METODOS DE DEMOSTRACIÓN

REGLAS DE INFERENCIA

Dos importantes cuestiones que aparecen en el estudio de las matemáticas son:

¿Cuándo es correcto un argumento matemático?, y ¿Qué métodos se pueden utilizar para construir

argumentos matemáticos? Veremos cómo resolver estas dos preguntas describiendo varios tipos de

argumentos matemáticos, correctos e incorrectos.

En esta clase vamos a estudiar las reglas de inferencia para lógica proposicional. Estas reglas justifican los

pasos dados para demostrar que a partir de una serie de hipótesis se llega de forma lógica a una conclusión.

La tautología (p Λ (P→q))→q es la base de la regla de inferencia llamada modus ponens. Esta tautología se

escribe de la forma siguiente

p

p → q

Usando esta notación, las hipótesis se escriben en una columna y la conclusión debajo de una barra

horizontal. (el símbolo denota <<por tanto>> o <<luego>>. El modus ponens declara que si tanto una

implicación como sus hipótesis son verdaderas, entonces la conclusión de esta implicación es verdadera.

EJEMPLO 1 Supongamos que la implicación <<si hace sol hoy, iremos a nadar>> y la hipótesis <<está

haciendo sol hoy>> son verdaderas. Entonces por el modus ponens, se sigue que la conclusión <<iremos a

nadar>> es verdadera.

EJEMPLO 2 Supongamos que la implicación <<si n es mayor que 3, entonces n2 es mayor que 9>> es

verdadera. Por tanto, si n es mayor que 3, por el modus ponens, se sigue que n2 es mayor que 9.

Tabla 1. Reglas de inferencia

Regla de inferencia Tautología Nombre

P → (p v q) Adición

(p Λ q) → p Simplificación

((p) Λ (q)) → (p Λ q) Conjunción o ley de combinación

[p Λ(p→q)] → q Modus ponens

[¬q Λ(p→q)]→¬p Modus tollens

[(p→q)Λ(q→r)]→(p→r) Silogismo hipotético

[(p v q) Λ ¬p] →q Silogismo disyuntivo

[(p v q) Λ (¬p Λ r)]→(q v r) Ley de resolución

EJEMPLO 3 Di en qué regla de inferencia se basa el argumento siguiente: <<Ahora estamos bajo cero. Por

tanto, bien estamos bajo cero o bien llueve ahora>>.

Solución: Sea p la proposición <<Ahora estamos bajo cero>> y q <<llueve ahora>>. Entonces, este

argumento es de la forma

Este argumento utiliza la regla de adición.

EJEMPLO 4 Di en qué regla de inferencia se basa el argumento siguiente: <<Estamos bajo cero y llueve. Por

tanto estamos bajo cero>>

Solución. Simplificación

EJEMPLO 5 Di en qué regla de inferencia se basa el argumento siguiente:

<<Si llueve hoy, entonces hoy no haremos un asado. Si no hacemos un asado hoy, haremos un asado

mañana. Por tanto, si llueve hoy, haremos un asado mañana>>.

Solución: Silogismo hipotético

ARGUMENTOS VÁLIDOS

Se dice que un argumento deductivo es correcto s siempre que todas premisas son verdaderas (hipótesis), la conclusión también lo es. Consecuentemente, mostrar que q se deduce lógicamente de las hipótesis p1, p2, … pn es lo mismo que mostrar que la implicación

(p1 ˄ p2 ˄ … pn) → q

Es verdadera. Cuando todas las proposiciones utilizadas en un argumento correcto son verdaderas, se llega a una conclusión correcta. No obstante, un argumento correcto puede conducir a una conclusión incorrecta si se utilizan una o más proposiciones falsas en un argumento.

Cuando hay muchas premisas, a menudo se necesitan varias reglas de inferencia para demostrar que un argumento es correcto. Esto se ilustra en los ejemplos siguientes, donde se muestra paso a paso cómo se llega de un argumento a otro, razonando explícitamente cada paso que se ha dado. Estos ejemplos muestran también cómo se pueden analizar argumentos en lenguaje natural utilizando reglas de inferencia.

EJEMPLO :

Muestra que las premisas “Si me mandas un mensaje por correo electrónico, entonces acabaré de escribir el programa”, “Si no me mandas un mensaje por correo electrónico, me iré a la cama temprano” y ‘Si me voy a la cama temprano, me levantaré descansado” llevan a la conclusión “Si no acabo de escribir el programa, me levantaré descansado”.

Solución:

p: Me mandas un mensaje por correo electrónico

q: Terminaré de escribir el programa

r: Me iré a la cama temprano

s: Me levantaré mañana descansado

Formalización:

( ( ) ( ) ( )) ( )

Esta forma de argumento muestra que nuestras premisas conducen a la conclusión deseada:

Paso Razonamiento

1. Premisa 1

2. Contrarrecíproca del paso 1 3. Premisa 2

4. Silogismo hipotético usando los pasos 2 y 3 5. Premisa 3

6. Silogismo hipotético usando los pasos 4 y 5

Como nos podemos dar cuenta en el ejercicio anterior podemos utilizar algunas implicaciones relacionadas con p→ q que pueden formarse a partir de ella (vistas en la primera clase).

Otra herramienta que es importante y se puede necesitar en la validación de razonamientos es la tabla de equivalencias lógicas:

RECIPROCA, CONTRARRECIPROCA E INVERSA Hay algunas implicaciones relacionadas con p → q que pueden formarse a partir de ella. La proposición q → p se llama recíproca de p → q. La contrarrecíproca de p → q es ¬q → ¬p. la proposición ¬p → ¬q es la inversa de p → q. EJEMPLO 7 Cuáles son las contrarrecíproca, recíproca e inversa de la implicación?

“El equipo local gana siempre que llueve”.

Solución: Como “q siempre que p” es una forma de expresar la implicación p → q, la afirmación original se puede reescribir como “Si llueve, entonces el equipo local gana”. La contrarrecíproca de esta implicación es “Si el equipo local no gana, no llueve”. La recíproca es “Si el equipo local gana, entonces llueve”. La inversa es

“Si no llueve, entonces el equipo local no gana”.

Ejercicios propuestos

1. En cada uno de los problemas siguientes, tradúzcase a la forma simbólica y empleando las reglas de inferencia y de validez, establézcase para cada argumento si es o no válido. Intente inicialmente analizar el razonamiento sin recurrir a la representación simbólica.

1.1 Si llueve, entonces iré al cine. Llueve. Luego, iré al cine.

1.2 Si llueve, entonces iré al cine. No llueve. Luego, no iré al cine.

1.3 Si me caigo de la bicicleta, me golpearé. Estoy golpeado; luego, me caí de la bicicleta.

1.4 Si voy al colegio pasaré por la biblioteca. Si paso por la biblioteca consultaré el diccionario de sinónimos. Voy al colegio; luego, consulté el diccionario de sinónimos.

1.5 Para que valga la pena tomarlo, es suficiente que sea un excelente curso. O las calificaciones son justas o no vale la pena tomar el curso. Las calificaciones no son justas. Luego, no es un excelente curso.

1.6 Para que el candidato llegue a la presidencia es necesario que gane las elecciones en el departamento. El ganará las elecciones en el departamento únicamente si defiende los derechos civiles. El no defenderá los derechos civiles. Por tanto, el candidato no llegará a la presidencia.

1.7 Si los precios son bajos, entonces los salarios son bajos. Los precios son bajos o no hay control de precios. Si no hay control de precios, entonces hay inflación. No hay inflación; por tanto los salarios son bajos.

1.8 La lógica es fácil o les gusta a los estudiantes. Si las matemáticas son difíciles entonces la lógica no es fácil. Por tanto, si a los estudiantes no les gusta la lógica, las matemáticas no son difíciles.

1.9 Si no me motilo, entonces me quedaré en casa. Voy al cine. Por tanto, me motilé.

1.10 Si trabajo, entonces no estudio. Estudio o repruebo el curso de matemáticas. Aprobé el curso de matemáticas; luego, trabajo.

2. Analizar, desde las reglas de inferencia, la validez o no validez de los siguientes razonamientos:

2.1 Si asisto al colegio conversaré con mis amigos. Luego: Si no voy al colegio entonces no conversaré con mis amigos.

2.2 Voy al estadio o me quedo en casa. Si voy al estadio entonces dormiré en la casa de mi hermano. No me quedé en casa. Luego: Dormí en la casa de mi hermano.

Los temas 2, 3 y 4 son tomando del libro de Matemáticas discretas y sus aplicaciones, de Kenneth Rosen, quinta edición. McGraw-Hill