

Actividades 3) Resolver analíticamente y representar en la recta del tiempo los siguientes problemas

a) La ciudad de Cartago fue fundada en el año –814 y destruida en el año –146 después de

cruentas luchas. Calcula durante cuantos años subsistió esta opulenta ciudad

b) Alejandro Magno falleció en Babilonia en el año –323, a la edad de 33 años ¿ En qué año

había nacido?

4) Separar en términos, suprimir paréntesis, corchetes y llaves y finalmente resolver

𝑎) − 13 + {−5 − [−2 − (−3 − 1) + (−7)] − (−6 + 1 − 3)} − 5 =

𝑏) − 3 + 8 − (−3) + 4 − [3 − (−4 + 7 − 5 + 1) − 2 + (−3)] − 9 =

𝑐) 10 − (4 + 2) + [−(5 − 2) + 3 + (4 + 1) + 2]

𝑑) 31 − {13 + [14 + 1 + (3 − 2) − 5 − (12 + 1 − 7)] + 2} + 3

𝑒) 20 − {15 − [10 − 3 − (10 − 4 − 1) + 2] + 4 − (3 + 1)}

𝑓) 21 − {20 − [10 − (8 − 3) + (8 + 9) − 11] + 2} + 9

𝑔) 15 − {1 + 4. (2 − 3 + 1) − [−(3 + 1)] + 2} =

11

Modulo o valor absoluto Introducción

Analicemos el siguiente ejemplo:

En el kilómetro 125 de una ruta de 200 km de longitud se ha instalado un radar que controla la velocidad de los automóviles. El radar tiene un alcance de 30 km.

a) ¿A qué distancia del radar se encuentra un automóvil que está detenido en el kilómetro 149 de la ruta? …………

b) ¿A qué distancia del radar se encuentra otro automóvil que se encuentra en el kilómetro 101 de la ruta?....................

c) ¿En qué kilómetro de la ruta podría encontrarse un automóvil cuya distancia al radar es de 8 km? ¿Y si la distancia fuera de 20 km? ¿Y de 43 km? …………………..

d) ¿Cuál o cuáles de ellos pueden ser detectados por el radar?............................

Distancia entre dos puntos de la recta La distancia desde la posición que ocupan los dos primeros automóviles a la posición que ocupa el radar es de 24 km, independientemente de la posición relativa de cada uno de ellos respecto de este: Ruta / / / 101 125 149 24Km 24Km

A su vez, la distancia que separa a los kilómetros 125 y 149 de la ruta es la misma, independientemente del sentido en que viaje el automóvil (desde el kilómetro 125 al 149, o al revés). Lo mismo ocurre para la distancia entre el kilómetro 101 y el kilómetro 125. Para expresar simbólicamente la distancia entre 125 y 149 𝑑(125; 149) 𝑜 𝑑(149; 25) y estas dos expresiones son equivalentes a 𝑑(125; 149) = |125 − 149| = |149 − 125| (que leemos módulo de 125 menos 149 o módulo de 149 menos 125). De acuerdo con lo observado para los dos primeros automóviles: 𝑑(125; 149) = |125 − 149| = 24 y 𝑑(101; 125) = |101 − 125| = 24

Valor absoluto https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/basic-alg-foundations/alg-basics-absolute-value-new/v/absolute-value-of-integers https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/basic-alg-foundations/alg-basics-absolute-value-new/v/absolute-value-and-number-lines https://www.youtube.com/watch?v=4KY4yOOAPSg

Realizar los siguientes ejercicios

• https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/basic-alg-foundations/alg-basics-absolute-value-new/a/intro-to-absolute-value

• https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/basic-alg-foundations/alg-basics-absolute-value-new/e/absolute_value

12

Multiplicación y división Regla de signos:

✓ Cuando en un producto o división se tienen dos números de igual signo, por ejemplo (–2). (-3) = (+6) ó (+6). (+2) = (+12), el resultado será positivo.

✓ Cuando en un producto o división se tienen dos números de distinto signo, por ejemplo (–6). (+ 2) = (-12) ó (+6) (–1) = (-6), el resultado es negativo.

Multiplicación de números enteros https://www.youtube.com/watch?v=jdqwzCL_PG0&t=28s

Realizar las siguientes actividades interactivas sobre productos y cocientes con números enteros

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/enteros/problemas-interactivos-de-multiplicacion-de-numeros-enteros.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/enteros/problemas-interactivos-de-division-de-numeros-enteros.html

Actividades

5) Resolver 𝑎) − 3 ⋅ 2 + (−3) ⋅ 3 + 5 ⋅ (−1) + (−2) ⋅ (−1) =

𝑏) [(−3 − 2.5 + 8: 2): (−3)]. (−1 + 3) =

𝑐) − 20 + [−1 + (−12): (−3 − 1) − (−2). (−1)] =

𝑑) (−1 − 8): (−3) + (9 − 2.5). (−2). (−2) =

𝑒) (−2). (−7 + 3) − (−4 − 1) + (−12): (−6) =

6) Escribir en lenguaje matemático los siguientes enunciados

a) El triple de un número c ................... b) El siguiente de un número………….. c) El anterior de un número………… d) Un número menor que otro……. e) La mitad de un número b .................. f) La suma de un número m y su doble.................. g) El cuadrado de un número n..................... h) La diferencia entre un número a y su consecutivo...................... i) La diferencia entre el cubo y el cuadrado de un número………………… j) La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera…………………… k) El producto de un número y su consecutivo…………………………

7) Unir con flecha cada enunciado con la expresión simbólica correspondiente

Mi edad 2x Mi edad dentro de 5 años x Mi edad hace 5 años (x-3):2 El doble de mi edad x/ 3 La mitad de la edad que tenía hace 3 años x - 5 La tercer parte de mi edad x + 5

13

Potenciación La potencia surge de una multiplicación reiterada de un número, si a es un número real y n

un número natural definimos

𝒂𝒏 = 𝒂. 𝒂 … . 𝒂

(se multiplica a n veces) siendo 𝒂𝟎 = 𝟏. Notación:

5𝟐 = 25

La potenciación y sus propiedades https://www.youtube.com/watch?v=bnwBXIcIi2k https://www.youtube.com/watch?v=tNer3cNu3iA https://www.youtube.com/watch?v=X5Kjvvr1jvQ&list=PL9SnRnlzoyX1MVuXSqPt2Q_gxC8RGcIu_&index=144&t=0s

Actividades

8) Resolver 5 2 = (-2)2= 102= (-11)2= 23 = (-3)3= (- 10)3= 2 4= (-2)4 = (-2)3= 02= 03= 14= 1100= (-1)2= (-1)6= (-1)100= (-2)0= 130= 10000=

9) Unir con flechas cada operación con el resultado correspondiente

-(-2)4= -8 (-2)3 = -16 -(-2)3 = 25 (-5)2 = -81 -(-5)2 = -25 -92 = 8

10) Resolver 𝑎) 9: [(25 . 2−3) + 5] + ((−2)2)3 =

𝑏) − (35: 32) + ((−2)3)2 =

𝑐) 24: 22 + 29: 27 =

𝑑) 35 . 3−3 − 25: 22 =

𝑒) (35)6: (313)2 − 2. 33 =

Realizar las siguientes actividades interactivas sobre potenciación

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/enteros/ejercicios-interactivos-de-potencias-de-numeros-enteros.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/enteros/ejercicios-interactivos-de-potencias-de-exponente-negativo.html

Base

Exponente

Potencia

14

Radicación La radicación es la operación inversa a la potenciación. Consiste en: dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando:

√𝒂𝑛 = 𝑐 verifica que 𝑐𝑛 = 𝒂

La raíz cuadrada se define de la siguiente manera √𝒂 = 𝑐 ⟹ 𝑐2 = 𝒂 𝑦 𝑐 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

Radicación https://www.youtube.com/watch?v=vAH_w49KhUg&list=RDCMUCTeSnLzVwrqfc93qF_yCIGQ&start_radio=1&t=14 https://www.youtube.com/watch?v=vAH_w49KhUg&list=RDCMUCTeSnLzVwrqfc93qF_yCIGQ&start_radio=1&t=14

Actividades

11) Calcular cuando sea posible:

𝑎) √25 𝑏) √16 𝑐) √−83

𝑑) √814

𝑒) √−15

𝑓) √−325

𝑔) √100 ℎ) √646

𝑖 ) √83

𝑗) √−1253 𝑘) √−9 𝑙) √−81

4

12) Escribe la palabra par o impar según corresponda ✓ Si el índice es…….y el radicando positivo, existen dos raíces que son números opuestos.

✓ Si el índice es…….y el radicando negativo, no existe raíz.

✓ Si el índice es…….la raíz es única y tiene el mismo signo del radicando

13) Resolver integrando todo lo aprendido

𝑎) [4 − 5. (−3) + 2 − (2 − 5)2]. √5. 23 − 22 =

𝑏) √(42 − 3) − 1 + √823. (32 − 42): 7 =

𝑐) √−28 + 13

+ (−4)0. (−4)3 − 100: (−5)2 =

𝑑) [−20: (3 − 5)2 + √−13

+ √−1 + 37 − (5 − 2.3)2]2

− √169 =

𝑐) {[√43 − (3 − 4)2]2

− (−3)2} : 10 − √25 =

𝑑) √√25 + √121 − √2 − √3 ⋅ √8133

+ √√−83

⋅ √√16 ⋅ √645

=

𝑒) √−13

⋅ (−1)3 + (−2) ⋅ (−3)3 − √1 + √9 + (−3)2: √−273

=

Índice

Raiz Radicando

15

Números Racionales Introducción Llamamos números racionales a todos aquellos números que se pueden escribir como

fracción, es decir, son de la forma 𝒂

𝒃 donde a y b son números enteros y 𝒃 ≠ 𝟎

Números racionales https://www.youtube.com/watch?v=kYyDc0XRUeg

Operaciones con números racionales

Suma, resta, multiplicación y división con números racionales https://www.youtube.com/watch?v=GMsq8e40EUg https://www.youtube.com/watch?v=0nKmnX5nZcA https://www.youtube.com/watch?v=p_AlfSeIJ8I

Actividades

14) Resolver aplicando las operaciones correspondientes

𝑎) (1

2−

3

4) :

5

6 𝑏)

1

2+

3

4⋅

1

3− (

1

4⋅

2

3+ 1) =

𝑐) 1

2+ (

3

4⋅

1

3−

1

4) ⋅

2

3+ 1 = 𝑑) (4

1

2− 5

1

3) −

7

8

𝑒) 1 −8

3⋅ (−

3

4) − {2 − [

3

4− 1 +

2

5⋅ (−10 +

15

4) − 1]} =

𝑓) 1

12−

1

21⋅ (−

7

4) −

1

5:2

5− [3 + (−

2

3+

1

2+ 1)] +

31

6=

Realizar las siguientes actividades interactivas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/racionales/ejercicios-interactivos-de-operaciones-combinadas-con-fracciones.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/racionales/ejercicios-interactivos-de-multiplicacion-y-division-de-numeros-racionales.html

Potenciación y radicación con números racionales https://www.youtube.com/watch?v=ZZmTpbqg1mY https://www.youtube.com/watch?v=rEv6BUB6Pts

Actividades

15) Resolver aplicando las operaciones correspondientes

𝑎) 1 − (2

3)

2

−25

7⋅ [−2 ⋅ (−

1

2) − 1 +

1

5]

2

−5

63=

𝑏) √ 2−2: √43

 −  (3

4− 1 +

1

2)

−2

+  4

5:

2

15  =

𝑐) 2

5 (−

1

2) (−

10

3)  −  (1 −

2

3)

−2

  +   √ 7

8− (

1

6)

03

=

16

𝑑) (−3)−1 − (−1)−3 − (1 −1

2)

−2

+ (5:5

6)

−1

− (−1 −1

5)

−1

𝑒) 2

5 (−

1

2) (−

10

3)   −   (1 −

2

3)

−2

  +   √ 7

8− (

1

6)

03

=

𝑓) 2 ⋅ (2

5+ 1)

2

: (7

10−

1

2)

2

− [(5

9−

1

2)

2

⋅ 64]

3

Realizar la siguiente actividad interactiva sobre potenciación

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/racionales/ejercicios-interactivos-de-potencia-de-numeros-racionales.html

Propiedades de la radicación

Propiedades de la radicación https://www.youtube.com/watch?v=GgVW0-Yre9Q

Actividades

16) Pasa las siguientes potencias a raíz y resuelve

𝑎) 813 𝑏) 25

12 𝑐) 100000

15 𝑑) 𝑎

23

17) Aplicar las propiedades convenientes y luego resolver

𝑎) √2. √2 = 𝑏) √33

. √93

= 𝑐) √2

3. √

8

27= 𝑑)√0,5

3. √

1

4

3

=

𝑒) √27. 𝑠6. 𝑛33= 𝑓) √𝑥14𝑦77

= 𝑔) √32𝑎5𝑏105= ℎ) √

27

1000𝑝9𝑞6

3

=

𝑖) √12. √3 = 𝑗) √2

5

3

. √4

25

3

= 𝑘) √85

. √−45

= 𝑙) √−9𝑎6𝑏23. √3𝑎3𝑏43

=

𝑚) √64𝑠4𝑛43: √8𝑠𝑛43

= 𝑛)√1

9𝑠7𝑛2

3

: √3𝑠𝑛−13= 𝑜)√−2𝑎3𝑏73

: √−2𝑎𝑏23. √−2𝑎4𝑏−23

=

18) Unir con flechas

𝑎) √𝑎3 . √𝑎23 𝑎

𝑏) √5𝑎3 + 3𝑎33 2𝑎

𝑐) √𝑎3. 𝑎33 √𝑎

𝑑) √𝑎46: √𝑎

6 𝑎2

𝑒) √𝑎53. √𝑎3 𝑎

19) Aplicar propiedades de potencia y radicación de ser posible, y luego resolver

17

𝑎) √2

5

3

. (4

25)

13

= 𝑏) √(𝑎

𝑏)

57

. √(𝑎

𝑏)

27

= 𝑐) √(𝑎

𝑏)

57

. (𝑎

𝑏)

27

=

𝑑) √2

5

3

. √(25

4)

−13

= 𝑒) [(3

5)

10

. (3

5)

20

: (3

5)

29

+4

3. 9] =−1 𝑓) (√

3

4

3

. √9

2

3

+ 3)

2

− (7

5)

0

=

𝑔) [(2

3)

12⁄

. (2

3)

12⁄

− (2

5:25

4)

13⁄

]

−1

= ℎ) [5

2. (

4

200)

−1

]

13⁄

+ (9

4)

510⁄

=

Realizar las siguientes actividades interactivas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/reales/ejercicios-interactivos-de-multiplicacion-de-radicales-2.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/reales/ejercicios-interactivos-de-division-de-radicales-2.html

Pasaje de decimal a fracción Decimales exactos, son aquellos números que en su parte decimal observamos una cantidad exacta

de números y cuando lo pasamos a fracción, en su denominador utilizamos ceros. Por ejemplo, el

número (dos enteros con 154 milésimos) 2,154.= 2154

1000 se utilizan tres ceros porque tenemos tres

decimales.

Decimales periódicos puros, son aquellos decimales cuya parte decimal se repite infinitamente. Por

ejemplo, el número 2, 32̂ . Para pasar este número debemos realizar la siguiente operación: a todo

el número, sin coma, le restamos la parte que no tiene sombre (232-2) sobre 99. Utilizamos tantos 9

según la cantidad de números que observamos bajo el sombrero 2, 32̂ = 232−2

99

Decimales periódicos mixtos, son aquellos números que poseen en su parte decimal números

periódicos y no periódicos, por ejemplo 2,5432̂. Pasar a fracción debemos realizar el mismo

procedimiento anterior, pero en su denominador debemos escribir tantos nueves como decimales

periódicos y tantos ceros como decimales no periódicos 2,5432̂ = 25432−254

9900

Pasaje de decimal a fracción https://www.youtube.com/watch?v=F5TT9lzXJW8 https://www.youtube.com/watch?v=rO4bBIRmOLc https://www.youtube.com/watch?v=IJm0Kk2vjyI

Actividades

20) Expresar como fracción y resolver

𝑎) (1

2+ 0,5) − (0, 9⏜ + 1, 5⏜) = 𝑏) (−0,3 + 1, 9⏜ . 0,5) − (0,0 9⏜ + 0,2) + 0,6 =

𝑐) 0, 2̑   ⋅ 2,5 : 1

2  +   1,03̑ ⋅

10

93  +   ( 0,1 − 1 )−1   =

18

𝑑) 10

97 ⋅ 1,07̑   −   ( 1 − 0,7 )−1  +   1,5 ⋅ 0, 3̑ : 

1

2   =

𝑒) √0,9. √1

10+ 1,0 3⏜ .

5

31− (−

1

2)

−2

=

𝑓) 0, 1⏜ .  3,5  ÷  2−2 +  1,0 1⏜ . 10

91  −  (1 − 0,1)−1 =

𝑔) 3,1 5⏜ . (71

45)

−1

−   √1

128

3

 ÷   √−1

2

3

  +  0,05  ÷  (1

2)

2

− (−1

0, 6⏜) =

Notación científica

Notación científica https://www.youtube.com/watch?v=c6iauy_4OZw https://www.youtube.com/watch?v=8hD_XCGTOhM https://www.youtube.com/watch?v=BXRTFOaf9yA https://www.youtube.com/watch?v=8hD_XCGTOhM

Actividades 21) Pasar a decimal y/ o a notación científica

𝑎) 2,1.106 𝑏) − 2,45.104 𝑐) 5,4.10−3 𝑑) − 2.10−7 𝑒) − 1,476.103

𝑓) 0,0000000000093 𝑔) 0,0000001 ℎ) − 1840000000 𝑖) 546,987 𝑗) − 5,5

22) Resolver expresando el resultado en notación científica 𝑎) 4.106 + 3.105 = 𝑏) 1,2.102 + 1,8.103 = 𝑐) 3.10−1 − 5.10−2 + 3.10−3 =

𝑑) (3,7.10−10) ⋅ (2.1018) = 𝑓) (3.106) ⋅ (2.103) = 𝑔) (8.106) ÷ (2.103) =

ℎ) (5,4.108): (7,2 .1010) = 𝑖) 5,6.10−2 ⋅ (4,2.103 + 3,3.103) =

23) Resolver con la calculadora y unir con flechas 2. 105 × 3. 10−6 3x106

2. 10−2 × 2. 104 × 3. 10−3 5,22x108

4.102

2.10−2 3,8x105

2.104 × 12.10−3 × 3.102

6.102 × 4.10−5 1,4x10-2

125,5 × 103

2,5.10−4+ 2.107 0,6

7.104 − 5.104 + (12 × 104

2.102)

2

1,2

(9.10−3

3.102+ 4.10−5) × 2.102 = 2.104

19

Unidad 2

Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones de Primer grado

Se denomina ecuación de primer grado o lineal a una igualdad que tiene una o más variables

elevadas a la primera potencia (es decir, elevada a la potencia uno). Resolver una ecuación

lineal significa encontrar el valor, o los valores, de las variables con los que se verifica dicha

igualdad.

Por ejemplo: 3𝑥 + 8 = 10 + 𝑥 es una ecuación

𝑥 = 2 no es solución pues 3.2 + 8 ≠ 10 + 2 ya que 14 ≠ 12

𝑥 = 1 es solución pues 3.1 + 8 = 10 + 1 ya que 11 = 11

Resolución de ecuaciones de Primer grado

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, lo que se hace es despejar la

incógnita es decir realizar en la ecuación las operaciones convenientes con el objetivo de que

la incógnita quede igualada a su valor.

Veamos un ejemplo: 5𝑥 + 4 = 14

para hallar el valor de “𝑥” debemos buscar un número que sumado (o restado) al “+4”, se

transforme en el elemento neutro de la adición (es decir, en 0). Debe realizarse la misma

operación en ambos miembros para no alterar la igualdad. Entonces restaremos 4:

5𝑥 + 4 − 4 = 14 − 4

Así nos queda

5𝑥 = 10

Ahora debemos dividir al 5 por un número que lo transforme en el elemento neutro de la

multiplicación (es decir, en 1), también en ambos miembros para no alterar la igualdad.

O sea

5

5𝑥 =

10

5

y nos queda que 𝒙 = 𝟐, es la solución de la ecuación, además podemos verificar que:

5.2 + 4 = 14

14 = 14

Este procedimiento de realizar las operaciones opuestas se lo conoce como “despejar” el valor

de x. Y abusando del lenguaje matemático se dice que los números “pasan sumando,

restando, multiplicando o dividiendo” según corresponda.

Como procedimiento práctico y utilizando el “pasaje de términos” su solución sería:

5𝑥 + 4 = 14

5𝑥 = 14 − 4

20

𝑥 =10

5

𝑥 = 2

Ejercicios resueltos 1) Hallar el valor de 𝑥 que verifica la siguiente ecuación:

−10𝑥 + 26 = 2𝑥 + 14

primero agrupamos en un miembro todos los términos que posean la incógnita y del otro lado

los términos que no la posean

−10𝑥 − 2𝑥 = 14 − 26

Sumando queda:

−12𝑥 = −12

𝑥 =−12

−12

𝒙 = 𝟏

Siendo 𝑥 = 1 la solución de la ecuación.

Verificamos:

−10.1 + 26 = 2.1 + 14

16 = 16 Y así se verifica la igualdad

2) Hallar el valor de

𝑥 que verifica la siguiente ecuación:

𝑥

2(𝑥+3)

10+

5(−𝑥−2)

5=

4(𝑥−3)

2

Para resolver esta ecuación podemos comenzar aplicando propiedad distributiva de la

multiplicación respecto a la suma, en el numerador:

2𝑥 + 6

10+

−5𝑥 − 10

5=

4𝑥 − 12

2

Luego hay varios caminos para continuar, podemos distribuir el denominador en la suma o en

la resta, según corresponda. O bien podemos sacar un denominador común (como suma de

fracciones) o en forma similar multiplicar ambos miembros por un número múltiplo de todos

los denominadores.

En nuestro caso multiplicamos por 10 (por ser múltiplo de 10, de 5 y de 2)

10 (2𝑥 + 6

10+

−5𝑥 − 10

5) = 10 (

4𝑥 − 12

2)

distribuimos

(2𝑥 + 6) + 2(−5𝑥 − 10) = 5(4𝑥 − 12)

operamos

2𝑥 + 6 + −10𝑥 − 20 = 20𝑥 − 60

Ahora se transforma en una ecuación similar al ejemplo 2

21

2𝑥 − 10𝑥 − 20𝑥 = −60 − 6 + 20

−28𝑥 = −46

𝑥 =−46

−28

𝑥 =23

14

La verificación queda a cargo del alumno.

3) Realizar el planteo correspondiente y resolver

La suma de 3 números consecutivos da como resultado 75. ¿Cuáles son dichos números?

Solución: primero pasamos el enunciado del lenguaje coloquial al simbólico:

La suma de 3 números consecutivos será:

𝑥 + (𝑥 + 1) + (𝑥 + 2) , donde 𝑥 representa uno

de los números buscados y esto será igual a 75.

𝑥 + (𝑥 + 1) + (𝑥 + 2) = 75

Eliminamos los paréntesis:

𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 75

Agrupamos los términos semejantes:

3𝑥 + 3 = 75

3𝑥 = 75 − 3

𝑥 =72

3

𝑥 = 24

Si 𝑥 = 24, entonces los tres números consecutivos serán: 24, 25 y 26.

Más ecuaciones de primer grado https://www.youtube.com/watch?v=s4hrxXz5ln4&list=PL9SnRnlzoyX

1WCU_GxVNqTFCs33EAvNF5&index=7

https://www.youtube.com/watch?v=QQllizy5Gb8&list=PL9SnRnlzoyX

1WCU_GxVNqTFCs33EAvNF5&index=11

https://www.youtube.com/watch?v=EpvQTZMHhq4&list=PL9SnRnlzo

yX1WCU_GxVNqTFCs33EAvNF5&index=18

Actividades

1) Resolver y verificar las soluciones

𝑎) 7𝑥 + 8 = 3𝑥 − 4

𝑏) − 2 − 3𝑥 + 𝑠 = −𝑠 − 8𝑥 + 𝑥

𝑐) 15𝑥 + 12 + 3(2𝑥 − 6) = 3𝑥 − (21𝑥 − 1) + 2

𝑑) 5 + 3𝑥 + 5𝑥 + 1

2−

𝑥

2= −

1

5−

7𝑥 + 5

2+

−1 + 𝑥

2

𝑒)3(𝑥 − 1)

10−

3(𝑥 + 1)

2=

2(−𝑥 + 1)

5+

−𝑥

2

22

𝑓) 1

10. (𝑥 + 4) −

3

5. (2𝑥 − 1) =

7

10. (3𝑥 + 1) −

9

10

𝑔) (1

7𝑥 + 1) :

5

8=

3

7𝑥 +

1

5

ℎ) (3

4𝑥 −

1

6) :

5

24=

15

2𝑥 +

1

2

𝑖) 10

9𝑥:

2

3− (−

2

5) = −

2

5(

15

4𝑥 −

1

6)

𝑗) 0,25  ⋅  (2 − 𝑥)   =   (𝑥 + 5)  ⋅  0, 3⏜

𝑘) (0, 2⏜ − 1). (9 − 18𝑥) = [2, 2⏜ − (9

2)

−1

] . (𝑥 −1

2)

2) La suma entre un número y su consecutivo es 113. ¿Cuáles son dichas números?

3) Calcular la longitud de un poste sabiendo que su cuarta parte está enterrada, sus tres

quintos sumergida en el agua y que sobresale 3m.

4) Juan debe pagar $ 6.000 en 4 partes. La primera vez, paga un tercio de la deuda, la

segunda vez paga un cuarto de lo que le queda, la tercera vez, paga dos tercios del resto, y

la cuarta vez, lo que le falta para terminar la deuda. ¿Cuánto paga cada vez?

5) Un camino cuya longitud es de 5.500 metros se dividió en cuatro tramos para su

construcción. El primero es igual a un tercio del segundo; el tercero un sexto del segundo

y el cuarto el doble del primero más nueve veces el tercero. Calcula la longitud de cada

tramo.

Realizar la siguiente actividad interactiva

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/ecuaciones/ejerci

cios-interactivos-de-ecuaciones.html

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado son aquellas en donde el

exponente de la variable o incógnita está elevado al cuadrado, es decir, la incógnita está

elevada al exponente 2.

La forma de la ecuación es: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

La ecuación puede presentarse en forma completa o incompleta. Según su forma de expresión

es conveniente una u otra forma de resolución, veamos algunos ejemplos.

Ejercicios resueltos 4𝑥2 − 64 = 0

Esta es una ecuación incompleta porque el coeficiente 𝑏 = 0

Su forma de resolución es simplemente despejar la variable 𝑥.

4𝑥2 = 64

23

𝑥2 = 16

aplicando la raíz cuadrada en ambos miembros

√𝑥2 = √16

|𝑥| = 4 Por lo tanto, la solución es 𝑥 = 2 ó 𝑥 = −2

Nota: El módulo es muy práctico para despejar potencias pares teniendo en cuenta que si n

es par n nx x= (sin embargo, si n es impar n nx x= ).

Ejemplo 2: 𝑥2 + 6𝑥 = 0

Esta ecuación de segundo grado también se denomina incompleta porque 𝑐 = 0. Para

resolverla podemos sacar factor común la variable 𝑥

𝑥(𝑥 + 6) = 0

y recordando que si un producto es igual a cero es porque alguno, o ambos, factores son cero.

𝑥 = 0 ó 𝑥 + 6 = 0

Siendo la Solución 𝑥 = 0 ó 𝑥 = −6, simbólicamente 𝑆 = {−6; 0}

Ejemplo 3: 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0

Se trata de una ecuación completa por tener todos sus términos distintos de cero.

Para obtener la solución se utiliza la fórmula resolvente:

𝒙𝟏,𝟐 =−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

La resolución queda para el alumno. Debiendo llegar al resultado 𝑥 = 2 ó 𝑥 = −4.

Mas ecuaciones de segundo grado

https://www.youtube.com/watch?v=1j8IDMuJ2n4&list=PL9SnRnlzoy

X1WCU_GxVNqTFCs33EAvNF5&index=36

Si analizamos la expresión que se encuentra dentro la raíz cuadrada de la fórmula

resolvente nos encontramos con la expresión: 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 que se denomina Discriminante

✓ Si 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 es igual a cero, la ecuación tiene una única solución Real (doble).

✓ Si 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 es mayor que cero, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.

✓ Si 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 es menor que cero la ecuación no tiene solución en ℝ .

Ver del libro Matemática preuniversitaria con aplicaciones físicas – Tomo 2 de Buccino, Daneri, Di Blasi, Fasce y Viveros, enlace https://drive.google.com/file/d/19I-iqJKVH4kdxRZ0Vc2kLKTElRBBUpmJ/view Pág. 61 para ampliar el tema

Actividades

1) Resolver las siguientes ecuaciones y verificar las soluciones obtenidas

𝑎) 𝑥2 − 18 = 0

24

𝑏) − 𝑥2 + 1 = 0

𝑐) − 𝑥2 + 2𝑥 = 0

𝑑) 5𝑥2 − 15𝑥 − 50 = 0

𝑒)3𝑥2 − 6𝑥 = 0

𝑓) 3𝑥2 − 1 = 26

𝑔) 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0

ℎ) 18 − (−10 + 5𝑥)2 = −7

𝑖) (2𝑥 −1

2)

2

+ 0,75 = 13

𝑗) (2𝑥 − 5)(2𝑥 + 5) = (3

4− 3𝑥) (4𝑥 + 1) + (−

4

3)

−1

𝑘) (0,4𝑥 − 0,2)6 =13

5𝑥 −

2𝑥 − 3

10

𝑙) (𝑥 + 5)2

2− 10 ⋅ 5 = 0

𝑚) (5 − 𝑥) ⋅ (𝑥 + 16) = 0

𝑛) (𝑥 −1

2)

2

− 0, 3⏜ =7

4+ √

1

5−

3

40

3

− √9−1

2) Hallar los números que sumados consigo mismo, sea igual al producto de él por sí

mismo.

3) ¿Cuál es la edad de Juan?, sabiendo que el cuadrado de ella es igual a 16 veces la edad

que tendrá dentro de 12 años.

4) El área de un rectángulo es de 160 cm2, determinar sus lados sabiendo que uno de

ellos mide 12 cm más que el otro.

5) Hallar la edad de una persona sabiendo que si a su cuadrado se le resta el triple de

la edad, resulta nueve veces esta.

Realizar las siguientes actividades interactivas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/ecuaciones/ejerci

cios-interactivos-de-ecuaciones-de-segundo-grado-incompletas-2.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/ecuaciones/ejerci

cios-interactivos-de-las-soluciones-de-la-ecuacion-de-2o-grado-2.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/ecuaciones/ejerci

cios-interactivos-de-ecuaciones-de-segundo-grado-2.html

Inecuaciones lineales Dos expresiones algebraicas separadas por los signos: menor, mayor, menor o igual, mayor o

igual, respectivamente: <, >, ≤ , ≥, forman una inecuación. Será lineal si la incógnita está

elevada a la primera potencia.

25

Por ejemplo: 2𝑥 − 6 > 10

Las soluciones de una inecuación en ℝ son todos los números reales que cumplen la

desigualdad. La solución de una inecuación lineal, si es que existe, será un conjunto de

números, es decir un intervalo.

La forma de resolución es similar a la resolución de la ecuación lineal, pero debemos tener en

cuenta las siguientes propiedades

Resolución de inecuaciones ✓ Al sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de una inecuación la

desigualdad no varía. En símbolos:

𝒂 < 𝒃 ⇒ 𝒂 + 𝒄 < 𝒃 + 𝒄

✓ Al multiplicar o dividir los dos miembros de una inecuación por un mismo número

positivo, la desigualdad no varía. En símbolos:

𝒂 < 𝒃 ⇒ 𝒂 . 𝒄 < 𝒃 . 𝒄

✓ Al multiplicar o dividir los dos miembros de una inecuación por un mismo número

negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. En símbolos:

𝒄 < 𝟎 ∧ 𝒂 < 𝒃 ⇒ 𝒂 . 𝒄 > 𝒃 . 𝒄

Ejemplo: si bien -4 < 10 cuando multiplicamos (o dividimos) ambos miembros por un número

negativo - 4. (-1) …?…. 10. (-1). Vemos que 4 > -10. Cambió el sentido de la desigualdad.

Ejercicios resueltos Ejemplo 1: 3𝑥 + 1 > 22

3𝑥 > 22 − 1

𝑥 > 21: 3

𝑥 > 7

El resultado es un intervalo 𝑆 = (7; +∞) Recordar que en el intervalo, si el valor del extremo está incluido debe utilizarse corchete y si

no está incluido se utiliza paréntesis.

Gráficamente podemos representar en la recta numérica

(/////////////////////////////////

+∞

7

26

Ejemplo 2:

2𝑥 + 4 > 7𝑥 + 29 2𝑥 − 7𝑥 > 29 − 4 −5𝑥 > 25

𝑥 <25

−5

𝑥 < −5 El resultado es un intervalo 𝑆 = (−∞; −5)

Otros ejemplos de inecuaciones

https://www.youtube.com/watch?v=wWqueXXTmeo&list=PL9SnRnlz

oyX3WSvCry-ctW4l_yMH1Z9Xo

https://www.youtube.com/watch?v=SoRo2p-

g6nA&list=PL9SnRnlzoyX3WSvCry-ctW4l_yMH1Z9Xo&index=5

https://www.youtube.com/watch?v=m7QfWpjB5tw&list=PL9SnRnlzo

yX3WSvCry-ctW4l_yMH1Z9Xo&index=15

Actividades

1) Completar el siguiente cuadro:

Notación de intervalos

Definición Representación en la recta

1;3A = 1 ≤ 𝑥 ≤ 3

52;

2B

=

1 < 𝑥

1;

2E

= +

−3 ≤ 𝑥 < 9

( 1,5;3,5H =

1

2

-

2

2

a

a

a

a

a

a

a

a

3

b

a

a

a

a

a

a

a

a

-1

( π

8

5

27

2) Resolver las siguientes inecuaciones

𝑎) 𝑥 + 1 ≤ 7 − 3𝑥

𝑏) 2(𝑥 + 1) − 3(𝑥 − 2) < 𝑥 + 6

𝑐) (3𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) ≤ (2𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) − (4𝑥 − 5)

𝑑) 3

2(2𝑥 -1) – 2 (x – 3) ≥

1

4(𝑥 – 3)

𝑒) 2𝑥 − 1

5+

3𝑥 − 2

6>

2𝑥 + 1

2+

2

3

𝑓) (𝑥 + 3)2 − 𝑥(𝑥 + 5) < 9

𝑔) 3(2𝑥 + 1) − 4 ≥ 17

ℎ) −3

5− 4𝑥 ≤ −0,1 + 𝑥

𝑖) (7

2𝑥 − 5) ⋅ (

1

2)

−1

> 9𝑥 − 2, 6⏜

𝑗) 4 (𝑥 −1

2) <

𝑥

2− 1

3) Expresar mediante inecuaciones e intervalos en ℝ, cada una de las siguientes frases: a) “los valores de x mayores que 2 y menores que 6” b) “los valores de x que no superan a 5” c) “los valores de x mayores o iguales que -1” d) “los valores de x que superan al menor número entero positivo, pero son inferiores al

menor número par positivo” e) “los valores de x que superan al menor número entero positivo” f) “los valores de x menores que 4 y mayores que su múltiplo negativo más próximo” g) “los valores de x que no superan a la raíz cuadrada del menor número par positivo”

4) Hallar todos los números tales que si se les suma 5 se obtiene un resultado mayor a

26. 5) Si al doble de la edad de Juan le resto 7 años, el resultado es menor que 25

Realizar la siguiente actividad interactiva https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/inecuaciones/ejercicios-

interactivos-de-inecuaciones-de-primer-grado.html

28

Unidad 3

Polinomios

Expresiones Algebraicas Si consideramos el conjunto de números reales y un conjunto de variables (indicadas con letras) y combinamos elementos de estos conjuntos con operaciones aritméticas obtenemos las llamadas expresiones algebraicas. Veamos algunos ejemplos

Expresiones algebraicas

2 − 𝑥−3 2𝑥3𝑦 − 16𝑦 𝑥5 − 4

𝑥2 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 √𝑡 − 3𝑡

Llamaremos expresiones algebraicas enteras a aquellas en las que las variables están elevadas a exponentes enteros no negativos. Veamos algunos ejemplos

Expresiones algebraicas enteras

2𝑥 − 3𝑥3 2𝑥3𝑦 − 16𝑦 √3 − √2𝑔 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 2 − 𝑡

Llamaremos términos algebraicos a los sumandos de una expresión algebraica. Por ejemplo, la siguiente expresión algebraica tiene tres términos En cada término se distinguen una parte numérica también llamada coeficiente (que es el número real) y una parte literal (que incluye las variables con sus exponentes) Aquellos términos algebraicos con idéntica parte literal, se denominan términos semejantes, por ejemplo

Términos algebraicos semejantes 3

4𝑥4 −0.3𝑥4 3𝑥4 −√7𝑥4

En este capítulo estudiaremos expresiones algebraicas con una sola variable (𝑥).

Polinomios

Definición: un polinomio P es una expresión algebraica entera. En general, la expresión matemática de un polinomio en una variable es la siguiente:

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

donde 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1, … , 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 son números reales llamados coeficientes, y los exponentes de la variable 𝑥: 𝑛, 𝑛 − 1, … , 2, 1, 0 son números enteros no negativos. Polinomio nulo es aquel que tiene todos sus coeficientes iguales a 0 y se anota 𝑃(𝑥) = 0 El polinomio nulo no tiene grado.

−𝟐 𝒙𝟐𝒚

Coeficiente Parte literal

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐

29

Características de los polinomios: ✓ La notación 𝑃(𝑥) es para indicar que el polinomio es una expresión algebraica en la

variable 𝑥 ✓ El grado de un polinomio es 𝑛, es el mayor exponente de la variable 𝑥. ✓ El coeficiente principal de un polinomio es 𝑎𝑛, es el coeficiente que acompaña a la

variable de mayor exponente. ✓ Un polinomio se llama mónico cuando su coeficiente principal 𝑎𝑛 = 1. ✓ El término independiente de un polinomio es el término 𝑎0 . ✓ Se dice que un polinomio está ordenado cuando los términos algebraicos que lo

forman están escritos en forma creciente o decreciente según los exponentes de sus variables. En este curso los ordenaremos en forma decreciente.

✓ Un polinomio está completo si tiene todos los términos. ✓ Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina monomio (si tiene un

término); binomio (dos términos); trinomio (tres términos); cuatrinomio (cuatro términos)

Polinomio Coeficiente

principal Término

independiente Grado del polinomio

Clasificación

𝑃(𝑥) = −5𝑥2 − 2𝑥 + 1 -5 1 2 Trinomio

𝑄(𝑥) = 2𝑥 1 0 1 Monomio

𝑅(𝑥) =3

4𝑥4 −

1

2𝑥2 + 𝑥 + 7

3

4 0 4 Cuatrinomio

𝑆(𝑥) = 34𝑥5 − 17𝑥2 34 0 2 Binomio

𝑇(𝑥) = −√5𝑥3 −√5 0 1 Monomio

Valor numérico o especialización de un polinomio El valor numérico de un polinomio 𝑃(𝑥), es el valor que toma el mismo para un determinado valor de la variable 𝑥. Se suele decir que el polinomio 𝑃(𝑥) está especializado en ese valor.

Polinomio Valor numérico en…

𝑃(𝑥) = −2𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑥 = −1 𝑃(−1) = −2(−1)2 + 3(−1) − 1 = −2 − 3 − 1 = −6

𝑄(𝑥) = 3𝑥4 + 𝑥2 − 5 𝑥 = 1 𝑄(1) = 3. 14 + 12 − 5 = 3 + 1 − 5 = −1

𝑅(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 6𝑥2 𝑥 = 2 𝑅(2) = 24 + 23 − 6. 22 = 16 + 8 − 24 = 0

Operación entre polinomios Suma y resta de polinomios La suma y resta de dos polinomios es otro polinomio cuyos términos se obtienen sumando o restando los términos semejantes.

Suma y resta de polinomios https://www.youtube.com/watch?v=BXngPyAAY9M https://www.youtube.com/watch?v=992YbPARsMM https://www.youtube.com/watch?v=cb0mSTVbekQ https://www.youtube.com/watch?v=ZMmqkr_WitA

30

Multiplicación de polinomios

✓ Para multiplicar monomios se deben multiplicar los coeficientes y las partes literales entre sí. Para multiplicar las partes literales es necesario aplicar la propiedad de la potenciación

Cuando se multiplican dos o más monomios, el resultado es un monomio. Si alguno de los factores es el polinomio nulo el producto es el polinomio nulo Ejemplos:

𝑎) (3𝑥). (2𝑥) = 6𝑥2 𝑏) (−4𝑥). 𝑥5. (1

2𝑥2) = −2𝑥7

Problema de geometría con aplicación de producto de monomios https://www.youtube.com/watch?v=017QMu_06FU

✓ Para multiplicar un polinomio por un número real, se aplica la propiedad distributiva

de la multiplicación respecto de la suma

Realizar los siguientes ejercicios interactivos para ejercitar las operaciones vistas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ejercicios-interactivos-de-suma-de-polinomios.html

✓ Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva, efectuando luego

la multiplicación de monomios que se explicó anteriormente y luego se suman términos semejantes si los hubiera.

Producto de monomio por polinomio https://www.youtube.com/watch?v=Jouo--pA1GA

Producto de polinomios https://www.youtube.com/watch?v=ckY4JRLf7co https://www.youtube.com/watch?v=ZzbQ6rahZ24 https://www.youtube.com/watch?v=u9NjikOlKM8 https://www.youtube.com/watch?v=_xo5Ban3AFw

Realizar los siguientes ejercicios interactivos de multiplicación de polinomios

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ejercicios-interactivos-de-multiplicacion-de-polinomios.html

Ahora estudiaremos dos casos especiales de producto de polinomios, el cuadrado de un binomio y el producto de binomios conjugados. Estos productos suelen llamarse productos notables dado que suelen aparecer con frecuencia en ejercicios matemáticos y en diversas aplicaciones contextualizadas y pueden resolverse rápidamente con reglas sencillas. Previamente veamos cómo se realiza la potencia de monomios

𝒙𝒏. 𝒙𝒎 = 𝒙𝒏+𝒎

𝒂. (𝒃 + 𝒄) = 𝒂. 𝒃 + 𝒂. 𝒄

31

Potencia de un monomio Para resolver la potencia de un monomio se deben aplicar las propiedades

Distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación

Y la potencia de otra potencia

Ejemplos:

𝑎) (3𝑥)4 = 34. 𝑥4 = 81𝑥4 𝑏) (−2

5𝑥7)

3

= (−2

5)

3

. (𝑥7)3 = −8

125𝑥21

Productos Notables

Cuadrado de un binomio El binomio al cuadrado es el más conocido de los productos notables y quizá el más utilizado en los problemas algebraicos. El desarrollo del cuadrado de un binomio nos da un trinomio cuadrado perfecto esto es “el cuadrado del primer término más el doble del primer término por el 2º término más el cuadrado del 2º término”

análogamente con el binomio diferencia al cuadrado, siendo a y b positivos

¿De dónde se obtienen estas expresiones? Pueden obtenerse desde un punto de vista geométrico y también desde un punto de vista algebraico

Ver del libro Matemática preuniversitaria con aplicaciones físicas – Tomo 2 de Buccino, Daneri, Di Blasi, Fasce y Viveros, enlace https://drive.google.com/file/d/19I-iqJKVH4kdxRZ0Vc2kLKTElRBBUpmJ/view Pág. 8 y 9 para ver dichas demostraciones

Desarrollo de cuadrados de binomios https://www.youtube.com/watch?v=BvhQKRTUWCs&t=1s https://www.youtube.com/watch?v=ubB9v6hGccE&t=3s

Producto de binomios conjugados Llamaremos binomios conjugados aquellos que se diferencian únicamente por el signo de uno de sus términos, por ejemplo

𝑎) (𝑥 − 3) 𝑦 (𝑥 + 3) 𝑏) (𝑥3 + 4𝑥) 𝑦 (𝑥3 − 4𝑥) El producto de binomios conjugados se realiza con la propiedad distributiva veamos en general que se obtiene

(𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎. 𝑏 − 𝑏. 𝑎 − 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑏2

(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐. 𝒂. 𝒃 + 𝒃𝟐

(𝒙𝒏)𝒎 = 𝒙𝒏.𝒎

(𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏. 𝒃𝒏

Trinomio cuadrado perfecto

(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐. 𝒂. 𝒃 + 𝒃𝟐

Cuadrado de un binomio

Diferencia de cuadrados Producto de binomios conjugados

(𝒂 − 𝒃). (𝒂 + 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

32

Productos de binomios conjugados https://www.youtube.com/watch?v=2W9oUGxEE50 https://www.youtube.com/watch?v=sBhNnSoP10w

Realizar los ejercicios de Binomios al cuadrado y de Producto de Binomios y luego compara con las soluciones propuestas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ejercicios-resueltos-de-igualdades-notables.html#tema_mas-productos-notables

Realizar los ejercicios interactivos 1,2,3,4,5 y 10, correspondientes a productos notables

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ejercicios-interactivos-de-identidades-notables.html

Realizar los siguientes ejercicios de polinomios, correspondiente a todo lo visto hasta aquí y luego compara con las soluciones propuestas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/polinomios-de-2o-de-eso-i-2.html#tema_1

División de polinomios

✓ Para dividir monomios se deben dividir los coeficientes del dividendo y del divisor y las partes literales entre sí. Para multiplicar las partes literales es necesario aplicar la propiedad de la potenciación

Estudiaremos divisiones de monomios que tengan la misma parte literal y tales que el grado del divisor no es mayor que el del dividendo, de esta manera obtenemos como resultado un monomio cuyo grado, de acuerdo con la Propiedad de la potenciación es la resta entre los grados del dividendo y del divisor. Ejemplos:

𝑎) (8𝑥7): (2𝑥5) = 4𝑥2 𝑏) (−4. 𝑥5): (1

2𝑥2) = −8𝑥3

División de monomios https://www.youtube.com/watch?v=FKv54hU9clc

Veremos a continuación que el método para dividir dos polinomios es muy similar a la división de enteros positivos

𝒙𝒏: 𝒙𝒎 = 𝒙𝒏−𝒎

Algoritmo de la división Sean los polinomios 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) ≠ 0 tales que el grado de 𝑃(𝑥) es mayor o igual que el grado de 𝑄(𝑥). Entonces, existen y son únicos los polinomios 𝐶(𝑥) y 𝑅(𝑥) tales que

𝑷(𝒙) = 𝑸(𝒙). 𝑪(𝒙) + 𝑹(𝒙)

donde 𝑅(𝑥) es el polinomio nulo o el grado de 𝑅(𝑥) es menor al grado de 𝑄(𝑥)

33

𝑃(𝑥) es el polinomio dividendo, 𝑄(𝑥) es el polinomio divisor, 𝐶(𝑥) es el polinomio Cociente y 𝑅(𝑥) es el polinomio Resto. El problema se expresa como un problema de división no algebraico Y tiene por objeto calcular los polinomios cociente y resto partiendo de los polinomios conocidos dividendo y divisor. Cuando 𝑅(𝑥) = 0 entonces 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). 𝐶(𝑥) por lo que el divisor 𝑄(𝑥) es un factor de 𝑃(𝑥) en ese caso se dice que 𝑃(𝑥) es divisible por 𝑄(𝑥) , o dicho de otra manera que 𝑄(𝑥) divide exactamente a 𝑃(𝑥).

Ver del libro Matemática preuniversitaria con aplicaciones físicas – Tomo 2 de Buccino, Daneri, Di Blasi, Fasce y Viveros, enlace https://drive.google.com/file/d/19I-iqJKVH4kdxRZ0Vc2kLKTElRBBUpmJ/view Pág. 14 para ver dos ejemplos de divisiones de polinomios

División de polinomios tradicional https://www.youtube.com/watch?v=NMUYtJsvGFI https://www.youtube.com/watch?v=BRNgLVuF7Vk

Realizar los siguientes ejercicios interactivos de división de polinomios

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ejercicios-interactivos-de-division-de-polinomios.html

Regla de Ruffini Hay otro procedimiento para determinar los coeficientes del cociente y el resto de una división llamado La regla de Ruffini, esta regla se utiliza solamente cuando el divisor es un polinomio mónico de grado uno y consiste en lo siguiente: Ejemplo Hallar el cociente y resto de la siguiente división

(3𝑥3 − 4𝑥2 + 2): (𝑥 − 2) Para aplicar la regla de Ruffini hay que escribir los coeficientes del dividendo ordenado y completo hasta el término independiente. Con respecto al divisor sólo se escribe el opuesto del término independiente en este ejemplo es 2. Resulta, el siguiente esquema

3 -4 0 2

2

Veamos paso a paso cómo se obtienen los demás coeficientes:

𝑅(𝑥)

𝑄(𝑥)

𝐶(𝑥)

cociente Resto

Dividendo 𝑃(𝑥) divisor

Coeficientes del polinomio dividendo ordenado y completo

Opuesto del

término

independiente

del divisor

34

El coeficiente principal del dividendo (3) se copia abajo (3). Se lo multiplica por 2 y el resultado (6) se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo (-4). Se suman -4 y 6 y el resultado (2) se escribe abajo

3 -4 0 2

2 6

3 2

El 2 obtenido en el paso anterior reinicia el ciclo: se lo multiplica por 2 y el resultado 4 se escribe debajo del siguiente coeficiente del dividendo 0 se suman 0 y 4 y el resultado 4 se escribe abajo

3 -4 0 2

2 6 4

3 2 4

El 4 obtenido en el paso anterior reinicia el ciclo: se lo multiplica por 2 y el resultado 8 se escribe debajo del último coeficiente del dividendo 2. Se suman 2 y 8 y el resultado 10 se escribe abajo. Los números que se obtienen son los coeficientes del cociente

3 -4 0 2

2 6 4 8

3 2 4 10

𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝐶(𝑥) = 𝟑𝑥2 + 𝟐𝑥 + 𝟒

El polinomio cociente es un grado menor que el polinomio dividendo

De acuerdo al algoritmo de la division, es posible verificar entonces que:

𝟑𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐 = (𝒙 − 𝟐). (𝟑𝑥2 + 𝟐𝑥 + 𝟒) + 𝟏𝟎

División de polinomios utilizando la regla de Ruffini https://www.youtube.com/watch?v=MfXsSe-ryyw https://www.youtube.com/watch?v=k7IfkbSyV8c

Realizar las siguientes actividades interactivas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ejercicios-interactivos-de-la-regla-de-ruffini.html

Resto

35

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/polinomios-de-3o-de-eso-i-2.html#tema_multipicaciones

Estaremos interesados en este curso en divisiones de polinomios en los que el polinomio divisor sea mónico de grado uno, es decir 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 𝑎 De acuerdo con el algoritmo de la división

𝑷(𝒙) = (𝒙 − 𝒂). 𝑪(𝒙) + 𝑹

𝑅 es el polinomio nulo o el grado de 𝑅 es 0, es decir 𝑅 es un número real

Cuando se sustituye en esta última expresión 𝑥 = 𝑎

𝑷(𝒂) = (𝒂 − 𝒂). 𝑪(𝒂) + 𝑹 = 𝑹

se obtiene un resultado conocido como teorema del resto que enunciaremos a continuación

Asi, podemos hallar el resto de esa división sin hacer la división, basta con hallar el valor

numérico del polinomio 𝑃(𝑥) en 𝑥 = 𝑎.

Ejemplo

Al realizar la división por Ruffini de (3𝑥3 − 4𝑥2 + 2): (𝑥 − 2) obtuvimos como resto 10.

Si aplicamos el teorema del resto, es decir si hallamos el valor numérico 𝑃(2)

𝑃(2) = 3. 23 − 4. 22 + 2 = 3.8 − 4.4 + 2 = 24 − 16 + 2 = 𝟏𝟎

Si queremos hallar el resto de la división entre 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 7𝑥2 + 6𝑥 + 8 y 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2,

sin realizar la división, aplicamos el teorema del resto, es decir hallamos el valor numérico:

𝑃(−2) = 3(−2)3 + 7(−2)2 + 6(−2) + 8 = 3. (−8) + 7.4 − 12 + 8 = −24 + 28 − 4 = 𝟎

el resto es 𝑅 = 0. Recordemos que cuando el resto es 0, para este ejemplo resulta ser 𝑃(𝑥)

divisible por (𝑥 + 2) , o que (𝑥 + 2) divide a 𝑃(𝑥) exactamente y se lo puede escribir como

3𝑥3 + 7𝑥2 + 6𝑥 + 8 = (𝑥 + 2). 𝐶(𝑥)

Raíces de un polinomio

Un valor de 𝑥 es raíz de 𝑃(𝑥) si el valor numérico del polinomio en ese valor es cero

𝑥 = 𝑎 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) ⟺ 𝑃(𝑎) = 0

Por ejemplo

Polinomio Raíz Justificación

𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 7𝑥2 + 6𝑥 + 8 𝑥 = −2 𝑃(−2) = 3(−2)3 + 7(−2)2 + 6(−2) + 8 = 0

𝑄(𝑥) = 3𝑥4 + 𝑥2 − 4 𝑥 = 1 𝑄(1) = 3. 14 + 12 − 4 = 3 + 1 − 4 = 0

𝑅(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 6𝑥2 𝑥 = 2 𝑅(2) = 24 + 23 − 6. 22 = 16 + 8 − 24 = 0

𝑆(𝑥) = 𝑥 + 5 𝑥 = −5 𝑆(−5) = −5 + 5 = 0

Teorema del Resto Si un polinomio 𝑃(𝑥) se divide entre un polinomio mónico de grado 1 de la forma (𝑥 − 𝑎) se obtiene como resto un número que es igual a 𝑃(𝑎), es decir 𝑃(𝑎) = 𝑅

36

Si consideramos la definición de raíz de un polinomio y el teorema del resto ya enunciado, es posible encontrar todos los binomios monicos de grado uno: (𝑥 − 𝑎) que son divisores exactos de un polinomio, sabiendo cuáles son sus raíces, dicho de otra manera

𝑃(𝑥) es divisible por (𝑥 − 𝑎) ⇔ 𝑥 = 𝑎 es raíz de 𝑃(𝑥)

Veremos ahora un método para encontrar las raíces de un polinomio, que son necesarias para poder encontrar los divisores exactos del mismo. Previamente enunciaremos el teorema fundamental del álgebra.

Teorema Fundamental del álgebra (TFA) Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces considerando las reales y las no reales.

Consecuencia del TFA Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales

Raíces de polinomios de grado uno y dos Para hallar la única raíz de un polinomio de grado uno es decir un polinomio de la forma

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 igual planteamos la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 y despejamos x por ejemplo

𝑄(𝑥) = 3𝑥 − 4 ⇒ 3𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 =4

3 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃(𝑥)

Podemos expresar 𝑄(𝑥) = 3 (𝑥 −4

3)

Para hallar raíces de un polinomio de grado 2, es decir un polinomio de la forma 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐 resolvemos la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 aplicando la fórmula resolvente ya

explicada en la Unidad 2. Por el TFA el polinomio de grado dos solo puede tener a lo sumo dos

raíces, veamos ejemplos con las distintas posibilidades

𝑅(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 6 ⇒ 𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0 ⟹ 𝑥1 = 1 𝑦 𝑥2 = −6 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑅(𝑥)

Podemos expresar 𝑅(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 6).

𝑆(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −1 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑆(𝑥)

Podemos expresar 𝑆(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)2

𝑇(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 ⇒ 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑇(𝑥) 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠

Raíces de polinomios con coeficientes enteros - Teorema de Gauss Sea 𝑃(𝑥) un polinomio de grado mayor o igual a 1, con coeficientes enteros y término

independiente no nulo, sí 𝑃(𝑥) tiene raíces racionales de la forma 𝑝

𝑞 entonces 𝑝 es un divisor

del término independiente y 𝑞 es un divisor del coeficiente principal. Ejemplo Hallar las raíces racionales de 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 14𝑥2 + 17𝑥 − 6

Por el TFA podemos afirmar que 𝑃(𝑥) tiene, a lo sumo, tres raices

Dado que los coeficientes del polinomio son enteros y el termino independiente no es nulo,

de acuerdo con el teorema de Gauss, el término independiente y el coeficiente principal nos

dan información de las posibles raíces

Término independiente: -6 divisores de -6: 𝑝 = {1; 2; 3; 6; −1; −2; −3; −6}

Coeficiente principal :3 divisores de 3: 𝑞 = {1; 3; −1; −3}

Posibles raíces: 𝑝

𝑞= {1; 2; 3; 6; −1; −2; −3; −6;

1

3;

2

3; −

1

3; −

2

3}

37

Para ver cuáles de los elementos del ultimo conjunto son las raíces de 𝑃(𝑥)aplicamos el

teorema del resto

𝑃(1) = 3. 13 − 14. 12 + 17.1 − 6 = 3 − 14 + 17 − 6 = 0 ⇔ 𝑥 = 1 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃

Y en consecuencia, (𝑥 − 1) es divisor exacto de 𝑃(𝑥)

𝑃(2) = 3. 23 − 14. 22 + 17.2 − 6 = 24 − 56 + 34 − 6 = −4 ⇔ 𝑥 = 2 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑃

Siguiendo este procedimiento para las posibles raíces 𝑝

𝑞 se obtiene que

Las raíces de 𝑃(𝑥)son {1; 3;2

3}. Los divisores exactos de 𝑃(𝑥) son (𝑥 − 1); (𝑥 − 3) y (𝑥 −

2

3)

Podemos expresar 𝑃(𝑥) = 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 −2

3)

En esta forma de expresar al polinomio, las raíces de este quedan en evidencia a simple vista

Factorización de polinomios

Diremos que un polinomio está factorizado cuando se lo expresa como el producto entre su coeficiente principal y polinomios irreducibles. Para nosotros, que trabajamos en el campo de los números reales, los polinomios irreducibles son los de grado uno y los de grado dos sin raíces reales Por ejemplo

Polinomio desarrollado Polinomio factorizado

𝑄(𝑥) = 3𝑥 − 4 𝑄(𝑥) = 3 (𝑥 −4

3)

𝑅(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 6 𝑅(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 6)

𝑆(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 𝑆(𝑥) = (𝑥 + 1)2

𝑇(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑇(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 14𝑥2 + 17𝑥 − 6 𝑃(𝑥) = 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 −2

3)

Como consecuencias de la factorización de Polinomios podemos afirmar que todo polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛 que tenga tiene raíces reales puede factorizarse como

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2) … (𝑥 − 𝑟𝑛) Donde 𝑎𝑛es el coeficiente principal y 𝑟1 , 𝑟2, … , 𝑟𝑛 son las 𝑛 raíces reales de 𝑃(𝑥)

Factorización de polinomios de grado 2 https://www.youtube.com/watch?v=tzelxzX8Xe8 https://www.youtube.com/watch?v=twUmTp63Fhk

Veamos ahora como podemos factorizar un polinomio sin tener necesidad de calcular todas sus raíces. Empecemos con un ejemplo en el que utilicemos los contenidos vistos hasta ahora

Factorizar el polinomio 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 7𝑥 − 3 Como es un polinomio con coeficientes enteros podemos buscar las posibles raíces mediante el teorema de Gauss, en este caso se trata de un polinomio mónico (es decir su coeficiente principal es igual a 1) entonces sus posibles raíces racionales son los divisores del término independiente Posibles raíces: {1; 3; −1; −3} Probemos con 𝑥 = 1

𝑄(1) = 13 − 5. 12 + 7. 1 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 1 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑄(𝑥)

38

Como 𝑥 = 1 es raíz de 𝑄(𝑥), resulta que 𝑄(𝑥) es divisible por (𝑥 − 1). Hagamos la división utilizando la regla de Ruffini

1 -5 7 -3

1 1 -4 3

1 -4 3 0

𝑄(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 4𝑥 + 3) Busquemos ahora las raíces de 𝐶(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 utilizando la formula resolvente y

obtenemos:

𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⟹ 𝑥1 = 1 𝑦 𝑥2 = 3 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐶(𝑥).

Finalmente, la factorización es 𝑄(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = (𝑥 − 1)2(𝑥 − 3)

Factor Común Consiste en una aplicación directa de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o la resta, solo que se presenta al revés de lo que habitualmente se hace es decir:

𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 = 𝑎. (𝑏 + 𝑐) En el caso de cualquier expresión algebraica o de un polinomio si en todos los términos figura un factor común entonces dicha expresión es igual al producto de ese factor por la expresión que resulta al dividir cada término por ese factor. Por ejemplo

𝑄(𝑥) = 30𝑥5 + 18𝑥4 − 42𝑥3 + 6𝑥2 Observamos que

𝑄(𝑥) = 6𝑥2. 5𝑥3 + 6𝑥2. 3𝑥2 − 6𝑥2. 7𝑥 + 6𝑥2. 1

𝑄(𝑥) = 6𝑥2. (5𝑥3 + 3𝑥2 − 7𝑥 + 1) Diferencia de cuadrados También no debemos olvidar la diferencia de cuadrados

Factoreo por Diferencia de Cuadrados https://youtu.be/3ONPf-SpukA

En resumen, para factorizar polinomios debemos tener en cuenta:

Fijarse si es posible extraer factor común Observar si hay diferencias de cuadrados Si quedan polinomios de grado dos factorizarlos buscar si es que tiene sus raíces reales En caso de ser polinomios de grados mayor a dos se buscan las raíces posibles utilizando el teorema de Gauss Aplicando el teorema del resto se determina cuáles son raíces y entonces son los divisores exactos de P(x) Gracias al teorema fundamental del Algebra se sabe cuántas raíces tiene el polinomio. Mediante sucesivas divisiones por la regla de Ruffini se logra escribir en forma factorizada al polinomio.

39

Factoreo de polinomios https://www.youtube.com/watch?v=ChnMdZBGP9w https://www.youtube.com/watch?v=m9imrWKV5Eg&list=PLC61DC19D7F1FEB1E&index=56 https://www.youtube.com/watch?v=ChnMdZBGP9w&list=PLC61DC19D7F1FEB1E&index=45 https://www.youtube.com/watch?v=wqZWc_Z88mY&list=PLC61DC19D7F1FEB1E&index=46

Realizar la siguiente actividad interactiva sobre factoreo

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/ejercicios-de-factorizacion-y-raices-de-polinomios.html

Actividades

1) Dados los siguientes polinomios:

𝐴(𝑥) = 3𝑥 − 2 𝐵(𝑥) = −7𝑥 + 𝑥2 + 4 𝐶(𝑥) = −2𝑥4 +7

2𝑥2 + 10𝑥 − 0,5

Realizar las siguientes operaciones:

𝑎) [𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥)] ⋅ (−2𝑥)

𝑏) 𝐶(𝑥) − 𝐴(𝑥) ⋅ 𝐵(𝑥)

𝑐) 9 ⋅ 𝐵(𝑥) − [𝐴(𝑥)]2

𝑑) 2 ⋅ 𝐶(𝑥) + (3𝑥 − 2) ⋅ 𝐴(𝑥)

2) Factorear los siguientes polinomios:

𝐴(𝑥) = 2𝑥5 − 98𝑥3 𝐵(𝑥) = 3𝑥4 + 9𝑥3 − 12𝑥2 𝐶(𝑥) = 𝑥6 − 𝑥5

𝐷(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 − 3 𝐸(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 18 𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 8𝑥 − 12

𝐺(𝑥) = 𝑥3 + 8𝑥2 + 5𝑥 − 50 𝐻(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥 + 16

3) Para seguir practicando ver del libro Matemática preuniversitaria con aplicaciones físicas –

Tomo 2 de Buccino, Daneri, Di Blasi, Fasce y Viveros, enlace

https://drive.google.com/file/d/19I-iqJKVH4kdxRZ0Vc2kLKTElRBBUpmJ/view

Página 53 ejercicios para resolver, del ejercicio 1 hasta el ejercicio 15 inclusive.

40

Unidad 4

Funciones

Conceptos fundamentales

Sean A y B dos conjuntos. Una función f definida de A en B es una relación que hace

corresponder a cada elemento de A un único elemento B.

𝑓: 𝐴 → 𝐵/𝑦 = 𝑓(𝑥)

El conjunto A se llama dominio o conjunto de partida y se expresa como 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = 𝑨.

El conjunto B es el codominio o conjunto de llegada de la función 𝑓(𝑥) y se expresa como

𝑪𝒐𝒅𝒐𝒎 𝒇 = 𝑩.

El elemento 𝑦 que está asociado a 𝑥 por medio de 𝑓 se escribe como 𝑦 = 𝑓(𝑥)

El conjunto Imagen (𝐼𝑚 𝑓) es el subconjunto del codominio formado por todos los valores

de 𝑦 = 𝑓(𝑥), con 𝑥 ⊆ 𝐵.

Información para mejor comprensión de los conceptos

https://www.youtube.com/watch?v=Ll7xfe3HoZE

https://www.youtube.com/watch?v=DQ64tUdpCZI

Representación de funciones

Las funciones se pueden representar de distintas formas, mediante Diagramas de Venn,

por medio de una tabla de valores o realizando el gráfico correspondiente en los ejes

cartesianos ortogonales. En el Diagrama de Venn, dado a continuación, se observan los

elementos que pertenecen al dominio, los que pertenecen al codominio y los que conforman

la imagen.

B

A

f

y=f(x) x

41

Así podemos definir: Dom f: {0; 1; 2} Codominio f: {1; 2; 3; 4} Im f: {1; 2; 3}

Información para mejor comprensión de los conceptos

https://www.youtube.com/watch?v=Ll7xfe3HoZE

https://www.youtube.com/watch?v=DQ64tUdpCZI

En este enlace podrás encontrar más información sobre los temas vistos

https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2015/03/ud_funciones.p

df

Las funciones se representan gráficamente en los ejes cartesianos donde cada punto de la

función está dado por un par ordenado (𝑥; 𝑦). Dado que todo valor y depende de la regla de

formación de la función y del valor que se le asigne a 𝑥, llamaremos a 𝑥, variable

independiente y a 𝑦, variable dependiente.

42

Actividades

1) Indicar cuáles de los siguientes diagramas definen una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Justificar la

respuesta. Determinar el conjunto imagen de aquellas que resulten funciones.

a) b)

c) d)

2) Indicar cuáles de las siguientes gráficas definen una función 𝑓: ℜ → ℜ. Justificar la

respuesta. Determinar el conjunto imagen de aquellas que resulten funciones.

3) Representar los puntos A= (3;4), B= (-1; 2), C= (0; -3), D= (3; 0), E= (-1;-1), F= (2, -1)

en el sistema cartesiano e indicar a qué cuadrante corresponde cada uno de ellos.

4) Representar en el plano todos los puntos que tienen:

Abscisa -3

xx x x

yyyye) f) g) h)

x x x x

y y y ya) b) d) c)

A B

1

2

3

1

23

4

fA B

1

2

3

1

23

4

f

A B

1

2

3

1

23

4

f A B

1

2

3

1

2

f

43

Ordenada ½

Abscisa y ordenada iguales

Gráficas de funciones

Existen distintos tipos de funciones y cada una tiene características particulares que se deben

tener en cuenta a la hora de hacer una gráfica y un análisis detallado. Sin embargo, es

importante poder encontrar elementos significativos que sirvan a la construcción de la gráfica.

Así raíces y ordenada, entre otros, son elementos que caracterizan a las funciones.

Se define raíz o cero de una función, como el punto de intersección entre la función y el eje

de las abscisas. Este punto, de la forma (𝑥; 0), se obtiene igualando la ecuación de la función

a 0 para encontrar el o los valores de x correspondientes.

La ordenada al origen es el punto de corte entre la función y el eje de las ordenadas. Este

punto de la forma (0; 𝑓(0)) o bien (0; 𝑦), se obtiene reemplazando x por 0.

Función lineal 𝑦 = −4

5𝑥 + 4

Con raíz en (5; 0) y ordenada en (0; 4)

44

Función cuadrática 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

Con raíces en (−1; 0) y (2; 0) y ordenada en (0; −2)

Función módulo o valor absoluto 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| + 1

Con ordenada en (0; 4) y No tiene raíces.

45

Función homográfica 𝑓(𝑥) =𝑥−2

𝑥+1

Con raíz en (2; 0) y ordenada en (0; −2)

Función lineal Una función lineal está dada por la expresión: 𝑓: ℜ → ℜ/𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏; el grafico de tooda

funcin lineal es una recta. Donde:

a se llama pendiente de la recta (relacionada con la inclinación de la recta respecto al eje x)

b se llama ordenada al origen ( corte de la recta con el eje y)

La pendiente y la ordenada, determinan la posición en el plano la recta.

𝑺𝒊 𝒂 ≠ 𝟎 𝒚 𝒃 ≠ 𝟎;

𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃

𝑺𝒊 𝒂 ≠ 𝟎 𝒚 𝒃 = 𝟎;

𝒚 = 𝒂𝒙

𝑺𝒊 𝒂 = 𝟎 𝒚 𝒃 ≠ 𝟎;

𝒚 = 𝒃

𝒚 =𝟏

𝟐𝒙 − 𝟏 𝒚 = −

𝟐

𝟑𝒙 𝒚 = 𝟑

46

Para graficar una función lineal se tienen las siguientes opciones:

Realizar una tabla de valores, asignando valores a la variable independiente y evaluándolos en

la función, para obtener sus respectivas imágenes. Es necesario un mínimo de dos puntos para

determinar una función lineal.

Información de utilidad sobre el tema

https://www.youtube.com/watch?v=PD45s3U9WA0

Ejercicio resuelto:

Graficar la función 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟑

Considerar la ordenada y la pendiente. Primero se posiciona la ordenada al origen, (0; 𝑦). Para

luego, efectuar el movimiento respectivo a la pendiente.

Ejercicio resuelto:

Graficar la función 𝒚 = −𝟏

𝟑𝒙 + 𝟐

En la ecuación de la recta observamos que 2=b ,

por lo tanto )2;0( es la ordenada al origen.

La pendiente de la recta es 𝒂 = −𝟏

𝟑,

por lo tanto, el movimiento será:

tres unidades hacia la derecha y una unidad hacia abajo.

x 32 −= xy ( )yx;

-1 ( ) 5312 −=−− ( )5;1 −−

0 ( ) 3302 −=− ( )3;0 −

1 ( ) 1312 −=− ( )1;1 −

𝑦 = 2𝑥 − 3

47

Trazando por último la recta que pasa por ambos puntos

𝒚 = −𝟏

𝟑𝒙 + 𝟐

Si bien la ordenada al origen está explícita en la expresión de la función, no sucede lo mismo

con la raíz. Para hallar la raíz se igual la función a cero.

Material de apoyo

https://www.youtube.com/watch?v=AoZpzAoC1Qg&t=6s

https://www.youtube.com/watch?v=jVx1jBJDEpY&t=34s

Ejercicio resuelto:

Hallar la raíz de la función 23

1+−= xy .

0 − 2 = −1

3𝑥 + 2 − 2

−2 = −1

3𝑥

−2. (−3) = −1

3𝑥. (−3)

6 = 𝑥

48

Actividades

5) Sea 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3

a. Calcular f(5), f(0), f(-2)

b. Trazar el gráfico de la función

c. Hallar analítica y gráficamente los x tales que

I. f(x)= 0

II. f(x)= -1

III. f(x)= 5

6) Trazar la recta de la ecuación 𝑦 = −𝑥 + 4, decidir cuáles de los siguientes puntos

pertenecen a dicha recta e indicar el valor de la pendiente y de la ordenada al origen.

a. (0; -4)

b. (-1; 5)

c. (1; -3)

d. (2; 2)

7) Trazar en cada caso, la recta y determinar una función lineal que satisfaga:

a. f(1) = 4 y f(-3) = 2

b. f(-1) = 5 y f(8) = -5

Calcular la pendiente de cada una de las rectas

8) Hallar la ecuación de la recta de pendiente a que pasa por el punto P, siendo

a. P = (-2; 3), a = 2

b. P = (1; 5), a = 0

c. P = (3; -4) a = -1

9) Hallar el valor de a para que la recta de ecuación y = ax + 5 pase por el punto (1; 4)

10) Hallar el valor de b para que la recta de ecuación y = -2x + b pase por el punto (-3; 1)

11) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q, siendo:

a. P = (1; 2), Q = (-4; 3)

b. P = (0; 2), Q = (1; 4)

12) La función f(x) = 1,8x +32 expresa la temperatura en grados Fahrenheit, °F , cuando

se conoce la temperatura en grados Celsius, °C. Sabiendo que el papel arde

aproximadamente a 451°F ¿A cuántos ° C tendrá que exponer esta guía para

quemarla?

Ecuación de la recta También es posible obtener la ecuación de la recta dados dos puntos que pertenezcan a la

misma. Dados 𝐴: (𝑥1; 𝑦1) y 𝐵: (𝑥2; 𝑦2), es posible obtener la pendiente de la recta:

Mediante un sistema de ecuaciones: {𝑦1 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦2 = 𝑎𝑥2 + 𝑏

49

Ejercicio resuelto:

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴: (−1; 3) y 𝐵: (3; 1).

El sistema quedará planteado como: {3 = 𝑎(−1) + 𝑏1 = 𝑎. 3 + 𝑏

Resolviendo por igualación 3 + 𝑎 = 1 − 3𝑎

De donde 𝑎 = −1

2 y remplazando en el sistema 𝑏 =

5

2

Así 𝒚 = −𝟏

𝟐𝒙 +

𝟓

𝟐 es la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados.

Teniendo en cuenta la pendiente como la inclinación de la recta, será:

𝑎 =𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

Para luego hallar la ordenada simplemente reemplazando.

Ejercicio resuelto:

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴: (−2; 1) y 𝐵: (3; 5).

𝑎 =5 − 1

3 − (−2)

𝑎 =4

5

Entonces la recta se podrá plantear cómo: 𝑦 =4

5𝑥 + 𝑏 . Utilizando cualquier de los puntos

dados, por ejemplo A, se obtiene:

𝒂 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

50

1 =4

5(−2) + 𝑏

13

5= 𝑏

Así la ecuación de la recta requerida es: 𝒚 =𝟒

𝟓𝒙 +

𝟏𝟑

𝟓

En este enlace encontrarás un video explicativo que puede ser de ayuda para comprender el tema https://www.youtube.com/watch?v=B-dbJAdbZsw

En este enlace podrás encontrar comentarios, ejemplos y ejercicios para realizar http://maralboran.org/web_ma/Anaya/USB/3ESO/documents/mat3eso_ac_80.pdf

Actividades 13) Representar gráficamente las siguientes funciones lineales. Hallar las intersecciones

con los ejes.

a. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = 2𝑥 b. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = 4 − 𝑥

c. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 =3

4𝑥 + 2 d. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 =

−2

5𝑥 + 1

e. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = −𝑥 f. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = 3

g. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = 3 −1

4𝑥

h. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = 20𝑥 − 1

51

Rectas paralelas y perpendiculares

Rectas paralelas

Debido a que la pendiente de una recta determina la inclinación de esta respecto al eje de

las abscisas, es sencillo deducir que dos o más rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Así formalmente podemos decir que

𝑅1: 𝒚 = 𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏 y 𝑅2: 𝒚 = 𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐 son paralelas sí y sólo sí 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐. (𝑅1//𝑅2)

Ejercicio resuelto:

Verificar que las rectas dadas en el gráfico anterior son paralelas.

Se puede observar la recta R1 que pasa por los puntos 𝐸 = (−3; 1) y 𝐹 = (1; 3). Su

pendiente se calculará como:

𝑎1 =3 − 1

1 − (−3)=

2

4=

1

2

Y la recta R2 que pasa por los puntos 𝐺 = (1; −1) y 𝐻 = (7; 2). Su pendiente se calculará

como:

𝑎2 =−1 − 2

1 − 7=

−3

−6=

1

2

Como 𝑎1 = 𝑎2 =1

2 podemos concluir que las rectas son paralelas.

52

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares sí y sólo sí, la pendiente de una de ellas es inversa y opuesta

a la pendiente de la otra. Así:

𝑅1: 𝒚 = 𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏 y 𝑅2: 𝒚 = 𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐 son perpendiculares, sí y sólo sí 𝒂𝟏 = −𝟏

𝒂𝟐 .

Es decir que el producto de las pendientes será -1. (𝑅1 ⊥ 𝑅2)

Ejercicio resuelto:

Verificar que las rectas dadas en el siguiente gráfico son perpendiculares.

Se puede observar la recta R1 que pasa por los puntos 𝐺 = (5; 1) y 𝐻 = (8; 3). Su

pendiente se calculará como:

𝑎1 =3 − 1

8 − 5=

2

3

Y la recta R2 que pasa por los puntos 𝐸 = (3; −3) y 𝐹 = (−1; 3). Su pendiente se calculará

como:

𝑎2 =3 − (−3)

−1 − 3=

6

−4= −

3

2

Como 𝑎1 =2

3 y 𝑎2 = −

3

2, inversos y opuestos y

2

3(−

3

2) = −1, podemos concluir que las

rectas son perpendiculares.

53

En este enlace podrás encontrar alguna explicación adicional sobre el

tema tratado

https://profesorjdm.jimdo.com/app/download/10522969171/Rectas+pa

ralelas+y+perpendiculares+S.pdf?t=1565470862

En este link encontrarás ejercitación de rectas paralelas y perpendiculares, con

resultados.

https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/paralelas/problemas-resueltos-rectas-

paralelas-perpendiculares-pendiente-puntos.html

Actividades

14) Dada la recta R de ecuación y = 2

1x + 3 obtener la ecuación explícita de la recta T //

R que cumpla con la condición indicada en cada caso.

a. T tiene ordenada al origen –2

b. T pasa por el punto (-1,2)

c. T pasa por el origen de coordenadas

d. T corta al eje x en x = 3

15) Dada la recta R de ecuación y = 4

3 x + 1 obtener la ecuación explícita de la recta T ⊥ R

que satisfaga la condición indicada en cada caso

a. T pasa por el punto (-1,3)

b. T pasa por el origen de coordenadas

c. T tiene ordenada al origen –2

d. T corta al eje x en x = -1

e. T corta al eje y en y = 2

Función cuadrática La expresión polinómica de una función cuadrática o de segundo grado, es quizás la más

utilizada

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄; donde 𝑎 ≠ 0

En la misma se puede reconocer:

𝑎 coeficiente principal o cuadrático

𝑏 coeficiente lineal

𝑐 término independiente

54

La gráfica que representa a toda función cuadrática es una parábola. Donde se destacan sus

elementos principales: eje de simetría, vértice, ordenada al origen y raíces3 .

El eje de simetría: es la recta vertical sobre la cual todo punto se refleja. Se puede calcular

de dos formas: 𝑒𝑗𝑒: 𝒙 =−𝒃

𝟐.𝒂 o bien haciendo el promedio entre las raíces 𝑒𝑗𝑒: 𝒙 =

𝒙𝟏+𝒙𝟐

𝟐 (

en el caso que la función cuadrática tenga dos raíces reales)

El vértice: es el punto máximo o mínimo de la función, es el punto de intersección entre la

curva y el eje de simetría, para obtener su ordenada se reemplaza el valor de x hallado en la

función, 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) ⇒Vértice:(𝑥𝑣; 𝑦𝑣).

Las raíces o ceros no siempre están presentes en el gráfico, ya que pueden ser números

complejos. Se obtienen igualando la función a 0 y se utiliza la fórmula 𝒙𝟏; 𝒙𝟐 =−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂.

La ordenada al origen es el término independiente 𝑐, pero también se obtiene evaluando la

función en 𝑥 = 0,𝑓(0).

La concavidad de la función está determinada por el signo del coeficiente principal, si 𝒂 > 𝟎

la parábola en cóncava, si 𝒂 < 𝟎 la parábola es convexa.

3 Este tipo de funciones puede tener raíces que no pertenezcan al conjunto de los números reales.

55

Ejercicio resuelto:

Realizar la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =1

2𝑥2 − 𝑥 − 4, hallando sus elementos principales.

Siendo 𝑎 =1

2; 𝑏 = −1; 𝑐 = −4; dado que 0a la parábola es convexa; la ordenada al

origen es (0; −4).

Eje de simetría: −𝑏

2.𝑎= −

(−1)

2.(1

2)

= 1 ⇒ 𝑥 = 1 eje de simetría.

Vértice: Siendo 𝑥𝑣 = 1

𝑓(1) =1

212 − 1 − 4 = −

9

2⇒ 𝑦𝑣 = −

9

2

Por lo tanto, las coordenadas del vértice (1; −9

2)

Raíces: 𝑥1; 𝑥2 =−(−1)±√(−1)2−4(

.1

2).(−4)

2.(1

2)

=1±√9

1=

1±3

1 ⇒ {

𝑥1 = −2𝑥2 = 4

En estos enlaces podrás revisar la obtención del vértice y de los

elementos fundamentales de la función cuadrática

https://www.youtube.com/watch?v=iZ4guTg3tXg

https://www.youtube.com/watch?v=J3qQWvxqFI4

56

Actividades

16) Representar gráficamente las siguientes funciones cuadráticas con dominio en ℝ.

a. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑓(𝑥) = 𝑥2 b. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

c. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = 𝑥2 − 1 d. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = −𝑥2

e. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2 f. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = 3

g. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 = 3 −1

4𝑥 h. 𝑓: ℜ → ℜ/𝑦 =

1

2𝑥2 + 3𝑥

Algunos ejercicios adicionales.

http://www.benitonazar.esc.edu.ar/pdf_2016/GUIA%20N%C2%B03%20%20FUNCIONES%20

CUADRATICAS.pdf

https://www.uv.es/lonjedo/esoProblemas/3eso12funcioncuadratica.pdf

57

Unidad 5

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas es un conjunto formado por n

ecuaciones de primer grado, con 2 incógnitas. Resolver un sistema significa hallar valores

para cada una de las incógnitas que verifiquen todas las igualdades simultáneamente. Los

sistemas de ecuaciones surgen en la vida cotidiana. Estos se pueden resolver de forma

analítica o forma gráfica. Analicemos el siguiente problema:

En un colegio se elaboran dulce de leche y pan, para recaudar fondos. Por cada kilo de dulce

de leche y de pan que se venden, se tiene una ganancia de $35 y $25, respectivamente.

Analizando lo vendido años anteriores, se observa que se puede vender el 50% más de dulce

de leche que de pan. Para el presente año, los alumnos del colegio quieren obtener una

ganancia total de $10.000. ¿Cuántos kilos de cada producto deben vender?

Solución. Observemos que hay dos datos que no conocemos, ¿cuáles? Los kilos de dulce de

leche y los kilos de pan a vender. Por lo cual, se pueden definir dos incógnitas a las que se les

pueden asignar dos letras cualesquiera, para identificarlas llamémoslas 𝑥 y 𝑦 :

𝑥: "kilos de dulce de leche"

𝑦: "kilos de pan"

Ahora tenemos que poder plantear ecuaciones que relacionen estas dos incógnitas.

Analicemos el enunciado.

Cuando dice: Por cada kilo de dulce de leche y de pan que se venden, se tiene una ganancia de $35 y

$25, respectivamente. […] los alumnos del colegio quieren obtener una ganancia total de $10.000

La primera oración nos dice que por cada kilo de dulce de leche se gana 35$, como los kilos

de dulce de leche están representado por la x, podemos escribir 35x. El mismo análisis

podemos hacer para el pan, por lo que podemos escribir 25y. Sabemos que en total

queremos $10.000, este total se obtiene sumando lo que ganamos por el dulce con lo que

ganamos con el pan. Por lo tanto, podemos escribir la siguiente ecuación:

35𝑥 + 25𝑦 = 10.000

Con esta sola ecuación no nos alcanza para encontrar los kilos de cada producto, ¿por qué

creen que ocurre? Por un lado, podemos decir que esa ecuación que obtuvimos corresponde

a una recta, luego hay infinitos valores de x e y que verifican la igualdad. Por otro lado, al

haber dos incógnitas necesitamos por lo menos dos ecuaciones para intentar encontrar un

único valor de x e y. La otra ecuación también sería una recta. Por lo tanto, el valor a

encontrar geométricamente sería la intersección entre las dos rectas.

58

Sigamos analizando el enunciado para encontrar la segunda ecuación. Leamos la siguiente

oración: Analizando lo vendido años anteriores, se observa que se puede vender el 50% más

de dulce de leche que de pan. ¿Qué nos dice esto? Que la cantidad de dulce es mayor a la de

pan, ¿cuánto mayor? Para obtener la cantidad total de dulce de leche hay que sumarle a la

cantidad de pan, el 50% de éste. Expresemos esta relación con una ecuación:

𝑥 = 𝑦 + 50% 𝑦 = 𝑦 + 0,50 𝑦 = 1,50 𝑦

En consecuencia, el sistema es:

{35𝑥 + 25𝑦 = 10.000

𝑥 = 1,5𝑦

Con el GeoGebra podemos hacer el gráfico para ver qué es lo que tenemos:

Cómo graficamos a mano

https://www.youtube.com/watch?v=k6qWMCoonk4&list=PL9SnRnlzoyX

1WCU_GxVNqTFCs33EAvNF5&index=54

Entonces, resolver un sistema de ecuaciones de dos incógnitas es encontrar el punto de

intersección de las dos rectas. En nuestro ejemplo, solo dibujamos las rectas en el primer

cuadrante, porque tanto 𝑥 como 𝑦 representan magnitudes positivas. Mirando el gráfico,

podemos obtener una aproximación del punto B, pero ¿hay alguna forma de encontrar el

valor exacto?

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales Hay distintos métodos para eso, dependiendo de cómo se expresen las ecuaciones y de

cuántas sean. A continuación, vamos a desarrollar algunos de estos métodos.

59

Sustitución. En esta técnica lo que se hace es despejar una incógnita en una de las

ecuaciones y sustituirla en la otra, y volver a despejar.

Método de Sustitución

https://www.youtube.com/watch?v=Af9vrAPJn78&list=PL9SnRnlzoyX1W

CU_GxVNqTFCs33EAvNF5&index=51&t=0s

Veamos con nuestro ejemplo cómo se aplicaría.

En la segunda ecuación del sistema la incógnita x ya está despejada, luego sustituimos en la

primera ecuación:

35. (1.5𝑦) + 25 𝑦 = 10.000

Llegamos a una ecuación de una variable, que ya aprendimos a resolver. Despejando,

obtenernos que 𝑦 = 129,03. Este número en términos del problema nos dice que hay que

vender 129.03 kilos de pan. Luego, con este valor reemplazamos en la segunda ecuación

para obtener los kilos de dulce de leche:

𝑥 = 1.5 129.03 → 𝑥 = 193.55

Este número nos dice que hay que vender 193,55 kilos de pan. O sea, el punto B tiene

coordenadas (193,55 ; 129,03). Para finalizar escribimos la respuesta a la pregunta del

problema, la cual decía: ¿Cuántos kilos de cada producto deben vender? La respuesta es: se

deben vender 193,55 kilos de dulce de leche y 129,03 kilos de pan para poder obtener una

ganancia de $10.000.

¿Cómo verifico que la respuesta está bien? Tenemos que reemplazar estos dos valores en las

ecuaciones originales y chequear que se cumpla la igualdad.

Las ecuaciones originales son: {35𝑥 + 25𝑦 = 10.000

𝑥 = 1,5𝑦, y obtuvimos que 𝑥 = 193,55 y que

𝑦 = 129,03. Verifiquemos la primera ecuación:

35. 193,55 + 25. 129,03 = 6774,25 + 3225,75 = 10.000

Y verificamos la segunda ecuación:

1,5𝑦 = 1,5 . 129,03 = 193,55 = 𝑥

Igualación. En esta técnica se despeja la misma incógnita de cada ecuación y se las iguala.

Método de Igualación

https://www.youtube.com/watch?v=aGhikA49zRM&list=PL9SnRnlzoyX1

WCU_GxVNqTFCs33EAvNF5&index=52&t=0s

60

Resolvamos de vuelta nuestro ejemplo con este método.

{35𝑥 + 25𝑦 = 10.000

𝑥 = 1,5𝑦

Despejamos la 𝑥 de la primera ecuación.

𝑥 =10.000 − 25𝑦

35

Luego igualamos ambas ecuaciones que expresan a 𝑥 en función de 𝑦:

1,5𝑦 =10.000 − 25𝑦

35

Resolviendo esta ecuación, obtenemos el valor de 𝑦.

35 . 1,5𝑦 = 10.000 − 25𝑦

→ 52,5𝑦 = 10.000 − 25𝑦

→ 52,5𝑦 + 25𝑦 = 10.000

→ 77,5𝑦 = 10.000

→ 𝑦 = 129,03

Luego reemplazamos el valor de 𝑦 en cualesquiera de las dos ecuaciones de 𝑥 y calculamos

el valor:

𝑥 = 1,5𝑦 = 1,5 . 129,03 → 𝑥 = 193,55

Observamos que nos dio el mismo resultado.

Reducción por sumas y restas. En esta técnica se trata de eliminar una incógnita de la otra

ecuación operando entre ellas. Se buscan sistemas equivalentes. Sólo se pueden aplicar las

siguientes operaciones:

✓ multiplicar un número por toda una ecuación;

✓ sumar o restar dos ecuaciones y sustituir una de ellas por el resultado;

✓ combinar las dos anteriores.

Método de reducción por sumas y restas

https://www.youtube.com/watch?v=Cr83w2j401k&list=PL9SnRnlzoyX1

WCU_GxVNqTFCs33EAvNF5&index=53&t=0s

Primero tenemos que escribir el sistema con las incógnitas de un lado y los términos

independientes del otro:

61

{35𝑥 + 25𝑦 = 10.000

𝑥 − 1,5𝑦 = 0

Al tratar de eliminar la 𝑥 del sistema, se multiplica la ecuación dos por 35 para igualar los

coeficientes y luego restamos las dos ecuaciones:

{35𝑥 + 25𝑦 = 10000

35𝑥 − 52,5𝑦 = 0

Si restamos miembro a miembro las dos ecuaciones nos quedan:

−35𝑥 + 25𝑦 = 10000

35𝑥 − 52,5𝑦 = 0

0𝑥 + 77.5𝑦 = 10000

De acá ya podemos averiguar el valor de 𝑦:

𝑦 =10.000

75,5= 129,03

Para calcular 𝑥, reemplazamos el valor de 𝑦 en cualquiera de las ecuaciones originales del

sistema.

𝑥 = 1,5𝑦 = 1,5 . 129,03 → 𝑥 = 193,55

Otro camino. Si queremos eliminar 𝑦 para calcular el valor de 𝑥, pensamos en otra operación

con el sistema original. Por ejemplo, podemos multiplicar la primera ecuación por 1.5 y la

segunda por 25 y luego las sumamos.

{35𝑥 + 25𝑦 = 10.000

𝑥 − 1,5𝑦 = 0 → {

52.5𝑥 + 37.5𝑦 = 15.00025𝑥 − 37,5𝑦 = 0

+52,5𝑥 + 37,5𝑦 = 15.000

25𝑥 − 37,5𝑦 = 0

77,5𝑥 + 0𝑦 = 15.000

𝑥 =15.000

77,5= 193,54

Ver del libro Matemática preuniversitaria con aplicaciones físicas – Tomo 2 de

Buccino, Daneri, Di Blasi, Fasce y Viveros, enlace

https://drive.google.com/file/d/19I-iqJKVH4kdxRZ0Vc2kLKTElRBBUpmJ/view

Páginas 96 y 97, problema resuelto usando el método sumas y restas.

Páginas 98 y 99, problema resuelto usando sustitución. Y ejemplo 12 página 101

Página 99 y 100, problema resuelto usando igualación.

62

Tipos de soluciones

No siempre el sistema tiene una única solución. Puede pasar que no exista solución al

problema planteado o que haya infinitas. Dependiendo de la cantidad de soluciones los

sistemas de ecuaciones se pueden clasificar en:

Sistemas compatibles: tienen solución

• Determinado (SCD): dicha solución es única.

• Indeterminado (SCI): hay más de una solución.

Sistema incompatible (SI): no tiene solución.

Tipos de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

https://www.youtube.com/watch?v=y3WKDZyMHRU

Ejercicios resueltos Vemos unos ejemplos, y su interpretación gráfica.

Ejemplo 1: {3𝑥 + 2𝑦 = 45𝑥 − 2𝑦 = 3

Podemos resolverlo en forma analíticamente, aplicando el método de reducción por sumas y

restas. Cómo la 𝑦 tiene los coeficientes que son números opuestos, entonces directamente

sumamos para encontrar el valor de x:

+3𝑥 + 2𝑦 = 45𝑥 − 2𝑦 = 3

8𝑥 + 0𝑦 = 7

𝑥 =7

8

El valor de 𝑦 , lo obtenemos reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones:

5𝑥 − 2𝑦 = 3 → 5.7

8− 2𝑦 = 3 →

35

8− 3 = 2𝑦 →

11

8= 2𝑦 →

11

16= 𝑦

Por lo tanto, el punto de intersección de estas dos rectas es (7

8,

11

16). La solución es única, ya

que hay un único valor para x y un único valor de y. Por lo tanto, tenemos un sistema

compatible determinado. Gráficamente, tenemos:

63

Ejemplo 2: {3𝑥 + 2𝑦 = 4

15𝑥 + 10𝑦 = 20

Aplicando reducción por sumas y restas: multiplicamos la primera ecuación por 5 y las

restamos.

−15𝑥 + 10𝑦 = 2015𝑥 + 10𝑦 = 20

0𝑥 + 0𝑦 = 0

O sea, se anularon las dos incógnitas a la vez, ¿qué quiere decir esto? Que hay información

de más, nos podemos quedar solo con la primera ecuación, ya que la segunda es solo un

múltiplo de la primera. Entonces, ¿cómo escribimos la solución? Hay varías formas, la más

sencilla es:

Solución: el sistema es compatible indeterminado, y las infinitas soluciones se obtienen de

𝑦 =4−3𝑥

2 con 𝑥 ∈ 𝑅.

Gráficamente, solo tenemos una recta:

64

Ejemplo 3: {2𝑥 + 5𝑦 = 4

6𝑥 + 15𝑦 = 20

Aplicando reducción por sumas y restas: multiplicamos la primera ecuación por 3 y las

restamos.

−6𝑥 + 15𝑦 = 126𝑥 + 15𝑦 = 20

0𝑥 + 0𝑦 = −8

O sea, se anularon las dos incógnitas a la vez, pero del otro lado de la igualdad nos queda -8.

O sea, nos queda la igualdad 0 = −8, lo que es absurdo! ¿qué quiere decir esto? Que no

existe solución. Entonces, ¿cómo escribimos la solución?

Solución: es un sistema incompatible, por lo tanto, las rectas no se cortan en ningún punto.

Si graficamos, observamos que tenemos dos rectas paralelas.

Actividades

1) Clasificar cada uno de los siguientes sistemas lineales. En el caso que sea compatible

(determinado o indeterminado), describir el conjunto de todas las soluciones. Graficar

todos los sistemas. Verificar sus respuestas con el GeoGebra.

{3𝑥 + 𝑦 = 2

−𝑥 + 2𝑦 = 4 c) {

𝑥 + 𝑦 = 2−2𝑥 − 2𝑦 = 4

{3𝑥 − 5𝑦 = 2

−6𝑥 + 10𝑦 = 8 d) {

𝑥 + 2𝑦 = 02𝑥 + 𝑦 = 0

2𝑥 + 2𝑦 = 2

2) Resolver las siguientes situaciones problemáticas.

65

a. Una persona invierte un total de $20.000 en dos inversiones diferentes que producen

5% y 8% de interés anual, respectivamente. El ingreso total por año producido por las

dos inversiones es $1.296. Encontrar el dinero destinado a cada inversión.

b. Los precios por unidad de dos sustancias son $6 y $10. ¿Qué cantidad de cada

sustancia debe mezclarse para obtener 50 unidades de mezcla a $ 7,60 cada una?

c. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos es 12mayor que el otro.

¿Cuánto miden sus tres ángulos?

d. La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 255 km. Un coche sale de A hacia B a una

velocidad de 90 km/h. Al mismo tiempo, sale otro coche de B hacia A a una velocidad

de 80 km/h. Suponiendo su velocidad constante, calcula el tiempo que tardan en

encontrarse, y la distancia que ha recorrido cada uno hasta el momento del

encuentro.

e. El perímetro de un triángulo isósceles es de 19 cm. La longitud de cada uno de sus

lados iguales excede en 2 cm al doble de la longitud del lado desigual. ¿Cuánto miden

los lados del triángulo?

f. El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y sabemos que su base es 5 cm más larga

que su altura. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar las

dimensiones del rectángulo.

g. Una persona invierte en un producto una cantidad de dinero, obteniendo un 5% de

beneficio. Por otra inversión en un segundo producto, obtiene un beneficio del 3,5%.

Sabiendo que en total invirtió 10000 €, y que los beneficios de la primera inversión

superan en 300 € a los de la segunda, ¿cuánto dinero invirtió en cada producto?

Para seguir practicando ver del libro Matemática preuniversitaria con aplicaciones físicas –

Tomo 2 de Buccino, Daneri, Di Blasi, Fasce y Viveros, enlace

https://drive.google.com/file/d/19I-iqJKVH4kdxRZ0Vc2kLKTElRBBUpmJ/view

Páginas 125 a 127 ejercicios para resolver, del ejercicio 18 hasta el ejercicio 22 inclusive.

66

Unidad 6

Geometría Punto y recta ¿Qué es un punto?

El punto es el elemento base de la geometría, ente fundamental, porque con él

determinamos las rectas y los planos. Sirve para indicar una posición y no tiene dimensión.

¿Qué es una recta?

Una recta es una sucesión ininterrumpida de puntos alineados en una misma dirección, por

lo tanto, sólo tiene una dimensión. Dos puntos determinan una recta, la recta es infinita ya

que no posee ni principio ni fin. La recta tiene una dimensión, la longitud.

Tipos de rectas ✓ Recta: La recta propiamente dicha se caracteriza porque los puntos que la forman

están alineados. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.

✓ Semirrecta: Es línea recta que tiene origen, pero no tiene fin, tiene sólo un sentido, y no se puede medir.

✓ Segmento: Un segmento es una línea recta que tiene principio y fin, es posible medirlo.

✓ Poligonal: Se llama recta poligonal aquella que está formada por varias porciones de rectas que están unas a continuación de otras, pero no están alineadas, la línea poligonal

puede ser abierta (cuando ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el último). La línea poligonal cerrada forma una figura plana que se

llama polígono.

✓ Curva: Una curva está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser curva abierta (los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) y curva mixta (formada por líneas rectas y curvas unidas)

67

Posiciones de las rectas: • Dos rectas son paralelas: si no tienen ningún punto en común.

• Dos rectas son secantes: cuando tienen un punto en común en el cual se cortan.

• Dos rectas son perpendiculares: cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos.

Ángulos Clasificación y características

Agudo ^

< 90° Recto ^

= 90° Obtuso ^

>90°

Complementarios Suplementarios Opuestos por el vértice

Los ángulos

complementarios

suman 90° (un recto)

Los ángulos suplementarios

suman 180° (un llano)

Los ángulos opuestos por el

vértice son congruentes, es

decir miden lo mismo en grados

68

.

En este enlace vas a encontrar información que te ayudará a

comprender estos conceptos

https://www.youtube.com/watch?v=ENLass_jwAA

Triángulos Clasificación y características

Según la longitud de sus lados

Escaleno

Tienen tres lados distintos

Isósceles

Tienen sólo dos lados

congruentes

Equilátero

Tienen tres lados

congruentes

Según sus ángulos

Acutángulo

Si tiene tres ángulos agudos

Rectángulo

Tiene un ángulo recto

Obtusángulo

Si el mayor de sus

ángulos es obtuso

.

En este enlace vas a encontrar información que te ayudará a

comprender estos conceptos

https://www.youtube.com/watch?v=7-YGUl8tLeQ

69

Criterios de congruencia de triángulos Dos o más triángulos son congruentes cuando tienen sus tres lados y sus tres ángulos

respectivamente iguales.

Sin embargo, existen cuatro criterios que se conocen con el nombre de CRITERIOS DE

CONGRUENCIA que nos permiten asegurar la igualdad con solo verificar tres de estas

condiciones. Éstos se muestran a continuación:

• Primer Criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son congruentes.

si A'C' ≅ AC , A'̂ ≅ �̂� 𝑦 A'B' ≅ AB ⇒ A'B'C''▲

≅ ABC▲

• Segundo Criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente

iguales, son congruentes.

si A'̂ ≅ �̂� , A'B' ≅ AB 𝑦 B'̂ ≅ �̂� ⇒ A'B'C''▲

≅ ABC▲

• Tercer Criterio : Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son congruentes.

Si A'B' ≅ AB , B'C′ ≅ BC 𝑦 A'C' ≅ AC ⇒ A'B'C'▲

≅ ABC▲

• Cuarto Criterio Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son congruentes.

Si A'B' ≅ AB , B'C′ ≅ BC 𝑦 B'̂ ≅ �̂� ⇒ A'B'C'▲

≅ ABC▲

A

B B'

C C' A'

A

C C'

B B' A'

A

B B'

C C' A'

A

C

B A' B'

C'

70

Criterios de Semejanza de triángulos

• Que tengan dos ángulos iguales. (El tercero lo será, porque los tres tienen que sumar 180°).

Si �̂� = 𝛼 ′̂ 𝑦 �̂� = 𝛽′̂ entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

• Que tengan dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos sea igual.

𝑏

𝑏′=

𝑐

𝑐′ 𝑦 �̂� = 𝛼 ′̂

entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

• Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.

𝑎

𝑎′=

𝑏

𝑏′=

𝑐

𝑐′= 𝑟

entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

Ejercicio resuelto:

Los lados de un triángulo miden, 2cm, 5cm y 4cm. Calcular los lados de un segundo triángulo

sabiendo que es semejante al primero y que sus lados miden 8cm, xcm e ycm,

respectivamente.

Planteando el cociente con los datos conocidos, se obtiene la razón de semejanza: 2

8=

1

4;

Por lo tanto: 5

𝑥=

1

4 de donde 𝒙 = 𝟐𝟎𝒄𝒎

𝟒

𝒚=

𝟏

𝟒 de donde 𝒚 = 𝟏𝟔𝒄𝒎

71

.

En este enlace vas a encontrar información que te ayudará a comprender estos conceptos https://www.youtube.com/watch?v=g_c0c1b4rlA

Realizar las siguientes actividades interactivas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejercici

os-interactivos-de-semejanza-de-triangulos.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejercici

os-interactivos-de-criterios-de-semejanza-de-triangulos-rectangulos.html

Actividades

1) Los dos triángulos de la figura tienen sus lados de longitudes: 7,6 cm, 4,18 cm y 6,65 cm, el

primero de ellos, mientras que los lados del segundo triángulo miden 4 cm, 2,2 cm y 3,5

cm. Indicar si estos triángulos son semejantes.

2) Indicar si son semejantes los siguientes triángulos:

3) Indicar si son semejantes los siguientes triángulos:

Perímetro y área de triángulos

Perímetro El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados. Área El área de un triángulo es igual a producto de la base por altura dividido 2. La altura es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

𝑨 =𝒃 . 𝒉

𝟐

72

Ejercicio resuelto:

Dado el siguiente triangulo rectángulo, hallar perímetro y superficie

Para hallar el perímetro debemos sumar los tres lados que son dato del problema de acuerdo con la figura de análisis:

𝑃 = 11𝑐𝑚 + 11𝑐𝑚 + 7,5𝑐𝑚 = 𝟐𝟗, 𝟓𝒄𝒎

Para hallar área o superficie utilizamos la formula ya que la base y la altura son dato del problema de acuerdo con la figura de análisis:

𝐴 =11𝑐𝑚 .7𝑐𝑚

2= 𝟑𝟖, 𝟓𝒄𝒎𝟐

Actividades

4) Calcula el perímetro y área de los siguientes triángulos:

Cuadriláteros Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un

cuadrilátero es igual a 360°.

Clasificación de los cuadriláteros

Paralelogramos: Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos.

✓ Cuadrado Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.

✓ Rectángulo Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.

73

✓ Rombo Tiene los cuatro lados iguales y ángulos iguales dos a dos.

✓ Romboide Tiene lados y ángulos iguales dos a dos.

Trapecios: Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en

✓ Trapecio rectángulo: Tiene un ángulo recto.

✓ Trapecio isósceles: Tiene dos lados no paralelos iguales.

✓ Trapecio escaleno: No tiene ningún lado igual ni ángulo recto.

✓ Trapezoides: Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.

. En este enlace vas a encontrar material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=PXNUyk0SK3E

Circunferencias ¿Qué es una circunferencia?

Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de

otro, llamado centro de la circunferencia.

No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en

realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el

círculo una superficie).

Elementos básicos

• Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.

74

• Radio: segmento de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.

• Cuerda: segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia.

• Diámetro: segmento que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.

• Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.

• Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

Área y Perímetro de figuras planas

FIGURA PLANA PERIMETRO SUPERFICIE

CUADRADO P=4.L S=L2

RECTÁNGULO P=2.B+2.h S=B.h

TRIÁNGULO P=B+L+L’ S=B.h

2

TRAPECIO P=B+b+L+L’ S=(B+b).h

2

PARALELOGRAMO P=2.B+2.h S=B.h

ROMBO P=4.L S=D.d

2

POLIGONO

REGULAR P=n.L S=

(P.Ap)

2

CIRCULO P= π.D S= π.R2

75

En estos enlaces vas a encontrar material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=dXPHm9ngSc4&list=PL2dWUhgFt1ym_6zOvCQiygQowYQRzPg3B&index=123&t=0s https://www.youtube.com/watch?v=uFdPKwKtu0g&list=PL2dWUhgFt1ym_6zOvCQiygQowYQRzPg3B&index=122&t=0s https://www.youtube.com/watch?v=imYOa8EO8o0&list=PL2dWUhgFt1ym_6zOvCQiygQowYQRzPg3B&index=109&t=0s

Realizar las siguientes actividades interactivas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejercici

os-interactivos-del-area-del-cuadrado-y-del-rectangulo.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejercici

os-interactivos-del-area-del-rombo-y-del-romboide.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejercici

os-interactivos-de-cuadrilateros.html

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os-interactivos-de-la-circunferencia-y-el-circulo.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejercici

os-interactivos-del-area-del-circulo.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejercici

os-interactivos-del-area-de-un-poligono.html

Actividades

1) Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:

2) Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:

3) Hallar el perímetro y el área del pentágono regular :

4) Halla el perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden 4,5m y 7,9m

respectivamente

5) El perímetro de un rectángulo es 20,4dm. Si uno de sus lados mide 6,3dm, halla el área.

6) El área de un rectángulo es 6384 dm2 . Si la base mide 93 cm, ¿cuánto mide la altura? y

¿cuál es su perímetro?

76

7) Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16cm, y su lado

mide 17 cm.

8) Calcula el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales miden 8cm y 6cm

respectivamente.

9) Calcula el lado de un rombo cuyo perímetro mide 40 cm.

Cuerpos Geométricos Un cuerpo geométrico es un elemento que existe en la realidad o que somos capaces de

concebir, el cual ocupa un volumen en el espacio, es decir, tiene tres dimensiones (ancho, alto

y largo) a diferencia de las figuras, las cuales no tienen volumen.

Clasificación: Hay dos tipos de cuerpos geométricos: los poliedros y los no poliedros o cuerpos

geométricos redondos.

A continuación, veremos los distintos cuerpos geométricos que forman parte de las categorías

anteriormente mencionadas, veremos sus elementos y las fórmulas que se utilizan para

calcular su superficie (el área que ocupa el desarrollo plano del cuerpo geométrico) y su

volumen.

Poliedros Los poliedros son cuerpos geométricos que están determinados por caras planas encerrando

un volumen finito. Los más importantes son los sólidos platónicos: el tetraedro, el cubo, el

octaedro, el dodecaedro y el icosaedro; las pirámides y los prismas.

Cubo: Cada una de las líneas donde se encuentran dos caras de cualquier cuerpo geométrico se determina arista (a). En el caso del cubo, todas las aristas tienen la misma longitud. Por lo tanto, para calcular el área, como tiene 6 caras iguales, y el área de cada una es lado por lado (o lado al cuadrado), entonces el área será 6 veces el área de una de sus caras. Por otro lado, el volumen será lado al cubo:

CUBO AREA VOLUMEN

𝐴 = 6. 𝑎2 𝑉 = 𝑎3

Ortoedro: Este cuerpo geométrico es un paralelepípedo (al igual que el cubo) en el que todos sus lados son rectángulos. Sea a la base, b el ancho y c la altura, el área y el volumen se calculan de la siguiente manera:

ORTOEDRO AREA VOLUMEN

𝐴 = 2(𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑐) 𝑉 = 𝑎. 𝑏. 𝑐

77

Prisma: Un prisma es un cuerpo geométrico que está formado por dos caras iguales y paralelas que reciben el nombre de base y que puede ser cualquier polígono: un cuadrado, un hexágono, un heptágono…; y cuyas caras laterales son paralelogramos. Los prismas se

nombran por la forma de su base, por lo que un prisma de base pentagonal se llama prisma

pentagonal. Por ejemplo, el prisma pentagonal regular tiene la siguiente superficie y volumen.

PRISMA PENTAGONAL REGULAR

AREA VOLUMEN

𝐴 = 5. 𝐿(𝑎𝑝 + ℎ) 𝑉 =5. 𝐿. 𝑎𝑝

2. ℎ

Pirámide: Para poder calcular el área y el volumen de una pirámide en primer lugar es necesario familiarizarnos con sus componentes. Todas las caras de una pirámide son triángulos iguales, por tanto, llamamos apotema o apotema lateral a la altura de los triángulos de sus caras. La altura (h) de una pirámide es la distancia del vértice donde se juntan todas las caras hasta la base. La base de una pirámide puede ser cualquier polígono, al igual que en el caso del prisma.

PIRAMIDE AREA VOLUMEN

𝐴 =𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑏𝑎𝑠𝑒. 𝑎𝑝. 𝑙𝑎𝑡

2+ 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑉 =

𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒. ℎ

3

Cuerpos geométricos redondos Los cuerpos redondos, como su nombre indica, son los cuerpos geométricos que tienen una parte redondeada. Dicho con otras palabras, son aquellos que tienen como mínimo una de sus caras con forma curva. Los más conocidos son: Esfera: Este cuerpo geométrico se puede decir que no tiene caras, el ejemplo más conocido es de cualquier balón con el que juegan los niños. La distancia desde el centro de la esfera hasta cualquier punto de la superficie se denomina radio (r).

ESFERA AREA VOLUMEN

𝐴 = 4𝜋𝑟2 𝑉 =4

3𝜋𝑟3

78

Cilindro: Se podría considerar que el cilindro es el cuerpo geométrico redondo análogo al prisma. Está formado por dos círculos situados paralelamente que se denominan base.

CILINDRO AREA VOLUMEN

𝐴 = 2𝜋. 𝑟. (ℎ + 𝑟) 𝑉 = 𝜋. 𝑟2. ℎ

Cono: Si hemos dicho que el cilindro es el análogo del prisma; el cono lo sería de la pirámide. A la recta que une un punto de la base con el vértice se le denomina generatriz (g).

CONO AREA VOLUMEN

𝐴 = 𝜋. 𝑟2 + 𝜋. 𝑟. 𝑔 𝑉 =𝜋. 𝑟2. ℎ

3

En estos enlaces vas a encontrar material de apoyo https://www.youtube.com/watch?v=I_R5Sgk3d6w

https://www.youtube.com/watch?v=osQ9stF6eHI

Realizar las siguientes actividades interactivas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/espacio/ejerci

cios-interactivos-del-area-y-volumen-del-cubo-y-del-ortoedro.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/espacio/ejerci

cios-interactivos-del-area-y-volumen-del-prisma-de-la-piramide-y-del-tronco-de-

piramide.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/espacio/ejerci

cios-interactivos-del-area-y-volumen-de-la-esfera-y-otros.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/espacio/ejerci

cios-interactivos-del-area-y-volumen-del-cilindro-del-cono-y-del-tronco-de-

cono.html

Actividades

10) Calcula el volumen, de una habitación que tiene 5 m de largo, 4 m

de ancho y 2,5 m de alto.

79

11) Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1,5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de $400 el metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintarla? ¿Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla?

12) Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm

de radio?

Magnitudes y Mediciones SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino) SIMELA son las siglas del Sistema Métrico Legal Argentino. Es el sistema de unidades de medida vigente en Argentina, de uso obligatorio y exclusivo en todos los actos públicos o privados. Está constituido por las unidades, múltiplos, submúltiplos y símbolos del Sistema Internacional de Unidades (SI) y las unidades ajenas al SI que se incorporan para satisfacer requerimientos de empleo en determinados campos de aplicación. Las siete unidades de base que integran este sistema son:

Leer del libro Matemática preuniversitaria con aplicaciones físicas – Tomo 1 de Buccino, Daneri, Di Blasi, Fasce y Viveros, enlace https://drive.google.com/file/d/1nZj4kj2dCWapXTUkAKK8pXeUdRDl6APJ/view Pág. 25,26 27 y 28 para completar este tema Leer el siguiente enlace https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sis

met/resumen-de-sistema-metrico-decimal.html

Realizar los siguientes ejercicios

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sismet/ejercicio

s-de-sistema-metrico-decimal-i.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sismet/ejercicio

s-de-sistema-metrico-decimal-ii.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sismet/ejercicio

s-interactivos-de-medidas-y-magnitudes.html

80

Unidad 7

Trigonometría

La trigonometría, de acuerdo con la etimología de su nombre, trata la resolución analítica

de los triángulos, es decir: conocidas las dimensiones de tres elementos convenientes del

mismo, determina las dimensiones de los elementos restantes, ya sea la longitud de sus lados

y/o la amplitud de sus ángulos.

En esta unidad aplicaremos trigonometría sobre triángulos rectángulos.

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir, que mide 90°.

En los triángulos rectángulos, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado

opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Razones trigonométricas En cualquier triángulo rectángulo, se verifican las siguientes igualdades:

Si tomamos como referencia el ángulo , obtenemos los siguientes cocientes:

Seno de 𝛼 = 𝒔𝒆𝒏𝜶 =𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝜶

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂=

𝒂

𝒄

Coseno de 𝛼 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 =𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒍 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝜶

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂=

𝒃

𝒄

Tangente de 𝛼 = 𝒕𝒈𝜶 =𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒍 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝜶

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒍 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝜶=

𝒂

𝒃

𝒔𝒆𝒏𝜷 =𝒃

𝒄𝒄𝒐𝒔 𝜷 =

𝒂

𝒄𝒕𝒈𝜷 =

𝒃

𝒂

81

Estas igualdades se llaman razones trigonométricas, y vinculan los ángulos agudos del

triángulo rectángulo con la razón (división) de sus lados.

Sistemas de medidas angulares

En este campo de la trigonometría para expresar la medida de los ángulos se emplean los

siguientes sistemas:

✓ El sistema sexagesimal o sistema ingles

✓ El sistema centesimal o sistema francés

✓ El sistema radial o sistema circular

En este curso solo utilizaremos el sistema sexagesimal, es aquel sistema cuya unidad de

medida angular es el grado sexagesimal (°) que es igual a la 360 ava parte de una vuelta de la

circunferencia, es decir se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de ellas es

un grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. En

la calculadora aparece con la denominacion DEG.

Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa conocer el valor de sus tres ángulos y tres lados.

Un triángulo queda perfectamente determinado si se conocen tres de sus elementos, siempre

que uno de ellos sea un lado.

Para resolver un triángulo rectángulo, como el ángulo recto ya está determinado, se debe

conocer al menos un valor de uno de sus ángulos agudos y un lado, o el valor de dos de sus

lados.

Ejercicios resueltos Ejemplo 1. Resolver el siguiente triángulo rectángulo:

Ángulo

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180°

Por lo tanto,

90 42 180

180 90 42

48

+ + =

= − −

=

82

Longitud del lado a. Utilizando el ángulo de 42° y la hipotenusa que mide 8, usamos la razón

trigonométrica coseno:

cos428

a =

Luego despejamos a :

8. 𝑐𝑜𝑠 42° = 𝑎

𝑎 = 5,95

Para calcular cos42 con la calculadora es: COS 42 =

Recuerda que, al operar con grados sexagesimales, la calculadora debe estar en modo

DEG.

Longitud del lado b. Utilizando el ángulo de 42° y la hipotenusa que mide 8, usamos la razón

trigonométrica seno:

428

bsen =

Luego despejamos b:

8. 𝑠𝑒𝑛42° = 𝑏

𝑏 = 5,35

Para hallar este último valor, pudimos haber utilizado el teorema de Pitágoras:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de

los catetos.

Por lo tanto: 2 2 2

2 2 2

2

8 5,95

8 5,95

28,5975

28,5975

b

b

b

b

= +

= −

=

=

5,35b = (es el mismo valor que habíamos hallado)

En un triángulo rectángulo, siempre que tengamos el valor de dos lados, el tercer lado lo

podemos hallar con el teorema de Pitágoras.

Puedes ver los siguientes videos explicativos en el siguiente enlace

https://www.youtube.com/watch?v=2UbdPiqAiHY

https://www.youtube.com/watch?v=NFcbb3BX-70

83

Ejemplo 2. Dado el siguiente triángulo, donde x = 10, y = 17. Calcular la amplitud del ángulo

En este caso, la incógnita es el ángulo.

La razón trigonométrica que relaciona los lados x e y con el ángulo es la tangente:

𝑡𝑔𝛼 =𝑦

𝑥

𝑡𝑔𝛼 =17

10⇒ 𝜶 = 𝟓𝟗°𝟑𝟐´𝟒, 𝟎𝟒´´

En una razón trigonométrica, cuando la incógnita es el ángulo, utilizamos la función inversa

en la calculadora. Para este caso es:

SHIFT tan 17/10 = °´ ´´

Puedes ver un video explicativo en el siguiente enlace

https://www.youtube.com/watch?v=yVTQ0oJBGag

Actividades

1) Resolver los siguientes triángulos rectángulos.

a) b)

c)

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2) Calcular la altura de la torre de refrigeración de una central nuclear, si se sabe que su

sombra mide 271 metros cuando los rayos solares forman un ángulo de 30°.

3)Una escalera de 5,8 metros se apoya en una pared, formando un ángulo con el suelo de

73°21´37´´. ¿A qué altura de la pared se apoya la escalera?

4)Hallar la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 42 m y 144 m.

5) El largo de un rectángulo mide 5√3 cm y su diagonal 10 cm. Hallar la medida

correspondiente al ancho del rectángulo.

6)Una persona viaja 8 km al norte, 3 km al oeste, 7 km al norte y 11 km al este. ¿A qué distancia

está la persona del punto original? ¿Cuánto camino recorrió en su totalidad?

8)Las aristas de una caja que tiene forma de paralelepípedo recto miden: 10 cm, 6cm y 3 cm.

Realizar un dibujo y calcular la medida de la diagonal.

9)Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:

Hallar el valor de c y la longitud del cable

10)Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo

superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40.

¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?

Realizar las siguientes actividades interactivas

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/geometria/basica/ejercici

os-interactivos-del-teorema-de-pitagoras.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/trigonometria/ejercicios-

interactivos-de-triangulos-rectangulos-i.html

• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/trigonometria/ejercicios-

interactivos-de-triangulos-rectangulos-ii.html

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Bibliografía consultada

- Juan Pablo Muszkats. Matemática 1 activa, Ed. Puerto de Palos. Argentina 2001. Tramo A

- Abálsamo; Berio; Kotowski; Liberto; Mastucci; Quirós. Matemática 3 Fotoactivados. Ed.

Puerto de Palos. Argentina 2013. Capítulo 1.

- Pablo Effenberger. Matemática III. Ed. Kapelusz. Argentina 2016. Capítulo 1

- Dora Guil. Omar Malet. Ingreso a los estudios universitarios 2017 UNTREF. Unidad 1

- J. Stewart, L. Redlin & S. Watson. Precálculo. Matemática para el Cálculo. 6 ed. Cengage Learning. México. (2012). Capítulo 1.

- R. Ayala. Algebra Pre-universitaria, Primera edición, Ed. Lexus (2008).

- David C. Lay, Algebra lineal y sus aplicaciones, Ed. Pearson, Tercera Edición, México, 2007. Capítulo 1.

- Stanley I. Grossman, Algebra lineal, Ed. Mc Graw Hill, Quinta Edición, México, 2012. Capítulo 1.

- J. Stewart, L. Redlin & S. Watson. Precálculo. Matemática para el Cálculo. 6 ed. Cengage Learning. México. (2012). Capítulo 10.

- Richard Hill. Algebra lineal con Aplicaciones, Ed Prentice Hall, Tercera Edición, México, 1997. Capitulo1.

- Aragon Adriana, et.al. Introducción a la matemática para el Primer Ciclo Universitario

Universidad Nacional de General Sarmiento.

- D. Zill & J. Dewar. Precálculo con avances de cálculo.5 ed. McGraw-Hill. (2012), Capítulo. 4

- J. Stewart, L. Redlin & S. Watson. Precálculo. Matemática para el Cálculo. 6 ed. Cengage Learning. México. (2012). Capítulo 6.

- C. L. Johnston, Jeanne Lazaris, C. Johnston. Plane Trigonometry - A New Approach . Third edition. Prentice Hall College Div.

- Frank Ayres Jr, Trigonometría plana y esférica. Teoría y 680 problemas resueltos. Serie Schaum. McGraw-Hill.

- Libro Matemática preuniversitaria con aplicaciones físicas – Tomo 1 y 2 de Buccino, Daneri, Di Blasi, Fasce y Viveros, enlaces https://drive.google.com/file/d/1nZj4kj2dCWapXTUkAKK8pXeUdRDl6APJ/view https://drive.google.com/file/d/19I-iqJKVH4kdxRZ0Vc2kLKTElRBBUpmJ/view

Otros enlaces consultados:

- https://proyectodescartes.org/EDAD/materiales_didacticos/EDAD_3eso_funciones_lineales

-JS-LOMCE/3eso_quincena10_acad.pdf

- https://drive.google.com/file/d/19I-iqJKVH4kdxRZ0Vc2kLKTElRBBUpmJ/view

- http://www.mate.cbc.uba.ar/51/practica.pdf

- https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/2/numeros-reales-y-propiedades