Ingeniería de Sistemas EspacialesAplicado a una misión CanSat

Introducción a la mecánica orbital 1:

Entendiendo las órbitas

Objetivo: comprender los movimientos de los cuerpos en el espacio, lo que se requiere para tener un dispositivo espacial en órbita como lo es un satélite, calcular la velocidad de un satélite en una órbita determinada, comprender las restricciones empleadas para la aproximación del problema de dos cuerpos, entender los parámetros que describen la geometría y el movimiento orbital.

Entendiendo las órbitas

Las órbitas de cuerpos en el espacio corresponden a trayectorias alrededor de objetos masivos mientras se está bajo la influencia de una fuerza central que corresponde a la gravedad.

Aristóteles insistió en que un objeto pesado debe caer mucho más rápido que un objeto ligero.

Galileo puso esto a prueba y observó que de hecho todos los objetos caen a la misma velocidad (dejando de lado la resistencia del aire).

La Ley de la Gravitación de Newton posteriormente explicó que precisamente es así.

Imagina que podemos soltar y lanzar una pelota horizontalmente de la misma altura, exactamente al mismo tiempo ¿cuál golpearía el suelo primero?

RESP

UES

TA: L

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Entendiendo las órbitas

Trayectorias

Si lanzamos una bala de cañón desde la superficie de la Tierra de manera tangencial a ésta, veremos al cabo de una determinada distancia que la bala cae, describiendo una parábola. Al cabo de un tiempo, si lanzamos la pelota con suficiente rapidez, ésta se pondría en órbita alrededor del planeta siguiendo una trayectoria u órbita circular.

Si la velocidad es mayor, la pelota seguirá una trayectoria u órbita elíptica y con una rapidez aún mayor, se obtendrá una trayectoria u órbita hiperbólica.

Desde un punto de vista conceptual, el movimiento orbital respresenta el proporcionar a un objeto suficiente velocidad horizontal (tangencial) para volar sobre la curvatura de la Tierra sin golpearla, incluso aunque la gravedad atrae al objeto directamente hacia la superficie del paneta.

De esta manera, un objeto puesto en órbita esta esencialmente cayendo alrededor de la Tierra, pero yendo tan rápido que nunca la golpea.

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Entendiendo las órbitas

Trayectorias: un experimento

Imagina que construimos una base de 5 m de alto en un punto de la Tierra y le colocamos una tabla de 8km de longitud “inflexible”

Al final de la tabla la superficie de la Tierra se encuentra a 10 m debajo de la tabla (considera a la Tierra una esfera perfecta).

• ¿Cuánto tiempo le tomaría a la bola alcanzar el final del trampolín?

• ¿Qué tan lejos caería la pelota debido a la gravedad en 1s?

• ¿Qué tan “alto” cambió la curva de la Tierra en 8km?

• ¿Que tan por encima de la tierra esta nuestra pelota en 1s?

• ¿Qué sucede un segundo después?

Imagina que puedes lanzar una pelota de beisbol a 8km/s a velocidad constante.

8 Km

5 m10m

8 Km

5 m

5 m

5 m

8 Km/s

Entendiendo las órbitas

Imagine que pudiera lanzar una pelota de beisbol a 8km/s a velocidad constante.

• ¿Cuánto tiempo le tomaría a la bola alcanzar el final del trampolín? Respuesta: 1s.

• ¿Qué tan lejos caería la pelota debido a la gravedad en 1s?Respuesta: La gravedad en la superficie de la Tierra causa que los objetos desciendan alrededor de 9.807m/s2. De esta manera en 1s un objeto cae alrededor de 5m (x=1/2 at2= 4.903 m para ser exactos).

• ¿Qué tan “alto” cambió la curva de la Tierra en 8km? Respuesta: 5m.

• ¿Que tan por encima de la tierra esta nuestra pelota en 1s? Respuesta: 5m (4.903 m).

• ¿Qué sucede un segundo después? Respuesta: La bola recorre otros 8km horizontalmente y cae otros 5m, la curvatura de la Tierra se aleja otros 5m y nuestra pelota sigue a 5m por encima de la superficie. ¡Se encuentra en una órbita circular!

8 Km

5 m

5 m

5 m

8 Km/s

Entendiendo las órbitas

Las Leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol

Primera ley de Kepler (1609):

Todos planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo

órbitas elípticas, estando el Sol

situado en uno de los focos.

Entendiendo las órbitas

Las Leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol

Segunda ley de Kepler (1609):

El radio vector que une al planeta con el Sol, barre áreas iguales , en tiempos iguales.

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Entendiendo las órbitas

Las Leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol

Segunda ley de Kepler (1609):

Una forma cualitativa de expresar la segunda Ley de Kepler, es decir que el satélite se mueve más despacio en su posición mas lejana a la Tierra (apogeo) y se mueve más rápido cuando está cerca de ella (perigeo).

El Satélite se mueve más rápido en el perigeo que en el apogeo.

Tercera Ley (1618):

Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol.

P = es el período orbitalr  = la distancia media del planeta con el SolK = la constante de proporcionalidad.

P2= K = constante

r3

Entendiendo las órbitas

Las Leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol

V = velocidad circular del objeto a una distancia de radio R. G = constante de gravitación universal, G=6.67x10-11 Nm2/kg2. M = masa de la Tierra, M= 5.98x1024 kg. R = radio de la Tierra, R= 6378 km.

Si se va más lento se impactará con el planeta; sise va más rápido se pasará

a una órbita elíptica.

Entendiendo las órbitas

Velocidad orbital

¿Qué velocidad se requiere para alcanzar una órbita circular alrededor de la Tierra?

6.67 x 10-11

= 7.9V =( 5.98 x 1024 Kg )

6378 x 103 m

)( Nm2

KmKg2

sR

M

V

Entendiendo las órbitas

Leyes de Newton

¿Qué velocidad se requiere para alcanzar una órbita circular alrededor de la Tierra?

• Tercera ley. Cuando un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B, el cuerpo B ejerce una fuerza igual pero en la dirección opuesta en A (acción y reacción).

• Ley de la Gravitación Universal de Newton. La fuerza de gravedad entre dos objetos (m1 y m2) es directamente proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas (r)

Ley de la Gravitación Universal de Newton.

• Segunda ley. El cambio en el momento lineal (cantidad de movimiento) es proporcional a la suma de fuerzas aplicadas.

• Primera ley. Un cuerpo permanece en su estado de reposo, o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar dicho estado por fuerzas aplicadas sobre él (ley de inercia de Galileo).

F = MA

Luna

Tierra

aL

rTL

RT

g

r2TL

GmTmLFG

==

V

Entendiendo las órbitas

Leyes de Newton y los sistemas de referencia

• Para ser válidas, las leyes de Newton deben de ser expresadas en un marco de referencia inercial, lo que significa que dicho marco de referencia no está rotando ni acelerando.

• Para las naves espaciales orbitando alrededor de la Tierra, comunmente se selecciona el sistema coordenado geocéntrico ecuatorial definido de la siguiente manera:

1. Origen: centro de la Tierra (de ahí el nombre geocéntrico). 2. Plano fundamental: ecuador de la Tierra (de ahí geocéntrico ecuatorial). 3. Perpendicular al plano y los puntos en dirección al polo norte. 4. Dirección principal: apuntando hacia el equinoccio de primavera.

Dirección del equinoccio vernal:

La dirección del equinoccio vernal se localiza al trazar una línea desde el centro de la Tierra hacia el Sol el primer día de primavera.

El problema de dos cuerpos simplificado

Consideremos todas las fuerzas que actúan sobre una nave espacial en órbita y supongamos que:

• La nave espacial viaja lo suficientemente por encima de la atmósfera de la Tierra y que la fuerza de arrastre (fricción con la atmósfera) es despreciable Fdrag=0.

• La nave espacial no realiza maniobras (cambia su trayectoria), así que ignoramos la fuerza de empuje Fthrust=0 por parte de sus motores.

• Consideramos el movimiento de la nave espacial cercano a la Tierra, así que ignoramos la atracción gravitacional del Sol, la Luna o cualquier otro objeto. F3rd body=0. Es por esto que lo llamamos el problema de los dos cuerpos.

• Comparada con la gravedad de la Tierra, otras fuerzas como las debidas a la radiación solar, los campos electromagnéticos, etc., son despreciables. Fother=0.

• La masa de la Tierra es mucho mayor que la masa de la nave espacial. MTierra>>Mnave

• La tierra es simétricamente esférica, con densidad uniforme así que la tratamos como un punto de masa. De esta forma podemos matemáticamente describir la gravedad de la Tierra como si actuara desde el centro.

• La masa de la nave espacial es constante (Δm = 0) así que F=ma se puede aplicar.

• El sistema geocéntrico ecuatorial es suficientemente inercial así que las leyes de Newton se pueden aplicar.

Fuerzas en una nave: Se puede hacer un análisis para determinar todas las posible fuerzas que actúna sobre una nave como la gravedad terrestre, el arrastre atmosférico, efectos de gravedad por otros cuerpos y otras fuerzas.

La fuerza de gravedad. En el problema simplificado de dos cuerpos, las fuerzas que actúan se reducen a la fuerza de gravedad terrestre.

FGravedad

Fg

FTercer cuerpo

FArrastre FEmpuje

FOtras

Entendiendo las órbitas

Una descripción precisa de la mecánica orbital de los satélites es importante, no sólo para el funcionamiento de los mismos, sino también para la manera en que se controlará y desarrollará la misión.

De manera simplificada, el problema de los 2 cuerpos se modela como:

Combinando la ley de la gravitación Universal con la segunda ley de Newton:

M= Masa de la Tierram= Masa del Satélite

Se llega a la ecuación de movimiento:

Y considerando la constante μ=G(M+m)=GM

O de otra forma:

Entendiendo las órbitas

Como resultado de la ecuación anterior, se tiene para el movimiento de un cuerpo alrededor de otro en el espacio la expresión:

En el caso del sistema solar, el Sol se encuentra en uno de los focos, con los planetas describiendo órbitas elípticas. Para el caso de satélites en órbita alrededor de la Tierra, ésta se localiza en uno de los focos de la órbita elíptica, mientras que el otro foco se encuentra vacío. Para dos órbitas circulares los focos coinciden en el mismo punto.

La velocidad en el punto denominado periapsis es mayor que en cualquier otro punto de la órbita, mientras que en el punto denominado apoapsis es menor.

Es importante notar que la órbita que sigue un satélite es independiente de su masa.

Órbitas circulares: ra = rb, e = 0.Órbitas elípticas: 0<e<1. Órbitas parabólicas: e=1. Órbitas hiperbólicas: e>1.

La excentricidad es la relación de la diferencia de altura entre apoapsis y periapsis entre la suma de las mismas alturas:

Apoapsis

Periapsis

v

rp

r

ra

2* a

Entendiendo las órbitas

P = a (1-e2)

Ecuación de movimiento: forma de la órbita.

Entendiendo las órbitas

La ecuación:

Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola

Ó en su forma vectorial:

Nos dice que el movimiento de una satélite depende únicamente de la distancia entre el centro de la Tierra y el satélite. Ahora bien, no existe una solución en forma cerrada para esta ecuación diferencial vectorial, pero existe una solución escalar geométrica:

r = magnitud del vector de posición del satélite o nave espacial (km). a = semieje mayor (km). e = exentricidad (adimensional). n = anomalía verdadera (grados o radianes).

Secciones cónicas: la solución escalar al problema de dos cuerpos simplificado, proporciona una ecuación de cónicas. Las cónicas se encuentran al cortar conos a diferentes ángulos.

Esta relación nos permiten predecir donde estará el objeto

en algún momento en el futuro e indican que las trayectorias del

satélite deben ser ya sea círculos, elipses, parábolas o hipérbolas

(Kepler dio parte de esto).

asatélite

Fsatélite GMTierra

msatélite r2= = -

r¨ = -

r2r

m

r = -a (1-e2 )

(1 + ecos n)

Ecuación de movimiento: Geometría orbital.

Entendiendo las órbitas

Con éstos parámetros se puede describir completamente la órbita, incluyendo su tamaño y forma.

Debido a que estamos principalmente interesados en las orbitas de naves espaciales, las cuales son elípticas, se presenta con más a detalle la geometría de una órbita elíptica.

R ó r: vector de posición de la nave espacial medido desde el centro de la Tierra.

V: vecor de velocidad de la nave espacial.

F y F’: focos de la elipse (principal y el que se encuentra vacío).

Rp: radio del perigeo (punto más cercano de la órbita alrededor de a la Tierra).

Ra: radio del apogeo (punto más lejano de la órbita alrededor de de la Tierra).

2a: eje mayor de la elipse.

2b: eje menor de la elipse.

2c: distancia entre los focos.

a: semieje mayor.

b: semieje menor.

n: anomalía verdadera.

φ: ángulo respecto de la trayectoria de vuelo.

2b

2c

2a

F’

R

RpRa

V

n

φ

F

apogeo

HorizonteLocal

perigeo

Entendiendo las órbitas

Constantes de movimiento orbital: Energía Mecánica.

La energía mecánica total de una determinada orbita es la suma de su energía cinética y su energía potencial. La energía mecánica específica, ε es la energía mecánica total dividida por la masa de la nave espacial.

Dado que la energía mecánica específica se conserva, debe ser la misma en cualquier punto a lo largo de la órbita, de tal manera que una nave en órbita, modifica sus valores de energía potencial y de energía cinética, viajando más rápido en el perigeo y más lento en el apogeo.

O de otra forma:

Donde μTierra = GMTierra

V2

2 R-

mε =

2amε =

Entendiendo las órbitas

Energía mecánica en acción

Se muestra en la animación el intercambio de energía cinética y potencial, lo que corresponde a la manera de moverse de un objeto en órbita alrededor de un cuerpo

como la Tierra alrededor del Sol.

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Entendiendo las órbitas

Momento Angular

• El momento angular específico es el momento angular total (H) dividido por la masa de la nave espacial.

• El momento angular especifico de una órbita nos da un vector perpendicular al plano de dicha orbita

Recordando que el momento angular se define como:

El momento angular es una cantidad constante, por lo tanto el plano orbital también es constante, de tal manera que se encuentra fijo en el espacio inercial.

La regla de la mano derecha indica la dirección del vector H resultante. Momento angular específico de la órbita Terrestre.

Regla de la mano derechaHm

h = r x v =

H = r x p = r x mv H

rF

n