Universidad de Costa Rica Facultad de CienciasEscuela de Física

Laboratorio de Física General I Informe #7

“Momento de Inercia I y II”

Profesor:Marcos Segura

Estudiante:Andrea Arce VenegasCarné: B10532

Fecha: 23-10-2012

Resumen

En éste informe se explicará el momento de inercia para movimiento rotatorio, y

además se determinará el momento de inercia de diversos sólidos. Se sabe que la

primera Ley de Newton tiene su equivalente rotatorio, en el concepto que afirma

que “un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo

en movimiento giratorio uniforme tiende a permanecer con ese movimiento,

excepto cuando actúa sobre él un par de torsión”. Eso es lo que se desea estudiar

en el Laboratorio, aplicar ésta primera ley en el movimiento rotatorio, del cual se

obtiene el concepto de inercia. Para esto, se medirán tiempos para poder obtener

velocidades y aceleraciones angulares que se usaran para graficar y obtener un

valor experimental de la gravedad, para poder obtener el momento de inercia

experimental, y compararlo con el momento de inercia teórico, y determinar

posibles fuentes de error, en caso de que hubiesen. Lo mismo se hará con los

sólidos, se medirán periodos de oscilación para obtener datos experimentales y

compararlos con el teórico, y establecer así un porcentaje de error entre éstos.

Introducción

La primera ley de Newton también aplica para objetos que tienen un movimiento

giratorio o de rotación, así como para objetos que poseen una trayectoria lineal. La

primera ley dice que este objeto va a permanecer en movimiento hasta que una

fuerza externa lo detenga, así sucederá con un objeto que posea un movimiento

rotatorio uniforme tiende a permanecer con este movimiento.

El momento de inercia se puede decir que es una medida de la resistencia de un

objeto a cambiar su movimiento rotacional, así como la masa es una medida de la

tendencia de un cuerpo a resistir el cambio en su movimiento traslacional.

Como se dijo anteriormente, la inercia aplica por igual a movimientos rotatorios,

por lo tanto se llama inercia rotacional y se puede definir como la resistencia al

cambio de movimiento rotativo. Esta inercia rotacional se relaciona con la cantidad

de masa que posea el objeto y su distribución con el eje de rotación, a este

concepto se le llama Momento de Inercia. Cuanto más lejos del centro de rotación

y más masa haya mayor es el momento de inercia. Esto se puede apreciar en la

definición matemática de momento de inercia.

I ≡∑i

miri2

Donde mi es la masa de la i-ésima partícula y ri el radio de esta.

El par de torsión es el causante de modificar el movimiento giratorio de un cuerpo,

este es el momento de la fuerza. Si se aplica una fuerza a un objeto que rota, su

aceleración angular va a ser provocada por la sumatoria de los pares de torsión

que actúa sobre cada partícula del objeto.

Στ=Σmr2

El lado derecho de la ecuación corresponde a la sumatoria de todos los momentos

de inercia de cada partícula que compone el sólido rígido.

El cálculo de momentos de inercia de un cuerpo en torno a un eje puede ser

complicado, incluso si el cuerpo es bastante simétrico. Solamente si el cuerpo

tiene una geometría simple o gran simetría y con un eje de rotación que coincida

con un eje de simetría, es posible calcular su momento de inercia. De lo contario

se utiliza un teorema importante, el cual es llamado teorema del eje paralelo, el

cual corresponde a otro informe, por lo cual no se profundizará en este.

Además es importante hablar del momento de torsión, el cual es la tendencia de

una fuerza a dar vuelta en torno a un eje a un objeto. Un ejemplo seria cuando

empujamos una puerta, se aplica una fuerza perpendicular a la superficie de la

puerta cerca de las bisagras y luego en diferentes posiciones desde la bisagra, la

puerta rotará más rápido al aplicar la fuerza cerca de la perilla que de las bisagras.

En el experimento de laboratorio se utilizará la siguiente ecuación para obtener el

momento de inercia del disco. Se utilizará un método indirecto de hallar el

momento de inercia.

1α= 1m ( I

gr )+ rg

El momento de inercia se puede decir que es una medida de la resistencia de un

objeto a cambiar su movimiento rotacional, así como la masa es una medida de la

tendencia de un cuerpo a resistir el cambio en su movimiento traslacional.

La primera ley de Newton también aplica para objetos que tienen un movimiento

giratorio o de rotación, así como para objetos que poseen una trayectoria lineal. La

primera ley dice que este objeto va a permanecer en movimiento hasta que una

fuerza externa lo detenga, así sucederá con un objeto que posea un movimiento

rotatorio uniforme tiende a permanecer con este movimiento.

Como se dijo anteriormente, la inercia aplica por igual a movimientos rotatorios,

por lo tanto se llama inercia rotacional y se puede definir como la resistencia al

cambio de movimiento rotativo. Esta inercia rotacional se relaciona con la cantidad

de masa que posea el objeto y su distribución con el eje de rotación, a este

concepto se le llama Momento de Inercia. Cuanto más lejos del centro de rotación

y más masa haya mayor es el momento de inercia. Esto se puede apreciar en la

definición matemática de momento de inercia.

I ≡∑i

miri2

Donde mi es la masa de la i-ésima partícula y ri el radio de esta.

El momento de fuerza que actúa sobre un sólido rígido está relacionado con el

momento angular, el sistema de coordenadas tiene origen en el centro de

gravedad del cuerpo rígido. Por lo tanto lo anterior se determina matemáticamente

de la siguiente manera.

τ=d Ldt

Donde τ es el momento de fuerza y L es el momento angular.

El momento angular también se puede expresar en términos de la velocidad

angular ω y el tensor de inercia I , de la siguiente forma.

L=Ì· ω⃗

Como en el experimento de laboratorio ω⃗ solo tiene una dirección en el eje

principal de inercia L solo tiene una componente en el eje “z”.

L z=I z ·ω

Para saber la constante del resorte que se utiliza en la práctica de laboratorio se

utiliza la siguiente ecuación

τ z=−k ·ϕ

Donde ϕ es el ángulo de rotación, y donde K es la constante de restauración del

resorte.

Además se puede utilizar la siguiente ecuación para movimiento oscilatorio que se

presenta en el experimento de laboratorio.

d2ϕd2t

+DI zϕ=0

Y la ecuación que utilizamos con más frecuencia para el experimento de

laboratorio, para obtener los momentos de inercia de los diferentes cuerpos

utilizados es

I z=(T2 )2

·Kπ2

Los objetivos de ésta práctica son plantear la Primera Ley de Newton para el

movimiento rotatorio, comparar los momentos de inercia determinados

experimentalmente con los que plantea la teoría, y también para diferentes

sólidos.

Procedimiento/materiales y métodos

Ésta práctica se dividió en dos partes: la primera parte consistió en plantear la

Primera Ley de Newton (ley de la Inercia) para el movimiento rotatorio, y

determinar los momentos de inercia experimentales, para el cual se utilizaron los

siguientes instrumentos: vernier, pie cónico, cojinete de aire, disco de rotación con

diafragma, porta masas, barrera foto eléctrica, polea de precisión, soplador, 2

contadores digitales y una balanza. Lo importante en ésta parte era nivelar bien el

disco, para poder obtener buenos resultados, ya que el ejercicio consistía en medir

el tiempo al iniciarse el movimiento del disco (cuando pasa la fotocelda 1), y el

tiempo al final del recorrido (cuando pasa la fotocelda 2). El ejercicio es medir esos

tiempos, manteniendo el radio y el ángulo entre fotoceldas constantes, pero

alternando la masa. Para ésta parte se usaron las siguientes fórmulas:

ω= δθδt

(1)

α=ω2−ω1t2−t1

=∆ω∆ t

(2)

I=1/2M R2 (3)

g=r /b (4)

I=m ·g · r (5)

% error=Valor te ó rico−Valor Experimentalvalor te ó rico

·100 (6)

En la segunda parte de la práctica, se debía determinar el momento de inercia de

diversos sólidos, para el cual se usaron los siguientes instrumentos: pie cónico,

resorte de espiral, esfera, cilindro, sólidos, regla graduada, dinamómetro, cilindro

hueco y varilla con masas puntuales, cables de conexión, nivel, balanza, contador

digital, barrera foto eléctrica. El primer ejercicio fue determinar el momento angular

de restauración, en el cual se sujetó el disco al tornillo central de soporte y colocar

el disco graduado, para que, con el dinamómetro enganchado al tornillo y

perpendicular al radio, medir la fuerza que indica el dinamómetro, rotando el disco

cada cinco grados. El segundo ejercicio consistió en determinar el periodo de

oscilación de cualquiera de los cuerpos a utilizar, en el cual se usó solo una

fotocelda, que era la que indicaba los semi periodos. Se colocó la aguja del cuerpo

de forma que ésta cuando esté en reposo quede dentro de la fotocelda, se debe

medir un semi periodo en sentido horario y otro en sentido anti horario, sumarlos y

ese será el periodo total. En ésta parte se usaron las siguientes fórmulas:

τ=r x F (7)

I z=(T2 )2

·Kπ2

(8)

τ z=−k·ϕ (9)

Resultados

En la primera parte, usando la fórmula 1 se determinó la velocidad angular con la

que iba cada masa, donde δθ es el ancho que cubre la pestaña o diafragma, el

cual era de 3.5 grados, es decir, 0,061086524 radianes, y δt es el tiempo

promedio. Así, por ejemplo, para determinar la velocidad angular de la masa de

10kg se usó ω=0.0610865240.041386

=1,47601904 rad /s, y así se hizo con las demás

masas, para poder obtener los datos presentes en ésta tabla:

Tabla 1. Velocidad angular de las masas

Masa colgada (kg)

Velocidad angular (rad/s)

10 1,47601903620,5 2,04460032230,5 2,44806331241,4 2,780958018

50 3,06628470160 3,325703605

70,5 3,592057146

80,5 3,79631619Con la fórmula 2, se determinó la aceleración angular de cada masa, se inicia

desde el reposo, por lo tanto la velocidad angular inicial es cero, por lo tanto, al

calcular la aceleración angular de la masa de 10kg, queda

α=1,4760190361.8142

=0.81359224 rad /s2, así se calcularon las aceleraciones de las

demás masas.

Tabla 2. Aceleraciones angulares de las masas

Masa colgada (kg)

Aceleracion Angular (rad/s²)

10 0,813592237

20,5 1,676314112

30,5 2,434987429

41,4 3,201766142

50 3,865665714

60 4,662353823

70,5 5,442016098

80,5 6,119833299

También, se obtuvo el momento de inercia teórico del disco, usando la fórmula 3,

donde la masa del disco era 643g y su radio de 0,18m. Así:

I=120 ,643(0,18)2=0,0104166kgm ²

Con la fórmula 5 se obtuvo el momento de inercia experimental del disco, para el

cual “r” era el radio de aplicación, en nuestro caso 0,09m, “g” es el valor

experimental de la gravedad. Éste se obtuvo usando la fórmula 4, para el cual se

ocupa realizar una gráfica del inverso de la aceleración angular en función del

inverso de la masa.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f(x) = 12.1339839030054 x + 0.0131269599910702R² = 0.999856280758626

Series2Linear (Series2)

Figura 2. Gráfica del inverso de la aceleración en función del inverso de la masa

En ésta gráfica el intercepto es 0,0131, y usando la fórmula 4 ya se puede obtener

el valor experimental de la gravedad, que sería:

g= 0,090,0131

=6,870229008m / s ²

Con éste valor experimental de “g” se puede obtener el momento de inercia

experimental, usando la fórmula 5. Así:

I= 0,01*0,09*6,87=0,006183206 kgm²

Tabla 3. Momento de Inercia experimental de cada masa

masa (kg) radio (m) gravedad (m/s²)0,01 0,09 6,870229008 0,006183206

0,0205 0,09 6,870229008 0,0126755730,0305 0,09 6,870229008 0,0188587790,0414 0,09 6,870229008 0,025598473

0,05 0,09 6,870229008 0,0309160310,06 0,09 6,870229008 0,037099237

0,0705 0,09 6,870229008 0,0435916030,0805 0,09 6,870229008 0,049774809

0,028087214

Con el valor experimental y teórico, se puede determinar el porcentaje de error de

las medidas, usando la fórmula 6. Así:

% error=0,0104166−0,0061832060,0104166

·100=40,6408425%

En la segunda parte, usando la fórmula 7 se obtuvo el torque, así por ejemplo, la

medida 1 que corresponde a 0,087266463 radianes, se obtuvo:

τ= 0,25*0,14= 0,035Nm

Y así se obtuvo para cada medida:

Tabla Torque de cada ángulo

Torque (Nm)

Angulo (rad)

0,035 0,087266463

0,063 0,174532925

0,1155 0,261799388

0,14 0,349065850,1715 0,43633231

30,2065 0,52359877

6

Además, se realizó una gráfica de Ángulo en función del torque

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

f(x) = 2.50810959806469 x − 0.000347742731712397R² = 0.991558252224984

Series2Linear (Series2)

Figura 1. Gráfica de Angulo en función del torque

También, usando la fórmula 9, se determinó la constante de resorte, así por

ejemplo, para la primera medida la constante de resorte se obtuvo usando

τ z=−k·ϕ , donde τ z es el dato de torque obtenido y ϕ es el ángulo de separación,

así para la primera medida:

−k= 0,0350,087266463

=−0,4010704548

Y así se realizó para las demás medidas

Tabla. Constante de resorte

Constante de resorte

0,401070457

0,360963411

0,441177502

0,401070457

0,393049047

0,394385949

Con todos estos datos se obtuvo una constante promedio de 0,39861947

La segunda parte consistía en determinar el momento de inercia de una esfera y

de un cilindro sólido, para el cual se utilizó la fórmula 8. Primeramente, se midió el

periodo de oscilación de cada uno, pero como solo se usaba una fotocelda, ésta

medía solo medio periodo, por lo cual se midieron dos periodos, usando un ±ᵦ, el

resultado se sumaba y ya se obtenía el periodo total de oscilación (representada

como T en la ecuación 8).

Usando la fórmula 8 se obtuvo el momento de inercia de una esfera:

I z=( 1,698132 )2

·0,4050704548

π 2=0,02958780174 Kgm²

El momento de inercia de un cilindro sólido:

I z=( 0,9758352 )2

·0,4050704548

π2=0,0097706535 Kgm²

Tabla. Momento de Inercia de diversos sólidos

Cuerpo Momento de inercia I (kgm2)Cilindro Sólido 0,0097706535

Esfera sólida 0,0295878017 4

Discusión

De acuerdo con la gráfica 1, surgió la interrogante sobre ¿Qué significado físico

tiene la pendiente y la intercepción? Si se toma la ecuación 1α= 1m ( I

gr )+ rg

, la cual

es la ecuación de la recta, en este caso esta ecuación aplica para la gráfica 1, por

lo tanto la pendiente de las gráficas es igual al momento de inercia entre el radio

por la gravedad. Además la intercepción de las gráficas es el radio entre la

gravedad.

Además durante la práctica el profesor solicitó que se nivelara el disco y colocar la

fotocelda al inicio del movimiento, pero, ¿Cuál era la importancia de que éste

permaneciera nivelado? Nivelar el disco es importante porque la cuerda tiene que

estar en una posición perpendicular al eje de rotación del disco, de esta manera la

tensión de la cuerda genera que el torque sea igual al producto del radio por la

fuerza que en este caso es la masa que cuelga. Además si el disco esta nivelado

la gravedad no afectará el experimento. Y ¿Por qué había que colocar la primera

fotocelda al inicio del movimiento? Se coloca la primera fotocelda al inicio del

movimiento para facilitar los cálculos, ya que se si se hace de esta manera se

tiene que la velocidad angular inicial es igual a cero. Si se coloca la fotocelda 2 al

inicio el disco ya vendría con una velocidad angular por lo que los cálculos se

complicarían un poco más.

También, durante la práctica siempre se mantuvo constante los ángulos, pero ¿por

qué?, ¿Influirá en los resultados? Si se varia el ángulo los tiempos de cada

fotocelda serian diferentes, ya que al diafragma le tomaría más tiempo en recorrer

una distancia angular mayor, así como le tomaría menos tiempo en recorrer una

distancia angular menor. Por lo que la aceleración angular variaría con cada

ángulo.

Al finalizar la práctica, con la obtención de valores experimentales y teóricos de

momento de inercia, hubo un gran porcentaje de error, ¿Qué pudo haber causado

error? Uno de los principales errores seria nivelar de manera equivocada el disco

como ya se aclaró en la pregunta dos. Además afecta bastante que la cuerda no

esté debidamente colocada en la polea, también existe el error humano, como no

iniciar el movimiento aproximadamente en el mismo lugar, o que se le dé un

empuje pequeño al disco cuando este se libera. Que los contadores estén

colocados de manera incorrecta.

En la segunda parte, al graficar Ángulo en función del torque, se pudo observar

que los datos fueron bastante precisos, por lo que formaban una línea casi recta, y

el valor de la constante de resorte entonces si es bastante aproximado al real.

Conclusión

Estudiando el momento de inercia como se realizó en el experimento de

laboratorio y también a partir del análisis de los resultados se puede concluir que

la primera ley de Newton se cumple por igual para un objeto en rotación, ya que se

observó que el equivalente de la inercia en movimiento rotacional es el momento

de inercia, por lo que también se es capaz de aplicar la segunda ley de Newton,

como se aplicó en las ecuaciones que hicieron posibles encontrar el momento de

inercia experimental del disco para cierto radio, así como los valores

experimentales de la gravedad.

Así mismo se compararon los valores de los momentos de inercia experimentales

con el teórico, y claramente son bastante alejados, esto se puede deber a una

mala colocación de los instrumentos o errores personales, pero a pesar de que los

datos no arrogaron lo esperado, quedó claro el significado de momento de inercia

el cual es el objetivo principal del informe.

Bibliografía

-Loría Meneses L. Guía de Laboratorio Física general 1, 2012. pp. 63-77

-Serway R; Jewett J. Física para ciencias e ingeniería. 7ª edición. Editorial

CENGAGE Learning. 2008 pp. 276-285.

Anexos

Tabla 1. Momento de Inercia

Tabla 2. Momento de Inercia

Tabla 3. Resumen de Experimento

Radio de Angulo Masa Inverso de Velocidad Aceleracion Inverso de

Masa colgada t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 Tiempo promedio10 1,822 1,759 1,737 1,804 1,817 1,89 1,89 1,826 1,772 1,825 1,8142

20,5 1,199 1,219 1,222 1,201 1,227 1,251 1,203 1,236 1,22 1,219 1,219730,5 0,9954 0,998 1,011 1,011 1,01 0,9997 1,008 1,009 0,9946 1,017 1,0053741,4 0,8799 0,8701 0,8538 0,869 0,8734 0,8649 0,8704 0,8794 0,8627 0,8621 0,86857

50 0,7781 0,7957 0,7995 0,8037 0,7986 0,7858 0,806 0,7799 0,7899 0,7949 0,7932160 0,7197 0,6885 0,723 0,7149 0,7105 0,714 0,7155 0,7 0,7267 0,7203 0,71331

70,5 0,648 0,6661 0,6484 0,6634 0,6653 0,6579 0,6616 0,6642 0,6633 0,6624 0,6600680,5 0,6295 0,6362 0,6062 0,604 0,6151 0,6352 0,6246 0,6254 0,6007 0,6264 0,62033

Masa colgada δt1 δt2 δt3 δt4 δt5 δt6 δt7 δt8 δt9 δt10 tiempo promedio10 0,04207 0,04089 0,0414 0,04115 0,04115 0,0417 0,04146 0,04146 0,04115 0,04143 0,041386

20,5 0,02982 0,03015 0,02982 0,02988 0,02988 0,02988 0,02982 0,02979 0,02985 0,02988 0,02987730,5 0,02503 0,025 0,025 0,02503 0,025 0,025 0,025 0,02475 0,025 0,02472 0,02495341,4 0,0253 0,02165 0,0214 0,02165 0,02156 0,02159 0,02162 0,02159 0,02165 0,02165 0,021966

50 0,02003 0,02003 0,01982 0,02012 0,01982 0,02009 0,01982 0,01985 0,01982 0,01982 0,01992260 0,01829 0,01829 0,01851 0,01854 0,01829 0,01832 0,01835 0,01829 0,01829 0,01851 0,018368

70,5 0,01707 0,01707 0,0168 0,01707 0,01707 0,01702 0,01707 0,01704 0,01702 0,01683 0,01700680,5 0,01652 0,0161 0,01585 0,01613 0,01594 0,01616 0,01607 0,01591 0,01607 0,01616 0,016091

aplicación la masa angular angular aceleración0,09 0,06108652

410 0,1 1,476019036 0,813592237 1,229116939

0,09 0,061086524

20,5 0,048780488

2,044600322 1,676314112 0,596546908

0,09 0,061086524

30,5 0,032786885

2,448063312 2,434987429 0,410679738

0,09 0,061086524

41,4 0,024154589

2,780958018 3,201766142 0,31232762

0,09 0,061086524

50 0,02 3,066284701 3,865665714 0,258687655

0,09 0,061086524

60 0,016666667

3,325703605 4,662353823 0,214483936

0,09 0,061086524

70,5 0,014184397

3,592057146 5,442016098 0,183755428

0,09 0,061086524

80,5 0,01242236 3,79631619 6,119833299 0,163403144

Tabla 4. Constante de Resorte

Medida Angulo (rad) Fuerza Torque1 0,08726646

30,25 0,035

2 0,174532925

0,45 0,063

3 0,261799388

0,825 0,1155

4 0,34906585 1 0,145 0,43633231

31,225 0,1715

6 0,523598776

1,475 0,2065

Tabla 5. Momento de Inercia de una esfera

Medida Angulo (rad) ST1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST promedio

1 0,785398163

0,8027 0,8007 0,8017 0,8078 0,8086 0,8043

2 1,047197551

0,8256 0,8269 0,8254 0,8241 0,826 0,8256

3 1,308996939

0,8399 0,8418 0,8411 0,8399 0,8419 0,84092

4 1,570796327

0,8528 0,8512 0,8504 0,8505 0,8501 0,851

Periodo promedio

0,830455

Angulo (rad) ST1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST promedio-0,785398163 0,8738 0,8739 0,8729 0,8742 0,8725 0,87346-1,047197551 0,8688 0,8684 0,8687 0,8688 0,8695 0,86884-1,308996939 0,8613 0,8612 0,8612 0,8612 0,8614 0,86126-1,570796327 0,8673 0,8676 0,867 0,867 0,8668 0,86714

Periodo promedio 0,867675

Tabla 6. Momento de Inercia de un cilindro sólido

Medida Angulo (rad) ST1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST promedio

1 0,785398163

0,471 0,4708 0,4695 0,4679 0,4656 0,46896

2 1,047197551

0,4826 0,4809 0,4787 0,4791 0,4782 0,4799

3 1,308996939

0,4865 0,4851 0,484 0,4834 0,4836 0,48452

4 1,570796327

0,4724 0,4689 0,4686 0,4656 0,4649 0,46808

Periodo promedio

0,475365

Angulo (rad) ST1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST promedio

-0,785398163 0,5184 0,5189 0,5193 0,5187 0,5193 0,51892-1,047197551 0,5128 0,5122 0,5125 0,5126 0,5125 0,51252-1,308996939 0,5122 0,5115 0,5111 0,5109 0,5106 0,51126-1,570796327 0,4677 0,4595 0,4567 0,4561 0,4559 0,45918

Periodo promedio 0,50047