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Anlisis matemtico II Informacin general de la asignatura
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologa |Licenciatura en Matemticas 1
Universidad Abierta y a Distancia de Mxico
Licenciatura en Matemticas
8 cuatrimestre
Anlisis Matemtico II
Informacin general de la asignatura
Clave:
050930829
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Anlisis matemtico II Informacin general de la asignatura
Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologa |Licenciatura en Matemticas 2
ndice
Presentacin ....................................................................................................................... 2
Propsitos ........................................................................................................................... 4
Competencia general ......................................................................................................... 5
Estructura temtica ............................................................................................................ 5
Metodologa de trabajo ...................................................................................................... 6
Evaluacin ........................................................................................................................... 7
Fuentes de consulta ........................................................................................................... 8
Presentacin
El anlisis matemtico es una rama relativamente nueva de las matemticas.
Nace en el siglo XIX, cuando el clculo diferencial e integral estaba bastante
desarrollado.
Posteriormente surgieron nuevas y diferentes ramas de las matemticas, al mismo
tiempo que se descubrieron nuevos resultados y campos de aplicacin, enriqueciendo y
profundizando los conceptos existentes del clculo.
Los matemticos de la poca advirtieron, por un lado, que sus fundamentos no eran tan
slidos y, por otro, que podan extenderlos y generalizarlos.
Matemticos como Lagrange y Cauchy precisaron las definiciones de lmite: continuidad
e integral. El matemtico checo, Bolzano, contribuy notablemente al estudio de las
funciones continuas y el alemn Karl Weierstrass introdujo el rigor y la formalidad
cientfica, que hoy lo ubican como el padre del anlisis matemtico moderno.
Para el estudio de las funciones continuas, se hizo necesario profundizar en el entendimiento de
la naturaleza y propiedades de los nmeros reales. Sin embargo, su estudio requera
comprender las funciones discontinuas; a partir de las cuales surgen las funciones continuas
como lmite de funciones, ello sin saber de antemano si la funcin lmite sera continua o no.
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El surgimiento y desarrollo del anlisis matemtico tiene una motivacin abstracta, ligada a
lograr una mayor comprensin de las matemticas en s mismas. Aunque tambin cuenta con
una motivacin real y objetiva, vinculada al entendimiento, resolucin de problemas y retos que
se plantea la humanidad para comprender mejor el universo que nos rodea.
Anlisis matemtico, adems de tener aplicaciones en otras ramas de las matemticas, como
son ecuaciones diferenciales, teora de conjuntos y probabilidad; cuenta con aplicaciones en
otras ciencias como la fsica, la qumica, la biologa, la astronoma o la economa, ligadas al
establecimiento de leyes generales del comportamiento de la naturaleza, del hombre y a la
solucin de problemas cientficos, tecnolgicos y sociales muy concretos.
Por ejemplo, un conjunto de puntos puede representar
diferentes cosas: un conjunto de funciones, donde cada
elemento es una funcin; un conjunto de colores, donde
cada punto es un color, o un conjunto de personas, donde
cada punto es una persona. La continuidad de una funcin
puede representar la continuidad de la transmisin del
sonido, la continuidad de una corriente de agua, de flujo
elctrico o del paso del tiempo en un periodo dado.
Al observar las similitudes de los casos particulares, surge la idea de enfocarse en los aspectos
afines. Mediante representaciones abstractas o modelos se logra hacer a un lado la informacin
particular, logrndose delimitar los problemas comunes para su posterior estudio y solucin.
Por lo anterior, esta asignatura exige que desarrolles tu capacidad de abstraccin para lograr
buen entendimiento. Tambin es importante tener en cuenta que, para el estudio de esta
asignatura, necesitas manejar los resultados del clculo diferencial e integral, de una y de varias
variables y lo que has aprendido hasta el momento.
La asignatura se imparte en el octavo cuatrimestre de la licenciatura en Matemticas.
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El curso consta de cuatro unidades.
Propsitos
Con el estudio de esta asignatura:
Llevars y ampliars los conceptos y resultados del
clculo en n a los espacios mtricos, que son espacios ms generales.
Comprenders los conceptos esenciales del
anlisis matemtico: compacidad, convergencia y
teoremas fundamentales.
Comprenders una demostracin y sers capaz de
desarrollar tus propias demostraciones, siguiendo
razonamientos rigurosos y utilizando las nociones
bsicas de topologa, espacios mtricos y
convergencia.
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Competencia general
Aplica los conceptos y procedimientos del anlisis
matemtico para comprender las demostraciones
del anlisis real, utilizando el clculo diferencial e
integral de una y varias variables, geometra
analtica y lgebra lineal.
Estructura temtica
1. Aproximacin de funciones continuas
1.1. Antecedentes
1.1.1. Series de nmeros
1.2. Teorema de aproximacin de Weierstrass
1.2.1. Sucesiones de funciones uniformemente convergentes
1.2.2. Funciones continuas no derivables en ningn punto
1.2.3. Enunciado, demostracin y algunas consecuencias
1.2.4. Algunas generalizaciones
2. Integral de Riemann-Stieljes
2.1. Antecedentes
2.1.1. Definicin de la integral de Riemann-Stieljes. Notacin
2.1.2. Propiedades
2.1.3. Integracin por partes
2.2. Teorema de cambio de variable
2.2.1. Enunciado y demostracin
2.2.2. Aplicaciones
3. Conceptos preliminares de Teora de la medida
3.1. Antecedentes
3.1.1. Medidas y conjuntos medibles
3.1.2. Medida de Lebesgue, propiedades
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3.1.3. Conjuntos Lebesgue-medibles
3.2. Funciones medibles
3.2.1. Algunas aplicaciones
4. Integral de Lebesgue
4.1. Antecedentes
4.1.1. Definicin de la integral de Lebesgue
4.1.2. Propiedades
4.1.3. Comparacin contra la integral de Riemann
4.2. Integral de Lebesgue de una funcin acotada sobre un conjunto de medida finita
4.2.1. Lema de Fatou
Metodologa de trabajo
En esta asignatura trabajars contenidos que involucran aspectos tericos y prcticos, los
cuales te permitirn desarrollar el conocimiento analtico.
La metodologa de trabajo consiste en lograr el aprendizaje a travs de la reflexin de ideas
matemticas, la resolucin de problemas y la prctica constante mediante ejercicios dirigidos y
puntuales en su temtica. Posteriormente a la exposicin de los resultados tericos, y en
ocasiones previo a ello, se vern ejemplos que motiven, contextualicen y refuercen el concepto
terico en cuestin. Todo esto en beneficio de una ptima comprensin e integracin de los
temas y subtemas que conforman a las unidades del curso.
Las actividades propuestas en cada una de las unidades
estn formadas por ejercicios y problemas, en los que
debers aplicar tus conocimientos adquiridos. Recuerda
que si en algn momento te resulta complicado obtener
la solucin de algn ejercicio o problema puedes
consultar a tu Facilitador(a), quien te apoyar en tus
necesidades, retroalimentndote con informacin y
buenas sugerencias, segn sea la situacin.
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Evaluacin
En el marco del Programa de la UnADM, la evaluacin se conceptualiza como un proceso
participativo, sistemtico y ordenado, que inicia desde el momento en que interactas con los
diversos componentes educativos del aula virtual, por lo que se le considera desde un enfoque
integral y continuo.
Por lo anterior, para acreditar la asignatura, se espera tu participacin responsable y activa,
contando con el acompaamiento y comunicacin estrecha del (la) Facilitador(a), quien, a
travs de la retroalimentacin permanente, podr evaluar de manera objetiva tu desempeo.
Para lograrlo, es necesaria la recoleccin de evidencias que reflejen el logro de tus
competencias.
En este contexto, la evaluacin forma parte del
proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentacin
permanente es fundamental para promover el
aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es
requisito indispensable la entrega oportuna de cada
una de las tareas, actividades y evidencias, as como
la participacin en foros y dems actividades
programadas en cada una de las unidades y conforme
a las indicaciones dadas. Las rbricas establecidas
para cada actividad contienen los criterios y
lineamientos para realizarlas, por lo que es importante
que las revises antes de elaborarlas.
En lo que se refiere a la asignacin a cargo del (la) Facilitador(a), ste(a) har uso, previa
planificacin, de instrumentos y tcnicas de evaluacin, que te permitirn retroalimentar y
reforzar de manera pertinente, de acuerdo con el avance y caractersticas del grupo,
enriqueciendo su proceso formativo.
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A continuacin presentamos el esquema general de evaluacin.
ESQUEMA DE EVALUACIN
Evaluacin contina Interacciones individuales y colaborativas 10%
Actividades
formativas
Tareas 30%
E-portafolio (50%) Evidencias 40%
Autorreflexiones 10%
Asignacin a cargo
del (la) Facilitador(a)
Instrumentos y tcnicas de evaluacin
propuestas por el (la) Facilitador(a)
10%
CALIFICACIN FINAL 100%
Cabe sealar que, para aprobar la asignatura, debes obtener la calificacin mnima indicada por
la UnADM.
Fuentes de consulta
Rudin, W. (1987). Real and Complex Analysis, 3a. ed. Londres: McGraw-Hill.
Stein, E. M. y Shakarchi, R. (2007). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and
Hilbert Spaces. EUA: Princeton University Press.
Bartle, R. G. y Sherbert D. R. (2011). Introduction to Real Analysys, 4a. ed. EUA: John
Wiley & Sons.
Apostol, T. M. (2006). Anlisis matemtico, 2a. ed. Mxico: Editorial Revert.
Dudley, R. M. (2002). Real Analysys and Probability. EUA: Cambrigde University Press.