ingenierÍa tÉcnica industrial (ampliación de física

INGENIERIacuteA TEacuteCNICA INDUSTRIAL (Ampliacioacuten de Fiacutesica)

RELATIVIDAD Relacioacuten de problemas

1- Una barra de 1 metro de longitud propia se encuentra en reposo en el sistema de

referencia Orsquo que se mueve respecto al sistema de referncia O con una velocidad u =

09c en la direccioacuten x-xrsquo Si los extremos de la barra tienen las coordenadas xrsquo2 = 271m

yrsquo2 = 171m xrsquo1 = 200m yrsquo1 = 100m iquestcuaacuteles seraacuten las coordenadas de los extremos

de la barra en el sistema O medidas en el instante t = 0 seguacuten

a) las transformaciones de Galileo

b) las transformaciones de Lorente

c) iquestQueacute aacutengulo formaraacute la barra con la direccioacuten x-xrsquo en cada uno de los dos casos

Solucioacuten a) x2 = 271m x1 = 200m y2 = 171m y1 = 100m α = 45ordm con la direccioacuten

x-xrsquo b) x2 = 118m x1 = 087m y2 = 171m y1 = 100m α = 66ordm 24rsquo con la direccioacuten x-

xrsquo

2- En la Fiacutesica de altas energiacuteas se han proyectado experimentos en los que dos

aceleradores de alta energiacutea adyacentes lanzan sus haces de protones (nuacutecleos de aacutetomos

de hidroacutegeno) a la misma regioacuten del espacio pero en direcciones opuestas En un

experimento normal cada rayo protoacutenico contendraacute partiacuteculas movieacutendose con

velocidad 095c respecto a un observador estacionario Consideremos un observador en

reposo respecto a los protones del primer haz iquestCuaacutel seraacute la velocidad con que vea aproximarse a los protones del segundo rayo

a) Seguacuten la Cinemaacutetica claacutesica (newtoniana) b) Seguacuten la Cinemaacutetica relativista

Solucioacuten a) -190c b) -0999c

3- La longitud de un cohete medida por un observador en reposo con relacioacuten al

mismo es 30m iquestCuaacutel seraacute su longitud medida por un observador fijo en el suelo cuando el cohete se mueve con una velocidad de

a) 104 ms

b) 2108 ms

Solucioacuten a) 30m b) 2204m

4- Desde la Tierra se observa coacutemo el sateacutelite Io de Juacutepiter es eclipsado por el planeta a

las 9h 58min PM seguacuten el reloj del observatorio Si hubiese un observador en Juacutepiter con un reloj sincronizado con el de la Tierra veriacutea coacutemo la Tierra eclipsaba a la Luna a

las 9h 27min PM del mismo diacutea En ese momento la Tierra y Juacutepiter se encuentran separados una distancia aproximada de 81011

m

a) iquestCuaacutel tendriacutea que ser la velocidad miacutenima que deberiacutea llevar una astronave dirigieacutendose desde la Tierra a Juacutepiter para que los tripulantes vieran primero el

eclipse de Io por Juacutepiter

b) iquestCuaacutel es el intervalo miacutenimo de tiempo entre los dos eclipses para que pudieran estar ligados por una dependencia causal

Solucioacuten a) 07c b) 267103 s

5- La masa en reposo del electroacuten es 910910-31 kg la del protoacuten 167310-27

kg y la del

neutroacuten 167510-27 kg Calcular sus energiacuteas en reposo

Solucioacuten 051 MeV 9398 MeV 94101 MeV

6- Un electroacuten se mueve con una velocidad de 108 ms iquestQueacute error se comete al calcular

su energiacutea cineacutetica mediante la expresioacuten claacutesica

Solucioacuten 87

7- Un posible origen de energiacutea estelar consistiriacutea en la fusioacuten de cuatro nuacutecleos de

hidroacutegeno (protones) para formar el helio (dos protones y dos neutrones) a lo largo de

una serie de reacciones nucleares en las que interviene el nuacutecleo del aacutetomo de carbono

La masa en reposo del protoacuten es 167310 -27 kg y la del nuacutecleo de helio es 6645910 -27

kg iquestQueacute cantidad de energiacutea se libera en este proceso de fusioacuten

Solucioacuten 248 MeV

8- El nuacutecleo de 216Po (3586710-25

kg) es inestable y exhibe propiedades radiactivas

desintegraacutendose para formar un nuacutecleo de 212Pb (3520110-25

kg) y emitiendo una

partiacutecula alfa que es un nuacutecleo de helio 4He (6647010-27

kg) Determinar la energiacutea

liberada en la desintegracioacuten


9- Calcular el incremento de masa de un electroacuten que se mueve con una velocidad de 06c 09c y 099c

Solucioacuten 22810-31 kg 11810-30

kg 55510-30 kg

10- Bajo ciertas condiciones un rayo γ puede crear dos partiacuteculas un electroacuten y un

positroacuten desapareciendo en el proceso el rayo γ Este proceso se denomina creacioacuten de

pares El positroacuten es ideacutentico al electroacuten salvo en la carga eleacutectrica que es de signo

opuesto iquestQueacute energiacutea miacutenima deberaacute tener un rayo γ p ara que se pueda producir un par

electroacuten-positroacuten


11- Cuando una partiacutecula cargada en reposo denominada mesoacuten π (pioacuten) se desintegra

dando un mesoacuten μ (muoacuten) el proceso dura por teacutermino medio 2510 -8 s Si un pioacuten se

mueve en relacioacuten al observador con una velocidad tal que se energiacutea cineacutetica sea el

doble que su energiacutea en reposo iquestqueacute distancia habraacute recorrido con relacioacuten al

observador antes de desintegrarse

Solucioacuten 212 m

DEPARTAMENTO DE FISICA APLICADA IIUNIVERSIDAD DE MALAGA

Campus de El Ejido29013 MALAGA (ESPANtildeA)

INGENIERIacuteA TEacuteCNICA INDUSTRIAL(Ampliacioacuten de Fiacutesica)

FUNDAMENTOS CUAacuteNTICOS

Relacioacuten de problemas

1 Sabiendo que el maacuteximo de la radiancia espectral correspondiente a la luz emitida por el Sol se produceantes de atravesar la atmoacutesfera para una frecuencia de calcular la temperatura del Sol1436 10 HzsdotSOL a) 612245 K

2 Sabiendo que la expresioacuten de la radiancia espectral es obtener la constante de( )

3

2

2

1T h kT

hR

c e υ

π υ=

minus

Stefan-Boltzmann Datos 83 10 m sc = sdot3 4

0 151x

x dx

e

πinfin=

minusint 34662 10 Jsh minus= sdot 23138 10 J Kk minus= sdotSOL 8 2 4567 10 W m Kminussdot

3 iquestHasta queacute temperatura hay que calentar un cuerpo negro que inicialmente se encuentra a 150C paraque se duplique la energiacutea radiadaSOL 230C

4 Una luz ultravioleta de 2600 de longitud de onda arranca fotoelectrones de un metal dotaacutendoles deuna energiacutea cineacutetica maacutexima de 134 eV iquestCuaacutel seraacute la longitud de onda maacutexima de la radiacioacuten luminosa capazde arrancar fotoelectrones de ese mismo metalSOL 3613

5 Para extraer un electroacuten de un aacutetomo de cierto metal se necesita una energiacutea miacutenima de 35 eV lo cualse consigue haciendo incidir una radiacioacuten monocromaacutetica de una cierta frecuencia sobre una laacutemina de dichometal Si este metal constituye el caacutetodo o placa de una ceacutelula fotoeleacutectrica de vaciacuteo en la que se establece unaddp entre placa y colector de 45 V calcular a) la frecuencia umbral (0) b) la maacutexima velocidad con la quellegariacutea un electroacuten al colectorSOL a) b) 14845 10 Hzsdot 61 26 10 m ssdot

6 Al iluminar cierta superficie metaacutelica con radiacioacuten de longitud de onda creciente se obtienen lossiguientes valores para el potencial de corte

(nm) 366 405 436 492 546 579

V0 (V) 148 115 093 062 036 024

Calcular a) la frecuencia umbral y b) el trabajo de extraccioacuten del metalSOL a) b) W0=189 eV14

0 460 10 Hzυ = sdot

7 Una radiacioacuten de 001 MeV de energiacutea es dispersada 60deg por un electroacuten libre en reposo Determinara) la longitud de onda y la frecuencia de la radiacioacuten dispersada b) iquestCuaacutel es la energiacutea cineacutetica adquirida porel electroacutenSOL a) =12545 =239 EHz b) 9665 eV

8 En su experiencia original Compton utilizoacute fotones de 00711 nm de longitud de onda Calcular a) laenergiacutea de dichos fotones b) la longitud de onda del fotoacuten dispersado para =180SOL a) 17474 eV b) 076

9 Una radiacioacuten cuya energiacutea es de 216 keV experimenta la difusioacuten de Compton Determinar a) iquesta queacuteregioacuten del espectro electromagneacutetico corresponde dicha radiacioacuten b) iquestCuaacutel es la frecuencia de la radiacioacutendispersada si el aacutengulo de dispersioacuten es de 60ordm c) iquestCuaacuteles son los valores miacutenimo y maacuteximo que puede tenerla energiacutea cineacutetica del electroacuten en retrocesoSOL a) rayos gamma b) c) 0 keV 9886 keV19430 10 Hzsdot

10 Calcuacutelese la diferencia de potencial necesaria para obtener en un microscopio electroacutenico una longitudde onda de 05 SOL 60308 V

ITI (Ampliacioacuten de Fiacutesica) Relacioacuten de problemas de FUNDAMENTOS CUAacuteNTICOS 2

11 Un electroacuten posee una energiacutea cineacutetica de 100 eV Haacutellese la longitud de onda asociada a dichoelectroacuten Datos 3191 10 kgem minus= sdot 346626 10 Jsh minus= sdot 1916 10 Ce minus= sdotSOL 123

12 Determinar la relacioacuten entre la longitud de onda asociada a un neutroacuten (n) con respecto a la de unelectroacuten (e) si ambas partiacuteculas tienen la misma energiacutea cineacuteticaDatos 31 279109 10 kg 1675 10 kge nm mminus minus= sdot = sdotSOL 00233n eλ λ =

13 Si la celeridad de un electroacuten viene dada por calcular la miacutenima( ) 805501 00005 10 m sv = plusmn sdotincertidumbre con que puede conocerse su posicioacuten xSOL x116 nm

14 Tras excitar un aacutetomo eacuteste cede el exceso de energiacutea en forma de fotones si el tiempo transcurridoentre la excitacioacuten y la emisioacuten de radiacioacuten es de 10-8 s iquestcuaacutel seraacute la imprecisioacuten con que estaraacute afectada lafrecuencia de la radiacioacuten emitidaSOL 796 Mhz

15 Demostrar que la incertidumbre en la energiacutea cineacutetica de una partiacutecula que se mueve en una trayectoriarectiliacutenea viene dada por EC=vp siendo v el moacutedulo de la velocidad y p la incertidumbre del momentolineal Utilice este resultado para determinar la incertidumbre miacutenima en la energiacutea cineacutetica de un electroacuten de500 eV de energiacutea cineacutetica sabiendo que su posicioacuten se conoce con una incertidumbre de 1 mmSOL (ECe)miacuten=437 eV

16 La energiacutea de estado n=5 de una partiacutecula en una caja es 75 meV Determinar a) iquestCuaacutel es la energiacuteadel estado fundamental b) Si la partiacutecula es un protoacuten iquestcuaacutel es la longitud de la caja DATO masa del protoacuten167510-27 kgSOL a) 300 eV b) 826

17 La funcioacuten de onda de una partiacutecula viene dada por donde A B y( ) ( )( ) A cos Bsenx kx kxΨ = +k son constantes a) Demuestre que la funcioacuten de onda es una solucioacuten particular de la ecuacioacuten de Schroumldingerb) Considerando que la partiacutecula se encuentra libre (U=0) encuentre su energiacutea c) iquestEstaacute cuantizada la energiacuteade la partiacutecula en dichas condiciones

SOL a) b) c) 2 2

2

kE

m=

18 La funcioacuten de onda de un electroacuten viene dada por Determinar la2 2

( ) senx

xL L

π Ψ = probabilidad de localizar el electroacuten entre x=0 y x=L4

SOL 025



2 4 220 0

2 2 2

1[1]

2n

mZ e K EE Z

n n= minus = minus

( )( )

022 3 2

00

1

3 2

r ap

rr e

aa

minus⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠


ESTRUCTURA ATOacuteMICA


1 Obtener partiendo de los postulados I y II de Boumlhr la expresioacuten para los niveles de energiacutea electroacutenicosde un aacutetomo monoelectroacutenico de nuacutemero atoacutemico Z

donde m y e son la masa y la carga del electroacuten respectivamente y K0 es la constante de Coulomb Comprobarque E0=136 eV

2 iquestCuaacutenta energiacutea se requiere para extraer un electroacuten de un aacutetomo de hidroacutegeno si eacuteste se encuentra enel estado n=8SOL 02125 eV

3 La foacutermula empiacuterica de Rydberg-Ritz para el aacutetomo de hidroacutegeno puede escribirse como

donde RH es la denominada constante de Rydberg Calcular el valor de esta constante a2 2

1 1 1H

f i

Rn nλ

⎛ ⎞= minus⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠partir de la ecuacioacuten [1] del problema 1 y utilizando los postulados III y IV de BoumlhrDATOS me=910938971031 kg e=1602177331019 C 0=88541878171012 Fm c=299792458 msh=662607551034 JsSOL 7 -110973731 10 msdot

4 Un aacutetomo de hidroacutegeno en un estado con energiacutea de enlace (energiacutea necesaria para extraer un electroacutendel aacutetomo) de 085 eV realiza una transicioacuten a un estado con una energiacutea de excitacioacuten (diferencia entre laenergiacutea entre ese estado y la del estado base) de 102 eV a) Encontrar la longitud de onda y el momento linealdel fotoacuten emitido b) Mostrar esta transicioacuten en un diagrama de niveles de energiacutea para el hidroacutegeno escribiendolos nuacutemeros cuaacutenticos apropiadosSOL a) =4872 b) 27136 10 kg msp minus= sdot sdot

5 Si un muoacuten (partiacutecula con igual carga que el electroacuten pero cuya masa es 207 veces mayor) es capturadopor un nuacutecleo de plomo (Z=82) el sistema resultante se comportaraacute como un aacutetomo monoelectroacutenicoa) Calcular el valor del radio de la primera oacuterbita de Boumlhr b) la energiacutea en los estados n=1 y n=5 c) iquestCuaacutel esla energiacutea del fotoacuten emitido en la transicioacuten entre los niveles n=2 y n=1 para este aacutetomo muoacutenicoSOL a) b) E1=1889 MeV E5=076 MeV c) Efotoacuten=1417 MeV1531 10 mminussdot

6 iquestCuaacutel es la longitud de onda del fotoacuten con maacutes energiacutea que es capaz de emitir un aacutetomo muoacutenico conZ=1SOL 442

7 La funcioacuten de onda electroacutenica de un orbital 2p de un aacutetomo de hidroacutegeno es

donde a0 es el radio de la primera oacuterbita de Boumlhr a) Calcular el valor maacutes probable de la distancia al nuacutecleo paraun electroacuten que se encuentra en dicho estado b) Tomando r=a0 calcular el valor de ( )2 0p aΨ ( ) 2

2 0p aΨy de la densidad de probabilidad radial ( )2 0pP a

SOL a) r=4a0 b) ( )1 2

2 0 3 20 24

p

ea

a

minus

Ψ = ( )1

2

2 0 3024p

ea

a

minus

Ψ = ( )1

2 006p

eP a

a

π minus

=

ITI (Ampliacioacuten de Fiacutesica) Relacioacuten de problemas de ESTRUCTURA ATOacuteMICA 2

8 Determinar el nuacutemero cuaacutentico principal correspondiente al estado excitado de un aacutetomo de hidroacutegenosi al pasar al estado fundamental emite dos fotones consecutivos de longitudes de onda 4887 y 1216 (eneste orden) DATO hc=12413 eV SOL n=4

9 Un aacutetomo de hidroacutegeno se encuentra en el estado 6g a) iquestCuaacutel es su nuacutemero cuaacutentico principal iquesty sunuacutemero cuaacutentico orbital b) iquestCuaacutel es la energiacutea de ese estado c) iquestCuaacuteles son los valores posibles del nuacutemerocuaacutentico magneacuteticoSOL a) n=6 =4 b) c) m = 4 3 2 1 0 1 2 3 4037 eVE = minus

10 Un electroacuten de un aacutetomo de hidroacutegeno experimenta una transicioacuten desde un estado inicial ni=5 a unestado final nf=3 a) Identificar la serie espectral a la que pertenece dicha emisioacuten b) Determinar las energiacuteainicial y final del electroacuten c) Calcular la frecuencia y la longitud de onda de la radiacioacuten emitida como resultadode esta transicioacutenSOL a) Serie de Paschen b) E5=0544 eV E3=1511 eV c) =23351014 Hz =12848 nm

11 iquestCuaacutel es el mayor estado que puede alcanzar un aacutetomo de hidroacutegeno que se encuentra inicialmenteen su estado fundamental cuando se le bombardea con un electroacuten cuya energiacutea es de 126 eVSOL n=3

12 Suponiendo que la oacuterbita de un electroacuten en el modelo de Boumlhr es equivalente a una espira de corrientede radio r cuyo momento dipolar magneacutetico es demostrar que el momento dipolar magneacutetico del2I rπ=

electroacuten en el n-eacutesimo estado del aacutetomo viene dado por 2

en

m=

13 Si la interaccioacuten atractiva entre protoacuten y electroacuten fuese del tipo en lugar de la interaccioacuten2

3 2

eF

r= minus

culombiana iquestcuaacuteles seriacutean los niveles energeacuteticos de un aacutetomo de hidroacutegenoNOTA Suponer oacuterbitas circulares y utilizar la condicioacuten de cuantizacioacuten de Boumlhr (segundo postulado)

SOL 1 38

2 2

3

2n

meE

n

⎛ ⎞= minus ⎜ ⎟

⎝ ⎠

14 Escribir la configuracioacuten electroacutenica de los elementos siguientes a) Nitroacutegeno (ZN=7) b) Oxiacutegeno(ZO=8) C) iquestCuaacutentos electrones desapareados tiene cada uno de los elementos anterioresSOL a) b) c) N 3 O 22 2 3N 1 2s s p 2 2 4O 1 2s s p


EL NUacuteCLEO ATOacuteMICO

1- a) Estimar la energiacutea potencial eleacutectrica Ue entre dos protones del 4He


b) La energiacutea necesaria para separar un protoacuten del nuacutecleo 4He es de unos 20 MeV Usar

este resultado para comparar las fuerzas eleacutectrica y nuclear que actuacutean sobre cada

protoacuten

Datos ε0 = 885 middot 10-12

Solucioacuten a) 82 middot105 eV asymp 1 MeV b)hellip

2- Las siguientes ecuaciones

B = C1A ndash C2A23

ndash C3Z ( Z ndash 1) A-13

BA = C1 ndash C2A-13


Contienen tres constantes ajustables (C1 C2 C3) podemos usar la energiacutea de ligadura

de tres nuacutecleos para determinar las constantes Usar la energiacutea de ligadura de 11

B 68

Zn y 197

Au para estimar estas constantes

Datos Masas en u 11B = 11009305

68Zn = 67924857 197Au = 19696656

H=1007825 N=1008665 c2 = 9315 MeVu

Solucioacuten C1=171 MeV C2=207 MeV C3=105 MeV

3- La actividad del 14C se puede usar para determinar la edad de algunos

descubrimientos arqueoloacutegicos Suponer que una muestra contiene 14C que tiene una

actividad de 28middot107 Bq La vida media del 14

C es 5730 antildeos a) Encontrar la constante de desintegracioacuten del

14C en s

-1

b) Determinar la poblacioacuten de nuacutecleos de 14C en esta muestra

c) iquestCuaacutel seraacute la actividad de esta muestra despueacutes de 1000 antildeos

d) iquestCuaacutel seraacute la actividad despueacutes de 4 veces la vida media del 14

C

Solucioacuten a) λ = 384 middot 10-12

s-1 b) N0 = 73 middot1018

nuacutecleos c) R= 25 middot107 Bq d) R=

17 middot106 Bq

4- La ecuacioacuten Qα = (MP+M D- MHe)c

2 proporciona un meacutetodo de analizar si un nuacuteclido es

estable o inestable Imaginar que elegimos como padre de una posible desintegracioacuten a un

nuacuteclido de gran masa si la sustitucioacuten de las masas en la citada ecuacioacuten da un valor positivo

para Qα el nuacuteclido seraacute inestable Usar este meacutetodo para determinar la estabilidad a del nuacuteclido

Datos Masas en u = 226025406 = 222017574 He = 4002603

Solucioacuten Inestable 5- Rellenar los espacios en blanco con los siacutembolos adecuados en las siguientes

reacciones de desintegracioacuten

6- Ademaacutes del becquerelio otra unidad comuacuten de la actividad es el curio (Ci) La relacioacuten entre el becquerelio y el curio es 1 Ci = 37-10

10 Bq La vida media del

226Ra

es 1620 antildeos Demostrar que la actividad de 1 g de 226

Ra es 1 Ci

Datos Ma Ra = 226 u Solucioacuten hellip

7- a) Demostrar que el intervalo de tiempo t necesario para que la actividad de una muestra radiactiva se reduzca de su valor inicial R0 a un valor R es

b) En un instante particular la actividad de una muestra que contiene 131

I (T12 = 804 d) es 59 MBq iquestCuaacutel es el tiempo necesario para que esta actividad disminuya a 59 MBq

Solucioacuten a)hellip b) 23 middot106 s

8- Calcular la energiacutea total en kilovatios-horas liberada en la fisioacuten de 1g de 235

U

suponiendo que se liberan 200 MeV por cada fisioacuten nuclear

Solucioacuten E = 228 middot 104 kWmiddoth

9- Determinar la energiacutea de reaccioacuten de la siguiente reaccioacuten

4He +

14N

17O +

1H

iquestEs exoteacutermica o endoteacutermica esta reaccioacuten

Datos Masas en u 4He = 4002603

14N = 14003074 17O = 16999133

1H =

10078252 Solucioacuten E = -119 MeV endoteacutermica

10- Encuentre la energiacutea total liberada en las reacciones de fusioacuten en el ciclo protoacuten-

protoacuten

Datos Mp = 1007825 u

11- Rellenar los espacios en blanco con los siacutembolos adecuados en las siguientes

reacciones



Figura 1

Figura 2


PROPIEDADES ELEacuteCTRICAS DE LA MATERIA


1 Un condensador de laacuteminas planas y paralelas estaacute constituido por dos placas de aluminio de 075 m2

de superficie cada una Las laacuteminas estaacuten separadas por una capa de polietileno de de espesor Si se52 10 mminussdotle aplica una diferencia de potencial de 30 V determinar a) la carga que adquiere cada laacutemina b) la carga ligadaen la superficie del dieleacutectrico c) iquestcuaacutel es el campo eleacutectrico en el dieleacutectrico DATO Constante dieleacutectricadel polietileno 23 SOL a) 2288 C b) 1293 C c) 15106 Vm

2 Un condensador de laacuteminas planas y paralelas tiene una capacidad de 4 nF y se carga mediante unadiferencia de potencial de 200 V El espacio comprendido entre las armaduras del condensador estaacute ocupadopor un dieleacutectrico cuya constante dieleacutectrica vale 3 Si una vez cargado el condensador se aiacutesla determinara) iquestqueacute trabajo hay que realizar para retirar el dieleacutectrico de entre las laacuteminas del condensador b) iquestcuaacutel es ladiferencia de potencial en el condensador cuando se ha retirado el dieleacutectricoSOL a) 1610-4 J b) 600 V

3 La superficie de cada una de las armaduras de un condensador planoes de 100 cm2 y su distancia de separacioacuten 1 cm Se carga el condensadoruniendo una de sus armaduras a tierra y la otra a una tensioacuten de 3000 V Sedesconecta de la tensioacuten de carga y sin descargarlo se llena el espaciocomprendido entre ambas armaduras con dos dieleacutectricos uno de 6 mm deespesor y constante dieleacutectrica 6 y el otro de 4 mm de espesor y constantedieleacutectrica 4 como indica la figura 1 Calcular a) la carga del condensador b) el campo eleacutectrico en cadadieleacutectrico c) la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador con los dieleacutectricos dentro d) sucapacidad SOL a) 265 nC b) 5104 NC c) 600 V d) 4425 pF

4 El campo eleacutectrico entre las armaduras de un condensador es de 9000 Vm cuando entre ellas hay airepero se reduce a 6000 Vm cuando el espacio comprendido entre las armaduras se rellena con cierto dieleacutectricoCalcular a) la constante dieleacutectrica del dieleacutectrico b) la densidad de carga de polarizacioacuten en el dieleacutectricoSOL a) 15 b) 265 nCm2

5 Un bloque dieleacutectrico tiene la forma que indica la figura 2 y estaacuteuniformemente polarizado con una polarizacioacuten Hallar la densidad de lasP

cargas de polarizacioacuten tanto la magnitud como su signo sobre las caras 1 2 y 3del dieleacutectrico SOL 1P Pσ = minus 2 0pσ = 3 senp Pσ θ=

6 Considere un metal como un material polarizable a)iquestCuaacutel seriacutea el valorde la polarizacioacuten b) iquestCuaacutel seriacutea su susceptibilidadSOL a) b) P σ= χ = infin

7 Considere el aacutetomo de hidroacutegeno seguacuten el modelo de Boumlhr Al someter el aacutetomo a un campo eleacutectrico E

perpendicular al plano de la oacuterbita electroacutenica conseguiremos polarizar el aacutetomo debido al desplazamientorelativo nuacutecleo-oacuterbita electroacutenica Demostrar que en estas condiciones la polarizabilidad del aacutetomo dehidroacutegeno viene dada por siendo r el radio de la oacuterbita electroacutenica NOTA Suponga que la3

04 rα πε=distancia entre las cargas del dipolo inducido es mucho menor que el radio de la oacuterbita

8 Una carga puntual q estaacute situada en el centro de una esfera de radio R y constante dieleacutectrica ra) Determinar las expresiones del desplazamiento eleacutectrico el campo eleacutectrico y el vector polarizacioacutenD

E

eleacutectrica en cualquier punto del espacio es decir para rltR para r=R y para rgtR b) Determinar la expresioacutenP

de la carga de polarizacioacuten total sobre la superficie de la esfera

SOL a1) rltR a2) rgtR 24

rq

D urπ

=

204

r

r

qE u

rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

r

επε

minus=

0 24r

qD u

rπ=

0 0P =

a3)r=R b) 0 204

rq

E urπε

=

24r

qD u

Rπ=

204

r

r

qE u

Rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

R

επε

minus=

1rp

r

q qε

ε minus

=




PROPIEDADES MAGNEacuteTICAS DE LA MATERIA


1 Un solenoide ideal por el que circula una corriente de 5 A consta de 300 espiras por metro de solenoideEl nuacutecleo que es de hierro tiene una permeabilidad magneacutetica de 5000micro0 en las condiciones dadas Calculardentro del nuacutecleo a) la intensidad de campo magneacutetico b) el campo magneacutetico c) la magnetizacioacutenSOL a) 1500 Am b) 9425 T c) 7498500 Am

2 Un tubo de ferrita muy largo de radio interior a y radio exterior b se encuentra imanado uniformementeen la direccioacuten de su eje Calcular el campo magneacutetico en el eje del tuboSOL B=0 T

3 Se pretende desimanar una barra de Alnico 5 introducieacutendola dentro de un solenoide de 10 cm delongitud y 100 espiras Si para la sustancia considerada la intensidad del campo coercitivo es 44000 Amcalcular la intensidad de corriente que debe hacerse pasar por el solenoideSOL I=44 A

4 El interior de un largo solenoide se rellena con hierro de manera que el campo magneacutetico en su interioraumenta desde un valor original B0 hasta B Determinar la relacioacuten BB0 suponiendo que en las condicionesdadas la susceptibilidad del hierro es la cuarta parte de su maacuteximo valor DATO (Fe)max=5000SOL BB0=1251

5 Se arrollan 200 espiras sobre un cilindro de madera de 20 cm de longitud y se hace pasar por ellas unacorriente de 2 A en estas condiciones el solenoide es equivalente a una barra imanada de dimensiones ideacutenticasal cilindro Calcular la magnetizacioacuten del imaacutenSOL M=2000 Am

6 Un electroacuten gira uniformemente en una oacuterbita circular de de radio Calcular a) la1155 10 mminussdotcorriente efectiva que se requiere para producir un momento magneacutetico de b) el periodo24 29 284 10 A mminussdotde revolucioacuten necesario para producir dicha corriente efectivaSOL a) 9769 A b) 16164 10 sminussdot

7 Una sustancia paramagneacutetica tiene un momento magneacutetico por aacutetomo de Calcular el24 28 10 A mminussdotcampo magneacutetico que se requiere para producir una magnetizacioacuten igual al 01 de la magnetizacioacuten desaturacioacuten a 300 K DATO Constante de Boltzmann 23138 10 J Kk minus= sdotSOL B=15525 mT

8 Un electroacuten se mueve en una oacuterbita de de radio Un campo magneacutetico perpendicular al plano116 10 mminussdotde la oacuterbita produce un cambio en la velocidad del electroacuten de 63 ms permaneciendo constante el radioCalcular el valor de dicho campo DATOS 1916 10 Ce minus= sdot 3191 10 kgem minus= sdotSOL B=119 T


TRANSFERENCIA DE CALOR Relacioacuten de problemas 1- La pared de un horno industrial se construye con ladrillo de arcilla refractaria de 015 m de

espesor que tiene una conductividad teacutermica de 17 Wm∙K Mediciones realizadas durante la operacioacuten en estado estacionario revelan temperaturas de 1400 K y 1150 K en las superficies interna y externa respectivamente iquestQueacute potencia caloriacutefica se pierde por conduccioacuten a traveacutes

de una pared de 05 m por 3 m de lado

Solucioacuten 4250 W

2- Una tuberiacutea de vapor sin aislamiento pasa a traveacutes de un recinto en el que el aire y las

paredes estaacuten a 25ordmC El diaacutemetro exterior de la tuberiacutea es de 70 mm y la temperatura superficial

es de 200ordmC Si la emisividad de la tuberiacutea es de 08 y el coeficiente de transferencia por

conveccioacuten natural de la superficie al aire es 15 Wm2∙K iquestqueacute potencia caloriacutefica se pierde por

unidad de longitud de la tuberiacutea

Solucioacuten 998 Wm

3- Una varilla larga de diaacutemetro D y resistencia eleacutectrica por unidad de longitud Re se encuentra

inicialmente en equilibrio teacutermico con el aire del ambiente (a una temperatura Tinfin) y las paredes

de sus alrededores (a una temperatura Talr) La varilla tiene una emisividad ε una densidad ρ y una capacidad caloriacutefica c constantes y el coeficiente de transferencia de calor por conveccioacuten

con el aire ambiente es h El equilibrio se altera cuando una corriente eleacutectrica I pasa a traveacutes de

la varilla Se pide

a) Escribir una ecuacioacuten diferencial para determinar la variacioacuten de la temperatura de la

varilla con respecto al tiempo (no es necesario resolverla)

b) Simplificar la ecuacioacuten anterior para el estado estacionario

4- Los gases calientes de combustioacuten de un horno se separan del aire ambiente y sus

alrededores que estaacuten a 25ordmC mediante una pared de ladrillo de 015 m de espesor El ladrillo

tiene una conductividad teacutermica de 12 Wm∙K y una emisividad superficial de 08 Se mide una temperatura de la superficie externa de 100ordmC en estado estacionario La transferencia de calor

por conveccioacuten natural de la superficie al ambiente se caracteriza por un coeficiente de peliacutecula

de 20 Wm2∙K iquestQueacute temperatura alcanza la pared interior del ladrillo en contacto con el horno

Solucioacuten 352ordmC

5- El recubrimiento sobre una placa electroacutenica se cura exponiendo eacutesta a la accioacuten de una

laacutempara infrarroja que proporciona una irradiacioacuten de 2000Wm2 sobre la placa El

recubrimiento absorbe el 80 de la radiacioacuten y tiene una emisividad de 08 La placa se expone

tambieacuten a un flujo de aire a 20ordmC con el que intercambia calor por conveccioacuten con un

coeficiente de peliacutecula de 15 Wm2∙K y las paredes del recinto estaacuten a 30ordmC Si la peacuterdida de

calor a traveacutes de la superficie inferior de la placa se considera despreciable iquestcuaacutel es la

temperatura de curacioacuten de la placa


6- Una pared exterior de una casa se puede aproximar por una capa de 1016 cm de ladrillo

corriente ( 70=k Wm∙K) seguida de una capa de 381 cm de yeso ( 480=k Wm∙K) iquestQueacute

espesor de aislante de lana de roca ( 0650=k Wm∙K) deberiacutea antildeadirse para reducir en un 80 la transferencia de calor a traveacutes de la pared

Solucioacuten 584 cm

7- El muro de una caacutemara frigoriacutefica de conservacioacuten de productos congelados se construiraacute del

modo siguiente i) revoco de cemento de 2 cm de espesor ( 80=k Wm∙K) ii) 25 cm de ladrillo macizo ( 60=k Wm∙K) iii) Corcho expandido de un espesor por determinar

( 050=k Wm∙K) iv) 7 cm de ladrillo hueco ( 11=k Wm∙K) v) revoco de cemento de 2 cm de espesor ( 80=k Wm∙K) La temperatura interior de la caacutemara es de -25ordmC y la temperatura

exterior de 30ordmC y los coeficientes de transferencia por conveccioacuten exterior e interior tienen por

valores 20 Wm2∙K y 12 Wm2∙K respectivamente Si las peacuterdidas del muro de la caacutemara se limitan por motivos econoacutemicos a 10 Wm2 se pide

a) el coeficiente global de transferencia de calor

b) el espesor de corcho que debe colocarse

c) la distribucioacuten de temperaturas en el muro

Solucioacuten a) 0182 Wm2∙K b) 0242 m c) T1= 295ordmC T2= 2925ordmC T3=251ordmC

T4=-233 ordmC T5=-24ordmC T6=-2425ordmC

8- Por el interior de un tubo de 25 cm de diaacutemetro interior circula agua a 50ordmC con un

coeficiente de intercambio para conveccioacuten forzada en flujo interno de 3500 Wm2∙K El tubo tiene una pared de 08 mm de espesor y una conductividad teacutermica de 16 Wm∙K El exterior del

tubo pierde calor por conveccioacuten natural con un coeficiente de transferencia de 76 Wm2∙K Determinar el coeficiente global de transferencia de calor (referido al aacuterea exterior) y la peacuterdida

de calor por unidad de longitud hacia el aire circundante que se encuentra a 20ordmC

Solucioacuten Ue = 7577 Wm2∙K q = 19 Wm

9- Por el interior de una tuberiacutea de acero de 17 cm de diaacutemetro exterior y 15 cm de diaacutemetro

interior ( 15=k Wm∙K) circula vapor a 274ordmC atravesando un local que se encuentra a 21ordmC

Los coeficientes de transferencia por conveccioacuten exterior e interior son 10 Wm2∙K y 2000 Wm2∙K respectivamente Determinar

a) espesor de aislante (lana de roca de conductividad teacutermica 0480=k Wm∙K necesario para reducir el flujo de calor a la tercera parte

b) espesor de aislante necesario para reducir la temperatura superficial del exterior de la

tuberiacutea hasta un valor maacuteximo de 50ordmC

Solucioacuten a) 11 cm b) 32 cm

10- La distribucioacuten de temperaturas a traveacutes de una pared de 1 m de espesor y 10 m2 de

superficie en cierto instante estaacute dada por 2)( cxbxaxT ++= (ordmC m) El valor de las

constantes es a= 900ordmC b= -300ordmCm y c= -50ordmCm2 En la pared tiene lugar una generacioacuten de

calor uniforme de 1000Wm2 y su densidad conductividad teacutermica y capacidad caloriacutefica son

respectivamente 1600 kgm3 40 Wm∙K y 4 kJkg∙K Se pide a) La potencia caloriacutefica que entra y sale de la pared

b) La potencia caloriacutefica almacenada en la pared

Solucioacuten a) 120=entq kW 160=salq kW b) -30 kW

11- Una barra delgada de cobre (de conductividad teacutermica k densidad ρ y capacidad caloriacutefica

cp constantes) de seccioacuten transversal rectangular cuya anchura w es mucho mayor que su

espesor L se mantiene en contacto con un sumidero de calor en la superficie inferior de forma

que la temperatura de esta superficie es aproximadamente igual a la del sumidero T0 De

pronto se hace pasar una corriente eleacutectrica a traveacutes de la barra que provoca una generacioacuten

volumeacutetrica uniforme de calor qgen y una corriente de aire a temperatura Tinfin se hace pasar sobre

la superficie superior (el coeficiente de intercambio por conveccioacuten es h) Obtener la ecuacioacuten

diferencial (no es necesario resolverla) y las condiciones de contorno e inicial que permitan

resolver la distribucioacuten de temperatura de la barra en funcioacuten de la posicioacuten y del tiempo

12- Un fabricante de electrodomeacutesticos propone un disentildeo de horno con autolimpieza que implica el uso de una ventana compuesta que separa la cavidad del horno del aire ambiental El

compuesto consistiraacute en dos plaacutesticos de alta temperatura (A y B) de espesores LA = 2LB y

conductividades teacutermicas 150=Ak Wm∙K y 080=Bk Wm∙K Durante el proceso de

autolimpieza las temperaturas de la pared y del aire del horno Tp y Ta son de 400ordmC mientras

que la temperatura del aire del cuarto Tinfin es de 25ordmC Los coeficientes de transferencia de calor

internos por conveccioacuten y radiacioacuten asiacute como el coeficiente de conveccioacuten externa son todos de

25 Wm2K iquestCuaacutel es el espesor miacutenimo de la ventana L (= LA + LB) para asegurar que la

temperatura en la superficie externa de la ventana en el estado estacionario no sobrepase los

50ordmC por razones de seguridad

Solucioacuten 627 mm

13- Un chip delgado de silicio y un sustrato de aluminio (k= 238 Wm∙K) de 8 mm de espesor estaacuten separados por una unioacuten de 002 mm de espesor El chip y el sustrato tienen cada uno 10

mm de lado y las superficies expuestas se enfriacutean con aire a 25ordmC con un coeficiente de

transferencia de 100 Wm2K Si el chip cuya resistencia teacutermica se considera despreciable disipa 104 Wm2 en condiciones normales y la resistencia de contacto entre el chip y la unioacuten es

de 09∙10-4 m2∙KW determinar la temperatura de operacioacuten del chip en estado estacionario


14- La presencia de efectos que compiten en sentidos opuestos al aumentar el espesor de

aislamiento de los sistemas radiales sugiere la posible existencia de un espesor de aislamiento

oacuteptimo para este tipo de sistemas Aunque la resistencia de conduccioacuten aumenta al agregar

aislante la resistencia de conveccioacuten (con coeficiente de transferencia h) disminuye debido al

aumento del aacuterea de la superficie exterior Por esta razoacuten puede haber un espesor de aislamiento

que minimice la peacuterdida de calor al maximizar la resistencia total a la transferencia de calor Considere un tubo de cobre con pared delgada de radio ri que se utiliza para transportar un fluido refrigerante de baja temperatura Ti menor que la del aire ambiente Tinfin Justifique la existencia o no de un espesor de aislamiento de conductividad teacutermica k que minimice la

peacuterdida total de calor y determine el valor del mismo en su caso

Criado Aldeanueva F Aguiar J y Goacutemez Merino AI (2011) Ampliacioacuten de Fiacutesica en la Ingenieriacutea

OCW- Universidad de Maacutelaga httpocwumaes

Bajo licencia Creative Commons Attribution-Non-Comercial-ShareAlike

b) iquestCuaacutel es el intervalo miacutenimo de tiempo entre los dos eclipses para que pudieran estar ligados por una dependencia causal

Solucioacuten a) 07c b) 267103 s

5- La masa en reposo del electroacuten es 910910-31 kg la del protoacuten 167310-27

kg y la del

neutroacuten 167510-27 kg Calcular sus energiacuteas en reposo

Solucioacuten 051 MeV 9398 MeV 94101 MeV

6- Un electroacuten se mueve con una velocidad de 108 ms iquestQueacute error se comete al calcular

su energiacutea cineacutetica mediante la expresioacuten claacutesica

Solucioacuten 87

7- Un posible origen de energiacutea estelar consistiriacutea en la fusioacuten de cuatro nuacutecleos de

hidroacutegeno (protones) para formar el helio (dos protones y dos neutrones) a lo largo de

una serie de reacciones nucleares en las que interviene el nuacutecleo del aacutetomo de carbono

La masa en reposo del protoacuten es 167310 -27 kg y la del nuacutecleo de helio es 6645910 -27

kg iquestQueacute cantidad de energiacutea se libera en este proceso de fusioacuten


8- El nuacutecleo de 216Po (3586710-25

kg) es inestable y exhibe propiedades radiactivas

desintegraacutendose para formar un nuacutecleo de 212Pb (3520110-25

kg) y emitiendo una

partiacutecula alfa que es un nuacutecleo de helio 4He (6647010-27

kg) Determinar la energiacutea

liberada en la desintegracioacuten


9- Calcular el incremento de masa de un electroacuten que se mueve con una velocidad de 06c 09c y 099c

Solucioacuten 22810-31 kg 11810-30

kg 55510-30 kg

10- Bajo ciertas condiciones un rayo γ puede crear dos partiacuteculas un electroacuten y un

positroacuten desapareciendo en el proceso el rayo γ Este proceso se denomina creacioacuten de

pares El positroacuten es ideacutentico al electroacuten salvo en la carga eleacutectrica que es de signo

opuesto iquestQueacute energiacutea miacutenima deberaacute tener un rayo γ p ara que se pueda producir un par

electroacuten-positroacuten


11- Cuando una partiacutecula cargada en reposo denominada mesoacuten π (pioacuten) se desintegra

dando un mesoacuten μ (muoacuten) el proceso dura por teacutermino medio 2510 -8 s Si un pioacuten se

mueve en relacioacuten al observador con una velocidad tal que se energiacutea cineacutetica sea el

doble que su energiacutea en reposo iquestqueacute distancia habraacute recorrido con relacioacuten al

observador antes de desintegrarse

Solucioacuten 212 m








3

2

2

1T h kT

hR

c e υ

π υ=

minus


0 151x

x dx

e

πinfin=






(nm) 366 405 436 492 546 579

V0 (V) 148 115 093 062 036 024


0 460 10 Hzυ = sdot













SOL a) b) c) 2 2

2

kE

m=


( ) senx

xL L


SOL 025



2 4 220 0

2 2 2

1[1]

2n

mZ e K EE Z

n n= minus = minus

( )( )

022 3 2

00

1

3 2

r ap

rr e

aa


⎝ ⎠









1 1 1H

f i

Rn nλ

⎛ ⎞= minus⎜ ⎟⎜ ⎟








SOL a) r=4a0 b) ( )1 2

2 0 3 20 24

p

ea

a

minus

Ψ = ( )1

2

2 0 3024p

ea

a

minus

Ψ = ( )1

2 006p

eP a

a

π minus

=








en

m=


3 2

eF

r= minus


SOL 1 38

2 2

3

2n

meE

n

⎛ ⎞= minus ⎜ ⎟

⎝ ⎠








protoacuten




B = C1A ndash C2A23






B 68

Zn y 197



68Zn = 67924857 197Au = 19696656

H=1007825 N=1008665 c2 = 9315 MeVu






14C en s

-1




C


s-1 b) N0 = 73 middot1018


17 middot106 Bq











226Ra


Ra es 1 Ci







U




4He +

14N

17O +

1H



14N = 14003074 17O = 16999133

1H =



protoacuten



reacciones



Figura 1

Figura 2
















E




rq

D urπ

=

204

r

r

qE u

rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

r

επε

minus=

0 24r

qD u

rπ=

0 0P =

a3)r=R b) 0 204

rq

E urπε

=

24r

qD u

Rπ=

204

r

r

qE u

Rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

R

επε

minus=

1rp

r

q qε

ε minus

=





























la varilla Se pide




























































































3

2

2

1T h kT

hR

c e υ

π υ=

minus


0 151x

x dx

e

πinfin=






(nm) 366 405 436 492 546 579

V0 (V) 148 115 093 062 036 024


0 460 10 Hzυ = sdot













SOL a) b) c) 2 2

2

kE

m=


( ) senx

xL L


SOL 025



2 4 220 0

2 2 2

1[1]

2n

mZ e K EE Z

n n= minus = minus

( )( )

022 3 2

00

1

3 2

r ap

rr e

aa


⎝ ⎠









1 1 1H

f i

Rn nλ

⎛ ⎞= minus⎜ ⎟⎜ ⎟








SOL a) r=4a0 b) ( )1 2

2 0 3 20 24

p

ea

a

minus

Ψ = ( )1

2

2 0 3024p

ea

a

minus

Ψ = ( )1

2 006p

eP a

a

π minus

=








en

m=


3 2

eF

r= minus


SOL 1 38

2 2

3

2n

meE

n

⎛ ⎞= minus ⎜ ⎟

⎝ ⎠








protoacuten




B = C1A ndash C2A23






B 68

Zn y 197



68Zn = 67924857 197Au = 19696656

H=1007825 N=1008665 c2 = 9315 MeVu






14C en s

-1




C


s-1 b) N0 = 73 middot1018


17 middot106 Bq











226Ra


Ra es 1 Ci







U




4He +

14N

17O +

1H



14N = 14003074 17O = 16999133

1H =



protoacuten



reacciones



Figura 1

Figura 2
















E




rq

D urπ

=

204

r

r

qE u

rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

r

επε

minus=

0 24r

qD u

rπ=

0 0P =

a3)r=R b) 0 204

rq

E urπε

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qD u

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204

r

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( )2

1

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qP u

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1rp

r

q qε

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=





























la varilla Se pide





























































































SOL a) b) c) 2 2

2

kE

m=


( ) senx

xL L


SOL 025



2 4 220 0

2 2 2

1[1]

2n

mZ e K EE Z

n n= minus = minus

( )( )

022 3 2

00

1

3 2

r ap

rr e

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⎝ ⎠









1 1 1H

f i

Rn nλ

⎛ ⎞= minus⎜ ⎟⎜ ⎟








SOL a) r=4a0 b) ( )1 2

2 0 3 20 24

p

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a

minus

Ψ = ( )1

2

2 0 3024p

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minus

Ψ = ( )1

2 006p

eP a

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en

m=


3 2

eF

r= minus


SOL 1 38

2 2

3

2n

meE

n

⎛ ⎞= minus ⎜ ⎟

⎝ ⎠








protoacuten




B = C1A ndash C2A23






B 68

Zn y 197



68Zn = 67924857 197Au = 19696656

H=1007825 N=1008665 c2 = 9315 MeVu






14C en s

-1




C


s-1 b) N0 = 73 middot1018


17 middot106 Bq











226Ra


Ra es 1 Ci







U




4He +

14N

17O +

1H



14N = 14003074 17O = 16999133

1H =



protoacuten



reacciones



Figura 1

Figura 2
















E




rq

D urπ

=

204

r

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qE u

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( )2

1

4r

r

r

qP u

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επε

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0 24r

qD u

rπ=

0 0P =

a3)r=R b) 0 204

rq

E urπε

=

24r

qD u

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204

r

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( )2

1

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qP u

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r

q qε

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=





























la varilla Se pide























































































2 4 220 0

2 2 2

1[1]

2n

mZ e K EE Z

n n= minus = minus

( )( )

022 3 2

00

1

3 2

r ap

rr e

aa


⎝ ⎠









1 1 1H

f i

Rn nλ

⎛ ⎞= minus⎜ ⎟⎜ ⎟








SOL a) r=4a0 b) ( )1 2

2 0 3 20 24

p

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a

minus

Ψ = ( )1

2

2 0 3024p

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Ψ = ( )1

2 006p

eP a

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en

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3 2

eF

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SOL 1 38

2 2

3

2n

meE

n

⎛ ⎞= minus ⎜ ⎟

⎝ ⎠








protoacuten




B = C1A ndash C2A23






B 68

Zn y 197



68Zn = 67924857 197Au = 19696656

H=1007825 N=1008665 c2 = 9315 MeVu






14C en s

-1




C


s-1 b) N0 = 73 middot1018


17 middot106 Bq











226Ra


Ra es 1 Ci







U




4He +

14N

17O +

1H



14N = 14003074 17O = 16999133

1H =



protoacuten



reacciones



Figura 1

Figura 2
















E




rq

D urπ

=

204

r

r

qE u

rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

r

επε

minus=

0 24r

qD u

rπ=

0 0P =

a3)r=R b) 0 204

rq

E urπε

=

24r

qD u

Rπ=

204

r

r

qE u

Rπε ε=

( )2

1

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r

r

qP u

R

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minus=

1rp

r

q qε

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=





























la varilla Se pide




























































































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3 2

eF

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SOL 1 38

2 2

3

2n

meE

n

⎛ ⎞= minus ⎜ ⎟

⎝ ⎠








protoacuten




B = C1A ndash C2A23






B 68

Zn y 197



68Zn = 67924857 197Au = 19696656

H=1007825 N=1008665 c2 = 9315 MeVu






14C en s

-1




C


s-1 b) N0 = 73 middot1018


17 middot106 Bq











226Ra


Ra es 1 Ci







U




4He +

14N

17O +

1H



14N = 14003074 17O = 16999133

1H =



protoacuten



reacciones



Figura 1

Figura 2
















E




rq

D urπ

=

204

r

r

qE u

rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

r

επε

minus=

0 24r

qD u

rπ=

0 0P =

a3)r=R b) 0 204

rq

E urπε

=

24r

qD u

Rπ=

204

r

r

qE u

Rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

R

επε

minus=

1rp

r

q qε

ε minus

=





























la varilla Se pide



























































































protoacuten




B = C1A ndash C2A23






B 68

Zn y 197



68Zn = 67924857 197Au = 19696656

H=1007825 N=1008665 c2 = 9315 MeVu






14C en s

-1




C


s-1 b) N0 = 73 middot1018


17 middot106 Bq











226Ra


Ra es 1 Ci







U




4He +

14N

17O +

1H



14N = 14003074 17O = 16999133

1H =



protoacuten



reacciones



Figura 1

Figura 2
















E




rq

D urπ

=

204

r

r

qE u

rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

r

επε

minus=

0 24r

qD u

rπ=

0 0P =

a3)r=R b) 0 204

rq

E urπε

=

24r

qD u

Rπ=

204

r

r

qE u

Rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

R

επε

minus=

1rp

r

q qε

ε minus

=





























la varilla Se pide

























































































226Ra


Ra es 1 Ci







U




4He +

14N

17O +

1H



14N = 14003074 17O = 16999133

1H =



protoacuten



reacciones



Figura 1

Figura 2
















E




rq

D urπ

=

204

r

r

qE u

rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

r

επε

minus=

0 24r

qD u

rπ=

0 0P =

a3)r=R b) 0 204

rq

E urπε

=

24r

qD u

Rπ=

204

r

r

qE u

Rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

R

επε

minus=

1rp

r

q qε

ε minus

=





























la varilla Se pide






















































































protoacuten



reacciones



Figura 1

Figura 2
















E




rq

D urπ

=

204

r

r

qE u

rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

r

επε

minus=

0 24r

qD u

rπ=

0 0P =

a3)r=R b) 0 204

rq

E urπε

=

24r

qD u

Rπ=

204

r

r

qE u

Rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

R

επε

minus=

1rp

r

q qε

ε minus

=





























la varilla Se pide























































































Figura 1

Figura 2
















E




rq

D urπ

=

204

r

r

qE u

rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

r

επε

minus=

0 24r

qD u

rπ=

0 0P =

a3)r=R b) 0 204

rq

E urπε

=

24r

qD u

Rπ=

204

r

r

qE u

Rπε ε=

( )2

1

4r

r

r

qP u

R

επε

minus=

1rp

r

q qε

ε minus

=





























la varilla Se pide

















































































































la varilla Se pide





















































































ingenierÍa tÉcnica industrial (ampliación de física

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