INECUACIONES: Definición:Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x) g(x), f(x) > g(x) o f(x) g(x).La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones. 5x + 6 < 3x - 85x - 3x < -8 - 62x < -14x < -7Todos los valores de x menores que -7 (es decir desde -7 hasta - ) satisfacen la inecuación. Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero negativo una inecuacion tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.3x > -2-9x < 6x < -2/3Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incognita.Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones los intervalos comunes de las soluciones5x + 6 < 3x - 83x > 2La solucion de la primera ecuacion es:5x - 3x < -8 - 62x < -14x < -7La solucion de la seguna ecuacion es:3x > -2x < -2/3La solucion del sistema sería x < -7. Inecuaciones de segundo grado.Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.x2 - 5x + 6 > 0Las soluciones de la ecuacion x2 - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. Por lo tanto x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde - hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta .x - 2 es negativo para los valores entre - y 2.x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.x - 2 es positivo para los valores entre 3 e .x - 3 es negativo para los valores entre - y 2.x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.x - 3 es positivo para los valores entre 3 e .Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:x2 -5x + 6 es positivo para los valores entre - y 2.x2 - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.x2 - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e .Inecuaciones de grado superior a dosSe descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.Inecuaciones fraccionariasSon las inecuaciones en las que tenemos la incognita en el denominador.Se pasan todos los terminos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a comun denominador.Despues se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones que anulan el denominador no valen.

EcuaciónDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsquedaUna ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.En el caso que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.Ecuación polinómica [editar]Una ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella que en el primer miembro aparece un polinomio y en el segundo aparece el cero. Ejemplo:

sumando 2xy en ambos miembros, obtenemos:

En cuanto a las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos estas pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad, las ecuaciones de tercer y cuatro grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.Ecuación de primer grado [editar]Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:

con a diferente de cero.

Su solución es la más sencilla: Resolución de ecuaciones de primer grado [editar]Dada la ecuación:

1- Transposición:Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía. En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)La ecuación quedará así:

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros han quedado en el segundo miembro (a la derecha).2- Simplificación:El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro: Y simplificamos el segundo miembro: La ecuación simplificada será:

3- Despejar:Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.

Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía. En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo).

Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad no varía. En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar el signo).Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)por tanto, simplificando, la solución es:

Resolución de ecuaciones de primer grado: problema [editar]Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:

Se podría leer así: X número de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el número x de canicas menos 2 canicas.El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

Que, simplificado, resulta:

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

El problema está resuelto.Ecuaciones de segundo grado [editar]Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones (una a veces, que se repite con la otra). Para la resolución de ecuaciones de segundo grado tenemos que distinguir entre tres tipos distintos de ecuaciones:Ecuaciones de la forma ax² + c = 0 [editar]Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver, ya que se resuelven igual que las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

Pasamos -16 al segundo miembro

Ahora pasamos el exponente al segundo miembro, haciendo la operación opuesta; en este caso, raíz cuadrada

La ecuación ya está resueltaEcuaciones de la forma ax² + bx = 0 [editar]Tengamos:

En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambas expresiones:

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los factores tiene que ser igual a 0. Así que, o el primer factor (x) es igual a cero (ésta es la primera solución), o:

Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y -3.

Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0 [editar]

Si tenemos la ecuación cuadrática: Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general:

Si sustituimos las letras por los números, siendo:a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo. b = coeficiente de la incógnita elevada a uno. c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre).

A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las soluciones son números imaginarios.Método II También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:Si hallamos dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c, la expresión:

es equivalente a:

siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión.En el ejemplo anterior, m = -2 y n = -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.luego, la igualdad:

es equivalente a:

Demostración

Partiendo de la igualdad:

operando, obtenemos: Luego, para a = 1, resulta:

m y n son dos números que sumados resultan igual a b, y multiplicados son igual a c.Tipos de ecuación algebraica [editar]Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuacion de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones, por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4 ( y otros) no es una solución. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se llama identidad

http://www.aaamatematicas.com/equ.htm

Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el coeficiente de x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico.El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.

Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto. Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación. Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación. Clasificación Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas: a) Por el número de incógnitas.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una incognita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

b) Por el grado de la incógnita.

Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita). Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma: Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones:x1 + x2 + ... + xn = -a1 x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2 x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3

..................................x1x2...xn = (-1)nan

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones. c) Por el número de términos

c1) Ecuaciones binómicas: Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.

c2) Ecuaciones polinómicas:Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.

¿Cómo se resuelven las ecuaciones?Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raiz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra.D'Alembert fue el primer matemático que dió una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dió una demostración rigurosa. a) Ecuaciones de primer grado y una incógnitaLas ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnitaLas ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula:

Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raiz y lo dividimos por 2a.c) Ecuaciones de tercer grado y una incógnitaAunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma más cómoda. Sin embargo, vamos a ver cómo se resuelve un tipo concreto de ecuaciones de tercer grado, las del tipo x3 + mx = n (por supuesto si la ecuación aparece 'disfrazada' de esta forma ax3 + bx + c = 0, se puede convertir en la forma anterior, dividiendo todos los términos por a, m = b/a y n = -c/a)

El método para resolver estas ecuaciones se llama método de Cardano, pues se atribuye a Girolamo Cardano (1501-1576) su descubrimiento.El método es el siguiente:

Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los exámenes. Quedareis muy bien si además citais el libro en que apareció por primera vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor: Girolamo Cardano). c) Ecuaciones de cualquier grado y una incógnitaEl método mas frecuente de resolver ecuaciones de grado superior a 2 es descomponer la ecuación en factores (dividiendo la ecuación por los posibles divisores), con lo que, si tenemos suerte, la ecuación se reduce a un producto de otras ecuaciones de grado menor que ya podemos resolver por las fórmulas anteriores.A veces nos ponen una ecuación de segundo grado 'disfrazada' . Lo vereis con un ejemplo: 3x4 + 2x2 - 5 = 0. En esta ecuación si hacemos el cambio de variable x2 = t, nos queda 3t2 + 2t - 5 = 0. En este caso, haceis el cambio de variable, resolveis la ecuación de segundo grado y despues despejais la x (calculando la raiz cuadrada del valor que hemos obtenido para t).Si ninguno de los métodos anteriores os da resultado, sorprendereis a vuestro profesor resolviendo la ecuación por este método:

Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones:x1 + x2 + ... + xn = -a1 x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2 x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3

..................................x1x2...xn = (-1)nan

Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.