ingeniería económica 2- aplicaciones con voyage 200

[ A p l i c a c i o n e s c o n

T e x a s I n s t r u m e n t s

V o y a g e 2 0 0 ]

2 0 1 0

M a t e r i a p a r a :

I n g e n i e r í a I n d u s t r i a l

B u s i n e s s S u i t e

& E c o n o m í a

I n v i e r n o 2 0 0 9

EELLAABBOORRAADDOO PPOORR::

II..II.. ÁÁNNGGEELL GGAARRCCÍÍAAFFIIGGUUEERROOAA HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ [En este manual podrás encontrar aplicaciones para

diversos temas de Ingeniería Económica 2, todas las

aplicaciones necesarias sustitutos de una calculadora

financiera, así como programas especializados para ésta

materia]

Ingeniería Económica 2

LEER NOTA IMPORTANTE

EN PÁGINA SIGUIENTE

NOTA IMPORTANTE: Para usar las aplicaciones completas contenidas en éste

manual para la materia de Ingeniería Económica 1 debes haber instalado los

programas “Businesssuite92”, “Economía” y “simplex2” con anterioridad en

la calculadora, así como las funciones adicionales contenidas en la carpeta

“EKO2” todo esto se encuentra en la versión en DVD del MANUAL DE

INSTALACIÓN DE SOFTWARE PARA CALCULADORAS TEXAS INSTRUMENTS

VOYAGE 200 ó dirígete a la página de internet www.texasfcqei.com donde

también puedes descargar los programas y está explicado el cómo

transferirlos a tu calculadora, además en este sitio se encuentra éste mismo

curso en línea con video tutoriales y ejercicios interactivos. Es muy sencillo

instalar el programa y te tomará poco tiempo. Asegúrate de solicitar un cable

TI-USB Silver Link para transferir exitosamente los programas, éste se

encuentra de igual forma en donde solicitaste tu calculadora.

La razón por la cual no instalé los programas en todas las calculadoras es

porque esta materia es exclusiva de la etapa disciplinaria de las carreras de

Ingeniería Industrial por respeto a los estudiantes de otras carreras que

pudieran llegar a ocupar las calculadoras no les sería grato encontrar

calculadoras con programas ajenos a sus carreras y dejarlas sin memoria

disponible para otros programas especializados en su área. Es por esto que

también te pido que cuando termines el préstamo de tu calculadora

desinstales los programas ya que la memoria de la calculadora es limitada.

[ INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ] Invierno 2009

Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200 Página 3

Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200

Función Forma de

escritura en HOME

Descripción simple Ejemplo.

Valor absoluto

abs(expr)

Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.

Logaritmo log(expr) ó log(expr,base)

Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro, seguido de una coma y la base del logaritmo, si se omite se toma como base 10.

Raíz de cualquier

orden

��

(expr)^(n/m)

Debes teclear primero la expresión que va a elevarse a la raíz dada, luego el símbolo de potencia y entre paréntesis la división correspondiente de la raíz que tengas.

Cosecante csc(expr) Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.

Secante sec(expr)

Cotangente cot(expr)

arc coseno cos-1(expr)

Para las primeras tres funciones simplemente teclea “2nd” + tecla seno coseno ó tangente correspondiente. Para las últimas 3 debes entrar al menú de funciones trigonométrica con “2nd” + número 5 de la parte numérica y entrar al submenú Trig. y dar ENTER sobre la opción deseada.

arc seno sen-1(expr)

arc tangente

tan-1(expr)

arc cosecante

csc-1(expr)

arc secante sec-1(expr)

arc cotangente

cot-1(expr)


Índice General Página 4

Índice General

I. Introducción…………………………………………………………………………….5

II. Detalle Técnico………………………………………………………………………..7

III. Detalle General de Teclas………………………………………………………..9

IV. Introduciendo datos y expresiones correctamente…………………11

V. Índice de Ingeniería Económica 2………….……………………………….21

VI. Contenido…………………………………………………………………………23-90

VII. Ejercicios propuestos……………………………………………………………..91

VIII. Bibliografía……………………………………………………………………………..96


Introducción Página 5

Introducción

Bienvenido al curso Texas Instruments Voyage200, éste curso tiene la finalidad de que aprendas

el manejo eficiente y práctico de esta calculadora graficadora muy poderosa, ya que posee un gran

campo de aplicación en todas las ingenierías y por ende en la mayoría de las materias que verás a

lo largo de tu carrera, para que estudies como ingeniero y trabajes como tal.

Esta calculadora si bien tiene mucha funcionalidad y gran ventaja, es importante dejar en claro

que no debe ser usada como un medio de hacer trampa o como un sustituto del aprendizaje

impartido por el maestro, sino de un apoyo claro y específico en cada materia para agilizar

cálculos y para entender mejor los temas vistos en clase. Las materias en las que te puede ayudar

grandemente de tronco común (1°, 2° y 3° semestre) son las siguientes:

1. Química General

2. Algebra Lineal

3. Calculo Diferencial

4. Calculo Integral

5. Ecuaciones Diferenciales

6. Probabilidad y Estadística 1

7. Probabilidad y Estadística 2

8. Física 1

9. Física 2

10. Física 3

11. Fisicoquímica

12. Termodinámica

Y de las demás materias disciplinarias

(Programa Académico de Ingeniería Industrial):

13. Diseño de Experimentos

14. Computación 2

15. Resistencia de Materiales 1

16. Circuitos Eléctricos 1

17. Investigación de Operaciones 1

18. Investigación de Operaciones 2

19. Tecnología de los Materiales

20. Ingeniería Económica 1

21. Ingeniería Económica 2

22. Control Estadístico del Proceso

23. Medición del Trabajo

24. Metrología

25. Administración Financiera

Las materias en Negritas son las

que recomiendo fuertemente para

el uso de esta calculadora porque

facilita mucho el trabajo y también

existen programas específicos y

didácticos para cada una.


Introducción Página 6

PRÉSTAMO

Existen 54 calculadoras TI-V200 disponibles para préstamo en el resguardo de ésta facultad, tú

puedes pedir que se te preste de forma inmediata una calculadora, se te presta gratuitamente por

espacio de 1 mes y puedes renovar el préstamo cuantas veces desees. Para esto debes acudir con

el encargado del material tecnológico y audiovisual, él se encuentra en el segundo piso de la

facultad casi enfrente del centro de cómputo junto a la jefatura de Ingeniería Industrial, se atiende

de 7:00 A.M. a 2:00 P.M., lo único que necesitas para que te presten la calculadora es lo siguiente:

• Copia de tu credencial de la Universidad

• Copia de tu toma de materias actual

• Copia de tu Inscripción/Reinscripción actual

Como verás es muy sencillo y en definitiva recibes a cambio una gran ayuda.


Detalle Técnico Página 7

Detalle Técnico

Cuando pidas prestada una calculadora debes fijarte que contenga:

� 1 Calculadora

� 1 Carcasa

� 4 Pilas AAA recargables ó alcalinas (en caso de estar disponibles)

� 1 Bolsita protectora

Este es el préstamo básico, sin embargo si tú deseas instalarle algún programa desde tu

computadora debes solicitar también:

� 1 Cable TI-USB Silver-Link

Para instalación de programas complementarios ó extras, consultar el MANUAL DE INSTALACIÓN

DE SOFTWARE PARA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200.

Pasos al Iniciar sesión:

1. Coloca las 4 pilas AAA adecuadamente. Estas se encuentran dentro de la bolsa protectora de la

calculadora. La parte donde se colocan las pilas es en la parte posterior de la misma.

IMPORTANTE: No muevas la pila de botón.

2. Retira la carcasa de la calculadora:


Detalle Técnico Página 8

3. Colócala por atrás para protegerla mejor.


Detalle General de Teclas Página 9

Detalle General de Teclas

La tecla DIAMANTE (una tecla verde al lado de la tecla ON), al presionarla una vez activa todas las

teclas que tengan leyenda verde sobre las teclas normales. Su función es múltiple y generalmente

te permite desplazarte entre programas y configurar ciertas aplicaciones de la parte gráfica.

La tecla 2nd (tecla azul al lado de la tecla DIAMANTE), al presionarla una vez activa todas las teclas

que tengan leyenda azul. Su función principal es complementar las expresiones numéricas, y en

algunos casos entrar a menús avanzados.

Las teclas F1-F8, se pueden utilizar cuando en la pantalla aparezcan opciones variadas en la parte

superior, generalmente se usan sólo para abrir menús en los programas.

Las teclas del Cursor sirven para moverte en gráficas, sobre la línea de entrada y en el historial de

Home, así como en otros programas, te irás familiarizando con el poco a poco.

La tecla APPS, despliega el menú general de la calculadora, donde se encuentran todas las

aplicaciones y programas de la misma.

La tecla MODE, despliega la pantalla para modificar la configuración general de la calculadora.

La tecla Shift, tiene la misma funcionalidad que la tecla shift del teclado de una computadora, al

dejarlo presionado y desplazarte con el cursor de un lado a otro puedes seleccionar una serie de

Cursor

Parte Numérica

Teclado Extendido Teclas especiales Shift,

DIAMANTE, 2nd

Teclas F1-F8

Tecla APPS

Tecla CLEAR Tecla ESC


Detalle General de Teclas Página 10

datos o expresiones para después copiarlos con la combinación DIAMANTE + letra C, y pegarlos en

cualquier otra aplicación con la combinación DIAMANTE + letra V.

La tecla CLEAR sirve de forma general para borrar la línea de entrada de la calculadora y en

algunas otras aplicaciones borra gráficas y elementos marcados para graficar.

La tecla ESC se usa para cancelar opciones hechas o errores cometidos dentro de un programa.


Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 11

Introduciendo datos y

expresiones

correctamente

Se ha dedicado un capítulo completo a la

explicación de cómo introducir datos y

expresiones correctamente debido a que se

han identificado numerosos errores de

escritura en muchos estudiantes a la hora de

teclear los datos, lo cual es de vital

importancia ya que de teclear

incorrectamente la información nos puede

arrojar resultados incorrectos o muy

diferentes a lo que queremos en realidad,

independientemente del programa en el que

estemos éstas reglas son para cualquier

aplicación en el que se esté trabajando, es

conveniente tomarse un tiempo para

entender y practicar estos sencillos ejercicios

para que escribas correctamente la

información en cada tarea que resuelvas.

Signo Menos

Es importante que a la hora de teclear una

expresión en la calculadora se teclee el signo

menos adecuado en cada caso. Se debe

seguir la siguiente regla:

“Cuando se escriba una expresión en la que

se inicie con signo negativo debe usarse la

tecla con signo negativo entre paréntesis

”. Esto mismo se usa con las

calculadoras científicas habituales. Veremos

un par de ejemplos. Enciende tu calculadora,

tecla ON:

Muévete con el cursor a través de las

aplicaciones y posiciónate en HOME y da

ENTER:

Por ejemplo, si queremos escribir:

�7� 8

Damos ENTER :

Vemos que se despliega correctamente y se

reacomoda en la línea de entrada. Este error

del uso del signo menos es muy común y

debe usarse ya sea en el inicio de una

expresión o en la de un exponente que

queramos a una potencia negativa o después

de que se ha cerrado un paréntesis. Para

borrar la línea de entrada teclea CLEAR.



Si se hubiera puesto el otro signo menos

hubiera salido un resultado completamente

diferente e incorrecto. Otro ejemplo:

��

Vemos que se lee correctamente, si

hubiéramos puesto el signo contrario:

Vemos que nos indica que hay un error de

sintaxis en la línea de entrada.

“En cualquier otra posición de una

expresión que no sea el inicio, el signo

negativo que debe usarse es el de la tecla

blanca .”

Por ejemplo:

�� 8� � 13

Para el primer término como esta al inicio se

usa el signo menos de la tecla negra y para el

último término se usa el signo menos de la

tecla blanca:

Como tip podemos decir que en la línea de

entrada el signo menos de la tecla negra está

un poco más pequeño y más arriba que el de

la tecla blanca.

Paréntesis

El uso correcto de los paréntesis es muy

importante ya que de igual manera va a

definir nuestras expresiones. Los paréntesis

dividen expresiones completas en la línea de

entrada de la calculadora, hay algunas

funciones como la función exponencial,

logaritmo natural o las trigonométricas que

cuando lo tecleas inmediatamente te abre un

paréntesis y lo hace con la finalidad de que

definas correctamente lo que va dentro de

esa función. Es importante recordar que

“Todo paréntesis que se abre debe

cerrarse”. Por ejemplo supongamos que

deseamos escribir:

sin 7� 8�� ln �

Al teclear la función de seno se abre

automáticamente el paréntesis e

inmediatamente después debemos escribir



el argumento del seno para después cerrarlo

con el paréntesis de cierre:

Es importante también cerrar

ordenadamente cada paréntesis que se abra,

veamos otro ejemplo:

√cos � � sin 2�

Abrimos la raíz dando en 2nd + tecla de

signo de multiplicación y si te fijas se

abre el paréntesis inmediatamente después

del símbolo de la raíz y luego debemos

escribir la expresión de adentro y cerrar con

el paréntesis final para indicar que todo va

dentro de la raíz:

Fíjate en el orden de los paréntesis, el

primero es el que encierra a todos los demás,

damos ENTER:

Signo de División

Este es otro error algo común a la hora de

escribir las expresiones, y hay que seguir otra

regla muy simple cuando usamos el signo de

división:

“Cuando haya más de un término en el

numerador o denominador en una división,

estas expresiones deben encerrarse entre

paréntesis”

Por ejemplo si deseamos escribir:

3�9� 13

Como hay un solo término en la parte de

arriba no es necesario teclear el paréntesis,

pero como en la parte de abajo hay más de

uno, debemos teclear los paréntesis en la

parte de abajo, la forma de escritura se

podría resumir con este tip:

� �� !é�#$ %&/� �� !é�#$ %&

Vemos en la pantalla como se ve

correctamente la escritura de la expresión

que queremos. ¿Qué hubiera pasado si no

ponemos los paréntesis? Observa:



Vemos que al dar ENTER la calculadora

entiende otra cosa completamente distinta.

Es un muy buen tip que observes lo que

escribiste al dar ENTER en la parte izquierda

de la pantalla y veas si esa expresión es la

que quieres.

Otro ejemplo:

�� 8��7�� 3� � 15

Como en el numerador y denominador hay

más de un término deben escribirse ambos

paréntesis al inicio y al final de cada

expresión, damos ENTER:

Nótese que en el denominador como la

expresión inicia con un término con signo

negativo se empieza usando el menos de la

tecla negra, y el siguiente es con la tecla

menos blanca. Recordemos que los

paréntesis dividen expresiones completas,

por eso aunque este en medio de la línea de

entrada se usa el signo negativo negro.

También notamos que la calculadora

factoriza la parte de arriba y cambia signos

por comodidad, siendo esto una igualdad

exacta.

Exponentes

Otro error relativamente común son los

exponentes. Por ejemplo si queremos

escribir:

��)

Como veras a simple vista en la calculadora

no existe una tecla con raíz cúbica, solo esta

la de raíz cuadrada, para escribir una raíz del

orden que sea se debe usar el exponente con

la sencilla regla:

√�� * �� +⁄

Cuando se escribe un exponente en

fracciones en la calculadora, de igual

manera debe ponerse entre paréntesis

después del símbolo de exponente:

Al dar ENTER vemos la expresión correcta de

la equis con su exponente. De igual manera

se recalca la importancia de poner entre

paréntesis esta expresión ya que de no

hacerlo la calculadora entenderá otra cosa,

observa:



Vemos que al no ponerlo la calculadora

entiende que se trata de una equis cuadrada

entre tres y no es la expresión adecuada. Por

eso es MUY IMPORTANTE el escribir

correctamente la información en la

calculadora ya que de no hacerlo nos dará

resultados incorrectos.

Listas ó Matrices

Cuando escribas en listas o matrices

(generalmente las usaras en materias como

Algebra Lineal, Investigación de Operaciones

1, Ingeniería Económica 1, Ingeniería

Económica 2) es importante que recuerdes

que las comas “,” también dividen

expresiones y por lo tanto si por ejemplo

escribes un dato con signo negativo es como

si iniciara una nueva expresión y debe

teclearse con el signo menos de la tecla

negra.

Por ejemplo al escribir la lista:

-5, �6,8, �2,10

Se abren y cierran las llaves tecleando “2nd”

+ paréntesis de apertura o cierre

:

Vemos que al dar ENTER la lista se crea con

los datos de signo correctos, de poner el otro

signo menos ocurriría un error de sintaxis.

Funciones solve, factor, expand

Si estás trabajando en materias como calculo

diferencial, cálculo integral, algebra lineal es

posible que te sean útiles éstas funciones. En

general se te explicarán en el curso de la

materia que tomes si es que te son de ayuda.

De todas maneras aquí se te explica un poco

de cómo usarlas. Todas estas funciones están

en el menú F2 Algebra, al dar ENTER sobre

cada una se copia a la línea de entrada para

usarse:

Función Solve

La función solve resuelve igualdades o

inecuaciones en la línea de entrada de HOME

lo único que necesitas es introducir la

ecuación en la línea de entrada, la respectiva

igualdad o inecuación, luego la respectiva

coma e inmediatamente después la variable

que deseas que la calculadora encuentre, de

esta forma:

1%23��4�54$ó , 35�$572�&

Por ejemplo nos piden encontrar los valores

de X que satisfacen la expresión:

�� 6�� 5� 30 * 75



En la línea de entrada de HOME se debe

introducir de esta forma:

1%23�� 6�� 5� 30 * 75, �&

Ahora simplemente damos ENTER:

Y se llega al resultado.

Función Factor

La función factor como su nombre lo indica

factoriza expresiones (de ser posible) y

devuelve la multiplicación adecuada que

daría como resultado esa expresión. Su

forma de escritura es:

954!%��1$% &

Como te puedes dar cuenta no tiene ni coma

ni variable a buscar ya que no necesita de

una variable para encontrar, sino que va a

factorizar con las variables que tengas dentro

de la expresión. Por ejemplo te piden

factorizar la siguiente expresión:

�� 9�� 7� � 63

Para introducirlo en la línea de entrada de

HOME sería así:

954!%�� 9�� 7� � 6&

Damos ENTER y vemos:

Nos devuelve la factorización adecuada de

binomios que daría como resultado ese

polinomio.

Función Expand

La función expand es la función inversa de

factor, cuando introduzcas una expresión

elevada a una potencia o una multiplicación

de expresiones lo que va a hacer es

desarrollar esa multiplicación para que la

visualices por completo. Su forma de

escritura es similar a la de factor:

��5 ��1$ó &

Por ejemplo supongamos que necesitas

desarrollar la expresión:

�2�� 9&�

En la línea de entrada de HOME se debe de

introducir así:

��5 ��2�� 9&�&




Operador With

El operador “with” es un comando

condicionante, en la calculadora se puede

combinar con varias funciones de la misma

para restringir la búsqueda de una respuesta

ó para sustituir un valor en una variable en

una expresión dada. Su símbolo es |. Tú

puedes combinarlo de la siguiente forma:

1. Pidiéndole que sustituya un valor en una

variable, esto es útil cuando quieres sustituir

un valor cualquiera en una expresión grande

y tendrías que hacer varias operaciones a

mano, por ejemplo:

5� 7��

3�� 12�� 5�

Y quieres sustituir digamos 7 en donde haya

equis y evaluarlo. Primero debes teclear la

expresión completa en la línea de entrada y

luego teclear este operador, el operador

“with” sale tecleando “2nd” + letra K del

teclado extendido. En la línea de entrada

quedaría así:


Como puedes ver opera la expresión,

también antes de dar ENTER puedes

presionar DIAMANTE y te devolverá un valor

numérico aproximado.

2. También lo puedes usar para restringir la

búsqueda de respuestas. Por ejemplo buscas

sólo la solución positiva de X para:

�� 2� � 15 * 0

Para ésta igualdad como sabemos ocupamos

la función solve y al finalizar de escribir la

función restringimos la búsqueda a X>0:

1%23�� 2� � 15 * 0, �&|� ; 0

En la línea de entrada quedaría así:


El símbolo de “>” sale con “2nd”+ símbolo de

punto de la parte numérica.



Mensajes de Error Comunes

Los mensajes de error comunes suceden

cuando en la línea de entrada cometiste un

error de sintaxis o que falta una variable o

alguna expresión necesaria.

Uno de los más comunes es el mensaje de

“Missing )”:

Nos indica que falta un paréntesis ya sea de

cierre o apertura en la línea de entrada. Este

error hace referencia a la regla que dice

“Cada paréntesis que se abre debe cerrarse”

Otro error común es el de “Syntax”:

Este error nos indica que hemos escrito algo

mal en la línea de entrada, generalmente se

debe a los signos negativos, es decir que

hemos usado los inadecuados.

También tenemos éste otro error, el de “Too

few arguments”

El cual nos indica que hacen falta

argumentos para la función, esto se explicará

con el uso mismo de los programas y

software para que sepas como y donde

ponerlos.

Un último factor importante en el uso de la

calculadora es que después de que le des

una orden ya sea dando ENTER o con

cualquier otra tecla de resolución dejes que

la calculadora “piense” o resuelva lo que le

has pedido, cuando esta “ocupada” lo dice

en la esquina inferior derecha, aparece el

recuadro de BUSY, lo cual indica que esta

ocupada y no debes teclear nada hasta que

te devuelva una respuesta.

Borrando Variables

Es importante que de cuando en cuando

después de haber usado tu calculadora

elimines las variables con valores asignados

que se hayan podido guardar en la memoria,

esto ocurre algunas veces cuando ocupas la

función solve ó cuando usas el Numeric

Solver, para eliminar las variables estando en

HOME simplemente teclea F6 CleanUp y da

ENTER sobre la primera opción “Clear a-z”:

Al hacer esto borras automáticamente todos

los valores que podrían contener las

variables de la “A” a la “Z”. Es importante

que hagas esto cuando inicias un nuevo

problema.



Multiplicación Implícita de Variables

Otro error bastante común a la hora de

teclear los datos es que nosotros al escribir a

mano damos por hecho la multiplicación

implícita de variables en una expresión, por

ejemplo al escribir:

�< 3�� 2<=

Nosotros por intuición y por lo que nos han

enseñado sabemos sin problema que en la

primer y último termino hay una

multiplicación de variables X por Y y Y por Z.

En la Texas debemos especificar ésta división

de variables ya que si las tecleamos juntas la

Texas pensará que se trata de una variable

única llamada XY ó YZ:

La forma correcta es teclear el signo de

multiplicación entre ambas variables:

Podemos ver la diferencia, como tip puedes

observar el pequeño punto entre la X y la Y,

así como entre la Y y la Z indicando la

independencia de cada variable. Es

importante teclear esto correctamente, ya

que en el uso de alguna función podría no

reconocer la variable que quieres que

resuelva, por ejemplo:

Podemos ver que al resolver una igualación a

15 y pedirle encontrar Y, no existe ésta

variable ya que para la Texas solo hay

variables X, XY y YZ, lo correcto sería:

Cuando todo falla

Se ha llegado a ver situaciones en donde la

pantalla se “frizea” ó se queda trabada, esto

ocurre generalmente cuando no esperaste

una respuesta de la misma cuando estaba en

estado BUSY, siempre debes esperar

después de darle un comando de resolución

o respuesta (ya sea ENTER o cualquier otro) a

que te devuelva un valor o mensaje, NO LA

FUERCES, se paciente y siempre fíjate en el

estado de la misma, éste se encuentra

siempre activo en la esquina inferior derecha

de la pantalla, da siempre un teclazo a la vez

y ordenadamente. De todas maneras si se te

llegara a trabar presiona al mismo tiempo

estas 3 teclas “2nd” + ON + tecla de mano:

+ + . Esto reiniciará la

calculadora completamente y sin problemas.



Ephy

Pensando en el gran número de usos en el

área de Química y sus modalidades

combinadas (Fisicoquímica, Termodinámica,

Química Orgánica, etc.) instalé en todas las

calculadoras una práctica tabla periódica de

los elementos que puedes consultar. Para

entrar a ella estando en HOME teclea en la

línea de entrada la combinación “EPHY()” y

da ENTER:

Da ENTER nuevamente para continuar:

Y verás:

Y puedes desplazarte por cada elemento, y

para ver su información da ENTER sobre el

símbolo del elemento que deseas ver y verás

su ficha completa:

La desventaja es que está en francés, pero

los símbolos químicos no cambian, son

iguales para todos, además de que es

bastante entendible, la información es

explícita, la información de cada elemento es

la siguiente:

• Nombre

• Masa Atómica

• Electronegatividad

• Densidad (gr/cm3)

• Punto de Ebullición (°C)

• Punto de Fusión (°C)

• Valencia

• Configuración Electrónica

• Radio Atómico

• Por quién fue descubierto y en que

año.

Para salir de la tabla simplemente da ESC:


Índice de Investigación de Operaciones 1 Página 21

Índice de Ingeniería Económica 2

Introducción…………………………………………………………………………………………………………………….23

C a p í t u l o 1 Decisiones de Reemplazo y Conservación

1.1 Vida Útil Económica ……….……………..…….…………………………………………..23

i) Resolviendo con Business Suite…………………………………………………………23

ii) Resolviendo en Cell Sheet………………………………………………………………….28

1.2 Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico ……32

C a p í t u l o 2 Análisis del VP para Selección de Proyectos Independientes

Resolviendo en Business Suite

2.1 Racionamiento de capital utilizando el análisis de VP para proyectos de

vida diferente………………………………………………………………………………………………………42

2.2 Selección de Proyectos Utilizando Programación Lineal (simplex)…….44

C a p í t u l o 3 Análisis del punto de equilibrio

3.1 Análisis del Punto de Equilibrio para un Proyecto………………………………51

3.2 Análisis del Punto de Equilibrio para una o más alternativas……………..60

3.3 Aplicación de Business Suite en lugar de solver de Excel……………………62

C a p í t u l o 4 Efectos de la Inflación

4.1 Cálculo de Factores (VP, VF, A) ajustados por la Inflación…………………..68

C a p í t u l o 5 Depreciaciones



Índice de Investigación de Operaciones 1 Página 22

5.1 Línea recta…………………………………………………………………………………………72

5.2 Suma de los dígitos de los años …………………………………………………………74

5.3 SD & SDD (Saldo Decreciente & Saldo Doblemente Decreciente, también

llamados de Porcentaje Fijo)………………………………………………………………………………..76

5.4 MACRS ó SMARC………………………………………………………………………………..81


VUE con Business Suite Página 23

Introducción

En la mayoría de los temas y problemas que

resolverás en ésta materia te los pedirán

resolver en Excel, lo cual no se deja de

recomendar, es bueno que aprendas a

resolver éstos problemas en éste programa

de Office que te será de gran ayuda cuando

haces la tarea en tu casa, además de ser un

programa que quizá sigas usando hasta en tu

vida profesional. Sin embargo, la Texas te

puede ayudar a resolver varios de éstos

problemas sobre todo en exámenes donde lo

más probable es que no te dejen usar una

Laptop, y que por fuerza te tienen que dejar

usar una calculadora financiera o como en

éste caso una Texas Instruments. También es

un hecho que con la Texas no necesitas

comprar una calculadora financiera (que

algunos profesores solicitan para esta

materia), ya que con los programas que le

instalas y el software que ya trae es más que

suficiente para todos los temas que verás en

estas materias, tiene mucha más

funcionalidad y eficacia que una financiera y

con éste manual te darás cuenta. Si ya has

leído o visto en DVD el curso de Ingeniería

Económica 1 ya estarás familiarizado con los

programas Business Suite que de nueva

cuenta se usará bastante en éste curso, así

como un uso ya más avanzado de Cell Sheet.

Decisiones de Reemplazo y Conservación

Éste tema es parecido al que se vio en el

primer curso de Ingeniería Económica 1 de

“Análisis del Valor Presente” donde se pedía

encontrar el valor presente de 2 equipos y se

te pedía seleccionar el que representara un

menor desembolso inicial. En éste tema la

situación es parecida, se introduce el

concepto de VUE (Vida Útil Económica) y la

misma situación de seleccionar el equipo que

represente el menor desembolso pero ahora

en análisis de pagos anuales.

Resolviendo con Business Suite

Vida Útil Económica

Es importante que tu profesor te explique

éste concepto económico importante ya que

te podrá ser de utilidad en tu vida

profesional. En la mayoría de los problemas

relacionados a este tema debes hacer una

tabla indicando la VUE del equipo en

cuestión. Tú puedes resolver éste tipo de

problemas en Business Suite y en Cell Sheet.

Primero mostraré como resolverlo en

Business Suite y luego en una hoja de cálculo

preparada en Cell Sheet.

Ejemplo.

Determine la Vida Útil Económica y el VA

correspondiente para una máquina que

tiene los siguientes flujos de efectivo.

Aplicando una tasa de interés de 14% anual.

Año V. de Salvamento Costo de

Operación

0 100,000 -

1 75,000 28,000

2 60,000 31,000 3 50,000 34,000

4 40,000 34,000

5 25,000 34,000

6 15,000 45,000

7 0 49,000

Empezaremos resolviendo con Business

Suite, con éste programa la desventaja es

que deberás hacer columna por columna

cada dato, sin embargo si lo único que te

piden es el resultado, puedes resolver

directamente la columna última y encontrar

el resultado al problema la columna última



del problema es la más importante y es la

que define cual será la VUE del activo.

Encendemos la calculadora tecla ON:

Nos desplazamos con el cursor y nos

posicionamos en HOME y entramos pulsando

ENTER:

Este es HOME y es el corazón de la

calculadora y es en donde se realizan la

mayoría de los cálculos complejos y difíciles.

Debemos llamar el programa, si lo instalaste

correctamente se encuentra en el folder

MAIN. Damos “2nd” + tecla de signo menos

blanco :

Y verás ésta pantalla que es como el “CPU”

de la calculadora, puedes observar los

diferentes folders que hay, en tu calculadora

si instalaste los programas correctamente

solo deberías tener los folders “ephy, main y

economia”, despliega el folder MAIN

posicionándote sobre él y dando a la derecha

con el cursor:

Desplázate hacia abajo con el cursor y

encuentra el programa “bstest92” y da

ENTER:

Se copia a la línea de entrada de la

calculadora, ahora simplemente cierra el

paréntesis con y da ENTER:

Después de un momento:

Vemos la pantalla de bienvenida y por quién

fue creada y en que fecha. Damos ENTER

para continuar:



Y verás un cambio en la parte superior de los

menús. Para el curso de Ingeniería 2 sólo

usaremos los menús F5 “Sheets” y F3 “Depr”

(Depreciaciones, que se verán más adelante).

Damos en F5:

Damos ENTER en la primera opción “Cash

Flows” (Flujo de Caja):

Y la primer pregunta que nos hace es “Initial

Cash Flow” que es el monto inicial en el año

cero, debes recordar SIEMPRE que los flujos

hacia abajo son con signo negativo y hacia

arriba son positivos, ó como en éste caso la

inversión inicial es negativa ya que simboliza

un desembolso, el signo menos es que

corresponde a tecla negra:

Y damos ENTER 2 veces para continuar. Y

verás un nuevo cambio en la parte superior

de la pantalla que son los submenús para

modificar o cambiar los flujos, para agregar

flujos tecleamos en F1 “Add” (Agregar):

Y de aquí en adelante es simple sentido

común, como vamos a encontrar la columna

última del problema debemos hacerla por

cada año tomando como si en ése año

ocurriera el rescate de la máquina menos el

costo de operación hasta ese momento, para

el primer año quedaría en el flujo 1:

Tú puedes teclear la resta de lo que se

rescata en ése año menos el costo anual en

ése año la calculadora hará la operación

automáticamente, recuerda que el menos es

de tecla blanca ya que no esta al inicio de la

expresión. Damos ENTER para continuar y

nos pregunta la frecuencia:

Es decir cuántas veces ocurre éste monto,

como es el primero damos 1 y ENTER:

Recuerda que lo que se va a calcular cada

año es el PMT y en donde sea menor será el

número de año de VUE del activo. Ahora

bien para calcular éste valor damos en F6 y

damos ENTER en la cuarta opción:



Y nos pregunta el porcentaje, solo lo

tecleamos de acuerdo al problema y damos

ENTER:

Y éste es el primer valor de la columna

última y que se debe anotar

inmediatamente, y que debes ir

construyendo la tabla. Ahora bien para el

segundo año de igual forma debemos

tomarlo como si se rescatara el activo en ese

año. Debemos corregir el primer flujo dando

en F4 Correct. Nos pregunta que número de

flujo es el que deseamos corregir, le decimos

que es el primero (1) y damos ENTER:

Nos pregunta el nuevo valor, le decimos que

ahora sólo es “–28000” y damos ENTER:

Nos aparece el mensaje de “Ok it’s changed”

y cambia el flujo que teníamos, agregamos

un segundo flujo con F1 Add, y hacemos lo

mismo, suponiendo que se recatara en ese

año el activo vemos la tabla y restamos

60000-31000:

Y damos ENTER, y frecuencia 1 nuevamente:

Y nuevamente para ver el nuevo valor PMT

en el segundo año damos en F6 y cuarta

opción:

Y nuevamente tecleamos el porcentaje del

problema, damos ENTER y vemos el valor

PMT en ése año, se anota y se continúa. Tú

puedes observar en cualquier momento los

flujos dando en F5 View:



Y podrás ver los flujos que has introducido,

para continuar da ENTER. Y se continúa el

problema para el tercer año, nuevamente se

tiene que ir corrigiendo el año último, por lo

tanto damos en F4 Correct, e indicamos el

flujo 2 para corregir a -31000 y damos

ENTER:

Y damos en F1 Add y agregamos el nuevo

flujo del tercer año:

Y lo mismo, F6 y cuarta opción:

Y se anota la cantidad y se continúa así hasta

el año 7. Al final la tabla debe quedarte así:

Año VA Total

1 -67,000

2 -62,093

3 -59,275

4 -57,593 5 -57,148

6 -57,300

7 -58,120

Ahora solo se debe hacer una comparación

sencilla, el valor más positivo indicará el año

que corresponde al número de VUE del

activo.

Año VA Total

1 -67,000

2 -62,093

3 -59,275 4 -57,593

5 -57,140

6 -57,300

7 -58,120

El año 5 corresponde al VUE, con esto

interpretamos que la Vida Útil Económica del

activo es de 5 años con -$57,140. Haciéndolo

así nos saltamos de hacer la tabla completa

que muestra el libro de Tarquin que son las

columnas de Reparación de Capital y VA del

COA, con esto hacemos directo la columna

resultado que es la columna VA Total. Esto es

muy bueno en un examen o en tareas si solo

solicitan el resultado del VUE.

Para salir da en F7 Exit y luego en F6 y

segunda opción “I’m Done”:

A continuación se verá como resolver en un

programa alternativo que ya viene con el

software de la Texas y es el Cell Sheet.


VUE en Cell Sheet Página 28

Resolviendo en Cell Sheet

Veremos esta hoja de cálculo en Cell Sheet

que es un programa tipo “mini Excel” muy

poderosa y que te puede ser de gran ayuda

en exámenes y tareas.

Pensando en éste tipo de problemas (y otros

que verás más adelante) desarrollé una hoja

de cálculo en la cual solo debes introducir el

Costo Inicial, la tasa de interés, la tabla que

nos da el problema y nos devolverá la tabla

final. Para trabajar en la hoja de cálculo (que

debiste instalar previamente de la carpeta

“EKO2”) debes desarchivar la hoja de cálculo

para poderla manipular, para hacer esto

estando en HOME teclea “2nd” + signo

menos de tecla blanca :

Da a la derecha con el cursor sobre el folder

“EKO2” y posiciónate sobre el archivo “vue”

(Vida Útil Económica):

Da en F4 para marcar el archivo:

Ahora da en F1 “Manage” y da ENTER en la

opción 9 “Unarchive Variable”

Si lo hiciste correctamente debe desaparecer

el asterisco que esta del lado izquierdo del

nombre del archivo. Ahora da en tecla APPS

y da ENTER sobre el programa “Cell Sheet”

Da ENTER sobre la opción “Open”:

Cambia el folder a “EKO2” dando a la

derecha con el cursor, luego posicionándote

sobre el folder y da ENTER:

Y automáticamente verás los archivos de Cell

Sheet existentes en ese folder, cambia el

archivo a “vue” y da ENTER:



Y verás:

Éste es el Cell Sheet, como puedes apreciar

es muy parecido a una hoja de Excel, claro

está que no se compara con Excel para nada,

sin embargo la ventaja de esta pequeña hoja

de cálculo es que admite operaciones,

expresiones y ecuaciones matemáticas de

cualquier índole, cosa que no se puede en

Excel. En ésta hoja ya hay un ejemplo

muestra de hasta 10 períodos ó n = 10 (que

en realidad es un número bastante decente

para un problema hecho a mano). Lo único

que debes hacer es cambiar la información

de la celda B1 y B2 que es la tasa y el Costo

Inicial y las columnas B y C correspondientes

a los que nos da el problema, para modificar

un valor nos posicionamos sobre la celda que

queremos cambiar y tecleamos el nuevo

valor seguido de un ENTER, por ejemplo nos

posicionamos sobre B1 y tecleamos “14” que

es la tasa de nuestro problema y damos

ENTER:

Y así modificamos cada valor por los que

tenemos en el problema. Recuerda que V.C.

es el Valor Comercial o Valor de Salvamento

del problema, también recuerda que la

columna C de COA debe tener los valores en

negativo, el signo menos es el de tecla

NEGRA:

Ya que has tecleado hasta los 7 años

cambiando los valores de columna B y C

debes teclear sobre los años que no se

ocupan (8, 9 y 10) una expresión de “x” en la

columna B indicando que no se usarán, las

comillas salen con “2nd” + letra L del teclado

extendido:

Damos ENTER y si lo hiciste correctamente

debe aparecer una letra equis ajustada al

lado izquierdo de la celda:

Y hacemos lo mismo para los otros años

restantes que no se usan:



Ahora solo damos en F8 ReCalc y empezará a

hacer el re cálculo de toda la hoja, verás una

barra de avance en la parte inferior de la

pantalla y después de unos momentos verás

ya toda la hoja calculada, desplázate a la

parte derecha superior para ver los

resultados:

Aquí puedes ver ya los resultados completos

de toda la tabla del problema, la columa D

es la Recuperación de Capital, la columna E

es el VA del COA y la columna F es la VA total

(que es la misma que calculamos en Business

Suite), el resultado del VUE está en la celda

G1:

Y la columna G indica el lugar donde se

encuentra el VUE:

Que corresponde al año 5 (desplazándote a

la izquierda):

Ésta es una excelente herramienta para

comprobar tus resultados y de gran ayuda

definitiva en un examen, también como

puedes observar los valores cuando son muy

grandes pueden aparecer expresados con E4

ó E5 etc, es por esto que debes desplazarte en

cada celda para ver el valor completo en la

línea inferior. Ésta hoja esta hecha para que

funcione correctamente, porfavor no

modifiques nada del contenido de cada

fórmula ya que de hacer algún cambio

podría arrojar un error a la hora de re

calcular la hoja. Sólo debes cambiar las

celdas de Tasa, Costo Inicial y columnas B y C

de Valor de Salvamento y COA

respectivamente y tal como se te indica.

También te recomiendo que el formato en el

que tengas siempre la hoja de cálculo sea la

siguiente, da F1 y opción 9 Format:

Que este AutoCalc en OFF, Cursor Mvmt en

DOWN y Show en VALUE.

También es importante que rearchives la

hoja de cálculo cuando ya no la ocupes ya

que al quedarte sin baterías se podría perder

el archivo y tendrías que pasarlo de nuevo.

Para rearchivar primero regresa a HOME con

DIAMANTE + letra Q del teclado extendido.

Luego da “2nd” + signo menos de tecla

blanca y has la operación inversa, marca el

archivo con F4 y selecciona la opción 8

“archive variable”:



Si lo hiciste correctamente debe aparecer un

“asterisco” al lado de la variable, con esto

aunque apagues la calculadora o le quites las

pilas no se perderá la información.

Te recomiendo que realices los ejercicios que

se dejan al final del manual con el fin de que

practiques y tengas habilidad a la hora de

resolver algún examen o tarea.


Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico Página 32

Análisis de Reemplazo durante un período

de estudio específico


Si leíste o viste en DVD el curso de Ingeniería

Económica 1 verás que este tema tiene

mucha similitud con el tema de “Análisis del

Valor Presente” en realidad es casi igual, con

la diferencia que en ésta ocasión se analiza

ahora con respecto (en la mayoría de los

casos) al VA o PMT. De igual forma lo más

sencillo es hacerlo en Business Suite.

Ejemplo.

Una empresa de biotecnología que hace

planes para la expansión de una planta

intenta determinar si debería mejorar las

instalaciones de ambiente controlado ó

comprar nuevas. Las que ahora mismo se

poseen se compraron hace 4 años por

$250,000. Su valor actual de “venta rápida”

es de $20,000, aunque con una inversión de

$100,000 ahora, serían adecuadas para

otros 4 años, después de los cuales se

venderían por $40,000. Por otra parte, se

podrían comprar nuevas instalaciones de

ambiente controlado a un costo de

$300,000. Se espera que tengan una vida de

10 años con un valor de salvamento de

$50,000 en ese tiempo. Determine si la

compañía debería mejorar las instalaciones

que ahora tiene ó comprar nuevas a una

TMAR de 20%.

Para éste tipo de problemas debes prestar

especial atención sobre todo en lo que se

pide del problema, generalmente hay 2 tipos

de situaciones que se pueden presentar,

uno de ellos es en el que la máquina se

pueda reemplazar inmediatamente por otra

y hacer ése análisis económico (como en éste

caso), y otro en la que se pueda reemplazar

la máquina después de cierto tiempo ya sea

por otra máquina o por la misma que se

planeaba reemplazarla desde el inicio ó en su

defecto mejorarla. En éste problema con la

expresión “debería mejorar las instalaciones

que ahora tiene” nos dice claramente que se

debe hacer, el análisis de VA para cada caso

por separado.

Como ya te debió haber explicado tu

profesor estos problemas (la mayoría) se

pueden visualizar como un flujo de efectivo

en un período de tiempo y después

simplemente calcular PMT. Claro está que

debes entender y extraer la información

necesaria del problema:

Actualizar Retador

C. Inicial -$120,000 -$300,000

COA 0 0

Salvamento $40,000 $50,000

N 4 10

Y simplemente hacer el análisis para cada

caso y escoger el que represente menor

desembolso anual.

Estando en HOME y en el folder de trabajo

MAIN teclea sobre la línea de entrada

“bstest92()”

Y da ENTER para iniciar el programa. Da en

F5 Sheets y ENTER en la primera opción

“Cash

Flows”:



El Cash Flow Inicial para la opción de

actualizar es de -100,000-20,000. Cien mil de

la inversión de mejorar más veinte mil del

valor comercial actual:

Puedes dejar expresada la resta, la

calculadora hará la operación

automáticamente, recuerda que el primer

signo menos es de tecla negra y el segundo

de tecla blanca. Da ENTER para continuar.

Ahora damos En F1 Add y tecleamos el flujo

de efectivo en los primeros 3 años, como en

el problema no dice que haya ningún costo

operativo anual en ninguno de los 2 casos, se

toma como cero y da ENTER:

En frecuencia tecleamos 3 porque en los

primero 3 años así ocurre, en el cuarto año

se dará un valor de rescate de 40,000.

Damos ENTER y luego F1 Add para agregar el

flujo del año 4:

Recuerda que es positivo porque es un valor

de rescate o salvamento, damos ENTER para

continuar y tienes la opción de ver los flujos

que introdujiste dando en F5 View:

Ésta es una buena herramienta para

visualizar errores que se pudieran haber

cometido a la hora de introducir datos, para

ver los flujos completos solo desplázate hacia

abajo con el cursor. Damos ENTER para

continuar.

Si te hubieras equivocado en algún flujo

puedes corregirlo con F4 “Correct” y tendrías

que indicarle que flujo quieres corregir para

después reasignarle el nuevo monto.

Ahora para calcular el PMT o VA damos en F6

“Calc” y damos ENTER en la cuarta opción

“Equiv Ann. Flow”:

Nos pregunta el porcentaje, tecleamos 20 y

damos ENTER:

Y éste es el primer valor y resultado que

debemos anotar. Damos en F7 Exit e

inmediatamente después en F5 nuevamente

y primera opción “Cash Flows”:



Y se hace lo mismo para la opción del

retador:

Y se agregan los flujos con F1 Add:

En los primeros 9 años, recuerda que

siempre en el año último se realiza el valor

de rescate:

Y se calcula de nueva cuenta con F6 Calc el

valor PMT:

Podemos ver que ésta segunda opción es

mucho más cara y debe desecharse, la

opción sería invertir en actualizar el sistema

actual y conservarlo por 4 años más.

Para salir damos en F7 Exit y luego en F6 y

segunda opción “I’m Done”:

Veamos otro ejemplo un tanto distinto.

Ejemplo.

Se estima que una máquina que se compró

hace 9 años por $45,000 tenga los valores

de salvamento y costos de operación que se

indican a continuación. Ahora se podría

vender a un valor comercial de $8,000. Una

máquina de reemplazo costaría $125,000 y

tendrá un valor de salvamento de $10,000

después de su vida de 10 años. Se espera

que su costo de operación anual sea de

$31,000. A una tasa de interés de 15%

anual, determine cuantos años más, si es el

caso, debería la compañía conservar la

máquina.

Año V. S. al final del año

COA Anual

1 6,000 50,000

2 4,000 53,000

3 1,000 60,000

De nueva cuenta el problema indica que

existe la posibilidad de reemplazar la

máquina ahora, por lo tanto se debe hacer el

análisis del retador a PMT ó VA. En la línea



de entrada de HOME tecleamos “bstest92()”

y damos ENTER:

Y se hace la misma idea que el problema

anterior, empezaremos analizando al

retador, damos en F5 Sheets y damos ENTER

en la primera opción “Cash Flows”:

El Cash Flow Inicial debe ser siempre el valor

del flujo en el año 0, como simboliza

inversión va con signo negativo y es el signo

menos de tecla negra. Damos ENTER para

continuar y agregamos flujos con F1 Add:

Los Costos operativos anuales son -31,000,

simbolizan gasto por esto van con signo

negativo, y ocurren normalmente los

primeros 9 años. Damos en F1 Add y

agregamos el último flujo:

Se puede simbolizar el último costo

operativo de -31,000 más el valor de

salvamento de 10,000 que se realiza en ése

último año. Damos ENTER para continuar y

calculamos los flujos uniformes PMT con F6

Calc y dando ENTER en cuarta opción:

Tecleamos la tasa como se hizo

anteriormente y vemos el resultado:

Y vemos el resultado VA del retador que es

$-55,413.99. y que se debe anotar para luego

compararlo con la máquina actual.

Damos en F7 Exit e inmediatamente F5

Sheets y primera opción “Cash Flows”:

Éste es el costo Inicial en la serie, recuerda

que como el activo actual tiene un tiempo de

vida restante se debe sacar el VA de cada

año y encontrar el que represente su VUE y

compararlo con el VA del retador, en el año

que sea menor determinará el tiempo de

vida restante que debe permanecer antes de

ser reemplazado ó en su defecto si llegara a

ser mayor que el VA calculado del retador,



debe reemplazarse inmediatamente la

máquina. Esto mismo se podría hacer el la

hoja Cell Sheet que se uso anteriormente,

pero como se trata de un tiempo de vida

muy corto se puede hacer aquí mismo sin

mucho problema al final de cuentas es tu

elección.

Damos ENTER para continuar y agregamos

flujo para el primer año con F1 Add,

calculamos el valor de VA en el primer año

suponiendo que se rescatara en el año 1 el

activo y se gastara el COA:

Damos ENTER para continuar y calculamos el

VA dando en F6 Calc y dando ENTER en la

cuarta opción:

Y calculamos el primer valor que es -53,200,

debemos calcular para los 2 años restantes a

fin de encontrar la VUE del activo, damos en

F4 Correct y tecleamos el flujo a corregir que

es el 1 y le reasignamos el COA de ése primer

año normalmente:

Y agregamos el flujo para el segundo año con

F1 Add suponiendo que se rescatara en ese

año el activo:

Y de nueva cuenta calculamos el PMT con F6

Calc y cuarta opción:

Anotamos el valor del VA de éste año y

hacemos lo mismo para calcular el último

año, corregimos con F4 el último flujo y

agregamos el del tercer año:

Y vemos que el valor menor de los 3

corresponde a -$53,200, ésta es la Vida Útil

Económica del activo, y como es ligeramente

menor que el VA del retador ($-55,413.99)

debe permanecer un año más en la empresa

y luego reemplazarlo por el retador.



Veamos un último ejemplo un poco más

complejo que los anteriores.

Ejemplo.

Un activo que una compañía de máquinas y

herramientas compró hace 12 años por

$75,000 puede utilizarse hasta 3 años más.

SI el activo se vende ahora, la compañía

puede obtener $20,000. De otra manera, se

aplicarán los valores comerciales y costos de

operación estimados que se muestran. Un

retador tendrá un costo de $130,000 y una

vida máxima de 6 años. Sus estimaciones

del valor comercial y del costo de operación

se muestran a continuación. Sobre la base

de dichas estimaciones ¿en que año debería

reemplazarse el activo existente dado un

horizonte de planeación de 8 años? Utilice

una tasa de interés de 15% anual.

Actual Retador

Año V.C. COA V.C COA

1 $9,000 $52,000 $95,000 $30,000

2 $2,000 $61,000 $75,000 $32,000

3 $1,000 $68,000 $45,000 $35,000

4 - - $35,000 $40,000

5 - - $30,000 $47,000

6 - - $15,000 $56,000

En los ejemplos anteriores se no se ponía un

periodo de estudio específico, es por esto

que se evaluaban las opciones por separado,

pero ahora para un estudio en un periodo

específico de tiempo donde el tiempo es

relativamente corto se debe hacer una

combinación de años para determinar las

posibles formas en que se haga la planeación

a 8 años, ya sea manteniendo el activo actual

por 3 años (hasta el término de su vida útil) y

el retador por 5 sumando así 8 ó

manteniendo el activo actual por 2 años más

y reemplazarlo al tercer año con el retador

con sus 6 años de vida completos, estas 2

combinatorias deben considerarse en el

cálculo de VA y elegir como ya sabemos el

que represente el menor desembolso.

Para empezar debemos considerar al retador

como si entrara al juego de flujos ya sea en el

año 3 ó en el año 4 y como toda la

evaluación es respecto a PMT debemos

encontrar el VA del retador que equivaldría a

flujos iguales todos los años de su vida

suponiendo un tiempo de vida de 5 o 6 años.

Para esto podemos usar la hoja del Cell Sheet

preparada y calcular rápidamente los VA en

los años 5 y 6. Damos en tecla APPS y

entramos a Cell Sheet:

Seleccionamos opción Abrir “Open”,

seleccionamos folder EKO2 y a continuación

el archivo VUE:

Y vemos:

[ INGENIERÍA ECONÓMICA

Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico

E igual que antes solo cambiamos la

información necesaria ajustada al retador.

Cambiamos la tasa a 15, Costo Inicial a

130,000, y columnas B y C de Valor comercial

y COA, recuerda que los COA van con signo

negativo porque representan gasto:

Recuerda que los años que ya no se ocupan

en la tabla debes teclear “x” en la columna B

para indicar que ése periodo no se usará:

El signo de comillas sale con “2nd” + letra L

del teclado extendido. Ahora simplemente

damos F8 ReCalc y esperamos un momento a

ver toda la hoja ya calculada. Desplázate a la

derecha con el cursor y los valores que nos

interesan para el estudio son de la columna

VA Total los años 5 y 6:

INGENIERÍA ECONÓMICA 2 ]

Análisis de Reemplazo durante un período de estudio específico

igual que antes solo cambiamos la

información necesaria ajustada al retador.

Cambiamos la tasa a 15, Costo Inicial a

130,000, y columnas B y C de Valor comercial

y COA, recuerda que los COA van con signo

negativo porque representan gasto:

los años que ya no se ocupan

en la tabla debes teclear “x” en la columna B

para indicar que ése periodo no se usará:

El signo de comillas sale con “2nd” + letra L

del teclado extendido. Ahora simplemente

damos F8 ReCalc y esperamos un momento a

toda la hoja ya calculada. Desplázate a la

derecha con el cursor y los valores que nos

interesan para el estudio son de la columna

Estos valores debemos copiarlos para luego

usarlos en el juego de flujos. Para 6 años =

-$70,619.82, y para 5 años =

primer juego de flujos suponiendo un uso del

primer activo de 2 años y retador por 6 años

quedaría así:

Y por el contrario para un uso de 3 años del

primer activo y un uso de 5 para el retador

quedaría así:

Simplemente hacemos Cash Flow con estos

flujos y encontramos PMT ó VP y el que

represente menor desembolso será

seleccionado. Damos DIAMANTE + letra Q

del teclado extendido para regresar a HOME

y entramos a Business Suite:

Invierno 2009

Página 38

Estos valores debemos copiarlos para luego

usarlos en el juego de flujos. Para 6 años =

$70,619.82, y para 5 años = -$69,990.42. El

primer juego de flujos suponiendo un uso del

primer activo de 2 años y retador por 6 años

Y por el contrario para un uso de 3 años del

primer activo y un uso de 5 para el retador

Simplemente hacemos Cash Flow con estos

flujos y encontramos PMT ó VP y el que

represente menor desembolso será

seleccionado. Damos DIAMANTE + letra Q

del teclado extendido para regresar a HOME

y entramos a Business Suite:



Empezaremos con el de 2 y 6 años:

Recuerda que los flujos hacia abajo son

negativos y hacia arriba positivos. Damos con

F1 Add y agregamos el primer flujo

normalmente:

Para el flujo 2 se puede representar la resta

sin problemas, recuerda que como

suponemos un rescate del activo en el año 2

se suman 2000 al COA de ese año:

Y por último para la última serie de flujos:

Éste flujo ocurre 6 veces. Ahora solo

tecleamos F6 Calc y seleccionamos cuarta

opción:

Tecleamos el porcentaje del problema y

damos ENTER:

Éste es un primer valor a comparar.

Calculamos también el NPV ó Valor Presente

Neto:

Anotamos éstos 2 valores que sujetaremos a

comparación con el otro flujo. Damos F7 Exit

e inmediatamente después F5 para iniciar

una nueva serie de flujos:



Y calculamos Con F6 Calc el PMT:

Y el Valor Presente Neto:

Y simplemente comparamos ambos valores,

$69,510>$69,008, por lo tanto la mejor

opción es mantener al defensor por 3 años y

entonces reemplazarlo por el retador por 5

años.


Racionamiento de capital utilizando el análisis de VP p/proyectos de vida diferente Página 41

Análisis del VP para Selección de Proyectos

Independientes

Éste tema es bastante sencillo y se usa una

vez más Cash Flow de Business Suite para

resolver la mayoría de los problemas que se

plantean. Luego se usará el programa

simplex que ya debes haber instalado con

anterioridad, si has tomado el curso de

Investigación de Operaciones 1 sabrás para

que es éste programa, en este tema se

puede usar el algoritmo simplex para

seleccionar uno ú otro proyecto

considerando limitaciones de capital para

invertir en dichos proyectos, resolveremos

un par de ejercicios para mostrar su uso.

Racionamiento de capital utilizando el

análisis de VP para proyectos de vida

diferente.

El tipo de ejercicios que te pueden pedir

resolver son de diferentes proyectos con ó

sin limitación presupuestal y que soliciten

encontrar el ó los proyectos que representen

una mayor utilidad o ganancia basándose en

el VP sin rebasar el límite presupuestal

supuesto en el problema. Empezaremos con

éste tipo de problemas.

Ejemplo.

Para una TMAR de 15% por año y limitación

presupuestal de $20,000, seleccione entre

los siguientes proyectos independientes.

Proyecto Inv.

Inicial

Flujo de Efectivo

Neto Anual Vida

A -$8,000 $3,870 6

B -$15,000 $2,930 9

C -$8,000 $2,680 5

D -$8,000 $2,540 4

Como sabemos, debemos sacar el Valor

Presente Neto de cada proyecto y luego

seleccionar la combinación de proyectos que

generarían un mayor beneficio económico

sin rebasar el límite de los 20,000.

Nuevamente esto es bastante sencillo en

Business Suite. Estando en HOME iniciamos

el programa Business Suite tecleando

“bstest92()” y damos ENTER:

Iniciaremos con el Proyecto A. Damos F5 y

primera opción Cash Flow:

El costo inicial es con signo negativo:

Agregamos flujos con F1 Add y simplemente

tecleamos el Flujo Efectivo Neto $3870 y

frecuencia 6 de sus respectivos 6 años de

vida:

Ahora solo calculamos el VPN dando F6 Calc

y ENTER en la primera opción:



Tecleamos el interés y damos ENTER:

Y anotamos el primer valor en una tabla.

Damos F7 Exit y nuevamente F5 Cash Flow y

hacemos lo mismo para los demás proyectos:

Podemos ver por ejemplo que éste proyecto

B tiene signo negativo por lo tanto

representa una pérdida en dinero.

Continuamos con el proyecto C:

Éste proyecto tiene signo positivo pero es

muy poca su ganancia. Continuamos con el

proyecto D:

Y elaboramos una tabla para visualizar los

proyectos posibles:

Proyecto Costo Inicial

VPN

A $8,000 $6,645.95

B $15,000 -$1019.26

C $8,000 $983.78 D $8,000 -$748.35

Límite = $20,000

Ahora bien para saber cual ó cuales

seleccionar se puede hacer de 2 formas, la

primera y más natural y que nos dicta el

sentido común es simplemente hacer por

prueba y error seleccionando proyectos

sumando y verificando que no pase del límite

de $20,000, naturalmente observando y

comparando vemos que los proyectos a

seleccionar son el A y el C, ya que

representan la mayor ganancia

$6,645.95+$983.78 = $7,629.73. y no

rebasan el límite de presupuesto

$8,000+$8,000 = $16,000<$20,000. También

es un hecho que casi nunca se van a

seleccionar los proyectos que resulten con

un VP negativo es por esto que por default

descartamos automáticamente los proyectos

B y D que tienen signo negativo y que

representan pérdida en vez de ganancia (a

menos que lo que se quiera es perder

dinero).

Ésta forma “natural” de elegir los proyectos

es relativamente sencilla cuando no hay

muchos proyectos de donde escoger y se

puede hacer una comparación a simple vista,

sin embargo cuando hay un gran numero de

proyectos y variables lo más adecuado es

usar el algoritmo simplex para encontrar de

forma inequívoca los proyectos a

seleccionar. Para mostrar como se haría éste

mismo problema en simplex lo único que

debemos hacer después de haber

encontrado los VP de cada proyecto es

definir la Función Objetivo y las restricciones



a usar. Como ya debiste haber tomado el

curso de Investigación de Operaciones 1 ya

debes estar familiarizado con estos

conceptos. Primero nos salimos del

programa con F7 Exit y luego F6 y segunda

opción “I’m Done”:


Selección de Proyectos usando programación Lineal Algoritmo Simplex Página 44

Selección de Proyectos usando

programación Lineal Algoritmo Simplex

Si ya leíste o viste en DVD el curso para

Investigación de Operaciones 1 quizá ya

sepas como resolverlo, si no aquí lo

mostraremos nuevamente enfocado a éste

tipo de problemas.

Primero vamos a definir basados en la tabla

resultado la F.O. y las restricciones

(Resolviendo el problema de la pág. 41):

Proyecto Costo Inicial

VPN

A $8,000 $6,645.95

B $15,000 -$1019.26

C $8,000 $983.78 D $8,000 -$748.35

La F.O. sería Maximizar el VPN, (Maximizar

beneficios), por comodidad redondeamos los

valores:

> * 6646 �1 � 1019 �2 984 �3 � 748 �4

De las restricciones la primera y la más

importante es la restricción de presupuesto:

8000�1 15000�2 8000�3 8000�4 @ 20000

También es muy importante encontrar las

restricciones binarias (1 ó 0) para cada

proyecto, el 1 ó 0 indicarían si se selecciona o

no se selecciona el proyecto. Aquí es

importante explicar un punto, como en el

programa simplex de la Texas no es posible

aplicar una solución binaria se debe agregar

una restricción para cada variable (de x1 a

x4) para indicar su posible valor con ≤1. Estas

restricciones para cada variable quedarían

como:

1�1 0�2 0�3 0�4 @ 10�1 1�2 0�3 0�4 @ 10�1 0�2 1�3 0�4 @ 10�1 0�2 0�3 1�4 @ 1

Para pasar todo esto a la Texas debemos

crear una matriz, en el programa simplex

tienes la opción de ir creando las

restricciones 1 por 1 ó crear una matriz

desde fuera para luego cargarla en el

programa. La forma más simple es crearla en

Data/Matrix Editor. Antes de introducir la

información es bueno tenerla ya “ideada”

para solo teclearla, también es bueno hacer

una IMPORTANTE aclaración con ésta tabla:

1) La última fila debe contener la función Z u

objetivo y debe tener los signos cambiados a

su contrario.

2) Las primeras filas deben ser siempre las

restricciones, el “<=” va implícito al final de la

penúltima columna.

3) En la tabla solo se puede maximizar.

Nuestra tabla quedaría así:

8000 15000 8000 8000 20000

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

-6646 1019 -984 748 0

Damos en tecla APPS y damos ENTER en el

programa:

Damos ENTER en opción New:



Cambiamos a opción Matrix y definimos un

nombre cualquiera para esta matriz digamos

“ej1”, y definimos “Row dimension” (filas)

con 6 y “Col dimensión” (columnas) con 5 y

damos ENTER para continuar:

Ahora simplemente tecleamos tal cual

nuestra tabla que elaboramos, recuerda que

los valores negativos van con signo menos de

tecla negra:

Ya ha quedado guardada automáticamente

ahora solo regresamos a HOME con

DIAMANTE + letra Q del teclado extendido:

Y si instalaste correctamente el programa en

el folder MAIN (en el que debes estar

trabajando) solo teclea en la línea de entrada

“simplex()” y da ENTER:

Y el programa Inicia, ahora cambia la primera

opción de “Paso a Paso” a “Solo la solución”,

luego da abajo con el cursor y cambia la

opción de “Crearla” a “Ya tengo una” y da

ENTER para continuar:

En ésta pantalla sólo cambia el archivo por

default de “mat” al que creamos como “ej1”

y da ENTER, en Num. De variables artificiales

déjala con cero:

Damos ENTER para continuar y vemos:

Y vemos la tabla ya creada. Ahora solo da




Y un ENTER más para que procese la

información, después de unos momentos

vemos:

Éste resultado se interpreta así:

A1 0 1 0B�1 �2 �3 �4

Se selecciona el primer y el tercer proyecto,

A y C. Damos ENTER nuevamente y por

último ESC para salir del programa.

NOTA IMPORTANTE:

Recuerda que haciéndolo por la tabla solo se

puede maximizar y solo se pueden usar

restricciones con <= que se toman por

default en la tabla, en general para éstos

problemas siempre se pedirá maximizar y

solo se usan restricciones con <= es por esto

que el uso de la tabla es el más sencillo y el

único que aquí se explica (y que en general

solo verás problemas de éste tipo), sin

embargo si llegaras a tener restricciones con

>= ó problemas de minimización lo que

debes hacer en simplex es hacerlo con la

opción “Crearla” en la que debes teclear

cada restricción adecuadamente, para más

información consulta el manual de

Investigación de Operaciones 1 ó también su

versión en DVD.

Veremos ahora un ejemplo un poco más

complejo.

Ejemplo.

Use el método del VP para evaluar cuatro

proyectos independientes. Seleccione hasta

3 de 4 proyectos usando la TMAR actual de

12% y un límite de capital disponible de a)

$16,000 b) $25,000.

Proyecto 1 2 3 4

Inv. Inicial

-5000 -8000 -9000 -10000

Vida 5 5 3 4 Flujos Efectivos Netos por año

1 1000 500 5000 0

2 1700 500 5000 0

3 2400 500 2000 0

4 3000 500 - 17000

5 3800 10500 - -

De igual forma lo primero que debemos

hacer es encontrar el VPN de cada proyecto,

estando en HOME iniciamos Business Suite

tecleando en la línea de entrada “bstest92()”

y damos ENTER:

Damos en F5 Sheets y ENTER en la primera

opción Cash Flows:



Empezaremos con el VP del primer proyecto,

el initial Cash Flow va con signo negativo, es

el signo menos de tecla negra:

Y agregamos normalmente los flujos con F1

Add y su frecuencia de ocurrencia:

Al final los flujos deben quedarte así:

Y calculamos normalmente con F6 Calc y

damos ENTER en la primera opción:

Tecleamos el porcentaje del problema y

anotamos el VP de éste proyecto:

Damos F7 Exit y luego F5 y ENTER en la

primera opción para Iniciar un nuevo flujo

para el proyecto 2 y así sucesivamente hasta

encontrar el VP de todos los proyectos. Y de

igual forma hacemos una tabla con los

valores de cada uno y su restricción para

cada problema. Los VP de cada proyecto

deben darte (redondeado):

1 2 3 4

$3,019 -$523 $874 $804

Y ahora solo creamos F.O. y restricciones

para cada inciso, esto se puede hacer

mentalmente, pero si lo requieres escríbelo,

para el inciso a):

C5�> * 3,019 �1 � 523 �2 874 �3 804 �4D�1!�$44$% �1:

5000 �1 8000 �2 9000 �3 10000 �4 @ 16000

Para el inciso b)

C5�> * 3,019 �1 � 523 �2 874 �3 804 �4D�1!�$44$% �1:

5000 �1 8000 �2 9000 �3 10000 �4 @ 25000

Y para los dos incisos:

1 �1 0 �2 0 �3 0 �4 @ 10 �1 1 �2 0 �3 0 �4 @ 10 �1 0 �2 1 �3 0 �4 @ 10 �1 0 �2 0 �3 1 �4 @ 1

Ideando ya nuestra tabla completa quedaría

así:

5000 8000 9000 10000 16000

1 0 0 0 1 0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

-3019 523 -874 -804 0

Para el inciso a) y luego solo debemos ir

cambiando la celda sombreada que hace la



variación del capital disponible. Recuerda

también que la última fila debe contener la

función objetivo y que debe tener los signos

invertidos.

Salimos de Business Suite con F7 Exit y luego

con F6 y segunda opción “I’m Done”. Damos

en tecla APPS y entramos al programa Data

Matrix Editor:

Damos en opción “New”. Cambiamos a

opción Matrix y definimos un nombre

cualquiera para esta matriz digamos “ej2”, y

definimos “Row dimension” (filas) con 6 y

“Col dimensión” (columnas) con 5 y damos


Y ahora simplemente tecleamos la

información de la tabla:

Recuerda que el signo menos en cada celda

de ser con el signo menos de tecla negra.

Ahora simplemente damos DIAMANTE +

letra Q del teclado extendido para regresar a

HOME. En la línea de entrada corremos el

programa “simplex()” y damos ENTER:

Cambiamos a la primera opción a “solo la

solución”, y en la segunda opción a “Ya tengo

una”:

Damos ENTER para continuar y tecleamos el

nombre de la matriz que le asignamos como

“ej2” y damos ENTER para continuar:

Y vemos nuestra matriz:

Damos ENTER 2 veces para que opere y

veamos el resultado:

Y de igual forma que en el ejemplo anterior

el resultado se interpreta así:



A1 0 1 1/5B�1 �2 �3 �4

NOTA IMPORTANTE.

Estrictamente hablando esto nos dice que

debe seleccionarse el proyecto 1, el proyecto

3 y 1/5 parte del proyecto 4. Sabemos por

sentido común que no es posible seleccionar

fracciones de un proyecto, simplemente se

selecciona o no se selecciona es por esto que

se pide que sea 0 ó 1, sin embargo como el

algoritmo simplex de la Texas no permite

soluciones binarias maximiza lo más posible

es por esto que nos resuelve usando una

fracción del proyecto 4 para optimizar aún

más el resultado, tú simplemente debes

hacer caso omiso de las fracciones que veas y

tomar los que resuelva con valores unitarios.

OJO, en ocasiones puede dar resultados

incorrectos por ésta misma naturaleza de

selección de “fracciones” de proyectos,

haciendo ó tomando proyectos que no valen

tanto por otros que combinándolos en

fracciones den una mayor maximización,

esto en realidad es raro de que ocurra, sin

embargo si llegara a ocurrir debes hacer más

simple el problema y recurrir al sentido

común, como por ejemplo en éste problema

eliminando por default el proyecto 2 ya que

nos da un VP negativo y representa pérdida

en vez de ganancia.

La Maximización Z del inciso a) es

3019+874=$3,893 invirtiendo $14,000

Salimos del programa dando ESC 2 veces:

Regresamos a nuestra matriz dando “2nd”+

tecla APPS:

Ahora solo modificamos la celda que

contiene 16000 por 25000:

Regresamos a HOME con DIAMANTE + letra

Q del teclado extendido y corremos simplex

y hacemos lo mismo, la matriz al cambiarle la

celda se reasigno el nuevo valor y quedo

guardada automáticamente en la misma

variable que tenía:

Puedes observar el cambio en la tabla:

Damos ENTER 2 veces y esperamos el

resultado:



Y nos muestra correctamente la solución que

es seleccionar el proyecto 1 el proyecto 3 y el

proyecto 4.

Hacemos las sumas y vemos que nos da una

Maximización Z=3019+874+804=$4,697,

invirtiendo $24,000.


Análisis de punto de equilibrio para un proyecto Página 51

Análisis del punto de equilibrio

En éste tema en particular hay aplicación

variada en la Texas, ya sea para una

alternativa ó para varias alternativas entre

proyectos, nuevamente el programa que más

nos ayudará es Business Suite. Así como

también se mostrará una forma diferente de

resolver similar al “solver” de Excel pero con

Business Suite donde se puede encontrar

parámetros y formas con ecuaciones para

hallar soluciones a problemas varios.

Análisis de punto de equilibrio para un

proyecto.

En forma general el punto de equilibrio no es

más que el punto donde los costos (fijos y

variables) y los ingresos se cruzan ayudando

así a determinar el número de unidades a

vender para llegar a este equilibrio. Esto en

general es simple, sin embargo para los

problemas lo complican mezclando

conceptos de los temas anteriores

dificultando un poco su resolución. También

se puede graficar y resolver ciertos

problemas analíticamente desde HOME.

Empezaremos mostrando ejemplos sencillos

para luego pasar a los complejos.

Ejemplo.

Se tienen los siguientes datos de cierto

artículo a producir:

Costos Fijos: $750,000 mensuales

Costos Variables por unidad: $35,000

Ingreso por unidad: $75,000

Encuentre:

a) Cantidad de Unidades necesarias para

vender para llegar al punto de equilibrio.

b) Utilidad generada al vender 30 unidades.

c) ¿A que precio tendría que vender cada

unidad para llegar al punto de equilibrio si

la producción ha fabricado actualmente 22

unidades?

Cuando hay problemas así de sencillos hay

varias formas de resolverlos. Para explicarlo

de la forma más simple lo haremos en

Business Suite.

Estando en HOME entramos a Business Suite

tecleando en la línea de entrada “bstest92()”

y damos ENTER:

Damos en F5 “Sheets” y damos ENTER en la

tercera opción “Breakeven” (punto de

equilibrio):

Al dar ENTER verás un cambio en la parte

superior de los menús:

Ahora lo que debemos hacer es primero

introducir los costos del problema. Damos en

F1 “Costs”:



La primera ventana “Variable” hace

referencia como su nombre lo indica a los

costos variables del problema, simplemente

tecleamos la cantidad citada de dicho

problema:

Bajamos con el cursor y la segunda ventana

“Fixed” hace referencia a los Costos Fijos del

problema, simplemente los tecleamos y

damos ENTER 2 veces para continuar:

Y nos regresa al menú general del punto de

equilibrio, ahora simplemente tecleamos en

F2 Calc y damos ENTER en la primera opción

“# of units needed”:

Y nos pregunta el precio de venta por

unidad, lo tecleamos y damos ENTER:

Y vemos el resultado:

El número de unidades que se necesitan

vender es de 18.75 (inciso a)) para llegar al

punto de equilibrio. Ahora bien aquí mismo

podemos resolver el inciso c), damos

nuevamente en F2 Calc y ahora damos

ENTER en la segunda opción “Needed sales

Price”:

Esta opción hace referencia a la pregunta “¿a

que precio necesario debo vender cada

unidad para llegar al punto de equilibrio?”,

suponiendo claro está una cantidad de

unidades producida actualmente, tecleamos

las unidades que marca el problema que son

22 y damos ENTER para ver el resultado:

El precio de venta mínimo es de $69,090.91

para 22 unidades producidas. Damos en F3

Finish para salir de ésta parte del programa y

luego en F6 y segunda opción “I’m Done”

para salir por

completo del

programa:

Ahora bien el



inciso b) es tan sencillo que se puede hacer a

mano, sin embargo si quieres seguir usando

la Texas para terminar de resolver el

problema, he creado una ecuación que

resuelve la utilidad y se encuentra en el

folder EKO2, debemos abrirla desde el

Numeric Solver. Damos en tecla APPS y

damos ENTER sobre éste programa:

Damos en F1 y primera opción “Open”:

Cambiamos al folder EKO2 y seleccionamos

el archivo llamado “util”:

Damos ENTER para continuar y vemos la

ecuación de utilidad, damos hacia abajo con

el cursor y llenamos la información del

problema:

“u” es la utilidad, “q” es la cantidad de

unidades producida, “p” es el precio de

venta, “f” es costo Fijo, “v” es el costo

variable. Una vez que se ha llenado la

información nos posicionamos sobre “u” y

damos F2 Solve:

Y vemos la utilidad de producir 30 unidades

que es igual a $450,000 pesos.

Éste problema fue extremadamente simple

por ser de los primeros que se resuelven,

iremos subiendo de dificultad.

Ejemplo.

Un ingeniero metalurgista calcula que la

inversión de capital para la recuperación de

metales valiosos (níquel, plata, oro,

etcétera) de un cauce de aguas residuales

de una refinería de cobre será de $15

millones. El equipo tendrá una vida útil de

10 años sin valor de salvamento. La

cantidad de metales que actualmente se

descargan es de 12,000 libras al mes. El

costo de operación mensual se representa

por $4,100,000 E1.8 , donde E es la eficiencia

de la recuperación del metal expresada en

forma decimal. Determine la eficiencia

mínima de eliminación que se requiere para

que la compañía alcance el punto de

equilibrio, si el precio de venta promedio de

los metales es de $250 cada libra. Utilice

una tasa de interés de 1% mensual.

Éste es uno de los problemas que en el libro

de Tarquin los resuelven por “prueba y

error”, lo cual es bastante “corriente” para

mi gusto, con la Texas puedes tener

exactitud sin recurrir estar probando

cantidades al azar haciendo que te cuadren,

ésta es una ventaja que te acompañará en



ésta y otras materias de tu carrera siempre

que uses una Texas Instruments.

Éste problema lo primero que hace es

querernos confundir ya que los datos sobre

la inversión inicial y el tiempo de vida lo

expresan en años y todos los demás datos se

encuentran en forma mensual, tanto el

interés, la producción y el costo operativo. Es

importante en cualquier problema que se te

presente que se cuadre siempre la

información a los tiempos que se van a

trabajar, como la mayoría de los datos están

en forma mensual, lo mejor es hacerlo todo a

meses.

Lo primero que debemos hacer es sacar el

PMT ó A mensual de todo el activo en el que

se invierte, como todo es a meses serán 120

períodos ya que el activo dura 10 años.

Estando en HOME entramos primero a

Business Suite. Damos en F5 Sheets y damos

ENTER en la primera opción Cash Flow:

Y tecleamos la inversión Inicial del activo que

son -15 millones, pero para no manejar

cantidades tan grandes en Business Suite

vamos a dividir todo en 1 millón, ó en otras

palabras a quitarle 6 ceros a todas las

cantidades:


flujos con F1 Add:

Y agregamos el COM (Costo operativo

mensual), recuerda que va con signo

negativo ya que representa gasto, no

importa que haya una variable como “E” la

dejamos tal cual lo marca el problema, sól o

que nosotros la manejaremos como “x”,

también recuerda que a esta cantidad le

quitamos 6 ceros:

En frecuencia son 120 porque lo estamos

manejando en meses, quizá veas que tarde

un poco por la cantidad de flujos que se

agregaron. Luego damos en F6 Calc y damos

ENTER en la cuarta opción:

Tecleamos el porcentaje del problema que es

1% y damos ENTER para ver el resultado,

esto quizá tome unos segundos por la

cantidad de flujos:

Ésta ecuación representa el costo fijo más el

costo variable de la producción del

problema. Es importante copiarla. Nos

salimos de Business

Suite con F7 Exit y

luego con F6 y

segunda opción “I’m

Done”:



Ya afuera en HOME lo que se tiene que hacer

es una igualación de términos. En casi todo

lo que se verá en éste tema es hacer

igualación, igualación de los ingresos con los

gastos y encontrar la cantidad “X” que

permita esa igualdad, en general son 3

variables:

FG FH · J * K · J

CF = Costo Fijo, se debe expresar en un

período de tiempo específico.

CV = Costo variable, debe estar ajustado al

costo fijo

Q = Cantidad de unidades producidas

P = Precio de venta.

En general en todos los problemas así es, con

ligeras variaciones como en éste caso. La

ecuación que encontramos representa el

lado izquierdo de la igualdad, y el lado

derecho lo da el problema. Construimos la

ecuación así:

4.1MN · �O.P 0.22MN * 250 · 12000 · �

En ésta igualación ya regresamos a millones.

También cambiamos a signos positivos del

lado izquierdo ya que así debe de expresarse

en la ecuación, no importa si es gasto, debe

quedar con signos positivos de ambos lados,

la variable “x” representa la eficiencia, los

250 es el precio de venta, los 12000 son la

cantidad de libras mensuales que se sacan de

la mina y “x” nuevamente es el factor

(eficiencia) de la extracción de esas 12000

libras.

Para resolver esta ecuación la podemos

hacer en HOME fácilmente. Borramos la

línea de entrada con tecla CLEAR. Luego

damos en F2 Algebra y damos ENTER en la

función “solve(“:

Se copia a la línea de entrada y simplemente

tecleamos tal cual la ecuación:

El símbolo de “E” sale con “2nd” + número 1

de la parte numérica, recuerda que el

símbolo “E” representa “x10^”, también

debe haber un signo de multiplicación *

entre cada valor que se multiplique. Luego

de teclear la parte derecha de la ecuación

terminamos poniendo una coma “,” e

inmediatamente después la variable que

queremos que encuentre, en este caso “x” y

cerramos paréntesis :

Damos ENTER y después de unos segundos

vemos:

Y vemos los resultados posibles, da arriba

con el cursor y te puedes desplazar para ver



el resultado completo de izquierda a

derecha:

Hay resultados que por sentido común se

deben de descartar inmediatamente, el

primero que tiene signo negativo

representaría una eficiencia negativa y esto

no es posible, la primera eficiencia de .0919

es algo baja y solo aplica en los inicios de la

ecuación, la eficiencia adecuada es la de

0.5696, recuerda que el problema planteaba

la eficiencia en forma decimal, por lo tanto el

resultado es 56.96% que es aprox. 57%.

Veamos otro problema un poco más difícil.

Ejemplo.

Rod, gerente de ingeniería industrial de

Zema Corporation, determinó con el

método de mínimos cuadrados que el costo

total anual de producir una caja de latas de

un refresco muy exitoso en ventas está bien

descrito por la ecuación cuadrática

CT=0.001Q2+3Q+2, y que el ingreso es

aproximadamente lineal con r=$25 por caja.

Rod pide al lector que haga lo siguiente:

a) Grafique la función de utilidad.

b) Calcule la máxima ganancia y la cantidad

en la que se presenta.

Éste tipo de problemas como los anteriores

se puede hacer gráficamente y

analíticamente en HOME. Veremos primero

como hacerse en HOME. Lo primero al igual

que en los ejercicios anteriores es identificar

ambas ecuaciones tanto la que representa

costo como la que representa el ingreso,

igualarlas y encontrar Q para el punto de

equilibrio.

Ingreso: 25J

Costo: 0.001J� 3J 2

La función que puede representar la utilidad

y que podemos usar a lo largo de todo el

problema es Ingreso – Costo = 0 (punto de

equilibrio)

25J � �0.001J� 3J 2 & * 0

Y al igual que en el ejemplo anterior se iguala

a cero y se encuentra el valor Q que acepte

ésta igualdad. Borramos la línea de entrada

en HOME con tecla CLEAR y nuevamente

usamos la función “solve(“ del menú F2 de

Algebra:

Se copia a la línea de entrada y tecleamos tal

cual la ecuación:

Recuerda que debe haber paréntesis entre la

expresión completa de costo ya que el signo

menos anterior afecta a toda esta expresión

de gasto, se iguala a cero y al final “,” y “q”

que es la variable a buscar, damos ENTER y

vemos:



Y vemos que hay 2 puntos de equilibrio

matemáticamente hablando, sin embargo

claro está que tú debes tomar siempre los

datos que se asemejen a la realidad como en

éste ejemplo, la cantidad de Q de 0.0909 es

irreal ya que estaríamos diciendo que el

punto de equilibrio se encuentra

produciendo ni una caja, el punto de

equilibrio correcto es produciendo 21,999.9

es decir aproximadamente 22,000 cajas.

Ahora bien esto responde el primer inciso, el

segundo inciso se puede responder aquí

mismo. Borramos la línea de entrada con

tecla CLEAR y del menú F3 Calc damos ENTER

en la función “fmax(“:

Se copia igualmente a la línea de entrada y

ahora hacemos lo mismo, tecleamos la

misma función de Q con la diferencia que

con ésta función “fmax” no tenemos que

poner una igualdad, simplemente

terminamos con “,” y la variable de la

función que es “q”:

Completamos con el paréntesis de cierre y

damos ENTER:

Y encontramos la maximización de la utilidad

que se encuentra produciendo 11,000 cajas.

Si tienes problemas al teclear las expresiones

por favor consulta el manual de

“Introducción de datos y expresiones

correctamente” ó también su versión en

video.

Ahora bien para encontrar cual es esa

utilidad máxima borramos primero la línea

de entrada con tecla CLEAR, volvemos a

teclear la función de Q y al terminar

llamamos al operador “with” que sale con

“2nd”+ letra K del teclado extendido:

Verás una pequeña barrita al final de la línea,

luego tecleamos simplemente damos arriba

con el cursor sombreando el resultado antes

obtenido y damos ENTER para que se copie

inmediatamente y ENTER nuevamente para

ver el resultado:

La utilidad es de aproximadamente $121,000

pesos. El operador “with” es un

condicionante, después de llamarlo se puede

usar para sustituir como en éste caso ó para



buscar rangos de respuesta usando < ó > en

funciones como “solve(“ u otras. Tú puedes

ver gráficamente todo esto de forma gráfica

en el graficador de funciones de la Texas,

damos DIAMANTE + letra W del teclado

extendido. Damos ENTER sobre y1 y

tecleamos la función de ingreso 25X y damos

ENTER:

Damos ENTER sobre y2 y tecleamos la

función de costo y damos ENTER:

Si lo hiciste correctamente debe aparecer

una palomita marcando ambas funciones,

puedes marcar y desmarcar la que ya no

ocupes posicionándote sobre ella y dando

F4. Ahora vamos a configurar la ventana de

gráfica para ver las funciones lo mejor

posible, damos DIAMANTE + letra E del

teclado extendido:

Éstos son los parámetros de la ventana de

graficación en los ejes X e Y positivos y

negativos, como los resultados que

deseamos ver son positivos solo veremos el

cuadrante I, por lo tanto tecleamos en

“xmin” y “ymin” con cero y en “xmax” con

30000 (considerando el punto de equilibrio

en 22000) y en “ymax” con 700,000

(considerando la utilidad máxima calculada

de 121000):

Y ahora para ver la gráfica damos DIAMANTE

+ letra R del teclado extendido:

Puedes aquí ver la recta que representa el

ingreso y la curva que es el costo, el punto

donde la distancia entre la recta y la curva

sea más largo será la utilidad máxima. Tú

puedes moverte a través de la gráfica dando

en F3 Trace y luego simplemente tecleando

un valor seguido de un ENTER:

También puedes encontrar la intersección

entre las 2 curvas con F5 Math y en la quinta

opción “Intersection”:

Da 2 veces ENTER y luego da un ENTER antes

del punto de intersección y luego un ENTER

después del punto de intersección:



Y vemos la intersección que coincide con lo

calculado en HOME con unas unidades de

22,000 cajas aproximadamente y una

igualdad en dinero de $550,000

aproximadamente, recuerda que X

representa la cantidad de unidades y Y es

dinero.

Para regresar a HOME da DIAMANTE + letra

Q del teclado extendido.


Análisis del punto de equilibrio entre alternativas Página 60

Análisis del punto de equilibrio entre

alternativas

En ésta parte del tema se hace “casi” lo

mismo pero ahora en general se pedirá

igualar alternativas para visualizar las

características económicas necesarias de una

ú otra opción para justificar la compra de

una máquina sobre otra así como la

producción necesaria.

Ejemplo.

Se pueden utilizar 2 bombas para bombear

líquido corrosivo. Una bomba con motor de

bronce cuesta $800 y se espera que dure 3

años. Una bomba con motor de acero

inoxidable cuesta $1,900 y tiene una

duración de 5 años. Se requerirá un costo de

reconstrucción para el motor de bronce de

$300 después de 2000 hrs de operación,

mientras que el motor de acero inoxidable

requerirá una reparación mayor a un costo

de $700 después de 8000 hrs de operación.

Si el costo de operación de cada bomba es

de $1 por hora, ¿cuántas horas por año se

requerirán para justificar la compra de la

bomba más cara? Aplique una tasa de

interés de 10% anual.

De nueva cuenta la razón de la solución es

una igualación simple, debemos construir la

ecuación de costo respectiva de cada

máquina. Sacamos PMT para cada máquina

con sus respectivos tiempos de vida. Se

puede hacer esto fácilmente en Finance,

damos en tecla APPS y damos ENTER en

Finance:

Tecleamos la información de la primera

máquina y damos F2 sobre PMT:

Anotamos el valor y procedemos a cambiar

la información para la segunda máquina y a a

pedir una solución para PMT:

Anotamos el valor para la segunda máquina.

Regresamos a HOME con DIAMANTE + letra

Q del teclado extendido. Ahora debemos

construir la igualación de costos para ambas

máquinas, acabamos de calcular los costos

fijos de ambas ajustada en años, la incógnita

que nos preguntan son horas ó X horas. Debe

sacarse un factor simple de $/hr para ambas

máquinas con sus respectivas horas de

operación y su costo de reparación:

C%!%� �� Q�% 4� *$300

2000S�1* 0.15

$S�

C%!%� �� T4��% *$700

8000S�1* 0.0875

$S�

Con el puro factor de $ sobre hora podemos

ver que el costo por hora de mantenimiento

del motor de acero es mucho más barato

que el de bronce. Recuerda que la empresa

quiere comprar lo mejor es decir el motor de

acero, pero quiere ver cuantas horas de

operación al año son necesarias para

justificar su compra aunque sea más cara, ya

que de operarla menos horas resultaría en

una pérdida de dinero y hubiera sido mejor

comprar la de bronce, por último se agrega


Análisis del punto de equilibrio entre alternativas Página 61

de ambos lados el costo de operación de

cada bomba $1x y se construye la

igualación:

321.69 0.15� � * 501.21 0.0875� �

Matemáticamente hablando podemos

eliminar el factor de costo de operación de

las bombas ya que son iguales en ambas y se

eliminan a la hora de hacer el despeje.

Se despeja X y se encuentra el número de

horas necesarias. Ésta ecuación tan simple se

puede hacer a mano, pero si quieres puedes

usar “solve(“ como en los ejemplos

anteriores:

El resultado son 2872.32 hrs de trabajo del

motor para justificar la compra de uno de

acero inoxidable.

En sí casi todos los problemas de éste tema

son del estilo con ligeras variaciones en lo

que se pide, por ejemplo:

Ejemplo.

La máquina A tiene un costo fijo de $40,000

anuales y un costo variable de $60 por

unidad. De la máquina B se desconoce su

costo fijo, pero con este proceso se pueden

producir 200 unidades mensuales a un costo

total variable de $2,000. Si los costos totales

de las 2 máquinas alcanzan el punto de

equilibrio a una razón de producción de

2000 unidades anuales, ¿Cuál es el costo fijo

de la máquina B?

En éste caso ya nos dan las unidades X del

punto de equilibrio y nos piden hallar el

costo fijo, nuevamente se construye la

ecuación de un lado y de otro, de la máquina

A nos dan todo:

$40,000 $60U

· 2000 U

FG FH J

Y de la segunda máquina tenemos:

G $2000 200 U

· 2000 U

Se saca el factor de igual manera del costo

por unidad, se igualan ambas y se despeja F:

El costo Fijo de B es de $140,000.

En realidad son bastante simples los

problemas de punto de equilibrio, solo hay

que prestar atención a lo que se pide y

cuadrarse siempre a los mismo tiempos que

maneje el problema. En el siguiente tema se

verá una forma extra de resolver problemas

similares son el solver de Excel pero de

forma un poco más simple en Business Suite.


Aplicación de Business Suite en lugar de solver de Excel Página 62

Aplicación de Business Suite en lugar de

solver de Excel

Al final de éste tema te dejarán en la mayoría

de los problemas solucionar con Excel

algunos problemas que pueden parecer

complicados de hacer a mano. En Business

Suite con las ecuaciones que resultan de los

cálculos se puede hacer despejes y encontrar

los mismos resultados si no tienes una laptop

ó PC cerca para resolverlos.

Ejemplo.

Cheryl es una ingeniera de proyectos en la

división ANCO de Federal Mogul. Ella busca

un reemplazo para una antigua máquina de

prueba para plumas de parabrisas que

saldrán a la venta. Uno de sus técnicos

localizó dos máquinas equivalentes que

esencialmente poseen las mismas

estimaciones, salvo en lo referente a la vida

esperada.

Máquina 1 Máquina 2

Costo Inicial -$9,000 -$9,000

FEN/año $3,000 $3,000

Valor de S. 200 300

Vida 4 6

Cheryl sabe que la máquina 2 es la mejor

opción debido a que su vida es la más larga.

Sin embargo, considera que las

características de la alternativa 1 son mucho

mejores. Ella decide llevar a cabo un análisis

de punto de equilibrio para determinar las

modificaciones necesarias en los valores

calculados con el propósito de que resulte

indiferente desde un punto de vista

económico la elección de cualquiera de las

máquinas. La TMAR es de 10% en la división

ANCO. Determinar los valores del punto de

equilibrio para:

a) El costo inicial de la máquina1 y

b) el flujo de efectivo neto para la maquina

1.

Éste tipo de problemas puede resolverse de

varias maneras, el que explican en el libro de

Tarquin sacan el MCM (mínimo común

múltiplo) para la vida de ambas máquinas y

evaluarlos en 2 y 3 ciclos respectivamente,

con Business Suite esto no es necesario.

Como puedes observar en el problema lo

que se pide básicamente son 2 formas ó

condiciones en las que la máquina 1 pueda

ser igual a la máquina 2 económicamente

hablando, en un primer escenario haciendo

que el costo inicial de la máquina 1 baje a un

valor desconocido X y en otro segundo

escenario haciendo que los flujos efectivos

netos durante la vida de la máquina 1

aumenten para que ambos sean iguales.

Como la máquina 2 es el punto de

comparación vamos a encontrar primero el

VA de la máquina 2.

Antes de iniciar es bueno borrar las variables

que pudieran haber sido asignadas de

ejercicios anteriores, estando en HOME da

en F6 Clean Up y da ENTER 2 veces:

Parecerá que no hizo nada, pero en realidad

borró el contenido de cualquier variable de

la A a la Z que pudiera haber contenido

información guardada.



Estando en HOME tecleamos en la línea de

entrada “bstest92()” y damos ENTER para

iniciar el programa:

Damos en F5 Sheets y damos ENTER en la

primera opción Cash Flow:

E introducimos el Cash Flow Inicial de la

máquina 2 que es la inversión de -9000,

recuerda que el signo menos es el de tecla

negra:


flujos con F1 Add:

Agregamos normalmente los primeros 5

años con frecuencia igual a 5, el año sexto

será de 3000 más los 300 de rescate, lo

agregamos con F1 Add:

Frecuencia con 1 porque solo ocurre ese

último año, ahora calculamos PMT con F6

Calc y damos ENTER en la cuarta opción:

Tecleamos el interés 10 y damos ENTER para

ver el valor PMT:

Y anotamos éste valor. Damos en F7 Exit y

luego nuevamente en F5 y ENTER en primera

opción Cash Flow, vamos a calcular el flujo

para el primer escenario (inciso a)), en Initial

Cash Flow vamos a teclear “X”:

Se teclea X porque ésta es la incógnita que se

desea encontrar del problema, el Initial Cash

Flow representa el Costo Inicial de la

máquina, la inversión. Damos ENTER para

continuar, y agregamos los flujos de efectivo

normalmente de la máquina 1 con F1 Add,

en el año cuarto será de 3200 por el valor de

rescate:



Y ahora calculamos el valor presente neto

con F6 Calc y primera opción:

Ingresamos el porcentaje y damos ENTER:

Ésta ecuación representa el Valor Presente

Neto del flujo completo considerando una

incógnita X en el inicio del flujo, debemos

anotar ésta ecuación. Damos F7 Exit para

salir y nuevamente F5 Sheets y damos ENTER

en la primera opción Cash Flow, ya que

estamos aquí también sacaremos de una vez

las ecuaciones para el segundo escenario, el

Initial Cash Flow es -9000:

Y agregamos flujos con F1 Add, para el

segundo escenario lo que se desea es

encontrar un flujo X para los años de vida de

la máquina 1, por lo tanto agregamos un

flujo X durante los primeros 3 años:

Y agregamos el último flujo con F1 Add, el

último flujo del año cuatro será la misma

incógnita X más los 200 de salvamento en

ese año:

Y ahora calculamos el Valor Presente Neto

con éstos flujos, damos en F6 Calc y damos

ENTER en la primera opción:

Asignamos el interés y damos ENTER:

Y anotamos ésta ecuación que representa el

VPN de éste flujo, damos en F6 Calc y

calculamos también el PMT ó A para éste

flujo:



Y anotamos también ésta ecuación de PMT

que representa el pago cada año para el flujo

del segundo escenario. Damos en F7 Exit y

luego en F6 y segunda opción “I’m done”

para salir del programa por completo:

Resumiendo se encuentran 2 ecuaciones

para cada escenario ó inciso del problema:

a) VP = X+9646.20, X es el Costo Inicial de la máquina 1

b) VP = 3.17X-8863.40, X es el Flujo Efectivo Neto de la máquina 1 PMT = X-2796.14, X es el Flujo Efectivo Neto de la máquina 1

Ahora lo que debemos hacer es usar una

ecuación extra para resolver éste problema.

Primero entramos al Numeric Solver,

presiona tecla APPS y entra al programa:

Ya en el programa teclea F1 y primera opción

Open:

Luego da a la derecha con el cursor sobre el

apartado de folder y selecciona el folder

EKO2 y da ENTER:

Ahora desplázate abajo con el cursor y da a

la derecha nuevamente para que veas las

opciones que tienes:

Pensando en este tipo de problemas hice

una serie de ecuaciones que simbolizan las 6

combinaciones posibles de problemas de

éste tipo que verás en ésta materia ajustado

a las ecuaciones que resultan con Business

Suite, los nombres de los archivos dicen

primero la variable objetivo y luego la

variable que tienes, por ejemplo el primer

archivo es “ADADOF” lo que significa que

buscas A y que tienes la ecuación F para

resolver, debes entender claro está que A es

PMT, P es NPV, y F es NFV, dependiendo de

la ecuación que tengas. En éste primer

escenario del inciso a) tenemos la ecuación

de P (NPV) y tenemos A para resolver (de la

máquina 2). Damos ENTER en la opción

“ADADOP”:

Y nos sale:



Damos una vez abajo con el cursor y

simplemente llenamos la información que

tenemos:

Recuerda que la expresión “k*x+y” es la

ecuación encontrada con Business Suite, por

lo tanto queda así:

1 � 9646.20V W � <

La variable “a” son los 972.42 que queremos

que sea igual en todos los años con respecto

a la máquina 2, la ecuación “k*x+y” es la

ecuación de NPV. También es importante

mencionar que el interés debe estar

expresado en decimales. Ahora solo nos

posicionamos sobre X y damos F2 Solve:

Y vemos el resultado de X que significa que

para que sean iguales los valores presente las

máquinas 1 y 2, X debe valer -$6563.75 y X

en éste escenario es el Costo Inicial de la

máquina 1, y éste es el resultado.

NOTA IMPORTANTE. Siempre que tengas

problemas con vidas diferentes en los activos

(ó vidas iguales) lo mejor es comparar con

PMT que su equivalente es “ADADOP” ó

“ADADOF”, ya que si lo comparas con P ó F

“PDADOA” ó “FDADOA” deberás ajustar

primero al VP y/o el VF correspondiente al

número de ciclos de vida de cada máquina

con su respectiva cantidad, esto ya debes

saber como hacerlo si pasaste Ingeniería

Económica 1, puedes consultar nuevamente

éste manual si lo has olvidado. También es

importante mencionar que es posible que

encuentres ligeras variaciones en los

resultados si lo comparas con F ó P, de más

menos 2%, es poca variación, pero

considerable si se tratase de grandes

cantidades, es por esto que lo mas

recomendable es siempre compararlo con A

(PMT).

Ahora bien para el segundo escenario

ocupamos esta misma ecuación, para limpiar

nuevamente la pantalla de las variables

damos en F6 Clear a-z y damos ENTER:

Damos abajo con el cursor y llenamos

nuevamente la información del segundo

escenario:



Nos posicionamos sobre X y damos F2 Solve:

Es importante que recuerdes que el signo

negativo de la variable “y” debe ir con el

signo menos de tecla negra.

Y vemos el resultado X que es $3768.40. Este

resultado expresa de igual forma que para

que el VP de ambas máquinas sean iguales el

Flujo Efectivo Neto de la máquina 1 debe ser

de $3768.40 en sus 4 años de vida (+$200 de

rescate en el año último) y éste es el

resultado.

Para finalizar se puede crear una tabla para

observar como sería esta comparación para

que fueran iguales ambas máquinas desde

un punto de vista económico:

Escenario 1:

Año Máquina 1 Máquina 2

0 -$6,563.75 -$9,000

1 $3,000 $3,000

2 $3,000 $3,000

3 $3,000 $3,000

4 $3,200 $3,000

5 - $3,000

6 - $3,300 VPN $6,626 $6,626

Y para el escenario 2:

Año Máquina 1 Máquina 2

0 -$9,000 -$9,000

1 $3768.40 $3,000

2 $3768.40 $3,000

3 $3768.40 $3,000

4 $3968.40 $3,000

5 - $3,000 6 - $3,300

VPN $6,626 $6,626

Esto significa que para que se pueda comprar

ó preferir comprar la Máquina 1 hay 2

soluciones: 1) Comprando la máquina a

menor precio (de $9000 a $6,563.75) ó 2)

Haciendo que la Máquina 1 nos genere un

mayor flujo de efectivo a lo largo de su vida

(de $3,000 a $3,768.40).

Para calcular el VPN de las máquinas desde

este punto de vista, debe ajustarse a 12 años

a su mínimo común múltiplo debido a sus

períodos de vida distintas.

Como los VA son iguales ahora para ambas

máquinas ($972.42) puede calcularse con

éste factor:

Y será lo mismo para ambas máquinas desde

este punto de vista económico.

Ésta es otra forma de resolver tus ejercicios

si no tienes una laptop cerca. Te recomiendo

que resuelvas los ejercicios que te dejan para

ésta materia para que adquieras habilidad a

la hora de resolverlos.


Cálculo de Factores ajustados por la Inflación Página 68

Efectos de la Inflación

Éste tema es en particular bastante simple,

ya que la mayoría de los problemas pueden

resolverse en Finance, ya que se hace

referencia en la mayoría de los problemas a

la antigua formula del interés compuesto con

un pequeño ajuste en la tasa de interés

debido a la inflación, en ésta parte solo se

agregan un par de funciones en Numeric

Solver en el folder EKO2 que te ayudarán a

encontrar estas tasas de interés ya sea

inflada, de valor de poder de compra e

inflación e interés real, dependiendo de los

problemas que tengas.

Cálculo de Factores ajustados por la

Inflación

Vamos a mostrar primero las funciones que

se agregaron para éste tema y el nombre del

archivo al que hace referencia. Da en tecla

APPS y entra al programa Numeric Solver:

Ya en el programa teclea F1 y primera opción

Open:

Luego da a la derecha con el cursor sobre el

apartado de folder y selecciona el folder

EKO2 y da ENTER:

Ahora desplázate abajo con el cursor y da a

la derecha nuevamente para que veas las

opciones que tienes:

Las funciones que se agregaron para este

tema son “INFLA” y “VCPC”:

Los cuales hacen referencia a las siguientes

ecuaciones respectivamente:

Nombre Ecuación

INFLA $��52 *

$# � $ 91 $ 9

VCPC 9 * � ·

�1 $&�

�1 V&�

Leyenda:

ireal = Tasa de Interés real

inf = Tasa de inflación

im = Tasa de interés del mercado (en

ocasiones nombrada como tasa de interés

inflada)

f = Valor Futuro

p = Valor Presente

i = Tasa de interés actual ó de mercado

k = Tasa interés de inflación



Vamos a resolver solo algunos ejercicios ya

que éste tema es bastante simple y si has

seguido correctamente los temas anteriores

no tendrás dificultad en este tema.

Ejemplo.

¿Qué tasa de inflación anual corresponde a

una tasa de interés de mercado de 13%

anual, cuando la tasa de interés real es de

5% anual?

Entramos en la función “infla” y damos hacia

abajo con el cursor para introducir la

información:

Como puedes observar aquí las tasas las

puedes introducir en enteros sin problema,

nos posicionamos sobre “inf” y damos F2

Solve:

Y vemos el resultado de 7.61% de tasa de

interés de inflación anual.

Como puedes observar la tasa de interés real

se reduce cuando la inflación es muy grande,

si la tasa de inflación es mas grande que la

tasa de mercado verás una tasa de interés

real negativa lo cual resultaría en perdida en

lugar de ganancia, es por esto que es

importante este tema ya que los factores

económicos externos afectan el poder

adquisitivo del dinero a través del tiempo.

Ejemplo.

Su padre compartió con usted que él tenía

un total de $100,000 en su fondo de retiro

hace 20 años. La tasa de inflación ha

promediado 4% anual durante los años

intermedios.

a) ¿Cuál es la cantidad de incremento

requerida en el total de la cuenta con la

finalidad de tener el mismo poder de

compra que hace 20 años?

b) Si el rendimiento promedio de la

inversión ha sido la tasa de mercado de 10%

anual, ¿Cuál es la cantidad total de la

cuenta ahora? ¿Cuál ha sido el aumento en

la cantidad de dólares durante el lapso de

20 años?

c) Si una inversión segura ha promediado

una tasa real de 3.5% anual, ¿Cuánto ha

ganado sobre esta tasa la cuenta de retiro,

en términos de una tasa real?

El inciso a) se resuelve fácilmente en

Finance, la tasa de interés se toma como la

inflación, ya que solo se pregunta el poder de

compra, el dinero sigue estando en la cuenta

con un incremento de 10% anual, pero el

poder de compra baja con respecto al

tiempo, al solucionar con F2 Compute el FV

vemos:

Esos $219,112.314 nos dicen y representan

que para tener el mismo poder de compra

con $100,000 hace 20 años ahora se

requerirían $219,112.314, es decir ése dinero

guardado “perdió” parte de su poder de



compra durante 20 años debido a la

inflación, en éste inciso no se analiza el

interés a favor del dinero que generó el

banco o institución financiera en la que

estaba guardado, sino simplemente el poder

de compra que le afectó.

Para el inciso b) de igual forma piden calcular

la cantidad de dinero a favor que se generó a

lo largo de los 20 años, se puede hacer aquí

mismo en Finance, sólo cambiamos la

información:

Se cambia solo el interés a 10% y vemos el

dinero en la cuenta actual, ésta cantidad de

$672,749.99 es la cantidad de dinero actual

en la cuenta, sin embargo ha perdido parte

de su poder de compra que tenía hace 20

años. Siempre y cuando la tasa de interés a

favor sea mayor que la tasa de inflación la

inversión generará utilidades.

En el inciso c) nos preguntan la comparación

entre una tasa de interés real de otra

inversión aparte de 3.5% con el interés a

favor generado por la inversión de éste

problema. Debemos sacar la tasa de interés

real, con 10% a favor menos el 4% de

inflación, para esto entramos a Numeric

Solver y entramos a la función “infla”:

Damos una vez abajo con el cursor y

llenamos la información, nos posicionamos

sobre “ireal” y damos F2 Solve:

Y ésta es la tasa de interés real de la cuenta

tomando en cuenta la pérdida de poder de

compra generado por la inflación.

Para sacar la diferencia entre cada tasa se

hace una simple resta:

5.77% � 3.5% * 2.27%

La inversión del padre tiene una ventaja de

2.27% sobre la “inversión segura”.

Ejemplo.

Convierta $100,000 dólares actuales en

dólares de valor constante en el año 10,

cuando la tasa de deflación sea de 2% anual

Aquí el único truco es que la tasa debe ser

negativa ya que representa una ganancia

(deflación, mayor poder de compra):



Ejemplo.

¿Cuál sería el poder de compra, en términos

de dólares de hoy, de una inversión de

$25,000 que gana una tasa de interés de

mercado de 10% anual durante 4 años,

cuando la tasa de inflación es de 6% anual?

Entramos a Numeric Solver, damos F1 Open,

folder EKO2 y entramos a VCPC:

Bajamos con el cursor e introducimos la

información, y pulsamos F2 sobre F:

El poder de compra a pesar de la tasa de

ganancia positiva, se ve mermada un poco

por la tasa de inflación, el poder de compra

es de $28,992.608. Ahora para conocer el

valor futuro del dinero simplemente

tecleamos 0 en “k” que es el porcentaje de

inflación y volvemos a encontrar F:

Y vemos el resultado, el dinero en la

inversión al final de cuatro años es de

$36,602.5, pero el poder de compra real de

éste dinero equivale a $28,992.608.


Método de Línea Recta Página 72

Depreciaciones

El tema de depreciaciones es algo variado,

algunos profesores imparten éste tema en la

materia de Ingeniería Económica 1 y algunos

lo dan hasta Ingeniería Económica 2, de

cualquier manera aquí se explicará los 4

métodos y como funcionan en la Texas, así

como sus peculiaridades para cada tema.

Todos estos temas se verán en Business

Suite. En la mayoría de los problemas de

depreciación te darán un costo inicial, un

valor de salvamento, un periodo (en años

generalmente) de vida útil y en ocasiones un

porcentaje de depreciación, y lo que debes

hacer es encontrar la cantidad depreciada

por cada año y el valor final (valor en libros)

de cada año y hace una tabla completa. Con

Business Suite puedes hacer todo esto

fácilmente.

Método de Línea Recta

Éste es el método más sencillo ya que todos

los años se deprecia la misma cantidad.

Ejemplo.

Si un activo tiene un costo de $50,000 con

un valor de salvamento de$10,000 y una

vida útil de 5 años, calcular la cantidad

depreciada por año y el valor final en libros

cada año.

Iniciamos Business Suite como ya sabemos y

seleccionamos el menú F3 “Depr”

(Depreciaciones) y seleccionamos la primera

opción “Straight Line” (Línea recta):

Y podemos ver que lo único que se necesita

es teclear la información necesaria. “Cost $”

es el costo del activo, “Salvage Value” es el

valor de salvamento, y por último “Life” es el

número de años o de vida útil del activo,

tecleamos ésta información:

Es importante mencionar que en ésta parte

de Business Suite no es necesario teclear el

cambio de signo que representa inversión (-)

y el valor de salvamento (+), aquí todos los

valores deben ser positivos. Damos ENTER

para continuar y vemos:

La Texas hace la pregunta de cómo se va a

guardar la tabla , es decir, automáticamente

hará la tabla final y la guardará como una

matriz con el nombre que tú le pongas,

puede ser cualquier combinación de letras

que no pase de 8 caracteres, ponemos

“tabla”:

Ahora bien antes de continuar en la parte

superior está la explicación de la tabla

misma, la primera columna es el año (Year),


Método de Línea Recta Página 73

la segunda columna es la cantidad

depreciada por año (Depr),la tercer columna

es la suma acumulada por año “ΣDepr” y la

última columna es el valor en libros al final

de cada año (Book). Damos ENTER y vemos

la tabla:

Con esto puedes comprobar los resultados

de tus tareas o exámenes. Damos ENTER

para regresar al menú general de Business

Suite.


Método de Suma de Dígitos de los Años Página 74

Método de Suma de Dígitos de los Años

A diferencia del método anterior éste

deprecia cada año cantidades diferentes.

Ejemplo.

Una casa que cuesta $320,000 se espera que

tenga una vida útil de 30 años y un valor de

salvamento del 25%, calcular el valor de la

depreciación para los años 4, 9, 18 y 26 con

el método de suma de los dígitos de los

años.

Nuevamente damos en el menú F3 “Depr” de

depreciaciones seleccionamos la segunda

opción “Sum Yrs. Digits” (Suma de dígitos de

los años) y damos ENTER:

Y al igual que en el método anterior se debe

llenar la información necesaria. “Cost $” es el

costo del activo, “Salvage Value” es el valor

de salvamento (se puede teclear en la

ventana la multiplicación del activo por el

porcentaje salvado sin necesidad de hacer

antes la multiplicación), y por último “Life” es

el número de años o de vida útil del activo,

tecleamos ésta información:







“tabla”:





depreciada por año (Depr), la tercer columna



de cada año (Book). Damos ENTER y después

de unos momentos vemos la tabla:

Puedes desplazarte y ver toda la tabla

moviéndote con el cursor de arriba abajo:

Y vemos las primeras 2 respuestas, en al año

4 la depreciación fue de $13,935.48 y el valor

en libros de $261,161.29; en el año 9 la

depreciación fue de $11,354.84 y el valor en

libros de $199,225.81. Seguimos bajando y

encontramos las demás respuestas:


Método de Suma de Dígitos de los Años Página 75

En el año 18 la depreciación fue de

$6,709.68 y el valor en libros al final de ese

año fue de $120,258.06 y por último en el

año 26 la depreciación fue de $2580.65 y el

valor en libros al final de ese año fue de

$85,161.29. Como puedes ver esta es una

forma fácil y muy segura de comprobar tus

respuestas. Damos ENTER para regresar al

menú general de Business Suite.

Es IMPORTANTE hacer una aclaración,

debido a que Business Suite ajusta todas las

cantidades que maneja a 2 decimales (pero

toma todos los decimales para multiplicar) es

probable que notes una ligera diferencia

entre los resultados que hagas a mano y los

que muestran la Texas, esta diferencia

debería ser poco importante, sin embargo

hay profesores que lo toman muy en serio,

por ejemplo si tu manejas las cifras a 4

decimales puede haber una diferencia de

mas menos 1 dólar. Por ejemplo una

cantidad ajustada a 4 decimales contra una

cantidad tomando infinitos decimales:

Puedes ver que hay una ligera diferencia, la

Texas toma todos los decimales en Business

Suite y por lo tanto es más exacta.

También es importante mencionar que

debes tener buen espacio en tu calculadora

sobre todo con problemas a calcular con

muchos años ya que en ocasiones puede

llegar a haber errores de memoria

“Memory”, asegúrate de borrar programas o

información no necesaria de la calculadora.


Método SD &SDD también llamado de Porcentaje Fijo Página 76

Método de Saldo Decreciente (SD) y Saldo

Doblemente Decreciente (SDD), también

llamado Método de Porcentaje Fijo.

Éste método considera la depreciación con

un porcentaje fijo de depreciación por año y

a veces hay un valor de salvamento y a veces

el valor de salvamento es cero.

Ejemplo.

Un activo tiene un costo inicial de $25,000 y

un Valor de Salvamento de $4,000 después

de 12 años. Calcula su depreciación y valor

en libros usando SDD para:

a) Año 1

b) Año 4

c) El valor implícito de salvamento después

de 12 años utilizando saldo doblemente

decreciente.

Éste método se encuentra de igual manera

en el menú F3 “Depr” y tercera opción “Decl

Balance”:

De igual forma se solicita la información

necesaria; “Cost $” es el costo del activo,

“Life” es el número de años o de vida útil del

activo, y “Declining Rate” es el porcentaje de

depreciación por año que se desea calcular

expresado en porcentaje.

NOTA IMPORTANTE. Específicamente para el

método de saldo doblemente decreciente

(SDD) el porcentaje SIEMPRE será de 200, es

decir en realidad no “importa” el valor de

salvamento que haya en el problema cuando

se trate de SDD. Llenamos la información:

Damos ENTER para continuar.







“tabla”:





depreciada por año (Depr), la tercer columna



de cada año (Book). Damos ENTER y después

de unos momentos vemos la tabla:



Puedes desplazarte con el cursor hacia abajo

y contestar fácilmente los primeros 2 incisos.

Para el inciso a) el valor de depreciado en el

año uno es de $4,166.67 y el valor en libros

de $20,833.33, para al inciso b) el valor

depreciado es de $2,411.27 y el valor en

libros de $12,056.33. Sólo debes entender

del problema que dado que el valor de

salvamento último es de $4,000, no importa

que el valor en libros al final del año 12 sea

menor de $4,000, éste valor será el límite

aunque el valor en libros sea menor.

Ahora bien el inciso c) hace simplemente la

pregunta de a que valor llega en libros en el

último año sin tomar en cuenta el valor de

salvamento, debemos desplazarnos hasta la

última fila:

El único “inconveniente” de éste programa

es que SIEMPRE ajustará toda la

depreciación a cero en el último año, para

calcular el último valor en libros

simplemente tomamos el valor en libros del

año 11 ($3,364.70) y lo multiplicamos por (1-

.1667).Que nos da $2,803.88, y este es el

valor implícito de salvamento.

Hay que hacer un par de consideraciones

más cuando se trata de un Saldo Decreciente

simple (SD) y se explicará con un par de

ejemplos.

Ejemplo:

Se adquiere un equipo troquelado con valor

de $28,750 y se calcula que su tasa de

depreciación es de 30%. Su esperanza de

vida es de 7 años.

a) Elabórese una tabla de depreciación de

los primeros 4 años

b) Encuéntrese el valor en libros al final del

quinto año.

c) Determínese el cargo de depreciación del

sexto año

d) Determínese el valor teórico de

deshecho.

Bien, lo más importante al resolver este tipo

de ejercicios es IDENTIFICAR que tipo de

problema de depreciación se trata, a

diferencia del ejemplo anterior aquí se da

una tasa inicial de depreciación y no nos dan

valor de salvamento. En Business Suite

(específicamente en la opción de “Decl.

Balance”) no es posible introducir la tasa que

nos da éste problema tal cual para encontrar

la tabla final, es necesario hacer una

conversión simple que se da por la siguiente

fórmula:

� *�

· 100

Donde “d” es la tasa que nos da el problema,

expresada en decimales.

“x” es la tasa equivalente a encontrar.

“n” es el número de períodos.

Seleccionamos entonces

la tercera opción del

menú F3 “Depr”:



E introducimos la información tal cual como

en el ejercicio anterior, y en la tasa

“Declining rate” podemos introducir el

despeje indicando la multiplicación y la Texas

automáticamente hará la operación, es

importante recordar que la tasa debe estar

en decimales (ó si lo quieres ver de otro

modo puedes dejarlo expresado en

porcentaje y omitir la multiplicación por

100):

Damos ENTER para continuar y ver la tabla:

Y viendo la tabla se puede contestar

fácilmente los primeros 3 incisos del

problema. Para el último inciso recuerda que

la Texas ajusta la depreciación a cero al

termino del último año, éste es el único dato

que tienes que omitir, para encontrar el

valor en libros en el último año debes tomar

el valor en libros del año 6 ($3,382.41) y

multiplicarlo por (1-0.3), lo cual nos da

$2,367.69 que es el valor teórico de

deshecho.

Por último la última consideración final tiene

que ver con problemas donde si dan valor de

salvamento ó dan valor de salvamento igual

a cero.

Ejemplo.

Una compañía compra una camioneta para

el reparto de su mercancía en $75,000.

Calcula que su vida útil será de 5 años y que

al final de ella su valor de deshecho será de

$10,000.

a) Elabórese la tabla de depreciación

correspondiente por año.

b) Elabórese otra tabla de depreciación por

año suponiendo un valor de deshecho de

cero.

En el inciso a) para encontrar la tasa de

depreciación debe usarse una fórmula

parecida al de interés compuesto; pensando

en éste tipo de ejercicios elaboré una

ecuación con la que puedes introducir los

datos y encontrar la tasa equivalente que

debes usar en Business Suite para hallar la

tabla completa de un solo golpe, para ir a ella

sal de Business Suite con F6 y segunda

opción “Im Done” y dirígete al menú de

programas principales con tecla APPS y

posiciónate sobre Numeric Solver y da ENTER

para entrar:

Ya dentro del programa teclea F1 y opción 1

Open:



Ya en ésta pantalla damos a la derecha con el

cursor para cambiarnos al folder “EKO” en

éste folder guardé la ecuación en todas las

calculadoras, da ENTER para seleccionarlo:

Ahora baja con el cursor sobre la opción de

“Variable” y da a la derecha con el cursor

para encontrar el nombre de la ecuación que

es “tequiv”, y da ENTER para seleccionarlo:

Y ENTER nuevamente para continuar.

Da una vez hacia abajo con el cursor para

que se desplieguen las variables a introducir:

S, Es el valor de Salvamento.

C, Es el costo del activo

N, Es el número de períodos.

D, Es la tasa equivalente para Business Suite.

Introducimos la información del problema y

nos posicionamos sobre la variable a

encontrar que es D pulsamos F2:

Ésta es la tasa que debe usarse para Business

Suite, para copiarlo así sombreado como

esta solo da la combinación DIAMANTE +

letra C del teclado extendido. Regresamos a

HOME con DIAMANTE + letra Q y volvemos a

correr Business Suite.

Seleccionamos como ya sabemos la opción

de “Decl. Balance” y sobre “Declining rate”

tecleamos DIAMANTE + letra V del teclado

extendido para pegar el valor:

Ahora simplemente damos ENTER,

nombramos la tabla como ya sabemos y

vemos los resultados:



Para la segunda tabla considerando un valor

de salvamento cero, debemos volver a la

ecuación de Numeric Solver pero ahora

poner en la variable S el valor de 1, SIEMPRE

que tengas un valor de salvamento cero

debes poner 1 en el valor de salvamento y

encontramos la tasa equivalente para

Business Suite:

Y calculamos la tabla final en Business Suite:

Podemos ver lo importante que es tener un

valor de rescate, ya que se deprecia muy

rápidamente el activo en los primeros años

con éste método. También que cuando

trabajes en Numeric Solver borres de cuando

en cuando las variables que se usan

tecleando F6 y dando ENTER:


Método SMARC (MACRS) Página 81

Método SMARC (MACRS)

El método SMARC generalmente lo enseñan

hasta Ingeniería Económica 2, sin embargo lo

explicaremos aquí ya que se esta viendo el

tema de depreciaciones.

Éste método de depreciación es el Sistema

Modificado Acelerado de Recuperación de

Costos, ó por sus siglas en inglés MACRS

(Modified Acelerated Cost Recovery System)

como ya te deben haber explicado es un

método que va disminuyendo el capital con

un porcentaje dado, para usar éste método

necesitarías una tabla del porcentaje acorde

con el número de años depreciados del

activo, tabla que se puede encontrar en

libros o en internet, en Business Suite ya

viene éste método, pero solo hasta un

período de 10 años de vida, para activos de

mayor duración (con n=15 ó n=20) he creado

un par de hojas de cálculo en Cell Sheet que

es un programa que ya viene dentro de la

Texas donde puedes simplemente introducir

el costo del activo y realizará las

depreciaciones en todos los años.

Mostraremos como es costumbre un par de

ejemplos antes de pasar a número de

mayores de períodos. También es

importante mencionar que con el método

SMARC la mayoría de los períodos standard

son 3, 5, 7, 10, 15 y 20.

Un nuevo activo de propiedad personal de

$30,000 debe depreciarse utilizando SMARC

durante 7 años. Se espera que el valor de

salvamento sea de $2,000, a) Compare los

valores en libros para la depreciación

SMARC y la depreciación clásica LR durante

7 años. b) Represente gráficamente los

valores en libros usando una hoja de

cálculo.

Entramos como ya sabemos a Business Suite

y tecleamos F3 para el menú de

Depreciaciones y última opción MACRS:

Después de unos instantes vemos:

Aquí solo debemos introducir el costo del

activo (en valor absoluto) y seleccionar el

número de años deseado. Recuerda que tal

como en los ejercicios de saldo decreciente

el valor de salvamento no se toma en cuenta.

Bajamos con el cursor damos a la derecha

para ver las opciones de períodos y

seleccionamos el 7 dando ENTER sobre él:

Y damos ENTER para continuar y como en los

métodos anteriores nombramos la tabla

resultante con un nombre que recordemos

para después usarla para graficar:



De nueva cuenta la tabla es exactamente

igual que las anteriores; la primera columna

es el año (Year), la segunda columna es la

cantidad depreciada por año (Depr), la

tercera columna es la suma acumulada por

año “ΣDepr” y la última columna es el valor

en libros al final de cada año (Book). Damos

ENTER para continuar y ver los resultados:

Es MUY IMPORTANTE mencionar que en el

método SMARC siempre se toma el valor de

salvamento como cero, aunque haya un

posible valor de salvamento realizable, por lo

tanto se respeta la tabla tal cual sin hacer

ningún ajuste.

Ahora para compararlo con línea recta lo

hacemos por éste método en Straight Line y

nombramos la tabla con un nombre distinto

para después también ver la gráfica:

Damos ENTER y vemos los resultados:

Ahora bien nos salimos de Business Suite con

F6 y segunda opción “I’m Done” para salir:

Ahora debemos transformar las matrices que

guardamos a base de datos “Data”, para esto

estando aquí en HOME tecleamos “2nd”+

número 5 de la parte numérica y se despliega

el siguiente menú:

Ahora desplegamos el menú de “Matrix”,

posicionándonos sobre él y dando a la

derecha con el cursor y nos desplazamos

hasta la última opción “Mat�Data” y damos

ENTER:

Se copia a la línea de entrada y ahora

simplemente tecleamos el nombre de la

matriz seguido de una coma “,” y a

continuación el nuevo nombre que

queremos que se llame la base de datos,

como “tab1” era el método SMARC,

pondremos “sm” (puedes ponerle el nombre

que quieras con una combinación no mayor

de 8 caracteres):

Y damos ENTER:



Si lo hiciste correctamente debe aparecer

delante de la operación la expresión “Done”.

Y hacemos lo mismo para “tab2” y le

pondremos “lr”, puedes simplemente quitar

la sombra de la línea de entrada dando a la

derecha con el cursor y borrar sólo lo

necesario:

Ahora debemos ir a visualizar las bases de

datos y seleccionar el rango que queremos

que sea X e Y para graficar, para esto damos

en tecla APPS y nos desplazamos hasta el

programa “Data/Matrix Editor”

Damos ENTER en él y seleccionamos la

opción “Open” Abrir:

Y vemos:

Dejamos las primeras 2 opciones tal cual, la

primera opción es para cambiar el tipo de

datos del Data/Matrix Editor, la primera

opción es la adecuada ya que “Data” hace

referencia a base de datos, en la segunda

opción el folder MAIN es el adecuado ya que

aquí es donde se crearon las bases de datos

que se hicieron e n HOME, y por último en

“Variable” damos a la derecha con el cursor y

vemos automáticamente que identifica los

archivos en ese folder con de tipo de base de

datos y están las 2 opciones que hemos

creado:

Seleccionamos primero la de SMARC:

Damos ENTER para continuar y vemos:



Aquí están ya los valores transcritos de la

tabla SMARC que se calculó en Business

Suite, puedes desplazarte con el cursor sobre

las celdas y ver el valor aproximado de cada

calculo, recuerda que la forma como estaba

la tabla queda igual, la primera columna son

los años, la segunda el valor depreciado por

año, la tercera columna la suma acumulada

de depreciación por año y la última columna

el valor en libros. Ahora vamos a crear un

par de listas para las columnas c1 y c4,

damos en F1 y seleccionamos la segunda

opción “Save Copy As”:

Y cambiamos la opción a “List” en la opción

“Type”, lo dejamos en el folder MAIN y le

asignamos un nombre que puedas recordar

como “lx” (haciendo referencia a lista X, del

eje X):

Si te fijas nos pregunta que columna es la

que deseamos guardar como lista, la

columna 1 es la que hace referencia al eje X

la cual ya esta, damos ENTER para continuar.

Y ya ha quedado guardada en la memoria,

hacemos lo mismo para el eje y:

La columna C4 es la que hace referencia al

valor en libros. Generalmente en este tipo de

problemas se pide comparar los años con el

valor en libros resultante de cada año para

comparar los métodos y la cantidad que va

quedando del activo por año. Damos ENTER

para continuar y ahora en F1 y en la primera

opción “Open” para abrir la otra base de

datos de línea recta.

Y cambiamos la última opción de “variable” a

“lr” y damos ENTER para continuar:

Y vemos:

Ahora para configurar la gráfica damos en F2

“Plot Setup”:



Ahora damos en F1 “Define”:

La primera opción que dice “Plot Type”, lo

dejaremos con la opción de “xyline”:

Nos desplazamos hacia abajo y en la opción

“Mark” es el tipo de marca es decir como

quieres que la calculadora marque cada

punto de dato, puedes ver que hay 5

opciones, 1: Box (que lo marque cada punto

con una caja), 2: Cross (con una cruz), 3: Plus

(con un signo mas +), 4: Square (con un

cuadro), 5: Dot (con un punto). Por sencillez

dejaremos la primera opción. En “x” e “y”

debemos indicarle las columnas de puntos xy

que deseamos que se grafiquen, los datos de

X son de la columna “c1” que hace referencia

a los años, simplemente tecleamos esta

combinación y nos pasamos al apartado de

Y:

Aquí tu puedes ir comparando ya sea la

depreciación por año de la columna “c2”, la

depreciación acumulada de “c3” ó el valor en

libros correspondiente a la columna “c4”,

generalmente en este tipo de problemas se

pide comparar el valor en libros de cada

método, así que asignamos c4:

Y damos ENTER 2 veces para continuar:

Y verás que ya queda marcado con una

palomita “Plot 1” indicando que ya hay algo

para graficar. Ahora bajamos con el cursor y

nos posicionamos sobre Plot2 y damos

nuevamente en F1 “Define”:

Cambiamos la configuración de “Plot Type” a

“xyline” y en el apartado de X tecleamos la

variable que creamos para la depreciación de

smarc que era “lx” y tecleamos de igual

manera en el apartado de Y la variable que

creamos como “ly”:



Damos ENTER 2 veces para continuar:

Y vemos que ya están marcados los 2 Plots

listos para graficar, si te das cuenta en “Plot

2” esta marcada la extensión de donde viene

el archivo que es de MAIN ya que en este

folder es en el que hemos estado trabajando,

la razón por la cual se tuvo que poner una

serie de datos como lista y otra como base

de datos es porque no se puede graficar de 2

bases de datos distintas, para esto todos los

valores deberían haber estado en la misma

base de datos. Damos ENTER para continuar.

Ahora para ver la gráfica damos en

DIAMANTE + letra W del teclado extendido:

Y damos en el menú F2 y damos en la opción

9 “ZoomData”:

Y vemos:

Y se puede observar claramente la diferencia

de métodos; la de línea recta representa

claro esta ésta línea, mientras que el método

SMARC lo deprecia más rápidamente de

forma curva. También es claro que el método

SMARC lo deprecia hasta cero y el método LR

clásico halla un valor de salvamento de

$2,000, tú puedes desplazarte para ver los

puntos dando en F3 “Trace” y te puedes

desplazar de izquierda a derecha sobre los

puntos y ver las coordenadas ó de arriba

abajo para cambiarte de método de

depreciación:

Para salir da en DIAMANTE + letra Q del

teclado extendido.

Claro está que el programa más adecuado

para resolver sobre todo las gráficas es Excel,

sin embargo se muestra que también se

puede hacer aquí.



A grandes rasgos, cuando te piden el método

SMARC para años inferiores a n=10 puedes

usar Business Suite sin problemas y ver los

resultados.

NOTA IMPORTANTE. Hay una ligera

variación entre los porcentajes que marca el

libro de Ingeniería Económica de Leland

Blank & Anthony Tarquin y los porcentajes

que usa Business Suite, una forma sencilla

donde puedes ver los porcentajes usados

para cualquier número de períodos es usar

un costo igual a 100 y ver la tabla:

Veamos un ejemplo para períodos

superiores.

Ejemplo.

Un robot de ensamble automatizado, que

cuesta $45,000 instalado, tiene una vida

depreciable de 15 años y valor de

salvamento cero. Elabore una tabla de

depreciación SMARC y compárela con el

método clásico LR.

Para ejemplos de problemas con períodos

superiores como n=15 y n=20 desarrollé una

sencilla hoja de calculo en la calculadora

donde al igual que en Business Suite puedes

simplemente teclear el costo del activo y

automáticamente la hoja calcula la tabla

final.

Para trabajar en la hoja de cálculo que

debiste instalar previamente debes

desarchivar la hoja de cálculo para poderla

manipular. Estando en HOME teclea “2nd” +

signo menos de tecla blanca :

Da a la derecha con el cursor sobre el folder

“EKO2” y posiciónate sobre el archivo

“SMARC15” (el número hace referencia a los

años):

Da en F4 para marcar el archivo:

Ahora da en F1 “Manage” y da ENTER en la

opción 9 “Unarchive Variable”:



Si lo hiciste correctamente debe desaparecer

el asterisco que esta del lado izquierdo del

nombre del archivo. Ahora da en tecla APPS

y da ENTER sobre el programa “Cell Sheet”

Da ENTER sobre la opción “Open”:

Cambia el folder a “EKO” dando a la derecha

con el cursor, luego posicionándote sobre el

folder y da ENTER:

Y automáticamente verás los archivos de Cell

Sheet existentes smarc15 y smarc20, deja la

opción de smarc 15 y da ENTER:

Éste es Cell Sheet, es un programa de hoja de

calculo parecido a excel en algunos sentidos,

claro está que no se compara con Excel para

nada, sin embargo la ventaja de esta

pequeña hoja de cálculo es que admite

operaciones, expresiones y ecuaciones

matemáticas de cualquier índole.

Como te puedes dar cuenta la hoja ya esta

hecha con los porcentajes tomados del libro

de Tarquin y se dejo un costo de $70,000,

para simplemente cambiar el costo

posiciónate sobre la celda C1 y da ENTER:

Quita la sombra de la línea de entrada dando

a la derecha con el cursor y borra con tecla

y cambia al costo del problema:

Da ENTER para hacer los cambios.

Ahora para recalcular toda la hoja da en F8

“ReCalc”, después de unos momentos verás

una barra que se llena que es el porcentaje y

después de unos momentos vemos:



Puedes ver ya la hoja calculada por completo

igual que Business Suite, la columna A son los

años, la columna B es el porcentaje de

depreciación por año tomada del libro de

Tarquin, la columna C es la depreciación por

año ya calculada; la columna D es la

depreciación acumulada por año, y la

columna E es el valor en libros al final de

cada año. Tú puedes desplazarte a través de

toda la hoja con el cursor y ver las

cantidades:

En ocasiones cuando las cantidades son muy

grandes no se pueden ver en la celda, para

esto debemos de cambiar la configuración de

la hoja para poder ver los valores completos.

Para esto damos en F1 y damos ENTER en la

opción A “Format”:

Yo te recomiendo siempre que uses el

“Autocalc” en OFF, el “Cursor Mvmnt” en

DOWN y el “Show” por ahora lo ponemos en

“Value” (para ver los valores y no las

formulas

usadas):

Damos ENTER para guardar los cambios:

Y ahora ya puedes desplazarte a través de las

celdas y ver los valores exactos en la línea de

entrada. Recomiendo el AutoCalc en OFF ya

que cuando cambias la formula de alguna

celda la calculadora recalcula toda la hoja

perdiendo tiempo, siempre es mejor hacer

los cambios de formulas adecuadas y

después dar simplemente dar en ReCalc de

F8 para ver los resultados.

Al igual que con Data/Matrix también puedes

graficar aquí mismo los años contra el valor

en libros, la diferencia es que con éste

programa debemos indicar el rango de datos

de celda para X y el rango de datos en celdas

para Y, al igual que en Excel para indicar un

rango debes teclear la celda de inicio + “:”

(dos puntos) y celda final. En nuestro

ejemplo las celdas de X (años) van de A3 a

A18, y en Y de E3 a E18. Damos en F2 Plot y

damos ENTER en primera opción “Plot

Setup”:



Desmarcamos los Plots anteriores que

corresponden al problema anterior

posicionándonos sobre cada uno y tecleando

F4:

Nos posicionamos sobre Plot 3 y damos en

F1 Define:

Al igual que en Data/Matrix cambiamos el

Plot Type a “xyline” y el rango de X queda

como “A3:A18”:

En “Yrange” tecleamos “e3:e18”, los “dos

puntos” salen con “2nd”+ tecla de símbolo

theta θ del teclado extendido, y también es

bueno señalar que no hay diferencia entre

mayúsculas y minúsculas:

Damos ENTER 2 veces para continuar:

Ahora simplemente damos en F5

“ZoomData” y vemos:

Regresamos a HOME con “2nd” + letra Q del

teclado extendido.

Como puedes darte cuenta la calculadora TI-

V200 tiene mucha funcionalidad y no

necesitas comprar una calculadora financiera

para pasar esta materia.

Con esto terminamos el curso para Ingeniería

Económica 2 apoyado con la TI-V200, te

recomiendo que practiques con los ejercicios

que se dejan al final de éste manual ó bien

resuelvas las tareas que te empiezan a dejar

para que adquieras habilidad en la resolución

de éstos y otros ejercicios.


Ejercicios Propuestos Página 91

Ejercicios Propuestos

Vida Útil Económica

Resuelve lo siguiente con ayuda de Business

Suite y/o Cell Sheet.

1. Cierto equipo tiene un costo inicial de

$150,000 y un valor de salvamento que se

describe mediante la expresión S=120,000-

20,000k, donde k es el número de años

desde que se compró. El valor de salvamento

no estará por debajo de cero. Determine su

vida útil económica a una tasa de interés de

15% anual, utilizando estimaciones anuales

marginales de costos. El costo anual de

operación se calcula mediante la ecuación

COA=70,000+2000k, y el equipo tendrá una

vida útil máxima de 8 años.

2. El activo retador tiene un costo inicial de

$70,000, un costo estimado anual de

operación de $20,000, una vida útil máxima

de 5 años y un valor de salvamento de

$10,000 en cualquier momento que se

reemplace. Determina su vida útil económica

y su correspondiente valor VA, a una tasa de

interés de 20% anual.

3. Una empresa de pulpa y papel evalúa si

debería conservar el proceso de blanqueo

actual, que requiere dióxido de cloro o

reemplazarlo con un proceso oxipuro

patentado. Los costos relevantes para cada

proceso se indican a continuación. Aplique

una tasa de interés de 20% anual.

P. Actual P. oxipuro

Costo original -$450,000 -$700,000

V.C. actual $25,000 -

COA -$160,000 -$70,000

Vida 5 10

V.S. 0 $50,000

a) Lleva a cabo un análisis de reemplazo.

4. Se espera que una máquina que se posee

actualmente, cuyo valor comercial es de

$90,000, tenga una vida útil máxima restante

de 5 años. Se estima que su futuro valor

comercial sea de $60,000, que se reducirá

$10,000 anualmente a partir de entonces.

Además se estima que el costo de operación

sea de $50,000 el primer año, $55,000 el

segundo y que las cantidades aumenten

$5,000 en vales de ahí en adelante.

Determina la vida útil económica y el VA

correspondiente para este defensor a una

tasa de interés de 20% anual.

5. Una máquina actualmente en uso tiene un

valor anual equivalente de -$200,000 por

cada año de su vida útil máxima restante de

2 años. Se ha identificado un reemplazo

adecuado cuyos valores anuales equivalentes

son de -$300,000, -$225,000 y -$275,000

anuales, si la máquina se conserva 1, 2 ó 3

años, respectivamente. ¿Cuándo debería la

compañía reemplazar la máquina si aplica un

horizonte de planificación fijo de 3 años?



Análisis del VP para Selección de

Proyectos Independientes

Resuelve lo siguiente con ayuda de Business

Suite y Simplex.

1. Determina cual de los siguientes proyectos

independientes debería elegirse para invertir

si están disponibles $325,000 ala TMAR de

10% anual. Para realizar la selección, usa el

método VP para evaluar las alternativas

mutuamente excluyentes.

Proyecto Inv. Inicial FEN Vida

A -$100,000 $50,000 8

B -$125,000 $24,000 8

C -$120,000 $75,000 8

D -$220,00 $39,000 8

E -$200,000 $82,000 8

2. El VP para ingeniería en Wholesome Home

Products se ha limitado a un total de 1 millón

y no más de 2 proyectos en mejora de capital

para el año. Emplee un análisis de VP y un

requerimiento de rendimiento de 15% anual

para responder lo siguiente:

a) ¿Cuáles de los 3 proyectos disponibles a

continuación deberán seleccionarse?

b) ¿Cuál es el flujo de efectivo neto anual

mínimo que se necesita para seleccionar el

conjunto que gaste tanto como sea posible

sin violar la limitación presupuestaria ni la

restricción de máximo 2 proyectos?

Pro Inv. Inicial FEN Vida V.S.

A -$350,000 $120,000 4 $40,000

B -$200,000 $90,000 4 $30,000 C -$700,000 $200,000 4 $20,000

3. El proyecto independiente estimado a

continuación fue desarrollado por los

directores de ingeniería y finanzas. La TMAR

corporativa es de 15% anual, y el límite en la

inversión de capital es de $4 millones. Usa el

método VP para seleccionar los mejores

proyectos, utiliza también el algoritmo

simplex para seleccionarlos.

Proyecto Inv.

In.(millones) Vida FEN

1 -1.5 8 $360,000

2 -3.0 10 $600,000

3 -1.8 5 $520,000

4 -2.0 4 $820,000

4. Resuelve el siguiente problema de

elaboración de presupuesto de capital,

usando Business Suite y simplex. Tres

proyectos van a evaluarse a la TMAR de 12%

anual, no pueden asignarse más de $3.3

millones. Los estimados de los proyectos son

los que se muestran:

Proyecto Costo

(millones) Vida Año 1

FEN, por año, gradiente

después del año 1

1 -$1.5 6 $310,000 +26,000 por

año

2 -$3.0 10 $625,000 -10,000 por

año

3 -$1.6 5 $380,000 +15% por año



Análisis de punto de equilibrio

1. Traza una gráfica de CP (costo promedio

por unidad) contra Q para un costo fijo de

$60,000 y un costo variable de $2.00 por

unidad- ¿A qué cantidad se justifica un costo

promedio unitario de $3? Si los costos fijos

se incrementan a $100,000, grafica la nueva

curva de CP en la misma gráfica y calcula la

cantidad que justifica un CP de $3.50 por

unidad.

2. Una empresa dedicada a la edición de

guías telefónicas tiene que decidir si debería

diseñar internamente los anuncios para sus

clientes o pagar a una empresa por el

servicio. Para realizar los anuncios dentro de

la empresa, la compañía tendría que adquirir

computadoras, impresoras y otros

dispositivos periféricos a un costo de

$12,000. El equipo tendrá una vida útil de 3

años, después de los cuales de venderá por

$2,000. Al empleado que diseñe los anuncios

se le pagarán $45,000 anuales. Además, cada

anuncio tendrá un costo promedio de $4. Por

otro lado, la empresa podría solicitar de

manera externa anuncios con una tarifa de

$21 por cada uno. A una tasa de interés de

10% anual. ¿Cuántos anuncios debe vender a

compañía por año para que se equilibren las

alternativas?

3. Una firma de asesoría en ingeniería puede

arrendar un sistema de cómputo por

$15,000. El sistema arrendado no posee

costo de mantenimiento mensual, pero el

equipo que se compre tendrá un costo de

mantenimiento de $40 mensuales. A una

tasa de interés de 0.5% mensual, ¿Cuántos

meses deberá utilizarse el sistema para que

se equilibre?

4. Un gerente de planta ha recibido dos

estimaciones para mejorar el flujo del tráfico

y re pavimentar las áreas de

estacionamiento. La propuesta A incluye

nuevo rebordes, nivelación y pavimentación

con un costo inicial de $250,000. Se espera

que el primer método dure 4 años, con

costos anuales de mantenimiento y pintura

de las líneas de $3,000. En relación con la

propuesta B, el pavimento es de mayor

calidad y se espera que su vida útil sea de 16

años. El costo anual de mantenimiento será

insignificante para el área pavimentada del

estacionamiento, pero los cajones tendrán

que pintarse cada 2 años a un costo de

$5,000. Si la TMAR actual de la compañía es

de 12% anual, ¿cuánto puede gastar en la

proposición B para que las estimaciones se

equilibren?

5. Se estima que el proceso X tenga un costo

fijo de $40,000 anuales y un costo variable

de $60 por unidad en el año 1, con un

decremento anual de $5 por unidad. El

proceso Y tendrá un CF de $70,000 anuales y

un CV de $10 por unidad, con un incremento

anual de $1 por unidad. A una tasa de interés

de 12% anual, ¿cuántas unidades deberán

producirse en el año 3 para que alcanzar el

punto de equilibrio?

6. Hay 2 métodos de pavimentación. La

pavimentación A tendrá un C.I. de $900 mil y

duración de 20 años si con un

mantenimiento de $200 por milla

anualmente. Alternativamente, los caminos

podrían recubrirse con petróleo a un costo

de $28 por barril. Un barril alcanza para 0.1

millas y deberá aplicarse 2 veces al año. A

una tasa de 7% anual, ¿cuántas millas de

camino requerirán pavimentarse para que

los 2 métodos alcancen equilibrio?



Efectos de la Inflación

1. Convierte $100,000 dólares futuros del

año 10 a dólares de valor constante de hoy,

si la tasa de interés (de mercado) ajustada a

la inflación es de 12% anual y la tasa de

inflación es de 7% anual.

2. Ford Motor Company anunció que el

precio de sus camionetas pickup F-150

aumentará solo el equivalente a la tasa de

inflación durante los próximos 3 años. Si el

precio actual de una camioneta es $20,000 y

la tasa de inflación ha promediado 2.9%

anual, ¿cuál es el precio esperado de una

camioneta, equipada similarmente, el

próximo año? ¿Y dentro de 3 años?

3. Una máquina comprada por Holzmann

Industries tuvo un costo de $25,000 hace 6

años. Si una máquina similar cuesta $30,000

ahora y su precio aumentó solo en la tasa de

inflación, ¿cuál fue la tasa de inflación anual

durante dicho período de 6 años?

4. Calcula la tasa de interés ajustada a la

inflación, cuando la tasa de inflación es de

4% anual y la tasa de interés real es de 3%

anual

5. Se calcula una suma futura de $20,000

dentro de 10 años. Si la tasa de interés real

es de 5% anual y la tasa de inflación es de 8%

anual, encuentra la cantidad de dinero que

es equivalente ahora a) con ajuste por

inflación y b) sin ajuste por inflación.

6. Una ingeniera debe recomendar una de 2

máquinas para integrarla en una línea de

fabricación mejorada. Ella obtiene

estimaciones de 2 vendedores. El vendedor A

le da los estimados en dólares (actuales) de

valor constante; mientras que la vendedora

B le da los estimados en dólares futuros

(corrientes de entonces). La compañía tiene

una TMAR igual a la tasa de rendimiento real

de 10% anua, y se espera que la inflación sea

de 6% anual. Utiliza un análisis de valor

presente para determinar cuál máquina

deberá recomendar la ingeniera.

Vendedor A

(dólares actuales)

Vendedor B (dólares futuros)

C. Inicial -$60,000 -$95,000 COA/año -$25,000 -$35,000

Vida 10 10

7. Un ingeniero deposita $10,000 en una

cuenta cuando la tasa de interés de mercado

es de 12% anual y la tasa de inflación es de

5% anual. La cuenta queda imperturbable

durante 6 años.

a) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta?

b) ¿Cuál será el poder de compra en

términos de dólares de hoy?

c) ¿Cuál es la tasa de rendimiento real que se

obtiene sobre el depósito en relación con

una inversión segura que rinde 3.5% anual?

8. En un período de deflación de 2% anual,

¿cuánto costará una máquina dentro de 3

años, si el costo actual es de $40,000 por una

máquina idéntica?



Depreciaciones

Resuelve los siguientes problemas con ayuda

de Business Suite.

1. Un equipo comercial que cuesta $12,000

tiene una vida de 8 años con un valor de

salvamento de $2,000. a) Calcula la cuantía

de depreciación en línea recta para cada año.

b) Determina el valor en libros después de 3

años. c) ¿Cuál es la tasa de depreciación?

2. Se supone que se adquiere un automóvil

en $150,000 y estimamos que su valor de

salvamente dentro de cinco años será de

$30,000, se quiere saber como se deprecia a

través de los años y cuál es su depreciación

anual y acumulada correspondiente, por

método de suma de dígitos.

3. Una nueva terminal de computadora para

fines especiales tiene B= $50,000 con un

período de recuperación de 4 años. Tabula y

representa gráficamente los valores para la

depreciación LR, la depreciación acumulada y

el valor en libros para cada año comparado

con la depreciación de Suma de los dígitos de

los años si a) no hay valor de salvamento y b)

S=$16,000.

4. Construir una estructura cuesta $600,000.

Tiene una vida de 25 años con un valor de

reventa estimado en 75% del costo de

construcción. Sin embargo, el edificio será

depreciado a cero durante un período de

recuperación de 30 años. Determina el cargo

de depreciación anual para los 4, 10 y 25,

usando a) depreciación en línea recta y b)

depreciación SDD, c) ¿Cuál es el valor de

salvamento implícito por SDD?

5. Allison y Carl son ingenieros civiles que

poseen un negocio de estudios de suelos y

agua, para el cual han comprado un equipo

de cómputo por $25,000. Ellos os esperan

que las computadoras tengan un salvamento

positivo o valor de comercialización después

de la vida anticipada de 5 años. Con

propósitos de depreciación en libros, quieren

que el valor en libro se calcule usando los

siguientes métodos: LR, SD y SDD. Quieren

usar una tasa de depreciación fija de 25%

anual para el modelo SD.

6. Claude es un ingeniero economista en

Reynolds. Un nuevo activo de propiedad

personal de $30,000 debe depreciarse

utilizando SMARC durante 7 años. Se espera

que el valor de salvamento sea $2,000. a)

Compara los valores en libros para la

depreciación SMARC y la depreciación clásica

LR durante 7 años. b) Representa

gráficamente los valores en libros.

7. Un activo comprado por $20,000, tiene

una vida útil de 10 años y un valor de reventa

excelente, de manera que se estima un S del

20% del costo inicial. El SMARC permite un

período de recuperación abreviado de 5

años. a) Tabula la depreciación por año,

acumulada y valor en libros. B) Compara

estos resultados con la depreciación SDD

durante n=10 años.

8. Un activo comprado por $450,000

instalado tiene una vida depreciable a 15

años con un valor de rescate del 15% de su

costo inicial. Tabula y grafica la comparativa

entre la depreciación SMARC y el método

clásico LR, comparando valor en libros.


Bibliografía Página 96

Bibliografía

Sitio Web:

http://www.mitecnologico.com/Main/DepreciacionPorMetodoSumaDeLosDigitosDeLosA%F1os

Libros:

INGENIERÍA ECONÓMICA

Leland Blank-Anthony Tarquin

Quinta Edición, Ed. Mc-Graw Hill

INGENIERÍA ECONÓMICA,

Leland Blank-Anthony Tarquin

Sexta Edición, Ed. Mc-Graw Hill

MATEMÁTICAS FINANCIERAS,

Alfredo Díaz Mata-Victor M. Aguilera Gómez

Tercera Edición, Editorial: Mc-Graw Hill

ingeniería económica 2- aplicaciones con voyage 200

Documents