informe grupal los electricos
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ÉTODOS NUMÉRICOS
NGENIERÍAMECÁNICA
YELÉCTRICA
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
ÍNDICE
CAPITULO I SOLUCIONES DE ECUACIONES NO LINEALES......................INTRODUCCIÓN..........................................................................................
MARCO TEORICO........................................................................................
1.1. CONCEPTOS PREVIOS.......................................................................
1.1.1. Funciones...................................................................................
1.1.1.1. Definición :............................................................................
1.1.1.2. Tipos de funciones................................................................
1.1.2. Cifras Significai!as.....................................................................
1.1.". Ra#$ de una función.....................................................................1.1.%. Error ...........................................................................................
1.1.&. '(u) son *os +)odos nu+)ricos,.............................................10
1.1.-. engua/e de Progra+ación.........................................................11
1.1.0. )odo de aproi+aciones sucesi!as.........................................11
1.2. SO3CI4N DE EC35CIONES NO INE5ES .....................................12
1.2.1. ETODOS (3E 3S5N INTERV5O.............................................12
1.2.1.1. ETODO DE 6ISECCI4N.........................................................13
5. Definición :................................................................................136. TEOREMA DE BOLZANO :..........................................................13
C. CRITERIO DE P5RO...................................................................14
D. 57ORITO DE ETODO DE 6ISECCI4N.................................15
E. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE 6ISECCI4N....................16
1.2.1.2. ETODO DE 5 RE75 F5S5...............................................17
5. DEFINICI4N...............................................................................17
6. TEOREMA DE BOLZANO............................................................18
C. CRITERIO DE P5RO...................................................................18
D. 57ORITO DE ETODO DE RE75 F5S5............................20
E. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE RE75 F5S5................20
1.2.2. ETODOS 56IERTOS................................................................22
1.2.2.1. ETODO DE P3NTO FI8O.......................................................22
5. DEFINICI4N...............................................................................22
6. CONVER7ENCI5........................................................................23
C. 57ORITO DE ETODO DE P3NTO FI8O...............................25
MÉTODOS NUMÉRICOS 1
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
D. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE P3NTO FI8O................27
1.2.2.2. METODO DE NEWTON RAPHSON............................................28
5. DEFINICI4N...............................................................................28
6. CONVER7ENCI5.......................................................................28
C. 57ORITO DE ETODO DE NE9TONR5P;SON...................2
D. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE NE9TONR5P;SON.......30
1.2.2.3. METODO DE LA SECANTE.......................................................31
5. DEFINICI4N:..............................................................................31
6. 57ORITO DE ETODO DE 5 SEC5NTE..............................32
C. DI57R55 DE F38O DE 5 SEC5NTE.....................................33
CAPITULO II SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS ALGEBRAICASLINEALES................................................................................................. 34
INTRODUCCI!N........................................................................................35
2.2. CONCEPTOS PREVIOS.....................................................................36
2.2.1. 57E6R5 5TRICI5................................................................36
2.2.1.1. 5TRICES...........................................................................36
2.2.1.2. ORDEN DE 3N5 5TRI
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
CAPITULO III REGRESIÓN E INTERPOLACIÓN........................................52
INTRODUCCI!N........................................................................................53
".1. CONCEPTOS PREVIOS.....................................................................54
".1.1. EST5DISTIC5 5PIC5D5 5 5 RE7RESI4N...............................54
".1.1.1. EDI5 5RITETIC5.............................................................54
".1.1.2. DESVI5CI4N EST5ND5R.....................................................54
".1.1.". ERROR EST5ND5R DE DESVI5CI4N....................................54
".1.1.%. V5RI5N
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
MÉTODOS NUMÉRICOS 4
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
CAPITULO I
SOLUCIONES
DE
ECUACIONESNO LINEALES
MÉTODOS NUMÉRICOS 5
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INTROD3CCI4N
En ese !n"#$%e se &$esen'n( )e %'ne$' sen*!++'( +#s *#n*e&#s ,s!*#s
%s *#%nes $e+'*!#n')#s *#n e+ e%' /e se )es'$$#++'( )e '+ "#$%' /e
e+ +e*#$ 0'' n' $e%e%,$'n' )e +#s &!*#s /e )e,e *#n#*e$ 4 en'
n' %#!5'*!n !n%e)!''. E++# "'*!+!'$ /e +'s '&+!*'*!#nes se'n %s
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'n e6'*#s *#%# +#s /e en)$7' *#n +#s %8#)#s 'n'+7!*#s( *'n)# se'
s!,+e 0'*e$+#s )e es' "#$%'.
Re"e$ene ' +'s 8*n!*'s &'$' $es#+5e$ &$#,+e%'s( $e&$esen')#s $
e*'*!#nes '+e,$'!*'s 4 $'s*en)enes( se )es*$!,en s!ee %8#)#s en$e
+#s /e )es'*'n( $ s sen*!++e: B!se**!n( Re+' 9'+s'( Pn# 9!#(
Ne;#n-R'&0s#n 4 Se*'ne.
MÉTODOS NUMÉRICOS 6
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
5RCO TEORICO1.1. CONCEPTOS PREVIOS.1.1.1.Funciones1.1.1.1. Definición :
Un' "n*!n " )e n *#nn# A en n *#nn# B es n' $e+' /e
0'*e *#$$esn)e$ ' *')' e+e%en# 6 &e$ene*!ene '+ *#nn# A(
n# 4 s#+# n e+e%en# 4 )e+ *#nn# B( ++'%')# !%'en )e 6 $ "(
/e se )en#' 4
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L#s %8#)#s n%8$!*#s en ese *'&7+# es)!'$e%#s +' $es#+*!n )e"n*!#nes NO INE5ES.
1.1.2.Cifras Significai!as
MÉTODOS NUMÉRICOS 8
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N@%e$# )e )7!#s /e se &e)en s'$ *#n *#n"!'n'. In*+4en
ene$#s 4 )e*!%'+es.
E/e+p*os:
2(2 1( =2 *!"$'s s!n!"!*'!5's>
2(2 1( < (F32 (F
1.1.".Ra#$ de una función
An'+7!*'%ene : se *#n#*e *#%# $'7 )e n +!n#%!# # )e n' "n*!n "=6>
' #)# e+e%en# 6 &e$ene*!ene '+ )#%!n!# )e )!*0' "n*!n '+ /e se
*%&+': P#$ ee%&+#( )')' +' "n*!n f ( x )= x2−8 x+16=0 : P+'ne'n)# 4
$es#+5!en)# +' e*'*!n: Se !ene /e 2 4 F s#n $'7*es 4' /e " < .
Ge#%8$!*'%ene : se )e"!ne /e n' $'7 es e+ 5'+#$ # 5'+#$es /e
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1.1.%.Error
En *!e$#s +)odos nu+)ricos( se s'n es/e%'s !e$'!5#s &'$'
*'+*+'$ $es+')#s( 4 se 0'*e +' '&$#6!%'*!n en ,'se ' +'
'&$#6!%'*!n 'ne$!#$( &'$' *'+*+'$ %s 4 %e#$es '&$#6!%'*!#nes.
Ea= X i− X i−1
X i∗100
En es' @+!%'( n#$%'+%ene se $e&!e 0's' /e s 5'+#$ ',s#+# se'
%en#$ /e n' #+e$'n*!' &$e"!')' ES( )#n)e
Es=(0.5∗102−n )
e)'n)# en#n*es )e"!n!)# e+ *$!e$!# )e '*e&'*!n # )e &'$# &'$'
*'+/!e$ %8#)#:
Ea ES
E+ $es+')# se$ *#$$e*# en '+ %en#s n *!"$'s s!n!"!*'!5's
MÉTODOS NUMÉRICOS
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!ns!*!#nes )e,'n )e'$ )e !n*+!$( en +' "#$%'*!n )e +#s es)!'nes(
es' e%!*'.
1.1.-.engua/e de Progra+ación.L' %'4#$7' )e +#s +e*#$es )e ese !n"#$%e( en)$ en %ene '+n'
!)e' en &$#$'%'*!n( en n +en'e )e '+# n!5e+ &'$' *#%&')#$'(
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5!$'+%ene !n)e&en)!enes )e +' %/!n' en +' *'+ *#$$e$ e+&$#$'%'. Me)!'ne e+ s# )e n &$#$'%' )e *#%&')#$' ++'%')#
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"n)'%en'+ )e +' %/!n' *#n +# /e e+ &$#$'%' se$ '*'+%ene
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' #$# +en'e &e)e se$ +' %e#$ '$e'( &e$# !n5#+*$'$ %*0#s
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MAPLE es e+ +en'e esn)'$ en '&+!*'*!#nes )e +' *!en*!' 4
@n!*'%ene )e,e )es&+''$se 0'*!' e+ "$#.1.1.0.)odo de aproi+aciones sucesi!as
Ese %8#)# *#ns!se en &$#ne$ n 5'+#$ !n!*!'+( '&$#6!%')# ' +'
s#+*!n 4( ' &'$!$ )e 8+ #,ene$ n 5'+#$ %e#$')# )e +' $'7 /e es
s#%e!)# ' n' &$e,' )e *#n5e$en*!'( es )e*!$( )e '&$#6!%'*!n 4(
s! )!*0' &$e,' es s&e$')'( en#n*es( e+ 5'+#$ #,en!)# es +'
$es&es' ,s*')' en *'s# )e /e n# se *%&+' +' *#n)!*!n )e
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*#n5e$en*!'( *#n e+ ne5# 5'+#$ se $e&!e e+ &$#*es#( 'n's 5e*es
*#%# se' ne*es'$!#.1.2. SO3CI4N DE EC35CIONES NO INE5ES .
L#s %8#)#s esn)'$ &'$' en*#n$'$ $'7*es( en ene$'+ *'en en )#s
$e's )e &$#,+e%'s &'$e*!)'s en &$!n*!&!#( &e$# "n)'%en'+%ene
)!"e$enes:
'>L' )ee$%!n'*!n )e $'7*es $e'+es )e e*'*!#nes '+e,$'!*'s 4
$'s*en)en'+es. Es's 8*n!*'s se )!se'$#n &'$' )ee$%!n'$ e+
5'+#$ )e n' $'7 s!%&+e )e '*e$)# ' n *#n#*!%!en# &$e5!# )e s
s!*!n '&$#6!%')'.,>L' )ee$%!n'*!n )e #)'s +'s $'7*es $e'+es 4 *#%&+e's )e n
+!n#%!#.Es#s %8#)#s se )!se'$#n es&e*7"!*'%ene &'$' +!n#%!#s.
Dee$%!n'n s!se%!*'%ene #)'s +'s $'7*es )e+ +!n#%!# en +'$
)e s!%&+e%ene n'( )')' n' s!*!n '&$#6!%')'.1.2.1. ETODOS (3E 3S5N INTERV5O.
En ese *'&7+# s#,$e $'7*es )e e*'*!#nes se 'n'+!'n +#s
%8#)#s /e '&$#5e*0'n e+ 0e*0# )e /e n' "n*!n( 7&!*'%ene(
*'%,!' )e s!n# en +' 5e*!n)') )e n' $'7. A es's 8*n!*'s se +es
++'%' métodos que usan intervalos $/e se ne*es!' )e )#s 5'+#$es
!n!*!'+es &'$' +' $'7. C#%# s n#%,$e +# !n)!*'( es#s 5'+#$es )e,en
en*e$$'$ # es'$ n# )e *')' +')# )e +' $'7. L#s %8#)#s &'$!*+'$es
)es*$!#s s#,$e ese &n# e%&+e'n )!"e$enes es$'e!'s &'$' $e)*!$
s!se%!*'%ene e+ '%'# )e+ !ne$5'+# 4 's7( *#n5e$e$ ' +'
$es&es' *#$$e*'.
A)e%s )e +' !+!)') )e +#s %8#)#s $"!*#s &'$' )ee$%!n'$ 5'+#$es !n!*!'+es( '%,!8n s#n @!+es &'$' 5!s'+!'$ +'s &$#&!e)')es )e
+'s "n*!#nes e+ *#%$'%!en# )e +#s %8#)#s n%8$!*#s.
1.2.1.1. ETODO DE 6ISECCI4N5. Definición :
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E+ %8#)# )e B!se**!n &'$' +' $es#+*!n )e +' e*'*!n "=6> < es
n# )e +#s %8#)#s %s 'n!#s 4 e+e%en'+es )e ,@s/e)' )e $'7*es
4 se ,'s' en e+ Te#$e%' )e B#+'n# /e n#s 'se$' +' e6!sen*!' )e('+ %en#s( n' $'7 )e n' "n*!n "=6> en n *!e$# !ne$5'+# ' ,Q( ,'#
*!e$'s *#n)!*!#nes.6. TEOREMA DE BOLZANO :
Se' f : [ a ; b ] → R n' "n*!n *#n!n' en ' ,Q '+ /e "='>" =,> .
En#n*es e6!se c∈(a; b) '+ /e "=*> < .
E+ %8#)# *#ns!se en /e n' 5e !)en!"!*')#s +#s &n#s ' 4 , =*#n
s!n#s #&es#s> se *#ns$4e +' &$!%e$' '&$#6!%'*!n )e +' "#$%'
x i=a+b
2 Le# s!f (a )∗f (b)
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Se )e,e )es'$$#++'$ n *$!e$!# #,e!5# &'$' )e*!)!$ *n)# )e,e
e$%!n'$ e+ %8#)#.
Un' se$en*!' !n!*!'+ se$7' "!n'+!'$ e+ *+*+# *'n)# e+ e$$#$ *#%e!)#
en +' !-8s!%' !e$'*!n se' %en#$ /e e+ e$$#$ &$e"!')#:
E p=0.5× 102−n
Dónde: n es e+ n@%e$# )e *!"$'s s!n!"!*'!5's e6'*'s
E$$#$ *#%e!)# en +' ! - 8s!%' !e$'*!n en ene$'+:
E P=| x i− x i−1 x i |∗100
Si: i es +' $'7 '*'+ 4 i1 es +' $'7 'ne$!#$.E$$#$ *#%e!)# en +' ! - 8s!%' !e$'*!n:
εi=|b−a|
2i+1
En s7nes!s:
|b−a|2
i+1 ∗100
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II. En ese sen)# &'s# e5'+'%#s
A
Bf (¿¿0)
f (¿¿0) y ¿¿
III. E5'+'%#s s! =
A
Bf (¿¿ 0)
f (¿¿ 0)∗¿
-
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17/90"IN
#
.
INICIO
, y n
NO
NO SI
INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
. P'$' e+ &'$e )e+ &$#$'%' se e5'+'$' Ei ≤0.5∗102−n
s! se *%&+e
es' *#n)!*!n en#n*es +' $'7 ,s*')' se$ xi
( &e$# )e n# se$
's7 ( Iter=i+1 ) 4 se $e$es' '+ &'s# n%e$# V.
E. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE 6ISECCI4N
MÉTODOS NUMÉRICOS 16
SINO
SI
SI
SI NO
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1.2.1.2. ETODO DE 5 RE75 F5S5.5. DEFINICI4N
E$ %&'()( )* $+ ,R*-$+ "+$/ #*-$+ +$/+ */ +%()+9 )*$ %&'()( )* $+ :/*9 ( $+ */;*+
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M()+)( *$ +$-('%( )*$ %&'()( )* $+ :/*9 * $+
)*9 )* '(%+)( *$ ('* )* $+ /*+'* + $+ +
x
y=f ¿ * $(/ *='*%(/ )* $(/ '*+$(/ ( *$ ** )*
+://+/ * *< )* (/)*+ *$ *'( )*$ '*+$(
(:'**%(/ *$ /-*'* +$-('%( #E %++)+ /(:* ()(
-/ */'? $+ %()+9 **'+)+
6. TEOREMA DE BOLZANO
Se' f : [ a;b ] → R n' "n*!n *#n!n' en ' ,Q '+ /e "='>" =,> .
En#n*es e6!se c∈(a; b) '+ /e "=*> < .
E+ %8#)# *#ns!se en /e n' 5e !)en!"!*')#s +#s &n#s ' 4 , =*#n
s!n#s #&es#s> se *#ns$4e +' &$!%e$' '&$#6!%'*!n )e +' "#$%'
x i=a+b
2 Le# s!f ( a )∗f (b)
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/e +' s#+*!n se en*en$' en xi+1 $ +# 'n# a= xi .P#$ @+!%#(
s!f (a )∗f (b )=0
es +' $'7 )e +' e*'*!n.C. CRITERIO DE P5RO
Se )e,e )es'$$#++'$ n *$!e$!# #,e!5# &'$' )e*!)!$ *n)# )e,e
e$%!n'$ e+ %8#)#.
Un' se$en*!' !n!*!'+ se$7' "!n'+!'$ e+ *+*+# *'n)# e+ e$$#$ *#%e!)#
en +' !-8s!%' !e$'*!n se' %en#$ /e e+ e$$#$ &$e"!')#:
E p=0.5× 102−n
Dónde: n es e+ n@%e$# )e *!"$'s s!n!"!*'!5's e6'*'s
E$$#$ *#%e!)# en +' ! - 8s!%' !e$'*!n en ene$'+:
E P=| x i− x i−1
x i |∗100
Si: i es +' $'7 '*'+ 4 i1 es +' $'7 'ne$!#$.E$$#$ *#%e!)# en +' ! - 8s!%' !e$'*!n:
εi=|b−a|
2i+1
En s7nes!s:
|b−a|2
i+1 ∗100
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I. In$es'%#s +' f ( x )=0 , A 0 G B0 4 n e+ /e se$ e+ n@%e$# )e
*!"$'s s!n!"!*'!5's.
II. En ese sen)# &'s# e5'+'%#s
A
Bf (¿¿0)
f (¿¿0) y ¿¿
III. E5'+'%#s s! =
A
Bf (¿¿ 0)
f (¿¿ 0)∗¿
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#
.
INICIO
, y n
NO
NO SI
INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
I. De n# *%&+!$se +# 'ne$!#$ se e5'+'$' e+ e$$#$ en +' en8s!%'
!e$'*!n: Ei=|B
i
− Ai
2i+1
| .. P'$' e+ &'$e )e+ &$#$'%' se e5'+'$' Ei ≤0.5∗10
2−n
s! se *%&+e
es' *#n)!*!n en#n*es +' $'7 ,s*')' se$ xi ( &e$# )e n# se$
's7 ( Iter=i+1 ) 4 se $e$es' '+ &'s# n@%e$# V.
E. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE RE75F5S5
MÉTODOS NUMÉRICOS 21
NO
SI
SI SI NO
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1.2.2. ETODOS 56IERTOS.En +#s %8#)#s 'ne$!#$es /e s'n !ne$5'+#s( +' $'7 se en*en$'
)en$# )e+ %!s%#( )')# $ n +7%!e !n"e$!#$ 4 #$# s&e$!#$. L'
'&+!*'*!n $e&e!)' )e es#s %8#)#s s!e%&$e ene$' '&$#6!%'*!#nes
%s 4 %s *e$*'n's ' +' $'7. A '+es %8#)#s se +es *#n#*e *#%#
*#n5e$enes 4' /e se '*e$*'n &$#$es!5'%ene ' +' $'7 ' %e)!)'
/e *$e*e e+ n@%e$# )e !e$'*!#nes.
En *#n$'se *#n 8s#s( +#s %8#)#s ',!e$#s /e se )es*$!,en en ese
*'&7+#( se ,'s'n en "$%+'s /e $e/!e$en )e n s#+# 5'+#$ # )e n
&'$ )e e++#s &e$# /e n# ne*es'$!'%ene en*!e$$'n ' +' $'7. C#%#'+es( '+n's 5e*es )!5e$en # se '+e'n )e +' $'7 ' %e)!)' /e *$e*e
e+ n@%e$# )e !e$'*!#nes. S!n e%,'$#( *'n)# +#s %8#)#s ',!e$#s
*#n5e$enG en ene$'+ +# 0'*en %*0# %s $&!)# /e +#s %8#)#s
/e s'n !ne$5'+#s. Se e%&!e' e+ 'n+!s!s )e +#s %8#)#s ',!e$#s
*#n n' 5e$s!n s!%&+e /e es @!+ &'$' !+s$'$ s "#$%' ene$'+ 4
'%,!8n &'$' )e%#s$'$ e+ *#n*e&# )e *#n5e$en*!'.1.2.2.1. ETODO DE P3NTO FI8O.
5. DEFINICI4NEse %8#)# )e !e$'*!n )e n &n# "!# es n %8#)# !e$'!5# /e
&e$%!e $es#+5e$ s!se%'s )e e*'*!#nes n# ne*es'$!'%ene +!ne'+es. En
&'$!*+'$ se &e)e !+!'$ &'$' )ee$%!n'$ $'7*es )e n' "n*!n )e +'
"#$%' f ( x) ( s!e%&$e 4 *'n)# se *%&+'n +#s *$!e$!#s )e *#n5e$en*!'.
C#%# se %en*!#n 'ne$!#$%ene( +#s %8#)#s ',!e$#s e%&+e'n n'
"$%+'
e &$e)!*e n' '&$#6!%'*!n ' +' $'7. T'+ "$%+' se &e)e )es'$$#++'$
&'$' +' !e$'*!n )e &n# "!#( $e#$)en'n)# +' e*'*!n f ( x )=¿ 0 )e '+
"#$%' /e 6 /e)e )e+ +')# !/!e$)# )e +' e*'*!n:
x=( x )
MÉTODOS NUMÉRICOS 22
-
8/17/2019 Informe Grupal Los Electricos
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Es' $'ns"#$%'*!n se &e)e ++e5'$ ' *',# %e)!'ne #&e$'*!#nes
'+e,$'!*'s # s!%&+e%ene '$e'n)# 6 ' *')' +')# )e +' e*'*!n
#$!!n'+.
P#$ ee%&+#
x2−2 x+3=0
Se &e)e $e#$)en'$ &'$' #,ene$:
x= x
2+32
M!en$'s /e sin ( x )=0 &e)e $'ns"#$%'$se en +' "#$%' )e +' e*'*!n
'ne$!#$ s%n)#+e 6 ' '%,#s +')#s &'$' #,ene$:
x=sin ( x )+ x
L' !+!)') )e +' e*'*!n 'ne$!#$ es /e &$#$*!#n' n' "$%+' &'$'
&$e)e*!$ n 5'+#$ )e x en "n*!n )e x . De es' %'ne$'( )')' n'
'&$#6!%'*!n !n!*!'+ ' +' $'7 x i , +' e*'*!n 'ne$!#$ se &e)e s'$ &'$'
#,ene$ n' ne5' '&$#6!%'*!n x i+1 ( e6&$es')' $ +' "$%+' !e$'!5':
x i+1=( x i)
C#%# *#n #$'s "$%+'s !e$'!5's )e+ +!,$# e+ e$$#$ '&$#6!%')# )e es'
e*'*!n se &e)e *'+*+'$ s'n)# e+ es!%')#$ )e e$$#$:
|ϵ a|=| xi+1− x x i+1 |100
6. CONVER7ENCI5.
Se' +' "n*!n =6> &'$' e+ !ne$5'+# *e$$')# '(,Q ?'(,Q *#n!n'(
en#n*es se !ene:
'> =6>( see '+ %en#s n &n# "!#.
MÉTODOS NUMÉRICOS 23
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
,> S! ')e%s( =6> 1( H6 '(,Q( en#n*es e+ &n# "!# es @n!*#
4 s! #%'%#s 6 '(,Q( +' s*es!n 6nX1 < =6n> *#n5e$e '+ &n#
"!# )e =6>.
D!5e$en*!' Un!+'e$'+ ! ( x )>1
C#n5e$en*!' Un!+'e$'+ 0
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
D!5e$en*!' B!+'e$'+ ! ( x )
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
IV. E5'+'%#s +' ( x0)= " ( 4 *#n!n'%#s
V. E5'+'%#s +' *#n5e$en*!' *#n +' *#n)!*!n (| " |
-
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SI
NO
.
"IN
D*+%(/
INICIO
, n
DESEJANDO =O AGREGANDO = *'
SI
NO
INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
D. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE P3NTO FI8O.
MÉTODOS NUMÉRICOS 27
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
1.2.2.2. METODO DE NEWTON RAPHSON
5. DEFINICI4N
Den$# )e #)'s +'s "$%+'s &'$' en*#n$'$ $'7*es e+ %8#)# )eNe;#n-R'&0s#n es +' %s s')'.P'$' e+ %8#)# )e NEWTON-RAPHSON s! e+ 5'+#$ !n!*!'+ )e +' $'7 es
n x0 en#n*es se &e)e $''$ n' 'nene )es)e e+ &n# x0
("= x i >Q.E+ &n# )#n)e es' 'nene !ne$se*' e+ ee 6 $e&$esen'
n' '&$#6!%'*!n %e#$')' )e +' $'7.
y−f ( x0) x− x0
=f # # ( x0)
−f ( x0)f # ( x0)
= x1− x0
x i= x0− f ( x0)f # ( x0)
P#$ +# 'n# )!$e%#s /e +' $'7 es )')' $ +' s!!ene "#$%+'
x i+1= xi− f ( x i)
f # ( x i)
6. CONVER7ENCI5
MÉTODOS NUMÉRICOS 28
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
P'$' *'+*+'$ e+ e$$#$ en e+ %8#)# )e Ne;#n-R'&0s#n ene%#s /e
ene$ en *en' /e e+ %8#)# se' *#n5e$ene *')$!*'%ene. E+
e$$#$ es '&$#6!%')'%ene &$#$*!#n'+ '+ *')$')# '+ *')$')# )e+e$$#$ 'ne$!#$( )')# $:
E xi+1≅f # # ( xi)2 f # ( x i)
E x i2
C. 57ORITO DE ETODO DE NE9TONR5P;SON
I. In$es'%#s +' f ( x )=0, x0 , n e+ /e se$ e+ n@%e$# )e *!"$'s
s!n!"!*'!5's.
II. C'+*+'%#s f ( x ) , f ! ( x ) , f ! ! ( x ) se!%#s(
III. Se e5'+@' " = ( x0 )=f ( x )∗f ! ! ( x )
[ f ! ( x ) ]2
IV. S! se *%&+e +' s!!ene *#n)!*!n | " |
-
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31/90"IN
K
INICIO
n
M#K
.
NO
SI
NO
SI
INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
I. P'$' e+ &'$e )e+ &$#$'%' se e5'+'$' Ei ≤0.5∗102−n
s! se *%&+e
es' *#n)!*!n en#n*es +' $'7 ,s*')' se$ x i
+1
( 9IN. Pe$# )e
n# se$ 's7 ( Iter=i+1 ) 4 se $e$es' '+ &'s# n@%e$# VI.
D. DI57R55 DE F38O DE ETODO DE NE9TONR5P;SON
MÉTODOS NUMÉRICOS 30
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
1.2.2.3. METODO DE LA SECANTE.5. DEFINICI4N:
Un &$#,+e%' "e$e en +' !%&+e%en'*!n )e+ %8#)# )e Ne;#n-R'&0s#n
es e+ )e +' e5'+'*!n )e +' )e$!5')'. An/e es# n# es n !n*#n5en!ene
&'$' +#s +!n#%!#s 4 &'$' %*0's #$'s "n*!#nes( e6!sen '+n's )e
es's *4's )e$!5')'s &e)en se$ e6$e%')'%ene )!"7*!+es )e e5'+'$. En
es#s *'s#s( +' )e$!5')' se &e)e '&$#6!%'$ %e)!'ne n' )!"e$en*!'
)!5!)!)' *#%# se %es$' en +' "!$'.
T',+'
MÉTODOS NUMÉRICOS 31
-
8/17/2019 Informe Grupal Los Electricos
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Es/e%' $'"!*# )e+ %8#)# )e +' se*'ne. Es' 8*n!*' es s!%!+'$ ' +' )e+
%8#)# )e Ne;#n-R'&0s#n en e+ sen!)# )e /e n' '&$#6!%'*!n ' +'
$'7 se *'+*+' e6$'+'n)# n' 'nene )e +' "n*!n 0's' e+ ee 6. S!n
e%,'$#( e+ %8#)# )e +' se*'ne s' n' )!"e$en*!' en 5e )e +' )e$!5')'
&'$' '&$#6!%'$ +' &en)!ene.
f # ( x )=f ( x i−1 )− f ( x i)
xi−1− x
i
Es' '&$#6!%'*!n se &e)e ss!!$ en +' e*'*!n #,en!en)# +'
e*'*!n !e$'!5':
x i+1= x i−
f ( xi)( x i−1− xi)
f ( x i−1 )−f ( x i)
Es' e*'*!n es +' "$%+' &'$' e+ %8#)# )e +' se*'ne. Nese /e e+
&+'ne'%!en# ne*es!' )e )#s &n#s !n!*!'+es )e 6. s!n e%,'$#( )e,!)# '
/e n# se $e/!e$e /e "=6> *'%,!e )e s!n# en$e es#s 5'+#$es( ' ese
%8#)# n# se +e *+'s!"!*' *#%# '/e++#s /e s'n !ne$5'+#s.
6. 57ORITO DE ETODO DE 5 SEC5NTEI. In$es'%#s +' f ( x )=0, x0 , n e+ /e se$ e+ n@%e$# )e *!"$'s
s!n!"!*'!5's.
II. Un' 5e *%&+!)' +' *#n)!*!n 'ne$!#$ se es*$!,!$ ( Iter=i) .
III. E5'+'%#s f ( xi ) , f ! ( xi )
MÉTODOS NUMÉRICOS 32
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
IV. L' "#$%' !e$'!5' &'$' '&$#6!%'$se ' +' $'7 se )ee$%!n' )e +'
"#$%' xi+1= x0−f ( xi)
[ xi−1− x i
]f ( xi−1 )−f ( x i)
V. e+ e$$#$ en +' en8s!%' !e$'*!n: Ei=| x i− xi−1 xi |VI. P'$' e+ &'$e )e+ &$#$'%' se e5'+'$' Ei ≤0.5∗10
2−n
s! se *%&+e
es' *#n)!*!n en#n*es +' $'7 ,s*')' se$ x i+1 ( 9IN. Pe$# )e
n# se$ 's7 ( Iter=i+1 ) 4 se $e$es' '+ &'s# n@%e$# III.
C. DI57R55 DE F38O DE 5 SEC5NTE
MÉTODOS NUMÉRICOS 33
-
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"IN
NO
K
INICIO
.
n
SI
INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
MÉTODOS NUMÉRICOS 34
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
CAPITULO IISISTEMA DE
ECUACIONES
SIMULTÁNEAS ALGEBRAICAS
LINEALES
MÉTODOS NUMÉRICOS 35
-
8/17/2019 Informe Grupal Los Electricos
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INTRODUCCIÓNEse ne5# *'&7+#( n#s en"#*'$e%#s( ' +' $es#+*!n )e s!se%'s
)e e*'*!#nes +!ne'+es( +' s#+*!n )e '+es s!se%'s( &e$%!en /e n'
$'n 5'$!e)') )e &$#,+e%'s se $ese+5'n !n*+4en)# +' s#+*!n n%8$!*'
)e e*'*!#nes )!"e$en*!'+es #$)!n'$!'s 4 &'$*!'+es( 'n+!s!s es$*$'+(
#&!%!'*!n.
Ese s!se%' *#ns!se ,s!*'%ene )e n $'n n@%e$# )e
e*'*!#nes s!%+ne's 4 se en)$ /e e+e!$ e+ %e#$ %8#)#. Pes#
/e +'s 8*n!*'s ,s!*'s )e+ '+e,$' %'$!*!'+ s#n $e/e$!)'s en ese
*'&7+#.
P'$' $es#+5e$ #)#s es#s %8#)#s )es*$!#s en ese !n"#$%e(
!+!'$e%#s e+ MAPLE( ECEL( GEOGEBRA( 4 +#s )!"e$enes s#";'$es
/e se 0'n )es'$$#++')# &'$' '0#$$'$ !e%( 4' /e s! se 0'*e
%'n'+%ene se $e/e$!$7' )e %!*0# !e%. Pes# /e es#s &$#$'%'s
n#s '4)'$7'n ' se$ %s &$e*!s#s.
MÉTODOS NUMÉRICOS 36
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
2.2. CONCEPTOS PREVIOS.
2.2.1. 57E6R5 5TRICI5
2.2.1.1. 5TRICES
Un' %'$!( A "× $ ( es n '$$e+# $e*'n+'$ )e % × n n@%e$#s
)!s&es#s en % "!+'s =$en+#nes> 4 n *#+%n's.
As7 en)$e%#s:
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
E+ s7%,#+# % × n se +ee Y% $ n.
E+ 5e*#$ "!+' = ai 1 , ai 2 , %%%%%%%%%& , a¿¿ se +e ++'%' Y9ILA ! Y.
E+ 5e*#$ *#+%n'
(a1 'a
2 '
&
&
am') se +e ++'%' YCOLUMNA .
a I' Es e+ n@%e$# /e '&'$e*e e +' !-es!%' "!+' 4 +' -es!%' *#+%n' .
E8EPPO:
A<
[ 2
−32 ]
( B
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Se )en#' +'s %'$!*es $: A mxn < [ai' ] # = ai' >(i=1,2,3, %%, m; '=1,2,3 %.. , n )#n)e ai' es +' !- es!%' en$')'(
i= fila, '=columna .
2.2.1.2. ORDEN DE 3N5 5TRI<
E+ #$)en )e n' %'$! es )')# $ e+ &$#)*# mxn ( )#n)e m
!n)!*' e+ n@%e$# )e "!+'s 4 n e+ n@%e$# )e *#+%n's.
E+ *#nn# )e %'$!*es mxn *#n e+e%en#s ai' ( ) se )en#' $
) mxn
.
Es )e*!$ ) mxn={(ai')/a i' ( ) }
S! ) ¿ R G en#n*es
a
(¿¿ i')mxn/ai' R
mxn=¿ ( R .
S! ) ¿* G en#n*es
a
(¿¿ i')mxn/ai'*
mxn=¿ ( * .
2.2.1.". 5TRICES ESPECI5ESL's %'$!*es es&e*!'+es s#n:5. 5TRI< C35DR5D5: S! %
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
C. 5TRI< ESC55R: Es +' %'$! )!'#n'+ *4#s e+e%en#s s#n!'+es.
A n=[a11 0 0
0 a22 0
0
⋮
0
0
⋮
0
a33
⋮
0
% 0
% 0
%0
⋮
anm] P#$ +# %en#s '+@n aii es
)!"e$ene )e *e$#.
E8EPOS:
A 4=[2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−30
0
0
0
0] J Es )e ) 4 x 4 . B5=[
3 0 0 0 0
0 4 0 0 0
0
0
0
0
0
0
2 0 0
0 8 0
0 0 4] Es
)e ) 5 x5
.
D. 5TRI< IDENTID5D: L' %'$! *')$')' I n es +' %'$!
!)en!)') s!( 4 s#+# s! ai'=0 ; si i+ ' y aii=1 .
I n=
[
1 0 0 % 0
0 1 0 % 0
0
⋮
00
0
⋮
00
1 % 0
⋮ % ⋮
00 %%
⋮
1
]
E8EPOS:
MÉTODOS NUMÉRICOS 3
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
I 2=[1 00 1] ( I 3=
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]( I 4=
[
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1 0
0 1
](
E. 5TRI< TRI5N735R:
a. L' %'$! *')$')' An es
TRI5N735R s&e$!#$ s!ai'=0, para tooi> ' .
A 4=[a110
0
0
a12a22
0
0
a13a23
a330
a14a24
a34a44
]
K. L' %'$! *')$')' A n es
TRI5N735R !n"e$!#$ s!ai'=0, para tooi
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Se' A=
[3
21
−1
50
2
−30
4
24]3 x 4
es n' %'$! )e #$)en 36F.
L' $'ns&es' )e A es #$' %'$! )e #$)en F63( &es# /e se #,!ene!ne$*'%,!'n)# +'s "!+'s $ *#+%n's.
At =[
3
−12
4
2
5
−32
1
0
0
4]
4 x 3
;. 5TRI< SIETRIC5:
Se' +' %'$! *')$')' An= [ai' ] ( A es s!%8$!*' s!( 4 s#+# s! A= At
.
I. 5TRI< 5NTISIETRIC5:
A es 'n! s!%8$!*'( s! − A= At
. 3na +ari$ cuadrada 5 no es
singu*ar siG L so*o siG su deer+inane es diferene de cero.
2.2.1.%. DI57ON5 DE 3N5 5TRI<
D')' +' %'$! *')$')' An= [ai' ] se ++'%' DIAGONAL PRINCIPAL '+*#nn#.
D = a11 , a22 , a33 , % % % & a nn >.
E8EPO:
A4=[ 2 3 −1 5−1 4 3 2
8
4
−13
3 4
2 0 ] D =2( F( 3(> Es +' )!'#n'+ &$!n*!&'+ )e
A4 .
2.2.1.&. TR5
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Se' +' %'$! *')$')' A= [ai' ]n ( se ++'%' $'' )e A( '+ n@%e$# )e.r ( A )=a11 ,+a22+a33+% .. anm =es +' s%' )e +#s e+e%en#s )e +' )!'#n'+
&$!n*!&'+>.
DE E8EPO 5NTERIORG se !ene /e +' )!'#n'+ &$!n*!&'+ es =2(F(3(>( en#n*es +' $'' se$!':
.r ( A 4 )=2+4+3+0 .r ( A 4 )=9
2.2.1.-. 3TIPIC5CI4N DE 5TRICES
E+ &$#)*# )e Amxn=[ai' ] por Bnxp=[b i'] ( se )e"!ne )e+ s!!ene%#)#:
Amxn B nxp=* mxp= [ci' ] G a* Mue c i'=∑) =1
n
ai) b)' G 1≤ i ≤ m ,1 ≤ '≤ p .
E8EPO:
D')'s +'s s!!enes %'$!*es:
A=[5 30 5 ] J B=[−8 0 71 3 2] G /allar AB , A2
So*ución:
AB=[5 3
0 5][−8 0 7
1 3 2 ][ (5,3 )& (1,8 )(0,5 ) & (−8,1 )
(5,3) & (0,3)(0,5) & (0,3 )
(5,3) & (7,2)(0,5) & (7,2)]
AB=[−40+3 0+9 35+60+5 0+15 0+10]
AB=[−37 9 415 15 10]
MÉTODOS NUMÉRICOS 42
-
8/17/2019 Informe Grupal Los Electricos
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
A2= A & A=[5 30 5][5 30 5][ (5,3 ) & (5,0 ) (5,3 ) & (3,5 )(0,5 ) & (5,0 ) (0,5 ) & (3,5 ) ][25+0 15+150+0 0+25 ]=[25 300 25 ]
2.2.1.0. DETERIN5NTE DE 3N5 5TRI<
Se' +' %'$! *')$')' A= [ai' ] )e #$)en n( ++'%'$e%#s )ee$%!n'ne
)e +' %'$! A( '+ n@%e$# $e'+ /e es $e+'*!#n')# *#n +#s e+e%en#s ai'
)e +' %'$!.
NOT5CION:
| A| ( et ( A) ( In)!*'n e+ )ee$%!n'ne )e +' %'$! *')$')' A.
L' )e"!n!*!n "#$%'+ )e )ee$%!n'ne es *#%# s!e ' *#n!n'*!n:
et : Rnxn
R
A et ( A )
E+ )ee$%!n'ne es n' "n*!n )e Rnxn
en R( '+ /e et 0'*e
*#$$esn)e$ ' *')' %'$! A n @n!*# n@%e$# $e'+ et 5G /e $
!n)**!n se )e"!ne )e+ s!!ene %#)#.
1>. P'$' n=1, A=a11 en#n*es et ( A )=a11
2>. P'$' n=2, A=[a11 a12a21 a22]entonceset ( A )=a11a22−a21a12
3>. P'$' n=3,
MÉTODOS NUMÉRICOS 43
-
8/17/2019 Informe Grupal Los Electricos
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
A=
[
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
]entonces et ( A )=a11|a22 a23a32 a33|−¿
a12|a21 a23a31 a33|+a13|a21 a22a31 a32|
En genera*:
si A=
[
a11 a12 % a1 n
a21 a22 % a2 n
⋮
an 1
⋮
an 2
⋮ ⋮
% anm
]O6SERV5CION: E+ )ee$%!n'ne )e #$)en 3( se &e)e )es'$$#++'$ '$'58s )e+ %8#)# )e sarrus:
Asi :
|
a b c
e f
1 i
|=
|
a
a
b
e
1
be
c
f
i
cf
|=(aei+1c+bf )−(bi+a1fec) . Ese
M8#)# s#+# se '&+!*' ' +#s )ee$%!n'nes )e 363.
| 3 −1 −2−2 2 −3
4 −1 −2|=
|
3
−24
3
−2
−12
−1−1
2
−2−3−2−2−3
|=(−12−4+12)−(−4+9−16)=7
S! A= [ai' ]nes trianularentoncessu eterminantesera :
| A|=a11a22a33 %%% .. ann
2.2.1.=. R5N7O DE 3N5 5TRI<
MÉTODOS NUMÉRICOS 44
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Se' +' %'$! A= [ai' ]m× n , )!$e%#s /e e+ $'n# )e +' %'$! A es Y& s!
e6!se n' s,%'$! *')$')' B )e A )e #$)en YP( '+ /e |B|+ 0 4 e+
)ee$%!n'ne )e *'+/!e$ s,%'$! *')$')' )e A )e #$)en %'4#$ /e Bes *e$#.
NOT5CION:
s! A= [ai' ]m ×n ( )en#'%#s p ( A )= P &'$' !n)!*'$ e+ $'n# )e +' %'$! A.
PROPIED5D5DES:
Si A= [ai' ]mxn ( es n' %'$! )e #$)en mxn, se *%&+e /e:
1¿ & p ( A )≤min(m,n) 2¿& A=[ai' ]nimplica p ( A ). OPER5CI4N EEENT5 SO6RE 5S FI5S DE3N5 5TRI<
Un' "#$%' &$*!*' )e 0'++'$: e+ $'n# )e n' %'$!( +' !n5e$s' )e n'
%'$!( e+ )ee$%!n'ne )e n' %'$! 4 +' s#+*!n )e n s!se%' )e
e*'*!#nes +!ne'+es es $e)*!en)# n' %'$! )')' en #$' %'$!
e/!5'+ene( &e$# %s s!%&+e( 0'*!en)# #&e$'*!#nes e+e%en'+es s#,$e +'s
"!+'s )e n' %'$! )')'.
L's #&e$'*!#nes e+e%en'+es /e se 0'*en s#,$e +'s "!+'s )e n' %'$! A= [ai' ]m ×n G s#n:
1>. Pe$%'$ )#s "!+'s.
2>. M+!&+!*'$ ' n' "!+' $ n' es*'+'$.
3>. S%'$ ' n' "!+' e+ %@+!&+# )e #$' "!+'. C#%,!n'n)# es's #&e$'*!#nese+e%en'+es se $e)*e +' %'$! A 0's' *#n5e$!$+' en #$' %'$!e/!5'+ene s!%&+e( s!%!+'$ ' +' s!!ene %'$!.
MÉTODOS NUMÉRICOS 45
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
3 & * ( A )=
[ I p $ p× (n− p )
$ (m− p ) × p $ ( m− p) (n− p )
]m× n
one : I p esuna matri4 ientia e oren p $ (m− p ) × p esunamatri4nonula
2.2.1.1?. INVERS5 DE 3N5 5TRI<
EISTENCI5 DE 5 INVERS5 DE 3N5 5TRI< C35DR5D5
Un' %'$! *')$')'
A= [ai' ]ntiene inversa⇔ p ( A )=n⇔| A|+ 0
Se' An= [ai' ] ( n' %'$! *')$')' n×n . Se )!*e /e A es !n5e$!,+e #
n# s!n+'$ s! e6!se n' %'$! B )e n ×n '+ /e AB=BA= I n & L'
%'$! B se *#n#*e *#%# !n5e$s' )e A 4 se )en#' )e *#n A−1
.
TEORE5 DE EP5NSION DE 5P5CE O ETODO DE OSENORES COPEENT5RIOS:
Se' +' %'$! *')$')' An= [ai' ] ( )e"!n!%#s:
a. A (i
') es +' s,%'$!
*')$')' /e se #,!enee+!%!n'n)# +' !-es!%' "!+' 4+' -es!%' *#+%n'.
K. | A(i ')| es e+ !-es!%#
%en#$ *#%&+e%en'$!#.
c. 5 i'=(−1)i+ '| A ( i ' )| es
e+ !-es!%# cofacor.
Ee%&+#: se' A 4=[ 2−2
3
8
−35
0
3
−10
7
−2
51
0
4]'>. A ( 23 )=[
2 −3 53 0 0
8 3 4]
,>.
A ( 23 )=[2 −3 53 0 0
8 3 4]→ (−1 )2+1 (3 )|−3 53 4|=81
*>.
MÉTODOS NUMÉRICOS 46
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
5 23=(−1)2+3| A ( 23 )|→−|
2 −3 53 0 0
8 3 4|=−81
C#n#*!)# +#s *#n*e&#s '>( ,> 4 *> es'%#s &$e&'$')#s &'$' 0'++'$ e+)ee$%!n'ne )e n' %'$! $ %en#$es *#%&+e%en'$!#s.
D')' +' %'$! *')$')'
An= [ai' ]( e+ )ee$%!n'ne )e
A n
es nn@%e$# $e'+:
| A|=ai 1 5 i 1+ai 2 5 i 2+ai 3 5 i3+%%%%%%a¿5 ¿ H1
| A|=a1 '5 1 '+a2 ' 5 2 '+a3 ' 5 3 '+%%%%%%an' 5 n' H2
D#n)e =1> es e+ )es'$$#++# $ *'+/!e$ "!+' )e +' %'$! 4 =2> es e+)es'$$#++# $ *'+/!e$ *#+%n'.
S37ERENCI5:
P'$' *'+*+'$ n )ee$%!n'ne( $ %en#$es *#%&+e%en'$!#s( se *#n5!ene)es'$$#++'$se $ +' "!+' # +' *#+%n' /e en' %s *e$#s.
E8EPO:
[ 2
−23
8
−35
0
3
−10
−7−2
5
1
0
4]→ (−1 )3+1 (3 )|−3 −1 55 0 13 −2 4|+(−1 )3+3 (−7 )| 2 −3 5−2 5 18 3 4|
MÉTODOS NUMÉRICOS 47
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
→3
|−3 −1 5
5 0 1
3
−35
−2
−10
4
5
1
|−7
| 2 −3 5−2 5 1
8
2
−2
3
−35
4
5
1
|¿3 {[ 0−50−3 ]−[ 0+6−20 ]}−{[ 40−30−24 ]−[ 200+6+24 ] }=3 [−53−(−14 ) ]−7 [−14−230 ]=1591
2.2.1.11.5D83NT5 DE 3N5 5TRI<
Se' +' %'$! *')$')' A= [ai' ]n 4 se' 5 i'=(−1)i+ '| A ( i ' )|& L+'%'$e%#s
')n' )e A =)en#')# $ a'( A) > ' +' %'$!: [5 i' ].
( es )e*!$:
a' ( A )=[5 i' ].
( )#n)e
[5 i' ].
< *of A
A)n' )e A es !'+ '+ *#"'*#$ )e A
TEORE5:
Se' +' %'$! *')$')' A= [ai' ]n G '+ /e | A|+ 0 ( en#n*es:
A &a' ( A)=| A|& I
P$#)*# )e +' %'$! A $ s ')n' < )ee$%!n'ne )e +' %'$! A $ +'%'$! !)en!)') I.
PR3E65:
MÉTODOS NUMÉRICOS 48
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
1. Se !ene A= [ai' ]n G 4 a' ( A )=[5 i' ].
)n)e:
a. [5 i' ].
es +' %'$! CO9ACTOR )e A
K. 5 i'=(−1)i+ '| A ( i ' )|
c. [5 i' ].
es +' $'ns&es' )e [5 i' ] & P#$ +# 'n#: s! 5 i' es n
e+e%en# )e [5 i' ] ( en#n*es 5 i' es n e+e%en# )e [5 i' ].
.
2. E+ &$#)*# )e A $ a' ( A ) es #$' %'$! [c i' ] ( *4#s e+e%en#s
c i' s#n )e +' "#$%':
c i'=∑) =1
n
ai) 5 ') &
es )e*!$:
A & a' ( A )=[ci' ] ( '+ /e
ci'
=
∑) =1n
ai)
5 ')
&
Dn)e:
a. s! '=i→ cii=∑) =1
n
ai) 5 ') =∑ (−1 )i+ )
ai) et Ai) =et ( A ) , paracual6uier i & K.
' +i → ci'=0
CORO5RIO:
A−1=
1
| A|a' ( A ) , 7i| A|+ 0.
PROPIED5DES:
MÉTODOS NUMÉRICOS 4
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
P1¿a' ( I )= I & P2¿a' ( A. )=( a' ( A ) ). , 7i| A|+0. P3¿ a' ( A
−1 )=(a' ( A ) )−1 &
P4 ¿a' ( AB )=a' ( B ) &a' ( A ) , 7i| A|+ 0 ,|B|+ 0. P5¿ a' ( An)=(a' ( A ) )n
P6 ¿|a' ( A )|=| A|n−1
P7¿|a'(a' ( A ))|=| A|(n−1)2
S37ERENCI5:
Es's &$#&!e)')es se )e%es$'n '&+!*'n)# e+ *#$#+'$!#
a' ( A )=| A|& A−1 &
2.2.2. TEORE5 DE RO3C;@FRO6ENI3S.Ese e#$e%' n#s &e$%!e *'+*+'$ e+ n@%e$# )e s#+*!#nes )e n
s!se%' )e e*'*!#nes +!ne'+es( en "n*!n )e+ $'n# )e +' %'$! )e
*#e"!*!enes 4 e+ $'n# )e +' %'$! '%&+!')' # '%en')' 's#*!')' '+
s!se%'.¿¿
a11 x1+¿a12 x1+¿a13 x3+¿a21 x1+¿a22 x2+¿ a23 x3+¿a31 x1+¿ ⋮am1 x1+¿ a32 x2+¿ ⋮am 2 x2+¿
a33 x3+
⋮
am 3 x3+
¿
Pe)e se$ es*$!# %e)!'ne n' %'$!.
( A/B)=[ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31
⋮
am1
a32
⋮
am2
a33
⋮
am3
% a1 nb1% a2 nb2
%
a2 nb3
⋮
amn bm] A=[ a11 ⋯ a1 n
⋮ ⋱ ⋮
am1 ⋯ amn]
MÉTODOS NUMÉRICOS 50
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
B=[b1⋮
bm]
En *#n*+s!n:
E6!sen s#+*!#nes &'$' e+ s!se%' s! 4 s#+# s! e+ $'n# )e +' %'$!
*#%&+e' es !'+ '+ $'n# )e +' %'$! !n*#%&+e'.
En#n*es( s! e6!sen s#+*!#nes( ess "#$%'n n s,-es&'*!# '"7n )e 8 n
)e )!%ens!#nes n−r( A ) . A)e%s.
!. S! r( A/B)=n=r(B) en#n*es +' s#+*!n es @n!*'.
!!. S! r( A/B)=r(B)
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
( A/B)=
[ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31
⋮
am1
a32
⋮
am2
a33
⋮
am3
% a1 nb1% a2 nb2
%
a2 n
b3
⋮
amn bm]
A=
[ a11 ⋯ a1 n
⋮ ⋱ ⋮
am1 ⋯ amn
]
B=[b1⋮
bm] X =[
x1⋮
xn] En +' "#$%' %'$!*!'+ e+ s!se%' se es*$!,e :
AX =B
2.2.".2. METODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DEECUACIONES ALGEBRECIAS LINELAES : METODODE CRAMER
S! AX =B es n s!se%' )e n-e*'*!#nes *#n n-!n*n!'s
x1, x2, x3 , % & , xn en e+ *'+ | A|+ 0 ( en#n*es e6!se n' s#+*!n
@n!*' ( )')' $ +' "#$%+'s:
x '= 1
| A|∑) =1
n
b) &cof (a)') ( &'$' '=1,2,% .. n &
D#n)e ∑) =1
n
b) &cof (a)')=|* '| ( s! * ' < %'$! #,en!)' )e A '+
$e%&+''$ +' *#+%n'( )e A $ +' %'$! *#%n' B(
cof (a)')=(−1)) + '| A() / ')|=¿ e+ *#"'*#$ *#$$esn)!ene '+ e+e%en#
a)' ( es e+ )ee$%!n'ne )e +' s,-%'$! A () / ') /e $es+' )e
'n+'$ +' "!+' 4 +' *#+%n' ( *#n s!n# (−1)) + '
.
En *#n*+s!n ene%#s +' s!!ene "#$%+':
MÉTODOS NUMÉRICOS 52
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
x '=|* '|| A|
2.2.".". METODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DEECUACIONES ALGEBRECIAS LINELAES : METODODE GAUSS- JORDAN
5*gori+o de* +)odo de 7auss8ordn.!. Tene%#s e+ s!se%' )e e*'*!#nes +!ne'+es( e+ n@%e$# )e
!n*n!'s n.!!. De"!n!%#s +' %'$! *#e"!*!ene=A> ( +' %'$! )e n-
!n*n!'s=>( +' %'$! 8$%!n#s !n)e&en)!enes=B> 4 +'
%'$! '%en')' )e+ s!se%'=AZB>.!!!. Se es*$!,e +' "#$%' %'$!*!'+ A
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Ese %8#)# es %s !+!')# 4 &e$%!e %'ne'$ n '*e$*'%!en# '
+' s#+*!n( 'n#( *#%# se' $e/e$!)#( es )e*!$( &e)e &$e"!'$se n
e$$#.
5*gori+o de* +)odo de 7aussSeide*.
!. De*+'$'%#s +'s e*'*!#nes )e+ s!se%' +!ne'+( 4 e+ n@%e$# )e
*!"$'s s!n!"!*'!5's n.
¿¿
a11 x1+¿a12 x1+¿a13 x3+¿a21 x1+¿a22 x2+¿ a23 x3+¿a31 x1+¿ ⋮
am 1 x1+¿ a32 x2+¿
⋮
am 2 x2+¿a33 x3+%
⋮
am3 x3+%
%
%
& f
¿
!!. E5'+'%#s e+ e#$e%' )e ROUCH[ 9ROBENIUS.!!!. E5'+'%#s +' *#n5e$en*!':
Se$ %'$! )!'#n'+ )#%!n'ne( %'$! s!%8$!*'.!5. Des&e'%#s *')' n' )e +'s 5'$!',+es *#n $es&e*# ' *')'
5'$!',+e 4 #,ene%#s +'s e*'*!#nes ,'se.
x1=b1−a2 x2−a3 x03−⋯−an xn
a1⋮
xn=bm−am 2 x2−am3 x03−⋯−amn−1 xn−1
amn
5. En*#n$'%#s +' &$!%e$' '&$#6!%'*!n( &'$' es# !'+'%#s e+
$es# )e 5'$!',+es ' *e$#( &'$' *'+*+'$ )!*0' 5'$!',+e. x1 [ 1 ] , s i x2= x3=⋯= xn=0 x2 [ 1 ] , s i x1= x1 [ 1 ] , x3= x4=⋯= xn=0
⋮ xn [ 1 ] ,s ix1= x1 [1 ] , x2= x2 [1 ] ,⋯ , xn−1= xn−1 [ 1 ]
5!. E5'+'%#s e+ e$$#$ &'$' *')' 5'$!',+e( ' &'$!$ )e +' sen)'
!e$'*!n.
MÉTODOS NUMÉRICOS 54
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Ei= x i−1− x i
xi
5!!. P'$' /e &'$e )e !e$'$ ene%#s /e e5'+'$ s! e+ e$$#$ )e *')'
5'$!',+e es %en#$ /e = 0.5∗10n−2
>( s! se *%&+e es# &'$' *')'
e$$#$ )'$e%#s ( "!n ' +' !e$'*!n.
MÉTODOS NUMÉRICOS 55
-
8/17/2019 Informe Grupal Los Electricos
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
CAPITULO III
REGRESIÓN E
INTERPOLACI
ÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS 56
-
8/17/2019 Informe Grupal Los Electricos
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
INTRODUCCIÓN
Ese !n"#$%e( se )e'++'$' e+ 'ses )e *$5's( $ +#s )!5e$s#s
%8#)#s /e e6!sen 4 /e )e'++'$e %s ')e+'ne( es# n#s '4)'$' en
+#s e6&e$!%en#s *!en7"!*#s( 4' /e '07 se ',+'n )'#s( *#%# &n#s
)!s*$e#( es#s &n#s n#s se$5!$n &'$' )e$ 0'++'$ +' "n*!n /e
en*!e$$e ' )!*0#s &n#s( 's7 /e se )!s*!$n +#s %8#)#s 4 8*n!*'s &'$'
es!%'$ e+ 5'+#$ )e +' "n*!n( ' &'$!$ )e n $ )e )'#s.
E+ %8#)# %s s!%&+e )e 's'$ n' *$5' es $''$ ss &n#s 4
n!$+#s *#n n' +7ne' $e*'. Pe$# +#s $es+')#s )e&en)en )e +' &$e*!s!n
)e /!en $'' +' *$5'. P'$' e+ *'+ se !+!'$'n )!5e$s#s %8#)#s )e
'ses( '&+!*')#s en e+ MAPLE.
MÉTODOS NUMÉRICOS 57
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
".1. CONCEPTOS PREVIOS.
".1.1.EST5DISTIC5 5PIC5D5 5 5 RE7RESI4N".1.1.1. EDI5 5RITETIC5
L' media aritmética, # ,$e5e%ene +' media, )e n *#nn# )e N n@%e$#s
\1( \2 ( \3(. . .( \N se )en#' 's7: ́ =/e se +ee \ ,'$$'> 4
%'e%!*'%ene es )e"!n!)# 's7:
́ = 1+ 2+ 3+%+ $
$ =
∑i=0
$
i
$
".1.1.2. DESVI5CI4N EST5ND5R
L' des!iación esn)'$ es n' %e)!)' )e+ $')# )e )!s&e$s!n )e +#s
)'#s *#n $es&e*# '+ 5'+#$ &$#%e)!#. D!*0# )e #$' %'ne$'( +' des!iación
esndar es s!%&+e%ene e+ ]&$#%e)!#] # 5'$!'*!n es&e$')' *#n $es&e*#
' +' %e)!' '$!%8!*'. L' )es5!'*!n esn)'$ es n' %e)!)' )e +'
!n*e$e' )e nes$'s %e)!*!#nes.
7 =√ 7t
$ −1
D#n)e 7 t es +' s%' #'+ )e +#s *')$')#s )e +'s )!"e$en*!'s en$e +#s
)'#s 4 +' %e)!'( %!)e +' )!s&e$s!n =5'$!'*!n #'+> en +#s 5'+#$es
#,se$5')#s )e \.
7 t =∑ ( y i−́ )2
MÉTODOS NUMÉRICOS 58
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
".1.1.". ERROR EST5ND5R DE DESVI5CI4N
7 / X =√ 7r
$ −2
E+ s,7n)!*e 4Z6 )es!n' /e e+ e$$#$ es &'$' n 5'+#$ &$e)!*0# )e 4
*#$$esn)!ene ' n 5'+#$ &'$!*+'$ )e 6. T'%,!8n( #,se$5e /e '0#$'
)!5!)!%#s en$e n 2 )e,!)# ' /e se s'$#n )#s )'#s es!%')#s.
".1.1.%. V5RI5N
-
8/17/2019 Informe Grupal Los Electricos
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Se !ne$&$e' *#%# n' %e)!)' )e 'se )e +#s )'#s #,se$5')#s 4
&$#$*!#n' e+ $*en'e )e +' 5'$!'*!n #'+ e6&+!*')' $ +' $e$es!n.
S &$!n*!&'+ &$#&s!# es &$e)e*!$ "$#s $es+')#s # &$#,'$ n'
0!&es!s. E+ *#e"!*!ene )ee$%!n' +' *'+!)') )e+ %#)e+# &'$' $e&+!*'$ +#s
$es+')#s( 4 +' &$#$*!n )e 5'$!'*!n )e +#s $es+')#s /e &e)e
e6&+!*'$se $ e+ %#)e+#.
R2=
7 t −7r7t
".1.1.0. COEFICIENTE DE CORRE5CI4N
Es n n@%e$# /e !n)!*' e+ $')# # !nens!)') )e 's#*!'*!n en$e +'s
5'$!',+es e \. S 5'+#$ 5'$7' en$e -1 4 X1 es# es:
R=√ R2
MÉTODOS NUMÉRICOS 60
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
".2. RE7RESI4N".2.1.1. RE7RESI4N INE5 POR INIOS C35DR5DOS
En ese %8#)# se &$een)e $''$ +' $e*' /e %s se '*e$/e '+ *#nn#
)e )'#s( ' +' *'+ se +e ++'%' +7ne' $e*' )e $e$es!n e6&$es')'
%'e%!*'%ene *#%#:
y=ax+b+error
L#s 5'+#$es )e ' 4 , se &e)en *'+*+'$( '%,!8n e+ e$$#$ )e +' s!!ene
%'ne$':
a=¿
xi¿
¿∑ xi ¿2¿
n∑ ¿n∑ ( xi ) ( y i )−(∑ xi)(∑ yi)
¿
b=´ y
- a ´ x
yi−b−a xi¿2
¿error=∑ ¿
MÉTODOS NUMÉRICOS 61
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
C'n!"!*'*!n )e+ e$$#$ en +' $e$es!n +!ne'+
E$$#$ esn)'$ )e+ es!%')#
s y x
=√ srn−2
D#n)e e+ s,7n)!*e y
x )es!n' /e e+ e$$#$ es &'$' n 5'+#$ &$e)!*0#
)e 4 4 *#$$esn)e ' n 5'+#$ &'$!*+'$ )e 6
S!: sr=∑ ( y i−f ( xi))2
COE9ICIENTE DE DETERMINACIÓN
r2=
s t −srst
COE9ICIENTE DE CORRELACION
r=√ x2
5*gori+o de regresión inea* por ini+os cuadrados .
!.De"!n!$ +' n,e )e &n#s( n < n%e$# )e &n#s.
MÉTODOS NUMÉRICOS 62
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
!!. C'+*+'%#s ( +' %e)!' '$!%8!*' )e 6 4 4 ( +' s%' )e #)#s +#s 6(
+' s%' )e #)#s +#s 4 ( +' s%' )e +' %+!&+!*'*!n )e +#s 64( +'
$es' )e +#s 4 *#n +' %e)!' '$!%8!*' )e 4 e+e5')' '+ *')$')#.!!!. C'+*+'%#s e+ '( , ( *#n +'s "#$%+'s $es&e*!5's.!5. De"!n# %! *$5' )e $e$es!n +!ne'+ .
5. C'+*+# +#s &'$%e$#s )e $e$es!n ( S( S4( C.V( S$( S4Z6( r2
( $ .
5!. E5'+# s! S4Z6 S4 ( en#n*es e+ %#)e+# )e $e$es!n es '*e&',+e.
5!!. S! r2
es !'+ ' 1 en#n*es e+ 'se es 1 5'$!',+e ( s! r2
es
!'+ ' *e$# en#n*es e+ 'se n# &$esen' %e#$7's.
Ee%&+#: 'se ' n' +7ne' $e*' +#s 5'+#$es )e 6 4 4
x i 1 2 3 F
y i . 2. 2 F 3. .
S#+*!n:
E+ n@%e$# )e )'#s: n
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
En*#n$'%#s: st =∑ ( y i− ́y)2
< 22.1F3
∑ ( xi)
2
=140
∑ ( xi ) ( y i )=119.5
a=n∑ ( x i ) ( y i )−∑ xi∑ y i
n∑( x i)2−(∑ x i)2
a=
7 (119.5 )−28(24 )
7 (140 )−(28)2
a=0.8392857
b=´ y−a ´ x
b=3.4228571−0.839287(4)
b=0.07142857
E$$#$ < ∑ ( yi−b−a xi)2
< .1
< .2
< .3F3
< .32
< .K
< .K2
< .1KK3
MÉTODOS NUMÉRICOS 64
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
L' s%'#$!' )e+ e$$#$ es: sr=∑ 2.9911
c & v= s y´ y
c & v= 1.9457
3.428571∗100
c & v < .
s y x
=√ srn−2 < √ 2.99117−2 =0.7735
r2=
s t −srst
< 22.7143−2.9911
22.7143 =0.868
r=0.932
s y=√ st n−1
=√ 22.71437−1 =1.9457
(s y )2=3.78572
L' e*'*!n es:
y=ax+b
MÉTODOS NUMÉRICOS 65
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
y=0.84 x+0.07
".2.1.2. RE7RESI4N NO INE5
L's 8*n!*'s )e $e$es!n n# +!ne'+ se s'n &'$' 's'$ )!$e*'%ene es's
e*'*!#nes ' +#s )'#s e6&e$!%en'+es. S!n e%,'$#( n' '+e$n'!5' %s
s!%&+e es +' )e s'$ %'n!&+'*!#nes %'e%!*'s 4 $'ns"#$%'$ +'s
e*'*!#nes ' +' "#$%' +!ne'+. En se!)' se &e)e '&+!*'$ +' $e$es!n
+!ne'+ s!%&+e &'$' 's'$ +'s e*'*!#nes ' +#s )'#s.
P#$ ee%&+#( +' e*'*!n y=a1eb1 x
se &e)e +!ne'+!'$ %e)!'ne
+#'$!%#s n'$'+es 4 #,ene$:
ln y=
ln a1+
b1 x ln e
Pe$#( 4' /e ln e=1 ( se !ene
ln y= ln a1+b1 x
MÉTODOS NUMÉRICOS 66
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
P#$ +# 'n# n' $"!*' se%!-+#'$7%!*' )e ln 4 *#n$' x ene$' n'
+7ne' $e*' *#n n' &en)!ene )e b1 4 n' !ne$se**!n )e ln a1 .
L' e*'*!n y=a2 xb2
se &e)e +!ne'+!'$ #%')# +#'$!%#s )e ,'se 1
4 #,ene$:
log y=b2 log x+log a2
De es' "#$%'( n' $"!*' +#'$7%!*' )e log 4 *#n$' log x ene$'
n' +7ne' $e*' *#n n' &en)!ene )e b2 4 n' !ne$se**!n )e log a2 .
L' e*'*!n y=a3 x
b3+ x se +!ne'+!' !n5!$!8n)#+'( 4 se #,!ene:
1
y=b3
a3
1
x+ 1
a3
P#$ +# 'n#( n' $"!*' )e1
y *#n$'1
x se$ +!ne'+( *#n &en)!ene
b3
a3 4 n' !ne$se**!n )e
1
a3 . Es#s %#)e+#s( en ss es')#s
$'ns"#$%')#s( se 's'n s'n)# $e$es!n +!ne'+ &'$' e5'+'$ +#s
*#e"!*!enes *#ns'nes.
Co+enarios genera*es soKre *a regresión *inea*.
MÉTODOS NUMÉRICOS 67
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Anes )e *#n!n'$ se )e,e $e*'+*'$ +' n'$'+e' !n$#)*#$!' )e+ %'e$!'+
'ne$!#$ s#,$e $e$es!n +!ne'+. Se 0' en"#*')# en +' "#$%' s!%&+e 4 e+ s#
&$*!*# )e +'s e*'*!#nes &'$' 's'$ )'#s. Se )e,e es'$ *#n*!ene )e/e e6!sen 's&e*#s e$!*#s )e $e$es!n /e !enen !%$'n*!' en +'
s#+*!n )e &$#,+e%'s &e$# /e 5'n %s '++ )e+ '+*'n*e )e ese +!,$#. P#$
ee%&+#( e6!sen '+n's 0!&es!s es')7s!*'s !n0e$enes '+ &$#*e)!%!en#
)e %7n!%#s *')$')#s +!ne'+es '+es *#%#:
1. !ene n 5'+#$ "!# n# es '+e'#$!# 4 se %!)e s!n e$$#$ 2. L#s 5'+#$es )e 4 s#n 5'$!',+es '+e'#$!#s !n)e&en)!enes 4 !enen
#)'s +' %!s%' 5'$!'n'.3. L#s 5'+#$es )e 4 &'$' n' )')' )e,en es'$ )!s$!,!)#s )e
%'ne$' n!"#$%e.
Es's 0!&es!s s#n !%$'nes en e+ )es'$$#++# 4 s# *#$$e*# )e +'
$e$es!n.
5*gori+o de* Regresión no *inea*
!. N,e )e &n#s.!!. L!ne'+!'$ %! e*'*!n se@n e+ ! )e $e$es!n n# +!ne'+ =e6nen*!'+(
en*!'+( +#7s!*'>
EPONENCIAL POTENCIAL LOGISTICA
y=a1eb1 x y=a2 x
b2 y=a3 x
b3+ x
ln y= ln a1+b1 x log y=b2 log x+log a21
y=
b3
a3
1
x+
1
a3
MÉTODOS NUMÉRICOS 68
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
!. C'+*+# %! ne5' )e &n#s se@n e+ ! )e $e$es!n n# +!ne'+
=e6nen*!'+( en*!'+( +#7s!*'>
EPONENCIAL POTENCIAL LOGISTICA
6 ln l l 1
x
!!. C#n %! ne5' n,e )e &n#s( s'$e REGRESION LINEAL( )#n)e
en*#n$'$e n' $e*'.!!!. I'+# +#s )'#s )e *')' n# se@n e+ ! )e $e$es!n n# +!ne'+
=e6nen*!'+( en*!'+( +#7s!*'>.!5. 9!n'+%ene en*#n$'$e %! *$5' n# +!ne'+.
Para poder enender +s soKre regresión *ogar#+ica +osra+os e*
siguiene e/e+p*o:
L' *$5' +#'$7%!*' y=a∗lnx+b es '%,!8n n' $e*'( &e$# en +'$ )e
es'$ $e"e$!)' ' +'s 5'$!',+es #$!!n'+es e \( es' $e"e$!)' ' lnx 4 ' \.
x y ln x ln2 x ln x∗ y y2
1 3 K1.2 3.F .123 .332 .1K 11.1. .FF .1F3 2.2 22 2 .K31 .F3 1.32 F3 F.1 1.K 1.2K F.F2 1.13. 1.33 1.11 .F1 2F 1.32 1.K21 K.3F FK
F. . 1.F 2.22 K. F2.2
MÉTODOS NUMÉRICOS 6
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
^ 2.K ^ 3 ^ .K ^ .K ^ 3F.1 ^ 12.2
∑ (ln ( x))2−¿ ln ( x)∑ ln ( x)= 34.5581−4.5(6.5779)7.7798−0.8222(6.5779)
a=∑ ln ( x) y−´ y∑ ln ( x)
¿
a=2.090513
b=´ y−(a∗ln ( ´ x ) )=4.5− (2.090513 ) (0.8222 )=2.78117
En#n*es +' e*'*!n "!n'+ /e %#)e+' e+ s!se%' es:
̂y=2.090513ln x+2.78117
".". INTERPO5CI4N".".1.1. DEFINICI4N
Sn'%#s /e *#n#*e%#s N X1 &n#s ( x0, y 0) ,( x1 , y 0) , ... ,( x $ , y $ ) , )e
+' *$5'
y= f ( x) , D#n)e +'s ',s*!s's xk se )!s$!,4en en n !ne$5'+# QaGbQ )e
%'ne$' /e
a ≤ x0
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
f = x > en #)# e+ !ne$5'+# a(bQ n# #,s'ne( s! /e$e%#s *#n#*e$ +' "n*!n
e$$#$ E = x > < f = x > . P = x >( en#n*es s7 ne*es!'$e%#s *#n#*e$ f ( $ +1)
= x > #
,!en n' *#' )e s '%'# *#%#
" =maxa ≤ x ≤ b
{|f ( $ +1)( X )|}
E6!sen "n*!#nes es&e*!'+es y f H x ( /e '&'$e*en en 'n+!s!s
es')7s!*#s # *!en7"!*#s( &'$' +'s /e s+# se )!sne )e n' ',+' )e
5'+#$es es )e*!$( s+# *#n#*e%#s
N X1 &n#s ( x) , y) ) 4 es ne*es'$!# n %8#)# &'$' '&$#6!%'$ f = x > en
',s*!s's /e n# esn ',+')'s. S! e+ e$$#$ )e +#s 5'+#$es ',+')#s es
s!n!"!*'!5#( en#n*es es %e#$ s'$ +#s %8#)#s )e '&$#6!%'*!n. S!( $
e+ *#n$'$!#( +#s &n#s ( x) , y) ) !enen n $')# '+# )e &$e*!s!n(
en#n*es )e%#s *#ns!)e$'$ e+ +!n#%!# y < P = x > /e &'s' $ #)#s
e++#s *#%# n' ,en' '&$#6!%'*!n )e f = x >.
C'n)# x0
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Re*#$)e%#s ,$e5e%ene /e +' "#$%' e"!*!ene )e e5'+'$ n +!n#%!#
P = x >:
P ( x )=a $ x $
+a $ −1 x $ −1
+%+a2 x2
+a1 x+a0
Es e+ %8#)# )e H#$ne$:
P ( x )=(% (a $ x+a $ −1 ) x+%+a1 ) x+a0
".".1.2. INTERPO5CI4N DE 57R5N7E
E+ +!n#%!# )e !ne$+'*!n )e L'$'ne( ese %8#)# s!%&+e%ene es
n' $e"#$%+'*!n )e+ +!n#%!# )e Ne;#n /e e5!' +#s *+*+#s )e +'s
)!"e$en*!'s )!5!)!)'s. C#ns!se en *#ns$!$ e+ +!n#%!# !ne$+')#$ )e
$')# n /e &'s' $ nX1 &n#s = xi ( yi > )e +' "#$%'
Pn ( x )=∑i=0n
=i( x) yi
D#n)e +' "n*!n =i( x) *%&+e =i( x ')
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Pn ( x )=∑i=0
n
f ( xi)∏ '=0 '+ i
n ( x− x i)
( xi− x ')
5*gori+o de Inerpo*ación de 57R5N7E
!.De*+'$# %! n,e )e &n#s ( n@%e$# )e &n#s
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
D')# +#s &n#s ( x0 , y0 )=(−6,8) ( ( x1, y 1 )=(6,−16) , ( x2, y2 )=(−1,−2)
)e%#s #,ene$ e+ +!n#%!# )e !ne$+'*!n '$e5es )e +' s!!ene
"#$%+':
Pn ( x )=∑i=0
n
f ( xi)∏ '=0 '+ i
n ( x− x i)
( xi− x ')
=0 ( x )= ( x− x1 ) ( x− x2 )( x0− x1 ) ( x0− x2 )
=( x−6 ) ( x+1 )
60
¿ x
2−5 x−660
=1 ( x )= ( x− x0 )( x− x2)
( x1− x0 )( x1− x2 )= ( x+6 ) ( x+1)
84
¿ x
2+7 x+684
=2 ( x )= ( x− x0 ) ( x− x1)( x2− x0 ) ( x2− x1 )
=−( x+6 ) ( x−6 )
35
¿ x
2−3684
E+ +!n#%!# s#+*!n es
MÉTODOS NUMÉRICOS 74
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Pn ( x )=∑i=0
2
=i( x) yi=8 =0 ( x )−16 =1 ( x )−2 =2 ( x )=−4−2 x
".1.1.1. INTERPO5CI4N DE NE9TON CON DIFERENCI5SDIVIDID5S
H'4 #*'s!#nes en +'s /e $es+' @!+ *#ns$!$ 5'$!#s +!n#%!#s
'&$#6!%'nes P 1= x >( P 2= x >(...( PN = x > 4( )es&8s( e+e!$ e+ %s ')e*')# '
nes$'s ne*es!)')es. S! s'%#s +#s +!n#%!#s )e !ne$+'*!n )e
L'$'ne( n# )e +#s !n*#n5en!enes es /e n# se &e)en !+!'$ +#s
*+*+#s $e'+!')#s en +' *#ns$**!n )e PN -1= x > &'$' +' )e PN = x > *')'
+!n#%!# )e,e *#ns$!$se !n)!5!)'+%ene 4 &'$' *'+*+'$ +!n#%!#s )e
$')# e+e5')# es ne*es'$!# 0'*e$ %*0's #&e$'*!#nes. V'%#s ' se!$
'0#$' n *'%!n# )e *#ns$**!n )!s!n#( en e+ *'+ +#s +!n#%!#s )e
!ne$+'*!n( /e se ++'%'$n )e
P1=a0+a1 ( x− x0 )
P2=a0+a1 ( x− x0)+a2 ( x− x0 ) ( x− x1 )
P2=a0+a1 ( x− x0)+a2 ( x− x0 ) ( x− x1 )+a3 ( x− x0 )( x− x1 ) ( x− x2 ) ⋮
P $ =a0+a1 ( x− x0 )+a2 ( x− x0 ) ( x− x1 )+a3 ( x− x0 ) ( x− x1 ) ( x− x2 )+⋯+a $ ( x− x0 ) ( x− x1 ) ( x− x2 ) ⋯ x− x $
Ne;#n( se *'+*+'n %e)!'ne n es/e%' $e*$s!5#:
E+ +!n#%!# PN = x > se #,!ene ' &'$!$ )e PN -1= x > s'n)# +' $e*$$en*!':
P $ = P $ −1 ( x )+a $ ( x− x0 ) ( x− x1 ) ( x− x2)%( x− x $ −1)
MÉTODOS NUMÉRICOS 75
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
E+ +!n#%!# PN = x > *'+*+')# 's7 es e+ +!n#%!# )e !ne$+'*!n )e
Ne;#n.
C*cu*o de* Po*ino+io de Inerpo*ación de Neon
Sn'%#s /e /e$e%#s en*#n$'$ +#s *#e"!*!enes ai )e #)#s +#s
+!n#%!#s P 1= x >( P 2= x >( ...( PN = x > /e n#s s!$5en &'$' !ne$+'$ n'
"n*!n )')' f = x >. En#n*es *')' Pk = x > es e+ +!n#%!# )e Ne;#n /e
!ene *#%# n#)#s x ( x 1(...( xi . P'$' e+ +!n#%!# P 1= x >( +#s *#e"!*!enes a
4 a1 !enen
f ( x0 )= P 1 ( x0 )=a0+a1 ( x0− x0 )=a0 P#$ 'n#:
x
f (¿¿ 1)= P1 ( x1 )=a0+a1 ( x1− x0 )=f ( x0 )+a1 ( x1− x0 )¿
E+ *+*+# )e +#s *#e"!*!enes se &e)e $e'+!'$ )e "#$%' %s $&!)' 4
sen*!++' !+!'n)# +' n#'*!n )e +'s )!"e$en*!'s )!5!)!)'s. Definición:
Diferencias di!ididas. L's diferencias di!ididas )e n' "n*!n f = x > se
)e"!nen *#%#: +' )!"e$en*!' )!5!)!)' )e #$)en *e$#: f [ xi ]=f ( xi)
L' )!"e$en*!' )!5!)!)' )e &$!%e$ #$)en:
f [ x i−1, x i ]=f [ x i ]−f [ x i−1 ]
x i− x i−1
L' )!"e$en*!' )!5!)!)' )e sen)# #$)en:
MÉTODOS NUMÉRICOS 76
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
f [ x i−2 , x i−1, x i ]=f [ xi−1 , xi ]−f [ x i−2, x i−1 ]
xi− xi−2
L's )!"e$en*!'s )!5!)!)'s )e #$)en s&e$!#$ se "#$%'n )e '*e$)# *#n +'
s!!ene "$%+' )e $e*$s!n:
f [ x i− ' , xi− '+1 , % , x i ]=f [ x i− '+1, % , xi ]−f [ x i− ' , % , x i−1 ]
x i− x i− '
e se !+!' &'$' *'+*+'$ +' T',+' )e D!"e$en*!'s D!5!)!)'s:
5*gori+o Inerpo*ación NE9TON
!. De"!n# %! n,e )e &n#s( e+ n@%e$# )e &n#s nX1.!!. C'+*+# %!s )!"e$en*!'s )!5!)!)'s )e&en)!en)# '+ n@%e$# e &n#s!!!. M+!&+!*'%#s +'s )!"e$en*!'s )!5!)!)'s *#n ss $es&e*!5#s 5'$!',+es.!5. 9!n'+%ene #,en# %! +!n#%!# )e Ne;#n.
MÉTODOS NUMÉRICOS 77
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
CAPITULO IV
INTEGRACIÓN
INTRODUCCIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS 78
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
L' !ne$'*!n es n *#n*e&# "n)'%en'+ )e+ *+*+# 4 )e+ 'n+!s!s
%'e%!*#. Bs!*'%ene( n' !ne$'+ es n' ene$'+!'*!n )e
+'s%' )e !n"!n!#s s%'n)#s( !n"!n!'%ene &e/e#s.
E+ *+*+# !ne$'+( en*')$')# en e+ *+*+# !n"!n!es!%'+( es n' $'%' )e
+'s %'e%!*'s en e+ &$#*es# )e !ne$'*!n # 'n!)e$!5'*!n( es %4
*#%@n en +' !nen!e$7' 4 en +' *!en*!' '%,!8n se !+!' &$!n*!&'+%ene
&'$' e+ *+*+# )e $e's 4 5#+@%enes )e $e!#nes 4 s+!)#s )e $e5#+*!n.
9e s')# $ &$!%e$' 5e $ *!en7"!*#s *#%# A$/7%e)es( Ren8
Des*'$es( Is''* Ne;#n( G#"$!e) Le!,n! e Is''* B'$$#;. L#s $','#s )e
ese @+!%# 4 +#s '$es )e Ne;#n ene$'$#n e+ e#$e%' "n)'%en'+ )e+
*+*+# !ne$'+( /e &$#ne /e +' )e$!5'*!n 4 +' !ne$'*!n s#n
&$#*es#s !n5e$s#s.
Es' @+!%' &'$e )e+ es)!# )e %8#)#s n%8$!*#s( se *#n*e&'+!'$' +#s
)!5e$s#s %8#)#s )e $es#+5e$ !ne$'+es )!"7*!+es )e $es#+5e$( &'$' n
es)!'ne( es&e$'%#s +#$'$ +e se' @!+ #)# +# ,$!n)')# 0's' '0#$'.
".1. CONCEPTOS PREVIOS.".1.1.INTE7R5
MÉTODOS NUMÉRICOS 7
https://es.wikipedia.org/wiki/Concepto_primitivohttps://es.wikipedia.org/wiki/Concepto_primitivohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttps://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrowhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Concepto_primitivohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sumahttps://es.wikipedia.org/wiki/Infinitohttps://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibnizhttps://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrowhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
D')' n' "n*!n f ( x) )e n' 5'$!',+e $e'+ x 4
n !ne$5'+#
[ a , b ] )e +' $e*' $e'+( +' !ne$'+ es !'+ '+ $e' )e
+' $e!n )e+ &+'n# xy +!%!')' en$e +' $"!*' )e ( e+ ee x (
4 +'s +7ne's 5e$!*'+es x=a 4 x=b ( )#n)e s#n ne'!5's +'s
$e's $ )e,'# )e+ ee x .
∫b
a
f ( x ) x
L' &'+',$' ]!ne$'+] '%,!8n &e)e 0'*e$ $e"e$en*!' ' +' n#*!n
)e &$!%!!5': n' "n*!n 9( *4' )e$!5')' es +' "n*!n )')' f .
En ese *'s# se )en#%!n' !ne$'+ !n)e"!n!)'( %!en$'s /e +'s
!ne$'+es $'')'s en ese '$7*+# s#n +'s !ne$'+es )e"!n!)'s.
A+n#s '#$es %'n!enen n' )!s!n*!n en$e !ne$'+es &$!%!!5's
e !n)e"!n!)'s.
MÉTODOS NUMÉRICOS 80
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttps://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinidahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81reahttps://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinida
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
".2. ETODOS DE INTE7R5CI4N
".2.1.POINOIO DE T5AOR
A$-('%( )* '*-+9 ;( *$ ($(%( )* T+$(
. D*( % '*-+$ ∫a
b
f ( x)x , eclaromi a , b ,
*$ -+)( )*$ ;($(%(
. C+$$( *$ m=a+b
2
,
. C+$$( %/ )*+)+/ )* #= /*- *$ -+)( )+)( .. E+$9 % +)+ * +)+ )*+)+ @* +'*(%*'* +$$*.. R*%;$+ +
( x−m ) f ! (m)1>
+( x−m)2 f ! ! (m)
2 > +% % % % ..
( x−m)n f n(m)n>
. "+$%*'* ∫a
b
P( x )x Y OBTENGO LA AROKIMACI!N.
".2.2. RECT5N73O
A$-('%( )* I'*-+9 R*'+-$+.
. D*( % '*-+$ ∫a
b
f ( x)x , eclaromia , b %*(
)* *'?-$(/.
. C+$$( *$ / =b−a
n
. *alculo , x i=a+ i / ; mi= xi−1+ x i
2
. C( $(/ )+'(/ +'*(*/ +$$+%(/
I = / ∑i=1
n
f (mi )=interalaproximaa
".2.".RE75 DE TR5PECIO
MÉTODOS NUMÉRICOS 81
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
LA REGLA DEL TRAECIO
L+ regla del trapecio */ $+ ;%*+ )* $+/ 9%$+/ *+)+/ )* '*-+9 )*N*'(. C(*/;()* +$ +/( )()* *$ ;($(%( */ )* ;%* -+)(
I ∫a
b
f ( x)x ?∫a
b
P1( x)x
Do!de" P1 ( x )=( x−b )a−b
f ( a )+( x−a )b−a
f (b )
Re&$esen'*!n $'"!*' )e +' $e+' )e+ $'&e*!#
"(%$+ -**+$ )* $+ *-$+ )*$ '+;*( ;++ ;'(/
∫a
b
f ( x ) x=12[ f ( x0 )+f ( x1 )]
"(%$+ -**+$ )* $+ *-$+ )*$ '+;*( ;++ 1 ;'(/
∫a
b
f ( x ) x=1
2[ f ( x0 )+2 f ( x1 )+2 f ( x2)+2 f ( x3 ) %+2 f ( xn−1 )+ f ( xn )]
Algotitmo de la regla del trapecio
.D*( % '*-+$ ∫a
b
f ( x)x , eclaromi a , b , *$ %*( )* '+;*(/
.C+$$( *$ / =b−a
n ,
.
*alculo , x i=a+ i / ; f ( x i ) ,
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
. E+$( %/ )+'(/ * $+ (%$+ /-*'*
∫a
b
f ( x ) x=1
2
[f ( x0 )+2∑
i=1
n−1
f ( x i )+ f ( xn )
]. "+$%*'* (:'*-( % '*-+9 .
".2.%.SIPSON 1B"
L' $e+' S!%&s#n 1Z3 $es+' *'n)# n +!n#%!# )e sen)# $')# sess!4e en +' e*'*!n:
I =∫a
b
f ( x ) x≅∫a
b
P ( x)x
P'$' #,ene$:
I = /
3 [f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 ) ]
D#n)e 1=(b @ a)/2 . Es' e*'*!n se ++'%' reg*a de Si+pson 1/3
)e,!)# ' /e 1 es )!5!)!)' en$e 3.
P'$' ese %8#)# n#s#$#s %#s$'$e%#s *#%# se $ese+5e e+ +!n#%!#$ %e)!# )e LAGRANGE
P ( x )= ( x− x1 ) ( x− x2 )( x0− x1 ) ( x0− x2 )
f ( x0 )+ ( x− x0 ) ( x− x2 )( x1− x0 ) ( x1− x2)
f ( x1 )+ ( x− x0 ) ( x− x1 )( x2− x0 ) ( x2− x1 )
f ( x2 )
Ine$'%#s nes$# +!n#%!# 4 #,ene%#s:
MÉTODOS NUMÉRICOS 83
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
I =∫a
b
P ( x ) x= / 3
[ f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2) ]
T'%,!8n '&+!*'%#s es' $e+' &'$' n-8s!%# &n#s +#s *'+es 5e$e%#s '
*#n!n'*!n( )#n)e a= x0 4 b= xn :
I = ∫a= x0
b= xn
P( x )x=∫ x0
x2
P( x)x+∫ x2
x4
P( x)x+%+∫ x n−2
xn
P( x )x
Ine$'%#s 4 #,ene%#s:
I = / 3 [f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2 ) ]+ / 3 [ f ( x2 )+4 f ( x3 )+ f ( x4 )]+%+ / 3 [ f ( xn−2 )+4 f ( xn−1 )+4 f ( xn−1)+ f ( xn)]
P#$ +!%# en)$e%#s +' "#$%+' ene$'+:
f ( xi )+2 ∑i=2,4,6,8%
n−2
f ( x i )+¿ f ( xn)
f ( x0 )+4 ∑i=1,3,5,7 %
n−1
¿
I = / 3 ¿
5*gori+o de inegración por Si+pson 1B"
!. De"!n# %! !ne$'+ ∫a
b
f ( x)x , eclaromi a , b , 4 e+
n@%e$# )e se%en'*!#nes
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
".2.&.SIPSON "B=De %'ne$' s!%!+'$ ' +' #,en*!n )e +' $e+' )e+ $'&e*!# 4 S!%&s#n 1Z3( es
s!,+e 's'$ n +!n#%!# )e L'$'ne )e e$*e$ $')# ' *'$# &n#s e
!ne$'$+#:
I =∫a
b
f ( x ) x≅∫a
b
P ( x)x
P'$' #,ene$:
I =3 /
8 [ f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f ( x3)]
D#n)e 1=(b @ a)/3 . Es' e*'*!n se ++'%' reg*a de Si+pson 3/8
)e,!)# ' /e 1 se %+!&+!*' $ 3/8 . Es' es +' e$*e$' "$%+' )e
!ne$'*!n *e$$')' )e Ne;#n-C#es.
P'$' ese %8#)# n#s#$#s %#s$'$e%#s *#%# se $ese+5e e+ +!n#%!#
$ %e)!# )e LAGRANGE: ene%#s &'$' *'$# &n#s )#n)e a= x0
,< x3
P ( x )= ( x− x1) ( x− x2 ) ( x− x3 )( x0− x1 ) ( x0− x2 ) ( x0− x3 ) f ( x
0 )+ ( x− x0 ) ( x− x2 ) ( x− x3)( x1− x0 ) ( x1− x2 ) ( x1− x3 ) f ( x
1 )+ ( x− x0 ) ( x− x1 ) ( x− x3 )( x2− x0 ) ( x2− x1 ) ( x2− x3 ) f ( x
2 )+ (
Ine$'%#s nes$# +!n#%!# 4 #,ene%#s:
I =∫a
b
P ( x ) x=3 / 8
[f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f ( x3) ]
MÉTODOS NUMÉRICOS 85
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
T'%,!8n '&+!*'%#s es' $e+' &'$' n-8s!%# &n#s +#s *'+es 5e$e%#s '
*#n!n'*!n( )#n)e a= x0 4 b= xn :
I = ∫a= x0
b= xn
P( x )x=∫ x0
x3
P( x)x+∫ x3
x6
P( x)x+%+∫ xn−3
xn
P( x)x
Ine$'%#s 4 #,ene%#s:
I =3 / 8 [ f ( x0 )+3 f ( x1 )+3 f ( x2 )+ f ( x3)]+ 3 / 8 [f ( x3 )+3 f ( x4 )+3 f ( x5 )+ f ( x6)]+%+ 3 / 8 [ f ( xn−3 )+3 f ( xn−2
P#$ +!%# en)$e%#s +' "#$%+' ene$'+:
x
f (¿¿ i)+ f ( xn)
f ( xi )+3
∑i=2,5,8,11%
n−2
f ( x i)+¿2
∑i=3,6,9,12%
n−1
¿
f ( x0 )+3 ∑i=1,4,7,10 %
n−3
¿
I =3 /
8 ¿
5*gori+o de inegración por Si+pson "B=
!. De"!n# %! !ne$'+ ∫a
b
f ( x)x , eclaromi a , b , 4 e+
n@%e$# )e se%en'*!#nes
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
x
f (¿¿ i)+ f ( xn)
f ( x i )+3 ∑i=2,5,8,11%
n−2
f ( x i)+¿2 ∑i=3,6,9,12%
n−1
¿
f ( x0 )+3 ∑i=1,4,7,10 %
n−3
¿
I =3 /
8 ¿
MÉTODOS NUMÉRICOS 87
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
ANEXOS
1. RESOLUCIÓN DE 1 EJERCICIOS UTILI_ANDO RESOLUCIÓN
DE ECUACIONES NO LINEALES EN MAPLE. =CONTROLXCLIC`>2. PROGRAMAS DE SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES( REGRESIÓN( INTERPOLACIÓN E INTEGRACIÓN(EN
MAPLE. =CONTROLXCLIC`>
MÉTODOS NUMÉRICOS 88
http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/LABORATORIO%20DEMETODOS%20NUMERICOS.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/LABORATORIO%20DEMETODOS%20NUMERICOS.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/LABORATORIO%20DEMETODOS%20NUMERICOS.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/LABORATORIO%20DEMETODOS%20NUMERICOS.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mwhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/PROGRAMACI%C3%93N%20II%20UNIDAD.mw
-
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INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
3. EL METODO DE REGRESIÓN LINEAL EN ECEL.
=CONTROLXCLIC`>F. DIAPOSITIVAS DE TODO LO EPLICADO EN ESTE IN9ORME
=CONTROLXCLIC`>
http://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/MINIMOS%20CUADRADOS.xlsxhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/METODOS%20NUMERICOS.pptxhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/MINIMOS%20CUADRADOS.xlsxhttp://var/www/apps/conversion/tmp/scratch_5/METODOS%20NUMERICOS.pptx