Inferencia Estadística, conceptos básicos

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Inferencia Estadística

Inferencia, en estadística, proceso por el cual se deducen (infieren) propiedades o características de

una población a partir de una muestra significativa. Uno de los aspectos principales de la inferencia

es la estimación de parámetros estadísticos. Por ejemplo, para averiguar la media, µ, de las estaturas

de todos los soldados de un reemplazo, se extrae una muestra y se obtiene su media, ̅. La media

de la muestra (media muestral), ̅, es un estimador de la media poblacional, µ. Si el proceso de

muestreo está bien realizado (es decir, la muestra tiene el tamaño adecuado y ha sido seleccionada

aleatoriamente), entonces el valor de µ, desconocido, puede ser inferido a partir de ̅.

La inferencia siempre se realiza en términos aproximados y declarando un cierto nivel de confianza.

Por ejemplo, si en una muestra de n=500 soldados se obtiene una estatura media ̅=172cm, se

puede llegar a una conclusión del siguiente tipo: la estatura media, µ, de todos los soldados del

reemplazo está comprendida entre 171 cm y 173 cm, y esta afirmación se realiza con un nivel de

confianza de un 90%. (Esto quiere decir que se acertará en el 90% de los estudios realizados en las

mismas condiciones que éste y en el 10% restante se cometerá error.)

Si se quiere mejorar el nivel de confianza, se deberá aumentar el tamaño de la muestra, o bien

disminuir la precisión de la estimación dando un tramo más amplio que el formado por el de extremos

171, 173. Recíprocamente, si se quiere aumentar la precisión en la estimación disminuyendo el

tamaño del intervalo, entonces hay que aumentar el tamaño de la muestra o bien consentir un nivel

de confianza menor. Finalmente, si se quiere mejorar tanto la precisión como el nivel de confianza,

hay que tomar una muestra suficientemente grande.

PROBABILIDAD.

Rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de

que ocurra un determinado suceso. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y

es fundamento necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y

Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI,

habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó

como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo,

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saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el

50%.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La

probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá

siempre.

El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede

configurarse un espacio muestral cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad.

Por ejemplo, al lanzar un dado ideal, la probabilidad de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos

dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es 1/36.

Definición

Históricamente se han desarrollado dos enfoques conceptuales para definir la probabilidad y

determinar valores de probabilidad, a saber: enfoque clásico y de frecuencia relativa.

Enfoque clásico, si un suceso A tiene N posibilidades de ocurrir entre un total de S posibilidades,

cada una de las cuales tiene la misma oportunidad de ocurrir que las demás. Entonces, la

probabilidad de que ocurra A es

resultadosposiblesdetotalnúmero

Aderesultadosposiblesdenúmero

S

N

S

ANAP

____

_____)()(

El enfoque clásico de la probabilidad se basa en el supuesto de que cada resultado es igualmente

probable. Este enfoque, cuando es aplicable; permite determinar valores de probabilidad antes de

que sean observados, también se le conoce como enfoque a priori.

Ej: 1.- En un mazo de naipes debidamente barajados que contiene 4 ases y otros 48 naipes, la

probabilidad de obtener un as (A) en una sola extracción es de

13

1

52

4)()(

S

ANAP

2.- Sea A el suceso de que al tirar un dado una vez salga un 3 o un 4. Hay seis formas de caer el

dado {1, 2, 3, 4, 5 ó 6}, supondremos que las seis tienen la misma oportunidad de salir. Como A

puede ocurrir de dos formas, tenemos

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3

1

6

2)()(

S

ANAP

Según el enfoque de frecuencia relativa, la probabilidad se determina con base en la proporción

de veces en las que ocurre un resultado favorable en cierto número de observaciones o

experimentos, este caso no implica ningún supuesto previo de igual probabilidad. Dado que la

determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y la recolección de datos,

este método se llama también enfoque empírico. La probabilidad de que ocurra el evento A según

este enfoque es de

n

An

muestradetamaño

AdesocurrenciadenúmeroAP

)(

__

____)(

Ej Si en 1000 tiradas de una moneda salen 529 caras, la frecuencia relativa de caras es 529/1000=

0,529. Si en otros 1000 lanzamientos salen 493 caras, la frecuencia relativa en el total de 2000

tiradas es (529+493)/2000= 0,511. De acuerdo con la definición estadística, continuando de este

modo nos iremos acercando más y más a un número que representa la probabilidad de que salga

cara en una sola tirada.

Como se ha indicado, la probabilidad de un evento o suceso puede varias entre 0 y 1.

( )

Si el evento A es {al lanzar un dado sale un 5}, el evento {al lanzar un dado no sale un 5} se le llama

“el opuesto de A” o “no A” o “complemento de A” y se representa por A’ (A prima).

Definición axiomática de probabilidad:

Axioma 1: La probabilidad del evento A siempre es positiva

( )

Axioma 2: La probabilidad de espacio muestral siempre es 1

( )

Axioma 3: Si A∩B = Ø ( ) ( ) ( ); dos sucesos son disjuntos si y solo

si la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades.

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Consecuencia de los axiomas:

a) ( ) la probabilidad no puede ser mayor a 1.

b) ( ) ( )

c) ( )

d) ( ) ( )

e) ( ) ( ) ( ) ( )

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES. Dos eventos (o más) son mutuamente excluyentes, o disjuntos, si no pueden ocurrir al mismo

tiempo. Es decir, la ocurrencia de un evento automáticamente impide la ocurrencia del otro (u otros).

Por ejemplo, supongamos que se consideran dos posibles eventos “as” y “rey” con respecto a la

extracción de una carta de un mazo. Estos dos eventos son mutuamente excluyentes porque

ninguna carta puede ser al mismo tiempo un rey y as.

Dos eventos (o más) son no excluyentes cuando es posible que ocurran al mismo tiempo.

Ejemplo, en un estudio de la conducta de los consumidores, un analista clasifica a las personas que

entran en una tienda de artículos de sonido de acuerdo con su sexo (masculino o femenino) y su

edad (menos de 30 años o 30 años o mayor). Los dos eventos y clasificaciones, “masculino” y

“femenino” son mutuamente excluyentes puesto que no hay personas que clasifiquen en ambas

categorías. De manera similar, los eventos “menor de 30” y “30 o mayor” son también mutuamente

excluyentes. Sin embargo, los eventos “masculino” y “menor de 30” no son mutuamente excluyentes

porque una persona elegida al azar podría estar en ambas categorías.

LA REGLAS DE LA ADICIÓN. Se utilizan las reglas de la adición cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra un

evento u otro o ambos en una sola observación. Simbólicamente, puede representarse la

probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B mediante P(A o B). En lenguaje de teoría de

conjunto, a esto se le denomina la “unión de A y B”, y se designa la probabilidad mediante P(A U B).

Existen dos variaciones a la regla de la adición, dependiendo de que los dos eventos sean

mutuamente excluyentes o no.

( ) ( ) ( ) ( ) (1)

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Ejemplo, cuando se extrae una carta de un mazo de cartas, los eventos “as” (A) y “rey” (R) son

mutuamente excluyentes. La probabilidad de extraer ya sea una “as” o un “rey” en una sola

extracción es:

P(A o R)=P(A) + P(R) =

Para eventos que no son mutuamente excluyentes, se le resta a la suma de las probabilidades

simple de los dos eventos, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos eventos.

Puede representarse la probabilidad de la ocurrencia conjunta mediante P(A y B). En lenguaje de la

teoría de conjunto, se denomina a esto la intersección de A y B y se designa la probabilidad como

P(A ∩ B), se lee: la probabilidad de A intersección B. Así, la regla de la adición para eventos que no

son mutuamente excluyentes es:

( ) ( ) ( ) ( ) (2)

Ejemplo: cundo se extrae una carta de un mazo de baraja, los eventos “as” y “trébol” no son

mutuamente excluyentes. La probabilidad de obtener un “as” (A) o un “trébol” (T) o ambos en una

sola extracción es :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Eventos excluyentes NO excluyentes

Probabilidad conjunta, es CERO si

son mutuamente excluyentes

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EVENTOS DEPENDIENTES, EVENTOS INDEPENDIENTES Y PROBABILIDAD

CONDICIONAL. Dos eventos son Independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no tiene ningún

efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. Dos eventos son dependientes cuando la

ocurrencia o no ocurrencia de uno si afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento.

Ejemplo, se considera que los resultados asociados con el lanzamiento de una moneda, dos veces

seguidas son eventos independientes porque el resultado del primer lanzamiento no tiene ningún

efecto sobre las respectivas probabilidades de que ocurra una cara o sello en el segundo

lanzamiento.

La extracción de dos cartas sin reemplazo de un mazo de cartas son eventos dependientes, porque

las probabilidades asociadas con la segunda extracción dependen del resultado de la primera

extracción. Si saliera un “as” en la primera extracción, entonces la probabilidad de que salga un “as”

en la segunda extracción es la razón del número de ases que sigue habiendo en el mazo con

respecto al número total de cartas 3/51.

Cuando dos eventos son dependientes se utiliza el concepto de probabilidad condicional para

designar la probabilidad de ocurrencia de un evento relacionado. La expresión P(B | A) indica la

probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurre el evento A.

Si los eventos son independientes, entonces P(B | A) = P(B).

Si se conoce la probabilidad simple (no condicional) de un primer evento A y la probabilidad

conjunta de dos eventos A y B, entonces se puede determinar la probabilidad condicional P(B | A)

por:

( ) ( )

( )

LAS REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓN.

Las Reglas de la Multiplicación se refieren a la determinación de la probabilidad de la ocurrencia

conjunta de A y B.

Existen dos variaciones a la regla de la multiplicación de acuerdo a si los eventos son dependientes

o independientes. La regla de la multiplicación para eventos independientes es:

( ) ( ) ( ) ( ) (3)

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Si se lanza dos veces una moneda, la probabilidad de que ambos resultados sean “cara” es ½ x ½ =

¼

Diagrama de árbol: los diagramas de árbol son particularmente útiles para ilustrar los posibles

eventos asociados con observaciones o ensayos secuenciales.

Para eventos dependientes, la probabilidad de ocurrencia de A y B es la probabilidad de A

multiplicada por la probabilidad condicional de B dado A.

( ) ( ) ( ) (4)

Esta fórmula se denomina con frecuencia la regla general de la multiplicación, debido a que para

eventos que son independientes, la probabilidad condicional ( ) es simplemente igual al valor

de la probabilidad no condicional (simpe) P(B).

En resumen:

( ) ( ) ( ) eventos dependientes.

( ) ( ) ( ) eventos independientes.

Ejemplo: supongamos que se sabe que un conjunto de 10 repuestos contienen 8 en buen estado

(B) y dos con fallas (F). Si se seleccionan al azar dos repuestos sin reemplazo, la secuencia de

posibles resultados y las probabilidades correspondientes son:

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56/90

16/90

16/90

2/90

B1

F1

B2

B1

F2

2

B2

B1

F2

2

B2

B1

B2

B1

B1 y B2

B1 y F2

F1 y B2

F1 y F2