UNIVERSIDAD DEL CAUCAFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y DE LA EDUCACINDEPARTAMENTO DE FISICALABORATORIO DE VIBRACIONES Y ONDAS2015

MOVIMIENTO PERIODICO EN UN SISTEMA MUELLE-RESORTE

D. Ipaz, X. Correa, A. Palechor, L. A. Crdoba

1. RESUMEN

En esta prctica esperamos comprobar de forma experimental el comportamiento del pndulo compuesto basndonos en el uso de una varilla de masa determinada y con agujeros a diferentes distancias de su centro de masa, para esto nos ayudamos del estudio previo del momento de inercia y movimiento armnico simple. Para lograr nuestro objetivo, con la varilla ya descrita; la desplazamos un ngulo preestablecido para soltarla y tomar el tiempo que tarda en realizar determinado nmero de oscilaciones. En su desarrollo notamos que este tiempo vara de acuerdo a la distancia con respecto al centro de masa.

2. INTRODUCCION

El pndulo es un dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. En esta prctica vamos a introducir el concepto de pndulo compuesto o pndulo fsico llamado tambin pndulo real que se trata de un slido rgido que est suspendido de un punto distinto a su centro de gravedad; el slido puede oscilar sobre un eje transversal que pasa por el punto de suspensin.

3. MARCO TEORICOEn todo tipo de prctica experimental es necesario tener claro ciertos conceptos que ayuden a llevar a cabo la misma, en esta ocasin se empezara por un concepto bsico de oscilacin.

OSCILACIN: entendida como un movimiento que se reproduce de un lado a otro iniciando desde una posicin de equilibrio.

OSCILACIN LIBRE: cuando un sistema recibe una nica fuerza y oscila libremente hasta detenerse por causa de la amortiguacin, recibe el nombre de oscilacin libre; un ejemplo bsico es cuando se pulsa la cuerda de una guitarra.

Figura 1. Oscilacin libre

OSCILACIN AMORTIGUADA: En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de friccin, que es el producto del choque de partculas y la transformacin de determinadas cantidades de energa en calor. Esto disminuye cada vez ms energa cintica, ocasionando que el movimiento se detenga, esto se conoce como oscilacin amortiguada.

Figura 2. Oscilacin amortiguada

En la oscilacin amortiguada la amplitud de la misma varia en el tiempo, hacindose cada vez mas pequea hasta llegar a cero; es decir el sistema se detiene finalmente en su posicin de reposo.

OSCILACIN AUTOSOSTENIDA: si se logra seguir introduciendo energa al sistema, reponiendo la que se perdi debido a la amortiguacin, se logra lo que se llama una oscilacin autosostenida. Un ejemplo es cuando en un violn se frota la cuerda con el arco o cuando se sopla sostenidamente una flauta.

Figura 3. Oscilacin autosostenida

OSILACIN FORZADA: las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza peridica y de magnitud constante sobre un sistema oscilador

PENDULO FISICO

El pndulo fsico o compuesto es un slido en rotacin alrededor de un eje fijo. Cuando se separa un ngulo de la posicin de equilibrio y se suelta, sobre el slido acta el momento delpeso, que tiene signo contrario al desplazamiento.

Cuando se toman oscilaciones con angulos pequeos el periodo del pndulo esta dado por:

T = 2 (1)

I es el momento de inercia respecto al eje horizontal que pasa por e punto de suspensin 0m es la masag es la gravedadh es la distancia entre el centro de gravedad del cuerpo y el punto de suspensin del pndulo

Para hallar el radio de giro se comienza por apicar el teorema de los ejes paralelos (Steiner)

I = + m(2)Teniendo en cuenta la definicin de radio de giro

= m(3)

Posteriormente al sustituir en (1)

T = 2 (4)

MOMENTO DE INERCIA DE UNA VARILLA

El momento de inercia de unamasa puntual est dado por I = mr2, pero la varilla, se podra considerar que tiene un infinito nmero de masas puntuales y cada uno de ellos debe ser multiplicado por el cuadrado de su distancia al eje. La suma infinita se llama unaintegral. Laforma generalpara el momento de inercia es:

Cuando el elemento de masa dm se expresa en trminos del elemento longitud dr a lo largo de la varilla y se toma la suma sobre la longitud de la varilla entera, laintegraltoma la forma:

A medida que transcurra el anlisis se tendrn en cuenta tanto datos tericos como experimentales y se usaran las siguientes ecuaciones para averiguar el error:

Error absoluto: v.tericov.experimental(5)

Error relativo: error absoluto/v. terico(6)

Error experimental: error relativo x 100(7)

4. RESULTADOS

h (cm)h(cm)t prom (s)ThT(cm.s)

54,83003,048,551,709160,05

44,82007,048,321,664124,05

34,71204,097,791,55884,23

27,7767,298,071,61476,16

20,1404,018,611,72259,60

17,0289,009,191,83857,43

13,8190,449,501,90049,82

11,1123,2110,272,05446,83

8,673,966,952,31646,13

6,440,967,822,60643,46

En primera instancia se encontr el centro de masa del instrumento utilizado (Varilla metlica) posteriormente se miden distintas longitudes partiendo desde el extremo de la varilla hacia el centro de masa de esta, para as obtener las 10 distancias necesarias, todo esto con el fin de adquirir el tiempo que tarda en dar 5 oscilaciones, aunque en los 2 ltimos datos, se utilizaron solo 3 oscilaciones para encontrar el periodo para cada longitud. Los datos obtenidos se pueden apreciar en la tabla anterior, donde tambin se halla h2 y hT2 para obtener la componentes X y Y de la grafica linealizada

5. CALCULOS:

5.1. En este caso sobre el pndulo que posee un momento de inercia est actuando una aceleracin angular , es decir la sumatoria de torques se expresa como:

(8)

Por la definicin de torque se tiene que:

(9)

Para este caso h es la distancia del eje de giro al centro de masa del pndulo y la fuerza que acta es la fuerza gravitacional:

Como los ngulos tomados son muy pequeos se aproxima a :

La aceleracin angular se puede expresar como la segunda derivada de respecto al tiempo: (10)

Despejando se obtiene:

=

Ahora la ecuacin del movimiento armnico simple est dada por:(11)

Por lo anterior se deduce que:

La relacin entre el periodo y la frecuencia est dada por:

(12)

Al reemplazar w, se obtiene que el periodo del pndulo est dado por:

5.2. RADIO DE GIRO Se define el radio de giro como la distancia desde el eje de giro a un punto donde se puede creer que la masa del cuerpo est concentrada de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro.

I = m => Rg = (13)

Grfica 1.

Al graficar la variacin del periodo respecto a las diferentes longitudes medidas se obtuvo la anterior grfica.

Ahora para encontrar el mnimo de la funcin esta se debe derivar e igualar a cero, posteriormente se procede despejar el radio de giro y reemplazar el periodo en el mnimo de la grfica, obteniendo lo siguiente:

= h2 +

Derivando Con respecto a h obtenemos que:

h= 2

Como en el mnimo de la grfica h = (esta igualdad se prueba mas adelante en el numeral 4.)

34,7 Cm

* Otra manera de encontrar el radio de giro es escribir la funcin como una ecuacin lineal, encontrar su pendiente e intercepto y proceder a despejar el radio de giro para conocer su valor, como los datos estn un poco dispersos se usa el mtodo mnimos cuadrados para encontrar la mejor lnea como se observa en la siguiente grfica:

Grfica 2.

Al despejar como se mencion anteriormente se obtiene:

= h2 +

Donde x = h2 a = b =

y a es la pendiente y b el intercepto, teniendo que:

a = 0,037

b = 40,857

Luego como

a =

Entonces

g = = 1066.9 cm/

Por lo tanto si

b =

= cm

* Ahora partiendo de la ecuacin (4) se logra comprobar que el mnimo de la funcin se encuentra al derivarla y cuando h se hace igual al radio de giro:

T = 2

=

0 =

0 =

0= h2 -

Luego

h= 5.3. Anteriormente se han dado a conocer varias maneras de encontrar el radio de giro de una varilla, como el radio de giro de cada objeto depende de su geometra hay establecidas frmulas para conocerlos, en el caso de una varilla es:

= (14)

Esta frmula se obtiene de saber que el momento de inercia de una varilla est dado por

I = (15)

Luego de (3):

= donde = 32,24 cm

Al comparar este resultado con los obtenidos por los 3 mtodos, se pueden apreciar que:

Radio de giro hallado por el mnimo de la grfica:

34,7 cm

Radio de giro hallado por Linealizacion de la grafica:

33,230 cm Radio de giro hallado por la ecuacin:

32,24 cm

6. ANALISIS:

7. CONCLUSIONES

Cuando se hace necesario encontrar el valor de una constante en un fenmeno fsico se puede recurrir a distintos mtodos como los usados en la anterior prctica, donde se evidencia la importancia de las matemticas pues estas son de gran utilidad, tanto a la hora de encontrar la mejor lnea que represente el fenmeno tratado, como a la hora de derivar para encontrar el mnimo de una funcin.

Para disminuir los valores de error se recomienda que la persona encargada de tomar el ngulo desde el cual se deja oscilar el pndulo sea distinta a la que suelta del reposo el objeto utilizado.

Para disminuir el error se recomienda comprobar si la varilla tiene una densidad uniforme, adems sera ideal la presencia de un lubricante entre el eje y el orificio de la varilla para as disminuir la friccin que se presenta entre estos el cual afecta el valor del periodo

El radio de giro puede ser de gran importancia en la ingeniera, pues su valor ayudara para saber la distancia a la que se debe colocar el eje de suspensin de un cuerpo de su centro de masa para que este

8. BIBLIOGRAFIA

https://books.google.com.co/books?id=iJudBBd6G4wC&pg=PA473&dq=pendulo+fisico&hl=es&sa=X&ei=cKcFVZjXCMKENpD2gvgH&ved=0CCEQ6AEwAQ#v=onepage&q=pendulo%20fisico&f=false

http://airy.ual.es/geodesy/II4.pdf