informe de fisica i

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS

INFORME : PRIMERA PRÁCTICA PRE-PROFESIONAL

PRESENTADO POR : VILCA MIRANDA, Alvaro

DOCENTE : Lic. GOMEZ AQUINO, Jorge H.

PUNO PERÚ

2009

Universidad Nacional del AltiplanoFacultad de Ingeniería Civil y Arquitectura

Escuela Profesional de Cs. Físico Matemáticas

INFORME N◦ 002-2008-UNA-FICA

Al : Lic. Gomez Aquino Jorge HeraclioDe : Vilca Miranda AlvaroAsunto : Informe de Prácticas Pre-ProfesionalesFecha : 1 de julio del 2009

Mediante el presente, remito a Ud. el presente informe de prácticas pre-profesionales querealicé, el cual paso a detallar a continuación:

1. A través del MEMORANDO N◦-011-2008-DE-EPCFM-FICA-UNA. de fecha 24 demarzo del 2008, se me asigna realizar prácticas pre-profesionales en el curso de FÍSI-CA I, el cual se desarrolla en la Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas,del cual su persona fue titular.

2. Las prácticas pre-profesionales las inicié el 25 de marzo del 2008 y las finalicé el 22de mayo del 2008.

3. Las sesiones dictadas fueron correspondientes a las capacidades I,II y III del cursoantes mencionado.

4. En el presente informe se encuentra toda la información detallada de las prácticaspre-profesionales que realicé.

Es cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.

Atentamente.

Vilca Miranda Alvaro

ii

Universidad Nacional del AltiplanoFacultad de Ingeniería Civil y Arquitectura

Escuela Profesional de Cs. Físico Matemáticas

INFORME N◦ -2008-UNA-FICA

Al : Lic. Benavides Huanca, Juan CarlosDirector de la Escuela Profesional Ciencias Físico Matemáticas.

De : Lic. Gomez Aquino Jorge Heraclio.Asunto : Informe de Prácticas Pre-profesionales.Fecha : 1 de julio del 2009

Es grato dirigirme a Ud. a fin de informarle sobre las prácticas realizadas por el estudianteVILCA MIRANDA ALVARO, el cual detallo a continuación:

1. Mediante el MEMORANDO N◦-011-2008-DE-EPCFM-FICA-UNA. 24 de marzo del2008, se designa al estudiante VILCA MIRANDA ALVARO, con el fin de realizarlas prácticas pre-profesionales en el curso de FISICA I, el mismo que se desarrolloen la Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas la misma que se realizobajo mi asesoría.

2. El estudiante realizó la práctica pre-profesional, logrando el objetivo del mínimo de30 horas académicas, que consistió en desarrollar las capacidades I,II y III corre-spondientes al curso.

3. Durante la realización de la práctica pre-profesional el estudiante en mención, de-mostró mucha responsabilidad y dominio de los temas tanto en la preparación de sussesiones, durante su desenvolvimiento ante los estudiantes y demás tareas asignadas.

4. Concluida la práctica pre-profesional, el estudiante alcanzó los objetivos estableci-dos, siendo así; solicito a Ud. Señor Director realizar los trámites necesarios para laexpedición de la respectiva resolución.

Es cuanto puedo informar a Ud. para los fines consiguientes.

Atentamente:

Lic. Gomez Aquino Jorge Heraclio

iii

PRESENTACIÓNEl presente informe se origina en el desarrollo de las prácticas pre-profesionales realizadadel 25 de marzo al 22 de mayo del 2008 en el curso de Física I en el semestre 2007-II dichocurso corresponde al II semestre de la Escuela Profesional de Ciencias Físico Matemáticas, Facultad Ingeniería Civil y Arquitectura de la Universidad Nacional Del Altiplano Puno.

El informe consta de tres partes. La primera parte trata una sección informativa, lajustificación y los objetivos de las prácticas pre-profesionales.

La segunda parte, trata en sí, el desarrollo del curso, en esta parte se desarrolla la FísicaI, desarrollando temas relacionados a vectores,estática, cinemática y dinámica.

La tercera y última parte trata de la metodología utilizada en las prácticas pre-profesionales,el cronograma de las actividades realizadas y la relación de los estudiantes con sus respec-tivas asistencias.

Por ultimo, quiero agradecer al Lic. Gomez Aquino Jorge Heraclio, docente del curso,por su valioso apoyo durante el desarrollo de la práctica pre-profesional.

iv

Índice general

I INFORME DE PRÁCTICAS PRE-PROFESIONALES 10.1. DATOS INFORMATIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2. JUSTIFICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3. OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.3.1. OBJETIVOS GENERALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II FISICA I 9

1. VECTORES 111.1. Operaciones con los Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Magnitud y Dirección de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Magnitud o Módulo de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2. Dirección de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Vectores Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Producto Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. Conjunto Recíproco de vectores: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. ESTÁTICA 252.1. Composición de Fuerzas Concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Torque de una Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Torque de varias Fuerzas Concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Composición de las Fuerzas Aplicadas a un Cuerpo Rígido . . . . . . . . . 272.5. Cupla de Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6. Composición de Fuerzas Coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7. Composición de Fuerzas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.8. Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8.1. Equilibrio de una Partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8.2. Equilibrio de un Cuerpo Rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. CINEMÁTICA 413.1. Sistema de Referencia Inercial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Velocidad Media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

v

3.3. Velocidad Instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4. Aceleración Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5. Aceleración Instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6. Movimiento Unidiemnsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.7. Caida Libre de los Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.8. Movimiento en un Plano, Compuesto o en Dos Dimensiones . . . . . . . . 44

3.8.1. Movimiento Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8.2. Movimiento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.9. Movimiento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.9.1. Desplazamiento Angular: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.9.2. Velocidad Angular: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.9.3. Frecuencia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.9.4. Periodo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.10. Movimiento Curvilíneo General en un Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.11. Aceleración Tangencial y Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.12. Curvatura y Radio de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4. DINÁMICA 594.1. Primera Ley de Newton (Ley de la Inercia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2. Segunda Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3. Tercera Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4. Fuerzas de Fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4.1. Coeficiente de Fricción Estático fs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.2. Coeficiente de Fricción Cinético fk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4.3. Fuerzas de Fricción en Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5. Cantidad de Movimiento o Momento Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.6. Conservación de Cantidad de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.7. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.8. Conservación del Momento durante las Colisiones . . . . . . . . . . . . . . 624.9. Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5. TRABAJO Y ENERGÍA 735.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.1. Trabajo Efectuado por una Fuerza Constante . . . . . . . . . . . . 735.1.2. Trabajo Efectuado por una Fuerza Variable . . . . . . . . . . . . . 74

5.2. Teorema del Trabajo y la Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4. Fuerzas Conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.5. Energía Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.6. Principio de Conservación de la Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

vi

III Metodología, Cronograma de Actividades 85

6. METODOLOGÍA 876.1. Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2. Técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES 897.1. Temas Desarrollados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8. RELACIÓN DE ESTUDIANTES Y ASISTENCIAS 918.1. Relación de Estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.2. Asistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

vii

Parte I

INFORME DE PRÁCTICASPRE-PROFESIONALES

1

3

0.1. DATOS INFORMATIVOS

RESPONSABLE

Nombre y Apellido : Vilca Miranda, AlvaroCódigo : 040715

DOCENTE

Nombres y Apellidos : Gomez Aquino, Jorge HeraclioCondición : NombradoCategoría : Auxiliar T.C.Especialidad : Física

ASIGNATURA

Nombre : Física ICódigo : MAT-303Pre Requisito : MAT-201Horas : T=3 h, P=2 h Total 5 hCréditos : 04Año Académico : 2007Semestre Académico : IIÁrea Curricular : Formación profesional EspecíficaCondición : ObligatorioGrupo : Único

0.2. JUSTIFICACIÓN

A partir de las prácticas pre-profesionales, los estudiantes de la Escuela Profesional deCiencias Físico Matemáticas van construyendo su campo profesional, adquiriendo experi-encias, habilidades y destrezas en el desempeño de la docencia universitaria.

La práctica pre-profesional tiene sustento legal en:

CONSTITUCIÓN POLÍTICA DEL PERÚ

La Constitución Política del Perú de 1993, es constitución vigente en el país. Estaes considerada como la norma jurídica suprema y vértice de todo el ordenamientojurídico que regula la vida dentro del país.


4

Art. 14 La educación promueve el conocimiento, el aprendizaje y la práctica delas humanidades, la ciencia, la técnica, las artes, la educación física y el deporte;prepara para la vida, el trabajo y fomenta la solidaridad.

Art. 18 La educación universitaria tiene como fines la formación profesional, ladifusión cultural, la recreación intelectual y artística y la investigación científica ytecnológica. El estado garantiza la libertad de cátedra y rechaza la intolerancia.

Las universidades son promovidas por entidades privadas o públicas. La ley fijalas condiciones para autorizar su funcionamiento.

La universidad es la comunidad de profesores, alumnos y graduados. Participanen ella los representantes de los promotores, de acuerdo a ley.

Cada universidad es autónoma en su régimen normativo, de gobierno, académi-co, administrativo y económico. Las universidades se rigen por sus propios estatutosen el marco de la constitución y las leyes.

LEY UNIVERSITARIA N◦ 23733

Dado en la casa de gobierno en Lima, a los nueve días del mes de diciembre demil novecientos ochenta y tres.

Art.9 Cada universidad organiza y establece su régimen académico por facultadesa sus necesidades y características.

Art.18 Cada universidad señala los requisitos para la obtención de los gradosacadémicos y de los títulos profesionales correspondientes a las carreras q ofrece.

Art.23 Los títulos profesionales de licenciado o su equivalente requieren de estu-dios de una duración no menor de diez semestres académicos o la aprobación de losaños o créditos correspondientes, incluidos los de cultura general que los preceden.Además son requisitos la obtención previa del bachillerato respectivo y, cuando seaaplicable, el haber efectuado práctica profesional calificada. Para obtener el títulode licenciado o sus equivalentes, se requiere de una tesis o de un examen profesional.

La segunda especialidad requiere la licenciatura u otro título profesional equiva-lente previo. Da acceso al título, o a la certificación o mención correspondientes.

ESTATUTO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

Gomez Aquino Jorge H.

5

Aprobado en Asamblea Universitaria del 06 al 19 de enero del 2005

Art. 19 La universidad se integra por unidades académicas fundamentales de-nominadas facultades estos organizan y desarrollan actividades de investigación,proyección social y presentación de servicios.

Art.122 La actividad académica en una escuela profesional comprende:

• Formación general.

• Formación básica profesional.

• Formación profesional.

• Investigación.

• Orientación profesional.

• Proyección y extensión universitaria.

su diseño involucra la programación curricular teórica-práctica de cada asignatu-ra; proyectos de investigación sobre la realidad regional, nacional y mundial; plande actividades de proyección y extensión universitaria; y un plan de prácticas pre-profesionales. Concor.:Arts. 10, 12, 16 y ss, Ley 13733.

CURRICULA DE LA ESCUELA PROFESIONAL CIENCIAS FÍSICOMATEMÁTICAS

Art.40 El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que con-templa la realización de prácticas pre-profesionales en la formación de todos losestudiantes de la universidad.

Art.41 Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas es-tán obligados a realizar prácticas pre profesionales pudiendo efectuarse después dehaber logrado un mínimo de 170 créditos.

Art.42 Las prácticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Ciencias FísicoMatemáticas serán prácticas productivas y prácticas de investigación.

Art.43 Las prácticas productivas comprenderán prácticas pedagógicas en centros deenseñanza de nivel medio superior y universidades, prácticas en centros productivos,convenio, proyectos y otros que requieran la participación de Físicos Matemáticos.

Art.44 Las prácticas de investigación se realizarán en la U.N.A. bajo la direcciónde un profesor designado específicamente con este fin.


6

Art.45 Las prácticas productivas de investigación tendrán una duración de unsemestre académico.

Art.46 Los estudiantes, después de haber cumplido con sus prácticas producti-vas y/o de investigación presentarán el informe de la institución donde se realizó yesta a su vez informará de su desarrollo a la Dirección de Carrera quien lo remi-tirá a la comisión de prácticas pre profesionales para su aprobación o desaprobación.

Art.47 En caso de que la práctica productiva y/o prácticas de investigación serealize en la Universidad Nacional del Altiplano el practicante presentará el informeal docente a cargo, éste a su vez informará su desarrollo a la Dirección de la Carrerapara el visto bueno de la comisión de prácticas pre profesionales.Art.48 Los aspectos no contemplados en el presente reglamento serán absueltos porla Comisión de prácticas pre profesionales.


7

0.3. OBJETIVOS

0.3.1. OBJETIVOS GENERALES

Al conluir la práctica pre-profesional, el estudiante de la E.P. de Ciencias Físico Matemáti-cas, sera capaz de:

Desarrollar, aplicar y facilitar el uso de las relaciones cuantitativas y cualitativas delas diversas disciplinas de la ciencia, la tecnología, la gestión y la producción

Planificar, organizar y ejecutar los conocimientos adquiridos durante la formaciónprofesional en instituciones donde se requiera nuestros servicios profesionales.

0.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Familiarizarse en el desempeño de la docencia universitaria.

Afianzar los conocimientos adquiridos, para resolver problemas durante la prácticapre-profesional.

Proporcionar conceptos, proposiciones, etc. relacionados al tema a desarrollarse.

Solucionar con métodos adecuados los problemas que se presentan.

Estar siempre disponible para absolver las inquietudes de los alumnos.


8


Parte II

FISICA I

9

Capítulo 1

VECTORES

Una cantidad escalar es descrita por un solo número real, el cual caracteriza su magni-tud, por ejemplo la masa de una persona o la densidad del agua. Una cantidad vectoriales la que posee una magnitud y una dirección, así como la velocidad, aceleración, fuerzay momentum lineal.

Gráficamente, un vector se representa por un segmento de recta dirigido−→PQ desde un

punto P llamado origen hasta un punto Q llamado extremo.

P

Q

A

Figura 1.1: Vector

La longitud del segmento es el módulo del vector, la dirección del segmento es la co-rrespondiente del vector y la punta de la flecha indica el sentido del vector.

Los vectores se denotan con letras mayúsculas, minúsculas en negrilla u otro con unaflecha encima. Así

−→PQ se denota por ~A o A

1.1. Operaciones con los Vectores

Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada sumade vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por un vector. Diremos

11

12

que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientesaxiomas:

1. ∀A,B ∈ V/A + B = C ∈ V

2. ∀A,B ∈ V/A + B = B + A = C ∈ V

3. ∀A,B,C ∈ V/A + (B + C) = (A + B) + C = D ∈ V

4. ∃!0 ∈ V/A + 0 = A, ∀A ∈ V

5. ∀A ∈ V,∃!(−A) ∈ V/A + (−A) = A−A = 0

6. ∀m ∈ IR ∧ ∀A ∈ V,mA = E ∈ V

7. ∀m,n ∈ IR ∧ ∀ A ∈ V, (m + n)A = mA + nA

8. ∀m,n ∈ IR ∧ ∀A ∈ V,m(nA) = n(mA) = (mn)A

9. ∀m ∈ IR ∧ ∀A,B ∈ V,m(A + B) = m(A) + m(B)

10. ∃1 ∈ IR ∧ ∀A ∈ V, 1A = A

1.2. Magnitud y Dirección de un Vector

1.2.1. Magnitud o Módulo de un Vector

Para cada vector V ∈ IRn ,V = (x1, x2, x3, . . . , xn) existe un escalar o número llamadonorma, magnitud o módulo de V, denotado por ||V||, tal que:

||V|| =√

x21 + x2

2 + x23 + . . . + x2

n (1.1)

La ecuación 1.1 es el módulo de un vector en IRn pero esta ecuación queda reducida en elespacio vectorial IR2 y IR3, de la siguiente manera:

||V|| =√

x2 + y2 , V = (x, y) ∈ IR2

||V|| =√

x2 + y2 + z2 , V = (x, y, z) ∈ IR2

Propiedades de la Magnitud de un Vector

Para todo A,B ∈ IRn y para todo r ∈ R, se cumplen las siguientes propiedades:

N1 : ∀A ∈ IRn, ||A|| ≥ 0

N2 : ||A|| = 0 ⇐⇒ A = 0

N3 : ∀r ∈ IR, ∀A ∈ IRn, ||rA|| = |r|.||A||N4 : ∀A,B ∈ IRn, ||A + B|| ≤ ||A||+ ||B|| (Desigualdad triangular)


13

1.2.2. Dirección de un Vector

A cada vector V = (x, y) ∈ IR2 no nulo, le corresponde una dirección dada por la medidadel ángulo α (ángulo de dirección de V) que forma el vector con el semieje positivo de lasX, para el cual:

sin α =y

||V|| , cos α =x

||V|| (1.2)

donde 0◦ ≤ α ≤ 360◦ De las ecuaciones 1.2, se sigue que:

V = ||V||(cos α, sin α) (1.3)

De manera análoga para un vector no nulo V ∈ IR3 tenemos:

1.3. Vectores Unitarios

Dado un vector A cualesquiera no nulo, llamaremos vector unitario a un vector u quetiene la misma dirección de A tal que:

u =A

||A|| (1.4)

Donde el módulo de u es la unidad.

Luego de la ecuación 1.4, el vector A se puede escribir como :

A = Au

1.4. Producto Escalar

Dados los vectores A,B ∈ IRn, el producto escalar o interno de A y B se denota por A.By se define por:

A ·B =n∑

i=1

ai.bi (1.5)

Donde A = (a1, a2, . . . , an), B = (b1, b2, . . . , bn)

Propiedades del Producto Escalar

Sean A,B,C ∈ IRn y r ∈ IR, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

PE1: A ·B = B ·A

PE2: r(A ·B) = (rA) ·B


14

PE3: C · (A + B) = C ·A + C ·B(A + B) ·C = A ·C + B ·C

PE4: A ·A = ||A||2 ≥ 0

PE5: A ·A = 0 ⇐⇒ A = 0

1.5. Producto Vectorial

Dados los vectores A,B ∈ IRn, el producto vectorial o externo de A y B se denota porA×B y se define por:

C = A×B

∣∣∣∣∣∣

i j kA1 A2 A3

B1 B2 B3

∣∣∣∣∣∣(1.6)

Donde

C1 = (A2B3 − A3B2), C2 = (A3B1 − A1B3) y C3 = (A1B2 − A2B1)k

En general:Ci =

∑

jk

EijkAjBk (1.7)

Donde E es el termino alternante (o densidad de Levi-Civita), cuyas propiedades son lassiguientes:

Eijk = 0, si hay dos subíndices iguales.

Eijk = +1, si i, j, k forman una permutación par de 1,2,3.

Eijk = −1, si i, j, k forman una permutación impar de 1,2,3.

Otra propiedad asociada a la densidad de Levi-Civita es:

∑

k

EijkElmk = δilδjm − δimδjl

Donde, δjk es el delta de Kronecker, tal que,

δjk =

{1, si j = k0, si j 6= k


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Propiedades del Producto Vectorial

Sean A,B,C ∈ IRn y r ∈ IR, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

PV1: A×B = −B×A

PV2: A× (B + C) = A×B + A×C

PV3: r(A×B) = A× (rB) = (rA)×B

PV4: A×A = 0

1.6. Conjunto Recíproco de vectores:Sean a1, a2, a3 y a1, a2, a3 conjuntos de vectores que satisafacen:

am.an = δnm m,n = 1,2,3

Donde δnm es la delta de Kronecker la cual está definido como:

δnm =

{1, sim = n0, sim 6= n

Entonces se dice que los vectores am y an con m,n = 1, 2, 3 son recíprocos.


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PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1.1 En la figura (0 < θ < 90◦). Hallar el valor de la resultante en el sistema.

n divisionesiguales

A

B

θ

Solución:

A

B

θ

r

r/n

2r/n

3r/n

nr/n

v

v

v

v

1

2

3

n

De la figura notamos que~r = ~A− ~B (α)

Descomponiendo los vectores ~v1, ~v2, ~v3, ..., ~vn en la suma de vectores paralelos a ~B y ~R,obtenemos un total de n vectores ~B y n vectores paralelos al vector ~R los cuales son:

r

n,2r

n,3r

n, . . .

(n− 1)r

n,nr

n

Y la suma de todos ellos es:

n∑1

ir

n=

r

n

n∑1

i

n∑1

ir

n=

r

n

(n)(n− 1)

2

n−1∑1

ir

n=

( ~A− ~B)

n

(n)(n− 1)

2

n−1∑1

ir

n= ( ~A)

(n− 1)

2− ~B

(n− 1)

2


17

Luego el total de vectores ~A es:

( ~A)(n− 1)

2+ ~A =

(n + 1)

2~A

Luego el total de vectores ~B es:

−( ~B)(n− 1)

2+ n~B =

(n + 1)

2~B

Y la resultante de todos los vectores es :

R =

√(n + 1)2

22(A2 + B2) + 2

(n + 1)2

22AB cos θ

R =(n + 1)

2

√A2 + B2 + 2AB cos θ

Problema 1.2 Si a,b son vectores unitarios y θ el ángulo entre ellos, demostrar que12|a− b| =

∣∣sin 12θ∣∣.

Solución:

|a− b|2 = (a− b).(a− b)

= (a.a)− 2(a.b) + (b.b)

= |a|2 − 2(a.b) + |b|2= 2(1− cos θ)

= 4 sin2(θ/2)

De donde:1

2|a− b| = | sin(θ/2)|

Problema 1.3 Si a1, a2, a3 y a1, a2, a3 con conjuntos recíprocos de vectores, mostrar quea2 × a3, a3 × a1, a1 × a2 y a2 × a3, a3 × a1, a1 × a2 son también conjuntos recíprocos

Solución:

Si a1, a2, a3 y a1, a2, a3 son conjuntos recíprocos, se cumplen que:

am.an = δnm m,n = 1,2,3 (θ)

Ahora nos piden demostrar que los vectores:

A1 = a2 × a3 = a1[a1a2a3]

A2 = a3 × a1 = a2[a1a2a3] (α)

A3 = a1 × a2 = a3[a1a2a3]


18

Y

A1 = a2 × a3 = a1[a1a2a3]

A2 = a3 × a1 = a2[a1a2a3] (β)

A3 = a1 × a2 = a3[a1a2a3]

Verifiquen:Am.An = δn

m m,n = 1,2,3

Por otro lado, tambien se tiene:

[a1a2a3] =1

[a1a2a3](γ)

De las ecuaciones (α), (β) y (γ) se verifica que:

Am.An = am.an

Y por (θ) se concluye que el conjunto A1,A2,A3 y A1,A2,A3 son también conjuntosrecíprocos.

Problema 1.4 Denominando vi = v.ai y vj = v.aj las componentes covariantes y con-travariantes de v, y gij = ai.aj, gij = ai.aj. Demostrar que:

vj =∑

i

vigij, vj =

∑i

vigij

v2 =∑

i

vivi =

∑ij

vivjgij =

∑ij

vivjgij

Solución:

Se tienes las dos siguientes propiedades:

v =∑

i

(v.ai)ai (α)

v =∑

i

(v.ai)ai (β)

Reemplazando la ecuación (α) en vj = v.aj tenemos:

vj = v.aj

=∑

i

(v.ai)ai.aj

=∑

i

viai.aj

=∑

i

vigij


19

Del mismo modo, reemplazando la ecuación (β) en vj = v.aj tenemos:

vj = v.aj

=∑

i

(v.ai)ai.aj

=∑

i

viai.aj

=∑

i

vigij

Por último, se tiene:

v2 = v.v

=∑

i

(v.ai)ai.

∑

i

(v.ai)ai

=∑

i

[(v.ai)(v.ai)](ai.ai)

=∑

i

vivi

Por otro lado:

v2 =∑

i

vivi

=∑

i

vi

∑j

vjgij

=∑ij

vivjgij

También:

v2 =∑

i

vivi

=∑

i

∑j

vjgijvi

=∑ij

vivjgij

Problema 1.5 Dados una recta que pasa por P (4, 5,−7) paralela a ~v1 = −i + 2j − 4k yun plano a través de Q(−3, 6, 12) y perpendicular a ~v2 = i− j + 2k.


20

a) Escribir las ecuaciones respectivas en coordenadas rectangulares.

b) Encontrar el punto de intersección de la recta y el plano.

c) Hallar en ángulo entre la línea y el plano

Solución:

a) La ecuación de una recta que pasa por un punto P y tiene como vector paralelo a~v, serán aquellos puntos dados por :

L : P + t~v

L : (4, 5,−7) + t(−1, 2,−4)

Expresado de otra forma, la recta L estarádado por los puntos (x, y, z) tales que:

(x, y, z) = (4, 5,−7) + t(−1, 2,−4)

L

v

P

De donde:

x = 4− ty = 5 + 2tz = −7− 4t

Ecuaciones Paramétricas de la recta L

La ecuación de un Plano P que pasa porQ(−3, 6, 12) y es perpendicular al vector ~n =(1,−1, 2), estará dado por aquellos puntos~R(x, y, z) tales que:

(~R− ~P ).(~n) = 0

(x + 3, y − 6, z − 12).(1,−1, 2) = 0

De donde se obtiene:x− y + 2z = 15 Ecuación del plano P

P

n

Q R

b) El punto de intersección de L y P estará dado por aquel (x, y, z) que satisface ambasecuaciones. Luego reemplazando las ecuaciones paramétricas de L en la ecuación deL:

(4− t)− (5 + 2t) + 2(−7− 4t) = 15

t = −30/11


21

Luego el punto es (x, y, z):

x =74

11

y = − 5

11

z =43

11

c) Viendo el gráfico, y por la definición del producto escalar:

~n.~v = n.v. cos θ

−11 = 3√

7 cos θ

θ = 168,50◦

Luego : α = 78,5◦

P

n

L

αβv

Problema 1.6 Utilizando el termino alternante o densidad de levi-civita, demostrar:

a) [ABC] = [BCA] = [CAB] = −[ACB] = −[BAC] = −[CBA]

b) (A×B)× (C×D) = [ABD]C− [ABC]D

c) (A×B)× (C×D) = [CDA]B− [CDB]A

Solución:

a) Por Demostrar: [ABC] = [BCA] = [CAB] = −[ACB] = −[BAC] = −[CBA]se sabe que: [ABC] = A · (B×C)Por otro lado, sea

D = B×C,⇒ Di =∑

jk

EijkBjCk

Luego tenemos que: [ABC] = A ·D =∑

i AiDi y desarrollando esta ecuaciónobtenemos:

1.

[ABC] =∑

ijk

EijkAiBjCk

=∑

j

Bj

∑

jk

EjkiCkAi

= B · (C×A)

[ABC] = [BCA]


22

2.

[ABC] =∑

ijk

EijkAiBjCk

=∑

k

Ck

∑ij

EkijAiBj

= C · (A×B)

[ABC] = [CAB]

3.

[ABC] =∑

ijk

EijkAiBjCk

=∑

i

Ai

∑

jk

(−Eikj)CkBj

= A · −(C×B)

[ABC] = −[ACB]

4.

[ABC] =∑

ijk

EijkAiBjCk

=∑

j

Bj

∑

ik

(−Ejik)AiCk

= B · −(A×C)

[ABC] = −[BAC]

5.

[ABC] =∑

ijk

EijkAiBjCk

=∑

k

Ck

∑ji

(−Ekji)BjAi

= C · −(B×A)

[ABC] = −[CBA]

De 1,2,3,4 y 5, podemos concluir que:

[ABC] = [BCA] = [CAB] = −[ACB] = −[BAC] = −[CBA]

b) Por demostrar: (A×B)× (C×D) = [ABD]C− [ABC]D


23

Sea:

E = A×B

F = C×D ⇒ Fk =∑

lm

EklmClDm

Luego tenemos que:

(A×B)× (C×D) = E× F = G

De donde Obtenemos:

Gi =∑

jk

EijkEjFk

=∑

jk

EijkEj

∑

lm

EklmClDm

=∑

jklm

EijkEklmEjClDm

=∑

jlm

(∑

k

EijkElmk

)EjClDm

=∑

jlm

(δilδjm − δimδjl)EjClDm

=∑

j

EjDj

∑i

Ci −∑

j

EjCj

∑i

Di

= (E ·D)∑

i

Ci − (E ·C)∑

i

Di

Gi = [ABD]∑

i

Ci − [ABC]∑

i

Di

De donde podemos concluir que:(A×B)× (C×D) = [ABD]C− [ABC]D

c) Por Demostrar: (A×B)× (C×D) = [CDA]B− [CDB]A

Sea:

E = A×B ⇒ Ej =∑

lm

EklmAlBm

F = C×D

Luego tenemos que:

(A×B)× (C×D) = E× F = G


24

De donde Obtenemos:

Gi =∑

jk

EijkEjFk

=∑

jk

Eijk

∑

lm

EjlmAlBmFk

=∑

jklm

EijkEjlmAlBmFk

=∑

klm

(∑j

EkijElmj

)AlBmFk

=∑

klm

(δklδim − δkmδil)AlBmFk

=∑

l

FlAl

∑i

Bi −∑m

FmBm

∑i

Ai

= (F ·A)∑

i

Bi − (F ·B)∑

i

Ai

Gi = [CDA]∑

i

Bi − [CDB]∑

i

Ai

De donde podemos concluir que:(A×B)× (C×D) = [CDA]B− [CDB]A


Capítulo 2

ESTÁTICA

Parte de la mecánica que estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo,sobre el cual actúan fuerzas quede en equilibrio.

Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando permanece en estado de reposo o de movimien-to rectilíneo uniforme.

Se va a considerar fuerzas aplicadas solamente a masas puntuales o partículas y cuer-po rígido

2.1. Composición de Fuerzas ConcurrentesSe dicen un conjunto de fuerzas son concurrentes si están aplicadas en un mismo punto.El vector resultante FRes un vector suma, por lo tanto analíticamente se tiene:

FR = F1 + F2 + F3 + . . . =∑

i

Fi (2.1)

Si las fuerzas están en el plano XY (Fuerzas coplanares),se tiene:

FR = FRx~i + FRy

~j (2.2)

Donde:

FRx =∑

i

Fxi =∑

i

Fi cos θi

FRy =∑

i

Fyi =∑

i

Fi sin θi

2.2. Torque de una FuerzaSea un cuerpo C, que puede rotar alrededor de un punto O y sea A el punto de aplicaciónde la fuerza ~F , ~r es el vector posición que une el punto O con A. El torque o momento

25

26

de una fuerza se define como :~τ = ~r × ~F (2.3)

aaaarb

o

F

θ

aaa

r

b

o

F

θ

Figura 2.1: Torque de una Fuerza

La distancia perpendicular desde O a la línea de acción de la fuerza se llama brazo depalanca "b", donde b = r sin θ,luego:

τ = r.F sin θ = b.F

De la ecuación 2.3, ~r es el vector posición dada por: ~r = x~i + y~j + z~k y la fuerza F es:~F = Fx

~i + Fy~j + Fz

~k, luego se tiene:

~τ = ~r × ~F =

∣∣∣∣∣∣

i j kx y zFx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣= (yFz − zFy)~i + (zFz − xFz)~j + (xFy − yFx)~k

Donde:

~τ = τx~i + τy

~j + τz~k

τx = yFz − zFy

τy = zFx − xFz

τz = xFy − yFx

2.3. Torque de varias Fuerzas Concurrentes

Sean las fuerzas concurrentes ~F1, ~F2, ~F3..., que tienen el punto de concurrencia A, el torquede cada fuerza ~Fi con respecto al punto O es:

~τi = ~r × ~Fi

El momento del vector resultante ~Fr = ~F1 + ~F2 + ~F3 + . . . es:

~τ = ~r × ~Fr


27

Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, se tiene:

~τ = ~r × ( ~F1 + ~F2 + ~F3 + . . .)

~τ = ~r × ~F1 + ~r × ~F2 + ~r × ~F3 + . . .

~τ = ~τ1 + ~τ2 + ~τ3 + . . .

~τ =∑

i

~τi

r

F

F

F

F

3

i

1

2

o

A

Figura 2.2: Torque de Fuerzas Concurrentes

2.4. Composición de las Fuerzas Aplicadas a un CuerpoRígido

Para el caso de un cuerpo rígido, y cuando las fuerzas no se aplican en un solo punto,aparecen dos efectos: Traslación y rotación.

La traslación del cuerpo está determinado por el vector suma o el vector resultante,es decir:

~Fr = ~F1 + ~F2 + ~F3 + . . . =∑

i

~Fi

La rotación sobre el cuerpo está determinado por el vector torque resultante, todos eval-uados con respecto a un mismo punto de giro.

~τ = ~τ1 + ~τ2 + ~τ3 + . . . =∑

i

~τi

En torque de la fuerza resultante ~Fr debe ser ~τ , y este vector debe de ser perpendicular a~Fr, pero, en muchos casos ~Fr y ~τ no son perpendiculares. Luego en general un sistema defuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido no puede reducirse a una sola fuerza resultante.


28

2.5. Cupla de Fuerza

Se define par o cupla como un sistema de dos fuerzas de igual magnitud, iguales direccionespero de diferente sentido. La fuerza resultante sera cero, lo cual indica que el par noproduce traslación sino rotación cuyo torque está dado por:

~τ = ~τ1 + ~τ2

~τ = ~r1 × ~F1 + ~r2 × ~F2

~τ = ~r1 × ~F1 − ~r2 × ~F1

~τ = (~r1 − ~r2)× ~F1 = b× ~F1

Donde b = ~r1 − ~r2 se denomina brazo de palanca de la cupla.

rr

b

FF

1

1

2

2

i j

k

x

y

z

Figura 2.3: Cupla de Fuerza

2.6. Composición de Fuerzas Coplanares

Si se tienen fuerzas coplanares las cuales actúan sobre un cuerpo rígido siempre es posibleobtener una resultante ~Fr, y en este caso el torque ~τ siempre es perpendicular a ~Fr, demodo que:

~τ = ~r × ~Fr

En este caso la relación vectorial ~τ =∑

i ~τi se puede reemplazar por la relación escalarτ =

∑i τ donde cada τi se calcula de acuerdo a la relación τ = xFy−yFx por ser paralelos.

Si Frx y Fry son las componentes rectangulares de Fr podemos ubicar un punto (x, y)tal que:

τ = xFry − yFrx (2.4)

Esta es la ecuación de la recta, la cual corresponde a la línea de acción de la fuerza resul-tante; esto es, no hay un solo punto de aplicación sino más bien una linea de aplicación.


29

2.7. Composición de Fuerzas Paralelas

Consideremos un sistema de fuerzas ~F1, ~F2, ~F3, . . ., paralelas a un vector unitario ~u, en-tonces cada fuerza se puede escribir como :~Fi = Fi~u

Además:~Fr =

∑i

Fi~u

Considerando el torque resultante, obtenemos:

~τr =∑

i

~τi

~τr =∑

i

~ri × ~Fi

~τr =∑

i

~ri × Fi~u

~τr = (∑

i

~riFi)× ~u (2.5)

De esta última ecuación se nota que ~τ es paralelo a ~u, entonces es perpendicular a ~Fr,luego es posible ubicar un punto rC , tal que:

~τr = ~rC × ~Fr

~τr = ~rC × (∑

i

Fi~u)

~τr = ~rC(∑

i

Fi)× ~u (2.6)

Las ecuaciones 2.5 y 2.6 con iguales, luego:

~rC(∑

i

Fi)× ~u = (∑

i

~riFi)× ~u

de donde:

~rC =∑

i

~riFi/∑

i

Fi (2.7)

El punto ~rC se denomina Centro de las fuerzas paralelas cuyas componentes son :

xC =∑

i

xiFi/∑

i

Fi, yC =∑

i

yiFi/∑

i

Fi, zC =∑

i

ziFi/∑

i

Fi


30

2.8. Centro de Masa

Toda partícula sobre el cual actúa un campo gravitatorio, está sometida a una acción deuna fuerza W llamada peso.

W = m.g

Para un sistema de partículas (cuerpo) el peso resultante está dado por:

W =∑

i

Wi =∑

i

mi.g

La fuerza W está aplicada según la ecuación 2.7, dada por:

~rC =

∑i rimig∑i mig

=

∑i rimi∑i mi

(2.8)

Cuyas componentes son:

xC = (∑

i

mixi)/∑

i

mi

yC = (∑

i

miyi)/∑

i

mi (2.9)

zC = (∑

i

mizi)/∑

i

mi

El punto rC se denomina centro de masa del sistema de partículas.

r

rcm

dm

dm.g

i j

k

x

y

z

rc

Figura 2.4: Centro de masa de un sistema de Partículas

Para cuerpos que poseen una estructura continua, y posean una densidad ρ en cada unode sus puntos, se puedo dividir el volumen del cuerpo en elementos de volumen dV , y lamasa en cada punto será:

dm = ρdV


31

Luego, reemplazando en las ecuaciones 2.9, tenemos:

xC =

∫ρxdV∫ρdV

yC =

∫ρydV∫ρdV

(2.10)

zC =

∫ρzdV∫ρdV

(2.11)

Si el cuerpo es homogéneo, esto es que posean una densidad ρ constante:

xC =

∫xdV∫dV

yC =

∫ydV∫dV

(2.12)

zC =

∫zdV∫dV

(2.13)

2.8.1. Equilibrio de una Partícula

Una partícula se encuentra en equilibrio, si la suma de todas las fuerzas que actúan sobreella es cero; esto es : ∑

i

~Fi = 0 (2.14)

La ecuación 2.14 se denomina primera condición de equilibrio, y es equivalente ah :∑

i

~Fxi = 0∑

i

~Fyi = 0∑

i

~Fzi = 0

2.8.2. Equilibrio de un Cuerpo Rígido

Para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio, se deben de cumplir las siguientescondiciones:

La suma de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo debe de ser cero:∑

i

~Fi = 0 Primera condición de Equilibrio

La suma de todos los torques con respecto a aun punto cualquiera deber ser cero:∑

i

~τi = 0 Segunda condición de Equilibrio


32


Problema 2.1 En la figura se muestra una puerta de forma rectangular uniforme y ho-mogénea que se encuentra en equilibrio. Si su peso es 60 N. Calcular cuál debe ser el pesodel cilindro homogéneo colocado encima de ella, cuyo radio es 15 cm

A

B

C

53 0

aa

θ

Solución:

AA

BB

C

53 0

53 0

53 0

53 0

53 0

53 0aa aa

T

TT

T sin θ

T cos θ

W

W

W

Wc

p

c

p

θ

θ

N

NN

25

20

30

15

Realizando el DCL para el cilindro y el triángulo sombreado, se tiene:

T = Wp

N

sin 74◦=

Wc

sin 53◦

N =6

5Wc

Realizando el DCL para la puerta y haciendo uso de la segunda Condición de equilibrio:para la puerta tomando como punto de giro al punto A, obtenemos:

∑i

τi = 0

T sin θ(30) = Wp(15 cos 53◦) +6

5Wc(10)

6W = 60 ∗ 9

W = 90N


33

Problema 2.2 Dos esferas compactas homogéneas y lisas de igual tamaño y pesos WA =196 N Y WB = 300 N . Si sus centros se encuentran en un mismo plano vertical quecontiene al centro O de la superficie cilíndrica de modo que el conjunto se mantiene enequilibrio. Calcular la medida del ángulo θ que define la posición de equilibrio.

O

600

θ

Solución: De las relaciones α y β, se tiene:

Aplicando la ley de senos en la esfera A, obte-nemos:

WA

sin 120◦=

T

sin(90◦ + θ)(α)

Del mismo modo para la esfera B, obtenemos:

WB

sin 120◦=

T

sin(90 + 120◦ − θ)(β)

O

600

600

θ

θ

TT

WAWB

AFN

BFN

120-θ

120-θ

600

120

120

0

0

]

WA

WB

=sin(90 + 120◦ − θ)

sin(90◦ + θ)

=− cos(60◦) cos θ + sin θ sin(60◦)

cos θ= − cos 60o + tan θ sin 60o

tan θ = (WA

WB

+ cos 60o)1

sin 60o

θ ≈ 53o

Problema 2.3 En la figura se muestran dos esferas del mismo material cuyos radios sona = 3 cm y b = 2 cm, apoyadas sobre una superficie hemisférica de radio R = 11 cm.Sabiendo que no hay rozamiento entre las superficies en contacto, y que sin β = 1/6.Calcular la medida del ángulo α que define la posición de equilibrio

R

ab

β α


34

Solución:

Hallando el torque de la fuerza con respecto alPunto O, obtenemos:

Wa.ra = Wb.rb (α)

Se sabe que el peso de ambas esferas estará dadode la siguiente manera:

Wa = mag

Wb = mbg

R

a

Ra

b

Rb

β α

AWbW

Oar br

Además por tratarse de esferas de un mismo materias ambas tendrán una densidadρ = ma/Va = mb/Vb, de donde obtenemos:

ma = ρVa mb = ρVb

Reemplazando las ecuaciones anteriores y con la ayuda del gráfico obtenemos en laecuación (α):

ρVagra = ρVbgrb

4/3πa3Ra sin β = 4/3πb3Rb sin α

a3(R− a)1/6 = b3(R− b) sin α

27 ∗ 8 ∗ 1/6 = 8 ∗ 9 sin α

sin α = 1/2

α = 30◦

Problema 2.4 Un poste se encuentra en equilibrio tal como se muestra en la figura. Sesabe que el peso del poste es de 50N y el peso del cuerpo colgado es de 10 N . Hallar:

a) La tensión del cable.

b) La reacción total sobre el eje O.

aaaaaa37º 53º

Solución:


35

a) Haciendo uso de la segunda condición de equilibrio, hallando los torques con respectoal punto O , tenemos:

∑τO = 0

70L cos 53o + T sin 37o(2L) cos 53o = T sin 37o(2L) sin 53o

70 cos 53o = 2T (cos 37o sin 53o − sin 37o cos 53o)

T = 75 N

aaaaaa37º

37º

53º

L

L

L cos53º

T sen37º

2L cos53º

T

T cos37º

b) Ahora haremos uso de la segunda condición de equilibrio:∑

Fx = 0

R cos θ = T cos 37o (α)∑Fy = 0

R sin θ = 60 + T sin 37o (β)

Dividiendo la ecuación (β) por (α)„ obtenemos:

tan θ =60 + T sin 37o

T cos 37o

tan θ =7

4θ = 60,26o

Por ultimo reemplazamos este valor en la ecuación (α)

R =T cos 37o

cos θR = 120,93 N

Problema 2.5 Dos esferas iguales de radio r y peso W se apoyan mutuamente entre sí yse apoyan, además contra las paredes de un cilindro abierto por su parte inferior, de radioR que descansa sobre un plano horizontal.Hallar el peso mínimo W1 que ha de tener elcilindro para no ser volcado por el peso de las esferas.


36

aaa

aaa

2R

aaa

Solución:

Del gráfico tenemos:

cos θ =R− r

rh1 − h2 = 2r sin θ

Y por la Primera Condición de equilibrio:∑

Fx = 0

RA = RD

Aplicando la primera condición de equilibrio, soloen la esfera I:

∑Fx = 0

RD = RC cos θ∑Fy = 0

W = RC sin θ

aaa

aaa

R

aaa

W

W

W

W1

1

2

R

R

R

R

R

RA

D

D

B

C

C

θ

θ

I

I

II

r

rh

h

De donde obtenemos:RD = W cot θ

Por último para que el cilindro no voltee, el peso de este deberá ser mayor al torqueresultante de las fuerzas RD Y RA, considerando que RB = 0 y reemplazando los resultadosanteriores:

W1 > RD(h1)−RA(h2)

>h1 − h2

RRD

>2r sin θ

RRD

>2r sin θ

RW cot θ

> 2W(1− r

R

)


37

Problema 2.6 Hallar el centro de gravedad del alambre doblado tal como se muestra enla figura.

K cm

2k cm K cm

O

Solución:

Para un alambre (material homogeneo)se tiene λ = m/L = dm/dL, de dondedm = λdL.

O

Y

Xdx, dm

Lx

El centro de masa para un alambre recto será:

XCM =

∫xdm∫dm

=

∫xdL∫dL

=

∫xdx∫dx

XCM =x2

2

O

Y

X

dx, dm

A R

R

x

y

θ

dθ

El centro de masa para un alambre curvo (sector ciruclar) será:


38

XCM =

∫xdL∫dL

=

∫(A + R cos θ)Rdθ∫

Rdθ

= A +(R sin θ)|π/2

0

θ|π/20

XCM = A +2R

π

YCM =

∫ydL∫dL

=

∫(R sin θ)Rdθ∫

Rdθ

=(−R cos θ)|π/2

0

θ|π/20

YCM =2R

π

Luego para nuestro caso tenemos el arreglo:

L1 = k cm =

{XCM = 0YCM = k/2

}L2 = 2k cm =

{XCM = kYCM = k

}

L1 = 3k cm =

{XCM = 3k/2YCM = 0

}L1 = πk/2 cm =

{XCM = 2k + 2k/πYCM = 2k/π

}

Por tanto:

XCM =(0)(k) + (k)(2k) + (3k)(3k/2) + (2k + 2k/π)(πk/2)

6k + πk/2

=15k + 2πk

12 + π

YCM =(k/2)(k) + (k)(2k) + (0)(3k) + (πk/2)(2k/π)

6k + πk/2

=7k

12 + π

Problema 2.7 Una varilla delgada de longitud L = 2 m y peso P está sujeta a un col-larín en B, y descansa sobre un cilindro liso de radio r = 27 cm. Sabiendo que el collarínpuede deslizarse libremente a lo largo de la quia vertical. Calcular la medida del ángulo θque define la posición de equilibrio de la varilla.


39

A

Bθ

liso

Solución:

Hallando el torque de fuerza con respecto al puntoB, obtenemos:

N.BC = WEB (β)

Del gráfico, tenemos:En el triángulo sombreado BCO:

BC = OB sin θ

r = OB cos θ

De donde obtenemos: BC = r tan θ

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

A

Bθ

θ

θ

W

N

C

ED

F

or

Del triángulo BEFBE = BF cos θ = L/2 cos θ

Del gráfico, por la primera condición de equilib-rio:

∑Fy = 0

W = N cos θ A

B

θ

W

N

o

Reemplazando los valores de BC, BE y W en la ecuación (β), obtenemos:

Nr tan θ = N cos θ(l/2) cos θ

2r tan θ = l cos2 θtan θ

cos3 θ=

100

27


40

Por otro lado, tenemos : sin θ = CO/H y cos θ = CA/H,luego:

CO H2

CA3=

100

27=

4 52

33

De donde:θ = 53o


Capítulo 3

CINEMÁTICA

3.1. Sistema de Referencia Inercial.

Es aquel sistema usado por un observador inercial o sea es aquel donde se cumple laprimera ley de Newton, describiendo correctamente el movimiento de un cuerpo no someti-do a fuerza alguna.

3.2. Velocidad Media.

Sea una partícula que describe la trayectoriaAB. Definimos el vector desplazamiento:∆~r = ~r2 − ~r1, que describe el cambio deposición del móvil.

La velocidad media se define como larelación entre el vector desplazamiento y elintervalo de tiempo:

~v =~r2 − ~r1

t2 − t1=

∆~r

∆t

A

Br

r

r

1

1

2

2

t

t

x

y

z

Δ

Figura 3.1: Velocidad Media

3.3. Velocidad Instantánea

Si se desea definir la velocidad en un punto, para ello, acortamos el tiempo (∆t → O).

41

42

La secante que pasa por A y B, se convierteen una tangente en A en el límite, así:

~vinst = lım∆t→0

∆~r

∆t=

d~r

dt

A

B

r

r

1

1

2

2

t

t

x

y

z

o

Figura 3.2: Velocidad Instantánea

3.4. Aceleración Media

Se define la aceleración media como larelación entre el cambio de velocidad ∆~v =~v2 − ~v1, y el tiempo empleado ∆t = t2 − t1:

~a =∆~v

∆t

A

Br

r

1

1

1

2

22

t

t

x

y

z

o

v

v

Figura 3.3: Aceleración Media

3.5. Aceleración Instantánea

Para hallar la aceleración instantánea, se hace tender al límite el intervalo del tiempo(∆t = 0):

~ainst = lım∆~v

∆t=

d~v

dt

~ainst =d

dt

(d~r

dt

)=

d2~r

dt2


43

3.6. Movimiento Unidiemnsional

Definimos la velocidad media y la aceleración media para el caso de un movimiento uni-dimensional (en línea recta a lo largo del eje X).

av

0 tt

x xaaaaaa

0

0

Figura 3.4: Movimiento Unidimensional

~vx =

(x− x0

t− t0

)~i (3.1)

~a =

(v − v0

t− t0

)(3.2)

(3.3)

De la ecuación 3.2 :v = v0 + ~a(t− t0) (3.4)

Cuando la velocidad cambia unifomemente con el tiempo, su valor medio en cualquierintervalo de tiempo está dado por:

~vx =v0 + v

2(3.5)

De la ecuación 3.5 en 3.1:

x− x0 =

(v0 + v

2(t− t0)

)(3.6)

x = x0 + v0(t− t0) +1

2~a(t− t0)

2 (3.7)

Despejando (t− t0) de 3.2:

t− t0 = (v − v0)/a, reemplazando en 3.6

x− x0 =(v0 + v)

2

((v − v0)

a

)

2a(x− x0) = v2 − v20

v2 = v20 + 2a(x− x0) (3.8)

Las ecuaciones 3.4,3.7 y 3.8 son las ecuaciones básicas en la cinemática.


44

3.7. Caida Libre de los CuerposTodos los cuerpos caen en el vacío con movimiento uniformemente acelerado (~a = g esconstante) y depende del lugar.Además no se considera la resistencia del aire y la velocidad inicial es cero.

v

-v

y

yaa

a=-g

t

t

y

-y

x

y

=0 =0 =00 0

Figura 3.5: Caída Libre

Usemos el sistema coordenado según la figura 3.5. De la ecuación 3.7:

−y = −v0yt− 1

2gt2

y =1

2gt2 (3.9)

De la ecuación 3.8:

(−vy)2 = v−0 2g(−y)

v2y = 2g(y) (3.10)

De la ecuación 3.4

−vy = vy0 + (−g)t

vy = gt (3.11)

Las ecuaciones 3.9, 3.10 y 3.11 nos permiten resolver problemas de caída libre.

Si la resistencia del aire es nulo (cero) el tiempo de subida el igual al tiempo de bajadade un cuerpo.

3.8. Movimiento en un Plano, Compuesto o en Dos Di-mensiones

Se considera un proyectil, todo cuerpo "puntual"que tiene velocidad inicial y está someti-do a la aceleración de la gravedad (-g), dirigido verticalmente, como se muestra en la figura.


45

El movimiento del proyectil está en el plano XY .

v

vvv

y

xx

y

a=-g

t

v

v

v

v

vy

x

0

0x

0y

x

y

zR

H

θ

Figura 3.6: Movimiento Parabólico

3.8.1. Movimiento Horizontal

Tomando como sistema de referencia a un observador situado en el eje Y, El movimientoes rectilíneo uniforme, con una velocidad constante:

vx = v0x = v0 cos θ

x = vxt = vz cos θ(t) (3.12)

3.8.2. Movimiento Vertical

Tomando como sistema de referencia a un observador situado en el eje X, el movimientoes uniformemente acelerado, de la ecuación 3.4:

vy = v0y − gt = v0 sin θ − gt (3.13)

De la ecuación 3.7:

y = v0yt− 1

2gt2 = v0 sin θt− 1

2gt2 (3.14)

Despejando t de la ecuación 3.12 y reemplazando en (3):

y = x tan θ − g

2v20 cos2 θ

x2

Como se aprecia, es la ecuación de una parábola en el plano XY .


46

Altura Máxima

Es alcanzada cuando vy = 0 en la ecuación 3.13:

0 = v0 sin θ − gt, t =v0 sin θ

g

Reemplazando el resultado anterior en la ecuación 3.14:

y = H = v0 sin θ

(v0 sin θ

g

)− 1

2g

(v0 sin θ

g

)2

H =v2

0 sin2 θ

2g(3.15)

Alcance Máximo

Se consigue cuando y = 0 en 3.14:

0 = v0 sin θt− 1

2gt2,

tv = 2

(v0 sin θ

g

)(3.16)

Donde tv es el tiempo de vuelo del proyectil.

Reemplazando 3.16 en 3.12:

x = R = v0 cos θ

(2v0 sin θ

g

)=

v20

gsin 2θ (3.17)

3.9. Movimiento CircularSe denomina a este tipo de movimiento cuando la trayectoria es un circulo y la velocidadlineal es tangente al círculo:El arco S es igual a:

S = rθ

Derivando con respecto al tiempo obtenemos:

ds

dt=

rdθ

dt= rw

De donde obtenemos:v = rw (3.18)

Se definela velocidad angular instantánea:

w =dθ

dt(3.19)


47

y

xr

v

θ s

Figura 3.7: Movimiento Circular

Derivando nuevamente la expresión 3.18 con respecto al tiempo:

dv

dt=

rdw

dt= rα

Se define la aceleración agnular instantánea:

α =dw

dt(3.20)

Cuando la aceleración es constante se define la aceleración angular media:

w =w0 + wf

2(3.21)

3.9.1. Desplazamiento Angular:

Es el cambio de posición medida en grados, vueltas, revoluciones.

3.9.2. Velocidad Angular:

Es la variación del desplazamiento angular que experimenta en la unidad de tiempo.

3.9.3. Frecuencia:

Mide el número de revoluciones por unidad de tiempo.

3.9.4. Periodo:

Es el tiempo empleado para realizar una vuelta completa.


48

Cuando el movimiento circular es uniforme, la velocidad angular es constante, la ecuacióndel movimiento se deduce de 3.19:

θ = θ0 + w(t− t0)

Si la aceleración angular existe, las ecuaciones del movimiento circular se deduce de 3.20y 3.21

w = w0 + α(t− t0)

θ = θ0 + w0(t− t0) +1

2α(t− t0)

2

i

jk

x

y

z

φ

R

r

v=wxr

w

Figura 3.8: Velocidad Angular y Tangencial

Hallemos la relación vectorial entre ~v y ~w.

Haciendo uso de la ecuación 3.18 y la figura 3.8 se tiene v = Rw, además del gráficose observa: R = r sin φ. De donde obtenemos: v = wr sin φ y por la definición de productovectorial se tiene.

~v = ~w × ~r (3.22)

Sabemos que ~a = d~vdt

= ddt

(~w × ~r)

~a =

(d~w

dt

)× ~r + ~w × ~v

~a = ~α× ~r + ~w × ~v

Luego se tiene:

~aT = ~α× ~r Aceleración Tangencial~aN = ~w × ~v = ~w × (~w~r) Aceleración Normal


49

x

y

z

r

v=w rxw vx

dww

dtα=

Figura 3.9: Relaciones vectoriales entre ~w, ~α y ~v

3.10. Movimiento Curvilíneo General en un Plano

Sea la trayectoria curvilínea cualquiera como se muestra en la figura se tiene por definición:~r =rr Derivando con respecto al tiempo, se tiene:

r

vv

v

θ θθ

rθ

Figura 3.10: Movimiento Curvilíleo

~v =d~r

dt=

d

dt(rr) =

dr

dtr + r

dr

dt(3.23)

Realizando el cambio de coordenadas (de coordenadas cartesianas a polares):

r = cos θi + sin θj, θ = − sin θi + cos θj

De donde se obtiene:

drdt

= θ(

dθdt

)

Reemplazando en 3.23:


50

~v =(

drdt

)r + r

(dθdt

)θ

Donde ~vr =(

drdt

)r se denomina velocidad radial y ~vθ = r

(dθdt

)θ es llamada velocidad

transversal o tangencial.

3.11. Aceleración Tangencial y NormalSea la partícula que describe la trayectoria C tal como se muestra en 3.11

r

φ

φρdφ

dφ

ds

x

y

A

T

A’o’

T’

i

uu

j

tn

c

Figura 3.11: AceleraciónTangencial y Normal

~a =d~v

dt=

d

dt(vuT )

~a =

(dv

dt

)uT + v

(duT

dt

)(3.24)

Del gráfico se pueden obtener los vectores unitarios uN normal a la tangente T y UT enla dirección e la tangente T .

uT = cos φi + sin φj (3.25)uN = − sin φi + cos φj (3.26)

De las ecuaciones anteriores derivando con respecto al tiempo se obtiene:

duT

dt=

(dφ

dt

)uN (3.27)

Dado que s = ρφ:ds

dt= ρ

dφ

dt+ φ

dρ

dt(3.28)

Pero cuando un cuerpo se mueve de A a A′, ρ permanece constante

ds

dt= v = ρ

dφ

dt(3.29)

De la ecuación 3.29 en 3.27duT

dt=

(v

ρ

)uN (3.30)


51

De la ecuación 3.30 en 3.24

~a =

(dv

dt

)uT + v

(uN

v

ρ

)

~a =

(dv

dt

)uT +

(v2

ρ

)uN

3.12. Curvatura y Radio de Curvatura

ρ

x

y

A

A’

o’

o i

u

ua

a

a

j

t

t

n

n

c

Figura 3.12: Radio de Curvatura

En la figura 3.12, la partícula describe un ar-co s al desplazarse de A a A′, y su aceleracióntotal estará dada por:

~a = ~aT + ~aN

~a =

(dv

dtuT

)+

(v2

ρ

)uN

uT .uN = 0

Donde s es la longitud de arco, s = AA′

La velocidad se define como v = dsdt

yla aceleración a = dv

dt= d2s

dt2

Se define la curvatura como :k =

∣∣∣∣duT

ds

∣∣∣∣ (3.31)

y su inversa como radio de curvatura:

ρ =1

k(3.32)

Si la ecuación de la curva es y = f(x), entonces se tiene que el radio de curvatura estádada por:

1

ρ=

d2ydx2[

1 +(

dydx

)2]3/2

(3.33)


52


Problema 3.1 Un jugador de un equipo de futbol americano puede dar a la pelota unavelocidad inicial de 25 m/s. ¿Dentro de que zona angular deberá ser pateada la pelota siel pateador debe apenas anotar un gol de campo desde un punto situado a 50 m en frentede los postes de gol cuya barra horizontal está a 3,44 m sobre el terreno?

Solución:

Partiendo de la ecuación de trayectoria del movimiento parabólico:

y = tan θx− g

2

(x2

v20 cos2 θ

)

Reemplazando los datos y reduciendo la ecuacion:

3,44 = 50 tan θ − 9,8

2

(502

252 cos2 θ

)

3,44 = 50 tan θ − 2(9,8)(1 + tan2 θ)

2(9,8) tan2 θ = 50 tan θ − (2(9,8) + 3,44)

De donde se obtiene:

θ1 = 63o

θ2 = 31o

Problema 3.2 Una persona parada sobre la cima de una roca semiesférica de radio Rpatea un balón (inicialmente en reposo sobre la parte superior de la roca) dándole unavelocidad horizontal vi

a) Cual debe ser la velocidad inicial mínima si el balón no toca a la roca después deser pateada.

b) Con esta velocidad inicial, cuan lejos de la base de la roca el balón golpea el piso.

Solución:

a) Para x = 0, tenemos que y = R y para un punto x cuales quiera si se cumplex2 + y2 = R2, el balón estará sobre la superficie de la roca, por tanto:

x2 + y2 > R2

x2 +

(R− gx2

2v2i

)2

> R2

g2x4

4v4i

+ x2 >gx2R

v2i

g2x2

4v4i

+ 1 >gR

v2i


53

La altura ,tomando como punto de referencia a lacima de la roca estará dado por:

y = R− 1

2gt2

Y la distancia horizontal: x = vit, de donde:

y = R− gx2

2v2i

vi

R

x

Al inicio del movimiento se tiene que x = 0 de donde:

vi >√

gR

b) Tomando vi >√

gR y considerando que el balón golpea el piso cuando y = 0,x = R

√2

Y la distancia de la base de la roca es:

x−R = (√

2− 1)R

Problema 3.3 De una manguera, brotan chorros de agua bajo los ángulos θ y β respectoal horizonte, con la misma velocidad inicial v0. A que distancia con respecto a la horizontallos chorros se intersecan.

x

θβ

vv00

aaaaaaSolución:

Sean las ecuaciones de ambos chorros de agua están dadas por:

y1 = tan θ x− g

2v20cosθ

2x2

y2 = tan β x− g

2v20cosβ

2x2

Puesto que ambas ecuaciones se interseca en un solo punto (x 6= 0), el punto (x, y) debede satisfacer tanto la ecuación y1 y y2, por tanto:


54

y1 = y2

tan θ x− g

2v20cosθ

2x2 = tan β x− g

2v20cosβ

2x2

xg

2v20

(1

cos2 θ− 1

cos2 β

)= tan θ − tan β

x(sec2 θ − sec2 β) =2v2

0

g(tan θ − tan β)

x(tanθ− tan2 β) =2v2

0

g(tan θ − tan β)

x =2v2

0

g(tan θ + tan β)

Problema 3.4 Sea una partícula que se mueve sore una elipse,cuya ecuación es: ~r =m cos wti + n sen wtj. Hallar los módulos de aT y aN

Solución:

Derivando ~r con respecto al tiempo:

d~r

dt= −mw sin wti + nw cos wtj = ~v

De donde:v = w

√m2 sin2 wt + n2 cos2 wt

Si derivamos una vez mas:

d2~r

dt2= −mw2 cos wti− nw2 sin wtj

Por definición se sabe que aT = dvdt, luego:

aT =w

2

(2m2w sin wt cos wt− 2nw cos wt sin wt)√m2 sin2 wt + n2 cos2 wt

=(m2 − n2)w2 sin(2wt)

2√

m2 sin2 wt + n2 cos2 wt

El módulo de aN esta dado por:

aN =|~v × ~a|

v

=mnw3 sin2 wt + nmw3 cos2 wt

w√

m2 sin2 wt + n2 cos2 wt

=mnw2

√m2 sin2 wt + n2 cos2 wt


55

Problema 3.5 Una partícula se mueve en el plano XY , sus coordenadas están dadas enfunción del tiempo por x(t) = R(wt − sin wt) e y(y) = R(1 − cos wt) donde R y w sonconstantes

a) Dibuje la trayectoria de la partícula

b) Determine las componentes de velocidad y de aceleración de la partícula en cualquierinstante t.

c) En que instantes la partícula está momentáneamente en reposo. ¿Que magnitud ydirección tiene la aceleración en esos instantes?

d) ¿La magnitud de la aceleración dependiente del tiempo?.

Solución:

a) El gráfico de las coordenadas dadas e función del tiempo es:

x

y

o

El cual representa la trayectoria de un punto en un borde de una rueda que estárodando con rapidez constante sobre una superficie horizontal, esta curva se llamacicloide.

b) Para encontrar los componentes de la velocidad, derivamos x y y con respecto altiempo:

vx = Rw(1− cos wt)

vy = Rw sin wt

De igual forma, para encontrar la aceleración:

ax = Rw2 sin wt

ay = Rw2 cos wt

c) La partícula estará momentáneamente en reposo cuando las velocidades sean nulas,es decir

vx = Rw(1− cos wt) = 0

vy = Rw sin wt = 0


56

De donde se obtiene:t = 0, 2π/w, 4π/w, . . .

En estos tiempos:x = 0, 2πR, 4πR, . . . y = 0

La aceleración para estos puntos es a = Rw2 en la dirección +y

d) No, dado quea =

√(Rw2 sin wt)2 + (Rw2 cos wt)2 = Rw2

Problema 3.6 Un cañón esta listo para disparar proyectiles con una velocidad inicial v0

directamente sobre la ladera de una colina con un ángulo de elevación θ, como se muestraen la figura. ¿A que ángulo a partir de la horizontal deberá ser apuntado el cañón paraobtener el alcance máximo posible R sobre la ladera de la colina?

aaaaaaaa

θ

Rv

Solución:

Se tienen las ecuaciones de movimientoen el eje X y Y , dadas por:

x = v0 cos αt− 1

2(g sin θ)t2

y = v0 sin αt− 1

2(g cos θ)t2

vy = v0 sin α− g cos θtaaaaaaaa

θα R

v

-g

-g sin( )θ -g cos( )θx

y

H

La altura maxima se obtiene cuando vy = 0, luego:

t =v0 sin α

g cos θ

El alcance máximo se dará para un tiempo tT = 2t, de donde obtenemos:

R = x = v0 cos α(v0 sin α

g cos θ)− 1

2(g sin θ)(

v0 sin α

g cos θ)2

R = x =2v2

0 sin α

g cos2 θ(sin α cos θ − sin θ sin α)

R = x =2v2

0 sin α

g cos2 θcos(θ + α)


57

Para hallar el alcance máximo dependiente del ángulo, se usa el criterio de la primeradevirada:

dx

dα=

2v20

g cos2 θ(cos α cos(θ + α)− sin α sin(θ + α))

dx

dα=

2v20

g cos2 θ(cos(θ + 2α)) = 0

De la ultima ecuación:

θ + 2α =π

2

α =π

4− θ

2

Nos piden determinar el ángulo a partir de la horizontal, el cual es θ + α:

θ + α =π + 2θ

2


58


Capítulo 4

DINÁMICA

Parte de la mecánica que se ocupa del movimiento y de las causas que las producen, lasvelocidades son pequeñas en comparación a la de la luz.

4.1. Primera Ley de Newton (Ley de la Inercia)

"Todo cuerpo permanece en reposo (velocidad igual a cero) o con movimiento uniformerectilíneo (velocidad constante), al menos que actúe una fuerza que cambie su estado".

4.2. Segunda Ley de Newton

"Toda fuerza aplicada a un cuerpo le comunica una aceleración a de la misma direccióny sentido que la fuerza directamente proporcional a ella e inversamente proporcional a lamasa m del cuerpo"

~F = m~a

4.3. Tercera Ley de Newton

.A toda acción se opone siempre una reacción igual". Las características de estos fuerzasde acción y reacción son:

a) Existen en parejas.

b) Interaccionan simultáneamente.

c) Obran sobre cuerpos diferentes

59

60

4.4. Fuerzas de Fricción

Cuando un cuerpo se desplaza a través de una superficie o a través de un medio viscos,como el aire o el agua, hay una resistencia al movimiento debido a que el cuerpo interactuacon sus alrededores. Dicha resistencia recibe el nombre de Fuerza de Fricción, la cuales debida a la interacción entre las moléculas de los dos cuerpos, denominada tambiénCohesión o adhesión.

La fuerza de fricción Ff tiene una magnitud que se puede considerar proporcional a lafuerza normal:

Ff = fN

Donde f es la constante de proporcionalidad, denominada Coeficiente de Fricción,vectorialmente se tiene:

~Ff = −fN ~uv

aaaaN

F

uv

Ff

Figura 4.1: Fuerza de Fricción

4.4.1. Coeficiente de Fricción Estático fs

Este coeficiente nos da la fuerza minima necesaria para poner en movimiento dos cuerposque están en contacto y reposo.

Fmin = fsN

4.4.2. Coeficiente de Fricción Cinético fk

Este coeficiente nos da la fuerza necesaria para mantener dos cuerpos en movimientouniforme:

Fmov = fkN

Ademas se cumple :fs > fk


61

4.4.3. Fuerzas de Fricción en Fluidos

Para un cuerpo que se desplaza a través de un fluido la fuerza de fricción es proporcionala la velocidad, y opuesta a ella.

Ff = −kηv

Donde k es el coeficiente de fricción que depende de la forma del cuerpo y η coeficienteque depende de la fricción minima interna y se denomina coeficiente de viscosidad

4.5. Cantidad de Movimiento o Momento LinealSea una partícula de masa m que se encuentra en la posición ~r y que posee una velocidad~v tal como se muestra el la figura 4.2, se define el momentum lineal de una partícula como:

~p = m~v (4.1)

i

jk

x

y

rv

m

Figura 4.2: Momentum Lineal

Newton expreso su segunda ley así:~F =

d~p

dt

luego:

~F =

(dm

dt

)~v + m

d~v

dt

~F = md~v

dt= m~a Si la masa no varía

Cuando v ≈ c

~p = m~v =m0~v√

1− (v/c)2


62

4.6. Conservación de Cantidad de MovimientoSi la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo es cero, es decir:

∑i

Fi =d~p

dt= 0 (4.2)

luego ~p es constante, de otra forma:Çuando la resultante de las fuerzas externas que sobreun sistema de partículas es cero la cantidad de movimiento lineal permanece constante"

4.7. Impulso

Sea F (t) la fuerza que actúa durante el choque, antes y después del es nula. Como ~F = d~pdt,

se tiene:

d~p = ~Fdt∫ pf

pi

dp =

∫ tf

ti

Fdt = ~I

Donde ~I se define como impulso. Para una fuerza constante:

~I = ~F (tf − ti) = ~F∆t (4.3)

4.8. Conservación del Momento durante las ColisionesConsideremos la colisión entre dos partículas tal como se muestra en la figura 4.3.

i

jk

x

y

r F

F

mm1

21

2

12

Figura 4.3: Conservación del Momentum

Donde F12 es la fuerza sobre la partícula 1 ejercida por la partícula 2, y F21 es la fuerzasobre la partícula 2 ejercida por la partícula 1. Además F12 y F21 son fuerzas de acción yreacción, luego F12 = −F21


63

El impulso sobre la partícula 1 es:

∆p1 = F 12∆t

El impulso sobre la partícula 1 es:

∆p2 = F 21∆t

Donde F 12 y F 21 son los valores promedios de F12 y F21 respectivamente.

Si no existen fuerzas externas, tenemos:∑

i

Fi = 0

F12 = −F21

F12∆t = −F21∆t

∆~p1 + ∆~p2(~p1 + ~p2)inicial = (~p1 + ~p2)final

Por tanto si no hay fuerzas externas la cantidad de movimiento total del sistema permanececonstante como consecuencia del choque.

4.9. Momentum AngularSea una partícula de masa m que tiene una velocidad ~v y por lo tanto el momentum lineal~p = m~v. Entonces se define el momentum angular como:

~L0 = ~r × ~p (4.4)

x

y

z

r v

L

i

jk

Figura 4.4: Momentum Angular


64


Problema 4.1 Una pequeña bola de masa m, inicialmente en A, se desliza sobre unasuperficie circular lisa ADB. Mostrar que cuando la bola se encuentra en el punto C lavelocidad angular la fuerza ejercida por la superficie son w =

√2g sin α/r, F = 3mg sin α

Or aaaA B

C

D

α

Solución:

De la figura, basándonos en el principio de conservación de energía:

EA = EC

mgr = mgr(1− sin α) +mv2

2mv2

2= mgr sin α

dado que v = wr

mw2r2

2= mgr sin α

w =

√2g sin α

r

Or aaaA B

α

α

α

mgmg sen α

mg cos α

N

S.R

r(1-sen )α

De la segunda ley de Newton:∑

F = m.aN

N −mg sin α = m.rw2

N = mr2g sin α

r+ mg sin α

N = 3mg sin α

Problema 4.2 Un cuerpo D, el cual tiene una masa de 12 lb, se encuentra sobre unasuperficie cónica ABC y está girando al rededor del eje EE ′ con una velocidad angular de10 rev/min. Calcular

a) La velocidad lineal del cuerpo.

b) La reacción de la superficie sobre el cuerpo

c) La tensión del hilo


65

d) La velocidad angular necesaria para reducir la reacción del plano a cero.

w

E

E’

15 pies

60° D

Solución:

a) Se tiene : w = 10 rev/min = π/3 rad/seg

Del gráfico r = 15 sin 60◦

Luego la velocidad será:v = wr = (15 sin 60◦)(π/3) = 13,60 pies

b) Por la primera condición de equilibrio, ten-emos:

∑Fy = 0

T cos 60o + N sen 60o = W = 12(32)

Por la segunda ley de Newton:∑

Fx = man

T sin 60o + N cos 60o = mrw2

T sin 60o −N cos 60o = (12)(15 sin 60◦)(π/3)2

Resolviendo el sistema de ecuaciones, hal-lamos:

N ≈ 247 lbf

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

w

w

W

W

N

N

r

r

T

T

an

x

y

α

α

α

α=60°

α=60°

α

c) Del sistema de ecuaciones anterior: T ≈ 340 lbf

d) Si la reacción es sobre el cuerpo es nula, el sistema de ecuaciones se transforma en:

T cos 60o = 12(32)

T sin 60o = (12)(15 sin 60◦)(w)2


66

De donde:W ≈ 2,06 rad/s

Problema 4.3 La figura muestra un bloque de 20 kg que se desliza sobre otro de 10 kg.Todas las superficies se consideran sin rozamiento. Determinar la aceleración de cadabloque y la tensión den la cuerda que los conecta.

10 kg

20 kg

200

Solución:

De la primera figura:

x + πr + y = l

x + y = 0

x = −y (α)

Esta ultima ecuación indica que las aceleracionesde ambos bloques son iguales en magnitud peroen sentidos opuestos.

Aplicando la segunda ley de Newton (∑

F = ma)a la masa m1

m1g sin 20◦ − T = m1x

20.g sin 20◦ − T = 20x (β)

Aplicando la segunda ley de Newton (∑

F = ma)a la masa m2

T −m2g sin 20◦ = m2y

T − 10g sin 20◦ = 10y (γ)

20

20

20

0

0

0

m

m

m

m

m gm g sen 20°

m g sen 20°

1

1

1

1

2

2

2

x

y

T

T

N

N

De las ecuaciones β y γ, eliminando T , y la ecuación α:

20g sin 20◦ − 20x = 10y + 10g sin 20◦

x = −1,117 ≈ 1,12 m/s2

Luego: y = 1,12 m/s2

Reemplazando en β:T = 44,7 N


67

Problema 4.4 Un bloque de masa m = 2,000 kg descansa sobre la orilla izquierda de unbloque de masa M = 8,00 kg. El coeficiente de fricción cinética entre los dos bloques es0.300 y la superficie sobre la cual descansa el bloque de 8,00 kg no presenta fricción. Unafuerza horizontal constante de magnitud F = 10,0 N se aplica al bloque de 2,00 kg y lopone en movimiento como se indica en la figura. Si la longitud L que el borde frontal delbloque pequeño viaja sobre el bloque mayor es de 3,00 m

a) ¿Cuanto tiempo pasará antes de que este bloque alcance el lado derecho del bloquede 8,00 kg como se muestra en la figura?

b) ¿Que distancia se mueva el bloque de 8,00 kg en el proceso?

F FaaaaaaaaL

m

M

Solución:

Por la segunda ley de Newton en la masa M , setiene:

aM =fr

M

Y de igual forma para la masa m:

am =F − fr −maM

m1

De donde:

aM = 0,735 m/s2

am = 1,325 m/s2

F

L

d

m

M

ff

fr

r

N=mg

Luego por cinemática en la masa m, tenemos:

L =am

2t2

t = 2,13 m/s2

Y para la masa M :

d =aM

2t2

d = 1,67 m

Problema 4.5 Un dije esta formado mediante el apoyo de cuatro mariposas de metalde igual masa m de una cadena de longitud L. Los puntos de soporte están separadosuniformemente una distancia l. La cadena forma un ángulo θ1 con el techo en cada puntofinal. La sección central de la cadena es horizontal

a) Encontrar la tensión en cada sección de la cadena en terminos de θ1, m y g.


68

b) Encontrar el ángulo θ2 en términos de θ1.

c) Mostrar que la distancia D entre los puntos de la cadena son:D = L5(2 cos θ1 +

2 cos[tan−1(12tan θ1)] + 1)

1 1

2 2θ θ

θ θ

Solución:

Aplicando la segunda ley de Newton en los ejes xy y a cada par de mariposas (Una de afuera y otradel centro):

(1) T2 cos θ2 − T1 cos θ1 = 0

(2) T1 sin θ1 − T2 sin θ2 −mg = 0

(3) T2 cos θ2 − T3 = 0

(4) T2 sin θ2 −mg = 0

1 1

2 2θ θ

θ θ

T TT

TT 11

2 23

mg mg mg mg

a) Sustituyendo (4) en (2):

T1 sin θ1 −mg −mg = 0

T1 =2mg

sin θ1

Sustituyendo (3) en (1) y reemplazando el valor de T1:

T3 = T1 cos θ1

T3 =2mg

tan θ1

De la ecuación 4:T2 =

mg

sin θ2

Dividiendo (4) por (3)

T2 sin θ2

T2 cos θ2

=mg

T3


69

b) Sustituyendo el valor de T3

θ2 = tan−1

(tan θ1

2

)

Luego para finalizar el item a):

T2 =mg

sin[tan−1(12tan θ)]

c) La suma de las distancias parciales entre puntos de la cadena están dados por:L = 5l = 2l cos θ1 + 2l cos θ2 + l De donde se obtiene:

D =l

5

{2 cos θ1 + 2 cos

[tan−1

(1

2tan θ1

)]}

Problema 4.6 Una fuerza dependiente del tiempo, = (8i− 4j)N donde t esta medido ensegundos se ejerce sobre un objeto de 2 kg de masa inicialmente en reposo

a) En que instante el objeto se mueve con una velocidad de 15 m/s

b) A que distancia se encuentra el objeto de la posición inicial cuando su velocidad esde 15 m/s

c) En todo el recorrido cual es el desplazamiento total que realiza el objeto hasta eseinstante.

Solución:

Por la segunda ley de Newton:∑

F = ma:

a =

∑F

m

a =

∑(8i− 4j)

2

a = (4i− 2j) =dv

dt

Su velocidad es:∫ v

0

dv = v − 0 =

∫ t

0

adt

v = 4ti− t2j

a) El problema nos pide |v| = 15, |v|2 = 225, luego:

16t2 + t4 = 225

t = 3 seg


70

b)

∫ x

0

dx =

∫ t

0

vdt

x = 4t2

2i− t3

3j

para t = 3 seg

x = 18i− 9j

c) |x| = 20,12 m

Problema 4.7 Si conocemos F (t), la fuerza en función del tiempo para movimiento rec-tilíneo la segunda ley de newton nos da a(t) (la aceleración en función del tiempo), supongaque se conoce F (v)

a) La fuerza neta sobre un cuerpo que se mueve sobre el eje x es −Cv2. Use la segundaley de Newton para demostrar que x− x0 = (m/C)ln(v0/v)

b) Demuestre que dicha ley puede escribirse como∑

F = mv dv/dx

Solución:

a) La ecuación de movimiento (Por la segunda Ley de Newton) −Cv2 = mdvdt

no puedeser integrada con respecto al tiempo, luego por separación de variables:

−C

mdt =

dv

v2

−C

m

∫ t

0

dt =

∫ v

v0

dv

v2

−Ct

m=

1

v0

− 1

v(α)

De donde obtenemos :

v =dx

dt= (

1

v0

+Ct

m)−1

Integrando obtenemos:

x− x0 =m

Cln

(1 +

Ctv0

m

)

De la ecuación (α), se tiene Ctv0/m = −1 + v0/v. Luego:

x− x0 =m

Cln

(v0

v

)


71

b) Por la regla de la cadena:dv

dt=

dv

dx

dx

dt= v

dv

dx

Luego la segunda ley de Newton se puede expresar como:∑

F = ma

∑F = m

dv

dt∑F = mv

dv

dx


72


Capítulo 5

TRABAJO Y ENERGÍA

5.1. Trabajo

Consideremos a una partícula de masa m que se desplaza a lo largo de una curva C bajola acción de una fuerza F . En un tiempo muy corto dt la partícula se desplaza dr. Eltrabajo efectuado por la fuerza F durante tal desplazamiento se define por el productoescalar:

dW = ~FT . ~dr (5.1)

i

jk

x

y

z

r

F

F

m

T

Figura 5.1: Trabajo sobre una Curva

5.1.1. Trabajo Efectuado por una Fuerza Constante

Si la fuerza F es constante de la ecuación 5.1 se obtiene:

W = F.d cos θ (5.2)

73

74

5.1.2. Trabajo Efectuado por una Fuerza Variable

En este caso el trabajo efectuado por la fuerza F se define mediante un proceso de inte-gración.

W =

∫ B

A

~F . ~dr (5.3)

En el espacio tridimensional, los vectores ~F y ~dr , dados por: ~F = Rxi + Fy j + Fzk,~dr = dxi + dyj + dzk, es trabajo efectuado es:

W =

∫ B

A

(Fxdx + Fydy + Fzdz) (5.4)

A la integral 5.4 se le conoce también como integral de linea de el vector F sobre la curvar.

5.2. Teorema del Trabajo y la EnergíaConsideremos la fuerza como una función de s (F = F (x)) y el movimiento en unadimensión

W =

∫~F . ~dr =

∫ x0

x

F =

∫ma dx

Por la regla de la cadena, se tiene: a = dvdt

= dvdx

dxdt

Reemplazando en la ecuación anterior:

W =

∫m(

dv

dx)v dx = m

∫vdv

W =1

2m(v2 − v2

0)

Se define la Energía Cinética : K = Ec = 12mv2 .Luego:

W = ∆K

Esta expresión se dice: .El trabajo hecho sobre una partícula por la fuerza resultante(constanteo variable).es siempre igual al cambio de la energía cinética.

5.3. PotenciaSe define potencia media como la rapidez con la que se efectúa trabajo o es el tiempo quese tarda en hacer el trabajo :

P = W/t

Si el intervalo de tiempo es pequeño de t a t + dt, se efectúa un trabajo pequeño dWentonces se define la potencia instantánea:


75

Pinst =dW

dt

Pinst =F.dt

dt

Pinst = ~F .~V

De donde:

W =

∫ t2

t1

P dt

5.4. Fuerzas ConservativasUna fuerzas es conservativa si el trabajo realizado por ella sobre una partícula que semueve siguiendo un circuito completo cualquiera es cero. Además el trabajo efectuadopor las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria.

Ahora, si el trabajo hecho por una fuerza F en un circuito cerrado es diferente de cero,entonces la fuerzas no es conservativa.

5.5. Energía PotencialEs el trabajo realizado por una fuerza conservativa puede ser expresado como la diferenciaentre los valores de una cantidad Ep(x, y, z). se llama energía potencial y es una funciónde las coordenadas de las partículas (depende de su posición)

W =

∫ B

A

F.dr = EPA − EPB (5.5)

5.6. Principio de Conservación de la EnergíaCuando la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa, se puede combinar laecuación:

W =

∫ B

A

F.dr = EPA − EPB

Con la ecuación:

W =

∫ B

A

F.dr = EkB − EkA

La cual nos da

= EkB − EkA = EPA − EPB

(Ek + EP )A = (Ek + EP )B (5.6)


76

La cantidad Ek +EP se denomina energía total de la partícula y se designa por E, es decirla energía total de una partícula es igual a la suma de su energía cinética y su energíapotencial, esto es:

E = Ek + EP =1

2mv2 + EP (x, y, z) (5.7)

La ecuación 5.6 nos indica que: Cuando las fuerzas son conservativas la energía total Ede la partícula permanece constante


77


Problema 5.1 Un bloque reposa sobre una plano inclinado de ángulo θ. Por medio dena polea, el bloque está conectado a un muelle vertical , la cual se tira hacia abajo conuna fuerza gradualmente creciente. EL valor de coeficiente de fricción estático fs es cono-cido. Determinar la energía potencial del muelle en el momento que el bloque comienza amoverse.

θ

k

Solución:

Del gráfico, por la primera condición de equilibrio:∑

Fx = 0

Wx + Fr = T (α)

Donde Fs es la fuerza de rozamiento cinético, dadopor:

Fs = fs.N

Fs = fsWy

Fs = fs.mg cos θ (β)

θ

θ

k

W

x

y

W

W

Fs

T

T

x

Reemplazando β en α

T = mg sin θ + fs.mg cos θ

Dado que la cuerda que une el bloque y el resorte es el mismo, la tension que elonga elresorte sera T , luego para el resorte

T = kx = mg sin θ + fs.mg cos θ

x =1

k(mg sin θ + fs.mg cos θ)

Luego por definición se sabe que la energía potencial elástica es:

Ep =1

2kx2

Ep =1

2k(mg sin θ + fs.mg cos θ)2

Ep =(mg)2

2k(sin θ + fs cos θ)2


78

Problema 5.2 Un bloque se desliza hacia abajo por una pista de curva sin fricción ydespués sube por un plano inclinado, como se puede ver en la figura. EL coeficiente defricción cinética entre el bloque y la pendiente es fk. Con métodos de energía demuestreque la altura máxima alcanzada por el bloque es: ymax = h/(1 + fk cot θ)

aaaaaaa

hymaxθ

Solución:

De la figura 1, por el teorema de la conservación de energía:

EA = EB (α)

Y por el teorema del trabajo y energía:

WBC = EC − EB (β)

De la figura 2, y la definición de fuerza de roza-miento:

Fr = fk.N

Fr = fk.Wy

Por otro lado se tiene W = mg. De donde:

Fr = fk.mg cos θ

Fr es la fuerza que realiza el trabajo para subirel bloque desde el punto B hasta el C. Luego

WBC = −Fr.(ymax/ sin θ) (γ)

aaaaaaa

hymaxθ

θ

θ

A

B

B

C

C

W

x

y

W

W

Figura 1

Figura 2

Fr

Reemplazando la ecuación γ y α en β:

−fk.mg cos θ.ymax

sin θ= mgymax −mgh

h = ymax(1 + fk cot θ)

ymax =1

1 + fk cot θ

Problema 5.3 Considere una partícula que se mueve siguiendo una trayectoria curvaen el espacio desde (x1, y1, z1) hasta (x2, y2, z2). En el punto inicial la partícula tienevelocidad ~v = v1xi+v1y j+v1zk. La trayectoria se puede dividir en segmentos infinitesimales~dl = dxi + dyj + dzk. Mientras la partícula se mueve actúa sobre ella una fuerza neta~F = Fxi + Fy j + Fzk, las componentes de fuerza Fx, Fy y Fz son,en general, funcionesde la posición. Demuestre el teorema de trabajo y energía para este caso general, es decirWtotal = K2 −K1


79

Solución:

Partiendo de la segunda ley de Newton:

~F = m~a

Trabajando en las componentes de ~F y ~a, tenemos:

Fx = max

Fy = may

Fz = maz

Por la regla de la cadena

a =dv

dt=

dv

dr

dr

dt

Se obiene:

ax = vxdvx

dx⇒ Fx = mvx

dvx

dx

ay = vydvy

dy⇒ Fy = mvy

dvy

dy

az = vzdvz

dz⇒ Fz = mvz

dvz

dz

Luego el trabajo total estará dado por:

Wtotal =

∫ x2,y2,z2

x1,y1,z1

~F . ~dr

Wtotal =

∫ x2,y2,z2

x1,y1,z1

(Fxdx + Fydy + Fzdz)

Wtotal =

∫ x2

x1

Fxdx +

∫ y2

y1

Fydy +

∫ z2

z1

Fzdz

Wtotal = m

(∫ vx2

vx1

vxdvx +

∫ vy2

vy1

vydvy +

∫ vz2

vz1

vzdvz

)

Wtotal =1

2m(v2

x2 + v2y2 + v2

z2)−1

2m(v2

x1 + v2y1 + v2

z1)

Wtotal =1

2mv2

2 −1

2mv2

1

Problema 5.4 Un bodeguero esta empujando cajas hacia arriba por una tabla ásperainclinada con un ángulo α arriba de la horizontal. La tabla esta cubierta en parte conhielo, de modo que el coeficiente de fricción aumenta con la distancia x a lo largo de latabla : µ = Ax, donde A es una constante positiva y la base de la tabla está en x = 0 (Paraesta tabla los coeficientes de fricción cinética y estática son iguales). El bodeguero empuja


80

una caja hacia arriba de modo que sale de la base de la tabla con rapidez v0. Demuesteque cuando la caja se detiene, permanecerá detenida si

v20 ≥

3g sin2 α

A cos α

Solución:

Usando el teorema del trabajo y energía

W = ∆K

∆K = 0− 1

2mv2

0

W =

∫ x

0

(−mg sin α− µmg cos α)dx

W = −mg

∫ x

0

(sin α + Ax cos α) dx

W = −mg

∫ x

0

(sin αx +

Ax2

2cos α

)

α

α

W

x

y

W

W

Fr

aaaa

De donde obtenemos:

−mg

∫ x

0

(sin αx +

Ax2

2cos α

)= −1

2mv2

0

Para eliminar x, note que la caja quedará estática si la componente en la misma direccióndel plano es igual a la fuerza de fricción estática: mg sin α = Axmg cos α, de donde:

x =sin α

A cos α

Luego:

1

2mv2

0 = g

[sin α

sin α

A cos α+

A(

sin αA cos α

)2

2cos α

]

v20 =

3g sin2 α

A cos α

Luego la caja permanecerá detenida si:

v20 ≥

3g sin2 α

A cos α


81

Problema 5.5 Una fuerza conservativa actúa sobre una partícula de masa m que semueve en una trayectoria dada por x = x0 cos w0t y y = y0 sin w0t donde x0, y0 y w0 sonconstantes

a) Determine las componentes de la fuerzas que actúa sobre la partícula.

b) Determine la energía potencial de la partícula en función de x y y. Tome U = 0cuando x = 0 y y = 0.

c) Calcule la energía total de la partícula cuando

i) x = x0, y = 0

i) x = 0, y = y0

Solución:

a) Haciendo uso de la segunda ley de Newton F = ma:

Fx = max = md2x

dt2= −mw2

0x

Fy = may = md2y

dt2= −mw2

0y

b) Puesto que se trata de una fuerza conservativa, el trabajo puede representarse me-diante una función de energía potencial.

U = −(∫

Fxdx +

∫Fydy

)

=1

2mw2

0(x2 + y2)

c) Se sabe que v = dx/dt

vx = dx/dt = −x0w0(y/y0)

vy = dy/dt = y0w0(x/x0)

i) Cuando x = x0, y = 0 se tiene que vx = 0, vy = y0w0

K =1

2m)(v2

x + v2y)

=1

2y2

0w20

U =1

2w2

0mx20

E = K + U =1

2mw2

0(x20 + y2

0)


82

i) Cuando x = 0, y = y0 se tiene que vx = −x0w0, vy = 0

K =1

2w2

0mx20

U =1

2mw2

0y20

E = K + U =1

2mw2

0(x20 + y2

0)

Notemos que la energía total en ambos casos son iguales

Problema 5.6 Un anillo de masa m kg resbala a lo largo de un arco metálico ABC muypulido (ver figura) que es arco de una circunferencia de radio r. Sobre el anillo actúan dosfuerzas F y F ′ . La fuerza F es siempre tangente a la circunferencia. La fuerza F ′ actúaen dirección constante formando un ángulo de 30◦ con la horizontal. Calcular el trabajototal efectuado por el sistema de fuerzas sobre el anillo al moverse este de A a B

A

B

COr

m

F

F’

Solución:

Por la definición de trabajo W =∫

FT .dr dondeFT es la fuerza tangencial resultante a lo largo dela curva. Para nuestro caso, del gráfico obtenemos:

FT = F + mg cos θ − F ′ sin(30o − θ)

FT = F + mg cos θ + F ′ sin(θ − 30o)

Ademas dl = r dθ

A

B

COr

300

mg F

F’

θ

θ

θ


83

De las ecuaciones anteriores, obtenemos:

WAB =

∫ π/2

0

(F + mg cos θ + 150 sin(θ − 30o))rdθ

WAB =

∫ π/2

0

Frdθ +

∫ π/2

0

mg cos θrdθ +

∫ π/2

0

F ′ sin(θ − 30o)rdθ

WAB = Frθ|π/20 + mgr sin θ|π/2

0 − F ′r cos(θ − 30o)|π/20

WAB = Frπ

2+ mgr − F ′r(sin 30o − cos 30o)

WAB = r[Fπ

2+ mg − F ′

2(1−

√3)]


84


Parte III

Metodología, Cronograma deActividades

85

Capítulo 6

METODOLOGÍA

6.1. MétodosLos métodos utilizados en el desarrollo de la práctica pre-profesional fue tanto el métododeductivo y el método inductivo ambos enmarcados dentro del método activo pues la laborde un docente universitario más que presentar principios y métodos y definiciones es contarcon la participación del alumno.

6.2. TécnicasExisten muchas técnicas para hacer llegar nuestro conocimiento y lograr un aprendizajeapropiado, las técnica utilizada consiste en una exposición oral, estimulando siempre laparticipación del alumno en los trabajos de clase.

Los medios y materiales para el desarrollo de las sesiones de aprendizaje son:

Auditivo: de acceso personal, esto es, voz humana.

Visual: empleo de pizarra, plumon, tiza y mota.

87

88


Capítulo 7

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

7.1. Temas Desarrollados

Parte II

Capítulo Temas1 Vectores2 Estática3 Cinemática4 Dinámica5 Trabajo Energía y Potencia

7.2. Cronograma de Actividades

Tema Marzo Abril Mayo25 27 3 10 17 24 1 8 15 22

1 • •2 • •3 • •4 • •5 • •

89

90


92

Capítulo 8

RELACIÓN DE ESTUDIANTES YASISTENCIAS

8.1. Relación de EstudiantesN◦ Apellidos y Nombres Código1 ACROTA GUTIERREZ, JULIO CESAR 0721782 AMACHI QUISPE, CRISTHIAN RAUL 0554663 APAZA PEREZ, YONY VALER 0713244 ARACAYO ARACAYO, EDGAR EDWIN 0516845 BARRA CHIPANA, JOHN 0623876 CARPIO CATACORA, ERIK EDUARDO 0639117 CATACORA GRANDE, MARCOS MARCIAL 0623888 CCAHUANA BEJAR, ANTERO DANIEL 0646969 CHAMBI SUCAPUCA, EDWIN 07218010 COARI PELINCO, EDGAR FROILAN 06239211 CONDORI HANCCO, FREDDY 05169012 CONDORI MAMANI, WILLIAM ISMAEL 07167013 CONDORI QUISPE, OMAR VIZNNEY 06239314 ESTEBA AVALOS, EDWIN RENE 07167115 FLORES RODRIGUEZ, HERNAN 05547316 HUARANCA MAYTA, OSCAR ANDRES 07132817 LUQUE CONDORI, ALAN 06240318 LUQUE LUQUE, HARRY 05170419 MALDONADO LARICO, CARLOS ELMER 06240620 MAMANI CHALLCO, VOLVER 05170621 MAMANI DIANDERAS, ALEXANDER 06470422 MAMANI DIAZ, WILAR 06470523 MAMANI FLORES, ADELINA 06240724 MAMANI GOMEZ, RONALD 05170825 MAMANI MAMANI, ABRAHAM 062408


93

N◦ Apellidos y Nombres Código26 MARIN PATIÑO, PERCY RAUL 06241227 MORALES APAZA, FRETS BRIAN 07133228 MULLISACA ESCALANTE, FREDY ALAN 05547929 OTAZU MAMANI, VLADIMIR ILICH 06470730 PACOMPIA BELIZARIO, LUIS AUGUSTO 05548031 PAYE NUÑEZ, EDGAR DAVID 06470932 QUISPE COYA, JOSIMAR VIDAL 07133433 QUISPE LARICO, GILBERTO 06241734 QUISPE MAMANI, WILFREDO 05255535 QUISPE QUISPE, NICOMEDES 03131836 QUISPE ZAMATA, PERCY 02133337 RAMOS QUISPE, JOEL NOE 06391738 SUCAPUCA NINA, HUGO 07219539 TICONA LOPEZ, ALI ALFONSO 07133640 TICONA MAMANI, ROXANA 06242141 TINTAYA CHOQUEHUANCA, RICHARD 06242242 VALERA PALLI, ROGER RUBEN 07133843 VARGAS MOLLINEDO, BERNARDINO 04071444 VILCA MAMANI, JOHAU GUSTAVO 064712

8.2. Asistencias


1 072178 • • • • •2 055466 • • •3 071324 • • • • • • • • •4 051684 • • • • • •5 062387 • • • • • •6 063911 • • • • • • •7 062388 • • • • • • •8 064696 • • • • • • •9 072180 • • • • • • • • •10 062392 • • • • • •11 051690 • • • • • • • • •12 071670 • • • • • • • •13 062393 • • • • • •14 071671 • • • • • •15 055473 • • • • • • •


94


16 071328 • • • • • •17 062403 • • • •18 051704 • • • • • • • • • •19 062406 • • • • • •20 051706 • • • • • •21 064704 • • • • • • • • •22 064705 • • • • •23 062407 • • • • • •24 051708 • • • • • • • • •25 062408 • • • • • • •26 062412 • • • • • • •27 071332 • • • • • • • •28 055479 • •29 064707 • • • • • • • •30 055480 • • • • • •31 064709 • • • • •32 071334 • • • • • •33 062417 • • • • • •34 052555 • • • • • • • •35 031318 • • • • • • •36 021333 • • • • • •37 063917 • • • • • • • •38 072195 • • • • • • •39 071336 • • • • •40 062421 • • • • • • •41 062422 • • •42 071338 • • • • • •43 040714 • • • • • •44 064712 • • • • • •


Bibliografía

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[4] W. SEARS, Francis, W. ZEMANSKY, Mark y otros (1977),Fisica UniversitariaVolumen I

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informe de fisica i

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