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IngenIería económIcanuevo enfoque

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INGENIERÍA ECONÓMICANUEVO ENFOQUE

VÍCTOR MANUEL ALVARADO VERDÍN

PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA


Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinadora editorial: Estela Delfín RamírezSupervisor de prepensa: Gerardo Briones GonzálezDiseño de interiores: Braulio Morales SánchezDiseño de portada: Juan Bernardo Rosado SolísFotografías: © Thinkstockphoto

Revisión técnica:Dr. Jorge S. Robles Álvarez

Ingeniería económica. Nuevo enfoqueDerechos reservados:© 2014, Víctor Manuel Alvarado Verdín© 2014, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

ISBN ebook: 978-607-438-917-3

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en MéxicoPrinted in Mexico

Primera edición ebook: 2014

info editorialpatria.com.mx

www.editorialpatria.com.mx

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A Grupo Editorial Patria por la oportunidad otorgada en cuanto a contribuir en el propósito común de difundir el conocimiento.

A mi editora Estela Delfín Ramírez por su paciencia y orientación durante el desarrollo de esta obra.

Al Dr (c) Jorge Samuel Robles Álvarez por el tiempo dedicado a la revisión del contenido de este libro.


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A mi famila agradeciendo su apoyo y comprensión durante el desarrollo de este libro.

A todas las personas que participaron directa o indirectamente con su tiempo y dedicación de manera amable y desinteresada en esta obra.

A jefes y coompañeros del departamento de Adquisiciones de Equipo y Materiales de la División de Ingeniería de Procura de la SIPE-IMP

(1988-1999) donde tuve la oportunidad de desarrollar y aplicar la ingeniería económica constatando su relevancia en la toma de

decisiones.


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Contenido

Prólogo ..................................................................XPrólogo .................................................................XI

1.Fundamentos de la ingeniería económica ......... 1

1.1 concepto y principios de la ingeniería económica .................................................... 2

1.2 concepto de dinero ....................................... 4 1.3 cambio de valor del dinero en el tiempo ....... 5 1.4 estructura de la tasa de interés ..................... 6 1.5 Interés simple e interés compuesto .............. 8

1.5.1 Interés simple ............................................. 8

1.5.2 Interés compuesto .................................... 10

1.6 Tasa efectiva y tasa nominal ....................... 12 1.7 flujo de caja ................................................ 16 1.8 Diagrama de flujo de caja ........................... 16

2.

Anualidades y factores de interés compuesto ............25

2.1 Series uniformes o anualidades .................. 26 2.2 Series crecientes o decrecientes

- series gradientes ...................................... 31 2.3 costo anual uniforme equivalente (caue) .. 36 2.4 factores de interés compuesto ................... 38 2.5 Desarrollo de la tabla universal de

factores de interés compuesto por excel .... 43 I. cálculo basado en el flujo de caja

original ..................................................... 53

II. cálculo basado en el flujo de caja simplificado .............................................. 54

3.

La contabilidad y las fuentes de financiamiento ....65

3.1 contabilidad ................................................ 66 3.2 estados financieros básicos ....................... 66

3.2.1 Balance general ......................................... 67

3.2.2 estado de pérdidas o ganancias ................ 71

3.3 Importancia de los estados financieros en la ingeniería económica ......................... 73

3.4 análisis financiero ........................................ 74 I. eficiencia .................................................. 74

II. apalancamiento o de estructura ............... 75

iX. Liquidez .................................................... 76

Iv. razones de rentabilidad o rendimiento ..... 77

3.4.1 análisis financiero comparativo ................ 80

3.5 Sistema financiero mexicano ........................ 80 3.6 fuentes de financiamiento ............................ 82

3.6.1 financiamiento interno .............................. 83

3.6.2 financiamiento externo .............................. 84

3.7 costo de capital .......................................... 87 3.8 estructura de capital ................................... 91

4.

Evaluación de proyectos ... 105 4.1 concepto de proyecto .............................. 106 4.2 concepto de evaluación de proyectos ....... 108 4.3 modalidades de evaluación de

proyectos .................................................. 110 4.4 métodos de evaluación de proyectos ........ 111

I. valor presente neto (vPn) ...................... 112


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Contenido ix

II. relación beneficio-costo (B/c) ............... 113

III. Tasa interna de retorno (TIr) .................. 114

Iv. Periodos de recuperación o pay-back ..... 117

4.5 evaluación por alternativas independientes con un mismo horizonte ................................................... 1184.5.1 Simplificación del proceso de

evaluación aplicando funciones de excel .................................................. 126

4.6 evaluación por alternativas independientes con horizontes diferentes .................................................. 129

4.7 evaluación por alternativas mutuamente excluyentes .......................... 132

5.

Medidas para el flujo de caja sobre la dimensión teimpo ........... 145

5.1 Los activos fijos .......................................... 146 5.2 Depreciación ............................................... 146 5.3 La vida útil y el valor de rescate .................. 146 5.4 valor de un activo fijo ................................. 147 5.5 métodos de depreciación ............................ 148

a. métodos lineales ..................................... 148

5.6 evaluación para la compra de activos ......... 1565.6.1 modelo de evaluación por valor

presente de las inversiones .................... 157

5.6.2 modelo de evaluación por el costo anual equivalente de las inversiones ............................................. 160

5.7 flujo de caja después de impustos ........... 162 5.8 evaluación de alternativas bajo riesgo

económico ................................................ 1705.8.1 Los árboles de decisión .......................... 171

5.8.2 La medición del riesgo ........................... 172

5.9 método de evaluación bajo riesgo ............ 174 5.10 evaluación por valor presente neto

para alternativas con horizontes diferentes .................................................. 182

5.11 valor presente capitalizado ....................... 183

Apéndice 1 Funciones financieras de Excel aplicadas a cálculos de ingeniería económica .. 195

I. valor actual para montos puntuales ...... 196 II. valor actual para series uniformes ........ 199 III. valor futuro para montos puntuales ...... 200 Iv. valor futuro para series uniformes ........ 201 v. Tasa de interés efectiva ......................... 202 vI. Tasa de interés nominal ......................... 203 vII. Determinación de la tasa de interés

dada una inversión y un valor futuro ..... 204 vIII. Determinación de la tasa de interés

dada una serie uniforme y un valor presente o valor futuro .......................... 206

IX. Determinación del valor del costo anual uniforme equivalente ................... 207

X. Determinación del número de periodos a partir de un valor presente o un valor futuro ................................... 208

XI. Determinación del número de periodos de una serie uniforme a partir de un valor presente o un valor futuro ............ 209

XII. Determinación del valor de la depreciación por el método de depreciación por línea recta .................. 210

XIII. Determinación del valor de la depreciación por el método de depreciación por doble saldo decreciente ............................................ 211

Apéndice 2 Tablas de factores de interés compuesto ...... 215

Glosario ................................... 261Bibliografía ............................... 265Índice analítico ........................... 265


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Prólogo

Durante varios años he conocido los trabajos del Dr. Víctor Manuel Alvarado Verdín en torno a proyectos de inversión, direcciones de tesis, impartición de clases de administración de la

producción e ingeniería económica, entre otros.El esfuerzo por conjuntar sus actividades profesionales, académicas y de investigación, se ha

reflejado a lo largo de este libro, que acusa un dilatado esfuerzo. Concatenar las ideas, saberes, experiencias, conocimiento y exigencias profesionales, no resulta tarea fácil.

La secuencia lógica capitular de esta obra refleja conocimiento pleno en el terreno de la inge-niería económica. Más allá de los fundamentos teóricos y de las referencias empíricas, que dan cuerpo y sentido al texto, el autor exhibe su gran compromiso y pasión por estos temas.

El nuevo enfoque del cambio de valor del dinero en el tiempo imprime una visión realista y objetiva, sobre la realidad en los proyectos de inversión y la toma de decisiones. Seguramente el texto permitirá adentrarse, con riguroso conocimiento, en el tema de la ingeniería económica.

¡En hora buena Dr. Alvarado!

Dra. María Antonieta Andrade VallejoJefa de la Sección de Estudios de Posgrado (2008-2011)

Escuela Superior de Comercio y Administracióndel Instituto Politécnico Nacional, México

Primavera 2011


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Prólogo

La Ingeniería es una disciplina que se nutre de múltiples materias correspondientes a las cien-cias naturales, como la Física, la Química, así como de las Matemáticas aplicadas, los métodos

estadísticos, entre otras materias básicas en la formación de estos perfiles, para lograr profesionales emprendedores con conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes que los distinguen en sus diferentes campos de acción como personas que aplican su ingenio en el desarrollo de su actividad profesional.

La obra del Dr. Víctor Manuel Alvarado Verdín denominada “Ingeniería Económica” pretende lograr que los estudiantes y profesionistas de las áreas de ingeniería conozcan, aprendan y apli-quen las diferentes técnicas de evaluación que contempla esta disciplina para el adecuado proceso de toma de decisiones en los proyectos de inversión tomando en cuenta el valor del dinero a través del tiempo.

En cuestiones de orden económico y financiero no es posible tomar decisiones adecuadas si no se hace una valoración del costo del capital, a través de las tasas de interés que se tienen que pagar por el financiamiento de dichos proyectos.

Asimismo, toma relevancia conocer las diversas fuentes de financiamiento a las que se puede acudir y las condiciones que nos impone el mercado de capitales para que éstas sean invertidas y que, a través de un análisis del estado que guardan las finanzas de las empresas o sociedades, podamos conocer tanto los niveles de endeudamiento a los que se tiene capacidad, así como las mejores opciones de financiamiento que puedan acceder.

Los planes de negocios y empresariales son temas obligados para evaluar la conveniencia de realizar o no inversiones, ya sea en obras de infraestructura, plantas de producción de bienes o de prestación de servicios.

La Ingeniería Económica centra todos sus métodos y técnicas de análisis en la evaluación de proyectos de inversión para la toma de decisiones monetarias. De ahí la importancia de evaluar las diferentes alternativas de combinaciones de costos y beneficios a obtener en tiempo futuro, a tra-vés del cálculo de tasas internas de retorno, valores presentes proyectados a futuro, flujos de caja y otros parámetros de evaluación.


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xii PróLogo

El autor, a través de esta obra, vierte toda su experiencia profesional y nos muestra de una ma-nera sencilla y amena el difícil arte de decidir la mejor opción para invertir. Estoy seguro que esta obra será de gran trascendencia y utilidad para la formación de las futuras generaciones de toma-dores de decisiones económicas; y que el Dr. Alvarado Verdín será, con esta obra, gran precursor en la formación de futuras generaciones de profesionales con pensamiento sistémico financiero.

Dr. Margarito Padilla AguilarRector del Instituto de Estudios Superiores en Administración Pública


1 Fundamentos de la ingeniería económica

Objetivo generalExponer la trascendencia de la ingeniería

económica en el contexto y proceso

de toma de decisiones sobre la técnica

para la evaluación de las inversiones en

proyectos de ingeniería en la industria,

bajo el principio financiero: cambio de

valor de dinero en el tiempo.

Objetivos específicos

• Conocerelorigen,eldesarrolloylosprincipiosdelaingenieríaeconómica,comofactoresrelevan-tes en la decisión sobre la inversión.

• Analizarlosreferentesylasoperacionesmatemáticasfinancierassobreelorigenylasfuncionesdeldinero como medida del valor, medio de circulación, medio de acumulación y de atesoramiento.

• Identificarelconceptodecambiodevaloreneltiempoylastasasdeinterés,asícomolosprincipiosdelcálculofinancieroquelodeterminan.

• Revisarlosdiferentestiposdecálculodetasasdeinterés,asícomosuestructura,dependiendodela inversión.

• Explicarlosprincipiosdeinteréssimpleeinteréscompuesto,básicosdelcálculofinanciero.

• Deduccióndelasfórmulasdelvalorpresenteyfuturoconbaseenelinteréscompuesto.

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2 IngenIería económIca

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1.1 Concepto y principios de la ingeniería económicaLos primeros conceptos sobre ingeniería económica fueron desarrollados y publicados por el ingeniero civil de origen estadounidense Arthur Mellen Wellington (1847–1895), quien en 1887 los dio a conocer en su libro titulado The economic theory of the location of rail-ways, editado por la Railroad Gazette y John Wiley de Nueva York. Sin embargo, no fue sino hasta la quinta edición de la obra que Mellen Wellington dio cuenta de la importancia de considerar las especificaciones y las condiciones de operación de las vías férreas para la determinación de los costos de funcionamiento. Como dato se puede señalar que estos principios fueron aplicados por él en el diseño y la construcción de las vías de ferrocarril en México a principios del siglo xx.

Después de Mellen Wellington, el progreso en los principios de la ingeniería económica correspondió a John Charles Lounsbury Fish (1870–1962), profesor de ingeniería civil en la Universidad de Stanford durante 42 años, hasta su retiro. En 1915 publicó su libro Enginee-ring Economics: First Principles, en el cual, y con base en el análisis de las inversiones para el desarrollo de estructuras, expone que el diseño y construcción de las mismas se encuentran supeditados a un juicio económico.

Debido a sus aportaciones, a Lounsbury Fish se le considera el precursor en la defini-ción de las técnicas para la evaluación económica de proyectos de ingeniería basadas en la relación de los principios de diseño con conceptos y modelos del orden económico; conta-ble para las decisiones de inversión financiera; y de gestión de insumos.

En la misma Universidad de Stanford, Eugene L. Grant (1897-1996) precisó el alcance de la ingeniería económica en su texto titulado Principles of Engineering Economy, publi-

cado en 1930. Las aportaciones de Grant permitieron definir los principios para la toma de decisiones sobre inversiones a corto plazo.

El término de la Segunda Guerra Mundial generó restriccio-nes en la procuración de todo tipo de recursos, dando origen al desarrollo de modelos matemáticos para la estructuración de mé-todos de evaluación que garantizaran la aplicación efectiva de los recursos públicos en atención a que los gobiernos y organizacio-nes internacionales asumieron la responsabilidad de los procesos de reconstrucción y asistencia social.

A partir de ese momento el desarrollo industrial y la diversifi-cación de las actividades económicas han propuesto dar continui-dad al perfeccionamiento de los métodos y las técnicas de análisis económico-financieros para la toma de decisiones monetarias en lo referente, entre otros, a:

El diseño y la construcción de puertos, aeropuertos, vías de comunicación, conjun-■■

tos habitacionales, etcétera.El diseño y la construcción de plantas industriales.■■

Figura 1.1 Eugene L. Grant.


CapítulO 1 Fundamentos de la ingeniería económica 3G

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El análisis de costos de producción.■■

La compra o reemplazo de equipo y maquinaria.■■

Ante lo expuesto, se puede definir a la ingeniería económica como.

“El conjunto de métodos matemáticos, basados en el cambio de valor del dinero en el tiempo, que aportan información cuantitativa para soportar la toma de decisiones sobre el monto y viabilidad económico-financiera de las inversiones en proyectos de ingeniería”.

La metodología de evaluación propuesta por la ingeniería económica se fundamenta en los siguientes principios:

1. El proceso de evaluación y decisión para la inversión se fundamenta en la estructuración y el análisis de las alternativas económico-financieras que constituyen el esquema de op-ciones con las que cuenta la entidad promotora o de aquella que aprobará el proyecto.

2. El proceso de evaluación de la ingeniería económica reconoce que la información sobre las alternativas es definida en un espacio temporal específico, y aceptando que el pro-ceso de evaluación se puede llevar a cabo posteriormente a dicha definición, y puede generar incertidumbre sobre los resultados.

3. El proceso de evaluación de las alternativas de inversión se debe fundamentar en el análisis de las diferencias económicas existentes entre las mismas, así como de todos aquellos factores que se consideren relevantes para cada proyecto específico.

4. El proceso de evaluación económica debe generar los resultados en una unidad común, a efecto de facilitar el análisis y la comparación de las alternativas resultantes del cálculo financiero adecuado al tipo de sector industrial.

5. El proceso de toma de decisiones se debe basar en los resultados del proceso de evalua-ción bajo un mismo criterio, para las diferentes alternativas que arroje la aplicación de la ingeniería económica.

6. El proceso de toma de decisiones debe considerar una propuesta de evaluación del grado de cumplimiento de los resultados financieros proyectados, comparados con la medición de los valores calculados.

La realidad que enfrentan las diferentes especialidades de la ingeniería les propone retos de diversos órdenes y grados de complejidad donde las premisas actuales en la conceptuali-zación de los proyectos de ingeniería son: lograr el mejor aprovechamiento de los recursos disponibles (eficiencia); generar resultados específicos con calidad y en tiempo (eficacia); y optimizar (efectividad) los montos de inversión, así como los costos de operación (eco-nomía). Teniendo en cuenta que todas las actividades concernientes a la conceptualiza-ción, implementación y operación de proyectos tienen en común convertirse en unidades monetarias, se considera pertinente que el responsable de efectuar el cálculo y análisis


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económico-financiero para una inversión debe conocer los conceptos y fundamentos de la ingeniería económica, en atención a que permite sustentar la toma de decisiones, con-siderando las variables relevantes que pueden afectar la aplicación de las soluciones y el desarrollo de los proyectos.

1.2 Concepto de dineroA ciencia cierta no existe una evidencia concreta sobre el origen y la aparición del dinero. El historiador griego Herodoto refiere que los lidios del Asia Menor (670 a.C.) fueron los primeros que usaron monedas de oro y plata como dinero, aunque otras fuen-tes señalan a los chinos, fenicios y griegos como los pueblos que tuvieron a bien utilizar placas metálicas o arcilla como medio de cambio para el pago de bienes y servicios. También se puede ha-cer mención de las culturas precolombinas, que utilizaron plu-mas, oro, piedras preciosas o coral como moneda, pudiendo des-tacar el caso de los aztecas, los cuales emplearon el cacao como el medio de uso corriente para las operaciones comerciales.

De manera general se puede apuntar que en un inicio los miembros de las sociedades utilizaron el trueque como el meca-nismo para obtener bienes o servicios; entonces tan solo bastaba con ubicar a aquel que tuviera “lo que se necesitaba”, procedien-do a negociar “aquello que se podía ofrecer a cambio, así como la cantidad”. Sin embargo, en ocasiones los participantes en el

trueque no coincidían en los criterios para concretar los recursos y cantidades a aplicar. Lo anterior dio origen a que algunas sociedades propusieran un recurso único, atractivo y de aceptación generalizada para desarrollar los intercambios de bienes o servicios; o sea, surgió el dinero.

La palabra dinero se deriva del latín denarium, nombre de la moneda utilizada por los romanos para concretar las actividades comerciales; por lo que muchos historiadores seña-lan que la estructuración del uso y mecanismos del dinero se debe a los romanos. El uso del dinero ha servido a lo largo del desarrollo de las sociedades como la medida del valor para tasar el precio económico relativo a los bienes y servicios.

El dinero, como tal, cuenta con algunas características distintivas como son:

1. El dinero es un medio de intercambio, el cual es de fácil transportación y almacena-miento.

2. El dinero es un medio relativo para medir el valor de las cosas en consideración a la ob-jetividad e interpretación de las sociedades, por lo que pese a ser un medio de intercam-bio las partes deben acordar los montos que equilibren las perspectivas y los intereses de los participantes.

Figura 1.2 Herodoto.



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3. El dinero representa riqueza, y se le puede considerar como un medio de acumulación o atesoramiento constituido por: monedas, oro, piedras preciosas u objetos que por su naturaleza lo avalen.

4. El dinero es volátil, no renovable y escaso, características que lo hacen caro.

Figura 1.3 El dinero es un producto volátil y no renovable.

Con la evolución de las sociedades y el desarrollo de la economía se puede señalar que son los gobiernos, a través de sus instituciones (como lo son los bancos centrales), los que avalan, certifican y garantizan la emisión del dinero de curso legal en forma de billetes, monedas o documentos.

Las leyes y políticas que los gobiernos diseñen e implementen para regular y controlar darán certidumbre a las operaciones que desarrollen los diferentes miembros de la sociedad procurando un medio común para el intercambio de bienes y servicios. En México existen el Banco de México y el Sistema Financiero Mexicano, que son los garantes de las monedas y operaciones en el país.

El Banco de México cuenta con un respaldo por la emisión de billetes que está en el petróleo, oro y dólares principalmente.

1.3 Cambio de valor del dinero en el tiempoDesde la aplicación del trueque como mecanismo para obtener los bienes o servicios, se puede apuntar que, sobre todo, la parte que poseía “las cosas que otros necesitaban” tomaba en cuenta las circunstancias y problemáticas que se tuvieron para conseguirlas o generar- las, por lo que consideraba los efectos de fenómenos naturales, las intervenciones políticas, guerras, plagas, robos, condiciones atmosféricas, entre tantas, para la determinación “del valor de las cosas”; bajo estas circunstancias se requería mayor cantidad de recursos a ofre-cer, o mayor cantidad de dinero. Lo anterior propone que para cualquier intercambio el valor del dinero en el presente se convierte en otra cantidad en el futuro, teniendo en cuenta los efectos de las circunstancias que ocurran durante el tiempo transcurrido; en otras pala-bras, de manera ideal, es la cantidad de dinero que se debe aplicar o disponer en el presente para generar una mayor cantidad en el futuro, pudiendo deberse a un interés (aumento) o decremento (inflación o devaluaciones de la moneda).



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Determinar “qué tanto se requiere” que el dinero cambie de valor en razón del tiempo es resultado de la influencia de las tasas de interés, concepto que se explica en los siguientes apartados.

1.4 Estructura de la tasa de interésDebe contemplarse que la intención de todo inversionista es la creación de valor (utilida-des, rendimientos o dividendos), entendiéndose ésta como el desarrollo de todas aquellas actividades que tengan un propósito, la generación de un beneficio para aquel que ponga en riesgo su capital.

Todo inversionista procura aplicar su capital en las mejores opciones disponibles en el mercado o proyectos considerando que pasado un tiempo “t” (denominado plazo) no sólo recupere el capital dispuesto en la inversión sino adicionalmente obtenga un beneficio. Si se considera que el capital invertido está representado como una Canti-dad Inicial (ci), la cual se aplica a un determinado plazo de manera que al término del mismo se obtiene una Cantidad Final (cf), cumpliendo, dentro de lo posible con la siguiente condición:

CF >> CI (1)

Donde a la diferencia entre CF y CI se denomina interés, o sea, el beneficio obtenido por aplicar y arriesgar el capital:

I = CF – CI (2)

El interés también puede representarse como la proporción de la CI que el inversionista recibiría al final del plazo, o sea, la tasa de interés:

I =

CF – CI 100

(3) CI

Básicamente la composición de las tasas de interés no sólo debe establecer la proporción de beneficio que el inversionista espera recibir por arriesgar su dinero, sino que las tasas de interés deben incluir la cobertura de todos aquellos factores que pueden incidir en el cam-bio de valor del dinero en el tiempo tal como se muestra a continuación.

I (%) = f [E(tasa de inflación), E(tasa real), E(prima de liquidez), E(prima de riesgo)] (4)



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Nótese que la estructura general de una tasa de interés matemáticamente es una función donde cada término situado al lado derecho está precedido por un operador de expectati-vas, “E”. Dentro de esta función en primer lugar se identifica a la tasa de inflación, la cual es la estimación de mercado que puede obedecer a un exceso de productos o circulante. Los inversionistas tratan de estimar cuál será la inflación teniendo en cuenta que esperan que el dinero invertido conserve su poder adquisitivo, en consecuencia, las tasas de interés en el mercado incluyen una proporción que genere una cobertura que evite la pérdida de su inversión.

En segundo lugar se ubica la tasa de interés real, la cual se refiere a la tasa de interés que expone el precio del dinero, como producto, dentro de los mercados a lo largo del tiempo, ante la ausencia de inflación. La tasa real es aquella cuyo interés iguala las solicitudes y las coberturas de préstamos en la economía; en otras palabras, es el costo de oportunidad del capital y que puede cubrir las expectativas de cada inversionista.

En 1930, Irving Fisher expuso que todo aquel que desee maximizar su riqueza debe fundamentar sus decisiones de consumo e inversión en la tasa de interés determinada por e1 mercado, más que en sus propias y subjetivas tasas de rendimiento. Las decisiones óp-timas de inversión están separadas de los gustos y las preferencias de los individuos. Lo anterior refiere los “Principios de separación de Fisher”, los cuales consideran un entorno ideal sin inflación y cumplimiento de las obligaciones, tal como se indica a continuación:

Suponiendo un intercambio de fondos que permita la total cobertura de los requeri-mientos de dinero a través de préstamos, entonces:

1. Habrá una tasa de interés de equilibrio que igualará el monto de los préstamos solicita-dos con el monto de los préstamos concedidos;

2. Los individuos descartarán sus propias tasas subjetivas de interés y usarán la tasa de rendimiento de equilibrio del mercado para tomar decisiones óptimas de inversión, y

3. Todos los individuos se encontrarán mejor de lo que hubieran estado en un mundo sin oportunidades de solicitud y concesión de préstamos.

En relación con la prima de liquidez se puede mencionar que está definida por los meca-nismos a través de los cuales el capital invertido será reintegrado, así como los beneficios esperados. Los términos pactados en cuanto a moneda o especie y los plazos son elementos determinantes de la prima de liquidez.

En cuanto a la prima de riesgo, ésta se encuentra relacionada con las condiciones del entorno globalizado en el que se desarrollará la inversión, ya que los diversos factores que componen los ámbitos político, económico y social pueden ofrecer facilidades o limitantes a las inversiones, por lo que los inversionistas deben contar con cuadros de información que les expongan las condiciones esperadas a lo largo del plazo de la inversión y que les apoyen en el proceso de toma de decisiones, permitiendo definir la prima de riesgo.



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1.5 Interés simple e interés compuestoComo se ha comentado, toda persona que cuente con una cierta cantidad de dinero tendrá la intención de aplicarlo de la mejor manera a efecto de generar la mayor cantidad de bene-ficios posibles. En atención a lo anterior, la persona puede optar por invertir o salvaguardar su dinero por lo que debe tener en claro los mecanismos o las formas de aplicación, así como de la recuperación de los beneficios.

Si los beneficios esperados están definidos por intereses, resultado de inversiones o aho-rro, entonces éstos pueden generarse bajo dos modalidades:

Interés simple.■■

Interés compuesto.■■

1.5.1 Interés simpleSe calcula utilizando la misma cantidad inicial o principal de inversión o préstamo aplicán-dola durante un tiempo “t”, donde al término del mismo el interés generado es retirado o ignorado, procediendo a aplicar el principal de nueva cuenta, repitiendo el criterio expuesto tantos periodos como se requiera; en otras palabras, se evita acumular al principal los inte-reses generados. Los intereses no forman parte del nuevo periodo para su cálculo, es decir, no se recapitaliza.

En los siguientes diagramas se muestra de manera gráfica cómo se desarrolla el interés simple. Para efectos de simplificar el manejo matemático se renombra al principal como presente (P), ya que representa la cantidad con la que cuenta inicialmente la persona. Asi-mismo, redefiniremos la cantidad final (CF) como futuro (F), considerando que representa el monto esperado por la persona al término del periodo de aplicación; por lo tanto se pre-senta en la gráfica 1.

Por consiguiente, el interés acumulado para “n” periodos por interés simple queda ex-presado como

IS = P ∙ n ∙ i (5)

dondeIS = Interés simple acumulado P = Cantidad Inicial o Principal o Presente n = número de periodos de aplicación i = tasa de interés

Asimismo se puede establecer que la Cantidad Final o Futuro (F) a obtener después de “n” periodos por Interés Simple se puede calcular, después de desarrollar la sucesión, como:

F = P + IS = P [1 + (n∙i)] (6)

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Capítulo 1 Fundamentos de la ingeniería económica 9G

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P

0 1

n–1 n

F1 = P + I = P + (P × i)

Fn–1 = P

1 2

F1 = P F2 = P + I

2 3

F2 = P F3 = P + I

Fn = P + I

Los intereses se retiran o ignoran para el

siguiente periodo de aplicación.

Gráfica 1.

EjEmplo 1.1

El 1 de enero de 2011 la señorita Arrioja decide hacer uso de una de las prestaciones que le ofrece la empresa donde labora, por lo que pide prestados $2,000 a cuenta de su agui-naldo, pagando 4% mensual bajo interés simple. Por lo que se desea saber:

a) ¿Cuál será el valor del futuro a pagar al final del año? b) ¿A cuánto ascenderá el interés a pagar durante 2011?

Solución

P = $2,000 i = 4% mensual n = 12 meses IS = Interés simple F = ?

a) Para el caso del valor futuro, tenemos:

F = P + IS = P[1 + (n ∙ i )] sustituyendo valores en ecuación (6): = $ ,2 000 1 12

4100

+ ⋅



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= $2,000[(1 + (12 × 0.04)] = $2,000[(1 + (0.48)] = $2,000 (1.48) F = $2,960.00

b)

IS = P ∙ n ∙ i sustituyendo valores en ecuación (5)

= $ ,2 000 124

100( )

= $2,000(12)(0.04)] = $2,000(0.48)] IS = $960.00

1.5.2 Interés compuestoSe calcula utilizando la cantidad inicial o principal de inversión o préstamo aplicándolo durante un tiempo “t”, donde al término del mismo, el interés generado se integra al prin-cipal, aplicando el monto acumulado al siguiente periodo procediendo a repetir el criterio expuesto tantas veces como periodos sean requeridos; en otras palabras, se acumula al prin-cipal o presente los intereses generados al final de cada periodo de aplicación.

Al hecho de que al final de un periodo de aplicación los intereses generados se integren al principal o presente para efectos del cálculo de los intereses del periodo siguiente se le denomina capitalización de intereses.

De manera gráfica el interés compuesto queda explicado en el siguiente diagrama,

P

0 1

F1 = P + I = P + (P × i ) = P (1 + i )

1 2

F1 F2 = F1 + F1i = F1(1 + i ) = P(1 + i )(1 + i ) = P(1 + i )2

2 3

F2 = P F3 = F2 + F2 i = F2 (1 + i ) = P (1 + i )

= P (1 + i )(1 + i )2 = P (1 + i )3

Los intereses se acumulan para el

siguiente periodo de aplicación.

Gráfica 2.



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Como se puede observar y deducir, el valor futuro de cada periodo de aplicación es igual al valor presente “P” multiplicado por (1 + i) elevado al número de periodos de aplicación (n), por lo que se puede señalar que el valor futuro de un monto “P” por interés compuesto queda expresado como

F = P(1 + i)n (7)donde:F = cantidad final o futuroP = principal o valor presentei = tasa de interésn = número de periodos

EjEmplo 1.2

Resuélvase el ejemplo anterior de interés simple, pero bajo condiciones de interés com-puesto.

Solución

a) Datos P = 2,000 i = 4% mensual n = 12 mesesSustituyendo valores en ecuación (7) F = P(1 + i )n

= 2,000(1 + 4%)12

= 2 000 14

100

12

, +

= 2,000(1 + 0.04)12

= 2,000(1.04)12

= 2,000(1.6010) F ≈ $3,202.06b) I = CF – CI = F – P = $3,202.00 − $2,000.00 = $1,202.00

1.6 tasa efectiva y tasa nominalToda persona interesada en invertir o pedir prestado dinero no sólo debe conocer el valor de la tasa de interés, sino también conocer el periodo o plazo que ésta cubre en atención a



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tener presente el lapso en que los intereses serán generados, ya que si así se amerita, éstos pudieran ser capitalizados; lo anterior tiene fundamento en lo que se denomina como tasa efectiva y tasa nominal.

Una tasa efectiva es aquella tasa de interés donde al final de su periodo de aplicación o plazo de manera cierta se generan los intereses. Por regla general, si en una tasa de interés no se menciona el plazo, de manera explícita, deberá entenderse que la tasa es anualizada.

De manera textual las tasas efectivas se expresan de la siguiente forma:

3% (indica anual, debido a que no se indica el plazo)■■

3% mensual■■

8.5% trimestral■■

7.9% semestral■■

14% anual (tácita, debido a que se indica el plazo)■■

Mientras que una tasa nominal o aparente es aquella cuyo periodo de aplicación o plazo requiere repetirse “n” veces para igualar un periodo de aplicación o plazo en cuestión. De manera textual las tasas nominales se expresan de la siguiente forma:

12% semestral, mensual■■

La tasa expuesta indica que a partir de una tasa de 2% mensual se estructura una tasa de 12% semestral, o sea que

2% mensual × 6 meses / semestre = 12% semestral, mensual

14% anual, semestral■■

La tasa expuesta indica que a partir de una tasa de 7% semestral se estructura una tasa de 14% anual, o sea que

7% semestral × 2 semestres/año = 14% anual, semestral

Una tasa de interés nominal puede calcularse si se conocen el valor de la tasa de interés real y la inflación,

Tasa nominal = E(tasa real) + E(inflación)

por lo que,E(inflación) = T nominal - E(tasa real)

de manera concreta,

in = ir + if + (ir × if ) (8)



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donde,

in = tasa nominalir = tasa realif = tasa de inflación

En caso que se conozcan la tasa nominal y la tasa de inflación, es posible conocer el valor de la tasa real deflactando la tasa nominal, por lo que a partir de la fórmula de la tasa nominal se procede a despejar la tasa real:

in − if = ir (1 + if ) (9)

ii i

ir

n f

f

=−

+( )1 (10)

El problema existente de aplicar una tasa nominal en lugar de una tasa efectiva reside en la generación de los intereses debido a que una tasa nominal no capitaliza los intereses entre los periodos intermedios de un plazo definido. A efecto de precisar lo anterior considérese el siguiente ejemplo:

EjEmplo 1.3

El señor Garcés desea invertir $300.00 a una tasa de 8% semestral durante un año a in-terés compuesto. ¿Cuál es el valor de la cantidad de dinero que deberá recibir al término del año?

Solución

En primera instancia la persona pudiera establecer que la tasa de interés a aplicar es:

8% semestral × 2 semestres / año = 16% anual

Donde esta tasa es nominal debiéndose definir como 16% anual, semestral, la cual al aplicarla a la fórmula del valor futuro, utilizando la ecuación (7)

F = P(1 + i )n = $300.00(1.16)1 = $300.00(1.16) = $348.00

Pero el problema que expone esta tasa nominal es que no capitaliza los intereses gene-rados durante el primer semestre de aplicación, ya que si utiliza la tasa efectiva de 8% semestral la inversión de $300.00 deberá aplicarse durante 2 semestres, lo que permitirá capitalizar los intereses del primer semestre y en consecuencia capitalizar —de manera acumulada— los intereses del segundo semestre,



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F = $300.00 (1.08)2 = $300.00 (1.1664) = $349.92

O de manera desglosada por semestre, ■ Primer semestre:

F = $300.00 (1.08) = $300.00 (1.08) = $324.00

■ Segundo semestre:

F = $324.00 (1.08) = $324.00 (1.08) = $349.92

Tal como se aprecia, existe una diferencia sobre los resultados de la inversión utilizando la tasa nominal de 16% anual, semestral y la tasa efectiva de 8% semestral. Lo que a la persona le pudiera causar confusión es a cuánto asciende el monto a recibir.Por lo que, para evitar este tipo de problemas, las tasas nominales se pueden convertir en tasas efectivas para un periodo o plazo de interés específico a través de la siguiente fórmula:

iime

n

m

= +

−1 1 (11)

donde ie = tasa efectiva in = tasa nominal m = número de periodos que igualan al plazo de interés específico

Por esta razón, al calcular el presupuesto anual, como no se utilizó la tasa efectiva, faltará dinero.

EjEmplO 1.4

Considerando los datos del ejemplo 1.2 se calcula la tasa efectiva a partir de la tasa no-minal de 16% anual semestral.

Solución

Si m = 2 en atención a que un año cuenta con 2 semestres,

ie = +

− = =1

0 162

1 0 1664 16 642

.. . % anuaal



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Aplicando la tasa efectiva en la fórmula del valor futuro,

F = $300.00 (1.1664)1 = $300.00 (1.1664) = $349.92

Por tanto el monto que deberá recibir la persona es de $349.92.

Caso especial de intereses simple y compuesto

Monto

Tiempot 0

Interés simple

Interés compuesto

El interés simple en cierto (t 0) es más caro que el interés compuesto. lo que nos lleva a efectuar análisis cuantitativos y graficarlos antes de tomar una decisión.

ComentarioCon base en los conceptos expuestos, en el caso de México, la forma en que se estructu-ran las tasas de interés para algunas personas puede ser de orden complejo, por lo que, de manera general, se puede comentar que el Banco de México propuso el Costo Anual Total (CAT), el cual es una tasa de interés que incorpora todos los pagos que involucra un crédito, ya sea hipotecario, de tarjeta de crédito, para adquisición de automóviles, para compra de bienes de consumo duraderos e incluso los otorgados a las PyMES. Para calcular el CAT se considera la tasa nominal (mensual) más todos los cargos, comisiones, primas de seguros, bonificaciones, descuentos y amortizaciones del principal; ha de resaltarse que se puede incurrir en anatocismo.



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Es interesante señalar que en el caso de los créditos para la adquisición de bienes de consumo duradero, las tiendas y los almacenes no informaban a sus clientes y cuentaha-bientes sobre la tasa de interés que se pagará, sólo el monto de los pagos a realizar, pero bajo el CAT deberán informar sobre el costo total anual del producto, donde los intereses se deben calcular sobre los saldos insolutos, o sea con base en el nivel de deuda existente, o descontados los abonos o pagos parciales efectuados al saldo deudor, lo que facilita que las cantidades finales de los créditos disminuyan.

De lo anterior es importante revisar los contratos de adhesión de un crédito.

1.7 Flujo de cajaEl flujo de caja es el esquema que muestra los montos de los ingresos y los egresos o, en su caso, la diferencia entre ellos, en un periodo o varios periodos.

Ha de considerarse que el desarrollo de cualquier actividad, de acuerdo con su naturale-za y propósitos, requiere la aplicación de recursos de diferentes órdenes; sin embargo, todos los recursos tienen un valor, el cual puede expresarse en unidades monetarias.

1.8 Diagrama de flujo de cajaEs la representación gráfica del flujo de caja mediante una escala de tiempo que permite ubicar los montos de ingresos o egresos en periodos de tiempo específicos. La escala de tiempo es una recta numérica cuyas subdivisiones pueden representar semanas, meses, tri-mestres, años, etcétera.

La representación y ubicación de los valores de los montos dentro de un diagrama de flujo obedecen a reglas muy simples, como son:

1. La escala de tiempo inicia en el “periodo cero” o “presente”, de manera que todo monto que se ubique por delante de este periodo se considerará como un futuro.

2. Los flujos de dinero deben ubicarse de manera puntual sobre un periodo específico.

3. Los flujos de efectivo se representan mediante “vectores monetarios” cuya magnitud representa el valor a declarar.

4. Las cantidades ubicadas por arriba de la escala representan valores positivos, como: utilidades, ingresos o cualquier beneficio.

5. Las cantidades ubicadas por debajo de la escala representan valores negativos, como: inversiones, costos, gastos, pérdidas, egresos o desbeneficios.

6. Los flujos se pueden simplificar mediante su diferencia directa en cada periodo, o sea, no se pueden combinar montos de periodos anteriores o posteriores al que se está sim-plificando.

Las reglas anteriores se resumen a continuación de manera gráfica.



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Para dar cuenta de la aplicación y utilidad de los conceptos anteriores considérense los siguientes ejemplos.

EjEmplO 1.5

El señor Requenes invierte $100,000.00 en un instrumento financiero que ofrece una tasa de 24.00% anual (recapitalizable anualmente). Si mantiene invertido su dinero durante los próximos 5 años, ¿cuánto obtendrá al final del plazo?

SoluciónLa inversión queda expresada de manera gráfica como sigue:

Presente

Futuro

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n–1 n

Montos positivos Ingresos, utilidades, beneficios

A

A

Montos negativos Inversiones, egresos, costos

=

G

0 1 2 3 4 5

F = ?

$100,000



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Sedebeaclararquelasunidadesdetiempodebenserdelmismovalor,esdecir,sielinterésessemes-tral los periodos deben ser igualmente semestrales.

Para obtener el valor futuro al término de los 5 años se deberá aplicar la fórmula del valor futuro,

F = P (1 + i )n (12)

Por tanto, sustituyendo valores,

F = $100,000(1.24)5 = $100,000(2.9316) = $293,162.51

Se observa que la cantidad obtenida representa lo que podría obtener al final de 5 años de no tener otra opción de inversión.

EjEmplO 1.6

La señorita Sánchez realiza la planeación de sus ingresos y gastos personales más im-portantes de los siguientes 6 meses, para lo cual construye el diagrama de flujo que se muestra. La persona se pregunta: ¿A cuánto dinero equivale hoy mi flujo de caja personal si se considera una tasa de 3% mensual?

0 1 2 3 4 5 6

$2,000

$1,000

$300

$400

$600

Solución

Considerando que el “periodo cero” es el presente, todos los montos del flujo de caja son un futuro por lo que se debe calcular el valor presente de cada uno utilizando la fórmula del valor presente bajo interés compuesto.



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PF

=+( )1 i

n (13)

Llevando un orden se calculan los valores presentes de los ingresos,

P1000 = $1,000 = $970.87 (1.03)

P1000 = $2,000 = $1,725.22 (1.03)5

Donde la suma del Valor Presente de los Ingresos (VPI) es,

ΣVPI = $970.87 + $1,725.22 = $2,696.09

De la misma manera se procede con los egresos,

P300 = $300 = $282.78 (1.03)2

P400 = $400 = $366.06 (1.03)3

P600 = $600 = $502.49 (1.03)6

Donde la suma del Valor Presente de los Egresos (VPE) es,

ΣVPE = $282.78 + $366.06 + 502.49 = $1,151.33

Gráficamente, los resultados obtenidos se expresan como:

0 1 2 3 4 5 6

$2,696.06

$1,151.33

0 1 2 3 4 5 6

$1,544.73

=



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En atención a que las sumatorias de los valores presentes se pueden simplificar, se obtie-ne que el monto del valor presente del flujo de caja de la persona equivale a,

ΣVPI – ΣVPE = $1,544.73

EjEmplO 1.7

El señor José Luis López invierte, el primer día del año, de manera íntegra su aguinaldo, que asciende a $16,000.00 en un contrato de inversión bancaria el cual le ofrece 1.93% mensual (28 días). El señor López desea saber cuántos meses debe mantener deposita-do su dinero para obtener $18,000.00.

Solución

El diagrama de flujo del problema queda expresado como sigue:

0 1 2 3 n –1 n

$18,000

$16,000

Como se puede observar, se cuenta con el monto del valor presente inicial de $16,000.00 y el monto del valor futuro deseado de $18,000.00, pero se desconoce el número de pe-riodos de aplicación de la inversión. Por lo que, utilizando la fórmula del valor futuro, se puede despejar “n” a efecto de conocer su valor aplicando las reglas de los logaritmos, como se expone a continuación.Si

F = P(1 + i )n

dividiendo los términos de la ecuación entre P,



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FP= +( )1 i

n

(14)

aplicando las reglas de los logaritmos a ambos miembros de la ecuación,

yn = n ln y

ln lnFP

= ⋅ +( )n i1 (15)

despejando “n”,

ln

ln

FP

+( )=

1 in (16)

Sustituyendo valores y operando,

ln$ , .$ , .ln .

18 000 0016 000 001 0193

( ))= = ≈n 6 16 7. meses

Comprobando,

F = $16,000.00 (1.0193)7 = $16,000.00 (1.1432) = $18,291.20



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prEguntas

1. Diga cuáles son los nombres de los principales exponentes de la ingeniería económi-ca indicando sus principales aportaciones a la misma.

2. Refiera tres de los principios de la ingeniería económica. 3. Mencione tres características del dinero. 4. Explique la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto en cuanto al pro-

ceso de capitalización de los intereses. 5. Especifique la diferencia entre una tasa de interés nominal y una tasa de interés efectiva. 6. De acuerdo con la ecuación de la tasa de interés nominal

in = ir + if + (ir × if )

refiera el significado de los elementos que la componen:

in =

ir =

if =

7. Proceda a clasificar como efectiva o nominal las tasas de interés que se citan a conti-nuación.

48% semestral, basada trimestral

18% mensual

36% anual

52% anual, cuatrimestral

problEmas para rEsolvEr

8. A partir de una tasa efectiva anual de 21.40%, si hay 4 trimestres en un año, ¿cuál es el valor de la tasa nominal?

9. Una tienda de abarrotes vende a crédito a los vecinos de una colonia. Si un cliente realiza una compra por $50 un lunes pagando $55 el siguiente lunes, ¿cuál es la tasa de interés nominal anual que cobra la tienda a sus clientes?

10. Resuélvase el problema anterior determinando la tasa efectiva semestral.


ing. economica.pdf

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