fundamentos de física. i.t. diseño industrial

1

Programa de la Asignatura

Lección 1.- La Física. Magnitudes y su medidaLección 2.- Cinemática del Punto. Lección 3.- Dinámica de la Partícula. Lección 4.- Dinámica de los Sistemas de Partículas: Sólido Rígido. Lección 5.- Oscilaciones. Lección 6.- Temperatura y Procesos Térmicos. Lección 7.- Calor. y principios de la termodinámica.

2º cuatrimestreLección 8.- Campo electrostático en el vacío. Conductores en equilibrio Lección 9.- Condensadores y dieléctricos. Lección 10.- Corriente Eléctrica. Lección 11.- Campo magnético en el vacío. Lección 12.- Inducción. Lección 13.- Campos magnéticos en medios materiales. Lección 14.- Leyes del electromagnetismo. Lección 15.- Ondas.Lección 16.- Naturaleza de la Luz. Optica geométrica. Lección 17.- Óptica física

Fundamentos de Física. I.T. Diseño Industrial© M

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Transparencias Fundamentos de Física. I.T. Diseño Industrial

Programa de la Asignatura

Lección 1.- La Física. Magnitudes y su medidaLección 2.- Cinemática del Punto. Lección 3.- Dinámica de la Partícula. Lección 4.- Dinámica de los Sistemas de Partículas: Sólido Rígido. Lección 5.- Oscilaciones. Lección 6.- Temperatura y Procesos Térmicos. Lección 7.- Calor. y principios de la termodinámica.

2º cuatrimestreLección 8.- Campo electrostático en el vacío. Conductores en equilibrio Lección 9.- Condensadores y dieléctricos. Lección 10.- Corriente Eléctrica. Lección 11.- Campo magnético en el vacío. Lección 12.- Inducción. Lección 13.- Campos magnéticos en medios materiales. Lección 14.- Leyes del electromagnetismo. Lección 15.- Ondas.Lección 16.- Naturaleza de la Luz. Optica geométrica. Lección 17.- Óptica física

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Lección 5: Oscilaciones

1.-Introducción.

2.- Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).

3.- Vectores de rotación o fasores.

4.- Fuerza y energía en el MAS.

5.- Ecuación básica del MAS. Péndulos.

6.- Superposición de dos MMAASS.

7.- Oscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas. Resonancia.

Bibliografía:Bibliografía:..-- AlonsoAlonso --FinnFinn (1995), capítulos 10 y 13.(1995), capítulos 10 y 13..- Tipler (1992), vol I, capítulo 12..- Burbano-Burbano-García (1993), capítulo XX.


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L5:Oscilaciones 1.- Introducción

1.1.-- Introducción.Introducción.

2.2.-- Cinemática del movimiento armónico simple.Cinemática del movimiento armónico simple.

Sea una partícula con un MAS a lo largo del eje OX, su desplazamiento respecto al origen viene dado por:

O bien por:( )ϕ+ω= tcosA)t(x ( )ϕ+ω= tsenA)t(x

donde:

ωπ= 2

T

T1=ν

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Movimiento oscilatorio: movimiento periódico alrededor de una posición de equilibrio. De éstos, el más importante es el Movimiento Armónico Simple (MAS) por ser el más sencillo de describir y analizar y por ser una descripción bastante precisa de muchos movimientos oscilatorios naturales.

A → es la amplitud(xmáx)

ω → es la frecuencia angular

ϕ → es la fase inicial

T → es el periodo

ν → es la frecuencia

(ωt +ϕ) → es la fase

4

⇒=dtdx

)t(v

⇒== 2

2

dtxd

dtdv

)t(a

La velocidadvelocidad será:

L5:Oscilaciones 2.- Cinemática del movimiento armónico simple

( )ϕ+ωω−= tsenA)t(v

donde Aω → es la amplitud de la velocidad (vmáx)

La aceleraciónaceleración será:

donde Aω2 → es la amplitud de la aceleración (amáx)

( ) ⇒ϕ+ωω−= tcosA)t(a 2 )t(x)t(a 2ω−=

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luego la velocidad varía periódicamente entre los valores +Aω y -Aω

luego la aceleración varía periódicamente entre los valores +Aω2 y -Aω2

““en un MAS la aceleracien un MAS la aceleracióón es proporcional y de sentido opuesto al desplazamienton es proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento””

5

( )ϕ+ω= tcosA)t(x

( )ϕ+ωω−= tsenA)t(v

( ) xtcosA)t(a 22 ω−=ϕ+ωω−=

4T

La variación del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en función del tiempo será: 2T 4T3 T

4T 2T 4T3 T

A+

A−

x

ω+ A

ω− A

v

2Aω−

a2Aω+

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L5:Oscilaciones 2.- Cinemática del movimiento armónico simple


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L5:Oscilaciones 3.- Vectores de rotación o fasores

3.3.-- Vectores de rotación o Vectores de rotación o fasoresfasores..

OPx =

π+ϕ+ωω=

2tcosAv ( )π+ϕ+ωω= tcosAa 2

x

ϕ

P

P’A

X

Y

O

El desplazamiento de una partícula que se mueve con un MAS se puede considerar como la componente x de un vector OP’ de módulo A y que rota en sentido contrario a las agujas del reloj con

una velocidad angular ω (vector rotante o fasor). Igualmente se pueden encontrar vectores rotantes para la velocidad y aceleración de la partícula.

xva

AωA

ω2A

ωt+ϕ2π

π

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( )ϕ+ω= tcos'OP ( )ϕ+ω= tcosA

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L5:Oscilaciones 4.- Fuerza y energía en el MAS

4.4.-- Fuerza y energía en el MAS.Fuerza y energía en el MAS.

= amFrr

Donde hemos considerado: mk 2ω=

“en el MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario”

[ ] =ϕ+ωω−= 22 )tsen(Am21 [ ])t(cos1mA

21 222 ϕ+ω−ω=

Antes obtuvimos que la aceleración era proporcional al desplazamiento, luego la resultante de las resultante de las fuerzas que genera un MASfuerzas que genera un MAS será:

kxF −=

Energía cinética de una partícula con un MASEnergía cinética de una partícula con un MAS

[ ]222 xAm21

Ec −ω= “la Ec es máxima en el centro (x=0) y mínima en los extremos (x=±A)”

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⇒ω−==⇒ )x(mmaF 2

km

2Tmk π=⇒=ω⇒

== 2mv21

Ec )t(senmA21 222 ϕ+ωω

8


La fuerza que genera el movimiento es una fuerza central y por tanto conservativafuerza central y por tanto conservativa, luego existe una energía potencialenergía potencial asociada a ésta tal que:

Energía potencial de una partícula con un MASEnergía potencial de una partícula con un MAS

Ckx21

kxdxEp 2 +=∫=⇒

Si tomamos como nivel de energía potencial cero la posición de equilibrio (Ep=0 sí x=0)

“la Ep es máxima en los extremos (x=±A) y mínima en el centro (x=0)”

222 xm21

kx21

Ep ω==

Energía total de una partícula con un MASEnergía total de una partícula con un MAS

ctekA21

Am21 222 ==ω=

2kA21

E = “la energía total de un oscilador armónico es constante y proporcional al cuadrado de la amplitud”

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dx)kx(dxFdEp x −−=−=⇒dxdEp

Fx −=

[ ] xm21

xAm21 22222 ω+−ω=EpEcE +=

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2kA21

E =

( )22 xAk21

Ec −=2kx21

Ep =

+A-A

Ep

Ec

Diagrama de energías de una partícula con un MASDiagrama de energías de una partícula con un MAS

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x

Ep

0

10

L5:Oscilaciones 5.- Ecuación básica del MAS. Péndulos

5.5.-- Ecuación básica del MAS. PéndulosEcuación básica del MAS. Péndulos--

La fuerza necesaria para producir un MAS es atractiva proporcional al desplazamiento, luego aplicando la segunda ley de la mecánica:

0xmk

dtxd2

2

=+⇒

Si consideramos Ecuación diferencial homogénea cuyas soluciones

son del tipo

0xdt

xd 22

2

=ω+⇒=ωmk2

( )ϕ+ω= tcosA)t(xkm

22

T π=ωπ=

-A

+A

-A

+A

-A

+A

Fr

Fr

vr

ar

ar

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kxdt

xdm 2

2

−=⇒kxmaFamF −==⇒= rr

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Partícula de masa m suspendida de un punto O mediante una cuerda de longitud l y de masa despreciable

tt maFamF =⇒=rr

0dtd 22

2

2

=θω+θ

Péndulo simplePéndulo simple

ll 2

2

dtd

mmsenPθ=α=θ−

0seng

dtd

0senmgdtd

m 2

2

2

2

=θ+θ⇒=θ+θl

l

l

g2 =ω

La fuerza que genera el movimiento oscilatorio es la componente tangencial del peso

Si consideramos que Y si los ángulos son lo suficientemente pequeños (senθ→ θ)

Ecuación diferencial homogénea cuyas soluciones son del tipo

Tr

Pr

θoθ

θ

l

O

( )ϕ+ωθ=θ tcos)t( o g2

2T

lπ=ωπ=

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Sólido rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la gravedad

( ) α=×=⇒α=rrrrrrr

oooo IPrPMIM

0dtd 22

2

2

=θω+θ

Péndulo físico

o

2

Imgb=ωSi consideramos que

Y si los ángulos son lo suficientemente pequeños (senθ→ θ)

Ecuación diferencial homogénea cuyas soluciones son del tipo

( )ϕ+ωθ=θ tcos)t( o

0senI

mgbdtd

dtd

Isenmgbo

2

2

2

2

o =θ+θ⇒θ=θ−

mgbI

22

T oπ=ωπ=

b

CM

Pr

rr

O

θ

θ

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L5:Oscilaciones 6.- Superposición de dos MMAASS

6.6.-- Superposición de dos MMAASSSuperposición de dos MMAASS

En ocasiones una partícula puede estar sometida a la influencia de más de un MAS, existe entonces una interferencia de movimientos armónicos simples. Lo estudiaremos para el caso de la superposición de dos MMAASS.

.- Superposición de dos MMAASS con la misma dirección y frecuencia

( )( )

δ+ω=ω=

tcosAxtcosAx

22

11 Donde δ es la diferencia de fase entre ambos movimientos

( ) ( ) ( )tcosAtcosAtcosAxxx 2121 ω=δ+ω+ω=+=

..-- Sí Sí δ=0 δ=0 δ=0 δ=0 ⇒⇒⇒⇒ 21 AAA += ..-- Sí Sí δ=π δ=π δ=π δ=π ⇒⇒⇒⇒ 21 AAA −=

..-- En generalEn general ⇒⇒⇒⇒ δ++= cosAA2AAA 2122

21

ωt

A1

O

A2

δ

A

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L5:Oscilaciones 6.- Superposición de dos MMAASS

.- Superposición de dos MMAASS con la misma dirección y distinta frecuencia

( )( ) 21

222

111 xxxtcosAx

tcosAx+=⇒

ω=ω=

cuando

21 AAA +=

21 AAA −=

( )tcosAA2AAA 212122

21 ω−ω++=

ω2t A2

O

A1

A

ω1t

(ω1−ω2)tEl ángulo entre los vectores de rotación varía con el tiempo, luego

La amplitud varía entre los valores:

( ) ( ) 1tcosn2t 2121 =ω−ω⇒π=ω−ω

cuando ( ) ( ) ( ) 1tcos1n2t 2121 −=ω−ω⇒π+=ω−ω

A

A1+A2

A1-A2

t

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Un caso especial es cuando A1=A2, entonces,

( )[ ]tcos12AA 211 ω−ω+=

( )2

tcosA2A 21

1ω−ω=

( ) ( )[ ]tcostcosAxxx 21121 ω+ω=+=

Aplicando [7] la amplitud quedará

ω+ω=

ω−ω

ω+ω= t

2cosAt

2cost

2cosA2x 212121

1

( ) ⇒ω−ω++= tcosAA2AAA 212122

21

El movimiento resultante será

Aplicando [9]

El movimiento resultante es un movimiento armónico de frecuencia y cuya amplitud está modulada pues varía periódicamente con el tiempo 2

21 ω+ω

O t

xA

L5:Oscilaciones 6.- Superposición de dos MMAASS© M

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.- Superposición de dos MMAASS direcciones perpendiculares

( )( ) ( ) ( ) jtcosBitcosAjyixr

tcosBytcosAx rrrrr δ+ω+ω=+=⇒

δ+ω=ω=

..-- Sí Sí δ=0 δ=0 δ=0 δ=0 ⇒⇒⇒⇒ ( )( ) ⇒

ω=ω=

tcosBytcosAx

..-- Sí Sí δ=π δ=π δ=π δ=π ⇒⇒⇒⇒ ( )( ) ( ) ⇒

ω−=π+ω=ω=

tcosBtcosBytcosAx

..-- Sí Sí δ=π/2 δ=π/2 δ=π/2 δ=π/2 ⇒⇒⇒⇒ ( )

( ) ( ) ( ) 1tcostsentsenB

2tcosBy

tcosAx22 =ω+ω⇒

ω−=

π+ω=

ω=

xAB

y =

1By

Ax

2

2

2

2

=+

xAB

y −=

Movimientos armónicos rectilíneos

La trayectoria es una elipse de semiejes A y B. Si las amplitudes fueran iguales tendriamos una circunferencia


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Figuras de Lissajousδ

21 ωω


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L5:Oscilaciones 7.- Oscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas. Resonancia

7.7.-- Oscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas. ResonanciaOscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas. Resonancia

Amortiguamiento: Además de la fuerza elástica existe una fuerza disipativa proporcional

a la velocidad, es decir, donde λ es una constante que

depende del medio y de la forma del cuerpoeFr

dFr

⇒=+= amFFF derrrr

⇒=λ−− 2

2

dtxd

mvkx

vFdrr

λ−=

0xmk

dtdx

mdtxd2

2

=+λ+

Sí recordamos que la frecuencia del oscilados libre eramk2

o =ω

m2

λ=γ

0xdtdx

2dt

xd 2o2

2

=ω+γ+

Y si introducimos el parámetro de amortiguamiento como

La ecuación a resolver será

El movimiento resultante (solución de esta ecuación diferencial) depende de la relación entre el

parámetro de amortiguamiento y la frecuencia natural del oscilador

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..-- Si Si γ γ γ γ > ω> ω> ω> ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Sobreamortiguamiento Sobreamortiguamiento

El movimiento resultante en este caso es oscilatorio y cuya amplitud disminuye

exponencialmente con el tiempo debido a la disipación de energía

El movimiento resultante no es oscilatorio, al alejar la partícula de su posición de equilibrio, ésta tiende a regresar lentamente a esta posición

..-- Si Si γ γ γ γ = ω= ω= ω= ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Amortiguamiento crAmortiguamiento crííticotico

El movimiento resultante tampoco es oscilatorio, al alejar la partícula de su posición de equilibrio, ésta tiende a regresar rápidamente a esta posición

..-- Si Si γ γ γ γ << ω<< ω<< ω<< ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Amortiguamiento dAmortiguamiento déébilbil

Es el único caso en el que la partícula oscila entorno a la posición de equilibrio. Los desplazamientos de la partícula son de la forma:

( )ϕ+ω= γ− tcosA e)t(x t donde 22o γ−ω=ω

L5:Oscilaciones 7.- Oscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas. Resonancia© M

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..-- Si Si γ γ γ γ > ω> ω> ω> ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Sobreamortiguamiento Sobreamortiguamiento

..-- Si Si γ γ γ γ = ω= ω= ω= ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Amortiguamiento crAmortiguamiento crííticotico

..-- Si Si γ γ γ γ << ω<< ω<< ω<< ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Amortiguamiento dAmortiguamiento déébilbil ( )ϕ+ω= γ− tcosA e)t(x t

x

t

tAe γ−

tAe γ−−

22o

22T

γ−ωπ=

ωπ=

T


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Oscilaciones forzadas: Además de la fuerza elástica y de la fuerza disipativa introducida

con anterioridad, se aplica una fuerza oscilatoria

que aporta energía al sistema

⇒=++ amFFF fderrrr ( ) 2

2

fo dtxd

mtcosFvkx =ω+λ−−

( )tcosmF

xmk

dtdx

mdtxd

fo

2

2

ω=+λ+

Resulta una ecuación diferencial no homogénea que hemos de resolver y en donde hemos

tenido en cuenta la frecuencia del oscilador libre

y el parámetro de amortiguamiento

mk2

o =ω

m2

λ=γ

eFr

dFr

fFr

( )tcosFF fof ω=rr

Donde ωf es la frecuencia de la fuerza aplicada y Fosu amplitud


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El movimiento resultante (solución de la ecuación diferencial) comprende dos términos, uno transitorio y otro permanente. El término transitorio desaparece en un tiempo relativamente pequeño y la solución queda como

x

t

régimen transitorio régimen

permanente

( ) 2f

222o

2f

o

4

mFA

ωγ+ω−ω=

( )α−ω= tsenA)t(x f

Y cuya amplitud es constante y vale

que depende de la frecuencia de la fuerza aplicada

La velocidad será: ( ) ( )α−ω=α−ωω== tcosvtcosAdtdx

)t(v foff

22

f

2o

f

oo

4

mFv

γ+

ωω−ω

=Y cuya amplitud vo vale


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La amplitud se hace máxima para aquellos valores de la frecuencia ωf que cumplan

Se dice entonces que para esta frecuencia se produce un efecto de resonancia en amplitud

⇒=ω

0ddA

f

22of 2γ−ω=ω

La amplitud de la velocidad se hace máxima cuando

Se dice entonces que para esta frecuencia se produce un efecto de resonancia en velocidad

⇒=ω

0ddv

f

oof ω=ω

A

ωf

kFo

γ1γ2

γ=0

γ1> γ2

ωo

vo

ωf

γ1

γ2

γ=0

γ1> γ2 > γ3

ωo

γ3


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L5:Oscilaciones Relaciones trigonométricas

Relaciones trigonométricasRelaciones trigonométricas

[ ]11cossen 22 =α+α

( ) [ ]2cossencossensen αβ±βα=β±α

( ) [ ]3sensencoscoscos βαβα=β±α m

( ) [ ]4cossen22sen αα=α

( ) [ ]5sencos2cos 22 α−α=α

[ ]62cos1

2sen

α−=

α

[ ]72cos1

2cos

α+=

α

[ ]82

cos2

sen2sensen

βα

β±α=β±α m

[ ]92

cos2

cos2coscos

β−α

β+α=β+α

[ ]102

sen2

sen2coscos

β−α

β+α−=β−α

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